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Semana Semana 99 Ley de los senos Ley de los senos ¡Empecemos! En el semestre anterior estudiaste las razones trigonométricas para resolver triángulos con un ángulo de 90º. Sin embargo, no todas las situaciones de nuestro entorno pueden representarse a través de triángulos rectángulos, naturalmente esto lleva a preguntarnos cómo resolver triángulos que no tienen un ángulo de 90º, triángulos oblicuángulos. En esta sesión, para resolver tales triángulos aplicaremos la Ley de los senos y la de los cosenos (ésta última la abordaremos en la semana siguiente). ¡Anímate a seguir profundizando en el estudio de los triángulos! ¿Qué sabes de...? Para avanzar satisfactoriamente en este tema responde: ¿qué son ángulos complementarios? ¿Qué son ángulos suplementarios? Traza todas las alturas del siguiente triángulo. B a c A b C El reto es... La estación guardacostas Ribas está situada a 240km al sur de la estación Miranda. Un barco envía una llamada SOS de auxilio que es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Ribas indica que el barco se localiza a 35º al noreste; la llamada a la estación Miranda indica que el barco está a 30º al sureste. 210 Semana 9 Ley de los senos Vamos al grano Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no tienen un ángulo recto. Todo triangulo oblicuángulo es, o bien acutángulo (todos sus ángulos están comprendidos entre 0º y 90º) u obtusángulo (un ángulo 90°<θ<180°). Resolver un triángulo significa hallar la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Necesitas conocer la longitud de un lado con otros dos elementos, así es posible conocer el resto de las cantidades del triángulo. Hay 4 posibilidades por considerar: Caso 1. Se conoce un lado y dos án- Caso 2. Se conocen dos lados y el ángulos (LAA o ALA). gulo opuesto a uno de ellos (LLA) Caso 3. Se conocen dos lados y el án- Caso 4. Se conocen los tres lados gulo comprendido entre ellos (LAL). (LLL). Ley de los senos Vamos a demostrar la Ley de los senos mediante las propiedades de los triángulos rectángulos estudiados en el semestre anterior. Trazamos la altura h desde uno de los vértices del triángulo. Usando las razones trigonométricas del seno en cualquiera de los triángulos obtenemos: C γ a h b m β α A b c a γ α B A a) Triángulo acutángulo h m 180°-γ C β c B b) Triángulo obtusángulo Figura 14 senα= h h y senβ= b a Despejando h de ambas igualdades se obtiene: senα = senβ (1) a b Se utiliza el hecho de que sen(180 -x)=sen x De manera similar se procede en el segundo triangulo: h=b·senα y h=a·senβ, entonces b·senα= a·senβ y m senα= m y senγ=(180°-γ)= a c 211 Semana 9 Ley de los senos Por consiguiente, m=c·senα y m=a·senγ Al igualar ambas expresiones: c·senα=a·senγ y senα senγ = (2) a c Al combinar las ecuaciones 1 y 2 obtenemos la Ley de los senos. Para un triángulo con lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ, respectivamente se tiene: senα = senβ = senγ b a c La Ley de los senos expresa que la razón entre el seno del ángulo opuesto a cada lado y la longitud de éste es constante. La Ley de los senos se aplica a los casos 1 y 2 mencionados anteriormente. Veamos a través de ejemplos cada uno de los casos. Caso 1. Conociendo dos ángulos y un lado (ALA) El triángulo que se forma en el problema propuesto en la sección “El reto es” nos da información de dos ángulos y un lado. Tenemos que usar la Ley de los senos para resolver el triángulo. Para dar respuesta a la situación planteada tendrías que ver cuál es la menor distancia, si la longitud a: distancia estación Miranda-barco o longitud b: distancia estación Ribas-barco. En el triángulo que se obtiene del problema puedes notar que los ángulos dados son exteriores al triangulo. Necesitamos conocer la medida de los ángulos interiores ¿cómo hallarlos? ¡Exacto! En la figura 15 aprecias que ambos ángulos son complementarios, es decir, suman 90º. B β =60° a γ =65° c=240 km α =55° 212 A Figura 15 b C Semana 9 Ley de los senos El ángulo γ es muy fácil de encontrar, porque los ángulos internos de un triángulo suman 180º. Luego γ=180°-60°-55°=65° Usamos la Ley de los senos para hallar las distancias a y b: sen55° sen55° = a 150 150sen55° a= sen65° sen60° sen65° = b 150 b= 150sen60° sen65° 122.87 a= sen65° =135.6 m 129.9 sen65° =143.3 m b= La estación Miranda está más próxima al lugar donde se encuentra el barco, por tanto el helicóptero deberá salir de esa estación. Ahora bien, empleando tus conocimientos acerca del movimiento rectilíneo uniforme puedes hallar el tiempo requerido para que el helicóptero llegue al barco. Caso 2. Conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Un avión vuela desde la ciudad A hasta la ciudad B, que está a 200km de distancia, luego cambia su rumbo a 40º y se dirige a la ciudad C, como se observa en la figura 16. Anímate a realizar el ejercicio. a) Si la distancia entre A y C es de 450km, ¿qué distancia hay entre las ciudades B y C? b) ¿Qué ángulo debe girar el piloto en C para volver a la ciudad A? C γ b=450 km β =140° α c=200 km A B Figura 16 El ángulo interior y externo en B suma 180º por ser ángulos adyacentes, así que el ángulo interior en B es 140º, este ángulo se opone al lado b de 450km. Aplicamos la Ley de los senos para determinar el ángulo γ a. sen140° = 450 senγ 200 senγ = 200sen140° 4sen140° = =0.29 450 9 γ= sen-1 0.29=16.9° Conociendo los ángulos β y γ, puedes determinar la medida del ángulo α El tercer lado (la distancia de B a C), puede determinarse empleado nuevamente la Ley de los senos: 213 Semana 9 Ley de los senos sen140° sen21.26 = 450 a 450sen23.1° a= =274.7km sen140 De acuerdo a la ilustración, el piloto tendría que girar desde C con un ángulo de 180º-16.9º=163.1º (ver figura 17). C γ=16.9° β =140° α = 23.1° A B Figura 17 Para saber más… Consulta la siguiente dirección web: http://goo.gl/6F4TA para profundizar sobre la Ley de los senos. Aplica tus saberes Reforcemos con otra situación… Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo resulta ser de 25º y el otro de 45º, respectivamente. Si los observadores están a 160km el uno del otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une, ¿qué tan alto vuela el helicóptero? En esta situación sería conveniente trabajar con los dos triangulos que se obtienen al trazar la altura, aplicar la Ley de los senos y posteriormente igualar la longitud h de la dos ecuaciones que resultan. C γ=115° α =25° A 214 25° 300 m 40° h β =40° B c=300 m Tambien puedes realizarlo aplicando la razón trigonometrica tan θ. Hazlo y compara los resultados con tus compañeros del CCA. 300-x x Semana 9 Ley de los senos Comprobemos y demostremos que… Las estrategias de evaluación esta semana consistirán en la resolución de problemas, la participación en el CCA y la autoevaluación. En el CCA, en pequeños grupos, realizarán los ejercicios y problemas propuestos; luego, entréguenlos al facilitador. 1. En los siguientes ejercicios resuelve cada triángulo: a) α=40°, β=20°, a=2 b) α=110°, γ=30°, c=3 c) β=70°, γ=10°, b=5 d) a=2, c=1, γ=25° e) b=4, c=6, β=20° f ) a=3, b=7, α=70° 2. Resuelve los siguientes problemas: a) Una avioneta al realizar su recorrido se encuentra con una fuerte tormenta, por lo que debe cambiar su curso. Gira 25º hacia el norte y vuela 89km. Luego hace otro giro de 115º y se dirige hacia el curso original. Halla la distancia que recorrió de más la avioneta para evitar la tormenta, encuentra además el ángulo que debe girar para regresar al curso original (ver figura 18). 89 km 115° 25° Figura 18 b) Para encontrar la distancia de la casa A a la casa B, un topógrafo determina que el ángulo BAC es de 40º; luego camina una distancia de 100 pies y determina que el ángulo ACB es de 50. ¿Cuál es la distancia de A a B? (ver figura 19). Figura 19 215 Semana 9 Ley de los senos c) El teleférico transporta pasajeros desde el punto A que está a una distancia de 650m del punto B, que se halla en la base de un cerro, hasta un punto P situado en la cima del cerro. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21º y 65º respectivamente. Halla la distancia entre A y P y calcula la altura del cerro. Figura 20 Autoevaluación ¿Qué dudas fueron aclaradas a través del video, propuesto en la sección “Para saber más”? ¿Qué acciones he realizado para comprender la temática? ¿Cuáles son las dificultades que se han presentado para la solución de los problemas? ¿En qué debo seguir mejorando en la resolución de problemas donde se aplique la Ley de los senos? En momentos de crisis, solo la imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein 216