Download aplicación de la derivada

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¿Por que se utiliza la derivada?
◦ Para conocer la variación de una magnitud en
función de otra.
 La derivada nos permite conocer por ejemplo:
 la variación del espació en función del tiempo.
 El crecimiento de una bacteria en función del tiempo.
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Para conocer la variación de una magnitud en
función de otra.
 La derivada nos permite conocer por ejemplo:
 El desgaste de un neumático en función del tiempo.
 Los beneficios en función del tiempo.
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¿Pero la variación de una magnitud va ser
siempre en función del tiempo?.
La respuesta es negativa, ya que por ejemplo: si calculamos la
derivada en una función, calculamos la variación de y en función
de x.
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La derivadas se puede utilizar en cualquier
situación de la vida real.
Pero en esta tema nos vamos a centrar en:
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◦
◦
◦
La
La
La
La
aplicación en
aplicación de
aplicación de
aplicación en
la
la
la
la
Física.
medicina.
ingeniería y la tecnología.
economía.
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En el ámbito de la Física.
En cualquier situación de la vida real que se
relacione el espacio en función del tiempo, se
puede aplicar la derivada.
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En el ámbito de la Física.
La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo.
1 2
x(t )  x0  v0t  at
2
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La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiempo
dx
 v(t )  v0  at
dt
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La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la
2ª derivada del espacio respecto al tiempo
d 2x
 a(t )
2
dt
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En el ámbito de la Física.
Un cochecito teledirigido se mueve según la ecuación d=0.2t2+0.03t3, para
una 0<t<20 (d en metros y t en segundos)
a) Halla su velocidad en los instantes 2s, 8s, 15s, 19s.
b) ¿En qué instante su velocidad es de 10 m/s?
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En el ámbito de la ingeniería.
En muchos de los problemas de la ingeniería
se utiliza la derivada. Ejemplos:
du  dq  dw  dq  pdv
dh  du  pdv  vdp
df  du  Tds  du  Tds  sdT  dq  pdv  Tds  sdT
dg  dh  Tds  sdT  du  pdv  vdp  Tds  sdT
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Termodinámica: Estudiar los fenomenos de
transmisión de calor.
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En el ámbito de la ingeniería.

Electricidad: circuitos RLC
di
d 2i i
R L 2  0
dt
dt
C
d 2 v R dv 1
V


v
2
dt
L dt LC
LC
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En el ámbito de la ingeniería.
En muchos de los problemas de la ingeniería se
utiliza la derivada. Ejemplos:
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Para conocer el consumo eléctrico del país en un
determinado instante.
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En el ámbito de la ingeniería.
En muchos de los problemas de la ingeniería se
utiliza la derivada. Ejemplos:
En problemas de dinámica de fluidos, para
conseguir una mejor aerodinámica.
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En el ámbito de la ingeniería.
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Si una catenaria entre dos torres está definida por la función:
y
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1 2 x2
(e
 e 2 x  1,5)
10
Donde x e y se miden en hectómetros, halla la altura que tiene el cable en el
punto más bajo entre las dos torres.?
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En el ámbito de la medicina
En la medicina también se usa la derivada, de hecho muchas de las enfermedades
pueden ser descritas por ecuaciones, en las que se estudian el crecimiento de
bacterias o células malignas, es decir el número de bacterías en un instante
determinado.
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En el ámbito de la medicina
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La estatura del feto a lo largo del embarazo viene dado por la función:
x 3 3x 2 x
f ( x) 

  10
125 10 3
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Donde x se mide en semanas, e y, en centímetros. Calcula:
◦ ¿Si el embarazo dura 40 semanas cual es la altura del niño al nacer?
◦ ¿En qué momento crece más rápidamente el feto?
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En el ámbito de la medicina
En una ciudad de 250000 habitantes hay una epidemia de gripe, y la función que
define el número de enfermos es:
f ( x)  1000  150 x  10 x 2
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Donde x se mide en días. ¿Cuál es el día en el que hay mayor número de enfermos?
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En el ámbito de la Economía
En este ámbito existen muchas aplicaciones,
ya que el objetivo de cualquier empresa es
maximizar unos beneficios y minimizar unos
costes.
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En el ámbito de la economía
Maximizar o minimizar es el objetivo
cualquier problema de optimización.
de
Un problemas de optimización, consiste en
calcular el máximo o mínimo sujeto a unas
condiciones.
Calcular el máximo o
utilización de la derivada.
mínimo,
implica
la
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En el ámbito de la economía
Los valores de las acciones de una determinada empresa a lo largo de los 12
meses de un año, están definidos por la función:
x 3 3x 2
f ( x) 

 x  10
125 10
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Donde x es el mes y es el valor de cada acción en euros. Calcula:
◦ ¿El valor de las acciones al inicio y al final del año?
◦ ¿En que mes se alcanzo el valor máximo y el mínimo de las acciones?
◦ ¿El valor máximo y mínimo de las acciones?

Hidráulica:
P
   (V  )u  g x   2u
x
P
   (V  )v  g y   2 v
y
P
2
   (V  ) w  g z   w
z

Predicción meteorológica:
dV
1
  p  g  2xV  F
dt

dq
dT
dp
dQ  L
 cp

dt
dt
dt
1 d m
1 dq
  V 
 m dt
1  q dt

Química: velocidades de reacción
2 A  A2
dC A
  K  C A2
dt