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SEMANA 9
SD
º
 N,2 


TEORÍA DE LOS NÚMEROS
NÚMEROS PRIMOS
)(
)(
)
Sólo cumple para a = 2
N = 2 2 × 32 × 5 2
CD (N) = 3 × 3 × 3 = 27
Sea A = 32000...00 (6 )
1.
(
= 2a − 1 3a+1 − 1 5a+1 − 1 = 3 × 26 × 124
Divisores compuestos de N:
27 – 4 = 23
n cifras
RPTA.: A
Calcule “n” si A tiene 444 divisores
compuestos.
3.
A) 13
D) 15
B) 11
E) 16
C) 12
RESOLUCIÓN
A = 32 (6 ) × 6 = 20 × 6
n
Si:
M = 20x i 30x + 2 ;
tiene
48
divisores positivos múltiplos de 5 y
además impares. Halle “x”
A) 1
D) 4
n
A = 22 × 5× 2 n × 3n
RESOLUCIÓN
A = 2 n + 2 × 3n × 5
M = 20x i 30x + 2
CD( A ) = 444 + 4
CD( A ) = 448
no compuestos
M = 2 3 x+ 2 × 3 x+2 × 5 2 x+ 2
M = 5 3 x + 2 × 5 2 x +1 × 2 3 x + 2
[
0
n = 13
En el número N = 30a , la suma de
sus
divisores
pares
es
2418.
Determine la cantidad de divisores
compuestos de N.
SD
º
N,2


2 − 1 3 − 1 5 − 1
= 2× 
×
×
 = 2418
2
4 
 1
Divisores 2
= 24 = ( x + 3) ( x + 1)
CD 0
= 6 × 4 = (3 + 3) (3 + 1)

 5 impares 


x =3
4.
a+1
º
CD 0
RPTA.: C
N = 2a × 3a × 5a
N = 2(2a−1 × 3a × 5a )
a+1
= 48 = ( x + 3) (2x + 2 )

 5 impares 


C) 21
RESOLUCIÓN
a
CD 0

 5 impares 


RPTA.: A
B) 22
E) 14
]
Divisores impares 5
CD( A) = ( n + 3) (n + 1) = 224 = (13 + 3)(13 + 1) ∴
A) 23
D) 32
C) 3
M = 22x i 5x i 2x + 2 × 3x + 2 × 5x + 2
CD( A ) = ( n + 3) × (n + 1) (1 + 1) = 448
2.
B) 2
E) 5
Halle un número divisible por 6; de 3
cifras y que tenga 21 divisores.
A) 552
D) 288
B) 576
E) 342
C) 522
RESOLUCIÓN
0
M = abc = 6 = 2x × 3y
CD (M) = 21 = 7 × 3
Solo cumple:
x = 6; y =2
M = 26 × 32 = 64 × 9 = 576
RPTA.: B
5.
Si N = 2α.5β.3 tiene 16 divisores
múltiplos de 15 y 16 divisores
múltiplos de 20. Halle la cantidad de
divisores cúbicos de N.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
N = a2 × b3 → 35 divisores
Como: 35 = 5 × 7 = ( 4 + 1) ( 6 + 1)
( ) (y )
Dando forma N = x2
C) 3
(a × b)
n
2
0
(
. N = 2 i 5 2 i 5 i 3 → CD0 = ( α − 1) β i 2 = 16
De donde
20
α=3
β=4
( ) ( )
1
1
N = 23 i 54 i 3 = 23 i 53 i 5 i 3
B) 5
E) 2
simplificando
(
(
RPTA.: E
(a × b)
n
posee
35
divisores
y
posee p9 divisores; halle (n
+ p)
A) 5
D) 9
B) 6
E) 10
⇒
⇒
⇒
9.
Como 101 es primo
ab = primo²
Solo cumple:
ab = 5² ó 7²
Hay 2 números
a2 × b3
)
)
85
17 i 5 5
i 27 ab =
i 2 ab
28
7
7 i 255 ( a + 1) (b + 1) = 17 i 5 i 25 ab
a y b son 3 y 7
a + b = 10
RPTA.: A
Además:
CDN = (1 + 1) (2 + 1)
Si
C) 12
SDN = 28 − 1 ( a + 1) (b + 1) =
N = abab = 101 ab
7.
B) 11
E) 14
N = 27 i a i b ; aplicando el método y
C) 4
Efectuando
la
descomposición
polinómica se obtendrá:
⇒
85
de N (a y b primos).
28
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
⇒
= x2n i y2n
= p9 = 49
A) 10
D) 13
Halle cuántos números de la forma
abab existen, tales que poseen 6
divisores.
A) 6
D) 3
n
Sea N = 128 ab, determine
(a
+ b) si la suma de divisores de N,
es los
CDcubi cos = (1 + 1) (1 + 1) = 4
RPTA.: D
6.
)
RPTA.: C
8.
Luego:
= x4 i y6
2n + 1 = 7 ⇒ n = 3
p=4
piden: n + p = 7
15
)
(
= x2 i y2
(2n + 1)
. N = 3 × 5 (2α i 5β−1 ) → CD = ( α + 1) β = 16
β−1
3
Posee: (2n + 1) (2n + 1) = p9
N = 2α.5β.3
α−2
2
Donde: a = x² ; b = y²
RESOLUCIÓN
2
2
C) 7
Halle el promedio aritmético de los
divisores del número 360.
A) 16,25
C) 68,15
E) 97,5
B) 48,75
D) 47,85
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
360 = 2 × 3 × 5
El número entero considerado admite
como factor primo a tres:
Calcule de la suma de divisores de
360:
N = 3 a i m p i n p .... ⇒ C D N =
3
2
1
24 − 1 33 − 1 52 − 1
SD(360) = 
×
×
 = 1170
 2 −1   3 −1   5 −1 
CD(360) = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 24
1170
Promedio aritmético =
24
PADivisores = 48,75
RPTA.: B
( a + 1) (p + 1) ( q + 1) .... = 24 ........(1)
3 × N = 3(
a + 1)
i mp i nq ....
⇒ CDN = ( a + 2) (p + 1)( q + 1) ... = 30......(2)
De (1) y (2), a =3
Reemplazando en (1)
p = 1, q = 2
N = 33 i m1 i n2 ⇒ 3N2 = 37 i m2 i n4
10.
CD3N2 = (7 + 1) (2 + 1) ( 4 + 1) = 120
Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos
divisores tiene 32!?
33
n
28
32
C)
n
27
33
E)
n
31
A)
31
n
27
32
D)
n
25
CD3N2 = 120
RPTA.: D
B)
12.
En el número 226800, ¿determine
cuántos divisores terminan en las
cifras 1, 3, 7 ó 9?
A) 6
D) 12
RESOLUCIÓN
B) 8
E) 14
C) 10
RESOLUCIÓN
31! = 226 i N → CD31! = 27n = n
226 800 = 24 i 34 i 52 i 71
CD226 800 = ( 4 + 1) ( 4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 150
divisiones sucesivas para obtener la
descomposición del primo 2 en 31!
32! = (31!) 32 = 231N → CD32! = 32n
32! = (31!) 32 = 2 N → CD32!
31
32n
=
27
CD 0 = (3 + 1) ( 4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 120
2
CD 0 = ( 4 + 1) ( 4 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 100
5
CD 0 = (3 + 1) ( 4 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 80
10
CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 =
CD226 800 − CD 0 + CD0 − CD 0  = 10
 2
5
10 

RPTA.: C
11.
Un número tiene 24 divisores y el
triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos
divisores tiene el triple del cuadrado
del mismo?
∴
RPTA.: C
13.
A) 80
C) 100
E) 140
B) 90
D) 120
Son 10 divisores
Si el número. M = 10x i 152y ; tiene el
quintuple del número de divisores de
P = 3x i 62y y este tiene 3 divisores
más que R = 32x i 7y . Halle (x + y).
A) 5
D) 8
B) 4
E) 6
C) 7
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
N = 35n = 5n i 7n
M = 10 i 15 = 2 i 5 i 3 i 5 =
2x i 32y i 52y + x
P = 3x i 62y = 3x i 22y i 32y = 3x +2y i 52y
R = 32x i 7y
Cd (M) = 5 Cd(P)
( x + 1)(2y + 1)(2y + x + 1) = 5( x + 2y +1)(2y +1)
x
2y
x + 1 = 5;
x
Cd(P) = Cd(R) + 3
x
2y
2y
CD(N) = (n + 1) × (n + 1) = a4 = 64
CD(N) = (n + 1) = 8 ⇒ n = 7
a=6
E = 37 × 117 − 36 × 116
E = 36 × 116(3 × 11 − 1) = 36 × 116 × 25
x =4
( x + 2y + 1)(2y + 1) = ( x + 1)( y + 1) + 3
(5 + 2y ) (2y + 1) = 9 ( y + 1) + 3
y=1
x+y=5
CD(E) = ( 6 + 1) ( 6 + 1) (5 + 1) = 294
RPTA.: D
16.
RPTA.: A
14.
Determine la suma de las cifras del
menor
número
tal
que
al
multiplicarlo por 8 se cuadruplique
su número de divisores; y si su
cuadrado tiene 21 divisores.
A) 5
D) 10
B) 13
E) 12
Se tiene un número divisible por 15,
el cual posee tres divisores simples y
además sabemos que cuando se
multiplica por 27, el número de sus
divisores se duplica y cuando se
multiplica por 625 su cantidad de
divisores se triplica. Determinar la
suma de cifras de dicho número.
A) 9
D) 36
C) 9
B) 18
E) 15
C) 27
RESOLUCIÓN
0
0
N = 15 = 3 × 5
CDsimples (N) = 3 ; CDprimos (N) = 2
RESOLUCIÓN
M2 = ax × by ; a y b primos
Cd(M2 ) = 21 = 7 × 3 = (x + 1)(y+1)
N = 3a × 5b
x = 6; y = 2
27 i N = 3a+ 3 × 5b
625 × N = 3a × 5b + 4
Extraigo su raíz cuadrada.
M = a3 × b1 → Cd(M) = 4 × 2 = 8
( a + 1) (b + 1) × 2 = ( a + 4 ) (b + 2 )
8M = 23 × M = 23 × a3 × b → Cd(8M) = 32
a=2
32 = 4 x 4 x 2 (cumple).
Luego M no contiene potencia de 2
a, b mínimos
(a + 1)(b + 1) x 3 = (a + 1)(b + 5)
M=3 ×5
M = 27 × 5 = 135
N = 3 × 5 = 45
3
b =1
2
1
4+5=9
RPTA.: A
1+3+5=9
RPTA.: C
15.
Sabiendo
que
35n
tiene
a4
divisores. ¿Cuántos divisores tendrá
E = 33n − 33a ?
A) 238
D) 294
B) 272
E) 296
C) 298
17.
Si: 210n−1 tiene ab 0 divisores
compuestos. Halle el valor de (a +
b + n);
A) 10
D) 13
B) 11
E) 14
C) 12
Luego:
SDN = 17SDM
RESOLUCIÓN
CD(impuestos) = ab0
210n−1 = 2n−1 × 3n−1 × 5n−1 × 7n−1
CDcompuestos = ab0
CDnocompuestos = 5
y
26a+2 − 1 33a+2 − 1
23a+1 − 1 33a+2 − 1
= 17×
×
x
1
2
1
2
3a+1
3a+1
3a+1
2
−1 3
+ 1 = 17 × 2
−1
(
2
CD = n4 = abo + 5
n4 = ab5 = 625
3a +1
+ 1 = 17 ⇒ 2
(
)
= 16 = 2
4
RPTA.: A
b=2
RPTA.: D
20.
Se tiene un número “W” cuya taba
de divisores es una matriz 3 x 3; si
se observa que el producto de los
divisores que componen una de las
diagonales es 9261. Halle la suma de
cifras de “W”.
A) 5
D) 8
)
a=1
n=5
a=6
a + b + n = 13
18.
)(
3a +1
B) 6
E) 9
Si los números enteros P y Q son los
menores posibles que tienen los
mismos divisores primos, si se
cumple que P tiene 35 divisores y Q
tiene
39
divisores,
determinar
¿cuántos
divisores
compuestos
tendrá (P x Q)?
A) 74
D) 125
C) 7
B) 90
E) 130
C) 120
RESOLUCIÓN
Como P y Q son los menores
números enteros, se cumplirá que:
RESOLUCIÓN
9261 = 33 . 73
Luego los factores de W son 3 y 7
CDP = 35 = ( 6 + 1) ( 4 + 1) ⇒ P = 26 × 34
CDQ = 39 = (12 + 1) (2 + 1) ⇒ Q = 212 ×32
(P x q ) = 218 × 36
CD(P × Q) = (18 + 1) ( 6 + 1) = 133
CD compuestos =130
RPTA.: E
W = 441 = 32 × 72
21.
4+4+1=9
RPTA.: E
19.
La suma de los divisores del número
63a+1 × 8a es 17 veces la suma de los
divisores del
Calcule a.
A) 1
D) 4
8a × 33a +1 .
número
B) 2
E) 5
B) 12
E) 16
C) 90
aaa = 3 × 37 × a
26a + 2 − 1 33a + 2 − 1
×
2 −1
3 −1
3a
3a +1
M=2 ×3
SDN =
2
A) 24
D) 8
RESOLUCIÓN
N = 63a +1 × 8a = 26a +1 × 33a+1
SDM =
( a + 1) ( a + 1) .
C) 3
RESOLUCIÓN
2a + 1
Si aaa posee 8 divisores pero
restarle “a” unidades el número
sus divisores se duplica. Halle
cantidad
de
divisores
3a + 2
−1 3
−1
×
2 −1
3−1
8 divisores
a = 2 ó 5 ó 7 ó 32
Restándole “a” unidades
aao = 2 × 5 × 11 × a
16 divisores
de los valores anteriores
solo cumple a =7
al
de
la
de
(a + 1) ( a + 1) = 88 = 23 × 11
se pide
CD(N) = (3 + 1) (1 + 1) = 8
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
⇒
N = 25 i a i b
SDN = 3N
(2
6
22.
Sea N = ( a − 1) × a
a
b +1
D.C
cd = (CDimpares de N) + (CD
0
(60)
A) 32
D) 56
7 i 3 ( a + 1) (b + 1) = 25 ab
× b , donde
a
N tiene 108 divisores compuestos.
Calcule la suma de los divisores
cuadrados perfectos de
cd si
B) 48
E) 68
de N).
)
− 1 ( a + 1) (b + 1) = 3 i 25 i ab
⇒
⇒
⇒
⇒
a y b son7y3
a=7 b=3
N = 672
∑ CIFRAS = 15
RPTA.: E
C) 85
24.
Halle ( a +b ) si:
2
ab tiene 12 divisores y ab tiene 33
divisores.
RESOLUCIÓN
CD(N) = CDC + CDP + 1
A) 12
D) 13
CD(N) = 108 + 3 + 1 = 112
B) 15
E) 18
C) 14
CD(N) = ( a + 1) (b + 2 ) ( a + 1) = 112
RESOLUCIÓN
CD(N) = ( a + 1) (b + 2) = 16 × 7 = 42 × 7
Se verifica
CDab = 12 = (5+1) (1 +1)
2
De donde
a=3
b =5
N = 23 × 36 × 53
(
)
CD
N = 60 21 ×35 × 52 ⇒ CD
(
N = 23 36 x 53
2
ab
0 
N,60


) ⇒ CD
= 2×6×3= 36
IMPARES
= 7 × 4 = 28 ⇒
= 33 = (2.5 + 1)(2.1+1)
Luego: ab = 25 i 31
Son
los
únicos
cumplen:
Luego ab = 96
a + b = 9 + 6 = 15
números
que
RPTA.: B
cd = 36 + 28 = 64
Suma
de
divisores
perfectos de 64:
1 + 4 + 16 + 64 = 85
cuadrados
RPTA.: C
23.
Halle la suma de cifras del número N
= 32 ab sabiendo que a y b son
primos absolutos y la suma de los
divisores de N es el triple de N.
A) 11
D) 14
B) 12
E) 15
C) 13