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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Objetivo general:
Proporcionar los conocimientos fundamentales
•Variable Compleja
•Algebra Lineal
que den las bases sólidas para que en cursos de especialidad le
permita abordar problemas para distintas áreas de la
Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de
Control, Análisis y diseño de señales, entre otras.
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Conocimientos
previos
Variable
Compleja
Algebra Lineal
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Historia del Análisis
Complejo
http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_co
mpleja
Resultados
http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase/vcmplx09c1.pdf
Otros
Variable
Compleja
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Resultados
Las herramientas matemáticas como
la transformada de Laplace,
la transformada de Fourier y la
transformada z , permiten pasar
funciones del dominio del tiempo a
otros dominios donde las operaciones
matemáticas resultan más simples
En varias áreas de la ingeniería
Se utiliza variable compleja para el
análisis y diseño de sistemas por
ejemplo:
Señales
Teoría de control
Óptica – laser
http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase
/vcmplx09c1.pdf
Variable
Compleja
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Resultados
Por ejemplo :
1. Las transformada s de Laplace, y de
Fourier permiten transformar
Ecuaciones diferenciales lineales en
Ecuaciones algebraicas , una vez que
se han resuelto en el dominio
correspondiente se encuentra la solución
de las ecuaciones originales aplicando la
transformada inversa .
2. En resolución de integrales en
variable real para predecir magnitudes
en contextos ingenieriles, de arte y de
diseño.
Variable
Compleja
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Resultados
En esos dominios se utilizan variables
complejas y es conveniente estar
familiarizado con conceptos básicos
como los son :
Números complejos,
conceptos generales de funciones de
variable compleja,
funciones analíticas y series de
potencias
integración en el plano complejo.
Variable
Compleja
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El análisis complejo es la rama de las matemáticas que en parte investiga las
funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas.
Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en
esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de
esta región abierta con derivadas continuas.
Variable
Compleja
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El que una función compleja, sea diferenciable en el sentido complejo tiene
consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales.
En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que
es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables.
La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos
polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.
Variable
Compleja
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Otros
Transformaciones conformes
Gráfico de la función
f(z)=(z2-1)(z-2-i)2 / (z2+2+2i).
La coloración representa el argumento
de la función, mientras que el brillo
representa el módulo.
http://www.ima.umn.edu/~arnold/comple
x-maps/index.html
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Compleja
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Historia
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgeb
ra_lineal
Resultados
Otros
Algebra Lineal
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Resultados
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
En matemática una aplicación lineal (también llamada
función lineal, transformación lineal u operador lineal)
es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que
preserva las operaciones de suma de vectores y producto
por un escalar.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un
homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje
de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría
de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Algebra Lineal
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Resultados
Transformaciones lineales
http://www.youtube.com/watch?v=r4rTcwIhv7s
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/aplic%20t
ransformacion%20lineal.htm
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodl
e/course/view.php?id=541
Algebra Lineal
Comentario de alumno en red: el uso general es, justamente, el cambio de
base.
aplicaciones "reales" hay muchas.
En finanzas, por ejemplo, que es mi campo, usas TL para convertir de un
conjunto de activos a otro, quizá con más información.
Se usan en análisis multivariado, para determinar matrices de covarianza, para
generar números aleatorios multivartiados, en fin.... hay millones de usos.
se usan en dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista (en los
videojuegos, cuando ves que cambia el punto de vista del escenario, lo que
hace el programa es aplicar una TL de rotación...
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Generalización y Otros
Generalización y temas relacionados
Puesto que el álgebra lineal es una
teoría exitosa, sus métodos se han
desarrollado por otras áreas de la
matemática: en la teoría de módulos,
que remplaza al cuerpo en los
escalares por un anillo; en el algebra
multilineal, uno lidia con 'múltiples
variables' en un problema de mapeo
lineal, en el que cada número de las
diferentes variables se dirige al
concepto de tensor; en la teoría del
espectro de los operadores de control
de matrices de dimensión infinita,
aplicando el análisis matemático en una
teoría que no es puramente algebraica.
En todos estos casos las dificultades
técnicas son mucho más grandes.
Algebra Lineal
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Matemáticas Avanzadas
Proyecto final
http://www.davincithegenius.com/
Objetivo:
Crear un prototipo de alguna de
las obras de Leonardo Da Vinci.
Lineamientos:
• Elección del invento
• Investigar el contexto
histórico.
• Descubrir el o los modelos
matemáticos que sustentan el
prototipo
• Fabricar el prototipo
• Explicarlo matemáticamente si
es posible
• Escribir la experiencia
«Memorias»
• Presentar o en la feria de
ciencias el 19 de noviembre
• Lugar pendiente de confirmar
• Nombre de la feria por
confirmar
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“ La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo”
Alan Kay
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