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UNIDAD 1.
Aritmética
ELABORO: JUAN ADOLFO ALVAREZ
MARTINEZ
http://www.uaeh.edu.mx/virtual
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Aprendiendo aritmética.
Antes de poder iniciar propiamente con el estudio de los temas de las operaciones
que se realizan en aritmética, se debe aclarar antes que nada que dichas
operaciones se definen en un conjunto que se denomina NUMEROS REALES, un
conjunto en este caso es una cantidad de elementos que cumplen todos las misma
propiedades o son afines respecto a ciertas características.
También habrá que decir por ejemplo que hay algunas cuantas excepciones, como
en casi todas las cosas, ya que por ejemplo en el caso de la división, no puede
hacerse dicha operación siempre que el denominador sea cero. Esto es muy
importante recordarlo; NO se puede dividir entre cero.
Los números reales no son otra cosa más que podemos entender de manera
sencilla, como todos aquellos que podemos localizar en la recta numérica y estos
números, están divididos a su vez en varios subconjuntos, por ejemplo, existen los
números enteros, los fraccionarios, los llamados irracionales, los negativos, etc…
Estos subconjuntos los definiremos a continuación sin tratar de entrar
exhaustivamente en su explicación, ya que en principio lo que mas interesa para
nuestros propósitos es que los conozcas pero sobre todo que los sepas aplicar.
Algunas propiedades de los números reales que se cumplen se basan en las
operaciones que se pueden hacer, es decir estas:
OPERACIONES ARITMETICAS son:
1. Suma o Adición
2. Resta o Sustracción
3. Multiplicación
4. División
5. Potenciación
6.- Radicación
Las propiedades son:
Propiedades de los números reales: IR
Son los siguientes: Si a, b, c,  IR
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1. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
2. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a+b=b+a
3. Elemento neutro:
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da
el mismo número.
a+0=a
4.Elemento inverso
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
a + (− a) = 0
Resta
La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.
a-b=c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo.
Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Al aparecer esta operación, es esencial tener en cuenta que por ejemplo para el
caso de la suma, tenemos que al sumar dos números positivos, el resultado siempre
será positivo, con cualesquiera números, pero por ejemplo en la resta no sucede lo
mismo, es decir: si tenemos:

3- 5, no da lo mismo que 5-3, porque en el primer caso el resultado tenemos
dos números positivos pero estamos al menor restando un numero mayor, y
en consecuencia el resultado YA NO pertenece a los números positivos, sino
a los negativos.
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 Caso contrario en que si tenemos 5-3, entonces el resultado SI es un positivo
por lo cual es muy importante tener en cuenta estos aspectos.
Para que puedas mejorar tu habilidad en realizar operaciones aritméticas en
números enteros, realiza los ejercicios siguientes:
SECCION A.
REALIZA SIN USAR calculadora las siguientes operaciones indicando el resultado y
en caso donde sea posible la propiedad que se usa.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
30+ 60 = 60+ 30 = ?
53 - 0 =?
130 + (- 130) =?
30 + ( 40+ 20) =?
15 – 12=?
13 – 8=?
8- 13 =?
5- 9 =?
145- 123 =?
j) Cómo puedes explicarle a algún compañero como se resuelve una resta
como en las operaciones de los incisos g)? y h) para llegar al resultado?,
ESCRIBE ALGUNOS EJERCICIOS EN LOS QUE TE APOYES PARA
EXPLICAR TU PROCEDIMIENTO.
LA MULTIPLICACION.
Sea una operación ;
a·b=c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado
(a · b) · c = a · (b · c)
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2. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a·b=b·a
3. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por
él da el mismo número.
a·1=a
4. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado
el elemento unidad.
La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.
5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
SECCION B.
Resuelve algunos ejemplos para practicar la multiplicación, indicando la propiedad
usada. EL PARENTESIS INDICA MULTIPLICACION.
A) (30 )(4) =?
B) (12) (2) (3) =?
C) 2 (3+4) = (2)(3) + (2)(4) =?
D) (6) (1) =?
E) (3)(1/3)=?
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Es momento de introducir algunos ejemplos donde aparecen operaciones e
multiplicación con números negativos y positivos. Es importante poner mucha
atención para evitar confusiones posteriormente.
Primero escribiremos algunas operaciones con positivos y luego negativos con
positivos, poner especial atención en EL SIGNO del resultado.
1.- Operación de multiplicación con positivos.
a)
b)
c)
(8) (3)(2) = 48
(5) ( 7) = 35
( 8) (6) = 48
Como es el signo del resultado al multiplicar siempre dos números positivos?
__________
Ahora hacemos multiplicaciones con números negativos:
d)
e)
(-2) (-3) = 6
( - 5) (-8) = 40
Como es el signo del resultado multiplicando dos números negativos?____________
Ahora realicemos multiplicaciones donde hay números de los dos tipos.
f) (5)( -3) = - 15
g) ( -2) ( 6) = -12
Como es el signo del resultado en las dos operaciones?___________
Como podrías explicarle a alguna persona que signo se tiene cuando se multiplican dos
números,
con
signos
contrarios?
______________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Ahora como ejercicios para analizar y pensar.
Tienes las siguientes multiplicaciones con números con diferentes signos cual es el
resultado y su signo?
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h)
i)
j)
k)
l)
(-3) (2)( 4) = ?
(5)(-2)(-2)= ?
(2)(-3)(-3)= ?
(-4)(-2)(-5)= ?
(-2)(-2)(-2)(-2)=?
Podemos deducir que en la multiplicación:
-
Al multiplicar dos números de igual signo el signo es positivo y si son de
signos diferentes, entonces el signo es negativo.
Potenciación
Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica
por si mismo la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo
general se representa bn, donde b es la base y n el exponente
Ahora voy a resolver la siguiente potencia: 54.
54
En esta operación 5 es la base y 4 el exponente.
54
Tenemos que multiplicar 5 por si mismo 4 veces.
54
5 x 5 x 5 x 5 = 625
Algunos ejemplos de potenciación:
22 = 2 x 2 = 4
43 = 4 x 4 x 4 = 64
75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16807
Tenemos también dos casos especiales:
a) Cuando el exponente es cero:
Si el exponente es cero, no importara cual sea la base, el resultado siempre
será
1.
Ejemplos:
50 = 1
110 = 1
1230 = 1
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b) Cuando el exponente es uno:
Si el exponente es 1, el resultado será el valor de la base.
Ejemplos:
01 = 0
31 = 3
431 = 43
Radicación
Es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por n√ ,
donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este ultimo ira un
numero denominado cantidad subradical.
Se buscara un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de
como resultado la cantidad subradical.
Veamos el caso de 2√25:
√25
El grado 2 se omite, es decir, cuando no encontremos grado este es 2.
√25
Buscamos un número que elevado a potencia 2 nos de 25.
√25
Se cumple: 52 = 25, entonces la respuesta será 5.
Algunos ejemplos se detallan a continuación:
3√27
=3
Porque 33 = 27
3√64
=4
Porque 43 = 64
4√81
=3
Porque 34 = 81
Ahora es momento de que Consideremos las operaciones entre números enteros y
naturales, con lo que al introducir las fracciones (números racionales) entonces se
cumple de la misma forma las propiedades de la suma y la multiplicación con sus
leyes de los signos:
Ejemplos de operaciones con racionales:
SUMA y RESTA:
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Podemos observar que se trabaja tanto con operaciones de sumas, restas y
multiplicaciones en el numerador y el denominador
Practica ahora con las siguientes operaciones para poder determinar sus resultados
y comprobar tus respuestas.
1/2 - 3/5 =
2/3 + 4/7 =
(3/8)(4 /5) =
1/5 – 3 =
3/2 + 4 =
5/6 + 2/6 =
-8/3 – 2/5 =
-2 – 3/7 =
Es momento ahora de proceder a resolver algunos ejemplos donde se aplican las
operaciones y números reales en el tema llamado
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RAZONES Y PROPORCIONES.
RAZÓN
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un
a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es
decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por
diferencia y razón geométrica o por cociente.
Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de
dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos
cantidades con el signo ― o con un punto (.).
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el
segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de
dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado,
separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las
cantidades por el signo de división (). Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe
u 84 y se lee ocho es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el
segundo. Así, en la razón 84, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
A → antecedente
B → consecuente
Algunos ejemplos:
Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años
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SOLUCIÓN: 5/7
Hallar la razón geométrica entre 60 y 12
SOLUCIÓN: 60/12 = 5,
ES DECIR 60 ES 5 VECES EL VALOR DE 12.
Hallar la razón geométrica entre 12 y 60
SOLUCIÓN: 12/60 = 1/5, ES DECIR, 12 ES 1/5 PARTE DE 60.
ALGUNOS CASOS PRÁCTICOS DONDE SE APLICAN ESTOS CONCEPTOS SE MUESTRAN A
CONTINUACIÓN:
El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5. Hallar el número menor
SOLUCIÓN:
ESCRIBIMOS:
De donde se trata conocer “x”, para lo cual multiplicamos en forma cruzada
antecedente y consecuente e igualamos así:
7(x)= 63(5)
Es decir: 7(x) = 315
de donde la “x” que andamos buscando la obtenemos mediante lo que se denomina
un “despeje” dividiendo al final de la siguiente forma:
X= 315/ 7
Quedando:
X= 45
Y si comprobamos efectivamente resulta que:
7/5 = 63/45
PROPORCIÓN
Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o por cociente
Proporción aritmética o equidiferencia, se define como la igualdad entre dos
razones aritméticas o diferencias.
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En una proporción aritmética se llaman extremos al primero y cuartos términos, y
medios al segundo y tercero términos. También reciben el nombre de antecedentes
al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto términos.
En la equidiferencia 20-5=21-6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y
21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN DONDE ENCONTRAMOS LOS TEMAS
EXPLICADOS SON LOS SIGUIENTES:
DE DONDE “X” = $30
Puede notarse que se han realizado las operaciones de multiplicación cruzada y
despeje de la incognita como ya se ha explicado.
Ejemplos para practicar y resolver:
1. Si 4 cajas de dulce cuestan $ 20, cuanto costarán 3 docenas de cajas?
2. Entre dos hermanos rentan un local; el primero renta 5/11 por lo que paga 6000
pesos, cuanto pagará el otro para completar el total?
3. Una bomba despacha
despachara? 250 litros?
40 litros de combustible en 2 minutos, en cuanto
4. Un kilogramo de fruta de cítricos vale $ 75, cuanto valdrá 200 gramos?
5. Si en 15 minutos un auto recorre 400 metros, que distancia alcanzará a recorrer
en una hora a esta misma velocidad?
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6. Por un préstamo que recibe una persona debe pagar 5% de cada 400 pesos.
Cuanto deberá pagar si pide 3600 pesos?
7. Si un vendedor de seguros por cada póliza vendida recibe $6000, y el valor de la
póliza es $75000, que porcentaje recibe por cada póliza?
8. Considerando el ejemplo anterior, si recibe en total $24000, cual es el valor total
de las pólizas vendidas y cuantas ha vendido?
9. En la república de Haití, en 1970 la razón entre el número de kilómetros
cuadrados de superficie y el número de habitantes estaba en razón 1 a 175. Si el
número de habitantes en ese momento era de 4,856,250. ¿Qué superficie tiene
Haití?
10. Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan
fiebre como reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con
fiebre. ¿Cuántos fueron vacunados?
BIBLIOGRAFIA.
Baldor A. (1998). Aritmética. México D. F. Publicaciones Cultural
ELABORO: JUAN ADOLFO ALVAREZ MARTINEZ