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Álgebra de Polinomios
Prof. Sergio A. Signorelli
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PROHIBIDA SU REPRODUCCION SIN AUTORIZACION
ALGEBRA DE POLINOMIOS
El álgebra de polinomios se refiere al trabajo de expresiones matemáticas que
involucran letras y números. A estas expresiones se las llama “expresiones algebraicas”,
por lo que:
Expresión algebraica es toda expresión matemática que involucra letras y números, y
en las cuales las letras están elevadas a algún exponente QUE SIEMPRE ES UN
NUMERO NATURAL (incluso el 0, es decir, están elevadas a la 1, 2, 3, 4, etc…).
Ejemplo
2x3a4 + 5abc – 6ghm3k7 + 3p6s9a
1/2k2l8 + 2m6q7 + jk2 l3q2
En las expresiones algebraicas las letras NO PUEDEN TENER EXPONENTES
NEGATIVOS, razón por la cual no existirán letras en los denominadores
MONOMIOS
La menor expresión algebraica se llama monomio. En ella, las letras y números se
relacionan únicamente con las operaciones de producto, potencia y/o división.
Son monomios:
2x3 f5
-12d4fc6
¾ x5w2
-½ d2mn4
Al número del monomio se lo llama coeficiente del monomio y la suma de los
exponentes de las letras indica el grado de ese monomio. Así, por ejemplo en los casos
anteriores, los coeficientes de los monomios son:
2
-12
¾
-½
Mientras los grados de los monomios serán:
8
11
7
7
Indicar el coeficiente y el grado de los siguientes monomios:
-6d2h7b
2/5 d2k6
-17x4
126 x7a2
Monomios semejantes:
Dos o más monomios son semejantes CUANDO TIENEN EXACTAMENTE LA
MISMA PARTE LITERAL.
Indicar cuáles de los siguientes monomios son semejantes:
4xd3
-1/2d3fx
-4d3x
5x3d
7x3d3 f
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Operaciones con monomios
Suma y resta de monomios
Los monomios semejantes PUEDEN SUMARSE Y/O RESTARSE.
En cada uno de los casos, el monomio resultado es un monomio que posee la misma
parte literal pero el coeficiente resulta de la suma/resta de los coeficientes de los
monomios involucrados en la operación.
Ejemplo: sumar los monomios semejantes de la operación anterior.
En el caso de los monomios no semejantes, AL SUMARSE Y/O RESTARSE QUEDA
COMO EXPRESIÓN UN POLINOMIO.
Multiplicación de monomios
En este caso no importa que los monomios sean o no semejantes. Para multiplicar dos
monomios se multiplican los coeficientes y a las letras se les aplica la propiedad del
producto de potencias de igual base (se suman los exponentes):
(4xd3). (7x3d3f) = 28 x4d6f
División de monomios
Tampoco importa en este caso que los monomios sea o no semejantes y se procede en
forma análoga a lo anterior aplicando la propiedad del cociente de potencias de igual
base con la parte literal (se restan los exponentes)
(126 x7a2): (2x3f5) = 63 x4a2f-5
Obsérvese que en esta caso pueden quedar letras en el denominador pues aparecen (o
no) exponentes negativos.
Potencias de monomios
Se aplican las propiedades correspondientes a potencia de otra potencia en la parte
literal (se multiplican los exponentes), elevándose el coeficiente al exponente indicado.
(2x3 f5)3 = 23(f5)3(x3)3 = 8f15x9
Raíces de monomios
Se procede en forma similar a lo anterior teniendo en cuenta la propiedad de la potencia
y las raíces en función de que pueden escribirse la raíz de una potencia en forma
fraccionaria, donde el exponente tiene como denominador al índice de la raíz y como
numerador al exponente del radicando.
3
3
3
3
3
3 3
3
3
27x d f =
27
x
d
f = 3x3/3d3/3f1/3 = 3xdf1/3
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POLINOMIOS
Una sucesión de monomios forma un polinomio.
Es decir que un polinomio es una expresión algebraica combinada de mucha mayor
extensión.
Son polinomios:
2x3 f5 - 12d4 fc6 + ¾ x5w2 - ½ d2mn4
-6d2h7bk + 2/5 d2k6 - 17x4k2+ 126 k4x7a2
2x3 + 6x5 – 5x6 – 12x9 + x2
Existen polinomios con varias letras o polinomios con una sola letra. En los que poseen
varias letras se toma una de ellas como referencia para ordenar o trabajar con el
polinomio, a esa letra se la llama ordenatriz del polinomio. En los que poseen una sola
letra, la misma actúa como ordenatriz de ese polinomio.
Los polinomios son muy importantes pues en realidad rigen variadas situaciones a partir
de una única expresión matemática. Así, para determinar por ejemplo cuanto cuesta el
pasaje en colectivo se utiliza un expresión polinómica, para conocer como se expanden
las poblaciones se utilizan polinomios, para saber como se manejan tales o cuales
especies animales en diferentes hábitats se utilizan polinomios, etc.
Grado y coeficiente principal de un polinomio:
El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado mientras que el
coeficiente principal del polinomio es el coeficiente de ese monomio.
En los ejemplos que vimos anteriormente, los grados y coeficientes de esos polinomios
serán:
Grado
coeficiente
11
2
13
2/5
9
-12
Resumiendo:
El grado de un polinomio es el que posee el monomio de mayor grado.
El coeficiente principal del polinomio es el coeficiente del monomio que indica el
grado.
Polinomio completo:
Un polinomio está completo cuando posee TODAS las potencias de la letra ordenatriz.
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Ejemplo
P(x) = 2x5 + 3x2 – x3 + 5x + 6x4
Como vemos, de acuerdo con la letra x, están TODAS las potencias de esa letra
desparramadas como estornudo de ñato, pero están…, es más, vos podés ordenarlas….
Para completar un polinomio en caso de que esté incompleto, se colocan coeficientes
“0” a las potencias faltantes de las letras correspondientes.
Polinomio incompleto
2x3 + 6x5 – 5x6 – 12x7 + x2
Polinomio completo
2x3 + 6x5 – 5x6 – 12x7 + x2 + 0x4 + 0x + 0
Polinomio completo y ordenado:
-12x7 - 5x6 + 6x5 + 0x4 + 2x3 + x2 + 0x + 0
Un polinomio está ordenado cuando se encuentra escrito en orden decreciente de las
potencias de su letra ordenatriz a partir de la que indica el grado.
Ejemplo:
P(x) = 4x7 – 5x5 – 3x4 + 2x
Una pregunta: ¿el polinomio anterior está completo?
Si la respuesta es negativa, entonces completarlo y ordenarlo.
ESPECIALIZACION DE UN POLINOMIO
Especializar un polinomio es reemplazar en el mismo a la letra que posee por un valor
numérico dado para la letra en cuestión.
POLINOMIO MONICO
Es aquel en el que el valor del coeficiente principal vale 1.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma/resta de polinomios
Para sumar/restar dos o mas polinomios conviene ordenarlos y completarlos, colocando
los monomios semejantes de cada uno de ellos en forma encolumnada. Una vez
ordenados los monomio semejantes, se procede a sumarlos/restarlos.
2x5 + 3x2 – x3 + 5x + 5 +6x4
+
2x3 + 6x5 – 5x6 – 12x9 + x2
Ordenados y completados quedarían:
2x5 + 6x4 – x3 + 3x2 +5x + 5
+
– 12x9 + 0x8 + 0x7 – 5x6 + 6x5 + 0x4 + 2x3 + x2 + 0x + 0
–
12x9 + 0x8 + 0x7 – 5x6 + 8x5 + 6x4 + 1x3 + 4x2 + 5x + 5
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Multiplicación de un monomio por un polinomio:
Se aplica la propiedad distributiva entre el monomio y cada monomio del polinomio
aplicando las propiedades vistas anteriormente.
(2x5 + 3x2 – x3 + 5x + 5 +6x4) . (6x4) = 12x9 + 18x6 – 6x7 + 30x5 + 30x4 +36x8
Obsérvese que el grado del polinomio resultante resulta la suma de los grados del
polinomio y el monomio.
División de un polinomio por un monomio:
Se procede en forma similar a lo anterior dividiendo cada monomio del polinomio por
el monomio dado.
Multiplicación de polinomios
Se aplica la propiedad distributiva entre todos los términos de los polinomios.
División de polinomios
En este caso, deben cumplirse algunos requisitos teniendo en cuenta que participan los
siguientes polinomios en una operación como la indicada:
D(x)
d(x)
R(x)
C(x)
Siendo D(x) el polinomio DIVIDENDO, d(x) el polinomio DIVISOR, R(x) el RESTO y
C(x) el polinomio COCIENTE.
Además, al igual que en la división de números, se cumple que:
D(x) = C(x) . d(x) + R(x)
Que se denomina ALGORITMO DE LA DIVISIÓN.
Las condiciones que deben cumplirse son:
a- el grado de D(x) debe ser mayor o igual a grado del d(x)
b- los polinomios D(x) y d(x) deben estar completos y ordenados
Para realizar la división se realizan los siguientes pasos:
a- SE DIVIDE EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL D(x) POR EL
COEFICIENTE PRINCIPAL DEL d(x)
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b- SE MULTIPLICA LO OBTENIDO POR CADA MONOMIO DEL d(x), SE LE
CAMBIA DE SIGNO Y SE COLOCA DEBAJO DE CADA MONOMIO
SEMEJANTE DEL D(x)
c- SE SUMAN LOS MONOMIOS SEMEJANTES, SE BAJAN LOS
MONOMIOS RESTANTES Y SE REPITE LA OPERACIÓN ANTERIOR
HASTA QUE EL GRADO DEL D(x) SEA MENOR QUE EL DE d(x)
Ejemplo
(2x5 + 3x2 – x3 + 5x + 5 +6x4) : (x4 + 3x2 + 2)
Entonces cumplimentamos la primera parte:
2x5 +6x4– x3 + 3x2 + 5x + 5
x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 2
-2x5 -0x4– 6x3 - 0x2 - 4x
2x + 6
+
0x5 +6x4– 7x3 + 3x2 + 1x + 5
-6x4– 0x3 - 18x2 - 0x - 12
0x4– 7x3 - 15x2 + 1x - 7
El siguiente coeficiente a dividir tiene grado menor que el del d(x) razón por la cual la
operación finaliza allí.
Por lo tanto, nos ha quedado:
D(x) = 2x5 +6x4– x3 + 3x2 + 5x + 5
d(x) = x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 2
C(x) = 2x + 6
R(x) = – 7x3 - 15x2 + 1x - 7
Verificar con el algoritmo de la división si ha sido bien realizada.
Caso especial de la división de polinomios
Existe un caso particular de la división de polinomios que se aplica cuando el polinomio
DIVISOR tiene la forma x + a ó x – a, siendo a un número cualquiera.
Por ejemplo:
x+2
x–4
x+½
x–¾
en este caso se aplica la denominada Regla de Ruffini, la que enunciaremos a
continuación:
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para dividir un P(x) por otro de la forma x + a se procede:
1- se colocan los coeficientes del P(x) completo y ordenado según la forma
adjunta
2- el valor de a, cambiado de signo se coloca donde se indica mas abajo
3- se baja el primer coeficiente, se multiplica por el valor de a y se suma al
siguiente coeficiente.
4- Se procede sucesivamente hasta el último coeficiente.
5- El polinomio resultado tiene sus coeficientes en la parte inferior, y el
último de estos coeficientes es el Resto de la división.
6- El polinomio cociente BAJA UN GRADO respecto al polinomio
DIVIDENDO.
(2x5 +6x4– x3 + 3x2 + 5x + 5) : (x + 1) (se coloca CAMBIADO DE SIGNO)
2
-1
2
6
-1
3
5
5
-2
-4
5 -8
3
4
-5
8
-3
(coeficientes del DIVIDENDO
completo y ordenado)
8
RESTO
COEFICIENTES DEL POLINOMIO COCIENTE
El resultado de la división será:
2x4+ 4x3 - 5x2 + 8x – 3
Y el resto = 8
TEOREMA DEL RESTO
Si un polinomio es divisible por la regla de Ruffini puede obtenerse directamente el
resto de esa división reemplazando el término independiente del divisor, CAMBIADO
DE SIGNO por la letra del polinomio dividendo.
En el ejemplo anterior:
R = 2(-1)5 +6(-1)4– (-1)3 + 3(-1)2 + 5(-1) + 5
R = -2 + 6 – (-1) + 3 – 5 + 5
R= -2 + 6 + 1 + 3 – 5 + 5
R= 8
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IMPORTANTE
Si un polinomio es divisible por otro, el resto es igual a 0.
ESPECIALIZACIÓN DE UN POLINOMIO
Cuando hacemos que la x tenga un determinado valor, y reemplazamos ese valor en el
polinomio, decimos que hemos especializado al polinomio, obteniendo como resultado
un número.
Por ejemplo, especializaremos el polinomio D(x) = 2x5 +6x4– x3 + 3x2 + 5x + 5 para
un valor de x= -2.
De esta forma resulta:
D(-2) = 2.(-2)5 +6.(-2)4– (-2)3 + 3.(-2)2 + 5.(-2) + 5
D(-2) = 2.(-32) +6.16– (-8) + 3.4 + (-10) + 5
D(-2) = -64 +96 + 8 + 12 - 10 + 5
D(-2) = 47
Obviamente, como todo tiene que ver con todo, no es muy complicado pensar que,
cuando especializamos un polinomio para un cierto valor de la x, en realidad, estamos
OBTENIENDO EL RESTO tal como si hubiésemos dividido por Ruffini el polinomio
por otro cuyo término es el número que utilizamos para especializar, lo que obviamente
nos permitió obtener el resto de esa división.
De esta forma, si al D(x) = 2x5 +6x4– x3 + 3x2 + 5x + 5 lo hubiésemos dividido por
x + 2 (acordate que al hacer Ruffini se cambia el signo del término independiente del
divisor, obtendríamos:
2
-2
2
6
-1
3
5
-4
-4
10 -26
2
-5
13
-21
5
42
47
ESTE NÚMERO NOS DIO
LA ESPECIALIZACION
FACTORIZACION DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio es decomponerlo en un producto de polinomios primos, es
decir de polinomios que solamente sean divisibles por sí mismos y por 1.
Cuando se ha factorizado un polinomio se dice que aquellos factores que anulan al
polinomio son las raíces del mismo.
Al factorizar un polinomio queda expresado:
P(x) = (x –a) . (x – b) . (x –c) . (x – d) ………………….
Los valores de a, b, c, d, etc. son raíces del polinomio pues, si por ejemplo a vale 0, al
ser la expresión TODO un producto, al anularse ese factor anula todo el polinomio.
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Para poder factorizar a los polinomios se aplican 6 casos que SIEMPRE CONVIENE
APLICAR EN EL ORDEN QUE ESTAN ESTABLECIDOS.
Estos casos son:
123456-
FACTOR COMUN
FACTOR COMUN POR GRUPOS
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
DIFERENCIA DE CUADRADOS
TEOREMA DE GAUSS / DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
1- FACTOR COMUN
Para factorizar un polinomio por este caso debe tenerse en cuenta que existan factores
comunes en los números y las letras. En el caso de los números el factor común es aquel
QUE DIVIDE A TODOS AL MISMO TIEMPO, y en el caso de las letras debe
observarse que esté en TODOS LOS MONOMIOS y se EXTRAE LA QUE TIENE
MENOR EXPONENTE.
Una vez extraído el factor común se divide cada término del polinomio por él aplicando
el concepto de cociente de potencias de igual base para las letras (se restan los
exponentes…)
P(x) = 2x4+ 4x3 - 6x2 + 8x
Aplicando factor común tenemos que el número 2 divide a todos al mismo tiempo,
mientras que la letra x está en todos los monomios y el menor exponente que posee es 1.
Entonces el factor común es 2x, por lo tanto podemos escribir el polinomio como:
P(x) = 2x . (x3+ 2x2 - 3x + 4)
2- FACTOR COMÚN POR GRUPOS
En este caso hay un determinante que nos indica si es aplicable o no, y es que la
cantidad de términos del polinomio debe permitir formar grupos de igual cantidad de
términos, es decir que si el polinomio tiene 6 términos puedo agrupar en 2 de 3 o 3 de 2,
si tiene 9 términos puedo agrupar 3 de 3.
Esta limitación nos dice si es aplicable o no este caso.
ES IMPORTANTE EN ESTE CASO PODER AGRUPAR CORRECTAMENTE, POR LO
QUE SE REQUIERE UNA IMPORTANTE CAPACIDAD DE OBSERVACIÓN.
Existen casos en los cuales no pueden extraerse factores comunes entre todos los
términos, pero sí podemos agrupar algunos de ellos que posean factores comunes.
Por ejemplo, veamos el polinomio:
P(x) = 2x4+ 4x3 - x – 2
Como vemos, no tenemos un factor común en los números y tampoco en las letras pues
no figura en todos los términos.
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Pero si aplicamos lo que dijimos anteriormente, podemos agrupar de la siguiente
manera:
P(x) = (2x4+ 4x3 ) - x – 2
Donde en el primer grupo tenemos como factores comunes al 2 y x3 lo que podemos
resolver de la siguiente forma:
P(x) = 2x3 (x+ 2 ) - x – 2
El otro grupo, si lo analizamos, tiene los mismos factores que quedaron dentro del
paréntesis al aplicar la primera factorización, solo que con los signos cambiados, pues
mientras en el paréntesis la x es positiva, en el otro término es negativa, y mientras el 2
es positivo, el otro es negativo.
Pero como hay un signo negativo precediendo a ambos, puede suponerse que tanto a la
x como al 2 del segundo término los multiplica el -1, de la siguiente forma:
P(x) = 2x3 (x+ 2 ) - 1 . (x + 2)
Es decir que, si en ambos términos aplicamos la propiedad distributiva, volveríamos al
polinomio primitivo pues no alteramos nada.
Pero, si miramos detenidamente, el término x + 2 es COMUN en ambos términos, en el
primero a 2x3 y en el segundo a -1.
Por lo tanto puede EXTRAERSE COMO FACTOR COMÚN quedando:
P(x) = (2x3 – 1 ) . (x + 2 )
Es decir que hemos factorizado la expresión polinómica.
3- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Este caso es el paso inverso al cuadrado de un binomio y puede aplicarse
UNICAMENTE si el polinomio es un TRINOMIO, es decir tiene TRES TERMINOS.
El cuadrado de un binomio tenía una reglita:
EL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MAS EL DOBLE PRODUCTO DEL
PRIMERO POR EL SEGUNDO MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO.
En símbolos:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
Este método aplica el paso inverso, es decir que si tenemos por ejemplo el siguiente
polinomio:
P(x) = 4x2 + 4 x + 1
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deberá cumplirse lo siguiente:
a- QUE EXISTAN DOS CUADRADOS PERFECTOS.
en nuestro caso son 4x2 y 1 pues las bases son respectivamente 2x y 1, ya que
(2x)2 = 4x2 y (1)2 = 1
b- QUE EL TERMINO RESTANTE SEA EL DOBLE PRODUCTO DE
LAS BASES ENCONTRADAS EN EL PUNTO 1
en nuestro caso se cumple que: 2 . 2x . 1 = 4x
Por lo tanto, cumplidas las dos condiciones anteriores podemos escribir al polinomio
como un binomio formado por las bases, y elevado al cuadrado.
P (x) = (2x
+ 1)2
IMPORTANTE:
SI TODOS LOS SIGNOS DEL TRINOMIO SON POSITIVOS DENTRO DEL
PARENTESIS SE ESCRIBE LA SUMA DE LAS BASES, MIENTRAS QUE SI
SON INTERCALADOS POSITIVOS Y NEGATIVOS SE ESCRIBE LA RESTA
DE LAS BASES.
MAS IMPORTANTE!!! Generalmente este caso no se utiliza de esta forma, sino
que DIRECTAMENTE SE APLICA LA FORMULA DE BHASKARA QUE SE
USA EN LA RESOLUCION DE LA FUNCION CUADRATICA, ALIAS
PARABOLA.
4- CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
En forma análoga al caso anterior es el paso inverso del cubo de un binomio, por lo
tanto deberá cumplirse que:
a- EXISTAN DOS TÉRMINOS QUE SEAN CUBOS PERFECTOS
b- UN TÉRMINO SEA AL TRIPLE PRODUCTO DE LA PRIMERA BASE AL
CUADRADO POR LA SEGUNDA
c- EL OTRO TÉRMINO SEA EL TRIPLE PRODUCTO DE LA SEGUNDA
BASE AL CUADRADO POR LA PRIMERA
d- SI TODO LO ANTERIOR SE CUMPLE ENTONCES PODEMOS ESCRIBIR
EL POLINOMIO COMO UN BINOMIO FORMADO POR LAS BASES Y
ELEVADO AL CUBO.
Ejemplo
P(x) = 8 – 12x + 6x2 – x3
Apliquemos el punto 1
Los cubos perfectos serían 8 y –x3, siendo sus bases 2 y –x respectivamente ya que
(2)3 = 8 y (-x)3 = -x3
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Apliquemos los puntos 2 y 3
Un término debiera ser: 3 . 22 . (-x) = - 12x (lo que se verifica en el segundo término)
El otro término sería: 3 . 2 . (-x)2 = + 6x2 (lo que se verifica en el tercer término)
Por lo tanto, como se cumplen TODOS los requisitos, podemos escribir al polinomio
como:
P(x) = (2 – x)3
IMPORTANTE:
SI TODOS LOS SIGNOS DEL CUATRINOMIO SON POSITIVOS DENTRO
DEL PARENTESIS SE ESCRIBE LA SUMA DE LAS BASES, MIENTRAS QUE
SI SON INTERCALADOS POSITIVOS Y NEGATIVOS SE ESCRIBE LA
RESTA DE LAS BASES.
5- DIFERENCIA DE CUADRADOS
Ante todo debemos distinguir dos situaciones:
(a – b)2 es el CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
(a2 – b2) ES UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Por lo tanto trabajaremos con el segundo caso.
LA DIFERENCIA DE CUADRADOS SE EXPRESA COMO EL PRODUCTO DE
LA SUMA DE LAS BASES POR LA RESTA DE LAS BASES.
Veamos lo siguiente:
(x2 – 25) es una diferencia de cuadrados pues puede escribirse (x2 – 52)
Entonces, aplicando la definición, y siendo las bases de las potencias x y 5 tendremos:
(x2 – 52) = (x + 5) . (x – 5)
6- TEOREMA DE GAUSS
EL TEOREMA DE GAUSS INDICA QUE LAS POSIBLES RAÍCES DE UN
POLINOMIO PUEDEN OBTENERSE FORMANDO FRACCIONES
IRREDUCIBLES ENTRE LOS DIVISORES DEL COEFICIENTE
INDEPENDIENTE Y LOS DIVISORES DEL COEFICIENTE PRINCIPAL.
Una vez obtenidas esas fracciones, aplicando el teorema del resto veremos si el resto
nos da 0, lo que en ese caso indica que el número reemplazado es una raíz del
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polinomio, razón por la cual, aplicando la regla de Ruffini podremos ir factorizando al
polinomio en cuestión.
Por ejemplo, tenemos el polinomio:
P(x) = x4 + 2x3 + x + 2
Agotados los procedimientos anteriores, veremos cuales son los divisores del
coeficiente principal 1 y el coeficiente independiente 2.
Divisores de 2: +1 , -1 , +2 , -2
Divisores de 1: +1 , -1
Si formamos fracciones con los divisores de 2 y los de 1 tendremos:
+1/+1 , +1/-1 , +2/+1 , -2/-1
Es decir que nos quedan: +1 , -1 , +2 , -2
Por lo tanto ahora nos queda ver cuáles de esos valores anulan al polinomio.
Probemos con 1 (que es el más fácil…)
P(1) = 14 + 2 13 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 + 2 no da 0, por lo tanto no es raíz
Veamos con -1
P(-1) = (-1)4 + 2(-1)3 + (-1) + 2 = 1 – 2 - 1 + 2 = 0 por lo tanto es raíz
Entonces al polinomio le aplicamos la regla de Ruffini dividiéndolo por -1
P(x) = x4 + 2x3 + x + 2
1
-1
1
2
0
1
2
-1 -1
1
-2
1 -1
2
0
Por lo tanto el polinomio puede ser expresado como:
P(x) = (x + 1) . (x3 + x2 - x + 2)
(Recordar que el signo del término independiente cambia…)
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Deberíamos ahora volver a probar con 1, o bien con otra de las raíces que encontramos
anteriormente y repetir el mismo procedimiento.
En caso de que no hubiese ninguna más, entonces la expresión del polinomio quedará
reducida a las que encontramos con el agregado de lo que resultó de Ruffini.
En este caso, como ejemplo, no hay ninguna otra raíz que anule al polinomio, por lo que
la expresión factorizada del mismo es la que vimos anteriormente.
Consideraciones sobre las raíces
GRAFICA DE FUNCIONES POLINOMICAS
Existen variados teoremas que versan sobre las raíces de los polinomios. Sin entrar en
demasiados detalles enunciaremos las propiedades de los más importantes:
1- UN POLINOMIO TIENE TANTAS RAÍCES COMO LO INDICA SU
GRADO.
Esto significa que el grado de un polinomio me indica el MAXIMO número de raíces
que este puede tener.
2- LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO PUEDEN SER REALES O
COMPLEJAS
Esto significa que el polinomio puede atravesar y/o rebotar en el eje de las x o bien ni
atravesarlo ni tocarlo.
Cuando las raíces son reales, EL POLINOMIO ATRAVIESA Y/O REBOTA EN EL
EJE x.
Cuando las raíces son complejas el polinomio no rebota ni atraviesa el eje x.
3- EL TERMINO INDEPENDIENTE DEL POLINOMIO ES EL QUE
DETERMINA EL CORTE EN EL EJE y.
El valor del término que no posee parte literal indica el corte del polinomio sobre el eje
de las y.
4- SI LAS RAÍCES DEL POLINOMIO SON SIMPLES, LA GRÁFICA DEL
MISMO ATRAVIESA EL EJE DE LAS x, MIENTRAS QUE SI SON
MÚLTIPLES DE INCUMBENCIA PAR REBOTA SOBRE EL MISMO EJE.
Entonces, conociendo estas propiedades podemos obtener las gráficas de los
polinomios, o bien, obtener el polinomio conociendo su gráfica.
Veamos por ejemplo un polinomio que tiene como raíces
x1 = -2, x2= -2; x3= 4, x4= 6, x5 y x6 = no R, y término independiente c= 3
El grado del polinomio ha sido 6. La gráfica del polinomio será aproximadamente la
siguiente:
Álgebra de Polinomios
Prof. Sergio A. Signorelli
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PROHIBIDA SU REPRODUCCION SIN AUTORIZACION
3
-2
4
6
En forma análoga, si conocemos la gráfica de un polinomio podemos obtener su
expresión:
-3
-2
4
1
6
Como el polinomio atraviesa siempre el eje x se trata de raíces simples, por lo tanto, la
expresión aproximada nos dará:
P(x) = a . (x + 3) . (x + 2) . (x – 1) . (x – 6) (recordar que las raíces cambian de signo...)
Nos falta conocer el coeficiente principal a, pero para ello sabemos que la ordenada al
origen según la gráfica vale 4. es decir que, cuando x valió 0, el polinomio valió 4.
Con este simple dato podemos obtener el valor del coeficiente principal, haciendo:
P(0) = a . (0 + 3) . (0 + 2) . (0 – 1) . (0 – 6) = 4
a . ( +3) . (+ 2) . (– 1) . (– 6) = 4
a . (+36) = 4
a = 4/(+36)
a = 1/9
Entonces, la expresión final del polinomio será:
P(x) = 1/9 . (x + 3) . (x + 2) . (x – 1) . (x – 6)
Te queda a vos obtener la expresión polinómica haciendo las correspondientes
distributivas.
P(x) =