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TEMA 9 * 4º ESO Opc B SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 1 TEMA 9.2 * 4º ESO Opc B LÍMITE DE UNA SUCESIÓN @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 2 Límite de una sucesión • Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N. • Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican: • |an – a| < r • El límite se representa por la notación. • Lím • noo • • Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente. En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo an = a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 3 • • • • • • • Ejemplo 1 • • • • • Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’9, a100 = 1’99 • • • • • • Hallamos el término pedido: | an - a | < r | an - 2 | < 0,001 2n – 1 2n – 1 – 2n | -------- - 2 | < 0,001 | ----------------- | < 0,001 n n 1/n < 0,001 1 < 0,001.n 1/0,001 < n n > 1000 n=1001 2n - 1 Sea la sucesión an = -------n Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término a10 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima. Lím an = 2 noo Hallamos la distancia de a10 al límite | a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 4 • • • • • • • Ejemplo 2 • • • • Hallamos el valor de algunos términos: b1 = -0’5, b20 = -2’7619, b2000 = -2’9975 Lím bn = - 3 noo • • Hallamos la distancia de a20 al límite | b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381 • • • • • • • Hallamos el término pedido: | bn - b | < r | bn – (-3) | < 0,0001 2 – 3n 2 – 3n + 3n + 3 | ----------- - (-3) | < 0,0001 | --------------------- | < 0,0001 n+1 n +1 5/(n+1) < 0,0001 5 < 0,0001.n + 0,0001 5 – 0’0001 < 0’0001n 4’9999 < 0,0001n 4’9999 /0’0001 < n n > 49999 n=50000 2 – 3n Sea la sucesión bn = --------n+1 Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término b20 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 5 Sucesión creciente y decreciente • Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece respecto a los términos anteriores. • Se deberá cumplir • Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece respecto a los términos anteriores. • Se deberá cumplir • Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es convergente. Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es convergente. Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente. • • @ Angel Prieto Benito an+1 – an ≥ 0 an+1 – an ≤ 0 Matemáticas 4º ESO Opción B 6 • • • • • • Ejemplo 1 • • • • Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’45, a100 = 1’495 Lím an = 1,5 noo 3n - 1 Sea la sucesión an = -------2n Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. • Crecimiento • 3(n+1) – 1 3n + 1 n(3n+2) – (n+1)(3n+1) • an+1 - an = -------------- – ----------- = ------------------------------- = • 2(n+1) 2n 2n(n+1) • 3n2 +2n – (3n2 +4n+1) – 2n – 1 – • = ------------------------------- = -------------- = ---- = – Decreciente • 2n(n+1) 2n(n+1) + @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 7 • • • • • • Ejemplo 2 • • • • • • • • • • • Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 0,5 a10 = -0,7272 a100 = -0,9703 Lím an = - 1 noo Crecimiento 2 – (n+1) 2–n (n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n) an+1 - an = -------------- – ----------- = ----------------------------------- = (n+1) + 1 n+1 (n+2)(n+1) 1 – n2 – (4 – n2) –3 – = ----------------------- = ---------------- = ---- = – Decreciente (n+2)(n+1) (n+2)(n+1) + 2–n Sea la sucesión an = -------n+1 Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 8