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DIRECCIÓN NACIONAL
GERENCIA ACADÉMICA
Estudios
Generales
NIVEL
TÉCNICO OPERATIVO
Matemática
Parte I
CÓDIGO: 89001292
SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL
000977
MATEMÁTICA
UNIDAD 01
NÚMEROS NATURALES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
5
MATEMÁTICA
1.1. NÚMERO NATURAL.
Definición.
Un número natural es
cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...
que se pueden usar para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese
nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar
objetos de la naturaleza.
Numeral. Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes
de los numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los
mismos números.
Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11
es el tres binario pero el once decimal.
1.2.
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES.
En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra
forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases,
forman un período.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
6
4° Período MATEMÁTICA
8° Clase 3° Período 6° Clase 5° Clase 2° Período ENTEROS 7° Clase 4° Clase 1° Período 3° Clase 2° Clase 1° Clase 24° Orden Centenas de millar de trillón. 23° Orden Decenas de millar de trillón. 22° Orden Unidades de millar de trillón. 21° Orden Centenas de trillón. 20° Orden Decenas de trillón. 19° Orden Unidades de trillón. 18° Orden Centenas de millar de billón. 17° Orden Decenas de millar de billón. 16° Orden Unidades de millar de billón. 15° Orden Centenas de billón. 14° Orden Decenas de billón. 13° Orden Unidades de billón. 12° Orden Centenas de millar de millón. 11° Orden Decenas de millar de millón. 10° Orden Unidades de millar de millón. 9° Orden Centenas de millón. 8° Orden Decenas de millón. 7° Orden Unidades de millón. 6° Orden Centenas de millar. 5° Orden Decenas de millar. 4° Orden Unidades de millar. 3° Orden Centenas simples. 2° Orden Decenas simples. 1° Orden Unidades simples. Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a
partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin
usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:
79 142 031 789 358.
TRILLONES
BILLONES
MILLONES
UNIDADES
MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD
C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U
24º23º 22º 21º 20º 19º 18º17º16º15º14º13º12º11º10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º
7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
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MATEMÁTICA
Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un
millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho
unidades.”
Aplicaciones:
1: Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes:
Escribir cómo se lee cada número:
a) 4 121
..................................................................................................................
b) 20 305
................................................................................................................
c) 2 000 000
...........................................................................................................
d) d) 5 001 008
......................................................................................................
2: Leer y escribir con cifras cada número:
a) Tres mil cinco
...................................................................................................
b) Cien mil cuarenta y
dos..................................................................................
c) Un millón trescientos mil
................................................................................
d) Dieciocho millones tres mil uno
........................................................................
e) Seis millones quince mil
....................................................................................
f) Doscientos tres millones cuatro mil uno
……....................................................
3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM?
a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014
e) 2048014
4: Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:
a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763
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MATEMÁTICA
5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM?
a) 75 560
b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560
e) 74 560
6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares?
a) 20
b) 200
c) 2000
d) 2
e) 0,2
7:¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11?
a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA
1.3. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES.
1.3.1.
ADICIÓN.
Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual
se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S.
Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
de números naturales (a ; b) su suma a + b.
Ejemplo 1:
15
+
17
=
32
7
+
8
+
13
Ejemplo 2:
=
Sumandos
Aplicación 1:
Si:
a + b + c = 15,
28
Suma
hallar:
abc + bca + cab
Rpta: 1665
Aplicación 2:
Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal.
Rpta: 494550
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MATEMÁTICA
Suma notables:
I)
Suma de los “n” primeros números naturales.
S=
S = 1+2+3+4+ ....+n
Ejemplo:
n = 25
S=
1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25
II)
n (n + 1)
2
25(25 + 1)
= 325
2
Suma de los “n“ primeros impares.
⎛ n +1⎞
S=⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
S = 1 + 3 + 5 + …….... + n
Ejemplo:
2
n = 39
2
⎛ 39 + 1 ⎞
S=⎜
⎟ = 400
⎝ 2 ⎠
1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39
III)
Suma de los “n” primeros pares.
S = n (n + 1)
S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n
Ejemplo:
2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20
n = 10
S = 10(10 + 1) = 110
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MATEMÁTICA
1.3.2.
SUSTRACCIÓN.
Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la
cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.
Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a ; b) su diferencia a - b.
DIFERENCIA ( D )
Ejemplo 1:
235
-
140
=
95
SUSTRAENDO ( S )
MINUENDO ( M )
Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar:
a+b–c
Rpta: 8
Propiedades de la sustracción:
1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al
SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.
2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la
DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.
3. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la
DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.
4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.
S
+
D
=
M
5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL
MINUENDO.
M
+
S
+
D
=
2M
Aplicación 1:
La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le
aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia?
Rpta.: 410
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MATEMÁTICA
Aplicación 2:
La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor
se le quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78
Aplicación 3:
La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?
Rpta. : 239
1.3.3.
MULTIPLICACIÓN.
Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la
cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.
Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a ; b) su producto a.b.
Ejemplo 1:
18
x
Multiplicando
Ejemplo 2:
15
=
Multiplicador
270
Producto
7
Multiplicando
Multiplicador
Productos
parciales
Producto final
3
4
4
6
4
4
4
0
2
9
3
6
3
3
7
6
x
734 x 6
734 x 4
4
Aplicación 1:
El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al
multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de
cifras del multiplicador? Rpta. 7.
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MATEMÁTICA
Aplicación 2:
El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al
multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del
multiplicador?
Rpta. 11.
POTENCIACIÓN.
Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí
mismo varias veces.
an = a x a x a x .………a = P
Elementos de la potenciación,
donde:
a: es la base
n: es el exponente
P: es la potencia perfecta de
grado n.
“n” veces a
Potencia de exponente cero:
a0 = 1 siempre que a ≠ 0
Nota:
00 = no está definido.
Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente.
23
3
3
4
3
5
3
24
= …..
= …..
34
5
4
2
5
= …..
= …..
112
12
2
= …..
162
= …..
= …..
17
2
= …..
18
2
= …..
2
= …..
= …..
13
2
= …..
0
(14+17) = …..
14
2
= …..
19
= …..
(2X3 – 6)0 = ….
152
= …..
202
= …..
= …..
= …..
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MATEMÁTICA
1.3.4.
DIVISIÓN.
Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,
se denota
a
, al número natural c, si existe, tal que a = b.c.
b
Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
a
.
b
de números naturales (a; b) su cociente
Elementos de una división:
Divisor (d)
Dividendo (D)
Dividir 104 entre 11
104
11
99
9
Cociente (q)
5
Residuo (r)
Además:
104
=
11. (9)
+
5
Algoritmo de la división
Clases de división:
• Exacta (residuo = 0).
28
0
7
4
D
0
28 = 7. (4)
d
q
D = d.q
• Inexacta (residuo ≠ 0).
Defecto:
Residuo por defecto
75
9
75 = 11.(6) +
•
En donde :
9
+
r(defecto)
Exceso:
11
6
Residuo por exceso
9
75
2
11
7
75 = 11.(7) -
2
=
+
r(exceso)
2
11
=
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divisor
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MATEMÁTICA
En general:
Exceso:
Defecto:
D
r
d
q
D
r*
D = d.(q) +
r
d
q+1
D = d.(q + 1) -
r*
Propiedades de la división:
• Si: r = 0, la división es exacta.
• Algoritmo de la división:
• Residuo máximo :
D
r(máx)
• Residuo mínimo :
• r(defecto)
=
= d. (q) +
r
(d - 1)
r(min)
=
1
+ r(exceso) = divisor
• residuo < divisor
• Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo
número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el
RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural.
D
r
d
q
D.k
r.k
d.k
q
Aplicación 1:
El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo
y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el
residuo ¿Cuál es el divisor de la división?
Rpta.: 16
Aplicación 2:
El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo
y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo
disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?
Rpta: 6
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15
MATEMÁTICA
1.3.5.
RADICACIÓN.
Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que
dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número
llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así
se tiene:
n
n
K =R⇔R =K
TÉRMINOS
DE LA
RADICACIÓN
Resolver los siguientes ejercicios:
64 =
3
8=
4
16 =
1600 =
81 =
3
64 =
4
81 =
3
27000 =
144 =
3
125 =
4
625 =
4
810000 =
169 =
3
1000 =
4
1012 =
3
8 × 27 =
1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS.
• Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los
signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)
Ejemplo:
[(8 − 3 ) × 3 + 3 ] ÷
= [5 × 3 + 3 ] ÷ 6
= [15 + 3 ] ÷ 6
=
=
6
18 ÷ 6
3
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16
MATEMÁTICA
• Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en
el siguiente orden :
o Primero:
o Segundo:
“de
o Tercero:
La potenciación o radicación.
La multiplicación o división (en el orden en que aparecen)
izquierda a derecha”
Adición o Sustracción.
Ejemplo:
32 : 8 + 6 x 5
4
+
Observar, con atención, las operaciones indicadas.
Fueron
efectuados: la división
(32:8)
y
multiplicación (6 x 5).
Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30).
=
30
=
34
=
la
Resolver la expresión:
45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =
La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que
cero veces cualquier numeral es cero.
7
+ 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 =
= 7 + 3 x ( 40 – 36 )
=7 + 3 x
=7 +3 x
=7 +
12
=
19
=
11
4
4
–
– 23 =
– 23 =
– 8 =
– 8 =
8
=
Observar paréntesis.
Fue efectuada la multiplicación contenida
en los paréntesis (9 x4).
También fue hecha la resta: (40 – 36)
Fue efectuada la potencia 23.
Fue realizada la multiplicación: (3 x 4)
Se realizó la suma ( 7 + 12 )
Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8)
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17
MATEMÁTICA
EJERCICOS
Resolver las siguientes operaciones combinadas:
OPERACIÓN COMBINADA
RESPUESTA
( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =
6 x 8 + 13 - 9
=
250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =
12 x 22 + 32 x 42 + 52
=
PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS.
partes =
Longitud Total
Longitud unitaria
Ejemplo:
Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de
5 m se podrán obtener?
Nº de pedazos =
100 m
= 20 pedazos de 5 m c/u
5m
Número de cortes
LÍNEA
ABIERTA
LÍNEA
CERRADA
Nº cortes =
Longitud total
−1
Longitud unitaria
Nº cortes =
Longitud total
Longitud unitaria
Número de estacas
Nº estacas =
Longitud total
+1
Longitud unitaria
Nº estacas =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
Longitud total
Longitud unitaria
18
MATEMÁTICA
Ejemplo (LINEA ABIERTA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si
cada árbol están separados 50 m?
Nº árboles
=
(estacas)
50 m
50 m
50 m
50 m
200
+1
50
= 4 + 1
= 5 árboles
200 m
2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios
realizar para obtener trozos de 50 m?
CORTES
50 m
1º
2º
50 m
Nº cortes
3º
50 m
50 m
=
=
=
200
−1
50
4 - 1
3 cortes
200 m
Ejemplo (LINEA CERRADA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro
es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?
Perímetro
= 200 m
(Longitud total)
50 m
50 m
Nº de árboles =
(estacas)
50 m
50 m
200
= 4 árboles
50
2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán
necesarios realizar, para obtener trozos de 5 m?
2
5
5
3
Nº de cortes =
1
5
5
4
20
= 4
5
cortes
cortes
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19
MATEMÁTICA
LÍNEA ABIERTA
Número de = Número
Cortes
de partes
1
Número de = Número
espacios
de puntos
1
-
PROBLEMAS:
1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde
cada corte pierde 1 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?
64
a) 193
b) 235
2. Dividir una barra de Hierro 10
c) 195
d) 425
e) 194
1"
en 5 partes iguales perdiendo en cada
8
1
“¿Qué longitud tendrá cada parte?
32
a) 3”
b) 5”
c) 2”
d) 4”
corte
e) 1”
3. Dividir una barra de bronce de 137 m en trozos iguales de 35 cm.,
perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto
material sobra?
a) 342; 30cm
b) 142; 30cm
c) 342; 20cm d) 352; 30cm
e)12; 30cm
1"
en trozos iguales de 2”, se pierde en cada
8
”. ¿Cuántos cortes se obtiene?
4. Dividir una barra de cobre 10
corte 1
32
a) 3
b) 5
c) 2
d) 4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
e) 1
20
MATEMÁTICA
1.4.
PLANTEO DE ECUACIONES.
Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje
matemático, por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos
aspectos de este lenguaje.
El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje
conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones.
El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A través de la
combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones
SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto quiere decir
que no todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma
matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede
representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de
Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de
ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es
para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y
CUANTIFICABLE.
Ejemplo:
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18,
y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado?
x
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre?
4x
si al multiplicarlo por cuatro
añadirle 18
y dividir dicha suma entre 19
se obtiene
2 como resultado?
4x + 18
4 x + 18
19
4 x + 18
=
19
4 x + 18
=2
19
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
21
MATEMÁTICA
Resolviendo la ecuación:
4 x + 18
=2
19
4 x + 18 = 2.(19)
4 x = 38 − 18
4 x = 20
x=5
TEORÍA ADICIONAL:
Operaciones fundamentales con fracciones:
a. Conversión de un número mixto a Fracción:
E
N E×D+ N
=
D
D
=
b. Suma de Fracciones:
x
p r t (M ÷ q ) p + (M ÷ s )r + (M ÷ u )t
+ + =
q s u
M = [MCM (q, s, u )]
÷
c. Número natural.
d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales.
Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o
partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las
operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.
Se completa con ceros la parte decimal
Ejemplo 1
Exponente +1
Parte variable
Signo +
+
2+1,000 x a0
El denominador es +1
+1
Ejemplo 2
+ 5+1,000 x b0
=2
La coma divide la parte entera de la parte decimal.
=5
+1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
22
MATEMÁTICA
NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas
estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que
representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo,
a la derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable
elevado a la potencia CERO que equivale a uno.
En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar
sumas, restas, multiplicar y/o dividir.
e. Reducción de fracción de fracciones :
a
b
c
d
=
Es importante esta teoría base para hacer
las 4 operaciones de fracciones.
( +,−,×,÷ )
a × d
b × c
Ejemplos:
3 3
3 ×1
1
1
a. 4 = 4 =
=
=
6
6
4×6 4× 2 8
1
c.
b.
3
1
3 1 3× 6 9
= =
= = 4 = 4,5
4 4 1× 4 2
2
6 6
3
2 = 3 × 20 = 15 = 7 1 = 7,5
4
2× 4
2
2
20
Problemas que tengan relación Parte – Todo:
Qué Fracción
o
Qué Parte
f =
Cantidad de partes iguales
que se han tomado.
Cantidad de partes iguales
en que se han dividido a la unidad
Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?
*¿Qué parte de 27 es 9?
9 / 27 <> 1 / 3
*¿Qué fracción de b es c?
c/b
*¿M representa que fracción de N?
M/N
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
23
MATEMÁTICA
*¿Q que fracción representa respecto de P?
Q/P
*¿Qué fracción es 24 respecto de 60?
24 / 60
*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”?
a / b
*¿Qué fracción es “b” respecto de “a”?
b / a
*¿Qué parte representa 11 de 33?
11 / 33
<> 2 / 5
<> 1 / 3
ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
Enunciados
Forma verbal
1)
Expresión Matemática
Forma Simbólica
La suma de 2 números consecutivos más 3.
2)
Yo tengo 20 más que tú
Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes
3)
A es el doble de B
(x ) + (x + 1) + 3
Yo: 20 + x
Tu: x
A = 2B
A = 2K
A es 2 veces B
B=K
B es la mitad de A
B = K ; A = 2K
A tiene una vez más de lo que posee B
4)
5)
A es 2 veces más que B ó
A es 2 veces mayor que B
A = 3B A = 3X
B=X
A es a B como 3 es a 5 ó
La relación entre A y B es 3/5 ó
A 3
=
B 5
A = 3k
A y B están en la razón de 3 a 5 ó
B = 5k
A es a 3 como B es a 5
6)
El cuadrado de la suma de 2 números
(x + y )2
7)
La suma de los cuadrados de 2 números
x2 + y2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
24
MATEMÁTICA
8)
El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20
Tengo : y
9)
El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20
Tengo : y
4 y + 20
4( y + 20 )
A− B = 4
A= x+4
10) A excede a B en 4 ó
A es mayor que B en 4 ó
El exceso de A sobre B es 4
B=x
11) Tres menos 2 veces un número X
3 − 2x
12) Tres menos de 2 veces un número X
2x − 3
13) El producto de 5 números consecutivos es m.
(x )(x + 1)(x + 2)(x + 4) = m
ó
(a − 2)(a − 1)(a )(a + 1)(a + 2) = m
R 3
=
A 4
14) Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules.
R = 3k
1.4.1.
;
A=4k
ECUACIONES DE 1ER GRADO.
Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se
verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.
Propiedades de las ecuaciones:
1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad
constante, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
25
MATEMÁTICA
2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una
cantidad constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es
EQUIVALENTE a la primera.
Ejemplo:
Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X
Solución:
2X + 3X + 20 = 140 – 1X
2X + 3X + 1X = 140 – 20
6X = 120
X = 120 / 6
X = 20
Ejemplos de aplicación:
Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:
1. 4 x − 1 =
2. 40 x + 97
x − 4
= 120
x − 63
3. 3 ( x + 1 ) + 4 ( 2 x − 1 ) = 5 ( x + 5 ) − 2 ( x − 3 )
4. 1 +
x
1
=
+ x
2
2
5.
1
4
6.
x − 2
x − 2
+ 2 =
+ 6
3
5
7.
1
1
( x − 1) + 2 =
( 2 x − 1) − 2
2
3
8.
2
3
9.
1 ⎡ 3
2 ⎢⎣ 2
+
(x
2
5
x =
3
4
x
2
+
− 4
)+
5 x =
(x
+ 5
)+
2
3
5
x +
7
(x
(x
− 1)
+ 30
3
⎤
+ 6 )⎥ = x + 4
⎦
10. − 13 − [3 ( x + 2 ) + 4 ] = 11 − [6 (− 2 x − 2 ) + 1 ]
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
26
MATEMÁTICA
Problemas de Aplicación:
Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de
primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta
comprenderlo, hacer el planteamiento y resolver.
1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para
seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno
habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/.
13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?
2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números.
3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro
en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en
alcanzarle?
Comprobando respuestas:
1. El autobús tenía 39 asientos.
2. Los números son 18, 20 y 22.
3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos.
SISTEMAS DE ECUACIONES.
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe
proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las
ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el
valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del
sistema.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
27
MATEMÁTICA
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.
Método de Sustitución:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a
continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la
se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y
una incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este
método reiteradamente.
Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema:
por ser la de menor
En la primera ecuación, se selecciona la incógnita
coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja,
obteniendo la siguiente ecuación:
en la otra
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
, y si ahora se substituye
Al resolver la ecuación se obtiene el resultado
esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
28
MATEMÁTICA
Método de Igualación.
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método
de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y
a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de
en ambas ecuaciones queda de la
sustitución, si se despeja la incógnita
siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte
izquierda, por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son
iguales entre sí.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener
el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de
las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra
despejada.
Método de Reducción.
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,
siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,
consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante
productos), de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una
misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A
continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
29
MATEMÁTICA
Por ejemplo, en el sistema
para poder
no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por
cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así:
Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una
ha sido reducida y que, en este caso, da
nueva ecuación donde la incógnita
directamente el valor de la incógnita :
-4x - 6y
= -10
5x + 6y
=
x
4
+
= -6
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así
17
es igual a
.
que el valor de
3
Ejercicios de Aplicación:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.
1)
x + 2 y = 15
x − 2 y = − 5
2)
3)
a = 14 − 5 b
2 a = 3 b − 11
4)
5)
x = 5 + 3 y
7 x − 39 = 9 y
6)
7)
(7 y
(2 y
− x ) + 2 ( x − 1 ) = − 25
− x ) + 7 ( y − 1 ) = − 32
8)
x − y = 4
3 x + 4 y =
68
7 m − 2 n + 34 = 0
5 m + 3 n + 11 = 0
( x + 2 y ) − (2 x − y ) = 8
x − 1 − [y − 2 x ] = − 1
3[x − 4 y ] + 7[2 x − y ] = −10,5
14 x − 3 y = 4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
30
MATEMÁTICA
1.4.2.
ECUACIONES DE 2DO GRADO.
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma.
ax 2 + bx + c = 0 . Donde no se anula a
Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si
se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Número de soluciones:
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o
valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una
identidad.
Se denomina discriminante Δ = b − 4ac , en función del signo
discriminante se conocerá el número de soluciones de la ecuación, así:
2
del
• Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
• Si el discriminante es 0 hay una solución.
• Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
Ejemplo de Aplicación 1:
¿Cuántas raíces tiene la ecuación 8 x 2 − 9 x − 8 = 0 ?
a) Ninguna solución
c) Dos soluciones: x1 =
b) Una solución: x =
;
x2 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
31
MATEMÁTICA
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.
Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0, despejando se llega:
Ejemplos:
•
•
Ejemplo de Aplicación 1:
La ecuación x − 9 = 0
2
a) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
b) Tiene una solución
x1 =
;
x =
x2 =
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0.
Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.
Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que
x=0; ax + b = 0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las
soluciones es x=0
Ejemplo:
•
•
Ejemplo de Aplicación 1:
Resolver la ecuación
Soluciones x1=
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
x2=
32
MATEMÁTICA
Ecuación de segundo grado completa.
Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no
nulos.
Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula:
Ejemplo:
Ejemplo de Aplicación 1:
La ecuación
a) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
− x2 − 6x − 9 = 0
b) Tiene una solución
x1 =
;
x =
x2 =
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO.
1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y
su área es 286m2.
El lado mayor mide
m y el menor
m
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es
años y la del hijo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
años
33
MATEMÁTICA
3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese
caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la
misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?
El deportista ha caminado
horas
4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es
años y la del hijo
años
5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber
comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.
¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?
Compró
objetos a un precio de
euros
6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y
su área es 144m2.
El lado mayor mide
m y el menor
m
Comprobando respuestas:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m
La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años
Ha estado caminando 8 horas
La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años
15 objetos y cada uno costo 24 euros
El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m
Resolver:
1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un
par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?.
Rpta. S/. 232
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
34
MATEMÁTICA
2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún
se tiene el doble de la cantidad que se gastó?
Rpta. S/. 579
3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos
decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?
Rpta. 5 cajas
4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de
S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de
cada letra?
Rpta. S/. 540
5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?
Rpta. 1922
6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el
triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo?
Rpta. 416
7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 117. ¿Cuántos cuadernos se
podrán comprar con S/ 78?
Rpta. 8 cuadernos
8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se
recibió de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre?
Rpta. S/. 20
9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los
75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones
recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?
Rpta. 3 bombones
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
35
MATEMÁTICA
10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la
diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?
Rpta. S/.
325
11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los
pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia
la pérdida de corte).
Rpta. 172 mm
12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total,
29 estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final?
Rpta. 78 tornillos
13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas
por hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas?
Rpta. 2 400 piezas
14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36.
Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división,
el cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál
fue el dividendo inicial?
Rpta. 900
PROBLEMAS RESUELTOS
1)
Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si
accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126;
¿Cuántos hijos tengo?
A) 10
2)
B)1
C)6
D)4
E)8
Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144
contiene a dicho número. Calcular el doble del número.
A) 96
B) 48
C) 24
D) 12
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
E) 192
36
MATEMÁTICA
3)
Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve
a subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12
peldaños
¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?
A)60
4)
B)6 000 m
C)5 800 m
D)3 800 m
E)4 500m
B)8
C)12
D)16
E)20
B)14 s
C)10 s
D)16 s
E)12 s
En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132
cabezas y 420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
A)10 y 25
8)
E)108
Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar
un túnel de 500 m?
A)35 s
7)
D)84
En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo
que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal.
¿Cuántos artículos compró?
A)10
6)
C)72
Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar
frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la
longitud del túnel.
A)5 000 m
5)
B)90
B)54 y 78
C)98 y 34
D)13 y 22
E)200 y 32
Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar
cada uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el
segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?
A) S/.11
B)S/13
C)S/.5
D)S/.12
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
E)S/.8
37
MATEMÁTICA
9)
Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54
monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe
intercambiarse (el
mismo número) para que
ambos
montones
adquieran el mismo peso.
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene
como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar
como respuesta la suma de cifras de dicho número.
A)9
B)10
C)8
D)7
E)6
SOLUCIÓN
1)
C/U : S/ .x
Sobrarían:
S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126
⇒ 4x + 2 = 126 ⇒ x = 31
250 − 2
N º de hijos =
=8
Clave: E
31
2)
Sea “ x” el numero , entonces
144
x
=2
⇒ x 2 = 2 304
8
x
x = 48
:
Clave: A
∴ El doble del número es : 2(48) = 96
3) * Cuando asciende al 5to piso sube:
12 x 4 = 48 peldaños
* Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 3 = 36 peldaños
* Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños
* Finalmente, lo que ha subido en total será:
48 + 24 = 72 peldaños
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
Clave: C
38
MATEMÁTICA
4)
Clave: C
5)
Sea
a
x
Costo por
cada artículo
n : lo
que debía pagar
Nº de artículos
Luego a x n + 24, lo que pagó.
a n + 24
lo que costó cada artículo
n
an 24
⇒
+
= a + 2 ⇒ n = 12
n
n
∴ Compro 12 artículos
⇒
Clave: C
6) túnel + tren = para que pase por el túnel
500 + 200 =700
t=
700 m
= 14 s
50 m
s
Clave: B
7) Nº de cabezas = 132
Suponiendo que los 132 son conejos ⇒ 132 x4 = 528 patas
Se observa un exceso de patas de 108
⇒ 108 ÷ 2 = 54 veces , para convertir ese exceso en gallinas
Finalmente:
Número de gallinas: 54
Número de conejos: 132 – 54 = 78
Clave: B
8) 1er obrero = S/.143
⇒ recibe S/.55 más que el 2do
2do obrero = S/. 88
Nº de días trabajados será: S/.55 ÷ S/.5 = 11
1er obrero = S/.143 ÷ 11 = S/.13
2do obrero = S/. 88 ÷ 11 = S/.8
Clave: E
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
39
MATEMÁTICA
9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g
Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g
⇒ Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g
Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón
debe pesar:
2190 ÷ 2 = 1095g
Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en:
25 – 10 = 15g
Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g
Se debe intercambiar: 255 ÷ 15 = 17 monedas
Clave: D
10) Sea N el número, entonces:
N
3q
83
q
⇒ N = 83 q + 3q ∧ 3q ∠ 83
N = 86 q
∧ q ∠ 27,6
El mayor número N se obtiene para
" q " = 27 ⇒ N = 86 x27
N = 2322
∴ Suma de cifras = 2 + 3 + 2 + 2 = 9
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
Clave: A
40
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I.
Ejercicios:
1.
Resolver x:
a) 6 + x = 18
b) 18 - x = 14
c) x - 6 = 24
d)
e)
f)
b
d
x
+ x = 18
- x = 14
- 3 = 24
a) 14 = 7 + x
b) 10 = x + 14
c) 1 = 6 - x
d)
e)
f)
m =7 + x
r = x+4
z = 6-x
g)
h)
i)
b + x=a
d - x= c
x -e = a
g)
h)
i)
m=k + x
r=x+v
z=1-x
g)
h)
i)
R1 = R – R2
C2 = C – C2
t = t1 + t2
2.
3.
Resolver cada una de las letras:
a) a + b = c
b) k - d = v
c) 1 + m = - d
d)
e)
f)
l1 + l 2 = L
g1 + g2 = G
F1 + F 2 =
F3
4.
a) a + b = 86
b) c - t = - 65
c) F - G = 80
d) 684 - G = 65 + K
e) 456 + H = Z – 65
f) W - 45 = 32 + 14
g) -24 + F = 36 + x
h) V – 18 = - 42 + L
i) -16 + W = Z + 36
5.
Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más
corto. ¿Qué longitud tiene éste?
6.
Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm.
Calcular la base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114
mm y 62 mm respectivamente.
7.
Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca
312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se
ha viajado?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
41
MATEMÁTICA
.TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II.
1.
Resolver x:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3x = 24
9x = 36
56 = 7x
3x = A
9x = F
56 = F . x
b . x = A
p . x =F
2.
a) 0,3 x = 3
4
b) 9x = 36
4
c) 51 = 17x
3
d) 0,2 x = A
e)
f)
g)
h)
9x = R
4
51 = G . x
L
B . x=A
Q. x =R
4
3.
Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de
2:3. Calcular las longitudes parciales.
4.
La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10
del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?
5.
Un trecho es 12 m más largo que otro; la suma de ambos es de 48m
¿Cuál es la longitud de los trechos?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
42
MATEMÁTICA
1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces
el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál
es el cociente de dicha división?
A)26
B)15
C)5
D)10
E)20
2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al
dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el
anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 30 E) 32
3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a
cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría
S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?
A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280
E)S/.310
4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta
S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de
personas .¿Cuántos participaron en la compra?
A)18 personas
B)36 personas
C)6 personas
D) 12 personas
E)20 personas
5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14
soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza
para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?
A)5
B)6
C)7
D) 8
E)9
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
43
MATEMÁTICA
UNIDAD 02
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Y
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
44
MATEMÁTICA
2.
NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros se pueden clasificar en:
Números enteros negativos Z - = {...... − 3;−2;−1}
El cero y Números enteros positivos
Z+ = {1;2;3;4;.........}
2.1. DIVISIBILIDAD.
Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al
dividirlos, el cociente resulta exacto.
Si
A
0
entonces
B
k
“A es divisible por B ó B es un divisor de A “
además,
por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un
número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “
Ej.
1) ¿20 es divisible por 4?
Sí, porque:
20
4
0
5
Luego, se cumple que:
* 0 es divisible por 3.
* 3 es un divisor de 0.
* 3 es un factor de 0.
* 0 es un múltiplo de 3.
3) ¿- 42 es divisible por 7?
Luego, se cumple que:
Sí es, porque:
* 20 es divisible por 4.
* 4 es un divisor de 20.
* 4 es un factor de 20.
* 20 es un múltiplo de 4.
2) ¿0 es divisible por 3?
Sí es, porque:
0
0
3
0
- 42
7
0
-6
Luego, se cumple que:
* - 42 es divisible por 7.
* 7 es un divisor de – 42.
* 7 es un factor de - 42.
* - 42 es un múltiplo de 7.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
45
MATEMÁTICA
4) 15 no es divisible por 0.
(V)
(F)
5) 36 no es divisible por - 9
(V)
(F)
Verdadero, porque por definición el
divisor debe ser diferente de cero.
Verdadero, porque
debe ser positivo.
el
divisor
Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18
D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8
D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18
2.2. MULTIPLICIDAD.
Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se
cumple que A = B . K donde K es un número entero.
Ej. Responder las siguientes preguntas.
1) ¿15 es múltiplo de 3?
Sí, porque 15 = 3 × 5 y 5 es un número entero.
2) ¿- 12 es múltiplo de 4?
Sí, porque - 12 = 4 × - 3 y - 3 es un número entero.
3) ¿Cero es múltiplo de 5?
Sí, porque 0 = 5 × 0 y 0 es un entero.
4) ¿5 es múltiplo de cero?
No, porque 5 = 0 × K, no hay ningún número entero que multiplicado por cero
nos de 5.
5) ¿8 es múltiplo de - 2?
No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un entero
negativo.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
46
MATEMÁTICA
Si un número A es múltiplo de B, su notación será:
donde K es un número entero
A = B.K
múltiplo de B “.
0
Ej.
1) 20 = 5
0
2) 18 = 3
0
3) 0 = 2
ó
0
A = B y se leerá “A es
20 = 5.K
ó
ó
18 = 3.K
ó
0 = 2 .K
donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..
Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5.
Eso se escribirá 3K y 5K, entonces:
M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..
M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………
RELACIÓN ENTRE UN MÚLTIPLO Y UN DIVISOR:
Ej. Entre 9 y 27.
Ej. Entre 24 y 6
divisor
múltiplo
24
6
divisor
9
27
múltiplo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
47
MATEMÁTICA
CUANDO UN NÚMERO NO ES DIVISIBLE POR OTRO.
Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B ,
entonces , eso se puede expresar de dos maneras :
0
A = B + rd
ó
0
A = B - re
Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de
la división de A entre B, además, recordar que:
rd + re = divisor
Ejemplo:
1)
15 no es divisible por 2 porque
3) 26 no es divisible por 7 porque
15
2
26
7
1
7
5
3
Entonces:
Entonces:
0
0
26 = 7
15 = 2 + 1
ó
ó
1 + 1 = 2
5 + 2 = 7
0
0
15 = 7 - 2
15 = 2 - 1
2) 23 no es divisible por 5 porque
4) 526 no es divisible por 12 porque
23
5
520
3
4
4
0
0
3 + 2 = 5
15 = 5 - 2
43
520 = 12
23 = 5 + 3
ó
12
Entonces:
Entonces:
0
+ 5
+ 4
ó
4 + 8 = 12
0
520 = 12 - 8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
48
MATEMÁTICA
PROPIEDADES:
1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.
2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.
3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número.
4) El cero es divisible por todo número entero positivo.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
Divisibilidad por 2n.
Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número
debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 21 = 2:
Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser
divisible por 2, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es
divisible por 2.
b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.
c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.
Divisibilidad por 22 = 4:
Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe
ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y
24 es divisible por 4.
b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es
divisible por 4.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
49
MATEMÁTICA
c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible
por 4.
Divisibilidad por 23 = 8.
Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número
debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.
Ejemplos.
a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y
136 es divisible por 8.
b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero
es divisible por 8.
c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es
divisible por 8.
Divisibilidad por 5n.
Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número
debe de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 51 = 5.
Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser
múltiplo de 5, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es
divisible por 5.
b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.
c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,
0
además 7 = 5 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como
residuo 2.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
50
MATEMÁTICA
Divisibilidad por 52 = 25.
Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número
debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son
ceros.
b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es
divisible por 25.
c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es
0
divisible por 25, además 88 = 25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre
25, se obtendrá como residuo 13.
Divisibilidad por 3.
Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un
número que es divisible por 3.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.
0
1) 2 358,
2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 3 por lo tanto, si es divisible por 3.
2) 283,
2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3.
0
Además, 13 = 3 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el
residuo debe ser 1.
3) 57 014,
0
5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 3 + 2 lo
que significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como
residuo 2.
Divisibilidad por 9.
Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos
dé un número que es divisible por 9.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
51
MATEMÁTICA
0
9 por lo tanto, sÍ es divisible por 9.
1) 9 558,
9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =
2) 283,
2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 9 + 4 lo
que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.
0
0
3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 9 + 8 lo
que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.
Divisibilidad por 7.
Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la
derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego
realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)
0
abcdefg = 7
⇔
0
g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a = 7
1231231
+
+
Ejemplos.
Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario
hallar su residuo1).
1) 3 738
3) 99 148
8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y
0
8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14
28 = 7 , si es.
y
2) 35 266
4) 264
6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y
0
14 = 7 , si es.
0
-14 = 7 , si es .
0
4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 7 + 5
no es , y su residuo es igual a 5
Divisibilidad por 11.
Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de
las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un
número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
52
MATEMÁTICA
Lugares pares
0
Para el número:
a
(g + e + c + a) – (f + d + b) = 11
b c d e f g
Lugares impares
Ejemplos:
1)
Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.
4)
539
8 074
0
4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 11 , entonces
0
9 + 5 – 3 = 11 = 11 , entonces
8 074 es divisible por 11.
539 es divisible por 11.
5)
7 364
0
4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 11 , entonces
2)
5379
0
9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 11 , entonces
5 379 es divisible por 11
7 364 no es divisible por 11 ya
que al dividir 7 364 entre 11 dejará
como residuo por exceso 6 y por
defecto será 5
0
0
7 364 = 11 - 6 = 11 + 5
3)
381 909
6) 579
0
9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 11 ,
0
Entonces 381 909 es 11
0
9 + 5 – 7 = 7 ≠ 11 entonces 579 no
es divisible por 11. El residuo por
defecto es 7 y por exceso es 4.
Divisibilidad por 6.
Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez.
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible
por 6.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
53
MATEMÁTICA
Divisibilidad por 12.
Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible
por 12.
Divisibilidad por 10.
Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.
Ejemplos.
a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.
b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.
PRÁCTICA
Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible
por alguno de los números de la fila horizontal superior.
Número N
2
3
4
324
X
X
X
5
6
X
7
8
9
X
10
11
12
X
570
1 120
3 240
1 540
20 310
1 120
8 690
9 372 189
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
54
MATEMÁTICA
2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros, también se pueden clasificar según la
de divisores que tenga el número como:
a)
cantidad
NÚMEROS SIMPLES.
Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.
Ej. Son números simples:
1) 1, D ( 1 ) : 1
2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5
3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11
b)
NÚMEROS PRIMOS.
Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y
el mismo número.
Ej.
1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo.
2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo.
NOTA: “El menor número primo es 2”
c)
NÚMEROS COMPUESTOS.
Son aquellos que tienen más de dos divisores.
Ej.
1) D (6) =
1, 2, 3 y 6
entonces 6 es un número compuesto.
2) D (9) =
1, 3 y 9
entonces 9 es un número compuesto.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
55
MATEMÁTICA
NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163,
167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .
1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50?
Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5.
2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen?
Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.
3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.
(V)
(F)
La suma de los números primos menores a 19 es:
2+3+5+7+11+13+17 = 58
2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO
O NO.
1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número.
2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la
raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el
número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto
entonces el número no será primo .
Ej. Verificar si 97 es primo.
Paso 1 : 97 ≈ 9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera
y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la raíz
cuadrada en forma aproximada “.
Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz
hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los
casos , las
divisiones
son
inexactas por lo que se concluye que 97 es primo .
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
56
MATEMÁTICA
Ej. Verificar si 163 es primo.
Paso 1 :
163 ≈ 12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12.
Paso 2 : divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que
son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es
inexacto por lo que concluye que 163 es primo .
Ej. 91 no es primo. (V)
(F)
Solución:
Paso 1 :
91 en forma aproximada es 9.
Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7.
91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo.
Ej. 247 es primo. (V)
(F)
Solución:
Paso 1:
Paso 2:
247 en forma aproximada es 15.
Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13.
247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible por 13,
entonces 247 no es primo.
2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI).
Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común
la unidad.
Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI.
Solución.
D (4): 1 ; 2 y 4
D (9): 1 ; 3 y 9
Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad,
por lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
57
MATEMÁTICA
Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI.
Solución.
D (6)
: 1 ; 2; 3 y 6.
D (14) : 1 ; 2; 7 y 14.
D (25) : 1 ; 5 y 25
Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números
es la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI.
Ej. 15; 12 y 18 son PESI.
Solución.
(V)
(F)
D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15.
D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12.
D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18.
Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI.
2.6. DESCOMPOSICIÓN
DE
UN NÚMERO EN SUS FACTORES
PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.
Todo número se puede descomponer como producto de sus factores
primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos.
Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene:
N = Aa x Bb x Cc x Dd
Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c
y d , son los exponentes de los factores primos .
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
58
MATEMÁTICA
Ej. Descomponer en sus factores primos los números:
1)
90
2) 120
90 2
120 2
45 3
60
2
15 3
30
2
5 5
15
3
5
5
1
1
2
90 = 2 × 3 × 5
3
120 = 2 × 3 × 5
2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)).
Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la
descomposición del número en sus factores primos.
a
b
c
Para la descomposición del número N = A ×B × C × D
la cantidad de divisores de N será :
d
se cumple, que
CD ( N ) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)
donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.
También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas:
CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos
ó
CD = CDsimples + CDcompuestos
Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60?
Solución.
2
Como 60 = 2 ×3 × 5
entonces CD (60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
59
MATEMÁTICA
Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008.
Solución.
4
2
Como 1 008 = 2 × 3 × 7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30.
SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N (SD (N)).
Dada la descomposición de un número N en sus factores primos:
N = Aa × Bb × Cc × Dd , entonces :
b+1
c+1
d+1
−1 B −1 C −1 D −1
×
×
×
A−1
C −1
D−1
B −1
a+1
SD (N) = A
Ej.
Hallar la suma de todos los divisores de 60.
Solución.
2
Como 60 = 2 × 3 × 5 entonces
3
2
2
2 −1 3 −1 5 −1
SD (60) =
x
= 7 × 4 × 6 = 168.
×
2 −1
3 −1
5 −1
Ej.
Hallar la suma de todos los divisores de 504.
Solución.
3
2
Como 504 = 2 × 3 × 7 entonces,
4
3
2
2 −1 3 −1 7 −1
= 15 × 13 × 7 = 1 365.
SD (504) =
×
×
2 −1
3 −1
7 −1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
60
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700?
Solución.
2
2
Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 2 × 5 × 7
y sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3.
Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644.
Solución.
2
Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =2 × 7 ×
23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.
Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252?
Solución.
Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto
de la descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2.
2
2
(
2
)
.252 = 2 ×3 × 7 = 2 2 × 3 × 7 , entonces,
CD pares = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12
Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360?
Solución.
Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces
de la descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el
factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que
resulten serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .
3
2
360 = 2 3 ×3 2 × 5 = 2 ( 3 × 5)
entonces la cantidad
de divisores
impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre
paréntesis .
CD( 360 )impares = (2+1)(1+1) = 6 .
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
61
MATEMÁTICA
Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404?
2
3
2
3
Solución. 1404 = 2 × 3 × 13 = 2 (3 × 13), entonces CDimpares= (3+1)(1+1)= 8.
Problemas Propuestos
1.
I
II
III
IV
V
VI
De las siguientes afirmaciones :
3 es divisor de - 18
- 4 es un divisor de 12
20 es un divisor de 5
72 es un múltiplo de 9
4 es un múltiplo de 12
8 no es múltiplo de cero
¿Cuáles son falsas?
A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI
2. Del siguiente grupo de números :
53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71
¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo?
A) 118
B) 134
C) 72
D)110
3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50.
A)84 B)90 C)93 D)131 E)120
4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120.
A) 3
B) 16 C) 10 D) 8 E)12
5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24?
A) 1
B) 2
C) 8
D) 6
E) 4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
62
MATEMÁTICA
2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).
De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de
los divisores comunes.
Ej. Hallar el MCD de 12 y 18.
D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6.
Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son
los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de
un grupo de números son los divisores del MCD.
Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del
MCD de dichos números.
Propiedades:
1)
El MCD está contenido en los números.
2)
De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.
2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).
De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes.
Ej. Hallar el MCM de 4 y 6.
M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;…..
M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,………….
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
63
MATEMÁTICA
Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 ,
por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .
Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …
que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos
comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos
números .
Métodos para calcular el MCD y MCM.
1)
Por descomposición simultanea.
Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24.
18 - 24
9 12
3
4
2
3
mcd = 2 × 3= 6
2)
18 - 24 2
9 12 3
3 4 3
1 4 4
1 1
mcm = 2 × 3 × 3 × 4= 72
Por descomposición de los números en sus factores primos.
El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a
su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores
primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente.
Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.
Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene:
2
2
18 = 2x3
y 60 = 2 ×3 × 5 . Luego se aplica la propiedad.
MCD = 2x3 = 6
3)
2 2
y MCM = 2 ×3 × 5 = 180.
Por divisiones sucesivas.
Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números.
Ej. Calcular el MCD de 144 y 56.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
64
MATEMÁTICA
Cocientes
2
1
1
3
144
56
32
24
8
32
24
8
0
residuos
MCD=8
Ej. Calcular el MCD de 480 y 572.
cocientes
572
1
5
4
1
1
2
480
92
20
12
8
4
92
20
12
8
4
0
MCD = 4.
residuos
Propiedades.
1)
El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su
MCD.
Ej. Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces se
cumple que 6 × 9 es igual que 3 x 18.
2)
Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual
al producto de dichos números .
Ej. Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su
MCM = 4 x 9 = 36.
3)
Si un número está contenido dentro de otro entonces el MCD de
dichos números será el menor de los números.
Ej. Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor
de los números.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
65
MATEMÁTICA
4)
Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad
entonces
su MCD ó MCM también quedará multiplicado o
dividido por esta misma cantidad.
Ej. Para los números 8; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120.
Si a los números se dividen entre 2 se tendrá 4; 6 y 10 y su nuevo MCD
será igual a 2 y su MCM = 60.
5)
Si un número N es:
0
a
0
b
N
0
c
entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :
0
a
N
0
b
± r
± r
0
c
± r
entonces N = mcm( a ; b ; c ) ± r
Ej. Si un número N es divisible por 2; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es
divisible?
Solución.
Por propiedad,
0
0
N = MCM (2;3;4) = 12
Ej.
0
0
0
¿Cuál es el menor número que es: 3 +2; 7 - 5 y 6 - 4?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
66
MATEMÁTICA
Solución.
Ese número N que se busca debe de ser:
0
3+ 2
0
0
0
0
7 -5= 7 +2
N
6 -4= 6 +2
Por lo tanto, por propiedad se sabe que:
0
0
N = mcm(3;7;6) + 2 = 42 + 2,
como se pide el menor valor, este sería 44.
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.
¿Cuántos divisores comunes tienen: 14, 28 y 42?
Solución.
Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo
de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos
números.
Por lo tanto,
MCD (14; 28; 42) = 14
D (14): 1, 2, 7 y 14
Entonces tendrán 4 divisores comunes.
Problema 2.
¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se
desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?
Solución.
La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos
para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos
comunes queremos el menor.
Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
67
MATEMÁTICA
Problema 3.
¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para
construir un cuadrado?
Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.
X
X
34cm
18 cm
De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común
de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor
porque se quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que :
X = mcm (34; 18) = 306
La cantidad de losetas es igual a:
306 306
x
= 153
34
18
Problema 4.
De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea
obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre
material. ¿Cuántos pedazos se obtendrán?
Solución.
Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.
96 cm
72 cm
X
X
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
68
MATEMÁTICA
Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe
de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad
de pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por
esto que :
X = MCD (96; 72) = 24 cm
El número de pedazos que se obtendrán será:
96
72
# pedazos =
x
= 4 x 3 = 12
24
24
Problema 5
Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista
circular con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y
medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas
vueltas habrá dado el ciclista A ?
Solución.
A : 3 min
= 180 s
B : 3 min y medio = 210 s
PARTIDA
C : 4 min
= 240 s
El tiempo que debe transcurrir
para que un ciclista vuelva a pasar
nuevamente
por el punto de
partida será un múltiplo de los
tiempos empleado en dar una
vuelta . Para que los tres ciclistas
vuelvan a pasar por el punto de
partida , el tiempo a transcurrir
será un múltiplo común de los 3
tiempos dados .
# vueltas que habrá
5040
ciclista A =
180
dado el
=
28.
Transformando las medidas a
segundos
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
69
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I.
1.
Hallar el M.C.M. y el M.C.D. de: P = 2 2.3.5 2 ∧ Q = 2.3 2.5.7
a) 630 y 45
b) 900 y 70 c) 900 y 210 d) 600 y 12 e) 6300 y 30
2.
Si el M.C.M. de 2 números es 1050, ¿Cuál será su M.C.D., si
producto es 5250?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
3.
Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M.
sea 5148.
a) 143
b) 396
c) 468
d) 684
e) 639
4.
Si N = 3 2x.5 x , tiene 15 divisores, hallar N.
a) 2000
5.
Si A = 12.45 n
divisores.
a) 5
6.
y
c) 3196
d) 2025
e) 2184
B = 12 n.45 , hallar “n” para que su MCM presente 90
b) 2
c) 8
d) 6
e) 3
En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero
más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en
12, siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.
¿Cuántos alumnos eran?
a) 600
7.
b) 2075
su
b) 605
c) 660
d) 671
e) 796
En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y
de noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12
en 12 o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18
en 18 no sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la
noche?
a) 20
b) 24
c) 32
d) 126
e) 36
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
70
MATEMÁTICA
8.
El número de páginas de un libro esta comprendido entre 400 y 500. Si
se cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y
de 7 en 7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?
a) 417
b) 419
c) 420
d) 463
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
e) 472
71
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.
1.
Hallar la suma de
divisores: 4; 9 y 12.
A) 6
2.
B) 8
C) 10
D)9
cifras del menor número que tenga
como
E) 5
El MCM de dos
números es 48. Si el producto de los mismos es 864.
¿Cuál es su MCD?
A) 20 B) 15 C) 25
3.
las
D) 18 E) 9
Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la
suma de A más B.
A)27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40
4.
El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los
números.
A) 900
5.
B) 720
E) 2 400
D) 420 E) 8
Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede
dividir una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por 210
cm.
A) 30 B)19
7.
D)3 240
Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3780 cm; 3360 cm y
2520 cm. Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor
longitud posible, ¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla de
menor longitud?
A) 6 B) 5 C) 4
6.
C)3 600
C) 84
D) 48
E) 30
Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros
respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un
balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad
exacta de veces?
A)10 lt
B)5 lt
C)8 lt
D)25lt
E) 12 lt
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
72
MATEMÁTICA
8.
Un terreno rectangular de medidas 255 m. por 225 m. se quiere dividir en
el menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar una
estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se necesitarán?
A) 255
9.
B) 288 C) 300
D) 260
E) 280
Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. se desea envasarlas
en la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma cantidad de
cada artículo. ¿Cuántas bolsas más habrán de bombones que de
chocolates?
A) 16 B) 6
C) 9 D) 25 E) 34
10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/
810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuantos trabajadores
hay en cada taller si el salario es el mayor posible?
A) 45 y 35
B) 54 y 53
C)15 y 35
D) 54 y 35 E) 30 y 40
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
73
MATEMÁTICA
UNIDAD 03
NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
74
MATEMÁTICA
3.
FRACCIÓN.
3.1. FRACCIÓN: ELEMENTOS.
Se llama fracción a un número racional a/b donde: a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0, å ≠ b
Fracción =
a
b
Numerador
Denominador
- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos
números enteros con denominador diferente de cero.
- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o
fracción.
- Toda fracción tiene 3 signos.
A
−A
=+
−B
B
A
+A
=−
−B
B
A
−A
=−
+B
B
A
+A
=+
+B
B
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES:
• El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad.
• El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad.
S=¼
S = 1/12
S=
3
11
S=
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
5
4
75
MATEMÁTICA
Ejemplo Aplicativo:
Del gráfico que se muestra:
k
k
k
k
k
k
k
Parte sombreada = 3k
Parte no sombrada = 5k
Total = 8k
k
a) ¿Qué fracción es la parte sombreada?
Fsombrada=
Parte.sombrada
Total
Fsombrada=
3k
3
=
8k
8
b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada?
Fno sombrada=
Parte.no.sombrada
Total
Fno sombrada=
5
5k
=
8k
8
c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?
denominador
Fsombrada de la no sombrada =
Parte.sombrada
Parte.no.sombrada
Fsombrada=
3k
3
=
5k
5
d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?
denominador
Fno sombrada de la sombrada =
Parte.no.sombrada
Parte.sombrada
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
Fsombrada=
5k
5
=
3k
3
76
MATEMÁTICA
3.2.
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES.
1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS.
.
• Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de
una fracción propia es menor que la unidad.
1 5 17
2
a
< 1 ⇒ a < b
Ejemplos:
,
,
,
,...
b
3 7 23
3
• Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el denominador. El
valor de una fracción propia es mayor que la unidad.
a
7 4 14 11
> 1 ⇒ a > b
Ejemplos:
,
,
,
,...
b
3
2 3
9
2) POR SUS DENOMINADORES.
• Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente a
una potencia de 10.
a
17
52
1
5
= es ordinaria, si: b ≠ 10 n
,
,
,
,...
5
7
25
23
b
• Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
1
5
12
,
,
10 100 1000
a
= es decimal, si: b = 10 n
b
,
57
10000
,...
3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE
VARIAS FRACCIONES.
• Fracciones Homogéneas: Igual denominador.
17
5
1
,
,
3
3
3
,
2
,...
3
• Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.
1
4
4
7
,...
,
,
,
3
9
5
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
77
MATEMÁTICA
4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.
a
= es irreducible, si a y b son PESI.
b
• Fracción irreductible.
a
= es reductible, si a y b tiene divisores
b
comunes a parte de la unidad.
• Fracción reductible.
5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor
pero sus términos son diferentes. Su representación gráfica es por ejemplo:
1
2
3.3.
2
4
3
6
4
8
CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y
DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA.
• De Fracción a número mixto:
Ejemplo: convertir
17
5
p
a
= n
b
b
; donde ; p < b
a número mixto
Primero dividir 17 entre 5.
numerador
17
5
denominador
2
3
Parte Entera
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
3
2
5
78
MATEMÁTICA
• De un número mixto a fracción:
n
p
n .b + p
=
b
b
Ejemplo:
=
a
Æ (Fracción Impropia) ; p < b
b
convertir
3
2
5
a fracción.
+
3
x
3.4.
=
2
5
=
17
5
MCM Y MCD DE FRACCIONES.
⎛ a c e ⎞ MCD(a; c; e)
MCD ⎜⎜ ; ; ⎟⎟ =
⎝ b d f ⎠ MCM (b; d ; f )
⎛ a c e ⎞ MCM (a; c; e)
MCM ⎜⎜ ; ; ⎟⎟ =
⎝ b d f ⎠ MCD(b; d ; f )
⎛a c e⎞
Nota: donde las fracciones ⎜ ; ; ⎟ , deben ser fracciones irreductible “si no lo
⎝b d f ⎠
son, se tienen que simplificar”.
Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20.
1º.
2º.
Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene
2/7 y 3/4.
Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:
MCD ( 2 ; 3 )
1
⎛2 3⎞
MCD ⎜ ; ⎟ =
=
MCM ( 7 ; 4 )
28
⎝7 4⎠
MCM ( 2 ; 3 )
6
⎛ 2 3 ⎞
MCM ⎜ ; ⎟ =
=
= 6
MCD ( 7 ; 4 )
1
⎝ 7 4 ⎠
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
79
MATEMÁTICA
3.5.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez,
IRREDUCTIBLE.
Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos
(numerador y denominador) se dividen entre su MCD.
Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24/180?
Solución:
1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores
comunes hasta lograr una fracción irreducible.
Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.
2
6
12
24
180
=
90
45
15
2º Forma:
2
15
Dividir al numerador y denominador entre su MCD:
24
24 ÷ MCD ( 24 ;180 )
24 ÷ 12
2
=
=
=
180
180 ÷ MCD ( 24 ;180 ) 180 ÷ 12
15
3.5.1.
PROPIEDADES:
1.
aaa
a
=
bbb
b
Ejemplo:
Simplificar:
333
777
333
3
=
777
7
Porque:
333 3 × 111
3
=
=
777 7 × 111
7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
80
MATEMÁTICA
2.
abab
ab
=
cdcd
cd
Ejemplo:
Simplificar:
Porque:
3.6.
1212
3737
1212
12
=
3737
37
12 × 101
1212
12
; se elimina 101 y queda
=
3737
37
37 × 101
FRACCIONES EQUIVALENTES.
Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.
3.7.
2
4
=
5
10
=
a
b
ak
bk
<>
12
30
=
,
8
20
donde
= ....
k
= 1 , 2 , 3 ....
HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE
FRACCIONES.
Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:
1. Reducir a su más simple expresión.
2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.
3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se
multiplica con cada numerador correspondiente.
Ejemplo:
Homogenizar los denominadores de las fracciones:
4
6
;
5
6
;
10
8
Solución:
Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión:
4 5 6
2 1 3
;
;
; <>
;
;
6 10 8
3 2 4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
81
MATEMÁTICA
Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12.
Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de
cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:
8
6
9
;
;
12 12 12
Esquemáticamente:
×
=
2 1 3
;
;
3 2 4
⇒
8
6
9
;
;
12 12 12
÷
3.8.
MCM (3, 2, 4 ) = 12
COMPARACIÓN DE FRACCIONES.
• Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción
positiva y menor la fracción negativa.
3
2
> −
Ejemplo:
7
2
• Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será
mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor
numerador.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
2 7 8 1
; ; ;
3 3 3 3
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene:
1 2 7
8
; ; ;
3 3 3
3
• Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor
el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor
denominador.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
7 7 7 7
; ; ;
3 2 9 13
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
7 7 7 7
; ; ;
13 9 3 2
82
MATEMÁTICA
• Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se
procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como
en el caso anterior.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
7 3 1 5
; ; ;
3 2 9 6
Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM).
×
MCM (3, 2, 9, 6) = 18
÷
7
3
;
42
18
;
=
3
2
27
18
1
9
;
;
;
5
6
Fracciones
Equivalentes
81
15
;
18
18
Fracciones
Homogéneas
Ordenando de menor a mayor se obtiene:
15
18
5
6
;
;
27
18
3
2
;
42
18
;
7
3
;
;
1
9
81
18
que son las fracciones equivalentes a
respectivamente.
• Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá
realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
Solución:
56
7
9
>
7 5
y
9 8
45
5
8
Entonces
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
7
9
>
5
8
83
MATEMÁTICA
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
Solución:
25
<
5
4
y
8
5
32
5
8
Entonces
4
5
5
8
4
5
<
EJERCICIOS NIVEL I
1. Completar:
a.
3
4
=
e.
5
8
=
12
16
b.
f.
128
5
=
8
32
3
16
=
8
1
=
8
c.
12
g.
3
16
d.
1
=
4
32
=
64
3
24
=
8
h.
2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores):
5
1
;
8
4
3
1
;
b.
4
2
5
3
;
c.
16
8
a.
;
1
4
Respuesta
=
Respuesta
=
Respuesta
=
5
2
;
8
8
3. Completar los espacios vacíos adecuadamente:
a) Dadas varias fracciones de igual denominador
tiene…......................…......... numerador
es
mayor
la
que
b) Dadas varias fracciones de igual numerador,
tiene…........................…......denominador
es
mayor
la
que
4. Colocar los signos > ó < como en los ejemplos:
a. 5/8 < 7/8 b. 3/8
e. 3/7 < 3/5 f. 1/2
1/ 8
1/3
c. 3/4
g. 2/5
5/4
> 2/7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
d. 1/4
5/4
h. 4/5
4/6
84
MATEMÁTICA
5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en el
orden solicitado:
a. 3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8 ¨ --- < ---- < ----- Å---- (Orden Creciente)
b. 4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4 ¨ --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)
6. Completar los espacios en blanco:
a. Simplificar
una
fracción
es
encontrar
otra
cuyos
términos
sean…................................. que los de la primera.
b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo
número
diferente
de
cero
y
diferente
de
….................................................................
c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción
…...................... ser simplificada.
d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador
posible …...........................................
e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número,
son llamadas fracciones …............................................
A continuación se puede comparar las respuestas.
4.
b. >
c<
d. <
5.
a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16
f. >
h. >
R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4
b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12
6.
a.
b.
c.
d.
e.
más simples
uno.
no puede
63
equivalentes
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
85
MATEMÁTICA
7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):
2
=
4
96
=
128
48
=
64
8
=
16
12
=
15
120
=
128
24
=
32
15
=
20
6
=
9
100
=
128
4
=
32
15
=
18
40
=
8
60
=
64
25
=
100
8. Colocar falso (F) o verdadero (V)
a. 4/5 > 3/5 ( )
b. 3 > 15/3
(
)
c. 2/5 < 3/7 ( )
d 1/3 < 34/72 ( )
e. 2/5 > 2/7
(
)
d. 7/8 > 6/7 (
)
9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos
(cinco fracciones equivalentes):
a. 1/2 = 2/4
= 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12
b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes:
7.
=1/2
= 3/4
= 3/4
=1/2
= 4/5
=15/16
=3/4
= 3/4
= 2/3
=25/32
= 1/8
=5/6
=5
= 15/16
=¼
8.
a. (V)
b. (F)
c. (V)
d. (V)
e . (V)
9.
a) 1/2 = 2/4
b) 2/3 = 4/6
= 3/6
= 6/9
=
=
4/8
=
8/12
=
c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32
=
d) 3/4 = 6/8
=
= 9/12 = 12/16
5/10
10/15
=
6/12
=
12/18
15/40
=
18/48
15/20
=
18/24
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
86
MATEMÁTICA
10.
Marcar con (X) las fracciones irreductibles:
2/3
(X)
3/5 (
)
4/8 ( )
4/6 ( )
7/8 (
)
5/6
( X ) 1/3 (
)
6/2 ( )
4/12 ( )
9/10(
)
EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II
-
1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente:
a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64
b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16
c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128
A
B
C
2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los
términos es 40, Calcular la diferencia de los mismos.
A.30
B.15 C.8
D.1
E.13
3. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen denominador 32 y son
mayores que 1/6?
A.3
B.15
C2
D. 4
E.13
4. ¿Cuántas son las fracciones
comprendidos entre 1/2 y 4/3?
A.30
B.5
C8
D. 4
irreductibles
con
denominador
10
E.13
5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 720 existen?
A.192
B.13
C.24
D.15
E.2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
87
MATEMÁTICA
6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada?
A. 5/7
B.3/4
C.4/7
D.3
E.1/4
7. Simplificar las fracciones:
9240 / 6930
-
y 4158 / 43 68
Rpta: 4/3; 99/104
8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco;
2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le
dieron para repartir?
A. 10
B.108
C.23
D.25
E.19
9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará
llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla?
A. 2400
B.2700
C.234
D.1235
E. 1300
10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros de
mezcla ¿Cuántos litros de leche salen?
A.13
B. 15
C. 10
D.14
E.5
11. Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?
A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
88
MATEMÁTICA
UNIDAD 04
FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
89
MATEMÁTICA
4.1.
a)
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA.
Observar el siguiente gráfico:
3
6
La parte sombreada es:
1 3 4
+ =
6 6 6
1
6
• Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los
numeradores y se escribe el mismo denominador:
a
b
Ejemplo:
Efectuar:
+
c
b
−
d
b
=
a + c − d
b
8
5
2
7
3
8−5+ 2 + 7 −3
9
=
−
+
+
−
=
13
13
13
13
13
13
13
• Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.
a
Ejemplo:
Efectuar:
b)
3
b
e
g
+ d
− f
= [a + d − f
c
c
c
]b
+ e − g
c
1
7
2
5
1+ 7 − 2 − 5
1
=7
+8
−
−4
= [3 + 8 − 4 ]
13
13 13
13
13
13
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS.
Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca
transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo
denominador y se procede de la forma anteriormente vista.
Considerando los siguientes casos:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
90
MATEMÁTICA
1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS.
Ejemplo 1. Efectuar:
3
1
3
3
1× 4
3× 2
3
4
6
3 + 4 − 6
1
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
8
2
4
8
2 × 4
4 × 2
8
8
8
8
8
Multiplicar por un factor a ambos términos de la
fracción, tal que los denominadores sean iguales.
Ejemplo 2. Efectuar:
5
1
7
5 × 3
1
7 × 2
15
1
14
15 − 1 + 14
28
=
−
+
=
=
−
+
=
−
+
4
12
6
4 × 3
12
6 × 2
12
12
12
12
12
¡Fracciones Equivalentes!
2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).
Se seguirá el siguiente procedimiento:
Primero: Hallar el MCM de
DENOMINADOR del resultado.
los
denominadores
y
se
escribe
como
Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por
cada numerador; luego efectuar la suma de estos resultados.
Ejemplo 1. Efectuar:
×
=
2
3
7
+
−
5
8
30
÷
=
96
+ 90
240
− 56
=
130
240
=
13
24
MCM(5;8;30) = 240
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
91
MATEMÁTICA
3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO.
Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños.
3
5
3× 8 + 5× 5
24 + 25
+
=
=
5
8
5× 8
40
Ejemplo 1. Efectuar:
34
Ejemplo 2:
Efectuar
21
2
7
2 3
−
7 17
3
17
13
119
EJERCICIOS
I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”.
a)
c)
7
5
−
=
6
12
41
2
+
−
45
5
b)
1
3
=
d)
7
3
+
60
10
1
3
+
+
2
4
=
5
7
+
8
16
=
II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”.
a)
b)
c)
3 1 1 4
+ − + =
10 2 4 5
1 1 1 1
+ + + =
2 3 4 5
3 5 7
+ − =
4 6 8
III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”.
5 2
+ =
9 3
1 1
d)
− =
2 3
a)
5 3
− =
3 5
3 1
e) − =
8 2
b)
5 9
+ =
7 2
1 1
f)
+
=
13 12
c)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
92
MATEMÁTICA
4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE
FRACCIONES:
Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se
encuentran al interior de los signos de agrupación.
Ejemplo: resolver la siguiente operación:
⎧ 1
2
1 ⎞
1 ⎫
2
1
1 ⎫
2
47
⎧ 1
⎛ 1
+ ⎨
−
+
+
+ ⎨
− ⎜
−
⎟ +
⎬ =
⎬ =
3
2
4
5
3
3
2
20
3
3
60
⎩
⎝
⎠
⎭
⎭
⎩
=
87
60
También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.
⎧ 1
2
1 ⎞
1 ⎫
2
1
1
1
⎧ 1
⎛ 1
+ ⎨
−
+
+
+ ⎨
− ⎜
−
⎟ +
⎬ =
3
5 ⎠
3 ⎭
3
4
5
3
⎩ 2
⎝ 4
⎩ 2
2
1
1
1
1
40 + 30 − 15 + 12 + 20
=
+
−
+
+
=
3
2
4
5
3
60
⎫
⎬
⎭
=
87
60
EJERCICIO
Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.
⎛1 2 1⎞ ⎛1 1⎞
1. ⎜ + − ⎟ − ⎜ + ⎟ =
⎝6 7 5⎠ ⎝ 2 5⎠
1 2⎞ ⎛ 2 3⎞
⎛ 1
2. ⎜ 3 + 2 − ⎟ − ⎜1 + ⎟ =
6 3⎠ ⎝ 5 2⎠
⎝ 5
1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 5
3. ⎜1 + ⎟ − ⎜ 2 − ⎟ + ⎜ − 1 ⎟ =
7⎠
⎝ 7 ⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 2
⎡1 5 3 ⎤ ⎡ 3 ⎡ 1 5 ⎤⎤
4. ⎢ + − ⎥ − ⎢ − ⎢ − ⎥ ⎥ =
⎣ 3 6 8 ⎦ ⎣ 4 ⎣ 2 6 ⎦⎦
⎡1 ⎛ 5
⎞⎤ ⎡⎛ 5 3 ⎞ ⎤
5. ⎢ + ⎜ − 2 ⎟⎥ − ⎢⎜ − ⎟ − 2⎥ =
⎠⎦ ⎣⎝ 7 4 ⎠ ⎦
⎣2 ⎝ 7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
93
MATEMÁTICA
4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:
• Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
a c a×c
× =
b d b×d
Ejemplos:
a)
3
2 6 3
2×6×3
2
=
×
× =
9 × 10 × 7 35
b) 9 10 7
3 5
5 2 5 × 2 10
× =
=
9 7 9 × 7 63
• Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los
términos de la fracción, al exponente indicado.
n
an
⎛a⎞
=
⎜ ⎟
bn
⎝b⎠
Ejemplos:
2
4
22
4
⎛2⎞
a) ⎜ ⎟ = 2 =
7
49
⎝7⎠
14
1
⎛1⎞
b) ⎜ ⎟ = 4 =
3
81
⎝3⎠
}
EJERCICIO
1. Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican:
X
3
1
7
6
5
1
4
5
7
2
3
4
9
2
5
7
4
7
21
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
94
MATEMÁTICA
2. Multiplicar:
7
1
35
a) 2 × 5 = × 5 =
3
3
3
d)
2
=
3
1
1
c) 3 × 1 =
4
5
3
1
×2 =
5
2
1 1
f) 1 × 1 =
2
3
b) 4 × 5
2
1
×5 =
3
4
e)
3. Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝b⎠
1
2
3
2
2
5
3
−
5
n
Al cuadrado
Al cubo
A la cuarta
1
8
4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar.
Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas:
a) Hallar los 3/5 de 20
b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?
c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45
de 400 soles?
kg?.
e) ¿Los 3/5 de que número es 120?
f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3
de que número?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
95
MATEMÁTICA
4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES.
• Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción
divisor invertida.
a c a d a×d
÷ = × =
b d b c b×c
Fracción inversa
Ejemplo:
a)
1 14 7 3
7×3 1
b) 2 ÷ = × =
=
3 3 3 14 3 × 14 2
2 3 2 4 2× 4 8
÷ = × =
=
5 4 3 3 3× 3 9
• Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de
fracción:
Producto de Producto de
medios
extremos
a
b
c
d
=
a × d
b × c
Ejemplo:
7
7×3
7
a) 24 =
=
2
24 × 2 16
3
7
b)
20 = 7 × 4 = 7
1
20 × 1
5
4
EJERCICIOS
1. Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican:
÷
3
1
7
6
5
1
4
5
7
2
3
4
9
2
5
7
9
7
2. Escribir la expresión más simple equivalente a:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
96
MATEMÁTICA
1 1
+
a) 2 3 =
1
4
1 1
+
14
b) 5 4 +
=
3 2 23
+
4 5
1 ⎡1 1⎤
+
4 ⎢⎣ 2 3 ⎥⎦
c)
=
1
24
2 10 3 19
× + ×
5
7 7 5 − 1 =
e)
6
3
35
28
2 1 1
× +
5
3 2=
d)
7
30
f)
1 1 ⎛
⎞
+
⎜1 2⎟
7 2 ×⎜ + ⎟ + 3=
1
1 1⎟
+ 1 ⎜⎜
⎟
14
⎝3 2⎠
4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES.
Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de
la fracción.
n
a
=
b
n
n
a
b
Ejemplo:
a)
3
3
1
1
1
=3
=
125
125 5
b)
64
64
8
=
=
121
121 11
EJERCICIO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
97
MATEMÁTICA
1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas
fracciones dadas.
2
⎡ ⎤
1
b) ⎢ ⎥ =
9
⎣ ⎦
2
⎡ ⎤
4
e) ⎢ ⎥ =
81
⎣ ⎦
2
⎡ ⎤ 16
h) ⎢ ⎥ =
81
⎣ ⎦
⎡ ⎤
16
a) ⎢ ⎥ =
25
⎣ ⎦
⎡ ⎤
49
d) ⎢ ⎥ =
64
⎣ ⎦
⎡ ⎤
1
g) ⎢ ⎥ =
⎣ ⎦ 100
2
⎡ ⎤
36
c) ⎢ ⎥ =
25
⎣ ⎦
2
2
⎡ ⎤
100
f) ⎢ ⎥ =
49
⎣ ⎦
2
i)
⎡ ⎤
25
⎢ ⎥ = 121
⎣ ⎦
2
2
2. Hallar la raíz en cada caso:
27
=
8
b)
3
1
=
8
c)
3
8
=
1000
d)
16
=
25
e)
5
32
=
243
f)
4
16
=
625
g)
36
=
49
h)
3
27
=
125
i)
4
81
=
10000
a)
3
4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.
1.
6
1
+
5
6 ×
7
3
−
3
10
⎡ 61 ⎤
⎢ 41 ⎥
⎣
⎦
2
=
⎛
⎞
⎜ 1 + 1 − 1 ⎟
⎜⎜ 1
1
1 ⎟⎟
2
3⎠
⎝ 9
=
2.
−1
−1
+
3
1
1
5
3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
98
MATEMÁTICA
3.
7
1 + 1
8
8
1 + 1
12
2 =
6
14
1
1
+
1
3 =
× 2
1
1
1
+
8
4
6
4.
5.
1 + 1
2
3 +
2+ 1
6
5 +
13
3 1
+
4 2 +
3
4
7 1
−1
+
3 4 × ⎡ 93 ⎤ =
1 1 ⎢⎣ 56 ⎥⎦
+
6 2
⎡
⎢
⎢
6. ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
1
+
2
2
5
3
1
1
+
3
3
5
7
7.
(16 7 )
(81 7 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
5
=
−1
⎛ 25 1 ⎞
×⎜
× ⎟
⎝ 36 9 ⎠
1 2
Comprobar respuestas:
Pregunta Nº
1
2
3
4
5
6
7
Respuesta
1
-4
1
4
4
1
5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
8
99
MATEMÁTICA
PROBLEMAS APLICATIVOS
La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que
equivalía a la longitud de un pulgar.
1” representa una PULGADA
Equivalencia:
1´ representa un PIE
1 pulgada = 2,54 cm.
1 pulgada = 25,4 mm
1 pie = 12 pulgadas
1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas
Ejemplo:
7"
¾ 3
Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.
8
Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.
¾ 2′ 3′′ Representa dos pies y 3 pulgadas.
La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro
país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso
industrial.
4. GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS.
Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8; 16;
… 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128
divisiones (27= 128).
Si se divide una pulgada en dos
partes iguales, cada parte es
1/2 pulgada.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
100
MATEMÁTICA
Si se divide una pulgada en
cuatro partes iguales, cada
parte es 1/4 pulgada.
Si se divide una pulgada en
ocho partes iguales, cada parte
es 1/8 pulgada.
Si se divide una pulgada en
dieciséis partes iguales, cada
parte es 1/16 pulgada.
Si se divide una pulgada en
treinta y dos partes iguales,
cada parte es 1/32 pulgada.
A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la
pulgada, pie, yarda.
Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla
está graduada en pulgadas.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
101
MATEMÁTICA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
102
MATEMÁTICA
7
1
8
01
″
08
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas:
02
03
04
05
06
07
09
10
11
12
13
14
Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:
a)
b)
01
07
+
x
02
10
-
03
=
=
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A
1.
Determinar la cota “Y” en la pieza representada.
a)
49 ”
17
b)
17 ”
16
c) 3
d)
2.
1
16
14
”
46
Calcular “X” en la pieza.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
“
a) 4
31 ”
32
b) 3
31 ”
32
c)
12 ”
64
d) 3
13 ”
32
103
MATEMÁTICA
3.
Determinar la longitud C del tornillo, dibujado.
a) 6 11 ”
16
b) 5 1 ”
32
4.
c)
3 ”
16
d)
6”
¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela?
a) 1 5 ”
8
b) 1 3 ”
7
c) 2 3 ”
5
d) 1”
5.
Completar el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.
D
1”
3"
4
1"
16
c
5"
8
15"
32
35"
64
D
″
31
32
″
9
64
1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
104
MATEMÁTICA
6.
Un agujero de diámetro
7"
5"
debe ser agrandado en
más. ¿Cuál será el
8
32
nuevo diámetro?
a) 1 4
7.
”
c) 2” d) 2 1 64 ”
b) 1 1 ”
32
e) 3/4”
1"
de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,
2
9"
1"
13"
1"
, 10
y 5 . Despreciando por pérdida de corte,
respectivamente 6 , 8
16
2
16
4
¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?
Una barra de bronce tiene 32
a) 31
8.
32
1”
8
b) 31
2”
5
c) 31
Una barra de hierro mide 26
pierde en cada corte
1 ”
16
d) 3
1”
8
e)
1”
8
25"
1"
, si se divide en partes iguales de 2
y se
32
32
1"
¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta
32
material?
a) 10
9.
b) 12
c) 14
d) 15
e) 18
Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener
18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la
medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)
a) 1¾”
10.
b) 1½”
c) 22½”
d) 2”
e) 1¼”
Calcular la medida del diámetro interno de la arandela, representada.
a)
1
b)
1 ”
3
c)
2
d)
1/2”
4
7
”
”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
105
MATEMÁTICA
11. Determinar las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C – D.
a) 3”
b) 2”
c) 1”
d) 4”
e) 5”
12. Una barra de cobre mide 26
pierde en cada corte
25"
1"
, si se divide en partes iguales de 2
y se
32
32
1"
¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta
32
material?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 15
e) 18
13. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener
18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la
medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra).
a) 1¾”
b) 1½”
c) 2½”
14. Dividir una barra de aluminio 10
corte
d) 2”
e) 1¼”
1"
en 5 partes iguales perdiendo en cada
8
1
“¿Qué longitud tendrá cada parte?
32
a) 1 7
”
32
b) 1
”
c) 2 5
”
32
”
d) 7
16
e) 2
”
15. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:
a) 12 1
b) 13 1
c) 12 1
4
4
2
”
”
”
d) 12 1 ”
8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
106
MATEMÁTICA
Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas,
etc., los agujeros son equidistantes y simétricos.
16. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes:
a) 19 ½”
b) 13”
c) 14”
d) 13 ¼”
e) 7 1/8”
17.
Calcular “a” en la siguiente placa
a) 2 1/64”
b) 2 1/32”
c) 2 3/64”
d) 3 ½”
e) 3 1/64”
18. La longitud de la circunferencia puede ser calculada, aproximadamente,
1
multiplicando su diámetro por π (π = 3.14 = 3 ). Siendo así, completar el
7
cuadro siguiente, conforme el ejemplo.
Lc = D × π
Donde:
• r : radio de la circunferencia
• D : Diámetro de la circunferencia
Lc = 2π.r
•
π ≈
22
≈ 3,14
7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
107
MATEMÁTICA
DIÁMETRO
LONGITUD
DE CIRCUNFERENCIA
CÁLCULOS
1"
2
1"
1
8
3
3
1"
1 7 22
×3 = ×
= 11′′
2
7 2 7
11”
7
1pie 2pulg
6
7
″
La circunferencia ha girado una vuelta completa
D
LC
“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14
veces la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”
19. Completar el cuadro, usando:
Lc = D × π
LC = Longitud de
circunferencia
3"
5
4
1"
2
2
5"
15
6
D = 2.r
Cálculos
5
D = diámetro
r = radio
73"
88
161"
176
3" 1 23 7 161
73
x
=
=1
:3 =
4 7
4 22 88
88
1
3"
4
1"
4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
108
MATEMÁTICA
20. ¿Cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el
radio de la rueda es de 21 cm?
Fórmula:
Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 5
21. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12
ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcular la resistencia total.
a) 3
29
Ω
47
b) 3
39
Ω
47
c) 1Ω
d)
39
Ω
47
1
1
1
1
1
=
+
+
+. . .+
R t R1 R 2 R 3
Rn
Fórmula:
e) 4
39
Ω
47
Donde:
Rt: Resistencia Total
R1 = 15 Ω
R1 = 12 Ω
A
B
R1 = 9 Ω
22. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le
iba quedando, ¿Con cuánto se queda?
Solución:
3⎛ 2⎛1
⎜ ⎜ (120
4⎝ 3⎝ 2
)⎞⎟ ⎞⎟
⎠⎠
=
3 × 2 × 120
= 30
4×3× 2
Se tiene al inicio
Se pierde 1/2 queda 1/2
Se pierde 1/3 queda 2/3
Se pierde 1/4 queda 3/4
R. Se quedó con S/. 30.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
109
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
I-B
110
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los
instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son
casados. ¿Cuál es el número de docentes?
a) 70
b) 120
c) 60
d) 56
e) 90
2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le confió.
¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido.
a)1/8
b) 1/3
c)1/6
d)1/7
e)1/9
3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco más
dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18 hojas en
blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona?
a) 56
b) 57
c) 55
d) 54
e) 75
4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que posee y
8 hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se queda con 61
hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al primer salón?
a) 800
b) 500
c) 600
d) 400
e) 700
5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6 horas,
y el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a la vez,
estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque?
a) 3 1/7 h
b) 3 2/7 h
c) 3 3/7 h
d) 2 ½
e) 3 1/4
6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12
horas y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6 horas,
¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren las tres
llaves a la vez?
a) 8h
b) 7h
c) 6h
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
d) 5h
e) 4h
111
MATEMÁTICA
7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja
caer desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote?
a) 50cm
b) 64 cm
c) 24cm
d) 62cm
e) 72 cm
8. Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura, sabiendo
que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva
2/3 de la altura anterior?
a) 81cm
b) 162cm
c) 324cm
d) 62cm
e) 72cm
9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?
a) 5 1/5
b) 5 7/9
c) 5 2/5
d) 5 1/9
e) 5 1/3
10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me deben?
a)S/80
b)S/100
c)S/120
d)S/140
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
e)S/125
112
MATEMÁTICA
UNIDAD 05
NÚMEROS DECIMALES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
113
MATEMÁTICA
5.1.
NÚMERO DECIMAL.
Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al
dividir el numerador por el denominador.
Ejemplos:
3
= 0,375 ⇐ Resulta de dividir 3 entre 8.
(1)
8
(2)
4
= 0,444..... ⇐ Resulta de dividir 4 entre 9.
9
(3)
7
= 0,233.... ⇐ Resulta de dividir 7 entre 30.
30
TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO DECIMAL.
,
Millonésimo
3
o cienmilésimos
7
Centésimos de milésimos
0
o diezmilésimos
milésimos
1
centésimos
7
décimos
Unidades
PARTE DECIMAL
Decenas
Centenas
Unidades de Millar
Decenas de Millar
Centenas de Millar
PARTE ENTERA
Décimos de milésimos
5.2.
9
La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a derecha a
partir del coma decimal:
1° Orden decimal ⇒ décimos.
2° Orden decimal ⇒ centésimos.
3° Orden decimal ⇒ milésimos.
etc.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
114
MATEMÁTICA
5.3.
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES.
La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Se lee la parte
entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte
decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.
Los ejemplos siguientes esclarecerán cómo hacer la lectura de un número
decimal. Completar:
a) 12,7
doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos.
b) 3,125
tres ......................... y ciento veinticinco .......................................
c) 0,000 4
........................ diez milésimos.
d) 3,1416
..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos.
e) 8,30
ocho ......................... y....................................................................
f) 12,005 ...........................................................................................................
5.3.1. ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL:
Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte
decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde.
Observemos los ejemplos:
(1) Quince enteros y veintiséis centésimos :
15,26
(2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos :
6,002 3
Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).
(1) 12 milésimos
:
0,012
(2) 50 millonésimo :
0,000 050
Completar:
(1)
Quince enteros y seis centésimos : .............................................
(2)
Cuatro centésimos
: .............................................
(3)
Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................
(4)
Veinticinco milésimos
: ..............................................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
115
MATEMÁTICA
Escribir como se lee, observando el ejemplo, y asociar las UNIDADES.
(1)
3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)
(2)
0,50 soles ........................................................................
(3)
5,4 metros ........................................................................
(4)
2,5 pulgadas ....................................................................
(5)
3,175 centímetros ............................................................
(6)
8,0025 segundos .............................................................
Observar cómo se pueden resolver los siguientes problemas:
(1)
¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos?
Representación
Literaria
x
1000
54
100
=
Representación
Matemática
Despejando “x”:
(2)
x = 540
“Rpta: hay 540 milésimos en 54 centésimos”
¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de
centésimos?
x
100
.
1
10
=
20000
1
.
10000
100
x
=
20
Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de
centésimos.
(3)
¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos?
(4)
¿Cuántos
cienmillonésimos
diezmilésimos?
(5)
¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000
diezmillonésimos de milésimo?
de
centésimos
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
hay
en
4,52
116
MATEMÁTICA
5.4.
1º.
2º.
(1)
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES:
Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS
A SU DERECHA.
Ejemplos: 4,8 = 4,80
(1)
4,8 = 4,800 000 0
(2)
312,240 000 00 = 312,24
(3)
7,500 0 = 7,50
Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más
lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida
de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.
Ejemplos:
0,253 ⇒
0,253 =
25,3
100
0,253 =
25,3
10 2
2 lugares
2 lugares
0,253 = 25,3 × 10 −2
Potencia de 10
(2)
0,000002 ⇒
0,000002 =
0,02
10000
0,000002 =
0,02
10 4
4 lugares
4 lugares
0,000002 = 0,02 × 10 −4
Potencia de 10
4 lugares
(3)
0,0075 = 75 × 10 −4
4 lugares
Potencia de 10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
117
MATEMÁTICA
EJERCICIOS:
(1)
0,007 = 7 x 10.....
(2)
0,00016 = 16 x 10.....
(3)
0,000064 = 64 x 10.....
(4)
0,0025 = 250 x 10.....
(5)
0,06 = 6000 x 10.....
3º.
Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o
más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la unidad
seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.
Ejemplos:
(1)
70002,5 = 7,00025 × 10000
4 lugares
4 lugares
=
7,00025 × 10 4
Potencia de 10 con
exponente positivo
(2)
2000
= 2 × 1000
3 lugares
3 lugares
=
2 × 10 3
Potencia de 10 con
exponente positivo
(3)
50000000
= 50 × 10 6
6 lugares
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
118
MATEMÁTICA
EJERCICIOS:
(1)
8302,5 = 83,025 x 10.....
(2)
160,5 = 0,1605 x 10.....
(3)
6400000000= 6,4 x 10.....
(4)
25000000000 = 25 x 10.....
(5)
3200000000000 = 32 x 10.....
5.5.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo
negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica.
Ejemplo: Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser
negativo.
2º.
Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente
modo: se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma
decimal y comparar como si fueran números enteros.
Ejemplos:
(1) Comparar 3,2 con 3,574
Como el primer número tiene sólo un decimal, se le agrega DOS CEROS
para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:
3,200
3,574
Ahora, se elimina la coma decimal en ambos números:
3 200
3 574
Como 3200 es menor que 3574, entonces:
3,2
<
3,574
(2) Comparar -2,31 con - 2,310 000
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
119
MATEMÁTICA
Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la derecha
del segundo número dado:
Entonces ambos números quedarán así:
-2,31 = -2,31
5.6.
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
NÚMERO DECIMAL
EXACTO
PERIÓDICO
PURO
NÚMERO DECIMAL
RACIONAL
(Se pueden escribir como
Fracción; tienen Generatriz)
NÚMERO
DECIMAL
NÚMERO DECIMAL
INEXACTO
(tienen Período)
PERIÓDICO
MIXTO
NÚMERO DECIMAL Números decimales inexactos que no tienen período; resultan
de las raíces inexactas.
IRRACIONAL.
Ejemplo:
2
= 1,414213562373095 . . . .
π = 3,1415926535897932 . . .
™ NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad
limitada de cifras decimales.
Ejemplos:
0,25 ;
2,75 ;
1,2
- Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el
denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2 ó de 5 ó de
ambos (la fracción tiene que ser irreductible).
Ejemplos:
(1) La fracción
17
¿Equivale a un número decimal exacto?
32
La fracción debe ser irreductible⇒
17
32
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
120
MATEMÁTICA
Descomponiendo el denominador:
Entonces
(2) La fracción
24
¿Equivale a un número decimal exacto?
375
Se descompone el denominador:
(3) La fracción
24
8
=
375 125
8
8
= 3
125 5
Potencia
24
24
da origen a un número decimal exacto:
= 0,064
375
375
13
¿Equivale a un número decimal exacto?
80
La fracción debe ser irreductible⇒
Se descompone el denominador:
Entonces
Potencia de 2
17
17
da origen a un número decimal exacto:
= 0,53125
32
32
La fracción debe ser irreductible⇒
Entonces
17 17
=
32 25
13
80
13
13
= 4
80 2 × 5
Potencia de 2 y
5
13
13
da origen a un número decimal exacto:
= 0,1625
80
80
¿Se puede saber cuántas cifras decimales tendrá el número
decimal resultante antes de efectuar la división?
Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el
denominador de la fracción irreductible.
Ejemplo:
Se descompone el denominador:
13
13
= 4
80 2 × 5
cifras decimales. Comprobar con
2071
.
500
Potencia de 2 y
5.
El mayor
13
exponente
es 44
al convertirlo en número decimal, tendrá
solamente
Entonces
80
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
121
MATEMÁTICA
™ NÚMERO DECIMAL INEXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad
ilimitada de cifras decimales.
A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO: Es aquel en cuya parte decimal aparece una o
un grupo de cifras llamado período que se repite indefinidamente a partir de
la coma decimal.
Ejemplo: 0,27272...... = 0,27
PERÍODO
(2 cifras)
¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un
DECIMAL PERIÓDICO PURO?
1º. Se simplifica la fracción hasta que sea irreductible.
2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.
3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los factores
del denominador son distintos a 2 y 5.
Por ejemplo: 1/7; 2/3; 5/63
B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO: Es aquel cuyo período empieza luego de una
cifra o grupo de cifras después del coma decimal. A esta cifra o grupo de
cifras se denomina parte no periódica.
Ejemplo:
0,7312512512........ = 0,73125
Parte No Periódica
Parte Periódica
¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un
DECIMAL PERIÓDICO PURO?
1º. Simplificar la fracción hasta que sea irreductible.
2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.
3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los factores
del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros factores primos
distintos de 2 y 5.
Por Ejemplo: 2/15 ;
6/35
;
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
5/24
122
MATEMÁTICA
5.7.
GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL.
Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La
fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.
A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO:
1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal.
2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros como
cifras tenga la parte decimal
Ejemplos:
a) 0,75 =
75
100
2 ceros
2 cifras decimales
b) 2,058 =
2058
1000
3 ceros
3 cifras decimales
B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :
™
CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA
PARTE ENTERA NULA :
1º. En el numerador escribimos el período.
2º. En el denominador se escribe tantos nueves como cifras tenga el
período.
Ejemplo:
a) 0,54
=
2 CIFRAS
b) 0,1 =
54
99
=
6
11
2 NUEVES
1
9
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
123
MATEMÁTICA
™
CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA
PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO:
1º. Se desdobla la parte entera de la decimal, así:
3,54 = 3 + 0,54
2º. Escribir la fracción generatriz de la parte decimal :
3,54 = 3 +
54
99
3º. Finalmente, volver a sumar, pero ahora como una suma de
fracciones:
3,54
= 3 +
54
99
= 3 +
6
11
=
39
11
C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:
™
CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NULA:
1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el número
decimal sin el coma y se resta la PARTE NO PERIÓDICA.
2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras tenga el
PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga la PARTE
NO PERIÓDICA.
Ejemplos:
(1)
0,235
=
235 − 2
990
2 cifras
2 nueves
1 cifra
1 cero
(2)
0,235
=
233
990
0,372
=
372 − 37
900
0,372
=
. . . Completar.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
124
MATEMÁTICA
CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO
NULA :
Se procede a desdoblar la parte entera de la decimal.
Ejemplo:
3,254 = 3 + 0,254
™
3,254 =
3 +
254 − 25
900
3,254 =
3 +
229
900
3,254 =
5.8.
2999
900
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
Si se trata de decimales exactos, se busca que tenga la misma cantidad de cifras
en la parte decimal completando con ceros.
Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma
decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de
números enteros.
En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical
que las demás.
Ejemplos:
(1)
∗
Efectuar: 0,3 + 12,78 + 3,2057
∗ Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
Se efectúa como si fueran
enteros :
0,3000
12,7800
3,2057
16,2857
+
La coma conserva el
lugar de los demás
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
125
MATEMÁTICA
(2)
Efectuar: 78,13 − 9,087
∗ Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
∗
Efectuando como si fueran
enteros :
78,130
La coma conserva el
lugar de los demás
9,087
69,043
Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices:
Ejemplos:
(1) Efectuar: 0,3 +
2,5 + 1,6
Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones
generatrices:
=
5
6
3
+ 2 + + 1+
9
9
9
=
3+
=
41
= 4,555....
9
Respuesta:
(2) Efectuar:
14
9
0,3 +
2,5 + 1,6 = 4,5
31,62 -
7,36
Solución: Reemplazar los decimales periódicos mixtos por sus fracciones
generatrices:
=
Suprimiendo los paréntesis ⇒
62 − 6 ⎞ ⎛
36 − 3 ⎞
⎛
⎟
⎟ − ⎜7 +
⎜ 31 +
90
90 ⎠
⎠ ⎝
⎝
=
31 +
33
56
−7−
90
90
=
24 +
23
90
=
2183
90
=
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
24,25 =24,2555…
126
MATEMÁTICA
5.8.1. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
DE DECIMALES.
Viendo un ejemplo:
Efectuar:
1, 25 − {0 , 5 − [13 ,1 + (0 ,1 − 0 , 025 + 2 , 2 )]}
Eliminando paréntesis ⇒ =
1,25 − {0,5 − [13,1 + 0,1 − 0,025 + 2,2]}
Suprimiendo corchetes ⇒ =
1,25 − {0,5 − 13,1 − 0,1 + 0,025 − 2,2}
Suprimiendo llaves ⇒
1,25 − 0,5 + 13,1 + 0,1 − 0,025 + 2,2
=
Se suman los positivos y negativos por separado:
=
(1,25 + 13,1 + 0,1 + 2,2) − (0,5 + 0,025 )
=
16,65 – 0,525
=
16,125
Ahora, resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:
(1) 18 , 5 + [5 , 2 − 6 , 7 − (0 , 4 − 25 ,15
A) 41,75
B) 31,75
)]
C) 41,57
D) 75,41
E) 75,31
(2) 0 , 08 − {0 , 032 + [0 , 4 − (0 , 75 + 2 ,1 )]}
A) 2,75
B) 3,50
C) 1,578
D) 2,498
E) 5,310
(3) 0 ,1 + 0 , 2 − [0 , 85 + 3 , 2 − (0 , 85 − 0 , 2 ) + 0 ,1]
A) 4,6
(4) 0 , 22 ... +
A) 2/9
B) 3,50
{0 ,11
C) - 1,5
D) 2,4
... − (1 , 22 ... + 0 , 33 ...
B) –11/9
C) –5/9
E) - 3,2
)}
D) 1
E) 2
(5) {0 , 25 + (0 ,33 ... − 0 ,5 ) + 0 , 22 ...} + {0 ,75 − 0 , 44 ...}
A) 11/18
B) –11/18
C) 7/9
D) 12/7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 1
127
MATEMÁTICA
3 décimos + 85 milésimos + 458 centésimos
(6)
A) 4,965 centésimos
B) 496,5 milésimos
D) 496,5 centésimos
E) 49,65 milésimos
C) 49,65 centésimos
(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos
A) 7363 centésimos
D) 73,63 centésimos
B) 7363 milésimos
C) 736,3 décimos
E) 736,3 milésimos
(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos
A) 0,24
B) 2,4
C) 1,5
D) 4,24
E) 3,2
(9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma
cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene
Oswaldo?
A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50
Comprobar respuestas: 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C
5.9.
MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS
DECIMALES.
5.9.1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR POTENCIAS DE 10.
Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la
derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr
la coma decimal para la izquierda.
Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó
aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el
valor:
Ejemplo 1:
Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal
dos órdenes hacia la derecha.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
128
MATEMÁTICA
Entonces:
47,235 x 100 = 4723,5
⇒ El valor relativo de 7 pasó ser 700
Corre 2 espacios a la derecha
Además:
38,31152 x 1000 = 38311,52
⇒ 8 pasa a ser 8000
Corre 3 espacios a la derecha
Completar a simple vista:
a) 0,2356 x 1000 = _______
b) 0,7568565 x 100000 = ______
c) 0,012021 x 100000 = ______
d) 1,2 x 1000 = ________
e) 0,26 x 102 = ________
f) 0,000005 x 105 = ________
g) 2,58 x 104 = ________
h) 10,3 x 103 = ________
i) 0,5 x 105 = ___________
Verificar los resultados y corregir, si es necesario:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
235,6
75685,65
1202,1
1200
26
0,5
25800
10300
50000
Ejemplo 2:
Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres
órdenes hacia la izquierda.
Así: 13,235 ÷ 1000 = 0,013235 ⇒ El valor relativo de 13 enteros pasa a ser
0,013 (trece milésimos).
“Corre 3 espacios a la izquierda”
O también: 352,7 ÷ 100 = 3,527 ⇒ El valor relativo de 300 pasa a ser 3.
“Corre 2 espacios a la izquierda”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
129
MATEMÁTICA
Completar a simple vista, según el ejemplo:
a) 385,2 ÷ 100 = 3,852
b) 2500 ÷ 10000 =
c) 2335,8 ÷ 100000 =
d) 25000000÷ 105 =
e) 3,20 ÷ 104 =
f) 3002,4 ÷ 107 =
g) 30000000 ÷ 109 =
Verificar la respuesta:
b)
c)
d)
e)
f)
g)
0,25
0,023358
250
0,00032
0,00030024
0,03
5.9.2. MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS
DE 10.
Recordar que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales,
entonces 3× 3,6 puede efectuarse como sigue:
3,6 +
3,6
3,6
10,8
Complete el ejercicio:
⇒
3,6 x
3
0,175 +
0,175 ⇔
x
10,8
Por tanto, para multiplicar números decimales:
Se multiplican los números como si fuesen enteros, y en el
producto se separan tantos decimales, como tengan los
factores.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
130
MATEMÁTICA
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
5 x 1,41 = 7,05
1,732 x 5 = 8,660 ⇒
0,012 x 1,2 = 0,0144
1,25 x 1,4 = 1,750 ⇒
8,66
1,75
Observar cómo se forman los resultados en los dos últimos ejemplos:
0,012 →
1,2 →
3 órdenes decimales
1 orden decimal
1,25
1,4
24
12
0,0144
→
→
2 órdenes decimales
1 ..........................
500
125
←
4 ordenes decimales
1,750
← ...............................
Resolver los siguientes ejercicios:
23,12 x
0,14
24,786 x
2,5
Rpta: 3,2368
Rpta: 61,965
0,0048 x
3,9
Rpta: 0,01872
Observar el primer ejemplo y escribir la respuesta (a simple vista) de los ejercicios
de reforzamiento que continúan.
0,35 x 0,2 x 0,0006 =
420
2 cd + 1 cd + 4 cd = 7 cd
Se multiplica como si fuesen números enteros
Se completa con ceros, las cifras decimales que
faltan.
= 0,0000420
= 0,000042
a) 0,005 x 0,06 =
e) 0,5 x 0,624 =
b) 0,15 x 0,05 =
f) 3,20 x 0,5 =
c) 5 x 0,0054 =
g) 3,4 x 0, 11 =
d) 2,48 x 0,005 =
h) 2,5 x 1,1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
131
MATEMÁTICA
i) 0,071 x 0,011
k) 0,03 x 0,002 x 0,1 =
j) 1,2 x 1,1 x 0,01 =
l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 =
Comprobar las respuestas:
a) 0,00030
b) 0,0075
c) 0,0270
d) 0,01240
e) 0,3120
f) 1,60
g)
h)
i)
j)
k)
l)
0,374
2,75
0,000781
0,0132
0,000006
0,00040
5.9.3. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
Por definición de potenciación, se sabe que:
(0.2)3 = (0.2) × (0.2) × (0.2) = 0.008
Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una
forma práctica, por ejemplo:
(0,03)4 = 0.00000081
×
Multiplicar la cantidad de cifras
decimales por el exponente.
=
8 cifras decimales
(0,03)4 = 0.00000081
Hallar la potencia de la cifra
4
significativa: 3 = 81
2 cifras decimales
Resolver
siguiente:
mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro
1. (0.003)2 =
2. (0.07)2 =
3. (0.2)5 =
4. (0.05)3 =
5. (0.012)2 =
6. (0.13)2 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
132
MATEMÁTICA
5.10. DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10.
Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo
será:
13
5
2
3
caramelos para cada niño
sobrando 3 caramelos
Propiedad:
Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K”, y se
repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el
verdadero residuo varía quedando multiplicado por el número “K”.
Comprobando, multiplicar al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y
volver a dividir:
52
20
2
12
El cociente no varía
el residuo quedó multiplicado por 4
Comprobando otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por
100, y volviendo a dividir:
1300
500
2
300
El cociente no varía
el residuo quedó multiplicado por 100
Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones con
números decimales.
Tomando por ejemplo, la división 39,276 ÷ 0,5. Observar que el divisor se
convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y
al divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número
decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
133
MATEMÁTICA
392,76
5
042
002 7
00 025
78,55
000,01
Cociente
0,01 es el Residuo falso (quedó multiplicado
por 10)
El verdadero residuo es 0,01 ÷10 = 0,001.
Respuesta: Al dividir 39,276 ÷ 0,5 se obtiene
Cociente: 78,55
Residuo: 0,001
Comprobando, utilizando el Algoritmo de la división:
Dividendo = divisor x cociente + residuo
39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001
Desarrollar los siguientes cálculos como comprobación:
78,55 x
0,5
+
Luego, se llega a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en el
divisor, se sigue la siguiente regla:
Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10.
Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número
(Potencia de 10).
El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el
mismo número (Potencia de 10).
Realizar la división de 38,49 entre 0,6 y confirmar el resultado como se hizo con el
ejemplo anterior.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
134
MATEMÁTICA
EJERCICIOS:
1. Convertir en enteros los divisores, como el ejemplo:
a) 4,6 ÷ 0,02
460
e) 1,2 ÷ 4,325
2
b) 1,45 ÷ 0,5
f)
4,82 ÷ 1,4
c) 8 ÷ 0,001
g) 6,247 ÷ 21,34
d) 4 ÷ 1,25
2. Dividir siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en milésimos y
además indicar cual es el verdadero residuo.
0,32 ÷ 0,13 =
32,
13
06 0
2,461
Cociente
00 80
000 20899
00,007
Falso residuo = 0,007
Verdadero Residuo = 0,007 ÷ 100
= 0,00007
a) 0,17 ÷ 15 =
b) 0,1 ÷ 0,03 =
c) 0,325 ÷ 0,19 =
d) 25,0087 ÷ 3,02 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
135
MATEMÁTICA
Corregir los ejercicios 1 y 2:
1.
2.
b) 14,5
5
c) 8000
1
d) 400
25
e) 1200
4325
f) 48,2
14
g) 624,7
21,34
a)
b)
c)
d)
Cociente = 0,011
Residuo = 0,005
Cociente = 3,333
Residuo = 0,00001
Cociente = 1,710
Residuo = 0,0001
Cociente = 8,281
Residuo = 0,00008
EJERCICIOS:
3. Calcular la distancia “x” de la pieza.
x
5,7 m
4. Halla la medida de la distancia de “x”.
x
x
x
2,15 m
3,015 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
136
MATEMÁTICA
5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente. Calcular
el valor de “x”.
6,24
7,02
P
C
D
O
A
x
1
15,6
Comprobando respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5:
3. 1,9
4. 0,865
5. 1,95
5.11. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
Definición de una radicación:
n
a = b ⇔ b = a
n
n : índice radical
a : radicando
b : raíz
n
Reconociendo qué números decimales tienen raíz exacta a simple vista.
Por ejemplo, hallar la raíz cúbica de 0,000064:
¾ Primero, analizar si la cifra significativa del
número decimal tiene raíz exacta.
¾ Bien, ahora se tiene que contar la cantidad de
cifras decimales. Esta debe ser múltiplo o
divisible por el índice radical.
3
3
0,000064
0,000064
3
3
64 = 4
0,000064
6 cifras decimales y es divisible
por el índice radical que es 3
Si cumple estas dos condiciones, entonces se puede afirmar con seguridad que el
número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
137
MATEMÁTICA
Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera:
¾ Hallar la raíz de la parte significativa.
¾ Dividir la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este cociente
indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz.
=
3
÷
Ejemplo, hallar:
4
0,000064
2 cifras decimales
=
0,04
6 cifras decimales
3
64 = 4
0,000000000625
=
÷
4
3 cifras decimales
0,000000000625 = 0,005
4
12 cifras decimales
625 = 5
EJERCICIOS
I.
Completar el siguiente cuadro a simple vista, no usar calculadora.
1,44
¿Tiene raíz
exacta?
Si tiene raíz
exacta, ¿Cuál
es?
sí
1,2
¿Tiene raíz
exacta?
3
0,000008
0,0625
3
0,125
0,000049
3
0,027
1,21
3
0,00000036
4
0,00009
II.
Si tiene raíz
exacta, ¿Cuál
es?
0,0001
0,00000081
5
0,00001
Resolver las siguientes operaciones combinadas con números decimales
1.
(
0,09 + 3 0,027 − 0,36
)
8
=
Rpta: 0
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
138
MATEMÁTICA
2.
3.
3
[
6
0,008 + 3 0,125 − 5 0,00001
=
0,5
Rpta: 1,2
]
0,000064 × 0,027 - 0,00000001 + 0,95 × 400
3
4
Rpta: 20
4.
0,000004 + 0,00000025 - 0,0001
Rpta: 0,2
PROBLEMAS RESUELTOS
Solución:
1. Una rueda de 0,12 m de longitud
¿Cuántas vueltas dará al recorrer
1,80 m?
Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)
Distancia recorrida = # vueltas x Lc.
1,80 m = # vueltas.(0,12 m)
15 = # de vueltas
2. Para comprar 20 tornillos faltarían 8
céntimos de sol, si se compran 15
tornillos, sobraría S/. 0,12. ¿Cuánto
vale cada tornillo en soles?
Solución:
Se tiene : T
Precio de cada tornillo : P
20P = T + 0,08
15P = T - 0,12
Restar miembro a
miembro.
5P = 0,20
P = 0,04
3. ¿En cuántos ochentavos es mayor
0,32 que 0,1325?
4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y
el aceite vale S/. 3,75 más que el
frasco; entonces el precio del frasco
es:
Solución:
x
= 0,32 - 0,1325
80
x = 80.(0,1875)
x = 15
Solución:
Frasco : F
Perfume : P
F + P = 4,75
P - F = 3,75
Restando miembro
a miembro.
2F = 1
F = 0,50
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
139
MATEMÁTICA
Solución:
5. Efectuar:
924,3555... − 24,3555...
E=
97,666... + 2,333
900
100
E=
= 3
6. En el dibujo hallar a - b + c
Solución:
R
c
3,25 mm
19,50 mm
b
3R = 19,50
R = 6,50
R
Ö a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 = 8,75
Ö b = 2R = 13
a
21,75 mm
Ö c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 = 16,25
Ö
a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25
a - b + c = 12 mm
7. Guido da a un mendigo tantas veces Solución:
Soles que llevaba en la billetera : x
15 centavos como soles llevaba en
x - 0,15 x = 170
la billetera. Si aún le queda
0,85x = 170
S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la
x = 200
billetera?
Solución:
8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el
Quedan por vender 180 alfileres que es igual a :
180/12 = 15 docenas
ciento; se echan a perder 20 y los
Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60
restantes los vendo a S/. 0,84 la
Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos.
Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60
docena. ¿Cuánto se gana?
Solución:
9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas
por S/.160,72 sabiendo que en los
40 primeros kg ha ganado S/. 0,60
por kg y en los restantes ha perdido
S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de
compra?
En los 40 kg., ganó = 40.(0,60) = S/. 24
En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg perdió =
20,80.(0,35) = 7,28
Ganancia liquida: 24 – 7,28 = S/. 16,72
P. de Compra = P. de Venta - Ganancia
P. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144
10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?
Solución:
Fracción =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
1,205
= 1/5
6,025
140
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. Tres cajas contienen diferentes artículos. La primera con segunda pesan 76,58
Kg., la segunda con la tercera 90,751 Kg. y la primera con tercera pesan 86,175
Kg. ¿Cuánto pesa la segunda caja?
a) 40,84 Kg.
b) 50,17 Kg.
c) 40,578 Kg .d) 42,57 Kg
e) 48,25 Kg.
2. Un depósito de 425,43 litros de capacidad, se puede llenar con dos caños .La
primera vierte 25,23 litros en 3min. y la segunda 31,3 litros en 5min. Si trabajan
los dos juntos, ¿en cuánto tiempo podrán llenar el depósito?
a) 27min
b) 28min
c) 29min
d) 30min
e) 8min
3. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34 m. De un extremo a otro de un
terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?
a) 60,254 m
b) 162,558 m
c) 154,058 m d) 156,915 m
e) 52,128 m
4. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro
cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?
a) S/. 70,20
b) S/. 72,28
c)S/.73
d) S/. 71,20
e) S/. 70
5. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20 y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la
recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,
subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
6. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?
a) 0,6
b) 60
c) 600
d) 0,06
e) 6000
7. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para
comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno
le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?
a) S/. 125
b) S/. 100
c) S/. 75
d) S/. 150
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
e) S/. 162
141
MATEMÁTICA
8. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/.
0,6. ¿Cuántos lápices tengo?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
9. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de
pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto
sobrará de la barra en cm?
a) 4
b) 4,52
c) 3,75
d) 4,25
e) 2,28
10. En el recorrido de un micro se observo que en total Viajaron 63 personas entre
adultos y universitarios. Si el pasaje de un adulto es S/. 1,25 y el de un
Universitarios S/.0,75. ¿Cuántos adultos viajaron, si en total se recaudó S/.
64,75?
a) 28
b) 53
c) 35
d) 45
e) 42
11. Si tiene 5 cajas y en cada caja hay 2,5 docenas de paquetes de medio ciento
de lápices cada uno. Si en total se pagó s/.9 975. ¿A cómo tiene que vender
cada ciento de lápices para ganar S/. 0,65 en cada lápiz?
a) 140
b) 192
c) 190
d) 198
e) 178
c) 10
d) 19
e) 9
12. Calcular la suma de cifras de M.
Si:
)
)
(
0,4 × 0,25 + 0,12 )225
M=
a) 14
)
1,16
b) 11
13. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su
capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos
litros de vino se extrajo?
a) 50
b) 65
c) 70
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
d) 50
e) 60
142
MATEMÁTICA
14. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m
a) 12,40 m
b) 14,20 m
c) 11,84 m
d) 15,30 m
e) 13,64 m
L
R
r
8,4m
18,3m
15. Efectuar la siguiente operación.
(0,006)2 × (0,002)5
(0,000004)2
a) 72 × 10 −9
b) 1
c) 36 × 10 −4
d) 3,6 × 10 −4
e) 18 × 10 −2
16. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, hallar la raíz cuadrada de “M”
T = 8,3521
a) 1, 3
b) 1,2
c) 1,7
d) 1,01
e) 1,4
17. Hallar el valor de “E”
)
)
)
E = 2,3 × 0,375 − 0,83 ÷ 1,3
a) 0,72
b) 0,50
c) 0,60
d) 0,55
e) 0,333…
d) 8,25
e) 5,444…
18. Hallar el decimal equivalente a:
(
a) 6,4
)
)
) 2
0,916 + 3,6
b) 12
c) 8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
143
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas
docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 18
E) 24
2. Efectuar :
⎡ 8,31414... − 0,31414... ⎤
B=⎢
⎥
⎣ 1,444... + 0,555... ⎦
A) 1/2
B) 2/3
−1
C) 4
D) 1/4
E) 2
3. Se vio una muestra de bronce que pesaba 4,55 kg, contenía 3,18 kg de
cobre y 1,37 kg de zinc. ¿En 500 kg de bronce cuánto cobre habrá? (Nota:
la razón de cobre a bronce será constante en cualquier cantidad de bronce)
A) 300 kg
B) 250 kg C) 324 kg
D) 349 kg
E) 180 kg
4. En una tienda hay arroz de dos calidades cuyos precios son S/. 2,00 y S/.
1,50 el kg. ¿Cuántos kg de arroz de mayor precio se deben poner para
obtener una mezcla de 50 kg de arroz de S/ 1,80 el Kg?
A) 30 kg B) 25 kg C) 32 kg
)
D) 49 kg E) 18 kg
5. Se quiere formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones sean
0,12m; 0,10m; y 0,18m. ¿Calcule el menor número de ladrillos?
A) 3000
B) 2500
C) 3240
D) 2700
E) 2800
6. ¿Cuántas de las siguientes fracciones generan números decimales
inexactos periódicos mixtos?
23 9 17 301 5 43
;
; ;
; ;
60 900 41 30 16 47
A) 1/2
7. Hallar
R=
B) 2
C) 4
D) 3
E) 1
R
, si:
3
(0,028)(0,00005)(2,25)
(0,002)(0,15)(0,007)
A) 1,20
B) 2,50
C) 1,50
D) 0,80
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 0,50
144
MATEMÁTICA
UNIDAD 06
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
145
MATEMÁTICA
6.1.
POTENCIACIÓN.
Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como
factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta
operación potencia.
b : base
n : exponente
bn = P
P : potencia
bn = b × b × b ×....× b = P
“n” veces
Ejemplos:
a. 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
b. 33 = 3 × 3 × 3 = 27
c. 71 = 7 = 7
d. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
3
⎛2⎞ 2 2 2 8
e. ⎜ ⎟ = × × =
⎝ 3 ⎠ 3 3 3 27
6.2.
f.
(0,5)3 = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125
SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN.
El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.
a.
b.
c.
(Positivo )Par o impar = Positivo
(Negativo)Par = Positivo
(Negativo)Impar = Negativo
Ejemplos:
a. (+2)4 = +16
b. (+2)5 = +32
c. (-2)4 = +16
d. (-3)2 = +9
e. (-2)5 = -32
f. (-3)3 = -27
4
16
⎛ 2⎞
g. ⎜ − ⎟ = +
81
⎝ 3⎠
3
1
⎛ 1⎞
h. ⎜ − ⎟ = −
64
⎝ 4⎠
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
146
MATEMÁTICA
NOTA: Observar el siguiente ejemplo:
- 3 4 = - 3 × 3 × 3 × 3 = - 81 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:
(- 3)4 = (- 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) =
+ 81 “El exponente afecta al signo y al número 3”
Por lo tanto: -34 ≠ (-3)4
6.2.1.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
PROPIEDAD
NOTACIÓN
a0 = 1; (a ≠ 0)
Exponente
cero
EJEMPLO
00 = Indeterminado
b)
Producto de potencias
de igual base
an x am = an+m
Cociente de potencias
de igual base
an
= a n -m
m
a
0
7
a)
=
70 = 1
(3 × 7 − 21)0 = Indeterminado
5
3
2 x 2 = 2
5+3
= 2
8
(− 2)8 = (− 2)8−3 = (− 2)5
(− 2)3
n
1
⎛1⎞
a −n = ⎜ ⎟ = n
a
⎝a⎠
Exponente negativo
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝b⎠
−n
n
bn
⎛b⎞
=⎜ ⎟ = n
a
⎝a⎠
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎝4⎠
(
−2
⎛4⎞
=⎜ ⎟
⎝3⎠
Potencia de un
producto
(a × b )n = a n × b n
Potencia de un
cociente
an
⎛a⎞
=
⎜ ⎟
bn
⎝b⎠
⎛ 3
⎜
⎜ 4
⎝
Potencia de una
potencia
(a )
(2)
n
b c
= a bc
4
5 x2
)
4
2
=
2
⎞
3
⎟ =
⎟
42
⎠
3 5
=
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
5 4 x2
4
4
2
2
3 x5
=
2
15
147
MATEMÁTICA
c
c
a b = a (b )
Exponente de
exponente
a) 18 = 1
n
1 =1
Potencia de la unidad
2
2 3 = 2 3 x3 = 2 9
b) 115 = 1
EJERCICIOS
Completar el número que falta en el casillero correspondiente:
1)
(-5)3 =
2)
(+7)2 =
3)
(-1)715 =
4)
(-10)3 =
5)
(-9)2 =
6)
(-4)3 =
7)
(+5)3 =
8)
(+1)17 =
9)
(-7)3 =
10)
(-4)4 =
11)
(-1)13 =
12)
-113 =
13)
(-1)80 =
14)
-180 =
15)
(-5+5)3 ─ 3 =
16)
⎛ 2⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 5⎠
17)
⎛2⎞
−⎜ ⎟ =
⎝5⎠
18)
−
2
=
3
19)
⎛ 2⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 5⎠
20)
⎛2⎞
−⎜ ⎟ =
⎝5⎠
21)
−
2
=
3
3
3
4
3
4
4
Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades
1)
(− 7 )7 (− 7 )2 (− 7 )3 (− 7 ) = (− 7 )
2)
(− 17 )250 (− 17 )125
(− 17 )373
3)
(− 27 )3 (+ 9)8 (− 27 )5 (− 3)8 = (− 3)
4)
(− 7 )2 (− 13 )(−8 + 8 ) =
5)
⎡ (− 13 ) ⎤
⎢ (+ 19 ) ⎥
⎦
⎣
69
=
= (− 17 )
(− 13 )
(+ 19 )
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
148
MATEMÁTICA
6)
{.[.(− 13 ) ] } = (− 13 )
7)
[(− 3 ) (− 2 ) (+ 5 ) ]
8)
{[(− 253 ) ] } + {[(− 19 ) ] } =
9)
(− 5)15 (− 15)9 (+ 3)15 (− 15)6 = (+ 15)
10)
[([− 517 ] ) ]
11)
[(− 3) (− 5) ] (− 3)
12)
⎛ ⎡ 2 .−3 ⎤ 8 ⎞
⎜ ⎛− ⎞
⎟ ⎛ 7⎞
⎜⎜ ⎢⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎥ ⎟⎟ = ⎜⎝ − 2 ⎟⎠
⎦⎥ ⎠
⎝ ⎣⎢
13)
⎛ 3⎞
⎜− ⎟
⎝ 5⎠
14)
(13 )− 2
15)
⎛ − 3 ⎞ ⎛ − 5 ⎞ ⎛ − 7 ⎞ ⎛ − 11 ⎞
⎟ ×⎜
⎟ =
⎜
⎟ ×⎜
⎟ ×⎜
⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 3 ⎠
.5
.2 .3
4
= (− 3 ). × .(− 2 ). × .(+ 5 )
5 .3
6
. 57
. 20 . 7 − 7
. 87
.9 .........
. 9 .3
.4
11
.3
. 58 . 0
= (− 9 )
−9+9
.27
(− 5).12 = (15 )
−2
=
=
11
11
11
Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:
⎛ a ⎞
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
n
Al cuadrado
Al cubo
A la cuarta
1
2
−2
3
−1
2
3
2
−2
5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
149
MATEMÁTICA
6.3.
RADICACIÓN.
La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.
En la potenciación se vio que:
23 = 2 x 2 x 2 = 8.
Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente se
tiene:
3
8 = 3 2 3 =2
Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Se dice que 2 es la raíz………………de 16.
La notación será:
4
16 = ........ = ............
O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.
⇒ Al trabajo de sacar raíz se denomina RADICACIÓN, que es una operación
inversa de la POTENCIACIÓN.
OBSERVACIONES:
A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CÚBICA.
A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.
Así mismo:
23 = 8 ⇔
3
15 = 1 ⇔
5
= 1 (se lee RAÍZ……………………………………………… )
32 = 9 ⇔
2
= 3 ( se lee……………………………………………………)
51 = 5 ⇔
…...= 5 (se lee RAÍZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………
8 = 2 (se lee RAÍZ CÚBICA DE OCHO)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
150
MATEMÁTICA
Ver los nombres de los términos de la radicación
( ).
Luego:
La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b ∈ |R y n ∈ |N,
un número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota
n
b
Radicación: |R x |N* → |R
(b, n) →
n
b = a ↔ an = b
Donde:
•
Si b> 0, entonces a > 0
•
Si b >0 entonces a< 0 (si existe)
Ejemplos:
a)
b)
3
− 0,027 = −0,3
− 36 = no existe en el conjunto de números reales (R).
ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA.
Se va a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar cómo se hace.
Suponiendo que se quiere hallar la raíz cuadrada de 59074
En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a
izquierda así:
5.90.74
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
151
MATEMÁTICA
Buscando un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2.
Se escribimos el 2 en la caja de la derecha:
Se eleva 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1:
Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la
derecha, o sea el cero.
Se pone el doble de 2 debajo, o sea un 4:
Y se divide 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se
multiplica por 4 el 44:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
152
MATEMÁTICA
Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la derecha
del 2:
Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la
derecha:
Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48:
Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483
por 3:
Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
153
MATEMÁTICA
De tal forma que:
radicación.”
2432 + 25 = 59074
“Donde 25 es el residuo de la
Si el número del que se quiere hallar la raíz es decimal la separación de las cifras
de dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda.
Si en la raíz cuadrada anterior se quiere sacar decimales, se bajan dos ceros a la
derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo
procedimiento.
EJERCICIOS.
Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números e indicar su raíz cuadrada, el
residuo y realizar su comprobación.
Número
58708
Raíz cuadrada
Residuo
Comprobación
242
144
58708 = 242 2 + 144
99500
734449
1522756
RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES PRIMOS.
Se va a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método descomposición
en sus factores primos.
Primero. Descomponer en sus factores primos el número 435600.
435600 = 2 4 × 3 2 × 5 2 × 11 2
Segundo. Extraer la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de radicales
(Raíz de una multiplicación indicada).
435600 = 24 × 32 × 52 × 112 = 24 × 32 × 52 × 112 = 22 × 3 × 5 × 11 = 660
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
154
MATEMÁTICA
Entonces
435600 = 660
Otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000.
3
=
216000
3
2 6 × 3 3 × 5 3 = 2 2 × 3 × 5 = 60
EJERCICIOS
Calcular la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilizar le método de
descomposición de factores primos.
Número
3
2744
3
2744
=
3
Procedimiento
Respuesta
2 3 × 7 3 = 2 × 7 = 14
14
7744
4
50625
18225
6.3.1.
SIGNOS DE LA RADICACIÓN.
SIGNOS DE LA RADICACIÓN
EJEMPLOS
1)
a)
Par o Impar
+ =+
2)
3)
4)
4
+ 81 = + 3
5
+ 32 = + 2
724
+1 = + 1
725
+1 = +1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
155
MATEMÁTICA
− = -
b)
547
2)
c)
Par
− = No existe en el conjunto
6.3.2.
4
1)
de números reales (R)
− 64 = − 4
3
1)
Impar
−16 =
No existe en R.
−1 =
No existe en R.
540
2)
−1 = −1
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.
PROPIEDAD
Raíz de un
Producto
Raíz de un
Cociente
NOTACIÓN
n
n
EJEMPLOS
ab = n a .n b
a
=
b
n
n
a
.
b
1)
3
27 x 64 = 3 27 × 3 64 = 3 × 4 = 12
2)
4
810000 = 4 81× 10000 = 4 81 × 4 1000 = 3 × 10 = 30
1)
4
4
256
256
4
=4
=
10000
10000 10
1)
2)
Raíz de una
Potencia
n
ab = n a = (a )
b
25 × 36
25 × 36
5 × 6 30
=
=
=
49 × 121
49 × 121 7 × 11 77
2)
b
n
3
82 =
35
3)
15
4)
6
( 8)
2
3
105
3105 = 3
= (2 )2 = 4
35
= 33 = 27
¡Se simplifica el exponente
fraccionario!
2
125 10 = 3 125 2 = 3 125 = 5 2 = 25
¡ Se simplifica el
índice radical con el exponente!
218 × 7 3
=
56
6
218 × 6 49 3
6
56
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
=
2 3 × 2 49 8 × 7 56
=
=
5
5
5
156
MATEMÁTICA
Raíz de una
raíz
n m
1)
4 5
7 = 20 7
2)
8 4
7 32 = 32 7 32 = 71 = 7
a = n.m a.
3 5 8
3)
=
1)
n
a×m b = n a ×n×m b
2)
Consecuencia
de las
propiedades
anteriormente
mencionadas
a×n b = a ×b
n
n
120 120
3120 × 8 40
3 × 120 8 40 31 × 3 8
=
=
120
13 240
13 2
13 240
3× 2
6
=
169 169
8×
3
5 =
3
8×3
81 × 16 =
= 3× 2 = 6
1) 5 3 =
5 2 × 3 = 75
2) 23 10 =
3
x a .m x
5 = 2×
81 ×
6
5
16 = 4 81 × 4 16
2 3 × 10 = 3 80
x
n
2
bp
xc = x
3
2 =2
+
x
+
( a . m + b ).p + c
n .m.p
Ejemplo:
8. 8 4 =
3
6.3.3.
2
33
2
2
( 3× 3 + 3 ) × 2 + 2
2 × 3× 2
=2
26
12
=2
13
6
RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES SEMEJANTES.
Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical.
Ejemplos:
a)
7;
8; 5 6;
3 2
5
“Todos son raíces cuadradas”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
157
MATEMÁTICA
b) − 53 2 ;
3
3
;
5
3
7;
3
5 “Todos son raíces cúbicas”
Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y
la misma cantidad subradical.
Ejemplos:
3 7
; − 2 7 “Todos son raíces cuadradas de siete”
5
3
2 3
b) − 53 2 ;
; 2 ; 43 2 “Todos son raíces cúbicas de dos”
5
a)
7;
6.3.4.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.
Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener
factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz.
Ejemplos:
720
1) Simplificar
Se descompone
factores primos:
720
en
sus
Algunos factores tienen
exponentes divisibles por el índice
radical; se procede a extraer esos
factores:
2) Simplificar
3
720 = 2 4 × 32 × 5
720 = 24 × 32 × 5 = 22 ×3× 5 = 12 5
17280
Se descompone 8640 en sus
factores primos:
17280 = 2 7 × 3 3 × 5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
158
MATEMÁTICA
3
Algunos
factores
tienen
exponentes mayores que el índice
radical, se descomponen de tal
forma que tengan exponentes
divisibles por el índice radical.
17280 = 3 2 6 × 2 × 3 3 × 5
= 3 2 6 × 3 33 × 3 2 × 5
= 22 × 3× 3 2 × 5
= 12 3 10
3) Simplificar
50
Se puede simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de la
habilidad del ejecutor, observar con cuidado:
50 =
25 × 2 =
25 × 2 = 5 2
Se buscan 2 números cuyo producto sea 50 y
uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta.
3) Simplificar 7 32
7 32 = 7 16 × 2 = 7 × 16 × 2 = 7 × 4 × 2 = 28 2
EJERCICIOS
Simplificar los siguientes radicales:
a)
3
77 × 2
b)
3
875
c)
3
54
d)
5
12500
e)
3
1080
f)
7
= 3 7 6 × 7 × 2 = 3 7 6 × 3 7 × 3 2 = 7 2 3 7 × 2 = 493 14
1920
6.3.5.
OPERACIONES CON RADICALES.
ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.
Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Algunos ejemplos:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
159
MATEMÁTICA
1) Efectuar: 3 2 −
2 +8 2 −4 2
3 2 − 2 +8 2 −4 2
= (3 − 1 + 8 − 4 ) 2 = 6 2
Sumar y restar sólo los coeficientes.
2) Efectuar:
23 5 + 8 6 − 3 5 + 3 6
23 5 + 8 6 − 3 5 + 3 6
= 23 5 − 3 5 + 8 6 + 3 6
= 3 5 + 11 6
Se suman y restan solo los radicales semejantes.
2) Efectuar:
3 2 + 2 50 − 32
Se tiene que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales
semejantes):
3 2 + 2 50 − 32 = 3 2 + 10 2 − 4 2 = 9 2
MULTIPLICACION DE RADICALES.
Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.
an b × cn d = a × c n b × d
Ejemplos:
1) Multiplicar:
23 5 × 33 2 × 43 7
23 5 × 33 2 × 43 7 = 2 × 3 × 4 × 3 5 × 2 × 7 = 243 70
2) Multiplicar:
35
3
4× 5 3
7
5
35
3
3 3
9
4 × 5 3 = × × 5 4 × 3 = 5 12
5
7
5 7
35
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
160
MATEMÁTICA
DIVISIÓN DE RADICALES.
Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.
a n b ÷ c n d = (a ÷ c ). n (b ÷ d )
Ejemplos:
1) Dividir: 12 6 ÷ 3 3
2) Dividir:
6.3.6.
243 72
723 36
12
6 ÷ 3 3 = (12 ÷ 3 ) 6 ÷ 3 = 4 2
24 3 72
24 3 72
1
=
×
= 3 2
3
72
36
3
72 36
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES.
Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este
proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador,
el proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
CASO I:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En
este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si se quiere racionalizar el denominador de la fracción
multiplicará numerador y denominador por
5
, se
2
2
5
5× 2
5 2 5 2
=
=
=
2
2
2× 2
22
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
161
MATEMÁTICA
Otro ejemplo. Racionalizar
2 3
18
Si antes de racionalizar se extraen los factores que se puedan en el radical del
denominador, se tiene:
2 3
2 3
2 3
=
=
18
2.32 3 2
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por
denominador:
2 para eliminar la raíz del
2 3 2 3× 2 2 6
6
=
=
=
3
3 2 3 2 × 2 3× 2
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por
2 3 2 3. 18 2 54
54
=
=
=
18
9
18
18. 18
18
Y ahora se extraen factores de la raíz del numerador y se simplifica.
54
=
9
2 × 33 3 2 × 3
6
, como se ve da el mismo resultado.
=
=
9
9
3
CASO II:
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en
los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y
viceversa.
Por ejemplo
7
, multiplicar numerador y denominador por
5− 3
7
=
5− 3
7
(
(
5+ 3
5− 3
)(
)
5+ 3
5+ 3
)
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una
diferencia, o sea una expresión del tipo (a + b )(a − b ) = a − b
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
2
162
MATEMÁTICA
7
=
5− 3
7
(
(
5+ 3
5− 3
Otro ejemplo:
)(
)
5+
)
3) ( 5) − ( 3)
7
=
(
5+ 3
2
2
=
7
(
5+ 3
5−3
) = 7(
5+ 3
)
2
2
, ahora multiplicar numerador y denominador por 3 − 7
3+ 7
(
)
(
)
(
)
2 3− 7
2 3− 7
2 3− 7
2
=
=
=
= 3− 7
9−7
2
3+ 7
3+ 7 3− 7
(
)(
)
CASO III:
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se
multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una
potencia de exponente “n”.
Por ejemplo:
3
1
25
Se factoriza el radicando del denominador:
multiplicar numerador y denominador por
1
=
3
25
Otro ejemplo:
4
1
3
5
2
=
3
3
3
5
1
1
y como 3 5 3 = 5 , se va a
=
3
2
3
25
5
5 para completar la potencia de 5:
5
2 3
5
=
3
3
5
5
3
=
3
5
5
2
,
2
Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego
basta multiplicar por
4
23
2
2 4 23
2 4 23
2 4 23
=
=
=
=
4
4
4
2
2
2 4 23
24
4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
23
163
MATEMÁTICA
EJERCICIOS NIVEL I
1. Extraer la raíz de: a) 2916
b) 45796
c) 2401
d) 63,845
e) 0,8436
2. Valor de potencias:
a) (-3)2 =
b) (-2)2 + 24 =
c) (-4)2 - (-3)2 =
d) (-4)3 -2(-4)3 =
3. Suma y resta de potencias:
a) 2. 32 + 4.32 =
b) 4.33 – 2.33 =
c) 2. (-4)2 - 52 =
d) (-4)3 +33 -2(-4)3 =
4. Multiplicación de potencias con bases iguales:
a) 2. 22 .22.2 2 =
b) 3.33 . 3.33 =
c) 4. 42 . 42 =
d) 2b.23 .2 3 .2b3 =
5. Multiplicación de potencias con exponentes iguales:
a) 42 .32.5 2 =
b) 23. (0,3)3 =
c) 2. 33. 43 =
d) 2b3.3b3 .5b 3 =
6. Potencias con exponentes negativos:
a) 5 -2 =
b) 2-3. 3-2=
c) 2-3. 3-2. 4-3 =
d) -2-3 +( -3)-3 =
7. División de potencias con bases iguales:
a) 25 :22 =
b) 33 : 31 =
c) 46 : 42 =
d) 6n4x5 : 2n4 x3
8. División de potencias con exponentes iguales:
a) 45 :25 =
b) 63 : 33 =
c) 166 : 46 =
d) 6n5x3 : 2n5 x3
9. Multiplicación y división de potencias:
a)
2.42.5
2.3.5
b)
4.6.5
22.3.5
c)
2b5 .3b.5b
3b.4b3 .6b
d)
80b.7 b.6d
16.5b 2 .9d
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
164
MATEMÁTICA
10.
Potencia de potencias:
a) 23.5
11.
b) (3-4)-2
d) (2-2.2-4.32.5-3)-2
Potencia de sumas:
a) (2+3).(2+3)
12.
c) (-2-3)-2
b) (1+6).(1+6)
c) (3a-1)2 =
d) (3-2b).(3+2b) =
Conversión en factores de potencias:
a) 4-4a+a2
b) 25 + 30b +9b2
c) x2 +8x + 15
d) (25-c2)/ (5+c)
EXTRACIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A
1.
Extraer la raíz de:
a)
b)
c)
d)
e)
2916
45796
8,2944
4,53
2401
f)
g)
h)
i)
j)
88,36
6,3504
7,569
63,845
0,8436
2.
Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de
15,9 cm2 ¿Qué longitud tienen los lados?
3.
La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9 cm2.
Calcular el diámetro de la cadena.
4.
La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un
12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de
émbolo?
5.
La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6
cm2. ¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
165
MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA NIVEL I-A
Problema 1.-
VER FIGURA
Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2
superficie. Calcular la longitud de los lados
a) 45 mm
b) 17 mm
c) 15 mm
d) 24 mm
de
e) 35 mm
Problema 2.- VER FIGURA
La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2
Calcular el diámetro de la cadena.
a) 5 mm
b) 7 mm
c) 15 mm
d) 12 mm
e) 13 mm
Problema 3.VER FIGURA
La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o
es de 16 mm2. Calcule la longitud de los catetos.
a) 5,65 mm
b) 7,1 mm
c) 1,5 mm
d) 1,25 mm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
e) 1,36 mm
166
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL
II
1. Determinar la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres
cuartas partes se obtenga un cubo perfecto.
a) 1
b) 16
c) 8
c) 27
d) 9
e) 25
2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?
a) 10
b) 87
c) 98
c) 27
d) 39
e) 55
3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si
se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261
árboles más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m.
¿Hallar el lado del terreno?
a) 36
b) 17
c) 48
c) 27
d) 39
e) 35
4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha construido
un almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las esquinas
de los límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de 361 m2.
¿Cuál es el área de toda la propiedad?
a) 1089 m2
b) 1024 m2
c) 2420 m2
d) 1280 m2
e) 1325 m2
5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el
interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en
total?
a) 625
b) 676
c) 576
d) 729
e) 616
6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742
a) 318
7. Reducir:
a) 12
b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742
2 50 + 3 8 − 32
98 − 18 + 3 2
b) 6/7
c) 12/7
d) 5/7
e) 6
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
167
MATEMÁTICA
8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:
I.
(x − n )2 .(x 2 )n = 1 ; ∀ x ≠ 0
II.
(- 2 )2 5 . (−
8)
1
=
9
III.
2n
IV.
⎛ x 2n ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
3 −n .27 −n
2 −n
1
=x
a) VVFV
b) FVVF
5
9. Efectuar: E = 4 3 +
a)
5
b)
3
10. Efectuar:
a) 9/7
a) 16
108 −
a)
10
c) VVVV
3 + 1 .5 4 3 −
c)
3
5
c) 1
d) 2/7
⎛
⎞
⎜ 2+ 3 − 2− 3 ⎟
⎝
⎠
b) 64
2
3 − 27
c) 8
b)
d) 128
15. Efectuar:
a) 256
c) 12
24
16
3
12
10
b) 2
(
e) 256
c) –2
3+3 3
b) 37
14. Simplificar :
e) 8
6
7
13. El Factor racionalizante de :
a) 1
e) -1
equivale a :
19 3 + 1
3
a) 17
e) FFFV
3 +1
d) 1
9
d) VFVV
3 ⎛⎜ 1
3
2 ⎞⎟ 2
−
+
−
⎜
⎟ 7
2
7⎝ 2
7
⎠
b) 7
11. Efectuar:
12.
= −2
5
16 −
. 54
5
b) 216
54 +
. 108
3
, es
a
b
6 + 2 27
e)
4 108
hallar a + b :
e) 1
.6 7
c) 3
3
648
d) 784
5
. 12
13
5
d)
3
d) 4
250
c) 212
e) 5
)
3
d) 144
e) 128
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
168
MATEMÁTICA
[
0 ,8
0, 6
0, 4
16. Efectuar: E = 32 − 32 − 32 − 32
a) 4
b) 16
c) 20
d) 32
]
.2 , 5
e) 64
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
169
MATEMÁTICA
UNIDAD 07
TRIGONOMETRÍA BÁSICA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
170
MATEMÁTICA
7.1.
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES.
Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida
alguna fracción del ángulo de una vuelta.
Principales sistema de medidas angulares:
• Sistema Sexagesimal (inglés) :
Sº
• Sistema Centesimal (francés):
Cg
• Sistema Radial o Circular:
R rad
7.1.1.
SISTEMA SEXAGESIMAL (S).
La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte del
ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 360º
Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1′) y el
Segundo Sexagesimal (1″), donde:
1º equivale a 60′
1′ equivale a 60″
1º equivale a (60x60)″ ó 3600″
180°
90°
7.1.2.
SISTEMA CENTESIMAL ( C ).
La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del
ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 400g
Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el
Segundo Centesimal (1s), donde:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
171
MATEMÁTICA
200g
100g
7.1.3.
1g equivale a 100m
1m equivale a 100s
1g equivale a (100x100)s ó 10000s
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R ).
La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un
ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del
arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.
L
θ
R
“Si L = R entonces la medida del ∠ θ, es igual
a un radián o simplemente θ = 1 rad.”
El ángulo de una vuelta mide 2π rad.
π rad
7.1.4.
π
rad
2
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.
Sea θ un angulo donde:
S representa la medida de θ en grados Sexagesimales.
C representa la medida de θ en grados Centesimales.
R representa la medida de θ en Radianes.
Donde la fórmula de Conversión es:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
172
MATEMÁTICA
S
180
C
200
=
=
R
π
Observaciones:
¾ S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).
¾ Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea
S
C
S
C
sólo:
=
; simplificando se obtiene:
=
180 200
9
10
Donde:
S=
9.C
10
C=
10.S
9
¾ Otras equivalencias importantes:
9° = 10g
27′ = 50m
180° = π rad
200g = π rad
81″ = 250s
Ejemplos:
1) Convertir 45° a grados centesimales.
Como S = 45°, remplazar en la siguiente fórmula:
C=
10.S
9
Ä
C=
10.(45º )
= 50 g
9
2) Convertir 125g a radianes.
Como C = 125g, remplazar en la siguiente fórmula:
R
C
=
π 200
3) Convertir
Como R =
Ä
R 125
5π
=
Ä R=
rad
π 200
8
3π
radianes a grados sexagesimales.
5
3π
rad, remplazar en la siguiente fórmula:
5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
173
MATEMÁTICA
S
R
=
180 π
3π
S
180(3π)
Ä
= 5 Ä S=
Ä S = 108º
180
π
5π
OTRA FORMA:
Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está
conformado por una fracción equivalente a la unidad.
En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el
numerador la unidad que se busca.
Por ejemplo para convertir
3π
rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente
5
manera:
3π.rad
3π.rad 180º
×1 =
×
5
5
π.rad
Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION)
sabiendo que:
180° = π rad.
Luego:
3π
3π.rad 180º 3 × 180º
rad =
×
=
= 108º
5
5
5
π.rad
4) Convertir 0,621° a segundos centesimales.
Solución:
Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN.
No olvidar que:
9°=10g
0,621º = 0,621º×
1g=100m
1m=100s
10 g 100 m 100 s
× g × m = 6900 s
9º
1
1
5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales.
Recordar que:
7500s = 7500s ×
"
81
1´
× " = 40,5´
s
250 60
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
81”
1´
= 250s
= 60”
174
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1. Completar el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:
N
SEXAGESIMAL ( Sº )
1
30º
2
60º
3
90º
4
45º
5
27º
6
53º
7
16º
8
74º
9
8º
CENTESIMAL ( Cg )
10
91 1/9g
11
16 2/3g
12
83 1/3g
13
25g
14
75g
15
20 5/9g
16
79 4/9g
17
29 4/9g
RADIAL ( R rad )
18
19
20
21
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
127 π
360
2π
3
5π
4
27 π
36
175
MATEMÁTICA
1.
SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES
N
SEXAGESIMAL ( Sº )
CENTESIMAL ( Cg )
g
1
30º
33 1/3
2
60º
66 2/3g
3
90º
100g
4
45º
50g
5
27º
30g
6
53º
58 8/9g
7
16º
17 7/9g
8
74º
82 2/9g
9
8º
8 8/9g
10
82º
91 1/9g
11
15º
16 2/3g
12
75º
83 1/3g
13
22,5º
25g
14
67,5º
75g
15
18,5º
20 5/9g
16
71,5º
79 4/9g
17
26,5º
29 4/9g
18
63,5º
70 5/9g
19
120º
133 1/3g
20
225º
250g
21
135º
150g
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
RADIAL ( R rad )
1 π rad
6
1 π rad
3
1 π rad
2
1 π rad
4
3 π rad
20
53 π rad
180
4 π rad
45
37 π rad
90
2 π rad
45
41 π rad
90
1 π rad
12
5 π rad
12
1 π rad
8
3 π rad
8
37 π rad
360
143 π rad
360
53 π rad
360
127 π rad
360
2 π rad
3
5 π rad
4
3 π rad
4
176
MATEMÁTICA
7.2.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.
Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo respecto a un ángulo agudo.
En el triángulo rectángulo que se muestra, los
catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c,
además:
β
c
a
α
b
Cateto opuesto de α es “a”
Cateto adyacente de α es “b”
Cateto opuesto de β es “b”
Cateto adyacente de β es “a”
Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “α” serian:
Seno α =
a
Cateto opuesto
=
c
Hipotenusa
Cotangente α =
b Cateto adyacente
=
c
Hipotenusa
Coseno α =
Tangente α =
Secante α =
a
Cateto opuesto
=
b Cateto adyacente
b Cateto adyacente
=
a
Cateto opuesto
c
Hipotenusa
=
b Cateto adyacente
Cosecante α =
c
Hipotenusa
=
a Cateto opuesto
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.
60º
2k
53º
5k
k
25k
74º
10k
7k
8º
16º
24k
k
4k
k 3
7 2k
k
45º
37º
30º
45º
k 2
3k
82º
4k
k 2
75º
( 6 − 2 )k
15º
( 6 + 2 )k
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
177
MATEMÁTICA
10 k
5k
k
k
k
53º
2
37º
2
15°
75°
4k
2k
3k
TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
F.T.
8º
15º
16º
Sen
2
10
6− 2
4
7
25
Cos
7 2
10
6+ 2
4
24
25
Tng
1
7
6− 2
6+ 2
Ctg
7
1
Sec
Csc
7.3.
37/2º 53/2º
30º
37º
45º
53º
60º
1
5
1
2
3
5
1
2
4
5
3
2
3
10
2
5
3
2
4
5
1
2
3
5
1
2
7
24
1
3
1
2
1
3
3
4
1
1
4
3
3
1
6+ 2
6− 2
24
7
3
1
2
1
3
1
4
3
1
1
3
4
1
3
10
7 2
4
6+ 2
25
24
10
3
5
2
2
3
5
4
2
1
5
3
2
1
10
2
4
6− 2
25
7
10
1
5
1
2
1
5
3
2
1
5
4
2
3
1
10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES.
Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los
semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL.
Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones
trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente tabla:
90°
sen cos
tg
cotg sec cosec
0º ó 360º
0
1
0
ND
1
ND
90º
1
0
ND
0
ND
1
180º
0
-1
0
ND
-1
ND
270º
-1
0
ND
0
ND
-1
0°
360°
180°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
270°
178
MATEMÁTICA
ND: “No definido”
Ejemplos de aplicación:
Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:
2
2 cos 45º + 6 cos16º
cos 53º
2
1.
2.
3
5ctg 2
π
π
+ 3 sec 2
6
3
24
⎡ 1 ⎤
2× ⎢ ⎥ + 6×
25
⎣ 2⎦
=
3
5
12
17
1+
5
5
=
=
3
3
5
5
=
3
5ctg 2 30º +3 sec 2 60º
144
⎡1 ⎤
2× ⎢ ⎥ +
25
⎣2⎦
=
3
5
17
3
=
=
3
5×
= 3 5× 3 + 3× 4
= 3
7.4.
( 3)
=
2
3
+ 3 × (2 )
2
27
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir
de dos datos, uno de los cuales debe ser lado.
Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos:
I. Los datos conocidos son: dos lados.
II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.
Ejemplos:
1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
Como datos se tienen la medida de dos lados,
“este problema corresponde al caso I.”
Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el
Teorema de Pitágoras.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
35 m
β
a
α
28 m
179
MATEMÁTICA
a 2 + 28 2 = 35 2
a 2 = 35 2 − 28 2
a 2 = 441
a=
441
a = 21
El ángulo α se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione
lados conocidos.
28 4
= ;
Cosα =
35 5
Pero el Cos53 o =
4
;
5
α = 53º
Entonces :
" β" es el complement o de " α" , por lo tanto :
β = 90º - 53º
β = 37 º
2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
50cm
Como datos se tienen la medida de un ángulo
agudo y un lado, “este problema corresponde al
caso II.”
β
a
16°
b
Hallando β, que es el complemento de 16°
β = 90° - 16°
β = 74°
Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16°, que relacione el
dato con la incógnita.
Lado desconocid o
= RT (α )
Lado conocido
Razón Trigonométrica de α
a
= sen 16º
50 cm
50cm
7
a
=
50 cm 25
β
a
16°
b
a = 14 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
180
MATEMÁTICA
Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene
trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16°.
b
= Cos 16º
50 cm
β
50cm
a
16°
24
b
=
25
50 cm
b
b = 48 cm
7.5.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS.
“En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos”
b
θ
a
α
a
b
c
=
=
Sen α Sen β Sen θ
β
c
Ejemplo:
1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
Resolver el triángulo consiste en hallar
medida de sus lados y sus ángulos
internos. Se tiene que hallar las
medidas de “L”, “β” y “θ”.
37º
L
70 m
la
β
θ
84 m
Primero hallar el valor de “θ” aplicando la ley de senos:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
181
MATEMÁTICA
84m
70m
=
Sen 37º
Sen θ
Sen θ =
70 × Sen 37º
84
37º
70 m
⎛3⎞
70 × ⎜ ⎟
⎝5⎠
Sen θ =
84
Sen θ =
1
; Entonces
2
L
113°
30°
84 m
:
θ = 30º
Ahora hallar el valor de “β”:
37º + 30º + β = 180º
β = 113º
Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”:
L
70m
=
Sen 113º Sen 30º
L=
70 m × Sen 113º
Sen 30º
Pero :
Sen 113º = Sen67º (Reducción I Cuadrante)
70 m × Sen 67º 70 m × 0,9205
=
;
1
Sen 30º
2
Entonces :
L = 128,87 m
L=
7.6.
Sen 67º = 0,9205 (Por Tablas)
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS.
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual
a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble
producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.Cosθ
c
a
θ
b
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
182
MATEMÁTICA
Ejemplo:
1. Hallar la medida del lado “x”
Solución:
x 2 = 12 2 + 20 2 − 2(12)(20 )cos37º
⎛4⎞
x 2 = 144 + 400 − (480 )⎜ ⎟
⎝5⎠
2
x = 544 − 384
x = 160 = 4 10 m.
x
20 m
37º
12 m
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 20 N hacia arriba, una fuerza
hacia la izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal?
a) 53°
b) 33,7°
c) 25°
d) 37°
e) 45°
2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar
aproximadamente el valor de la normal en Newton? . (1kg-f = 9,81 N)
a) 298
b) 537
c) 706
d) 593
e) 785
3. Convertir 5° a radianes.
a) π 8
b) π 7
c) π 6
d) π 3
e) π 36
4. Convertir 0.5 radianes a grados sexagesimales ( π = 3,1416):
a) 35°
b) 44,1°
c) 50°
d) 28,65°
e) 39°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
183
MATEMÁTICA
5. Hallar el valor de 2 radianes en grados ( π = 3,1416):
a) 77° 47´ 45 ´´
b) 57° 37´ 45 ´´
c) 27° 17´ 25 ´´
d) 114° 35´ 29 ´´
e) 58° 17´ 45 ´´
6. Encontrar el valor del cosθ , si el senθ = 0.5
a) 0.78
b) 0.86
c) 0.5
d) 0.63
e) 0.83
7. Hallar el valor de la Tgθ , si la Ctgθ = 4 .
a) 0.31
b) 0.20
c) 0,25
d) 0.34
e) 0.60
8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de
53° ¿Cuál es la altura del árbol aproximadamente?
a) 85m
b) 33,3 m
c) 125m
d) 37,4 m
e) 29,5 m
9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo
de depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/s ¿A
qué distancia del edificio se encontrará aproximadamente el auto, en 2
segundos?
a) 75m
b) 56,67m
c) 115m
d) 50m
e) 250m
10. ¿A qué es equivalente
a)
b)
c)
d)
e)
4π
rad?
5
130°
124°
136°
124°
164°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
184
MATEMÁTICA
11. Expresar 150° en radianes.
a) 4π 5 rad
b) 5π 4 rad
c) 4π 3 rad
d) 5π 6 rad
e) π 6 rad
12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es 90 cm y el coseno de uno de los
ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de su hipotenusa.
a) 13
b) 26
c) 39
d) 52
e) 65
13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor.
Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 2
3 2
2
4
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:
cotA =
a)
b)
c)
d)
e)
5
.
12
Calcular :
M = senA − SenC
3/13
5/13
7/13
9/13
11/13
15. Si Tg α = Sen245° + Cos60°. Hallar. Sen
a)
2
2
b)
3 2
2
c)
2
4
α ( α Es un ángulo agudo)
d)
2
8
e)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
2
185
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Hallar “ x”
a) 4
b) 4 2
c) 4 3
d) 4 6
e) 6
2. Hallar AF si AM= 2 5
a) 3.873
b) 7.746
c)
d)
e)
2 5
5
5
3
10
3. Hallar (X + Y):
a)
b)
c)
d)
e)
35
30
40
20
25
4. Hallar R:
a)
b)
c)
d)
e)
11
12
13
14
15
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
186
MATEMÁTICA
UNIDAD 08
MEDIDAS DE LONGITUD
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
187
MATEMÁTICA
8.1.
MEDIDAS DE LONGITUD.
Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como
unidad de medida
Cientos de años atrás, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo.
Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el ancho de un
pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la punta de un dedo
hasta la punta del otro), eran 6 pies.
Cuando los británicos comenzaron a establecerse en Norteamérica las colonias
usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. Aún había confusión
entre medidas que llegaron hacerse hasta más confusas después de la Revolución
Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar una norma
uniforme de pesas y medidas.
También los Franceses, Españoles y Holandeses tenían sus propias normas y
nadie estaba de acuerdo. Es así que en el año 1832, el Departamento de Tesorería
dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de medida y masas,
y en el año 1836, el Congreso oficialmente creó la Oficina de Pesos y Medidas.
Hassler escogió el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema métrico. Sin
embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades (Sistema Métrico), es
aceptado como la norma de medidas.
8.1.1.
UNIDAD FUNDAMENTAL (EL METRO).
Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad
fundamental de la magnitud longitud es el METRO.
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
Longitud del trayecto recorrido en el vacío, por un
rayo de luz en el tiempo de
Longitud
metro
m
1
s
299 792 458
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
188
MATEMÁTICA
8.1.2.
PREFIJOS EN EL S.I.
Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y
submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades
básicas o derivadas.
SÍMBOLO
FACTOR
exa
E
trillón
peta
P
10 18
10 15
T
10 12
billón
G
10 9
mil millones
M
10 6
millón
1.1
Para formar
múltiplos
decimales
PREFIJO
tera
giga
mega
kilo
Para formar
submúltiplos
decimales
3
NOMBRE DEL VALOR
NUMÉRICO
mil billones
k
10
hecto
h
10 2
cien
deca
da
10
diez
deci
d
Décima
centi
c
10 -1
10 -2
mili
m
10 -3
milésima
micro
μ
10
nano
pico
femto
atto
n
p
f
a
-6
mil
centécima
millonésima
10 -9
mil millonésima
10 -12
billonésima
10 -15
mil billonésima
10 -18
trillonésima
En el caso de la medida de longitud:
Múltiplos
Submúltiplos
kilómetro
1.2
HECTÓMETRO
decámetro
X 1000
1.3
X 100
X10
1000 m
1.4
100 M
10 m
1 km
1.5
1 HM
1 dam
metro
decímetro
centímetro
milímetro
: 10
: 100
: 1000
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
1m
1 dm
1cm
1 mm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
189
MATEMÁTICA
Aplicar este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo.
Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centímetro y el milímetro.
Largo
.......................
cm ... ........................ mm
Ancho
......................
cm ...........................
mm
Alto
...........................
cm ...........................
mm
Sin embargo, el centímetro y el milímetro, no son las únicas unidades de medida, si
se toman 10cm, se tiene 1 decímetro.
1 decímetro = 10 centímetros
Y si se toman 10 decímetros, se tiene 1 metro (1 m) que es la unidad principal de
medida de longitud.
Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y anotar sus resultados.
⇒
a) Un libro
b) Un salón de clase
⇒
c) Un lápiz
⇒
Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene:
10 m
forman 1 decámetro
⇒
dam
10 dam
forman 1 hectómetro
⇒
hm
Observar, con atención, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los
cuerpos recibe, en geometría, el nombre de segmento de recta. Medir algunos de
ellos, recordando que medir un segmento de recta es verificar cuantas veces una
unidad está contenida en él.
2
2
Largo = …………unidades
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
190
MATEMÁTICA
3
Ancho = ……. Unidades
4
Muy Importante:
Altura = ……. Unidades
El número es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA.
Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida.
Ejemplo:
™ La longitud de la regla es de seis pulgadas.
™ La broca de tres cuartos está sobre la bancada.
™ Compré mil milímetros de alambre de cobre.
™ Esta caja contiene doce docenas de pernos.
™ La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos.
En los dibujos de la página anterior, los segmentos medidos representan: Largo,
ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centímetro (cm).
Notar que cada centímetro está dividido en partes iguales, cada una de las cuales
se llama milímetro (mm).
En la medición de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm = 60 mm.
Se puede comprobar que:
10 veces 1 milímetro es igual a 1 centímetro
10 x 1 mm = ........ mm = 1 .......
Completar:
Ancho = 2,5 u =
alto = 1 u =
2,5 cm = .......... mm
1 cm = .......... mm
Por consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema Internacional) de
unidades de medidas de longitud. Observar el cuadro:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
191
MATEMÁTICA
8.1.3.
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO.
MÚLTIPLOS
km
4.1
kilómetro 4.2
1000 m
4.3
UNIDAD
dam
HM
HECTÓMETRO decámetro
10 m
100 M
SUBMÚLTIPLOS
m
dm
cm
mm
metro
decímetro
centímetro
milímetro
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Observación:
Es preciso aclarar que:
• Existen múltiplos mayores que el kilómetro.
• Existe submúltiplos menores que el milímetro.
Por ejemplo:
En mecánica de precisión y en trabajos científicos, se usan otros submúltiplos
del metro, como por ejemplo la millonésima parte (μ micra) del metro que se
denomina micra (μ m).
Resumiendo se tiene:
Medidas mayores que el metro, o sea, múltiplos del metro:
decámetro
dam
1 dam = 10 m
hectómetro
hm
1 ....... = 100 ........
kilómetro
km
1 .........= ……........
1 KM = 10 HM = 100 DAM = 1 000 M
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
192
MATEMÁTICA
Medidas menores que el metro, o sea submúltiplos del metro:
decímetro
dm
1 dm = 0,1 m
centímetro
cm
1 ....... = ......... m
milímetro
mm
1 ....... = .............
1 MM = 0,1 CM = 0,01 DM = 0,001 M
EJERCICIOS
Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente:
1. Completar:
a)
5 dam = cinco decámetros
b)
18 mm = ...................................................
c)
........................... = doce kilómetros
d)
........................... = nueve hectómetros
e)
35 cm = .....................................................
f) .
.....................dm = siete ..........................
2. Completar:
3.
a)
9,082 km
= 9 km, 8 dam y 2 m
b)
13,052 km = ......... km, ........ hm, ...... dam y ...…. m
c)
............dam = 19 dam, 5m y 3dm
d)
9,5 ..............= 9 m y 5 dm
e)
8,25 dm
= ............. y .............
Se sabe que:
1 dam = 10 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
193
MATEMÁTICA
Entonces, completar:
4
a)
8 dam = 8 x 10 = 80 m
b)
28 dam = ............................ = .......................... m
c)
3,4 dam = ........................... = …………………. m
d)
53 m = 53 ÷ 10 = 5,3 dam
e)
156 m = ……………………. = …………………. dam
f)
90 m = ……….……………. = ……………….… dam
También se sabe que:
1 hm = 10 dam
Completar entonces:
a)
5 hm = 5 x 10 = 50 dam
b)
0,8 hm = ......................... = ........................ dam
c)
58 hm = ......................... = ….……………. dam
d)
30 dam
e)
48 dam = …………..…… = ……..………….. hm
f)
0,08 dam = …………… .. = …….………...… hm
= 30 ÷ 10 = ………. hm
5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,
completar:
a)
2 km = 2 x 10 = 20 hm
b)
72 km = ........................... = …………………. hm
c)
0,8 km = ……………….… = …………………. hm
d)
5 m = 5 x 10 = 50 dm
e)
3,8 m = ..………………….. = …………………. dm
f)
4 dm = 4 x 10 = 40 cm
g)
52 dm = …………………... = ….………..……. cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
194
MATEMÁTICA
8.1.4.
CONVERSIÓN DE UNIDADES.
La unidad escrita se refiere a la cifra que está a la izquierda de la coma decimal,
que usted debe haber observado.
Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que corresponde al casillero de dm.
Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeración decimal. Por
consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, se tiene:
M
dm
cm
Mm
4
5
8
7
4,587 m
que se lee, 4 metros y 587 milímetros
Observar con atención, la escalinata con sus “carteles”.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Pues bien:
Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha.
Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda.
Realizar ahora los ejercicios que siguen:
6.
De las equivalencias:
1 dam = ........... m
1dm
= ….............. m
1 hm
= ………….m
1cm
= ..…………..m
1 km
= .…………m
1mm
= ….……….. m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
195
MATEMÁTICA
7.
8.
Siguiendo el Ejemplo, no olvidar que la unidad indicada se refiere al orden
colocado inmediatamente antes de la coma decimal.
Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm
2,5 mm
= .....................................
802,7cm = ...................................
1,520 km = ....................................
7,28 dm = ....................................
0,85 m
= ....................................
Completar, observando el ejemplo:
a) Nueve metros y treinta centímetros = 9,30 m
b) Doce decímetros y doce milímetros = .............................................
c) Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = ...........................
d) Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = ..........................
9.
Complete el cuadro, observando los ejemplos:
Ejemplo:
m
a)
7 mm
a
b)
14,5 dm
b
c)
4,5 m
c
d)
20,1 cm
d
e)
0,2 m
e
f)
12,5 cm
f
g)
3m
g
h)
0,8 dm
h
dm
cm
mm
7
1
4
5
10. Responder:
a) ¿Cuál es mayor? ¿5cm ó 25 mm? .............................................
b) ¿Cuál es menor? ¿2dm ó 12 cm? ...............................................
c) ¿Cuántos dm hay en 1 metro? ....................................................
d) ¿Cuántos cm hay en 1 metro? ....................................................
e) ¿Cuántos mm hay en 1 metro? ...................................................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
196
MATEMÁTICA
11. Completar:
a) En 1 km hay ........................................ metros
b) En 1 hm hay ........................................ metros
c) En 1 dam hay ...................................... metros
d) En 3 m hay ...........................................decímetros
e) En 5 m hay ...........................................centímetros
f) En 10 m hay ........................................ milímetros
12. Completar:
6m = .................................. dm
23 dm = ......................... m
9,7m = …………………….. dm
80 dm = ………………… m
88,53 m = ……………….… dm
8,2 dm = ……...………… m
0,44 m = ………………….. dm
33,4 dm = ..……..…..….. m
13. Colocar convenientemente los símbolos en las siguientes conversiones:
a) 45,67 m = 456,7 ................
g) 289,05 km=28 905 .............……
b) 45,67 m = 4567 ……….….
h) 300,7 mm = 3,007 …..………….
c) 45,67 m = 45 670………….
i) 0,7 dam = 0,007 ………………….
d) 45,67 m = 4,567 ………….
j) 10 hm = 100 000 …………………
e) 45,67 m = 0,4567 ………...
l) 9,47 cm = 94,7 ............................
f) 45,67 m = 0,04567 ............
m) 4000 dm = 4 …………………….
14. Escribir en los puntos, los valores correspondientes:
a) 8 m = ........................ cm
g) 4 cm = ......…...........…..... dam
b) 17 m = ………………. mm
h) 38 cm = .….………….….. m
c) 9,5 m = ……………… cm
i) 680 cm = …………….…. m
d) 0,16 m = ………….… dm
j) 77,5 cm = ………………… hm
e) 0,007 m = ………….. km
l) 6,91 cm = ......................... dm
f) 2800 m = .................... cm
m) 0,25 cm = ……………….. mm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
197
MATEMÁTICA
15. Efectuar, haciendo la conversión de unidades conveniente:
80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m
4,8 dam – 1 000 mm + 85 cm = …………………………………… cm
27,6 m – 1,360 dam = …………………...………………………… m
Solucionario:
1. b) Dieciocho milímetros
c) 12 km
d) 9 hm
e) Treinta y cinco milímetros
f) 7 dm = siete decímetros
2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m
c) 19,53 dam
d) 9,5 m
e) 8 dm, 2 cm y 5 mm
3. b) 28 x 10 = 280 m
c) 3,4 x 10 = 34 m
e) 156 : 10 = 15,6 dam
f) 90 : 10 = 9 dam
4. b) 0,8 x 10 = 8 dam
c) 58 x 10 = 580 dam
d) 30 : 10 = 3 hm
e) 48 : 10 = 4,8 hm
f) 0,08 : 10 = 0,008 hm
5 b) 72 x 10 = 720 hm
c) 0,8 x 10 = 8 hm
d) 3,8 x 10 = 38 dm
c) 52 x 10 = 520 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
198
MATEMÁTICA
6. 1 dam = 10m
1 dm = 0,1 m
1 hm = 100 m
1 cm = 0,01 m
1 km = 1000 m
1 mm = 0,001 m
7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm
7,28 dm = 7dm y 28 mm
2,5 mm = 2 mm y 5 décimos de mm
1,520Km = 1 Km y 520 m
0,85 m = 85 cm
8. Doce decímetros y doce milímetros = 12,12 dm
Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = 48,7cm
Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = 32,8 mm
9.
m
........
4
..........
c
d
e
f
g
h
Cm
............
mm
..........
0
1
2
5
0
8
3
10.
a) 5 cm
11.
a)
1000 m
d)
30 dm
b)
100 m
e)
500 cm
c)
10 m
f)
10 000 mm
12.
b) 12 cm
0
dm
..........
5
2
2
1
6m = 60 dm
9,7 m = 97 dm
88,53 m = 885,3 dm
0,44 m = 4,4 dm
c) 10 dm
d) 100 cm
e) 1000 mm
23 dm = 2,3 m
80 dm = 8 m
8,2 dm = 0,82 m
33,4 dm = 3,34 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
199
MATEMÁTICA
13.
a) ………………. = 456,7 dm
g) ……………. = 29 905 dam
b) ………………. = 4567 cm
h) ……………. = 3,007 dm
c) ………………. = 45 670 mm
i) ………….…. = 0,007 km
d) ………………. = 4,567 dam
j) …………….. = 100 000 cm
e) ………………. = 0,4567 hm
l) …………….. = 94,7 mm
f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm
14.
15.
a) ……………….. = 800 cm
g) …………….. = 0,004 dam
b) ……………….. = 17 000 mm
h) …………….. = 0,38 m
c) ……………….. = 950 cm
i) ……………… = 6,80 m
d) ……………….. = 1,6 dm
j) ……………… = 0,00775 hm
e) ……………….. = 0,000 007 km
l) ……………… = 0,691 dm
f) ………………… = 280 000 cm
m) ……………. = 2,5 mm
0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m
4800 cm – 100 cm + 85 cm = 4785 cm
27,6 m – 13,6 m = 14 m
Observación:
Unidades que permiten medir a seres microscópicos o distancias
inapreciables por los seres humanos:
1 micra
<>
0,001 milímetros.
1 nanómetro
<>
0,000 001 milímetros.
1 angstron (A°) < >
0,000 000 1 milímetros.
Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia de
los planetas:
1 año luz
<>
9,461 mil millones de kilómetros.
(distancia que recorre la luz en un año)
1 unidad astronómica
<>
149 600 000 km de longitud.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
200
MATEMÁTICA
8.2.
SISTEMA INGLÉS.
Ahora se va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que además se emplea en las
especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la pulgada.
En la industria, las medidas de máquinas, herramientas, instrumentos e
instalaciones, se utiliza también otra unidad de medida, denominada PULGADA.
8.2.1.
PULGADA.
La pulgada se representa simbólicamente por dos comillas (“) colocadas a la
derecha y un poco encima de un número.
Dos pulgadas se abrevia
2”
Tres pulgadas se abrevia
3”
La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe
con atención:
La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en inglés significa
“pulgadas”.
1”
25,4 mm
8.2.2.
EQUIVALENCIAS DE PULGADAS.
Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milímetros y cuatro
décimos, aproximadamente.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
201
MATEMÁTICA
Además:
1pie = 1′ = 12″ pulgadas
1yarda = 3 pies = 3′ = 36″
1 pie = 0,3048 m
1pulgada = 1” = 25,4 mm
1 yarda = 0,9144 m
1 m = 3,28 pies
1 pie = 1′
Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas:
En NÚMEROS ENTEROS
Ej.: 1”; 2”; 17”
1″
En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.
Ej.:
1"
2'
;
3"
;
4
5"
8
3”
4
En NÚMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendrá, también, como
denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.
Ej:
2
1"
2'
; 1
3"
4
;
7
13"
64
1
3”
4
Se encuentran algunas veces pulgadas escritas en forma decimal.
Ej.:
1"
=0,5"
2
1"
=0,25"
4"
1"
= 0,125"
8
3"
= 0,75"
4"
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
202
MATEMÁTICA
Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que se observen las
divisiones de la regla:
1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto
cada división es 1/8” (un octavo de pulgada).
2. Cada pulgada fue además dividida en 16 partes iguales (la menor división es
1
1
); excepto una parte de 1” cuya menor división es
(de 1” a 32”)
16
32
Ver la medida de la longitud AB
La regla indica:
3. La pulgada está dividida en 8 partes iguales.
De A hasta B se tienen .......... partes iguales. .
Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y se están tomando 5
partes, luego:
La medida de A hasta B es ……
Observar finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que
siguen, comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.
Medida A = 2”
Medida D = 3
3"
4
Medida B = 1
Medida E =
5"
8
1"
16
Medida C = 2
Medida F =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
1"
2
13"
16
203
MATEMÁTICA
Ejercicio:
1"
2
Medida H =
7"
8
Medida I = 3
17"
32
Medida L =
15"
16
Medida M = 1
Medida G = 2
Medida J =
1"
4
7"
32
Efectuar las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:
8.2.3.
TRANSFORMACIÓN DE PULGADAS EN MILÍMETROS.
Para transformar pulgadas en milímetros, usted debe multiplicar el número
presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fácil llegar a esta conclusión:
1. Si 1” es igual a 25,4 mm
5” será igual a 5 veces 25,4 mm ¿Cierto?
5” = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm
3" 3
3x
2.
= x 25,4 =
= ………………………….. mm
4 4
4
3. 0,8” = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm
4. 1
3" 11
= x .......... ... = .......... .......... ..
8
8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
204
MATEMÁTICA
Observar los ejemplos del cuadro y complételo convenientemente.
Pulgada
Número x 25,4 mm
mm
1”
1 x 25,4 mm
25,4 mm
3”
3 x 25,4 mm
76,2 mm
5”
5 x 25,4 mm
.............
10”
10 x .................................
.............
1"
2
1 25,4 mm 25,4 mm
x
=
2
1
2
12,7mm
3"
4
3 25,4 mm
25,4
x
= 3x
mm
4
1
4
19,05
23 25,4 mm
25,4mm
= 23 x
x
8
1
8
..............
11"
x.......... = ..........
16
..............
2
7"
8
11"
16
Se verá ahora cómo se hace el problema inverso, esto es.
8.2.4.
TRANSFORMACIÓN DE MILÍMETROS A PULGADAS.
Para transformar milímetros en pulgadas, usted debe dividir el número presentado
en milímetros entre 25,4 y después multiplicar el resultado por 1” o fracción
equivalente, es decir:
2" 4" 8" 16" 32" 64" 128"
; ; ;
;
;
ó
2 4 8 16 32 64
128
Hacer esta multiplicación para obtener la fracción de pulgada.
Observar con atención los ejemplos y completar:
1.
Transformar 50,8 mm a pulgadas:
1"
25,4mm
→
50,8mm
x
→
50,8mm
25,4mm
=2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
205
MATEMÁTICA
2.1” = 2”
Rpta. = 50,8 mm = .......................
2.
Transformar 12,7 mm a pulgadas:
12,7mm
= 0,5
25,4mm
0,5 . 1” = 0,5” =
0,5 .
3.
1"
2
128" 64 64 1"
:
=
=
128 128 64 2
Rpta. = 12,7 mm = ...........................
Transformar 10 mm a pulgadas:
10 mm
= ....................
25,4 mm
....................... x 1” = .......................
ó ................................ x x
Rpta. = 10 mm =
128" 50"
≈
= _________
128 ......
25"
64
Resolver los ejercicios siguientes:
Transformar:
a)
21,2 mm a fracción irreductible de pulgada.
21,2 mm
= ................ x 1” = ............................
25,4 mm
ó
............... x
128"
= ...................
128
Rpta. = 21,2 mm = .............
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
206
MATEMÁTICA
b)
2 mm a fracción irreductible de pulgada:
Rpta. = 2mm = ....................
Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRÁCTICAS ver:
TRANSFORMAR MILÍMETROS A PULGADAS (NÚMERO DECIMAL).
En este caso, se tendrá que dividir el número de milímetros entre.........
Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por
1
, ¿De
25,4
acuerdo?
Como:
1
= 0,03937 , se puede escribir la primera regla práctica:
25,4
Para transformar milímetros a pulgadas representadas por
números
decimales,
.........................
se
multiplica
obteniéndose
el
los
milímetros
resultado
en
por
pulgadas
(decimales).
Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en número decimales.
10 x 0,03937 = 0,3937”
Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fracción decimal de pulgada.
Rpta. .......................
TRANSFORMAR MILÍMETROS A FRACCIÓN ORDINARIA DE PULGADA.
Ahora multiplicar por
1 128
128
= 5,04 se tiene la segunda regla
, pero como
x
25,4 128
25,4
práctica. Luego:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
207
MATEMÁTICA
Para transformar milímetros a fracción ordinaria de pulgada,
se multiplica los milímetros por 5,04 (numerador), y se coloca
el resultado sobre el denominador 128.
Observar el ejemplo con atención, que se entenderá mejor la segunda regla
práctica.
Ejemplo: Transformar 10 mm a fracción de pulgada:
10 x 5,04 50" 25"
=
=
128
128 64
Rpta. .....................
Resolver ahora aplicando la regla práctica.
1.
Transformar 21,2 mm a fracción ordinaria de pulgada
21,2 x 5,04
=
128
2.
=
107"
128
Transformar 2 mm a fracción de pulgada:
Rpta. ...................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
208
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una
carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. ¿Cuántos
hectómetros de carretera se han asfaltado en los tres meses?
km
3
hm
0
3
1
dam
m
0
4
3
8
dm
4
Es decir, 34,82 hm
2. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de
madera de 5 m 6dm?
hm
0,
dam
0
M
5
dm
0
6
cm
0
0
Es decir, 560 cm, luego el número de varillas =
560 cm
= 20
28 cm
3. Una lámina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales.
¿Cuál es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del
material?
Para obtener 12 partes se deberá hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde
0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perderá:
0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm.
Entonces quedará: 29,343 cm – 1,023 cm = 28,32 cm
Por lo tanto, la longitud de cada parte será:
28,32 cm
= 2,36 cm
12
4. ¿Cuántos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas medidas
son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho?
Largo 20 cm = 200 mm
Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
209
MATEMÁTICA
Área de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2
Área del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2
2
Por lo tanto, el número de cuadraditos será = 20 000 mm = 800
25 mm2
5. El perímetro de un rectángulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, ¿Cuánto
mide el largo del rectángulo, expresar la respuesta en dm?
Perímetro del rectángulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm
Como el ancho mide 250 mm, el largo medirá:
750 mm – 250 mm = 500 mm.
6. Convertir a fracción de pulgada 92,075 mm.
Aplicando la regla de conversión: 92,075 ×
5,04 464 29
5
=
〈 〉 〈 〉 3 pulgadas.
128 128
8
8
7. Una cinta metálica esta graduada en pies, pero en forma errónea, de tal manera
que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. ¿Cuál
es la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies?
Si
6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg
15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg
18 pies = 18 x 12 pulg =
216 pulg
Aplicando regla de tres simple directa, se tendrá:
180 pulg _________ 216 pulg
75 pulg _________ x
Luego: x = 90 pulg
3
8. A qué es equivalente 7 pulgadas en metros.
4
3
3
7 = 7 + = 7 + 0,75 = 7,75 pu lg , que convertidos a mm dará:
4
4
7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
210
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD
1. Convertir en cm:
0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm;
0,68 dm
2. Convertir en dm:
3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm
3. Convertir en mm:
2,84 dm;
6,82 m ; 5,8 dm;
0,3 m;
6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm
4. Convertir en m:
2,84 dm ; 7621 cm
; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm
5. Sumar en mm:
3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm
6. Sumar en cm:
3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm
7. Restar en m:
86, 4m – 8,2 cm – 3,45 cm – 0,87 dm – 0,0034m – 0,082 dm
8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. ¿Qué
longitud tiene la pieza restante (en m)?
9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope
entre sí. Calcule la longitud del tubo soldado en cm.
10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de diámetros
respectivos es de 318,5 mm. ¿Qué distancia existe entre las perforaciones?
11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres
distancias iguales ¿Qué longitud tienen los espacios?
12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a igual
distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
211
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.
1. Efectuar y expresar en metros la respuesta: 1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm
A) 52,554 m
B) 16,554 m
C) 46,56 m
D) 26,45 m
E) 12,954 m
2. Efectuar y expresar en milímetros la respuesta:
0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m – 240 mm
A) 367 mm
B) 20,5 mm
C) 2040 mm
D) 205 mm
E) 248 mm
3. ¿Cuántas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrán obtener de una varilla de
5m 6 dm?
A) 36
B) 18
C) 20
D) 40
E) 48
4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, ¿Qué longitud
queda?
A) 7,8 m
B) 0,078 8 m
C) 780 dm
D) 780 mm
E) 78,8 dm
5. Cierta persona compró 123,45 dam de cable eléctrico, de los cuales vende
0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. ¿Cuánto le queda?
A) 116,5 dam
B) 1184,04 m
C) 11,84 dm
D) 1184 cm
E) 116,52 m
6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, ¿Cuál será la suma de las
medidas de todas sus aristas?
A) 31,2 dm
B) 20,8 dm
C) 41,6 dm
D) 42,7 dm
E) 62,4 dm
7. El perímetro de un hexágono regular mide 450 cm, ¿Cuánto mide cada lado?
A) 0,75 cm
B) 0,007 5 m
C) 0,075 m
D) 75 dm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 0,75 m
212
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A
1. Calcular en centésimas de hectómetro:
a) 660,33m
b) 660,33cm
200” + 205,25m + 0,45km
c) 660,033mm
d) 606,30m
e) 660,33hm
2. De una pieza de madera de 10yd 7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm cada
una. ¿Qué longitud falta para completar un trozo más, si en cada corte se pierde
1cm?
a) 5,02cm
b) 2,6cm
c) 28,98cm
d) 29,98cm e) 310,2cm
3. Del gráfico hallar: a+b+c+d.
a) 123 mm
b) 20,23 mm
c) 19,8 mm
d) 10,2 mm
e) 310,2 mm
4. Reducir a milésimas de dam:
a) 12,620m
5. Si:
b) 122,175cm
12dam 6cm 20dm 11,5cm
c) 12217,5cm
d) 12217,5mm e) 122,75cm
A= 45,8cm – 0,0428m;
B= 0,82dm + 14,3cm.
C= 2(A – B)/3.
Hallar el exceso de A sobre C.
a) 28,84cm b) 10,2cm
c) 2,16cm
d) 24,12cm e) 48,24c
6. Hallar el perímetro de la figura:
a) 158,342mm
b) 159,524mm
c) 162,412mm
d) 222,25mm
e) 222,5mm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
213
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B
1. ¿A cuántos centímetros equivale 3
1"
?
4
a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm
d) 6,72cm
e) 9,28Cm
2. El equivalente de 127mm a pulgadas es:
a) 4”
b) 5” c) 6” d) 8” e) 3”
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones.
I.
II.
III.
IV.
13,56dm < > 1m 35cm 6mm
31,67m < > 3Dm 16dm 7cm
5,608Hm < > 56Dm 8m
2,24dm < > 0,2m 24cm
a) VVFF b) VVFV c) VVVF
d) VVVV e) FVVF
4. ¿Cuántas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de
14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que
sobre material?
a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87
5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm – 0,025m – 4,269dm
a) 2,048dm
b) 10,2dm
c) 0,25dm
d) 0,553dm e) 1,248dm
6. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de ésta ha
disminuido en 124cm. ¿Cuál era la longitud de la varilla en centímetros?
a) 140
b) 120
c) 160
d) 144
e) 158
7. ¿Cuántos centésimos de milímetro están contenidos en dos décimos de metro?
a) 200
b) 2 000
c) 20 000
d) 200 000
e) 20
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
214
MATEMÁTICA
8. Al dividir un listón de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo
menor mida los ¾ de la longitud del mayor. Dar la medida, en centímetros, del
trozo mayor.
a) 36,57
b) 36,576
c) 36, 574
d) 36, 5
e) 43
9. Hallar el perímetro de la figura en fracción de pulgadas. π = 3,14
a)
53
128
"
0,24 mm
0,24 mm
"
53
b)
32
"
1
c)
8
"
25
d)
128
2,34 mm
21
e)
32
"
2,34 mm
10. Convertir 2,04mm a fracción ordinaria de pulgada.
a)
1
8
"
b)
1
16
"
c)
7
64
"
d)
5
64
"
e)
3
8
"
11. Hallar el perímetro de la región sombreada. Si R = 2,4 mm π = 3,14
a) 31/64”
b) 25/64”
c) 29/32”
d) 43/64”
e) 19/32”
R
r
r
12. Hallar la longitud del contorno de la figura.
a) 370,44mm.
b) 342,32mm.
c) 387,35mm.
d) 328,52mm.
e) 387,24mm.
3
1
8
″
4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
1
2
″
215
MATEMÁTICA
13. Hallar el radio de la circunferencia:
a) 1/32”
b) 19/128”
c) 7/16”
d) 11/64”
e) 7/32”
14. 98 006 dm se puede expresar como:
a) 9 Km 7 Hm 6dm
b) 8 Km 8 Hm 8dm
c) 8 Km 7 Hm 8dm
d) 9 Km 8 Hm 6dm
e) 9 Km 6 Hm 6dm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
216
MATEMÁTICA
UNIDAD 09
MEDIDAS DE TIEMPO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
217
MATEMÁTICA
9.1.
MEDIDA DE TIEMPO.
En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de
agua o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta
principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos del siglo
XIX aparece ya hasta el segundo.
¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad que,
en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el
sonido recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la Tierra, en este
intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300
kilómetros.
En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro del
tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller, para la
investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc. En
Informática hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de exposición; en
el deporte, tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en religión, tiempo
litúrgico; en lingüística, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal
como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse.
Unidad Fundamental.
Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad
fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO.
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
Es la duración de 9 192 631 770 períodos de
Tiempo
segundo
s
la radiación correspondiente a la transición
entre los dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del átomo de cesio 133.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
218
MATEMÁTICA
9.2.
MULTIPLOS DEL SEGUNDO.
Se tiene al MINUTO y a la HORA.
El instrumento para medir el tiempo se llama .......................................
El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora
local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda lo
siguiente:
1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras arábigas (0; 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los siguientes símbolos:
h
hora
min
minuto
s
segundo
2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores numéricos
de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los símbolos de
estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden:
Primero: HORA
Ejemplo: 08 h 23 min 43 s
Segundo: MINUTO
;
y
Tercero: SEGUNDO
18 h 54 min 27 s
3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y
minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo.
Ejemplo: 05 h 11 min 20 s
⇒
05 h 11 min 20
00 h 39 min 08 s
⇒
00 h 39 min 08
23 h 42 min
⇒
23 h 42
15 h
⇒
15 h
4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente.
Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes.
5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el
modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
219
MATEMÁTICA
Ejemplo:
Denominación recomendada
Denominación antigua
08 horas
8 a.m.
15 h 30 min ó 15:30 h
15:30 p.m. ó 3 p.m.
12 h
12 m
23 h 42 ó 23:42 h
11:30 p.m.
24 h
12 p.m.
6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se
recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no del
nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos técnicos.
Ejemplo:
Correcto
Incorrecto
47 s
cuarenta y siete s
27 min
veintisiete min
RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA
NUMÉRICA
a) En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas, es
decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
b) Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en bloque.
Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos cifras.
Ejemplo:
2007
ó
07
1998
ó
98
Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para expresar
el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la fecha completa,
se respetará el orden siguiente:
Primero: AÑO
Segundo: MES
y
Tercero: DÍA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
220
MATEMÁTICA
Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se puede
usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión.
Ejemplo:
2005-03-17
ó
2005 03 17
98-09-23
ó
98 09 23
c) Ejemplos de escritura de fechas numéricas:
Correcto
Incorrecto
20 de marzo del 2007
2007-03-20
20-3-2007
25 de diciembre de 1998
1998-12-25
25 / 12 / 98
28 de julio de 1821
1821-07-28
28 / VII / 1821
30 de abril de 2007
2007-04-30
2,007-04-30
15 octubre de 2003
2003-10-15
15 de octubre de 2003
9.3.
EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO.
El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en:
Milenio
Siglo
Década
Lustro
Año
<>
<>
<>
<>
<>
1000 años.
100 años.
10 años.
5 años.
12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos.
(una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días)
Semestre
Trimestre
Bimestre
Mes
<>
<>
<>
<>
6 meses.
3 meses.
2 meses.
30 días (abril, junio, septiembre y noviembre).
31días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y
diciembre).
Quincena
Día
Hora
Minuto
<>
<>
<>
<>
15 días.
24 h < >
1440 min
<>
60 min
<>
3600 s
60 segundos
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
86 400 s
221
MATEMÁTICA
9.4.
OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO.
ADICIÓN.
Operar:
07 h 45 min +
07 h 15 min +
02 h 14 min
04 h 50 min
09 h 59 min
11 h 65 min < > 12 h 05 min
Ahora sumar:
5d 08h 20 min + 12 h 48 min
Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min
Ahora sumar:
23d 18 h 20 min +
36 h 48 min
El resultado será:
……………………..
SUSTRACCIÓN.
Operar:
16 h 50 min -
18 h 30 min - < > 17 h 90 min -
12 h 30 min
17 h 45 min
04 h 20 min
00 h 45 min
17 h 45 min
Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de
“pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1 h.
Observación:
05 h 30 min es diferente de 5,30 h
Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
222
MATEMÁTICA
MULTIPLICACIÓN.
Operar: 06 h 14 min 29 s ×
_____________5__
30 h 70 min 145 s < > 31 h 12 min 25 s
03 h 12 min 25 s ×
______
18__
54 h 216 min 450 s < > 57 h 43 min 30 s
Ahora multiplicar:
5d 08h 20min 24s × 12
el resultado es: ........................................................
DIVISIÓN.
Operar:
Dividir:
57 h
43 min
30 s
18
54 h
180 min
420 s
03h 12min 25 s
03 h ×
60
180
223 min
18
43
36
7×
60
420
450 s
36
90
00
28d 09h 35min ÷ 7
Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s
Dividir:
4d 13h 30min 20s ÷ 5
El resultado es: .................................................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
223
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min
2. De 17 h restar 12 h 30 min
3. Utilizar los símbolos de acuerdo al ejemplo:
Ejemplo:
Diez horas y cincuenta y cinco minutos
⇒ 10 h 55 min
a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos
⇒
b) Dieciocho horas y cinco minutos
⇒
c) Trece horas y media
⇒
d) Doce horas y media
⇒
4. Escribir conforme al ejemplo:
Ejemplo:
07 h 15 min ⇒ siete horas y quince minutos.
a) 05 h 45 min
⇒
b) 18 h 30 min
⇒
5. Indicar los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo:
Ejemplo:
08 h
⇒ 480 min ⇒ 28 800 s
a) 05 h 30 min
⇒ 330 min ⇒
b) 04 h 10 min
⇒
⇒
c) 02 h 50 min
⇒
⇒
d) 09 h 15 min
⇒
⇒
6. Desarrollar:
a) 05 h 40 min + 03 h 35 min
⇒
b) 03h 35 min + 02 h 40 min
⇒
c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min ⇒
d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
⇒
224
MATEMÁTICA
e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min
⇒
f) 55 h 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s
⇒
7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h
min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.
30
8. Realizar las siguientes sustracciones:
a) 18 h 30 min – 13 h 15 min
⇒
b) 12 h 45 min – 07 h 30 min
⇒
c) 04 h 15 min – 30 min
⇒
d) 03 h 20 min – 50 min
⇒
e) 12 h – 07 h 30 min
⇒
9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 07 h 15 min. Un trabajador pudo
hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y desde las 12 h
45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el tiempo empleado y
el tiempo previsto.
10. Completar el cuadro:
01 min
……………… s
01h
……………… s
01h
……………… min
1d
..................... h
1 semana
..................... d
1 año
..................... d
1 década
..................... años
11. Colocar el signo igual (=) o diferente (≠)
a) 07 h 45 min .................. 07,45 h
b) 07, 45 h
………..…. 07 h 27 min
c) 12,30 h
……………. 12 h 18 min
d) 12 h 30 min ……………. 12,30 h
e) 17,15 h
……………. 17 h 15 min
f) 17 h 15 min ……………. 17,25 h
12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el
total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en días y horas (1 día laborable
es 8 horas)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
225
MATEMÁTICA
13. Una pieza fue fabricada en 4 períodos iguales. Si cada período fue de 06 h 50
min, ¿Cuál es el tiempo empleado en la pieza?
14. Un instalador hidráulico trabaja desde las 07 h hasta las 11 h 30 min, y desde
las 13 h hasta las 15 h. Después de 6 días de trabajo. ¿Cuánto debe recibir, si
por hora cobra S/. 6?
15. Calcular los 3/5 de 2 d 05 h 20 min
16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha
trabajado la tercera parte de este período, ¿Qué tiempo ha trabajado el segundo
obrero? (Trabajan 8 horas diarias)
17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demoró 15 d 6 h 30 min. ¿Qué
tiempo emplearán en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?
Muy Importante:
Sería necesario memorizar las equivalencias de los múltiplos del tiempo, según
esto, numerar la segunda columna de acuerdo a la primera:
(1) 1 año
( ) 30 minutos
(2) media hora
( ) 100 años
(3) 3 minutos
( ) 3 meses
(4) 1 siglo
( ) 180 segundos
(5) 1 bimestre
( ) 365 días
(6) 1 trimestre
Escribir los meses que tienen 31 días:
Escribir (V) ó (F), si es verdadero o falso:
Febrero tiene 31 días
( )
Un trimestre tiene 3 años
( )
Un día tiene 24 horas
( )
Una hora tiene 3600 segundos ( )
Un día tiene 1440 segundos
( )
Una semana tiene156 horas
( )
Un año tiene 4 trimestres
( )
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
226
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual
al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?
⎧horas transcurridas x
Día = 24 h ⎨
⎩horas que faltan transcurrir 24 − x
3
(24 − x ) = x ⇒ 72 − 3x = 5 x ⇒ x = 9
5
Luego:
∴ Es las 9 de la mañana
2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte de
este periodo. ¿Qué tiempo trabaja Palmira?
15d
−
16h
1h
30 min
3
5d 5h 30 min
× 60mi → 90 min
−
∴ Palmira trabaja 5d 5 h 30 min
3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40
min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo?
2h 40 min = 160 min
120 km = 120 000 m
∴ Recorre por minuto =
120 000 m
= 750 m / min
160 min
4. ¿A qué es igual 121 207 segundos?
121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto
2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto
33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto
∴ 9 h 40 min 7 s
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
227
MATEMÁTICA
5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son:
Pedro:
15 años 5 meses 6 días, Marisol:
Roberto:
4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades?
15 años
5 meses
6 días
7 años
4 meses
8 días
4 años
7 años 4 meses 8 días
18 días
∴ 26 años
9 meses
32 días = 26 años 10 meses 2 días
6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto
necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo?
3h
16 min
18 s x 8 =
24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 )
∴ 1 d 2 h 10 min 24 s
7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35 min.
¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h?
25 d
4h
350 d 56 h
35 min x 14 =
490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)
∴ 358 d 10 min
8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, después de 6 d de trabajo se
retiran 2 de ellos. ¿Con qué atraso se entregará la obra?
6 obr
6 obr
4 obr
15 d 6 h
9 d 6 h = 78h (como trascurren 6 d)
x
x=
6 obr × 78 h
= 117 h 〈 〉 14 d 5 h
4 obr
∴ 14 d 5 h – 9 d 6 h = 4 d 7 h
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
228
MATEMÁTICA
9. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36 años
8 meses y 20 días de edad?
1986 años 9 meses
∴
15 d +
36 años 8 meses
20 d
2022 años 17 meses
35 d
=
2023 años 6 meses 5 d
10. Una obra está programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este
empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si
prosigue su labor a las 15 h 17 min, ¿A qué hora deberá acabar su trabajo?
15 h
17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio
Hora de inicio
8h
20 min +
Duración del trabajo
12 h
18 min
Refrigerio
37 min
∴
20 h
75 min
= 21 h 15 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
229
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1) Convertir en:
a) horas: 312min; 6374 s;
3,2min;
6800min; 22850 s;
415min
b) minutos: 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h
c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h
d) decimales: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s
e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h
f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s
2) Convertir en:
a) grados: 240' ;35' ; 4200”; 31,2' ; 0,68' ; 0,42” ; 425'
b) minutos: 360” ;38° ;4600” ; 38,6° ; 0,64° ; 172” ; 86”
c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2” ; 0,45° ; 0,012°; 15°
d) decimales: 6°4' ; 2°8”; 126°27'42” ; 3638'°18” ; 42° 12' 48”
e) ° , ' , “ : 14,38° ; 6,3° ; 12,7° ; 0.38° ; 18,75°
f) sumar: 14°46'+181°34”+37°8' + 9° 12' 32”
3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo
a decimales.
4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo
para una pieza de trabajo.
5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. ¿Cuánto tiempo fue
necesario para dar una vuelta?
6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un angulo de 14° 12' 56”. Para el
ajuste se requiere el ángulo en decimales.
7) La suma de los dos ángulos de un triangulo es de 139° 37' 4”. Calcular el tercer
ángulo.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
230
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS – NIVEL II.
1. Me desperté a las 7 h 32 min 14 s e ingresé a Estudios Generales 12 432
segundos después. ¿A qué hora ingresé a estudiar?
A) 9 h 59 min 27s
B) 7 h 32 min 43 s
C) 3 h 29 min 50 s
D) 10 h 59 min 26s
E) 13 h 2 min 59 s
2. Cada día de lunes a viernes, gané S/. 6 más de lo que gané el día anterior.
Si el viernes gané el quíntuple de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el
jueves?
A) 30
B) 25
C) 28D) 27
E) 24
3. La bajada de una montaña se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo
empleado en la subida. Si una persona bajó desde la cúspide en 1 h 56 min
y subió a razón de 50 m cada 5 min, ¿Calcular la altura de la montaña?
A) 860 m
B) 1160 m
C) 1450 m
D) 950 m
E) 1830 m
4. Un elástico al ser estirado 3 cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 30 s.
Si se estira 3 mm, ¿Cuánto tiempo después volverá a su estado primitivo?
A) 30 s
B) 3 s
C) 0,3 s
D) 5 s
E) 4 s
5. Desde las 24 horas hasta este momento han transcurrido 84 352 s, ¿Qué
hora es?
A) 23 h 25m 51 s
B) 23 h 25min 52 s
C) 24h 25 min 52 s
D) 22 h 32 min 25 s
E) 21 h 23 min 35 s
6. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero.
Si asfaltan una cuadra en 4 días, ¿En qué fecha se acaba la obra, si la
avenida tiene 43 cuadras?
A) 05-26
B) 06-24
C) 07-26
D) 04-26
E) 07-25
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
231
MATEMÁTICA
7. Expresar en días, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s
A) 114 d 22 h 07 min
B) 360 d 22 h 07 min
C) 360 d 22 h 07 min 05 s
D) 866 d 20 h 07 min 05 s
E) 368 d 22 h 07 min
8. Si a la mitad de los días transcurridos en el año, se le agrega 1/3 de los que
falta para acabarse, se obtiene el número de días transcurridos. ¿En qué
fecha estamos?. Considerar año no bisiesto.
A) 05-25
B) 05-26
C) 05-27
D) 04-26
E) 04-27
9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos laboró 25 d 04 h
35 min. Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar
1 d: 08 horas de trabajo.
A) 357 d 05 h
B) 358 d 40 min
C) 358 d 10 min
D) 357 d 49 min
E) 358 d 06 h
10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20
h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, ¿Cuánto
tiempo de ventaja le lleva el tornero al aprendiz?
A) 3 d 02 h 15 min
B) 5 d 01h 40 min
C) 3 d 04 h 40 min
D) 4 d 02 h 50 min
E) 5 d 01 h 50 min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
232
MATEMÁTICA
11. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2 m2 en
05 h 30 min. Si el barco tiene una superficie total de
347 760 m2, ¿En
cuánto tiempo estará listo el barco?
A) 11 meses 2 d 01 h 30 min
B) 11 meses 15 d 03 h 25 min
C) 11 meses 04 d 15 min
D) 10 meses 3 d 02 h 10 min
E) 11 meses 28 d 10 h 15 min
12. Un caño llena un depósito en dos horas, y estando lleno el desagüe lo vacía
en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abre el caño y
el desagüe al mismo tiempo?
A) 02 h
B) 03 h
C) 04 h
D) 05 h
E) 06 h
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
233
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III
Medida de tiempo
1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ;
lo que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar un
segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos después que el primero, para que
alcance a éste en una estación situada a 156Km. Del punto de partida?
a) 60 km/h
b) 30 km/h
c) 40 km/h d) 50 km/h e) 69,85 km/h
2. Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero cada
noche baja 600 mm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared que mide
10m de altura?
a) 22 días
b) 23 días
c) 24 días
d) 25 días
e) 26 días
3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar las 12,
en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la última campanada.
¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si además el reloj tarda 6 segundos en
dar las 6?
a) 10 seg
b) 12 seg
c) 13 seg
d) 13,2 seg e) 15 seg
4. ¿A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarán en direcciones
opuestas?
a) 2h 43min 38s
d) 2h 43min 28s
b) 2h 23min 38s
e) 2h 43min 18s
5. ¿Qué tiempo tardará un auto en recorrer
60 Km/h?
a)2,69h
b)2h 42min 30s c)2,72h
c) 2h 33min 38s
1626 Hm con una velocidad de
d)2h 44min 36s
e)2h 42min 36s
6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio
¿Cuánto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio?
a)18min
b)36min
c)15min
d)27min
e)24min
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
234
MATEMÁTICA
7. Rosa, Chabela, Margarita demoran 15 minutos en limpiar ½, 1/3y 1/4 de su
casa respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa ¿En qué
tiempo lo harían?
a) 12/13 min
b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min
e)13 11/13 min
8. Un ladrón arrebata una cartera a una señora escapándose con una
velocidad de 8 m/s y la señora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrón
ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un policía ¿Qué tiempo demoró la
fuga del ladrón?
a) 32s
b)15s
c)24s
d)18s
e)30s
9. En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantalón y
3 camisas, o dos pantalones y una camisa ¿En
cuánto
tiempo
puede confeccionar un pantalón y una camisa?
a) 3h
b) 3h 30min
c) 4h
d) 4h 30min
e) 5h
10. A cuánto equivale 3,5 trimestres:
a) 3m
b) 2m 1d
c) 40d
d) 10m 15d
e) 6m 2d
11. Un padre tiene 30 años y su hija 3 ¿Dentro de cuántos años la edad de
padre será el cuádruple de la edad de su hija?
a) 15años
b) 3años
c) 5años
d) 6años
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
e)10años
235
MATEMÁTICA
UNIDAD 10
RAZONES Y PROPORCIONES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
236
MATEMÁTICA
10.1.
RAZÓN.
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud
mediante las operaciones de sustracción o división.
10.2.
¾
TIPOS DE RAZONES.
RAZÓN ARITMÉTICA.
Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y
consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.
a–b= r
∴
a menos b
∴
∴
el exceso de a sobre b
a excede a b
Ejemplo:
Las velocidades de dos autos son Va = 30 m/s y Vb = 24 m/s.
Razón aritmética
Valor de
la razón
Va – Vb =
30 m/s – 24 m/s =
↑
↑
Antecedente Consecuente
6 m/s
∴ La velocidad del auto “a” excede en 6 m/s a la velocidad del auto “b”.
∴ El exceso de Va sobre Vb es 6 m/s.
∴ La velocidad de Va excede a Vb en 6 m/s.
APLICACIONES:
1.
Hallar la razón aritmética de:
a) Las edades de Adán y Eva que son de 20 años y 11 años.
Rpta.
9 años.
b) Los precios de dos artículos son S/. 1,40 y S/. 3,60.
Rpta.
S/. 2,20
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
237
MATEMÁTICA
2.
La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20º C, si la
menor temperatura marca 50º C, ¿cuál es la mayor temperatura?
Rpta. 70ºC
3.
La edad del padre excede en 24 años a la edad del hijo, y éste tiene 40 años.
Hallar la edad del hijo.
Rpta. 16 años.
4.
La razón aritmética de dos números es 15, si el menor es 30. Hallar el
número mayor.
Rpta. 45.
¾
RAZÓN GEOMÉTRICA.
Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente.
∴
∴
∴
a k
b
Razón de a sobre b
a es a b
a entre b
Ejemplo:
Las edades de dos personas son 48 años y 36 años respectivamente
Razón geométrica
Antecedente →
Consecuente→
a
b
= 48 años = 4
36 años
3
valor de la razón
APLICACIONES:
1.
La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de 7 a 3. Hallar
el mayor número.
Rpta. 490.
2.
Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están
sus edades?
Rpta. 5 / 3.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
238
MATEMÁTICA
3.
De dos números, cuya razón aritmética es 19, y su suma es 35. Hallar la
razón geométrica.
Rpta.
27/ 8.
4.
La razón aritmética de dos números es 26, y la razón geométrica
es 3. Hallar el menor número.
Rpta.
13.
10.3.
PROPORCIÓN.
Es el resultado de comparar dos razones.
DIFERENCIA:
a–b = c–d =
r
COCIENTE:
a=c=k
b d
⇒
También se expresa como:
⇒ PROPORCIÓN ARITMÉTICA
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
“a” es a “b” como “c” es a “d”
a : b :: c : d
a y d se llaman EXTREMOS.
Para ambos casos,
b y c se llaman MEDIOS.
10.4.
CLASES DE PROPORCIONES.
¾
PROPORCIÓN ARITMÉTICA (P.A.) (Equidiferencia).
A)
PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA.
• Los cuatro términos de la proporción son diferentes: a ≠ b ≠ c ≠ d.
• El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA DIFERENCIAL.
Términos
⇒
1º
2º
a – b
=
3º
4º
c – d
= r
medios
⇒
a , c :
b , d :
extremos
antecedentes
consecuentes
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
∧
239
MATEMÁTICA
PROPIEDAD BÁSICA:
B)
suma de extremos
=
suma de medios
a
=
b
+
d
+
c
PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA.
• Los términos medios son iguales.
• El 3º término (c) de la proporción se llama: TERCERA DIFERENCIAL.
• MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMÉTICA ⇒ b =
a+c
2
Términos
⇒
1º
a –
2º
b
=
2º
3º
b – c
=
¾
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) (Equicociente).
A)
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA.
• Los cuatro términos son diferentes:
a ≠ b ≠ c ≠ d
r
• El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA PROPORCIONAL
Términos
⇒
1º
Antecedentes
Consecuentes
⇒
a
b
Términos
⇒
2º
3º
=
c
d
=
Medios
Extremos
4º
PROPIEDAD BÁSICA:
Producto de extremos
a. d
B)
=
Producto de medios
=
b.c
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA.
• Los términos medios de la proporción son iguales.
• El 3º término (c) de la proporción se llama:
TERCERA PROPORCIONAL.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
240
MATEMÁTICA
1º
⇒
antecedentes
consecuentes
2º
a
b
=
b
c
2º
=
k
3º
• MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA⇒
10.5.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.
a = k
b
a1
b1
b =
____
√ a. c
∧
c= k ⇒
d
a= c =k
b d
1º
a + b = c + d = k + 1;
b
d
2º
a+b = c+d = k+1
a–b
c–d
k–1
3º
a + c = k;
a+b
4º
a
a ±b
5º
6º
=
a–b = c–d = k–1
b
d
c–d
b–d
= k
c
c±d
=
k
k±1
a 2 + b2 =
a 2 – b2
c2 + d2
c2 – d2
=
k2
axc =
bxd
(a + c)2
(b + d)2
=
k2
a2
b2
=
=
a3
b3
=
a4
b4
= ….. = a(n – 1) = an = k
…..
b(n – 1)
bn
7º
a1 + a2 + a3 + a4 + ….. + a(n – 1) + an
b1 + b2 + b3 + b4 + ….. + b(n – 1) + bn
=
k
8º
a1 x a2 x a3 x a4 x ….. x a(n – 1) x an
b1 x b2 x b3 x b4 x ….. x b(n – 1) x bn
=
kn
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
241
MATEMÁTICA
10.6.
ESCALAS GRÁFICAS.
La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud en
tamaño real.
La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las
veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.
ESCALA
=
Longitud en el plano
Longitud del tamaño real
Tamaño real = 4,50 m
Tamaño en el plano = 0,09 m
Tamaño en el plano
Tamaño real
Escala:
=
0,09 m
4,50 m
1 : 50
REPRESENTACIÓN.
1 :100 →“indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real”
1/100→“indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real”
1 → “indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real”
100
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
242
MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1.
1
750
¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo,
si el dibujo se hace a una escala de 1:750?
=
⇒
X
45 m
X = 45 m
750
= 0,06 m
=
6 cm
Rpta. 6 cm
2.
En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio
son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones
reales del dormitorio?
Rpta. 1,5 m.; 2,0 m.
3.
a distancia gráfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500
es 20 cm. Hallar la distancia gráfica en otro plano a Escala 1 : 10 000.
Rpta.
5 cm
4.
Completar el siguiente cuadro y hallar X, Y, Z, W, P, Q y R, en las unidades
medidas:
Nº
ESCALAS
DISTANCIA
GRÁFICA
DISTANCIA
REAL
1
2
3
4
5
6
7
1 : 20
1 : 25
1 : 50
1 : 75
1 : 100
1 : 150
1 : 200
X mm
5 ½ cm
5 ¼ cm
W mm
6,5 m
4 cm
R mm
2,40 m
Ym
Z cm
0,02 km
P cm
Q km
0,54 m
Solución de la aplicación, completando el cuadro:
Nº
ESCALAS
DISTANCIA
GRÁFICA
DISTANCIA
REAL
1
2
3
4
5
6
7
1 : 20
1 : 25
1 : 50
1 : 75
1 : 100
1 : 150
1 : 200
120 mm
5 ½ cm
5 ¼ cm
3 750 mm
6,5 m
4 cm
27 mm
2,40 m
1 3/8 m
262,5 cm
0,020 km
65 000 cm
0,006 km
0,54 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
243
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.
La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a
33. ¿Cuáles son estos números?
A) 20; 13
2.
B) 18; 15
D) Igual Antonio y Pepe
B) 216
C) 208
D) 360
E) 192
B) 30 l
C) 80 l
D) 40 l
E) 100 l
¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de
largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ?
A) 2 cm
6.
C) Antonio
Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino
respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al
segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estén en la
relación de 2 a 3?
A) 68 l
5.
E) 16; 13
Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya
diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por
metro es de S/. 8.
A) 352
4.
D) 30; 3
En un concurso de tiro, Antonio acertó 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre
90 tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. ¿Quién logró mayor razón de tiros
acertados?
A) Pepe
B) Ricardo
E)Faltan datos.
3.
C) 16; 17
B) 3 cm
C) 4 cm
D) 5 cm
E) 100 cm
Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se
desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura?
A) 80 cm
B) 40 cm
C) 200 cm
D) 60 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 100 cm
244
MATEMÁTICA
7.
Sí:
A
2
=
A) 12
8.
=
B) 18
C
7
y
(A + B) = 30. ¿Cuánto vale “C”?
C) 21
D) 30
E) 42
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma
relación que los números 11; 5 y 144. Hallar el mayor dichos números.
A) 15
9.
B
8
B) 48
C) 60
D) 52
E) 24
El producto de los antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y
el producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. ¿Cuál es la suma
de los consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21?
A) 42
B) 90
C) 91
D) 32
E) 62
10. Un empelado ahorra S/. 5 940 por día; si lo que cobra y lo que gasta
diariamente está en la relación de 13 a 7. Determinar en cuántos soles debe
disminuir sus gastos diarios para que la relación entre lo que cobra y lo que
gasta sea de 9 a 2.
A) S/. 2 035 B) S/. 4 070 C) S/. 5 040 D) S/. 4 505 E) S/. 6 015
SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
1.
Sean A y B los números
A
B
=
6k
5k
A=6k
B= 5 k
A + B = 33
⇒
6k + 5k= 33
K=3 ⇒
A = 18
B = 15
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
Rpta. B
245
MATEMÁTICA
2.
3.
A : Antonio;
P : Pepe;
R : Ricardo
A =
P = 70 = 7
90
9
R = 48 = 4
60
5
50 = 2
75
3
MCM (3; 9; 5) = 45
⇒
A = 30
45
P = 35
45
Rpta. B
A + B = 72 m
Sumando ambas ecuaciones:
A – B =18 m
Precio = 45 m x S/. 8 / m ⇒ Precio= S/. 360 Rpta. D
400 – X = 2 ⇒
500 + X
3
5.
Escala =
45 m
X = 40 l Rpta. D
⇒
X
4 320 cm
H = altura real del objeto;
1
30
= 40 cm
H
1
20
= X
H
X = 6 cm
Rpta. E
X = tamaño del objeto en el dibujo
Dividiendo ambas proporciones:
X=60 cm
A = B = C
2
8
7
Propiedad:
A =
Longitud en el plano
Longitud de tamaño real
1 cm =
720 cm
7.
R = 36
45
Sean A y B las dos partes de la tela
4.
6.
homogenizando los denominadores:
Rpta. D
= k
A+B+C = C
2+8+7
7
30 + C
17
= C
7
⇐
(A + B) =
⇒
C = 21
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
30
dato
Rpta. C
246
MATEMÁTICA
8.
A +B = A–B = AxB = k
11
5
144
A + B =
A – B =
11 k
5k
A x B =
144 k
A = 8k
B = 3k
k
A = 6x8 ⇒
(8 k) x (3 k) = 144 k
9.
= 6
Rpta. B
A = C = E = k
B
D
F
Producto de antecedentes:
Producto de consecuentes:
Propiedad:
A x C x E = k3
B x D x F
288
2 304
=
Propiedad:
A + C + E = k
B + D + F
21
B + D + F
10.
A = 48
k3
=
1
2
⇒
A x C x E = 288
B x D x F = 2 304
k =
⇒
B + D + F = 42
Sea: C = cobra; G = gasta; A =
C =
1/2
Rpta. A
ahorra
G + A
C – G
=
S/. 5 940
………….
(1)
C = 13 k
G
7k
⇒
C = 13 k
^
G = 7k
C =
13 x 990 = 12 870
G =
7 x 990 =
Reemplazando en (1):
13 k – 7 k = 5 940
4k
=
5 940
K
=
990
6 930
Sea X soles la cantidad en que debe de disminuir sus gastos diarios
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
247
MATEMÁTICA
C
=
G – X
9
2
12 879 =
6 930 – X
9
2
⇒
X = S/. 4 070
Rpta. B
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1.
En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el número de patos es a N
como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la
relación entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas?
A) 4 : 3
2.
D) 3 : 20
E) 2 : 3
B) 160
C) 170
D) 180
E) 190
La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A le
da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta parte
de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. ¿Cuánto de dinero tenía A
al principio?
A) S/. 2 800
4.
C) 3 : 4
En una reunión hay 60 adultos, y por cada 5 jóvenes hay 7 niños. Luego
llegan a la reunión 50 jóvenes, 40 niños y cierto número de adultos.
¿Cuántos adultos llegaron al final, si los jóvenes niños y adultos son ahora
proporcionales a 5; 6 y 8 respectivamente?
A) 150
3.
B) 2 : 1
B) S/. 3 000 C) S/. 3 200 D) S/. 3 500 E) S/. 4 000
En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le ganó a B por
1/2 vuelta; y B le ganó a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la meta,
hallar la fracción de vuelta con que B aventaja a C.
A) 1 / 4
B) 3 / 16
C) 1 / 5
D) 3 / 8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 1 / 8
248
MATEMÁTICA
5.
La suma de los cuadrado de los 4 términos de una proporción geométrica
continua es 7 225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de extremos
es 75.
A) 85
6.
l
E) 20
B) 60 l
C) 110 l
D) 119 l
E) 120 l
B) 18
C) 20
D) 24
E) 25
Cierto número de canicas se divide en tres grupos, cuyos números son
proporcionales a los números 5, 7 y 11 respectivamente. Si del tercer grupo
pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda el doble de lo
que hay en el primer grupo, ¿Cuántas canicas hay finalmente en el segundo
grupo?
A) 50
9.
D) 10
A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de 56, 7
y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta proporcional de
B, A y C.
A) 16
8.
C) 80
En un tonel hay una mezcla de 63 litros
de agua y 36 litros de vino,
se extraen 22 litros del contenido y se añade al recipiente N litros de vino
para tener finalmente una mezcla cuya relación es de 1 a 3 respectivamente.
Hallar el valor de N.
A) 80
7.
B) 55
B) 54
C) 58
D) 62
E) 64
Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16, B es
la media proporcional de 1 y 81. La correcta relación de orden entre A y B es:
A) A < B
B) A = B
C) A > B
D) A +1= R E) A2 < B
10. Se desea preparar una solución utilizando los componentes líquidos A, B y C
en la proporción de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solución le faltan 2 litros
del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son remplazados
por el componente A, siendo la proporción final obtenida de 2; 3; X. Hallar
X.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 7
249
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1.
Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razón directa de
2:3. Calcular las longitudes parciales.
2.
El diámetro y la longitud de un eje están en razón directa de 2:7. El diámetro
del eje es de 40 mm. Calcular la longitud del eje.
3.
Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud están en relación directa
de 3:7. ¿Cuál es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.?
4.
Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo
en la proporción de 1:20 ¿Qué longitud tendrán los lados en el dibujo?
5.
La escala de un mapa automovilístico es de 1:500 000. ¿Qué longitud natural
corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa?
6.
Un trayecto de 2,875 Km de longitud está representado en un mapa con 11,5
cm. Determinar la escala del mapa.
7.
Un letrero advierte »Pendiente de 5% en 1200 m «. Calcular la altitud a
superar.
8.
El diámetro y la longitud de un cono están en razón directa de 1:10. Calcular
el diámetro correspondiente a la longitud de 150 mm.
9.
Una chaveta
tiene una razón de inclinación de 1:20. ¿ Qué altura
corresponde a una longitud de chaveta de 140 mm?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
250
DIRECCIÓN NACIONAL
GERENCIA ACADÉMICA
Estudios
Generales
NIVEL
TÉCNICO OPERATIVO
Matemática
Parte II
CÓDIGO: 89001293
SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL
000977
MATEMÁTICA
UNIDAD 11
MAGNITUDES PROPORCIONALES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
5
MATEMÁTICA
11.1. MAGNITUD.
Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser
medido.
11.2. CANTIDAD.
Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor
numérico y unidad.
MAGNITUD
Tiempo
Longitud
Temperatura
Masa
CANTIDAD
60 h
15 m
35º C
40 kg
11.3. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES.
11.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ó  ).
Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina se coloque en
el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de
abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8.
GASOLINA
(GALONES)
1
2
5
10
15
30
PRECIO
(S/.)
8,00
16,00
40,00
80,00
120,00
240,00
Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará
S/. …………pero, si se colan 15
galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual
a
S/. …………..
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
6
MATEMÁTICA
Así, si se aumenta la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles)
aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo
sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:
Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los
valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o
disminuyen en la misma proporción.
Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:
Número de libros y costo total.
Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de
libros el costo total será mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo
total será menor.
Además, se verifica que la razón entre el número de libros y el costo total es
CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).
1
 0,25
4
4
 0,25
16
24
 0,25
96
3
 0,25
12
Entonces se puede escribir:
1 4 24 3



 0,25
4 16 96 12
Interpretación geométrica.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
7
MATEMÁTICA
Conclusión.
Si:
I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de
coordenadas.
II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente
de cada par de valores correspondiente resulta una constante.
III. La función de proporcionalidad directa será:
F(X) = K x
K: pendiente (constante)
11.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P Ó
 1 ).
Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al
aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes
en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción.
Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo
empleado en recorrer una misma distancia:
VELOCIDAD
90 km/h
60 km/h
45 km/h
36 km/h
TIEMPO
2 horas
3 horas
4 horas
5 horas
Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la
velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.
Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo)
es siempre el mismo.
90 x 2 = 180
;
60 x 3 = 180
;
45 x 4 = 180
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
;
36 x 5 =180
8
MATEMÁTICA
Se puede finalmente concluir que:
Interpretación Geométrica:
Conclusión.
 valor
" A" I.P."B"
Si:
de A  x  valor de B   Constante
Importante:
I.
La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera.
II.
En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores
correspondientes, resulta una constante.
III.
La función de proporcionalidad inversa será:
F(x )
K
x
K: constante
PROPIEDADES:
I.
II.
Si :
A D.P. B  B D.P. C
Si:
A I.P. B
o:
A D.P. B



A D.P. C
A D.P. 1
B
A I.P. 1
B
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
9
MATEMÁTICA
III.
Si: A D.P. B ( C es constante)
A D.P. C ( B es constante)
A
BxC
IV.
Si:
K
A I.P. B ( C es constante)
A I.P. C ( B es constante)
AxBxC =K
Nº obrerosx eficiencia x Nº días x h/d
 Constan te
obra x dificultad
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
10
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el
valor que toma B, cuando A = 34.
Resolución:
Se debe plantear:
A1 A2

B1 B2
51 34

3 x
2.
X=2
Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)
Resolución:
Se debe plantear:
a 24 51 3



10 b 85 5

a=6
;
b = 40
;
a + b = 46
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
11
MATEMÁTICA
3.
La magnitud A es I.P. a B , además cuando A es igual a 6 entonces B
es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4.
Resolución:
Se debe plantear:
A1 B1  A2 B2
6 16  4 x  x = 36
4.
El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente
proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a
65 Km cuesta S/. 180 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material,
si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?
Resolución:
( precio )(distancia )
k,
(área)
( k = constante )
Entonces:
(180 000) . (65) ( x) . (120)

s
2s
5.

x = S/. 195 000
Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en
12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?.
Resolución:
Sea R rapidez:
R A = 3 RB
Días I.P. Rapidez
(Días) . (Rapidez) = cte
Reemplazando valores:
( RA + RB ) x 12 = RA x X
( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X
4 RB x 12 = 3 RB x X
Simplificando:
X = 16
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
12
MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE REFUERZO
Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesión de
números directa o inversamente proporcionales:
a)
b)
Valores de magnitud
Q:
6
1
8
48
0,1
Valor de magnitud
R:
4
24
3
0,5
240
Valores de magnitud
M:
0,4
10
16
13
0,1
2,5
Valor de magnitud
N:
2,4
60
96
78
0,6
15
18
108
Resolver los ejercicios para fijar lo que estudió sobre magnitudes proporcionales.
1.
Observar los ejercicios siguientes y responder:
Valor de magnitud
x:
5
2
10
1
0,4
Valor de magnitud
y:
8
20
4
40
100
5
9
…..
…..
¿Cómo se denominan las magnitudes “x” e “y”?
2.
Completar:
Valor de magnitud
A:
7
3
Valor de magnitud
B:
28
12
¿Cómo se denominan las magnitudes “A” y “B”?
3.
En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos magnitudes
directa o inversamente proporcionales. Completar conforme el caso:
a)
b)
c)
Valor de magnitud
y:
10
25
2
….
5
Valor de magnitud
z:
20
8
….
4
….
Valor de magnitud
x:
2
3
1
Valor de magnitud
y:
6
9
24
0,5
69
90
7
….
….
….
….
….
….
Valor de magnitud
A:
….
….
7
….
….
….
….
….
Valor de magnitud
B:
20
40
35
100
10
8
45
15
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
13
MATEMÁTICA
d)
Valor de magnitud
M:
6
1
8
48
Valor de magnitud
R:
4
….
3
….
…...
240
Corregir respuestas:
1.
5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4
= 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40
Rpta.: inversamente proporcional.
2.
5
9
20
36
Rpta.
3.
a)
directamente proporcional
2
50
5
100
4
40
b)
3
72
1,5
207
270
21
c)
4
8
7
20
2
1,6
d)
4
24
3
0,5
0,1
9
11.4. REPARTO PROPORCIONAL.
Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números
llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente
proporcional.
11.4.1. TIPOS DE REPARTO.
A.
REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son
proporcionales a los índices.
Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
14
MATEMÁTICA
Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar
400, entonces:
2 k + 3 k + 5 k = 400
K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 
K = 40
Suma de índices
Constante de reparto
Ahora, damos lo que le toca a cada uno:
2 (40) = 80
;
3 (40)
= 120
;
5 (40) = 200
Método Práctico:
PARTES
400
D.P.
A
2k
B
3k
C
5k
+
k = 400 = 40
10
10k
Luego:
A = 2 (40) = 80
;
B = 3 (40) = 120
;
C = 5 (40) = 200
Observación:
Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número
positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes.
Ejemplo:
Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números:
5 ;
6
3 ;
8
3
4
Resolución:
Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces
buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello
es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los
índices.
MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
15
MATEMÁTICA
PARTES
A
470
5
x
6
:
D.P
24
= 20 k
=
B
:
3
x
8
24
C
:
3
x
4
24
=
K
9k
470
 10
47
18 k
47 k
Luego las partes serán: A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10)
B.
REPARTO INVERSO.
Recordando que:
( “A” IP “B” )
( “A” DP
“1” )
B
Inversamente
Proporcional
Directamente
Proporcional
 Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a
ciertos índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas
de los índices:
Ejemplo:
Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de
6 ; 9 y 12.
Resolución:
Partes
390
I.P.
A :
6
B :
9
C : 12
Las partes serán:
A = 6 (30) = 180;
D.P.
1 x 36 = 6 k
6
1 x 36 = 4 k
9
1 x 36 = 3 k
12
13 k
B = 4 (30) = 120;
k = 390 = 30
13
C = 3 ( 30) = 90
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
16
MATEMÁTICA
C.
REPARTO COMPUESTO.
Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios
grupos de índices.
Recordar:
“A” D.P. “B” y también con “C” , entonces “A” D.P. (“B” x “C”).
Si:
EJEMPLO:
Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a
los números 4, 6 y 9.
Resolución:
MCM ( 4, 6, 9 ) = 36
Partes D.P.
2 225
I.P. D.P.
A :
3
4
B :
5
6
C :
8
9
1  3 x 1 = 3 x 36 =
4
4
4
1  5 x 1 = 5 x 36 =
6
6
6
1  8 x 1 = 8 x 36 =
9
9
9
27k
30k
k = 2225 = 25
89
32k
89k
Las partes son:
A = 27 (25 ) = 675
;
B= 30 ( 25 ) = 750
y
C = 32 ( 25 ) = 800
REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO
Primero :
Se convierte la relación I.P. a D.P.
Segundo:
Los grupos de los índices D.P. se multiplican.
Tercero :
Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
17
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
6.
Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8
Resolución:
Partes D.P.
32
A :
3
3k
B :
5
5k
C :
8
8k
16 k
k = 32 = 2
16
Las partes son:
A = ………………
B = ………………….
C = …………………
Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16.
7.
Repartir el número 63 en partes D.P. a los números 2, 3 y 4.
Resolución:
Partes
63
A :
B :
C :
D.P.
….
.…
….
….
….
…..
k
Luego los valores son: A = ………….….,
…… = ……
……
B = ……………,
C = ………………
Comparar respuestas:
6)
A=3(2)=6
7)
….
las partes son:
,
:
:
:
B = 5 ( 2 ) = 10
DP
2
3
4
A = 2 ( 7 ) = 14
2k
3k
4k
9k
,
,
C) = 8 ( 2 ) = 16
+
B = 3 ( 7 ) = 21
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
k
y
63
9
C = 4 ( 7 ) 28
18
7
MATEMÁTICA
Resolver:
8.
Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus
trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del
semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4
faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno?
9.
Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc.
¿Cuántos Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa
mezcla?
Corregir:
8)
Partes
470
I.P. D.P.
A :
3
B :
5
C :
4
1 x 60
3
1 x 60
5
1 x 60
4
, MCM ( 3, 5 4 ) = 60
= 20 k
= 12 k
+
k = 470 = 10
47
= 15 k
47 k
Las partes serán:
A = 20(10 ) = 200
;
B = 12 (10) = 120
;
C = 15 ( 10) = 150
9)
40
:
:
:
5
3
2
DP
5k
3k
2k
10 k
+
k = 40 = 4
10
Las partes son:
A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre
B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño
C=2(4)=
8 Kg zinc
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
19
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. Se tienen dos magnitudes A y B, tales que:
A = 8, B = 6. Hallar A, si B = 2.
A) 218
B) 212
C)216
3
A
D) 220
es I.P. a B. Si cuando
E) 228
2. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera
360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que
pesa 324 Kg? (1 año = 365 días)
A) 28a, 294d
B) 27a, 280d
C) 27a, 294d
D) 28a, 292d
E) 30a.
3. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura
que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones. ¿Qué área
se pintará con 15 galones?
A) 367
B) 300
C) 100
D) 320
E) 120
4. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son
D.P al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la
reunión. Si la última vez gastó S/. 1 200; invitó a 100 personas y ocupó 12
horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas
más?
A) 480
B) 230
C) 460
D) 320
E) 485
5. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de
esta última hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75
dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. ¿Cuántas vueltas dará B en
2 horas 30 minutos?
A) 36750
B) 17280
C) 46000
D) 32000
6. Repartir 22270 inversamente proporcional a
como respuesta la menor de las 3 partes.
A) 140
B) 150
C) 160
D) 170
E) 48000
5(n
+ 2)
;
5(n
+ 4)
; 5(n
+ 5)
. Dar
E) 180
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
20
MATEMÁTICA
32 ; 72 ; 162
7. Repartir “N” directamente proporcional a los números
obteniendo que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N”
más 578. Hallar “N”.
A) 5941
B) 2300
C) 2100
D) 4200
E) 1800
8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se repartió I.P. a sus
edades siendo; 12 ; n ; y 24 años si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades,
el que tiene “n” años hubiera recibido los 13/12 de lo que recibió. Calcular el
valor de “n”.
A) 13
B) 18
C) 15
D) 16
E) 17
9. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las raíces cuadradas de los
números 7,2; 9,8 y 12,8. ¿En cuánto excede la parte mayor a la parte
menor?
A) 3600
B) 2300
C) 2100
D) 4200
E) 1800
3
1
3
10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a los números. 7 ; 3 ; 8 ; 0,5;
indicar una de las cantidades.
A) 8000
B) 6720
C) 10000
D) 10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 100
21
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
REPARTOS PROPORCIONALES.
En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que han de ser
proporcionales a ciertos números dados.
1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes
proporcionales a sus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han
correspondido S/. 184, ¿cuánto se llevará cada uno de los otros dos que
tienen 15 y 12 años, respectivamente?
2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2.
3. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha
de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres
partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de
cada metal?
4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y
36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?
5. La nómina de una empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un
doceavo corresponde a los sueldos de los directivos, tres doceavos a los
sueldos de los técnicos y ocho doceavos a los de los obreros. ¿Qué cantidad
corresponde a cada grupo?
6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se
necesitan 35,75 kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza de tela de la
misma clase que mide 0,95 m de ancho y 120 m de largo?
7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el
mismo tiempo. ¿Cuánto tardarán, entre los dos ,en llenar un depósito de 540
litros?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
22
MATEMÁTICA
8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las
traseras, 0,65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las
segundas dan 2600 vueltas?
9. Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de cobre, 5 g de estaño
y 15 g de níquel. Si en la fabricación de una partida de esas piezas se han
invertido 84 kg de cobre, ¿Cuáles son las cantidades de estaño y níquel
empleadas?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
23
MATEMÁTICA
UNIDAD 12
REGLA DE TRES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
24
MATEMÁTICA
CONCEPTO.
Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en
calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes
y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.
12.1.
REGLA DE TRES SIMPLE (R3S).
Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen
tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra
magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos:
R3S DIRECTA.
Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente
proporcionales (D.P).
EN GENERAL:
Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la
incógnita “X”.
Se plantea así:
Supuesto:
Pregunta:
(D)
MAGNITUD A
a
b
MAGNITUD B
c …………….  
X
Como son magnitudes directamente proporcionales se está
indicando por (D) y aplicando la definición se tiene:
a
b

c
x
Despejando la incógnita “X”
x
bc
a
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
25
MATEMÁTICA
REGLAS PRÁCTICAS.
REGLA 1°.Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de   se efectúa:
a. X  b.c
x
bc
a
REGLA 2°. Del planteado   la incógnita “X” es igual al valor que está sobre él,
b
multiplicado por la fracción
.
a
X = c.
b
a
Se coloca de manera diferente como
se indica en el planteo  
EJEMPLO (1):
Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las
primeras?
RESOLUCIÓN.
Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el
costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor
y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea:
Supuesto:
Pregunta:
Cantidad Limas
Costo (s/.)
3
7
(D)
144
X
Aplicando la 2da regla práctica, se tiene:
 x  144.
7
 336 soles
3
OBSERVACIÓN:
Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en la
segunda fila además se está indicando con (D) porque son directamente
proporcionales.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
26
MATEMÁTICA
EJEMPLO (2):
Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12
revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X.
RESOLUCIÓN.
Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto
respectivo, el cual se plantea del modo siguiente:
Supuesto:
Pregunta:
Nº REVISTAS
Costo (s/.)
5
12
(D)
X
X + 28
En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se
multiplica en “aspa”:
5 (X + 28) = 12X
5X + 140 = 12X
140 = 7X
X = 20
R3S INVERSA.
Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P)
EN GENERAL:
Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a
incógnita “X” se plantean:
Supuesto:
Pregunta:
MAGNITUD A
a
b
(I)
MAGNITUD B
c ……………  
X
Por definición de magnitudes inversamente proporcionales
x.b  c.a
x  c.
a
b
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
27
MATEMÁTICA
REGLAS PRÁCTICAS:
 REGLA Nº 1. Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser
iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior.
 REGLA Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra
a
sobre ella multiplicado por la fracción
; es decir, se copia Igual como está en
b
el planteo.
 X  c.
a
b
Se copia Igual como está en el
planteo  
EJEMPLO 3:
¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8
horas?
RESOLUCIÓN.
Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número de
albañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor
número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de albañiles
mayor tiempo, por lo cual se plantea:
N albañiles
Tiempo
(horas)
Supuesto:
1
8
Pregunta:
2
(I)
t
Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2:
 t  8.
1
 4horas
2
EJEMPLO 4:
Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto
pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X.
RESOLUCIÓN.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
28
MATEMÁTICA
Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor
velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P.
Supuesto:
Pregunta:
VELOCIDAD
90
120
(I)
TIEMPO
X
X - 2
En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”:
90(x) = 120 (x – 2)
3x = 4x – 8
x  8
NOTA:
 En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3).
 En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o
multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4).
 Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden
dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera.
12.2.
REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C).
Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes.
MÉTODO DE SOLUCIÓN.
Existen varios métodos de solución pero en este caso vamos a utilizar las reglas
prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a
seguir los siguientes pasos:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
29
MATEMÁTICA
1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema
2º. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma
magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las
mismas unidades.
3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila
(pregunta) los demás incluido la incógnita.
4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás,
indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es
inversamente proporcional con (I).
5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella
por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se
coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual.
EJEMPLO (5).
Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho
21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m 3 de la misma obra
de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12
días de 8 h/d.
RESOLUCIÓN.
RENDIMIENTO
Nº OBREROS
Nº
DIAS
H/D
Supuesto
60%
8
12
8
14
5
Pregunta
X%
6
16
9
21
3
X
%
OBRA
DIFICULTAD
(I)
(I)
(I)
(D)
(D)
Igual
Igual
Igual
Diferente
Diferente
= 60%.
8 12 8 21 3
.
. .
.  48%
6 16 9 14 5
NOTA:

Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el
rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola
magnitud que sería el rendimiento total.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
30
MATEMÁTICA

Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se
multiplican y se remplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.

Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican
y se
RENDIMIENTO TOTAL
TIEMPO
OBRA
60 % • 8
12. 8 <> 2
14..5 <> 10
x%•6
16..9 <> 3
21..3 <> 9
(I)
(D)
remplazan por la magnitud obra.
2 9
 X %  80%. .  48%
3 10
PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I
Resolver los siguientes problemas:
1)
18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20. ¿Cuánto cuestan 5 tornillos?
2)
Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. ¿Cuánto gana por hora?
3)
Tres aprendices efectúan un trabajo en 2 ½ días ¿Qué parte del trabajo
realizan en un día?
4)
Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. ¿Cuál es la masa referida a
la superficie de cinco planchas de magnitudes idénticas?
5)
Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m
cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg.
6)
Una polea de transmisión con un diámetro de 120 mm efectúa 1200
revoluciones. ¿Cuál es el número de revoluciones de la polea accionada de
720 mm de diámetro?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
31
MATEMÁTICA
7)
Un automóvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. ¿Qué trayecto
puede recorrer con 40 litros en el tanque?
8)
Un automóvil recorrió 33 km en 12 minutos. ¿Cuál era su velocidad de
marcha en km/h?
9)
Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones.
¿Cuántos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224
revoluciones?
10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. ¿Cuánto tiempo se
necesita para vaciar un sótano inundado de 2x1, 5 x 3 m?
11) Para la obtención de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estaño ¿Cuánto
estaño es necesario para 122 kg de bronce?
12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. ¿Cuántos remaches
roblonan 2 obreros en 4 horas?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
32
MATEMÁTICA
PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II.
1)
Para recorrer 44 km; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de
igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km?
A) 44000
2)
Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 días. Si 5 hombres
aumentaron su rendimiento en un 60 %, ¿en que tiempo terminaron el
trabajo?
A) 30
3)
B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30
B) 26
C) 32
D) 25
E) 40
Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora.
¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?
A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días
4)
Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9
dm de arista. Después de 320 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo
de 36 dm de arista se habrá construido?
A)
5)
1
2
C)
1
5
D)
1
6
E)
1
3
B) 12
C) 20
D) 15
E) 18
En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azúcar ¿Cuántos litros
de agua serán necesarios añadir para que el litro de la mezcla tenga
29 gramos de azúcar?
A) 8 l
7)
1
4
Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 días ¿Cuántos
obreros más se necesitarán para hacer el mismo trabajo en las 310
partes de ese tiempo?
A) 14
6)
B)
B) 9 l C) 10 l
D) 11 l
E) 20 l
Si 8 obreros hacen una obra en 20 días y después de 5 días se retiran 3
obreros. ¿Cuántos días se retrasará la obra?
A)4
B)5
C)8
D)9
E) 15
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
33
MATEMÁTICA
8)
Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 días para terminar
un trabajo. ¿Cuántos días emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas
diarias para hacer el mismo trabajo?
A)8
9)
B) 18
C) 24
D) 32
E) 34
Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.¿Cuánto costará un
cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior?
A) S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890
E)S/.3 560
10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas
diarias y después de 8 días se acordó que la obra termine 12 días antes
del plazo. ¿Cuántos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta
que se aumento 1 hora de trabajo diario?
A)8
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días .Si 8 de ellos aumentan
su rendimiento en 60%, qué tiempo empleará para realizar la obra.
A) 12
B) 15 C) 18
D) 24
E) 17
12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en
5 días , trabajando 8 h/d ¿Cuántos días tardara este ingeniero en construir
800 metros de carretera con 80 obreros doblemente eficientes que los
anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por
día?
A)4
B)5
C)8
D)9
E) 15
13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. ¿Cuál
sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las
ciruelas se compran a razón de S/. 0.81 el kg.
A) SI. 91,81 B) SI. 8,91 C) SI. 8,80 D) S/. 72,90
E) SI. 7,29
14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento
abandonan el trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el
trabajo los obreros que quedan?
A) 24 B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 %
ahorraría 2 horas. ¿En qué porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una
hora antes?
A) 100%
B) 15%
C) 20%
D) 25 E) 40%
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
34
MATEMÁTICA
UNIDAD 13
PORCENTAJE
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
35
MATEMÁTICA
13.1.
PORCENTAJE.
En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una
fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado
utilizando el signo porcentaje %.
20 Por Ciento =
20
1
= 20 x
= 20 %
100
100
%
13.2.
1
100
TRANSFORMACIÓN DE PORCENTAJE A NÚMERO.
Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción
con denominador 100; por ejemplo:
20
1
a) 20% =
=
100 5
60
3
b) 60% =
=
100 5
1
24 1
3
c) 2,4% = 2,4 
=
=

100
10 100
125
2
1
1
d) 0,002% =
=

1000 100 50000
12
12 1
3

e)
% =
=
17 100 425
17
13.3.
TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO A PORCENTAJE.
Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho número
por 100 %.
Ejemplos:
a) 1 < > 1 x 100% = 100 %
b) 3 < > 3 x 100% = 300 %
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
36
MATEMÁTICA
c) 0,25 < > 0,25 x 100% = 25 %
3
3
d)
<>
x 100% = 60 %
5
5
4
14
e) 2 < >
x 100% = 280 %
5
5
13.4.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE PORCENTAJES DE UNA MISMA
CANTIDAD.
Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad.
Ejemplos I:
a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A
b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B
c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B - 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B
Ejemplos II:
a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad
b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad
c) “C” menos su 40% = 60% “C”
13.5.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
Problemas I:
a) Hallar el 30% de 6000.
Solución:
Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a la
operación de la multiplicación.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
37
MATEMÁTICA
30% de 6000 =
30
 6000
100
= 180
b) Hallar el 0,4% de 50000
Solución:
0,4% de 50000 =
4
1

 50000 = 200
10 100
c) Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104
Solución:
3% del 20% del 5% de 6 x104 =
3
20
5


 6  104 = 18
100 100 100
d) Si Esmeralda recibe el 32 % de 200 soles ¿Cuánto no recibe?
e) Calcular el porcentaje de los siguientes números:
1a. 10% de 2860
1b. 10% de 1280
1c. 50% de 4970
2a. 10% de 3060
2b. 10% de 1340
2c. 10% de 50
3a. 50% de 2710
3b. 10% de 2400
3c. 50% de 1060
4a. 10% de 3440
4b. 50% de 1520
4c. 50% de 1470
5a. 50% de 2500
5b. 50% de 1600
5c. 10% de 3860
6a. 50% de 1370
6b. 10% de 4940
6c. 10% de 100
f) Sombrear el porcentaje correspondiente a cada figura.
a.
25% de la figura
( 25% 
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
25 1

)
100 4
38
MATEMÁTICA
(100%              )
b.
100% de la figura
c.
80% de la figura
(80%              )
d.
50% de la figura
(50%              )
e.
60% de la figura
(60%              )
Problemas II:
a) ¿20% de qué número es 70?
Solución:
20% de que número es 70
20%.N = 70 
20
 N = 70 N = 350
100
b) ¿4 es el 0,25% de qué número?
Solución:
0,25%.N = 4 
25
1

 N = 4 N = 1600
100 100
c) Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el
dinero que tengo?
Solución:
Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T.
130
 T = 260 T = 200
130%.T = 260 
100
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
39
MATEMÁTICA
d) Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos; costaría 6
soles. ¿Cuál es el precio real del libro?
Solución:
El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real.
60
60%.L = 6 
 L = 6 L = 10
100
e) Jaime reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le da el 28% de la
fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes ¿De cuanto fue la
Fortuna?
Solución:
Problemas III:
a) ¿Qué porcentaje de 80 es 4?
Solución:
En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”, significa
igual.
x
 80 = 4 x = 5Rpta: 5%
x% . 80 = 4 
100
b) De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto por
ciento de los operarios no son mujeres?
Solución:
El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas
¿Qué porcentaje de 460 es 345?
x
 460 = 345x = 75 Rpta 75%
X%.(460) = 345 
100
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
40
MATEMÁTICA
c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada?
Solución:
Si preguntan qué porcentaje representa la parte
sombreada, es equivalente a que pregunten qué fracción
está sombreada; ya que toda fracción se puede escribir
como porcentaje.
Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego se
convertirá en porcentaje.
A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen 64k.
k
Recordar:
S
S
S
S
“La diagonal de un paralelogramo divide a este
en dos triángulos de igual superficie.”
Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto
de uno de los lados con los extremos del lado opuesto
se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del
paralelogramo.”
S
Área total: 2S
Ahora se va a analizar por partes la figura:
16k
16k
El rectángulo contiene
32k por lo tanto la parte
no sombreada del lado
inferior derecho será 16k,
2k
9k
9k
El rectángulo contiene
18k por lo tanto la parte
no sombreada del lado
superior 9k,
9k
Trabajando en forma
similar las otras partes,
observamos que la parte
no sombreada es 36k
Resumiendo:
Total = 64k ; No sombreado = 36k;
Sombreado = 64k – 36k = 24k
sombreado
24k
3
=
=
total
8
64k
3
 100% = 37,5%
Porcentaje sombreado =
8
Fracción sombreada =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
41
MATEMÁTICA
d) ¿0,0072 que porcentaje es de 0,36?
e) ¿Qué porcentaje del 80% del 40% de25 es el 0,8% del 20% de 100?
f) ¿Qué tanto por ciento representa la parte
sombreada de la no sombreada?
:
PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COMPRA Y VENTA.
Rossmery es comerciante y realiza las siguientes transacciones comerciales
según muestra los gráficos siguientes:
PC: Precio de costo
Pv: Precio de venta
$ 100.00
$ 120.00
Ganancia de $ 20.00
Rossmery compra
un TV a $ 100.00
Rossmery vende
el TV a $ 120.00
PC
Pv
$ 100.00
$ 70.00
Pérdida de $ 30.00
Rossmery compra
un TV a $ 100.00
Rossmery vende
el TV a $ 70.00
Del ejemplo anterior se puede deducir lo siguiente:
PV = Precio de Venta.
PC = Precio de Compra o Precio de Costo
G = Ganancia
P = Pérdida
PV = PC + G
PV = PC - P
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
42
MATEMÁTICA
Pv: Precio de Venta
PF: Precio Fijado o Precio de Lista
$ 40.00
$ 100.00
Rossmery realiza un
Descuento de $ 60.00
Rossmery vende el vestido
a $ 40.00
Rossmery desea vender un vestido y lo
exhibe en su tienda a $ 100.00
De lo cual se deduce que:
PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento
Si hubiera sido un aumento entonces:
PVENTA = PFIJADO O LISTA + Aumento
Problemas:
a) Esmeralda compra un vestido en 120 soles ¿En cuánto debe venderlo para
ganar el 15% sobre el precio de compra?
Solución:
Datos:
Pc = 120
Pv = ?
G = 15%.Pc
PV = PC + G
PV = 120 + 15%.(120)
PV = 120 + 15%.(120)
PV = S/ 138
b) Oswaldo compra un taladro pagando S/ 120, ¿hallar el precio de Lista, si le
hicieron un descuento del 25%?
Solución:
Datos:
Pv = 120
PF = ?
Descuento = 25%.PF
PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento
120 = PF - 25%. PF
120 = 75%. PF
120 =
75
PF 
100
PF = 160
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
43
MATEMÁTICA
c) ¿Cuáles precio de venta de un artículo, cuyo precio de costo es 46 soles y la
ganancia es el 8% del precio de venta?
d) El precio de venta de un televisor es $150, en esta venta se ha perdido el 25%
del precio de costo. Hallar el precio de costo.
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS.
Este tipo de problema es cuando a una cantidad se le aplica varios descuentos o
aumentos en forma sucesiva.
Por ejemplo:
PF
$ 8000.00
Se hace 3 descuentos sucesivos de 20%,
25% y 30% del precio inicial del auto:
En el 1º descuento es del 20% de $8000,
por lo tanto el nuevo precio será:
PFINAL = 80%(8000)
Rossmery desea compra un
auto cuyo precio de Lista es $
8000.00
El 2º descuento es de 25% de 80%(8000)
entonces el nuevo precio será:
PFINAL = 75%.80%(8000)
El 3º descuento es del 30% del 75%.80%(8000), entonces el nuevo precio será:
PFINAL = 70%.75%.80%(8000) = $ 3360
Entonces el descuento único fue de: $8000 - $ 3360 = $ 4640
¿Qué % es el descuento único?
X%.8000 = 4640
X
 8000 = 4640 X = 58% (Descuento único)
100
Problemas:
a) ¿Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único
de?
Solución:
Una forma práctica de resolver este tipo de problema será de la siguiente manera:
PINICIAL = 100%
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
44
MATEMÁTICA
PFINAL = 80%.100%
PFINAL = 60%.80%.100%
60 80
PFINAL =

 100%
100 100
Después de 1º descuento del 20%
Después de 2º descuento del 40%
PFINAL = 48% Descuento único = 100% - 48% = 52%
b) ¿Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de?
Solución:
PINICIAL =
100%
PFINAL = 120%.100%
PFINAL = 130%.120%.100%
130 120

 100%
PFINAL =
100 100
PFINAL = 156%
Después de 1º aumento del 20%
Después de 2º aumento del 30%
Aumento único = 156% - 100% = 56%
c) Un Artículo cuyo precio de lista es de $240, se vende haciendo 2 descuentos
sucesivos del 25% y 15%. ¿Calcular el precio de venta?
d) ¿Cuál era el precio de lista de un artículo si la venta fue de 204 soles luego de
los descuentos sucesivos de 20% y 15%?
VARIACIONES PORCENTUALES.
Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor
original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento.
Problemas:
a) ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base se
incremento en un 20% y su altura en un 50%?
Solución:
Método I:
h
B
Área Inicial = B.h < > 100%
La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en un
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
45
MATEMÁTICA
50%
Área Final = 120%B.150%h =
150% h
120 150
B.h

100 100
Área Final = 1,8.B.h
120% B
Aplicando regla de tres simple:
Bh
100%
1,8 Bh
X
X = 100%.
1,8 Bh
= 180%
Bh
El aumento de área en porcentaje fue de: 180%
Método II:
Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes
figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se
anularían.
AINICIAL =
100%
+20%
AFINAL
=
+50%
120% .150% =
120
 150% = 180%
100
El aumento de Área = 180% - 100% = 80%
b) ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha
disminuido en un 40%. ¿En que porcentaje ha variado su área?
Solución:
AINICIAL =
100%
+10%
AFINAL
=
110% .60% =
-40%
110
 60% =
100
66%
El Área disminuye en: 100% - 66% = 34%
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
46
MATEMÁTICA
c) ¿En que porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en un
30%?
Solución:
Área del círculo es .r 2 = .r  r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica
dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante ,
se cancela.
AINICIAL =
100%
+30%
AFINAL
=
130% .130% =
+30%
130
 130% =
100
169%
El Área aumenta en: 169% - 100% = 69%
d) ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la mitad.
¿Cuánto % varía su área?
Solución:
3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en
un 50%
AINICIAL =
100%
+60%
AFINAL
=
160% .50% =
-50%
160
 50% =
100
80%
El Área disminuye en: 100% - 80% = 20%
e) ¿El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En que porcentaje varia su
volumen ?
Solución:
Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que
realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, por que la magnitud física de
volumen es L3.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
47
MATEMÁTICA
VINICIAL =
100%
-20%
VFINAL
=
80% .80% .80% =
-20% -20%
80 80

 80% = 51,2%
100 100
El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%
RESOLVER:
f) ¿En qué porcentaje varía el área de un paralelogramo, si su altura aumenta en
un 10 % y su base disminuye en un 10%?
g) Si la base de rectángulo disminuye en un 20%, ¿En que porcentaje debe de
aumentar la altura para que su área aumente en un 25%,
h) Si el largo de un prisma rectangular disminuye en un 20% y su ancho aumenta
en un 10%, ¿En que porcentaje debe de variar su altura, para que su volumen
no varíe?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
48
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)
1.
Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de una plancha de metal, la
plancha de metal perdida por recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en
%.
2.
Un obrero especializado trabaja a destajo por 9 dólares la hora. ¿En qué
tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de 7,20
dólares?
3.
Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador
paga 820,00 nuevos soles. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin
descuento?
4.
Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración
pierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.
5.
El alquiler mensual de un taller es de 1860,00 nuevos soles. Habiendo sido
aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.
6.
En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22%
de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?
7.
Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las
proporciones de cobre y cinc en %.
8.
60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de
Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en %
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
49
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS (NIVEL II).
1. Determinar el 3% de 600 piezas.
Solución:
Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres
directa.
En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que se
debe calcular, luego, corresponderá x.
PIEZAS
POR CIENTO
600.......................100%
X ....................... 3%

600 100

x
 .............. piezas....
x
3
100
2. ¿Cuál será él numero de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?
Solución:
El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el
total de piezas).
POR CIENTO
PIEZAS
3% ...........................18
100% ............................X
3
.......

100
x
x  ___________  .................... piezas
3. José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento obtuvo
de descuento?
Solución:
VALOR
PIEZAS
1 880 ...........................100%
1 440 ............................X
x  ___________  80%
José pago lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue:
100%  ..................%  ....................%
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
Rpta. 20 %
50
MATEMÁTICA
4. Calcular el 8% de 320 octavos.
Solución:
Total = 320
Tasa = 8
Porcentaje = ¿
8% de 320
p
B.%
320  8

 .............
100
100
5. ¿Qué por ciento es 5 de 30?
Solución:
Total = 30
5 es de 30
Porcentaje = 5
Tasa = ¿
%
100. p
.............

 .............
B
6. Determinar:
a.
b.
c.
d.
4% de 10
25% de 80
2,5% de 3
10% de 480
7. Escribir en forma de porcentaje:
a. 0,75  _________________
b. 0, 4  _________________
c.
d.
2
 _________________
5
1
 _________________
10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
51
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL III):
1. Hallar el 0,05% de 4 200.
A) 0,12
B) 0,021
C) 2,1
D) 2,01
E) 210
2. Hallar los 3/5% de 6000.
A) 16
B) 20
C) 162
D) 36
E) 45
3. El 32% del 45% de 5 300, ¿Qué porcentaje representa del 25% de 4 770?
A) 30%
B) 60%
C) 64 % D) 44%
E) 80%
4. Si el precio de un artículo se rebaja en 40%, ¿En qué porcentaje hay que
aumentar el nuevo precio para obtener el original?
A) 40%
B) 50%
C) 30%
D) 66 32 % E) 60%
5. ¿Cuál es el valor de “n” después de ser disminuido en 14 72 %?
A)
1
6
n
B)
5
6
n
C)
7
6
n
D)
1
3
n
E)
6
7
n
6. En una clase de 60 alumnos, el 25% son niñas. Si el 40% de los niños y el
20% de las niñas salen de paseo, ¿Qué porcentaje de la clase salió de paseo?
A) 30%
B) 32 21 %
C) 35%
D) 32%
E) 20 21 %
7. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de chapa, la chapa perdida por
recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en %.
8. De una chapa cuadrada de 400 mm de lado se desea cortar el mayor círculo
posible. Calcule el resto de recorte en %
9. Un obrero especializado trabaja a destajo por S/. 9 la hora. ¿En qué tanto por
ciento supera su salario a destajo el salario normal de S/. 7,20?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
52
MATEMÁTICA
10.Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga
S/. 820,00. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?
11.Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración pierde
la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.
12.El alquiler mensual de un taller es de S/. 1860,00. Habiendo sido aumentado a
S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.
13.En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22% de
todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?
14.Una pieza se tornea con una pieza de acero al tungsteno-silicio en 25 minutos,
con otra de acero rápido en 20,5 minutos ¿Cuál es el ahorro de tiempo en por
ciento?
15.Por refinado se mejora la resistencia a la tracción de un acero en un 36%
alcanzando entonces el valor de 11,2 N/mm2. ¿Qué resistencia a la tracción
tenía el acero antes del refinado?
16.Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las
proporciones de cobre y cinc en %.
17.60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de Pb;
el resto es cinc. Calcular las proporciones en %
18.Un árbol de 26 mm de diámetro recibe un corte de 2,4 mm de profundidad.
¿En que porcentaje disminuye la sección transversal?.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
53
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL IV):
1. Calcular los siguientes porcentajes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
20 % de 240;
5 % de 900;
60 % de 1240;
40 % de 12000;
8 % del 40 % de 160000;
5 % del 30 % de 400000;
10 % del 50 % de 60000;
250 % de 840000.
2. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el
tanto por ciento de ausencias?
3. En una ciudad de 23500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión
municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?
4. Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las
camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone el hospital?
5. El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos
habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años?
6. Calcular en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según el
porcentaje indicado:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3500 nuevos soles, si aumentan el 8 %.
8500 litros, si aumentan el 27 %.
360000 personas, si aumenta el 3 %.
2300 discos, si aumentan el 150 %.
546 alumnos, si aumentan el 4 %.
1600000 nuevos soles, si aumentan el 16 %.
7. El precio de un libro, después de haber aumentado un 12 %, es de S/. 26,5.
¿Cuánto valía antes de la subida?
8. Con las últimas lluvias el contenido del pantano ha aumentado el 27 % y tiene
321,6 hm3. ¿Cuánta agua tenía antes de las lluvias?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
54
MATEMÁTICA
9. He conseguido que me rebajaran la nevera un 18 %, con lo que me ha costado
S/. 340. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?
10.Si el precio de una mercancía se sube el 50 % y después se baja el 50 %,
¿cómo queda con respecto al precio inicial? Compruébalo con un precio de S/.
100.
11.En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %. Si
compras por valor de 1580 S/. , ¿cuánto tendrás que pagar?
12.Una tienda carga el 12 % de IGV sobre cada factura. Si el importe de las
ventas es de S/. 30500, ¿a cuánto asciende con el IGV?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
55
MATEMÁTICA
UNIDAD 14
ÁNGULO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
56
MATEMÁTICA
14.1
DEFINICIÓN: RECTA, RAYO, SEMIRRECTA.
RECTA.
Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección.
Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA.
A
B
r
Así, la recta puede ser representada de dos maneras:
-
Postulados:
 La línea recta posee dos sentidos.
 La línea recta se extiende
indefinidamente en ambos
sentidos.
 Dos puntos determinan una recta
 Por un punto pasan infinitas
rectas.
Con una letra minúscula: r, s,t,….
Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….
Completar entonces, correctamente, la indicación de cada recta:
s
D
E
F
G
C
Recta …………..o CD
t
recta t, o………..
H
u
recta ……… o ………..
RAYO.
Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los
sentidos.
La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la
figura.
Notación:
OA
SEMIRRECTA.
Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no
considera el origen.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
57
MATEMÁTICA
Gráficamente:
Notación : OA
14.2.
ÁNGULO.
 Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen
común.
 Parte común a dos semiplanos.
 Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo.
 Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo
origen.


Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura
●A
lado
ángulo cóncavo  

O
 ángulo convexo
abertura
lado
●B
180º <  < 360º
14.2.1
UNIDADES DE CONVERSIÓN.
S: sistema sexagesimal
C: sistema centesimal
R: sistema radial
S
360º
C
400g
R
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
58
MATEMÁTICA
En el sistema sexagesimal:
1º = 60´
;
1´ = 60”
90º  /2
II
I
 180º
360º  2
o
III
IV
270º  3/2
14.2.2
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS.
A) TRANSPORTADOR.
B) GONIÓMETRO.
C) FALSA ESCUADRA.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
59
MATEMÁTICA
D) ESCUADRA.
14.2.3
I.
A)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
De acuerdo a su medidas.
Ángulo agudo.
0º < m < 90º
B)

Ángulo recto.

m = 90º
C)
Ángulo obtuso.

B
90º < m < 180º
O
D)
C
Ángulo llano o lineal.

m = 180º
A
E)
Ángulo convexo.
0º < θ < 180º
F)
Ángulo no convexo (ó cóncavo).
180º < θ < 360º
O
B
θ
θ
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
60
MATEMÁTICA
II.
De acuerdo a la posición de sus lados.
A) ÁNGULOS ADYACENTES.
Son dos ángulos que tienen un lado común .

B)

ÁNGULOS CONSECUTIVOS.
Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro.
C
B
A
O
C)
D
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.
Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados
del otro: m = m


III.
De acuerdo a la suma de sus medidas.
A)
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.
 +  = 90º
C ()= 90º – 
n = par:


C C C C C C () = 
n=6
n = impar: C C C C C () = C ()
n=5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
61
MATEMÁTICA
B)
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.


 +  = 180º
S () = 180º – 
S S S S () =  n = 4
n = par:
n = impar: S S S S S () = S ()
n=5
C)
ÁNGULOS REPLEMENTARIOS.


 +  = 360º
R ()= 360º – 
R R R R R R () = 
n = par:
n=6
n = impar:
R R R () = R ()
n=3
14.2.4
OPERACIONES CON ÁNGULOS.
ADICIÓN.
Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades
de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas vertical), ya
se vio esto anteriormente.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
62
MATEMÁTICA
Observar la operación siguiente.
32° 17‟ 30” +
19° 13‟ 15”
51° 30‟ 45”
Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo con
segundo, minuto con ................... y grado con ...............
En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar
las relaciones existentes entre ellas.
1 grado (°) = 60 minutos („)
1 Minuto („) = 60 Segundos (“)
17° 36‟
35° 45‟
52° 81‟
+
En la suma del lado, hay 81’,
esto es un grado
y veintiún minutos (1° 21’).
Se tendrá entonces una nueva forma a la suma (resultado) que pasará a ser 53°
21’.
Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’
por 60’, que dará como cociente el número de grados
y el residuo -si hubiera- será el número de minutos:
1°
17° 36‟
35° 45‟
52° 81‟
53° 21‟
81‟ | 60
21‟ 1°
+
Observar además estos otros ejemplos:
35° 16’
45° 45’
80° 61’
81° 1’
+
17’ 42”
20’ 41”
37’ 83”
38’ 23”
+
EJERCICIOS DE ADICIÓN:
1. Sumar las siguientes medidas angulares:
a. 31° 17’ + 3° 38’ = ..............................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
63
MATEMÁTICA
b. 105° 18’ + 25° 17’ + 10° 25’ = .....................
c. 21’ 30” + 2° 13’ 40” = ..................................
d. 2° 45’ + 10° 10” = ...................................
2. Calcular la medida del ángulo x:
 a = 27° 25’
 b = 16° 13’
 x = a +  b = ...........
3. ¿Cuál es la medida del ángulo y?
a = 42°
b = 36°
c = 19°
 y = ................= ...........
RESPUESTAS:
1.
2.
3.
a) 34° 55’
43° 38’
97°
b) 141°
c) 2° 35’ 10”
d) 12° 45’ 10”
SUSTRACCIÓN.
En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo
corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea
necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas. Observar:
49° 20‟
20° 14‟
29° 6‟
-
¿Cuándo es posible hacer una resta?
Sólo es posible efectuar la resta cuando
las magnitudes:
Del minuendo son mayores o iguales que
las del Sustraendo.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
64
MATEMÁTICA
Por tanto ¿Cómo sería posible resolver la resta de abajo?
74° 5‟ De 5’ no se puede restar 16’
18° 16‟
?
Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera:
El ángulo 73° 65‟
es igual a 74° 5‟
Se pide prestado 1° a los 74°. El mi nuendo, pasará entonces
A ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado
que de los 74° fue
Retirado 1° quedando entonces 73°, este
1° fue transformado
73° 65‟ 18° 16‟
55° 49‟
En minutos(1° = 60’= y después, sumado
a los 5’ existentes
60’ + 5’ = 65’
Así fue posible la resta.
Observar con atención los ejemplos y completar.
EJEMPLOS DE SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS:
a)
13° 16’ -8° 27’
_________
4° 49’
d)
10’ 25” -8’ 45”
_________
…………
b)
35° 25’ -17° 35’
_________
................
e)
c)
12’ 16” -9’ 40”
____________
2’ 36”
f)
12° 15’ 18” -9° 20’ 25”
___________
2° 54’ 53”
20° 10’ 35” -18° 15’ 30”
____________
………….
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
65
MATEMÁTICA
Respuestas a los Ejemplos:
b) 17° 50’
c) 11’ 76”
d) 9’ 85” - 1’ 40”
f) 19° 70’ - 1° 55’ 5”
EJERCICIOS DE SUSTRACCIÓN:
1. Calcular la medida del ángulo x:
 x = ..........
2. ¿Cuál es la medida del ángulo y?
 a = 35°
 b = 10° 15”
y =a - b
3. ¿Cuál es la medida del ángulo b?
 a = 35° 25’
b = 90° -  a
4. Restar las siguientes medidas angulares:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
66
MATEMÁTICA
a. 45° 30’ - 22° 15’ = ....................
b. 53° - 19° 45’ = .................
c. 65° 17’ - 42° 36” = ..................
d. 20’ 18” - 15’ 30” = ...............
e. 28° 16’ 30” - 17° 40’ 18” = .......
f. 47° 48’
23° 55’ 10” = ...........
g. 45° - 12’ 29” = ...............
h. 36’ - 18’ 30” = ....................
i. 56° 17” - 5° 10’ 10” = ...............
5. Efectuar:
18° 36’ - 15° 42’ 37” + 3° 55’
MULTIPLICACIÓN.
Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar
por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y
segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es
superior
a
60,
se
transformamos
en
una
unidad
de
orden
inmediatamente superior.
18º 26' 35"
X3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
67
MATEMÁTICA
6. Realizar los siguientes productos:
a.
56º 20' 40" * 2
b.
37º 42' 15" * 4
c.
125º 15' 30" * 2
d.
24º 50' 40" * 3
e.
33º 33' 33" * 3
f.
17º 43' 34" * 2
DIVISIÓN.
Para dividir un ángulo por un número natural dividir los grados entre ese número.
Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y se suma a
los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de la división en
segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que se tenían. Dividir
segundos.
7. Realizar las siguientes divisiones:
a.
56º 20' 40" : 5
b.
37º 42' 15" : 4
c.
125º 15' 30" : 5
d.
25º 50' 40" : 6
e.
33º 33' 33" : 2
f.
17º 43' 24" : 12
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
68
MATEMÁTICA
ÁNGULOS CONGRUENTES ().
Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida.
A
B
P
R
30º
30º
mABC  m PQR
C
Q
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos
ángulos de igual medida o congruentes.
OM : Bisectriz
14.3
TEOREMAS RELATIVO A LOS ANGULOS.
1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un
Angulo de 45º
2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º
3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.
45º
 


Teorema 1




Teorema 2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO




Teorema 3
69
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º.
2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la
mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo.
3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del
ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices
del ángulo MRA y ERN.
4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular
la medida del ángulo menor.
5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la
medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: m  AOC = 80º
y m  BOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices
de los ángulos AOB y COD.
7. En la figura, calcular el ángulo AOB.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
70
MATEMÁTICA
8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que
m  AOB=20º, m  BOD = m  DOE y m  COE = m  BOC + m  BOD = 90º.
Calcule m  AOC.
9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y
EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.
10.
Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de
AB BC CD DE
modo que:
y AE = 42 cm. Calcular CD.



2
3
4
5
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
1.
1 1
x CS120º
2 3
1 1
x  x 90º (180º 120º )
2 3
x  5º
x
La ecuación será:
2.
Del enunciado se tiene:
  1
X = 2C    S 3 
2 3
Donde :
En ( I) :
...(I)
* 
* x
Medida del ángulo en mención
Valor de la Razón Aritmética
 1

x = 2 90    180  3 
2 3

x = 180° -  - 60° + 
x = 120º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
71
MATEMÁTICA
3.
Dato:
mDRO  3mARE
    x  3x
    2x
según el gráfico : 2  2  x  90
2(   )  x  90
2(2 x)  x  90
5x  90
; X  18º
4.
Sea “x” el ángulo menor:
x
3

180º x 5
x  67,5º  67º30
5.
Sea m  AOX = θ
m  AOB + m  AOC = 90º
(θ + α ) + (θ – α ) = 90º
α
α
θ = 45º
6.
Se pide: α + β + θ = ?
Como:
2 α + β = 80º
2 θ + β = 60º
Al sumar y simplificar:
α + β + θ = 70º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
72
MATEMÁTICA
7.
Sea m  AOB = X
Del gráfico, por ángulo de una vuelta:
m  DOB + m  BOD = 360º
( 210º - X ) + 190º = 360º
X = 40º
8.
Piden m  AOC = ?
Sean m  BOC = α
m  BOD = θ
Del enunciado
α + θ = 90º ....... ( 1 )
Se Observa
2 θ = 90º + α .........( 2 )
Sumando ( 1) y ( 2)
2 θ + θ = 180º
Θ = 60º y α = 30º
20º
m  AOC = 50º
9.
Tomando los ángulos en forma conveniente
( X - 2 α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º
α = 72º
10.
14 X = 42
X=3
Se pide:
CD = 12
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
73
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)
1.
Calcular la suma de los ángulos y el tamaño de un ángulo para:
a) un pentágono regular b) un hexágono regular, c) un octógono regular.
2.
Calcular para el ángulo de 78 41 28 el ángulo complementario y suplementario.
3.
La suma de dos ángulos de un triángulo es de 139 37 4 . Calcular el tercer ángulo.
4.
La cubierta de en cilindro esta sujeta con 8 tornillos. Calcular el ángulo de distancia
entre los tornillos.
5.
Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12 56. Para el ajuste
se requiere el ángulo en decimales.
6.
Una válvula de admisión abre 17,43 antes del punto muerto superior. Calcule tal
ángulo de abertura en grados, minutos y segundos.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
74
MATEMÁTICA
7.
8.
Convertir en:
a) Grados:
240 ; 35 ; 4200 ; 31,2 ; 0,68 ; 0,42 ; 425
b) Minutos:
360 ; 38 ; 4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86
c) Segundos:
314 ; 56 ; 3800 ; 68,2 ; 0,45 ; 0,012 ; 15
e) Sumar:
14 46 + 181 34 + 37 8 + 9 12 32
Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 5 ; 3 y 1.
Calcular la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo.
A) 80º
9.
B) 90º
C) 65º
D) 100º
E) 60º
En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Calcular la medida del ángulo
C, si AB = BE = EC
A) 72º
B) 30º
C) 36º
D) 40º
E) 80º
10. Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto. Otro ángulo
mide los 5/9 de la medida de un ángulo recto. Determinar el complemento de
la suma de las medidas de dichos ángulos.
A) 25º
11.
B) 30º
C) 35º
D) 40º
E) 20º
En la figura, L1 // L2. Sí: x+y = 40º , calcular (a + b).
A) 80º
B) 85º
C) 90º
D) 100º
x
E) 120º
L1
a
y
4
5
6
b
L2
12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CF, el ángulo B mide 80º.
Calcular la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los
ángulos HAC y ACF.
A) 125º
B) 80º
C) 135º
D) 140º
E) 120º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
75
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º, más el suplemento de
otro ángulo que mide 105º
A) 120º
B) 125º
C) 140º
D) 130º
E) 135º
2. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a
2/5 de su suplemento.
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 50º
3. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5.
¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?
A) 95º
B) 100º
C) 105º D) 110º
E) 105º
4. Hallar la medida de un ángulo es “X”, si el suplemento del complemento del
triple de mX es igual al complemento de mX, aumentado en 20º. Calcular
mX.
A) 3º
B) 4º
C) 5º
D) 6º
E) 7º
5. En los ángulos consecutivos: AOB, BOC,
COD se cumple que:
mAOC = 125º, mBOD = 100º. Calcular mAOB – mCOD.
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 25º
6. La diferencia de los ángulos adyacentes AOB y BOC es 42º, se traza
el rayo OM bisectriz del ángulo AOC. Calcular la mMOB.
A) 42º
B) 20º
C) 10º
D) 21º
E) 25º
7. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mAOB = 50º.
Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos
BOC y AOC.
A) 22º
B) 20º
C) 18º
D) 25º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 26º
76
MATEMÁTICA
8. Hallar G:
G = 2 (35º 32’ 55” – 24º 48’ 40”)
5
A) 5º 12’ 45”
9.
B) 4º 17’ 42”
C) 4º 12’ 32” D) 4º 7’ 32”
E) 6º 27’ 42”
Efectuar:
98º 45´ + 77º 42´
5
6
A) 32º 41’00” B) 32º 41’15” C) 32º 42’ D) 32º 40’8” E) 32º 41’20”
10. El ángulo formado por 2 semirrectas opuestas se llama ángulo
A) Obtuso
11. Restar:
A) 7º 19´ 8”
B) Congruente C) Llano
D) Nulo
E) De un giro
(2º 3´ 12” ) : 3 de 2 ( 4º 6” )
B) 8º 41´ 8”
C) 2º 41´ 2” D) 9º 19´ 8”
E) 7º 31´ 4”
12. Dado los ángulos adyacentes AOB y BOC; los rayos OX, OY, OZ
son las bisectrices de los ángulos: AOB, BOC, XOY.
Si: mAOB – mBOC = .
Hallar mBOZ
A) /2
13.
B) /3
C) /4
D) /8
E) 2/3
Transformar /6 radianes a grados sexagesimales:
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 45º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
E) 50º
77
MATEMÁTICA
UNIDAD 15
ANGULOS DE RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA SECANTE
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
78
MATEMÁTICA
15.1. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTA
PARALELAS Y UNA SECANTE.
Considerar dos rectas paralelas r y s:
Región externa
La región comprendida entre “r” y “s”
será llamada región interna y las
otras, regiones externas.
Región interna
Región externa
Considerando ahora las dos rectas paralelas cortadas por la secante “t”.
obtuso
agudo
Observar que la secante forma con las
rectas paralelas:
agudo obtuso
obtuso
agudo
agudo obtuso
Cuatro ángulos AGUDOS iguales.
Cuatro ángulos OBTUSOS iguales.
De estos ocho ángulos,
- Cuatro son INTERNOS pues pertenecen
a la región interna. Ej: a,  b,  c, d
a
c
- Cuatro son EXTERNOS pues pertenecen
a la región externa. Ej:  e,  f,  g,  h
g
f
I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS..
Son dos ángulos internos, ambos agudos o ambos
obtusos y situados uno a cada lado de la secante.
Ej.:
 a y  .......
e
h
a
d
b
d
b
c
 c y ........
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
79
MATEMÁTICA
Dos ángulos alternos internos son iguales (pues ambos son agudos o ambos
obtusos)
 ....... =  b
.......... =  d
II. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS.
Son dos ángulos externos, ambos agudos o ambos
obtusos y situados uno a cada lado de la secante.
Ej:
 e y  .......
 g y ........
Dos ángulos alternos externos son iguales
 ....... =  f
 .......... =  h
e
f
g
h
III. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES.
Son dos ángulos, uno interno y otro externo, ambos agudos o ambos obtusos y
situados en el mismo lado de la secante.
e
Dos ángulos correspondientes son iguales.
 e y b
b
 a y  ........
 ....... y  d
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
80
MATEMÁTICA
 ........ y  ........
IV. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS.
Son dos ángulos internos, uno agudo otro obtuso
Ambos situados del mismo lado de la secante.
Ej:
a y d
........ y ........
Dos ángulos conjugados internos suman 180°.
a + d = 180°
 c + b = .........
V. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS.
Son dos ángulos externos, uno agudo otro obtuso
Ambos situados del mismo lado de la secante.
Ej.:
g y  f
 ........ y  h
Dos ángulos conjugados externos suman 180°.
 g +  f = 180°
 ....... +  ....... = 180°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
81
MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
1.
Observar la figura y completar:
Dos rectas paralelas, cortadas por una secante forman ...............ángulos
f.
Los ángulos internos son: (........................................................)
g.
Los ángulos externos son: (........................................................)
h.
Los pares de ángulos correspondientes son:
(.................................); (.................................), (.................................) y
(...........................)
i.
Los pares de ángulos alternos internos son:
(.................................) y (...........................)
j.
Los pares de ángulos alternos externos son:
(.................................) y (...........................)
k.
l.
2.
Los pares de ángulos opuestos por el vértice son:
(.................................); (.................................), (.................................) y
(...........................)
Citar dos ángulos internos que sean suplementarios y dos ángulos
externos que también lo sean:
Ángulos internos (.................................)
Ángulos externos (.................................)
Observar también la figura del lado y determinar los ángulos:
a = .................................
 b = .................................
c = .................................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
82
MATEMÁTICA
3.
Determinar el valor de x:
 x = .................................
4.
 x = .................................
En la figura siguiente, responder:
¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo?
......................................................
¿Cuál es la medida de cada ángulo obtuso?
......................................................
5.
Completar el siguiente cuadro observando el dibujo y el ejemplo.
Alternos internos
 B y  H ,  C y  E
Alternos externos
Correspondientes
Conjugados internos
Conjugados externos
Opuestos por el vértice
6.
Determinar las medidas de los ángulos sin ayuda del transportador,
observando el dibujo.
 1 = .............32°....................
 2 = ......................................
 3 = ......................................
 4 = ......................................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
83
MATEMÁTICA
7.
Dar nombres a los pares de rectas representados abajo:
Rectas .................................................
Rectas .................................................
Rectas .................................................
8.
Determinar la medida de cada uno de los ángulos desconocidos:
a = .............130°...........
b = ..............................
 c = ................................
d = ..................................
9.
Si
Si
Si
Si
Si
 e = .....................
 f = ......................
 g = .....................
 h = ......................
Completar observando la figura
b
c
s
q
a
=
=
=
=
=
70° , entonces
65° , entonces
65° , entonces
80° , entonces
20° , entonces
r
p
a
d
p
=
=
=
=
=
.............
.............
.............
.............
.............
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
84
MATEMÁTICA
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS:
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
8
( 1,  4,  6,  7)
( 2,  3,  5, 8)
(2, 6) ; ( 1, 5) ;
(4,  6) y ( 1, 7)
(3,  5) y ( 2, 8)
(1,  3) ; ( 2, 4) ;
( 6, 7) y ( 5, 8)
2.
 a = 50°
3.
x = 150°
4.
30°
( 8,  4) ; ( 3, 7)
( 6, 8) ; (5, 7)
 b = 130°
 c = 50°
 x = 60°
150°
5.
 B y  H ,  C y  E
 D y  F ,  A y  G
 D y  H , C y  G,  Ay  E ,
Correspondientes
 ByF
Conjugados internos
 E y  B ,  C y  H
Conjugados externos  A y  F ,  D y  G
 B y  D , A y  C,  E y  G,
Opuestos por el vértice  F y  H
Alternos internos
Alternos externos
6.
2 = 148°
 3 = 32°
7.
Paralelas – perpendiculares - concurrentes
8.
 b = 50°
 c = 130°
9.
 f = 70°
 p = 65°
d = 50°
e = 130°
 a = 65°
 d = 80°
 4 = 148°
 f = 50°
 g = 130°
 h = 50°
 q = 160°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
85
MATEMÁTICA
15.2. PROPIEDADES AUXILIARES.
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS:
Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales, ó son suplementarios.
Se ve que son como dos paralelas entre dos secantes.




    180

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES:
Si dos ángulos
suplementarios.
tienen sus lados perpendiculares: o son iguales
ó son
    180

OTRAS PROPIEDADES


m




n

m+n = ++
n

 +  +  +  = 180º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO

m
+ = m+n
86
MATEMÁTICA
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR:
Si se traza la bisectriz de un ángulo interior de un trapecio ADFC, se genera un
triángulo isósceles, donde el segmento CA es igual al segmento CG, y la base
no igual es el segmento AG.
TEOREMA DE THALES:
Tres o más paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos
mutuamente proporcionales.
Si se aplica a un trapecio ADFC:
Se cumple que:
AB DE

BC EF
THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO:
Si se juntan las dos secantes, el trapecio se transforma en triángulo, pero por ser
paralelas entre dos secantes, el teorema de Thales se sigue cumpliendo:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
87
MATEMÁTICA
Se cumple que:
AB AE

BC EF
EJERCICIOS RESUELTOS DE:
Ángulos y paralelas.
1. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 355°25’20” y 31°39’47”
A) 18°40”
D) 23°10’
B) 35°12’
E) 13°
C) 27°5’7”
Solución: 355°25’20” + 31°39’47” = 386°64’67” = 27°5’7”
2. Dividir en 5 partes, el ángulo : 310°10’45”
A) 82°35’
D) 63° 2’4”
B) 12°24’
E) 62°2’9”
C) 56°8’
Solución: 310°10’45” 5 = 62°2’9”
3. Efectuar la resta : 15°50” y 11°50’59”
A) 3°9’51”
D) 7°34’
B) 4°12’30”
E) 5°17’
C) 7°10’
Solución: 14°60’50” - 11°50’59” = 3°9’51”
4. Hallar el triple de 192°45’55”
A) 170°24’
D) 279°23’
B) 250°15”
E) 335°20’15”
C) 218°17’45”
Solución: 192°45’55” x 3 = 576°135’165” = 218°17’45”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
88
MATEMÁTICA
5. Dos ángulos conjugados internos donde uno es el triplo del otro.¿Cuánto mide
el ángulo conjugado del doble del ángulo menor?
A) 18°
D) 23°
B) 35°
E) 13°
C) 90°
Solución:
Por ser conjugados (+) = 180°, luego (+ 3) =180°, luego  = 45°
Luego 2 = 90° y su conjugado es 90°
6. Dos ángulos conjugados externos miden 5K + 45° y 4K+15°. Hallar el
suplemento del complemento de la mitad del ángulo menor.
A) 37°
D) 45°
B) 44°
E) 39°
C) 124°10’
Solución:
Por ser conjugados (5K + 45°) + ( 4K+15°.) = 180° entonces K= 13°20’
El ángulo menor mide  = 68°20’ y la mitad 34°10’
Luego SC(34°10’) = 180°- ( 90° - 34°10’) = 124°10’
7. Calcular el valor del ángulo menor, sabiendo que los ángulos conjugados
internos están en razón 2/3.
A) 60°
D) 53°
B) 44°
E) 37°
C) 72°
Solución:
Por ser conjugados 2K + 3K = 180° entonces K= 36°
El ángulo menor mide 2K = 72°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
89
MATEMÁTICA
PARALELAS:
8. Si L1 // L2 . Hallar “x”.
SOLUCIÓN
2 y 2 son ángulos conjugados internos, luego dichos ángulos
suplementarios, es decir su suma vale 180°, entonces:
son
 +  = 90°
El ángulo x está formado por la suma de los ángulos  y  , porque son ángulos
alternos internos, por lo tanto:
+ = x
= 90°
9. En la figura, L1 // L2, hallar .


60º

SOLUCIÓN:
Si se trazan paralelas por los vértices de los ángulos y se aplican ángulos alternos
internos y ángulos opuestos por el vértice, se obtiene:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
90
MATEMÁTICA
Es decir
Finalmente
2  +  = 60°
 = 20°
10. Si el triángulo ABC es equilátero y L1 // L2 , hallar 
SOLUCIÓN:
Por triángulo equilátero
 B = 60°
Por opuestos por el vértice  V = 6 
Por suplementario
 U = 180° - 
Por propiedad de triángulos
El ángulo
 D = 240° - 6 
El ángulo
E = 60° + 
Como la suma de ángulos internos de un pentágono es 540°, entonces
 B + U + E + D + V = 540°
si se pone en función de  y resuelve, resulta que
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
 = 24°
91
MATEMÁTICA
11. Hallar la suma de los siguientes ángulos:
37° 19’ 43” + 112° 53’ 38”
A) 150° 13’ 21”
D) 149° 12’ 21”
B) 149° 62’ 71”
E) 150° 03’ 11”
C) 149° 72’ 21”
Solución: 37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” = 149°72’81” = 150° 13’ 21”
12. Efectuar la resta de los siguientes ángulos:
112°23’ 35” - 10°15’20”
A) 112° 25’ 15”
D) 112° 5’ 15”
B) 102° 8’ 15”
E) 92° 15’ 25”
C) 112° 25’ 45”
Solución: 112°23’ 35” - 10°15’20” = 102° 8’ 15”
13. Hallar el cociente de 309° 27’ 52” por 25:
A) 12° 22’ 12 22/25”
D) 12° 12’ 32” 2/25
B) 22° 12’ 42”
C) 9° 2’ 42” 2/5
E) 32° 22’ 42” 23/25
Solución: 309° 27’ 52”  25 = 12° 22’ 12 22/25”
14. Dividir en 5 partes, el ángulo 162°
A) 82°35’
B) 12°24’
C) 56°8’
D) 63° 2’4”
E) 32°25’
Solución: 162°  5 = 32°25’
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
92
MATEMÁTICA
EJERCICIOS PROPUESTOS:
ALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.
1. Hallar x, si L1 // L2:
A)
B)
C)
D)
E)
20°
30°
40°
50°
60°
2. Hallar x/y, si L1 // L2:
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
1/5
3/2
2
3. Calcular x, si L1 // L2, (a + b) = 4x
A) 20°
B) 50°
C) 30°
D) 10°
E) 40°.
4. Calcular x, si L1 // L2 y si L3 // L4
A)
B)
C)
D)
E)
145°
105°
175°
95°
80°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
93
MATEMÁTICA
5. Si L1// L2 // L3 , hallar “x”
Si a = 45°
A) 30°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 11°
6. Si L1// L2 , hallar “ x ”
A) 30°
B) 45°
C) 51°
D) 60°
E) 75°
7. Si
L1// L2 ,
hallar “x”:
A) 120°
B) 100°
C) 102,8°
D) 150°
E) 90°
8. Si
L1// L2 ,
hallar “x”:
A) 98°
B) 108°
C) 45°
D) 120°
E) 116°
9. Si
A)
B)
C)
D)
E)
L1// L2 ,
34°
14°
60°
30°
50°
hallar “y”:
L1
L2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
94
MATEMÁTICA
10. Si CG es bisectriz.
L1// L2 , hallar “x”
A)
B)
C)
D)
E)
140°
48°
120°
100°
95
L1
L2
11. Dos ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas miden:
(2 - ) y (+ ).
Encontrar  / .
A) 2/3
B) 1
C)4/5
D) 2
E) 145
12. Dos ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas miden:
2x y (3x – 40°). Hallar x:
A) 30°
B) 25°
C) 40°
D) 45°
E) 20°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
95
MATEMÁTICA
UNIDAD 16
CIRCUNFERENCIA CÍRCULO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
96
MATEMÁTICA
CIRCUNFERENCIA.
16.1.
DEFINICIÓN.
Es el lugar geométrico, de los puntos de un plano que equidistan de otro punto
llamado centro. La distancia del centro a cualquiera de los puntos del lugar
geométrico se llama radio.
16.2.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.
Líneas notables en la circunferencia.
Para el gráfico adyacente:
O : Centro
r : Radio
QP : Cuerda
CD : Diámetro
AB : Arco
L1 :
Recta
tangente
(T:
punto
de
tangencia)
L 2 : Recta secante
MN : Flecha o sagita
16.3.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
1) Ángulo central.
2) Ángulo inscrito.
AOB = AB
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
B
AC
2
97
MATEMÁTICA
3) Ángulo semi inscrito.
ATB 
4) Ángulo interior.
X
AT
2
AB  CD
2
5) Ángulo exterior.
Casos que se pueden presentar:
a.- De dos secantes.
b.- De secante y tangente.
P
AB  CD
2
P
AT  TB
2
c.- De dos tangentes.
NOTA: para este caso particular
se cumple que:
P + AB = 180°
ACB  AB
P
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
98
MATEMÁTICA
16.4.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA.
1) La recta L
tangente a una circunferencia es
perpendicular al radio o al diámetro en el punto de
tangencia. (forman un ángulo de 90 grados)
2) Si dos cuerdas miden igual entonces los arcos
correspondientes también miden igual y viceversa.
Si AB  CD entonces AB = CD
3) Los arcos comprendidos entre dos cuerdas
paralelas miden igual.
Si AB // CD , entonces AC = BD
NOTA
Si la recta L es tangente y AB // L entonces
AT = TB
4) Las rectas tangentes trazadas a una misma
circunferencia desde un punto exterior, miden
igual.
Se cumple que:
PA = PB y
OP es bisectriz
5) Todo diámetro o radio perpendicular a
una cuerda divide a dicha cuerda y a los
arcos correspondientes en partes
iguales.
Se cumple que:
AE = EB y AN = NB
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
99
MATEMÁTICA
REGIONES CIRCULARES.
O: Centro de circunferencia
OA
: radio
1) Sector circular.
2) Segmento circular.
3) Corona circular.
4) Trapecio circular.
5) Segmento o faja circular.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
100
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Si AC = 100º y AB = 110º. Hallar la medida del ángulo CAB.
A) 150°
B) 155°
C) 166°
D) 75°
E )120°
Solución.
El arco CB mide 360º - (100º + 110º) = 150º.
100º
C
Como el ángulo CAB es inscrito, entonces
CAB = 150º ÷ 2 = 75º.
A
B
110º
2) Hallar el valor de “x”
A) 70º
B) 110º
C) 120º
D) 130º
E) 150º
Solución.
A
220º
140º
F
B
X
Por propiedad, el arco AFC mide 140º
y el arco AC mide 360º - 140º = 220º.
Como el ángulo AFC es inscrito
entonces mide 220º ÷ 2 = 110º.
40º
C
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
101
MATEMÁTICA
3) Hallar la medida del ángulo “x”
A) 15°
B) 20°
C) 25°
D) 40°
E) 50º
Solución.
Por propiedad, el arco AC mide 140º y
A
como el ABC es inscrito, su medida es
X
140º
B 70º
de 140º ÷ 2 = 70º.
40º
En el triángulo rectángulo , X = 90º-70º
= 20º.
C
4) Si CD = 134º, hallar la medida del ángulo AOB si “O” es el centro del la
circunferencia.
A) 30°
B) 45°
C) 50°
D) 46°
E) 60°
Solución.
El ángulo de 90º es un ángulo interior a la circunferencia, entonces su medida es
igual a:
CD  AB 134 º  AB
90º =
=
de donde AB = 180º - 134º = 46º.
2
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
102
MATEMÁTICA
5) Si BC es igual a 5 veces AD. Hallar la medida de BC.
A) 47°
B) 38°
C) 58°
D) 100°
E) 70º
Solución.
B
Como el ángulo BEC es exterior a
la circunferencia, su medida es
A
5x
40º X
E
C
D
igual a
40º =
5x - x
2
80º = 4x
x = 20º
por lo que BC = 100º.
6) Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.
A) 100°
B) 110°
C) 120°
D) 130°
E) 150º
Solución.
D
El arco AC mide 80º. Completando la
C
circunferencia, se tiene que el CAB
80º
40º
A
B
= 260º .
El ángulo C por ser inscrito, su
medida será 260º ÷ 2 = 130º.
180º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
103
MATEMÁTICA
7) Hallar la medida de AB si “O” es el centro de la circunferencia de radio igual a
10 cm.
A) 4 cm
B) 6 cm
C) 8 cm
D) 12cm
E) 10cm
Solución.
A
Se
P
la altura
OP del
triángulo
isósceles AOB , donde AP = PB = 6, por lo
B
10 37º
traza
que AB = 12 cm.
10
O
8) Una cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro de una circunferencia.
Hallar la medida del diámetro.
A) 15 cm
B) 17cm
C) 34 cm
D) 38cm
E) 20cm
Solución.
B
A
P
Se
construye
el
triángulo
isósceles
AOB
trazando los radios. Se traza la mediatriz OP.
15
8
8
Para hallar la medida de OB aplicar el teorema
O
de Pitágoras.
OB =
15 2  8 2 = 17 entonces diámetro=34 cm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
104
MATEMÁTICA
9)
En una circunferencia de 13 cm de radio, calcular la medida de la flecha
correspondiente a una cuerda de 24cm.
A) 17 cm
B) 8 cm
C) 5 cm
D) 10 cm
E) 7 cm
Solución.
X
Suponiendo que la medida de la flecha sea
X. Como el radio mide 13, uno de los catetos
del triángulo mide 13-x.
12
-x
13
13
Aplicando el teorema de Pitágoras:
132 = (13 - x)2 + 122
169 - 144 = (13 - x)2
25 = (13 - x)2
5 = 13 - x de donde x= 8
10) El ángulo P mide 32º. Hallar la medida del ángulo ACD.
D
C
P
A
B
Solución.
Trazar el radio al punto de tangencia
D
C
A
D. Completar la circunferencia tal que
58º
P
B
el arco BD mide 58º y el arco ABD
mide
180º+58º=238º.
El
ángulo
inscrito ACD medirá 238º ÷ 2 = 119º.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
105
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL I
1.
Del extremo de un árbol de 60 mm de diámetro se quiere sacar el mayor
cuadrado posible. ¿Qué longitud tendrá el lado?
2.
Se desea transformar la superficie de un círculo de 44,18 cm2 en una
superficie cuadrada equivalente. Calcule el lado.
3.
En un árbol hexagonal se mide una longitud de entre caras de 75 mm. ¿Cuál
es el diámetro de árbol necesario?
4.
El extremo de una barra de 55 cm de diámetro ha de recibir por fresado el
mayor hexágono posible. Calcule la longitud de entre caras.
5.
Se quiere fabricar de un círculo de 1963,5 cm2 el mayor hexágono. ¿Qué
porcentaje es desperdicios?
6.
Determinar para las siguientes figuras el diámetro de la circunferencia
inscrita y circunscrita:
a) Para un triángulo equilátero con 30 mm de lado.
b) Para un cuadrado con 30 mm de lado.
c) Para un hexágono con30 mm de diagonal central.
7.
De una plancha de chapa rectangular de 750 x 400 mm han de cortarse
discos de 180 mm de diámetro. Calcular el número de discos.
8.
De un círculo de 380 mm de diámetro se cortan 8 sectores circulares
iguales. Calcular la superficie de sector, la longitud del arco y el ángulo
central.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
106
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL II
9.
Si “O” es el centro de la circunferencia
y CBD = 130°. Calcular “x”.
A) 50°
B) 40°
C) 30°
D) 25°
E) 20°
10. Si “O” es el centro y AB = OC . Hallar “X”.
A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°
11. Si AB es diámetro, “O” es centro. Hallar la medida del ángulo BCD.
A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°
12. Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el valor de “x”.
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
E) 41°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
107
MATEMÁTICA
13. Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.
A)
B)
C)
D)
E)
100°
110°
120°
130°
150°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
108
MATEMÁTICA
UNIDAD 17
POLÍGONOS: TRIÁNGULOS,
CUADRILÁTEROS.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
109
MATEMÁTICA
POLÍGONO.
17.1.
DEFINICIÓN.
Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más
segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de
este polígono quede cerrada una porción de plano, llamada REGIÓN
POLIGONAL.
17.2.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.
C
B

A


O
F
M
D
E
 Lados. AB, BC, CD, DE, EF y FA.
 Vértices. Puntos A, B, C, D, E y F.
 Diagonales. Segmento que une dos vértices no consecutivos. Ejemplo: BF.
 Angulo Interior. 
 Angulo Exterior.

 Angulo Central.

 Apotema. OM, segmento que une el centro del polígono regular con el punto
medio del lado del polígono y son perpendiculares.
 Perímetro. AB + BC + CD + DE + EF + FA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
110
MATEMÁTICA
17.3.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.
17.3.1. DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS.
Triángulo
3 lados
Pentágono
5 lados
Exágono
Heptágono
7 lados
Octágono
Nonágono
9 lados
Endecágono
11 lados
Pentadecágono 15 lados
17.3.2
Cuadrilátero
4 lados
6 lados
8 lados
Decágono
10 lados
Dodecágono 12 lados
Icoságono
20 lados
DE ACUERDO A LAS MEDIDAS A SUS ELEMENTOS.
 POLÍGONO CONVEXO. Todos sus ángulos internos miden menos de 180°.
 POLÍGONO CONCAVO. Por lo menos uno de sus ángulos internos mide más
de 180°.
 POLÍGONO EQUILÁTERO. Todos sus lados tienen igual medida.
 POLÍGONO EQUIÁNGULO. Todos sus ángulos internos tienen igual medida.
 POLÍGONO REGULAR. Sus lados y sus ángulos internos tiene igual medida.
 POLÍGONO IRREGULAR- Es aquel polígono que no es regular
Polígono Convexo
Polígono Equilátero
Polígono Cóncavo
P. Equiángulo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
Polígono Regular
111
MATEMÁTICA
Observaciones:
 En todo polígono, el número de lados (n) es igual al número de vértices (nv), e
igual al número de ángulos interiores (ni), número de ángulos exteriores (ne),
número de ángulos centrales (nc).
n = n v = n i = ne = n c
 Todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito en una circunferencia.
POLÍGONO INSCRITO EN UNA
CIRCUNFERENCIA
POLÍGONO CIRCUNSCRITO A
UNA CIRCUNFERENCIA
 En todo polígono regular inscrito, la apotema y la
sagita o también llamada flecha, forman el radio de la
circunferencia que circunscribe al polígono.
OP: Apotema; PQ: Sagita o flecha; OQ: Radio de la
circunferencia.
O
P
Q
17.4.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
Sea un polígono de “n” lados.
 Total de Diagonales:
D
n.(n  3)
2
Número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice :
cual divide al polígono en n – 2
n–3
La
Triángulos.
 Suma de medidas de los ángulos internos (Si):
Si  180.(n  2)
 Suma de medidas de los ángulos externos (Se):
Se  360
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
112
MATEMÁTICA
Nota:
 = e
Se = S = 360º
 Ángulo Interior ( i ): Polígono Equiángulo
i 
180.(n  2)
n
360
n
θ
 Angulo Central (). Polígono regular
 Angulo Exterior (e). Polígono Equiángulo
e
360
n
Para un polígono estrellado:
Un polígono estrellado se origina al prolongar los lados de un polígono
convexo. Ejemplo pentágono estrellado ABCDE. (es el menor polígono
estrellado que se puede formar), sus lados son AC, CE, ....
B
Ángulo interno
A
C
Ángulo externo
E
D
 La suma de las medidas de los ángulos internos (puntas):
SP  180º.(n  4)
 La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 720º
 Si la estrella es regular, La medida de uno de los ángulos internos es:
p
180º.( n  4)
n
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
113
MATEMÁTICA
HEXÁGONO REGULAR.
Al trazar las diagonales AD, BE y CF, se forman 6 triángulos EQUILÁTEROS.
Los lados del Hexágono tienen igual medida del RADIO de la CIRCUNFERENCIA
que circunscribe al EXÁGONO.
C
B
60°
L
L
L 3
Apotema OM =
2
L. 3
60°
O
60°
A
L
F
M
D
E
2.L
EJERCICIOS
I.
Completar el siguiente cuadro:
Suma de medida de
Nombre del polígono
ángulos internos
S(i)
SUMA DE
MEDIDA DE
ÁNGULOS
EXTERNOS
Total de diagonales (D)
S(e)
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Icoságono
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
114
MATEMÁTICA
II.
Completar el siguiente cuadro si los polígonos son regulares:
MEDIDA DE
ÁNGULO
EXTERNO
(e)
Medida de ángulo interno
Nombre del polígono
(i)
MEDIDA DE
ÁNGULO
CENTRAL

Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Icoságono
III.
Resolver los siguientes problemas:
1. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices
en 18?
a) 6 lados
b)9
c)27
d)15
e)10
2. Cuál es el Polígono regular convexo que si su ángulo interno disminuye en 10°
resultaría otro polígono regular cuyo número de lados sería 2/3 del número de
lados del polígono anterior.
a) 10 lados
b)12
c)14
d)16
e)18
3. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en
12°. El número de lados del polígono es:
a) 5 lados
b)6
c)7
d)8
e)9
4. ¿Cómo se llama el polígono cuyo número de diagonales es igual a su número
de sus lados?
a) Pentágono
b)Heptágono
c) Octágono
d) Hexágono
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
e) Cuadrilátero
115
MATEMÁTICA
5. Si a un polígono se la aumenta en 4 a su número de lados; entonces la suma
de sus ángulos internos se duplica, Hallar el número de vértices.
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 10
6. Hallar la medida de “x” en cada caso: (hexágonos regulares)
a)
b)
c)
x
x
12 cm
O
12 cm
x
O
12 cm
Rpta:..........
Rpta:................
d)
e)
12 cm
Rpta: .............
f)
x
x
x
12 cm
O
Rpta:..........
g)
12 cm
Rpta:................
O
Rpta: .............
x
Rpta:................
12 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
116
MATEMÁTICA
7. Hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares, si el lado de cada
polígono mide 24 3 cm:
a)
b)
Rpta: ..............
17.5.
c)
Rpta: ...................
Rpta: ............
TRIÁNGULO.
Polígono de tres lados:
b
a
Región Triangular
a
c
b
c
Perímetro = a + b + c
Semiperímetro =
abc
2
17.5.1. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.
I. De acuerdo a la relación entre sus lados, pueden ser:
 Triángulo Equilátero.
 Triángulo Isósceles.
 Triángulo Escaleno.
A) Triángulo Equilátero. Sus tres lados son de igual medida.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
117
MATEMÁTICA
B
60°
BM es “Altura”, “Bisectriz”, “Mediana” y
“Mediatriz”, a la vez.
30° 30°
h=L 3
2
L
L
L
60°
60°
60°
60°
A
C
M
L
L
L
2
2
B) Triángulo Isósceles. Dos de sus lados son de igual medida.
B
BM es la Altura relativa a la
base y a la vez es:
“Mediana”, “Bisectriz” y
“Mediatriz”.




A
C
M
Base
C) Triángulo Escaleno. Sus tres lados son de diferente medida.
B
c

a


A
C
b
II. De acuerdo a la medida de sus ángulos, pueden ser:
 Triángulo Rectángulo.
 Triángulo Acutángulo.
 Triángulo Obtusángulo.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
118
MATEMÁTICA
A) Triángulo Rectángulo. Tiene un ángulo interno que mide 90º.
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIANGULO
RECTÁNGULO
b
a
h

h2 = m.n
a2 = m.c
b2 = n.c
a.b = c.h
a2 + b2 = c2
1
1
1


a2 b2 h2

m
n
c
RELACIÓN ENTRE LOS
LADOS DEL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO Y LA
CIRCUNFERENCIA
INSCRITA
a + b = c + 2r
b
a
Area = m.n
r
m
n
c

B) Triángulo Acutángulo.
Todos sus ángulos internos miden menos de 90º.


C) Triángulo Obtusángulo. Tiene un ángulo interno mayor de 90 º.
 >
B
Altur
a
90°

A
C
Base
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
119
MATEMÁTICA
17.5.2. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO.
1. ALTURA: Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae
perpendicular sobre su lado opuesto.
El Punto de Intersección de Las Alturas se llama ORTOCENTRO. (ver los gráficos, el
pto. “O” es el Ortocentro).
T. ACUTÁNGULO
T. OBTUSÁNGULO
T. RECTÁNGULO
O
O
O
2. BISECTRIZ. Es un rayo que partiendo de un vértice, divide al ángulo
correspondiente a dicho vértice en dos ángulos congruentes.
C
Bisectriz
Interior
Bisectriz
Exterior


A


B
C
 
El INCENTRO es el punto de intersección de las
bisectrices interiores del triángulo.
I : INCENTRO
I
El incentro es el centro de la circunferencia
que se encuentra inscrita en el Triángulo.


A
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO


B
120
MATEMÁTICA
El EXCENTRO es el punto de intersección de una bisectriz interior y 2 bisectrices
exteriores.
El excentro es el centro de la circunferencia tangente exteriormente con el
triángulo (Ver Gráfico).
E : EXCENTRO
 C

E
I




B
A
3. MEDIANA. Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae sobre el
lado opuesto dividiéndolo en dos partes iguales.
El BARICENTRO es el pto. de intersección de las medianas. El BARICENTRO
divide a la mediana en dos segmentos proporcionales como 2 es a 1.
B
O: BARICENTRO
O: BARICENTRO
N
P
y
2x
O
2z
A
O
z
x
2y
C
M
4. MEDIATRIZ. Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa por su
punto medio.
C: CIRCUNCENTRO
N
P
C
M
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
121
MATEMÁTICA
El CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia que circunscribe al
triángulo
C
C
C
T. ACUTÁNGULO
T. OBTUSÁNGULO
T. RECTÁNGULO
CEVIANA. Segmento que une el vértice del triángulo con cualquier punto del lado
C
opuesto.
Ceviana exterior
Ceviana interior
A
N
B
M
17.5.3. TEOREMAS ELEMENTALES SOBRE TRIÁNGULOS.
1º.
2º.
3º.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los
ángulos internos no adyacentes.
La suma de los ángulos exteriores del triángulo suman 360°.
e= + 
g
f=+

f

g=+

e
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
 +  +  = 180°
e + f + g = 360°
122
MATEMÁTICA
4º.
A ángulo mayor se le pone lado mayor y ángulo menor se le pone lado
menor.

Si:  >  >
a

c


Entonces:
b
a>b>c
5º.
Naturaleza de existencia de un triángulo:
Para que un triángulo exista debe cumplir como mínimo la siguiente
condición.
b + c > a > b – c
“Cualquier lado del triángulo debe ser mayor
que la diferencia de los otros dos lados, pero
menor que la suma de dichos lados”
b
c
a
6º.
Ángulos formados por dos bisectrices.



X=


x

90 
x

2

X=
b).- 2 bisectrices Exteriores:
x


2
X=


2
 

a).- 2 bisectrices interiores:
90 

 
c).- Una bisectriz Interior y una bisectriz Exterior:
7º.
C
Teorema de los puntos medios.
Si: M y N son puntos medios,
MN
AB
M
Entonces:
MN =
N
AB
2
B
A
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
123
MATEMÁTICA
8º.
Mediana Relativa a la HIPOTENUSA.
B
La mediana BM mide la mitad de la hipotenusa.
k
k
k
A
9º.
Teorema de la bisectriz Interior
a m

b n
 
a
C
M
b
x
x2  a.b  m.n
m
n
10º. Teorema de la bisectriz exterior.

c
c m

a n

a
x2  m.n  a.c
x
n
m
11º. Teorema del Incentro.


m ab

n
c
b
m
a
I


n
c
12º. Teorema del Mediana.
b
a
a 2  b 2  2x2 
c2
2
x
c
13º. Relaciones de Áreas en un Triángulo.
A1
m
A2
n
A
A1 A 2

 3 K
m
n
p
A3
A1  m.K
A 2  n.K
A 3  p.K
p
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
124
MATEMÁTICA
14º. Triángulos Rectángulos Notables:
k
37°
2k
60°
5k
4k
45°
k
30°
k 3
53°
3k
45°
k
25k
74°
k 2
k
7k
53°
2
2k
16°
24k
17.5.4. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
b
a
h

h2 = m.n
a2 = m.c
b2 = n.c
a.b = c.h
a2 + b2 = c2
1
1
1


a2 b2 h2

m
n
c
PROBLEMAS:
1. Los ángulos de un triángulo miden: 6x, 5x+10° y 3x + 30. ¿Qué clase de
triángulo es?
Rpta: ………………………………………
2. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las bisectrices interiores de los
ángulos agudos de un triángulo rectángulo?
Rpta: ………………
3. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por una bisectriz exterior y la
prolongación de una bisectriz interior, en un triángulo equilátero?
Rpta: …………………
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
125
MATEMÁTICA
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) el ángulo A mide 70°. Si se traza
altura BH (H  AC). ¿Cuánto mide el ángulo HBC
Rpta: ………………
5. En un Triángulo, la medida del ángulo determinado por dos bisectrices
exteriores es el doble de la medida del tercer ángulo. ¿Cuánto mide dicho
ángulo?
Rpta: …………
6. La distancia de un punto de la bisectriz de un ángulo a uno de los lados es 3x
+ 5, y la distancia al otro lado es 2x + 15 ¿Cuál es dicha distancia?
Rpta: ……………………
7. En un Triángulo rectángulo, la distancia del Circuncentro al Ortocentro es 12
cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Rpta: ……………………
8. Dos lados de un triángulo isósceles tienen longitudes 7 y 14 cm,
respectivamente. Hallar el perímetro,
a) 28 cm b) 35 cm c) 25 cm d) a ó b e) 21 cm
9. Las longitudes de las medianas de un triángulo equilátero, suman 6 cm. Hallar
el perímetro
a) 18 cm b) 36 c) 4 3
d) 2 3
e) 3
10. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de
razón 7 cm. El mínimo valor entero, en cm. del perímetro es:
a) 20 cm b) 21 cm c) 41 cm d) 42 cm e) 43 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
126
MATEMÁTICA
11. En al figura, hallar la longitud “x”
a) 12
5
7
b) 13
x
10
c) 14
53°
37°
d) 15
e) 16
12. En un triángulo equilátero de lado 12 cm inscrito en una circunferencia, hallar
el perímetro del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de las
sagitas de los tres lados.
a) 36 cm b) 18 cm c) 27 cm d) 24 cm e) 30 cm
13. En el triángulo ABC equilátero, calcular:
MN + NP
B
a) 6 3
b) 2  3 3
P
c) 4  2 3
d) 4  6 3
N
A
8 cm
M
8 cm
C
e) 10 3
14. En al Figura MN = NC = BC. Hallar x
a) 80°
c) 90°
B
M
b) 75°
d) 60°
e) 85°
x
40°
A
20°
C
N
15. Dado el triángulo equilátero de lado L. Hallar el lado del cuadrado inscrito en
dicho triángulo.
a) L3 b) L2 c) L(3 + 1) d) L5 e) L(23 – 3)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
127
MATEMÁTICA
16. Cada lado de un triángulo isósceles mide el doble de la base. Si el perímetro
mide 30 cm ¿Cuánto mide la altura relativa a la base?
a) 12 b)213 c)315 d)5 3 e)10
17. La altura trazada a la base de un triángulo isósceles es un sexto de la base. El
lado igual mide 1010. La base mide:
a) 60 b)50 c)64
d)80 e)75
18. Si los siguientes grupos de valores representan longitudes de segmentos,
¿Con cuántos grupos se pueden construir triángulos?
I. 1, 1 y 1
a) 1
II. 2, 3 y 5
b)2
III. 7, 7 y 1
c)3
d)4
IV. 2 , 2 y 6
V. 5, 12 y 13
e)5
19. Si los lados de un triángulo miden 27 cm, 30 cm y 51 cm respectivamente. El
triángulo es:
a) Acutángulo b)Obtusángulo c)Rectángulo
d)Isósceles
e)Equilátero.
20. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5m y 12m, ¿Cuánto mide la
altura relativa a la hipotenusa?
a) 5 b)60/13 c)12
17.6.
d)4
e)13
CUADRILÁTERO.
Polígono de cuatro lados, donde sus ángulos internos suman 360º.
17.6.1. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.
1. Trapezoide. Sus lados no son paralelos
2. Trapecio. Posee únicamente un par de lados opuestos paralelos.
3. Paralelogramo. Los lados opuestos son paralelos.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
128
MATEMÁTICA
C
17.6.2. TRAPEZOIDE.
B
D
A
B
Caso Particular:
C
A
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO O BISÓSCELES
 Sus diagonales son perpendiculares
 BD es mediatriz de AC.
D
17.6.3. TRAPECIO.
b
B
C
b
B
C
AD : Base Mayor
M
BC : Base menor
BH : Altura
A
BC   AD
N
h
D
H
D
A
B
B
MN : Mediana
Clases de Trapecios:
B

C

 +  = 180º
 +  = 180º
B
B
C
C




D
A
A


D
A
D
Trapecio Rectángulo
Trapecio Escaleno
Trapecio Isósceles
PROPIEDADES:
b
MN 
a) MN : Mediana
M
N
B  b
2
MN : Es paralelo a las Bases.
B
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
129
MATEMÁTICA
b) Sobre la MEDIANA, se ubica los puntos medios de las DIAGONALES (P y Q).
b
PQ 
B - b
M
Q
P
N
2
B
17.6.4. PARALELOGRAMO.
PROPIEDADES:


 Lados opuestos son paralelos y de igual medida.
E
 Sus ángulos internos opuestos son de igual medida
E : Punto medio de las
diagonales
Clases de Paralelogramo:

E



 Sus DIAGONALES, se bisecan.
B : base
h: altura

E
h
h

B
RECTÁNGULO
B
ROMBOIDE
D : Diagonal Mayor
d : Diagonal menor
L
E
45°
d
E
45°
L
CUADRADO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
D
ROMBO
130
MATEMÁTICA
PROBLEMAS:
1. En un cuadrilátero los ángulos están en la relación 1, 2, 3 y 4 ¿Cuánto vale el
ángulo mayor?
a) 150°
b)144
c)100
d)90
e)72
2. Las bases de un trapecio miden 4m y 8m respectivamente, los lados no
paralelos miden 7m cada uno. Calcular el valor de la diagonal.
a) 6m
b)7m
c)8m
d)9m
e)10m
3. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Luego el lado del rombo
mide:
a) 6
b)5
c)8
d)12
e)7
4. El lado de un cuadrado mide lo mismo que la diagonal de otro cuadrado.
¿Cuál es la razón del lado del cuadrado mayor y el lado del cuadrado menor?
a) 2 : 1
b) 1 : 4
c) 1 : 2
d) 1 : 2
e) 2 : 1
5. Si en un cuadrado ABCD de 12 m de lado, se une el vértice A con el punto
medio de BC, cortando a la diagonal BD en el punto E, entonces la distancia
del punto E al lado AD es:
a) 6m
b)4m
c)7m
d)8m
e)5m
6. Determinar la expresión falsa:
a) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
b) El ángulo interior de un polígono regular de 16 lados mide 157°.
c) Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
d) Los ángulos interiores de un rectángulo son rectos.
7. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles mide 16 cm y forman con la
base ángulos de 60°. Si su mediana mide 18 cm ¿Cuánto mide el segmento
que une los puntos medios de las diagonales?
a) 10
b) 26
c) 18
d) 8
e) 16
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
131
MATEMÁTICA
8. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 10 cm respectivamente. Si un
lado no paralelo determina un ángulo de 60° con la base. ¿Cuánto mide dicho
lado?
a) 15
b) 14
c) 13
d) 10
e) 12
9. En un Rombo ABCD, las diagonales miden 12 y 16 cm. Hallar la longitud del
segmento trazado desde el vértice B al punto medio del “lado opuesto”. (BD
diagonal menor).
a) 7cm
b) 8
c) 5
d) 6
e)
3a
10. En la figura mostrada, calcular “x”.
a) 20°
d) 30º
b) 40°
e) 50º
c) 60°
97

x
2
a
11. En un Rombo, las diagonales miden 6 y 8 cm. Hallar la distancia que hay entre
dos lados opuestos.
a) 5 cm
b) 4,8 cm c) 4,5 cm
d) 3 cm e) 6 cm
12. El perímetro de un rombo es 80 cm y uno de sus ángulos mide 60°. ¿Cuál es
la diferencia entre la diagonal mayor y la diagonal menor.


a) 20 3  1
b) 20 3  1
c) 10 3  1 d) 10 3  1 e) 15 3  1
13. En un romboide ABCD la diagonal BD se prolonga hasta el punto E, luego se
prolonga CE hasta el punto F, tal que AF // BD.
Calcular AF si DE = 4 cm y BD = 6 cm.
a) 12 cm
b) 13
c) 15
d) 14
e) 16
14. En un rectángulo ABCD, los lados AB y BC miden 8 y 12 cm respectivamente.
Se traza la bisectriz del ángulo A, que determina en BC al punto M ¿Cuánto
mide la mediana del Trapecio AMCD?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 10
e) 12
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
132
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS:
1. Hallar “x” (BC // AD)
A. 30º
B. 18º
C. 37º
D. 45º
E. 60º
2. Hallar “x”
A. 120º
B. 100º
C. 135º
D. 160º
E. 150º
3. Hallar “x”
A. 30º
B. 25º
C. 15º
D. 18º
E. 20º
4. Hallar “x” (BC // AD)
B
C
A. 21
B. 20
C. 18
D. 19
A
D
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
133
MATEMÁTICA
UNIDAD 18
PERÍMETRO
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
134
MATEMÁTICA
18.1
DEFINICIONES PREVIAS.
Región Plana: Es una porción de plano cuyo contorno es una línea cerrada, la
línea que limita a la región puede ser poligonal o una curva cerrada.
Perímetro de una región: Es la medida de la longitud de la línea (o líneas) que
conforman el borde o contorno de una región.
18.2.
PERÍMETRO DE LAS PRINCIPALES REGIONES PLANAS.
a) Cuadrado
(b) Rectángulo

(c) Triángulo
b
a
a
a
b
 
b

P=4
(d) Polígono regular de “n”
lados de longitud “ “
c
P = 2a + 2b
P=a+b+c
(e) Sector Circular


(f) Longitud de
circunferencia
A
L
R
R
 
O

 

O
B
P = Longitud de Arco + 2R
2R

+R
 L  2R
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
135
P = n. P =
360 o
MATEMÁTICA
PERÍMETRO DE LOS POLÍGONOS (En general).
Usando una regla, se puede determinar, separadamente, la medida de cada lado
del polígono siguiente, intentar y completar.
A
AB =
mm
BC =
mm
CD =
mm
DA =
mm
B
C
D
Sumando esas medidas, se encuentra la medida del contorno del polígono.
Así: AB + BC+ CD + DA=
Completar:
+
+
+
=
La medida del contorno del polígono es denominada PERÍMETRO (P).
Se puede decir entonces que:
Perímetro de un polígono es la suma de las medida de sus lados.
Ejemplo: Hallar el perímetro del polígono siguiente:
Completar: P = 1,5 cm +
P =
+
+
+
+
2
2,5
1,5
1,5
4
El perímetro es de 11,50 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
136
MATEMÁTICA
En ciertos polígonos, el cálculo del perímetro puede ser hecho de forma más
simple, no se requiere una fórmula especial para cada caso, pues el modo de
calcularlo es simple y directo.
Ejemplo:
1. Calcular el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm.
Como los lados del triángulo equilátero
son iguales se tiene:
P = 3L en este caso
P = 3 x 5 cm
P = 15 cm
Lado
L = 5 cm
Se concluye que la fórmula del perímetro del triángulo equilátero es:
P=3xL
de donde “L” es la medida del lado.
2. Calcular el perímetro del cuadrado cuyo lado mide 3 cm.
El cuadrado tiene 4 lados iguales.
Luego:
P = 4L
P = 4 x 3 cm
P = cm
Lado
L = 3 cm.
Concluyéndose: El perímetro del cuadrado está dado por la fórmula:
P=4xL
Observación:
Si el polígono es regular, todos los lados son iguales, y el
perímetro se obtendrá multiplicando la medida del lado (L) por
el número de lados (n).
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
137
MATEMÁTICA
Ejemplo:
El perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 8 cm será:
P = ..................... x 5
= ............................. cm
P=nxL
3. Calcular el perímetro del rectángulo siguiente:
ALTURA
Como el rectángulo tiene sus lados
opuestos iguales, tenemos:
h = 3 cm
P = 5 + 3+ 5 + 3
P = .................... cm
b = 5 cm
BASE
5
Luego el perímetro del rectángulo será:
3
3
P = 2.( b + h )
P = 2.b + 2.h
5
Resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:
1. Calcular el perímetro de los triángulos equiláteros siguientes:
a)
L = 3 cm P =....................
b)
L = 4,5 cm P =....................
2. Calcular el perímetro de los cuadrados siguientes:
a)
L = 2 cm P =....................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
138
MATEMÁTICA
b)
L = 1,5 cm P =....................
3. Calcular el perímetro de los rectángulos siguientes:
b = 5 cm
a)
h = 2 cm
P =....................
b = 6,5 cm
b)
h= 1,5 cm
P =....................
4. Calcular el perímetro del rombo.
a)
L = 3,50 cm
P = ....................
5. Calcular el perímetro de las figuras, en mm.
20
a)
5
35
P=……………....
45
b)
12
P=…….........…..
10
30
5
37
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
139
MATEMÁTICA
c)
P =.....................
14
20
15
45
d)
P =.....................
15
42
6. Completar el siguiente cuadro:
Triángulo
Equilátero
L
Cuadrado
P
5 cm
L
Rombo
P
L
0,4 cm
120 mm
1,8 cm
144mm
Rectángulo
b
h
4 mm
25 mm
10 mm
1,5 cm
12 cm
10 cm
0,25 m
P
82 mm
16 mm
P
40 mm
7. Calcular el perímetro de las figuras:
a)
b)
9/16”
1/2”
7/8”
5/8”
P =............
c)
1 1/2”
5/8”
1”
P =............
P =............
Antes de proseguir, corregir todos los ejercicios:
1) a) 9 cm b) 13,5 cm
2) a) 8 cm b) 6 cm
3) a) 14 cm b) 16 cm
4) a) 14 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
140
MATEMÁTICA
5) a) 105 mm b) 94 mm c) 94 mm d) 114 mm
6)
Triángulo
Equilátero
L
Cuadrado
P
L
15 cm
40 mm
P
Rombo
L
1,6 cm
36 mm
5,4 cm
7) a) 3 ¾ “
b) 2 15/16”
1m
Rectángulo
P
b
h
16 mm
70 mm
6 cm
44 cm
20,5 mm
4 mm
c) 4 ¼”
Así como se determinó el perímetro de los polígonos, puede determinar el
PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA, o sea, su LONGITUD.
Envolver un cilindro con un pedazo de hilo, como lo
muestra la figura.
17,5 cm
Estirar enseguida el hilo y medir la longitud obtenida. Se
habrá determinado experimentalmente, la longitud de la
circunferencia, o sea, su perímetro.
Dibujo pag. 314
55,6
cm
Si ahora se divide la longitud obtenida (55,6 cm) por el diámetro de esa
circunferencia (17,7 cm), se obtendrá un cociente aproximadamente igual al
número 3,14.
Dibujo pag 314
D = 17.7
cm
D = 17.7
cm
P
D = 17.7
cm
C = 55.6 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
141
MATEMÁTICA
Sean dos (o más) circunferencia de diámetros diferentes, por ejemplo:
C = 32,044 cm
c 32,044

 ............
d
10,2
d = 10,2 cm
C = 19,479 cm
c 19,479

 ............
d
6,2
d = 6,2 cm
Procurar calcular los cocientes y llenar los vacíos.
Siempre que se divida la longitud de una circunferencia por su diámetro obtendrá,
aproximadamente, como cociente, el número 3,14; como se encontró
anteriormente.
Por lo tanto, siempre será:
c
 3,14 (Con aproximación al centésimo)
d
Ese número 3,14 es representado por la letra griega  (pi)
3,14 = 
Cualquiera que sea la circunferencia, se debe recordar siempre que
Longitud de circunferencia
π
Diámetro
Luego, se quiere determinar la longitud de una circunferencia, basta multiplicar el
diámetro por  (3,14), por lo tanto:
Longitud de circunferencia = Diámetro x 
Que se representa:
C
=
.D
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
142
MATEMÁTICA
Como el diámetro es igual a 2 veces el radio (D = 2r), se puede escribir también.
C = 2 .R
Observación:
1°  = 3,14
 = 22/7
2° Perímetro de la circunferencia = Longitud de la circunferencia
Ejemplos:
1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm?
D = 6 cm, Como: C =  . D
Se tiene que: C = 3,14 x 6 cm
C =.................. cm
2. Determinar la longitud de la circunferencia que tiene 5 mm de radio.
R = 5 mm
C =2..r
C = 2 x 3,14 x 5 mm
C =........................ mm
Ejercicios de reforzamiento para que usted resuelva:
1. Calcular la longitud de la circunferencia cuyo diámetro mide 7 cm.
C =..............................
2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene 2,7 cm de radio?
C =..............................
3. Calcular el perímetro del círculo cuyo radio mide 9 cm.
P =..............................
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
143
MATEMÁTICA
4. Un círculo que mide 3,7 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro?
P =..............................
5. Un disco con un diámetro que mide 10 cm da una vuelta completa sobre un
carril, ¿Cuál fue la distancia recorrida?
10 cm
Distancia =.............................. cm
6. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia de una rueda cuyo radio mide 25
cm?
C =..............................
7. Las ruedas de una bicicleta miden 70 cm de diámetro. ¿Cuál es la longitud de
su circunferencia? ¿Cuál será la distancia recorrida por un ciclista, si cada una
de las ruedas de la bicicleta han dado 1000 vueltas?
C =.............................. cm
Distancia recorrida =............................... m.
8. Un carril de longitud 9,42 m. ¿Cuántas vueltas tiene que dar una rueda de 50
cm de diámetro para recorrerlo?
R =.................... vueltas
9. Las ruedas de una bicicleta tienen como diámetro 0,5 m y la otra 40 cm,
respectivamente. Si al desplazar la bicicleta, se observa que la suma de
vueltas que dan las dos ruedas es 18 000, ¿Qué distancia en metros ha
recorrido la bicicleta?
distancia =.................... m.
10. El auto de Guillermo se desplaza con una velocidad de 20 m / s, durante 2
minutos 37 segundos, y cada rueda tiene un radio que mide 40 cm, ¿Cuántas
vueltas habrá dado cada rueda?
R =.................... vueltas
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
144
MATEMÁTICA
Corregir las respuestas:
1. 21,98 cm
2. 16,956 cm
3. 56,52 cm
4. 23,236 cm
5. 31,14 cm
6. 157 cm
7. c = 219,8 cm
Distancia = 2 198 m
8. 6 vueltas
9. 12560 m
10. 1250 vueltas
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
145
MATEMÁTICA
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Hallar la longitud aproximada de la SOLUCIÓN :
30”
correa de transmisión requerida para
el trabajo mostrado en la figura
L
30”
=12”
Los 2 arcos “L”, forman una circunferencia de
12” de diámetro.
Perímetro = 30” + 30” + Long. Circunferencia
Perímetro = 30” + 30” + 12”.(3,14)
Perímetro = 97,68 “
2. Calcular el perímetro del trapecio SOLUCIÓN :
rectángulo. (Las medidas están en
B
metros)
24
7

7
C

25
25


A
25

7
E
7
D
Hallamos AB en el triángulo rectángulo ABC:
(Teorema de Pitágoras)
AB2 = 252 - 72
AB = 24
Como BC es paralelo AD, entonces la m A del
triángulo ACD mide “”.
El triángulo ACD es Isósceles, por lo tanto CD =
25.
Trazamos CE (Altura del Triángulo Isósceles
ACD) por lo tanto AE = ED = 7.
Perímetro = 24m + 25m + 7m + 14m = 70m
3. Determinar el perímetro de la figura
SOLUCIÓN :
La suma de todos los segmentos horizontales
mide el doble de 13 cm.
La suma de todos los segmentos verticales
mide el doble de 15 cm.
15 cm
Perímetro = 2.(13cm) + 2.(15cm) = 56 cm.
13 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
146
MATEMÁTICA
4. Calcular el perímetro de la región SOLUCIÓN :
B
achurada
6m
6m
P
3
3
r
A
R
6-r
Q
C
r
Unimos los centros P y Q.
En el Triángulo rectángulo PAQ (Teorema de
Pitágoras) :
(3 + r)2 = 32 + (6 – r)2
9 + 36 – 12r + r2 = r2 + 6r + 9
r = 2
L1
3
Entonces : AR = 2
L2
2
A
L3
2 R
Perímetro = 2 + L1 + L2 + L3 .
Perímetro = 2 
Perímetro =
2(6) 2(3) 2(2)


4
2
2
( 2  8 ) metros
= 27,12 m.
5. Se tiene un polígono de ángulo SOLUCIÓN :
central 20° y su lado de 5 cm. Hallar
360º
 central =
el perímetro del polígono.
n
360º
n =
= 18 lados
20º
Perímetro = 18.(5 cm) = 90 cm
6. La mediana de un trapecio es 12 m. SOLUCIÓN :
Hallar su perímetro si los lados no
Bb
Mediana =
= 12 m  B + b = 24 m
paralelos suman 10 m.
2
b
D
C
Perímetro = B + b + C + D
Perímetro = 24m
+
10 m
= 34 m
B
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
147
MATEMÁTICA
7. La figura es un triángulo equilátero SOLUCIÓN :
de 8 cm de lado, calcular el
El perímetro es la suma de las tres longitudes
perímetro de la parte sombreada.
de arco, de ángulo central 60º y de radio igual a
4 cm. Que llegan a formar el arco de una
semicircunferencia:
L
60º
L
L
L
L
60º
L
60º
60º
60º
4 cm
60º
4 cm
Perímetro = 2.(4cm) = 8 cm.
8. Hallar el perímetro de la región SOLUCIÓN :
sombreada (las medidas están en
12
milímetros)
4
L2
18
L1
20
8
Las longitudes de arcos de un mismo ángulo
central son proporcionales a sus respectivos
radios:
L1 18 L 2


4 12 20
18
4
8
Entonces :
16
L1 = 6 y
L2 = 30
Perímetro = 4 + 4 + L1 + 18 + 8 + 8 + L2
Perímetro = 4 + 4 + 6 + 18 + 8 + 8 + 30
Perímetro = 78 mm.
9. Hallar el perímetro de la región SOLUCIÓN :
sombreada
12
3
12
m.
6
6
6 L
L
L 6
L
12 m.
12
Perímetro = 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 + 4L
 2(3) 

 2 
Perímetro = 48 + 4 
Perímetro = 48 + 12
Perímetro = 12.( 4 +  ) m.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
= 85,68 m
148
MATEMÁTICA
10. Calcular el perímetro del área SOLUCIÓN :
sombreada. OB = 5 m. EC = 2m.
E
2
E
C
3
B
C
O
O
A
4
B
5
3
A 1 D
4
D
Radio del Sector Circular : OB
E = OE = 5
Como EC = 2 ; Entonces
CO = 3 = AB.
C
En el Triángulo rectángulo
=
(Teorema de Pitágoras):
hallamos
CB
CB2 = 52 - 32 2  CB = 4 = OA
Como OA = 4 , Entonces AD = 1
m
Perímetro = EC + CB + AB + AD + EBD
Perímetro = 2 + 4 + 3 + 1 +
Perímetro = 10 +
2π5
4
5π
2
Perímetro = 17,85 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
149
MATEMÁTICA
PERIMETROS NIVEL I
1. El diámetro de un árbol es de 315 mm. ¿Cuál es su perímetro?
2. Una polea de transmisión tiene un diámetro de 450 mm. ¿Cuántas
revoluciones ejecuta en un trecho de 1 km?
3. ¿Qué longitud de correa se necesita para dos poleas de transmisión de 350
mm de diámetro dada una distancia entre centros de 1,5 m?
4. ¿Cuál es el diámetro de una ventana redonda con igual perímetro de una
ventana cuadrada con 620 mm de lado?
.
5. ¿Qué trayecto (en m/min) recorre una broca espiral de 20 mm de diámetro de
un minuto cuando la taladradora ejecuta 520 revoluciones?
6. ¿Cuántos metros de alambre de 1,2 mm de diámetro se pueden enrollar en
una bobina de 120 mm de longitud y 55 mm de diámetro? (Sin tener en
cuenta el grosor del alambre)
7. Para el trazado de una curva se necesita un arco con 210 mm de diámetro y
120° de ángulo central. Calcular la longitud del arco.
8. Una plantilla de chapa tiene una longitud de arco de 312 mm y un ángulo
central de 106°. Calcular el diámetro.
9. Se quiere fabricar una cubierta protectora con una longitud de arco de 818 mm
y un radio de 310 mm. Calcular el ángulo central.
10. Siendo la longitud del arco de un disco de mando circular de 420 mm y
teniendo lugar la inversión de marcha después de 80°, calcular el diámetro.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
150
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Calcular el perímetro del paralelogramo.
12


7
A) 46
B) 38
C) 48
D) 30
E) 36
2. Calcular el perímetro de la figura
4m
4m
A) 20,56 cm B) 205,6 cm C) 2056 cm D) 28,56 cm
E) 0,2856 cm
3. El perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es de 24
cm. Calcular el perímetro de otro hexágono regular determinado al unir los
puntos medios de los lados.
A) 12 3
B) 16 2
C) 8 3
D) 24 3
E) 12 2
4. El perímetro de la parte sombreada mide 62,8 cm, ABCD es un cuadrado y
los puntos N, M, P y Q son puntos medios. Hallar el lado del cuadrado
A)
B)
C)
D)
E)
20 cm
10 cm
28 cm
25 cm
15 cm
B
M
N
A
C
P
Q
D
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
151
MATEMÁTICA
5. Hallar el perímetro de la región sombreada R = 20 cm y r = 10 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
30 cm
(30 - 80) cm
(30 + 80) cm
(30 + 20) cm
100 cm
R
r
6. Hallar el perímetro de la región sombreada, M y N puntos medios y ABC es
un triángulo equilátero de lado 4 m.
A) 4 3  
B
B) 8  
2
C) 8  
3
M
D) 3  
E) 8
A
C
N
7. Si en la figura, ABC es un triángulo equilátero, y en cada lado tomamos el
punto medio para formar otro triángulo. ¿Qué parte del perímetro de ABC es
el perímetro del triángulo achurado?
A)
B)
C)
D)
E)
B
1/2
1/3
1/4
1/16
1/32
A
C
8. Hallar el perímetro de la figura, lado del cuadrado es 8 cm
A)
B)
C)
D)
E)
42,84 cm
40,56 cm
48,24 cm
40 cm
48 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
152
MATEMÁTICA
9. Hallar el perímetro de la parte achurada.
A)
B)
C)
D)
E)
6 cm
24,5 cm
17,5 cm
20,5 cm
35,5 cm 6 cm
36 cm
10. Hallar el perímetro.
8
2
5
16
6
5
A) 72
B) 42
C) 50
D)60
E)82
11. Hallar el perímetro de la región sombreada
A) 2 
B)
C)
D)
E)
8
3
6
2  6
4
5
60°
4
12. Hallar el perímetro de la figura sombreada, lado del hexágono es 6 cm
A)
B)
C)
D)
E)
4(3 + 2) cm
(4 + 3) cm
3(4 + 2) cm
(12 + ) cm
(3 + 2) cm
13. Hallar el perímetro
A)
B)
C)
D)
E)
40( + 1)
40
( + 40)
40( - 1)
120
60 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
153
MATEMÁTICA
14. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo equilátero cuyo lado
mide 4 3 metros, Hallar el perímetro del hexágono inscrito en dicha
circunferencia?
A) 15 m B) 24 m C) 50 m D)6 m E) 12 m
15. Hallar el perímetro del triángulo que resulta de unir los puntos medios de
los lados no consecutivos de un hexágono regular cuya sagita mide
12  6 3 metros


A) 65 m B) 54 m C) 50 m D)60 m E) 42 m
16. Hallar el perímetro de la figura sombreada, el lado del cuadrado es 20 cm.
A) 20
B) 25 C) 30
D) 10 E) 35
17. Hallar el perímetro del rectángulo.
4
m
6
m
18 m
A) 68
B) 84 C) 36
D) 70 E) 72
18. Hallar el perímetro de la región sombreada, las circunferencias tiene un
radio de 10 m.


A) 20 8  3 m
B) 180 m
D) 160 3 m
E) 8 20  3 m

C) 160 m

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
154
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III
1. Hallar el perímetro de un rombo, si es 6 veces el perímetro de un triángulo
equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro.
a) 24 3 cm
b) 48 3 cm
c) 72 3 cm
d) 60 cm
e) 210 cm
2. El perímetro de un trapecio equivale al de un rombo cuyas diagonales miden
60 y 80 cm. Si la altura del trapecio es igual a la mitad de la diagonal menor y
los lados no paralelos miden 50 cm cada uno. ¿cuánto mide la base mayor?
a) 50 cm
b) 10 cm
c) 90 cm
d) 70 cm
3. Un rectángulo tiene el doble de perímetro que un cuadrado de 36 cm 2 de
área. La base del rectángulo mide el triple de su altura. ¿cuánto mide la base
del rectángulo?
a) 6 cm
b) 18 cm
c) 48 cm
d) 9 cm
4. Dos ruedas de 36 y 48 cm de radio están en contacto. Si la primera da 400
vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la segunda en media hora ?
a) 9 000
b) 300
c) 500
d) 3 000
e) 800
5. En la figura, abcd es un cuadrado. Hallar el perímetro de la región sombreada.
A) 22,28 dm
B) 20,56 dm
C) 16+2  dm
D) 8+2  dm
E) 4+8  dm
A
B
4 dm
D
C
6. El lado del hexágono regular mide 4 cm. Hallar el perímetro de la región
sombreada.
A) 8 3 cm
B) (8 3 +1) cm
C) ( 3 +8) cm
D) 8( 3 +1) cm
E) 21,2 cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
155
MATEMÁTICA
7. El perímetro del trapecio circular mide 6,2 m. Hallar la medida del ángulo  .

2
30º
60º
22º
21º
15º
m
m
a)
b)
c)
d)
e)
22
)
7
2
(=
8. Hallar el perímetro de la figura sombreada.
6 cm
8 cm
A) (10+14  ) cm
B) (14+20  ) cm
C) (10  +8) cm
D) (14+5  ) cm
E) (14  +5) cm
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
156
MATEMÁTICA
UNIDAD 19
MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
157
MATEMÁTICA
19.1.
MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.
MEDIDAS DE SUPERFICIE.
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una
unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y
corresponde
a
un
cuadrado
de
un
metro
de
lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus
múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100
La medida de una superficie es llamada ÁREA DE SUPERFICE. La unidad
fundamental de medida de superficie, o sea, el área, es el metro cuadrado (m2).
1m
m2
1m
m2 = Área de un cuadrado de 1m de lado
Por ejemplo, medida de la superficie ABCD es:
1 m2
2m
Superficie de ABCD = 10 m2
5m
2
En el símbolo m , el exponente 2 indica las dos dimensiones de una superficie
MEDIDAS DE VOLUMEN.
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver
cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de
medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un
metro de lado.
Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus
múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
158
MATEMÁTICA
1m
1 m3
1m
1m
m3 = Volumen de un cubo de 1m de arista
19.2.
REPRESENTACIÓN Y LECTURA.
MEDIDAS DE SUPERFICIE.
Como las unidades de superficie varían de 100 en 100, la cantidad 43,2 dm 2 es
conveniente escribirla 43,20 dm2 y se lee: cuarenta y tres decímetros cuadrados y
veinte centímetros cuadrados.
3,48 m2 se lee: Tres………………………………………………………………….
2,30 m2 se lee: ……………………………………………………………………….
MEDIDAS DE VOLUMEN.
Como las unidades de volumen varían de 1000 en 1000, la cantidad 43,2 dm3 es
conveniente escribirla 43,200 dm3 y se lee: cuarenta y tres decímetros cúbicos y
doscientos centímetros cúbicos.
3,48 m3 se lee: Tres………………………………………………………………….
2,30 m3 se lee: ……………………………………………………………………….
19.3.
CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.
MEDIDAS DE SUPERFICIE.
MÚLTIPLOS
KILÓMETRO
CUADRADO
km2
1 000 000 m
2
UNIDAD
SUBMÚLTIPLOS
HECTÓMETRO
CUADRADO
DECÁMETRO
CUADRADO
CUADRADO
DECÍMETRO
CUADRADO
CENTÍMETRO
CUADRADO
MILÍMETRO
CUADRADO
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
2
1m
10 000 m
2
100 m
METRO
2
0,01 m
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
0,0001 m
2
0,000001 m
2
159
MATEMÁTICA
Para realizar la conversión de unidad de medida de superficie en el sistema
métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:
1.
Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por
100.
2.
Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por
100.
En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.
Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medida de superficie.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Cada grada que se descienda, la
hm2
coma se desplaza hacia la derecha
dos cifras por cada grada
Ejemplo:
2,5326 hm2 = 25 326 m2
0,38 m2 =…………… dm2
0,001532 dam2………………cm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
160
MATEMÁTICA
Cada grupo que se sube, la coma se desplaza hacia la izquierda dos cifras por
cada grada.
Ejemplo:
108,42 dm2 = 1,0842 m2
5083 m2 =……………. km2
Concluyendo:
Unidad
Unidad
inmediatamente
inmediatamente
superior
inferior


0,345697 dam2
=
34,5697 m2
=
3456,97 dm2

Derecha
La coma se
desplaza dos
lugares
izquierda

para
Siempre que sea necesario agregar ceros.
Hacer estas transformaciones:
1.
5,86 dam2 a dm2
3.
12,05 m2 a cm2
2.
183,2 cm2 a dam2
4.
78350 dm2 a dam2
Las respuestas deben ser:
1.
58600 dm2
2.
0,00018320 dam2
3.
120500 cm2
4.
7,835 dam2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
161
MATEMÁTICA
EJERCICIOS:
1.
Llenar los espacios con las palabras adecuadas:
a) Toda superficie tiene dos dimensiones: ……………………. y ……………….
b) Medir una superficie es compararla con otra tomada como ………………..
El resultado obtenido de esta comparación se llama ………………………….
c) Área es la ……………………………………………….…… de una superficie.
d) Un metro cuadrado tiene ………………………………decímetros cuadrados.
e) Un decímetro cuadrado tiene…………………………centímetros cuadrados.
f) 1 m2 = ……………… dm2 …………………. cm2……………… mm2…………
2.
Transformar en metros cuadrados. Observar antes los ejemplos:
a) 14542,75 cm2 = 1,454275 m2
b) 0,72 dm2 = 0,0072 m2
c) 2 mm2 = 0,000002 m2
d) 81 dm2 = ……………………………... m2
e) 0,04512 dam2 = ……………………… m2
f) 1415,30 cm2 = ………………………. m2
g) 545,1257 hm2 = …………………….. m2
3.
El hecho de existir en cada unidad de área 10 divisiones de 10 unidades
cuadradas, permite escribir:
a) 1 cm2 tiene 10 veces 10 mm2 = 100 mm2  1 cm2 = 100 mm2
b) 1 dm2 tiene ……. veces …………cm2 = ………….. cm2  1 dm2 = …cm2
c) 1 m2 tiene …….. veces …………….. dm2 = ………….. dm2  …………
d) 1 dam2 tiene …….. veces …………… m2 = …………… m2 ………………
e) 1 hm2 tiene …….. veces ……….… dam2 = …………. dam2 ………………
f) 1 km2 tiene …….. veces …………… hm2 = …………. hm2 ………………
Ahora, corregir:
1.
a) Largo y ancho b) Unidad, área c) Medida
d) 100 e) 100 f) 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
162
MATEMÁTICA
2.
d) 0,81 e) 4,5120f) 0,141530
g) 5451257 h) 0,001260
3.
b) 10 x 10 = 100  100
c) 10 x 10 = 100  1 m2 = 100 dm2
d) 10 x 10 = 100  1 dm2 = 100 m2
e) 10 x 10 = 100  1 hm2 = 100 dam2
f) 10 x 10 = 100  1 km2 = 100 hm2
Continuar:
4.
Completar:
a) 2,12 m2 + 31,45 dm2 + 12 cm2 = …………………………………………mm2
b) (5,12 m2 + 588,50 dm2) – 30 050 cm2 =………………………………… mm2
5.
Completar:
a) 4,50 m2 + 45 dm2 + 445 mm2 = ……………………………………………cm2
b) 0,85 m2 + 15 dm2 – 5 000 mm2 = ……………………………………….. cm2
6.
Completar:
a) 4 m2 + 1 245 cm2 + 500 000 mm2 = ………………………………………dm2
b) 100 000 mm2 + (0,9 m2 – 5 000 cm2) = ………………………………… dm2
7.
Completar:
a) 6,45 dm2 – (6,45 mm2 + 6,45 cm2) = ……………………………………..m2
b) (6,45 dm2 + 6,45 mm2 – 6,45 cm2) = …………………………………… m2
Corregir:
4.
a) 2 435 700 mm2 b) 8 000 000 mm2
5.
a) 49 504,45 cm2 b) 9 950 cm2
6.
a) 462, 45 dm2
7.
a) 0,06384855 m2 b) 0,06386145 m2
b) 50 dm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
163
MATEMÁTICA
MEDIDAS DE VOLUMEN.
SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO
decímetro cúbico
dm3
1 dm3 = 0,001 m3
centímetro cúbico
cm3
1 cm3 = 0,001 dm3
milímetro cúbico
mm3
1 mm3 = 0,001 cm3
EQUIVALENCIAS ENTRE
DISTINTAS UNIDADES DE
MEDIDA PARA EL AGUA
Las unidades de volumen,
capacidad y peso del agua
están relacionadas:
Un litro de agua a 4º C de
temperatura peso 1 kg y
ocupa un volumen de 1 dm3.
1m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3
MÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO
decámetro cúbico
dam3
1 dam3 = 1 000 m3
hectómetro cúbico
hm3
1 hm3 = 1 000 dam3
kilómetro cúbico
km3
1 km3 = 1000 hm3
Capacidad
Volumen
1 litro equivale 1dm3
Peso
1 kg
1m3 = 0,001 dam3 = 0,000 001 hm3 = 0,000 000 001 km3
equivale
Volumen
1dm3
Para realizar la conversión de unidad de medida de volumen en el sistema
métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:
1.
Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por
1000.
2.
Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por
1000.
En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.
Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medidas de volumen.
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
164
MATEMÁTICA
Cada grada que usted descienda, la
coma se desplaza hacia la derecha
hm3
cifras por cada grada.
Ejemplo:
2,5326 hm3 = 2 532 600 m3
0,38 m3 = …………… dm3
0,001532 dam3 ………………cm3
Cada grupo que usted sube, la coma se desplaza hacia la izquierda, tres cifras
por cada grada.
Ejemplo:
108,42 dm3 = 0,108 42 m3
5083 m3 = ……………. Km3
Concluyendo:
Unidad
Unidad
inmediatamente
inmediatamente
superior
inferior


0,0345697 dam3
=
34,5697 m3
=
34569,7 dm3

Derecha
La coma se desplaza
tres lugares
izquierda

para
Siempre que sea necesario agregar ceros.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
165
MATEMÁTICA
Realizar las siguientes transformaciones:
1. 5,86 dam3 a dm3
3. 12,05 m3 a cm3
2. 183,2 cm3 a dam3
4. 78350 dm3 a dam3
Las respuestas deben ser:
1. 5860000 dm3
2. 0,00000018320 dam3
3. 12050000 cm3
4. 0,07835 dam3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
166
MATEMÁTICA
EJERCICIOS:
1. Transformar en metros cúbicos. Observar antes los ejemplos:
a) 14542,75 cm3 = 0,01454275 m3
b) 0,72 dm3 = 0,00072 m3
c) 2 mm3 = 0,000000002 m3
d) 81 dm3 = ……………………………... m3
e) 0,04512 dam3 = ……………………… m3
f) 1415,30 cm3 = ………………………. m3
g) 545,1257 hm3 = …………………….. m3
Continuar:
1. Completar:
c) 2,12 m3 + 31,45 dm3 + 12 cm3 = …………………………………………mm3
d) (5,12 m3 + 588,50 dm3) – 30 050 cm3 =………………………………… mm3
2. Completar:
c) 4,50 m3 + 45 dm3 + 445 mm3 = ……………………………………………cm3
d) 0,85 m3 + 15 dm3 – 5 000 mm3 = ……………………………………….. cm3
19.4. AREAS DE PRINCIPALES REGIONES PLANAS.
ÁREA DEL RECTÁNGULO
En la figura del lado, se tiene un rectángulo de 6 cm. de
largo y 3 cm. de ancho, cuya área es de 6 x 3 = 18 cm2.
Representado por A el área del rectángulo, por “b” la
base y por “h” la altura, se tendrá la fórmula.
A=b.h
P = 2 (b + h)
P: perímetro
Completar:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
167
MATEMÁTICA
El área del rectángulo es igual al producto de la medida de …………………………
por la medida de la altura.
Calcular el área del rectángulo que tiene 5 cm. de base y 4 cm de altura.
Respuesta: ……………………..
ÁREA DEL CUADRADO
El cuadrado es un rectángulo en donde la medida de la base es igual a la medida
de la altura (b = h). Por lo tanto, el área puede ser encontrada a través de la
fórmula:
A=b.h
Por lo tanto:
b=1 A=b.h

P=4L
d=L
2
d = diagonal
h=1 A=1.1
P = perímetro
A = 12
Completar:
- El área del cuadrado es igual al cuadrado de la medida del………………………
……………………………………………………………………………………………
- ¿Cuál es el área del cuadrado de 8 cm. de lado? …………………………………
……………………………………………………………………………………………
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
168
MATEMÁTICA
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
Si se dibuja en un papel las figuras que a continuación se presentan y recorta el
triángulo QTR; luego lo coloca haciendo coincidir RQ con SP , le resulta un
…………………...
trapecio / rombo / rectángulo
(  SIGNIFICA EXACTAMENTE IGUAL)
QT es la altura h. Área del Paralelogramo  Área del cuadrilátero
TT’ (RS) es la base B del rectángulo, Luego:
Área del paralelogramo
A = b.h
Ejemplo:
Medida de la base = 5 (b)
Medida de la altura = 3 (h)
A=b.h
A = 5 . 3 A = 15 cm2
Es el área del paralelogramo de base b y altura h.
Completar:
Para calcular el área del paralelogramo, se utiliza la misma fórmula que se utiliza
para calcular el área del ……..…………………………………………………………..
rectángulo / cuadrado
Un paralelogramo que tiene 8 cm. De base y 3 cm. De altura, tendrá ………….cm2
de área.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
169
MATEMÁTICA
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Observar en la figura, que el área del triángulo QRS
es la mitad del área del paralelogramo QRTS, o sea,
tiene la misma base b y la misma altura h.
Siendo A = b . h
El área del paralelogramo, basta dividir por 2, para obtener el área del triángulo,
como muestra la fórmula.
A
b.h
2
Sustituyendo por las medidas de b y h del triángulo sombreado, se obtendrá:
A
b.h
3 x 2,8
A
2
2
A = ……………….
Respuesta: ……………
Otro ejemplo:
Calcular el área de un triángulo cuyas medidas están en el dibujo
Datos:
b = 8 cm
h = 4 cm
Fórmula:
A
A
b.h
2
.........x .......... ..
2
Completar:
A = ______________ = …………………
Respuesta: …………………
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
170
MATEMÁTICA
ÁREA DEL ROMBO
La figura del lado representa un rectángulo (EFGH);
contiene 8 triángulos rectángulos iguales de los
cuales 4 constituyen el rombo.
Por lo tanto, como el área del rectángulo es:
A=b.h
A = D . d: es entonces el área del rectángulo EFGH
Se ve entonces que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo de
dimensiones D y d; o sea, que el área del rombo es igual a la mitad del producto
de las medidas de las diagonales. Por tanto, el área del rombo esta dada por la
fórmula.
A
D.d
2
Equivale a decir: el área del rombo es igual al semi-producto de las medidas de
sus ………………………… En la fórmula, completa sustituyendo D y d por los
valores de la figura:
A
x
= ………………. cm2
2
Calcular el área de un rombo cuyas diagonales están
representadas en la figura:
Datos: D = 80 mm d = 50 mm
Fórmula: A 
D.d
= …………………
2
Respuesta:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
171
MATEMÁTICA
ÁREA DE TRAPECIO
Sea el trapecio de bases B y b y altura h.
Recortar otro trapecio igual al dibujado.
Ajustar sus lados de modo que se obtenga la figura
del lado. Se obtiene la figura de un ……………
………………………………………………..
trapecio / paralelogramo
El área del paralelogramo (figura total) está dada por:
A =
óA
base . h
= (B + b) . h
Pero, observar que el área sombreada (del trapecio) es apenas la mitad del área
del paralelogramo. De ahí que el área del trapecio será:
A
(B  b) . h
2
Lo que equivale a decir. El área de un trapecio es igual a al mitad del producto de
la suma de las bases por la altura.
Ejemplo:
Calcular el área del trapecio cuyas bases son:
18 m y 12 m, respectivamente, y la altura 9 m.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
172
MATEMÁTICA
Datos:
B = 18 m.
b = 12 m. h = 9 m.
A
(B  b) . h
2
A
(18  12) ........ .......x.........

2
..............

A = ………………… m2
ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR
Con número de lados mayor de 4.
Tomemos, por ejemplo, el hexágono regular ABCDEF representado. Este
hexágono regular puede ser dividido en 6 triángulos equiláteros.
El paralelogramo AGIJ contiene 12 triángulos equiláteros iguales, de los cuales 6
constituyen el hexágono regular dado.
Como el área del paralelogramo es A = b . h y b = 6L
h = apotema (ap)
Apotema: segmento perpendicular trazado del el centro del polígono hacia un
lado.
Entonces el área del paralelogramo AGIJ será:
A = 6L . ap
Pero esta área del paralelogramo es el doble de área del hexágono regular
(observar nuevamente la figura).
Por lo tanto. El área del hexágono regular está dada por la fórmula:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
173
MATEMÁTICA
A
6 . L . ap
2
Sustituyendo 6L por P (perímetro) y apotema por ap, se tendrá:
A
P . ap
P = perímetro
2
Con esta fórmula usted se puede calcular el ÁREA DE CUALQUIER POLÍGONO
REGULAR, desde que sean dadas las mediadas del lado y de al apotema.
Ejemplo:
a)
Calcular el área del hexágono.
L = 20 mm.
ap = 17,32 mm.
A
P . ap
6 . 20 .17,32
 A
=
2
2
A = …………………
b)
Calcular el área del octógono.
Datos: L(8) = ……………………. mm.
ap(8) = …………………….mm.
A=?
A
P . ...........
8 x ....... x ..........
 A
2
2
= …………… mm2
ÁREA DEL CÍRCULO
Tomar, por ejemplo, el círculo representado en el dibujo. Este círculo se dividió en
16 partes iguales.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
174
MATEMÁTICA
2.r
El paralelogramo ABCD contiene 32 partes iguales, de las cuales 16 constituyen
el círculo. El área del paralelogramo se obtiene
A = b.h
=
2r.r
(Recordar que 2  r = Perímetro de la circunferencia).
Como el área es el doble de la del círculo, entonces el
área del círculo será:
A
2 r .r
ó = .r2
2
Ejemplo:
Calcular el área:
Datos:
D = 10 cm
 r = 5 cmSe pide el Área
 = 3,14
A =  . r2  3,14 x 52 = 3,14 x …………….. = …………….…… cm2
Luego: el área del círculo de diámetro 10 cm es de ……………………. cm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
175
MATEMÁTICA
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
SECTOR CIRCULAR
Región limitada por dos radios y el arco correspondiente
º: Ángulo central
AB: arco  º = AB
Sí: r2 -------------- 360º
A< -------------- º
 A< =
 r 2 º
360º
Ejemplo:
Calcule el área del sector circular para un arco 72º, si r = 5 cm
Datos:
R = 5 cm
AB = 72º  º = 72º
Fórmula: A< =
 r 2 º
360º
A< =
(3,14)(5cm) 2 (72º )
360º
A< =
(3,14)(25cm 2 )
5
 = 3,14
A< = ………….. cm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
176
MATEMÁTICA
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
Observe que el área de la corona sombrada es igual a la diferencia entre el área
del círculo mayor y el área del círculo menor; por lo tanto, el área será:
A =  R 2 -  r2
Aplicando la propiedad distributiva tenemos:
A =  (R2 – r2)
Ejemplo:
Calcular el área de una corona circular en la cual: D = 16 cm y d = 14 cm
Datos:
D = 16  R = 8 cm.  D diámetro mayor
d = 14  r = 7 cm.  d diámetro menor
Fórmula:
A =  (R2 – r2)
A = 3,14 (82 – 72)
A = 3,14 (64 – 49)
A = 3,14 x 15
A = ………… cm2
SEGMENTO CIRCULAR
Región circular limitada por una cuerda y un arco. Su área está dada por la
diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo
A SC 
 R 2 . º
360º
 A  BOA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
177
MATEMÁTICA
Ejemplo:
Calcular el área del segmento circular cuyo arco es 74º y su radio 5 cm.
Datos:
R = 5 cm.
AB = 74º   = 74º
A SC 
A SC 
 R 2 . º
360º
 A  BOA
3,14 (5) 2 . (74º ) 2(4 x3)

360º
2
ASC = 16,14 – 12
ASC = ………. cm2
TRAPECIO CIRCULAR
Es la parte de una corona circular limitada por dos radios de la circunferencia
mayor. Su área está dada por la diferencia entre las áreas de los sectores
circulares mayor y menor, respectivamente.
A TC 
 R 2 º  r 2 º
360º

360º
ATC   (R 2  r 2 )
º
360º
Ejemplo:
Calcular el área del trapecio circular de 72º de arco, sabiendo que los radios
miden 10 cm. y 5 cm., respectivamente.
Datos:
Arco = 72º   = 72º
R = 10 cm.
r = 5 cm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
178
MATEMÁTICA
A TC 
A TC 
A TC 
 º
R
360º
2
 r2 
 72º 
360º
10cm    5cm 


2
2


 75cm 
5
2
ATC = …………………
EJERCICIOS:
1.
Determinar el área y los perímetros, las medidas están en milímetros:
a)
Respuesta A= ………mm2P = …….. mm
b)
Respuesta A = ……. m m2
P= ……. mm
2. Calcular el área de los siguientes polígonos:
a)
b)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
179
MATEMÁTICA
c)
d)
e)
3.
a)
c)
Calcular el área de los polígonos siguientes:
b)
d)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
180
MATEMÁTICA
e)
4.
Calcular el área de las figuras que siguen:
Observación:
Las medidas están en cm.
5.
Calcular el área de una lámina de forma trapezoidal, cuyas bases miden,
respectivamente, 16 cm. y 12 cm., y la altura mide 8 cm.
6.
El perímetro de un cuadrado es de 52 dm. Calcular su área.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
181
MATEMÁTICA
7.
Calcular el área del círculo, siendo el dato numérico en mm.
8.
Calcular las partes sombreadas de cada figura. Los datos numéricos se dan
en mm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
182
MATEMÁTICA
Corregir:
1. a) A = 46,24 P = 27,2 b) A = 113,15 P = 45,6
2. a) A = 693
b) A = 149,94
c) A = 685,54
d) A = 663,60
e) a = 14,9 mm P = 103,2 mm A = 768,84 mm2
3. a) 180
b) 699,867
c) 585
d) 60,2
e) 656,04
4. a) 313,50 cm2
b) 43 cm2
c) 815 cm2
d) 24 cm2
5. 112 cm2
6. 169 dm2
7. 2 826 mm2
8. a) 107,875 mm2
b) 329,70 mm2
c) 12,56 mm2
EVALUACIÓN FINAL
1.
Reducir a las unidades que se piden:
a) 45,70 dm2 = Dm2
b) 4 Km2 = m2
c) 3,44 Hm2 = cm2
d) 205,40 m2 = Hm2
2.
Calcular el área de la corona circular siguiente. Los datos están dados en
pulgadas
8
5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
183
MATEMÁTICA
3.
Calcular el área del rombo. Los datos se dan en cm.
45
16
4.
Calcular la parte sombreada. Los datos se dan en pulgadas.
5.
Calcular el área de la figura siguiente: los datos están en mm.
RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN
1.
a) 0,004570 Dm2
b) 4 000 000 m2
c) 344 000 000 cm2
d) 0,020540 Hm2
2.
122,46”2
3.
360 cm2
4.
260,64”2
5.
2 200 mm2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
184
MATEMÁTICA
INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA
1.
Área de regiones triangulares.
a)
Fórmula General
A
b) Triangulo equilátero
b.h
2


A
2. 3
4

c) Fórmula trigonométrica
d) En función de los lados
A  p(p  a )(p  b)(p  c)
a.b.sen 
A
2
b)
Donde :
p  semiperímetro
abc
p
2
En función del radio de la circunferencia inscrita
A
P.r
2
P: perímetro
c)
En función del radio de la
circunferencia circunscrita
A=
a.b.c
4R
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
185
MATEMÁTICA
d)
Relación de áreas
A ABN m

A BNC n
2.
Regiones cuadrangulares
a)
Trapecio
 a+b 
A= 
 .h
 2 
A=m.h
Donde: m = mediana
b) En todo trapecio se cumple que:
a2 = b . c
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
186
MATEMÁTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.
A) 50 cm2 B) 40 cm2 C) 30 cm2 D) 60 cm2 E) 70 cm2
2. El perímetro de un rectángulo es de 40 cm. Si el largo es el triple del ancho
¿Cuál es su área?
A) 55 cm2 B) 60 cm2 C) 75 cm2 D) 85 cm2 E) 70 cm2
3. Hallar el área de un paralelogramo cuya base mide 12 cm., la medida del lado
no paralelo es 8 cm. y el ángulo obtuso mide 150º
A) 45 cm2 B) 46 cm2 C) 48 cm2
D) 50 cm2 E) 54 cm2
4. Hallar el área del triángulo AMN, si M y N son puntos medios.
2 2
2 2
A) 1 u2 B) 2 u2 C) 3 u2
D) 4 u2 E) 5 u2
5. El perímetro de un rombo es 52 m., la diagonal mayor mide24 m. Calcular el
área del rombo.
A) 100 m2 B) 110 m2 C) 120 m2 D) 140 m2 E) 160 m2
6. Una diagonal de un trapecio isósceles mide 13 m. Si la altura es de 5 m., el
área del trapecio es:
A) 30 m2 B) 40 m2 C) 50 m2 D) 50 m2 E) 60 m2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
187
MATEMÁTICA
7. Calcular el área de un hexágono cuyo lado mide 6 cm.
A) 54 3 cm2 B) 56 3 cm2 C) 55 3 cm2 D) 57 3 cm2
E) 58 3 cm2
8. El área de una corona circular mide 12  cm2. Si los radios mayor y menor se
diferencian en 2 cm., entonces los radios suman.
A) 6 cm B) 7 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 10 cm
9. Calcular el área de un trapecio circular comprendido en un ángulo de 54º y los
radios 9m y 6m respectivamente.
A) 6,4 πm2 B) 6,6 πm2 C) 6,50 πm2 D) 70 πm2 E) 6,75 πm2
19.5. VOLUMEN DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.
19.5.1. POLIEDRO.
Un poliedro es una figura que limita una región del espacio
mediante cuatro o más regiones poligonales planas.
19.5.2. PRISMA.
Es un poliedro, dos de cuyas caras son regiones poligonales
congruentes y paralelas, siendo las otras, regiones
paralelográmicas.
 LOS PRISMAS SE PUEDEN CLASIFICAR EN:
Prismas Rectos. Cuando las caras laterales son
perpendiculares a las bases, en este caso las caras laterales son rectángulos y la
arista lateral coincide con la altura.
Prismas Oblicuos. Cuando las caras laterales son oblicuas a las bases.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
188
MATEMÁTICA
Prismas Regulares. Cuando el prisma es recto y las bases son polígonos
regulares.
h
Prisma recto
Prisma oblicuo
 ORTOEDROS.
Es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas
caras forman entre sí ángulos diedros rectos. los
ortoedros son prismas rectangulares rectos, y
también
son
llamados
paralelepípedos
rectangulares. Las caras opuestas son congruentes
y paralelas. Tienen 6 caras y 4 diagonales.
Para calcular la diagonal :
Prisma regular
c
a
d
b
d2  a 2  b 2  c 2
 ÁREAS Y VOLÚMENES DEL PRISMA.
V  ab h
(l arg o  ancho  alto )
At  2ab  2ah  2bh
V  volumen
a, b  lados de la base
h  altura
h
a
b
At  Área total
Paralelepípedo recto.
V  volumen



V  a a  arista o lado 
 At  area total 


3
At  6a 2
a
Cubo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
189
MATEMÁTICA
h
V  B h
A t  2B  perimetro  h
B  área de base
h  altura
A t  área total
Prisma recto
19.5.3. PIRÁMIDE.
Es un poliedro, que tiene por base un polígono. Las caras laterales son triángulos
con un vértice común llamado vértice de la pirámide.
 LAS PIRAMIDES SE CLASIFICAN:
1. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular, pirámide
cuadrangular, etc.
2. Por su forma pueden ser : regular ( si la base es un polígono regular y la altura
cae en el centro de la base); irregular; convexa (cuando la base del polígono
es convexo) y cóncavo
Bh
3
V  volumen
B  area de la base
h  altura
V
hh
Área lateral = AL = Suma de áreas de caras laterales
V
Área total = AL + B
Pirámide
aP
AL = p.aP
OBSERVACIÓN:
Si la pirámide es regular:
Donde:
P : semiperimetro
aP : apotema de la pirámide
aB : apotema de la base
h
AT = p.( aP + aB )
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
aB
190
MATEMÁTICA
SECCIÓN TRANSVERSAL:
En la figura se observa que
paralelo
con
ABCD,
EFGM es
es
sección
transversal de la pirámide de área AB
Aquí se cumple que:
AB h 2
Volumen V - EFGM h 3
 2 y

AB H
Volumen V - ABCD H 3
PROBLEMAS:
Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras
espaciales:
a) . Prisma recto
12
6
8
m ABC = 90º
b)
.
3 3
4
Prisma regular hexagonal
cubo
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
191
MATEMÁTICA
h=2
h
10
Pirámide regular,
de base cuadrangular
c)
EA  H
..
AB  BC
9
12
d)
..
9
ABCD : cuadrado
EB  13 ; AB  4
EB  ABCD
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
192
MATEMÁTICA
19.5.4. CILINDRO.
Un cilindro es una figura geométrica formada por media revolución
de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras idénticas
circulares unidas por un plano curvo y cerrado perpendicular a
ambas caras.
H=g
El volumen, V, de un cilindro con una base de radio R, y altura o
generatriz, H, es el área de la base (un círculo) por la altura, es
decir:
R
V  R 2 .H
El área lateral, AL, de un cilindro con una base de radio R, y altura, H, es:
AL  2R.H
La superficie o área total, AT, de un cilindro con una base de radio r, y altura, h,
es:
AT  2.AB + AL = 2.R2 + 2.R.H = 2.R.(R + .H )
AB : Área de la Base
CILINDRO
ABIERTO
R
2R
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
193
MATEMÁTICA
19.5.5. CONO.
Un cono, es un sólido formado por la revolución de
un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos. Al círculo generado por el otro cateto ( R )
se denomina base y al punto donde confluyen los
lados opuestos se llama vértice (V) y la hipotenusa
generatriz ( g ).
En un cono de revolución:
o Hay solo una base: círculo de radio R
o La generatriz (g) no es congruente a la altura (H)
V
Eje
g
H
R
A
Si pudiéramos abrir un cono a través de su generatriz,
tendríamos el desarrollo de su superficie lateral del
cono en revolución, como se observa en la figura tiene
la forma de un sector circular, con igual radio a “g”.
o Área lateral (AL):
AL = .R.g
o Área Total (AT):
AT = AB + AL = .R2 + .R.g
O
g
B

2R
= .R( R + g )
Donde AB es el Área de la base (círculo).
o Volumen :
V =
1 2
R H
3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
194
MATEMÁTICA
19.5.6. ESFERA.
Es generada por la rotación (360º) de un semicírculo alrededor
del diámetro.
La intersección de cualquier plano con la esfera, origina círculos
como sección. Si un plano pasa por el centro de la esfera, se
obtiene como sección un círculo mayor.
Eje
R
Propiedades:
 Si se traza el radio perpendicular a un círculo
menor, este radio pasa por el centro de dicho
círculo.
 Fórmula para hallar el área de una esferas es:
A = 4R2
 El volumen de la esfera se calcula con la siguiente fórmula:
V=
4
R3
3
 De la esfera una porción de su superficie entre dos
planos paralelos se llama zona esférica y la formula
es:
A zona esférica = 2R.h
 Si una zona tiene solo una
base, a esta superficie se le llama casquete
esférico; su área se calcula así:
A casquete = .AB2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
195
MATEMÁTICA
PROBLEMAS:
Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras
espaciales:
a)
.
b)
c)
d)
.
e)
.
r = 2 3 cm
m = OEC = 30º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
196
MATEMÁTICA
f)
g)
h)
.
i)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
197
MATEMÁTICA
Resolver los siguientes problemas:
1) Calcular la longitud de la arista del cubo donde la distancia del vértice al centro
de la cara opuesta es
6 m.
2) Hallar el volumen del cilindro, si la altura es dos veces el radio. Radio del
cilindro es 2m.
3) Hallar el área lateral del cono recto, si el radio del cono es 2m, y su ángulo del
vértice del cono es 60.
4) El área total de un cubo es numéricamente igual al volumen. ¿Cuánto mide su
arista?
5) El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Calcular su radio.
6) El volumen del cilindro es 30m3. El volumen de la esfera inscrita en dicho
Cilindro es:
7) Un recipiente de agua paralelepípedo de 0,8 x 0,45 x 1,5 m se llena con agua.
¿Cuántos litros caben en él?
8) Un recipiente de aceite con una base de 60 x 40cm está lleno con 140 dm 3 de
aceite ¿Qué altura tiene el nivel de aceite en cm?
9) Transformar un prisma cuadrado de 35 mm de lado en un cilindro de igual
volumen y altura. Calcular el diámetro.
10) El diámetro superior de un balde de agua es de 290 mm, el diámetro inferior
de 180 mm, la altura 320 mm ¿Cuántos litros caben en el balde?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
198