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FÍSICA I
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
Vicerrectorado de Investigación
FÍSICA I
TINS Básicos
INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS,
INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA,
INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES,
INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA,
INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA MARÍTIMA,
INGENIERÍA NAVAL
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
1
FÍSICA I
© FÍSICA I
Desarrollo y Edición
:
Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del TINS
:
• Mg. Elías Catalán Sánchez
• Ing. Agustín Gutiérrez Páucar
• Ing. Miguel Orellana Ambrosio
Diseño y Diagramación
:
Julia Saldaña Balandra
Soporte académico
:
Instituto de Investigación
Producción
:
Imprenta Grupo IDAT
Tiraje 3 B / 0900 / 2008-II
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y
transformación de esta obra.
2
FÍSICA I
“El presente material contiene una compilación de contenidos de Física
publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor;
constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el
desarrollo de las clases en nuestra institución.
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la
Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en
aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto
Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.
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FÍSICA I
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FÍSICA I
PRESENTACIÓN
Continuando con la elaboración de Textos de Instrucción (TINS), el
presente texto es el volumen secuencial, correspondiente a la Asignatura de
Física I, en el segundo ciclo de estudios, para el desarrollo de las carreras de
Ingeniería
de:
Sistemas,
Industrial,
Electrónica,
Mecatrónica
y
Telecomunicaciones.
Análogamente al primer volumen (Física General) condensa la
preocupación institucional de innovación de la enseñanza-aprendizaje, de la
ciencia, que en acelerada continuidad presenta nuevos abordajes teóricos y una
variedad sustantiva de temas prácticos.
Este volumen contiene temas, apropiadamente recopilados, de diversas
fuentes bibliográficas, de uso más frecuente en la enseñanza de la Física. Está
ordenado en función del syllabus de la Asignatura arriba mencionada; ha sido
posible gracias a la experiencia profesional y dedicación académica de los
profesores: Mg. Elías Catalán S., Ing. Agustín Gutiérrez P. e Ing. Miguel
Orellana A.
El acopio aludido, de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para
estudiantes de Ingeniería, comprende un ordenamiento orientado a la continuidad
de abordaje de la Física, y presenta los siguientes temas:
En el capítulo I se presenta una ligera revisión de las magnitudes físicas y
el sistema internacional, ecuaciones dimensionales, el análisis vectorial, cifras
significativas y el orden de magnitud.
En el capítulo II se describe el movimiento de una partícula en una
dimensión; MRU MRUV, el movimiento de caída libre y de ascenso de una
partícula.
En el capítulo III, se trata el movimiento de una partícula en dos
dimensiones, así como también el movimiento circular.
En el capitulo IV se analiza las leyes de la mecánica de Newton, en
particular la 2da Ley de Newton.
5
FÍSICA I
En el capítulo V se hace las aplicaciones de las Leyes de Newton para
una partícula y también se trata la fuerza de rozamiento por deslizamiento y al
final se analiza algunos casos del movimiento circular.
En el capítulo VI se define el trabajo y la energía en sus diferentes
aspectos de la mecánica.
En el capítulo VII se define las fuerzas conservativas: energía potencial
gravitacional y la energía potencial elástica y el teorema de la conservación de la
energía mecánica.
En el capítulo VIII se define la cantidad de movimiento de una partícula y
la conservación de la cantidad de movimiento, el impulso y las colisiones
elásticas y no elásticas de partículas.
En el capítulo IX se analiza el movimiento de un campo rígido, se define
las ecuaciones que gobiernan el movimiento del cuerpo rígido. Se continua con
las características de un cuerpo rígido: momento de inercia y se realiza el cálculo
pertinente.
En el capítulo X se trata de la hidrostática y la hidrodinámica de un fluido
y los diferentes principios que gobiernan los fluidos.
En el capítulo XI se define la temperatura y las escalas de temperatura
más conocidas para su determinación y se trata muy ligeramente sobre la
dilatación de los sólidos cuando la variación de la temperatura es muy pequeña.
Al cierre de las líneas precedentes, el agradecimiento Institucional a los
Ingenieros Miguel Orellana, Agustín Gutiérrez y al Mg. Elías Catalán y en
extensión el agradecimiento a los profesores que han contribuido con su
comentarios.
Finalmente, en el ascenso del hombre la gratitud de la sociedad humana
del siglo XX está presente en el recuerdo de los libros que representan los hitos
más trascendentes del desarrollo de la humanidad:
•
•
•
•
•
De revolutionibus orbium colestium
Discorsi e Dimostrazione Mathematiche intorno a due nuove scienze
Harmonices Mundi
Philosophicae naturalis principia mathematica
Das Relativitätsprinzip
Vicerrectorado de Investigación
6
FÍSICA I
INDICE
CAPÍTULO 1
UNIDADES, MAGNITUDES FÍSICAS Y VECTORES
1.1
La naturaleza de la Física
1.2
Ramas de la Física
1.3
Magnitudes y Unidades
1.3.1 Por su Origen
1.3.2 Por su Naturaleza:
1.4
Estándares y Unidades
1.4.1 Unidades básicas del SI
1.4.2 Magnitudes
1.5
Ecuaciones Dimensionales
1.6
Cifras Significativas y Órdenes de Magnitud
1.6.1 Reglas de operaciones con cifras significativas
1.7
Vectores
1.7.1 Definición de vectores
1.7.2 Leyes del álgebra vectorial
1.7.3 Vector Unitario
1.7.4 Sistema de Referencia
1.7.5 Componentes de un vector
1.7.6 Suma de Vectores
1.7.7 Producto Escalar
1.7.8 Producto Vectorial
1.8
Problemas resueltos
1.9
Problemas propuestos
15
15
16
16
17
17
17
18
19
22
24
25
25
26
26
27
27
28
29
30
31
32
CAPÍTULO 2
2
CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA
2.1
Cinemática
2.1.1 Magnitudes básicas de cinemática
2.1.2 Otros conceptos utilizados en cinemática
2.1.3 Tipos de Movimientos:
2.2
Cinemática en una Dimensión
2.2.1 Movimiento rectilíneo: velocidad constante (MRU)
2.2.2 Velocidad media, v m
2.2.3 Velocidad Instantánea:
2.2.4 Aceleración Media e Instantánea
2.2.5 Movimiento con Aceleración Constante (MRUV)
2.2.6 Caída Libre
35
35
35
38
39
39
39
43
43
47
50
7
FÍSICA I
CAPÍTULO 3
3
CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
3.1
Movimiento Parabólico
3.1.1 Tipos de movimiento parabólico
3.1.2 Ecuaciones del movimiento parabólico
3.1.3 Ecuación de la aceleración.
3.1.4 Ecuación de la velocidad
3.1.5 Ecuación de la posición
3.2
Movimiento Circular
3.2.1 Conceptos
3.2.2 Velocidad angular, ω
3.2.3 Aceleración angular, α
3.2.4 Velocidad tangencial: V T
3.2.5 Periodo y frecuencia
3.2.6 Aceleración centrípeta
3.2.7 Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento
angular
3.2.8 Dada la aceleración angular, hallar el cambio de
velocidad angular
3.3
Movimiento circular uniforme
3.4
Movimiento circular uniformemente acelerado
3.5
Clases de aceleración:
3.6
Problemas resueltos
3.7
Problemas propuestos
53
53
54
55
55
56
57
58
59
59
60
60
61
61
62
63
63
65
66
74
CAPÍTULO 4
4
LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
4.1
Fuerza e Interacciones
4.2
Primera Ley de Newton ( Ley de la inercia)
4.3
Segunda ley de Newton
4.4
Tercera ley de Newton (Ley de acción y reacción)
4.5
Masa y Peso
4.6
Diagramas de Cuerpo libre
85
85
86
88
88
89
CAPÍTULO 5
5
APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
5.1
Aplicación de la 1ra. Ley de Newton: Partículas en equilibrio
5.2
Aplicación de la 2da. Ley de Newton: Dinámica de partículas
5.3
Fuerzas de Rozamiento
93
93
94
8
FÍSICA I
5.4
5.5
5.6
5.3.1 La fuerza normal
94
5.3.2 Fuerza de rozamiento por deslizamiento
95
5.3.3 Fuerza de rozamiento estático
96
5.3.4 Tablas de valores de los coeficientes de rozamiento
97
Dinámica del Movimiento Circular
98
5.4.1 Ecuación de la dinámica del movimiento circular
98
5.4.2 Sistema de Referencia Inercial
98
5.4.3 Sistema de Referencia No Inercial
98
5.4.4 Fundamentos físicos
99
5.4.5 Dinámica del movimiento circular uniforme:
100
5.4.6 Dinámica del movimiento circular uniformemente
acelerado
100
Problemas resueltos
101
Problemas propuestos
104
CAPÍTULO 6
6
TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA
6.1 Trabajo
6.2 Concepto de trabajo
6.3 Energía cinética
6.3.1 Energía cinética de partículas materiales
6.3.2 Relación entre trabajo y energía
6.4 Trabajo y Energía en Mecánica
6.5 Trabajo y Energía Cinética
6.6 Situaciones que implican fricción Cinética
6.7 Concepto de Energía Cinética
111
112
114
115
115
115
117
118
120
CAPÍTULO 7
7
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
7.1
Conservación de la Energía
7.2
Fuerza conservativa. Energía potencial
7.3
El peso es una fuerza conservativa
7.4
La fuerza que ejerce un Resorte es conservativa
7.5
Principio de conservación de la energía
7.6
Comprobación del principio de conservación de la energía
7.7
El peso es una fuerza conservativa.
7.8
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa
7.9
Balance de energía
7.10 Problemas Resueltos
7.11 Problemas propuestos sobre Trabajo, Potencia y Energía
124
126
128
129
130
131
132
133
133
134
137
9
FÍSICA I
CAPÍTULO 8
8
CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSO Y CHOQUES
8.1
Cantidad de movimiento e Impulso
8.2
Cantidad de movimiento
8.3
Ley de la conservación de la cantidad de movimiento
8.3.1 Conservación de la cantidad de movimiento
8.4
Choque
8.4.1 Choques elásticos e inelásticos
8.4.2 Choques en una Dimensión
8.4.3 Choques elásticos
8.4.4 Las Colisiones en una Dimensión
8.4.5 Casos Particulares
8.4.6 Coeficiente de restitución.
8.5
Choque elástico de dos partículas
8.6
Choque elástico con una tercera partícula
8.7
Problemas propuestos sobre Impulso y Cantidad de
Movimiento
141
143
144
144
146
147
150
152
153
155
158
159
160
161
CAPÍTULO 9
9
ESTUDIO DE LA DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO
9.1
Momento Resultante y de Inercia
9.1.1 Momento Resultante
9.1.2 Momento de Inercia
9.2
Energía cinética de rotación
9.3
Cálculo del momento de inercia
9.4
Teorema de los ejes paralelos ó teorema de Steiner
9.5
Teorema de los ejes perpendiculares
9.6
Momento angular
9.7
Conservación del momento angular
9.8
Trabajo, potencia y energía en el movimiento rotacional
9.9
Problemas resueltos
9.10 Problemas propuestos
167
168
169
172
176
179
181
185
189
191
193
198
CAPÍTULO 10
HIDROSTÁTICA
10.1 Definiciones
10.1.1 Fluido
10.1.2 Presión
10.1.3 Sistema Internacional de Unidades (SI)
10.1.4 Densidad (δ)
10.1.5 Peso específico (ρ)
10.2 Presión Hidrostática
10.3 Vasos comunicantes
201
201
201
202
202
202
203
204
10
FÍSICA I
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
Líquidos inmiscibles
Capilaridad
Principio de Pascal
Principio de Arquímedes
Dinámica de fluidos o hidrodinámica
Flujos incompresibles y sin rozamiento
Viscosidad
Tensión superficial
Ejercicios
205
205
206
207
211
211
213
213
214
CAPÍTULO 11
LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA
11.1 La temperatura
11.1.1 Termómetro
11.1.2 La escala Celsius
11.1.3 La escala Fahrenheit
11.2 Expansión térmica de sólidos y líquidos
221
221
222
223
224
BIBLIOGRAFÍA
225
11
FÍSICA I
12
FÍSICA I
DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA
Clase
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tema
Revisión de las Reglas Básicas de Cálculo Diferencial.
Cinemática Unidimensional. Velocidad media e
instantánea.
Aceleración media e instantánea
Aplicaciones
Revisión de las Reglas Básicas de Cálculo Integral.
Ecuaciones del movimiento rectilíneo
Aplicaciones
Vector de posición, Velocidad y aceleración media e
instantánea en dos y tres dimensiones.
Ecuaciones del movimiento en dos y tres dimensiones,
Ecuación de la Trayectoria.
Aplicaciones
Movimiento circular, velocidad angular, aceleración
angular, relaciones vectoriales en el movimiento circular,
Movimiento de rotación relativo, movimiento en relación a
la Tierra
Dinámica de la partícula.
Introducción: Definiciones y conceptos generales.
Estudio de la II ley de Newton.
El momentum lineal. Cambio de Momentum y II Ley de
Newton.
Aplicaciones
I y III Ley de Newton.
Aplicaciones de las leyes de Newton
Trabajo y Energía. Definiciones y conceptos generales
Trabajo realizado por una fuerza constante y trabajo por
una fuerza variable.
Aplicaciones
Energía y sus tipos.
Teorema Trabajo – energía Trabajo de fuerzas
conservativas y no conservativas.
Conservación de la Energía mecánica
Potencia.
Aplicaciones
EXAMEN
PARCIAL
13
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
FÍSICA I
Clase
N°
10
11
12
13
14
15
16
Tema
Impulso y Cantidad de movimiento.
Definiciones y conceptos generales,
Conservación del Momentum lineal
Aplicaciones
Colisiones: Frontal y Oblicua. Colisiones elásticas e
Inelásticas. Coeficiente de Restitución.
Aplicaciones
Estudio de la Dinámica del cuerpo Rígido. Definiciones y
conceptos generales.
Cinemática de Rotación del cuerpo rígido.
Cálculo de algunos Momentos de Inercia
Aplicaciones.
Momentum angular. Conservación del Momentum angular
Aplicaciones.
Momentum angular.
Conservación del Momentum angular
Aplicaciones.
Trabajo y Energía Rotacional.
Aplicaciones.
Hidrostática: Densidad, presión, Fuerza de flotación y el
principio de Arquímedes.
Hidrodinámica: ecuación de continuidad y ecuación de
Bernoulli, tensión superficial, capilaridad y viscosidad
Temperatura y la ley cero de la termodinámica.
Termómetro y escalas de temperaturas. Expansión térmica
de sólidos y líquidos.
Relación entre la energía calorífica, la energía cinética,
calor y energía interna de un sistema. Calor especifico y
capacidad caloríficas de los sólidos. Cambios de fase.
Calor y trabajo. Equivalente mecánico de calor. Primera y
segunda ley de la termodinámica
Semana
10
11
12
13
14
15
16
17
Nivelación y Repaso
17
18
EXAMEN FINAL
18
19
EXAMEN SUSTITUTORIO
19
14
FÍSICA I
CAPÍTULO 1
UNIDADES, CANTIDADES FÍSICAS Y
VECTORES
1.1 LA NATURALEZA DE LA FÍSICA
La física (griego «naturaleza») actualmente se entiende como la ciencia de
la naturaleza o fenómenos materiales. Estudia las propiedades de la
materia, la energía, el tiempo, el espacio y sus interacciones (fuerza). Los
sistemas físicos se caracterizan por:
1. Tener una ubicación en el espacio-tiempo.
2. Tener un estado físico definido sujeto a evolución temporal.
3. Poderle asociar una magnitud física llamada energía.
La física estudia por lo tanto un amplio rango de campos y fenómenos
naturales, desde las partículas subatómicas hasta la formación y evolución
del Universo así como multitud de fenómenos naturales cotidianos,
caracterizados por cierta geometría o topología y cierta evolución temporal
y cuantificados mediante magnitudes físicas como la energía.
1.2 RAMAS DE LA FÍSICA
Para su estudio la física se puede dividir en tres grandes etapas: la Física
clásica, la Física moderna y la Física contemporánea. La primera se
encarga del estudio de aquellos fenómenos que ocurren a una velocidad
relativamente pequeña comparada con la velocidad de la luz en el vacío y
cuyas escalas espaciales son muy superiores al tamaño de átomos y
moléculas. La segunda se encarga de los fenómenos que se producen a la
velocidad de la luz o valores cercanos a ella o cuyas escalas espaciales son
del orden del tamaño del átomo o inferiores y fue desarrollada en los
inicios del siglo XX. La tercera se encarga del estudio de los fenómenos
no-lineales, de la complejidad de la naturaleza, de los procesos fuera del
equilibrio termodinámico y de los fenómenos que ocurren a escalas
15
FÍSICA I
mesoscópicas y nanoscópicas. Esta área de la física se comenzó a
desarrollar hacia finales del siglo XX y principios del siglo XXI.
Dentro del campo de estudio de la Física clásica se encuentran la:
•
Mecánica: mecánica clásica | mecánica de medios continuos | mecánica
de fluidos | Termodinámica y mecánica estadística
•
Mecánica ondulatoria: acústica | óptica
•
Electromagnetismo: Electricidad | Magnetismo
Dentro del campo de estudio de la Física moderna se encuentran:
•
Relatividad: teoría especial de la relatividad | teoría general de la
relatividad | Gravitación
•
Mecánica cuántica: Átomo | Núcleo | Física química | Física del estado
sólido
•
Física de partículas
1.3 MAGNITUDES Y UNIDADES
Uno de los aspectos esenciales en la vida cotidiana del hombre es medir y
calcular; dichas actividades adquieren una importancia extraordinaria
cuando se trata de la técnica y la investigación científica.
Clasificación de las magnitudes
1.3.1 Por su Origen
(a) Magnitudes Fundamentales.- Son aquellas que sirven de base
para escribir las demás magnitudes.
(b) Magnitudes Derivadas.- Son aquellas magnitudes que están
expresadas en función de las magnitudes fundamentales. La
velocidad, aceleración, presión, la fuerza, etc.
16
FÍSICA I
1.3.2 Por su Naturaleza:
(a) Magnitudes Escalares.- son aquellas que quedan
perfectamente determinadas
con sólo conocer su valor
numérico y su respectiva unidad. Ejemplo La longitud, el
tiempo, calor específico, potencia, energía, etc.
(b) Magnitudes Vectoriales.- Son aquellas magnitudes que además
de conocer su valor numérico y su unidad se necesita la
dirección y sentido para que dicha magnitud quede
perfectamente determinada. Ejemplo: velocidad (v), aceleración
(a), fuerza (F), momentum lineal, momentun angular, torque,
etc.
1.4 ESTÁNDARES Y UNIDADES
1.4.1 Unidades básicas del SI
El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades
básicas o unidades físicas fundamentales, las cuales son descritas
por una definición operacional.
Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se
pueden derivar de estas unidades básicas y se conocen como unidades
derivadas del SI. La derivación se lleva a cabo por medio del análisis
dimensional.
17
FÍSICA I
Magnitud física que se toma como
fundamental
Unidad básica o
fundamental
Símbolo
metro
m
kilogramo
kg
Tiempo ( T )
segundo
s
Intensidad de corriente eléctrica ( I )
amperio
A
kelvin
K
mol
mol
candela
cd
Longitud (L)
Masa ( M )
Temperatura (θ )
Cantidad de sustancia ( N )
Intensidad luminosa ( J )
1.4.2 Magnitudes
Longitud: metro (m)
Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vacío en
1/299’792,458 segundos. Esta norma fue adoptada en 1983 cuando
la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como
299’792,458 m/s.
Masa: kilogramo (kg)
Un kilogramo se define como la masa del Kilogramo Patrón,
cilindro compuesto de una aleación de platino-iridio que se guarda
en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de
París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón.
18
FÍSICA I
Tiempo: segundo (s)
Un segundo es el tiempo requerido por 9,192’631,770 ciclos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Esta
definición fue adoptada en 1967.
Intensidad de corriente eléctrica: Amperio (A)
El amperio es la intensidad de una corriente eléctrica constante que,
mantenida en dos conductores paralelos de longitud infinita, de
sección circular despreciable y ubicados a una distancia de 1 metro
en el vacío, produce una fuerza entre ellos igual a 2×10-7 newtons
por cada metro.
Temperatura: kelvin (K)
El kelvin se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua.
Cantidad de sustancia: mol (mol)
Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene
tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kg de
carbono 12.
Intensidad luminosa: candela (cd)
Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de
una fuente que emite radiación monocromática con frecuencia de
540 × 1012 Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la
dirección indicada, es de 1/683 W por estereoradián.
1.5 ECUACIONES DIMENSIONALES
Son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades
fundamentales y se usan para probar fórmulas, equivalencias o para dar
unidades a una respuesta. También, es una igualdad de tipo algebraico que
19
FÍSICA I
expresan las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y las
derivadas.
G
G
Notación: [ A ] ………… se lee: ecuación dimensional de A
Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepciones
de la suma y la resta, en la determinación de las dimensiones de una
ecuación dimensional se utiliza el principio de Homogeneidad que dice
“Todos los términos de una ecuación deben tener las mismas unidades.
Ejemplo: Determinar la ecuación dimensional de la aceleración.
Aceleración: v = a. t
a = v / t => a = LT-1 / T => a = LT − 2
Ejercicio 1:
En la figura se tiene un cuerpo sumergido en un líquido. La expresión
dimensional de su densidad está definida por la siguiente ecuación:
D = X.m + Y.A + Z.h
Donde D = densidad, m = masa del cuerpo, A=área, h=altura del cuerpo con
respecto a la base del recipiente. Determinar las dimensiones de X, Y, Z.
Ejercicio 2:
Se tiene un ventilador (ver figura), la potencia de su hélice esta
determinada por la siguiente ecuación dimensional. Donde P =
potencia, w = velocidad angular. Determinar las dimensiones de K y
las unidades en el SI.
P = K.ω2.Tg θ
Ejercicio 3:
En la figura se fisiona el núcleo de un átomo y se liberan las partículas
subatómicas. La energía que llevan está determinada por la siguiente
expresión dimensional. Donde: E = energía, F = fuerza, V = velocidad,
a= aceleración. Determine las dimensiones de A, B, C.
20
FÍSICA I
E = A.F + B.v2 + C.a
Ejercicio 4:
La velocidad del cuerpo de la figura sobre el eje X está
dada por la ecuación dimensional. Donde t = tiempo.
Determinar las dimensiones de K2
Ejercicio 5:
En la figura, la fuerza necesaria para subir el cuerpo está definida
por la siguiente ecuación dimensional. Determinar las dimensiones
de B y sus unidades en el SI. F = fuerza, V=velocidad.
Ejercicio 6:
En un tubo de rayos catódicos se liberan electrones. (Ver figura)
La distancia recorrida por dichos electrones en un tiempo (t) está
dada por la siguiente ecuación dimensional. Identifica las
dimensiones de X, Y, Z.
d = X + Y .t +
1 2
Z .t
2
Ejercicio 7:
En la figura la presión que ejerce el cuerpo sobre el líquido está
definida por la ecuación dimensional. Donde P = presión, W =
peso, g = aceleración, h = altura del objeto con respecto a la
base. Determine las dimensiones de A y B.
21
FÍSICA I
Ejercicio 8:
En la figura se deja caer un cuerpo del globo. Un investigador
asocia al evento la siguiente ecuación dimensional. Donde P=
peso del objeto que cae, t = tiempo y m = masa. A través del
análisis dimensional identifica que magnitud física representa
K.
1.6 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ÓRDENES DE MAGNITUD
Muchos de los números que se manejan en la ciencia son el resultado de
una medida y por lo tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre
experimental. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es de
2,50m, queremos decir que probablemente su longitud se encuentra entre
2,495 m y 2,505 m; es decir, conocemos su longitud con una exactitud
aproximada de ± 0,005 m = ± 0,5 cm de longitud
metro tiene divisiones
establecida. Si el
de milímetros, podemos estimar que hemos
medido esta misma longitud de la mesa con una precisión de ± 0,5 mm, en
vez de ± 0,5 cm. Indicaríamos esta precisión utilizando cuatro dígitos,
como por ejemplo, 2,503m, para expresar la longitud. Este caso se dice que
la medición tiene 4 cifras significativas. El número 2,50 tiene tres cifras
significativas; 2,503 tiene cuatro. El número 0,00103 tiene tres cifras
significativas.
Cuando se multiplican varias cantidades, el número de cifras significativas
en la respuesta final es el mismo número de cifras significativas en la
menos precisa de las cantidades que se están multiplicando, donde “menos
precisa” significa “la que tiene el número menor de cifras significativas”.
La misma regla se aplica a la división.
Para la suma y la resta, se deben, se deben considerar el número de lugares
decimales.
22
FÍSICA I
Cuando los números se suman (o se restan), el número de lugares
decimales en el resultado deberá ser igual al número menor de lugares
decimales de cualquiera de los términos de la suma, Por ejemplo, si se
desea calcular 123 + 5,35, la respuesta debe ser 128 y no 128,35
Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que
tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no
significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen
significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen
determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan
una posición igual o superior al orden o posición del error.
Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de
5432,4764 m con un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de
décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan
una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En
efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si
afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el
número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas,
unidades, decenas, etc., pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.
Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras
no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión. Los
números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras
significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no
significativas de un número.
Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:
•
Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.
•
Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la
última cifra retenida.
•
Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más
próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se
toma la cifra superior.
23
FÍSICA I
Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el
resultado es 3,68, que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el
número a redondear, también a tres cifras, fuera 3,673, quedaría 3,67 que es
más próximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, según la tercera
regla, debemos dejar 3,68.
Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio
razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos
por defecto y la mitad por exceso.
Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se
sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra
significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación
exponencial, puesto que si escribimos ``4000'' puede no estar claro si los
ceros son cifras significativas o no. En efecto, al escribir 4×103 queda claro
que sólo la cifra ``4'' es significativa, puesto que si los ceros también lo
fueran escribiríamos 4,000×103.
1.6.1 Reglas de operaciones con cifras significativas
Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra
dudosa, e indicando con ± la incertidumbre en la medida.
Regla 2:
Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a
partir del primer dígito diferente de cero y hasta el dígito
dudoso.
Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras
decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor
número de ellas.
Atención: Un caso de especial interés es el de la resta. Citemos el siguiente
ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003
Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y
el resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras
significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con
calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se
24
FÍSICA I
resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para
perder el menor número de cifras significativas posible.
Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras
significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.
1.7 VECTORES
1.7.1 Definición de vectores
Es una magnitud que para ser determinada se requiere conocer su módulo, su
dirección y su sentido. Por ejemplo la velocidad, aceleración, fuerza, etc.
Cada vector posee unas características que son:
Sentido
G
A
Origen
Módulo
θ
G
| A |= MóduloGdel
Vector A .
θ = ángulo respecto al
eje X, determina
la
G
dirección de A .
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que
actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el
extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir
desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
25
FÍSICA I
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
1.7.2 Leyes del álgebra vectorial
G G G G
A+ B = B+ A
G
G G
G
G G
A + ( B + C ) = ( A + B) + C
(1)
(2)
(4)
G G
mA = Am
G
G
m(nA) = (mn) A
(5)
G
G
G
(m + n) A = mA + nA
(6)
G G
G
G
m( A + B) = mA + nB
(3)
1.7.3 Vector Unitario
G
Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de cero,
G
G
A
es un vector unitario de la misma dirección y
| A | ≠ 0, El vector μ̂ A =
A
G
sentido que A .
α, β y γ son los ángulos
directores del vector A
respecto a cada uno de los
ejes coordenados.
Z
γ
α
A
β
Y
X
26
FÍSICA I
Como ejemplo de vectores unitarios, tenemos:
G
Ay
A ⎤
A ⎡ Ax
ˆj + z kˆ ⎥ = (Cosαiˆ + Cosβˆj + Cosγkˆ )
μˆ A = = ⎢ iˆ +
A ⎦
A
A ⎣ A
1.7.4 Sistema de Referencia
El sistema de referencia espacial de los vectores, estará formado por un origen y
tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de
un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de
Coordenadas Cartesianas.
iˆ : vector unitario paralelo al eje x
ĵ : vector unitario paralelo al eje y
k̂ : vector unitario paralelo al eje z
1.7.5 Componentes de un vector
Cualquier vector puede ser considerado como la suma vectorial de sus
componentes en dirección de cada uno de los ejes coordenados. Por ejemplo el
vector
G
r.
G G G G
r = rx + ry + rz
G
r = rx iˆ + ry ˆj + rz kˆ
27
FÍSICA I
1.7.6 Suma de Vectores
(A) Métodos gráficos:
A.1) Método del Paralelogramo.- Este método es válido para dos vectores
concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une a los vectores
por el origen y se forma el paralelogramo.
A.2) Método del Triángulo.- Es válido para dos vectores. Se une el
extremo de uno de los vectores con el extremo del otro y se forma el
triángulo.
A.3) Método del Polígono Se usa para más de dos vectores. Se dibujan
los vectores uno a continuación de otro y la resultante se obtiene uniendo el
origen del primer vector con el extremo del último vector.
(B) Método Analítico.
Para hallar la resultante por este métodos, se siguen los siguientes pasos:
a) Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares.
b) Se halla la resultante de las componentes en las direcciones x, y e z
Ejemplo: Sumar y Restar los vectores P y Q
Q
Q
R=P+Q
R=P–Q
P
P
(C) Método Algebraico para la Suma de vectores
G
Dados tres vectores
A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ
G
B = B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ
G
C = C x iˆ + C y ˆj + C z kˆ
28
FÍSICA I
La expresión correspondiente al vector suma es:
G
O también:
S = S x iˆ + S y ˆj + S z kˆ
G G G G
S = A+ B +C
S x = Ax + Bx + C x
Siendo por tanto:
1.7.7 Producto Escalar
El producto escalar de dos vectores A y B , llamado también producto punto,
representado por el símbolo A . B (se lee A multiplicado escalarmente por B ),
se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de la
magnitudes de A y B con el coseno del ángulo entre los vectores:
00 ≥ θ ≥ 1800
A . B = AB cos θ =⏐ A ⏐⏐ B ⏐ cos θ
A
B
θ
Propiedades:
1. A . B = B . A
(Ley conmutativa para el producto escalar)
2. A . ( B + C ) = A . B + A . C (ley distributiva)
3. P ( A . B ) = (p A ). B = A . ( p B = ( A . B )p
4. iˆ . iˆ = iˆ . ĵ = k̂ . k̂ = 1; iˆ . ĵ = ĵ . k̂ = k̂ . iˆ = 0
5. Si A . B = 0. Si
perpendiculares.
A
y B no son nulos, entonces A
Ejercicio:- Encontrar el ángulo entre los vectores:
→
→
→
→
B = 6 i − 3 j+ 2 k
29
→
y B son
→
→
→
A = 2 i + 2 j− k
y
FÍSICA I
→
→
Solución.- Aplicando el producto escalar a los vectores A y B tendremos:
→ →
→ →
A . B = ABCosθ → Cosθ =
A. B
=
AB
Ax B x + Ay B y + Az B z
Ax2 + Ay2 + Az2
B X2 + BY2 + BZ2
Reemplazando datos tendremos:
Cosθ =
(2)(6) + (2)(−3) + (−1)(2)
2 2 + 2 2 + (−1) 2 6 2 + (−3) 2 + 2 2
=
4
= 0,1905 → θ ≅ 79 o
(3)(7)
1.7.8 Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores A
y B , representado por el símbolo
A x B (se lee A multiplicado vectorialmente por B), se define como el vector
perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de avance de un
tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B .
La magnitud del producto vectorial A x B está dada por : ⏐ A x B ⏐ = AB sen θ
Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A x B es la siguiente:
Colocar el pulgar, índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición
mostrada en la figura.
Propiedades:
1.
Ax B
= - B x A
(ley conmutativa para el producto vectorial no se
cumple)
30
FÍSICA I
2. A x ( B + C ) = A x B + A x C Ley distributiva
3. p ( A x B ) = (p A )x B = A x ( p B ) =( A x B )p , donde p es un escalar
4.
G
iˆ x iˆ = ĵ x ĵ = k̂ x k̂ = 0 , iˆ x ĵ = k̂ , ĵ x k̂ = iˆ , k̂ x iˆ = ĵ
5. Si A = Ax iˆ + Ay ĵ +Az k̂
y B = Bx iˆ + B y ĵ + Bz k̂ , entonces
⎡ iˆ
⎢
A x B = ⎢ Ax
⎢B
⎣ x
kˆ ⎤
⎥
Az ⎥
Bz ⎥
⎦
ˆj
Ay
By
6. ⏐ A x B ⏐ = área del paralelogramo con lados A y B.
7.
Si
G G G
G
G
G
G
AxB = 0 , siendo A y B vectores no nulos, entonces A y B son
paralelos.
1.8 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 01.- La resultante de dos vectores varía entre su valor de 2 y 8
unidades. ¿Cuál será la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 60°?
→
→
→
→
→
Solución.- Sean A y B los vectores Æ R = A+ B
→
⎛→⎞
Cuando: R = ⎜ R ⎟ → R = A + B = 8
…….. (1)
⎝ ⎠ máx
→
⎛→⎞
…….. (2)
Cuando: R = ⎜ R ⎟ → R = A − B = 2
⎝ ⎠ mín
Resolviendo (1) y (2) para A y B obtenemos: A = 5; B=3
Si ahora θ = 60°, aplicando la ley de cosenos tendremos:
R=
∴
A 2 + B 2 + 2 ABCosθ o → R = 5 2 + 3 2 + 2 x5 x3Cos 60 o = 7
R=7
Rpta.
31
FÍSICA I
PROBLEMA 02.-Hallar el módulo de la resultante para el conjunto de vectores
mostrados.
→
→
Solución.- En el esquema se traslada AF hacia el lado CD , de manera que se
puedan establecer las siguientes relaciones:
B
C
A
D
10 cm
F
E
Exágono regular
→
→
→
→
Polígono ABCD: AB + BC + CD = AD
→
→
→
→
→
→
(1)
Triángulo ACD: AC + AF = AD
(2)
Triángulo AED: AE + ED = AD
(3)
La resultante total, podemos expresarla de la siguiente forma:
→
→
→
→
→
→
⎛ →
⎞ ⎛ →
⎞ ⎛ →
⎞ →
R = ⎜ AB + BC + CD ⎟ + ⎜ AC + AF ⎟ + ⎜ AE + ED ⎟ + AD + FE
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
(4)
Reemplazando (1), (2) y (3) en (4) tendremos:
→
→
→
R = 4 AD + FE → R = (4)(20) + 10 → R = 90cm
1.9
PROBLEMAS PROPUESTOS
1)
Sean los vectores
Rpta.
a = 3i - 2j
b = -4i + j
Calcular:
a)
El vector suma y su módulo.
b)
El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX.
32
FÍSICA I
c)
2)
El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la dirección y
sentido de c.
Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5
N. y F2 = 7 N., que forman respectivamente los siguientes ángulos con el
eje OX: 60º y 30º.
Calcular:
a) La fuerza resultante.
b) Su módulo.
c) El ángulo que forma con el eje OX.
3)
Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F1 = 6 N.; F2 = 3 N.
y F3 = 4 N., que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje
OX: 45º, 30º y 60º. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el
módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje OX.
4)
Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el
punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular:
a) Componentes del vector OP
b) Módulos y cosenos directores.
c) Un vector unitario en la dirección de él, pero de sentido contrario.
5)
Dados los vectores a = (2, 4, 6) y b = (1, -2, 3). Calcular:
a) El vector suma ( a + b ), su módulo y cosenos directores.
b) El vector diferencia (a – b) y el vector unitario que define su dirección
y sentido.
6)
Dados los vectores: a = (1,-1,2) y b = (-1, 3, 4). Calcular:
a) El producto escalar de ambos vectores.
b) El ángulo que forman.
c) La proyección de b sobre a.
d) Dados dos vectores a (2, -1, 0), b (3, -2, 1) y c(0, -2, 1). Calcular:
e) (a + b) · c
33
FÍSICA I
f)
(a -b) x c
g) (a x b) · c producto mixto
h) (a · b) · c
i)
(a x b) x c doble producto vectorial.
7)
Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i -6j + 2k y sus módulos
son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.
8)
Dados los vectores a = (1, 3, -2) y b = (1, -1, 0). Calcular:
a) Su producto vectorial.
b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.
9)
c) Un vector c, de módulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b.
G
G
G
Dados los vectores a = 5iˆ + 2 ˆj + 3kˆ ; b = bx iˆ + 2 ˆj + bz kˆ ; c = 3iˆ + c y ˆj + kˆ ,
determinar sus componentes bx, bz y cy para que dichos vectores sean
mutuamente ortogonales.
G
G
10) Se tienen dos vectores a = 2iˆ − 2 ˆj + kˆ y b = iˆ − 2 ˆj . Calcula las
componentes del vector unitario ŝ perteneciente al plano determinado por
G
G G
los vectores a y b y perpendicular al vector v = a − 2b .
G G
11) Halla el vector de módulo 3 que sea paralelo al producto vectorial axb ,
G
G
siendo a = 2iˆ − 3 ˆj + kˆ y b = 2iˆ − 3kˆ .
G
12) Dado el vector r = ( A.Cosωt )iˆ + ( A.Senωt ) ˆj , siendo A y ω constantes, y t
G
dr
y
la variable tiempo, halle: (a) su módulo y la derivada del módulo. (b)
dt
G
G
dr
G dr
. (c) Demuestre que los vectores r y
son perpendiculares.
dt
dt
G
13) Dado el vector r = (t − t 2 )iˆ + 2t 3 ˆj − 3kˆ , calcula: (a)
34
G
∫ r .dt . (b)
2
G
∫ r .dt
1
FÍSICA I
2
CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN LÍNEA
RECTA
2.1 CINEMÁTICA
La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento de
los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose
esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.
2.1.1 Magnitudes básicas de cinemática
•
El tiempo es la magnitud física que mide la duración de las cosas
sujetas a cambio, esto es, el periodo que transcurre entre dos
eventos consecutivos que se miden de un pasado hacia un futuro,
pasando por el presente.
•
Se llama posición a un punto del espacio físico o un espacio
abstracto a partir del cual es posible conocer donde se encuentra
geométricamente un objeto en un instante dado. En física se suele
representa mediante la ubicación, dada el vector posición mediante
r
•
En física, velocidad es la magnitud que expresa la variación de
posición de un objeto en función de la distancia recorrida en la
unidad de tiempo. Se suele representar por la letra .
G
La aceleración ( a ) es la magnitud física que mide la tasa de
variación de la velocidad respecto del tiempo.
•
2.1.2 Otros conceptos utilizados en cinemática
•
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten
definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio. En
física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un
sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema
de coordenadas.
•
En mecánica, un sistema de referencia es un conjunto de convenciones
usadas por un observador para poder medir la posición de un objeto físico
en el tiempo y el espacio.
35
FÍSICA I
•
Sistema inercial: A grandes rasgos, es un sistema de referencia en el que
las leyes físicas adoptan una forma simplificada, equivalente a las leyes
de Newton para pequeñas velocidades. Dado un sistema inercial,
cualquier otro sistema de referencia que esté parado o bien que se
desplace en línea recta a velocidad constante, respecto al primero es
también un sistema inercial.
•
En mecánica el movimiento es un fenómeno físico que se define como
todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o
conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro
cuerpo que sirve de referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una
trayectoria.
•
En cinemática, la trayectoria es el conjunto de todas las posiciones por
las que pasa un cuerpo en movimiento.
•
Móvil o partícula: Es un punto material. Cuando un cuerpo es
considerado como una partícula, es porque se le desprecian sus
dimensiones geométricas y no hay interés en su estructura interna.
•
Trayectoria: Es la línea imaginaria que describe la partícula en su
movimiento. En la figura abajo se ilustran ejemplos de varias
trayectorias:
•
Posición: Dado un sistema de coordenadas, a cada posición de la
partícula le corresponde una coordenada y solamente una. Así cuando la
partícula está en la posición A le corresponde la coordenada (x1,y1) y
36
FÍSICA I
cuando está en la posición B le corresponde la coordenada (x2,y2). Ver
figura adjunta.
La posición de una partícula se puede representar como un vector cuyo
punto inicial ("cola") está en el origen del sistema de coordenadas y cuyo
punto final ("cabeza") está en el punto correspondiente a su posición.
Este vector lo denotaremos con el símbolo
. En la figura ilustramos
esta definición.
En la figura también se observa que a la posición A le corresponde el
vector posición
y a la posición B le corresponde el vector posición
.
•
Desplazamiento: Al cambio de la posición de la partícula se le denomina
desplazamiento,
. Es decir, el desplazamiento es la resta vectorial
entre el vector posición final y el vector posición inicial:
Note que como el desplazamiento es la
resta de dos vectores, por tanto debe ser
también un vector.
De la misma figura se puede observar que
el desplazamiento es un vector trazado
desde la posición inicial hasta la posición
final.
37
FÍSICA I
De la definición de desplazamiento se puede concluir que éste no
depende de la trayectoria seguida por la partícula, sino que sólo depende
del punto de partida y del punto de llegada. La figura abajo nos ilustra
esta importante afirmación. En esta figura, tres partículas tienen el mismo
desplazamiento siguiendo trayectorias diferentes.
Tanto el vector posición
como el
vector desplazamiento
tienen como
ecuación dimensional L. Es decir, esas
dos magnitudes se miden en unidades
de longitud. Específicamente en el
MKS se miden en metros (m).
•
Longitud recorrida, ΔS: La longitud
recorrida es denominada en algunos
textos con el término "espacio". Aquí
evitaremos esta denominación ya que
ese término se usa en la física para
representar un concepto más global y
abstracto.
La longitud recorrida es la medida de
la longitud de la trayectoria seguida
por la partícula. Es una magnitud
escalar y su ecuación dimensional
también es L. En la figura, a la
derecha, se ilustra cómo la partícula al
desplazarse desde la posición A hasta
la posición B, recorre una longitud
equivalente a ΔS.
2.1.3 Tipos de Movimientos
(A) Movimientos rectilíneos
•
Movimiento rectilíneo uniforme
•
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
38
FÍSICA I
(B) Movimiento en el plano
2.2
•
Movimiento circular
•
Movimiento circular uniforme
•
Movimiento circular acelerado
•
Movimiento parabólico
CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN
2.2.1 Movimiento rectilíneo: velocidad constante (MRU)
¾ El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es
una recta.
¾ Si consideramos que la trayectoria coincide con el eje x. La posición
del objeto está definida por su desplazamiento medido por desde un
punto arbitrario O, u origen. En principio, el desplazamiento puede
relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional x = f (t).
Δx
A
O
B
x
t
v
X
x'
t'
v'
2.2.2 Velocidad media, vm:
Si en el tiempo t el objeto se encuentra en A , siendo OA = x. Más tarde
se encuentra en la posición B siendo OB = x’
La velocidad media entre A y B está definida por:
vm =
x'− x Δx
=
t '−t
Δt
39
2.1
FÍSICA I
Donde:
Δ x = x ′ – x es el desplazamiento de la partícula, y
Δ t = t’ - t es el intervalo de tiempo transcurrido,
su ecuación dimensional es LT-1 , es decir en el sistema M.K.S se mide en
m/s.
Observe que el desplazamiento y la velocidad media pueden ser positivos
o negativos dependiendo de si x’ es mayor o menor que x. Un valor
positivo indica un movimiento hacia la derecha; un valor negativo, hacia la
izquierda.
En la figura se muestra un gráfico de x en función de t para un movimiento
arbitrario a lo largo del eje x. Cada punto de la curva tiene un valor de x
que localiza la partícula en un tiempo determinado. En la figura se muestra
el desplazamiento y el intervalo de tiempo El cociente
Δx
se denomina
Δt
pendiente de la recta que es la interpretación geométrica de la velocidad
media vm.
Ejercicio 01: Una partícula se mueve a lo largo del eje x de manera que su
posición en cualquier instante t está dado por x = 5t 2 + 1, donde x se expresa en
metros y t en segundos. Calcular la velocidad media en el intervalo de tiempo
entre:
a) 2s y 3s,
b) 2 s y 2 ,1 s ,
c) 2 s y 2, 001 s,
d) 2 s y 2,00001 s y
e) calcular la velocidad instantánea a los 2 s
40
FÍSICA I
Solución
si x o = 2 s y usando x = 3 t 2 + 1. Tenemos x o = 5 (2) 2 +1 = 21 m
a) Tenemos que calcular Δ x = x – x o , para x = 3 s , entonces x = 5 (3)2 +1
= 46 m, y Δ x = 46 – 21 = 25 m, el intervalo de tiempo es : Δ t = 1s
vm = Δ x / Δt = 25 m/s
b) Para t =2,1 s , tenemos x = 5 ( 2.1) 2 + 1 = 23,05 m y Δ x = 2,05 y Δ t = 0,1 s
vm =
c) Para
Δx
= 2,05m /1 s = 20,5 m/s
Δt
t = 2,001 s, tenemos x = 5 ( 2,001)2 + 1= 21,020005 m y Δ x =
0,020005 m y Δ t = 0,001 s
Vm = 0,020005 m/0,001 s = 20,005 m/s
d) Para t = 2,00001 s , tenemos x = 5 ( 2,00001) 2 + 1 = 21,0200005 y Δ x =
0,0200005 m y Δ t = 0,00001 s
vm = 0,0002 m/0,00001 s = 20,00005 m/s
e) La velocidad instantánea es:
v=
dx
= 10 t , para t = 2 s tenemos V = 20
dt
m/s
Ejercicio 02:
Supongamos que un estudiante para ir desde su casa hasta la universidad recorre
2.0 Km en dirección Este en 0.40 h (de A a B) y luego 1.0 Km en dirección
Norte en 0.10 h (de B a C). Este recorrido se ilustra en la figura abajo.
41
FÍSICA I
El desplazamiento del estudiante sería el vector
que va desde A hasta C. La magnitud de este es:
y su dirección es:
Por tanto, su velocidad media sería un vector cuya magnitud es:
con una dirección igual a la del desplazamiento, es decir formando un ángulo de
26º con la horizontal (eje X).
El valor de la rapidez será igual a la división entre la longitud recorrida y el
tiempo empleado. Es decir,
Como la rapidez es un escalar no se le puede calcular una dirección.
Ejercicio 03:
Supongamos que el estudiante del ejemplo anterior cuando llega a la universidad
regresa a su casa por el mismo camino invirtiendo los mismos tiempos. El
desplazamiento neto sería nulo (regresa al punto de partida) , pero la longitud
recorrida es igual a 6 Km (suma de todo el recorrido). Por tanto, su velocidad
media es nula y su rapidez media continúa siendo igual a 6.0 Km/h (longitud
recorrida dividida por el tiempo total).
42
FÍSICA I
2.2.3 Velocidad Instantánea:
Cuando se hace tender el intervalo de
tiempo, Δt, a cero, se observa que el
vector desplazamiento se acerca a la
tangente de la trayectoria (ver figura a la
derecha).
De lo anterior se deduce que la velocidad
instantánea es siempre tangente a la
trayectoria (ver figura izquierda).
En el leguaje matemático queda definido como:
G
Δr
G
v = lim v m = lim
Δt →o
Δt →o Δt
2.2
G
Pero esta es la definición de la derivada de r con respecto al tiempo; esto es
G
G dr
v=
2.3
dt
De esta manera obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del
desplazamiento con respecto al tiempo.
2.2.4 Aceleración Media e Instantánea
G
(1) Aceleración media, a m :
G
Se define la aceleración media como el cambio en la velocidad instantánea, Δv ,
dividido por el intervalo de tiempo, Δt:
43
FÍSICA I
G G
G
v ' − v Δv
G
=
am =
t′ − t
Δt
2.4
Su ecuación dimensional es LT-2 , es decir , en el sistema M.K.S se mide en m.s-2
La aceleración media es un vector dirigido hacia donde se dirige el cambio de
G
velocidad, Δv . Veamos algunos ejemplos que nos ilustren esta idea
fundamental:
Ejemplo :
Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante
con velocidad,
, y en el instante t +Δt ocupa la posición B con velocidad
JJG
G
v f , tal como se ilustra en la figura abajo. El cambio de la velocidad, Δv , se
dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
JK JJK JJK JJK
JJK
Δ V = Vf − V0 = Vf + (− V0 )
Esta operación está ilustrada en la misma
G
figura. En ella se observa que como, Δv ,
apunta hacia la derecha, la aceleración media,
G
a m , también se dirige así.
Ejemplo :
Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el instante
con velocidad,
, y en el instante t +Δt, ocupa la posición B con velocidad
JJG
v f , tal como se ilustra en la figura a la derecha. El cambio de la velocidad,
,
se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
JK JJK JJK JJK
JJK
Δ V = Vf − V0 = Vf + (− V0 )
44
FÍSICA I
Esta operación está ilustrada en la misma
,
figura. En ella se observa que como,
apunta hacia la izquierda, la aceleración
media,
, también se dirige así.
Ejemplo :
Una partícula sigue la trayectoria ilustrada en la figura abajo. En el instante
JJK
ocupa la posición A con velocidad, V0 , y en el instante t+Δt, ocupa la posición
JJK
, se dirigirá según
B con velocidad Vf . Por tanto, el cambio de la velocidad,
el resultado de la siguiente resta vectorial:
JK JJK JJK JJK
JJK
Δ V = Vf − V0 = Vf + (− V0 )
Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como,
, apunta hacia la derecha, la aceleración media,
, también se dirige así.
Ejemplo
Una partícula se mueve con movimiento circular uniforme (M.C.U). En el
JJK
instante
se encuentra en la posición A con velocidad, V0 y en el instante t+Δt,
JJK
ocupa la posición B con velocidad Vf , tal como se ilustra en la figura abajo. Por
, se dirigirá según el resultado de la
lo tanto, el cambio de la velocidad,
siguiente resta vectorial:
45
FÍSICA I
JK JJK JJK JJK
JJK
Δ V = Vf − V0 = Vf + (− V0 )
El resultado de esta operación está ilustrada en la figura a la abajo. La
aceleración apunta hacia donde apunta el vector ,
A
.
V0
- V0
ΔV
am
Vf
B
ΔV
Vf
G
(2) Aceleración Instantánea: a
Es el valor límite de la aceleración media en el intervalo de tiempo Δt es muy
pequeño:
G
ΔV
G
G
a = lím a m = lím
Δt →o
Δt →o Δt
2.5
ó
dv
a=
2.6
dt
De modo que obtenemos la aceleración instantánea calculando la derivada de la
velocidad con respecto al tiempo. En general, la aceleración varía durante el
movimiento. Si el movimiento rectilíneo tiene una aceleración constante, se dice
que el movimiento es uniformemente acelerado. Si la velocidad aumenta en
valor absoluto con el tiempo, se dice que el movimiento es acelerado; pero si la
velocidad disminuye
en valor absoluto, el movimiento se denomina
desacelerado.
•
Si conocemos la aceleración, podemos calcular la velocidad integrando la
ecuación de la aceleración; esto es:
v
t
v0
to
∫ dv = ∫ adt
46
2.7
FÍSICA I
v
Donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. Luego, como ∫ dv = v − v0
t0
t
v = v0 + ∫ adt
t0
v
x
v0
x0
∫ vdv = ∫ adx
2.8
2.9
La aceleración se relaciona también con la posición combinado las ecuaciones.
Esto es
a=
dv d ⎛ dx ⎞
= ⎜ ⎟
dt dt ⎝ dt ⎠
2.10
ó
a=
d 2x
dt 2
2.11
Otra relación
importante entre la posición y la velocidad puede obtenerse,
dx
escribiendo dv = a dt y a esta ecuación es multiplicada por la ecuación v =
dt
obtenemos.
dx
vdv = adt ( ) = adx
2.12
dt
Integrando, obtenemos
v
x
v0
x0
∫ vdv = ∫ adx
2.13
ó
x
1 2 1 2
v − v 0 = ∫ adx
2
2
x0
2.14
2.2.5 Movimiento con Aceleración Constante (MRUV)
Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, el movimiento puede ser
muy difícil de analizar, pero existe un tipo muy común y simple de movimiento
unidimensional que ocurre cuando la aceleración es constante y uniforme.
Cuando la aceleración promedio es igual a la aceleración instantánea, en
47
FÍSICA I
consecuencia, la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el
movimiento.
A partir de la ecuación de la aceleración promedio, se obtendrá la ecuación para
G
esta aceleración. Lo primero es cambiar la a por la a:
a = (vf - vi ) / (tf - ti)
Por conveniencia se tomo a ti = 0 y tf sea cualquier tiempo t. También se
considera que vi = vo ( la velocidad inicial en t = 0) y vf = v (la velocidad en
cualquier tiempo t). Con esto se puede expresar la aceleración:
a = (v - vo)/ t
ó v = vo + at (para a constante)
Con está ecuación se puede obtener la velocidad en cualquier tiempo t, por
supuesto que se debe conocer la velocidad inicial, la aceleración (constante) y el
tiempo transcurrido.
Mediante una serie de gráficas se observará el comportamiento de una partícula
cuando se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante: (a) gráfica
posición-tiempo, (b) gráfica velocidad-tiempo, (c) gráfica aceleración-tiempo.
En esta gráfica se puede ver como la pendiente cambia de la posición inicial (xo),
en donde la pendiente era igual a vo, a la posición final (x), en la cual la
pendiente tiene un valor de v, esto durante un tiempo t determinado.
48
FÍSICA I
La gráfica es una línea recta cuya pendiente es la aceleración, a, lo que es
consistente con el hecho de que a = dv/dt es una constante. Si la aceleración
fuera negativa, la pendiente fuese negativa también. Si la aceleración es en la
dirección opuesta a la velocidad, entonces la partícula se está desacelerando.
De acuerdo con la gráfica y la ecuación (v = vo + at), vemos que la velocidad en
cualquier tiempo t es la suma de la velocidad inicial, vo, y el cambio en la
velocidad, at.
En esta gráfica se observa que es una línea recta con una pendiente de cero, ya
que la aceleración es constante.
Cuando la aceleración es constante, tanto en magnitud como en dirección,
tenemos
49
FÍSICA I
v
t
t
v0
t0
t0
∫ d v = ∫ a dt = a ∫ dt = a(t − t )
0
2.31
Donde v o es la velocidad para t = t0
v = v0 + a (t − t 0 )
2.32
La ecuación hallada nos da la velocidad en función del tiempo. Sustituyendo
este resultado en la del desplazamiento en función del tiempo e integrando,
obtenemos:
∫ dx = ∫ v.dt
x
∫ dx = ∫ [v
0
+ a.(t − t 0 )].dt
x0
t
( t −t 0 )
t0
0
x − x 0 = v0 .∫ dt + a.
∫ (t − t
x − x 0 = v 0 .(t − t 0 ) +
1
a.(t − t 0 ) 2
2
0
).dt
Donde x0 da la posición en el tiempo t0.
Esta ecuación nos da la posición de la partícula en cualquier instante.
2.2.6 Caída Libre
En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo dónde solamente
influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo
con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un
movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea es
independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer una pesada roca y
una pulga, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la
aceleración de la gravedad (g).
50
FÍSICA I
Trayectoria en caída libre
El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad uniformemente
acelerado con aceleración g constante, como ya hemos visto, veamos las
ecuaciones de la velocidad y del espacio recorrido.
Al ser un movimiento en una sola dimensión, todas las variables son
exclusivamente verticales, emplearemos notación vectorial, el vector unitario: ĵ .
Aceleración
En caída libre la aceleración es la de la gravedad, que es vertical, hacia abajo y
constante, como ya se ha dicho:
G
a = – g ĵ
La velocidad
Calculáremos la velocidad en función del tiempo, partiendo de la ecuación de la
aceleración y de la definición de aceleración:
1.
G
a = – g ĵ
2.
G
G dv
a =
dt
tenemos:
G
dv
= – g ĵ
dt
ordenando términos:
G
dv = – g ĵ dt
integrando:
v
t
v0
0
∫ dv = ∫ − gdtˆj
51
FÍSICA I
realizando la integral: al ser un movimiento vertical (– ĵ )
v- vo = – g t
Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, con una velocidad positiva V0,
podemos calcular el instante en el que su velocidad sea cero, cuando la
aceleración de la gravedad haya compensado la velocidad inicial, en ese instante
el cuerpo estará en el punto más alto de su trayectoria.
g t = vo …………………… t =
v0
g
En este instante t, el cuerpo esta en el punto más alto de su trayectoria vertical, y
su velocidad es cero.
El espacio
Partiendo de la ecuación de la velocidad y de la definición de velocidad, por un
método similar podemos calcular la ecuación de posición del cuerpo, veamos:
x − x0 = v 0 .t −
1 2
g .t
2
(xo es la de posición del cuerpo para t0 = 0)
52
FÍSICA I
CAPÍTULO 3
3 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
3.1
MOVIMIENTO PARABÓLICO
Se denomina movimiento parabólico al
realizado por un objeto cuya trayectoria
describe una parábola. Se asemeja a la
trayectoria ideal de un proyectil que se
mueve en un medio que no ofrece
resistencia al avance y que está sujeto a
un campo gravitatorio uniforme. También
es posible demostrar que puede ser
analizado como la composición de dos
movimientos
rectilíneos:
(a)
un
movimiento
rectilíneo
uniforme
horizontal, y (b) un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado vertical.
3.1.1 Tipos de movimiento parabólico
•
El movimiento de media parábola (lanzamiento horizontal): se puede
considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo
uniforme y la caída libre. También conocido como Semi-parabólico
•
El movimiento parabólico completo: se puede considerar como la
composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un
lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la
gravedad.
En condiciones ideales: la resistencia al avance es nula y el campo
gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:
53
FÍSICA I
1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado
horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al
suelo.
2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical
es igual de válida en los movimientos parabólicos.
3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente
completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.
3.1.2 Ecuaciones del movimiento parabólico
Como ya se ha dicho, hay dos ecuaciones que rigen el movimiento
parabólico:
G
1. V0 = V0 Cosφiˆ + V0 Senφˆj
G
2. a = − gˆj
donde:
V0 es el módulo de la velocidad inicial.
φ es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
g es la aceleración de la gravedad.
La velocidad inicial se compone de dos partes:
V xi = V0 Cosφ componente horizontal de la velocidad inicial.
V yi = V0 Senφ componente vertical de la velocidad inicial.
Podemos expresar la velocidad inicial de este modo:
G
Vo = V xi iˆ + V yi ˆj
54
FÍSICA I
3.1.3 Ecuación de la aceleración.
La única aceleración que interviene en este movimiento, como ya se ha dicho, es
la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
G
a = − gˆj
la cual es vertical y hacia abajo.
3.1.4 Ecuación de la velocidad
Partiendo de la ecuación de la aceleración y de la definición de aceleración:
1.
G
a = − gˆj
2.
G
G dV
a=
dt
tenemos que:
G
dV
= − gˆj
dt
ordenando términos:
G
dV = − gˆjdt
55
FÍSICA I
integrando:
V
G t
∫ dV = ∫ − gˆjdt
V0
0
extrayendo términos constantes de la integral:
t
JG JG
G
ˆ
ˆ
dV
gj
dt
V
=
−
⇒
− V 0 = −gjt
∫
∫
V
V0
ordenando:
0
G
G
V = − gˆjt + V0
G
sustituyendo V0 , por su valor, y luego ordenando:
G
V = V xi iˆ + (− gt + V yi ) ˆj
Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la
componente horizontal no varía, no depende del tiempo y es la misma que para
V0, la componente vertical si depende del tiempo y de la aceleración de la
gravedad.
3.1.5 Ecuación de la posición
Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con relación al
tiempo y de la definición de velocidad:
G
1. V = V xi iˆ + (− g.t + V yi ) ˆj
tenemos:
esto es:
G drG
2. V =
dt
G
dr
= V xi iˆ + (− g.t + V yi ) ˆj
dt
G
dr = (V xi iˆ + (− g.t + V yi ) ˆj )dt
integrando:
r
t
r0
0
G
∫ dr = ∫ (Vxi iˆ + (− gt + V yi ) ˆj )dt
56
FÍSICA I
descomponiendo la integral, sacando los términos constantes de la integral y
realizando la integral:
1
G G
r − r0 = V xi iˆt − gˆj ( t 2 ) + V yi ˆjt
2
ordenando términos:
⎛ 1
⎞
G
G
r = V xi iˆt + ⎜ − gt 2 + V yi t ⎟ ˆj + r0
⎝ 2
⎠
G
donde ri es el vector de posición del móvil para el instante t = 0, podemos
dividirlo según sus componentes en:
G
ri = X i iˆ + Yi ˆj
que sustituyéndolo en la ecuación resulta:
⎛ 1
⎞
G
r = V xi .t.iˆ + ⎜ − g.t 2 + V yi .t ⎟ ˆj + X i iˆ + Yi ˆj
⎝ 2
⎠
y ordenando, por fin:
⎛ 1
⎞
G
r = (V xi .t. + X i )iˆ + ⎜ − g.t 2 + V yi .t + Yi ⎟ ˆj
⎝ 2
⎠
La trayectoria del movimiento parabólico esta formada por la combinación de
dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante y otro vertical
uniformemente acelerado, la conjugación de los dos da como resultado una
parábola.
3.2 MOVIMIENTO CIRCULAR
El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro, si el radio de giro es
constante la trayectoria será una circunferencia, y si además la velocidad de giro
es constante se produce el movimiento circular uniforme que es un caso
particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante,
por eso aquí veremos el caso general de este movimiento.
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una
circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el
movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.
57
FÍSICA I
3.2.1 Conceptos
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos
para este tipo de movimiento:
•
Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje
puede permanece fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de
tiempo, es el eje de la rotación.
•
Arco angular: También denominado Posición Angular (θ) partiendo de
un eje de giro es el ángulo o arco de radio unitario con el que medimos el
desplazamiento angular. Su unidad es el radian.
•
Velocidad angular: (ω ) es la variación de desplazamiento angular por
unidad de tiempo
•
Aceleración angular: (α ) es la variación de la velocidad angular por
unidad de tiempo
Posición angular, θ
En el instante t el móvil se encuentra en el
punto P. Su posición angular viene dada por
el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de
la circunferencia C y el origen de ángulos O.
El ángulo θ, es el cociente entre la longitud
del arco s y el radio de la circunferencia r,
θ=s/r. La posición angular es el cociente entre
dos longitudes y por tanto, no tiene
dimensiones.
(“θ “y “s” no son vectores)
58
FÍSICA I
3.2.2 Velocidad angular, ω
En el instante t' el móvil se encontrará en la
posición P' dada por el ángulo θ’. El móvil se
habrá desplazado Δθ =θ’–θ en el intervalo
de tiempo Δt=t' – t comprendido entre t y t'.
Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el
tiempo.
ω=
Δθ
Δt
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, de forma semejante, la
velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular
media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
3.2.3 Aceleración angular, α
Si en el instante t la velocidad angular del
móvil es ω y en el instante t' la velocidad
angular del móvil es ω'. La velocidad angular
del móvil ha cambiado Δω=ω'-ω en el
intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre
t y t'.
Se define la aceleración angular como la variación de la velocidad angular por
unidad de tiempo (tiempo que tarda en efectuar dicho cambio) y la
representaremos con la letra: y se calcula:
59
FÍSICA I
α=
Δω
Δt
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración
angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
3.2.4 Velocidad tangencial: VT
VT
Es definida como la velocidad real del objeto que
efectúa el movimiento circular, Si llamamos VT a
la velocidad tangencial, a lo largo de la
circunferencia de radio “r”, tenemos que:
ac
ω
. VT = ω.r
s
θ
Si llamamos “a” a la aceleración lineal, a lo largo de la circunferencia de radio r,
tenemos que:
.
3.2.5 Periodo y frecuencia
El periodo indica los segundos que tarda un móvil en dar una vuelta a la
circunferencia que recorre. Su fórmula principal es:
T=
2π
ω
La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil en
un segundo. Se mide en Hertz o s − 1.
F=
1 ω
=
T 2π
60
FÍSICA I
3.2.6 Aceleración centrípeta
La aceleración centrípeta afecta a un móvil siempre que éste realiza un
movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. La fórmula para hallarla es:
ac =
V2
= ω 2 .r
r
3.2.7 Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento
angular
Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su
desplazamiento θ -θ0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto ω dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los
instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los
infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.
Hallamos la posición angular θ del móvil en el instante t, sumando la posición
inicial θ0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva
ω - t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.
ω
θ – θo
t
to
t
61
FÍSICA I
3.2.8 Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad
angular
En la figura, el cambio de velocidad ω -ω0
α
es el área bajo la curva α - t, o el valor
numérico de la integral definida en la
fórmula anterior.
Conociendo
ω – ωo
t
to
t
el
cambio
de
velocidad
angular ω -ω0, y el valor inicial ω0 en el
instante inicial t0, podemos calcular la
velocidad angular ω en el instante t.
Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre
los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular ω en función
del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad ω -ω0 que experimenta el
móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en
función del tiempo.
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento
circular son similares a las del movimiento rectilíneo.
62
FÍSICA I
3.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Un movimiento circular uniforme es
ω
aquél cuya velocidad angular ω es
constante, por tanto, la aceleración
ω
angular es cero. La posición angular θ
θ –θo
to
t
t
del móvil en el instante t lo podemos
calcular integrando
θ -θ0=ω(t-t0)
o gráficamente, en la representación de ω
en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del
movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo
uniforme:
3.4
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
ACELERADO
Un
movimiento
circular
uniformemente acelerado es aquél
cuya aceleración α es constante.
Dada la aceleración angular
podemos obtener el cambio de
velocidad angular ω -ω0 entre los
instantes t0 y t, mediante integración,
o gráficamente.
ω − ω 0 = a (t − t 0 )
63
FÍSICA I
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del
movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera,
relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0
Dada la velocidad angular ω en
función del tiempo, obtenemos el
desplazamiento θ -θ0 del móvil entre
los instantes t0 y t, gráficamente (área
de un rectángulo + área de un
triángulo), o integrando
Ejercicio:
Un motor eléctrico arranca desde el reposo y alcanza su rapidez de rotación
normal de 174 rpm en un segundo y después marcha con rapidez angular
constante. Suponiendo que durante ese segundo la aceleración angular es
constante, encuentre:
64
FÍSICA I
a)
La aceleración angular.
b)
La rapidez angular a los 0,5 s de haber conectado el motor.
c)
El número de revoluciones del eje de la máquina durante el primer
segundo.
Solución:
ω0 = 0
α=
ωf = 174 rpm = 18,22 rad/s
ωf − ω0
t
=
ω f − ω 0 = α .t
t=1s
(18, 22 − 0)rad / s
= 18, 22rad / s 2
1s
como: ω0 = 0
ω f = (18.22rad / s 2 ).(0.5s ) = 9.11rad / s
1
2
1
2
θ = ω 0 .t + α .t 2 = 0 + .(18.22rad / s 2 ).(1s) 2 = 9.11rad
3.5
CLASES DE ACELERACIÓN
De la definición de aceleración se concluye que ésta es diferente de cero siempre
que hayan cambios en la velocidad. Como la velocidad es un vector, puede
cambiar en magnitud, en dirección, o en ambas. Si la velocidad cambia en
) ; si cambia en
JJG
dirección , se dice que el cuerpo tiene aceleración centrípeta o normal ( a c ). En
magnitud se dice que el cuerpo tiene aceleración tangencial (
el caso que cambie simultáneamente en magnitud y en dirección, la aceleración
resultante ( ) será la suma vectorial de la aceleración tangencial y de la
aceleración centrípeta, por lo que la magnitud de la aceleración resultante será
igual a:
65
FÍSICA I
3.6
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.- Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 3 m/s y una
aceleración constante de 4 m/s2 en la misma dirección que la de velocidad ¿Cuál
es la velocidad del cuerpo y la distancia recorrida al final de 7s? Usamos el
mismo problema para un cuerpo cuya aceleración tiene dirección opuesta de la
velocidad. Escriba la expresión del desplazamiento en función del tiempo.
Solución:
Tenemos
VO = 3
m
s
a = 4m / s2
Tenemos un movimiento con aceleración constante, en la misma dirección que la
velocidad
V = Vo + at
V =3
m
m
+ 4 2 (7s) = 31m / s
s
s
La distancia recorrida es;
1⎛ m ⎞
2
x = VO t + ⎜ 4 2 ⎟ ( 7s )
2⎝ s ⎠
1⎛ m ⎞
2
⎛m⎞
= 3 ⎜ ⎟ x ( 7s ) + ⎜ 4 2 ⎟ ( 7s )
2⎝ s ⎠
⎝s⎠
= 21m + 98m = 119m / s
Cuando la aceleración tiene una dirección opuesta con la velocidad (movimiento
retardado):
V = Vo − at
=3
m
⎛m⎞
− 4 ⎜ 2 ⎟ ( 7m ) = −25m / s
s
⎝s ⎠
66
FÍSICA I
x = VO − at
1⎛ m ⎞
2
⎛ m⎞
= ⎜ 3 ⎟ ( 7s ) − ⎜ 4 ⎟ x ( 7s ) = 21m − 98m
2 ⎝ s2 ⎠
⎝ s⎠
= −77m.
El desplazamiento en función del tiempo.
1
x(t ) = V0 .t − .a.t 2
2
x(t ) = 3.t − 2.t 2
Problema 2.- Un automóvil parte del reposo y se desplaza con una aceleración
de 1m/s durante 1s luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la
función durante 10 s a un promedio de 5m/s. luego se aplica los frenos y el auto
se detiene 5 segundos después.
Solución:
vo = o
a = 1m / s2
1⎛ m ⎞
2
X AB = Vo t + ⎜ 1 2 ⎟ (1s ) = 0,5m
2⎝ s ⎠
Para el tramo B → C
Calculamos la velocidad con la que llega al punto
⎛ m⎞
VB = VO + at = 0 + ⎜ 1 2 ⎟ x (1) = 1m / s
⎝ s ⎠
VB = 1m / s
1
X = VO t − at 2
2
a=5
cm
m
= 0,05 2
2
s
s
67
FÍSICA I
1⎛
m⎞
2
x = 1m / s(10s) − ⎜ 0,05 2 ⎟ (10s )
2⎝
s ⎠
XBC = 10m − 2,5m = 7,5m
Para el tramo C → D
Vt = Vo − at = 0 →
Vo = at =
1m
m
0,05 2 x10 = 0,5m / s
s
s
Vc = 0,5m / s
1
1
2
XCD = Vo t − at 2 = ( 0,5m / s )( 5s ) − (0,1m / s2 ) ( 5s )
2
2
= 1,25m.
El espacio total recorrido es=0,5m+7,5m+1,2m
X AB = 9,25m.
68
FÍSICA I
Problema 3.- Un auto esta esperando que cambie la luz roja. Cuando la luz
cambia a verde, el auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2m/s2,
después de la cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el auto
comienza a moverse, un camión que se mueve en la misma dirección con
movimiento uniforme de 10 m/s, lo pasa. ¿En que tiempo, y a que distancia se
encontraran nuevamente el auto y el camión?
Solución:
Para el auto
(
)
1
1
1
X AB = Vo t + at 2 = at 2 = 2m / s2 (6s)2 = 36m
2
2
2
VF = Vo + at = 2x6 = 12m / s
XBC = vt = (12m / s )( t − 5 )
Para el camión X AC = Vo t → entonces el espacio debe ser
igual 10t = 36 + 12 ( t − 5 ) → t 2 = 125. el tiempo total 18 por
distancia X = 10 × 180 = 180m
Problema 4.-
(a) A qué velocidad ha de lanzarse una pelota verticalmente hacia arriba para que
alcance una altura de 20 m? (b) cuanto tiempo permanece en el aire.
Solución:
t =?
Vo = ?
V 2 = V02 − 2.g.h
V =0
0 = V02 − 2.g.h ⇒ V0 = 2.(9,8).(20) ⇒ V0 = 87, 65m / s
69
FÍSICA I
V = Vo − gt
t=
entonces
V0 = gt
t=
V0
g
19,8
= 2,025.
9,8
El tiempo que permanece en el aire es 4,04 s
Problema 5.- Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba tiene una
velocidad de 10 m/s cuando alcanza la mitad de su altura máxima
a)
¿A qué altura sube?
b)
¿Cuáles serán su velocidad y aceleración un segundo después de
lanzarlo?
c)
¿y tres segundos después?
d)
¿Cuál es la velocidad media durante el primer medio segundo?
Solución:
a)
Consideramos la mitad hacia la altura máx.
V0 = 10m / s
g = 9,8m / s2
V =0
V 2 = V0 2 − 2gh.
⎛h ⎞
V02 = 2.g.h ⇒ V02 = 2.g.⎜ max ⎟
⎝ 2 ⎠
V02 (10m / s )
=
=
= 10, 20m
g
9,8m / s 2
2
h max
b)
para t = 1,0 s
Vo = ?
Vo = 0
70
FÍSICA I
V − V0 = −g.t ⇒ V = 10m / s − (9,8m / s 2 ).(1, 0s) ⇒ V = 0, 2m / s (hacia
arriba)
Su aceleración será: -9,8m/s2 ĵ (dirigida hacia abajo)
c)
para t = 3,0 s
V − V0 = −g.t ⇒ V = 10m / s − (9,8m / s 2 ).(3, 0s) ⇒ V = −19, 4m / s (hacia
abajo)
d)
__
V=
y − yo
=
t − to
t − t o = 0.5s
1
1
Y = V0 .t − .g.t 2 ⇒ Y = (10m / s).(0,5s) − .(9,8m / s 2 ).(0,5s) 2 ⇒ Y = 3, 775m
2
2
De modo que
Vm =
3, 775m − 0
= 7,55m / s
0,5s
Problema 6.- La figura es una grafica de la aceleración de un cuerpo que se
mueve sobre el eje x. Dibújese los gráficos de su velocidad y el desplazamiento
en función del tiempo tomando x =v =0 en el instante t =0.
Solución:
La aceleración constante
1
x = Vo t + at 2
2
y
V = Vo + at
En el intervalo (0,5)
a = 2m / s2 ,V0 + x 0 = 0
71
FÍSICA I
x=
1 2 1 m
2
at = x2 2 x ( 5s )
2
2 s
X =25 m
m
⎛ m⎞
V = at = ⎜ 2 2 ⎟ x ( 5s ) = 10
s
⎝ s ⎠
En el intervalo (5,15) a =0
x = Vo t = 10
m
x10 = 100 el desplazamiento total es x = ( 25 + 100 ) m = 125m
s
V = 10m / s
En el intervalo (15,25) a= -2ms-2
1
1
x = V0 t + at 2 = 10m / sx10s − x2x102 = 100 = 0
2
2
La distancia total es 125 m
V = V0 + at = 10
m
m
− 2 2 (10s ) = −10 ( m / s )
s
s
Para el intervalo (25s ,35s)
a =a
1
x = Vo t + at 2 = /10m / s)(10) = −100m
2
La distancia total es :125 -100=25 m
V = V0 + at = −10m / s − x5s −
1 m
2
x2 2 x ( 5s )
2 s
= −50m + 25m = −25m
La distancia total es(25-25)m =0m.
72
FÍSICA I
Problema 7.- Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley
V = t 3 + 4t 2 + 2 . Si x = 4 pies cuando t = 25 ; encontrar el valor de x cuando t
=35.encontrar también su aceleración
Solución
dx 3
3
2
V
= t + 4t 2 + 2
∫ dx = ∫ t dt + 4∫ t dt + 2∫ dt
dt
t4
t3
dx
4
=
+
+ 2t + c
∫0
4
3
16 4 2
44
x=
+ 2 +4+c →c =
4 3
3
Para t = 35 ,tenemos:
t4
t3
x = + 4 + 2t + c
4
3
4
3
4
44
3
x=
+ ( 3 ) + 2x3
4 3
3
81
44
=
+ 36 + 6 −
= 47,59 pies
4
3
La aceleración
dv
a=
= 3t 2 + 8t
dt
73
FÍSICA I
3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Un atleta recorre la primera mitad del tiempo con una velocidad de 8 m/s
y durante la otra mitad del tiempo con velocidad de 5 m/s. ¿Cuál fue su
velocidad media?
Rpta.- Vm = 6,5 m/s
2.
Un tren recorrió la primera mitad del camino con una velocidad de 100
km/h y la segunda mitad con una velocidad de 80 km/h. ¿Cuál fue su
velocidad media?
Rpta.- Vm = 88,8 km/h.
3.
El camino S, recorrido por un móvil, en función del tiempo está
relacionado por la ecuación S = 4 t2 – 4 t + 3, si S se mide en metros y t
en segundos. Hallar (a) la velocidad media y (b) la aceleración media en
el intervalo de 2 a 5 segundos, (c) la velocidad y aceleración instantánea
para t = 3s.
Rpta.(a) Vm = 31 m/s
4.
(b) am =10 m/s2
(c) Vi = 26 m/s; a = 10 m/s2
Un móvil se recorre la mitad del camino con una velocidad V1. La parte
restante lo hace a una velocidad V2 la mitad del tiempo, y a la velocidad
V3 el tramo final. Encuentre la velocidad media del móvil durante el
recorrido.
Rpta.: Vm = [2 V1 (V2 + V3)] / [ 2 V1 + V2 + V3 ]
5.
Un móvil se mueve según la ecuación V = t2 – 9, donde V representa la
velocidad en m/s y t el tiempo en segundos. Hallar la aceleración para
V=27 m/s.
Rpta.: a = 12 m/s2
6.
Un móvil se desplaza con aceleración a = 2t, a lo largo del eje X. Hallar
(a) la velocidad para t = 1s. (b) El cambio de posición de 0 a 1s para t = 0,
V =2 m/s, X =0.
74
FÍSICA I
Rpta.: V = 3 m/s
7.
X = (7/3) m/s
Una partícula se mueve con una aceleración de a = – 3 V donde a se mide
en m/s2 y V en m/s. Hallar el desplazamiento, velocidad y aceleración
cuando t = 0,2 s. Las condiciones iniciales son t0 = 0, X0 = 1,5 m, V0 = 12
m/s.
Rpta.: V = 6,586 m/s
8.
X = 3,30 m
a = –19,76 m/s2
Dado el vector posición de un móvil
S (t) = (2 – t2) î + (t3 – t) ĵ + (2 t3 – t2 –1) k
Hallar:
(a) el vector unitario y tangente a la trayectoria dada, cuando t = 2 s.
(b) el módulo de la aceleración cuando t = 2 s.
9.
Una partícula se mueve en el plano X – Y, de acuerdo a las relaciones:
ax = – 2 Sen 3t, ay = Cos 3t.
Cuando t= 0, X= 0, Y= 2, Vx= 4 m/s y Vy= 1 m/s.
Hallar: (a) la ecuación de la trayectoria. (b) la velocidad para t = π/6 s
10.
El movimiento de una partícula que se desplaza según una línea recta,
viene definido por la relación X= 2t3 – 15t2 + 36t – 27, donde X se
expresa en metros y t en segundos. Calcular el tiempo, posición y
aceleración cuando V = 0.
11.
El movimiento de una partícula que se desplaza según una línea recta
viene definido por la relación Y = t3 – 9t2 + 15t + 5, donde Y se expresa
en metros y t en segundos. Calcular (a) ¿cuándo la velocidad es cero, (b)
la posición y el espacio total recorrido cuando la aceleración sea cero.
12.
La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t.
Para t = 0, la velocidad de la partícula es V = – 9 î m/s. Sabiendo que la
velocidad y la coordenada de posición son cero cuando t = 3 s, hallar las
ecuaciones del movimiento de la partícula.
75
FÍSICA I
13.
La aceleración de una partícula está definida por la relación a = – k X–2.
Comienza el movimiento, sin la velocidad inicial, en X = 10 cm, y se
observa que su velocidad es de 4 cm/s, cuando X = 5 cm. Calcular (a) el
valor de k, (b) la velocidad de la partícula cuando X = 1,0 cm.
14.
La aceleración de una partícula está definida por la relación a = – 0,002
V2 donde a es la aceleración en m/s2 y V la velocidad en m/s. Si a la
partícula se le da una velocidad inicial V0, hallar el espacio que recorrerá
(1) antes de que su velocidad descienda a la mitad de su valor inicial, (b)
antes de detenerse.
Rpta.- (a) t = 1,107 sV = 10,86 m/s (b) t = 2,722 sV = 4,41 m/s
15.
El tiempo medio de reacción de un conductor de automóvil es,
aproximadamente, 0,7 s (el tiempo de reacción es el intervalo que
transcurre entre la percepción de una señal para parar y la aplicación de
los frenos). Si un automóvil puede experimentar una desaceleración de
4,8 m/s2, calcular la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez
percibida la señal, (a) cuando la velocidad es de 30 km/h, (b) cuando es
de 60 km/h.
16.
Un antílope que se mueve con aceleración constante cubre una distancia
de 80 m, entre dos puntos en 7,0s. Su rapidez al pasar el segundo punto
es de 15,0 m/s. a) ¿Qué rapidez tenia en el primero ¿ b) ¿Cuál es su
aceleración?
17.
Un móvil se desplaza a lo largo del eje X y su aceleración con el tiempo
se indica en la figura. Para t = 0, X = 0, V = 1 m/s. Hallar (a) la distancia
total recorrida desde 0 a 2 s. (b) la velocidad para 2 s.
76
FÍSICA I
a (m/s2 )
Rpta.: X = 4,31 m
t (s)
60º
18.
V = 4,46 m/s
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, en la figura se muestra su
gráfica de la velocidad en función del tiempo. ¿Para qué valores del
tiempo X = 0. Si para t = 0, X = – 2 m.
Rpta.:
V(t)
t=
0,586 s
4
t
2
4
–2
19.
Una partícula se mueve a lo largo de una recta con aceleración que se
indica en le gráfico. Hallar la velocidad y el desplazamiento en el instante
t = 1 s. Suponga que la velocidad inicial es 2 m/s y que el desplazamiento
inicial es 2 m.
a (m/s2)
Rpta.:
4
3
V = 5 m/s
X = 5,5 m
2
1
-2
t (s)
1
2
3
4
5
6
77
7
FÍSICA I
20.
Un móvil se desplaza a lo largo del eje X, tal como se indica en la figura.
Hallar el tiempo que emplea en recorrer los 20 m. Si X = 0, t = 0.
V2 ( m2 / s2)
3
Rpta.:
60º
t = 5,08 s
X(m)
Un móvil se mueve a lo largo del eje X. Su gráfico de velocidad en
21.
función del tiempo se indica en la figura. Hallar la distancia recorrida, su
velocidad promedio y su aceleración, durante los primeros 15 segundos.
V (m/s)
12
10
Rpta.:
8
X = 112,5 m
Vm = 7.5 m/s
a = – 0,6 m/s2
6
3
t( s )
0
22.
5
15
30
40
Se dispara una pelota verticalmente hacia arriba, a partir del suelo, con
una velocidad de 24,4 m/s.
23.
a)
¿Cuánto tiempo tarda en llegar a su altura máxima?
b)
¿Hasta que altura llega la pelota?
c)
Determine a qué altura estará y que velocidad tendrá a los 3 s de
haber sido lanzada.
Un golfista golpea la bola dándole una rapidez inicial de 24 m/s
formando un ángulo de 370 con la horizontal. La bola da contra un árbol
que está a 48 m del pequeño apoyo usado en este deporte para colocar la
bola antes de pegarle. No considere la resistencia del aire, encuentre:
78
FÍSICA I
24.
a)
El tiempo que la bola está en el aire antes de chocar con el árbol.
b)
La altura a que golpea al árbol.
c)
El vector velocidad en el momento que golpea al árbol.
d)
La altura máxima que alcanzaría la bola en su movimiento.
Una rueda parte del reposo y acelera de tal manera que su velocidad
angular aumenta uniformemente a 200 RPM en 6 s. Después de haber
estado girando por algún tiempo a ésta velocidad, se aplican los frenos y
a
rueda le toma 5 minutos en detenerse. Si el número total de
revoluciones de la rueda es de 3100, calcular el tiempo total de rotación.
25.
Se lanza un proyectil con una velocidad inicial cuyas componentes son:
Vx= 20 m/s y Vy = 15 m/s, respectivamente. Hallar
el
radio
de
curvatura después de haber transcurrido 1,2 s desde su lanzamiento.
(Asuma g=10,0 m/s2).
26.
Una piedra atada en el extremo de una cuerda se hace girar en un círculo
vertical de 1,20 m de radio a una rapidez constante V1= 1,50 m/s, como
se muestra en la figura. El centro de la cuerda se encuentra a 1,50 m
sobre el piso. ¿Cuál es el alcance de la piedra si se suelta cuando la
cuerda está inclinada 30° respecto de la horizontal (a) en P, (b) en Q?
¿Cuál es la aceleración de la piedra (c) justo antes de que se suelta en P;
(d) Justo después de que se suelta en P?
V1
Q
1.20 m
30°
P
30°
V1
27.
Un cuerpo se mueve por una circunferencia de radio 16 cm con una
aceleración tangencial constante de 4 cm/s2. ¿Qué tiempo debe transcurrir
79
FÍSICA I
para que la aceleración normal del punto sea igual a 4 veces la
aceleración tangencial?
28.
Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1 m/s2
durante 1 segundo. Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a
la fricción. Durante 10 segundos a un promedio de 5 cm/s2. Entonces se
aplica los frenos y el auto se detiene 5 s más tarde. Calcular la distancia
total recorrida por el auto.
29.
Un camión viaja a una rapidez constante de 80 km/h y rebasa a un
automóvil que se mueve más lentamente, En el instante que el camión
rebasa al auto, éste comienza a acelerar a una razón constante de 1,2 m/s2
y rebasa al camión después de recorrer 0,5 km del camino. ¿Cuál es la
rapidez del auto cuando éste rebasa al camión?
30.
Dos automóviles A y B que viajan en el mismo sentido por rutas
contiguas están paradas en un semáforo. Cuando se enciende la luz verde,
el automóvil A acelera con 3 m/s2. El automóvil B parte dos (2) segundos
después y acelera con un valor constante de 4m/s2. Determinar a) En que
tiempo y donde B alcanzará a A. B) la velocidad de cada automóvil en
ese instante.
31.
Un tren subterráneo parte de una estación y acelera a 1,80 m/s2 durante
12,0s, viaja con rapidez constante 50,0s y frena a 3,50 m/s2 hasta parar en
la siguiente estación. Calcule la distancia total cubierta.
32.
Un conductor que viaja a velocidad constante de 15m/s pasa un cruce de
escolares donde él limite de velocidad es de 10 m/s. En ese momento, un
policía en una motocicleta, parado en el cruce, arranca en su persecución
con aceleración constante de 3,0 m/s2 (a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de
que el policía alcance al conductor? (b) ¿Qué velocidad tiene el policía
en ese instante? (c) ¿Qué distancia total ha recorrido cada vehículo?
33.
Un globo de aire caliente asciende en dirección vertical con una rapidez
constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a 21 m encima del suelo, se deja
caer un paquete desde el globo. (a) ¿Durante cuánto tiempo permanece el
paquete en el aire después de que se le deja caer? (b) ¿Cuál es la
velocidad del paquete un momento antes de su impacto con el suelo? (c)
Repita (a) y (b) para el caso en que el globo descienda a 5 m/s.
80
FÍSICA I
34.
Un hombre parado en el techo de un edificio tira una bola verticalmente
hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. La bola llega al suelo 10 s más
tarde. ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la bola? ¿Qué altura tiene
el edificio? ¿Con qué velocidad llegará al suelo?
35.
Un estudiante ocioso suelta una sandía desde una azotea y oye que la
sandía se estrella 3,00 s después. ¿Qué altura tiene el edificio? La rapidez
del sonido es 340 m/s ignore la resistencia del aire
36.
Se tira una piedra hacia arriba desde el fondo de un pozo de 80 pies de
profundidad con una velocidad inicial de 240pies/s. Calcular el tiempo
que demorará la piedra en alcanzar el borde del pozo, y su velocidad.
Discutir las respuestas posibles.
37.
Se tira una piedra hacia arriba desde el fondo de un pozo de 25 m de
profundidad con una velocidad inicial de 70 m/s. Calcular el tiempo que
demorará la piedra en alcanzar el borde del pozo, y su velocidad. Discutir
las respuestas posibles.
38.
El movimiento de una partícula viene definida por las ecuaciones
x=(t+1)2 e y=(t+1)-1, estando x e y expresadas en metros y t en segundos.
Hallar la ecuación cartesiana de la trayectoria. B) hallar la velocidad si t
= = 0 s, y C) la aceleración cuando t = 2s
39.
La velocidad de un coche en función en función del tiempo está dada por
v(t) = α + βt2, donde α = 3,00 m/s y β = 0,200 m/s3. a) Calcule la
aceleración media entre t=0 o y t = 5,00 s b) calcule la aceleración
instantánea en t = 5s
40.
Una
partícula
tiene
un
vector
de
posición
dado
por
r = 3 cos 2t iˆ + 3sen2t ˆj . Donde r se expresa en metros y t en segundos.
a) Determine los vectores velocidad instantánea y la aceleración
instantánea en función del tiempo t. b) determine la aceleración normal y
tangencial en función del tiempo
41.
Una partícula sale desde el reposo en t = 0 en el origen y se mueve en el
plano x-y con una aceleración constante de a = (2 iˆ + 4 ˆj )m / s 2 . Después
de que ha transcurrido un tiempo t, determine: a) las componentes de la
velocidad x e y, b) las coordenadas de la partícula y c) rapidez de la
partícula
81
FÍSICA I
42.
Se lanza un globo con agua desde una ventana a 8 m del suelo. Cuando
abandona la ventana, se mueve con una velocidad de 10 m/s con un
ángulo de 16º con la horizontal. ¿A qué distancia horizontal caerá desde
la base del edificio diámetro con movimiento
43.
Un avión bombardero está volando horizontalmente a una altura de 1,2
km con una velocidad de 180 km/h a) ¿Cuánto tiempo antes de que el
avión esté sobre el blanco debe dejar la bomba al llegar al suelo?, b)
¿Cuál es la velocidad de la bomba al llegar al suelo?, c) ¿ Cuál es la
velocidad de la bomba 10s después de soltarla? d) ¿Cuál es la velocidad
de la bomba cuando se encuentra a 200m del suelo y cuando llega al
suelo? e) ¿Cuál es el ángulo que forma con el eje horizontal la velocidad
de la bomba al caer al suelo? f) ¿Cuál es la distancia horizontal cubierta
por la bomba?
44.
Se lanza una pelota directamente hacia arriba, la cual regresa a la mano
del lanzador luego de permanecer 3 s en el aire. Se lanza una segunda
pelota con un ángulo de 30º respecto de la horizontal. ¿Con qué rapidez
se debe arrojar la segunda pelota para que alcance la misma altura que la
que se lanzó en dirección vertical?
45.
Se dispara un proyectil desde el nivel del piso con velocidad
vˆ = (12iˆ + 24 ˆj ) m/s a) ¿Cuales son las componentes horizontal y vertical
de la velocidad después de 5 s? B) ¿Cuáles son las coordenadas del punto
en el cual la altura es máxima?
46.
Un acróbata en motocicleta se lanza desde un risco. Justo en el borde su
velocidad es horizontal con magnitud 9,0 m/s. Obtenga la posición,
distancia desde el borde y velocidad de la moto después de 0,50 s.
47.
Una partícula que tiene el vector de posición r = tiˆ +
1 2
t ˆj + tkˆ Hallar a)
2
la aceleración tangencial, y b) aceleración normal
48.
Hallar la a) la aceleración tangencial y b) y aceleración normal de una
partícula la cual se mueve sobre una elipse con vector de posición
a = a cos wt iˆ + b cos wt ˆj
82
FÍSICA I
49.
Un punto se mueve en un circulo de acuerdo a la ley s = t3 + 2 t 2, donde s
se mide en metros a lo largo del círculo y t en segundos. Si la aceleración
total del punto es 16 2 m /s2 cuando t = 2s, calcular el radio del circulo.
50.
Un disco flexible que está en reposo en una computadora comienza a
girar hasta alcanzar una velocidad angular de 31,4 rad/s en un tiempo de
0,892 s. a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco, suponiendo que la
misma es uniforme ?b) ¿Cuántas revoluciones efectúa el disco hasta que
alcanza su velocidad normal? C) Si el radio del disco es de 4,45cm,
calcule la rapidez lineal final de un microbio que está en el borde del
disco?
51.
Un punto se mueve por una circunferencia de radio r = 2cm. La relación
entre el camino recorrido y el tiempo viene expresada por la ecuación
s=ct3. donde c = 0,1cm/s3. Halle: (a) las aceleraciones normal y
tangencial del punto en el momento en que la velocidad lineal del mismo
es v =0,3 m/s; (b) la aceleración total.
52.
Un punto P se mueve en el sentido de las manecillas de un reloj sobre una
trayectoria circular de 2 m de radio. La velocidad angular del punto,
respecto del centro del circulo es proporcional al cuadrado del tiempo,
antes del instante de partida esto es w = kt2, siendo k una constante, w y t
se expresan en rad/seg y seg respectivamente. Cuando t = 2s la
velocidad del punto es de 64 m/s. ¿Cuál es la velocidad lineal y la
aceleración total del punto “p“ cuando t = 0,5 s
53.
Una rueda parte del reposo y acelera de tal manera que su velocidad
angular aumenta uniformemente a 200rpm en 6 s. Después de haber
estado girando por algún tiempo a esta velocidad aplica los frenos y la
rueda toma 5 minutos en detenerse. Si el número total de revoluciones
de la rueda es de 3100 revoluciones Calcular el tiempo total de rotación
54.
Un estudiante hace girar una pelota sujeta al extremo de una cuerda que
tiene 0,6m de longitud en una circunferencia vertical. La rapidez de la
pelota es de 4,3 m/s, en su punto más alto y 6,5 m/s en su punto más bajo.
Calcule la aceleración de la pelota: (a) en su punto más alto y (b) en su
punto más bajo.
55.
Un cazador utiliza una pequeña piedra sujeta al extremo de una cuerda
como honda primitiva. Se hace girar la piedra por arriba de su cabeza en
83
FÍSICA I
una circunferencia horizontal de 1,6 m de diámetro y con una rapidez de
6 revoluciones por segundo. ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la
piedra?
56.
Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 0,4 m de radio con
una rapidez constante. Si la partícula hace cinco revoluciones en cada
segundo de su movimiento, halle: (a) la rapidez de la partícula y (b) su
aceleración.
84
FÍSICA I
CAPÍTULO 4
LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
Dinámica: Es la parte de la mecánica que estudia y describe el movimiento de
un cuerpo o partícula, tomando en cuenta las causas que produce dicho
movimiento
4.1
FUERZA E INTERACCIONES
Se denomina fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado
de movimiento o de reposo de un cuerpo, es decir, de imprimirle una aceleración
modificando su velocidad.
Cuando pensamos en una fuerza, habitualmente imaginamos un empujón o un
tirón que se ejerce sobre algún objeto. Por ejemplo empujar un automóvil
descompuesto, cuando se empuja un mueble en ambos casos se ejerce una fuerza
sobre ellos. Lo que le sucede a un objeto cuando una fuerza actúa sobre él
depende de la magnitud y la dirección de la misma. Es decir la fuerza es una
magnitud vectorial y lo representamos mediante una flecha.
La Interacción Electromagnética es un tipo de fuerza que no necesita de contacto
físico entre dos objetos, por ejemplo la fuerza que ejerce un par de imanes
cuando están cerca sin necesidad de estar en contacto se llama fuerza magnética.
La fuerza que ejerce la tierra sobre los cuerpos que se encuentran cerca de su
superficie, se denomina fuerza gravitacional (es el peso del cuerpo), también a
este tipo de fuerzas se les llama fuerzas de largo alcance o también fuerzas de
campo.
4.2
PRIMERA LEY DE NEWTON ( LEY DE LA INERCIA)
Inercia Es la tendencia de un objeto a resistir cualquier intento por cambiar su
movimiento.
85
FÍSICA I
Cuando al frenar el camión sientes que te vas de frente y se te caen los libros de
las rodillas está pasando una cosa muy curiosa: tu cuerpo y los libros no quieren
frenar con el camión; quieren seguir moviéndose igual que antes.
Si en lugar de frenar el vehículo diera una vuelta cerrada, en vez de irte de frente
sentirías que te vas de lado. Los libros salen volando hacia el lado contrario a la
dirección de la vuelta. Los objetos, si nadie se opone, prefieren seguirse
moviendo en línea recta y tratarán de hacerlo siempre que puedan.
Los carritos del súper son muy difíciles de poner en movimiento cuando están
muy llenos. Para que alcancen una velocidad respetable tienes que empujarlos
muy fuerte, o durante mucho tiempo, o las dos cosas. Igual para pararlos una vez
que van a toda velocidad. Trata de hacerlos dar vuelta y verás que tampoco es
fácil si están muy llenos. O sea que mientras más lleno el carrito, más se opone a
los cambios de movimiento. La propiedad física que mide cuánto se opone un
cuerpo a los cambios de movimiento se llama inercia.
“… Un objeto en reposo permanece en reposo, y un objeto en movimiento
continúa en movimiento con velocidad constante en línea recta, a menos que
experimente una fuerza externa neta que lo obligue a salir de dicho estado.”
Como indicamos anteriormente, por fuerza externa entendemos cualquier fuerza
que es producto de la interacción entre el objeto y su entorno. La primera ley de
Newton dice que cuando la fuerza externa neta sobre un objeto es cero, su
aceleración es cero. Es decir, cuando ΣF= 0, entonces a = 0
4.3
SEGUNDA LEY DE NEWTON
La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que
actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. Esto lo podemos expresar
de la siguiente manera:
a∝
∑F
m
Donde a es la aceleración del objeto, m su masa y ΣF representa la suma
vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto. Esto lo
86
FÍSICA I
podemos escribir como una igualdad usando una constante de proporcionalidad,
esto es:
a =k
∑F
m
En el sistema internacional de unidades
escribimos como:
k = 1, entonces la ecuación
lo
ΣF = m . a
Unidades
En él SI la unidad de fuerza es el Newton (N), el cual se define como la fuerza
que, cuando actúa sobre una masa de 1 kg, produce una aceleración de 1 m/s2. A
partir de esta definición y de la segunda ley de Newton, vemos que el newton se
puede expresar en términos de las unidades fundamentales de masa, longitud y
tiempo:
1N = 1 kg . m/s2
otras unidades que se usan para la fuerza son:
En el sistema cgs:
1 dina = 1gr . cm/s2
Equivalencias:
1 N = 105 dinas
En el Sistema técnico:
poundal (pdl)
1 poundal = pie . lb / s2
1 poundal = 0.1383 N
Otras dos unidades que son utilizadas frecuentemente por los ingenieros:
1 kilogramo fuerza = 1 Kgf = 9.809 N
1 libra fuerza = 1lbf = 32.17 pdl = slug pie /s2
87
FÍSICA I
4.4
TERCERA LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y
REACCIÓN)
Ejemplo: Al patear un balón, la fuerza hacia delante que el pie ejerce sobre el
balón lo lanza en su trayectoria, pero sentimos la fuerza que el balón ejerce sobre
el pie.
Esta ley, equivale a afirmar que las fuerzas siempre se presentan en pares, o que
una fuerza aislada no puede existir. A la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el
cuerpo 2 se llama en ocasiones fuerza de acción, y a la fuerza del cuerpo 2 sobre
el cuerpo 1 se le conoce como fuerza de reacción. La fuerza de acción tiene la
misma magnitud que la fuerza de reacción pero en dirección opuesta. En todos
los casos, las fuerzas de acción y de reacción actúan sobre objetos diferentes y
deben ser del mismo tipo.
FA sobre B = – FB sobre A
4.5
MASA Y PESO
El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional que la tierra ejerce sobre él y por
lo tanto, es una cantidad vectorial hacia el centro de la tierra. La magnitud del
peso es el producto de la masa del cuerpo y la aceleración, es decir:
F=m.g
Donde “g” es la aceleración de la gravedad, varía de un punto de la tierra a otro.
El peso del cuerpo depende de su localización. Su masa es una propiedad
intrínseca independiente de la localización.
Estas dos afirmaciones se resumen en la Ley Fundamental de la Dinámica o
Segunda Ley de Newton:
F=m.a
88
FÍSICA I
Donde F representa la fuerza que actúan sobre el cuerpo, m su masa y a su
aceleración. Medidas sobre un sistema inercial de referencia.
La fuerza, al igual que la aceleración, es una magnitud vectorial, y se representa
matemáticamente mediante un vector.
La fuerza de la Segunda Ley de Newton es, por tanto, una suma vectorial.
A la fuerza resultante de la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre
un cuerpo se le denomina fuerza neta. Por lo que la Segunda Ley de Newton la
podríamos expresar así:
Un cuerpo en movimiento sobre el que no actúa ninguna fuerza neta seguirá
moviéndose en línea recta y a velocidad constante indefinidamente.
4.6
DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE
Un diagrama de cuerpo libre es una especie de croquis que se representa sobre un
eje de coordenadas. En el croquis deben indicarse absolutamente todas las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Es al resultado de esta representación a la
que se le denomina diagrama de cuerpo libre.
89
FÍSICA I
Casos:
T
f
1
T2
1
T2
W
2
W1
2
W2
Caso 2
Caso 1
N
T
N
Caso 4
W
W
Caso 3
T1
T2
Caso 5
W
T1
Caso 6
T2
P
90
FÍSICA I
Cuando aplicamos las leyes de Newton a un cuerpo, sólo estamos interesados en
aquellas fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.
Cuando una caja está en reposo sobre una mesa, las fuerzas que actúan sobre el
aparato son la fuerza normal, N, y la fuerza de gravedad, W, como se ilustran.
N
W
Estrategias para la solución de problemas en los cuales se tiene que aplicar
las leyes de Newton:
1.-
Dibuje un diagrama sencillo y claro del sistema.
2.-
Aísle el objeto cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo
libre para este objeto, es decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas
externas que actúan sobre él. Para sistemas que contienen más de un objeto,
dibuje diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya
en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el objeto ejerce sobre sus
alrededores.
3.-
Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determine
las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. Aplique la segunda
ley de Newton, ΣF = m.a, en la forma de componentes. Verifique sus
dimensiones, para asegurar que todos los términos tengan unidades de
fuerza.
91
FÍSICA I
4.-
Resuelva las ecuaciones de componentes para las incógnitas. Recuerde que
se deben tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas para
poder obtener una solución completa.
5.-
Verifique las predicciones de sus soluciones para valores extremos de las
variables. Es posible que al hacerlo detecte errores en sus resultados.
92
FÍSICA I
CAPÍTULO 5
APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
5.1
APLICACIÓN DE LA 1RA. LEY
PARTÍCULAS EN EQUILIBRIO
DE
NEWTON:
La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en
equilibrio (reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea
cero.
G
G G
F = ∑ Fi = 0
Es de hecho que con esta condición la partícula podría también moverse con
velocidad constante, pero si está inicialmente en reposo la anterior es una
condición necesaria y suficiente.
5.2
APLICACIÓN DE LA 2DA.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
LEY
DE
NEWTON:
Se aplica en problemas donde intervengan fuerzas que actúen sobre un cuerpo
con aceleración. A continuación se muestran algunos pasos a seguir para plantear
un determinado problema:
1. Haga un dibujo sencillo de la situación. Identifique uno o más cuerpos en
movimiento a los que se les aplicará la segunda ley de Newton.
2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo identificado, que
muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
3. Rotule cada fuerza con un símbolo algebraico para representar su magnitud y
el valor numérico.
4. Escoja los ejes de coordenadas X e Y para cada objeto y muéstrelos
explícitamente en cada diagrama de cuerpo libre.
5. Identifique cualquier otra ecuación que podría necesitar además de la
segunda ley de Newton.
93
FÍSICA I
5.3
FUERZAS DE ROZAMIENTO
5.3.1 La fuerza normal
La fuerza normal, reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque
depende del peso del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se
ejerzan sobre el bloque.
Supongamos que un bloque de
masa m está en reposo sobre una
superficie horizontal, las únicas
fuerzas que actúan sobre él son el
peso mg y la fuerza y la fuerza
normal N. De las condiciones de
equilibrio se obtiene que la fuerza
normal N es igual al peso mg
N=mg
Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ , el bloque está en equilibrio en
sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a
la componente del peso perpendicular al plano, N=mg·cosθ
Consideremos de nuevo el bloque sobre la superficie horizontal. Si además
atamos una cuerda al bloque que forme un ángulo θ con la horizontal, la fuerza
normal deja de ser igual al peso. La condición de equilibrio en la dirección
perpendicular al plano establece N+ F·senθ =mg
94
FÍSICA I
5.3.2 Fuerza de rozamiento por deslizamiento
En la figura, se muestra un bloque arrastrado por una fuerza F horizontal. Sobre
el bloque actúan el peso mg, la fuerza normal N que es igual al peso, y la fuerza
de rozamiento Fk entre el bloque y el plano sobre el cual desliza. Si el bloque
desliza con velocidad constante la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de
rozamiento por deslizamiento Fk.
Podemos investigar la dependencia de Fk con la fuerza normal N. Veremos que si
duplicamos la masa m del bloque que desliza colocando encima de éste otro
igual, la fuerza normal N se duplica, la fuerza F con la que tiramos del bloque se
duplica y por tanto, Fk se duplica.
La fuerza de rozamiento por deslizamiento Fk es proporcional a la fuerza normal
N.
Fk=μk N
La constante de proporcionalidad μk es un número sin dimensiones que se
denomina coeficiente de rozamiento cinético.
El valor de μk es casi independiente del valor de la velocidad para velocidades
relativas pequeñas entre las superficies, y decrece lentamente cuando el valor de
la velocidad aumenta.
95
FÍSICA I
5.3.3 Fuerza de rozamiento estático
También existe una fuerza de rozamiento entre dos objetos que no están en
movimiento relativo.
En la figura, la fuerza F aplicada sobre el bloque aumenta gradualmente, pero el
bloque permanece en reposo. Como la aceleración es cero la fuerza aplicada es
igual y opuesta a la fuerza de rozamiento Fs.
F=Fs
La máxima fuerza de rozamiento corresponde al instante en el que el bloque está
a punto de deslizar.
Fs máx=μsN
La
constante
de
μs
se
denomina
coeficiente
rozamiento estático.
de
proporcionalidad
Los coeficientes estático y
cinético dependen de las
condiciones de preparación y de
la naturaleza de las dos
superficies
y
son
casi
independientes del área de la
superficie de contacto.
96
FÍSICA I
5.3.4 Tablas de valores de los coeficientes
•
Coeficientes de rozamiento por deslizamiento para diferentes
materiales
Superficies en contacto
μk
Acero sobre acero
0,18
Acero sobre hielo (patines)
0,02-0,03
Acero sobre hierro
0,19
Hielo sobre hielo
0,028
Patines de madera sobre hielo y nieve
0,035
Goma (neumático) sobre terreno firme
0,4-0,6
Correa de cuero (seca) sobre metal
0,56
Bronce sobre bronce
0,2
Bronce sobre acero
0,18
Roble sobre roble en la dirección de la fibra
0,48
Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975.
•
Coeficientes de rozamiento estático y cinético
Superficies en contacto
μs
μk
Cobre sobre acero
0,53
0,36
Acero sobre acero
0,74
0,57
Aluminio sobre acero
0,61
0,47
Caucho sobre concreto
1,0
0,8
Madera sobre madera
0,25-0,5
0,2
Madera encerada sobre nieve húmeda 0,14
0,1
Teflón sobre teflón
0,04
0,04
Articulaciones sinoviales en humanos 0,01
0,003
Fuente: Serway R. A.. Física. Editorial McGraw-Hill. (1992)
97
FÍSICA I
5.4
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
5.4.1 Ecuación de la dinámica del movimiento circular
En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos
visto que la velocidad del móvil no cambia de módulo
pero cambia constantemente de dirección. El móvil
tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro
de la trayectoria, denominada aceleración normal y
cuyo módulo es
La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas F que actúan
sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al
producto de la masa m por la aceleración normal an.
F=m an
5.4.2 Sistema de Referencia Inercial
Desde el punto de vista de un observador inercial, el móvil describe un
movimiento circular uniforme. El móvil cambia constantemente la dirección de
la velocidad, aunque su módulo permanece constante. La fuerza necesaria para
producir la aceleración normal es
F=mω2R
5.4.3 Sistema de Referencia No Inercial
Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está
en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas. La tensión de la cuerda F y la fuerza
centrífuga Fc. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración
centrífuga.
98
FÍSICA I
Fc = m . ac ……. Fc = mω2R
La fuerza centrífuga, no describe ninguna interacción entre cuerpos, como la
tensión de una cuerda, el peso, la fuerza de rozamiento, etc. La fuerza centrífuga
surge al analizar el movimiento de un cuerpo desde un Sistema de Referencia No
Inercial (acelerado) que describe un movimiento circular uniforme.
5.4.4 Fundamentos físicos
Supongamos que un móvil circula con velocidad constante, y que sobre él actúa
una fuerza de rozamiento en la dirección perpendicular a su vector velocidad.
El móvil esta girando
alrededor del centro.
Las fuerzas que actúan sobre el móvil son tres, el peso, la reacción del plano y la
fuerza de rozamiento. Esta última es la que hace que el vehículo describa una
trayectoria circular.
Como hay equilibrio en sentido vertical la reacción del plano es igual al peso
N=mg
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento en la dirección radial
Fr = m . aN ………… Fr = m. (v 2/ R)
Siendo v la velocidad del móvil y R el radio de la circunferencia que describe
A medida que se incrementa la velocidad v, se incrementa la fuerza de
rozamiento Fr hasta que alcanza un valor máximo dado por el producto del
coeficiente de rozamiento estático por la reacción del plano, μ N.
99
FÍSICA I
Por tanto, la máxima velocidad v que puede alcanzar el vehículo para que
describa una curva circular de radio R será: m.
v2
= μ .N ….
R
v = μR.g
5.4.5 Dinámica del movimiento circular uniforme:
En este tipo de movimiento existe
únicamente aceleración normal
constante (centrípeta: a =v2/r), la
aceleración tangencial (con sentido
tangente a la trayectoria en cada
punto) será nula.
ω
V
ω
R
Ésta aceleración tendrá que ser originada también por una fuerza constante
dirigida en la misma dirección y sentido (recordamos que F=m·a), es decir,
perpendicular a la dirección de la velocidad y con sentido hacia el centro de la
circunferencia. Su valor vendrá dado por: F = m·anormal = m·v2/r. La velocidad
angular viene representada por un vector axial cuya dirección es perpendicular al
plano de giro y su sentido sigue la regla del tornillo.
Por lo tanto, v= ω2·r y F = m·v2/r = m·ω2·r. A esta fuerza se le llama fuerza
normal o fuerza centrípeta.
5.4.6 Dinámica del movimiento circular uniformemente acelerado:
En este caso existen las dos aceleraciones, la
tangencial, constante, y la normal, variable. Por lo
tanto, en principio, hemos de admitir la necesidad de
Fc
dos fuerzas: una fuerza tangencial, constante y en la
misma dirección que la aceleración tangencial y otra
F
fuerza normal o centrípeta, variable, perpendicular a
la dirección de la velocidad y con sentido hacia el centro de la circunferencia.
Ft
Ambas fuerzas, al ser simultáneas y actuar sobre un mismo punto, forman un
sistema que, evidentemente, puede ser sustituido por una sola fuerza resultante:
100
FÍSICA I
Ésta, según lo expuesto, deberá descomponerse en dos componentes
rectangulares según las siguientes características:
-
La que actúe en la dirección de la velocidad será de módulo constante.
-
La que actúe perpendicularmente a la velocidad y con sentido hacia el
centro de la circunferencia será variable y su valor en cada instante
corresponderá a la expresión. m·v2/r.
-
El módulo de la fuerza resultante vendrá dado (por la ley de Pitágoras):
F = Ft 2 + Fn2
5.5
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1: Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 8 kg, están
unidos mediante una cuerda homogénea inextensible que pesa 2
kg. Se aplica al conjunto una fuerza vertical hacia arriba de 560 N.
Calcular: a) La aceleración del conjunto; b) Las fuerzas que actúan
en los extremos de la cuerda.
a)
La fuerza total exterior que actúa sobre el conjunto es
F = F1 + P1 + P2 + P3 = (560 – 30 x 9,8) j = 266 j
y su masa es de 30 kg.
De la 2ª ley de Newton F = m a se tiene que
a = 8,86 j m/s2
b)
En el extremo superior A y en el inferior B de la cuerda actúan fuerzas FA
y FB tal que
FA + FB + P3 = m3 a
La fuerza FB es la que ejerce el bloque 2 sobre la cuerda, luego la cuerda
ejerce sobre el bloque una fuerza igual de sentido opuesto. Movimiento
del bloque 2
101
FÍSICA I
–FB + P2 = m2 a
⇒
FB = –149,3 j N
Sustituyendo en la ecuación anterior queda FA = 186,6 j N
Problema 2 En el esquema de la figura las masas de la polea y del cable son
despreciables y no hay rozamiento entre el cable y la polea. Hallar la aceleración
del bloque m0 y la tensión del cable que une los bloques m1 y m2. El coeficiente
de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado es μ.
Solución:
Aceleración
⇒
a=
m0 − μ .(m1 + m2 )
.g
m0 + m1 + m2
Tensión
⇒
T=
(1 + μ ).(m1 + m2 )
.m0 .g
m0 + m1 + m2
Problema 3: Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza F.
Determinar el vector posición r(t) si:
a)
F = F0 Sen ω t, r (0) = 0, v (0) = 0 siendo F0 un vector constante y ω una
constante > 0
b)
F = – ηv , r (0) = 0, v (0) = vo siendo η una constante > 0
Solución:
a)
De la ecuación fundamental de la dinámica se tiene:
102
FÍSICA I
dv F0
=
.Senωt
dt
m
Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se tiene:
F
v(t ) = 0 .(1 − Cosωt )
m.ω
El desplazamiento elemental es d r = v (t) d t Sustituyendo e integrando
se tiene:
r (t ) =
F0
.(ωt − Senωt )
m.ω 2
El movimiento de la partícula es rectilíneo.
b)
De la ecuación fundamental de la dinámica en forma escalar se tiene:
dv
ηv
=−
dt
m
Integrando y pasando a la forma vectorial queda:
η
v(t ) = v0 .e
− .t
m
Integrando la velocidad y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se
obtiene la posición
r (t ) =
m.vo
η
.(1 − e −ηt / m )
El movimiento de la partícula es rectilíneo
Problema 4: Una persona de masa m = 58 kg se encuentra sobre una plataforma
de masa M = 14,5 kg la cual está unida a una cuerda que pasa por una polea
como se muestra en la figura adjunta. Encontrar la fuerza que la persona debe
hacer sobre el extremo libre de la cuerda para: a) Subir con aceleración de 0,61
ms-2. b) Subir con velocidad constante.
103
FÍSICA I
Solución:
a) Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con
el eje y vertical. Para subir, en el extremo libre de la cuerda, la
persona ejerce una fuerza vertical hacia abajo, y la cuerda
ejerce sobre la persona, apoyada en la plataforma, una fuerza
igual y de sentido opuesto. En el otro extremo de la cuerda,
esta ejerce sobre el sistema plataforma - hombre una fuerza
vertical hacia arriba. Ambas fuerzas son iguales.
Fuerzas sobre el sistema hombre-plataforma
De la 2ª ley de Newton se tiene:
(m + M ).aˆj = 2 Fˆj − (m + M ).gˆj
Operando se tiene:
…… (1)
F = 377 N
b) Ahora la aceleración es cero.
De la ecuación (1) igualada a cero se tiene
F = 355 N
5.6
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 01.- Sobre un plano inclinado 30° con la horizontal se tiene un cuerpo
de masa 30 kgr que está unido mediante una cuerda que pasa por una polea sin
inercia ni rozamientos a otro cuerpo de masa 20 kgr situado en un plano
inclinado 20° opuesto al anterior. El sistema se mueve con velocidad constante,
descendiendo el cuerpo de 30 kgr y elevándose el de 20 kgr. El coeficiente de
rozamiento de ambos planos con sus respectivos cuerpos es el mismo. Calcule su
valor.
Problema 02.- Un globo con todos sus accesorios tiene una masa de 200 kgr, y
desciende con una aceleración diez veces menor que la de la gravedad. Calcule la
104
FÍSICA I
masa de lastre de la que debe desprenderse para ascender con la misma
aceleración con la que estaba bajando.
Problema 03.- Hallar la velocidad angular mínima para hacer girar en un plano
vertical una piedra atada al extremo de una cuerda de 1 m de longitud.
Problema 04.- Un ascensor de 500 kgr arranca hacia arriba con una aceleración
de 0,5 m/s2 hasta alcanzar una velocidad uniforme de 1 m/s. Se detiene a base de
aplicarle una aceleración contraria al movimiento de valor 0,6 m/s2. Calcule la
tensión que soporta el cable del ascensor durante las tres fases del movimiento
descrito. Si el cable no aguanta una tensión mayor de 10000 N, calcule cual sería
la máxima aceleración posible en el arranque.
Problema 05.- Dos masas iguales de 1 kgr penden de los extremos de una
cuerda que pasa por una polea de masa despreciable. ¿Qué diferencia de altura
debe existir entre ambas masas para que al colocar una sobrecarga de 20 gr en la
más elevada dé lugar a que al cabo de 2 s ambas estén a la misma altura? Calcule
también la diferencia de altura entre las masas 2 s después de haberse cruzado.
Problema 06.- Un camión transporta un bloque rectangular de 2 m de altura, 1
m de profundidad y 1 m de anchura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento
entre el bloque y la caja es de 0,6, calcule la máxima aceleración que puede darse
al camión para que el bloque no deslice. Si se ponen unos topes en el suelo de la
caja para evitar el deslizamiento, calculad la máxima aceleración que puede
darse al camión sin que el bloque vuelque. A la vista de los resultados, comentar
qué sucedería con el bloque a medida que el camión acelera en ausencia de
dichos topes.
Problema 07.- Se dispara una bala de 200 gr contra un bloque de madera de 800
gr en reposo sobre una superficie horizontal. La bala se incrusta en el bloque y el
conjunto se pone en movimiento parándose, debido al rozamiento, después de
recorrer 5 m. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento vale 0,4, calcule: a) La
aceleración del conjunto después de iniciado el movimiento. b) Velocidad con la
que el conjunto inicia el movimiento. c) Velocidad de la bala en el momento del
impacto.
105
FÍSICA I
Problema 08.- Un cuerpo de 2 kgr de masa se encuentra sujeto al extremo de
una cuerda de 100 cm de longitud, y gira en un plano vertical describiendo una
circunferencia. Se sabe que cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria,
la tensión del hilo vale 1000 N. Si se rompe la cuerda en ese preciso momento,
encuentre la velocidad con la que saldrá despedido ese cuerpo. Calcule también
la tensión de la cuerda cuando pasa por el punto más alto de la trayectoria.
Problema 09.- Una grúa eleva un peso de 2000 kp con un cable que aguanta
hasta 3000 kp. Calcule la máxima aceleración con la que puede subir el peso.
Problema 10.- Un cuerpo desliza desde el reposo, primero a lo largo de un plano
inclinado 30o con la horizontal y luego continúa moviéndose sobre el plano
horizontal, del mismo material que el inclinado. Determine el coeficiente
dinámico de rozamiento, sabiendo que el cuerpo recorre en el plano horizontal la
misma distancia que en el plano inclinado.
Problema 11.- Dos bloques de masas 4 y 6 kg están unidos por una cuerda, y se
desplazan sobre una superficie horizontal por la acción de una fuerza de 200 N
que se aplica estirando del 2º bloque. El coeficiente de rozamiento vale 0,5 para
ambos bloques. Calcule la aceleración con la que se mueven, así como la tensión
de la cuerda que los une. A continuación, resuelva el problema suponiendo que
la misma fuerza se aplica al otro bloque.
Problema 12.- Una masa de 20 gr está sujeta en el extremo de un hilo de 1 m de
longitud, sujeto en el techo de una habitación. Por la acción de determinada
fuerza se le imprime un movimiento circular de radio 0,5 m. Encuentre la
velocidad lineal del movimiento y la tensión que soporta la cuerda.
Problema 13.- En un ascensor de 800 kg sube una persona de 75 kg que lleva en
la mano un paquete de 3 kg colgando de un hilo. El ascensor se eleva 3 m en 2 s
con aceleración constante. Determine la tensión del cable del ascensor y la
tensión del hilo del paquete durante ese ascenso. Ídem cuando el ascensor esté
subiendo luego con velocidad constante.
Problema 14.- Una lata de 500 gr está en lo alto de un poste de 30 m de altura.
Una persona situada a 20 m de la base del poste dispara contra el bote con un
proyectil de 10 gr, que golpea a la lata con una velocidad de 450 m/s, quedando
106
FÍSICA I
alojado en ella. Calcule: a) la velocidad con la que empieza a moverse el
conjunto bote + bala después del impacto, b) la altura máxima alcanzada por el
conjunto bote+bala por encima del poste, c) el punto donde caerá el conjunto
bote + bala, contando desde la base del poste.
Problema 15.- Un futbolista da una patada al balón con una fuerza media de 500
N. El balón sale lanzado con un ángulo de 45°, y vuelve a tocar tierra a 40 m de
distancia. Calcule el tiempo que duró el golpe dado al balón, del que se sabe que
tiene una masa de medio kilogramo.
Problema 16.- Sobre una mesa se halla un bloque
m1=20 kg que está unido por una cuerda a otros dos
de m2=5 kg y m3=3 kg, como indica la figura
adjunta. El coeficiente de rozamiento entre la mesa y
m1 es 0,2. Calcule la aceleración del conjunto y la
tensión de cada tramo de cuerda.
Problema 17.- Sabiendo que la masa m1
desciende 1 m de longitud de plano en 2 s, y
que el coeficiente de rozamiento de las dos
superficies vale µ=0,2, con los datos
expresados en la figura halle el valor de m1 y
la tensión que soporta la cuerda.
Problema 18.- Una bolita de masa m está
atravesada por un alambre de forma semicircular
de radio R, de forma que puede deslizar por él con
un rozamiento despreciable, tal como se ve en la
figura. Si el alambre está quieto, la bolita está en
el punto más bajo del alambre. Pero si éste se
pone a girar, a partir de una cierta velocidad
angular w se observa que la bolita sube por el
alambre hasta una cierta altura h, que se nos pide
107
FÍSICA I
calcular. También debe calcularse la fuerza mutua que se hacen el alambre y la
bolita en ese momento. ¿A partir de que velocidad angular del alambre la bolita
empezará a subir por él? ¿Podría pasar que llegase a subir al punto más alto del
alambre?
Problema 19.- Los cuerpos de la figura, que se encuentran unidos mediante
cuerdas inextensibles y sin peso, se arrastran mediante la aplicación de una
fuerza F de 50 N sobre una superficie sin rozamiento apreciable. Calcule la
aceleración de cada uno de los cuerpos y las tensiones de las tres cuerdas. Repita
el problema cuando el sistema se mueve verticalmente en vez de hacerlo en un
plano horizontal.
Problema 20.- Un carrito de masa M=500
gr está unido a una masa m=200 gr mediante
una cuerda, tal y como indica la figura. En
un determinado momento, el carrito tenía
una velocidad v0=7 m/s en el sentido
indicado. Determine el valor de la velocidad
del carrito (indicando también su sentido), el
lugar en que se encontrará y el trayecto
recorrido después de pasar 5 segundos.
Problema 21.- En el sistema de la figura, el
muelle M tiene una masa muy pequeña frente a
las masas de las pesas que cuelgan a ambos
lados de la polea, y su constante recuperadora
vale K=980 N/m. Dicho sistema permanece en
reposo, sujetando con la mano la masa de 5 Kg.
108
FÍSICA I
En estas condiciones, determine la fuerza que debe hacerse con la mano para
lograr el reposo, y el alargamiento del muelle respecto de su longitud natural. A
continuación, se suelta la masa de 5 Kg, con lo que el sistema empieza a
moverse. Si la polea tiene una masa muy pequeña y no genera rozamientos,
calcule ahora el alargamiento del muelle.
Problema 22.- En el sistema de
la figura, determine la tensión de
la cuerda si el coeficiente de
rozamiento entre el bloque de
200 Kg y la superficie horizontal vale 0,8. Como siempre, las poleas y la propia
cuerda tienen masas despreciables, y el único rozamiento apreciable es el citado
anteriormente. Calcule también la aceleración del sistema y el tiempo que tarda
la masa de 500 Kg en descender 50 cm, sabiendo que partió del reposo.
109
FÍSICA I
110
FÍSICA I
CAPÍTULO 6
TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA
6.1 TRABAJO
La palabra trabajo tiene diversos significados en el lenguaje cotidiano. En la
física, se le da un significado muy específico para describir lo que se logra
mediante la acción de una fuerza que hace que un objeto se mueve cierta
distancia.
En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza aplicada sobre una partícula
durante un cierto desplazamiento se define como la integral del producto escalar
del vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física
escalar, y se representa con la letra W (del inglés Work) para distinguirlo de la
magnitud temperatura, normalmente representada con la letra .
G G
W = ∫ F .dr
(4.1)
Hay casos en los que el cálculo del trabajo es particularmente sencillo. Si el
módulo de la fuerza es constante y el ángulo que forma con la trayectoria
también es constante tendremos:
Esto es por ejemplo una fuerza constante y una trayectoria rectilínea. Si además
la fuerza es paralela al desplazamiento tendremos:
Y si la fuerza es antiparalela al desplazamiento:
111
FÍSICA I
6.2 CONCEPTO DE TRABAJO
Si la partícula se mueve a lo largo de
una curva bajo la acción de una
fuerza F. En un tiempo muy corto
dt la partícula se mueve a A a A’
siendo el desplazamiento AA’ = d r .
El trabajo efectuado por la fuerza F
durante tal desplazamiento se define
por el producto escalar
G
dW = F .drK = Fds.Cos θ = Ft .ds
Donde θ es el ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento dr. Pero
F cos θ es la componente FT de la fuerza a lo largo de la tangente a la
trayectoria.
Donde Ft (=F cos θ) es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento,
ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y θ el ángulo que forma el vector
fuerza con el vector desplazamiento.
Su significado geométrico es el área bajo la
representación gráfica de la función que
relaciona la componente tangencial de la
fuerza Ft, y el desplazamiento s.
Trabajo
(W)
Ft
s
A
B
Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total
realizado sobre esta partícula, entonces F representa al vector resultante de todas
las fuerzas aplicadas.
112
FÍSICA I
El trabajo total sobre la partícula cuando ésta se mueve de A a B es la suma de
todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos
infinitesimales, es decir,
W = F1 ⋅ d r1 + F 2 ⋅ d r2 + F3 ⋅ d r3 + ⋅ ⋅ ⋅
o sea
4.6
Si representamos gráficamente Ft
en función del desplazamiento s. El trabajo
efectuado para mover la partícula de A a B en el área total sombreada en la
figura.
Ft
dW=Ft ds
S
A
ds
B
Cuando la fuerza es constante en magnitud y dirección el cuerpo se mueve
rectilíneamente en la dirección de la fuerza. Entonces Ft = F y la ecuación es:
B
B
A
A
w = ∫ Fds = F ∫ ds = Fs
Si sobre la partícula actúan varias fuerzas F1 , F2 , F3 , ..., el trabajo efectuado por
cada una de ellas en un desplazamiento AA′ = d r , que es el mismo para todas
las fuerzas:
dw = dw 1 + d w2 + dw 3 + ...
= F1 ⋅ d r + F 2 ⋅ d r + F3 ⋅ d r +
113
FÍSICA I
= ( F1 + F2 + F3 + ⋅ ⋅ ⋅) ⋅ d r
= F ⋅dr
4.8
donde F = F1 + F2 + F3 + ⋅ ⋅ ⋅ es la fuerza resultante
6.3
ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética es la energía que posee un cuerpo de masa m por encontrarse
en movimiento.
La energía cinética, es la parte de la energía mecánica de un cuerpo y
corresponde al trabajo o las transformaciones que un cuerpo puede producir,
debido a su movimiento, es decir, todos los cuerpos en movimiento tienen
energía cinética, cuando está en reposo, no tiene energía cinética.
Esta capacidad de realizar cambios, que poseen los cuerpos en movimientos, se
debe fundamentalmente, a dos factores: la masa del cuerpo y su velocidad. Un
cuerpo que posee una gran masa, podrá producir grandes efectos y
transformaciones debido a su movimiento.
Un ejemplo de la aplicación de esta energía es el que se usaba en la Edad Media,
cuando los atacantes de un castillo empujaban las puertas con un pesado ariete:
un tronco grande y pesado, reforzado con hierro o bronce.
También la velocidad del cuerpo es determinante para su energía cinética. Este
efecto puede observarse cuando una bala, de apenas unos gramos, puede penetrar
en gruesos troncos, al ser disparada a gran velocidad con un fusil.
En la determinación de la energía cinética, sólo se toma en cuenta la masa y la
velocidad de un objeto, sin importar como se originó el movimiento; en cambio,
la energía potencial depende del tipo de fuerza que se aplique a un objeto. Por tal
razón existen diferentes tipos de energía potencial.
La definición formal de Energía Cinética es: el trabajo necesario para acelerar
una partícula desde una velocidad (angular y lineal) nula hasta una velocidad
(angular y lineal) dada (Las unidades del SI para la energía son Julio o Joules)
114
FÍSICA I
6.3.1 Energía cinética de partículas materiales
En mecánica newtoniana
Podemos calcular la energía cinética a partir de la ecuación del trabajo y la
expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:
G
G G
dv G
1
EC = W = ∫ F .dr = ∫ m. .v .dt = m.v 2
2
dt
6.3.2 Relación entre trabajo y energía
También se llama trabajo a la energía usada para deformar un cuerpo o, en
general, alterar la energía de cualquier sistema físico. El concepto de trabajo está
ligado íntimamente al concepto de energía y ambas magnitudes se miden en la
misma unidad, el Julio.
Esta ligazón puede verse en el hecho que, del mismo modo que existen distintas
definiciones de energía para la mecánica y la termodinámica, también existen
distintas definiciones de trabajo en cada rama de la física. Es una magnitud de
gran importancia para establecer nexos entre las distintas ramas de la física.
Trabajo y energía son conceptos que empezaron a utilizarse cuando se abordó el
estudio del movimiento de los cuerpos.
6.4 TRABAJO Y ENERGÍA EN MECÁNICA
Si se realiza un trabajo sobre una partícula, éste se invierte en variar su energía
cinética:
W AB = ΔEC =
1
1
m.v B2 − m.v A2
2
2
115
FÍSICA I
Ejercicios:
1. Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del
muelle es 1000 N/m.
Solución:
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·X (Newtons), donde X
es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
0,05
F (N)
W=
∫
1000x.dx = 1000
0
50
x (m)
0.05
x2
2
0,05
0
= 1000
0, 052
= 1, 25J
2
El área del triángulo de la figura es:
(0,05·50)/2=1,25 J
2. Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación
se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del
desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
W = 12 N x Cos 0°x 7 m = 84 J
A
B
W = 12 N x Cos 60°x 7 m = 42 J
A
B
W = 12 N x Cos 90°x 7 m = 0 J
A
B
W = 12 N x Cos 135°x 7 m = − 42 2 J
A
B
A
B
116
W = 12 N x Cos 180°x 7 m = -84 J
FÍSICA I
•
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es
positivo
•
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es
negativo
•
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
6.5 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA
Si el trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula puede calcularse
para un desplazamiento determinado, será fácil evaluar el cambio en la velocidad
de la partícula.
Una partícula que experimenta un desplazamiento y un cambio en su velocidad
bajo la acción de una fuerza neta constante F.
Como la fuerza es constante, por la segunda ley de Newton sabemos que la
partícula se moverá con una aceleración constante a. Si la partícula se desplaza
una distancia s, el trabajo neto efectuado por la fuerza F es:
B
B
B
B
A
A
A
A
W = ∫ F dr = ∫ Ft ds = ∫ ma t ds = ∫ m
B
B
dv
ds
1
1
ds = ∫ m dv = ∫ mvdv = mv 2B − mv 2A
dt
dt
2
2
A
A
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente
tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del
módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt
que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
117
FÍSICA I
La cantidad ½ mvB2 representa la energía asociada al movimiento de una
partícula; es tan importante que se le ha dado un nombre especial –energía
cinética- . La energía cinética, K, de una partícula de masa m que se mueve con
velocidad v se define como:
K ≡ ½ mv2
A menudo resulta conveniente escribir la ecuación:
Wneto = ½ mvf 2 - ½ mvi 2
Como:
Wneto = Kf – Ki = ΔK
Es decir, el trabajo efectuado por la fuerza neta constante Fneta al desplazarse una
partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula.
6.6 SITUACIONES QUE IMPLICAN FRICCIÓN CINÉTICA.
Se supone que un objeto de masa m que se desliza sobre una superficie
horizontal es jalado por una fuerza externa constante horizontal F a la derecha y
que una fuerza de fricción cinética f actúan hacia la izquierda, donde F > f. En
este caso, la fuerza neta está hacia la derecha, como en la figura,
y se podría pensar que se encuentra el trabajo neto hecho sobre el objeto cuando
experimenta un desplazamiento s hacia la derecha si se evalúa,
Wneto = (F - f) s = Fs- fs
118
FÍSICA I
Sin embargo, el objeto no es una partícula y es incorrecto decir que -fs es el
trabajo realizado por la fuerza de fricción sobre el objeto.
El trabajo realizado por la fricción cinética depende tanto del desplazamiento del
objeto como los detalles del movimiento entre las posiciones inicial y final. En
efecto, el trabajo efectuado por la fricción cinética sobre un objeto extendido no
puede evaluarse explícitamente debido a que estas fuerzas y los desplazamientos
individuales son muy complejos.
Suponga ahora que un bloque que se mueve sobre una superficie horizontal y
que dada una velocidad inicial horizontal vi se desliza una distancia s antes de
alcanzar una velocidad final vf como se muestra en la figura.
La fuerza externa causante de que el bloque experimente una aceleración en la
dirección de la x negativa es la fuerza de la fricción cinética f que actúan hacia la
izquierda, oponiéndose al movimiento. La energía cinética inicial del bloque es
1
/2mvi2 y su energía cinética final es 1/2mvf2. El cambio en la energía cinética
final del bloque es igual a -fs. Esto se puede demostrar aplicando la segunda ley
de Newton al bloque.
Después de una serie de cálculos se tiene que
ΔK = -f.s
Este resultado muestra la pérdida de energía cinética del bloque es igual a –f.s,
que corresponde a la energía disipada por la fuerza de fricción cinética.
119
FÍSICA I
6.7 CONCEPTO DE ENERGÍA CINÉTICA
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas
que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
•
La energía cinética es una cantidad escalar asociada al movimiento de
una partícula.
•
Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de
su velocidad.
•
Un cuerpo posee energía cinética cuando se encuentra en movimiento,
como un automóvil en una carretera o una molécula en un gas.
•
La energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado para
acelerarla desde el reposo. También equivale al trabajo total que la
partícula puede realizar mientras se lleva al reposo.
•
Cualquier cuerpo que se encuentre en reposo, es decir, que tenga una
velocidad igual a cero, no tendrá la capacidad de realizar un trabajo en
virtud de su velocidad. Por lo tanto su energía cinética será nula.
•
La energía cinética está dada por:
F = Cte.
F = Cte.
ΔX
X1
Ec =
1
m.v 2
2
donde "m" es la masa y "v" la velocidad del cuerpo.
120
X2
FÍSICA I
•
En cualquier desplazamiento de una partícula, el cambio en su energía
cinética es igual al trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan
sobre la misma.
121
FÍSICA I
122
FÍSICA I
CAPÍTULO 7
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Al realizar un trabajo sobre un cuerpo en contra de la fuerza de gravedad, se está
aumentando la energía potencial del mismo. En efecto:
Calculando el trabajo hecho por la fuerza F:
W = · = P· h = P·(h2-h1) [J]
Como el vector fuerza y el vector desplazamiento poseen el mismo sentido, el
producto punto se transforma en una multiplicación ordinaria. Además se tiene
que si el cuerpo se mueve con velocidad constante la fuerza F equivale al peso
del cuerpo que puede calcularse como el producto de su masa por la aceleración
de gravedad:
P=m·g
W=mg·(h2-h1)=m.g.h [J]
Figura: Caso de un cuerpo elevándose con una fuerza constante
Como en este caso se trata de un sistema conservativo, se dice que el trabajo
realizado sobre el cuerpo es igual al cambio de energía potencial. Luego
podemos definir la energía potencial de un cuerpo como:
Ep=mgh [J]
123
FÍSICA I
7.1 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
En ausencia de rozamientos, el trabajo realizado sobre un cuerpo se invertirá, en
el caso más general, en aumentar tanto su energía cinética como su energía
potencial. Esta es la situación de un cuerpo que es empujado hacia arriba sobre
un plano inclinado sobre el cual gana altura y además gana velocidad. La
ecuación general W = E toma ahora la forma:
E= (Ep+Ec)= Ep+ Ec
Utilizando las expresiones de la energía potencial gravitatoria Ep y de la energía
cinética Ec, resulta:
1
W = m.g.Δh + m.Δc 2
2
Ecuación que representa la relación más general entre el trabajo y la energía
mecánica bajo sus dos formas, cinética y potencial.
Si h = 0 se trata de un movimiento horizontal. Si c2 = 0 el movimiento no
cambia en velocidad.
Esta misma ecuación general permite analizar y discutir las condiciones de
conservación de la energía mecánica y sus consecuencias.
El hecho de que la energía de un cuerpo sometido a fuerzas se conserve durante
el movimiento, es consecuencia del tipo de fuerzas que actúan sobre él. Si se
considera el movimiento de caída de un cuerpo de masa "m" deslizándose sin
rozamiento por un plano inclinado, la fuerza que provoca el movimiento es la
fuerza del peso, o más exactamente, su componente útil (componente de la
124
FÍSICA I
fuerza en la dirección del movimiento). El trabajo de acuerdo con su definición
vendrá dado por:
W=F·s·cos
donde la fuerza del peso es igual a m·g. El ángulo que forman la fuerza del
peso y la dirección del movimiento, coincide con el ángulo del vértice superior
del plano inclinado, de modo que:
Cosϕ =
(h1 − h2 )
s
y por tanto, sustituyendo en la expresión del trabajo, resulta:
W = m.g .s.
(h1 − h2 )
= m.g .(h1 − h2 )
s
En esta expresión final no aparece el espacio s recorrido por el móvil, lo que
indica que el trabajo realizado por las fuerzas del peso no depende del camino
seguido, sino únicamente de las posiciones inicial y final del cuerpo. El trabajo
hubiese sido el mismo si se hubiera dejado al cuerpo caer verticalmente desde la
misma altura.
Esta propiedad matemática de las fuerzas del peso es la responsable de que
cuando actúan ellas solas, la energía mecánica total del cuerpo se conserve
durante el movimiento. Por tal motivo se las denomina fuerzas conservativas.
Por otra parte, como la energía se conserva, se tiene que:
ΔE = Δ( E p + E c ) = ΔE p + ΔE c = 0
ΔE p = −ΔE c
m.g.(h2 − h1 ) =
1
m.Δc 2
2
Ejercicio 01: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar
una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800
N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.
125
FÍSICA I
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
7.2 FUERZA CONSERVATIVA. ENERGÍA POTENCIAL
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la
diferencia entre los valores: inicial y final de una función que solo depende de las
coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del
punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejercicio 02:
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo
del camino cerrado ABCA.
•
•
•
La curva AB es el tramo de parábola y = x2 /
3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los
puntos (0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el
origen al punto (0,1)
126
FÍSICA I
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento
dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la
ecuación de la trayectoria y=f(x) , y los
desplazamientos infinitesimales dx y dy se
relacionan
a través de la interpretación
geométrica de la derivada dy = f’ ( x ) · dx . Donde
f’ ( x ) quiere decir, derivada de la función f ( x )
con respecto a x .
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el
camino cerrado.
•
Tramo AB
Trayectoria y = x2 / 3, dy =(2/3) x·dx.
•
Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de
una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx
127
FÍSICA I
•
Tramo CA
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el
trabajo WCA=0
•
El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
7.3
EL PESO ES UNA FUERZA CONSERVATIVA
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza
desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.
La energía potencial EP correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la
forma funcional
E P = m.g . y + C
Donde C es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la
energía potencial.
128
FÍSICA I
7.4
LA FUERZA QUE EJERCE UN RESORTE ES
CONSERVATIVA
Un sistema físico común en el que la fuerza varía con la posición, es el de un
cuerpo conectado a un resorte. Si el resorte, orientado en dirección del eje X
,se deforma desde su configuración inicial, es decir se estira o se comprime,
por efecto de alguna fuerza externa sobre el resorte, instantáneamente actúa
una fuerza producida por el resorte contra el objeto que ejerce la fuerza externa,
cuya magnitud es:
FResorte = - k X
donde X es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición no
deformada en X = 0 y k una constante positiva, llamada constante de fuerza
del resorte, que es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. Esta ecuación se
llama Ley de Hooke, y es válida para pequeños desplazamientos, ya que si el
resorte se estira demasiado, puede deformarse y no recuperar su forma original.
El signo negativo indica que la dirección de esta fuerza es siempre opuesta
al desplazamiento, como se ilustra en la figura, donde F representa la fuerza
producida por el resorte.
F
X = Xi
F
X = - Xf
129
X = Xi
X = +Xf
FÍSICA I
Si el cuerpo se desplaza desde una posición inicial a la final, el trabajo
realizado por el resorte es:
W =∫
Xf
Xi
− k . X .dX =
1
1
kX i2 − kX 2f
2
2
Por ejemplo, para un resorte de k = 100 N/m, que se estira 10 cm (= Xf), el
trabajo que realiza la fuerza del resorte para recuperar su posición inicial no
deformada (Xi = 0) es 0,5 J.
Del mismo modo:
E P ( x) =
1
kX 2 + C
2
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la
deformación es cero x = 0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep = 0,
de modo que la constante aditiva vale c = 0.
7.5
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de
dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía
potencial
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las
fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e
inicial de la energía cinética.
130
FÍSICA I
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación
de la energía
EkA+EpA=EkB+EpB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética)
es constante en todos los puntos de su trayectoria.
7.6
COMPROBACIÓN DEL PRINCIPIO DE
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m.
Calcular
1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y
cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones
Asumir g=10 m/s2
•
Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J
•
Cuando x = 1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J
131
FÍSICA I
•
Cuando x = 0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la
energía cinética aumenta.
7.7
EL PESO ES UNA FUERZA CONSERVATIVA.
Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia
B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.
WAB=mg x
WBA=-mg x
El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A,
WABA es cero.
132
FÍSICA I
7.8
LA FUERZA DE ROZAMIENTO ES UNA FUERZA NO
CONSERVATIVA
WAB=-Fr x
WBA=-Fr x
El trabajo total a lo largo del
camino cerrado A-B-A, WABA
es distinto de cero
WABA=-2Fr x
Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de
rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es
de signo contrario al desplazamiento
7.9 BALANCE DE ENERGÍA
En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no
conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la
partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía
potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que
133
FÍSICA I
El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética
más potencial) de la partícula.
7.10
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 01.- Un bloque de masa 0,2 kg inicia su movimiento hacia arriba,
sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el
coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,16. Determinar:
•
la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
•
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado
•
La energía del cuerpo en A es EA = ½ (0,2·122) = 14,4 J
•
La energía del cuerpo en B es EB = 0,2·9,8·h = 1,96·h = 0,98·x J
•
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a
B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0,16·0,2·9,8·cos30·x=-0,272·x J
De la ecuación del balance energético W = EB – EA, despejamos x=11,5 m,
h=x·sen30º=5,75 m
134
FÍSICA I
Cuando el cuerpo desciende:
•
La energía del cuerpo en B es EB = 0,2·9,8·h=1,96·h =0,98·x =0,98·11,5
=11,28 J
•
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0,2·v2
•
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A
es W= -Fr·x = –μ·mg·cosθ·x= –0,16·0,2·9,8·cos30·11,5 = –3,12 J
De la ecuación del balance energético W = EA – EB, despejamos v = 9,03 m/s.
Problema 02: Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de
cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
•
El peso mg
•
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
•
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido
es opuesto a la velocidad de la partícula.
135
FÍSICA I
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal,
escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial
mat= mg·cosθ - Fr
Donde at = dv / dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en
forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de
rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
136
FÍSICA I
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un
pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ
•
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
•
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final
y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la
variación de energía potencial.
El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto
de círculo es
7.11 PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE TRABAJO,
POTENCIA Y ENERGÍA:
1)
Transformar 250 kgf.m a Joul y kW.h.
2)
¿Cuántos kgf.m y Joul representan 25 kW.h?
3)
Indicar ¿cuántos Joul y kW.h son 125478 kgm?
137
FÍSICA I
4)
Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posición
inicial mediante una fuerza de 10 N.
5)
¿Qué trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 kgf a una altura
de 2,5 m?. Expresarlo en:
(a) kgf.m
(b) Joule
(c) kW.h
6)
Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N,
¿qué trabajo deberá efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde
cayo? Expresarlo en:
a) Joule.
(b) kgm.
7)
¿Qué es el trabajo mecánico?
8)
¿En que unidades se mide el trabajo?
9)
¿Cuáles son sus equivalencias?
10) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay trabajo?
11) ¿Las máquinas simples, realizan trabajo?
12) Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 95 m/s. Se desea saber:
a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?
b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima?
13) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de
caída libre?
14) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una
velocidad de 40 m/s?
15) ¿Con qué energía tocará tierra un cuerpo que pesa 2500 g si cae libremente
desde 12 m de altura?
16) Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y
3,5 de alto, calcular:
a) ¿Qué aceleración adquiere?
b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?
c) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?
138
FÍSICA I
17) ¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del
suelo?
18) Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al
suelo?
19) Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m,
calcular la energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de
un quinto piso, posee una masa de 8,5 kg.
20) Un cuerpo de 1250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a
tierra?
21) Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con
velocidad inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué
energía potencial al alcanzar la altura máxima?
22) Transformar 2500 kW a:
(a) CV
(b) Kgm/s.
23) Una grúa levanta 2000 kg a 15 m del suelo en 10 s, expresar la potencia
empleada en: (a) CV
(b) W
(c) HP
24) Un motor de 120 CV es capaz de levantar un bulto de 2 toneladas hasta 25
m, ¿cuál es el tiempo empleado?
25) ¿Qué potencia deberá poseer un motor para bombear 500 litros de agua por
minuto hasta 45 m de altura?
26) ¿Cuál será la potencia necesaria para elevar un ascensor de 45000 N hasta 8
m de altura en 30 s? ¿Cuál será la potencia del motor aplicable si el
rendimiento es de 0,65?
27) Calcular la velocidad que alcanza un automóvil de 1500 kgf en 16 s,
partiendo del reposo, si tiene una potencia de 100 HP.
28) Un automóvil de 200 HP de potencia y 1500 kgf de peso, sube por una
pendiente de 60° a velocidad constante. Calcular la altura que alcanza en
20 s.
139
FÍSICA I
29) Calcular la potencia de una máquina que eleva 20 ladrillos de 500 g cada
uno a una altura de 2 m en 1 minuto.
30) La velocidad de sustentación de un avión es de 144 km/h y su peso es de
15000 kgf. Si se dispone de una pista de 1000 m, ¿cuál es la potencia
mínima que debe desarrollar el motor para que el avión pueda despegar?
140
FÍSICA I
CAPÍTULO 8
CANTIDAD DE MOVIMIENTO IMPULSO Y
CHOQUES
8.1
CANTIDAD DE MOVIMIENTO E IMPULSO
Hay muchas preguntas relacionadas con las fuerzas que no pueden ser
contestadas aplicando directamente la segunda Ley de Newton, ΣF = m a. Por
ejemplo, que sucede si un pesado camión choca contra un vehículo liviano, ¿qué
determina hacia donde se mueven los restos después del choque? Cuando juega
billar, ¿cómo decide usted la dirección que debe dar a la bola blanca para
ingresar, por ejemplo, la bola roja en la buchaca? Y cuando un meteorito choca
con la Tierra, ¿cuánto de energía cinética del movimiento se libera en el
impacto?
Cuando una fuerza F, constante actúa sobre una partícula desde el instante t1
hasta el instante t2. Designemos por Δt el intervalo de tiempo. Definimos
entonces el impulso I de la fuerza F durante el intervalo de tiempo así:
F
Área= F Δ t
I=FΔt
ti
tf
t
Observe que I es un vector que tiene la misma dirección y sentido de fuerza.
Comparando la definición de impulso con la definición de trabajo mide la acción
de una fuerza en el espacio (desplazamiento), el impulso mide la acción de la
fuerza durante cierto intervalo de tiempo. Entre tanto, no debe olvidarse que el
trabajo es una magnitud escalar y el impulso es un vector. Es evidente que en el
sistema MKS, la unidad de impulso será Newtons por segundo (N.s).
141
FÍSICA I
La ecuación I = F Δ t nos permite calcular el impulso de una fuerza constante. Si
F varía durante el intervalo del tiempo, el cálculo de I puede tornarse
complicado.
El concepto de impulso será importante en el estudio del movimiento de cuerpos
sujetos a fuerzas muy grandes que actúan durante intervalos de tiempo muy
cortos. Estas fuerzas aparecen, por ejemplo, en explosiones o en la colisión de
dos cuerpos.
Supongamos ahora, que una partícula de masa m se estuviera moviendo a una
velocidad Vo y que una fuerza F constante actuara sobre la partícula durante un
intervalo de tiempo. La fuerza F habrá entonces, sometido a la partícula a un
impulso I = F Δ t y su velocidad pasará a ser Vf.
Ejemplo: (Tiro de golf)
Una pelota de golf de 50 gr de masa es golpeada con un palo de golf. La fuerza
ejercida por el palo sobre la pelota varía desde cero, cuando se realiza el
contacto, hasta cierto valor máximo (donde la pelota se deforma), volviendo a
cero cuando la pelota se separa del palo. De este modo, la curva fuerza tiempo se
describe por la figura (F vs t). Si supone que la pelota recorre 200 m, estime la
magnitud del impulso debido al choque.
Solución:
Planteamos tres momentos:
-
Momento (1): cuando el palo tiene su primer contacto con la pelota.
-
Momento (2): Cuando el palo pierde contacto con la pelota conforme la
bola inicia su trayectoria.
-
Momento (3): cuando la pelota aterriza.
Ignorando la resistencia del aire, podemos utilizar la fórmula para el alcance del
proyectil:
R = X3 =
V 22
Sen2θ 2
g
142
FÍSICA I
Suponiendo el ángulo de lanzamiento θ2= 45°, el ángulo para máximo alcance,
tendremos que:
V2 = X 3 .g = (200m).(9,8m / s 2 ) = 44m / s
Tomando en cuenta el intervalo de tiempo para la colisión, Vi = V1 = 0 y Vf = V2
para la pelota. Por tanto, la magnitud del impulso aplicado a la pelota es:
I = Δp = m.V2 − m.V1 = (50x10−3 Kg).(44m / s) − 0
I = 2, 2Kg.m / s
8.2
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento, momento lineal o ímpetu es una magnitud
vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el
producto de la masa del cuerpo multiplicada por su velocidad en un instante
determinado. En general, la cantidad de movimiento de un cuerpo puede ser
comprendida conceptualmente como el esfuerzo necesario para detener el
movimiento del cuerpo, lo que queda determinado por la multiplicación de dos
factores: su inercia (la resistencia que opone un cuerpo a ser acelerado y su
velocidad). Esto es una consecuencia de las primera y segunda leyes de Newton
del movimiento. El cuerpo que tiene menos velocidad o menos masa tendrá por
lo tanto menor cantidad de movimiento.
La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa
que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es
afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipativas) no
puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.
Según el principio de masa, si a ésta se le aplica una fuerza F adquiere una
aceleración a:
F = m.a
Multiplicando ambos miembros por el tiempo t en que se aplica la fuerza F:
F.t = m.a.t; y como: a.t = v
143
FÍSICA I
Tenemos:
F.t = m.v
Al término F.t se lo denomina impulso de la fuerza y al término m.v se le
denomina cantidad de movimiento, entonces, para el primero:
I = F.t
y
p = m.v
siendo:
p: cantidad de movimiento [p] = kg.m/s
Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la
variación de la cantidad de movimiento durante un periodo de tiempo dado:
G G
G
Δp = p f − p i
siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y pi al inicio del
intervalo.
8.3
LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
Para el caso de una sola partícula si la resultante de las fuerzas que sobre ella
actúan, fuera nula, la partícula no estará sujeta a un impulso, eso es, I = 0. Dado
que impulso I = Δp, tendremos:
Δp = 0, o sea p = constante
Entonces, siendo nula la resultante de las fuerzas, la cantidad de movimiento de
la partícula constante. Para que el vector p sea constante, deben permanecer
invariables, su módulo, su dirección y su sentido. Esto implica que, si la partícula
estuviera en movimiento, éste debería ser rectilíneo y uniforme.
8.3.1 Conservación de la cantidad de movimiento
Si con un cuerpo de masa m1 y velocidad v1 se aplica una fuerza a otro cuerpo
de masa m2 y velocidad v2, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese
instante es aplicable el principio de acción y reacción y tenemos que:
144
FÍSICA I
m1.v1 = m2.v2
es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del choque, debe
ser igual a la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere.
Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice:
En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de
movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento
total luego de las acciones.
Análisis: Considerando ahora una colisión entre dos partículas, tales como las
de las masa m1 y m2, durante la breve colisión, las partículas ejercen fuerzas
internas entre sí. En cualquier instante F12 es la
fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la
partícula 1 y F21 es la fuerza ejercida por la
partícula 1 sobre la partícula 2. Por la tercera ley
de Newton, estas fuerzas son, en cualquier
instante, de igual magnitud pero de sentido contrario (acción y reacción).
El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 1 como resultado del
choque es:
tf
Δp1 = ∫ F12 .dt = F12 m .Δt
ti
En donde F12m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt
= tf - ti que dura la colisión.
El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula 2 como resultado del
choque es:
tf
Δp 2 = ∫ F21 .dt = F21m .Δt
ti
En donde F21m es el valor medio de la fuerza durante el intervalo de tiempo Δt
= tf - ti que dura la colisión.
145
FÍSICA I
Si sobre las partículas no actúan otras fuerzas, el cambio total en la cantidad de
movimiento de cada una de ellas es Δp1 y Δp2. Pero hemos visto que en cada
instante, F12 = -F21, de modo que F12m = - F21m y, por lo tanto:
Δp1 = - Δp2
Si consideramos que las dos partículas forman un sistema aislado, la cantidad
de movimiento total del sistema es:
p = p1 + p2
Y el cambio total en la cantidad de movimiento del sistema provocado por la
colisión es cero, o sea que:
Δp = p1 + p2 = 0
Por lo tanto si no hay fuerzas externas, la colisión no altera la cantidad de
movimiento total del sistema. Las fuerzas impulsivas que actúan durante la
colisión son fuerzas internas que no producen ningún efecto sobre la cantidad
de movimiento total del sistema.
8.4
CHOQUE
Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su
trayectoria a otro y produciéndose contacto físico.
Durante un choque actúa una fuerza relativamente grande sobre las partículas
que impactan, aunque solo lo hacen durante un intervalo de tiempo más o
menos pequeño. Básicamente en una colisión el movimiento de las partículas
que chocan (o, por lo menos, el de una de ellas) cambia en forma muy brusca y
que podemos establecer una separación bastante definida entre los tiempos que
transcurren “antes de la colisión” y los que lo hacen “después de ella”.
Por ejemplo, cuando un bate golpea una pelota de béisbol, el principio y el fin
de la colisión puede determinarse con muy buena precisión. El bate está en
contacto con la pelota durante un intervalo de tiempo que es muy pequeño
comparado con el tiempo en que la pelota esta en el aire. Durante la colisión el
bate le aplica una gran fuerza a la pelota. Esta fuerza varía con el tiempo en una
146
FÍSICA I
forma tan completa que solo puede medirse con dificultad. Tanto la pelota
como el bate se desforman durante la colisión.
En las colisiones o choques se verifica el principio de acción y reacción, es
decir si el bate le aplica una fuerza a la pelota, la pelota reacciona con una
fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario, aunque en realidad es
indistinto cual es la fuerza de acción y cual la de reacción, podemos decir si la
pelota le aplica una fuerza al bate, el bate reacciona con una fuerza de igual
magnitud pero de sentido contrario. En el caso de las colisiones estas fuerzas
actúan durante lapso de tiempo muy pequeño y se denominan fuerzas
instantáneas o impulsivas.
Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos,
éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones
desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por
el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico.
En ambos casos ocurre una variación de la energía cinética que se transformará
en calor que disiparán los cuerpos.
8.4.1
Choques elásticos e inelásticos
-
Si la colisión fuere elástica, la conservación de energía cinética nos daría
una ecuación más. Notemos sin embargo que debido a la naturaleza de
las fuerzas impulsivas, podemos utilizar la conservación de la cantidad de
movimiento, aunque la fuerza externa no sea nula.
1-
Choque plástico o inelástico
a)
Velocidades de igual dirección y sentido.
147
FÍSICA I
Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v1 que se dirige a hacia el
cuerpo 2 de masa m2 y velocidad v2, siendo ambas velocidades de igual
dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el
impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual
intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de
movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos
cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos.
La velocidad final será:
m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f
como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:
v1f = v2f = vf
m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf
vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2)
b)
Velocidades de igual dirección y sentido contrario.
En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido
contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto
continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de
las cantidades de movimiento. La velocidad final será:
m1.v1i - m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f
igualmente:
v1f = v2f = vf
m1.v1i - m2.v2i = (m1 + m2).vf
vf = (m1.v1i - m2.v2i)/(m1 + m2)
148
FÍSICA I
La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la
velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.
2-
Choque elástico
a)
Velocidades de igual sentido
Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual
a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde
o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el
momento del choque, la velocidad final de cada uno será:
v1f = (v2f + v2i).m2/m1 + v1i
ó:
v1f = v2f + v2i - v1i
b)
Velocidades de distinto sentido
En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno
será:
v1f = (v2f - v2i).m2/m1 + v1i
El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de
la cantidad de movimiento.
149
FÍSICA I
Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de
la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura
el impacto sea muy pequeño.
8.4.2
Choques en una Dimensión
Choques frontales
Supongamos que la segunda partícula u2=0, está en reposo antes del choque. La
conservación del momento lineal
m1u1+m2u2=m1v1+m2v2
De la definición del coeficiente de restitución “e”
– e(u1 – u2) = v1 – v2
Despejando las velocidades después del choque v1 y v2
v1 =
(m1 − m 2 .e).u1 + m 2 (1 + e).u 2
m1 + m 2
v2 =
m1 (1 + e).u1 + (m 2 − m1 e).u 2
m1 + m 2
Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es
v cm =
m1 .u1 + m 2 .u 2
m1 + m 2
Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del
choque v1 y v2 de forma más simplificada y fácil de recordar.
150
FÍSICA I
v1 = (1+e)Vcm– eu1
v2 = (1+e)Vcm– eu2
Si la segunda partícula está en reposo antes del choque, u2=0. Las velocidades
después del choque v1 y v2 serán.
v1 =
m1 − e.m 2
.u1
m1 + m 2
v2 =
m1 .(1 + e)
.u1
m1 + m 2
Descripción desde el Sistema de Referencia del Centro de Masa
•
Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C antes del choque
u1cm = u1 − Vcm =
•
m2
.(u1 − u 2 )
m1 + m 2
u 2 cm = u 2 − Vcm =
− m1
.(u1 − u 2 )
m1 + m 2
Velocidad de las partículas respecto del Sistema-C después del choque
− m 2 .e
.(u1 − u 2 )
m1 + m 2
m1 .e
=
.(u1 − u 2 )
m1 + m 2
v1cm = v1 − Vcm =
v 2cm = v 2 − Vcm
v1cm=-e·u1cm
v2cm=-e·u2cm
La velocidad de ambos objetos después del choque en el Sistema-C se reducen
en un factor e.
Comprobamos también que se cumple el principio de conservación del momento
lineal en el Sistema-C
m1·u1cm+m2·u2cm=0
m1·v1cm+m2·v2cm=0
151
FÍSICA I
8.4.3
Choques elásticos
Podemos obtener de forma alternativa, las velocidades v1 y v2 después del
choque para un choque elástico empleando la conservación del momento lineal
y de la energía cinética.
1. Principio de conservación del momento lineal
m1u1+m2u2=m1v1+m2v2
2. En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0.
Dados u1 y u2, las velocidades de las partículas m1 y m2 antes del choque,
podemos calcular las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque
resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Trasformamos las dos ecuaciones, en las equivalentes
La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma
por su diferencia
Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver
Despejamos las velocidades de las partículas después del choque v1 y v2
152
FÍSICA I
Son las mismas ecuaciones que hemos obtenido previamente con el coeficiente
de restitución e=1.
Teniendo en cuenta que la velocidad del centro de masas es
Podemos escribir las expresiones de la velocidad de las partículas después del
choque v1 y v2 de forma más simplificada y fácil de recordar.
v1=2Vcm-u1
v2=2Vcm-u2
8.4.4
Las Colisiones en una Dimensión
Los movimientos de los cuerpos después de una colisión pueden calcularse
siempre, a partir de sus movimientos anteriores a la misma, si se conoce la fuerza
que actúa durante ella y si se pueden resolver las ecuaciones de movimiento. A
menudo estas fuerzas no se conocen. Sin embargo, el principio de la
conservación de la cantidad de movimiento debe ser válido durante la colisión.
Sabemos también que el principio de la conservación de la energía es válido.
Aunque no conozcamos los detalles de la interacción, en muchos casos podemos
utilizarlo para predecir los resultados de la colisión.
Por lo común, las colisiones se clasifican según que se conserve o no la energía
cinética durante el choque. Cuando la energía cinética se conserva, se dice que la
colisión es elástica. En caso contrario, se dice que la colisión es inelástica. Las
colisiones entre las partículas atómicas, nucleares y fundamentales algunas veces
son elásticas (pero no siempre). En realidad, estas son las únicas colisiones
verdaderamente elásticas que se conocen. Las colisiones entre cuerpos grandes
siempre tienen algún grado de inelasticidad. Sin embargo a menudo podemos
tratar a dichas colisiones como si fuesen aproximadamente elástica, como
153
FÍSICA I
sucede, por ejemplo, en las colisiones entre bolas de marfil o de vidrio. Cuando
dos cuerpos se adhieren juntándose después de una colisión, se dice que tal
colisión es completamente inelástica. El término completamente inelástico no
significa que se pierda toda la energía cinética; como vemos, más bien significa
que la pérdida de ella es tan grande como lo pueda permitir el principio de la
conservación de la cantidad de movimiento.
Aún cuando se desconozcan las fuerzas de la colisión podemos encontrar los
movimientos de las partículas después de que ocurra, a partir de sus movimientos
antes de la misma, siempre que la colisión sea completamente inelástica, o
cuando la colisión sea elástica y en una dimensión. En una colisión
unidimensional, el movimiento relativo después de una colisión está sobre la
misma línea recta que el movimiento relativo antes de que ocurriera. Por el
momento nos restringiremos al movimiento en una sola dimensión.
Consideremos primero una colisión elástica en una dimensión. Podemos
imaginar a dos esferas lisas que inicialmente se mueven sin girar a lo largo de la
línea que une a sus centros, después chocan frontalmente y, pasando la colisión,
se mueven sin girar sobre la misma línea recta (figura 4). Durante la colisión,
estos cuerpos ejercen, uno sobre el otro, fuerzas que están sobre la línea inicial
del movimiento, de manera que el movimiento final también ocurre sobre dicha
línea.
Sean m1 y m2 las masas de las esferas, v1i y v2i las componentes de sus
velocidades (escalares) antes de la colisión y v1f y v2f las mismas después de la
colisión. La dirección positiva de la cantidad de movimiento y de la velocidad es
hacia la derecha. Supongamos, a no ser que se especifique de otra forma, que las
velocidades de las partículas que chocan no son tan grandes como para requerir
154
FÍSICA I
del uso de las expresiones relativistas de la cantidad de movimiento y de la
energía cinética. Entonces, por la conservación de la cantidad de movimiento
tenemos que:
m1.v1i + m2.v2i = m1.vif + m2.v2f
Como la colisión es elástica, la energía cinética se conserva por definición, de
modo que tenemos:
m1.v1i ²/2 + m2.v2i ²/2 = m1.vif ²/2 + m2.v2f ²/2
Está claro, desde luego, que si conocemos las masas y las velocidades iniciales,
podemos calcular las velocidades finales v1iy v2i a partir de estas dos ecuaciones.
La ecuación de la cantidad de movimiento puede escribirse como:
m1.(v1i - v1f) = m2.(v2f - v2i) (1)
y la de la energía cinética como:
m1.(v1i ² - v1f ²) = m2.(v2f ² - v2i ²) (2)
Haciendo (2) dividido (1) y suponiendo que v2f ≠ v2i y v1f ≠ v1i obtenemos:
v1i + v1f = v2f + v2i
y, después de un reajuste:
v1i - v2i = v2f - v1f (3)
Lo que indica que, en una colisión elástica en una dimensión, la velocidad
relativa de acercamiento antes de la colisión es igual a la velocidad relativa de
alejamiento luego de la misma.
8.4.5
Casos Particulares
Hay varios casos de interés específico.
1. Las partículas que chocan tienen la misma masa, es decir:
m1 = m2
Entonces resulta:
v1f = v2i y v2f = v1i
155
FÍSICA I
En una colisión elástica unidimensional de dos partículas de igual masa, las
partículas tan sólo intercambian sus velocidades durante la colisión.
2. Una de las partículas está en reposo, por ejemplo:
v2i = 0
Entonces resulta:
V1f = (m1 - m2).v1i/(m1 + m2)
V2f = 2.m1.v1i/(m1 + m2)
3. Las partículas que chocan tienen la misma masa y una de ellas está
inicialmente en reposo:
m1 = m2
v2i = 0
Entonces resulta:
v1f = 0 y v2f = v1i
La primera partícula se detiene mientras que la segunda inicia su trayectoria
con la misma velocidad que traía la primera. Es el caso de las bolas de billar.
4. Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y una de ellas está
inicialmente en reposo:
m1 <<< m2
v2i = 0
Tenemos:
v1f = - v1i y v2f = 0
La velocidad de la partícula ligera se invierte, aproximadamente, mientras
que la partícula de mayor masa queda casi en reposo. Es el caso de una bola
de billar que rebota contra la banda.
5. Las partículas que chocan tienen masas muy distintas y la más liviana está
inicialmente en reposo:
m1 <<< m2
156
FÍSICA I
v1i = 0
Tenemos:
v1f = v1i y v2f = 2.v1i
La velocidad de la partícula de mayor masa casi no es alterada por la colisión
con la partícula ligera, pero la partícula ligera adquiere una velocidad
aproximadamente del doble de la partícula pesada. Cuando una bola de bowling
pega contra un palo, el palo sale disparado.
Los neutrones producidos en un reactor, como producto de la fisión del uranio,
se mueven con mucha velocidad y deben ser frenados para que puedan producir
otras fisiones. Suponiendo que choquen elásticamente con los núcleos en reposo,
¿qué material habrá que elegir como moderador (es decir, para frenar) de los
neutrones del reactor?
Si los blancos estacionarios fuesen núcleos de gran masa, como los del plomo,
los neutrones tan solo rebotarían con una velocidad casi igual a la inicial. Si no
se frenan no hay fisión.
Si los blancos estacionarios fuesen núcleos más ligeros que el neutrón, como los
electrones, su velocidad inicial casi no sería afectada por las colisiones. Por lo
tanto no hay fisión.
Sin embargo, si los blancos estacionarios fuesen aproximadamente de la misma
masa, los neutrones prácticamente quedarían en reposo si chocasen frontalmente
con estos blancos. Por lo tanto el moderador más efectivo sería el hidrógeno,
cuyo núcleo (el protón) tiene una masa muy parecida a la del neutrón.
6. Si una colisión es inelástica, entonces, por definición, no se conserva la
energía cinética. La energía cinética final puede tener un valor menor que el
inicial y, en última instancia, la diferencia queda convertida, por ejemplo, en
energía calorífica, o en energía potencial de la deformación en la colisión;
también puede ocurrir que el valor final de la energía cinética sea superior al
valor inicial, como sucede cuando se libera energía potencial en la colisión.
157
FÍSICA I
En todo caso, la conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo
válida, así como la conservación de la energía total.
7. Consideremos ahora una colisión totalmente inelástica. Las dos partículas se
adhieren permaneciendo juntas después de la colisión, de manera que habrá
una velocidad final común vf:
v1f = v2f = vf
No es necesario restringir la discusión al movimiento en una dimensión. Usando
solamente el principio de conservación de la cantidad de movimiento
encontramos que:
m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf
Lo cual determina la velocidad final conociendo las velocidades iniciales.
8.4.6
Coeficiente de restitución.
En este apartado se describe el impacto del balón sobre una pared rígida
mediante un modelo mecánico simple.
Cuando el balón elástico impacta sobre una pared rígida, supondremos que sobre
el centro de masa (c.m.) del balón actúa:
•
Una fuerza elástica proporcional al desplazamiento del c.m. de módulo
kX, que tiende a restaurar al c.m. a su posición de equilibrio.
La ecuación del movimiento del c.m., es:
Se define el coeficiente de restitución e como el
cociente entre la velocidad final v tras el choque entre
la velocidad inicial vo justamente antes del choque con
la pared.
158
FÍSICA I
El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo
teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el
coeficiente de restitución es cero, e=0.
Consideremos una partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 y que choca
elásticamente con una partícula de masa m2 que está inicialmente en reposo. La
segunda partícula choca a su vez, con otra partícula de masa m3 que está
inicialmente en reposo.
Fijadas las masas de la primera y la tercera partícula, m1 y m3, nuestra tarea va a
se la de encontrar la masa de la segunda partícula m2 que hace que la velocidad
final v3 de la tercera partícula sea máxima. La segunda partícula actúa de agente
que transfiere velocidad (energía) de la primera a la tercera partícula. Se tratará
de investigar qué masa deberá tener esta partícula para que la transferencia de
energía sea máxima.
8.5
CHOQUE ELÁSTICO DE DOS PARTÍCULAS
En la página titulada “choques frontales” estudiamos como caso particular, el
choque elástico entre dos partículas. En este caso, la primera partícula lleva una
velocidad u1 y la segunda está inicialmente en reposo u2=0.
1
Principio de conservación del momento lineal
m1u1 =m1v1+m2v2
2
En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.
159
FÍSICA I
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las
velocidades v1 y v2 después del choque
Para un sistema de dos partículas, la máxima velocidad que alcanza la segunda
partícula es 2u1 cuando la masa de la segunda partícula m2 es muy pequeña
comparada con la masa de la primera partícula m1. Lo podemos apreciar mejor si
escribimos v2 en función de x=m2/m1.
Cuando m1=m2 la velocidad de la primera partícula después del choque es cero
v1=0, la primera partícula se detiene y la segunda partícula adquiere la velocidad
(y la energía) de la primera partícula, v2=u1. Pero esta no es la máxima velocidad
que puede adquirir la segunda partícula después del choque.
8.6
CHOQUE ELÁSTICO CON UNA TERCERA
PARTÍCULA
Consideremos ahora el caso del choque entre la segunda partícula de masa m2
que lleva una velocidad u2, y una tercera partícula de masa m3 inicialmente en
reposo.
160
FÍSICA I
La velocidad inicial u2 de la segunda partícula es la final v2 que adquiere después
del primer choque
1
Principio de conservación del momento lineal
m2u2 =m2v2+m3v3
2
En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las
velocidades v2 y v3 después del choque.
8.7
1.
PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE IMPULSO Y
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una
velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su
dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio
ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?
Respuesta: 3000 N
161
FÍSICA I
2.
Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50
N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué
velocidad adquirió la bola luego del impacto?
Respuesta: 2,5 m/s
3.
Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente
desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió
del reposo?
Respuesta: 10 m/s
4.
Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del
chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm³/s, si la densidad del
agua es de 1 g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es
la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?
Respuesta: 1,5 N
5.
Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque
de 1,8 kg de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego
del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el
coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0,2,
¿cuál era la velocidad inicial de la bala?
Respuesta: 1073 m/s
6.
Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg
de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos
verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?
Respuesta: 309,8 m/s
162
FÍSICA I
7.
Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte
comprimido a la partícula B de masa 2.mA, si la energía almacenada en el
resorte es de 60 J ¿qué energía cinética adquirirá cada partícula luego de
liberarlas?
Respuesta: 20 J y 40 J
8.
Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin
fricción con una velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la
misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya
velocidad inicial es v2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte
posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima
compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?
Respuesta: 0,28 m
9.
Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una
velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su
dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio
ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?
Respuesta: F = - 3000 N
10. Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50
N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué
velocidad adquirió la bola luego del impacto?
Respuesta: vf = 2,5 m/s
11. Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente
desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió
del reposo?
Respuesta: vf = 10 m/s
12. Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del
chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm³/s, si la densidad del
163
FÍSICA I
agua es de 1 g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es
la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?
Respuesta: F = 1,5 N
13. Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque
de 1,8 kg de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego
del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el
coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0,2,
¿cuál era la velocidad inicial de la bala?
Respuesta: v1i = 1073 m/s
14. Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg
de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos
verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?.
Respuesta: v1i = 309,8 m/s
15. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin
fricción con una velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la
misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya
velocidad inicial es v2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte
posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima
compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?
Respuesta: Δ x = 0,28 m
16. Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una
fuerza de 25 kgf durante 0,5 s, ¿qué velocidad de retroceso adquiere el
primero y que velocidad final toma el segundo?
17. Un hombre colocado sobre patines arroja una piedra que pesa 80 N
mediante una fuerza de 15 N que actúa durante 0,8 s, ¿con qué velocidad
sale la piedra y cuál es la velocidad de retroceso del hombre si su masa es
de 90 kg?
164
FÍSICA I
18. Con una escopeta se dispara un cartucho de 100 perdigones de 0,4 g cada
uno, los que adquieren una velocidad de 280 m/s, ¿cuál es la velocidad de
retroceso del arma si pesa 5 kg?.
19. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y
adquiere una velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg,
¿durante cuánto tiempo actuó el palo sobre la pelota?
20. Una escopeta de masa 5,8 kg lanza un proyectil de masa 20 g con una
velocidad inicial de 750 m/s. ¿cuál será la velocidad de retroceso?
21. Una pelota de fútbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s
mediante un puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?
22. Determinar la masa de una esfera metálica que por acción de una fuerza de
20 N durante 0,3 s le provoca una velocidad de 2 m/s.
23. A un cuerpo de 980 kg se le aplica una fuerza constante de 40 N durante 5
s, Calcular el impulso total y el incremento de velocidad.
24. A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de 150 N durante 5 s,
calcule el impulso y el incremento de velocidad.
165
FÍSICA I
166
FÍSICA I
CAPÍTULO 9
ESTUDIO DE LA DINÁMICA DEL CUERPO
RÍGIDO
9.1
MOMENTO RESULTANTE Y DE INERCIA
La 2da condición de equilibrio indica que un cuerpo estará en equilibrio si el
momento resultante con respecto a un punto cualquiera es igual a cero. Sin
embargo esta condición es necesaria pero no suficiente para que el cuerpo este en
reposo. Si un cuerpo se encuentra girando en torno a un eje éste seguirá girando
con velocidad angular constante si sobre el no actúa un momento resultante
exterior (Esta situación es análoga a la del movimiento lineal: si un cuerpo se
mueve con una cierta velocidad, seguirá moviéndose con velocidad constante si
sobre el no actúa una fuerza resultante exterior)se observa que si actúa un
momento resultante exterior respecto al punto de rotación de un cuerpo rígido, la
velocidad angular del cuerpo no se mantiene constante, sino que varia con una
aceleración angular que es proporcional al momento exterior.
Consideremos un sistema sencillo consistente de una partícula de masa ”m” fija
a una varilla de masa despreciable que gira alrededor de un punto 0 situado a una
distancia ”r” de la partícula .Esta partícula estará obligada a seguir un camino
circular de radio “R”.- supongamos que sobre la partícula actúa una fuerza F
perpendicular a la varilla y , por tanto tangente a la circunferencia como se indica
en la figura.
donde:
F
= fuerza perpendicular a la varilla
m
= masa de la partícula
a
α
= aceleración lineal ó tangencial
= aceleración angular
167
FÍSICA I
a=αr
Aplicamos la segunda ley de Newton para la partícula:
F = ma = m r α
la partícula de masa “m” esta obligada a seguir una circunferencia de radio “r”
en la ecuación anterior, multiplicamos ambos miembros por r obteniendo luego:
rF=mr2 α
9.1.1 Momento Resultante
El primer miembro de la ecuación anterior es el momento τ = r.F , de la fuerza F
respecto al punto “o” entonces tenemos:
τ =mr2 α
Si tenemos un conjunto de partículas de un cuerpo extenso, tal como un disco,
podemos aplicar la ecuación anterior a cada parte del cuerpo y sumar para todo
el.- Aplicando ésta ecuación a la partícula i- ésima de la masa “m”, tenemos
τ i = mi ri 2 α
Si sumamos ahora las ecuaciones de este tipo correspondientes a todas las
partículas del cuerpo, tenemos
∑τi = ∑
mi ri 2 α
τ
la cantidad ∑ i es el momento resultante que actúa sobre el cuerpo, el cual
representaremos por τ net. En el caso de un cuerpo rígido, la aceleración angular
es la misma para todas las partículas y se podrá sacar, por tanto, factor común.
La cantidad
∑
miri2 será una propiedad del cuerpo y su valor llamada momento
de inercia I.
168
FÍSICA I
9.1.2 Momento de Inercia:
I =
∑
miri2
El momento de inercia constituye una medida de la resistencia del cuerpo a
variar su movimiento de rotación, depende de la distribución de la masa respecto
al eje de rotación del cuerpo.
Es una propiedad del cuerpo (y de su eje de rotación); al igual que la masa “m”
en una propiedad del cuerpo que mide su resistencia a variar su movimiento de
traslación.-En el caso de sistemas constituidos por un número de pequeñas
partículas discretas podemos calcular el momento de inercia respecto a un eje
dado directamente a partir de su definición es decir a partir de la expresión
I =
∑
miri2
En el caso más común de un cuerpo continuo como una rueda, el cálculo del
momento de inercia respecto a un eje dado exige la utilización del calculo
infinitesimal en la tabla adjunta se consignan los momentos de inercia de
diversos cuerpos uniformes.
El torque neto puede expresarse en función del momento de inercia y de la
aceleración angular de la siguiente forma
τ net = Ια
Esta última ecuación es el equivalente para la rotación de la segunda ley de
Newton; Fnet = ma, del movimiento lineal. El momento resultante se corresponde
con la fuerza resultante, el momento de inercia con la masa y la aceleración
angular con la aceleración lineal.
Ejemplo 1.- cuatro partículas de masa “m” están unidas mediante varillas de
masa despreciable formando un rectángulo de lados 2 a y 2b como se indica en
la figura siguiente. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura y
que pasa por el centro. Hallar el momento de inercia respecto a dicho eje.
169
FÍSICA I
EJE DE ROTACIÓN
Cuatro partículas de igual masa conectadas por varillas sin masa que giran
alrededor de un eje situado en el plano de las partículas y que pasa por el centro
de masa.
En la figura vemos que la distancia de cada partícula al eje de rotación es “a” el
momento de inercia de cada partícula respecto a este eje será, ma2 y como hay
cuatro partículas, el momento de inercia total del cuerpo será.
I = 4 m a2
la distancia “b” no desempeña ningún papel por que no esta relacionada con
ninguna de la distancia de las masas al eje de rotación
Ejemplo.2.-Hallar el momento de inercia del sistema del ejemplo 1 en el caso de
rotación en torno a un eje paralelo al primero y que pase por dos de las dos
masas según se indica en la figura siguiente.
170
FÍSICA I
El mismo sistema de la figura anterior con la diferencia
rotación pasa por dos de las partículas.
de que el eje de
En ésta rotación dos de las masas se hallan a una distancia 2a del eje de rotación
y dos se hallan sobre el (y por tanto a distancia nula).-El momento de inercia
será, pues:
I =
∑m r
2
i i
I = m(0)2 + m( 0)2 + m(2a)2 + m (2a)2= 8 m a 2
Este ejemplo nos muestra el hecho de que el momento de inercia depende del eje
de rotación. Observamos que el momento de inercia es mayor respecto a este eje,
que respecto a otro paralelo a él que pasa por el centro de masa.
Ejemplo3.-se arrolla una cuerda sobre un
disco uniforme que puede girar sin
rozamiento alrededor de un eje fijo que
pasa por su centro. La masa del disco es
de 3 Kg. y su radio 25 cm.
171
T
FÍSICA I
se tira de la cuerda con una fuerza de 10 Newtons, si el disco esta inicialmente en
reposo ¿cuál será su velocidad angular al cabo de 5s?
De la tabla N º1 vemos que el momento de inercia de un disco uniforme respecto
a su eje es.
Ι=
Ι=
1
MR 2
2
1
( 3Kg) ( 0,25 m)2 = 9,38 × 10 −2
2
Kg .m 2
Como la dirección de la cuerda cuando abandona la periferia del disco es
siempre tangente a ella el brazo de palanca de la fuerza que ejerce será R, el
momento aplicado será.
τ=
TR =(10N)(0,25m) =2,5 N.m
Para hallar la velocidad angular, hallaremos primero la aceleración angular
mediante la segunda ley de Newton para el movimiento de rotación.
α=
τnet
2,5N.m
=
= 26, 7rad / s 2
2
Ι
0, 0938kg × m
Como a es constante, hallaremos ω a partir de la
ecuación.
ω = ω0 + αt , luego
Haciendo ω 0: = 0
ω = ω 0 + α t = 0 +(26,7 rad/s2)(5s) =133 rad/s
172
FÍSICA I
Ejemplo 4.- un cuerpo de masa “m” ésta sujeto a un hilo ligero arrollado sobre
una rueda de momento de inercia I y radio r.
El cojinete de la rueda esta exento de rozamiento y el hilo no resbala sobre la
periferia de la rueda.-hallar la tensión del hilo y la aceleración del cuerpo.
La única fuerza que ejerce un momento sobre la rueda es la tensión T del hilo.
El brazo de palanca es R, luego cuando esta gira un ángulo” θ ”se desarrolla una
longitud R θ de hilo y el cuerpo baja una distancia y = R θ
Sobre el cuerpo suspendido actúan dos fuerzas: la tensión T hacia arriba la fuerza
de la gravedad mg hacia abajo.
Considerando positiva el sentido hacia abajo, la segunda ley de newton nos da:
mg - T = ma
En estas dos ecuaciones hay tres incógnitas: T, a y α . El hilo proporciona una
ligadura que relaciona con α . Cuando la rueda gira un ángulo θ , se desenrolla
una longitud de cuerda S =R θ y el cuerpo desciende a una Y = R θ la velocidad
del cuerpo será, V =R ω y su aceleración.
a =R α → α =
Luego tenemos TR =
Ιa
TR 2
, es decir a =
R
Ι
Remplazando este valor de a, resulta
mg – Τ =
mTR 2
Ι
⎛ mR 2 ⎞
⎟ = mg
T⎜⎜1 +
Ι ⎟⎠
⎝
mΙ
Τ=
×g
( Ι + mR 2 )
⎛ mI 2 ⎞ ⎛ R 2 ⎞
⎜ __ ⎟ g
Luego : a = ⎜
2 ⎟
⎝ I + mR ⎠ ⎜⎝ Δ ⎟⎠
173
a
R
FÍSICA I
9.2
ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN
Cuando un cuerpo en rotación gira realizando un pequeño desplazamiento
angular d θ la partícula i recorre una distancia dsi = ri d θ .Si una fuerza Fi
actúa sobre la partícula i,
el trabajo realizado es.
dWi = Fit dsi = Fitridθ = τidθ
En general el trabajo realizado por un par T cuando un cuerpo gira un pequeño
ángulo d θ es.
dW = τdθ
Esta ultima ecuación es análoga a otra que expresa un resultado similar para un
movimiento lineal: dw = Fs ds
El trabajo por unidad de tiempo es la potencia de un par:
dw
dθ
Ρ=
=τ
dt
dt
es decir: P = τ W
Esta ecuación es la análoga rotacional de P = VS FS .
El trabajo total realizado sobre un sistema es igual a la variación de energía
cinética del sistema (si el sistema no cambia de energía potencial y no hay
pérdidas energéticas).
Para una rueda que gira respecto a un eje que pasa por su centro de masas, la
energía cinética de la rueda es la correspondiente al centro de masas; ésta energía
cinética es precisamente la suma de las energías cinéticas de las partículas del
cuerpo:
1
1
1
2
2
2
Ε c = ∑ miν i = ∑ mi (riω) = ∑ miri ω2
2 i
i 2
i 2
es decir;
Energía cinética de rotación
1 2
Ιω
2
Esta última ecuación es la análoga de la rotación de la ecuación
Εc =
174
FÍSICA I
Εc =
1
mν 2 para el movimiento lineal
2
Ejemplo 1.- Un disco uniforme de 3 Kg. de masa y radio12 cm. Da vueltas a 480
RPM .-hallar su energía cinética
Según la tabla 1, el momento de Inercia de un disco uniforme viene dado por
I=
1
1
mR2 = (3Kg)(0,12m)2 =0,0216 Kg × . M2
2
2
la velocidad angular es:
ω=
480
(1)
RPM 2πrad
rad
x
x =50,3
RPM 60s
s
Por tanto la energía cinética es:
rad 2
1
1
Ec = I ω2 =
(0,0216) Kg x m2 x(50,3
) = 54,64 J
2
2
s
Ejemplo 2.- Un motor de automóvil suministra un par de rotación de 380 N x m
a 3200
rev
.-Determinar la potencia de salida del motor.
min
La velocidad angular correspondiente a 3200
ω =3200 (
rev
es :
min
rev
2πrad
1min
rad
) x(
) x(
) =335 (
)
min
rev
60s
s
La potencia de salida del motor viene dada por la Ec: P = τ ω
P = T ω =(380 N x m) (335
rad
) =127 Kw
s
P = 127 Kw
175
FÍSICA I
9.3
CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA
En cuerpos continuos el momento de inercia viene dado por la integral:
Ι = ∫ r 2dm
En donde r es la distancia del elemento de masa dm al eje de rotación.
Ejemplo 1.-Hallar el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R
respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano mismo.
Puesto que toda la masa esta situada a una distancia r = R de este eje ,el
momento de inercia es simplemente.
Ι = ∫ r 2 dm = R 2 ∫ dm = MR2
Ejemplo.2.-Hallar el momento de inercia de una barra uniforme respecto a un eje
perpendicular a la misma que pasa por un extremo.
176
FÍSICA I
En la figura se muestra el elemento de masa dm. Se encuentra a una distancia X
del eje de rotación. Como la masa total M está uniformemente distribuida a lo
largo de la longitud L, la densidad de masa lineal es λ =
M
.Así,
L
dm = λ dx =(M/L) dx. El momento de inercia respecto al eje Y es λ
Ιy = ∫ L0 x 2 dm = ∫ L0 x 2
M1 3
x
Ιy =
L3
M
M
dx = ∫ L0 x 2dx
L
L
3
L
0
ML
1
=
= ML2
3L
3
Ejemplo.3.-Hallar el momento de inercia de un disco uniforme respecto al eje
que pasa por su centro y es perpendicular al plano del mismo.
Se espera que I sea menor que MR2 puesto que toda la masa no está concentrada
a la distancia r = R ,como en el caso del anillo, sino que está uniformemente
distribuida desde r = 0 a r = R.
Podemos calcular I tomando elementos de masa dm como se ve en la figura
última. Cada elemento de masa es un anillo de radio r y de espesor dr con
momento de inercia r2dm
Puesto que el área de cada elemento es dA = 2πrdr , la masa del elemento es.
dm =
M
M
(2πr )dr
dA =
A
A
En donde A = πR 2 es el área del disco .Por tanto,
177
FÍSICA I
L
Ι = ∫ r 2 dm = ∫ r 2
0
M
2πM R 3
2M R 4
(2 π r)dr =
=
×
r
dr
A
R2 4
πR 2 ∫0
Ι=
1
MR 2
2
Ejemplo: Nº 4.-Hallar el momento de inercia de un cilindro de densidad
uniforme respecto a su eje.
Podemos considerar el cilindro como formado por una
serie de discos cada uno de ellos con masa mi y el
1
momento de inercia miR 2 . Entonces el momento de
2
inercia del cilindro completo es
1
1
1
Ι = ∑ miR 2 = R 2 ∑ mi = MR 2
2
2
i 2
i
Ι=
1
MR 2
2
178
FÍSICA I
9.4
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ó TEOREMA
DE STEINER
Frecuentemente se puede simplificar el cálculo de momentos de inercia para
diversos cuerpos utilizando teoremas generales que relacionan el momento de
inercia alrededor de un eje concreto del cuerpo al de algún otro eje. El teorema
de Steiner ó los ejes paralelos relaciona el momento de inercia alrededor de un
eje que pasa por el centro de masas con el otro eje paralelo al primero.
Sea Icm el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de
masas de un cuerpo e “I” es momento de inercia respecto a un eje de otro
paralelo a el y a una distancia h. El teorema de los ejes paralelos establece que:
Ι = Ι cm + Mh2
en donde M es la masa total del cuerpo
179
FÍSICA I
Ejemplo 01.-Determinar el momento de Inercia del anillo mostrado en la figura
respecto a un eje perpendicular al anillo que pasa el borde del mismo como se
muestra.
Tenemos un anillo que gira alrededor de un eje perpendicular al plano del mismo
y que pasa por su borde.
Este cálculo se realiza fácilmente mediante el teorema de los ejes paralelos con
h = R y teniendo en cuenta el resultado según el cual
Ι = Ι cm + Mh2 = MR 2 + MR 2 = 2MR 2
Ι = 2MR 2
Ejemplo 02.-Hallar el momento de inercia de una barra uniforme respecto al eje
y 1 que pasa por el centro de las masas de la siguiente figura.
180
FÍSICA I
Vimos anteriormente que el momento de inercia de una barra uniforme alrededor
1
de un eje que pasa por el extremo de dicha barra era. ML2 Como este eje se
3
encuentra a la distancia h =
1
L del centro de masas de la barra, el teorema de los
2
ejes paralelos nos da.
2
1
⎛1 ⎞
Ι = Ι cm + M⎜ L ⎟ = ML2
3
⎝2 ⎠
Es decir,
Ι cm =
9.5
1 2_ 1 2 1
ML
ML = ML2
3
4
12
TEOREMA DE LOS EJES PERPENDICULARES
Se trata de una figura plana en donde se ha situado el eje Z perpendicular al
plano. El momento de inercia respecto al eje Z es igual a la suma de los
momentos de inercia respecto a los ejes X e Y.
El teorema de los ejes perpendiculares se aplica sólo a figuras planas. Relaciona
los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en una
figura plana con el momento de inercia alrededor de un tercer eje perpendicular a
la misma. Si X, Y y Z son ejes perpendiculares en el caso de una figura que está
contenida en el plano XY el teorema de los ejes perpendiculares establece que el
181
FÍSICA I
momento de inercia respecto al eje Z es igual al a suma de los momentos de
inercia respecto a los ejes X eY .
La figura anterior muestra una figura en el plano XY. La distancia de un
elemento de masa dm al eje x es y. Análogamente el momento de inercia
respecto al eje y es Iy =
∫ x dm
2
El momento de inercia respecto al eje z perpendicular a la figura es
Ι z = ∫ r 2 dm
Pero para cada elemento r 2 = x 2 + y 2 .Por tanto
(
)
Ι z = ∫ r 2dm = ∫ x 2 + y 2 dm = ∫ x 2dm + ∫ y 2dm
Ιz = Ιy + Ιx
Ejemplo 01.-Hallar el momento de inercia del anillo mostrado en la siguiente
figura, respecto a un eje que coincide con un diámetro del mismo.
182
FÍSICA I
En la figura se muestra un aro girando alrededor de un eje que pasa por su centro
y en el plano del aro.
Si consideramos que el anillo está en el plano x y con su centro en el origen, se
tiene que por simetría Ix = Iy. Puesto que ya hemos encontrado que Iz es MR2,
tenemos
Ι Z = Ι y + Ι X = 2Ι x = MR2
Por lo tanto,
Ιx = Ιy =
1
MR 2
2
183
FÍSICA I
184
FÍSICA I
9.6
MOMENTO ANGULAR
__
El momento lineal Ρ de una partícula de acuerdo con la segunda Ley de Newton
podía expresarse así:
__
__
F neta
dΡ
=
dτ
El momento angular también llamado momento cinético de una partícula se
define del modo siguiente. Si una partícula se mueve en una circunferencia de
radio r con velocidad angular ω tal como se muestra en la figura anterior, El
momento angular L relativo al centro del círculo se define como el producto de
la magnitud del momento lineal m ν por el radio r:
L =mvr = m(rω)r
L =mr2 ω = I ω
En donde I = mr2 es el momento de inercia de la partícula respecto a un eje
perpendicular al plano del movimiento que pasa por el centro del circulo. La
dirección de L es la misma que la de ω . En un movimiento de sentido contrario a
la de las agujas del reloj, ω y L se consideran usualmente como positivos; en el
sentido horario se consideran negativos.
185
FÍSICA I
En la figura se tiene una partícula de masa “m” que se mueve con velocidad
_
v a lo largo de una línea que dista r⊥ del origen 0.
Si la partícula realiza un movimiento cualquiera, el momento angular de la
partícula respecto al origen 0 de define como.
L = mv r⊥ = mvr sen θ
En donde v es la velocidad de la partícula y r⊥ = r sen θ es la distancia
perpendicular trazada desde 0 a la línea de movimiento, como se muestra en la
figura anterior.
Se debe observar que la partícula posee momento angular respecto a un punto 0,
aunque su movimiento no sea circular
En la figura se tiene un disco, se desea calcular el momento angular de rotación
186
FÍSICA I
El momento angular total de un cuerpo en rotación se determina sumando los
momentos angulares de todos los elementos del cuerpo. La figura anterior
muestra un disco en rotación. El momento angular de un elemento de masa
mi es.
Li = miri ω
2
Sumando ésta expresión para todos los elementos del disco se obtiene
L = ∑ L i = ∑ miri ω
2
i
Es decir:
i
L =I ω
Ésta ultima ecuación es la análoga en rotación a la ecuación del momento lineal.
Ρ = mν
Es válida para los objetos que giran alrededor de un eje fijo y también para los
objetos que giran alrededor de un eje que se mueve de tal modo que permanece
paralelo a si mismo, tal como una bola o un cilindro que ruedan a lo largo de una
línea.
Ejemplo 1.- Una partícula de 2,4 Kg se mueve en un círculo de radio 1,5 m con
una velocidad de 3 m/s.-(a) determinar el momento angular de la partícula
respecto al centro del círculo.(b) determinar el momento angular respecto al
mismo punto si la partícula se mueve a 3 m/s a lo largo de la línea y =1,5 m.
De la ecuación L =mrv = (2,4 Kg) (3 m/s) (1,5 m)
Resulta =10,8 Kg.m2/s
Se podría Calcular también el momento angular utilizando la ecuación
L =I ω
187
FÍSICA I
El momento de inercia de la partícula respecto a un eje que pasa por el centro del
círculo perpendicular al plano del mismo es
I = mr2
Luego I=(2,4 Kg) (1,5 m)2 =5,40 Kg.m2 y la velocidad angular es
ω=
v ⎛ m⎞
⎛ rad ⎞
= ⎜ 3 ⎟ / (1,5m ) = 2 ⎜
⎟ .El momento angular es, por tanto
r ⎝ s⎠
⎝ s ⎠
L = I ω =(5,40 kg.m2)(2 rad/s) =10,8 Kg x m2/s
(b) Para la misma partícula moviéndose a lo largo de la línea Y = 1,5m = 1,5 m ,
Y⊥ =1,5 m. El momento angular de la partícula es entonces:
L = mvr ⊥ =(2,4 Kg ) (3 m/s) (1,5m) =10,8 Kg x m2/s
El momento angular es el mismo si la partícula se mueve sobre una
circunferencia de radio 1,5 ó a lo largo de una línea recta situada a una distancia
perpendicular de 1,5 m desde el origen.
La 2da Ley de Newton para la rotación puede establecerse de la siguiente
forma
dL d
τR =
= ( Ιω)
dt dt
En donde τ R es el momento del par
externo resultante ejercido
sobre
el
sistema. El momento de par externo resultante que actúa sobre un sistema es
igual a la derivada respecto al tiempo del momento angular del sistema
188
FÍSICA I
Para un cuerpo rígido el momento de inercia es constante, luego tenemos la
siguiente ecuación:
τR =
9.7
d
dω
Ιω = Ι
= Ια
dt
dt
CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR
“Si el momento del par externo resultante que actúa sobre un sistema es cero, el
momento angular total del sistema es constante”
Si el momento del par externo resultante que actúa sobre el sistema es cero,
resulta:
dL
=0
dt
Es decir:
L = constante
Este principio es análogo al de conservación del momento lineal, según el cual
cuando la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema es cero, el
momento lineal total es constante.
Si un sistema está aislado de sus alrededores, de modo que sobre el no actúan
fuerzas ó momentos de fuerzas, se conservan tres magnitudes: energía, momento
lineal y momento angular. La ley de conservación del momento angular es una
ley fundamental de la naturaleza, incluso a escala microscópica de la física
atómica y nuclear, donde la mecánica Newtoniana no se cumple, el momento
angular de un sistema aislado permanece constante en el tiempo.
La tabla Nº 2 muestra las ecuaciones del movimiento de rotación desarrolladas
en este capítulo, junto con las ecuaciones análogas del movimiento lineal.
189
FÍSICA I
Tabla Nº 2.-Comparación de los movimientos lineal y de rotación
Movimiento lineal
Desplazamiento angular Δθ
Desplazamiento
v=
Velocidad
Ecuaciones de
dx
dt
Velocidad angular ω =
ν = ν 0 + at
Ecuaciones de
Δ x = νmΔ t
Aceleración
Movimiento de rotación
Constante ν m =
aceleración
1
(ν 0 + ν )
2
χ = χ0 + ν 0 t +
1
a
2
Energía cinética
Potencia
Εc =
Ρ = Fν
1
mν 2
2
1
(ω0 + ω)
2
constante θ = θ0 + ω0 t +
1
αt
2
ω2 = ω0 + 2αΔ
2
P = mv
ω = ω0 + α
Aθ = ωm At
angular ωm =
ν 2 = ν 0 + 2a(Δx )
Momento lineal
dθ
dt
2
Momento angular
L =I ω
Energía cinética Ε c =
Potencia
190
1 2
Ιω
2
Ρ = τω2
FÍSICA I
9.8
TRABAJO, POTENCIA Y
MOVIMIENTO ROTACIONAL
ENERGÍA
EN
EL
En la Figura se tiene un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje que pasa por
0, bajo la acción de una fuerza externa Δx aplicada en P
−
__
dW = F . ds = (Fsenφ)rdθ
Consideremos el cuerpo rígido que hace pivote en 0. Existe una sola fuerza
__
__
externa F que se aplica en P, donde F está en el plano de la página. El trabajo
__
realizado por F sobre el objeto cuando gira una distancia infinitesimal es ds =
__
rd θ , y donde (F sen φ ) es la componente tangencial (de F , es decir, el
componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial
__
de F no realiza trabajo porque es perpendicular al desplazamiento.
__
Debido a que la magnitud del momento de torsión debido a F alrededor de 0 se
define como rF sen φ podemos escribir el trabajo realizado por la rotación
infinitesimal como
dW = Τdφ
191
FÍSICA I
__
La rapidez a la que el trabajo es realizado por F cuando el cuerpo gira alrededor
del eje Fijo, todo el ángulo d θ en un intervalo dt, es
dw
dθ
= T
dt
dt
dw
es la potencia instantánea
dt
dθ
expresión se reduce a P = T =T ω
dt
Como
Esta expresión es análoga a
P
P, entregada por la Fuerza y
dθ
= ω , esta
dt
= Fv, en el caso del movimiento lineal, y la
expresión dw = td θ es análoga a dw = FX dx
Cuando un cuerpo simétrico rota alrededor de un eje fijo, el trabajo realizado por
fuerzas externas es igual al cambio en la energía rotacional.
Para demostrarlo, empecemos con
∑ τ = Ια , luego, usando la regla de la cadena
del cálculo, podemos expresar el momento de torsión, resultante como.
dϖ
∑ τ = Ια = Ι dt
Se observa que
=Ι
dω dθ
dω
=Ι
ω
dθ dt
dθ
∑ τdθ = dw = Ιωdω
Al integrar ésta expresión obtenemos el trabajo total realizado por la fuerza
externa meta que actúa sobre un sistema que rota
∑w = ∫
wf
wi
Ιωdω =
1 2 1 2
Ιωf − Ιωi
2
2
Donde la rapidez angular cambia de ωi a ω f . Esto es, el teorema del trabajo y la
energía cinética para movimiento rotacional expresa que
192
FÍSICA I
“El trabajo neto realizado por fuerzas externas al rotar un cuerpo rígido simétrico
alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del cuerpo”.
9.9
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA Nº1.-Hallar el momento de inercia axial de un rectángulo de base
b =12 m y altura h =4 m, respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad y
sea paralelo a la base.
Solución:
Ι x = ∫ y 2 dA.....( Ι )
donde
dA =bdy……..(II)
A =b h (área de un rectángulo)
Reemp.(II) en (I):
h
2
−h
2
y3
y bdy =
b
3
Ix =
∫
Ιx =
b ⎛⎜ ⎛ h ⎞ ⎛ − h ⎞
⎟
⎜ ⎟ −⎜
3 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Ιx =
1 3
bh
12
2
3
3
h
2
−h
2
⎞ b ⎛ h3 h3 ⎞
⎟= ⎜ + ⎟
⎟ 3⎜8
8 ⎟⎠
⎝
⎠
193
FÍSICA I
Remplazando datos b =12 y h = 4
1
(12)(4)3 = 64
Ιx =
12
Ι x = 64m 4
PROBLEMA 2.-Hallar el momento de inercia axial de un rectángulo de base b
=3m y altura h =5m respecto a un eje que pasa por su base.
Solución:
Se sabe Ι x = ∫ y 2 dA
Ιx = ?
Sabemos:
A = bh
da = bdy
Ι x = ∫ h0 y 2bdy =
Ιx =
Ιx
by
3
3
h
0
=
(
b 3
h − 03
3
)
bh3
3
3 3
(5) = 125m4
3
Ι x = 125cm4
194
FÍSICA I
PROBLEMA 3.-
Un cilindro sólido uniforme tiene un radio R=4 m, masa m =5
Kg y de longitud “L”. Calcule el momento de inercia alrededor
de su eje central.
L
Solución:
Ι z = ∫ r 2dm
de donde ρ =
dm m
= =ρ
dv v
dv = 2πrLdr
dm
→ dm = 2πrLρdr
2πrLdr
Ι z = ∫ r 2 ( 2πrLρdr ) = 2πLρ∫ 0R r 3dr
ρ=
(
Ιz =
2πL 4
ρ r − 04
4
Ιz =
πLρR 4
2
Sabemos: ρ =
ρ=
)
M
V
donde V = πR 2L
M
.......(Ι )
πR 2L
2πLρR 4 πLρR 4
ΙZ =
=
......(ΙΙ )
4
2
Entonces (Ι )en(ΙΙ ) :
M
MR 2
π
2
Ιz = L
R =
2 πR 2L
2
195
FÍSICA I
2
MR
ΙZ =
Z
Reemplazando datos:
1
2
Ι z = (5 )(4 ) = 40
2
Ι z = 40Kgxm2
PROBLEMA 4.- Determine por integración directa el momento de inercia del
área sombreada respecto al eje “y”.
Solución:
Ι Y = ∫ x 2 4 ( x ) dx = 4 ∫ 02 x 5dx
3
Ιy =
4x 6
6
2
0
=
4 6 6
(2 − 0 )
6
Ιy =
Ι y = ∫ x 2dA
donde dA = ydx
Como y = 4x3
dA= 4x3 dx
196
128
3
FÍSICA I
PROBLEMA Nº 5.-Determine el momento de Inercia del área sombreada
respecto a los ejes X eY cuando a =20mm.
Solución:
Ι X total = Ι x cuadrado + 2Ι x subindice....α
3
(
2a )(2a )
Ι cuadrado =
x
12
=
4 4
a
3
Ι x semicírculo = Ι xs
2
Ι xs
⎛ 4a ⎞
= Ι − + ⎜ ⎟ As...(1)
x
⎝ 3π ⎠
2
⎛ 4a ⎞
Ι nn = Ι − + ⎜ ⎟ As...(2)
x
⎝ 3π ⎠
Pero:
197
FÍSICA I
Ι nn =
πa 4
πa 2
, As =
, d, = a
8
2
De (1) y (2):
Ι xs =
πa 4 ⎛ 5 8 ⎞
⎜ +
⎟
8 ⎝ 4 3π ⎠
Reemplazando en (α ) :
Ι x total = 7,93a 4
a = 20mm
Ι x total = 12688 × 10 2 mπ 4
9.10 PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA Nº1.-
De la figura que se muestra hallar el
momento de inercia axial de un rectángulo
respecto a su base empleando el teorema de
ejes paralelos.
Donde b = 6, h = 5
bh3 6(5 )
=
= 250m 4
3
3
3
Respuesta:
Ι xf =
PROBLEMA Nº2.- Calcular el momento de inercia de una barra rígida
uniforme de longitud L =2m y masa M =3 Kg.: alrededor de un eje perpendicular
a la barra (el eje Y) y que pase por su centro de masa.
198
FÍSICA I
ML2 3(2)
=
=1
Respuesta: Ιy =
12
12
2
Ι y = 1m 2 Kg
PROBLEMA Nº3.-Determine por integración directa el momento de inercia del
área, alrededor del eje. Y.
Respuesta:
Ι y = 72,9
PROBLEMA Nº4.-Hallar el momento de inercia axial de un triángulo de base b
= 12 y altura h = 6, respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad y sea
paralelo a la base.
Respuesta:
Ι mn =
1
bh 3 = 72
36
199
FÍSICA I
PROBLEMA Nº5.-Determine el momento de Inercia del área sombreada
respecto al eje X.
Respuesta: Ι x placa = 27324 × 10 4 mm 4
200
FÍSICA I
CAPÍTULO 10
10
HIDROSTÁTICA
10.1 DEFINICIONES
10.1.1 Fluido
Se le llama fluido a toda sustancia que puede fluir. Los líquidos y gases son
fluidos, porque sus moléculas presentan poca resistencia al movimiento relativo
entre ellas. Las fuerzas de cohesión son pequeñas e incluso ínfimas. Los sólidos
en cambio, se oponen con mucha resistencia a cambiar de forma.
Los gases tienden a ocupar todo el volumen posible, por ejemplo adoptan la
forma del objeto que los encierra. Se pueden comprimir con facilidad.
Cada líquido toma la forma del recipiente que lo contiene. Son prácticamente
incompresibles.
10.1.2 Presión
Se define la presión sobre un fluido, como el cuociente entre la magnitud de la
fuerza normal aplicada sobre la superficie del fluido y su área. En la figura 1:
p=
F
A
La presión es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional se mide en
“pascal” [ Pa ]. Pero en la práctica se usan otras unidades.
201
FÍSICA I
10.1.3 Sistema Internacional de Unidades (SI)
3
• Kilopascal (KPa), 10 Pa
• Pascal (Pa), unidad derivada de presión del SI, equivalente un newton
por metro cuadrado ortogonal a la fuerza.
¾ Sistema Inglés
2
• PSI, unidad de presión básica de este sistema, 14,7 lb-f/in
¾ Sistema técnico gravitatorio
2
• Kilogramo fuerza por centímetro cuadrado (kg-f/cm )
¾ Otros sistemas de unidades
• atmósfera (atm)
•
Milímetro de mercurio (mm Hg) = Torricelli (Torr)
•
Bar
10.1.4 DENSIDAD (δ)
La densidad de un fluido se define como el cuociente entre su masa y su
volumen:
δ=
m
V
La densidad es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional se mide en [
kg/m3 ].
10.1.5 PESO ESPECÍFICO (ρ)
El peso específico de un fluido se define como el cuociente entre su peso y su
volumen:
ρ=
P
V
202
FÍSICA I
En el Sistema Internacional se mide en [ N / m3 ] .
10.2 PRESIÓN HIDROSTÁTICA
Dado un fluido en equilibrio, donde todos sus puntos tienen idénticos valores de
temperatura y otras propiedades, el valor de la presión que ejerce el peso del
fluido, a una cierta profundidad de él, figura 2:
Está dada por:
p = δ .g .h
Donde:
h es la profundidad en el fluido
p es la presión que ejerce el fluido a esa profundidad h
δ es la densidad del fluido y
g es la aceleración de gravedad.
Es decir, la presión hidrostática es independiente del líquido, y sólo es función de
la altura que se considere.
Por tanto, la diferencia de presión entre dos puntos A y B cualesquiera del fluido
viene dada por la expresión:
p A − p B = δ .g .(h A − hB ) = δ .g .Δh
La diferencia de presión hidrostática entre dos puntos
de un fluido sólo depende de la diferencia de altura
que existe entre ellos.
203
FÍSICA I
10.3 VASOS COMUNICANTES
Se denominan vasos comunicantes, dos o más recipientes conectados entre sí. El
líquido que contienen está en equilibrio, cuando la presión que ejerce en cada
punto de una superficie horizontal es la misma. Esto quiere decir que el líquido
está en equilibrio de vasos comunicantes, cuando en cada uno de ellos se alcanza
el mismo nivel.
Esta ley no se aplica en los fenómenos de capilaridad, ni en los casos de líquidos
diferentes.
Dos recipientes de secciones S1 y S2 están comunicados por un tubo de sección S
inicialmente cerrado. Si las alturas iniciales de fluido en los recipientes h01 y h02
son distintas, al abrir el tubo de comunicación, el fluido pasa de un recipiente al
otro hasta que las alturas h1 y h2 del fluido en los dos recipientes se igualan.
204
FÍSICA I
10.4 LÍQUIDOS INMISCIBLES
Y se cumple que:
δ 1 .h1 = δ 2 .h2
Ejemplo: Un cuerpo sólido está sumergido en dos líquidos inmiscibles: agua y
aceite. Se puede determinar la densidad de dicho cuerpo por dos métodos
distintos:
•
El principio de Arquímedes
•
La ecuación fundamental de la estática de fluidos
El aceite que tiene una densidad 0,8 g/cm3 se sitúa en la parte superior y el agua
que es más densa 1,0 g/cm3 se sitúa en la parte inferior del recipiente.
10.5 CAPILARIDAD
La capilaridad es la elevación o depresión de la superficie de un líquido en la
zona de contacto con un sólido, por ejemplo, en las paredes de un tubo. Este
fenómeno se presenta en forma más marcada, en los tubos capilares (tubos de
diámetro muy pequeño). La capilaridad depende de las fuerzas de cohesión entre
las moléculas del líquido en su superficie (tensión superficial) y de las fuerzas de
adhesión del líquido a las paredes del tubo. Cuando estas últimas son mayores
que las primeras, la superficie del líquido será cóncava y éste subirá por las
205
FÍSICA I
paredes del tubo (figura 5). Esto sucede, por ejemplo, con el agua en los tubos de
vidrio limpios. En caso contrario, la superficie del líquido será convexa (figura
6), por ejemplo, el agua en tubos de vidrio con una película de grasa (poca
adhesión) y el mercurio en los tubos de vidrio limpios ( gran cohesión ).
El fenómeno de la capilaridad es de vital importancia en la vida animal y vegetal,
por ejemplo, los árboles obtienen los nutrientes de la tierra, debido a que por
capilaridad, el agua los transporta hasta su copa.
10.6 PRINCIPIO DE PASCAL
Si se aplica una presión p sobre un fluido, ésta se propagará en todas las
direcciones con el mismo valor.
Una aplicación de este principio, es el uso de los fluidos como multiplicadores
de fuerza.
Ejemplo: Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos
empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua
que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos.
Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce
una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué
dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?,
¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones que
aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases.
Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre
todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico
con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen en
206
FÍSICA I
dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la fuerza
que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la
superficie de contacto.
En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se
ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una
persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos
casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se concentra la
fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona se reparte
entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta superficie,
más fuerza corresponderá a cada punto.
La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está
acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta.
Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta
profundidad no depende de cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión
sobre nuestros tímpanos independientemente de la inclinación de los mismos. La
presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera
sea la orientación de ésta.
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente
llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa,
entre otras.
10.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Este principio afirma que: “Un cuerpo sumergido en un fluido disminuye su
peso, aparentemente, en la misma cantidad que el peso de fluido desalojado por
él”. Esa disminución de peso del cuerpo es debida al empuje que ejerce el fluido
sobre él. En otras palabras, el empuje que realiza un fluido sobre un cuerpo
sumergido en él, es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo. En la
figura 8, tenemos un cuerpo totalmente sumergido en un líquido:
207
FÍSICA I
Se cumple que:
E = P.
δf
δc
Donde:
E es el empuje del fluido
P es el peso del cuerpo
δf es la densidad del fluido y
δc es la densidad del cuerpo
En la figura 9, tenemos un cuerpo parcialmente sumergido en un líquido:
En esta otra situación, se da la siguiente relación:
Vs = V .
δc
δf
Donde:
Vs es el volumen sumergido del cuerpo
V es el volumen del cuerpo
208
FÍSICA I
δc es la densidad del cuerpo y
δf es la densidad del fluido
Ejercicio aplicativo:
EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY
El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la
corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el
artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la
corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin
dañar la corona.
Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían
robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo.
En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y
comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es:
δoro = 500 gr/25,3 cm3 =19,3 gr/cm3
Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de
líquido desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber
sido:
Vcorona = 2,500 gr/(19,3 gr/cm3)=129,5 cm3
A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua
desplazado era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido
estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por
plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un
kilo de plata para conocer su peso específico. Como el volumen desplazado
resultó 95,2 cm3, se tiene que:
δplata=1000 gr/(95,2 gr/cm3) =10,5 gr/cm3
Sabemos que el peso total de la corona es 2,500 gr. (el joyero tuvo la precaución
de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:
209
FÍSICA I
Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3
Vplata=166-Voro
Pcorona = Poro + Pplata = 2500 gr.
Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen,
nos queda que:
(19,3 gr/cm3) . Voro + (10,5 gr/cm3) . Vplata = 2500 gr
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una
ecuación con la otra, se tiene que:
(19,3 gr/cm3). Voro + (10,5 gr/cm3). (166 cm3-Voro) = 2,500 gr
de donde se despeja la incógnita:
Voro =86 cm3
con lo que se deduce que:
Poro =ρoro .Voro = (19,3 gr/cm3) . 86 cm3 = 1,660 gr
Pplata=Pcorona – Poro =2,500gr – 1.660 gr =840 gr
De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840
gr. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro
mal habido
Ejercicio aplicativo:
Ejemplo de la ecuación fundamental de la hidrostática: Un buzo se sumerge en
el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m. Determinar la presión a la que
está sometido y calcular en cuántas veces supera a la que experimentaría en el
exterior, sabiendo que la densidad del agua del mar es de 1,025 kg/m³. De
acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática:
p = p0 + δ.h.g
Considerando que la presión p0 en el exterior es de una atmósfera (1 atmósfera =
1,013 x 105 Pa), al sustituir los datos en la anterior ecuación resulta:
210
FÍSICA I
p = 1,013 x 105 Pa + 1,025 kg/m ³ x 9,8 m/s² x 100 m = 11,058 x 105 Pa
El número de veces que p es superior a la presión exterior po se obtiene hallando
el cociente entre ambas:
p/p0 = 11,058 x 105 Pa/1,053 x 105 Pa = 10,5 veces
10.8 DINAMICA DE FLUIDOS O HIDRODINAMICA
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en
movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica
tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar
aquí algunos conceptos básicos.
Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo
pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es
incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento
y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos
reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como
estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.
10.9 FLUJOS INCOMPRESIBLES Y SIN ROZAMIENTO
Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía
mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es
constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas
de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada
punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las
partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación
entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la
velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante
para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.
Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni
sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente).
211
FÍSICA I
1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:
A1.v1 = A2.v2 = constante.
Recuerde que: p = F/A
y
F = p.A
Flujo de volúmen: (caudal).
Q = A [m2] .v [m/s] = A . v [m³/s]
Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo
ideal (sin fricción).
p1 + δ.v1 ²/2 + δ.g.h1 = p2 + δ.v2 ²/2 + δ.g.h2 = constante
p1/δ + v1²/2 + g.h1 = p2/δ + v2²/2 + g.h2
p/ ρ = energía de presión por unidad de masa.
g.h = energía potencial por unidad de masa.
v ²/2 = energía cinética por unidad de masa.
Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0
p1 + δ.g.h1 = p2 + δ.g.h2
212
FÍSICA I
10.10 VISCOSIDAD
Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una
fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los
fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de
fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina
su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio
de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el
orificio es una medida de su viscosidad.
La viscosidad de un fluido disminuye con la reducción de densidad que tiene
lugar al aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos
moléculas por unidad de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en
movimiento hasta la capa estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las
distintas capas. El momento se transfiere con más dificultad entre las capas, y la
viscosidad disminuye. En algunos líquidos, el aumento de la velocidad molecular
compensa la reducción de la densidad. Los aceites de silicona, por ejemplo,
cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que
son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está sometida a grandes
cambios de temperatura
10.11 TENSION SUPERFICIAL
El efecto de las fuerzas intermoleculares es de tirar las moléculas hacia el interior
de la superficie de un liquido, manteniéndolas unidas y formando una superficie
lisa. La tensión superficial mide las fuerzas internas que hay que vencer para
poder expandir el área superficial de un líquido. La energía necesaria para crear
una mueva área superficial, trasladando las moléculas de la masa liquida a la
superficie de la misma, es lo que se llama tensión superficial. A mayor tensión
superficial, mayor es la energía necesaria para transformar las moléculas
interiores del líquido a moléculas superficiales. El agua tiene una alta tensión
superficial, por los puentes de hidrogeno.
213
FÍSICA I
10.12 EJERCICIOS:
1.
Convertir 300 l/min en cm³/s.
Respuesta: 5000 cm³/s
2.
¿Cuál es el caudal de una corriente que sale por un caño de 0,5 cm de radio
si la velocidad de salida es de 30 m/s?
Respuesta: 23,55 cm³/s
3.
Si en el caño del problema anterior salen 50 l/min, ¿cuál es la velocidad de
salida?
Respuesta: 100,8 cm/s
4.
Calcular el volumen de agua que pasa en 18 s por una cañería de 3 cm² de
sección si la velocidad de la corriente es de 40 cm/s.
Respuesta: 2160 cm³
5.
Una corriente estacionaria circula por una tubería que sufre un
ensanchamiento. Si las secciones son de 1,4 cm² y 4,2 cm² respectivamente,
¿cuál es la velocidad de la segunda sección si en la primera es de 6 m/s?
Respuesta: 2 m/s
6.
El caudal de una corriente estacionaria es de 600 l/min. Las secciones de la
tubería son de 5 cm² y 12 cm². Calcule la velocidad de cada sección.
Respuesta: 2000 cm/s y 83,33 cm/s
7.
La velocidad de una corriente estacionaria es de 50 cm/s y su caudal de 10
l/s. ¿Cuál es la sección del tubo?
Respuesta:2000 cm²
8.
Por un tubo de 15 cm² de sección sale agua a razón de 100 cm/s. Calcule la
cantidad de litros que salen en 30 minutos.
Respuesta: 2700 l
9.
Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 4,9
cm de la superficie libre del líquido.
Respuesta: 98 cm/s
214
FÍSICA I
10. Por un orificio sale agua a razón de 180 l/min. Si se mantiene constante el
desnivel de 30 cm entre el orificio y la superficie libre del líquido, ¿cuál es
la sección del orificio?
Respuesta: 12,3 cm²
11. Calcular la presión hidrodinámica de una corriente estacionaria de 60 cm/s
de agua, si la presión hidrostática es de 11,76 N/cm².
Respuesta: 11,78 N/cm²
12. La diferencia de presión de una corriente estacionaria de petróleo es de 120
gr-f/cm². ¿Cuál es la diferencia de altura (δ = 0,92 gr-f/cm³)?
Respuesta: 1,30443 m
13. Por un conducto recto circula agua a una velocidad de 4 m/s. Si la sección
del tubo es de 2 cm², ¿cuál es el caudal de la corriente?
Respuesta: 800 cm³/s
14. Por un caño de 5 cm² de sección circula agua a razón de 30 cm/s. ¿Cuál
será el volumen del agua que pasó en 25 s?
Respuesta: 3,75 cm³
15. Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal
constante. Considerando dos secciones de esa cañería, S1 = 5 cm² y S2 = 2
cm², ¿cuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8
m/s?
Respuesta: 20 m/s
16. El caudal de una corriente estacionaria es de 18 dm³/s, si las secciones son
de 4 cm² y 9 cm², calcular las velocidades en cada sección.
Respuesta: 45 m/s y 20 m/s
17. Calcular la sección de un tubo por el cual circula un líquido a una
velocidad de 40 cm/s, siendo su caudal de 8 dm³/s.
Respuesta: 200 cm²
215
FÍSICA I
18. Por un caño de 12 cm² de sección llega agua a una pileta de natación. Si la
velocidad de la corriente es de 80 cm/s, ¿cuánta agua llegará a la pileta por
minuto?
Respuesta: 57,6 dm³
19. Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 6 cm
de la superficie libre del líquido.
Respuesta: 108,4 cm/s
20. ¿Cuál será la sección de un orificio por donde sale un líquido si el caudal es
de 0,8 dm³/s y se mantiene un desnivel constante de 50 cm entre el orificio
y la superficie libre del líquido?
Respuesta: 2,55 cm²
21. Calcular la presión hidrodinámica en un punto de una corriente estacionaria
cuya velocidad es de 40 cm/s y su densidad es de 1,15 g/cm³, si la presión
hidrostática es de 0,5 kg-f/cm².
Respuesta: 500,93 gr-f/cm²
22. Por un caño recto circula agua con un régimen estacionario tal que se
verifica una diferencia de presión de 100 gr-f/cm². Calcule la diferencia de
altura debida a la presión estática.
Respuesta: 100 cm
23. Un recipiente cilíndrico de 3 m de alto está lleno de agua, a 90 cm de la
base se le practica un orificio de 2 cm² de sección, determinar:
a) ¿Cuál será la velocidad de salida?
b) ¿Cuál será el alcance del chorro?
Respuesta: a) 6,41 m/s
b) 2,74 m
24. Por un caño de 5 cm² de sección surgen 40 dm³/minuto. Determinar la
velocidad con que sale ese chorro.
Respuesta: 133,3 cm/s
216
FÍSICA I
25. Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55 gr-f, ¿cuál será el
empuje que sufrirá en éter? (δ = 0,72 gr/cm³).
Respuesta: 39,69 gr-f
26. Un cuerpo pesa en el aire 289 gr-f, en agua 190 gr-f y en alcohol 210 gr-f.
¿Cuál será el peso específico del cuerpo y del alcohol?
Respuesta: a) 3,11 g/cm³
b) 0,77 g/cm³
27. Un cubo de aluminio (δ = 2,7 g/cm ³) de 3 cm de lado se coloca en agua de
mar (δ = 1,025 gr/cm³), ¿flota ó se hunde?
Respuesta: se hunde
28. El cuerpo del problema anterior se coloca en mercurio (δ = 13,56 gr/cm³),
¿flotará?
Respuesta: si
29. Calcular la tensión superficial de un líquido que mediante una varilla móvil
de 5 cm equilibra una fuerza de 2,5 gr-f.
Respuesta: 0,5 gf/cm
30. Calcular la altura a que ascenderá el agua en un capilar de 0,5 mm de radio.
Respuesta: 3 cm
31. ¿Cuál será la tensión superficial del alcohol cuya densidad es 0,8 g/cm³, si
asciende mediante un capilar de 0,3 mm de radio hasta 2 cm?
Respuesta: 23,5 dyn/cm
32. Calcular el radio de un capilar tal que colocado en mercurio este asciende 5
mm. Si el peso específico del mercurio es de 436 dyn/cm³.
Respuesta: 1,3 mm
33. ¿Cuál es la tensión superficial de un líquido que es equilibrado en una
boquilla mediante una varilla de 3 cm con una pesa de 2,8 gr-f?
Respuesta: 0,9 gr-f/cm
217
FÍSICA I
34. ¿Cuál es la altura a que llega el éter en un capilar de 0,8 mm de radio
(δ=0,7 gr/cm ³), si su tensión superficial es 0,016 gr-f/cm?
Respuesta: 0,9 cm
35. Calcular la tensión superficial de un líquido cuya densidad es 0,75 gr/cm³ y
asciende por un tubo capilar de 0,5 mm hasta 1,8 cm.
Respuesta: 0,0351 gf/cm
36. La tensión superficial de un líquido es 26 dyn/cm y su densidad es 1,2
gr/cm³. Calcular el radio del tubo capilar mediante el cual asciende 2,5 mm.
Respuesta: 0,1 mm
37. Un prisma de hielo posee una densidad de 0,914 g/cm³, colocado en agua
de mar (δ = 1,025 gr/cm³) en forma vertical, flota. Si sus dimensiones son 4
m de alto, 1,2 m de ancho y 2 m de largo, determinar que parte del prisma
emerge del agua.
Respuesta: 0,316 m
38. Un prisma de hielo colocado verticalmente en agua de mar, sobresale 2,5
m, determinar su altura sabiendo que la densidad del hielo es 0,914 gr/cm³
y del agua de mar gr/cm³.
Respuesta: 23,08 m
39. Un barco pasa de agua del mar (δ = 1,025 gr/cm³) al agua de río
(δ=1gr/cm³). Si desplaza 15000 toneladas de agua, determinar que volumen
extra desplazará en agua de río.
Respuesta: 12000 m³
40. Una boya esférica cuyo volumen es de 6,2 m³ pesa 15400 N y el aparato
luminoso pesa 3600 N, ¿cuál será el peso del lastre para que se hunda hasta
la mitad en agua de mar? (δ = 1,025 gr/cm³).
Respuesta: 12775 N
218
FÍSICA I
41. Una barcaza de río se hunde hasta 0,8 m, está cargada y pesa 200000 N,
¿cuál será el área horizontal de la misma?
Respuesta: 25 m²
42. Un submarino desciende en el agua de mar hasta 10,92 m, ¿cuál es la
variación de presión que soporta (δ = 1,025 gr/cm³)?
Respuesta: 1,098 Pa
43. Una esfera de hierro pesa 150 gr-f (δ = 7,8 gr-f/cm³) y flota en mercurio (δ
= 13,6 gr-f/cm³), ¿cuál es el volumen de la esfera que sobresale de la
superficie del líquido?
Respuesta: 8,21 cm³
44. ¿Cuál será el volumen de un témpano (δ = 0,92 gr/cm³) que flota en agua
de mar (δ = 1,025 gr/cm³) y de la cual sobresalen 84 m³?
Respuesta: 820 m³
219
FÍSICA I
220
FÍSICA I
CAPÍTULO 11
LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA
El equilibrio termodinámico de un sistema se define como la condición del
mismo en el cual las variables empíricas usadas para definir un estado del
sistema (presión, volumen, campo eléctrico, polarización, magnetización, tensión
lineal, tensión superficial, entre otras) no son dependientes del tiempo. A dichas
variables empíricas (experimentales) de un sistema se les conoce como
coordenadas termodinámicas del sistema.
A este principio se le llama del equilibrio termodinámico. Si dos sistemas A y B
están en equilibrio termodinámico, y B está en equilibrio termodinámico con un
tercer sistema C, entonces A y C están a su vez en equilibrio termodinámico.
Este principio es fundamental, aun siendo ampliamente aceptado, no fue
formulado formalmente hasta después de haberse enunciado las otras tres leyes.
De ahí que recibe la posición 0.
11.1 LA TEMPERATURA
No es una forma de energía, sino una medida de la cantidad de energía que posee
un cuerpo como calor. En otras palabras, si damos calor a un cuerpo, su
temperatura aumenta. La temperatura es un indicador de la energía cinética de
las moléculas. Cuando un objeto se siente caliente, los átomos en su interior se
están moviendo rápidamente en direcciones aleatorias y cuando se siente frío, los
átomos se están moviendo lentamente.
11.1.1 Termómetro
Un termómetro es un instrumento que sirve para medir la
temperatura, basado en el efecto que un cambio de
temperatura produce en algunas propiedades físicas
observables y en el hecho de que dos sistemas a diferentes
temperaturas puestos en contacto térmico tienden a igualar
sus temperaturas.
221
FÍSICA I
Entre las propiedades físicas en las que se basan los termómetros destaca la
dilatación de los gases, la dilatación de una columna de mercurio, la resistencia
eléctrica de algún metal, la variación de la fuerza electromotriz de contacto entre
dos metales, la deformación de una lámina metálica o la variación de la
susceptibilidad magnética de ciertas sales paramagnéticas.
El termómetro de dilatación de líquidos es el más conocido. Consta de una
ampolla llena de líquido unida a un fino capilar, todo ello encerrado en una
cápsula de vidrio o cuarzo en forma de varilla. La sensibilidad que se logra
depende de las dimensiones del depósito y del diámetro del capilar, y en los
casos más favorables es de centésimas de grado.
11.1.2 La escala Celsius
Propuesta por el astrónomo sueco Anders Celsius (1701-1744). Esta escala se
define con un grado de la misma amplitud que las escalas Kelvin y de los Gases
Perfectos, pero estableciendo su origen en el punto de fusión del hielo, o sea,
mediante la relación con la temperatura kelvin de la forma:
El kelvin es la unidad de temperatura de la escala creada por William Thomson,
quién más tarde sería Lord Kelvin, sobre la base del grado Celsius, estableciendo
el punto cero en el cero absoluto (−273,15 °C) y conservando la misma
dimensión para los grados. Fue nombrada en honor de Lord Kelvin, quien a sus
24 años introdujo la escala de temperatura termodinámica.
222
FÍSICA I
Fórmulas de conversión a la escala Kelvin
Conversión de
a
Fórmula
kelvin
grados Celsius
°C = K − 273,15
grados Celsius
kelvin
K = °C + 273,15
Kelvin
grados Fahrenheit
°F = K × 1,8 − 459,67
Grados Fahrenheit
Grados Celsius
°C = (°F − 32) / 1,8
grados Fahrenheit
kelvin
K = (°F + 459,67) / 1,8
Para intervalos de T más que medida de T
1 K = 1 °C y 1 K = 1,8 °F
11.1.3
La escala Fahrenheit
Esta escala, propuesta por el germano-polaco Daniel Gabriel Fahrenheit (16861736), difiere de las anteriores en la amplitud del grado y también en el origen.
Puede relacionarse la temperatura Fahrenheit con la temperatura Celsius
mediante la expresión
En este esquema comparativo puedes ver las escalas más importantes:
223
FÍSICA I
11.2 EXPANSIÓN TÉRMICA DE SÓLIDOS Y LÍQUIDOS
Para pequeñas variaciones de temperatura, se producirán pequeñas variaciones
de longitudes y volúmenes. Para cuantificar este efecto se definen:
Coeficiente promedio de expansión lineal:
donde L1 es la longitud inicial
Coeficiente promedio de expansión volumétrica ( β )
Para un sólido se tiene que:
224
FÍSICA I
BIBLIOGRAFÍA
1.
MARCELO ALONSO Y EDWARD FINN. (1972). Mecánica.
Volumen I. Editorial Addison – Wesley Iberoamericana.
2.
RAYMOND A. SERWAY– ROBERT J. BEICHNER. (2003). Física
para Ciencias e Ingeniería, Volumen I. Editorial McGraw-Hill. 3°
Edición.
3.
PAUL ALLEN TIPLER – GENE MOSCA. (1999). Física para la
ciencia y tecnología. Volumen I, Editorial Reverté. 5° Edición.
4.
FRANCIS W. SEARS – MARK W. ZEMANSKY – HUGH D.
YOUNG – ROGER A FREEDMAN. Física universitaria. Volumen I.
Editorial Pearson – 11° Edición.
5.
JONES & CHILDERS. (2001). Física contemporánea. Mc Graw Hill.
3° Edición
6.
INTERNET. Física. Varios.
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