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GEOMETRIA ANALITICA
1. DEFINICION
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras
geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en
un determinado sistema de coordenadas.
2. LA LINEA RECTA
A. DEFINICION: En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una
misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está
compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos
puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en
una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.
En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante
una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano
cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está
relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que
definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u
"ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical
en el plano.
B. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Cuando los puntos se encuentran ubicados
sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas,
la distancia queda determinada por la relación:
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)
X1=7, X2=4, Y1=5 y Y2=1
d = 5 unidades
C. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Un segmento, es la recta limitado por dos
puntos, llamados puntos extremos o finales Así, dado dos puntos A y B y se
representa por
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:A(X1, Y1) y B(X2, Y2)
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de
las coordenadas de los puntos extremos.
EJEMPLO: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.
DE A(3,9) y B(-1,5)
Es decir, que el punto medio es (1,7)
D. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:
a. A(-7, 4), B(6, 4)
b. A(3, 4), B(3, 9)
c. A(-5, 11), B(0, -1)
2. Calcula el valor de k para que la distancia de A(-1, 4) a B(k, 1) sea igual a 5.
3. Halla las coordenadas de dos puntos tales que la distancia entre ellos sea igual
a 4.
4. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud
de sus lados:
a. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6)
b. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)
3. ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA
A. DEFINICION:La ecuación general de una línea recta es de la forma
y =mx+b ,donde la m es la pendiente o inclinación de la recta con el eje x y
la b es el punto de intersección de la recta con el eje y
B. ECUACION DE LA RECTA PENDIENTE Y PUNTO DE INTERSECCION
Para hallar la ecuación de la recta conociendo la pendiente m y el punto de
intersección b, se reemplaza los valores de la m y la b en la forma y=mx+b
EJEMPLO: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e
intercepto b = 10.
Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan:
m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x + 10
C. ECUACION DE LA RECTA PENDIENTE Y PUNTO
Para hallar la ecuación de la recta conociendo la pendiente m un punto
cualquiera A(X1,Y1),se utiliza la siguiente expresión:
y=m(x-x1)+y1
EJEMPLO: Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por el punto A(-5, 4) y
tiene una pendiente de m =2.
En A (-5,4),x1=-5 y y1=4 y m=2
Reemplazo estos valores en la expresión y=m(x-x1)+y1
y=2(x+5)+4
y=2x+10+4
y=2x+14
Luego, trasponiendo términos:y-2x-14=(ecuación de la recta)
NOTA:en –x1,se coloca el valor de la x1con signo contrario
D. ECUACION DE LA RECTA CON DOS PUNTO
Para hallar la ecuación de la recta conociendo dos puntos cualquiera
A(X1,Y1) y B(X2,Y2),se utiliza la siguiente expresión:
y=
𝒀𝟐 −𝒀𝟏
𝑿𝟐 −𝑿𝟏
(𝒙 − 𝒙𝟏 ) + 𝒚𝟏
O también se puede utilizar:
EJEMPLO: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P(1,2) y Q(3,4)
Para el punto P,x1=1 y y1=2
Para el punto Q,x2=3 y y2=4
y=
𝒀𝟐 −𝒀𝟏
𝑿𝟐 −𝑿𝟏
y=
𝟒−𝟐
(𝒙 −
𝟑−𝟏
(𝒙 − 𝒙𝟏 ) + 𝒚𝟏
𝟏) + 𝟐
𝟐
𝟐
y= (𝒙 − 𝟏) + 𝟐
y=𝟏(𝒙 − 𝟏) + 𝟐
y=x-1+2
y=x+1 (transponiendo términos)
y-x-1=0
O también se puede resolver
𝑦−2
𝑥−1
𝑦−2
𝑥−1
=
=
4−2
3−1
2
2
𝑦−2
𝑥−1
=
1
1
𝑦−2=𝑥−1
𝑦 − 𝑥 − 1 = 0 (transponiendo terminos)
4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
A. RECTAS PARALELAS:dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son
iguales,es decir: m1=m2
B. RECTAS PERPENDICULARES:dos rectas son perpendiculares,cuando el
producto de sus pendientes es igual a -1,es decir:m1*m2=-1
C. RECTAS SECANTES:Dos rectas son secantes cuando el producto de sus
pendientes nos da un valor diferente de -1 y ademas sus pendientes son
desiguales,es decir: m1*m2≠-1 y m1≠m2
5. REPASO DE POLIGONOS
A. DEFINICION: En geometría, un polígono es una figura plana compuesta
por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran
una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los
puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono
es llamado área
tambien se puede definir como: es la región del plano limitada por tres o
más segmentos.
B. ELEMENTOS:
I.
II.
III.
Lados: Son los segmentos que lo limitan(a,b,c y d)
Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados(A,B,C y D)
Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados
consecutivos(α,β,δ y Υ)
Suma de ángulos interiores de un polígono:
Si n es el número de lados de un polígono:
(n − 2) · 180°
IV.
Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no
consecutivos
Número de diagonales de un polígono:
Si n es el número de lados de un polígono: n · (n − 3) / 2
C. CLASIFICACION
I.
SEGÚN SUS LADOS:
II.
a. Triangulos: Tienen 3 lados.
b. Cuadrilateros: Tienen 4 lados.
c. Pentagono: Tienen 5 lados.
d. Hexagono: Tienen 6 lados.
e. Heptagono: Tienen 7 lados.
f. Octagono: Tienen 8 lados.
g. Eneagono: Tienen 9 lados.
h. Decagono: Tienen 10 lados.
i. Endecagono: Tienen 11 lados.
j. Dodecagono: Tienen 12 lados.
SEGÚN SUS ANGULOS:
a. Convexos: Todos sus ángulos menores que 180°.
Todas sus diagonales son interiores.
b. Concavos: Si un ángulo mide más de 180°.
Si una de sus diagonales es exterior.
D. POLIGONOS REGULARES: Un polígono regular es el que tiene sus
ángulos iguales y sus lados iguales.
I.
Elementos de un polígono regular
a. Centro: Punto interior que equidista de cada vértice.
b. Radio: Es el segmento que va del centro a cada vértice.
c. Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado.
d. Ángulo central de un polígono regular: Es el formado por
dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono:
Ángulo central = 360° / n
Ángulo central del pentágono regular= 360° / 5 = 72º
e. Ángulo interior de un polígono regular;Es el formado por
dos lados consecutivos.
Ángulo interior = 180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
f. Ángulo exterior de un polígono regular:
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado
consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es
decir, que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
E. EL TRIANGULO
I.
DEFINICION:El triángulo es un polígono de tres lados.El
triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se
denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados
vértices. Los triángulos son los únicos polígonos que no tienen
diagonales.
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las
mismas letras de los vértices opuestos.
Los vértices de un triángulo se escriben con
letras mayúsculas.
Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.
II.
PROPIEDADES:
a. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros
dos y mayor que su diferencia.
b. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a
180°.
c. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos
interiores no adyacentes.
d. A mayor lado se opone angulo mayor y a menor lado se
opone angulo menor.
e. A angulos iguales se opone lados iguales.
III.
IV.
CLASIFICACION
a. Según sus angulos:
1) Triángulo acutángulo:es el triangulo que tiene los tres
angulos agudos.
2) Triángulo rectángulo: es el triangulo que tiene un ángulo
recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores
son los catetos.
3) Triángulo obtusángulo:es el triangulo que tiene un
angulo obtuso
b. Según sus lados:
1) Triángulo equilátero:es el triangulo que tiene los tres
lados iguales y por tanto los tres angulos iguales de 60º
2) Triángulos isósceles: es el triangulo que tiene los dos
lados iguales y por tanto dos angulos iguales.
3) Triangulo escaleno:es el triangulo que tiene los tres
lados desiguales.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIANGULO
a. Medianas y Baricentro:Se llama mediana a la recta que
une un vértice con la mitad del lado opuesto. En un
triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto G
llamado Baricentro que es el centro de gravedad del
triángulo. Cada mediana divide al triángulo en dos
triángulos de igual área. Además el Baricentro dista doble
del vértice que del punto medio del lado.
b. Mediatrices y Circuncentro:La mediatriz de un segmento
es la recta perpendicular en su punto medio. Las
mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus
lados. El punto O donde se cortan las tres mediatrices se
llama Circuncentro y equidista, es decir, está la misma
distancia de los tres vértices A, B y C, es por eso que
pertenece a las tres mediatrices. La circunferencia que
pasa por los tres vértices se llama Circunferencia
Circunscrita.
c. Alturas y Ortocentro:La altura en un triángulo es la
perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. En
un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto
llamado Ortocentro. Se puede ver que si trazamos por
cada vértice una paralela al lado opuesto se obtiene otro
triángulo cuyas mediatrices son justamente las alturas del
triángulo primitivo.
d. Bisectrices e Incentro:Se llama bisectriz a la recta que
divide un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un
triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El punto I donde
se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro,
equidista de los tres lados y por eso podemos construir una
circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo.
Dicha circunferencia se llama Circunferencia Inscrita y es la
circuferencia más "grande" que se puede definir
completamente contenida dentro del triángulo.
I.
II.
F. CUADRILATEROS
DEFINICION: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.La suma de
los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
CLASIFICACION
a. PARALELOGRAMOS:Son los cuadrilateros que tienen lados
paralelos iguales y son:
1) CUADRADO: Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.
2) RECTANGULO: Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos
rectos.
3) ROMBO: Tiene los cuatro lados iguales y los ángulos continuos
desiguales
4) ROMBOIDE: Tiene lados iguales dos a dos y los ángulos
continuos desiguales
b. TRAPECIOS: Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados
base mayor y base menor. Se clasifican en:
1)
TRAPECIO RECTANGULO: Tiene un ángulo recto.
2) TRAPECIO ISOSCELES:es el trapecio que tiene los lados no
paralelos iguales
3) TRAPECIO ESCALENO: No tiene ningún lado igual ni ángulo
recto.
c. TRAPEZOIDES: Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni
paralelo.