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Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones Traducir frases lingüísticas a expresiones Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. El Teorema de Pitágoras describe la relación entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo _________. 2. El ____________ ______ ___________ de la hipotenusa es igual a la______ de ______ ___________ de los catetos. 3. Si c es la hipotenusa del triángulo, a y b son los otros dos lados, el Teorema de Pitágoras se puede expresar como ________________ . 4. Álgebra es una especie de escritura corta que usa ____________ y ____________ . 5. Se usa una letra o símbolo para representar un conjunto de números que se conoce como una __________________. Palabras claves: variable expresión algebraica ecuación Objetivos de aprendizaje: • Reconocer las diversas representaciones de una relación algebraica. • Identificar el significado de una variable en una situación dada. • Escribir expresiones algebraicas equivalentes para frases verbales. 6. Una expresión algebraica es la colección de uno o más ____________ , ____________ y __________________. 7. Una ecuación algebraica es una expresión de ____________ entre dos ____________ algebraicas. © RIVERDEEP, Inc. 8. La expresión del lado izquierdo de una ecuación algebraica es ____________ a la expresión del lado derecho de la ecuación. 9. En una ecuación algebraica que contiene dos variables, si conoces el valor de una de las ___________, puedes econtrar la _________________. destino MATEMÁTICAS 1 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones Traducir frases lingüísticas a expresiones 1. Clasifica cada una de las siguientes como expresión algebraica o ecuación algebraica. a. x 2 y 2 ______________________________________________________ b. a 3 b____________________________________________________ c. a2 b2 c2__________________________________________________ d. 3n 1 _______________________________________________________ e. y 3n 1____________________________________________________ 2. Al comenzar un viaje por carretera, un auto tiene 15 galones de gasolina. El auto utiliza x galones cada 20 millas. Escribe una ecuación algebraica que describa cuánta gasolina quedó en el auto después de 60 millas de viaje. __________________ 3. Parte del trabajo de un encargado de un zoológico es ordenar la comida de los animales. El león come x libras de alimento cada día y la zebra come libras de alimento cada día. Escribe una expresión algebraica, en libras por la cantidad total de alimento que ambos comieron durante una semana. __________________________________________________________ 4. La velocidad de un carrito de golf se puede calcular usando la ecuación algebraica s d/t, donde s representa velocidad, d representa distancia y t representa tiempo. © RIVERDEEP, Inc. a. Si d 2 millas y t 15 minutos. Utilizando esta información, ¿cuál es la variable con la cual puedes resolver? ____________________________ b. ¿Qué información necesitas saber para calcular la distancia que viajó el carrito de golf? _________________________________________________ c. Si conoces solamente que el carrito viajó 3 millas, ¿puedes calcular la velocidad? ______ Explica. ______________________________________ _____________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 2 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones Aplicando las propiedades de los números reales Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Los números se pueden sumar en cualquier ____________ y todavía obtienes la ____________. 2. De acuerdo a la propiedad conmutativa de la suma, 3 4 ____________ y a b ____________ . 3. La propiedad conmutativa de la suma aplica a _________________ como también a _____________. 4. La ecuación ab ba es un ejemplo de la propiedad _______________ de la __________________. 5. De acuerdo con la propiedad asociativa de la suma, para todos los números a, b, y c, a (b c) ____________ . Palabras claves: propiedad conmutativa propiedad asociativa propiedad distributiva Objetivos de aprendizaje: •Aplicar las propiedades conmutativas de la suma y la multiplicación. •Aplicar las propiedades asociativas de la suma y la multiplicación. •Aplicar las propiedades distributivas de la multiplicación sobre suma. 6. Asociación significa agrupar pares de números juntos sin _______________________________________________________________ . 7. Los números se pueden agrupar o asociar utilizando ________________ y el orden se queda igual. © RIVERDEEP, Inc. 8. La propiedad asociativa de la multiplicación establece que para todos los números a, b, y c, a (b c) __________________ . 9. Muestra dos formas para expresar la suma de las áreas de dos rectangulos, uno 8 5 y otro 8 7. __________________ y __________________ 10. La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma, expresa que los números a, b, y c, a(b c) __________________ . destino MATEMÁTICAS 3 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones Aplicando las propiedades de los números reales 1. Una persona está construyendo un aquarium que tendrá 6 peces y 4 plantas. Un lado del aquarium es rectangular con 5 pies de altura y 3 pies de ancho. a. Escribe una expresión que muestre el total de número de plantas y peces que fueron puestos en el aquarium. Luego usa la propiedad acumulativa de la suma para escribir una segunda expresión algebraica del mismo valor. __________________ __________________ b. El área de un rectángulo es su largo por su ancho. Aplica la propiedad conmutativa de la multiplicación y escribe dos expresiones para el área de uno de los lados del aquarium. __________________ __________________ 2. En una tienda de animales un cliente compra 3 tetras, 2 peces dorado y 1 beta. Aplica la propiedad asociativa de la suma y escribe 2 expresiones para el total de peces que se compraron. __________________ __________________ 3. Aplica la propiedad distributiva y completa las siguientes expresiones. a. 5(x y) ____________ b. x(6 y) ____________ c. 3a 3b ____________ d. 12m 6 ____________ © RIVERDEEP, Inc. 4. Evalua o simplifica cada par de expresiones. Luego utiliza la propiedad de números reales con un signo de igual (=) o con un signo de no igual (≠) entre cada par de expresiones. a. 3 (5 2) _____ (3 + 5) 2 b. (a b) c _____ (c b) a c. 5a 5b _____ 5(a b) d. 3(6 y) _____ 3(6) y 4 destino MATEMÁTICAS Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones Evaluando y simplificando expresiones Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Puedes verificar que el lado izquierdo y el derecho de la ecuación 15n 12.5n 27.5n sean __________________ al __________________ el valor de la variable n en cada expresión. 2. __________________ significa “encontrar el valor de”. 3. Un ____________ es el producto o coeficiente de un número o una variable. 4. Los dos términos en la expresión 15n 12.5n son ______ y ______ . Palabras claves: término términos semejantes región anular evaluar coeficiente Objetivos de aprendizaje: •Combinar términos semejantes utilizando las propiedades de los números reales. •Evaluar expresiones y fórmulas de valores dados de una o más variables. 5. Cada factor en un término se conoce como __________________ . 6. Un factor que es un número se conoce como ____________ ________. 7. En la expresión 15n 12.5n 27.5n, ______ , ______ , y ______ son coeficientes númericos del factor n. © RIVERDEEP, Inc. 8. Cuando la variable de dos términos de una expresión es igual, puedes simplificar la expresión __________________ el ______________ _________ de cada variable. 9. Términos semejantes son términos con ____________ ____________ y ____________ iguales. 10. El coeficiente númerico de x 2 y ab es ______ . 11. La región entre dos círculos con el mismo centro es la ________________ . 12. La expresión dada para el área de la región anular, π(36r 2 – r 2), se puede simplificar a ____________ porque 36r 2 y r 2 son __________________ . destino MATEMÁTICAS 5 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones Evaluando y simplificando expresiones 1. Parea las expresiones del lado izquierdo con la letra que corresponde al término del lado derecho. 2ab ab (__) a. 30(a2b2) ab2 (__) b. π(ab) 5(ab)2 (__) c. a2b 7a2b a2b (__) d. 25ab2 ab2 2. Combina términos semejantes y simplifica las siguientes expresiones. a. 3x2 2x x2 ________________________ b. 2a 3ab 2b ab ________________________ c. 25x 15x x ________________________ 3. Se está construyendo un vivero en forma de cubo con un techo en forma de pirámide cuadrada. La fórmula para el volumen de un cubo es s3, donde s es cualquier lado. La fórmula para el volumen de la piramide es 31 bh, donde b es el área de la base y h es la altura de la piramide. a. Escribe una expresión algebraica en términos de s y h para el volumen total del vivero y el techo. _____________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. b. Calcula el volumen total del vivero, si cada lado en forma de cubo es 10 pies y la altura del techo en forma de pirámide es 3 pies. ________________________________ 4. El colmado tiene una venta de yogur. Si compras la primera pinta a precio regular, la segunda es a mitad de precio. Escribe una expresión para el costo total de x pintas de yogur por el costo de y dólares por pinta. Simplifica la expresión. ______________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 6 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones 1. Escribe una expresión algebraica para cada una de las siguientes relaciones. Usa la variable n para un número. a. Tres por un número más uno = __________________ b. Dos por un número al cuadrado es __________________ c. El cuadrado del producto de dos multiplicado por un número es __________________ 2. Escribe la diferencia entre una expresión algebraica y una ecuación algebraica._______________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. La aceleración de un auto se puede calcular usando la ecuación a f/m, donde f es la fuerza neta del auto y m es la masa del auto. a. Dado los valores para fuerza neta y aceleración, ¿que valor puedes calcular? __________________ b. ¿Qué debes saber para calcular la fuerza neta en el auto? _____________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. 4. Estas comprando CD por el correo. El costo de cada CD es $15.95. El costo por envio y manejo es $2.95 por el primer CD y $1.95 por cada CD adicional. Escribe una expresión algebraica para el costo total, envio y manejo de un número x de CD’s. _____________________________________________________________ 5. Un arqueólogo y su equipo están comenzando una excavación de unas ruinas antiguas. El área de excavación es rectangular con medidas de 12 pies por 15 pies. El equipo estudia un área de aproximadamente 12 pies cuadrados por día. a. Escribe una expresión algebraica del área restante despúes de x días de trabajo. ________________________________________________________ b. ¿Estará terminado el trabajo del arqueólogo después de 14 días? ______________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 7 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 6. Usa las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas para determinar si las siguientes expresiones son igual (=) o no igual a (≠). a. 3y 1 ______ 1 y(3) b. 25x3 (2x)(18) ______ 36x 25x3 c. 3x 4x 2 ______ 7x 2 d. 2(a2 b2) ______ 4a 2 4b 2 e. 3y x 2y ______ y(x 2 3) 7. Simplifica las siguientes expresiones al combinar los términos semejantes. a. y 15y 8y ____________ b. 28c3 2a3 2c3 ____________ c. 3(a b) 4a ____________ d. (7x 2)(3) x2 ____________ 8. Un gerente de un restaurante necesita calcular la ganancia diaria del restaurante. Para hacer esto, él resta el gasto diario del estimado total de ingreso de cada día. El ingreso diario es $15 por cliente. El gasto diario es $95 por renta y artículos de comidad, $7 por cliente por artículos que no son comida y $80 de salario por empleado. © RIVERDEEP, Inc. a. Escribe una ecuación algebraica por la ganancia diaria estimada, si p representa la ganancia diaria, c representa el número de clientes y e representa el número de empleados. _____________________________ b. Calcula la ganancia promedio para cada uno de los siguientes días, usando los valores de c y e. sábado: c = 147, e 10 ________________________________________ domingo: c = 121, e 9 _______________________________________ lunes: c = 92, e 6 __________________________________________ 8 destino MATEMÁTICAS Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 1: Variables, expresiones y ecuaciones Investigando cómo correr un negocio 1. Un jardinero compró un vivero. Unas plantas and árboles pequeños serán sembrados en un área rectangular que mide 25 pies x 10 pies. Para desarrollar una estructura adecuada, cada planta necesita un área de 0.5 pies cuadrado y cada árbol necesita 4 pies cuadrado. a. Si p representa el número de plantas, escribe una expresión para el número total de plantas que se pueden sembrar en el área asignado. ______________________________ b. Si t representa el número de árboles, escribe una expresión para el número total de árboles que se pueden sembrar en el área asignada. __________________________________________________________________ c. Escribe una ecuación en términos de p y t para representar el número total de plantas y árboles en el área. ___________________________________________________________________________ 2. Comprando plantas, el jardinero encuentra una venta especial en algunas plantas. Para obtener el precio de venta, el cliente debe de comprar 300 plantas que florecen. El jardinero revisa el área de siembra para 300 plantas. El área restante será para los árboles pequeños. a. Escribe una ecuación para el número de árboles t que caben en el área restante del jardín. ________________________ © RIVERDEEP, Inc. b. Calcula cuántos árboles se deben comprar. ________________________ destino MATEMÁTICAS 9 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 3. En la inaguración del vivero, los precios serán los siguientes: $5.00 una cama de margaritas $6.00 una cama de peonías $8.00 una cama de geranios $10.00 una cama de zinias a. Escribe una ecuación algebraica para conocer el costo total de c por la compra de cada cama de flores. Usa las variables d, p, g y z para representar cada clase de planta. ______________________________________ b. Usa la ecuación del paso (a) para calcular el costo total de 4 camas de margaritas, 1 cama de geranios y 2 camas de zinias. _______________ 4. Los gastos básicos para manejar un vivero es el costo de la renta, materiales, equipo y empleados. El costo de renta y utilidades es $650 por mes, por materiales es de $250 cada mes. El costo de cada empleado es $12 la hora, esto incluye salarios, beneficios e impuestos. a. Escribe una expresión algebraica para el costo por hora de cada empleado. Usa la variable x para el número de empleados, y la variable y para el número de horas trabajadas por cada empleado. _______________________________ b. Escribe una ecuación algebraica para el costo total c de empleados por mes . Asume que cada empleado trabaja 24 días, 8 horas por día al mes. Usa la variable x para el número de empleados. Simplifica la ecuación. ____________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. c. Usa la ecuación del paso (b) para calcular el gasto total mensual del vivero con dos empleados a tiempo completo. _____________________________________________________________ d. Asumiendo que el dueño del vivero no puede exceder sus gastos de $8,000 al mes, usa la ecuación del paso (b) para calcular el número máximo de empleados a tiempo completo que él puede emplear. ______________________________ destino MATEMÁTICAS 10 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable Aplicando operaciones inversas Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. La propiedad de la igualdad de la suma establece que, si cantidades ____________ se suman a cantidades iguales, su total es igual. 2. Si se resta 6 del lado izquierdo de una ecuación, entonces se tiene que restar ___________ del lado derecho de la ecuación para mantener la ecuación balanciada. 3. Si cantidades iguales son multiplicadas por cantidades iguales, los ____________ son __________________ . 4. La propiedad de la igualdad de la división sólo se aplica cuando se está dividiendo por números _________________________________. 5. La __________________ ______ ______ __________________ es el conjunto de valores que responde a la ecuación. 6. Al sumar 4 al lado izquierdo de la ecuación w 4 13, para despejar la variable, puedes ____________ 4 de ambos lados de la ecuación o ____________ 24 de ambos lados de la ecuación. © RIVERDEEP, Inc. 7. n es el ____________ ___________ de n. 8. Si el valor correcto de una variable se sustituye en una ecuación, y ambos lados de la ecuación se simplifican, los dos lados de la ecuación son, ____________ . Palabras claves: ecuación identidad operación inversa inverso aditivo multiplicativo inverso opuesto constante recíproco propiedades de la igualdad solución de una ecuación Objetivos de aprendizaje: •Explorar las propiedades de la igualdad de la suma, resta, multiplicación y división. •Aplicar las propiedades de la igualdad de la suma y resta para resolver ecuaciones de un sólo paso. •Verificar por sustitución que la solución de una ecuación es válida. •Aplicar las propiedades de la igualdad de la multiplicación y división para solucionar ecuaciones de un paso. •Reescribir fórmulas para variables específicas. 9. Una ____________ es un enunciado que siempre es cierto. 10. El _______________ _________________, o el _______________, de un número que no sea cero x es 1x . destino MATEMÁTICAS 11 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable Aplicando operaciones inversas 1. Si sumas -6 al lado derecho de la ecuación x 6 9, ¿cuál es la expresión del lado izquierdo de la ecuación? _________________________ 2. ¿Para cuáles ecuaciones es x 18? ____________ a. 3x 54 b. x 8 10 c. 4 x 14 3. Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifica una operación inversa que se puede usar para encontrar la solución de una ecuación. a. x 5 10 ____________ ______ b. y 24 7 ____________ ______ c. ( 16 )t 9 ____________ ______ d. 4n 12 ____________ ______ 4. Reescribe la fórmula c = dy para solucionar la variable d en términos de c y y. ________________________ 5. Un maestro de música compró 3 CD’s para una clase de música. El costo total incluyendo impuesto fue de $51.84. © RIVERDEEP, Inc. a. Si x representa el costo de un CD, ¿qué ecuación representa el costo total de todos los CD’s? ____________ b. Resuelve para x para encontrar el costo de cada CD. ____________ destino MATEMÁTICAS 12 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable Resolviendo ecuaciones con más de una operación Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. En la ecuación u + 32t = s, u representa la velocidad ____________ de la bola en pies por segundo. 2. Si restas 10 de cada lado de la ecuación 10 32t 266, la ecuación que resulta es __________________ . 3. Una manera de despejar la variable k en la ecuación 50k 150 es dividir ambos lados de la ecuación por ______ . Palabras claves: identidad operación inversa recíproco propiedades de la igualdad Objetivos de aprendizaje: •Solucionar ecuaciones de la forma a x + b = c. •Solucionar ecuaciones de la forma a (x + b) = c (x + d). 4. Para la solución de una ecuación, puedes usar más de una __________________ ______ __________________ . 5. Para resolver la ecuación 3(2y 5) 12, puedes usar la propiedad distributiva en la expresión del lado izquierdo, y te dará la ecuación __________________ . 6. Aunque las dimensiones de cada rectángulo son diferentes, todavía puedes representarla en términos de la misma __________________ . © RIVERDEEP, Inc. 7. Cuando estás resolviendo para una variable, busca el valor de la variable que te da una ____________ . 8. Si una variable aparece en ambos lados de una ecuación , puedes simplificar ambos lados y usar operaciones inveras. Pero para encontrar el valor para la variable, tienes que __________________ la variable de un lado de la ecuación. destino MATEMÁTICAS 13 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable Resolviendo ecuaciones con más de una operación 1. Despeja la variable de la ecuación 8 12x 116, luego simplifica ambos lados de la ecuación. ___________________________________ 2. Busca dos maneras para despejar la variable y en la ecuación 15y 180? _________________________ o __________________________ 3. ¿Qué dos métodos que se pueden usar como un primer paso para resolver la ecuación 8(5d 6) 114? ________________________ o ___________________________________ 4. Considera la ecuación 25a 4 46. ¿Cuál de los siguientes pasos despejan la variable? ____________ a. Suma 4 a ambos lados de la ecuación, luego multiplica por 25. b. Divide ambos lados de la ecuación por 25, luego suma 4. c. Suma 4 a ambos lados de la ecuación, luego multiplica ambos lados por 215. 5. Dos armarios tienen dimensiones diferentes, pero los perímetros de sus bases son iguales. El perímetro de la base del armario A se puede representar por la expresión 2(3x 2), y el perímetro de la base del armario B se puede representar por la expresión 4(x 0.5). © RIVERDEEP, Inc. a. Escribe una ecuación en términos de x que muestra la igualdad de los dos perímetros. ____________________________________ b. Simplifica y reagrupa la ecuación para despejar y resolver para x. Muestra el trabajo. c. ¿Cuál es el perímetro de cada base?_____________________________ destino MATEMÁTICAS 14 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable Resolviendo ecuaciones de valor absoluto Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Los navegantes usan una ____________ imaginaria como un marco de referencia para la superficie de la Tierra. 2. Las líneas de longitud circulan desde ____________ al ____________ , mientras las líneas de latitud circulan desde __________ al____________ . 3. La ____________entre dos puntos es la longitud del segmento entre ellos. 4. ¿Cuál es una manera de medir un segmento? ________________________ _________________________________________________________________ 5. Cuando medimos la longitud de un segmento no tomamos en cuenta la ____________ . 6. La distancia siempre es mayor que o igual a ____________ . Palabras claves: valor absoluto distancia (en una recta numérica) Objetivos de aprendizaje: •Explorar el significado de la definición de valor geométrico absoluto. •Aplicar la definición valor geométrico absoluto para resolver ecuaciones de valor absoluto. •Explorar el significado de la definición de valor algebraico absoluto. •Aplicar la definición de valor algebraico absoluto para resolver ecuaciones de valor absoluto. 7. El valor absoluto de un número es la distancia del número desde ____________ en una recta numérica. © RIVERDEEP, Inc. 8. La distancia entre dos puntos en una recta numéricas el valor absoluto de la _________________ entre ellos. 9. El valor absoluto de un número mayor que cero es igual al _______________ y el valor absoluto de un número menor que cero es el_____________de ese número. 10. Las ecuaciones que envuelven el valor absoluto de una varible se pueden resolver en forma algebraica o ________________________ . destino MATEMÁTICAS 15 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable Resolviendo ecuaciones de valor absoluto 1. ¿Cuál es el valor absoluto de cada uno de los siguientes números? a. 5.6 ______ b. 0.7 ______ c. 12.3 ______ 2. Completa los siguientes enunciados. a. Si n 6 0, entonces n 6 ____________ . b. Si n 6 0, entonces n 6 ____________ . 3. La expresión m 5 2 puede utilizarse para representar la distancia, entre dos puntos en la recta numérica, donde ambos puntos están representado por la variable m. Usa esta información para completar los siguientes enunciados. a. ____________ es el punto medio de la recta. b. ____________ es la distancia entre los puntos extremos y el punto medio. c. La variable m es igual a ____________ o ____________ . d. Localiza los dos valores de m en la siguiente recta numérica. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 © RIVERDEEP, Inc. 4. Una escala para pesar alimento sólo pesa un objeto de 2 lbs en adelante o 2 lbs menos de la marca de 4 lbs o que el peso se encuentre entre esos valores. A-C1-1.2-S3-2a a. Usa la variable p para representar el peso de un objeto, escribe la ecuación del valor absoluto para el peso más alto y el más bajo que la escala puede medir. __________________ b. Construye una escala en esta recta numérica y localiza los valor para p. destino MATEMÁTICAS 16 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable 1. Resolver la ecuación 3y 6 9 para buscar la solución de la variable y. Luego sustituye el valor que encontrastes para y en el valor original de la ecuación para verificar que tienes una identidad. Muestra tu trabajo. 2. Usa las propiedades de la igualdad y operaciónes inversa para despejar la variable b en términos de p y h, en la fórmula p 2b 2h. Muestra tu trabajo. 3. Considera la ecuación 5w 5 2w 4. Describe los pasos a seguir para despejar la variable. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. ________________________________________________________________ 4. Un estudiante compra una cantidad de materiales para pintar figuras en cerámica. Su última compra, de figuras sin pintar, tiene un costo de $152. Cada figura vale $7 y hay un cargo de envio de $5 por cada orden. Usando la variable x para representar el número total de figuras, la ecuación 7x + 5 =152 puede ser usada para representar la última orden del estudiante. Resuelve la ecuación por x para determinar cuántas figuras el estudiante ordenó. Verifica tu respuesta. destino MATEMÁTICAS 17 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 5. El césped de dos casas separadas tienen diferentes formas, con la misma área. Si el área del césped A está representada por 15(x 4) pies cuadrados y el área del césped B está representada por 12 (x+10) pies cuadrados, ¿qué ecuación puedes usar para representar la igualdad de las dos áreas en términos de x? ____________________________________________________________________________________________________________ 6. Despeja y resuelve para la variable x en la ecuación de la pregunta 5. 7. Los estudiantes de la clase de arte, están construyendo un marco circular para sus dibujos. Cada marco tiene un diámetro de 2.5 pulgadas. El diámetro de los dibujos puede variar hasta 0.1 pulgadas y todavía puede acomodarse en el marco circular. Para determinar el diámetro máximo y mínimo de los dibujos, tienes que resolver el valor absoluto de la ecuación x 2.5 0.1. x = ____________ ó x = ____________ 8. Considera el valor absoluto de 4x 3 37. a. Si (4x 3) 0, entonces 4x 3 37. Si (4x 3) 0, entonces ____________ 37. b. Resuelve cada ecuación para x. x= ____________ ó x= ____________ c. Localizar los dos valores de x en la recta numérica. 2 4 6 © RIVERDEEP, Inc. –10 –8 –6 –4 –2 0 8 10 A-C1-1.2-U-2a destino MATEMÁTICAS 18 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO I: El Lenguaje del álgebra UNIDAD 2: Ecuaciones lineales en una variable Investigando cómo se resuelven las fórmulas Las fórmulas son ecuaciones que expresan la relación entre variables. Por ejemplo, la fórmula d rt específica que al multiplicar la rázon, r de un objeto y el tiempo t que viajó ese objeto a esa rázon, te va a indicar la distancia, d, que viaja el objeto. Como las fórmulas son ecuaciones, sus variables se pueden despejar usando las propiedades de la igualdad y operaciones inversas. 1. La fórmula g a h representa la velocidad en tierra g de un avión, donde a es su velocidad en el aire y h es la velocidad del viento. a. Si un avión pequeño tiene una velocidad en tierra de 200 millas por hora contra una velocidad del viento de 40 millas por hora. Usa la fórmula g a h para encontrar la velocidad del aire del avión. ______________________________________________________________ b. ¿Qué propiedad de identidad usastes para encontrar la velocidad del aire del avión? _____________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. 2. La fórmula s v at se puede usar para encontrar la velocidad s de un objeto caído en cualquier tiempo, t. En la fórmula, v representa la velocidad inicial del objeto y a representa la aceleración debido a la gravedad. En los siguientes pasos, se despeja la variable a. Identifica la propiedad de la igualdad usada en cada paso. Si un paso es una simplificación, escribe la palabra simplificado. Dado que: s v at a. s v v at v ________________________ b. s v at ________________________ at ________________________ c. (s v) t t d. (s v) ________________________ a t destino MATEMÁTICAS 19 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 3. Para propósitos de producción, un manufacturero de cereal desea conocer la altura, ancho y área de la superficie de una caja de cereal. La fórmula para el área de la superficie de la caja es S 2(lw lh wh), donde S representa el área de su superficie, l representa su largo, w representa su ancho y h representa su altura. a. En la fórmula S 2(lw lh wh), ¿qué operación se puede usar para eliminar el 2 del lado derecho de la ecuación? _____________________________ b. En la ecuación S2 lw lh wh, ¿qué propiedad de la igualdad se puede usar para eliminar lh del lado derecho de la ecuación? _____________________ c. En la ecuación S2 lh w(l h), ¿qué operación inversa se puede usar para eliminar (l h) del lado derecho de la ecuación? __________________________ (b b )h 4. La fórmula para el área de un trapecio, es A 1 2 2 , donde b1 y b2 representa dos bases del trapecio y h representa la altura. Reescribe la fórmula resuelta para b1 en términos de las otras variables. Escribe cada paso simplificado y la propiedad que se usó. Dado que: A (b1 b2)h 2 a. _________________ Propiedad: _________________ b. _________________ Propiedad: _________________ c. _________________ Propiedad: _________________ © RIVERDEEP, Inc. 5. Las especificaciones para una máquina indica que el diámetro del equipo puede variar hasta 0.001 pulgada y todavía se puede usar. Si el diámetro es de 2.250 pulgadas, entonces d 2.250 0.001 es una ecuación que el manufacturero puede usar para la producción. Resuelve el valor absoluto de la ecuación para d. Muestra todo el trabajo. destino MATEMÁTICAS 20 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares Localizando pares ordenados Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. Palabras claves: pares ordenados plano de coordenadas cuadrante correlación eje variable dependiente variable independiente coordenada x coordenada y 1. La recta numérica horizontal se conoce como el eje de ______ . 2. La recta numérica vertical se conoce como el eje de ______ . 3. El punto de origen está localizado en ______ en ambos ejes. y 4. Usa la gráfica de la derecha para rotular cada uno de los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas rectangular. O x Objetivos de aprendizaje: •Leer las coordenadas de un punto en una gráfica. •Crear escalas válidas para gráficas de conjuntos de datos. 5. El primer número de un par ordenado representa un valor en el eje de __________________ . •Reconocer tipos de correlación dado un conjunto de pares ordenados. 6. El segundo número de un par ordenado representa un valor en el eje de __________________ . © RIVERDEEP, Inc. 7. Cuando haces una gráfica de pares ordenados, el eje horizontal A-C1-2.1-S1usualmente representa la varible __________________, y el eje vertical usualmente representa la variable __________________. 8. La altura de la vela h es la variable ________________________ porque ________________________ en el número de minutos que la vela se ha consumido, m. 9. Una __________________ es un tipo de relación entre dos variables. 10. Los datos en una gráfica pueden demostrar una correlación _____________ o una correlación _____________, o ________. destino MATEMÁTICAS 21 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares Localizando pares ordenados y La escala en cada eje es 1 unidad. B 1. Nombra las coordenadas de los puntos A, B y C. Luego, nombra el cuadrante en el cual está ubicado cada punto. x O A C Punto Coordenadas Cuadrante A B C A-C1-2.1-S1- 2. Localiza en la gráfica los pares ordenados (8, 5), (4, –10), (–8, 15) y (–6, –20). Asegúrate de dibujar, nombrar y poner en escala cada eje para que los puntos de datos queden en una sola gráfica. © RIVERDEEP, Inc. y 3. Identifica el tipo de correlación que existe, si alguno, en esta gráfica. ____________________________________________ x O A-C1-2.1-S1- destino MATEMÁTICAS 22 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares Definiendo pendiente Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Para identificar una recta en particular, necesitas especificar ______ puntos en un plano. 2. Para las compañías A y B, la ____________ de cada recta refleja las diferentes ganancias de cada compañía por mes. 3. La pendiente, m, de una recta es la ____________ de la ____________ al ____________________________________ entre dos puntos en la recta. 4. La ____________ es el cambio vertical entre dos puntos en una recta. El ____________ es el cambio horizontal entre dos puntos en una recta. 5. Para calcular la pendiente de cualquier recta, necesitas saber las ________________ de cualquiera dos puntos en la recta. Luego, necesitas encontrar la __________________ entre las ____________________ y las correspondientes _______________________ usando los pares ordenados que corresponden a los puntos. © RIVERDEEP, Inc. 6. Para la data de un camión la razón que se usa para encontrar la pendiente de la recta es__________________ . Para encontrar la pendiente, puedes usar la fórmula ____________ o _________. Palabras claves: elevación recorrido pendiente par ordenado tasa de cambio Objetivos de aprendizaje: •Determinar la elevación y recorrido entre un par de puntos. •Definir la pendiente, m, como la razón de elevación sobre recorrido. •Calcular la pendiente de una recta no vertical dado las coordenadas de dos puntos cualesquiera en la recta. •Reconocer que el signo de la pendiente de una recta determina cómo se coloca la recta en el plano. •Determinar la pendiente de una recta horizontal. •Examinar por qué las rectas verticales tienen pendientes indefinidas. 7. La pendiente es ____________ para una recta que va hacia arriba de izquierda a derecha y es ____________ para una recta que va hacia abajo de izquierda a derecha. 8. La pendiente de una recta horizontal es ______ . 9. La pendiente de una recta vertical es _________ porque la división por cero es ___________. destino MATEMÁTICAS 23 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares Definiendo pendiente 1. Si una recta tiene una pendiente negativa, ¿cómo se localiza en el plano de coordenadas? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a. La variable independiente es __________________ . b. La variable dependiente es __________________ . c. La elevación de la recta entre (1, 40) y (1.5, 60) es ______ . d. El recorrido de la recta entre (1, 40) y (1.5, 60) es ______ . e. La razón de la elevación sobre el recorrido en las partes (c) y (d) es ______ . Resultados del examen 2. La siguiente gráfica muestra la relación entre los resultados de los exámenes de una clase y las horas que los estudiantes dedicaron a estudiar para el examen. Usa la gráfica para completar los siguientes enunciados. y 100 80 60 40 20 O 0.5 1 1.5 2 2.5 x Tiempo (hr) f. La pendiente de la recta es ______ . g. La razón de cambio es un(a) aumento/disminución (circula una) de ______ puntos por hora de estudio. h. La pendiente de las rectas es positiva/negativa (circula una). 3. ¿Cuál es la pendiente, si existe, de la recta en cada una de las siguientes gráficas? y y 1 y © RIVERDEEP, Inc. 1 x –1 1 1 1 x 1 x A-C1-2.1-S2-2c a. __________________ A-C1-2.1-S2-2b 24 b. __________________ c. __________________ A-C1-2.1-S2-2d destino MATEMÁTICAS Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares Localizando los interceptos de x, de y Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Si los puntos de datos no se pueden conectar por una línea recta, la gráfica no es __________________ , así que una__________________ puede ser dibujada. 2. Cuando la primera coordenada de un par ordenado es cero, el valor de la segunda coordenada es el intercepto __________________ . 3. Cuando la segunda coordenada de un par ordenado es cero, el valor de la primera coordenada es el intercepto __________________ . 4. Los puntos A, B y C son __________________ si están en la ________________ recta. 5. Explica cómo puedes determinar si los puntos A, B y C son colineales. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ Palabras claves: intercepto intercepto en x intercepto en y gráfica lineal quebrada colineal Objetivos de aprendizaje: •Identificar el intercepto horizontal y vertical de una recta. •Investigar el significado del intercepto en x y en y. •Determinar si tres o más puntos son colineales. •Interpretar el significado de una gráfica lineal quebrada. 6. ¿Qué estaba haciendo el taxi entre los minutos 6 y 8? _________________________________________________________________ ________________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. 7. La pendiente del segmento GH es ______ . La pendiente de este segmento indica que el taxi __________________________________ . 8. El número de interceptos horizontales en la gráfica del recorrido del taxi es ______ . destino MATEMÁTICAS 25 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares Localizando los interceptos de x, de y 1. La siguiente gráfica muestra la altitud o elevación, que un grupo de alpinistas subieron por un período de días. Usa la gráfica para completar los enunciados. Altitud (pies) 3500 2500 y D E C F B 1500 500 A G 1 2 3 4 5 6 Tiempo (días) x a. Nombra los interceptos verticales, si alguno. __________________ b. Nombra los interceptos horizontales, si alguno. ____________________ c. Calcula la pendiente de cada uno de los siguientes segmentos. AB ____________ BC ____________ CD ____________ DE ____________ EF ____________ FG ____________ d. Los alpinistas aumentan su elevación (es decir, su ascenso vertical) __________________ pies en el día 2. e. Explica qué representa el cambio en la pendiente entre los puntos D y E. © RIVERDEEP, Inc. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ f. Explica qué indica la pendiente negativa del punto E al punto G en términos del viaje de los alpinistas. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 26 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares 1. Identifica las coordenadas del par ordenado para cada punto identificado en la gráfica y el cuadrante en el cual está cada punto. y A A ______ ______ C x O B ______ ______ B C ______ ______ D D ______ ______ A-C1-2.1-U-1a 2. Identifica el tipo de correlación, si alguno, para cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados. y O y x __________________ A-C1-2.1-U-1b O x __________________ A-C1-2.1-U-1c 3. Calcula la pendiente de la recta entre cada par de puntos. a. (1, 1) y (3, 7) ______ © RIVERDEEP, Inc. b. (2, 5) y (0, 3) ______ 4. Describe la pendiente de cada uno de los segmentos dados como positivo, negativo, cero o indefinido. Segmento a __________________ Segmento b __________________ y c b x O a Segmento c __________________ A-C1-2.1-U-1d destino MATEMÁTICAS 27 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 5. La escala en cada eje es en unidades de 1. Identifica los interceptos de x y de y para el camino a y el camino b. y Camino b a. intercepto de x __________________ intercepto de y __________________ x O Camino a b. intercepto de x __________________ intercepto de y __________________ 6. Expresa si el siguiente conjunto de puntos es colineal. a. (0, 0), (1, 7), y (3, 8) _____________________ b. (2, 3), (7, 8), y (1, 0) _____________________ c. Explica cómo determinar si los tres puntos son colineales. _____________________________________________________________ ______________________________________________________________ a. ¿Cuál era la altitud cuando el avión bajó sus llantas? ____________ 1500 Altitud (pies) 7. Esta gráfica modela la altitud h de un avión desde el momento en que baja sus llantas (t = 0) hasta cuando aterriza. Usa la gráfica para contestar cada una de las siguientes preguntas. h 1250 1000 500 250 O 10 20 30 40 50 t Tiempo (minutos) © RIVERDEEP, Inc. b. ¿Cuánto tiempo le tomó al avión aterrizar una vez bajó sus llantas? ____________ 750 c. ¿Cuál es la pendiente del segmento que representa el descenso? ______________________________ d. ¿Por qué una pendiente negativa hace sentido para este problema? _____________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 28 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 1: Sistema de coordenadas rectangulares Investigando temperatura 1. Crea una gráfica para un pronóstico del tiempo de cinco días para una ciudad de Estados Unidos en donde el aumento de las temperaturas es constante y se usan para predecir la máxima del día. Todas las temperaturas deberían estar sobre 0°F. Identifica el lugar que utilizaste para recopilar tus datos e incluye los datos para las lecturas de temperatura y la hora del día que las lecturas fueron tomadas. Nombra los ejes. Lugar: __________________________________________________________ Usa tu gráfica para contestar las siguientes preguntas. a. ¿Es la gráfica lineal o lineal quebrada? _______________ b. ¿En cuáles cuadrantes están las coordenadas? _______________ c. Identifica los valores a lo largo de cada eje. _______________ d. ¿Cualesquiera de los puntos, ¿son colineales? _______________ 2. Crea una gráfica para un pronóstico de cinco días para una ciudad en donde las temperaturas más altas bajo 0° se puedan predecir. Identifica el lugar que utilizaste para recopilar tus datos, e incluye las fechas para las lecturas de las temperaturas y la hora del día en que fueron tomadas. Nombra los ejes. © RIVERDEEP, Inc. Fuente: ________________________________________________________ Usa tu gráfica para contestar las siguientes preguntas. a. ¿Es la gráfica lineal o recta quebrada? _______________ b. ¿En cuáles cuadrantes están las coordenadas? _______________ c. Identifica los valores a lo largo de cada eje. _______________ d. ¿Cualesquiera de los puntos son colineales? _______________ destino MATEMÁTICAS 29 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ e. Escribe un párrafo que describa las características de tu gráfica en 2(a). ______________________________________________________ __________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ f. Debido a que las temperaturas son negativas, ¿es posible que las pendientes de los segmentos que conectan los puntos sean positivas? _____________ Explica. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. Describe las características de una gráfica de temperatura en la cual los puntos están en más de un cuadrante. ___________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. destino MATEMÁTICAS 30 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones Explorando la ecuación de la recta pendiente intercepto Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Los puntos que están en la misma recta se dice que son___________ . 2. Describe el método para verificar que tres o más puntos sean colineales. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 3. Las rectas no verticales que tienen la misma ____________ son siempre ____________ . 4. Describe el método para buscar la ecuación de una recta a través del origen y cualquier otro punto en el plano de coordenadas. _________________________________________________________________ ________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 5. Para una ecuación lineal en la forma de y mx b, la pendiente de la recta está representada por _________ y el __________________________ está representado por ____________________________. 6. Describe el método pendiente intercepto para encontrar la ecuación de una recta no vertical. © RIVERDEEP, Inc. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ Palabras claves: pendiente intercepto en y intercepto vertical forma de pendiente intercepto de una recta Objetivos de aprendizaje: •Expresar la relación entre x, y y como una ecuación dado una tabla de valores, b = 0. •Reconocer que el valor de la pendiente de una recta no vertical, es el coeficiente de x en la ecuación y = m x. •Escribir la ecuación de una recta dada su gráfica por el origen y las coordenadas de un segundo punto en la recta. •Reconocer el valor del intercepto en y de una recta como la constante b en la ecuación y = m x + b. •Crear una gráfica de una recta, dadas sus ecuaciones en la forma y = m x + b, b no es igual a 0. •Escribir la ecuación de una recta en forma de pendiente intercepto, dada la gráfica de una recta no vertical y las coordenadas del intercepto en y y un segundo punto en la recta. 7. Una recta a través del origen tiene un intercepto de y de ______ . Por lo tanto, el valor de ______ en la ecuación y mx b es ______ . 8. Una recta horizontal tiene una pendiente de ______ . Por lo tanto, el valor de ______ en la ecuación y mx b es ______ . Entonces, la ecuación horizontal es ____________ . destino MATEMÁTICAS 31 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones Explorando la ecuación de la recta pendiente intercepto 1. Identifica la pendiente y el intercepto de y para las rectas definidas por las ecuaciones dadas. Ecuación lineal Pendiente, m a. yx b. y 2x c. y 53 x d. y5 e. y 4x 1 f. y x 3 g. y 23 x 2 Intercepto de y, b 2. Haz una gráfica de cada una de las rectas definidas por las ecuaciones en la tabla de la pregunta 1. Usa el plano aquí mostrado y una escala de 1 unidad por los aumentos del eje vertical y del eje horizontal. Nombra cada recta. y © RIVERDEEP, Inc. x destino MATEMÁTICAS 32 A-C1-2.2-S1-2 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones Explorando la ecuación de la recta punto pendiente Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. La variable independiente está representada por el eje ____________ . 2. La variable dependiente está representada por el eje _______ . 3. Una razón de cambio constante es la _________ de una__________ . 4. Describe cómo calcular las coordenadas de un punto nuevo en una recta, dado un punto en la recta y su pendiente.______________________ _________________________________________________________________ 5. Si la pendiente es constante entre cualesquiera de dos puntos en un conjunto de datos, entonces esos puntos son_______________________ . 6. Dada una recta no vertical, ¿qué se conoce acerca de la diferencia entre las coordenadas de x de cualesquiera dos puntos en esa recta? _________________________________________________________________ 7. La ecuación y y1 = m (x x1) representa la forma __________________ de una ____________ donde x1 y y1 representan ____________________ , m representa ____________ , y x y son variables que representan Palabras claves: ecuación de la recta punto pendiente Objetivos de aprendizaje: •Encontrar las coordenadas de un punto en una recta dada la pendiente y las coordenadas de un punto en la recta. •Encontrar el valor del intercepto en y dada la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en la recta. •Utilizar la definición de la pendiente de una recta no vertical para expresar la ecuación de una recta en la forma y – y1 m(x – x1). •Identificar la pendiente y las coordenadas de un punto en la recta, dada una ecuación de la forma y – y1 m(x – x1). © RIVERDEEP, Inc. _________________________________________________________________ 8. Una ecuación en forma de punto pendiente se puede ser reescribir como una ecuación de forma pendiente intercepto ya sea sustituyendo ______ por ______ para encontrar el intercepto de y o _______________ . 9. Dada la ecuación punto pendiente de una recta y cualquier valor de x, describe cómo encontrarías el valor correspondiente de y. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 33 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones Explorando la ecuación de la recta punto pendiente Un avión pequeño desciende a una razón constante de 200 pies por minuto. Luego de 1 minuto, el avión está a una altitud de 2,500 por encima del nivel de la tierra. 1. Usando la información dada, determina la pendiente de la recta que describe el descenso del avión. ____________ 2. Usando la información dada, nombra las coordenadas de otro punto en la recta que describa la altitud del avión en un tiempo específico. ______________ 3. Encuentra la altitud h del avión en el tiempo t = 0 . ________________ Este valor corresponde al __________________ en una gráfica de la recta que describe el descenso del avión. 4. Usando la información de las preguntas previas y las variables t y h, encuentra la ecuación de la recta en la forma de punto pendiente que describe el descenso del avión. _________________________________________________________________ 5. ¿Cuántos minutos le toma al avión aterrizar una vez comienza el descenso? _____________ O © RIVERDEEP, Inc. 6. Nombra la gráfica y sus ejes, y dibuja el segmento que representa el descenso del avión. destino MATEMÁTICAS 34 A-C1-2.2-S2-2a Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones Relaciones y funciones Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Una ____________ es un conjunto de pares ordenados en la cual la primera coordenada tiene exactamente ______ segunda coordenada. 2. El ____________ el es conjunto de todas las primeras coordenadas en una ____________ . 3. El ____________ es el conjunto de todas las segundas coordenadas en una ____________ . 4. y 200x 1,700 es una función __________________ . 5. ¿Puedes sustituir cualquier valor por la variable independente en una función y encontrar un valor correspondiente para la variable dependiente? __________________ ¿Por qué o por qué no? _________________ _________________________________________________________________ 6. Las ecuaciones representan una forma útil de expresar funciones lineales porque al sustituir un __________ en el ____________ podemos calcular el valor correspondiente en el campo de valores. Palabras claves: relación función conjunto elemento dominio amplitud f (x) Objetivos de aprendizaje: •Definir una función. •Definir el dominio y la amplitud de una función. •Expresar ecuaciones de rectas como funciones. •Evaluar f (x) para una función f dada y los valores de x dados. •Analizar el dominio y la amplitud de la función de valor absoluto. •Definir una relación. © RIVERDEEP, Inc. 7. ¿Cuál es el valor absoluto de un número? __________________ 8. Cuando x no es 0 la gráfica de f(x) |x| aparece en los cuadrantes ______ y ______. Los ___________ de esta función son todos números no negativos, y el ________ de la función son todos números. 9. La gráfica de una ecuación de valor absoluto que está en los cuadrantes 1 y 4 describe una __________________ , pero no una __________________ . 10. Todas las funciones son __________________ , pero no todas las __________________ son __________________ . destino MATEMÁTICAS 35 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones Relaciones y funciones 1. Usa la notación de la función para escribir una ecuación de cada recta representada en la tabla. Pendiente Punto Ecuación 1 2 (0, 5) 3 (5, 6) 32 (3, 0) 22 (0, 11) El precio de entrada de una feria es $2.00. Un 8% de impuesto de venta se añade al precio de venta de todos los bienes vendidos en la feria. Una persona que asiste a la feria puede gastar un máximo de $20 además del precio de entrada. Si x representa el costo de los bienes vendidos, y la función t(x) = 1.08x + 2.00 representa la cantidad total que una persona puede gastar, completa los siguientes enunciados. Expresa las respuestas a dos lugares decimales donde sea necesario. 2. Encuentra el dominio y el promedio de la función. Dominio: _______________________ Promedio: _____________________ 3. ¿Qué representa t(10.00)? ________________________________________ 4. Encuentra el valor de t(10.00). ___________________ © RIVERDEEP, Inc. 5. Crea la gráfica de una función con un dominio de todos los enteros positivos menores de 4 y un promedio de todos los enteros negativos mayores que -3. A-C1-2.2-S3-2a 6. Crea una gráfica de valor absoluto con un dominio de todos los números reales y un promedio de todos los números reales mayores que 1. destino MATEMÁTICAS 36 A-C1-2.2-S3-2a Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones 1. Los datos de la tabla son las coordenadas de los puntos en una recta. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la forma pendiente intercepto? x y 25 215 21 23 ____________________________________ 0 0 4 12 6 18 2. Una recta pasa por el origen y tiene el punto (5, 3). ¿Cuál es la ecuación de la recta en forma de punto pendiente? __________________ 3. Identifica la pendiente y el intercepto de y de la recta definida por la ecuación y 4x 12. La pendiente es ______ y el intercepto de y es ______. 4. ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene el punto (3, 2) y tiene un intercepto de y de 6? ________________________ 5. Para cada ecuación aquí descrita, identifica la pendiente de la recta y las coordenadas de un punto que está en la recta. Ecuación de la recta Pendiente Coordenadas y 14 0.3(x 78) © RIVERDEEP, Inc. y 35x 2 y 7 7 (x 44) 6. Define una función. ______________________________________________ _________________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 37 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 7. Nombra los ejes y crea una gráfica que no sea una función. Explica tu respuesta. _________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 8. ¿Cuál de los siguientes describe el dominio de una función? a. El conjunto de todos los valores posibles para la variable independiente b. El conjunto de todos los valores posibles para la variable dependiente A-C1-2.2-U-1a c. f(x) d. Un número que es sustituído por una variable en una ecuación 9. Llena la información que falta en la siguente tabla. Función lineal g(x) 21x g(2) g(x) 18, x 3 g(x) 2(x 2) 1 g(x) 18 10. H(x) 400x 1,200 describe la altitud, en pies de un avión con respecto al tiempo en minutos, x. a. ¿Cuál es la altitud del avión cuando x es igual a cero? ______ b. ¿Cuál es el promedio de cambio en altitud? H(x) © RIVERDEEP, Inc. _________________________________________ c. ¿Qué representa H(2)? ____________________ x d. Nombra los ejes y haz una gráfica de esta relación lineal. destino MATEMÁTICAS 38 A-C1-2.2-U-1a Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 2: Ecuaciones y funciones lineales UNIDAD 2: Introducción a las funciones Investigando los patrones de crecimiento de los recién nacidos Las siguientes funciones lineales representan el patrón de crecimiento de cuatro recién nacidos durante las primeras semanas de vida, donde h es el largo de los recién nacidos en pulgadas, y w es el tiempo en semanas. h 40 30 20 10 Recién nacido A: h 0.50w 17 w 10 20 30 40 50 Recién nacido B: h 0.45w 19 Recién nacido C: h 0.30w 21 A-C1-2.2-S2- Recién nacido D: h 0.35w 20.5 1. Dibuja una gráfica de estas funciones en un conjunto de ejes. Define las escalas usadas para el eje horizontal y el vertical. Incluye suficiente tiempo para que los patrones de crecimiento del primer año de vida puedan ser observados. (Clave: Hay 52 semanas en 1 año). a. Escala horizontal: ____________ b. Escala vertical: ____________ 2. Completa la tabla para cada recién nacido basada en la ecuación de cada uno. Recién nacido Largo (pulg) Razón de crecimiento © RIVERDEEP, Inc. (pulg/semana) A B C D destino MATEMÁTICAS 39 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 3. Usa la tabla y las gráficas en la herramienta de graficar para responder a las siguientes preguntas. a. ¿Qué representa el intercepto de y?__________________________ b. ¿Qué representa la pendiente? _______________________________ c. ¿Qué ecuación representa el recién nacido que crece a la razón más rápida? ____________________________________________________ d. ¿Qué ecuación representa el recién nacido que crece a la razón más lenta? ____________________________________________________ e. Escribe una ecuación para un posible patrón de crecimiento de un recién nacido que es (1) más pequeño que el más pequeño que se muestra y (2) crece más lento que el más lento que se muestra. 4. Haz una tabla que indica el patrón de crecimiento de un recién nacido durante sus primeras 8 semanas, comenzando en la semana 0. a. ¿Piensas que estas ecuaciones representan tu propio crecimiento? _____________________________________________________________ b. Calcula el número aproximado de semanas que has vivido, y determina si este modelo predice con certeza tu altura actual. Explica tu respuesta. © RIVERDEEP, Inc. destino MATEMÁTICAS 40 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 1: Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales Localizando el punto de intersección Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. En la gráfica de una función, los valores de la variable están en el eje horizontal y los valores de la variable__________________ están en el eje vertical. 2. Hacer una gráfica de las rectas que representan dos ecuaciones es una manera de ____________ un par de _____________________ __________ ___________ . 3. Las ecuaciones simultáneas tienen una solución común si las gráficas de las funciones correspondientes __________________ . 4. Un sistema de ecuaciones lineales es un ________ de _____________ en dos variables. 5. Para verificar que el par ordenado que describe el punto de intersección es la solución, ________________________ las coordenadas en ambas ecuaciones y notas si el resultado es dos aseveraciones ciertas. 6. De una gráfica de tiempo y distancia, se puede determinar la ___________ © RIVERDEEP, Inc. recorrida sobre el tiempo, pero no se puede determinar la____________ de recorrido. Palabras claves: función pendiente intercepto en x y en y coordenada x coordenada y punto de intersección sistemas de ecuaciones ecuaciones simultáneas solución de un sistema de ecuaciones Objetivos de aprendizaje: •Solucionar un sistema lineal al encontrar las coordenadas del punto de intersección de las gráficas del sistema. •Verificar por sustitución que las coordenadas del punto de intersección de dos rectas no verticales satisfacen las ecuaciones de cada recta. •Reconocer que la gráfica de un sistema de ecuaciones lineales no representa una imagen de situaciones de la vida real. •Solucionar ecuaciones en una variable al expresar cada lado como una función y representar el sistema en una gráfica. 7. Describe cómo resolver una ecuación lineal en una variable construyendo una gráfica. Paso 1: _________________________________________________________ Paso 2: _________________________________________________________ Paso 3: _________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 41 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 1: Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales Localizando el punto de intersección 1. Reescribe cada ecuación lineal en los sistemas aquí mostrados en la forma pendiente intercepto. Luego, dibuja una gráfica de cada sistema de ecuaciones simultáneas y registra las coordenadas del punto de intersección. Sistema lineal Forma pendiente intercepto Coordenadas a. x y 2 xy4 b. 2x y 3 2y x 4 c. 2x 4 y 23 x 41 y 1 2. Utiliza la gráfica aquí mostrada para contestar lo siguiente. a. Escribe la ecuación de la recta a. ________________________ b. Escribe la ecuación de la recta b. c. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las rectas a y b? ______ , ______ 4 d b a 3 2 1 10 20 30 40 50 60 t Tiempo (min) © RIVERDEEP, Inc. d. Verifica que las coordenadas del punto de intersección cumplan con la ecuación de las rectas a y b. Millas recorridas por dos personas Distancia (millas) ________________________ 3. Resuelve la ecuación 2.9x 5 3 0.3x siguiendo los pasos que aquí se muestran. a. Expresa cada lado como una función ______________ y _______. b. Encuentra el punto de intersección de las dos rectas. ______ c. Escribe la solución. ____________________________________ 42 destino MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 1: Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales Haciendo gráficas de rectas perpendiculares y paralelas Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Dos rectas son _____________________ si se intersecan para formar ángulos rectos. 2. El ____________ tiene una pendiente de ____________ y su ecuación es y = 0. El ____________ tiene una pendiente____________ y su ecuación es x = 0. 3. El producto de las pendientes definidas de un par de rectas perpendiculares es ____________ . 4. El ____________ ____________ de un número es el número cuyo producto con el número dado es 1. 5. ¿Qúe es siempre cierto acerca de las pendientes definidas de rectas perpendiculares? _________________________________________________________________ 6. __________________ __________________ son dos rectas en un plano que no se intersecan. 7. ¿Qué es siempre cierto acerca de las pendientes de dos rectas no paralelas? Palabras claves: función perpendicular paralelo punto de intersección sistema de ecuaciones recíproco negativo Objetivos de aprendizaje: •Verificar que las pendientes de rectas perpendiculares son recíproco negativo. •Confirmar que si el producto de las pendientes de dos rectas no verticales es –1, las rectas son perpendiculares. •Verificar que si dos rectas no verticales son paralelas, su pendiente es igual. •Confirmar que si la pendiente de dos rectas es igual, las rectas son paralelas. •Justificar, por medio de gráficas, que un sistema lineal consiste de rectas paralelas sin solución. © RIVERDEEP, Inc. _________________________________________________________________ 8. Debido a que las rectas paralelas no se intersecan, la ______________ __________________ entre ellas, es siempre __________________ . 9. ¿Cómo puedes encontrar la distancia vertical entre dos rectas paralelas? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 43 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 1: Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales Haciendo gráficas de rectas perpendiculares y paralelas Usa la tabla de ecuaciones para contestar las preguntas 1-3. 1. Encuentra la pendiente de cada recta. Recta Equación lineal a 15x 5y 10 b 12x 1.6 4y c 2x 6 6y d 3 3y x e x 3y 24 Pendiente 2. Nombra todos los pares de rectas representadas en la tabla, que son paralelas. _________________________________________________________________ 3. Nombra todos los pares de rectas representadas en la tabla que son perpendiculares. _________________________________________________________________ 4. Haz una gráfica del siguiente sistema lineal de ecuaciones en los ejes. y y 4x 2 y 4x 3 © RIVERDEEP, Inc. x ¿Existe una solución para el sistema? ______ Explica. ______________________________________ A-C1-3.1-S2-2a destino MATEMÁTICAS 44 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 1: Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales 1. a. Crea una escala y haz una gráfica del sistema lineal x 2y 4 y 3x 2y 4 en este plano. b. Escribe la solución del sistema lineal. ____________ 2. a. Escribe la ecuación en forma pendiente intercepto para cada una de las rectas graficadas. Recta a: __________________ y b aA-C1-3.1-U-1a 4 Recta b: __________________ 2 –4 –2 b. Escribe las coordenadas del punto de intersección de las rectas a y b. ____________ 2 4 x –2 –4 c. Utiliza el espacio aquí provisto para verificar que el par ordenado que registraste como punto de intersección es la solución al sistema lineal. A-C1-3.1-U-1b 3. Describe lo que el punto de intersección representa en esta gráfica. © RIVERDEEP, Inc. ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 45 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 4. Indica si cada par de ecuaciones representa rectas paralelas, rectas perpendiculares o ninguna. a. 7 2x 3y y 3x 9 2y ________________________ b. 9 9y 12x y 3y 4x 6 ________________________ c. 3x 4y 2 y 6 3x 4y ________________________ d. 5y 4 2x y 5x 2y 3 ________________________ 5. Escribe una ecuación en forma de pendiente intercepto de la recta paralela a 2y 3x 2 y que tenga el punto (2, 5). ____________________________________________________________________ 6. Escribe una ecuación en forma de pendiente intercepto de la recta perpendicular a 5x 3y 6 y que tenga el punto (2, 2). 7. El empleado A y el empleado B ambos ganan $10 por hora. El empleado A ya había ganado $50 antes de que el empleado B empezara a trabajar. Si ambos empleados trabajan el mismo número de horas, ¿tendrá el empleado B la misma cantidad de dinero que el empleado A? ____________ © RIVERDEEP, Inc. Escribe un sistema lineal que represente la situación, entonces crea una escala, nombra los ejes y haz una gráfica de las rectas para explicar tu respuesta. __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ A-C1-3.1-U-2b destino MATEMÁTICAS 46 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 1: Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales Explorando y comparando razones La tienda de alquiler de video A tiene una cuota de membresía anual de $12 y alquila los videos por $2 cada uno. La tienda de alquiler de video B no tiene cuota de membresía y alquila los videos por $3 cada uno. 1. Escribe una función lineal en términos de x y de y por el costo de los alquileres de video de ambas tiendas. Tienda A __________________ Tienda B __________________ 2. Crea una escala, nombra los ejes y haz una gráfica de las funciones para el costo de los alquileres de video de la tienda A y de la tienda B en este plano. Haz una escala de los ejes para que puedas hacer una gráfica para buscar el costo de 20 videos. y 3. Encuentra el costo de 10 alquileres de video de ambas tiendas. Tienda A ____________ Tienda B ____________ x A-C1-3.1-U-2a © RIVERDEEP, Inc. 4. ¿Cuál tienda de alquiler de video podrías escoger si sacas un promedio de 10 videos por año? ____________ 5. ¿Cuál tienda de alquiler de video escogerías para alquilar si sacas un promedio de 15 videos por año? ____________ Explica tu respuesta. _______________________________________________________________ 6. Encuentra el costo de alquilar 12 videos de cada tienda. Tienda A ____________ Tienda B ____________ 7. Por ______ alquileres de video por año, ambas tiendas cobran la misma cantidad. ¿Dónde en las gráficas de las funciones está la misma cantidad representada? __________________________________________ destino MATEMÁTICAS 47 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ Una compañía de Cable TV cobra $35 por instalación y $40 por mes por la programación. Una companía de TV de satélite cobra $195 por instalación y $20 por mes por la programación. 8. Escribe una función lineal en términos de x y de y por el costo total del servicio de cada compañía. Permite que la variable independiente represente el número de meses de servicio. Compañía de Cable TV _____________________________________________ Compañía de TV de satélite ________________________________________ 9. Haz una gráfica de las dos funciones en los mismos ejes. Haz una escala de los ejes para encontrar el costo por 24 meses de servicio. 10. Encuentra el costo por 2 meses de servicio para cada compañía. Compañía de Cable TV ______Compañía de TV de satélite _________ 11. ¿Cuál compañía escogerías si quisieras 4 meses de servicio? ____________ Explica tu respuesta. __________________________________ 12. ¿Cuál escogerías si quisieras 4 años de servicio? ____________ © RIVERDEEP, Inc. Explica tu respuesta._______________________________________________ 13. ¿Cuál es el costo para 8 meses de servicio para cada compañía? Compañía de Cable TV ______Compañía de TV de satélite _______ 14. Por ____________ meses de servicio, ambas compañías cobran la misma cantidad. ¿Dónde se representa esta misma cantidad en las gráficas de las funciones? ____________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 48 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 2: Soluciones algebraicas de un sistema de ecuaciones lineales Usando la sustitución para eliminar una variable Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Al nombrar un costo C1 y el otro costo C2, es posible ____________ ambos en los mismos ____________ . 2. Como un sistema de ecuaciones lineales es la ____________ en el _____________________________________________________________, C1 y C2 son ____________ en el punto de _________________ . 3. ¿Qué datos necesitas para calcular las coordenadas del punto de intersección de dos rectas? _______________________________________ Palabras claves: sustitución sistema de ecuaciones lineales Objetivos de aprendizaje: •Utilizar la sustitución para eliminar una variable cuando ambas ecuaciones del sistema están expresadas en términos de una de las dos variables. 4. Describe una manera de resolver para t en la ecuación 0.42(t 30) = 0.36(t 20). •Utilizar la sustitución para eliminar una variable cuando una o ambas ecuaciones del sistema no están expresadas en términos de una de las dos variables. 5. a. Una vez sepas los valores de la ecuación, ¿qué puedes calcular? •Reconocer que la solución (k, q) de un sistema lineal se encuentra en las rectas x k y y q. © RIVERDEEP, Inc. b. ¿Qué método puede ser utilizado para este cáculo? __________________ 6. Para verificar la solución, __________________ los valores de t y c en las ecuaciones originales. Si el resultado es ____________ , la respuesta está correcta. 7. Describe cómo puedes utilizar la sustitución para resolver las ecuaciones y 4x y 4x 3 6. destino MATEMÁTICAS 49 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 2: Soluciones algebraicas de un sistema de ecuaciones lineales Usando la sustitución para eliminar una variable 1. Las gráficas de la derecha muestran las rectas cuyas ecuaciones son y x 10 y y 2x 70.75. a. Aproxima las coordenadas del punto de intersección para las rectas. ____________ b. Resuelve el sistema de ecuaciones algebraicamente para encontrar las coordenadas exactas. 2. Considera el sistema de ecuaciones y 3x y 0.5x 4y 6. a. Sustituye la expresión para y de la primera ecuación en la segunda equación y resuelve para x. __________________ b. Resuelve para y sustituyendo el valor encontrado para x en una de las ecuaciones. __________________ c. Escribe las ecuaciones para las rectas horizontales y verticales que atraviesan a través del punto de intersección. _________________ y _________________ 3. Una tortuga y una liebre están en una carrera. La tortuga puede correr a una razón de 21 pie por segundo, mientras que la liebre puede correr a una razón de 40 pies por segundo. La tortuga tiene una ventaja de 200 pies. © RIVERDEEP, Inc. a. La fórmula para buscar la distancia d recorrida es d = rt, donde r es la razón y t es el tiempo. Escribe una ecuación que describa la distancia de la tortuga d1, de la línea de salida, luego de t segundos. (Nota: Asegúrate de incluir la ventaja.) _________________________________ b. Escribe una ecuación que describa la distancia de la liebre, d2, del punto de partida luego de t segundos. ____________________________ c. ¿Cuán largo, redondeado a la centena del segundo más cercano, le toma a la liebre alcanzar la tortuga? ____________________ destino MATEMÁTICAS 50 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 2: Soluciones algebraicas de un sistema de ecuaciones lineales Usando suma o resta para eliminar una variable Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. El signo de __________ en una ecuación muestra que las expresiones en ambos lados tienen el ____________ valor. 2. La propiedad de igualdad de la suma establece que si las mismas ____________ son sumadas a las mismas __________________, el resultado es el ____________ . 3. Para las ecuaciones x 3y 23 y 2x 3y 725, la suma puede ser usada para __________________ los términos 3y y 3y. Palabras claves: eliminación sistema de ecuaciones lineales Objetivos de aprendizaje: •Utilizar la suma o resta para eliminar una variable en un sistema de ecuaciones. •Utilizar multiplicación, suma o resta para eliminar una variable en un sistema de ecuaciones. 4. En las ecuaciones de la pregunta 3, una vez el valor de x se conoce, ¿cómo puedes encontrar el valor de y? ______________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5. A veces es necesario __________________ primero y entonces eliminar una variable __________________ o __________________ . © RIVERDEEP, Inc. 6. La solución de un sistema de ecuaciones lineales puede aproximarse haciendo una _________ de las líneas del sistema. 7. La solución de un sistema de ecuaciones lineales puede encontrarse más acertadamente al utilizar __________________ . 8. Se puede eliminar una variable en un sistema utilizando____________ o utilizando __________________ . destino MATEMÁTICAS 51 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 2: Soluciones algebraicas de un sistema de ecuaciones lineales Usando suma o resta para eliminar una variable 1. Resuelve el sistema utilizando la suma. x 5y 4 2x 5y 3 ____________ ____________ 2. Resuelve el sistema utilizando la resta. 2x 4y 3 x 4y 4 ____________ ____________ 3. Para el sistema de ecuaciones x 3y 5 y 2x 9y 4, ¿cuál es el entero más pequeño, que al multiplicarse por cada término de la primera ecuación resultará en los coeficientes de x como opuestos? ____________________________________________________________ 4. Resuelve las ecuaciones simultáneas definidas en la pregunta 3. x= _______________ y= _______________ 5. Para el sistema de ecuaciones 4x 5y 3 y 5x 25y 5, ¿cuál es el entero más pequeño que cuando se multiplica por cada término de la primera ecuación resultará en los coeficientes de y como opuestos? ______ 6. Resuelve las ecuaciones simultáneas definidas en la pregunta 5. y= _______________ © RIVERDEEP, Inc. x= _______________ 7. Unas vacaciones de 3 días cuestan $175, incluyendo alojamiento por 2 noches y alquiler de un automóvil para 3 días. Las mismas vacaciones por 6 días cuestan $400 e incluyen alojamiento por 5 noches y alquiler de auto por 6 días. a. ¿Cuál es el costo por cada día de alojamiento? ____________ b. ¿Cuál es el costo por cada día de alquiler del automóvil?________ destino MATEMÁTICAS 52 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 2: Soluciones algebraicas de un sistema de ecuaciones lineales 1. Usa la gráfica y aproxima a la decena más cercana las coordenadas del punto de intersección de estas dos rectas. __________________ 2. Resuelve el siguiente sistema. y 2x 1 y 3x 4 x= _______________ y 80 70 60 50 40 30 20 10 O x 10 20 30 40 50 60 70 80 y= _______________ A-C1-3.2-U-1a 3. Sin resolver los siguientes sistemas, explica cómo puedes resolver cada uno algebraicamente. a. y 3x 3x 2y 4 _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ b. 1.5x 3.2y 3 2.3x 3.2y 5 _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ c. 4x 7y 1 3x 7y 8 © RIVERDEEP, Inc. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 4. Resuelve el sistema y = 3x y 3x + 2y = 27. destino MATEMÁTICAS 53 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas. a. 2x 3y 8 b. 2x y 13 3x 3y 3 5x 2y 1 6. Un trabajador echa 55 galones de agua en un contenedor A y 40 galones de agua en un contenedor B. El contenedor A pierde agua a una razón de 2 galones por minuto. El contenedor B pierde agua a una razón de 1 galón por minuto. a. ¿Después de cuántos minutos la cantidad de agua en el contenedor A será igual a la cantidad de agua en el contenedor B? ____________ b. ¿Cuánta agua habrá en ambos contenedores en ese momento? ___ 7. Un recipiente de cobre y uno de porcelana se llenan de canicas. a. Dos veces el número de canicas en el recipiente de cobre más tres veces el número de canicas en el recipiente de porcelana son iguales a 180 canicas. Escribe una ecuación algebraica para esta información. __________________ © RIVERDEEP, Inc. b. Tres veces el número de canicas en el recipiente de cobre menos 4 veces el número de canicas en el recipiente de porcelana son iguales a 100 canicas. Escribe una ecuación algebraica para esta información. __________________ c. Usa la información en la parte (a) y en la parte (b) para calcular el número de canicas en cada recipiente. Recipiente de cobre ____________Recipiente de porcelana ______ destino MATEMÁTICAS 54 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 3: Sistema de ecuaciones lineales UNIDAD 2: Soluciones algebraicas de un sistema de ecuaciones lineales Comprando un auto a crédito Cuando se va a comprar un auto, una persona usualmente paga parte del costo en efectivo, esto se conoce como el “pronto” y luego paga el balance, incluyendo los intereses, en cantidades regulares cada mes. Esta relación se puede expresar en la siguiente ecuación. Costo del auto = pago mensual x número de meses + pronto Supongamos que un comprador está escogiendo entre el auto A, que es usado, y el auto B, que es nuevo. Comprar el auto A no requiere un pronto, y puede ser pagado en mensualidades de $200. El auto B cuesta 4 veces más que el auto A y requiere un pronto de $4,000. Los pagos mensuales para el auto B son de $600. 1. Si m representa el costo del auto A, y n representa el número de pagos mensuales que se van a hacer para cada auto, escribe una ecuación para el costo de cada auto en términos de m y n. Auto A ________________________ Auto B ________________________ © RIVERDEEP, Inc. 2. En el mismo nivel de ejes, nombrados m y n, aproxima las gráficas de las rectas para las dos ecuaciones en (1). 3. ¿Qué representa el punto de intersección de las rectas? 4. Usa el método de sustitución y resuelve el sistema de ecuaciones de n, el número pagos mensuales para cada auto. n = _____________ destino MATEMÁTICAS 55 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 5. Usa el valor de n del problema (4) y encuentra el costo de cada auto. Auto A ________________________ Auto B ________________________ 6. a. Otro comprador tiene $3,000 para usar como pronto para un auto. El comprador tiene un presupuesto para un pago mensual de $200. Si n representa el número de pagos mensuales que ella debe hacer, escribe una ecuación para mostrar cuánto se toma pagar lo que queda del precio de un auto que cuesta $17,000. ___________________________ b. Resuelve la ecuación en (a) para n. n = _________ c. Escribe una ecuación para buscar cuál será el pago mensual m si este comprador paga un pronto de $3,000 y el resto del costo lo paga en 3 años. __________________ d. Resuelve la ecuación para m, redondeando tu respuesta al centavo más cercano. m = _________ 7. a. Supongamos que un comprador paga un pronto de $3,000 y hace un presupuesto de un pago mensual de $200 por 5 años para pagar el auto. Si c representa el costo del auto, escribe una ecuación para buscar c. ________ ________________ b. Resuelve la ecuación y busca el precio del auto. c = ___________ © RIVERDEEP, Inc. c. ¿Cuál será el pago mensual, redondeado al centavo más cercano, para pagar el resto del auto en 3 años? ____________ . destino MATEMÁTICAS 56 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable Aplicando operaciones inversas Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. El área del ____________ es aproximadamente ____________ al área del círculo. 2. El área del polígono inscrito ______ que el área del círculo. El área del polígono exterior ______ que el área del círculo. 3. En una ecuación, los lados a la derecha e izquierda son ________. En una desigualdad, los lados a la derecha e izquierda ____________ ______ ______ . 4. Si dos cosas no son iguales, una es ____________ ____________ o ____________ ____________ el otro. 5. En dos círculos concéntricos, el área del círculo interior es____________ el área del círculo exterior. Palabras claves: desigualdad operaciones inversas círculos concéntricos conjuntos de soluciones solución ley de tricotomía Objetivos de aprendizaje: •Aislar la variable en una desigualdad utilizando las operaciones de suma y resta. •Aplicar la regla que tiene que ver con cambio de signo al multiplicar o dividir por un número negativo. •Utilizar dos o más transformaciones para resolver una desigualdad. 6. Establece la ley de la tricotomía en símbolos, usando las letras r y b para representar cada dos números. ________________________________ 7. Si cantidades ____________ son sumadas o restadas de ambos lados de una desigualdad, la desigualdad es __________________ . © RIVERDEEP, Inc. 8. Un __________________ ____________ es un conjunto que tiene los números que satisfacen una ecuación dada o desigualdad. 9. Cuando ____________ o ____________ ambos lados de una desigualdad por un número ____________ , el símbolo de desigualdad se gira. 10. ¿Qué operación debe hacerse primero cuando se resuelve 2y 10 3? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 57 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable Aplicando operaciones inversas 1. Despeja para x. a. 3x 5 16 ____________ b. 4x 12 3x ____________ c. x 5 3 ____________ d. 14 2x x ____________ 2. Completa la tabla incluyendo tres números que son parte del conjunto de solución de cada desigualdad dada. Desigualdad Soluciones 3r 7 8 4 – 2k 12 p26 d 2d 7 3. Un gimnasio quiere ofrecer varias clases nuevas a sus clientes. Ellos están considerando clases en entrenamiento muscular, yoga, kick-boxing, aeróbicos, natación y baloncesto. Cada clase debe tener al menos 20 estudiantes, pero no más de 30 y cada sección debe ser dada al menos dos veces al día. © RIVERDEEP, Inc. a. Si menos del 75% de los clientes del gimnasio toman una clase, ¿cuál es la membresía mínima que el gimnasio debe de tener para mantener las seis clases? ______________ b. Ochenta socios menos que el número mínimo encontrado en (a) se cambian a otro gimnasio. Si menos del 75% de los clientes que quedan toman una clase, entonces, ¿cuál es el número máximo de clases nuevas que puede ofrecer el gimnasio? _______________ destino MATEMÁTICAS 58 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable Localizando soluciones en una recta numérica Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Una manera de representar la ley de tricotomía geométricamente es en una ____________ ____________ . 2. Representa la desigualdad t 5 en esta recta numérica. –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. En una recta numérica, un círculo vacío muestra que un número es un __________________ , pero no se incluye en el conjunto de solución. A-C1-4.1-S2-1c 4. La__________________ de dos conjuntos es uno que tiene _______ que son comunes a ____________ ____________ . 5. ¿Cuál es el nombre para dos o más desigualdades que puedan tener una solución común? __________________ __________________ Palabras claves: desigualdad operaciones inversas recta numérica unión (O) intersección (Y) extremo desigualdad compuesta desigualdad simple Objetivos de aprendizaje: •Hacer una gráfica de una simple desigualdad en una recta numérica. •Investigar representaciones múltiples de la intersección de desigualdades. •Investigar representaciones múltiples de la unión de desigualdades. •Escribir una expresión algebraica para la gráfica de una desigualdad compuesta. 6. Si las gráficas de dos desigualdades simples no __________________ el conjunto solución no tiene ____________ elementos comunes. © RIVERDEEP, Inc. 7. Un ____________ ____________ es un conjunto que no tiene elementos. 8. La ____________ de dos conjuntos es un conjunto que tiene los elementos en ambos conjuntos. 9. Para representar la ____________ de dos conjuntos se usa “O”. Para representar la _______________ de dos conjuntos se usa “Y”. destino MATEMÁTICAS 59 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable Localizando soluciones en una recta numérica 1. Usa las rectas numéricas para hacer una gráfica de las soluciones de cada una de las siguientes desigualdades. a. x 3 –5 –4 –3 –2 –1 b. 4 x 4 c. x 6 ó x 8 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 A-C1-4.1-S2-2a 4 5 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A-C1-4.1-S2-2b 9 10 2. Escribe la desigualdad que corresponda a la solución graficada en la recta numérica. __________________ A-C1-4.1-S2-2c 0 5 15 10 20 25 3. El límite de velocidad en una calle de noche y los fines de semana, frente a una escuela es de 30 millas por hora. El límite de velocidad es 15 A-C1-4.1-S2-2d millas por hora durante la semana entre 8:30 a.m. y 3 p.m.; son 5 millas por hora entre 8 a.m. y 8:30 a.m. y entre 3 p.m. y 3:30 p.m. Usa las rectas numéricas para graficar las velocidades legales durante los días de la semana en las siguientes horas. b. 3:15 p.m. 0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 30 35 © RIVERDEEP, Inc. a. 9 a.m. A-C1-4.1-S2-2e c. 11 p.m. 0 5 10 15 20 25 30 35 A-C1-4.1-S2-2f destino MATEMÁTICAS 60 A-C1-4.1-S2-2g Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable Resolviendo desigualdades con valores absolutos Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Un margen de error del 2% significa que el valor del 65% que puede asumirse cae entre ____________ y ____________ . 2. ¿Cómo un margen de confianza de 65% 2% puede ser escrito como una desigualdad compuesta? ________________________ 3. La distancia entre dos puntos en una recta es el ____________ ____________ de la diferencia entre ellas. 4. Completa el enunciado r 65 para que represente el mismo alcance de valores tales como 63 r 67. ________________________________ 5. Una desigualdad de valor absoluto es cierta para cualquier valor_________ del margen de confianza y falso para cualquier valor __________________ del margen de confianza. 6. La constante en una expresión de valor absoluto es el ____________ del segmento. © RIVERDEEP, Inc. 7. Para encontrar el punto medio de un segmento, encuentra el ________ __________ de las coordenadas del __________________ del segmento. Palabras claves: valor absoluto desigualdad compuesta distancia punto medio complemento intervalo seguro margen de error Objetivos de aprendizaje: •Escribir una desigualdad compuesta como una desigualdad de valor absoluto. •Representar la gráfica de una desigualdad compuesta como una desigualdad de valor absoluto. •Identificar el complemento de un conjunto dado. •Crear una gráfica del conjunto de solución de una desigualdad de valor absoluto en una recta numérica. •Aplicar la definición valor algebraico absoluto para resolver una desigualdad de valor absoluto. 8. El __________________ de un conjunto dado es un conjunto cuyos elementos no pertenecen al conjunto dado. 9. ¿Cuál es la desigualdad de valor absoluto que representa las zonas de peligro posible para la reserva? _____________________________________ 10. Si h 16 0, entonces h 16 ____________ . Si h 16 0, entonces h 16 ____________ . destino MATEMÁTICAS 61 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable Resolviendo desigualdades con valores absolutos 1. a. Por cada número n, ¿cuál es el conjunto de solución para n – 3 4? ________________________________________________________________ b. Haz una gráfica para el conjunto de solución para la parte (a). –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. Si t es cualquier número en el conjunto de solución para la recta numérica aquí mostrada, construye una desigualdad de valor absoluto de la información que se muestra en la gráfica. A-C1-4.1-S3-2a 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 3. Construye una desigualdad de valor absoluto para la desigualdad compuesta p 9 y p 18. _______________________________________ A-C1-4.1-S3-2b 4. Construye una desigualdad de valor absoluto para la desigualdad compuesta d 14 ó d 2. _______________________________________ 6. 62 Los trabajadores de un almacén toman su descanso matutino no antes de las 10 a.m. y no más tarde del mediodía. Si c representa su hora de descanso, ¿qué desigualdad de valor absoluto representa el tiempo que los trabajadores toman para su descanso? _____________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. 5. El sistema de control del ambiente en un edificio de oficinas enciende la calefacción cuando la temperatura del aire baja de los 68° F, y enciende el sistema de aire acondicionado cuando la temperatura del aire sube sobre los 78° F. Si t representa la temperatura, ¿qué valor de desigualdad de valor absoluto representa el promedio de las temperaturas en las cuales ni el aire acondicionado ni el sistema de calefacción se enciende? _____________________________________ destino MATEMÁTICAS Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable 1. Resuelve las siguientes desigualdades. a. m 5 3 __________________ b. y 7 2y __________________ c. f 15 2f __________________ d. 3 u 4 __________________ 2. Usa las rectas numéricas para graficar la solución para cada una de las siguientes desigualdades. a. x 1 b. 3 x 5 c. x 6 y x 10 3. ¿Qué desigualdad está representada por esta gráfica? ________________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. 4. Usa la recta numérica para graficar todos los valores que no están incluidos en la gráfica para la pregunta 4. 5. Escribe una desigualdad de valor absoluto para representar el intervalo de confianza por un valor de 75 si el margen de error es 4. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 63 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a. Encuentra el punto medio del segmento mostrado en la gráfica. _____ b. Escribe una desigualdad de valor absoluto que represente la gráfica. A-C1-4.1-U-2a _____________________________________________________________ 7. Construye una desigualdad de valor absoluto para la desigualdad compuesta d 30 y d 120. _____________________________________ 8. Durante la matrícula del otoño, más de tres veces la cantidad de estudiantes se matriculan para la clase más popular como para la clase menos popular. Este otoño, 80 estudiantes se matricularon para la clase más popular. a. Escribe una desigualdad para representar la cantidad de estudiantes que se matricularon para la clase menos popular. _____________________________________________________________ b. La segunda clase más popular tiene 20 estudiantes más que la clase menos popular. Escribe una desigualdad que represente el número de estudiantes que se matricularon para la segunda clase más popular. _____________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. c. Cierto colegio garantiza que el 75% de los estudiantes obtengan cupo en las clases que ellos seleccionan, con un margen de error del ±5%. Escribe una desigualdad de valor absoluto para representar la cantidad de estudiantes que obtuvieron cupo en las clases que seleccionaron si se matriculó un total de 240 estudiantes. _____________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 64 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 1: Desigualdades en una variable Investigando desigualdades Una compañía de envíos ofrece seis tamaños de cajas de cartón. La tabla que aquí se muestra, tiene el peso máximo en libras para cada caja. Tamaño Peso máximo (lb) 1 20 2 35 3 50 4 65 5 95 6 120 1. Describe el promedio de los pesos que se pueden empacar en una caja tamaño 3. Escribe una desigualdad que represente este promedio. ______ _________________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. 2. Crea una gráfica de recta numérica que muestre el promedio de los pesos que se pueden empacar en una caja tamaño 5. 3. Escribe una desigualdad que represente una carga demasiado pesada como para ser empacada dentro de una caja de envíos. _______________ destino MATEMÁTICAS 65 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ La compañía basa los costos de envío en los promedios de peso mostrados en la tabla. Todos los pesos están redondeados a la libra más cercana. Peso por caja (lb) Costo de envío hasta 25 $4.95 26 a 50 $5.95 51 a 75 $7.95 Sobre 75 $9.95 4. ¿Cuántos diferentes tipos de cajas pueden tener un costo de envío de $7.95? ______ ¿Cuántos tipos de cajas? _________ __________________ 5. Los empaques de menos de las 50 libras pueden ser enviados de uno a tres días. Si d representa el número de días, construye una desigualdad de valor absoluto que muestre cuánto toma enviar un empaque de 30 libras. __________________________________________________________ 6. Los empaques de más de 50 libras pueden tomar hasta 10 días en llegar a su destino. Crea una gráfica de recta numérica que muestre cuánto puede tomar el enviar un empaque de 70 libras. © RIVERDEEP, Inc. 7. Un artista quiere enviar tres esculturas a una galería. Las dos esculturas más pequeñas pesan lo mismo, y la más grande pesa 118 libras. Su peso total es más del doble que el peso máximo para cualquier caja. ¿Cuál es el costo más bajo para enviar las tres esculturas? _____________________ 8. Para que la compañía de envíos obtenga ganancias, cada camión debe cargar un total de por lo menos 2,000 libras. ¿Cuál es el menor número de cajas que cada camión debe de llevar para que la compañía obtenga ganancias? ______ destino MATEMÁTICAS 66 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 2: Desigualdades en dos variables Localizando soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. La parte de un avión que cae en un lado de una recta en un plano se llama __________________ . 2. Una ___________ es una recta que divide un plano en dos semiplanos. 3. La ecuación de la frontera entre región A y la región B es __________________ . 4. Puedes usar una __________________ para representar la relación entre la recta y los puntos que no están sobre la recta. 5. Cualquier par ordenado que está en el semiplano que satisface la desigualdad dada se llama una __________________ de la desigualdad lineal. Palabras claves: plano medio recta límite solución de una desigualdad lineal región Objetivos de aprendizaje: §Definir planos medios y rectas límites. §Identificar la relación entre los pares ordenados en un plano medio. §Localizar un punto en un plano medio dado. §Crear una gráfica de una desigualdad lineal. 6. El semiplano que tiene las soluciones de una desigualdad dada se indica en la gráfica __________________ esa región. © RIVERDEEP, Inc. 7. Si una solución para la desigualdad está en la frontera, entonces gráficas la solución dibujando una recta _______________ en el plano. Si no una recta_______________ es dibujada. 8. La solución para una desigualdad lineal en dos variables está dada por la gráfica con una ___________ y una_____________ sombreada. 9. Para escoger el semiplano que satisface la desigualdad, _____________ _____ las coordenadas de un punto en la desigualdad original y verificas tu respuesta algebraicamente. 10. Un punto en la frontera o en un semiplano se dice que es parte de una ______________ de una ______________ __________________ . destino MATEMÁTICAS 67 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 2: Desigualdades en dos variables Localizando soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares 1. Escribe la forma pendiente intercepto de la ecuación de la frontera cuya desigualdad es 16x + 8y > 48. ____________________________________ 2. En la siguiente gráfica, dibuja el conjunto solución para la desigualdad en la pregunta 1. y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 O 5 6 7 8 9 10 x 3. a. ¿Cuál es la desigualdad cuyo conjunto solución se muestra en A-C1-4.2-S1-2a la gráfica? ___________________________________ b. Ubica un punto A en la gráfica que cumpla la desigualdad. Nombra las coordenadas del punto A. ____________ c. Ubica un punto N en la gráfica que no cumpla la desigualdad. Nombra las coordenadas del punto N. ____________ © RIVERDEEP, Inc. y 100 O 100 x destino MATEMÁTICAS 68 A-C1-4.2-S1-2b Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 2: Desigualdades en dos variables Resolviendo sistemas utilizando gráficas Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Un sistema de desigualdades lineales en dos variables puede tener __________________ __________________ dos desigualdades. 2. En una sola gráfica, la región______________ sombreada de un sistema de desigualdades lineales representa la solución al sistema. 3. Los pares ordenados en la región sombreada son aquellos que ______ ______ todas las desigualdades en el sistema. 4. La región sombreada representa la __________________ de las soluciones de las desigualdades. 5. La región sombreada representa la __________________ del sistema de desigualdades. 6. __________________ son condiciones que limita las actividades de las empresas. © RIVERDEEP, Inc. 7. La __________________ __________________ es la intersección de las gráficas de un sistema de desigualdades lineales. 8. __________________ __________________ es un método utilizado en empresas e industrias para determinar la cantidad máxima o mínima de una región posible. Palabras claves: solución de una desigualdad lineal región posible restricción programación lineal vértice Objetivos de aprendizaje: •Resolver un sistema definido por dos desigualdades. •Definir capacidad de una solución para una situación dada. •Escribir un sistema de desigualdades que describa la restricción de un problema de programación lineal. •Identificar la región posible de un problema de programación lineal. •Identificar los valores máximos / mínimos de la solución de un problema de programación lineal como las coordenadas de los vértices de la región posible. 9. Las cantidades máxima y mínima de una región posible se encuentran en el ____________ de la región posible. destino MATEMÁTICAS 69 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 2: Desigualdades en dos variables Resolviendo sistemas utilizando gráficas 1. Cada intervalo en estos ejes es 1 unidad. Haz una gráfica del conjunto solución para el sistema de desigualdades x y 4 y x 2y 2. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A-C1-1.2-S3-2a y 2. Establece cuatro desigualdades que son las restricciones para la región posible que se muestra en la gráfica de la derecha. __________________ __________________ __________________ __________________ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 3. Una compañía produce cobertizos grandes y pequeños. En una semana dada, la compañía debe producir al menos 10 cobertizos pequeños y 40 grandes. Sin embargo, la producción total no puede sobrepasar los 70 cobertizos. Usando la x para representar la cantidad de cobertizos pequeños y la y para representar la cantidad de cobertizos grandes, completa los siguientes pasos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y x O © RIVERDEEP, Inc. a. Determina la restricción de la producción. A-C1-4.2-S2-2c ____________________ ____________________ ____________________ b. Crea una gráfica que muestre la región posible. c. Haz una lista de las coordenadas de los vértices de la región posible. A-C1-4.2-S2-2b d. Explica por qué en un conjunto de solución tienen que ser enteros positivos. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 70 destino MATEMÁTICAS Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 2: Desigualdades en dos variables Usa la desigualdad 24x + 18y > 90 para completar los problemas 1, 2 y 3. 1. La forma pendiente intercepto de la ecuación de la frontera en su mínima expresión es ______________________________ y 2. Haz una gráfica del conjunto solución para la desigualdad. x 3. ¿Cuáles de los siguientes puntos están en el conjunto solución? ____________ A (2, 3) B (2, 4) C (5, 1) D (1, 3) Completa los problemas 4–6 para el sistema de desigualdades 2x + 3y ≥ 12 y x – 2y ≤ –4. 4. Establece la forma pendiente intercepto de las fronteras para el sistema. y 2x 3y 12 ________________________ x 2y 4 _________________________ 5. Haz una gráfica para el conjunto solución del sistema. x © RIVERDEEP, Inc. 6. a. Nombra las coordenadas de dos puntos que están en el conjunto solución.____________ y ____________ b. Nombra las coordenadas de dos puntos que no están en el conjunto solución. ____________ y ____________ destino MATEMÁTICAS 71 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 7. En una semana dada, el número total de escritorios y mesas que una compañía manufactura no puede sobrepasar es 80. Todas las órdenes de producción semanal deben tener un mínimo de 20 escritorios y 30 mesas. La ganancia de un escritorio es de $200 y la ganancia de una mesa es de $300. Permite que d represente el número de escritorios, y permite que t represente el número de mesas. a. Escribe un sistema de desigualdades en términos de t y d para representar la producción total, la producción de escritorios, y la producción de mesas. _____________ ____________ _____________ b. Haz una gráfica de la región posible del conjunto solución. t O d c. Nombra los vértices de la región posible. _______, ________, ________ d. Encuentra el número de escritorios que deben ser producidos para A-C1-4.2-U-2a maximizar los beneficios. __________________ © RIVERDEEP, Inc. e. Encuentra el número de mesas que deben ser producidas para maximizar los beneficios. __________________ f. ¿Cuál es el beneficio máximo? ____________ destino MATEMÁTICAS 72 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ DOMINIO DE ÁLGEBRA: Curso I MÓDULO 4: Desigualdades lineales UNIDAD 2: Desigualdades en dos variables Programación lineal Una compañía de equipo electrónico hace dos modelos de VCR, un modelo de lujo y uno básico. Producir un modelo de lujo cuesta $400 y requiere 40 horas de trabajo. Producir un modelo básico le cuesta $250 y require 30 horas de trabajo. La compañía tiene $20,000 para gastar y 2,160 horas laborables disponibles para producir ambos modelos. Permite que x represente el número de modelos de lujo y que y represente el número de modelos básico que van a producir. 1. Escribe la desigualdad que representa la restricción de labor que tiene la compañía. ____________________________________________________ 2. Escribe la desigualdad que represente la restricción del costo que tiene la compañía. ____________________________________________________ 3. a. ¿Qué otras desigualdades son necesarias en el sistema de desigualdades? __________________ y __________________ b. ¿Por qué su aplicación es necesaria en el mundo real? ________________________________________________________________ © RIVERDEEP, Inc. ________________________________________________________________ 4. En el mismo conjunto de ejes aquí mostrados, haz una gráfica del sistema lineal de desigualdades y determina cuál es la región posible para la solución del sistema. destino MATEMÁTICAS 73 Nombre: _____________________________________ fecha: ______________________ 5. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las fronteras del trabajo y del capital? ______________________________ 6. ¿Cuáles son los vértices de la región posible? _________________________. 7. ¿Cuál es el número máximo de VCR que la compañía puede producir? ________ 8. Con los modelos de lujo se obtiene una ganancia de $300 y con los modelos básicos se obtiene una ganancia de $220. Escribe una ecuación para la ganancia P en términos de x y de y. P=________ 9. ¿Cuánta ganancia obtendrá la compañía si produce el máximo número de VCR según determinado en la pregunta 7? _________________________ 10. ¿Es esta cantidad la ganancia máxima? ______ Si no, determina la cantidad de cada tipo de VCR que la compañía debe producir para obtener una ganancia máxima. Muestra cómo determinaste la ganancia máxima. 11. ¿Cuál es la ganancia máxima? __________________ © RIVERDEEP, Inc. 12. Escribe un resumen de las restricciones que sufrió la compañía y las decisiones que se tuvieron que hacer en la producción. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ destino MATEMÁTICAS 74 Curso 1 Contestaciones 1.1 Variables, Expresiones, y Ecuaciones Traducir frases lingüísticas a expresiones Bitácora del Estudiante 1. rectángulo 2. área del cuadrado; suma; los cuadrados 3. a 2 b2 c 2 4. letras; números 5. variable 7. paréntesis 8. (a b) c 9. varias respuestas son posibles; por ejemplo, 8(5 7), 8(5) 8(7) 10. a(b) a(c) ó ab ac Es tu Turno 1. a. 6 4 4 6 b. 3 5 5 3 6. números, variables, símbolos de operación 2. (3 2) 1 3 (2 1) 7. igualdad; expresiones 3. a. 5x 5y 8. igual b. x(6) xy ó 6x xy 9. variable; otra c. 3(a b) Es tu Turno 1. a. expresión b. ecuación c. ecuación d. expresión e. ecuación 2. 15 3x © RIVERDEEP, Inc. 6. cambiar el orden en que están escritos d. 2(6m 3) ó 6(2m 1) 4. a. b. c. d. Evaluando y simplificando expresiones Bitácora del Estudiante 3. 7x 7y ó 7(x y) 1. equivalente o igual; sustituir 4. a. s (velocidad) 2. Evaluar b. s (velocidad) y t (tiempo) 3. término c. No. Para calcular la velocidad, puedes necesitar conocer ambas, la distancia, d y el tiempo, t. 4. 15n, 12.5n Aplicando las propiedades de los números reales Bitácora del Estudiante 1. órden; la misma suma 2. 4 3, b a 3. multiplicación; suma 4. conmutativa; multiplicación 5. coeficiente 6. coeficiente numérico 7. 15, 12.5, 27.5 8. sumando; coeficiente numérico 9. factores variables; exponentes 10. 1 11. región anular 12. π(35r 2); términos semejantes 5. (a b) c 75 Explorando la Unidad Es tu Turno 1. (b) 1. a. 0.5p (d) b. 4t (a) c. 0.5p 4t 250 (c) 2. a. 4x 2 2x b. 2a 2ab 2b c. 11x 3. a. s3 31 (s2h) b. 1,100 pies3 4. 21 y(1 x) Avalúo de la Unidad 1. a. 3n 1 b. 2n2 c. 22n2 ó 4n2 2. Una expresión algebraica es una colección de una o más variables, números y símbolos operacionales. Una ecuación algebraica es un enunciado de igualdad entre dos expresiones algebraicas y debe tener un símbolo de es igual a. 3. a. la masa, m b. masa, m, y aceleración, a 4. $17.90x 2.95 5. a. 180 10x b. No. Después de 14 días, 40 pies cuadrados quedarán. 180 10(14) = 140 6. a. b. c. ≠ e. 7. a. 8y b. 26c3 2a3 c. 7a 3b d. 20x 2 8. a. p 8c 95 80e b. $281; $153; $161 76 b. 25 3. a. c 5d 6p 8g 10z b. $48 4. a. 12xy b. c 650 250 12xy, donde y 24(8) c 900 2,304x c. $5,508 d. 3 empleados cuestan $7,812, que es menos de $8,000. 1.2 Ecuaciones lineales en una variable Applying Inverse Operations Bitácora del Estudiante 1. iguales 2. 6 3. productos; iguales 4. no sean cero 5. solución de una ecuación 6. restan; suman 7. inverso aditivo 8. iguales 9. identidad 10. multiplicativo inverso, recíproco © RIVERDEEP, Inc. d. ≠ 2. a. 0.5(300) 4t 250, ó 4t 250 0.5 (300) Es tu Turno 1. 4x, ó 4x 6 (6) 3. distancia 2. a, b 4. Encuentra la diferencia entre las coordenadas de sus extremos. 3. a. Resta 5 ó suma 5. 5. dirección b. Suma 24 ó resta 24. c. Multiplica por 6 ó divide por d. Divide por 4 ó multiplica por 4. C y 1 . 6 1 . 4 d 5. a. 3x 51.84 b. x $17.28 Resolviendo ecuaciones con más de una operación 6. cero 7. cero 8. diferencia 9. número; opuesto 10. geométrica Es tu Turno 1. a. 5.6 b. 0.7 Bitácora del Estudiante c. 12.3 1. inicial 2. 32t 256 2. a. n 6 b. (n 6) 3. 50 4. propiedad de igualdad 3. a. 5 5. 6y 15 12 b. 2 6. variable c. 7, 3 7. identidad d. Las rectas de los estudiantes tendrán los puntos 3 y 7 ubicados. 8. despejar 4. a. p 4 2 Es tu Turno b. Las rectas de los estudiantes tendrán los puntos 2 y 6 ubicados. 1. x 9 2. Divide ambos lados por 15 ó multiplica ambos lados por 115. © RIVERDEEP, Inc. 3. Divide ambos lados por 8 ó aplica la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la ecuación. Avalúo de la Unidad 1. y 5 2. (p 2h) 2 b 4. c 3. Resta 5 de ambos lados; resta 2w de ambos lados; divide ambos lados por 3. 5. a. 2(3x 2) 4(x 0.5), ó cualquier equivalente simplificado 4. x 21 porque 7(21) + 5 152 ó 147 + 5 152 b. x 3 5. 15(x 4) 12(x 10) c. 14 6. x 20 Resolviendo ecuaciones de valor absoluto Bitácora del Estudiante 1. cuadrícula 2. norte; sur; este; oeste 7. 2.6 ó 2.4 8. a. (4x 3) ó 4x + 3 b. x 10 ó x 8.5 c. Las rectas numéricas de los estudiantes tendrán los puntos 10 y 8.5 ubicados. 77 Explorando la Unidad Es tu Turno 1. A (6, 3), III; B (7, 5), I; C (2, 8), IV 1. a. a 240 millas por hora b. propiedad de igualdad de la suma 2. a. propiedad de igualdad de la resta b. simplificado c. propiedad de igualdad de la división d. simplificado Bitácora del Estudiante b. propiedad de igualdad de la resta 4. a. 2A (b1 b2)h 3. correlación negativa Definiendo pendiente 3. a. Divide ambos lados por 2 ó multiplica ambos lados por 21. c. Divide por (l h) o multiplica por 2. Las gráficas variarán: una gráfica de ejemplo podría tener incrementos de 2 en el eje de x e incrementos de 5 en el eje de y; los puntos se deben rotular y localizar en la gráfica correctamente. 1 (l h) 1. 2 2. steepness propiedad de igualdad de la multiplicación 3. razón; elevación; recorrido 4. elevación; recorrido b. 2A h b1 b2 propiedad de igualdad de la división 5. coordenadas; diferencia; coordenadas x; coordenadas y c. 2A h b2 b1 propiedad de igualdad de la resta 6. 5. d 2.249 2.1 Sistema de coordenadas rectangulares Localizando pares ordenados Bitácora del Estudiante (100 200) (2 4) 2. a. tiempo en horas b. resultados de exámenes 3. 0 e. 4. superior derecha: I; superior izquierda: II; inferior izquierda: III; inferior derecha: IV f. 40 10. positivo; negativo; ninguna 20 0.5 g. aumento; 40 h. positiva 3. a. 1 b. 0 c. indefinido Localizando los interceptos de X, de Y Bitácora del Estudiante 1. lineal; recta quebrada 2. vertical 3. horizontal 78 © RIVERDEEP, Inc. 9. correlación (y2 y1) (x2 x1) 1. Va a caer hacia la derecha. d. 0.5 8. dependiente; depende ; Es tu Turno 2. y 7. independiente; dependiente (y1 y2) (x1 x2) 9. indefinida; indefinida c. 20 6. vertical ó y ; 8. 0 1. x 5. horizontal ó x (200 100) ó (4 2) 7. positivo; negativo 4. colineal; misma 5. Calculando la pendiente entre los puntos A y B; B y C. Si las pendientes son las mismas, son colineales. 6. El taxi se detuvo. 7. 1 ; 2 regresó a su punto de partida 8. 2 1. a. Los gráficos y los datos varían. b. cuadrante I c. Las respuestas variarán; por ejemplo, 0x4ó1x5yy0. d. Las respuestas varían. 2. a. Las gráficas varían . Es tu Turno b. cuadrante IV 1. a. (0, 500) b. (6, 0) c. 1,500 1,000 500 Explorando la Unidad 0 1,000 2,500 d. 2,500 pies (Comenzaron a los 500 pies.) e. Los alpinistas permanecieron en la misma elevación. Si ellos subieron, ellos no cambiaron su elevación. f. La pendiente negativa indica que los alpinistas estaban regresando a su altitud de comienzo. Avalúo de la Unidad 1. A (4, 2), I; B (1, 3), IV; C (3, 1), II; D (2, 5), III 2. no hay correlación; correlación negativa 3. a. 3 b. 4 c. Las respuestas varían; sin embargo, nunca y es 0 porque todas las temperaturas deberían ser negativas. d. Las respuestas varían . e. Las descripciones de las gráficas varían. Características como pendiente, colinearidad de los puntos e interceptos de x y de y deberían ser discutidos en términos de temperatura. f. Sí. Aunque todas las temperaturas son bajo cero, la temperatura aún podría aumentar diariamente. 3. Esta gráfica podría tener temperaturas que son ambas por encima y bajo 0°; por lo tanto, las coordenadas podrían estar en los cuadrantes I y IV (o en cada eje). La gráfica podría ser lineal o quebrada. La pendiente y los interceptos de x y de y podrían depender en las temperaturas actuales. Podría haber más de un intercepto de x si la temperatura es igual a 0° más de una vez. 4. a: cero pendiente; b: pendiente negativa; c: indefinido 5. a. 3 y 1 b. 6 y 3 6. a. No © RIVERDEEP, Inc. b. Sí c. Si las pendientes entre cada par de puntos son iguales, entonces los tres puntos son colineales. 7. a. 1,500 pies b. 30 minutos c. 50 d. El plano está descendiendo; eso es, por cada minuto que pasa, la altura del plano disminuye. 79 2.2 Introducción a las funciones Explorando la ecuación de la recta punto pendiente Bitácora del Estudiante Explorando la ecuación de la recta pendiente intercepto Bitácora del Estudiante 2. Encuentra las pendientes entre los pares de puntos. Si las pendientes son las mismas, entonces los puntos son colineales. 3. pendiente; paralelo 4. Usa la fórmula de la pendiente para buscar la pendiente de la recta entre la recta (0, 0) y el punto escogido. Usa el valor de la pendiente para m en la ecuación y mx. 5. m; intercepto de y; b 6. Usa la fórmula de la pendiente para buscar la pendiente de la recta, m, entre cualquiera dos puntos. Entonces, encuentra el intercepto de y, b, sustituyendo los valores de m, x, y de y en la ecuación y mx b. 7. 0; b; 0 8. 0; m; 0; y b g. 23 ; 4. Escribir la pendiente como una fracción, elevación sobre recorrido. Sumar el recorrido al valor de x del punto dado para obtener la nueva coordenada de x. Suma la elevación al valor de y del punto dado para obtener la nueva coordenada de y. 5. colineales 6. La diferencia entre los valores de x no puede ser igual a cero. (Esto es, los valores de x no pueden ser los mismos.) 7. punto pendiente; recta; un punto específico; la pendiente; cualquier otro punto en la recta 8. 0; x; simplificar la ecuación en su forma pendiente intercepto 9. Sustituir el valor de x en la ecuación y resolver la ecuación para y. Es tu Turno Es tu Turno d. 0; 5 2. vertical ó y 3. pendiente; recta 1. colineales 1. a. 1; 0 1. horizontal ó x 1. 200 53 ; b. 2; 0 c. e. 4; 1 f. 1; 3 0 2. Muestra: (1, 2,500) 3. 2,700; intercepto de y 2 4. h 2,500 200(t 1) 2. 5. 13.5 minutos y 6. d. c. f. 1 x 1 Relaciones y funciones a. b. e. g. Bitácora del Estudiante 1. función; una 2. dominio; función 3. campo de valores; función A-C1-2.2-AK-d 80 © RIVERDEEP, Inc. –1 –1 4. linear 10. a. 1,200 pies 5. no; algunos valores de la variable independente no pueden ser parte del dominio de la función. b. 400 pies por minuto (o descendiendo a 400 pies por minuto) c. altitud después de 2 minutos 6. valor; dominio (o y; x) d. 7. la distancia desde 0 8. uno; dos; campo de valores; dominio 9. relación; función 10. relaciones; relaciones; funciones Es tu Turno 1. Pendiente 1 2 Punto (0, 5) Ecuación f(x) 1/2 x 5 3 (5, 6) f(x) 3x 32 (3, 0) f(x) 2/3 x 21 2 22 (0, 11) f(x) 22x 11 2. dominio: números promedio del 0 al 18.51 promedio: números del 2.00 al 22.00 3. la cantidad gastada si el precio de los bienes comprados son $10.00 Explorando la Unidad 1. Las gráficas de todas las funciones tendrán una pequeña pendiente positiva (así que las rectas aumentarán, pero son leves). Las gráficas de todas las funciones tendrán un intercepto de y positivo. a. 0 a 52 b. 0 a 43 4. $12.80 2. 5. Las gráficas varían. Recien nacido 6. Las gráficas varían. Avalúo de la Unidad 1. y 3x 2. y 53(x 5) ó y 0 = 53(x 0) © RIVERDEEP, Inc. Punto de la línea 0.3 (78, –14) y = 53 x + 2 5 3 (0, 2) y – 7 = 7(x + 44) 7 (–44, 7) 6. una relación en la cual cada primera coordenada (o valor de x) tiene exactamente una segunda coordenada (o coordenada de y) 7. Gráficas y explicaciones varían. 8. a 9. Función linear g(2) = g(x) = 12 x + 3 4 g(x) = 18, x = 30 g(x) = 2(x – 2) +1 1 10.5 g(x) = 18 18 cualquier número real 19 0.45 C 21 0.30 D 20.5 0.35 c. A: h 0.50w 17 d. C: h 0.30w 21 5. Las respuestas varían para el punto en la recta; se dan algunos ejemplos. Pendiente 0.50 B b. razón de crecimiento 4. y 83x 6 ó y 2 = 83(x 3) y + 14 = 0.3(x – 78) Razón de crecimiento (pulg/semana) 17.5 3. a. largo al nacer 3. 4; 12 Equación de la línea Largo al nacer (pulg) A e. Las soluciones varían. Un ejemplo es: h 0.25w 16. (La pendiente debe ser menor de 0.30 y el intercepto de y menor de 17.) 4. Semana Largo (pulg) Semana Largo (pulg) 1 17.5 5 2 18 6 19.5 20 3 18.5 7 20.5 4 19 8 21 5. a. No. Esto modela el crecimiento rápido de los infantes. b. Las respuestas varían. Por ejemplo, un joven de 15 años ha vivido por lo menos 780 semanas. El modelo para el infante A podría predecir que le joven de 15 años podría medir 407 pulgadas de alto o casi 34 pies. 81 3.1 Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales 6. Rectas paralelas 7. Son iguales. 8. distancia vertical; constante Localizando el punto de intersección Bitácora del Estudiante 1. independiente; dependiente 9. Ejemplo de respuesta: Encuentra el valor absoluto de la diferencia entre sus interceptos de y. Es tu Turno 2. resolver; ecuaciones simultáneas 3. intersecan 1. a: 3; b: 3; c: 31; d: 31; e: 4. conjunto; ecuaciones simultáneas 2. rectas d y e 5. sustituyes 3. rectas a y c, rectas b y d, rectas b y e 6. distancia; ubicación, o ruta 4. no. Las rectas son paralelas porque tienen la misma pendiente. 7. Paso 1: Expresa cada lado como una función; Paso 2: Encuentra el punto de intersección de las dos rectas; Paso 3: Identifica el valor de la primera coordenada de la solución. 1 3 y x Es tu Turno 1. a. y x 2, y x 4; (3, 1) b. y 2x 3, y 21 x 2; (2, 1) 1. a. c. y 2x 4, y 6x 4; (1, 2) 1 t 15 125 t 2. a. d b. d 2 c. (30, 2) ? línea b: d 2 1 t; 15 ? 2 2 t 15 1 (30); 15 ? 2; 2 2 2; 2 4 2; 2 2 b. (2.5, 2.25) c. x = 2.5 Bitácora del Estudiante 1. perpendicular 2. eje de x; 0; eje de y; indefinida 4. recíproco negativo 5. Son recíprocos negativos. 30 ; 15 2; x –22 4 6 8 –4 –6 –8 b. (2, 1) 2. a. Recta a: y x; recta b: y 2x A-C1-3.1-AK-b 4 b. (4, 4) c. y x 4 (4)4 4 y y 2x 4 4 2(4) 4 4 8 4 4 4 3. El punto de intersección representa el número de artículos por los cuales los costos de producción son iguales para ambos A y B. © RIVERDEEP, Inc. Haciendo gráficas de rectas perpendiculares y paralelas 3. 1 ? 2 (30) 15 3. a. y 2.9x 5 y y 3 0.3x 82 y 8 6 A-C1-3.1-AK-a 4 2 –8 –6–4 –2 d. línea a: d ? 2 2; 60 15 Avalúo de la Unidad 4. a. ninguno c. ninguno 5. y 6. y 3 x 2 3 x 5 b. paralelo 9. d. perpendicular 2 16 5 7. No. Ambos empleados ganan lo mismo por hora y el empleado A ya ha ganado $50 cuando el empleado B comenzó. y 50 10x y y 10x; 10. $115; $235 11. Compañía de Cable TV, porque es más económica. 12. Compañía de TV de satélite porque es más económica. 13. $355 por cada una 14. 8; en el punto de intersección, (8, 355) Explorando la Unidad 1. y 2x 12; y 3x 2. 3.2 Soluciones algebraicas de un sistema de ecuaciones lineales Usando la sustitución para eliminar una variable Bitácora del Estudiante 1. gráficar; ejes 2. solución; punto de intersección; iguales; intersección 3. la ecuación de cada recta 4. Simplifica la expresión a cada lado de la ecuación, luego despeja para t. 3. $32; $30 © RIVERDEEP, Inc. 4. Tienda B 5. a. Puedes encontrar la coordenada de c (el costo). b. Sustitución. 5. Tienda A; porque es más económica 6. Sustituye; identidad 6. $36, $36 7. Sustituir y por el valor de 4x en la segunda ecuación, y luego resuelve para x. 7. 12; en el punto de intersección, (12, 36) 8. y 40x 35; y 20x 195 Es tu Turno 1. a. (20, 30) b. (20.25, 30.25) 2. a. x 67 b. y 18 7 c. x 76, y 18 7 83 3. a. d1 12 t 200 b. d 2 40t c. 5.06 segundos Usando suma o resta para eliminar una variable Bitácora del Estudiante 1. igualdad; el mismo 2. cantidades; cantidades; mismo 3. eliminar 4. Sustituir el valor de x en cada una de las ecuaciones originales. 4. (3, 9) 5. a. (11, 10) b. (1, 3) 6. a. 15 minutos b. 25 galones 7. a. 2c 3p 180 b. 3c 4p 100 c. envase de cobre: 60 canicas; envase de porcelana: 20 canicas Explorando la Unidad 5. multiplicar; sumando; restando 1. Auto A: m = 200n Auto B: 4m = 600n + 4,000 ó m = 150n + 1,000 6. gráfica 2. Las gráficas varían. 7. álgebra 3. n = 20 8. sustitución; suma 4. Luego de 20 meses, la misma cantidad de dinero m había sido pagada por el Auto A y el Auto B. Es tu Turno 1. x 37, y 13 2. x 1, y 54 3. 2 4. x 11, y 2 5. 5 1 6. x 54, y 25 7. a. $50 b. $25 Avalúo de la Unidad 1. (40, 20) 2. (3, 5) 84 6. a. 200n = 17,000 – 3,000 b. 70 meses, ó 5 años y 10 meses c. 36m = 17,000 – 3,000 d. 388.89 7. a. c = 200(5 x 12) + 3,000 ó 12,000 + 3,000 b. 15,000 b. 333.33 4.1 Desigualdades en una variable Aplicando operaciones inversas Bitácora del Estudiante 1. polígono; igual 2. , 3. igual; no es igual b. Suma las dos ecuaciones juntas para eliminar los términos de y. Luego despeja para x. Sustituye el valor de x en una de las ecuaciones y despeja para y. 4. mayor que; menor que c. Multiplica una de las ecuaciones por 1, luego suma las ecuaciones para eliminar los términos de y. Sustituye el valor de x en una ecuación y resuelve para y. 7. igual; preservada 5. menor que 6. r b ó r b ó r b 8. conjunto solución © RIVERDEEP, Inc. 3. a. Sustituir 3x por el valor de y en la segunda ecuación. Ahora que la ecuación tiene una sola variable, x, despeja para x. Sustituye el valor de x en la ecuación original (y 3x) y despeja para y. Verifica tu solución sustituyendo los valores de x y de y en ambas ecuaciones y mira si puedes obtener una identidad por cada ecuación. 5. Auto A cuesta $4,000, y el Auto B cuesta 4 veces más ó $16,000. 9. multiplicas, divides, negativo apuntando a la izquierda de cada punto y acercándose a un círculo lleno en 0. 10.suma 10 en ambos lados Resolviendo desigualdades con valores absolutos Es tu Turno 1. a. x 11 3 c. x 2 b. x 12 d. x Bitácora del Estudiante 14 3 1. 63%; 67% 2. Las respuestas van a incluir los números de las siguientes soluciones. r 13 k 4 p4 d7 3. a. El gimnasio debe tener por lo menos 320 socios para mantener las 6 clases. b. 4 clases Localizando soluciones en una recta numérica Bitácora del Estudiante 1. recta numérica 2. Las rectas numéricas deben tener un círculo vacío en 5 con una flecha sombreada que apunte a la derecha. 3. extremo 4. intersección; elementos; ambos conjuntos 5. desigualdad compuesta 3. valor absoluto 4. r 65 2 5. dentro; fuera 6. punto medio 7. promedio; extremo 8. complemento 9. h 16 8 10. h 16; (h 16) Es tu Turno 1. a. n 7 ó n 1 b. Las rectas deben tener un círculo vacío en 7 con una flecha sombreada apuntando a la derecha y un círculo vacío en 1 con una flecha sombreada apuntando a la izquierda. 6. intersecan; no 2. t 47 5 7. conjunto vacío 3. p 13.5 4.5 8. unión 4. d 8 6 9. unión; intersección 5. t 73 5 Es tu Turno 1. a. Las rectas numéricas deberían tener un círculo lleno en 3 con una flecha sombreada que apunta a la derecha. © RIVERDEEP, Inc. 2. 63 r 67 b. Las rectas numéricas deberían tener un círculo vacío en 4 con un círculo lleno en 4, con el segmento entre ellos sombreado. c. Las rectas numéricas deberían tener un círculo lleno en 6 con una flecha sombreada apuntando a la izquierda y un círculo lleno en 8 con una flecha sombreada apuntando a la derecha. 6. c 11 1 Avalúo de la Unidad 1. a. m 8 b. y 7 c. f 5 d. u 1 2. a. Las rectas numéricas deberían tener un círculo vacío en 1 y una flecha sombreada apuntando a la izquierda. 2. 15 s 25 b. Las rectas numéricas deberían tener círculos llenos en 3 y 5 con el segmento entre medio sombreado. 3. Las rectas numéricas para a, b y c deberían tener círculos llenos en 15, 5 y 30 respectivamente, con flechas sombreadas c. Las rectas numéricas deberían tener círculos abiertos en 6 y 10 con el segmento entre ellas sombreado. 85 3. t 5 ó t 15 4. Las rectas numéricas deberían tener un círculo vacío en 5 y un círculo lleno en 15 con el segmento entre medio sombreado. 5. x 75 4 6. a. 7 9. sustituyes 10. solución; desigualdad lineal o un conjunto de soluciones Es tu Turno 1. y 2x 6 2. b. x 7 3 7. d 75 45 80 8. a. 3s 80, ó s 3 b. c 140 3 c. s 180 12 2. Las rectas numéricas deberían tener un círculo vacío en 0 y un círculo lleno en 95 con el segmento entre medio sombreado. 5. d 2 1 6. Las rectas numéricas deberían tener círculos llenos en 1 y 10 con el segmento entre medio sombreado. 7. $25.85 8. 17 cajas 4.2 Desigualdades en dos variables Localizando soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares Bitácora del Estudiante 2. frontera 3. y x 16 4. desigualdad A-C1-4.2-AK-a b. Las respuestas varían; el punto debería estar en la recta o en la región sombreada. c. Las respuestas varían; El punto no debería estar en la recta o en la región sombreada. Resolviendo sistemas utilizando gráficas Bitácora del Estudiante 1. más de 2. sobrepuesta 3. satisfacen 4. intersección 5. solución 6. Restricciones 7. región posible 8. Programación lineal 9. vértice Es tu Turno 1. y 5 4 3 5. solución 2 6. sombreando 1 7. sólida; entrecortada 8. frontera; región 86 x © RIVERDEEP, Inc. 1. semiplano 5 6 7 8 9 10 3. a. y 25 x 500 3. w 120 4. 2; tamaños 4, 5, y 6 [Ej., una caja tamaño 6 podría medir 60 libras.] 1 2 3 4 O Explorando la Unidad 1. Cualquier peso mayor que 0 y menor o igual que 50; 0 x 50 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 A-C1-4.2-AK-b x 2. 2x y 8; 2x y 4; x 0; y 0 7. a. d t 80, d 20, t 30 3. a. x y 70, x 10, y y 40 b. y b. 70 (10,60) 60 50 (30,40) 40 (10,40) 30 20 10 O t 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 O x (20,60) (50,30) (20,30) 10 20 30 40 50 60 70 c. (20, 30), (20, 60), (50, 30) c. (10, 60), (10, 40), (30, 40) d. 20 escritorios d. Solamente valores enteros positivos tienen A-C1-4.2-AK-c sentido porque no es posible tener parte de un cobertizo o un cobertizo negativo. e. 60 mesas A-C1-4.2-AK-g f. $22,000 Explorando la Unidad Avalúo de la Unidad 1. 40x 30y 2,160 1. y 34 x 5 2. d 2. 400x 250y 20,000 y 3. a. x 0, y 0 6 5 b. Porque la compañía no puede producir un número negativo de cualquier producto. 4 3 4. 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x 3. B, C 4. y 32 x 4 y y 21 x 2 5. A-C1-4.2-AK-e y 5 4 5. (30, 32) 3 6. (0, 0), (50, 0), (30, 32), y (0, 72) 2 7. 72 © RIVERDEEP, Inc. 1 O 1 2 3 4 5 6 x 6. a. Las respuestas varían. Los puntos pueden estar en cualquier recta o en A-C1-4.2-AK-f la región sobrepuesta sombreada que representa la solución. b. Las respuestas varían. Los puntos puede que no estén en ninguna recta o en la región sobrepuesta sombreada que representa la solución. 8. P 300x 220y 9. $15,840 10. No. La compañía podría producir 30 modelos de lujo y 32 modelos básicos para maximizar la ganancia. El trabajo del estudiante debería mostrar sustitución de las coordenadas de los vértices en la ecuación de las ganancias para encontrar el máximo. 11. $16,040 12. Las respuestas varían. 87
