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Introducción a
radicales
Extracción de raíces
La operación inversa de elevar un número a
una potencia es extraer la raiz al número.
Para representar esta operación usamos el
símbolo llamado radical:
radical
índice
radicando
raíz
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Raiz Cuadrada
La operación inversa de cuadrar es tomar la
raiz cuadrada de un número.
Un número b es una raiz cuadrada de otro
número a, si b2 = a.
9  3 porque 32  9
64  8 porque 8  64
2
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3
Raiz Cuadrada Principal
La raiz cuadrada principal (positiva) se
denota
a
La raiz cuadrada negativa se denota
 a
 9  3 es la raiz cuadrada negativa de 9
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4
Raiz Cuadrada Principal
NOTA:
9
NO es un número real porque no existe
ningún número tal que al cuadrarlo dé
-9.
Por eso decimos en general que
a
existe en los reales si a  0.
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Ejemplos
49  7
100
10

9
3
 144  12
 0.25   0.5
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Cuadrados perfectos
La raiz cuadrada de un radicando que es un
cuadrado perfecto simplifica a un número
racional.
Los primeros 10 cuadrados perfectos y sus raíces son
0  0, 1  1, 4  2, 9  3 16  4,
49  7, 64  8,
25  5,
36  6,
81  9
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Números irracionales
Raíces cuadradas de radicandos que NO son
cuadrados perfectos ( 2 , 7 , 10 , etc ) son
números irracionales.
Podemos conseguir una aproximación decimal
a estos radicales con una calculadora, si el
ejercicio lo pide. Pero, su valor exacto solo se
puede representar en forma de radical.
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Raíces cúbicas
La raiz cúbica de un número real a es
3
a  b si y solo si b  a
3
Nota: Para las raíces cúbicas, NO se
restringe el valor del radicando a valores
3
positivos.
porque 33 = 27
27  3
3
3
 64 
4
 125  5
porque (-4)3 = -64
porque (-5)3 = -125
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Raiz enésima
En general,podemos determinar otras raíces.
La raiz enésima se define como:
n
a  b, si y solo si b  a
n
Si el índice, n, es par, la raiz NO es un
número real cuando a es negativa.
Si el índice, n, es impar, la raiz es
SIEMPRE un número real no importa el
signo de a.
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Raiz enésima - ejemplos
5
4
6
5
 32  2
256  4
729  3
2
32

3
243
porque (-2)5 = -32
porque (4)4 = 256
porque (3)6 = 729
2 5
porque ( )
3
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=
32
243
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Propiedad #1:
Si
n
a  Ry
n
b  R entonces,
n
n
a
a
n
b
b
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12
Práctica:
16
a)

25
b)
8

1000
3
3
c)
3
d)
4
2

16
81

16
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Simplificación de raíces
Simplificar la raíz de un número compuesto
implica
• factorizar el radicando
• identificar algún factor que tenga una raíz exacta
• utilizar propiedades de radicales para extraer la
raíz a los factores con raíces exactas
• si el radicando no tiene factores con raíces
perfectas, entonces el radical no simplifica.
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Propiedad #2:
Si
 a
n
n
n
a R
a y
Ejemplo :
n
3  3,
2
entonces,
a a
n
 9
3
3
9
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Propiedad #3:
Si
n
a R
n
Ejemplo :
y n
b R
entonces,
a b  a  b
n
n
49  4 9  23  6
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Simplificación de radicales
Si un número compuesto NO es un cuadrado
perfecto pero tiene un factor que es cuadrado
perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede
simplificar usando la propiedad anterior.
Ejemplo: Simplificar 27
Solución:
Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que
27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior
27 = 9 ∙ 3 = 9 3 = 3 3
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 90
Solución:
Ejemplo: Simplificar 200
Solución:
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Simplificación de radicales
Esto lo podemos extender para la raíz enésima. Si
un número compuesto tiene un factor
exponencial, con potencia igual al índice del
radical entonces su raiz enésima se puede
simplificar usando la propiedad #1 anterior.
3
Ejemplo: Simplificar 250
Solución:
Como 250 = 125 ∙ 2 = 53 ∙ 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
3
3
250 = 125 ∙ 2 =
3
3
3
= 125 2 = 5 2
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar
3
3 3 ∙ 53 ∙ 2
Solución:
Podemos aplicar la propiedad:
𝑛
𝑎𝑛 = 𝑎
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 25 ∙ 53
Solución:
Notamos que las potencias de los factores son mayores que
el índice.
Podemos usar la siguiente propiedad de exponentes:
𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar
Solución:
Ejemplo: Simplificar
Solución:
3
32
3
375
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Cuadrados perfectos
Cubos perfectos
12 = 1
112 =
121
13
=
1
22 = 4
122 =
144
23
=
8
32 = 9
132 =
169
33
=
27
42 = 16
142 =
196
43
=
64
52 = 25
152 =
225
53
=
125
62 = 36
162 =
256
63
=
216
72 = 49
172 =
289
73
343
82 = 64
182 =
324
83
512
92 = 81
192 =
361
93
729
102 = 100
202 =
400
103
1000
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Práctica: Simplifique los radicales
(a )
40 
b 
5

16
(c)
15
16 
(d )
3
(e)
3
3

64
(f)
5
25  36  52 
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