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INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR Santiago de Cali
ÁREA DE MATEMATICA
TEMA: LOS NUMEROS REALES
TRABAJO EN GRUPO GRADOS NOVENOS
NOMBRE:
No:
GRADO:
FECHA:
1. Resuelva las siguientes operaciones realizando los pasos de cada
uno de los procedimientos.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
1 2
3
6
4.252525..
100𝑋 = 425.252525 …
𝑋 = 4.25252525 …
99𝑋 = 421.0000000 …
421
𝑋=
99
5
( − )+( 𝑥 − )
2
4 8
3
1 4 − 15
18 5
(
)+( − )
3
10
32 3
1 −11
54 − 160
(
)+(
)
3 10
96
11 106 −1056 − 3180
4236
353
− −
=
=−
=−
30 96
2880
2880
240
1 4
5 2
1
3
5
𝑥 − ( − ) + (− )
5 3
4 3
2
2
8
4 5 4−3
15
− (
)−
=
15 4
6
16
4
5 15 64 − 50 − 225
211
−
−
=
=−
15 24 16
240
240
2
2 3
3
1
2
[( − ) − ] ÷ ( + )
3
5 4
8
2
5
10 − 6 3 3
5+4
[(
) − ]÷(
)
15
4 8
10
4 3 3
9
[( ) − ] ÷ ( )
15 4 8
10
12 3
9
[ − ]÷
60 8
10
24 − 45
9
21
9
210
7
[
]÷
=−
÷
=−
=−
120
10
120 10
1080
36
2
1
2
[( − ) + 13 ( − 1)]
3
9
3
6−1
2−3
[(
) + 13 (
)]
9
3
5
−1
5 13 5 − 39
34
[( ) + 13 ( )] = −
=
=−
9
3
9 3
9
9
1
3
2 1
[( − 2) ] ÷ [ ( − 3)]
2
2
5 5
1−4 3
2 1 − 15
[(
) ]÷[ (
)]
2
2
5
5
−3 3
2 −14
9
28
225
[( ) ] ÷ [ (
)] = (− ) ÷ (− ) =
2 2
5 5
4
25
112
1
3
2
[3 − ( − 1) [( − 2) − ]]
3 5
4
4
f.
g.
5 1
h.
i.
j.
k.
l.
4
7
3
7
2
5
5
3.
[ ( − 1)] [ (2 − ) + ]
3 2
5 1 − 2 7 10 − 3
7
[ (
)] [ (
)+ ]
3
2
2
5
5
5 −1 7 7
7
[ ( )] [ ( ) + ]
3 2
2 5
5
5 49 7
(− ) ( + )
6 10 5
5 49 + 14
5 63
315
21
(− ) (
) = (− ) ( ) = −
=−
6
10
6 10
60
4
3
5
6
5
(2 − ) ( − 1) [ (1 − )]
4
4
5
8
8−3 5−4 6 8−5
(
)(
)[ (
)]
4
4
5
8
5 1 6 3
90
9
( ) ( ) [ ( )] =
=
4 4 5 8
640 64
1−
2−
1
1−
1
1
1−
2
2
1−
2
1
7
=1−
2
1
1
1− 1
=1−
1
1−2
=1−
1
−1
2
3−
3
=2−
14
1
2
1−
2
=2−
2
3−
3
2
2
1− 7
4.
= 1+1 =2
=2−
2
1−
3
6
7
=
= −12
Convertir a fracciones los siguientes decimales
a. 0.0062
0.0062𝑥10000
62
31
0.0062 =
=
=
10000
10000 5000
b. 0.125
0.125𝑥1000
125
1
0.125 =
=
=
1000
1000 8
c. 2.35
2.355𝑥100 235 47
2.35 =
=
=
100
100 20
d. 1.3333..
10𝑋 = 6.666666 …
𝑋 = 0.6666666 …
9𝑋 = 6.000000 …
6 2
𝑋= =
9 3
0.222..
5.
2.125125..
1000𝑋 = 2125.125 …
𝑋 = 2.125125 …
999𝑋 = 2123.00000 …
2123
𝑋=
999
0.12
0.12 =
0.12𝑋100
12
3
=
=
100
100 25
2.45 =
2.45𝑋100 245 49
=
=
100
100 20
2.45
12.1212…
100𝑋 = 1212.1212 …
𝑋 = 12.121212 ….
99𝑋 = 1200.121212 …
1200 400
𝑋=
=
99
99
0.051111…
𝑋 = 0.0511111
1000𝑋 = 51.1111
100𝑋 = 5.11111
900𝑋 = 46.0000
46
23
𝑋=
=
900 450
Aplique las propiedades de las potencias.
3 5 3 −2
a.
( ) ( )
b.
( ) ( )
c.
(− ) (− )
d.
{[( ) ] }
e.
2
=2−
0.0666..
10𝑋 = 2.22222 …
𝑋 = 0.222222 …
9𝑋 = 2.000000
2
𝑋=
9
1−4
3−8
2
[3 − (
) [(
) − ]]
4
4
4
−3
−5
2
[3 − ( ) [( ) − ]]
4
4
4
3 −7
21 48 − 21 27
[3 + ( )] = 3 −
=
=
4 4
16
16
16
2−
2.
3
e.
𝑋 = 1.333333 …
10𝑋 = 13.33333 …
9𝑋 = 12.00000000 …
12 4
𝑋=
=
9
3
5
5
5 6 4 −4 5 −3
4
( )
5
7 6
4
7 −5
3
3
2 −4
5 3
7 8
(− )
3
3 −4
5
3
÷ ( )−5
5
2 12
( ) ( ) ÷( )
g.
[( ) ( ) ]
5
5
5
−2
5 4 5 3
6 −4
( )
6
6
1 3 1 6
5
1 2 1 3
5
5
h. ( ) ( ) ÷ [( ) ( ) ]
5
3 4
9 2
5
2
9 2 9 −2
{[( ) ] } ÷ [( ) ( ) ]
i.
6
( )
2 4 2 6
f.
4
4
5
5 4
3 4
5 2
7
7
4
j. [( ) ] ÷ {[( ) ] }
Calcule la fracción que representan de cada fracción, los
siguientes enunciados.
a. La mitad de la tercera parte.
1 1
( )
2 3
b. Los dos quintos de la mitad.
2 1
( )
5 2
c. Los tres medios de 2.
3 2
( )
2 1
d. Los cuatro sextos de un octavo.
4 1
( )
6 8
e. Los dos tercios de un medio.
2 1
( )
3 2
Operar las siguientes expresiones.
a.
1 2
5
2 −1
(3− )
9
(2− )
÷
6 5 2 1 3
7 4 7 2
1 1 1 1
( − 𝑥 ÷ )
2 3 4 5
( 𝑥 − ÷ )
1
− 57
b.
c.
2 2
6 5 2 2 3
( 𝑥 − ÷ )
3
5 8 7 3
3 1 3 1
2 −1
( − 𝑥 ÷ )
(1− )
2 4 4 5
3
2 5 2 2 2 −3 51 −2
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
3
16
2
3 −5 2 1 2 5
8 3
(3− )
( )
2
d.
6.
5
3
÷
1
− 23
( ) [( ) ] ( )
3
3
27
2
1
3
3
2
4
÷ [5 ÷ ( + 5) − 3 ( − )]
Plantear los siguientes problemas y resolverlos.
a. María Eugenia tiene $160.000 y se gasta los dos quintos en
comida para la visita que llego a su casa. Cuánto dinero se
gasto y cuanto le quedo.
2
320.000
(160.000) =
= 64.000 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜
5
5
Le quedo $160.000 - $64.000 = $96.000
b. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km.
El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando
el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va
primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?
Calculamos la equivalencia de cada fracción recorrida y luego los
comparamos para saber cual recorrió más.
5
2860
(572) =
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴𝑢𝑡𝑜 𝐴 =
= 260 𝐾𝑚
11
11
6
3432
(572) =
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴𝑢𝑡𝑜 𝐵 =
= 264 𝐾𝑚
13
13
El móvil B ha recorrido mas.
c . Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los
2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?
2
𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 = 𝑋 = 24
3
3
72
𝑋 = 24 ( ) =
= 36
2
2
d. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de
los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B,
5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha
sido de 15 400. Calcular:
1. El número de votos obtenidos por cada partido.
3
46.200
(15.400) =
𝑃𝐴𝑅𝑇𝐼𝐷𝑂 𝐴 =
= 4.200
11
11
3
46.200
(15.400) =
𝑃𝐴𝑅𝑇𝐼𝐷𝑂 𝐵 =
= 4.620
10
10
5
77.000
(15.400) =
𝑃𝐴𝑅𝑇𝐼𝐷𝑂 𝐶 =
= 5.500
14
14
𝑃𝐴𝑅𝑇𝐼𝐷𝑂 𝐷 = 15.400 − (14.320) = 1.080
2. El número de abstenciones sabiendo que el número de
votantes representa 5/8 del censo electoral.
5
77.000
𝐴𝐵𝑆𝑇𝐸𝑁𝐶𝐼𝑂𝑁 = (15.400) =
= 9.625
8
8
e. Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9
de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué
cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió
el tercero?
f. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se
emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12
en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio
y el resto se emplea en limpieza.
¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
g. Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de
esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba.
¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
h. Calcular los 2/3 de 60 €.
i.
Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del
10%. ¿Cuánto pagará por la camisa?
j.
Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los
bombones y Ana ½.
1. ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?
2. ¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?.
k. Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9
de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué
cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió
el tercero?
l.
Una familia ha consumido en un día de verano:
Dos botellas de litro y medio de agua. 4 botes de 1/3 de litro
de zumo. 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de
líquido han bebido? Expresa el resultado con un número
mixto.
m. Asociar cada fracción de hora con los minutos
1 1 3 1
1 1
2
correspondientes: , , , ,
, , .
2 4 4 10 12 3 18
n. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de
750 g de azúcar. 3/4 de un paquete de harina de kilo. 3/5 de
una barra de mantequilla de 200 g.
7.
Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para
preparar el pastel.
o. Un depósito contiene 150 l de agua. Se consumen los 2/5 de
su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?
p. De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros
mide el trozo restante?
q. Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno
tiene las 5/6 partes del cable. ¿Cuántos metros mide cada
trozo?
r. Ana ha recorrido 600 m, que son los 3/4 del camino de su
casa al instituto. ¿Qué distancia hay de su casa al instituto?
Realizar cada una de las siguientes operaciones.
a.
b.
c.
2
3 2
5
3
3
1 4
1 3
6
3
5
8
4
2
3
2
3
5
[( − 1 ) + ( − ) − ( 𝑋 ) (1 ) ] ÷ (3 − )
14 2
1
3 4 3
9
[( ) + ( ) − ( ) ( ) ] ÷ ( )
15
8
6
2
5
196
1
81
9
9
[
+( )−
𝑋 ]÷( )
225
8
1296 4
5
196
1
729
9
[
+( )−
]÷( )
225
8
5184
5
196
1
7
9
[
+( )− ]÷( )
225
8
64
5
12544 + 1800 − 1575 9
÷
14400
5
12769 9
÷
14400 5
63845
129600
3
1
1
( + ) − (2 + )
2
3
6
9+2
12 + 1
(
)−(
)
6
6
11 13
−
6
6
2
1
− =−
6
3
3
2 2
5
2
3
4
3 2
[( + ) − ( − 1) ]
9+4 2
5−4 3
[(
) −(
) ]
6
4
13 2
1 3
[( ) − ( ) ]
6
4
169 1 2
[
− ]
36 64
2704 − 9 2
[
]
576
2
2695
[
]
576
7263025
331776
d.
e.
f.
g.
8.
2 2
2
3
3
2
4
3 2
2
2
2
2
1
[( − ) − ( − 1) ] ÷ [( − 2) + ]
1
4
3
3
5
5
÷ [( − 1)] − ( − )
7
2
4
1
2−7
6−5
÷ [(
)] − (
)
4
7
4
1
−5
1
÷ [( )] − ( )
4
7
4
7 1
− −
20 4
−7 − 5
12
3
=−
=−
20
20
5
2
3
−( −1)
5
4
5 3
(2− )−
3 8
6 3 3
−
(
−1)
5 4 4
5 1 3
3 6 8
(2− ) −
2 3−4
−
5
4
6−5 3
−
3
8
6 3 3−4
− (
)
=
=
5 4 4
6−5 1 3
) −
3 6 8
(
=
2 −1
−
5 4
1 3
−
3 8
6 3
+
= 51
16
3
18 8
−
=
=
8+5
20
8−9
24
96+15
80
8−54
144
=
=
13
20
−1
24
111
80
−46
144
=−
=−
b.
c.
d.
e.
3
7
2
7
>
>
4
3
8
2
9
4
5
3
< 4
10
2
3
< 7
5
10
19
> 32
16
1
5
g.
< 16
4
3
5
h.
< 2
4
4
5
i..
> 4
3
11
10
j.
> 9
8
Ordenar la siguiente lista de racionales.
a.
2
1 5 5 7 3 −1 6 9
, − 4 , 12 , 4 , 5 , 2 , 6 , 5 , 15
3
MCD = 60
40 15 25 75 84 90 10 72 36
,− , , , , ,− , ,
60 60 60 60 60 60 60 60 60
20
3680
f.
−7 > −3
312
15984
Compara los siguientes pares de números racionales.
a.
9.
4
2
−
b.
c.
15 10 25 36 40 72 75 84 90
,− , , , , , , ,
60 60 60 60 60 60 60 60 60
1 1 5 9 2 6 5 7 3
− ,− , , , , , , ,
4 6 12 15 3 5 4 5 2
5
3 5
,− ,
,
3
4 12
12
3 5
,− 4, 2,
3
10 8
, ,
4 5
5 7
,
,
4 15
3 −1
,
,
2
6
3 −1
, 8 ,
2
7
,
5
6
,
5
1.
2
3
1
1
6
15
9
10
10. Resuelva las siguientes ecuaciones en los números racionales.
a.
b.
2 3𝑋
(
3 4
5
− 2) − 4 = 0
1
3
2.
6𝑋 4 5
− − =0
12 3 4
6𝑋 − 16 − 15 = 0
6𝑋 = 31
31
𝑋=
6
3
4𝑥
3
1
(− 2 +
2
7
3 3 12𝑋 21
− =
−
15 6
30
20
360𝑋 − 12 − 30 = 24𝑋 − 63
360𝑋 − 24𝑋 = −63 + 42
334𝑋 = −21
21
𝑋=−
334
6𝑋 −
c.
d.
e.
f.
g.
=
6(3𝑥−1)
3
2(3𝑥−2)−1
5
7𝑥−2
8𝑥−6
2
5
3(5𝑥+2)−5
8
3
5
−
6(2𝑋−4)
6
1
3𝑥−1
2
3
− ( − 2𝑥) + (1 −
=
)=(
5
− 3) − (
j.
k.
6[3(1 − 2𝑋) + 2)] = 4[2(3𝑋 − 3)]
6[3 − 6𝑋 + 2] = 4[6𝑋 − 6]
18 − 36𝑋 + 12 = 24𝑋 − 24
−36𝑋 − 24𝑋 = −24 − 18 − 12
−60𝑋 = −54
−54
9
𝑋=
=
−60 10
2 2𝑥−1
4𝑥
3
1
2 3𝑥−5
(
)+( )− = − (
)
i.
2(3𝑥−3)
3
3
3
2
5
4
3
4
3
5
4
2
3
2
3
−
1 2
)
4
5
4
5
− (2 −
1
)
2
20 − 3 2
4−3 3
4−1
(
) +(
) −(
)
12
4
2
2
3
17
1
3
( ) +( ) −( )
12
4
2
289 1 3 289 + 9 − 216
82
41
+
− =
=
=
144 16 2
144
144 72
5
7
7
3
8
5
(4 − 3) + 5 (2 − 4) − 3 (− 4)
6.
11
5
7 4
(1 − 4) ÷ [2 (14) −
2
5𝑥+1
8
)
7.
5
4
11. EFECTUE LAS SIGUIENTES OPERACIONES EN LOS RACIONALES.
1
3 (6)]
11 4 − 5
7 4
1
(
) ÷ [ ( ) − 3 ( )]
2
4
2 14
6
11 −1
7 4
1
( ) ÷ [ ( ) − 3 ( )]
2 4
2 14
6
11
28
3
− ÷ [ − ( )]
8
28
6
11
84 − 42
−
÷[
]
8
84
11
42
924
11
− ÷[ ]=−
=−
8
84
336
4
7
5
2
(2 + 3) ÷ (6 − 2 3)
15 + 14
5 8
(
)÷( − )
6
6 3
29
5 − 16
29
11
174
29
( )÷(
)=
÷−
=−
=−
6
6
6
6
66
11
8.
8 1
(
3 2
− ) − [( + ) − (1 − )]
5
6 4
3
5
2
7
6
2
4
4 6
(
3 4
− 4) ÷ [4 (3 + 5)]
8 5−4
7 18 + 8
5−4
(
) − [(
)−(
)]
3 10
6
12
5
8 1
7 26
1
( ) − [( ) − ( )]
3 10
6 12
5
8 7 130 − 12
− [
]
30 6
60
8 7 118
8 826 96 − 826
730
73
− [
]=
−
=
=−
=−
30 6 60
30 360
360
360
36
9.
5
9 1
6
4
5
3
10. [ (− + 1) +
7
11. (
2
3
12. (
4
−
−
7
4 6−5
9 5 + 21
(
)÷[ (
)]
3
4
4
15
4 1
9 26
( ) ÷ [ ( )]
3 4
4 15
4 234
240
10
÷
=
=
12 60
2808 117
3(1−2𝑋)+2
3
+ (1 −
3 3
)
4
15 − 28
7 8−3
8
5
(
)+ (
) − (− )
12
5
4
3
4
−13
7 5
8
5
(
) + ( ) − (− )
12
5 4
3
4
−13
35 40
(
)+
+
12
20 12
−65 + 105 + 200 240
=
=4
60
60
72 − 60 + 240𝑋 + 120 − 120𝑋 + 40 = 24𝑋 − 96 − 360 − 75𝑋 − 15
240𝑋 − 120𝑋 − 24𝑋 + 75𝑋 = −96 − 360 − 15 − 72 + 60 − 120 − 40
h.
4
3 2
4.
3 1
3𝑋 1 𝑋 4
5𝑋 1
− + 2𝑋 + 1 −
+ = − −3−
−
5 2
3
3 5 5
8
8
171𝑋 = −643
643
𝑋=−
171
3
1
(2𝑋 + 4) = 𝑋 + (2𝑋 − 3) − 15
4
3
6𝑋 12
2𝑋 3
+
=𝑋+
− − 15
4
4
3
3
18𝑋 + 36 = 12𝑋 + 8𝑋 − 12 − 180
18𝑋 − 12𝑋 − 8𝑋 = −12 − 180 − 36
−2𝑋 = 228
228
𝑋=−
= −114
2
3
4
=
2𝑥−1
3𝑋+2
3(3𝑋 + 2) = 4(2𝑋 − 1)
9𝑋 + 6 = 8𝑋 − 4
9𝑋 − 8𝑋 = −4 − 6
𝑋 = −10
6
4
=
2
2 1
2(𝑥+3)
1−2(3𝑋−1)
−
2
12
𝑥−4
5
5
(3
5.
5(7𝑋 − 2) = 2(8𝑋 − 6)
35𝑋 − 10 = 16𝑋 − 12
35𝑋 − 16𝑋 = −12 + 10
19𝑋 = −2
2
𝑋=−
19
3(2𝑥−5)
2(1−3𝑋)
+ 4
3
1 3 3
2) − 4 [4 (4 − 1) − (3 − 2)] + (2 − 3)
− [ (1 − )] + [( − ) + (− )] + (−1 + )
8[2(3𝑥 − 2) − 1] = 5[3(5𝑥 + 2) − 5]
8[6𝑋 − 4 − 1] = 5[15𝑋 + 6 − 5]
48𝑋 − 40 = 75𝑋 + 5
48𝑋 − 75𝑋 = 5 + 45
−27𝑋 = 50
50
𝑋=−
27
=
2 1 10 − 1
2 4−1
+ (
)+[ (
)]
3 2
5
3
4
2 1 9
2 3
+ ( ) + [ ( )]
3 2 5
3 4
2 9
6
+
+
3 10 12
40 + 54 + 30 124 31
=
=
60
60
15
3.
3(3𝑥 + 5) = 24(3𝑥 − 1)
9𝑥 + 15 = 72𝑥 − 24
9𝑥 − 72𝑋 = −24 − 15
63𝑥 = −39
39
13
𝑥=−
=−
63
21
=
1
3 −1 + 4
1 3 3−4
6−5
6−2
(
)− [ (
)−(
)] + (
)
2
2
4 4
4
2
3
3 3
1 3 −1
1
4
( ) − [ ( ) − ( )] + ( )
2 2
4 4 4
2
3
9 1
3 1
4
− [− − ] +
4 4 16 4
3
9 1 −3 − 4
4
− [
]+
4 4
16
3
9 1 −7
4
− [ ]+
4 4 16
3
9 7 4 108 + 21 + 64 193
+
+ =
=
4 16 3
48
48
3 (2𝑥 − 5) − 6 = 10 ( 3 − 2)
3𝑥+5
4
2
+ 2 (2 − 5) + [3 (1 − 4)]
2
10
6
8
3 7
4
6
3
5
2 6
3
4
2
(− )] ÷ [ ( − ) − (2 − )]
6
1 −2
5 2
3) + (5 + 2) − (3 − 4)
1 5
7 2
3
3 −2
2) − 3 (4 − 6) + 2 [1 − (2 − 2)]
12. RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
1. 3(2𝑥 − 1) + 3(2 − 4𝑥) = 5(2𝑥 − 3) − 3(𝑥 + 1)
6𝑋 − 3 + 6 − 12𝑋 = 10𝑋 − 15 − 3𝑋 − 3
6𝑋 − 12𝑋 − 10𝑋 + 3𝑋 = −15 − 3 + 3 − 6
−13𝑋 = −21
−21
21
𝑋=
=+
−13
13
2. 2(𝑥 − 1) = 4[2𝑥 − 3(2𝑥 + 1)] − 5(4𝑥 − 2)
2𝑋 − 2 = 4[2𝑋 − 6𝑋 − 3] − 20𝑋 + 10
2𝑋 − 2 = −16𝑋 − 12 − 20𝑋 + 10
2𝑋 + 16𝑋 + 20𝑋 = −12 + 10 + 2
38𝑋 = 0
𝑋=0
3. 3[3(3𝑥 − 3) + 3(3𝑥 − 3) − 3] = 3[3(3 − 3𝑥) − 3] − 3(3)
3[9𝑋 − 9 + 9𝑋 − 9 − 3] = 3[9 − 9𝑋 − 3] − 9
[27𝑋 − 27 + 27𝑋 − 27 − 9] = [27 − 27𝑋 − 9] − 9
27𝑋 + 27𝑋 + 27𝑋 = −9 − 9 + 27 + 27 + 9
81𝑋 = 45
45 5
𝑋=
=
81 9
4. [3(2𝑥 − 5) + 4] = 2[(4𝑥 − 1) − 2(5𝑥 + 6)]
[6𝑋 − 15 + 4] = [8𝑋 − 2 − 20𝑋 − 24]
6𝑋 − 8𝑋 + 20𝑋 = −2 − 24 + 15 − 4
18𝑋 = −15
15 5
𝑋=
=
18 6
5. 4(2𝑥 − 5) + 3(2 − 5𝑥) = 6(3𝑥 + 8)
8𝑋 − 20 + 6 − 15𝑋 = 18𝑋 + 48
8𝑋 − 15𝑋 − 18𝑋 = 48 + 20 − 6
−25𝑋 = 62
62
𝑋=−
25
6. 2(𝑥 − 1) + 2(3 − 𝑥) = 8(𝑥 − 5) − 2(𝑥 + 9) + 12
2𝑋 − 2 + 6 − 2𝑋 = 8𝑋 − 40 − 2𝑋 − 18 + 12
2𝑋 − 2𝑋 − 8𝑋 + 2𝑋 = −40 − 18 + 12 + 2 − 6
−6𝑋 = −50
−50
25
𝑋=
=−
−6
3
7. 4(2𝑥 − 7) + 2(8𝑥 − 9) = 2[(3𝑥 − 7) − 9𝑥]
8𝑋 − 28 + 16𝑋 − 18 = 6𝑋 − 14 − 18
8𝑋 + 16𝑋 − 6𝑋 = −14 − 18 + 28 + 18
18𝑋 = 14
14 7
𝑋=
=
18 9
8. 4[2(4𝑥 − 15) − 10(𝑥 − 11)] = 7(2𝑥 − 4) + 8(𝑥 − 7)
4[8𝑋 − 30 − 10𝑋 + 110] = 14𝑋 − 28 + 8𝑋 − 56
[32𝑋 − 120 − 40𝑋 + 440] = 14𝑋 − 28 + 8𝑋 − 56
32𝑋 − 40𝑋 − 14𝑋 − 8𝑋 = −28 − 56 + 120 − 440
−30𝑋 = −404
−404 202
𝑋=
=
−30
15
9. −(4𝑥 − 5) + (6𝑥 + 12) = (𝑥 + 7) + (8 − 2𝑥) − (10 − 1)
−4𝑋 + 20 + 6𝑋 + 12 = 𝑋 + 7 + 8 − 2𝑋 − 9
−4𝑋 + 6𝑋 − 𝑋 + 2𝑋 = 7 + 8 − 9 − 20 − 12
3𝑋 = −26
−26
26
𝑋=
=−
3
3
10. 10(3𝑥 − 12) = 11(3𝑥 − 10) + 25
30𝑋 − 120 = 33𝑋 − 110 + 25
30𝑋 − 33𝑋 = −110 + 25 + 120
−3𝑋 = 35
35
𝑋=−
3
11. 7(𝑥 − 12) + 24(2𝑥 − 5) = 3[2(4𝑥 − 15) − 26]
7𝑋 − 84 + 48𝑋 − 120 = 24𝑋 − 90 − 78
7𝑋 + 48𝑋 − 24𝑋 = −90 − 78 + 84 + 120
31𝑋 = 36
36
𝑋=−
31
12. 3(𝑥 − 2) + 5(𝑥 − 3) = [3(2𝑥 − 5) + 2(𝑥 − 5)] + 2(𝑥 + 1)
3𝑋 − 6 + 5𝑋 − 15 = 6𝑋 − 15 + 2𝑋 − 10 + 2𝑋 + 2
3𝑋 + 5𝑋 − 6𝑋 − 2𝑋 − 2𝑋 = −15 − 10 + 2 + 6 + 15
−2𝑋 = −2
𝑋=1
13. Plantear cada una de las expresiones matemáticas
a. El doble o duplo de un número:
2𝑋
b. El triple de un número:
3𝑋
c. El cuádruplo de un número:
4𝑋
d. La mitad de un número: .
𝑋
2
e.
f.
Un tercio de un número:
Un cuarto de un número:
𝑋
3
𝑋
4
g. Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...:
h. Un número al cuadrado:
𝑋2
i.
Un número al cubo:
𝑋3
j.
Dos números consecutivos: .
𝑋,
𝑋+1
k. Dos números consecutivos pares:
2𝑋,
2𝑋 + 2
l.
Dos números consecutivos impares:
2𝑋 + 1,
2𝑋 + 3
m. Descomponer 24 en dos partes:
24
𝑋,
𝑋
n. La suma de dos números es 24:
𝑋 + 𝑌 = 24
o. La diferencia de dos números es 24:
𝑋 − 𝑌 = 24
p. El producto de dos números es 24:
𝑋. 𝑌 = 24
q. El cociente de dos números es 24;
𝑋
= 24
𝑌
14. Plantee los siguientes enunciados matemáticos y resuélvalos por
el método de ecuaciones de primer grado.
a. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será
la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
Papa = 35 Pasados unos años el Papa tiene = 35 + X
Hijo = 5 Pasados unos años el hijo tiene = 5 + X
Papa = 3 Hijo
35 + X = 3(5 + X)
35 + X = 15 + 3X
X = 10
b. En una bodega se mezclan 6 Hl. de vino de alta calidad que cuesta
a 3.00€/Hl., con 10 Hl. de vino de calidad inferior a 2.20€/HL. ¿A
cómo sale el litro del vino resultante? Sol: 2,5 €
VINO ALTA
VINO MEDIA
TOTAL
LITROS
6,0
10,0
16
PRECIO
3,0
2,2
X
18,0
22,0
16X
18 + 22 = 16x
40 = 16x
X = 2.5
c. El dueño de un restaurante mezcla 3 litros de aceite a 4€ el litro
con 2 litros de otro aceite de mejor calidad que cuesta a 7€ el
litro. ¿A cómo le sale el litro de mezcla? Sol: 5,2€/l.
A MEDIO
A. FINO
TOTAL
LT
3
2
5
PRECIO
4
7
X
12
14
5X
12 + 14 = 5x
26 = 5x
X = 5.2
d. Se mezclan 300 Kg. de pintura de 30€ el kilo con 200 Kg. de otra
pintura más barata. De esta forma, la mezcla sale a24€ el kilo.
¿Cuál es el precio de la pintura barata? Sol: 15€/Kg.
PINTUR C
PINTURA B
TOTAL
CANT
300
200
500
PRECIO
30
X
24
9000
200X
12000
9000 + 200X = 12000
200X = 12000 -9000
200X = 3000
X = 15
e. Mezclando 15 Kg. De arroz de 1€/Kg. con 25 Kg. de arroz de otra
clase, se obtiene una mezcla que sale a 1,30€/Kg. ¿Cuál será el
precio de la segunda clase de arroz? Sol: 1,48€/Kg.
ARROZ 1
ARROZ 2
TOTAL
CANT
15
25
40
PRECIO
1
X
1,3
15
25X
52
15 + 25X = 52
25X = 52 – 15
f.
g.
h.
i.
25X = 37
X = 1.48
Juanjo tiene el doble de edad que Raúl y Laura, tres años más que
Juanjo. Si la suma de sus edades es 38, ¿cuál es la edad de cada
uno? Sol: 14, 7 y 17 años respectivamente.
JUANJO = 2RAUL
2X = 2(7) = 14
LAURA = 3 + JUANJO
3 +2X = 3 + 2(7) = 17
RAUL = X
X
=7
JUANJO + LAURA + RAUL = 38
2X + 3 + 2X + X = 38
5X = 35
X=7
María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41
años. Dentro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad
del padre. ¿Qué edad tiene cada uno? Sol: Luis15 y María 20.
MARIA = 5 + LUIS = 5 + X PASADOS 6 AÑOS 5 + X + 6
LUIS = X
PASADOS 6 AÑOS X + 6
PAPA = 41
PASADOS 6 AÑOS 41 + 6 = 47
MARIA + LUIS = PAPA
5 + X + 6 + X + 6 = 47
2X + 17 = 47
2X = 30
X = 15
LUIS = 15
MARIA = 15 + 5 = 20
La edad de Alicia es el cuádruplo de la de Pablo, pero dentro de
16 años será solamente el doble. Halla la edad actual de Alicia y
de Pablo. Sol: Pablo8 y Alicia 32 años.
ALICIA = 4 PABLO = 4X
PASAN 16 AÑOS = 4X + 16
PABLO = X
PASAN 16 AÑOS = X + 16
ALICIA = 2 PABLO
4X + 16 = 2(X + 16)
4X + 16 = 2X + 32
4X – 2X = 32 – 16
2X = 16
X=8
PABLO = 8 AÑOS
ALICIA = 4(8) 32 AÑOS
La base de un rectángulo es doble que la altura, y el perímetro
mide 78cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. R 13 26.
ALTURA = X 13
j.
k.
BASE = 2X 2(13) = 26
PERIMETRO = 2BASE + 2ALTURA = 78
2(2X) + 2(X) = 78
4X + 2X = 78
6X = 78
X = 13
Sabemos que el perímetro de un rectángulo es de 50m y que la
base es 5m más larga que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones
del rectángulo? Sol: Altura es 10m y la base es 15m.
PERIMETRO = 50 M
X
2(X) + 2(X + 5) = 50
X+5
2X + 2X + 10 = 50 X = 10M
Calcular la longitud de los lados de un triángulo isósceles,
sabiendo que el perímetro mide 50cm y que el lado desigual es 7
cm menor que uno de los lados iguales. Sol: 19cm y el lado
desigual 12cm.
PERIMETRO = 50 CM
X + X + X – 7 = 50
X
X = 19cm
3X = 57
X = 19CM
X – 7 = 12cm
En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 5cm
más largo que el lado desigual. El perímetro mide 55cm. ¿Cuánto
mide cada lado? Sol: 15cm y 20 cm.
PERIMETRO = 55 CM
X + 5 + X + 5 + X = 55
X+5
X + 5 = 20cm
3X + 10 = 55
3X = 45
X = 15
X = 15cm
m. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es
ese número? Sol: 18
NUMERO = X
𝑋
𝑋 − 12 =
3
3(𝑋 − 12) = 𝑋
3𝑋 − 36 = 𝑋
l.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
u.
v.
w.
2𝑋 = 36
𝑋 = 18
La suma de tres números naturales consecutivos es igual al
cuádruplo del menor. ¿De qué número se trata? Sol: 3, 4 y 5.
No 1 = X
=3
No 2 = X + 1
=3+1=4
No 3 = X + 2
=3+2=5
No1 + No2 + No3 = 4No1
X + X + 1 + X + 2 = 4X
3X + 3 = 4X
X=3
Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su
quíntuplo. ¿Cuál es ese número? Sol: el 0 y el 7.
NUMERO = X
𝑋 2 − 2𝑋 = 5𝑋. Ecuación Cuadrática
𝑋 2 − 7𝑋 = 0
𝑋(𝑋 − 7) = 0
𝑋=0𝑌𝑋=7
El producto de un número natural por su siguiente es igual a 210.
¿De qué número se trata? Sol:14
NUMERO = X
𝑋(𝑋 + 1) = 210. Ecuación Cuadrática
𝑋 2 + 𝑋 − 210 = 0
(𝑋 + 15)(𝑋 − 14) = 0
𝑋 = −15 𝑌 𝑋 = 14
Halla un número tal que su doble aumentado en una unidad sea
igual que su triple disminuido en tres unidades. Sol: 4
NUMERO = X
2𝑋 + 1 = 3𝑋 − 3
−𝑋 = −4
𝑋=4
La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuáles son esos
números? Sol: 47, 48, 49.
No1 = X
= 47
No2 = X+1 = 48
No3 = X+2 = 49
𝑁𝑜1 + 𝑁𝑜2 + 𝑁𝑜3 = 144
𝑋 + (𝑋 + 1) + (𝑋 + 2) = 144
3𝑋 + 3 = 144
3𝑋 = 141
𝑋 = 47
Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo que su
suma es igual al cuádruplo del menor. Sol: 3, 4,5.
No1 = X
=3
No2 = X+1 = 4
No3 = X+2 = 5
𝑁𝑜1 + 𝑁𝑜2 + 𝑁𝑜3 = 4𝑋
𝑋 + (𝑋 + 1) + (𝑋 + 2) = 4𝑋
3𝑋 + 3 = 4𝑋
𝑋=3
La suma de dos números pares consecutivos es 102. Halla esos
números.
(50 y 52).
No1 = X
= 50
No2 = X+2 = 52
𝑁𝑜1 + 𝑁𝑜2 = 102
𝑋 + (𝑋 + 2) = 102
2𝑋 + 2 = 102
𝑋 = 50
La suma de tres números impares consecutivos es 69. Busca los
números. (21,23 y25)
No 1 = X
= 21
No 2 = X + 2
= 21 + 2 = 23
No 3 = X + 4
= 21 + 4 = 25
No1 + No2 + No3 = 69
X +(X + 2) + (X + 4) = 69
3X + 6 = 69
3X = 63
X = 21
La suma de dos números pares consecutivos es 210. Halla esos
números.
(104 y 106)
No1 = X
= 104
No2 = X+2 = 104+2 = 106
𝑁𝑜1 + 𝑁𝑜2 = 210
𝑋 + (𝑋 + 2) = 210
2𝑋 + 2 = 210
2𝑋 = 208
𝑋 = 104
La suma de dos números es 32 y uno de ellos es la séptima parte
del otro. Halla los dos números. ( 4 y 28).
𝑁𝑜1 = 𝑋 = 28
𝑋
28
𝑁𝑜2 = =
=4
7
7
𝑁𝑜1 + 𝑁𝑜2 = 32
𝑋
= 32
7
7𝑋 + 𝑋 = 224
8𝑋 = 224
𝑋 = 28
Si dos números son tales que uno es el cuádruplo del otro y su
suma es 125.¿Cuáles son esos números? (25 y100).
𝑁𝑜1 = 𝑋 = 25
𝑁𝑜2 = 4𝑋 = 4(25) = 100
𝑁𝑜1 + 𝑁𝑜2 = 125
𝑋 + 4𝑋 = 125
5𝑋 = 125
𝑋 = 25
Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de 4 años tendrá el
doble. ¿Qué edad tiene cada uno? (Manuel 12 y Luis 28).
𝐿𝑈𝐼𝑆 = 16 + 𝑀𝐴𝑁𝑈𝐸𝐿 = 16 + 𝑋 = 16 + 12 = 28 16 + 𝑋 + 4
𝑀𝐴𝑁𝑈𝐸𝐿 = 𝑋 = 12
𝑋+4
16 + 𝑋 + 4 = 2(𝑋 + 4)
𝑋 + 20 = 2𝑋 + 8
−𝑋 = −12 ENTONCES 𝑋 = 12
María tiene 30 años más que Luis y dentro de 7 años tendrá el
triple. ¿Qué edad tiene cada uno? (María 38 años y Luis 8).
𝑀𝐴𝑅𝐼𝐴 = 30 + 𝐿𝑈𝐼𝑆 = 30 + 𝑋 = 30 + 8 = 38 30 + 𝑋 + 7
𝑀𝐴𝑁𝑈𝐸𝐿 = 𝑋 = 8
𝑋+7
30 + 𝑋 + 7 = 3(𝑋 + 7)
𝑋 + 37 = 3𝑋 + 21
−2𝑋 = −37 + 21 ENTONCES 𝑋 = 8
Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es
el número?36
𝑁𝑈𝑀𝐸𝑅𝑂 = 𝑋
𝑋
2𝑋 − = 54
2
4𝑋 − 𝑋 = 108
3𝑋 = 108
𝑋 = 36
La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus
dimensiones si el perímetro mide 30 cm?5 y 10.
𝑋+
x.
y.
z.
1.
2.
ALTURA = X = 5
3.
4.
5.
6.
BASE = 2X 2(5) = 10
2(𝐵𝐴𝑆𝐸𝑆) + 2(𝐴𝐿𝑇𝑈𝑅𝐴𝑆) = 𝑃𝐸𝑅𝐼𝑀𝐸𝑇𝑅𝑂
2(2𝑋) + 2(𝑋) = 30
4𝑋 + 2𝑋 = 30
6𝑋 = 30
𝑋=5
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y
triple número de niños que de hombres y mujeres juntos.
¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la
componen 96 personas?8, 16, 72.
𝑀𝑈𝐽𝐸𝑅𝐸𝑆 = 2𝐻𝑂𝑀𝐵𝑅𝐸𝑆 = 2𝑋 = 2(16) = 32
3𝑁𝐼Ñ𝑂𝑆 = 𝐻𝑂𝑀𝐵𝑅𝐸𝑆 + 𝑀𝑈𝐽𝐸𝑅𝐸𝑆 = 𝑋 + 2𝑋 = 16 + 32 = 48
𝐻𝑂𝑀𝐵𝑅𝐸𝑆 = 𝑋 = 16
𝑀𝑈𝐽𝐸𝑅𝐸𝑆 + 𝐻𝑂𝑀𝐵𝑅𝐸𝑆 + 𝑁𝐼Ñ𝑂𝑆 = 96
2𝑋 + 𝑋 + (𝑋 + 2𝑋) = 96
6𝑋 = 96
𝑋 = 16
Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el
bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad
del bidón.80
𝐴𝐶𝐸𝐼𝑇𝐸 = 𝑋
7
3
𝑋 − 𝑋 + 38 = 𝑋
8
5
40𝑋 − 35𝑋 + 1520 = 24𝑋
−19𝑋 = −1520
𝑋 = 80
Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116
patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?23, 12.
𝐶𝐸𝑅𝐷𝑂𝑆 = 35 − 𝑋 = 35 − 12 = 23
𝑃𝐴𝑉𝑂𝑆 = 𝑋 = 12
𝑃𝐴𝑇𝐴𝑆𝐶𝐸𝑅𝐷𝑂𝑆 + 𝑃𝐴𝑇𝐴𝑆𝑃𝐴𝑉𝑂𝑆 = 116
4(35 − 𝑋) + 2𝑋 = 116
140 − 4𝑋 + 2𝑋 = 116
−2𝑋 = −24
𝑋 = 12
Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de
gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera,
consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda
etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:
1. Litros de gasolina que tenía en el depósito. 24
2. Litros consumidos en cada etapa. 16 4
𝐺𝐴𝑆𝑂𝐿𝐼𝑁𝐴 = 𝑋
7.
8.
2
1
2
𝑋 + (𝑋 − 𝑋) = 20
3
2
3
2
1 1
𝑋 + ( 𝑋) = 20
3
2 3
2
1
𝑋 + ( 𝑋) = 20
3
6
4𝑋 + 𝑋 = 120
5𝑋 = 120
𝑋 = 24
En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su
dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le
quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía
Ana?54
𝐷𝐼𝑁𝐸𝑅𝑂 𝐴𝑁𝐴 = 𝑋
1
2 2
𝑋 − ( 𝑋 + ( 𝑋) = 12
3
3 3
1
4
𝑋 − 𝑋 − 𝑋 = 12
3
9
9𝑋 − 3𝑋 − 4𝑋 = 108
2𝑋 = 108
𝑋 = 54
Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una
hora más tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección y
sentido un coche a 60 km/h. Se pide:
1. Tiempo que tardará en alcanzarle.3
2. Distancia al punto de encuentro. 120
B =60k/h A=40k/h
C
40
X
El móvil que sale de primero en una hora hace 40 km y seria la
distancia que separa los móviles.
El recorrido para ambos es el mismo, pero con diferencia de una
hora menos para B.
𝑀𝑂𝑉𝐼𝐿 𝐴 = 40 + 𝑋 = 40𝑡
𝑀𝑂𝑉𝐼𝐿 𝐵 = 40 + 𝑋 = 60(𝑡 − 1)
Si igualamos las dos expresiones tenemos que:
60(𝑡 − 1) = 40𝑡
60𝑡 − 60 = 40𝑡
60𝑡 − 40𝑡 = 60
𝑡=3
La distancia recorrida por el móvil B es
𝑋 = 60(𝑡 − 1) = 60(3 − 1) = 60(2) = 120
9. Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de
las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a
seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?54.
𝐷𝐸𝐶𝐸𝑁𝐴𝑆 = 𝑋 + 1 = 4 + 1 = 5
𝑈𝑁𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸𝑆 = 𝑋 = 4
10(𝑋 + 1) + 𝑋 = 6[(𝑋 + 1) + 𝑋]
10𝑋 + 10 + 𝑋 = 6[2𝑋 + 1]
10𝑋 + 10 + 𝑋 = 6[2𝑋 + 1]
11𝑋 + 10 = 12𝑋 + 6
𝑋=4
10. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15
años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad del padre era
doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.32
3
𝐽𝑈𝐴𝑁 = 𝑋 − 15 = 19
4
𝑃𝐴𝐷𝑅𝐸 = 𝑋 = 19 + 15 = 34
3
2( 𝑋 − 15 − 4) = 𝑋 − 4
4
3
2( 𝑋 − 19) = 𝑋 − 4
4
6
𝑋 − 38 = 𝑋 − 4
4
6𝑋 − 152 = 4𝑋 − 16
2𝑋 = 136
𝑋 = 68
Lic. SIMEÓN CEDANO ROJAS
TALLER NUMEROS REALES34.DOCX