Download Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Document related concepts
Transcript
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Objetivo general: Proporcionar los conocimientos fundamentales •Variable Compleja •Algebra Lineal que den las bases sólidas para que en cursos de especialidad le permita abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Análisis y diseño de señales, entre otras. Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 1 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Conocimientos previos Variable Compleja Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 2 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Historia del Análisis Complejo http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_co mpleja Resultados http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase/vcmplx09c1.pdf Otros Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 3 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados Las herramientas matemáticas como la transformada de Laplace, la transformada de Fourier y la transformada z , permiten pasar funciones del dominio del tiempo a otros dominios donde las operaciones matemáticas resultan más simples En varias áreas de la ingeniería Se utiliza variable compleja para el análisis y diseño de sistemas por ejemplo: Señales Teoría de control Óptica – laser http://licmat.izt.uam.mx/notas_de_clase /vcmplx09c1.pdf Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 4 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados Por ejemplo : 1. Las transformada s de Laplace, y de Fourier permiten transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa . 2. En resolución de integrales en variable real para predecir magnitudes en contextos ingenieriles, de arte y de diseño. Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 5 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados En esos dominios se utilizan variables complejas y es conveniente estar familiarizado con conceptos básicos como los son : Números complejos, conceptos generales de funciones de variable compleja, funciones analíticas y series de potencias integración en el plano complejo. Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 6 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería El análisis complejo es la rama de las matemáticas que en parte investiga las funciones holomorfas, también llamadas funciones analíticas. Una función es holomorfa en una región abierta del plano complejo si está definida en esta región, toma valores complejos y por último es diferenciable en cada punto de esta región abierta con derivadas continuas. Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 7 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería El que una función compleja, sea diferenciable en el sentido complejo tiene consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, algunos polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas. Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 8 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Otros Transformaciones conformes Gráfico de la función f(z)=(z2-1)(z-2-i)2 / (z2+2+2i). La coloración representa el argumento de la función, mientras que el brillo representa el módulo. http://www.ima.umn.edu/~arnold/comple x-maps/index.html Variable Compleja Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 9 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Historia http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgeb ra_lineal Resultados Otros Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 10 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados Espacios vectoriales Transformaciones lineales En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 11 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados Transformaciones lineales http://www.youtube.com/watch?v=r4rTcwIhv7s http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/aplic%20t ransformacion%20lineal.htm http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodl e/course/view.php?id=541 Algebra Lineal Comentario de alumno en red: el uso general es, justamente, el cambio de base. aplicaciones "reales" hay muchas. En finanzas, por ejemplo, que es mi campo, usas TL para convertir de un conjunto de activos a otro, quizá con más información. Se usan en análisis multivariado, para determinar matrices de covarianza, para generar números aleatorios multivartiados, en fin.... hay millones de usos. se usan en dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista (en los videojuegos, cuando ves que cambia el punto de vista del escenario, lo que hace el programa es aplicar una TL de rotación... Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 12 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Generalización y Otros Generalización y temas relacionados Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el algebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes. Algebra Lineal Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 13 Matemáticas Avanzadas Proyecto final http://www.davincithegenius.com/ Objetivo: Crear un prototipo de alguna de las obras de Leonardo Da Vinci. Lineamientos: • Elección del invento • Investigar el contexto histórico. • Descubrir el o los modelos matemáticos que sustentan el prototipo • Fabricar el prototipo • Explicarlo matemáticamente si es posible • Escribir la experiencia «Memorias» • Presentar o en la feria de ciencias el 19 de noviembre • Lugar pendiente de confirmar • Nombre de la feria por confirmar Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 14 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería “ La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo” Alan Kay Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 15