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Materiales de Matemáticas para 4º Curso de
E.S.O.
GEOMETRÍA 4º ESO
Actividades para las alumnas y los alumnos
Floreal Gracia Alcaine
Julio Rodrigo Martínez
(Col.lectiu Mosaic)
Dibujo : Rosario Falcó
COLECCIÓN: MATERIALES PARA EL DESARROLLO CURRICULAR. M.30
TÍTULO: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EDITA: GENERALITAT VALENCIANA, CONS. CULTURA, EDUCACIÓ I CIÈNCIA
1ª EDICIÓN
DISEÑO COLECCIÓN: VOLÚMENES ALTERADOS
I.S.B.N.: 84-482-0153-1
D.L.: V-1162-1993
IMPRESO EN ESPAÑA – PRINTED IN SPAIN
Impreso por:
ARIES COLOR S.L.
Av. Blasco Ibáñez, 22-b 46010 VALENCIA
ÍNDICE
ÍNDICE AMPLIADO
Láminas ....................................................................... 5
La Geometría, la Ciencia, el Arte, la Naturaleza
y el Diseño ............................................................ 16
Espacio - Plano ........................................................... 26
Planos y Mapas ........................................................... 43
Medida ......................................................................... 48
ÍNDICE AMPLIADO
LÁMINAS..................................................... 5
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm. ............... 6
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm. .......... 7
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm. ........................ 8
LÁMINA 4. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS I .................. 9
LÁMINA 5. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS II ................ 10
LÁMINA 6. MAPA MUNDI ..................................... 11
LÁMINA 7. ÁREA METROPOLITANA DE VALENCIA ................. 12
LÁMINA 8. PERÍMETROS Y ÁREAS ............................. 13
LÁMINA 9. ÁREAS ......................................... 14
LÁMINA 10. ÁREAS Y VOLÚMENES ............................. 15
LA GEOMETRÍA, LA CIENCIA, EL ARTE,......................... 16
LA NATURALEZA Y EL DISEÑO.................................. 16
MOSAICOS I ............................................... 18
MOSAICOS II .............................................. 19
MOSAICOS III ............................................. 20
MOSAICOS IV .............................................. 20
MOSAICOS V ............................................... 21
MOSAICOS VI .............................................. 22
MOSAICOS VII ............................................. 22
MOSAICOS VIII ............................................ 22
DISEÑO I ................................................. 24
DISEÑO II ................................................ 25
MI PUEBLO ................................................ 27
PANALES .................................................. 27
ESCHER ................................................... 28
ESPACIO - PLANO............................................ 29
POLIEDROS I .............................................. 30
POLIEDROS II ............................................. 30
POLIEDROS III ............................................ 30
LAS ESQUINAS ............................................. 31
¿CÓMO ESTA HECHO? ........................................ 31
CORTES ................................................... 32
PINTANDO CUBOS ........................................... 32
CUBO DE CUBOS ............................................ 32
EL SOMA .................................................. 33
EL CUBO DE O'BERINE ...................................... 35
EL CUBO LESK ............................................. 35
DEFINICIONES ............................................. 36
PUNTOS ALINEADOS: ........................................ 36
RELACIONANDO POLÍGONOS REGULARES ......................... 37
EL ISÓSCELES MÁXIMO ...................................... 37
EL PUNTO M ............................................... 38
EL CINE .................................................. 38
ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA ............................ 39
LOS CUATRO CÍRCULOS ...................................... 40
CUERDAS .................................................. 40
LA MITAD DE RADIO ........................................ 41
TANGENTES EXTERIORES ..................................... 41
DISTANCIA A UNA CIRCUNFERENCIA ........................... 42
DOS CLAVOS ............................................... 42
CÓNICAS .................................................. 43
LA ELIPSE ................................................
CIRCUNFERENCIAS QUE SE CORTAN ............................
PARÁBOLAS I ..............................................
PARÁBOLAS II .............................................
PLANOS Y MAPAS.............................................
CARRETERAS I .............................................
CARRETERAS II ............................................
CARRETERAS III ...........................................
MAPA I ...................................................
MAPA II ..................................................
MAPA III .................................................
LOS MONTAÑEROS ...........................................
MEDIDA.....................................................
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ........................
UNIDADES LOCALES .........................................
UNIDADES DE SUPERFICIE ...................................
INSTRUMENTOS DE MEDIDA ...................................
MEDIDAS DIRECTAS E INDIRECTAS ............................
AÑOS LUZ .................................................
ÁREA ENCERRADA ...........................................
LIMPIEZA DE PARABRISAS ...................................
¿JUEGAS AL TENIS? ........................................
LA VUELTA AL MUNDO EN 80 DÍAS ............................
EL ENGAÑO DE LOS ESPÁRRAGOS ..............................
LA ESCALERA ..............................................
UNIDAD DE VOLUMEN ........................................
LOS CAMIONES .............................................
EL CONO ..................................................
MEDIDA DE ÁNGULOS ........................................
CALCULADORA ..............................................
SUMAR Y RESTAR ...........................................
RADIANES .................................................
LA CURVA .................................................
TEOREMA DE LOS SENOS .....................................
TEOREMA DEL COSENO .......................................
COHETES ..................................................
COHETES ..................................................
ÁNGULOS ..................................................
EL ÁRBOL .................................................
LA ESTRUCTURA ............................................
ALTÍMETRO ................................................
PUNTOS INACCESIBLES ......................................
TEOREMA DE HERÓN .........................................
MASÍA TOMÁS ..............................................
MERIDIANOS Y PARALELOS ...................................
LATITUD Y LONGITUD .......................................
LATITUD Y LONGITUD .......................................
DISTANCIA ................................................
EL MAPA ..................................................
LATITUDES ................................................
TRIÁNGULO ESFÉRICO .......................................
44
44
45
45
46
47
48
48
49
49
50
50
51
52
53
54
55
56
56
57
59
60
60
61
62
62
63
63
64
65
66
66
67
68
70
70
71
71
72
72
73
73
74
74
75
75
76
76
76
77
77
LÁMINAS
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm. ............. 6
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm. .......... 7
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm. ........................ 8
LÁMINA 4. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS I .................. 9
LÁMINA 5. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS II ................ 10
LÁMINA 6. MAPA MUNDI ..................................... 11
LÁMINA 7. ÁREA METROPOLITANA DE VALENCIA ................. 12
LÁMINA 8. PERÍMETROS Y ÁREAS ............................. 13
LÁMINA 9. ÁREAS ......................................... 14
LÁMINA 10. ÁREAS Y VOLÚMENES
............................
15
5
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm. (Ver tramas)
6
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm.
7
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm.
8
LÁMINA 4. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS I
9
LÁMINA 5. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS II
10
LÁMINA 6. MAPA MUNDI
11
LÁMINA 7. ÁREA METROPOLITANA DE VALENCIA
12
LÁMINA 8. PERÍMETROS Y ÁREAS
Figura
a
Nombre
Perímetro
Triángulo
a+b+B
B*h
b
h
Área
2
B
Cuadrado
l
4l
l2
l
h
Rectángulo
2B + 2h
Bx h
Paralelogramo
2B + 2a
B xh
Rombo
4l
B
a
h
B
l
Dxd
D
d
a
2
b
h
B+b
c
Trapecio
a+b+c+B
xh
2
B
l
Perímetro * a
a
Polígono regular
nº lados x l
2
r
Círculo
2*π *r
13
π * r2
LÁMINA 9. ÁREAS
Figura
Nombre
Área
Corona circular
π ( R2 - r2 )
R
r
r
Π * r2 * nº
Sector circular
360
r
nº
Segmento
Sector - Triángulo
Sector corona
Diferencia de sectores
R
r
14
LÁMINA 10. ÁREAS Y VOLÚMENES
Cuerpo
Nombre
Área lateral
Volumen
Paralelepípedo
2ab + 2bc + 2ac
a*b*c
Cubo
6 a2
a3
Prisma recto
2B + P * h
B*h
Pirámide
regular
P*h
B*h
2
3
P*h
B+
2
B*h
B+
Cono
Cilindro
Esfera
15
3
B+P*h
B*h
4 π r2
4 π r3
3
LA GEOMETRÍA, LA CIENCIA, EL ARTE,
LA NATURALEZA Y EL DISEÑO
Mosaicos I .................................................................................................. 15
Mosaicos II ................................................................................................. 16
Mosaicos III ................................................................................................ 17
Mosaicos IV ................................................................................................ 17
Mosaicos V ................................................................................................. 18
Mosaicos VI ................................................................................................ 19
Mosaicos VII ............................................................................................... 19
Mosaicos VIII .............................................................................................. 19
Diseño I ........................................................................................................ 20
Diseño II ....................................................................................................... 21
Diseño III ..................................................................................................... 21
Mi pueblo ..................................................................................................... 22
Panales ......................................................................................................... 22
Escher .......................................................................................................... 23
16
17
MOSAICOS I
En otros cursos habrás investigado los mosaicos que se pueden construir con un solo
tipo de polígono regular y que sus vértices concurran en un punto. Estos mosaicos se
llaman mosaicos REGULARES.
¿Por qué sólo hay tres?.
18
MOSAICOS II
Para este problema necesitas una colección de polígonos regulares. Vamos a intentar
construir mosaicos que llenen el plano, pero con una condición, los polígonos que
concurran en un vértice del mosaico deben ser siempre los mismos y han de estar
situados en el mismo orden.
A este tipo de mosaicos se les llama mosaicos SEMIRREGULARES. Anímate a
encontrarlos. ¿Cómo estar seguro de que los has encontrado todos?.
Aquí tienes un ejemplo que no es válido dado que los polígonos no tienen la misma
configuración en todos los vértices.
19
MOSAICOS III
Cuando observas un mosaico como los de la Alhambra una pregunta que podemos
hacernos es: ¿cómo estará construida la baldosa que ha dado lugar al mosaico?.
Si observas el mosaico:
podríamos decir que una baldosa es
(HUESO) pero, ¿puedes encontrar otros
diseños de baldosa para construir el mosaico?.
MOSAICOS IV
El problema anterior se puede resolver trazando los ejes de simetría del mosaico, a
partir de este diseño es fácil pensar en el modulo básico.
¿Cómo se han construido los ejes de simetría en el mosaico?.
¿Cuántos ejes de simetría tiene?.
20
MOSAICOS V
Traza los ejes de simetría y construye el módulo básico de los siguientes mosaicos.
21
MOSAICOS VI
Consideramos el cuadrado, deformamos uno de sus lados y trasladamos esta
deformación a su lado opuesto.
Esta nueva baldosa, ¿teselará el plano?.
Utiliza la misma técnica para deformar otros cuadrados y comprueba si teselan el plano.
¿Qué conclusiones obtienes?.
MOSAICOS VII
La figura fue creada deformando un cuadrado. Qué pasos hay que dar para obtenerla?.
¿Se podría formar una teselación con ella?.
MOSAICOS VIII
¿Qué ocurrirá con el hexágono regular?, ¿se puede deformar los lados paralelos por
traslación, y posteriormente utilizar esta pieza para teselar el plano?.
¿Se puede hacer utilizando los seis lados dos a dos?.
22
23
DISEÑO I
Los envases de leche suelen tener forma de cilindro o de prisma de base rectangular,
¿cuál de los dos envases ahorra más espacio en el comercio al almacenarlo en las
estanterías?, ¿y en las cajas de transporte?.
Hace unos años los botes de detergente eran redondos, ¿por qué crees que ahora
tienen forma de prisma?.
Las latas de cerveza que tenemos en el comercio son cilíndricas, posiblemente porque
se adapten mejor a la mano, pero vamos a pensar en otros tipos de diseños.
Diseña y construye tres envases de cerveza de 33 cl. de volumen con las siguientes
condiciones:
- Uno de ellos debe ser cilíndrico.
- Otro debe ser un prisma hexagonal.
- Un envase que sea un prisma de base cuadrada o rectangular.
Estudia cuál es el cilindro o prisma que se construye con menos material, es decir cuál
serán las dimensiones más económicas para un envase que tenga la capacidad de 33
cl.
Elegir entre los diferentes envases en función de la economía y del espacio que ocupen
al almacenarlos.
24
DISEÑO II
En este problema nos vamos a hacer algunas preguntas sobre la forma de los objetos
de nuestra vida diaria.
Los frigoríficos son todos prismas de base cuadrada o rectangular. Uno estándar puede
tener unas dimensiones de 153 cm. x 61'5 cm. x 55 cm., y una capacidad en litros de
270.
Diseña un frigorífico cilíndrico que quepa en el mismo hueco de la cocina del anterior y
que tenga la misma capacidad.
¿Cómo deberían ser las puertas en el anterior caso?. Las bandejas del frigorífico
tradicional se pueden extraer hacia el exterior, ¿cómo serían las bandejas del frigorífico
cilíndrico?. ¿Facilitaría el uso si las bandejas girasen?.
Realiza el mismo estudio para un frigorífico hexagonal.
DISEÑO III
Estudia cómo han sido construidos los siguientes diseños:
LA rueda ilusoria (1983)
25
Triángulo imposible. Penrose
26
MI PUEBLO
Has sido designado para diseñar el plano de un pueblo donde vivirán mil personas.
Atrévete a hacerlo y en la elaboración considera todas las variables que creas
necesario.
PANALES
Las abejas realizan sus paneles en forma de hexágonos
¿Qué ventajas tiene este panal con respecto a otros que podrían haber utilizado?, por
ejemplo el triángulo o el cuadrado.
27
ESCHER
Maurits Cornelius Escher, dibujante y grabador holandés (1898-72), estudió en la
Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem y vivió en Italia (1925-34),
Suiza y Bruselas. Autor de complejas representaciones basadas en problemas
matemáticos, que ponen de relieve su virtuosismo en el empleo de la perspectiva y la
creación de formas a partir de esquemas geométricos.
Belvedere (1958) es uno de sus cuboides imposibles, analízalo.
28
ESPACIO - PLANO
Poliedros I ......................................................................................... 25
Poliedros II ........................................................................................ 25
Poliedros III ....................................................................................... 25
Las esquinas ....................................................................................... 26
¿Cómo esta hecho? ................................................................. ........... 26
Cortes ...................................................................................... .......... 27
Pintando cubos ........................................................................ .......... 27
Cubo de cubos ................................................................................... 27
El Soma ............................................................................................. 28
El cubo de O'berine ........................................................................... 30
El cubo Lesk ...................................................................................... 30
Definiciones ....................................................................................... 31
Puntos alineados ................................................................................ 31
Relacionando polígonos regulares ..................................................... 32
El isósceles máximo .......................................................................... 32
El punto M ........................................................................................ 33
El cine ............................................................................................... 33
Ángulos en una circunferencia .......................................................... 34
Los cuatro círculos ........................................................................... 35
Cuerdas ............................................................................................ 35
La mitad de radio ............................................................................. 36
Tangentes exteriores ........................................................................ 36
Distancia a una circunferencia .......................................................... 37
Dos clavos ....................................................................................... 37
Cónicas ............................................................................................ 38
La elipse ........................................................................................... 39
Circunferencias que se cortan........................................ ................... 39
Parábolas I ....................................................................................... 40
Parábolas II ...................................................................................... 40
29
POLIEDROS I
En cursos anteriores habrás investigado los poliedros regulares y recordarás que son
cinco: el cubo, el tetraedro, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Clasifícalos
según el número de planos de simetría.
POLIEDROS II
Toma un cubo y corta los vértices (siempre de la misma forma), de manera que
obtengas otro poliedro que tenga todas las caras regulares. Investiga con otro poliedro
regular. Se pueden obtener todos los poliedros regulares a través de cortes de este tipo
entre ellos mismos.
POLIEDROS III
Encuentra todos los poliedros cóncavos que se puedan construir con triángulos
equiláteros. Estos poliedros reciben el nombre de deltaedros.
30
LAS ESQUINAS
A cuatro cubos se les han cortado algunas esquinas. Sólo quedan dos cubos iguales,
¿cuáles son?.
¿CÓMO ESTA HECHO?
Tenemos un cubo construido con dos trozos de madera machihembrados: el macho de
la mitad superior entra en la hembra de la inferior.
Fíjate en la forma y en la disposición de este machihembrado y di cómo se las compuso
el carpintero para unir las dos partes, porque cada mitad está hecha de un solo trozo de
madera.
31
CORTES
Cortando un cubo por diferentes planos, obtenemos diversos polígonos:
Encuentra el rombo y el rectángulo que tenga área máxima. ¿Cuál es el área de cada
uno?.
¿Qué figura de las dos anteriores tiene mayor perímetro?. ¿Podrías demostrarlo
gráficamente?.
PINTANDO CUBOS
¿Cuál es el número mínimo de colores que se necesitan para pintar un cubo de manera
que dos caras adyacentes tengan siempre color distinto?.
Teniendo en cuenta las normas del apartado anterior, ¿cuántos cubos diferentes se
pueden obtener usando cuatro colores?.
CUBO DE CUBOS
Tengo ocho cubos. Dos de ellos están pintados de rojo, dos de verde, dos de azul, y
dos de naranja. Son indistinguibles en cualquier otro aspecto. Quiero ensamblarlos para
formar un cubo más grande, de forma que aparezcan en cada cara todos los colores.
¿De cuántas formas puedo colocar los cubos?.
32
EL SOMA
El cubo Soma es un cubo de dimensiones 3x3x3 que se construye con las siguientes
piezas:
Construye con cubos de madera esas piezas e intenta obtener el cubo 3x3x3.
33
Utilizando todas las piezas del Soma en cada caso, intenta construir las siguientes
formas:
34
EL CUBO DE O'BERINE
Con las siguientes piezas construye un cubo:
EL CUBO LESK
Construye un cubo con las siguientes piezas:
35
DEFINICIONES
Une las definiciones con las figuras que correspondan:
INCENTRO: Punto en el que se encuentran
las tres
bisectrices interiores de
un
triángulo. Es el centro de la circunferencia
inscrita en el mismo.
CIRCUNCENTRO: Punto en el que se
encuentran las tres mediatrices de los
lados de un triángulo. Es el centro de la
circunferencia circunscrita al mismo.
BARICENTRO: Punto de intersección de las
tres medianas de un triángulo, el cual
coincide con su centro de gravedad.
ORTOCENTRO:
Punto en común de
intersección de las tres alturas de un
triángulo.
PUNTOS ALINEADOS:
En todo triángulo, el baricentro, circuncentro y ortocentro están alineados. Comprueba
esta afirmación con un ejemplo.
36
RELACIONANDO POLÍGONOS REGULARES
Dibuja un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono
regular que tengan el mismo perímetro. ¿Cuál de ellos será el de mayor superficie?.
¿Podrías establecer alguna conclusión?.
EL ISÓSCELES MÁXIMO
Fíjate en la figura. Se trata de dos triángulos isósceles que evidentemente no tienen la
misma superficie. Los lados iguales miden en ambos casos l. Lo que queremos saber
es la medida del tercer lado para que la superficie del triángulo sea lo mayor posible.
l
l
l
l
37
EL PUNTO M
Dibuja una circunferencia y señala dos puntos fijos, A y B y un tercero M que se mueve
recorriendo la circunferencia.
Determina el circuncentro del triángulo AMB, para diferentes posiciones de M. ¿Qué
ocurre?. Formula conjeturas.
Repite la actividad para el incentro.
¿Qué sucederá si trabajas con el ortocentro?. ¿Y con el baricentro?.
M
B
A
EL CINE
Desde una butaca de un cine, un espectador (E), ve la pantalla bajo un ángulo de 90º.
¿Habrá otros puntos de la sala desde los que se vea la pantalla bajo el mismo ángulo?.
¿Qué pasará si el ángulo es de 60º?.
B
A
α
E
38
ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Fíjate en el cuadro que acompaña a esta actividad. Los nombres de la izquierda no se
corresponden con la figura de la derecha. Hemos dejado en blanco la columna central
para que tú los pongas en el orden correcto. Adelante.
Ángulo Central
Ángulo Inscrito
Ángulo Semiinscrito
Ángulo Externo
Ángulo Semiexterno
Ángulo Circunscrito
Ángulo Interno
39
LOS CUATRO CÍRCULOS
Dibuja un cuadrilátero cualquiera. En cada uno de los vértices del cuadrilátero dibuja un
círculo; los cuatro círculos deberán ser del mismo radio. ¿Sabrías calcular la superficie
de los arcos de círculo situados dentro del cuadrilátero?.
¿Qué ocurriría si haces lo mismo con círculos en los vértices de un triángulo?.
Amplíalos a polígonos de n lados.
CUERDAS
Utilizando la regla y el compás, encuentra la figura que forman los puntos medios de
todas las cuerdas que pasan por el punto fijo A de una circunferencia.
A
40
LA MITAD DE RADIO
En la figura puede verse la construcción de una serie circunferencias. Cada una se
traza con la mitad de radio que la anterior.
1º
2º
3º
r
4º
r
4
r
2
Estudia el radio, la longitud de la circunferencia y la superficie del círculo en función del
número de orden.
TANGENTES EXTERIORES
Construye tres circunferencias tangentes exteriores entre sí y las rectas tangentes que
se forman tomando las circunferencias dos a dos. ¿Qué puedes decir acerca de la
posición de los puntos de corte de estos pares de rectas?. ¿Qué pasaría si las tres
circunferencias no fueran tangentes exteriores?.
41
DISTANCIA A UNA CIRCUNFERENCIA
Los puntos del plano que están situados a una distancia d de una circunferencia de
radio r, forman dos circunferencias. ¿Dónde están sus centros?. ¿Cuánto valen sus
radios?.
¿Qué pasaría si en vez de una circunferencia tuviéramos una esfera?.
DOS CLAVOS
Necesitarás una tabla y un papel ambos del mismo tamaño, dos clavos, una cuerda, un
lápiz y una regla.
Fija los clavos en el tablero y únelos con la cuerda, ésta no debe quedar tensa.
Tensa el hilo con la punta del lápiz e intenta dibujar la figura que se obtiene al mover el
lápiz a la vez que el hilo queda tenso.
¿Cómo definirías esa curva?. ¿Cómo varía la figura si aumenta la longitud de la
cuerda?. ¿Y si cambia la distancia de los clavos?.
Investiga la relación que hay entre la longitud de la cuerda, la distancia entre los clavos
y las dimensiones de la figura.
42
CÓNICAS
Se denominan cónicas a las curvas que resultan al cortar un cono de revolución por un
plano que no pase por el vértice.
Se presentan diferentes casos en función de la inclinación de la recta generatriz del
cono de revolución y del plano de corte:
E = Eje de rotación
G = Recta generatriz del cono de revolución
P = Plano de corte
α = Ángulo que forman E y G
β = Ángulo que forman E y P
Establece la relación que existe entre α y β en cada caso.
43
LA ELIPSE
Es probable que te preguntes cuándo fue la última vez que viste una elipse. La verdad
es que las estás viendo constantemente, puesto que, siempre que contemplas una
circunferencia oblicuamente lo que estás viendo en realidad es un elipse.
Propón ejemplos de elipses en la naturaleza.
CIRCUNFERENCIAS QUE SE CORTAN
Dibujando familias de circunferencias que se cortan pueden obtenerse muchas curvas y
dibujos interesantes.
Tomando como focos los centros de las circunferencias de la lámina: 4, intenta dibujar
diferentes elipses.
Otra familia de curvas que se puede obtener es la de las hipérbolas. Inténtalo utilizando
la misma lámina.
44
PARÁBOLAS I
Diariamente estás observando objetos que describen una curva que se aproxima a un
parábola.
Describe lugares o situaciones en los que te encuentres con una curva en forma de
parábola.
PARÁBOLAS II
Utilizando la lámina 5, se puede construir una parábola.
Dibuja una recta "r" perpendicular al eje x.
¿Cuál es la distancia entre la parábola:
a) y la recta r?.
b) y el punto A?.
¿Qué relación existe entre ambas distancias?. Establece una conjetura y demuéstrala.
En base a esa conclusión, ¿podrías definir lo que es una parábola?.
Construye otras parábolas utilizando como base la misma lámina.
45
PLANOS Y MAPAS
Carreteras I .............................................................................................. 42
Carreteras II ............................................................................................. 43
Carreteras III ........................................................................................... 43
Mapa I ..................................................................................................... 44
Mapa II .................................................................................................... 44
Mapa III .................................................................................................. 45
Los montañeros ...................................................................................... 45
46
CARRETERAS I
Entre los pueblos A y B pasa la autopista. El desarrollo de la zona hace necesario que
se construya una salida para poder acceder desde estos pueblos a la autopista.
¿Puedes diseñar como serán las entradas y salidas?. Estudia las distintas posibilidades
en función de la seguridad y la economía.
A
B
Estudia lo mismo para el pueblo C.
C
47
CARRETERAS II
Diseña una red de puentes para poder acceder desde cada vía a las restantes. Estudia
las diferentes posibilidades en función de la economía y la seguridad.
CARRETERAS III
Diseña la red de vías necesaria para que se puedan comunicar entre sí, todas las
direcciones de dos autopistas que se cruzan. Estudia las diferentes posibilidades en
función de la economía y la seguridad.
48
MAPA I
Para esta actividad necesitas el mapa de la lámina 7.
Sitúate en el pueblo de Silla (se encuentra al sur de Valencia). Busca tres caminos
diferentes para llegar a Aldaia (oeste de la ciudad de Valencia). Indica la orientación
geográfica de cada una de las carreteras que tomes.
Estudia el mismo problema para ir desde Rocafort (noroeste de la capital) a Loriguilla
(oeste de Valencia).
MAPA II
Utiliza el mapa metropolitano de Valencia para esta actividad.
1. Te encuentras en Godella (noroeste de la capital), toma la carretera de Bétera, al
cruzarte con el By-pass (autopista) toma la dirección sur, dos salidas (de la autopista)
después toma dirección Valencia y en el primer cruce sales hacia la derecha, te
encontrarás en un lugar de altos vuelos, ¿dónde?.
2. A un amigo que viene de Barcelona le habéis hecho las siguientes indicaciones para
que llegue sin problemas a vuestro pueblo:
"Al salir del peaje toma dirección Alicante, al cruzarte con la autovía de Madrid toma
dirección Valencia, sales a la derecha en la primera salida que te encuentres y una vez
pases la línea del tren te encontrarás en mi pueblo".
¿De qué pueblo estamos hablando?.
49
MAPA III
Para esta actividad utiliza el mapa del área metropolitana de Valencia.
Amplía los cruces de las siguientes carreteras:
1. Autovía de Madrid con el By-pass.
2. Nacional 430 (carretera de Albacete) con el By-pass.
3. Nacional 335 (cauce del río Turia) con el By-pass.
4. Autovía de Lliria con el By-pass.
5. Nacional III (Madrid-Valencia) con la Nacional 220 (Valencia-Aeropuerto).
Explica como circulan los coches por cada una de las carreteras de los diferentes
nudos que estudiamos.
LOS MONTAÑEROS
Unos montañeros han hecho el recorrido entre los puntos: A, B, C, D, y E del plano, y
quieren saber la distancia real que han andado.
También se te pide el perfil del terreno del recorrido de los montañeros.
50
MEDIDA
Sistema Internacional de Unidades ............................................................. 47
Unidades locales ......................................................................................... 48
Unidades de superficie ................................................................................ 49
Instrumentos de medida .............................................................................. 50
Medidas directas e indirectas ....................................................................... 51
Años luz ...................................................................................................... 51
Área encerrada ........................................................................................... 52
Método Egipcio ......................................................................................... 53
Limpieza de parabrisas ............................................................................... 54
¿Juegas al tenis? ......................................................................................... 55
La vuelta al mundo en 80 días .................................................................... 55
El engaño de los espárragos ....................................................................... 56
La tierra y la pelota ..................................................................................... 56
La escalera .................................................................................................. 57
Unidad de volumen ..................................................................................... 57
Los camiones .............................................................................................. 58
El cono ........................................................................................................ 58
Medida de ángulos ...................................................................................... 59
Calculadora ................................................................................................. 60
Sumar y restar ............................................................................................. 61
Radianes ...................................................................................................... 61
La curva ...................................................................................................... 62
Teorema de los senos .................................................................................. 63
Teorema del coseno .................................................................................... 64
Cohetes ....................................................................................................... 65
Ángulos ....................................................................................................... 65
El árbol ....................................................................................................... 66
La estructura ............................................................................................... 66
Altímetro ..................................................................................................... 67
Puntos inaccesibles ...................................................................................... 67
Teorema de Herón ...................................................................................... 68
Masía Tomás ............................................................................................... 68
Meridianos y Paralelos ................................................................................. 69
Latitud y longitud ........................................................................................ 70
Distancia ...................................................................................................... 70
El mapa ........................................................................................................ 70
Latitudes ...................................................................................................... 71
Triángulo esférico ........................................................................................ 71
51
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Mediante LEY 3/1985, de 18 de marzo, de Metrología, son Unidades Legales de
Medida las unidades básicas suplementarias y derivadas del Sistema Internacional de
Unidades (SI), adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas.
Las unidades básicas son:
Magnitud
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad de corriente
eléctrica
Temperatura
termodinámica
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Nombre de la
unidad
metro
kilogramo
segundo
amperio
Símbol
o
m
kg.
s
A
kelvin
K
mol
candela
mol
cd
La Ley de Metrología en su artículo quinto indica:
1. El Sistema Legal de Unidades de Medida es de uso obligatorio en todo el territorio
del Estado Español.
3. El sistema educativo incorporará la enseñanza del Sistema Legal de Unidades de
Medida al nivel que corresponda.
52
UNIDADES LOCALES
Pregunta a la gente mayor qué medidas se utilizaron tradicionalmente en la zona y que
no formen parte del Sistema Internacional de Unidades (SI).
Encuentra la equivalencia de cada una de ellas con el SI.
53
UNIDADES DE SUPERFICIE
La unidad de superficie es un cuadrado cuyo lado mide 1 metro. Experimenta otras
unidades de superficie: Un círculo, un triángulo, un rectángulo, un rombo, un
pentágono, un hexágono, ....
1
1
1
1
2
1
1
Expresa la superficie del polígono de la figura, en cada una de las unidades que puedas
utilizar de las antes indicadas.
54
INSTRUMENTOS DE MEDIDA
Necesitas realizar las siguientes medidas:
a) La distancia entre Castellón y Vila-real.
b) El peso de un coche.
c) El tiempo que tarda un atleta en correr los 100 m. lisos.
d) La altura a la que un satélite que gira alrededor de la Tierra.
e) La velocidad de un coche.
f) El peso de un virus.
g) La capacidad de una olla.
h) El espesor de un folio.
i) El tiempo que tarda un autobús en ir de Alicante a Valencia.
j) La profundidad de un lago.
¿Qué unidad y qué instrumento sería mas apropiado utilizar en cada caso?.
55
MEDIDAS DIRECTAS E INDIRECTAS
Existen medidas como el peso, que se obtienen directamente realizando la medición
correspondiente (medida directa), en cambio hay otras como la superficie en las que
para su obtención es necesario medir longitudes y luego calcular su valor (medida
indirecta).
De las medidas que a continuación se señalan, indica cuáles se pueden medir en forma
directa y cuáles se obtienen indirectamente:
a) Tiempo
b) Longitud
c) Área
d) Capacidad
e) Volumen
f) Peso
g) Velocidad
h) Ruido
i) Presión
j) Fuerza
k) Aceleración
l) Masa
¿Qué instrumento utilizarías en cada caso?.
AÑOS LUZ
La distancia entre estrellas se mide en años luz, donde un año luz se define como la
distancia que recorre la luz en un año (velocidad de la luz: 300.000 km/seg).
Alfa del centauro es la estrella más cercana a la Tierra y está a una distancia de cuatro
años luz. ¿A cuántos metros está de la Tierra?.
Encuentra las distancias que hay entre la Tierra y los diferentes planetas. ¿Cuántos
años luz son en cada caso?.
56
ÁREA ENCERRADA
Calcular el área encerrada por tres circunferencias de radio r, tangentes entre sí.
Analiza el caso si las circunferencias tuvieran diferentes radios.
r
r
r
57
MÉTODO EGIPCIO
Los antiguos egipcios utilizaban un método para obtener el área de un cuadrilátero
cualquiera de lados a, b, c y d, que corresponde aproximadamente a la fórmula:
a+c
b+d
ÁREA = -------- x -------2
2
b
c
a
d
¿Será válido este enunciado para cualquier cuadrilátero?.
En caso afirmativo explica por qué. En caso negativo, ¿hay algún cuadrilátero para el
que funcione la fórmula?. ¿Para cuáles?.
58
LIMPIEZA DE PARABRISAS
Investiga el área barrida por la raedera PQ de un limpiaparabrisas, en el caso de que
vaya montado como es típico en los automóviles, con un solo brazo AB, y de que el
brazo sea un paralelogramo articulado, como es frecuente en camiones y autocares. Se
supone que B es el punto medio de PQ.
59
¿JUEGAS AL TENIS?
La lata de pelotas que ves en la figura contiene tres pelotas de tenis. ¿Sabrías decir
que es mayor, si la circunferencia de la base de la lata o su altura?.
¿Cuál es la superficie de hojalata que utilizaron para construir la lata de pelotas?. ¿Qué
superficie de goma y tela utilizaron para construir cada pelota de tenis?.
Las tres pelotas de tenis ocupan un cierto volumen en el interior de la lata. ¿Cuál es el
volumen libre?.
LA VUELTA AL MUNDO EN 80 DÍAS
Julio Verne escribió la vuelta al mundo en 80 días. ¿Serías capaz de señalar en el
mapa mundi que se adjunta la ruta que siguió Phileas Fogg en su viaje?.
Si hoy tuvieras que realizar ese viaje, ¿qué distancia hay y cuánto tiempo viajarías en
cada tipo de transporte?. ¿Cuánto te costaría el viaje?.
60
EL ENGAÑO DE LOS ESPÁRRAGOS
Una vieja historia cuenta que cierto día se acercó un muchacho a un vendedor de
espárragos en el mercado y dijo:
- Traigo conmigo este cordel que mide un palmo, ¿cuánto me cobrará por el mazo de
espárragos que pueda atar con él? -.
El aldeano le pidió 100 pesetas y el muchacho se mostró conforme, pagó y se llevó la
mercancía. A los dos días se vuelve a presentar el muchacho y le dice al vendedor:
- Vuelvo con un cordón que mide dos palmos. Se acordará que por los espárragos que
pude atar con el cordel de un palmo me cobró 100 pesetas. Así que por el mazo que
atemos con este cordón le pagaré 200 pesetas -.
El vendedor aceptó aunque concluida la venta se quedó con cierta duda de si le había
engañado o no el comprador.
¿Le engañó?.
LA TIERRA Y LA PELOTA
Supón que rodeamos una pelota que mide 10 cm. de diámetro con un cordel y que
hacemos lo mismo con la Tierra rodeándola con otro cordel por el ecuador
(consideremos la Tierra como una esfera de radio 6.378 km.).
Queremos añadir cuerda en ambos casos de forma que las circunferencias estén
separadas 1 metro a lo largo del borde de la pelota y del ecuador terrestre. ¿En qué
caso se necesitará añadir más cuerda?.
61
LA ESCALERA
1Dm
3
1m
3
1 dm
3
1 cm
3
1 mm
3
Con la ayuda gráfica de la escalera, podemos transformar unidades de volumen.
1 Km
3
1Hm
3
Multiplicar
1000
Dividir
1000
1000
1000
1000
1000
Mide las dimensiones de tu clase y calcula su volumen. Utiliza la escalera para expresar
ese volumen en cm3 y en km3.
Si un dm3 es igual a un litro de capacidad, ¿cuál es la capacidad de tu clase en litros?.
UNIDAD DE VOLUMEN
La unidad de volumen adoptada por el SI es el metro cúbico, o sea un cubo que tenga
de lado un metro. ¿Qué otros cuerpos podrían funcionar como unidad de volumen?.
¿Por qué?.
62
LOS CAMIONES
Una empresa tiene una furgoneta de reparto y un camión de mudanzas, ambos tienen
la misma anchura, pero el camión es doble de largo y de alto que la furgoneta.
a) ¿Estarías de acuerdo con alguien que dijera que el camión de mudanzas necesita
doble espacio para aparcar que el de reparto?.
b) Si ambos camiones circulan por una zona abierta de la carretera y hace viento lateral
muy fuerte, ¿afectará al camión de mudanzas el doble que a la furgoneta?.
c) Compara las capacidades.
EL CONO
Calcula la altura h para que el área S sea:
a) La mitad del área de la base.
b) La tercera parte del área de la base.
c) La cuarta parte del área de la base.
d) La enésima parte del área de la base.
Repite el ejercicio considerando ahora el volumen de la parte superior respecto a la
inferior.
63
MEDIDA DE ÁNGULOS
Hasta el momento hemos considerado la medida de ángulos sólo en grados, pero,
¿qué pasa cuando encontramos un ángulo cuya medida es 68,23º?, ¿pasará algo
parecido a lo que ocurre con el resto de las unidades de medida, que permita dividir las
unidades?.
Para determinar la unidad de medida se divide la circunferencia en cuatro partes o
cuadrantes, correspondiéndole a cada uno de ellos un ángulo recto que puede ser
dividido en 90 partes iguales que llamaremos GRADO SEXAGESIMAL, cada uno de
estos grados lo podemos dividir en 60 partes iguales, llamados MINUTOS
SEXAGESIMALES, y cada minuto en 60 SEGUNDOS SEXAGESIMALES, un minuto
se representa 1' y un segundo 1''. Este sistema de medida recibe el nombre de
SEXAGESIMAL.
Otro sistema de medida menos utilizado es el CENTESIMAL, consiste en dividir el
ángulo recto en 100 partes iguales, y cada una recibe el nombre de GRADO
CENTESIMAL, su centésima parte es el MINUTO CENTESIMAL y la centésima parte
del minuto recibe el nombre de SEGUNDO CENTESIMAL.
Transforma el ángulo de 68,23º en grados, minutos y segundos, luego pasa este ángulo
al sistema centesimal.
64
CALCULADORA
Investiga en tu calculadora el funcionamiento de las teclas:
MODE 4
MODE 5
MODE 6
(DEG)
(RAD)
(GRA)
¿Cómo podrías transformar 13,2625º en grados, minutos y segundos, utilizando la tecla
.
· ’ ’’ ?.
¿Qué hace la calculadora cuando oprimes la tecla sin ?.
65
SUMAR Y RESTAR
¿Cómo debemos proceder para sumar o restar medidas angulares?. Puedes apoyarte
en el método utilizado para sumar otras unidades de medida.
a) Sumar
b) Restar
18º 20' 40''
60º 50' 10''
________________________
15º 40' 6''
6º 45' 2''
________________________
Realiza las operaciones con calculadora y analiza los resultados.
RADIANES
Los ángulos también se pueden medir tomando como unidad de ángulo el RADIÁN,
que es el ángulo cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual a la del radio con el
que fue trazado. ¿Cuántos grados mide un radián?.
¿Cuántos radianes son 68,23º?.
r
r
α
66
LA CURVA
Se desea trazar una curva en una carretera que tenga un ángulo central de 0,75
radianes. Expresa este ángulo en grados, minutos y segundos.
67
TEOREMA DE LOS SENOS
Observa el triángulo de la figura y contesta a las preguntas:
C
b
a
h
A
c
P
B
a) ¿Cuánto vale el sen A en el triángulo ACP?.
b) ¿Cuánto vale el sen B en el triángulo BCP?.
c) Despejando h en a) y b) e igualando ambas ecuaciones se obtiene el teorema del
seno: ¿Qué dice este teorema?.
d) Trabajando sobre el triángulo visto desde otra posición trata de encontrar una
relación parecida para el ángulo A y C.
B
a
C
c
h
P'
A
b
e) ¿Es posible obtener a través de las ecuaciones de los apartados c) y d) la siguiente
igualdad?
a
b
c
Teorema del Seno: ------- = ------- = --------
68
sen A
sen B
sen C
69
TEOREMA DEL COSENO
Observa el triángulo ABC:
A
c
b
h
B
C
a
m
n
¿Cómo aparece la siguiente expresión algebraica?:
b2 = h2 + n2 = (c2 - m2) + (a - m)2 = a2 + c2 - 2am
teniendo en cuenta que en el triángulo rectángulo MAB
m = c * cos B
se puede decir que:
b2 = a2 + c2 - 2a * c * cos B
Estudiar utilizando los mismos pasos la forma de colocar a2 y
otros dos lados y el coseno del ángulo A y B.
b2 en función de los
Investigar esas mismas fórmulas para cuando el ángulo B es el mayor de 90º, es decir,
estudiar esas fórmulas en el siguiente triángulo:
A
h
b
c
C
m
B
a
n
70
COHETES
Cierta estación de cohetes contiene dos telescopios A y B distantes 2.6 km, que
mantienen el cohete C en su foco y continuamente transmiten el valor de los ángulos α
y β a un computador. Escribe la ecuación con la cual sabríamos la distancia AC.
ÁNGULOS
Deduce el valor de α, β y γ en la figura.
A
β
B
F
α
γ
C
E
D
71
EL ÁRBOL
En la ladera de un parque hay un árbol que está a punto de caer, y hemos decidido
protegerlo con dos cables de acero, tal como muestra el dibujo. Calcula la longitud de
los cables a y b.
LA ESTRUCTURA
Halla los valores que se desconocen en la estructura:
72
ALTÍMETRO
El altímetro de un avión señala 248 m. El aeródromo al que se dirige lo ve bajo un
ángulo de 68º con la vertical. ¿Cuál es la distancia que tiene que recorrer el avión en
línea recta para poder aterrizar?. ¿Bajo qué ángulo verían el avión desde el
aeródromo?.
PUNTOS INACCESIBLES
Calcular la distancia entre los puntos inaccesibles D y C, suponiendo la base AB = 420
m, el ángulo DAB = 68º 11', β = 32º 36', ABC = 83º 43' y DAC = 15º 52'.
C
D
Río
β
α
A
B
73
TEOREMA DE HERÓN
Herón, matemático y físico del siglo III a. de J.C. propuso una relación para encontrar el
área de un triángulo a partir de sus lados.
A=
p(p − a)(p − b)(p − c)
donde: A = Área del triángulo.
p = Semiperímetro del triángulo.
a, b, c = Longitud de los lados del triángulo.
Dibuja un triángulo cuya área conozcas y compruébala utilizando este teorema.
MASÍA TOMÁS
Se tiene el siguiente mapa a escala: 1: 10.000.
Calcula el área de la masía Tomás.
74
MERIDIANOS Y PARALELOS
Si consideramos el eje de la Tierra como el eje norte-sur que pasa por los polos,
llamamos MERIDIANOS a los círculos máximos de la Tierra que tienen como diámetro
el eje de la Tierra. Las intersecciones que en la misma esfera terrestre producen los
planos perpendiculares al eje del mundo son, en cambio, círculos menores, llamados
PARALELOS, el que pasa por el centro de la Tierra recibe el nombre de ECUADOR.
Dadas las siguientes esferas dibuja varios paralelos y meridianos. ¿Dónde estará el
Ecuador?.
N
N
S
S
N
N
S
S
75
LATITUD Y LONGITUD
Cada punto de la superficie terrestre queda determinado por el meridiano y el paralelo
que pasa por él. Cada meridiano se fija dando el ángulo que forma su semiplano con el
meridiano del lugar fijo del globo, por ejemplo, el meridiano de Greenwich y precisando
el sentido del mismo.
La medida del ángulo en cuestión se llama LONGITUD geográfica del lugar, se suele
dar en grados sexagesimales, desde 0º a 180º, indicando si es al Este de Greenwich o
al Oeste.
Cada paralelo se determina midiendo en grados sexagesimales el arco del meridiano
comprendido entre este punto y el Ecuador, o, lo que es lo mismo, el ángulo que forma
el radio del lugar con el plano del Ecuador indicando si esta en el hemisferio Norte o en
el hemisferio Sur. Este ángulo con el signo N o S, se llama LATITUD del lugar.
Si definimos las COORDENADAS GEOGRÁFICAS de un lugar como LATITUD y
LONGITUD, halla utilizando un atlas, las coordenadas geográficas de las siguientes
ciudades: Valencia, Roma, El Cairo, Buenos Aires, México y Brasilia.
DISTANCIA
¿Qué distancia sobre la superficie de la Tierra corresponde a 10º de latitud?. Supón
que la Tierra es una esfera de 12.700 km. de diámetro.
EL MAPA
Un mapa topográfico abarca una zona de 15' de latitud. ¿A cuántos kilómetros sobre la
superficie de la tierra corresponden esos 15'?.
76
LATITUDES
Hallar la diferencia de latitudes entre París 58º 50' 11'' y Madrid 30º 23' 30''.
TRIÁNGULO ESFÉRICO
Se define el triángulo esférico como la región de la superficie esférica delimitada por
tres arcos de circunferencias máximas (intersección de la superficie esférica con planos
que pasan por su centro).
¿Cuánto medirá la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico?. ¿Qué
diferencia existe entre la suma de los ángulos interiores de un triángulo en el plano y en
la esfera?.
Si has reflexionado estas preguntas, te será fácil dar solución al problema siguiente:
"Un cazador se encuentra con un oso, pero se asusta tanto que sale corriendo. En su
huida corre 100 metros al sur, 100 al este y 100 al norte, pero ¡horror!, se vuelve a
encontrar en el mismo punto y con el oso que no se había movido del sitio. ¿De qué
color era el oso?.
77