Download exponentes y ,radicales

..
/
, . UNIDAD'
I
VI.
EXPONENTES Y ,RADICALES
, I
'.
~
__1
Int,oducción
\
.
En la Unidad IV hablamos de potencias y definimos al exponente como un f4número de
veces", eso '10 limitaba a ser un número natutal y limitaba también la flexibilidad de las
operaciones con potencias. En esta unidad, extendemos la idea de exponente hasta l~s
números racionales, y conseguimos establecer la correspondencia uno -a uno entre las potencias
con los racionales como exponentes y los radicales, mediante ellsomorDsmo, facilitando ast las
op~raciones y la simplificaci6n de expresiones algebraicas.
El concepto de Isomorfismo ha sido de gran utilidad para la misma matemática
simplificandooperaciones como en esta unidad lo presentamos al - conseguir operar con
potencias en lugar -de radicales cuando astconviene; también se ha conseguido aplicar la
matemática en otras áreas del conoCimiento, algunas como en la música, en donde no se veta
relaci6n alguna, gracias al estudio comparativo de las estructuras que establece el concepto-de
isomorfismo.
, ,
\
/ ,
63
> ,
I ~I
,Objetivos
,
generales
Al terminar de estudiar esta unidad. el alumno:
1. Simpliticará expresiones algebraicas con exponentes mediante la aplicaci6n de las leyes de
los exponentes.
2. Srmpliticaráexpresionesalgebraicascon radicales.
,
3. Resolverá operaciones con exponentes y radicales. utilizándo el isomorfismo de 'dos
conjuntos.
.
,.4. Resolverá Qperaciones de suma. resta. multiplicaci6n y divisi6n con exponentes y radicales.
"
64
'
Diagrama
Potencia
temático
~structural
Exponentes enteros.
Leyes de los exponentes
a (R=:>a:l>O_.
Rad ¡cal es
Raíz principal
Isomorfismo
Modelos
m~temáticos
.
ExponeIJtes racionales.
Leyes de los radicales
Simplificación de radicales
OperacIOnes c~n radicales(+, -, .,.;.}
Rac'ionaJización
65
Glo..rlo
PQtencia: Es la representaci6n de un producto
de factores iguales y se indica x. x .:t ...= xn'
.
Base. Al factor que ha de multiplicarse por s1 mismo.
Exponente. Es el nÚmero de veces que ha de multiplicarse
el factor cuando
es pOlldvo Y'el
nÚmero de veces que ha de multiplicarse' el recfp~o cuando es negadvo.
."
Exponente cero. Una forma de potencia para representar a la unidad XO
1
Radical. Es elsimpolo
que ,nos representa la operaci6n de obtener una- ra1z enésima.
b,
~aiz enésima. Si n es un entero positivo y si a y b f:: R y.satisfacen la ecuaci6n an
=
~
=
entoncessedice que a es una raiz enésimadeb.
.Raiz enésima principal. Se dice que
a es la raiz enésima 'principal
nf::N,
.
d,é'b si y s610 si an
.
=
b y si
lndice del radical. Es el nÚmero que indica laraiz q~e hay que obtener del factor o.exprésión.
Radicando. Es la expresión o factor que se encuentra dentro delradical.
Sistema matemático. Está cOl)stituido por un conjunto de eiementos y la definición 'de Un, o
más operacionescon esoselementos.
.
Correspóndencia biunivoca. Es la reÍación uno a uno entre los elementos de dos conjuntos.
Isomorfis'mo. Cuando existe correspondencia biunívoca en~re los eleu1entos de los conjuntos y
esta correspondencia se conserva al efectuar una o más operaciones entre los elementos (sin
que deban ser las mismas operaciones)"se dice que esos dos conjuntos tienen la mism" forma
~ existe isomorfisl1)oentre ellos para esas operaciones.
Modelo matemático. Es una representaci6n pc;>rmedio de simbolor matemáticos abstractos de
. un fen6meno fisico o de una retaci6n de ideas cU,alesquiera.
,.
.I
66
.
M6dulo 5
OBJETIVOS
.
ESPECIFICOS
Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:
1.
Obtendrá
números reales mediante la aplicaCión de las' leyes de los exponentes.
1
2.
3.
Aplicará las d~finiciones
enteras.
=
aO
.
. an en la obtención
.
1 Y a-n
.
de expresi~nes
algebraicas
Aplicarálas leyesde los exponentesen la simplificaciónde expresionesalgebraicas.
4. Aplicará las leyes de los; exponentes en I~ evaluación de expresiones algebraicaS.
,
EsaUEMA RESUMEN,
'EXPONENTÉSENTEROSYEX~ONENTECERO
.
Definiciones:
Para todo a E R,. a =1=
O, aO =' 1
.
1 .
Para todo a E R~ a =1=
O, a-." = an
.~
LEYES DE LOS EXPONENTES:
.
Para todo a, b E R, a =1=
O Ytodo n, In E R y bases 'diferentes de Opara exponentes ne.
gativos o cero.
.
.
A)
am an
B)
(amya = am . n
C)
(a . bya = an . bn
D)
;:
am + n '
am
a1t = am - n
67
5.1 E"ponentes enteros y exponente cero.
Leyesdeexponentes.
'
..
.
En el tema Multiplicación de expre~ionesalgebraicas de la Unidad
IV, definimos una potencia (aff)como la representaci6n del. producto
de un factor repetido (a), al que llamamo~ base de la potencta y al
número en la parte superior. derecha (n), exponente de la potencia que
nos indica las veces que se repetia la base como factor.
Ejl'mplo:
x2 = X . x, (a + 3)3 = (a + 3) (a + 3) (a + 3).
Obtendremos muchas ventajas si el'número natural del exponente lo
consideramos un número entero cualquiera, n E E, y probamos que
los teoremas demostrados para multiplicar y dividir potencias, (donde
Il E N), se .cumplen igualmente al tomar n E E. .Recordemos la
parte del Teorema 4-4 que d~ce
am.
'.
n, a =1=o.
an = 1, SI m
Exponentés
enteros
=
y si la escribimos en la forma tradicional de las implicaciones. Si
=n
m
-a'" =
afn
~
a1U-n
= = 1, a '* O
aO
esto no es posible ya que m no puede ser igual a 1,:1.
pero vodemos usar esta
para justificar las siguientes definiciones:
relación y la ecuación
tr-n
~
.,Definlción: Para todo a E R, a =1=O, 0° = 1
Exponente
ce~oy ,
Definición: Para todo a E R, a
I
exponente
negativo
,
.
=1=O, n
'E
E, a-11= 1an .
Está segunda definición nos seftala que el signo negativo en.ei expo-
nente, es una forma de ind~carque se debe t~mat el reciproco de esa
potencia.
:&templos:
a) So = 1; (2 xyH)o = 1; (x~+ 2)o = 1
1
2
,1
1
b). 2x-H=12
x8 = xs; (2x)-:J,= (2X)8 = 8x3
.' .
e)
, 2
d)
68
1
(x:.!+3)-
-x-
.
l..
= x2+ 3 '
1
= -'x2'
(
-
(3
x) -:.!-
2 ) -2
xy
1
-
-
1
(3xy2)2
=
_
'1
- (-:-X);2 ,x 2
,-
-
~
yx2 y4
"
Con las dos definiciones, )as cuales son consistentes con respecto a,
nuestros postul~dos y definiciones anteriores podemos ,probar, que
" nuestros' teoremas acerca de multiplicación y división de potencias se
cumplen y aun se simplifican al considerar n, m' E
E.
Leyes de los
exponente~
Teorema6.1. Leyes de los exponentes.
i
todo a, b E R, a =1= O Y todo n. m E E Y basesdife-
~.
"
'
'Para-
rentes de O para' exponentes neg~tivos o cero.
A)
B)
,
. an = am + n
a
(am)n = am
.
=
C)
(a b)n
D)
-am =
an
am.-n
'
E)
(!.b
= bn
an-
.
an
n
, '
. bn
La, demostra~ión de este teorema al que llamamos Leyes' de los
exp.onentes, ,puede hacerse usando las detiniciones de potencias de lá .
Unidad IV y las dos definiciones aqui prese~tadas. En los ejemplos
siguientes se expresan las potencias eliminando exponentes cero o
negativos. identifique con cúidado' lo que representa a la baR én las'
potencias. sobre todo cuando hay. signos negativos para que no se
equivoque al obtener el número. '
t;iemplos:
a)
b)
c)
.
.
(X')2
= x6 , {X2)-2 ::: ~-4
I
"1
= x4
.
1
1-
(3xy2)3= 33x3y6 = 27x3y6,(2x3y}-2 = 2-2x-6y-2 = 22'X6y2= 4X6'y2
d).
En la manipulación de las expresiones algebtaicas unas veces es
deseable escribirlas usando exponentes negativos y cero p~ra que no
aparezcan fracciones. pero en otras ocasiones convendrá. más usar sólo
EX'ponentes
negativos
y cero
'exponentes positivos ~lInque tengamos que vérnoslas co~ las fracci(;mes;
la experiencia y habilidad en el manejo de las expresiones algebraicas y
69
las leyes de .,101exponentes, nos seftalarán la forma más conve~iente de
usar estas ideas en cada caso.
&templos: Simpíifique las' siguientes expresiones y escriba los resultados
sin exponentes cero o negativos.
1)
5x' y-a
3x-'
(Usaremos dos métodos; el alumno escogerá el que le parezca'-más
prácticosegún el problema).
1er. Método
=
.
-
5x4
3 .yO fa
aO= 1 Y
4Y D
5x4
- 3y'
20. Método
S,xay-3 '3x-2
5 ' 1
X 'y3
3. -¡-
(¡-n
= anl
.
, X2
5X2
! =
y3
3
"72
.."
Ley A
Cualquiera que sea el método, el resultadopnal.debe ser el mismo y
en ambos, al aplicar la definicfón de a-n = an' cambiamos el número
del numerador al denominador o viceversa, s610 que debe observar que
esto es válido únicamente con factores. El cambio simultáneo de un factor al denom~n~dor y ~l signo de su expon~nte no cambian ~l valor d~'la
expresión.
2)
70
=y,
= xy-t .=--.!=~
x-Iy
X-I
~Recuerdt:, si el exponente es,cero
o negativo la base debe ser
'diferente de cero.
1er. ldétodo
1
a-n
= an
Leyes B Y e
1
=~4
x"
-
x"
'
4"y 2
'En el ejemplo siguiente se pr~(ende resa1ta~ el hecho de que cambiamos. de numerador a. denominador o viceversa. s610 faetores.'
Ejemplo:
x-a -+ y-a =1=X + y
DesarroUol
X-'2
+ y-2
x-I +Y-,I
x2 + y2
x2y2
- x2 + y2
X + y - .x2y2
xy\
.
xy
X
+y
=
X2+y2
xy
\
1
x+y
-
- x2 + ya
- xY (X + y)
71
REACTIVOS DE AUTOEYALUACION
.
.
Evalúe cada uno de los problemas siguientes. Use las leyes de,los exponentes para obten~r un número real sin exponentes negativos o cero.
.
,
1.
25
7.
4-3
2.
(2x)3
8.
(103)0
,3.
4.
(- 2y)2
5.
(2y-I)-1
6.
-I x2y-4
2-2X-3y3
.
4Y
9. xy
"
10. (4 . 103)(3 . 10-5) (6 . lO")
(-4X)-2
. 11. 35 + (-3)-2
12.
'13.
(2.)-2
S
14.
(!3 r3 (!2 r"
15.
()_I
2-3
50 . 5-2
En los prpblemas siguientes escriba una expres~6n equivalente' sin usar fracciones.
SimpUfique.
..
5
16. J(3
17'5
19.
20.
8x2
2x5
1
4x3y-2
3x-1y3
18.
pn + 1
p2 n +3
. 21.
am + 3
am-I
Simplifique las fraccion~s que sé dan en seguida de modo que en el resultado no existan
exponentes negat~voso cer.o.Factorice cuando sea necesario.
"\
22. a-I + b-i
23. (a + b)-I
25. xn -yn
x3n - y3n
26. ab-2 + a-2b
a-I + b-I
,
24.
x-2 - y-2
x-2 y-2
.
Evalúe el siguiente problema. Encuentre el numeral ,que representa la expresión.
27:
(- 3)2 (- 2x)~!I
29.
-3pq
(x+ 1)-2
,para x
='2
32p
30.
72
+ q . -32q
para p
.
=5
3° x-1r4+ 4X-2 para
x = 3
'
28~
Y q
3a~ (-2~)-1
=3
para a
= -2
/
~
/
Módulo 6
OBJETIVOS
ESPECIFICOS
Al término del estudio de este m6dulo, el 'alumno:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Explicará cuál.es la raiz enésima de un número.
Explic.ará por qué no. se pueden obtener ratees cua4radas o pares de números negativos.
Explicará cuál es la raíz prmcipal enésima de un número positivo o negativo.
Señalar.á de una raíz cuál es el radical y su indice, y cuál el ~adicando.
Mencionará la utilidad del valor.absoluto en operadones con radicales.
Obtendrá la raíz principal de una serie de expresiones dadas.
ESQUEMA RESUMEN
RADICALES
-
.. I
"1
DEFINICIONES
a,
Si
I
b E: R
Si n es un entero positivo y si a y b son E: R y satisfacen la ecuaci6n
entonces se dice que aes una raiz enesima de b'.
.
n E: N y tin = b ==> a ~sla raizenésimade b
.
Sib E: Pexiste otro número positivoúnico "a" tal que an =
raíz principalenésimadeb yse representa como:
tf
--{fFi
b. Este
an =. b,
.'
númeto se llama lá
=a
Si b< O y n es' impar, existe .otro número negativo único "a" tal que
Ese número se llama ia raiz principal eriésima de b, se repres*,nta como
tanto a comob son negativos.
an == b
~ donde
\lb= a
a es la raii enésima principal de b si y s610 si an
a, b E: P.
,
n E: N Y
= b y si n E: N
.y
es par entonces'
'.
,lb' =. a <=:::>
af1
=b
I
Y (n es par==> a, b E: P)
6.1
.
Radicales
En. el m6dulo anter.ior ampliamos
nuestrás
definiciones de
exponentesa exponentesnegativosy nulos; ahora las generálizaremosa
exponentes racionales. ya que como hemos visto antes los números reales
tienen diferentes formas de representarse. Los exponentes racionales nos
conducen a.una. de ellas. U_amadaforma radical. 'muy generali2;ada y su
utilidad se manifiesta para representar los núme,ros irracionales. El
término ralz tien~ un significado muy especial en matem~ticas. como
podemos ver en la siguiente definici6n.
Deftnlclónl
Rarz
enéslma
.
Si n es un entero positivo y si a y b son E R y satisfacen 1a ecuaci6n
an
b, entonces se djce que. a es una raiz enéstma de b.
=
I
.n E N y.an::::
b~
a es la raiz enésimad.e.b
.
De acuerdo con la definici6n ánterior podemos decir - que:
y el exponente 2 E N, entonces 2 es una .raízcuadrada de 4
22 =4.
pero. (- 2)2
=
4 Y el exponente
2 E N,. entonces
-2 también
es una
cuadrada de 4.
I'IÚZ
'
.
En .la misma forma podemos considerar q~e siendo 34 = 81 y
(-3)4 = 81 en~onces3y-3 son ambosraíces cuart. de 81. .
¿Qué número elevadoa la sexta potencia nos da 64?
¿Cuáles serán entonces las raices sextas de 64?
. .
. .
26 = 2 2 2 . 2 2 2
= 64
= (- 2)(- 2) (- 2) (- 2) (- 2) (- 2)
(__2)6
= 64
¿Qué núnier~.elevado al'cuadrado nosda-9?
El t~orema
3-13 (-aX-b)
= ab.
nos dice ,que el producto
de dos
negativos o de dos inversos de dos números 'es positivo o el producto de
los números respectivamente. y los otros teoremas de esa ~ecci6n nos
llevaron a 10 que lIamamos las "reglas de los signos' en la.
multiplicaci6n".¿Qué conclusiones podemos deducir como consecuencia
de la respuesta a la. pregunta ¿qué número real al cuadrado nos da -9?
32
Exponentes
pares
=9
,1
(-3)2. = 9
No hay núméro real que multiplicado por si mismo o elevado al
cuadrado dé un número negl:'tlvo,de donde se deduce que siempre que el
. exponente sea par, el res~ltado e.s positivo por lo que no .podemos
encontrar raíces cuadradas Undice 2) de números negativos.
¿Cuál es la raíz cúbica de -8? '1 es equivalente a preguntar ¿cuál es el
núme~oque eleva~oal cubo nosda-8? Respuesta:~2
74
.
J
.
(-'2)' = (-2) (-2) (-2) = - 8
Porque
¿Y la raíz cúbica de-64?
(-4)
(-4)'
(-4) (-:-4) '(-4)
-64
Por tOdos los ejemplos anteriores y la defiftici6n de raíz enésima de
un número concluimos que:
=
=
De un número positivo se obtienen dos raíces reales, o s610 una,
dependiendo de que n sea par o' impar ~espectivamente y que de un
número negativo se obtiene una raíz negativa o ninguna dependiendo de
<lue n sea impar o par respectivamente.
,
E1.templos:
Rafcesde
números
positivos y
negativos
'.
a) Sea 64 E P, las raíces cuadradas (n par) serán 8 y -8 porque
=
=
82
(-8)2
64.
Sea 8 E P, la raíz'cúbica (n impar) es 2 porque es el único número
b)
real, que al cubo da,8.
c) ...27 ~,P, la úni~a ra-íz cúbica es -3 ,porque(- 3)3.= - 27;
3'
d)
-64
=1=- 27 .
f/: P, la raíz cuadrada
no existe en el conjunto, de los números
reales (n par).
En general se puede decir que existen exactamente n raíces
enésimas de cualquier número real, s610que no todas son números reales
y quedan fuera del ca~po que estamos estudiando, por lo tanto es muy
conveniente que cuando esté trabajando con números reales tenga
muy presente la siguiente:
Definición:
Si b E P existe otro número único ~'a" tal que a" = bó Ese
número se llama la raíz principal enésima de b y se representa como
-
,
CVZ;' ,=
Rafz
principal
a.
Ejemplo: ~.
La rJÚzprlnc'pal cuarta de 16 es un !1úmero.positivo que elevado a la' cuarta potencia' da 16, es decir 2. Cuando--2 se eleva
a la cuarta potenCia también da 16; pero siendc;>un número negativo no
lo podemos llathar la raíz principal de 16, de ese m~do cuando usamos
radicales representamos a números únicos.
Definición:
Si b < O yn es impa~,existeotro número negativoúnicQ"a" tal que'
=
an
b. Ese número
se repres~nta como
se llama
~ = a, donde
raíz
tanto
principal
a como
enés'ima de
b,
b son negativos.
Rafz
principal
enésima
75
=
,\/ -
Ejemplo:
27
- 3 que es' la raiz principal de -27
Ya vimos antes',como siendo b negativo y n par la raiz enésima de b
no existe..
,
(~.
no exis,te cuando n es par yb
< .o).
Ejemplos:
1.
</- 27 es el número que elevado al cubo da
{/-27 = -3.
2.
\! : 16 no existe entre los elementos de R ya que n es par~
- 27,
es decir
(- 3).
Todo lo anterior se puede sintetizar diciendo :,
Definición:
,
a es
la raiz enésinla principal de b si y sólo si a?
n E N y par entonces a, b E P.
n E'N y !!b
;En donde
..¡-
=a ~
an'
=b
=b
y si
y (n es par =*a, bEP)
se llama radical.
/
j
Al número n se le llama 6ullce del radical y no se acostumbra
escribirlo cuando es el 2.
A b o a la expresión debajo n contenida en el radical la llaJ;I1amos
radicando.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
J9 = 3, se lee raíz cuadrada (n = 2) de 9 igual a 3.
~ = 3, raíz cuarta'(n = 4) de 81 iguala 3.
J:'4 no existe,raíz cuadradade -4 no existe.
<f::s = - 2, raíz cúbica, de - 8 igual - 2.
Como consecuencia 'o conclusión deducida de nuestra definición de
raíz principal de indice par, en el sentido de que ésta es siempre un
número posi'tivo,situación similar a la del valor de una distancia para la,
que se introdujo el concepto de valor absoluto, podemos emplear ese
concepto para a~egurarnos de tomar ia raiz principal cuando usamos
literales. Consideremos la detinición de nlíz enésima de
b.
fYb
=a
~
an
=b
y (n 'es par =>a¡b E 'p)
Podemos c:teducirque cuando b
en la forma siguiente;
I '
~
76
= xn
la doble implicación queda
'= a <=>an = xn y (n es par =>rI,X E P)
=
De la igualdad de potencias an
xn concluimos que las bases
x, sólo qJe si n es'par. ¿cómo asegurarnos de que se
cumpla c'on: (n es par ~ a, x E P)? Sabemos que xn E: P porque n ,
es par, ¿p~ro el número X'!
=
son iguales. a
.
a
Una forma de asegurarnos de que se' cumpla será escribir
y entonces
.
= Ix'
/
~=Ixl
E.jemplo:
x = -5 ~ x2 = (- 5)2= 25
'x2 E P pero' x
Entonc~s
~P
v(- 5)2=',1-.5 I = S. "
.\
La raíz cuadrada de
valor absoluto de - S
Sea x E \R => .JX2
=
r
l
En otras palabras ../Xi
,
-5
al cuadrado es el
x, si x >- O
- x, si x < O
= O'
O, si x
=rx I
:&templos:,'
a)V8la2 = I 9a 1, de este modo a puede rllpresentar un número positivo o negativo y de cualquier mÓdo nuestra proposición es verdadera.
0"
h)
c)
va2 + 2a + 1,~ V(a + 1)2 = Ia + 11
~
-=
V(3X2)2= 3x2'
d)
No t'ue necesario tomar
valor absoluto ¿por qué?
el
Este es un caso semejante al .
ejemplo anterior: siendo X 2 un
. número siempre positivo por su
:exponente
considerar
faro no es necesario
al valor absoluto.
=
e) Si.suponemos que ..¡;;.
X (sin tomar.~l valor ab~oluto), par~. todo
.
X E R, cuando x ==-1 tendríamos:
V.(_1)2==-1 es decir v(- ¡j2' = V(-l) (-1) = 'vI = -1
cnto~ces tendríamos dos raÍ<.:,esprincipales para 1; -1 Y 1 lo oual es falso
pues cóntradice nuestra det1nición: n es par ~ a. p E P. aquí
a = -1 y -1 ~ P.
.
'
77
f)
J (a ,.. 3)2 = la:" 3 I Y Ia - 3 I =1=
a- 3
'para algUnosvalores de a.
g)
a > 3, v(a
-
3)2
=a
'...;3.
Una vez ,condicionados los va.
lóres de a de modo que. a.3
sea positivo, no es necesario
tomar el valor absoluto.
"
'
h)
i)
j)
.
.
~ =x
~
= 24S
{/(x - 2y)4 = Ix - 2y.1
\
'
REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION
1.
2.
.
¿Qué entiende por la raíz enésitna de un número? ¿Y por la raíz cua.
.
.
drada? ¿Y por la cúbica?
¿Cuál es la raíz enésimaprincipal,de un número? Explique.
.
En los problemas del 3 al 22 escriba la . rafzprincipal de.la expresión
que se da. Recuerdeque es un número' único.
3.
4.
v'T6
¡¡¡
7.
v(-4)2
8.
v-64
9.
-32
78
.
,
I
16.
-27x3
Vx4 y2
17. 427a3b'
64
10. v 16a2
12.
14. .
1S., v64x'
.\
6.
11.
"
H
5.
13. v-42
18. va4kb2k, k e N
19..
!
20.
-8{J'kb3kC9k, k
v(x - 2)2, X
eN
2
21.' v(x - 2)2,.x < 2'
22. va2 + 4a + 4', a E R
.
.
~
r
M6dulo 7
f'
OBJETIVOS
ESPECIFICaS
Al terminar de estudiar este mddulo. el alumno:
1.
2.
3.
4.
S.
6.
Detinirá 10que es un sistema matemático.
Explicará a qué se refiere el isomorfismo de dos conjuntos.
Explicará qué es un modelo matemático.
Explicará el concepto de exponentes racion,ales. .
Explicará la ampliación de la ley de exponentes. .
Aplicará el conocimiento sobre exponentes racionales. en la obtención de expresiones algebraicas equivalentes con radicales.
7., Simplificará ~xpresiones algebraicas con exponentes racionales y radicales usando las leyes
de los exponentes.
ESQUEMA RESUMEN
-Isomorfismo de dos conjuntos
-Modelo matemático
.
-Exponentes
-Ampliación
Para todo
racionales
de la-ley de los exponentes
- a, b E: R
a, b :::/: O Y m~ n f.=1):
am.. an
= am+n
(am ) n
= am.n
(ab)n = anbn
am
-
,
= am-n
a"
(-r-::
79
7.1 Isomorfismode dos conjuntbs. Exponentes racionales
. Un conjuntode
elementos~la definici6nde una o más operaciones
con esoS elementos nos sirve para constituir lo que se llama un sistema
'"atemático; existen infinidad de sistemas mátemáticos y a muchos d.e
ellos s~ les ha encontrado una aplicaci6n práctica, ya sea en la.tisica, la.
quimica, la economia, la lingUistica, la informática, etc~, aun en las
artes hay aplicaci6n de los sistemas matemáticos, y a E;SOSe debe la
importancia' de estudiar la estructura de esos sistemas matemáticos y
poder así eS~ábl.ecercomparaci6n con los conjuntos de fen6menos tlsicos. o de elementos artísticos y de ahí el descubrÍlpiento de catres.
pondencia entre los elementos de esos conjuntos y l~s elementos del
conjunto de números reales. Así se descubri6 que a cada sonido le corresponde un núme~o y viceversa, po~ ejemplo al sonido Do le corresponde
el
.
número 256 que son las vibraciones por ~egundo que nuestro oído
registra con e:;a nota m~sical. Dos sonidos simultáneos como el Do yel.
~,
que es ht r~laci6n da sus
MI se corresponden con el número
frecuencias. Del mismo modo se estableci6 tina correspondencia entre los
elementos de la.pintura, el color básicamente, y los números reales, pues
a cada color le corresp0!ldt>lIna frecuencia. s610que ahora la percibe la
.
vistaen lugar del oido.
Deflnic~ón:
Isomorfismo '.
Modelo
Cuando existe correspondencia blunívoca o uno a uno entre los
elcmentQs dé dos conjuntos y esta correspondencia se conserva al efectuar una o ~ás operaciones entre los elementos, (sin que deban ser las
mismas operaciones), se diCe que esos d.os conjuntos .tienen la misma
forma para esas operaciones o que existe isomorfismo entre ellos para
esas operaciones.
Lo anterior significa que un conjunto cuyos el~ment<?s.son fáciles .de
manejar en una operaci6n nos puede servir como mo4~lo del otro e~iel
que la operaci6n correspondiente pudiera ser muy dificil' o inclusive;
pudiera ser imposible provocar la operaci6n.8 voluntad, por ejem(Jlo:
pode.mos trabajar con números reales y creaJ,"-arte,pues las operaciones
válidas que efectuemos con los números tienen resultados que se
:complen en ~u conjunto isomoño sea mf¡sica o pin'tura y decimos que
trábajamos 'con un modelo matemático de una realidad ártistica.
Esto hace de las' matemáticas instrumento formidable para el físico
.
. maten16tiQo
.
.
que en muchas ocasiones no puede p'roducir un modelo real para
comprobar una teoria o. tiene q~e e~perar años a que la naturaleza h; .
produzca. en cambio los modelos matematieos SOl)prácticos. económicos
y accesibles~
Aun 'entre los mi;;¡rtlOssistenUts matemáticos el isomorfi's~o de
diferentes conjuntos nos permite simplitkar las operaciones en on
80
co~iunto, efectuando otras má:~simples en un conjuntollo8lorfo, (en el
tem~ Representación geométrica de los números reales, sin saberlo
aplicamos el isomorfismo entre R y A para "visualizar
. . las operaciones
( I
I I } L
graficándolas
-4 3 2 I o I 2 3 4 as operaciones con po tencuts o
.radicales presentan muchas dificultades y es conveniente buscar el
Isomorftsmo con otro conjhnto que nos permita simplificar el manejo de
esos elementos. Consideremos pues los siguientes conjuntos:
.
-, -, -I , I ,
M: conjunto 4e potencias enteras de x, x un valor.indeterminado.
E: conjunto de enteros.
M = {...,x-3, x-2 ,x-I,
xo, xl, x2, xl,u.}
E = {ui,-3, -2,
O, 1, 2, 3,H'}
.
t't
t
-1,
~ t t t
Analizándo la córrespondencla biunívoca entJ;e los elementos de
M y E y dos operaciones definidas en cada uno de ellos, podremos
establecer si existe IsomorOsmo entre ellos.
En el conjunto M están d@tinidasdos operacIOnes de acuerdo con el
teorema Leyes de los Exponentes, la multiplicación y la elevaCión de
.
potencias'.xm . xn = xm+n;(xm)n = xm..n (m, n, E: E)
La elevación,de potencias la simbolizamos con * (léase estr~lla) de
mododeescribii-(xm)ncomoxm * xn = xn =xnl.n (m, n, € E)
M es cerrado para esas dos ope\'3:ciones.
Como ya sabemos E es cerrado pa~a la suma y la multiplicación,
observemos entonces que hay correspondencia de e.s operaciones con
las dos mencionadas para M.
81
M
Es decir que la operación de sumar enteros corresponde a
In d~ multiplicat potencias enteras de un~ 'misnla base..
,
~
+E
.
111
. y lu de multiplk'ur cnteros 'corl'esponde a la de elevar a
UIH\
'potcllciaentera las pptenciasenterasde x.
'
M
E
Snbcl110spor el estud'io de 1L\estructura del conjunto E que las
ol'crnciullt:~ vistas cun1plen cpn todos los postulados de campo, excepto
el de inversos para la multiplicación.razón por la-cual se ampli6 este
cl''i11junto.formando el conjuntu D de los númerns racionales con cuyos
~Lcl11entossiempre son posibles las cuatro operaciones ,fundamentales.,
Entonces ampliemos también nuestro conjunto Mi considerando ahora
éx~ol1entes racionales para las potencias de X y formando asi el conjunto
a
,
que llamaremos 1 == {xi" la, b E E}. Verifiquemossi se conservael
Isomorfismo entre los conjuntos l y D para las operaciones ya discutidas.
,
x-2 .
1
3
1
¿ ~
i
'" x-i '.
.'
3
3
~
'1.
xi = x'
. -2, ...,x - i3 , ...,x -1, ...,x - i1 , ...,x o, ...,Xi1 , x ¡3 , x 1, ..., i3 , ...,.x2,
1 = {...,
D
1 3
...., - -, _u 1
3= {...,- 2' ...,- --.,...,
- 1,
~
,
I
-2 + -i = -
3
\_.i_3
~,2"'"
--
2
2
}
2, ...}
4
2 - -,-
.
Ambos conjuntos son campos porque siendo 1 de la misma forma
que D y D un campo, entonces' J también 10 es, y para cada elémento
existe un inverso en las operacÍones correspondientes.
~
,
'
En D
n + (~n)
= O;
En 1
n'"
-~-
n
=1
n E D, n
=f=.O.
n E D, n =1=O
1
El elemento inverso para ~a elevación de potencias (*) es x n de
modo que siendo estrella (*>una operación conmutativa, ([ es un campo),
podemos
82
escribjr:
,
'
xn * xn
= xn
1
Xn * Xn ='(X;)n
es decir
* Xn.
= Xl
por la definición de *.
elevado a la potencia n nos pa x H.
Compare la expresi6n anterior con las definiciones de raíz enésima.
"2 elevado a la sexta potencia da 64" por 10tant.02 es la.raíz sexta
de 64.
2 = {/64
.
..a elevad(~a
ené'i.imade b. .
la pot~nda n nos da b". por lo tanto, a es la raíz
nr;a = vb.
Complete usted la siguiente implicación:
.~.
1
.
HSi .Xn elevado a la potencia n nos da x, entoncés...H
1
De su conclusi6n poden1Osdecir que ~Jn~m~ro xn ..existe. es.r~al y
es único /y que utilizando el Isomorfismo podernos considerar las
operaciones con los ele!11entosde 1 en lugar de las operaciones con los
radicales.
Denniciones:
xn
='~,
x. E R, n E N Y si 11es par
~
x 2: O
m
X)j- =: !!Ix';' = (zy;-)m, X E R, ~n E D Y si n es Par,::;>x >- O
Ejemplos:
I
a)
= .ifij = 3
273
I
b)'
162
= v'16 = 4
I
c)
(-16)4
== V-16
quc no está definido porque siendo n un
número par la base de la potencia o radicando
es negativo.
2
d)
83
=
= ()2
= .v64 = (2)2
=
4
Como-los números racionales tienen un número infinito de representacionés que podemos cpnocer 9 encontrar aplicando el teorema
3-19 (~=/x~\
de cumplir exactamente conlas
y
yr debemos tener'cuidado
.
83
'\
definiciones, en el sentido de que la base de la P9tencla debe ser un
número positivo para poder aplicar el teorema 3-19, ya que se' corre, el
riesgo de cometer, errores al cambiar la representaci6n del exponente
c0J!10se muestra en los ejemplos siguienteS':
I
I
(-16)2
1)
~
~
. = (-16)4
(-16)2
El numerador del exponente cambi6 de impar
a par. siendo la base un número negativ.o.
=1=
-
'2
'
'
Correcto
=',
~ 256
6 (númeroque no existe)~
4,
o\no existe ese número real.
=
I
2)
,
I
1
2
(- 27)3 =1=(- 27)3' . 2"= (- 27)2/6.
siendq la base negativa.
I
Incorrecto
'El denom~ador cam1;>i6de impar a par,
,
Correcto
(- 27)3 = .J - 27 = .,-3.
(27)21f1 = {I(-27)2
= {l729
=
3
Ó
({I(:- 27)Y
Ó
(númeroque no existe)2
Ó'
no existe ese número real.
Incorrecto
Podemos ver entonces que la aplicaci6n' del' teorema 3-19 al expo-;
nente nos cortduce de una respuesta única, a una disyunci6n en la que
no se dice cuál de ,las proposici6nes es la verda~era y en ocasiones l~
disyunción es falsa como en el ejemplo 2.
Una 'conclusi6n que podemos dedl1cir del Isomorfismo entre los
conjuntos 1 y D, es la ampliaci6n de ¡as Leyes de los Exponentc.; o
Teorema 6-1. considerando a m y n números racionales en lugar de
elementos de E.
,
'
Para todo a, b ~ R, tl-,.b =1=O Y m; 17E D
am
. an = am
(am)n
(ab)n
a~
an
'(~
'b )
84
+ n'
= am . n
=
= am - n.
n
= an
bn '
\
Al igual que se indicó con los, exponentes negativos y cero, en el
manejo de expresiones algebraicas unas veces'es conveniente el I¡lsode,
racUcalesy otras, su equivalente con exponentes racionales, 'equivalencia
demostrada con el isomorfismo e~tre los conjuntos 1 yD.
Eaemplos:
'
Cambie laexpre!ión de modo qu~ no te~.a exponentes fracclonarlOl
o negativos y encuentre el valor más simple para ella:
,
_-3 >= 2-4 = - 1
12
(2 -6)
1)
2/3
= 2
,
'
24
(~\125) - ¡ = \{125\i
87
2)
= 12S2/~= (~2,
8213,'
(eI8)2
,
1
= ~', = 25
'22
4
.
(22,+ 34)2= v22 + 34 = ':';4+ 81 = J85
3)
.
'
,
1
,
1
1
'1
NOTA: (22 + 34)2 ~* (22)2 + (34)2
\
Cambie la expresión de'modo que no contenga radicales.
,
4)
V8 =
5)
~81a3
1
82
.'
,
1
..¡a2
1
= (81a3)4=
,
6)
+ ,b4 = (a2 +
l'
(81)~ (a3)4= 3a3/4
,
b4f 12
1
7)
.
~(a3- + b,3)C3= [(a3+ b3)C3f' = ~a3
1
I
+ b3)i'(C3)i
I
'::¡: ~a3
+ b')ic
. Cambie la expresión de modo que toda s~a un rádlcandO del, indice
que se da. Consideresólovalorespositivosparalas v~lables.
8) lndice 2
.
~) 2t
1
2
.
'
= (2X)1 = (2~)2 = ..¡(2x )2 =
..¡4x2
'22
r-r~
b) 3r2/3= (3ri)! = "(3riy = '\J 9ri
f
I
= '\J (5X2~2
I
+ 2(5xí) (2x)312+ [(~X)3/2]2
,', .j52 x21'¿+' 2(5) (2X)2/:l (xl¡:,~)'{2~)1::.!+. (2x~3 =
=:. y25x + 2(5)
(2) X(X)l/2 .(2X)1.:.!+ 83X3= y25x . + 20xy2x2
\
+ 8x3
85
2
a + 2 = (a + 2)2 = v(a + 2)2 =
d)'
'
J a2
+ 4a + 4
l'
Indice 3
9)
3
a) 3a
b) 3.JX
,
'
,
= (3a)3 = {/(3a)3 ~
.
13
= (3xi)3
{/27a3
3r-r:-
'=
3
~~
{¡ (3xi)3 = \¡ 27xi
-
,
= (x + 2)3 = {I(x. + 2)3 =' ~
c) x + 2
~.
+ 6x2 + 12x + 8
.
.REACTIVOS DE AUTOEVALUACION
~,
Escriba en lo~ problemas' del 1 al 6 tin~ expresión equivalente usando
radicales, toda la expresión debe ser radicando.
'
I
1.
xi
3.
4a3/4
,2.
2
33
4.
(2b)' 1'3
6.
'
En los problemas del 7 al 11, escriba una' expresión
contenga
radicales ni .fnicciones. '
'.
7.
ifi2 ;¡¡;;
{O,
8. . vx2 + ya
9.
.Jx2
ya
/
(256)1/8
equivalente
que no
a2 - .42'
11.''::¡xay
'-
2xy2
.
,
En los problemas siguientes, efectúe' l~s/ op.eraciones indic~das y simplifique usando las leyes de, los exponentes ya generalizada a exponentes raclon¡¡)es. Considere. que todas las variables son números positivos y no debe
dejar exponentesnegativos,cero o fracclonarlosen la respuesta.
8 - 1..
4a3X - ¡
12. ~ 27) 3
1S.
ax -1
~
( )
13 .
'14.
(.01)3/2
(100)0
I
2~3
86
1
16.
2
17.
. 3
xi.
x3yi
xi
I
_!. 3
X 3 yi
1
. xi
I
(8r3s~)(2r-
'1' . .
25.
(aj.:. bj-)(é"
,.
2S2)
1
(aZ - b2) (a1-+ b2)
I
19.
1
24.
l'
f
I
+ 03
I
bi
2
+ b3)
.,S"I
.,..0. -3r~ + .:::S
' r-2
2 1. 4x -1 -
5
5
2'7. (x2
X'
22.
I
(1602 b4)2 (20-2).
23 .
(2x .,. b¡ C)3 \
I
+ I)"¡
(x2
+
1)0 (x2
+ 1)3
.
2,'
.
\
\
87
,, M6dulo'8
OBJETIVOS
l.
2.
ESPECIFICOS
Al terminar de estudiar'este m6dulo, el alumno:
Demostrará, algunas leyes de los radicales.
Utili~ará las leyes anteriores en la simplificaci6n de expresiones con radicales.
3., Resolverámultiplicacionescon radicalessimplificandoel resultado.
4.
s.
6.
7.
'
Definirá las condiciones para la simp"tificaci6n de radicales.
Resolverá divisiones C1eexprc::sionescon radicales, simplificando el resultado.
Racionalizará denominadores en ;cualquier fracci6n simplificando los resultados.
Obtendrá expresiones' equiv~lentes con indices propuestos a expresiones con radicales dados.
8. Simplificaráel indi,cede radicalesd,dos.
,
9. Resolverásumas y restas de expresionescon radicales, simplificandoel resultado.
.
ESQUEMA RESUMEN
LEYESpE LOS RADICALES
Vb"'= b
A)
*
. . B)
yra¡;
COIldiciones
(ab)
l/n
=
al!n
V'il
. O
-"Ir';b-l;¡b.
-r-
D)
'myr;-
\iVD
bl/n
= ~ V'b
1. Todos ~osfactores con potencias enésimas exactas o m6ltiplos de n, deben
eliminarse del r~dicando.
2. El indice del radical debe ser el minimo posible.
3. No debe háber fracciones en el radicando" es decir que su 'denominador
para la
simplificación
de radicales
,
"
a
C) . , -.=
b
'
I
1
debé
ser racionalizado.,
.
I
OPERACIONES
CONRADICALES
-~
J
.l
Suma
Resta
M ultiplicaci6n
Divisi6n
----
-
~-'"
'
'"
.
LEYES DE LOS RADICALES
a, b t::. R, n, t::.N'
Si
Y ningún radicando es negativo si n ~s par:
"¡;::;A) ."r¡jñ=
b Demostración: V
b" = b"I",'como ~nn = '1=>
yu
'
,
-
I
b 1= b
,
B)
= \10 {lb Demostración:
\Iiib
ff
va.
C) '! - = -"/L;b
,
D)
b
'.
" a
..."¡-;;-'
,a
=1=
o,
Demostración: E-=
v b
'
~ =
\/iib = (ab)1m= al/"bl:"= {la \lb
"b
"W""
a
1/"
(- )
- b
al/ti
=-
bI/"
,
n
\.f'(r
==-
\lb
Demostración:
~
= (al/")l/m=' al/"'l/m= al/m."=
~
A c(~ntinuaci6n las leyes de los radicales s'e usan en casos n.uméricos para observ~r su funl'iolHl111icnto.
Ejemplos:
.yI(x - 1)2 = Ix- II
V'54
B)
= ij27 . 2 = W \Y2=
~X:4yi'=
a '(x'
C)
(y
D) ',M-'
(J~ecordar detini~i6n de ~alor absoluto en la
Ul1icl~d V M6dulo 3 y su relaci6n ,COb los
ntdicales en esta unidad al ti"nalde] M6dulo 6.
\Y2
'
WW
+ 1).:i - \/(x+ ) ):1 -
-
,3
2)6
-
~(y
-
2)"
-
(x + 1):I/:i
(y
-
(x +
1)
- 2)'6/8- (y- 2):4
~
90
-
- -------
-- ,
8.1. Leyes de lós radicales. Simplificac i ón de radicales.
Multiplicación y división
Lns expresiones de la forma.tfb ~os representan a un número
únlcf'; a,
.
al que l1amamos raíz principal enésima de' b y como se menciona ante~
hay casos en los que es más ventajoso expresar la cantidad con un radical
en lugnr de usar exponentes fraccionarios;
.
Las leyes de los ra~icales se desprenden de las leyes de los exponentes
(TcOl'en1a6-1) ya. generalizadas. yes necesario tenerlas presentes al
trabajar con radicales. Recuerde que
.
.
nr:- -1
Vb
bn y ~i n es par:;' b ~ O.
=
Como una actividad complementaria proporciona, las justificaciones
enlasdemostraciones
delasleye~B.CyD.
.
.
.
Ap\'()vechan~o estas leyes de los radicales puede cambiarse la forma
rUQicalde las siguientes maneras:
n) Q~itar del radlcal1do las potencfas múltlplo' del indlce, para lo cual
factorizamos antes.
l.
.~,
~22
~
se factociza ~
se separan los fáctore.s que. seancubos perfectos
y se aplic~n las le)'es B y A.!
= ~23 . 22= if23if22= 2.v4
2.
. b). Reducir el indlce del radical, sin olvidar que el radicando debe
ser positivo.
.
1.
I
~2Sx6 = ~(SX3)2= (SX3)2/6= (SX3)3 = if5X3. Un segundo método
podría ser:
~2Sx6
= 3 '~2Sx6
=.J V(SX3)2
.=
~
c) Racionalizar el denominador. Racionalizar slgnlflca reemplazar la
expresiónpor una equivalentesin radical en donde seIndlqu~.
.
1.
Se busca un factor (z) tal que haga que el radicando en el denominador
tenga un exponente múltiplo del índice del radical Y'usando el teorema
XY, seefectúael-producto.
y = yz
=-
. 91
.g
- ~
-
.,-'a 2 =
,X
,
W".
=
-'
(X )4/4
~
X
(x)1
4/~
-
..~
.X
\i'4
7 a'J Y:!
8x:J b6
~7aJyl
{(ax'b'
=
.
4/Ia1yl
2Ix'b'
~~
=
. (7a'Y') (2xb2) =
2xb' ,
24X4b'
~14d3 b' Xy'
~(2xb2)4
=
~ 14a~ b~ Xy'
2xb2
En algunos problemas lo conveniente puede ser 1araclonallzacl6n del
,numerador 'para lo c.ual.seguirá el mismo método. buscando entonces
.que sean las potencias en el numerador múltiplos del indice: La raclo,.nallzaclón, ya sea del numerador o del denominador nos simplifica una
divisi6n de radicales. pu~s s610se busca una raiz y se efectúa la divisi6n
en lugar de buscar dos raice~ y luego hacer la divisi6n.
Simplificaci6n.
de radicales
Decih10s qLe un radical está en su forma más simple o que ha sido slm. .
pllnca~o cuando se cumplen las siguientes tres condiciQnes:
1. Todos los factores con .potencias enésimas exactas ó múltiplos de n.
. han sido eliminados eJelradicando como en los ejemplos del inciso a) anterior.
I
2. El indice del radical es el minimo posible, simplificándolo como
en el ejemplo del inciso b).
3. -No hay fracciones en ~I radicando, es decir que su denominador 'fue
racionalizado, ejemplos en el jnciso c).
Una vez que los radicaÍes están en su forma m~ simple, se procede a
efectÜar las operaciones con ellos. aunque no es condici6n indispensable
haberl~s simplificado. En las 'operaciones de multiplicar y dividir
radicales sé consideran dos casos: l)radicales con igual indice, 2) ra,dicales con indice diferente.
.
92
--
-- -
011:'
Multipliéaci6n
o
caso 1.
La operaci6n se.efectúa aplicando la ley de radicales B.
Ejemplos:
a) (2{14)(3{!¡6)
b)
= 2. 3~.ifi6 = 6~
= o6~ = 6. 4 = 24
v'4Sa2xy3 = v'(1Sax~)(4Sa2xy3) =
~o
= v{15 .' 15 . 3)
.
=
(a. a~) (xa. x) (ya)
y(151,+1) 3(a1+2) (X3+1) (y8)
-o y152 . 3aa x4 ya
VlS2 . x4 y3a3 y3
=
=
-
=
= I'S . X2 v'3a.3 y3
(1S2/2'. X4/2) v'3a:i y3
Multiplica~i6n caso 2.
L~loperaci6n se et'ectúa aprovechando el isomorfismo, con los exponentes racionales y sus leyes para cambiar a radicales con indlces I~ales.
&templos:
o
J
o.ys .J2
a)
= si
I
22
2
3
= Si .2' = .fSi . .:.rF =
o{/2So..
b)
o
J
v'6x'
~4x4 y2 = (3. 2X')2
J
(22 x4 y2)i
= (3. 2x'
8,
= {/200
)316 (22 x4 y2 )216
División caso J.
'Esta operación se efectúa usando la leyde .radicales.C.
F
a
n b
n
~
=~
..
y se simplificausando el teorema ~
= ;:
'
División caso 2.
Al igual que en la multiplicaci6n buscamos cambiar a radicales
con el mismoíndice, usando los exponentesracionales.
.
93
-
--
.
4
1
b) lf3a
=
(/48a
(3a)3_1
(48a)4
(3a)12
=
(480)3/12
~
= -y
El problema de la raclona8zaclo~de radicales en una fraccIónpu~de
~er en algunos casos bastante complicado y es necesario que vea en
seguida algunos problemas de los tipos de raclonallzaclón más
.
frecuentes.
Ejemplos:
Racionalización
4
de radicales
a) ~
r=
5 - vS
~
= ~.
: s-.J5 . S-~
b)
(5 - JS) (S'+ JS) = 25 - 5.
S+~= 4(5~.JS) = 4(5 .+JSr = 5 +.JS
St.J5 52- (.JS)i 25...5
5
1
.J2 + 2./3
=
e)
El factor que agreguemos deDe ser tal que la
potencia del radicando iguale al indice. pero
que no deje otro radical en el otro término. ~n
este caso usamos los binomios conjugados.
1
t
= .Ji - 2./3 ;:: .Ji-2.J3
.Ji 2./3 = .Ji-2./3
.Ji+2J3. .Ji-2.Ji
()2
_(2./3)2 .
2 - 4.3
-10
v'X+T
1 + JX+l
-
= v'x + 1
'. . 1- v' x +1 = Yx + 1
(v' x + 1)2
1 +JX+l.
l-v'x+l
(1)2 - (vX+T)2
= .Jx + 1 - (x + 1) =
. 1 - (x + 1)
.JX+T-x- i
-x
8.2 Suma y resta de radicales
.
Radicales
Se dice qu.e 2 o más radicales son se.-aeJantes, cuando tienen el mismo
semejantes índice y el QÜsmor.dlcando.
.
La suma algebraica de rádicales se reduce a -combinar todos los
radicales semejantes en un solo térmlnQ.
- -
~
- -
~emploll
ar
JT8 +
~
- J72
Ninguno de estos radicales es seme.
jante. por lo que q'ebemoscambiar su
forma o simpliflcarlos.
,
,
=J972 + J2"S"72- "3672 = 341 + S~
- 6~
= (3+S,-6)J2
"
= 2~
b) 4v'T2+SJ8-~-7J48
,4y'¡:3 +5,#2-~-7~
=
=
- S ~ - 28 J"j
lOv2- SJ2 + 8'v'j - 28v'j
8 v'j + 10J2
= (lO-S)v'2
+ ,(S-2S)v3
= sJ2 - 20J3
e)
,
.Jj
+
{I8i - .Ji7
=.J3
+
~27.3
-~
+
S~
+
S~
= v'j,
+ 3~
-3v'j'
+ S~'
= -2J3 + S~
= 6~ - S.~ + * ~,
= (6-S +l)~
4
= 1~
4.
REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION
.
Demuestrela ley de radicalesc.
,
n~
\lb'
2.
= 'ifi'
~'
b
~
o'
-t-
Demuestrela' ley de ,radicalesD.
mrm--' m.nr
" va = va
/
95
.
"
En los problemas del"3 al 16 reduzca el radical a la forma más simple.
Recuerde ,que: )X2
3..
= Ixl
4.
.if8O
6.
S~243
Jt
9.
7. J192 a"b7
(
+;.
12~ x - 25
11. 'la .Ja2 +"60+ 9
1o. ~64x'Y:;-
V32'
.JX+S
Efectúe las mul~iplicacionesy simplifiqueel resultado.
17. {14~
18". .J,X2_y2.JX-Y'
19. (v6 +v3) (J6-2v3)
20. (J;. +JY)2 -
21. ~
~27x4
23. (2+.v3)(2--V3)
22. ~.ifX
24. (.Jx+y-z) (v'xty+z)
Efectue las divisiones y simplifique el resultado.
25.
4ffi
26.
3.J7
,27. .J3 + 4.J2 - Sv8
.J2
29.
10v6
5../2
=
"
,
..
~z + 1.
z)
ot..
28. {/24a' b
{/8ab'
.'
Jab2
~
y sim'PlifiQ~e.
32. -1-2+ .Jj
31'. 2-V3
30. 2.J3
4J54{15
33. 1+.J2
1-.J2
96
.
NOTA: (x+.y
z
Racio1)alice los denominadores
,
~
"'
'"34.
~
x+JY
35.
1.
~ +~
~er elProble.
ma de VI-3
x+.JX
36.
(a+b+c
1+JX+x
37. aVb-bv';
aJb +bva
= [a+b]+c)
.
39. l-JX+l
1 +JX+l
Convierta los radicales dados a otros de índice 12.
if5
40.
41. JXY
43.
42. if¡¡.
~.
Simplif1queel índice de los radicales dados.
44.
{[9
45.
1~8a3b'
Efectúe laS operaciones indicadas y simpiifique'
2v'18
47.
3J8
50.
{12+.{Il6- {f54
+
48. {I8i - {f2¡
49. 5.Ji - V'64+ 2~
5.1. Y4(x+y):-' 2Y9(x+y) + 3Yx+y
53.
55.'
vI
+
1 y 108 -
~
.
56.
.4+
2 +../5
3
5+2../5
. BIBLIOGRAFIA DE ESTA UNIDAD'
Dolciani. Mary. Berman. Simón, Woaton. WiJliam. "ALGEBRA MODERNA Y TRIGONOMETRIA ". Ed. Publicaciones Cultural. México. 1967.
Cárdenus. Luis, Raggi. Tomás. "TEMAS I. ALGEBRA". Ed. Sociedad Matemática.
México.
J97.0.
97
Panele. de verlllcac'6n
-
MQDULO & V ALlDACION
1
1
4. -(-4X)2
=- 16x2
2. 8xl
1. 32
5. -.1.
2:y-.
=
1
l:.
1
7. . 4' = 64
2
9.
x'Y
8.
(1000)0
= 1
11.
3S
-(-3)-2 = 3'. (-3)2 = 35,.32 = 3'
10. 4,3.6.102 = 7200
12
"
.
1
1
. 52 =
.
1
2S
.
16. Sx-3
20.
22.
25.
17.
5-1
18.
4x-3
19.
p(n+ 1)-(2n+3) = p"'o2 = p-(n+2)
21.
!a
1
23. a +b
+
!b
= a +b
ab
4.3-1 x4 y"S
a4
xn - yn
(xn_. yn) (x2n + xnyn +y2n)
X2n + xnyn + y2n
27. 9(X+1)2
(-2X)' = ~(3)2
-4)' = -64
9.9
a2-ab +b2
ab
=-!!64
99
3a2 (-2a)-1
-
28.
--a32
3a2
1
3a2'-2a
-2Q"
.
- 8+a
8+a
3
8+.a
- -2 (-2)
3
' 1
-6"-'2
- 8+ (-2)
29.
- 3p-q= 35-3 = 32
3°x-1+ 4r2
30.
,r4
=: 9
-
MODULO'6
9 (3 + 4)
-VALlDACION
==
.
63
,
1.
Se entiende por rllÚ eDéslm~ de un número, otro núme~o tal que elevado a la' potencia n se obtenga el número dado. La raíz cuadrada de
un número es otro número que elevado al 9uadrado da el. primero y la
raíz cÚbica es otro número que al elevado al cubo da el ,primero..
2.
La rlÚz principal enésima de un número es, como se define en el problema anterior, otro' número que elevado a la potencia n da el ptimer
número sólo que si el primer número es positivo, la raíz principal también. lo es y si es negativo. la raíz principal sólo existe-cuando el índice
es impar, y también es un número negativo.
3.
.J16
6.
V1;¡ -
9.
~-32
{4,- 1
4. .Y23 - S
=4
_3fT - 1
.
4
= -2
19_.1
12.
,
Va2 -
lal
- -----
7'. v'(-4)2.= 1-41 = 4
10.
v'16a2
5. ~i7 = 3
8..
.J-64
= 14al
13. .J=42 No existe-
- - ~- - - - --
1-1.
14.
No existe
fu
=2
~-27x3 = -3x
--
15. v'64x' = 8x4
18.
v'a4kb2k = la2kbkl
(Se toma valor absoluto porque k puede ser im.
par y b negativo)
20. .J(X 2)2, x;;.2 = x-2
. 22.
21. V(X-2)2, x < 2 =lx-21
MODULO
1.
,rx'- = vx
4.
(2b)'i
6.
(256)'125
7
va~ +40+4
=.v'(o +2)2 = 10+21
-V ALlDACION
I
_5
.
l.
5.
{/(2b)' '= "32b5"
(270'}'28 = (270'),4, = .270"
1
=
(256)8
=
7.
256
'
2.
ifii .Jb8 ;= oibi
-!
1
= . ---,.
= (XI+yl) 1
(xl +y2)'
'
1
8
12. ( 27 f i = (_21)i= 27~ = ~.
.s
!
1!'
13. (.01)2 = (100)2
14.,(00)01 --.
2x'i
,
!
1
17. x'. yi1,
-
X i
y3/2
- si
1
=
=1
2
JJ8
1
100"2
= (v100)'
=-1-=-110'
1000
1
2.ifX
.
!+!
= X3 ,
. !_!
y2
2
. X
= xy-I ==y
'.
101
/
.
.
= ~S.I = i"SI
S-
18. 2S-¡ = (Sir i
, ,S.,
s.,
a
a
. .
= 16r' -i s-'+I= 16riS-.= ~
19. (Srls")(2r- i Si)
r:
s.
'. I
23. (2x~ ibi c)' = 2' x.abl c' = 8bl c'
X
.
a ..
.
= ,(ait
24. (ai- bi) (ai + 'bi)
.
.
.
I
'l'
-
.
=a-b
(bi)1
I '
1
.
- (bi)' = a- b
25.
(ai- bi) (ai +aibl +bl) ~ (al)'
26.
vx+y (x+y) ~ (x + y)i (x+y) ~ (x+y)8I1 = V(x+y)'
.
MODULO 8
-VALlDACION
4f (:)fi
1.
2.
3
1
,-
=
.
aii
= --=.
bii
"8.10 =
Wi
=,m.'
.
~
==
2~
S. aV9b.c'=\aV3Ib.c.c'= 3ab'~
102
.
.
,¡a.;;;
-L...
= a"'"
,*=-b --:rb
lfQ
3: ~'=
1
= (a;;);;¡
'
4. S~243= 5"27.9=S~3'.9= lSQ9
6. ~32 -= ~
= 2~
..
8.
.
=
~81z4 x' yS
=
"¡.19 + ..1
4 = ..¡
9.
4 36
+ 9.
= .,fj3
6 ',,;,.L
6 v'i3
10. ~64x'7y" = ~(4S x~Y")x =. 4x~y.a qx
11. ia.Ja2 +60+9 ~ 2a.J(a+3)2
=~alp+31
=
12.- x-2~
.JX+S
=
(x:"'25)(~5)
= ./X-5
'(x-25)(~-5)
(v'X+S)(JX-5)x-25
}3. .J12x4-36x2y2'+27y4
;:; ~3(4X4-12x2y2+9y4);:;
J3(2x2-3yl)1
t
I
I
;:;
'
Z
14. ~anb2nc3n+1 dn+2 ;;: lanb2ne3n+\ dnH)ñ = ab2 c3 en ddñ ;;: abZ e3d ~edz
Método Alterno
S S~3 x'~x'~xa;:;
(
-..
--
;-:=
ss
s-=
w;.
~X6 .xa~xz
=~
~x8~lx2;:;
'3a
---
~SS)---==';
if~.xa;:;
-_.
~S)S--=
~a6'
J7 .lf4 ~l26 = ~4. 26 :: ~la~. 13 ;:; 2~13
~
18. ..JX'L'"!y2..J,X-Y= 'v'(X'a_yll)(x"-y) ;:: v'(x+y)(X-y)2
;:; J,x-yl v'x+y
I
20.
(v'X + ..Jy)a = x + 2 JXY + y.
, 103
~3) = (2)2- (~3)2= 4 -
~
23.
(2 +lf3) (2 -
24.
(.../x+y - z)(.../:-+y + z) ==(.../X'+y)2- (z)~ = x+y
25.
4~'
3.J7
=
4"'/28'1
3.7
.
-
Z2
= 4.../4.72= 4.2.7 = ~
3.7
3.7
3
If = 2.../3
26. .lO,!!
=.2
Sv2
.
V2
27. _fl+4J2-=J.J-S ='V3+4.J]-Sv'"S.
.J2
.J2'
.J6+4J4'- 5.Ji6 =
2
~=
.Ji"
.J6
2 + 4~10= 1v'"6-6
2
,
28,,
.:J24a'b
8ab3
V.J3;'
~ =
_V'24a'b
~8ab3
=
2 v'3 =
1 /3 J""i= 2.JIT = ~
=
1b v'Ja'b'
\
30.
4../5 . 4.J5.J5
4.5
10
~Pf5
31, -2 ~ = 2 ifj if52 = -2if75 = -. 4.v5.
4.ifSif52
4.5
10'
32. ---L
,
2+../3
..
= 3(2 /3L = 3(2 /3) = 3(2-../3) = p - 3 V3
(2)2_(~)2
33. 1+.Ji =' i.L!.ffi2
1-.J2
34. ~_.x+~
4-3
.
= -(1 + V2)2
(1)2_(v2)2
= x(x - JY)
x2-y
2
I
I
2
X3-x3y" + y3:
X+y
.
104
;:7
36.
x +JX =
x+JX .- =
1+ JX+x
(1 +x) + vX
37. aJb - b J;
= (a Jb- b J;)
'aJb +bva
38.
~
-
==
(a.Jb- b Ja).== a +b -2 Jáb.
(aJb)2 _(bvQ)2
-
a-b
1.t(~+v'3)-v'S]
=.
.J2+.J3-'~.
(..fi +../3)2
- (v'S)2
v'f2+.¡¡g~J30 == 1 J3+1 Ji- --LV3Q.
=
2J6
2.6
6
4'
= (l-JX+l)2
1+v'X+}.
(-(x + 1)
-x
1
.¡xy= (xy)2
41.
1
~
46.
~x2 +2xy+y2
12
== 2+x-2JX+l
39. 1-~
44.
.J2+.J3-.J5
==
[(.J2+v'3)+v'5][(v'2+v'3)-v'S]
6
==-(xy)i2 = ~x~ y6
2
= (32)4 == :F ==.J3
.
.
2
== ~(:k+y)2 == (x+y)i
1
= (X.+y)4 = ~x+y
47.' 3vi + 2v'I8 = 6.J2+6v'2 ==12.J2
48. ~
- 6
==3~ -. 2{!3 ,= ~.
49~ 5.J2- {164.+ 2.J32= ¡,.J2- vi + 2J32 ==5.J2~ 1.\12+ 8v'"2'
= 11.J2
I
.SO. ~ +{!¡6 - ~
= ~ + {/8.2 - {/27 .2 = ~ + 2~ - 3'~ = O
51. v4(x-t:y)- 2v'9(x+y) + 3vx+y ==2v'x+y
52.. 2a~27x3y + 3b~8xSy -
6c~y
= 6ax~
-
6vx+y
+ 6bx~
= 6x(a+b+c)
\,
~
+.3vx+y
=
-
~x+y
-.6c(-x)~
.
.105
'.~
. :
I
SS .
11 + 1"'/108~ = 1.J3
+ 1.6J3-J3 = (1 +9-1 ) .J3 = 25"3
V3
2
3
2
3
3
56.
~
.
.
2+JS
+
3
'= 4(2-.JS)
S+2.JS
22- S
+ ,3(S-~JS)
52- 20
=-4(2-Js)+ .!(S-2~)
.
=-8+4vS+3-!
=.!!.JS-S
S
106
~--
--'--"--~"-'-'-'"
S
S'
.JS