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UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA, DE LAS
CIENCIAS SOCIALES Y DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES
RELACIONES LÓGICAS-ORDINALES ENTRE LOS
TÉRMINOS DE LA SECUENCIA NUMÉRICA EN NIÑOS
DE 3 A 6 AÑOS
TESIS DOCTORAL
Catalina Fernández Escalona
Dirección: Dr. Alfonso Ortiz Comas
MÁLAGA, 2001
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DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA, DIDÁCTICA DE
LAS CIENCIAS SOCIALES Y DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
RELACIONES LÓGICAS-ORDINALES ENTRE LOS TÉRMINOS DE LA
SECUENCIA NUMÉRICA EN NIÑOS DE 3 A 6 AÑOS
Catalina Fernández Escalona
MÁLAGA, 2001
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Alfonso Ortiz Comas, doctor en Ciencias Matemáticas, profesor titular adscrito al Área
de Conocimiento de Didáctica de la Matemática y perteneciente al Departamento de
Didáctica de la Matemática, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales
de la Universidad de Málaga, como director de la tesis doctoral presentado por la
licenciada Catalina Fernández Escalona, “Relaciones lógicas ordinales entre los
términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años”
Hago constar que dicho trabajo aborda, plantea y constata un problema de
investigación con una calidad de un máximo nivel y rigor científicos, tanto en sus
planteamientos e hipótesis como en la metodología. Llena un espacio dentro de las
investigaciones a nivel internacional en el campo de la Educación Matemática. Es un
trabajo original tanto desde el punto de vista de su enfoque como de su tratamiento
metodológico, que presenta nuevas perspectivas de trabajo en la Línea de Investigación
“Pensamiento Numérico y Algebraico”.
Autorizo que se realicen los trámites para su presentación ante los organismos
competentes de la Universidad de Málaga
Fdo. Dr. Don Alfonso Ortiz Comas
Director de la Tesis Doctoral
Málaga 8 de Noviembre de 2001
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A mi marido Pedro
y a mis hijos Pedro, Nono y Nuria.
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Mi más sincero agradecimiento al director de esta tesis, Dr. D. Alfonso Ortiz Comas, por su hacer
científico, que ha hecho que este trabajo llegue a ser una realidad.
Agradecer al doctor D. José Luis González Mari sus valiosas aportaciones que han sido de gran
ayuda.
A los compañeros del grupo Pensamiento Numérico que han seguido y apoyado mi trabajo.
A los miembros del grupo de Investigación de Educación Infantil, por conseguir que me ilusione en
el proyecto de Didáctica de la Matemática con niños de 3 a 6 años.
A los compañeros del Área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Málaga, por los
ánimos recibidos.
A los maestros y directores, de los cinco centros en los que he realizado las pruebas, por ofrecerme
toda clase de facilidades para realizar el estudio empírico.
Por último a los niños de Educación Infantil que intervienen en las entrevistas y a quienes dedico
los resultados de esta investigación.
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ÍNDICE
CAPITULO I. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
19
1.Introducción
19
2. Marco matemático-conceptual
21
2.1. Secuencia numérica
2.2. Relaciones lógicas ordinales
3. Antecedentes
3.1. Trabajos e investigaciones previas
4. El problema de investigación
4.1. Origen del problema
5. Supuestos sobre el aprendizaje de las matemáticas en esta investigación.
5.1. Supuestos generales
5. 2. Supuestos de partida
22
23
25
26
35
36
37
37
38
6. Objetivos de la investigación
38
7. Hipótesis.
39
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CAPITULO II. MARCO METODOLÓGICO
43
1. Introducción
43
2. Racionalidad del estudio
44
3. Metodología
45
3.1.- Procedimientos y técnicas metodológicas
3.2. Tipos de estudio
3.3. Tratamiento de los datos empíricos
46
48
49
4. Articulación de las hipótesis en el proceso metodológico
50
5. Desarrollo cronológico de la investigación
52
6. Fuentes de información y documentación
55
7. Modalidad de la investigación
58
8. Criterios de bondad
58
CAPITULO III. ANÁLISIS DIDÁCTICO DEL CONOCIMIENTO LÓGICO
ORDINAL DE LA SECUENCIA NUMÉRICA
61
1.Introducción
61
2. Propósito del Análisis Didáctico y procedimiento seguido
62
3. Secuencia numérica como componente del número natural
64
3.1. Interpretación convencionalista del número natural
3.2. Logicismo aritmético y la secuencia numérica.
3.3. Secuencia numérica desde los planteamientos de la epistemología
genética
4. Secuencia numérica en el curriculum de Educación Matemática
4.2. Freudenthal: Números para contar
4.3. Dienes: Didáctica basada en el aspecto cardinal
5. Secuencia numérica como componente del conteo
5.1. Acción de contar: Conceptualización de la Secuencia Numérica
5.2.Carácter funcional de la secuencia numérica en un contexto ordinal
65
67
70
73
75
77
79
80
84
6. Secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano
88
7. Consecuencias del análisis didáctico
94
7.1. Reflexión general
94
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7.2. Síntesis de conclusiones
CAPITULO IV. ESTUDIO EXPLORATORIO CUALITATIVO
97
101
1. Introducción
101
2. Propósito del estudio exploratorio
103
3. Metodología
103
4. Elección y distribución de la muestra
106
5. Materiales
107
6. Actividades
107
6.1. Tarea 1
107
6.1.1. Objetivo
6.1.2. Desarrollo de la entrevista
6.1.3. Aspectos a considerar
107
108
108
6.2. Tarea 2
109
6.2.1. Objetivo
6.2.2. Desarrollo de la entrevista
6.2.3. Aspectos a considerar
109
109
109
6.3. Tarea 3
110
6.3.1.Objetivo
6.3.2. Desarrollo de la entrevista
6.3.3. Aspectos a considerar
110
110
111
7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información
111
8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista
111
9. Resultados y conclusiones de la tarea 1: Alternancia.
112
9.1. Codificación y Categorías de respuestas
112
9.2. Análisis de respuestas
9.2.1. Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas
114
116
9.3. Niveles en la tarea de Alternancia. AN
9.3.1. Caracterización de los niveles
118
121
9.4. Resumen y conclusiones generales
127
10. Resultados y conclusiones de la tarea 2: Contar.
10.1. Codificación y categorías de respuestas
127
127
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10.2. Análisis de respuestas
10.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas
129
131
10.3. Niveles en la tarea de Contar. CN
10.3.1. Caracterización de los niveles
132
135
11. Estudio comparativo de los niveles de Alternancia y Conteo
139
12. Resultados y conclusiones de la tarea 3:
Secuencia Numérica / Alternancia
141
12.1 Codificación y caracterización de respuestas
142
12.2. Análisis de respuestas
12.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas
143
145
12.3. Niveles en la tarea Secuencia Numérica / Alternancia. S/AN
12.3.1. Caracterización de los niveles
148
151
13. Estudio comparativo de las tres tareas
156
14. Conclusiones evolutivas del estudio exploratorio
158
CAPITULO V. MODELO EVOLUTIVO DE COMPETENCIAS ORDINALES 161
1. Introducción
161
2. Modelo evolutivo del conocimiento lógico ordinal
de la secuencia numérica
162
3. Plan de trabajo
170
4. Viabilidad de una prueba asociada al modelo evolutivo
4.1. Tareas asociadas a los Estados del Modelo Evolutivo
171
172
CAPITULO VI. ESTUDIO EMPÍRICO CUALITATIVO
181
1. Introducción
181
2. Propósito del estudio
182
3. Metodología
183
4. Elección y distribución de la muestra
184
5. Materiales
186
6. Actividades
187
6.1. Tareas
187
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6.2. Objetivo
188
6.3. Desarrollo de la entrevista
188
6.3.1. Presentación esquemática del desarrollo de la entrevista
para cada una de las tareas asociadas a los estados
6.3.2. Aspectos protocolarios en el desarrollo de la entrevista
6.4. Aspectos a considerar
189
201
202
7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información
202
8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista
203
9. Resultados y conclusiones de la prueba
204
9.1. Análisis de respuestas
9.2. Niveles asociados al modelo evolutivo teórico
10. Resultados y conclusiones
CAPITULO VII. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS FUTURAS
204
221
226
229
1. Introducción.
229
2. Objetivos e hipótesis de la investigación
229
3. Estudios realizados
231
4. Resultados y conclusiones de los diferentes estudios
233
4.1. Conclusiones del análisis didáctico
4.2.- Conclusiones del estudio empírico exploratorio
4.3.- Modelo evolutivo de competencias lógicas ordinales
4.4.- Conclusiones del estudio empírico cualitativo
233
237
238
239
5. Logros y hallazgos
241
6. Perspectivas futuras
244
7. Aplicabilidad de los resultados
245
REFERENCIAS
247
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ANEXOS
ANEXOS I. El Problema de Investigación
263
Anexo 1.1. Relaciones asimétricas biunívocas de Bolzano
263
Anexo 1.2. Relaciones asimétricas transitivas de Vivanti
264
Anexo 1.3. Las relaciones asimétricas biunívocas y las asimétricas
transitivas son equivalentes
265
ANEXOS II. Marco Metodológico
269
Anexo 2.1. Palabras claves y número de registros encontrados
en la base de dato ERIC
269
Anexo 2.2. Búsqueda en la base de dato CSIC, en Junio de 2001
270
ANEXOS III. Análisis Didáctico
273
Anexo 3.1. Definición de Dedekind de sistema singularmente infinito
273
Anexo 3.2. Diferencia entre procedimiento de conteo
y emisión de numerales
273
Anexo 3.3. Niveles de dominio de la secuencia numérica de Fuson.
274
Anexo 3.4. Sistematización de la secuencia en un estudio transcultural
277
Anexo 3.5. Encadenamiento aditivo como componente de la seriación
277
Anexo 3.6. Cálculo del anterior y siguiente inmediato
con la seriación cíclica.
280
Anexo 3.7. Etapas para determinar el lugar que ocupa un término
cualquiera en una serie
281
Anexo 3.8. Proceso de generación de las series numéricas
aditivas a partir de la secuencia de números naturales
282
ANEXOS IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
285
Anexo 4.1. Trascripción de las entrevistas del estudio exploratorio
285
Anexo 4.2. Categorización de las respuestas de la entrevista
de cada niño en la tarea 1: Alternancia
313
Anexo 4.3. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños
en la tarea 2: Contar
317
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Anexo 4.4. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños
en la tarea 3: Secuencia Numérica/Alternancia
ANEXOS V. Modelo Evolutivo De Competencias Ordinales
Anexo 5.1. Sucesión de siguientes y encadenamiento aditivo
ANEXOS VI. Estudio Empírico Cualitativo
Anexo 6.1. Trascripción de las entrevistas del estudio empírico
6.1.1. Colegio Concertado Provincial Urbano R
6.1.2. Colegio Público Provincial Urbano M
6.1.3. Colegio Infantil de la Capital C
6.1.4. Colegio Público de la Capital, B.
6.1.5. Colegio Público (Media Línea) Rural, H
Anexo 6.2. Cuadros –fichas de las tareas en el desarrollo de la entrevista
321
327
327
329
329
331
354
371
393
411
428
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CAPITULO I
EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1. Introducción.
Investigar sobre número natural, secuencia numérica, número ordinal, relaciones
ordinales, relaciones lógicas ordinales…, en el ámbito de la Didáctica de la Matemática,
es trabajar en la línea de Pensamiento Numérico.
Pensamiento Numérico, así lo define Castro (1994; pág. 1), es una línea de
estudio e investigación en Didáctica de la Matemática que se ocupa de los fenómenos de
enseñanza, aprendizaje y comunicación de conceptos numéricos en el sistema educativo
y en el medio social. Estudia los diferentes procesos cognitivos y culturales con que los
seres humanos asignan y comparten significados utilizando diferentes estructuras
numéricas. En concreto la elaboración, codificación y comunicación de sistemas
simbólicos, la organización, sistematización y desarrollo de diferentes actividades
cognitivas que surgen y encuentran un modo de actuación en el marco de una estructura
numérica.
Además tenemos que: "Esta línea de investigación considera como núcleo para su
reflexión el campo de las matemáticas que comienza en la aritmética escolar y las
nociones básicas del número, avanza por los sistemas numéricos superiores y continúa
con el estudio sistemático de las relaciones numéricas". (Segovia, 1995; pág. 12).
Nuestro trabajo estará centrado en las nociones básicas del número, en un aspecto
que revierte gran dificultad y que llega a ser de gran importancia para la construcción
matemática y didáctica del número natural: es el aspecto ordinal.
El aspecto ordinal del número natural, cuyo nivel de concreción se da en la
secuencia numérica, es considerado por Freudenthal (1983) como la pieza fundamental
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20 Capítulo I. El Problema de investigación
de las Matemáticas, desde un punto de vista tanto histórico como genético y sistemático,
siendo estos los números que los niños pequeños entienden y usan, incluso, más allá, de
lo que sus propias necesidades prácticas le exigen: "Sin la serie de los números no hay
matemáticas" (Freudhental, 1983, p. 173).
Pero la secuencia numérica y el número ordinal, lejos de lo que se pudiera
pensar, conlleva una gran dificultad desde el punto de vista de su construcción lógica,
ya que tiene implícito la noción de orden, y con respecto a ella, y desde el punto de vista
siempre lógico, consideramos la siguiente reflexión de Bertrand Russell (1903):
“La noción de orden es más que cualquiera de las analizadas hasta el momento.
Dos términos no pueden tener un orden, ni aún tres un orden cíclico. Debido a
esta complejidad, el análisis lógico de la cuestión presenta dificultades
considerables”. (Russell, 1903, § 188)
En este contexto de: secuencia numérica, número ordinal, dificultades
considerables en la construcción lógica de las relaciones de orden, sin la serie de
números no hay matemáticas y que la secuencia numérica son los únicos números que
entienden y usan los niños pequeños, afrontamos nuestra investigación.
En ella, trataremos de dilucidar sobre la relación existente entre la interpretación y
construcción del conocimiento ordinal de la secuencia numérica en el niño, los modelos
ordinales del número natural y los casos relevantes de relaciones generadoras de series.
La secuencia numérica, independientemente de la naturaleza de sus términos, posee un
soporte conceptual ordinal para su construcción. Tener en cuenta ese soporte conceptual
ordinal nos lleva a su integración en un sistema conceptual e interpretativo coherente.
Dicha coherencia pasa por las concepciones y creencias sobre la secuencia numérica, lo
que remite inmediatamente a consideraciones de tipo psicológico, epistemológico y
didáctico.
Llegados a este punto, es necesario seguir una metodología teórica de
investigación que sintetice todos los campos en cuestión, y que además posibilite la
constrastación empírica. En el ámbito de la Educación Matemática el método seguido se
denomina Análisis Didáctico:
"Denominamos Análisis Didáctico de un tópico o contenido especifico en
Educación Matemática al procedimiento metodológico global que integra y
relaciona, siguiendo un proceso secuenciado y de acuerdo con los criterios
del meta-análisis cualitativo, informaciones relacionadas con el objeto de
estudio y procedentes de fuentes diversas en torno a diferentes áreas de
investigación en Educación Matemática" (González, 1995: pág. 59)
Empezamos el capítulo con el marco matemático conceptual, para seguir con los
antecedentes del trabajo realizado y se caracteriza formalmente el problema de
investigación. Finalmente, se plantean los objetivos y las hipótesis de la investigación.
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Capítulo I. El Problema de investigación
21
2. Marco matemático-conceptual
Dedicamos este apartado a presentar los conceptos matemáticos que hemos
considerado adecuados y hemos usado como marco de referencia para nuestro trabajo.
En primer lugar, definiremos la secuencia numérica como un tipo de serie que
puede generarse a partir de relaciones lógicas ordinales. Estas definiciones están dadas a
partir de la construcción que Bertrand Russell (1903) hace de las relaciones de orden,
quien a su vez, se basa en las relaciones asimétricas biunívocas definidas por Bolzano
(1851), que conlleva como concepto primario lo que él mismo denomina inmediato
posterior al lado de e inmediato anterior al lado de.
Este método de construcción se da frente a otros como el dado por Vivanti
(1985), se caracteriza porque se definen fácilmente los siguientes a un término y los
anteriores, los cuales son considerados como conceptos primarios, para, que a partir de
ellos, se puedan definir el siguiente inmediato y el anterior inmediato.
En consecuencia, en cuanto a los dos métodos de generación de la serie de los
números naturales señalados, podemos puntualizar lo siguiente:
El primero relaciona cada término con uno y sólo uno de la misma
serie, por eso la relación es biunívoca
El segundo pone en relación cada uno de los términos con todos los
demás, la relación es transitiva.
En cualquier construcción del número natural, tanto cardinal como ordinal, juega
un papel muy importante la relación de orden definida en el sistema, se trata de una
buena ordenación y un orden completo; y esto conlleva varias cosas: existencia de
primer elemento, existencia de elementos consecutivos, y algo muy importante que se
desprende del orden total y es que dos términos cualesquiera son comparables. Estas
son razones por las que debemos hacer intervenir relaciones asimétricas consideradas
como biunívocas para la existencia de "siguiente inmediato" y con ello los términos
consecutivos, y también relaciones transitivas para tener garantizada las conexiones
entre los términos y con ello el orden total.
A continuación, veremos cómo Bertrand Russell elige las relaciones asimétricasbiunívocas optando así, por las definiciones primarias de "siguiente inmediato" frente a
las definiciones de "siguientes", para definir lo que es una "progresión", y, en nuestro
caso, identificaremos este tipo de series con la "secuencia numérica"1.
La figura 1 explica el contexto matemático en el que enmarcamos secuencia
numérica en función de las relaciones ordinales.
1
Hemos optado por esta definición de secuencia numérica porque en las progresiones de B. Russell
intervienen de forma explícita e implícita las relaciones lógicas ordinales.
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22 Capítulo I. El Problema de investigación
Relaciones
Relaciones de orden
Relaciones
de
equivalencia
Relaciones ordinales
Relaciones
asimétricasbiunívocas
Relaciones
asimétricastransitivas
Número Natural
Progresiones
Secuencia
numérica
Equipotencia de conjuntos
Número cardinal
Fig. 1 Contexto matemático ordinal de la secuencia numérica.
2.1. Secuencia numérica
Entendemos por secuencia numérica lo siguiente:
"La secuencia numérica es una progresión dada por la relación
generatriz de Bolzano, es decir, es una progresión en el sentido de
Bertrand Russell"
Una progresión de Bertrand Russell es una serie discreta que tienen términos
consecutivos, comienzo pero no fin, y que además es conexa. Una serie es conexa si dos
términos cualesquiera de la misma presentan la relación generatriz. Concretamente, la
definición completa es:
"Sea R cualquier relación asimétrica biunívoca, y u una clase tal que
todo término de la misma tenga la relación R con algún otro que también
pertenezca a la clase u. Exista otro término de la clase que no tenga relación Ř
con término alguno de u. Sea s cualquier clase a la que pertenezca por lo
menos uno de los términos de u que no tiene la relación Ř con término alguno
de u, y a la que pertenece también todo término de u que tiene la relación Ř
con algún término que pertenezca tanto a u como a s; y sea u tal que esté
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Capítulo I. El Problema de investigación
23
contenido totalmente en toda clase s que reúna las condiciones anteriores.
Entonces u, considerado en su orden de acuerdo a la relación R, es una
progresión". (Russell, 1903, § 229)
Para Russell el concepto de progresión caracteriza a los números finitos
mediante propiedades ordinales, en virtud de las cuales, se puede llegar a una
comprensión, de manera esencial, de los fundamentos de la Matemática. La importancia
del orden, desde un punto de vista puramente matemático, ha aumentado enormemente
con las teorías de Dedekind y Peano que han mostrado cómo basar toda la Matemática y
el Análisis en series de un cierto tipo: las progresiones. En este sentido, tenemos, tal y
como lo señala Bertrand Russell (1982), que:
"El sistema de Peano definido por los Axiomas es una progresión y por
tanto determina la secuencia numérica"
Igualmente,
"El sitema singularmente infinito de Dedekind (cadena de su primer
elemento) es también una progresión y por tanto determina la
secuencia numérica"
"Un sistema singularmente infinito es el mismo que hemos llamado progresión"
(Russell, 1982, p.290).
En resumen, tenemos que la secuencia numérica es una progresión de B. Russell,
una serie determinada por los axiomas de Peano y, también, la podemos definir como el
sistema singularmente infinito de Dedekind.
En los Anexos I, (apartados Anexo 1.1, 1.2 y 1.3) podemos encontrar las
definiciones de: relaciones asimétricas y biunívocas de Bolzano, y relaciones
asimétricas y transitivas de Vivanti, así como la demostración de que ambas son
equivalentes.
2.2. Relaciones lógicas ordinales
Definimos las relaciones ordinales como:
"Las relaciones generatrices de las progresiones de Bertrand
Russell, la función sucesor de Peano, o la representación ordenatriz de
Dedekind".
De la definición dada, y teniendo en cuenta Russell (1982), debemos puntualizar
lo siguiente:
1. Todas las relaciones expresadas en la definición son equivalentes.
Russell identifica la definición que él mismo da de progresión con la definición
de "sistema singularmente infinito" que Dedekind utiliza para definir los
números naturales o mejor, como él los llama los números ordinales.
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24 Capítulo I. El Problema de investigación
"Dedekind sugiere que los ordinales son los términos de relaciones tales como los que
constituyen una progresión" (Russell, 1982, p.290).
Por otra parte, Russell identifica lo que él entiende por progresión con un
sistema definido por los Axiomas de Peano:
"Un sistema constituído por una colección de términos y cumpliendo esos axiomas es lo
que hemos llamado progresión" (Russell, 1982, p.282).
Por tanto, si los sistemas son los mismos en todos los casos, entonces las
relaciones lógicas ordinales que intervienen son también equivalentes.
2
Todas ellas representan una relación asimétrica y biunívoca, que sería la
relación generadora de series de Bolzano. A partir de esta relación se puede
obtener una relación asimétrica y transitiva y viceversa2.
Consecuentemente de los puntos 1 y 2, las relaciones lógicas-ordinales se
concretizan en:
Siguiente inmediato.
La relación generadora de series de Bolzano, define "el inmediato
posterior al lado de", que nosotros llamaremos "siguiente inmediato". Por
la relación recíproca tenemos la relación anterior inmediato.
Siguiente cualquiera ó siguiente.
Al poder pasar de la relación asimétrica -biunívoca de Bolzano a la
relación asimétrica y transitiva de Vivanti, y viceversa, queda, así
definido la relación de siguiente a través de la relación de siguiente
inmediato, y viceversa. Análogamente, por la relación recíproca tenemos
la relación anterior.
Entre.
La relación entre la consideraremos desde el punto de vista de las
relaciones asimétricas y transitivas. Es la presentación de dos relaciones
simultáneamente, una del elemento que consideramos entre con un
elemento dado que es siguiente de él, y otra, de ese mismo elemento (el
considerado entre) con otro elemento dado que es anterior a él (relación
recíproca de la primera).
2
Véanse los Anexos I.
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Capítulo I. El Problema de investigación
25
Entre inmediato.
Consideramos esta definición análoga a la anterior, con la particularidad
de considerar la relación asimétrica biunívoca en lugar de la asimétrica
transitiva.
Primer elemento.
Es un elemento muy importante y singular. Es considerado el elemento
generatriz de la secuencia. Es el único que cumple que es anterior a
todos y cada uno de los demás términos y no presenta la relación
recíproca con ningún otro.
"El primer elemento puede definirse siempre de un modo no numérico".
"Generalmente en cualquier serie es el único que tiene la relación constitutiva
en un sentido"
"Debe asignarse el primer término de una serie, como se hace en el punto de
vista de Dedekind, considerando una progresión como una cadena de su primer
elemento". (Russell, 1982, p. 292).
Primer y último elemento.
Hace referencia a la relación entre que todos y cada uno de los términos
de la secuencia numérica mantiene con todos y cada uno de los términos
restantes.
3. Antecedentes
Los antecedentes de este trabajo los buscamos en distintos campos teóricos, y
así, tenemos:
1. Epistemología matemática.
De las teorias de Dedekind y Peano sobre la construcción del número natural a
través del numero ordinal y la refutación de Russell de que en ambas construcciones no
hay definición explícita de los términos que componen el sistema, llegamos a plantear
una definición lógica de la secuencia numérica fundamental en toda nuestra
investigación.
2. Educación Matemática.
Teniendo en cuenta los estudios realizados por Ortiz (1997), en España se
distinguen tres períodos en la transmisión de la aritmética del siglo XX: aritmetista,
conjuntista y post-conjuntista. La acción de contar es resaltada en los períodos
estudiados como fundamental en la construcción del número natural, siendo aún más
patente en el período aritmetista (Ortiz Comas, 1997). En la tendencia actual, predomina
el aspecto ordinal del número natural en un contexto epistemológico y escolar
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26 Capítulo I. El Problema de investigación
totalmente aritmetista. En este contexto se ha estudiado el Razonamiento Inductivo
Numérico cuyo origen ontogenético debe estar en la construcción individual de la
secuencia numérica en su perspectiva ordinal.
En Educación Matemática encontramos autores que fundamentan la didáctica de
la aritmética en la secuencia numérica: Guiu Casanova (1948), Pedro Avellanas (1960),
Rey Pastor (1966) y Angulo, Alvarez (1960) (Enciclopedia). A esta lista se podrían
añadir muchos otros autores todos ellos del período aritmetista.
Hacemos especial mención a Freudenthal (1983) en este apartado de
antecedentes, ya que considera que la secuencia numérica es la pieza fundamental de las
Matemáticas, y por tanto, entre las distintas concepciones del número atendiendo a su
fenomenología, prima, especialmente y con gran relevancia "el número para contar"
Otro antecedente en este campo, es la investigación de Ortiz (1997) en la que se
evidencia que los niños de Educación Infantil del período inductivo, frente al
preinductivo, son aquellos que usan la secuencia numérica para anticipar un término en
una serie.
3. Procesamiento de la información.
Consideramos como antecedentes, fundamentales, en este campo: el trabajo
longitudinal transversal de Fuson, Richards y Briars (1982) que comprende desde los 2
a los 8 años, para analizar la elaboración y adquisición de la secuencia de numerales. A
este trabajo debemos unir otro de gran relevancia en la teoría moderna del conteo: los
principios del conteo de Gelman y Gallistel.
A estos trabajos unimos, entre otros, los de: Baroody (1986),, Wagner y Walters
(1982), Saxe(1981), Song y Ginsburg (1988), Saxe, Becker, Sadeghpour y Sicilian
(1989), Riley, Greeno (1984), Fuson y Hall (1986), Gelman y Meck (1986), Clement y
Callahan (1983), Sophian (1988).
4. Estructura operatoria
Es el estudio de la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia
numérica. Los antecedentes, respecto a este punto, lo podemos encontrar en la obra de
Piaget y sus colaboradores.
3.1. Trabajos e investigaciones previas.
Atendiendo a las búsquedas bibliográficas realizadas (ver apa. 6 del capítulo II)
con relación al tema de investigación, podemos señalar una serie de antecedentes de
interés para nuestro trabajo, en cuanto a que, todos ellos tratan temas numéricos de
manera empírica con niños de corta edad.
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Capítulo I. El Problema de investigación
27
Hemos tenido en cuenta, en la selección de los mismos, dos aspectos básicos:
tipos de investigaciones realizadas con relación a la secuencia numérica en Educación
Infantil, su naturaleza e interpretación, y los instrumentos de observación y
experimentación utilizados.
Queremos destacar que no hemos encontrado ningún estudio previo sistemático
sobre el tópico elegido, al menos no con el aparato metodológico y conceptual que
hemos desarrollado.
Sí hemos encontrado algunas investigaciones cualitativas, que usan entrevistas ó
cuestionarios pasado de una manera individual a niños de Educación Infantil y primeros
años de Primaria, relativos al estudio del conteo y relaciones lógicas. Por su cercanía a
alguna fase de nuestro estudio hemos hecho una descripción resumida de ellos.
A continuación realizamos un resumen de manera sistematizada de la siguiente
forma:
Autor/Año
Muestra, nº de niños y edad
Procedimiento seguido en las entrevistas
Conceptos que se trabajan en la investigación
Tabla 1. Esquema del procedimiento seguido en la presentación de las investigaciones cualitativas
estudiadas.
PIAGET, J.; SZEMINSKA, A. (1964)
Muestra3:
Niños de 4 años a 7 años y 11 meses
Procedimiento. Se presenta una colección de objetos que pueden ser ordenados por
tamaño. Se señala un objeto determinado indicando su posición ordinal, el niño
tiene que averiguar el cardinal del conjunto de elementos anteriores a ese dado.
Conceptos. Relacionar el aspecto cardinal y ordinal: al llegar al séptimo objeto de
una serie, la colección previamente contada es de tamaño seis, y la colección
que habrá sido contada después es de tamaño siete.
SCHAEFFER, B., EGGLESTON, V.H. y SCOTT, J.L. (1974).
Muestra: 65 niños, de 2 años a 5 años y once meses.
3
En Piaget, Szeminska, (1964) no hemos encontrado explícitamente en ninguna de las pruebas tratadas el
número de niños.
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28 Capítulo I. El Problema de investigación
Procedimiento: Meter en una copa un cierto número de caramelos, contar un grupo de
hombres (entre 1 y 5, y de 1 a 10). Contar una colección de objetos, coger una
colección con un número cardinal dado, elegir el mayor de dos números al
preguntarle “cuántos caramelos prefieres tener”.(Referencia a colecciones
particulares de objetos)
Conceptos Recitado de la secuencia numérica, regla de cardinalidad y tamaño relativo
de los números4.
GELMAN, R. y GALLISTEL, C.R. (1978).
Muestra. 25 niños de 2 años
Procedimiento. Experimentos mágicos: situaciones de cuantificación relativa, se
efectúan transformaciones cuantitativas en las muestras, y se emplean
conjuntos muy pequeños ( 2 y 3, 3 y 5).
Conceptos. Principio de correspondencia uno a uno y principio de orden estable (con un
tramo de secuencia del 1 al 3).
SHANNON, L.(1978).
Muestra. 50 niños de 3 a 6 años.
Procedimiento. Se solicita a los niños que cuenten muestras con 4, 7, 10 y 14 items
distribuidos en columnas o en hileras ( la muestra de 4 elementos fue desechada
por la nula dificultad que representaba para todos los sujetos)
Conceptos. Los niños pequeños emplean estrategias espaciales en el conteo: estrategia
proximal, estrategia periférica, estrategia lineal.
BRAINERD, C. J. (1979).
Muestra. 180 niños: 90 de 5 años y 9 meses, y 90 de 6 años y 8 meses.
Procedimiento: El investigador presenta al niño un tablero rectangular con dos ramitas
rojas pegadas, siendo éstas de diferente longitud. Presenta una tercera ramita
amarilla que el niño puede mover y con una longitud comprendida entre las dos
anteriores. El niño debe comparar la ramita amarilla con la más corta y a
continuación con la más larga de las rojas que permanecen pegadas. A
continuación debe comparar las dos rojas.
Concepto. La relación asimétrica “más larga que” es también transitiva.
SAXE, G. (1979).
4
Así es como los autores llaman a los conceptos trabajados en sus pruebas.
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Capítulo I. El Problema de investigación
29
Muestra. 66 niños de 3 a 6 años
Procedimiento. Contar colecciones con distintas listas de nombres
Conceptos. Los niños son capaces de diferenciar los números de cualquier otra lista
ordenada de elementos usada para el conteo.
WAGNER, S. y WALTERS, J.A. (1982).
Muestra. 64 niños de 1 año a 4 años y 4 meses.
Procedimiento. Reconocimiento de la completitud numérica de un conjunto al
compararlo con un modelo. Pedir un número determinado de elementos.
Conceptos. Evaluación de la magnitud. Diferenciación
Correspondencias. Principio de cardinalidad.
de
magnitudes.
WAGNER, S. y WALTERS, J.A. (1982).
Muestra. 56 niños de 3 a 5 años y 11 meses
Procedimiento. Los niños cuentan un conjunto dispuesto en hilera con menos elementos
de los que cuenta en su recitado de la secuencia previamente evaluado; y
recíprocamente, se les pone a contar conjuntos con un gran número de elementos
(muchos más de los que dispone la secuencia numérica conocida por ellos).
Conceptos: Patrones de correspondencia (uno-a –uno obsesivo, muchos-a-uno)
evolutivamente anteriores a la correspondencia uno a uno, siendo, éste, sensible al
tamaño de los conjuntos de partida (la secuencia de numerales conocida por los
niños).
GINSBURG, H. (1982).
Muestra. 49 niños de 2 años y 8 meses a 5 años y 3 meses.
Procedimiento. Los niños recitan la secuencia numérica y a continuación han de contar
un conjunto con un número inferior de elementos que la secuencia recitada.
Conceptos. Diferencia entre el conteo abstracto y conteo, ya que la habilidad para decir
los numerales no garantiza su aplicación correcta.
BRAINERD, C.J. (1983).
Muestra. 50 niños de 4 y 5 años.
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30 Capítulo I. El Problema de investigación
Procedimiento. A cada niño se le presenta 5 problemas, se trata de 12 experimentos. La
metodología general para todos ellos es: Un recipiente contiene números de
plásticos y fichas con dibujos de animales familiares. Los animales y los números
están relacionados. Los niños tienen que predecir los animales correspondientes
según los datos del investigador, p. Ej. Si saco una foto del 75 ¿será una tortuga o
un conejo?
Concepto. Análisis de memorización de término numéricos.
GELMAN, R. y MECK, E. (1983).
Muestra. 24 niños de 3 y 5 años
Procedimiento Los niños juzgan la ejecución de una marioneta que efectúa diferentes
conteos de una misma colección colocada en hilera
Concepto. Principio de correspondencia uno a uno
RUSSAC, R.J. (1983).
Muestra. 34 niños de 2 a 4años
Procedimiento Contar distintas hileras de distinta densidad y tamaño
Conceptos. Numerosidad relativa. Los niños son capaces de discriminar pequeñas
colecciones de objetos (2 a 4 objetos), fundándose en el número de elementos e
independientemente de la longitud y densidad de las hileras.
WILKINSON A. C. (1984).
Muestra 36 niños de 4 y 5 años
Procedimiento. Incluye varias tareas: a) recitar, en la que el experimentador señala los
objetos y el niño se limita a etiquetarlos parando cuando se deja de señalar; b)
conteo fácil, en la que se trata de ir contando los elementos (que son de diferente
formas y colores) de una muestra lineal, al mismo tiempo que se los señala; c)
contar difícil en la que se cuentan los elementos de una muestra semicircular con
elementos idénticos.; y d) tarea de señalar difícil en la que hay que señalar uno
por uno elementos que son idénticos de una muestra circular, pero sin tener que
etiquetarlos al mismo tiempo.
Conceptos. Análisis de algunas componentes del conteo: partición, etiquetación y
detención simultánea de los procesos de etiquetación y de partición.
5
Con el 7 ha denominado uno de los grupos de animales. Las distintas clases están todas ellas
denominadas por números.
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Capítulo I. El Problema de investigación
31
STRAUSS, M.S. y CURTIS, L.E. (1984).
Muestra. 25 niños desde un año y medio a 3 años.
Procedimiento. Se presentan distintas colecciones de objetos con diferentes
disposiciones espaciales, el niño tiene que detectar donde hay más.
Concepto. Numerosidad relativa, es decir la relación ordinal existente entre dos
conjuntos diferentes; detectar la relación más que y menos que.
LIDDLE, I. y WILKINSON, J.E. (1987)
Muestra
Niños de 6 años
Procedimiento. Estudio longitudinal realizado durante 3 años con niños de 6 años
Conceptos. Se confirman los resultados piagetianos cuando los conjuntos son
pequeños (menores que 5); mientras que con conjuntos grandes aparece en primer
lugar el orden, después el número, para terminar como adquisición tardía con la
clasificación
SAXE, G; GUBERMAN, S.; GEARHART, M. (1987).
Muestra. 72 niños de 2 años y 4 años
Procedimiento. Tarea de “conteo complejo”. Conjuntos con 13 elementos (cuando solo
contenían 5 no observaba variabilidad alguna en las estrategias de los niños.
Disposición de los elementos en varias hileras.
Conceptos. Estrategias empleadas por los niños de 2 y 4 años cuando cuentan una
muestra con una configuración espacial dada.
SERRANO, J.M.; DENIA A.M. (1987).
Muestra: 74 niños: 20 de 1º de E.G.B., 19 de 2º, 15 de 3º y 20 de 4º.
Procedimiento: Es una adaptación de una tarea de Steffe, Spikes y Hirstein (1976).
¿Cuántos puntos hay entre las dos tarjetas juntas?, esta es la pregunta que se le
hace al niño después de presentarle dos tarjetas de puntos con sus
correspondientes números cardinales.
Conceptos. Análisis de las estrategias de conteo (conteo total versus conteo parcial) en
la adición y sustracción.
FUSON, K. (1988).
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32 Capítulo I. El Problema de investigación
Muestra 86 niños de 3,6 años a 6,0.
Procedimiento Se presenta una fila con 4 ó 5 bloques, el experimentador pregunta
¿cuántos bloques hay?; añade sistemáticamente uno ó dos bloques preguntando de
nuevo ¿cuántos hay?, así hasta alcanzar 33 ó 34 bloques en la fila.
Conceptos. La correspondencia uno a uno es posible gracias a los “actos de indicación”
(término genérico para referirse a los señalamientos), que establecen
correspondencias témporo-espaciales al vincular cada uno de los numerales
emitidos con uno de los objetos. Errores en el principio de correspondencia uno a
uno.
MURRAY, P.; MAYER, R. (1988).
.
Muestra. 28 niños de 3 años y 28 de 4.
Procedimiento. El niño debe ir contando en voz alta las uvas que el experimentador saca
una por una de una bolsa de papel. A continuación debe comparar estos números:
1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 3-6, 5-6, 5-7, 5-8, 6-7, 6-8, 6-9, 7-8, 7-9 y 89, cuando se ponen en platos respectivos, que contiene cada uno de ellos un
animalito, tantas uvas como indica el par de números considerado, entonces el
experimentador pregunta: “¿Quién tiene más?, ¿Tiene más el que tiene x ó el que
tiene y?”
Conceptos. La capacidad para emitir la secuencia de numerales hasta un punto concreto
de la misma no representa un índice de su capacidad para responder correctamente
a las preguntas de las tareas de comparación de magnitudes.
BERMEJO, V.; LAGO, M. O. (1991).
Muestra: 72 niños distribuidos en tres grupos de 24: de 4,10 por media, 5,10 y 7,3.
Procedimiento: Entrevistas individuales. Se presentan: 1) dos hileras con igual número
de círculos, una roja y otra negra, sobre una lámina de acetato, se pide: “Hay
alguna ficha roja que no tenga su ficha negra”, cuenta la hilera de círculos rojos,
¿cuántos hay?, ¿cuántas fichas negras hay?. 2) Dos hilera con distinto número de
círculos, se pide: Cuenta la hilera de menor tamaño, ¿cuántos hay?, igual para la
otra. A continuación se pide al niño que haga “una fila que tenga más caramelos
que ésta y menos que ésta”. 3) Se pide al niño que construya una hilera con x
elementos más que el modelo (7, 6 y 5 caramelos para los conjuntos de 7, 8 y 9
círculos respectivamente).
Concepto. Valor funcional del conteo: su comprensión en distintas relaciones
numéricas.
LAGOS, M.O. (1992).
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Capítulo I. El Problema de investigación
33
Muestra. 72 niños distribuidos en tres grupos de 24: de 3,11 por media, 4, 7 y 5,4.
Procedimiento. Entrevistas individuales. Se solicita al niño que cuente conjuntos de
objetos y responda a la pregunta de cardinalidad (¿cuántos hay?); el niño enseña
a una marioneta como se cuenta; finalmente la marioneta cuenta cometiendo
errores y el niño ha de detectarlos. Dos tipos de distribución: en hilera y
desordenados. Conjuntos de 26 elementos, y conjuntos pequeños (6, 7 y 9
elementos).
Conceptos. Competencia conceptual ( en cuento al proceso de adquisición y elaboración
del conteo según el modelo procesual de Gelman y Gallistel) que subyace a las
ejecuciones de conteo en niños de diferentes edades en distintas situaciones
experimentales.
BRAINERD, C. J.; GORDON, L. L.(1994).
Muestra. 48 niños de una media de edad de 8 años y dos meses, y 48 niños de una
media de edad de 5 años y 4 meses
Procedimiento. 20 minutos por niño. Se presenta, respectivamente: 3 perros, 5 ovejas, 7
pollos, 9 caballos, 11 vacas. Después se hace una presentación al azar.
Verbalización numérica: ¿Cuántas vacas hay: 11 ó 9?. Comparación de conjuntos:
¿Qué animales tiene más caballos o vacas?, ¿hay más caballos que vacas?.
Conceptos. Los niños recuerdan motivos numéricos por un proceso memorístico de
verbalización. Desarrollo del orden de la secuencia numérica verbal y la memoria
como motivo principal en las relaciones numéricas
WYNN, K. (1995).
Muestra. 36 niños de 2 años y medio a 4
Procedimiento. Se trata de las tareas “dar un número” (Give-a-number). Se presentan 6
animalitos de juguete a pilas y se le pide al niño que coja un número determinado
(por ejemplo 5).
Conceptos. Capacidades numéricas de los niños (subitización. Diferenciar tres de 4),
comparción perceptiva de colecciones, contar para comparar. Mecanismos
acumuladores de representación numérica. El número como representación
cultural y lingüística del conteo.
SOPHIAN, C. (1995).
Muestra 22 niños de 3 años ( media 3,9), 20 de 5 años (Media 5,1) y 15 niños 6 años
(M, 6,5)
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34 Capítulo I. El Problema de investigación
Procedimiento. Son tareas individuales. Se presentan 8 problemas de conservación de
una transformación en la que sobre un elástico se ha colocado 5 pinks (conjuntos
cortos) u 11 –13 pinks (conjuntos largos), la elasticidad hace variar la separación
entre los objetos. También se presentan problemas de sustitución (reemplazar 11
pink por 11 botones ó 11 pink por 13 botones), presentar dos conjuntos en hilera y
preguntar donde hay más.
Conceptos Relación existente entre la capacidad de contar y la conservación del
número, existe una correlación entre el desarrollo de las dos capacidades.
WELKO, T.; JOHANNES, T. (1996).
Muestra. 310 niños, de 4.2 a 8,5. Años
Procedimiento. Seriar 6 tubos (igual con 10) con una diferencia de 5 cms cada uno,
seriar 6 rectángulos de tamaños diferentes (igual con10), seriar rectángulos enumerados
(primero con 6 unidades y después con 10). Las tareas de comprensión de la secuencia
numérica iban encaminadas a la descripción verbal de dos cuestiones: a) ¿cuáles son los
números anteriores a un número particular dado? (i.e. 3, 7, 10, 14, 26, 38, y 59
respectivamente); b) ¿qué números preceden a un número particular dado? (i.e. 7, 15, 25
y 43 respectivamente); c) ¿qué números son más grandes o más pequeños? (i.e. 9 ó 8, 7
ó 12, 21 ó 18, 43 ó 39 respectivamente)
Conceptos. La seriación de objetos por atributos es esencial para la habilidad de contar.
(para la comprensión de las habilidades numéricas). Existe una correlación entre el éxito
en las tareas de seriación y la comprensión de la secuencia numérica.
HARTNETTT, P.; GELMAN, R. (1998).
Muestra. 52 niños de 5 años. 27 de 6 años y 31 de 7 años
Procedimiento. El experimentador deja que el niño recite la secuencia numérica hasta
125. Después selecciona un número N (puede ser cualquiera, incluso mayor que 1000) y
pregunta por el siguiente de ese número, dando a elegir entre N-2, N-1, N, N+1 y N+2.
Otra de las tareas consiste en recitar tramos de la secuencia: de 85 a 103, de 100 a 112,
de 140 a 158, de 180 a 197, de 210 a 223, de 990 a 999.
Concepto. Principio de sucesión (Sucesor Principle): cualquier número natural tiene un
sucesor.
Podemos observar que los estudiosos del procedimiento de conteo no tienen en
cuenta las definiciones lógicas subyacentes al concepto de número natural, centrándose
prioritariamente en la explicación de las ejecuciones de los niños en la tareas de conteo.
Los datos y conclusiones a las que llegamos en el presente trabajo no son
contrastables con los procedentes de estas investigaciones, ya que estos trabajos se
ocupan, fundamentalmente, del procedimiento de conteo mientras que nuestro objeto de
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Capítulo I. El Problema de investigación
35
estudio es, precisamente, las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la
secuencia numérica usando el conteo como instrumento secuencial que manifiesta
dichas relaciones.
4. El problema de investigación
Nuestro trabajo está centrado en el segundo ciclo de Educación Infantil, el cual
abarca las edades 3, 4 y 5 años. Nos interesa el conocimiento lógico ordinal de la
secuencia numérica en su proceso de construcción; y son, esas edades, las que
comprenden el período escolar en el que los niños inician el estudio del número natural
en cuanto a los aspectos ordinal y cardinal, así como la realización de tareas mediante la
acción de contar.
Con una muestra de niños que abarque los tres niveles de Educación Infantil
considerados anteriormente, y, a través de un estudio transversal, pretendemos construir
y validar un modelo que explique, describa y justifique el desarrollo del conocimiento
de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños
de 3 a 6 años.
Nos proponemos probar que las diferentes estrategias lógicas ordinales que
permiten establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia se
pueden organizar en un modelo de desarrollo para explicar la evolución del
conocimiento lógico ordinal de la misma.
Como consecuencia de la realización de los estudios y reflexiones anteriores, así
como del análisis didáctico que trataremos en el Capítulo III de este Informe,
centraremos el estudio con definiciones previas que vimos en los apartados 2.1 y 2.2 de
este capítulo.
Situándonos en la posición de Peano y Dedekind frente a la postura de Bertrand
Russell respecto a la definición de los términos de una progresión, podemos centrar
nuestro problema de investigación como sigue:
El problema de investigación está enmarcado en el estudio de la
naturaleza del conocimiento de la secuencia numérica en los niños
de 3 a 6 años, que posibilita el descubrimiento de relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica.
Consideramos que hay dos puntos a tratar:
1. Naturaleza del conocimiento de la secuencia numérica en los niños.
2. Evolución de la comprensión de las relaciones lógicas-ordinales entre los términos
de la secuencia.
Situándonos en la parte lógica del estudio, nos interesamos por cómo
evolucionan las relaciones ordinales implícitas en la secuencia numérica en los
niños, teniendo en cuenta que esas relaciones ordinales están tratadas desde el
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36 Capítulo I. El Problema de investigación
punto de vista lógico, y por tanto son relaciones generatrices de la secuencia
numérica, es decir, son relaciones en el sentido de Bolzano y la secuencia
numérica es una progresión en el sentido de Bertrand Russell.
Teniendo en cuenta este segundo punto como aspecto relevante en la
Investigación, podemos definir nuestro problema como sigue:
Un estudio que pretende explicar y describir el desarrollo de las
relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica en niños de 3 a
6 años.
4.1. Origen del problema.
El origen del problema de investigación lo podemos situar en la construcción
escolar, familiar y social de las nociones de secuencia numérica y en la propia acción de
contar.
Es evidente, que el niño tiene mucha información numérica antes de empezar la
Educación Primaria, ha realizado experiencia con números, ha elaborado una primera
información y debe estructurarla (Fernández, 1998). Estamos de acuerdo con Castro y
otros cuando afirman que es obligación para el aprendizaje de la Aritmética
La integración de todas las experiencias e informaciones numéricas significativas que aporten los
niños, ayudándoles a organizar su conocimiento en estructuras de ideas relacionadas. (Castro y
otros 1987, p. 98)
En cuanto las experiencias de los niños con la secuencia numérica observamos lo
siguiente:
Están íntimamente relacionadas con la acción de contar
No se tienen en cuenta el tipo de relaciones que los niños utilizan para hacer
secuenciar a los números
La secuencia numérica se transmite mediante reiteración desarrollando en los
niños unos hábitos ordinales no justificados
Para llegar a los conceptos y operaciones numéricas es usual utilizar el
recuento como procedimiento.
Teniendo en cuenta que, en el curriculum escolar, la secuencia numérica básica
predomina como procedimiento largo tiempo en toda la aritmética elemental así como
en la resolución de tareas de razonamiento inductivo (Ortiz, 2001), gran parte de la
Matemática Elemental está condicionada a su manejo y comprensión por los alumnos.
Así, si el niño no ha asimilado, elaborado y construido el conocimiento ordinal de la
misma, difícilmente podrá acomodar y asimilar en sus experiencias anteriores los
saberes que se le intentan transmitir.
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Capítulo I. El Problema de investigación
37
5. Supuestos sobre el aprendizaje de las matemáticas en esta
investigación.
Estas ideas están influenciadas, fundamentalmente, por: la teoría de las formas
conceptuales de Stegmüler (1979); naturaleza y métodos de la epistemología genética,
así como el desarrollo evolutivo, de Piaget (1979b); y algunas consideraciones en
psicología cognitiva desde un paradigma mediacional (Mayer, 1985, 1986; Sternberg,
1990).
5.1. Supuestos generales
Según Ortiz (1997), los supuestos generales son los siguientes:
•
El desarrollo del curriculum ha de adaptarse a las posibilidades conceptuales,
cognitivas, sociales y culturales de los alumnos.
•
El niño presenta una mente en desarrollo: las relaciones que un niño pueda
establecer están condicionadas por su sistema conceptual y por la variedad de
opciones que le posibilitan sus esquemas cognitivos.
•
Los conceptos están determinados por los referentes que se utilizan en su
interpretación y, por tanto, depende de los sistemas conceptuales.
•
El conocimiento no siempre es acumulativo: el avance del conocimiento no
siempre consiste en acumular nuevos conceptos en un sistema conceptual
determinado sino, principalmente, en la modificación y evolución del mismo.
•
El conocimiento matemático se construye, no se aprende. En esta construcción
es tan importante la información recibida como los aportes del sujeto. Nuestra
posición constructivista no es, por supuesto, radical ya que estamos dentro de un
constructivismo psicológico ( Piaget, 1985; Piaget y Morf, 1970) y matemático
(Poincaré, 1963; Polya, 1966)
•
Lo que un alumno es capaz de construir en matemáticas está mediatizado por el
aprendizaje recibido.
•
Desde una perspectiva ética, todo planteamiento en Didáctica de la Matemática,
debe preservar la autonomía intelectual de los alumnos (Kamii, 1982); esto
significa una adaptación a sus sistemas conceptuales, creencias socioculturales y
cognición.
•
Psicológicamente nuestros planteamientos están en un paradigma mediacional:
entre el estímulo y la respuesta hay procesos intermedios.
•
Las teorías y modelos sobre cómo pensamos y aprendemos están determinadas
por los instrumentos, conceptos científicos y por las intenciones que prevalecen
en su construcción. Los cambios paradigmáticos provocan cambios científicos
que modifican el enfoque, alcance y los logros de nuevas teorías.
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38 Capítulo I. El Problema de investigación
•
El aprendizaje de las matemáticas no escapa a las consideraciones anteriores.
Estos planteamientos están dentro de un constructivismo psicológico,
matemático y didáctico, postulando que el aprendizaje en matemáticas está
condicionado por:
a) Esquemas y estructuras mentales subyacentes al propio saber y que el
conocimiento de su desarrollo debe ser útil para una mejor adaptación curricular
de la matemática elemental en Educación Infantil.
b) Los conceptos que dispone un niño condiciona lo que puede aprender o construir
sobre los mismos.
c) La enseñanza recibida determina la manera de entender y acceder al saber.
5. 2. Supuestos de partida.
Un supuesto inicial de nuestro trabajo es:
Hay más de un factor a tener en cuenta en la construcción del conocimiento
de la secuencia numérica.
Hemos planteado lo siguiente:
a) En la construcción del conocimiento de la secuencia numérica las relaciones
lógicas ordinales juegan un papel relevante.
b) Dentro de un contexto sociocultural determinado, los relaciones lógicas
ordinales que el niño pueda establecer dependerán de al menos estas
componentes básicas:
Sus capacidades y habilidades cognitivas
Los conceptos y procedimientos secuenciales o seriales que disponga,
así como la estructura operatoria de los mismos.
La noción de número natural que se le ha transmitido y su
fundamentación epistemológica
Los contextos y situaciones en los que aplicar la acción de contar.
6. Objetivos de la investigación
Como ya hemos indicado, esta investigación está en la línea de Pensamiento
numérico; en este sentido, las metas generales y particulares de la misma, se encuadran
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Capítulo I. El Problema de investigación
39
dentro de sus objetivos.
1. Objetivo general.
Planteamos el objetivo general de este estudio en los siguientes términos:
"Analizar la naturaleza y evolución del conocimiento lógico-ordinal de la
secuencia numérica en los escolares de Educación Infantil (3 a 6 años)"
2. Objetivos específicos
El objetivo general anterior se concreta en los siguientes objetivos específicos:
O1.
Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del marco
general del número natural.
O2.
Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número natural
O3.
Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la secuencia
numérica en la acción de contar
O4.
Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica
O5.
Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal de la
secuencia numérica y comprobar, con escolares de Educación Infantil (3-6
años), la utilidad y eficacia del modelo para describir su comportamiento real en
el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la
secuencia numérica.
O6.
Caracterizar cada uno de los diferentes estados de desarrollo en términos de
estrategias y procedimientos relativos al conocimiento ordinal
.
3. Objetivos complementarios.
C1.
Iniciar una línea de trabajo en Pensamiento Numérico en Educación Infantil,
dentro de la línea de investigación seguida por Ortiz Comas cuyo nivel de
concreción se da en "Razonamiento Inductivo Numérico".
C2.
Comprobar la utilidad del Análisis Didáctico para fundamentar y contextualizar
investigaciones en Educación Matemática.
C3.
Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este tipo de
investigaciones en las que se estudian conceptos lógicos-matemáticos en niños
de Educación Infantil
7. Hipótesis.
Las hipótesis se han formulado sobre la base de los siguientes puntos:
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40 Capítulo I. El Problema de investigación
•
•
•
•
•
•
Los objetivos de la investigación
El planteamiento del problema de investigación
El marco metodológico y los diseños empíricos que se expondrán en los
capítulos correspondientes
El análisis de la secuencia numérica en cuanto a: epistemología del número
natural, educación matemática con el número para contar, como componente del
conteo, así como la estructura lógica de seriación subyacente a la misma.
Los resultados del estudio exploratorio y del estudio empírico que veremos más
adelante
Nuestra experiencia y conocimientos en Didáctica de la Matemática.
Con la primera queremos plantear la importancia de la Epistemología en
Educación Matemática (Ortiz, 1997; González, 1995, Piaget, Apostel, y otros 1986),
intentando mostrar que la secuencia numérica, y las relaciones lógicas ordinales como
concepto primario generador de la misma, está en el origen del número natural y por
consiguiente sustenta todo el edificio matemático.
H1.
Existen corrientes epistemológicas que consideran las relaciones lógicas
ordinales del número natural como el origen de toda la construcción matemática
Nuestra segunda hipótesis se refiere a la secuencia numérica y su repercusión en
la enseñanza del número natural teniendo en cuenta que las distintas interpretaciones
epistemológicas sobre la misma se han reflejado en la enseñanza del número en la
escuela (Castro y otros, 1987; Ortiz y González, 2001).
H2.
Existen líneas en Educación Matemática que priman el aspecto ordinal del
número natural frente a su aspecto cardinal.
Si consideramos la secuencia numérica y el desarrollo del número en el niño en
el modelo piagetiano, es lícito plantear la viabilidad de la aplicación de la estructura
lógica de seriación a la serie numérica natural (Fernández, 1998; Tomic y Kingma,
1996), en base a ello planteamos la siguiente hipótesis:
H3.
Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación de
Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en
cuenta en la didáctica del número natural.
Realizando un análisis funcional de la secuencia numérica6 podemos conjeturar
la siguiente hipótesis (Wilkinson 1984, Bermejo y Lago 1991):
H4.
Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica
Para el desarrollo de la fase experimental debemos buscar pruebas adecuadas
para alumnos del segundo ciclo de Educación Infantil que conlleven distintos
procedimientos inferenciales sobre las relaciones lógicas ordinales que, a su vez, sirvan
como punto de partida para el razonamiento en el niño del aspecto ordinal, con
6
Ver apartado 5.2 del capítulo III de este mismo informe.
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Capítulo I. El Problema de investigación
41
independencia del cardinal, en la secuencia numérica (Fernández, 1997 y 1998;
Donaldson, 1979; Berthoud y Ackermann. 1986); con este propósito formulamos la
quinta hipótesis.
H5.
Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un
diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas que
podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los esquemas
lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.
Si se confirman las hipótesis anteriores tendremos tareas exclusivamente
ordinales apropiadas a niños de 3 a 6 años; es entonces cuando nos proponemos
organizar, de manera evolutiva7, los distintos procedimientos y estrategias que ellos
utilizan en la resolución de las mismas, para lo que se contracto la siguiente hipótesis
(Ortiz, 1997; Fernández, 2001):
H6.
7
Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones
lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6
años, se pueden organizar en un modelo teórico de desarrollo que explica y
describe la evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia.
Teniendo en cuenta el análisis didáctico y estudio exploratorio de este mismo informe, así como las
investigaciones previas en el marco Procesamiento de la Información, las diferentes estrategias,
procedimientos y conceptos ordinales que los niños aplican tiene connotaciones cognitivas de carácter
evolutivo.
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CAPITULO II
MARCO METODOLÓGICO
1. Introducción.
Con el trabajo de investigación que presentamos se pretende indagar en las
capacidades, habilidades y estrategias cognitivas que manifiestan los niños de 3 a 6 años
de edad, ante tareas que requieren del conocimiento lógico ordinal. Para ello, nos
proponemos elaborar y contrastar empíricamente un modelo teórico que describa y
explique la evolución de dicho tipo de conocimiento en el segundo ciclo de Educación
Infantil.
La finalidad última es ampliar el conocimiento sobre desarrollo cognitivo en el
campo numérico, disponer así de nuevos elementos que permitan resolver los problemas
de la práctica escolar en dicho campo y mejorar la planificación y el desarrollo de los
procesos de enseñanza-aprendizaje en matemáticas.
De acuerdo con la naturaleza de la investigación, el alcance de la misma y la
población escolar a la que nos dirigimos, ha sido necesario experimentar con estudios
cualitativos en los que se usa la entrevista clínica semiestructurada como principal
medio de recogida de información.
En este capítulo presentamos, en sucesivos apartados, el marco metodológico
elegido, de acuerdo con la naturaleza y los objetivos de la investigación, la situación de
las hipótesis en relación con el proceso de investigación, el plan de trabajo seguido a lo
largo de los cinco años que se han empleado para culminar la tarea, las características
científicas del trabajo y del método utilizado así como las principales fuentes de
información y documentación consultadas.
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44 Capítulo II. Marco Metodológico.
2. Racionalidad del estudio
Desde la perspectiva de la investigación en Didáctica de la Matemática, una
finalidad básica en los estudios sobre desarrollo cognitivo consiste en describir el
desarrollo de los conceptos matemáticos en los niños, así como explicar los procesos
mediante los que estos conceptos se adquieren y aplican (Carpenter, 1980).
Para abordar este tipo de estudios se suelen emplear, básicamente, dos modelos
explicativos: el modelo orgánico u organicista, representado por Piaget y sus seguidores,
y el modelo mecánico, que se considera como una extensión del conductismo (Bermejo
y Lago 1994). Nuestro trabajo se sitúa en el primero de ellos, es decir, en el modelo
organicista.
Para obtener datos empíricos útiles y fiables en un estudio de desarrollo cognitivo
de tres a seis años, hemos considerado importante trabajar con métodos cualitativos y la
entrevista clínica individualizada como técnica adecuada de recogida de información
(Claparède, 1976; Vinh-Bang, 1966; Inhelder, Sinclair y Bovet, 1974).
Por otra parte, disponemos de dos tipos de estudios para describir el desarrollo
cognitivo: longitudinales y transversales. Pensamos que, con carácter previo a un
estudio longitudinal o de desarrollo cognitivo individual, es necesario disponer de unas
pautas generales de desarrollo a contrastar posteriormente; es decir, de un conjunto de
regularidades que pongan de manifiesto los aspectos básicos del comportamiento de
grupos de sujetos de distintas edades. Con tal fin hemos decidido realizar un estudio
transversal que ponga en evidencia las competencias lógicas ordinales de grupos de
escolares de los tres cursos del segundo ciclo de Educación Infantil y que permita
detectar, en el mismo instante y ante las mismas pruebas, la existencia de niveles de
desarrollo diferenciados (sujeto epistémico).
Consideramos, igualmente, que los comportamientos de los sujetos tienen
connotaciones que manifiestan la naturaleza de las nociones aprendidas y el contexto
didáctico, familiar y social1 en el que se han adquirido. En este sentido somos
conscientes de la influencia de múltiples factores sobre la situación real del
conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica, entre los que se encuentran una
influencia excesiva de tendencias empiristas sobre la acción de contar. Esta complejidad
aconseja construir un marco teórico para establecer un modelo manejable y que permita
interpretar y justificar racionalmente los resultados obtenidos.
De acuerdo con lo anterior y con el problema expuesto en el Capítulo 1, hemos de
decir que la investigación que presentamos: es:
De naturaleza organicista
Explicada mediante un esquema global integrador de los diferentes
factores
Su objeto no son las estructuras sino los procesos de razonamiento, a los
1
Para la población escolar que nosotros estamos considerando y el concepto que trabajamos en la
investigación tiene gran relevancia el contexto familiar y social
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Capítulo II. Marco Metodológico.
45
que nos aproximamos desde un enfoque transversal
El soporte del estudio, entrevistas clínicas individualizadas con un material
concreto como base de la conversación entre investigadora y niño, y
planteando situaciones ordinales que el niño tiene que resolver con
instrumentos secuenciales diversos, no han formado parte de los
contenidos curriculares desarrollados en los centros y cursos a los que
pertenecen los sujetos que han participado en la investigación, lo cual no
significa que dichos sujetos carezcan de experiencias al respecto, puesto
que, como veremos, disponían de los elementos suficientes para entender y
responder a las tareas propuestas.
Se trata, por tanto, de un estudio de carácter evolutivo, con enfoque transversal,
sobre competencias generales estrechamente vinculadas al conocimiento numérico.
Al ser un trabajo en la línea de desarrollo cognitivo pretendemos estudiar:
Las variaciones con la edad de las competencias lógicas ordinales de la
secuencia numérica en niños de 3 a 6 años
Los diferentes “niveles” que aparecen en relación con los cambios que se
producen en dichas competencias
Las características generales de dicha evolución
Al mismo tiempo pretendemos obtener:
Regularidades o pautas que se pueden presentar en las actuaciones de los
niños sobre el conocimiento lógico ordinal en la secuencia numérica
Una caracterización de los niveles mediante competencias y habilidades
ordinales
Los cambios que se producen en las competencias y habilidades de los
sujetos en el paso de unos niveles a otros.
3. Metodología
Una vez planteado el problema es necesario encontrar un método adecuado para
resolverlo. De acuerdo con Fernández Cano, A. (1995):
"Un método engloba a una diversidad de diseños" (Pág. 53). "El método no
es un algoritmo, mecánico y ritualizado; por el contrario, implica un proceso
consciente, falible y altamente personalizado" (Pág. 57).
En nuestro caso, hemos utilizado métodos teóricos y métodos empíricos
cualitativos de acuerdo con las necesidades concretas del trabajo en cada momento. En
los subapartados que siguen exponemos de forma secuenciada y comentada las
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46 Capítulo II. Marco Metodológico.
diferentes técnicas y tipos de metodologías empleadas, los tipos de estudios realizados,
el tratamiento de los datos empíricos y el esquema general de la investigación,
remitiéndonos a los restantes capítulos de la tesis para una explicación más detallada de
los diferentes aspectos abordados.
3.1.- Procedimientos y técnicas metodológicas
En un principio y con objeto de analizar los antecedentes para delimitar y definir
el problema de investigación, así como la forma de abordarlo, hemos realizado un
estudio pormenorizado de aquellos trabajos que han tocado en algún momento temas
relacionados con el nuestro en cuanto a aspectos metodológicos y técnicos como en
otros aspectos conceptuales numéricos en niños de Educación Infantil y primeros años
de Primaria (ver el apartado de Antecedentes del capítulo I). Queremos destacar que no
hemos encontrado ningún estudio previo sistemático sobre el tópico elegido, al menos
no con el aparato metodológico y conceptual que hemos desarrollado.
En estos trabajos encontramos una justificación metodológica a la hora de
proceder con estudios empíricos con niños de corta edad (3-6 años). Manifiestan que las
entrevistas clínicas individualizadas, y sobre la base de un material concreto, son
pruebas adecuadas para ese tipo de estudios, que han de ser, por tanto, cualitativos y con
una muestra reducida de niños (Bliss, 1987; Blanco y Prieto 2000).
Para realizar un estudio transversal sobre desarrollo cognitivo vimos la necesidad
de disponer de un modelo teórico contrastable empíricamente. Para construir este
modelo hemos retomado el Análisis Didáctico como método no empírico en Educación
Matemática. De acuerdo con Fernández, A. (1985):
“Existen preguntas que no necesitan datos observables, pues su resolución conlleva
reflexión y establecer relaciones entre conceptos, lo que hace que el análisis didáctico pueda
ser facilitador de respuestas a dilemas eminentemente didácticos, previos a cualquier otro
tipo de investigación” (Pág. 62).
Según González J.L. (1995, pág. 59), el análisis didáctico se basa en el metaanálisis cualitativo en torno al tópico en estudio y su finalidad es la formulación de
teorías que expliquen los fenómenos observados en diferentes investigaciones. La
aplicación del Análisis Didáctico a nuestro problema de investigación se esquematiza en
la figura 1; el desarrollo completo de ese estudio se expone en el capítulo III de esta
Tesis Doctoral.
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Capítulo II. Marco Metodológico.
47
Tópico: Relaciones ordinales en la secuencia
numérica
Dudas: Cuestiones formales y prácticas
Proceso de búsqueda
Matemáticas: el producto y
su construcción.
La secuencia numérica como
componente del número natural
Epistemología y lógica
Modelos epistemológicos de
construcción de la secuencia
numérica
Secuencia numérica en el currículum
de Educación Matemática
“Números para contar matemáticamente
suficiente frente al número para cardinar”
Psicología del
aprendizaje
Modelo de integración de
habilidades.
Procesamiento de la
información
Modelo lógico
piagetiano.
Modelo de desarrollo de las competencias
lógicas ordinales en la secuencia numérica
Figura 1. Esquema del análisis didáctico en el conocimiento lógico ordinal de la secuencia
numérica
Pero el modelo teórico no se ha construido únicamente a partir del análisis
didáctico. Junto a los resultados del mismo, se ha realizado un estudio empírico
exploratorio que se expone en el capítulo IV de esta memoria. Estos resultados,
obtenidos mediante un procedimiento sistemático que también se explica en el mismo
capítulo, han servido para orientar y determinar los estados evolutivos de los que consta
el modelo.
La contrastación empírica del modelo se realizará mediante un estudio empírico
cualitativo. Para realizar dicho estudio será necesario la construcción de una prueba
adaptada al modelo; por tanto tenemos que: determinar la prueba y seguidamente
realizar un estudio empírico cualitativo en base a ella.
Para la preparación de dicha prueba es necesario determinar tareas de
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48 Capítulo II. Marco Metodológico.
competencias ordinales de acuerdo con los esquemas lógicos matemáticos que aparecen
en cada uno de los estados del modelo teórico (Berthoud y Ackermann, 1986, Lagos,
1992, Ortiz, 1997). El conjunto de tareas que conforman la prueba se exponen en el
capítulo V de esta memoria.
Con los datos recogidos mediante la aplicación de dicha prueba, se realiza el
estudio empírico cualitativo que se sitúa en un nivel interpretativo. Se emplean la
entrevista clínica semiestructurada para la recogida de datos. Se pretende comprobar,
con niños de 3 a 6 años, la utilidad y eficacia del modelo evolutivo de competencias
ordinales en la secuencia numérica definido a partir del análisis didáctico y del estudio
empírico exploratorio. Tanto el diseño como el análisis de los resultados de este estudio
se exponen en el capítulo VI de este Informe.
En definitiva, hemos utilizado una metodología mixta que se puede resumir en el
siguiente proceso secuenciado:
a) Para definir el problema de investigación y argumentar la metodología seguida,
hemos usado un procedimiento de búsqueda y análisis de trabajos que tienen
relación con el tópico estudiado y con las edades de los niños que estamos
considerando.
b) Para determinar un modelo de desarrollo de competencias lógico-ordinales en la
secuencia numérica con niños de 3 a 6 años, hemos utilizado una metodología no
empírica, como es el Análisis Didáctico. Junto a ello, hemos realizado un estudio
exploratorio cualitativo previo, que evidencie características evolutivas en los
niños en cuanto al uso de instrumentos secuenciales, prenuméricos y numéricos,
en la resolución de problemas ordinales; lo cuál será determinante para explicitar
los estados que componen el modelo evolutivo que pretendemos.
c) Para la contrastación empírica del modelo teórico de desarrollo hemos seguido una
metodología empírica cualitativa.
3.2. Tipos de estudio
En una buena parte del desarrollo de la investigación, se han trabajado
simultáneamente los aspectos teóricos y prácticos. Desde este punto de vista, a lo largo
de todo el trabajo, se han realizado los tres tipos de estudios siguientes:
Estudios teóricos. Para estudiar y analizar la naturaleza del conocimiento de la secuencia
numérica en los niños y consecuentemente establecer unos estados de
comprensión, realizamos un estudio teórico en cada una de las siguientes
fuentes:
Epistemología del Número Natural (Dedekind, R. (1963); Helmholtz,
(1945); Peano, J. (1894-1908); Russell, B. (1967); Piaget. J. (1985))
Didáctica del Número Natural (Freudenthal, H. (1983) y (1991);
Dienes, Z.P. (1970))
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Capítulo II. Marco Metodológico.
49
Procesamiento de la Información (Brainerd, C. J.y Gordon, L.
L.(1994), Fuson, K. (1988); Gelman, R. y Gallistel, C.R. (1978);
Manzi,-A y Winters,-L (1996))
Seriación Operatoria. (Piaget, J.e Inhelder, B. (1976), Piaget, J.y
Szeminska, A. (1982)).
Estudios teórico-prácticos, con la finalidad de buscar los métodos e instrumentos
científicos de indagación y análisis de evidencia empírica más adecuados para
observar en los niños los aspectos ordinales estudiados. A tal fin se han revisado
los métodos e instrumentos utilizados en las investigaciones consultadas y, en
general, en toda la bibliografía utilizada, centrándonos, básicamente, en
Psicología y en Educación Matemática.
Estudios prácticos de campo, consistentes en distintas pruebas y actividades con
escolares y que han culminado con la construcción de un instrumento de
observación empírica adecuado al problema de investigación. Dicha
construcción se ha realizado paulatinamente sobre la base de los resultados de
los distintos estudios reseñados en este apartado.
3.3. Tratamiento de los datos empíricos
En la fase empírica de la investigación los datos que se obtienen son de naturaleza
cualitativa y, por consiguiente, están contenidos en expresiones verbales. El tratamiento
será el siguiente:
1.
Para agrupar las respuestas verbales del estudio exploratorio, nos hemos
basado en un proceso de codificación y clasificación de respuestas en
cada una de las tres tareas presentadas, atendiendo a tres parámetros
claros que se dan en cada una de ellas:
Construcción del instrumento secuencial,
Uso del instrumento construido para localizar posiciones ordinales,
Uso del instrumento para localizar posiciones lógicas ordinales2.
2.
2
En el caso del estudio empírico cualitativo, hemos agrupados las
respuestas basándonos en el proceso de codificación y clasificación
determinado por el procedimiento sistemático seguido en la presentación
de la prueba; dicho proceso se presenta en el apartado 3.1. del capítulo V.
Entendemos por posiciones lógicas ordinales como aquellas posiciones ordinales que se determinan a
partir de un dato.
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50 Capítulo II. Marco Metodológico.
4. Articulación de las hipótesis en el proceso metodológico
En el apartado anterior hemos expuesto un marco metodológico global. En este
apartado vamos a especificar el proceso seguido para obtener las evidencias que
justifican o confirman, en su caso, la bondad de cada una de las hipótesis.
H1.
Existen corrientes epistemológicas que consideran las relaciones lógicas
ordinales del número natural como el origen de toda la construcción matemática.
El procedimiento seguido para la confirmación de esta hipótesis es
totalmente reflexivo, a partir de información de tipo documental, y se lleva a
cabo dentro del proceso de análisis didáctico. Los resultados y conclusiones del
Capítulo III basados en el análisis epistemológico aportan evidencias que
sostienen H1.
H2.
Existen líneas en Didáctica de la Matemática que priman el aspecto ordinal del
número natural frente a su aspecto cardinal.
Se procede la misma manera que con la hipótesis anterior. La
confirmación de esta hipótesis se lleva a cabo dentro del proceso de análisis
didáctico, concretamente, cuando se analiza la Fenomenología de Freudenthal y
se aboga por el número para contar.
H3.
Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación de
Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en
cuenta en la didáctica del número natural.
El procedimiento es reflexivo dentro del análisis didáctico en cuanto a los
análisis de: epistemología genética y la estructura lógica de seriación subyacente
a la secuencia numérica.
H4.
Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica.
Para conseguir la bondad de esta hipótesis se procede mediante el análisis
didáctico basado en el análisis del uso funcional ordinal de la secuencia
numérica.
En lo que sigue comentamos el proceso para las hipótesis H5 y H6:
H5. Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un
diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas que
podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los esquemas
lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.
H6. Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones
lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6
años, se pueden organizar en un modelo teórico de desarrollo que explica y
describe la evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia.
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Capítulo II. Marco Metodológico.
51
En el proceso de validación de las hipótesis H5 y H6 debemos distinguir dos
etapas desde el punto de vista metodológico: una primera de construcción del modelo y
una segunda de valoración empírica del mismo.
Primera etapa, a partir de un primer estudio teórico, nos planteamos la
consecución de una investigación sobre desarrollo del conocimiento
lógico ordinal de la secuencia numérica. Para este fin era necesario
tener unas pautas a contrastar empíricamente, por lo que hubo que
realizar un estudio exploratorio para obtener información de las
habilidades y estrategias utilizadas por los niños como indicadores de
esas pautas.
De acuerdo con los resultados obtenidos se realiza un análisis
didáctico (segundo estudio teórico) para obtener un marco referencial y
explicativo en el que se construye y justifica el modelo de desarrollo del
Conocimiento Lógico Ordinal.
Segunda etapa, se orienta hacia la evaluación empírica del modelo, mediante la
construcción de una serie de tareas asociadas a los distintos estados del
modelo y a la propia evolución del conocimiento lógico ordinal de la
secuencia numérica en niños de 3 a 6 años.
Dentro del campo de la metodología educativa, el proceso seguido se aproxima a
lo que se conoce como P.E.R.T. (Planned Evaluation and Review Technique)
(Bisquerra, 1989, pág.32), que en nuestro caso podemos resumir en tres pasos:
1. Construcción del modelo. Construcción de un modelo evolutivo de competencias
ordinales, como consecuencia de los siguientes elementos básicos:
Realización de un análisis didáctico que fundamenta el significado
del modelo y su estructuración así como la racionalidad del mismo
Realización de un estudio exploratorio en el que se confirma la
existencia de regularidades en el comportamiento real y efectivo de
los niños al enfrentarse a tareas exclusivamente ordinales. Este
estudio pone en evidencia que las competencias lógicas ordinales
pueden escalonarse, desde el punto de vista evolutivo, de menor a
mayor complejidad.
Los conocimientos sobre modelos evolutivos en el ámbito de la
educación matemática, que sirven de referentes para la construcción
de uno nuevo (Ortiz, 1997).
2 Construcción de una prueba asociada al modelo Se llevan a cabo en este punto lo
siguiente:
Determinación de tareas asociadas a los estados del modelo
evolutivo, en las que, en cada una de ellas, se dan los esquemas
lógicos matemáticos propios del estado al que corresponda. Según
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52 Capítulo II. Marco Metodológico.
nuestro modelo evolutivo, estas tareas representan una serie
acumulativa en cuanto al orden creciente de dificultad de los
esquemas lógicos-matemáticos implicados.
3. Confirmar la bondad del modelo. Se realizan entrevistas clínicas semiestructuradas
para desarrollar un estudio cualitativo con los siguientes propósitos:
Los niños que superan una tarea asociada a un estado dado del
modelo evolutivo, superan, también, todas las tareas de los estados
anteriores
Probar que niños del mismo curso de Educación Infantil pueden
manifestar competencias lógicas ordinales distintas según los estados
del modelo evolutivo.
Los niños se pueden organizar y categorizar en niveles evolutivos,
asociados, cada uno de ellos, a un estado del modelo teórico. En cada
nivel se darían las características propias del estado del modelo
asociado.
5. Desarrollo cronológico de la investigación
El proceso ha sido largo y laborioso, con una duración de 5 años desde su
comienzo en 1997. A lo largo de dicho período se pueden distinguir las siguientes fases
temporales diferenciadas:
Año 1997
a)
Primera delimitación del Marco Teórico de la investigación a partir de la
documentación revisada.
Las cuestiones formales y prácticas planteadas con el origen del problema,
nos llevaron a realizar una selección bibliográfica general en la que se
revisaron libros sobre cuatro campos científicos: Didáctica de la
Matemática, Matemáticas, Epistemología (Lógica y Filosofía de las
Ciencias) y Psicología.
b)
Realización de diversos experimentos con alumnos de Educación Infantil,
para ver el tipo prueba, individual o en grupo, que podía funcionar mejor con
niños pequeños.
c)
Revisión de textos sobre Epistemología Genética para buscar orientación
sobre métodos clínicos y estudiar la posibilidad de atajar nuestro problema
con una visión clínica y cualitativa.
Las conclusiones y expectativas al finalizar este periodo fueron:
Orientar nuestra investigación al conocimiento lógico ordinal.
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Capítulo II. Marco Metodológico.
53
Considerar la entrevista clínica individualizada como técnica apropiada
en los estudios empíricos a realizar
Considerar que los estudios empíricos con niños de tres, cuatro y cinco
años eran viables
Año 1998
a)
Realización de búsquedas retrospectivas en la Biblioteca de la Facultad de
Ciencias de la Educación, sobre las bases de datos y periodos siguientes:
ERIC, periodo 1966/81, 1982/91 y desde el 92 en adelante
CSIC, periodo 1967- 98
De acuerdo con los descriptores utilizados (apartado 8 de este capítulo),
recibimos 35 resúmenes de la base ERIC y 5 de CSIC. De ellos se
consideraron de interés 28 documentos entre artículos y libros.
b)
Revisión de los artículos y libros seleccionados
c)
Elaboración del diseño del estudio exploratorio
d)
Preparación de la prueba del estudio exploratorio, de acuerdo con los
siguientes pasos:
Pensar en tareas adecuadas que implicara esquemas lógicos ordinales en
la secuencia numérica. Las tareas basadas en correspondencias seriales
cumplían esos requisitos. Otro aspecto decisivo, fue el considerar la
posibilidad de simultanear las tareas ordinales con la secuencia numérica
con otros tipos de instrumentos secuenciales más sencillos y
prenuméricos, y en los que los esquemas lógicos ordinales funcionan
realmente, en este sentido consideramos la alternancia.
Buscar un material idóneo que reflejara el esquema de seriación y sobre
el que aplicar las correspondencias seriales. Este material fue la escalera
del estudio exploratorio.
e)
Selección y construcción de los instrumentos de recogida de datos
f) Selección de los alumnos para la realización de las entrevistas
g) Desarrollo de las entrevistas. El tiempo medio de grabación de cada entrevista
fue aproximadamente de unos 25 minutos. En total se realizaron 27 entrevistas
h) Realización de la prueba del estudio exploratorio en un centro público provincial
urbano
Conclusiones y expectativas de esta fase. La prueba había funcionado en los dos
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54 Capítulo II. Marco Metodológico.
frentes que pretendíamos:
Desde el punto de vista técnico: La prueba se pasaba individualmente
y los niños, de 3, 4 y 5 años, colaboraron en todo momento,
implicándose en las tareas, que sobre una situación concreta, la
investigadora planteaba.
Desde el punto de vista conceptual: las tareas hacían que los niños
manifestaran esquemas lógicos ordinales útiles para la investigación.
Año 1999
a)
Exposición de los resultados obtenidos hasta el momento, en el
Programa de Doctorado de Didáctica de la Matemática de la
Universidad de Málaga
b)
Realización de un análisis didáctico (Expuesto en el Capítulo III de esta
Memoria)
c)
Transcripción de las entrevistas a partir de las grabaciones en video
d)
Identificación de regularidades y características generales del
comportamiento observado en la prueba, realizada a finales del año
anterior, y selección de los criterios para la realización del estudio
exploratorio interpretativo.
e)
Realización del análisis cualitativo de la información obtenida en las
entrevistas.
Año 2000
a) Exposición de los resultados obtenidos hasta el momento, en el Programa de
Doctorado de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada
b) Construcción de un modelo teórico que explique el desarrollo evolutivo de
competencias ordinales en niños de 3 a 6 años
c) Construcción de la prueba para contrastar empíricamente el modelo teórico
d) Diseño del estudio empírico de carácter cualitativo con el objeto de contrastar
empíricamente la parte del modelo teórico. El proceso seguido fue el siguiente:
Determinar el tipo de estudio a partir de los modelos teóricos conocidos
en investigación cualitativa
Fijar los objetivos iniciales del estudio
Determinar los criterios de construcción de los protocolos
Diseñar las entrevistas, determinando su contenido, proceso de
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Capítulo II. Marco Metodológico.
55
realización y recogida de la información
Preparación del material de apoyo: materiales manipulativos, fichas de
campo y material de grabación
e) Selección de los colegios para la realización de las pruebas
f) Actualizaciones de búsquedas informatizadas
Año 2001
a) Realización de la prueba del estudio cualitativo
b)
Transcripción de las entrevistas del estudio cualitativo
c)
Identificación de regularidades y características generales del
comportamiento observado y selección de los criterios para la realización del
estudio interpretativo
d)
Realización del análisis cualitativo de la información obtenida en las
entrevistas.
e)
Presentación del trabajo en la V Reunión del grupo de Pensamiento
Numérico celebrada en Palencia.
f)
Actualizaciones de búsquedas informatizadas
g)
Conclusiones generales de la investigación
h)
Revisión de los documentos y redacción definitiva del Informe de
Investigación
6. Fuentes de información y documentación.
Búsquedas informatizadas a través del servicio de la Biblioteca de la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad de Málaga, hemos realizado
búsquedas informatizadas a las siguientes bases y con estos resultados:
Una consulta en la base de datos ERIC el 15 de Marzo de 1998, realizando una
primera actualización el 15 de Enero de 2000 y una segunda el 26 de Abril de 2001.
El historial de dicha búsqueda se puede ver en el Anexo II, apartado Anexo 2.1 de
este Informe. La tabla 1 contiene, de forma esquematizada, los resultados más
relevantes de la misma.
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56 Capítulo II. Marco Metodológico.
Palabras claves en
Títulos y/o Descriptores
Período de
Tiempo
Archivos
"NUMBERCONCEPTS" and
"EARLY-CHILDHOODEDUCATION"
"NUMBERCONCEPTS” and
"MATHEMATICALLOGIC"
1966-1981
36
1982-1991
26
1992-2000
15
1966-1981
19
1982-1991
13
1992-2000
7
1966-1981
4
1982-1991
12
1992-2000
9
1966-1981
5
1982-1991
1
1992-2000
63
"NUMBERS-" and
"EARLY-CHILDHOODEDUCATION"
"NUMBER-CONCEPTS"
and ("EARLYCHILDHOODEDUCATION” or
"PRESCHOOLCHILDREN" ) and
"MATHEMATICSEDUCATION"
Hemos de destacar que no se ha encontrado registro alguno, en ningún período de
tiempo, al introducir las palabras claves: "SERIAL-ORDERING" y "MATHEMATICALLOGIC", por tanto el orden estudiado desde un punto de vista serial no se ha tratado
desde la lógica matemática en esta base de dato.
CSIC. Esta base ha sido consultada en dos ocasiones. La primera fue realizada en
Marzo de 1998 y la segunda en Junio de 2001.
La primera búsqueda queda resumida en la tabla 2:
Palabras claves en Descriptores
Archivos
Matemática-Didáctica, Enseñanza-Aprendizaje,
Epistemologia
32
Relaciones de orden, ordinal, numero ordinal
6
Lógica Matemática- Aritmética- Procesos
Lógicos
7
El historial de la última búsqueda se encuentra en el AnexoII, apartado Anexo
2.1, lo más destacado lo presentamos en la siguiente tabla:
3
A este número se llega haciendo una revisisón detallada de los 15 articulos encontrados con las palabras
claves "NUMBER-CONCEPTS" and "EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION"
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Capítulo II. Marco Metodológico.
57
Palabras claves en Texto Libre
Archivos
Concepto de número
27
Conteo
10
Ordinales
19
Concepto de número y Educación Infantil
2
Concepto de número y Niños
1
Concepto de número y Educación Matemática
1
Concepto de número y Lógica Matemática
21
Concepto de número y Contar
1
Revistas especializadas en Educación Matemática de los fondos del departamento de
Didáctica de la Matemática de las Universidad de Málaga.
Revistas de investigación en Psicología de los fondos de la biblioteca de
la Facultad de Psicología de la Universidad de Málaga.
Libros especializados de las bibliotecas de las Facultades de Ciencias de la Educación
de la Universidad de Málaga. En especial se han consultado:
Actas de Congresos internacionales en Educación Matemática.
Publicaciones especializadas en informes y tratados de investigación
educativa:
Handbook of Research on Teacher Education
Research in Mathematics Education (National Council of Teachers of
Mathematics).
Libros de metodología de investigación educativa
Libros de Epistemología, con mención especial a la Epistemología
Genética y a la epistemología del número natural.
Libros de Psicología del aprendizaje.
Libros de Didáctica de la Matemática.
Tesis doctorales leídas en el Departamento de Didáctica de la Matemática
de la Universidad de Granada.
Para una consulta detallada de las referencias correspondientes nos remitimos al
apartado de la Tesis Doctoral dedicado a la Bibliografía.
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58 Capítulo II. Marco Metodológico.
7. Modalidad de la investigación
De acuerdo con la taxonomía de investigaciones que propone Bisquerra, R. (1989,
págs 60 y sigtes), el trabajo realizado se corresponde con las siguientes modalidades:
Según el proceso formal, utilizamos el método hipotético-deductivo.
Según el grado de abstracción, se trata de una investigación a la vez pura o
básica, dado que se pretende aumentar el conocimiento teórico sobre el
campo en estudio, y aplicada, dado que también se aporta información que
tiene una utilidad práctica.
Según la naturaleza de los datos, se trata de una investigación cualitativa,
en el sentido de investigación interpretativa y no pretendemos generalizar
los resultados más allá de los alumnos observados.
Según la orientación, está orientada a conclusiones y no a decisiones.
Según la manipulación de variables, es una investigación no experimental
de tipo descriptivo, por ser un estudio de desarrollo
Según la dimensión cronológica y desde el punto de vista de los estudios
empíricos realizados se trata de una investigación descriptiva con enfoque
de presente ya que describimos fenómenos sobre el presente
Según las fuentes, se trata de una investigación documental y metaanalítica
como parte del análisis didáctico y una investigación empírica;
Según la temporalización, la fase empírica es transversal ya que la
investigación se ha realizado en un breve lapso de tiempo y supone un
corte transversal en la situación de los sujetos ante el problema
investigado.
8. Criterios de bondad
De acuerdo con distintos autores, (Fernández, 1995; Cohen y Manion, 1990;
Bisquerra, 1989), toda investigación debe cumplir ciertos requisitos, algunos de los
cuales dependen de la naturaleza de la misma. Nosotros nos hemos ajustado a los
siguientes:
Replicabilidad. Pensamos que la investigación que hemos realizado puede ser replicada
en más de un punto:
Desde el punto de vista empírico, en el mismo sentido en el que se ha
realizado los estudios empíricos.
Desde el punto de vista teórico, siguiendo los pasos establecidos y
disponiendo de la información básica general a que se alude en los
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Capítulo II. Marco Metodológico.
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apartados correspondientes
Realizando el estudio completo en otras muestras de composición
diferente
Posibilidad de desarrollo posterior
A partir de documentos no utilizados se puede profundizar en el estudio
teórico y abrir nuevas perspectivas para futuros estudios
El estudio proporciona una plataforma para la realización de
investigaciones experimentales que permitan extender y generalizar los
resultados
El estudio se puede ampliar a Educación Primaria o teniendo en cuenta
otras consideraciones, otros instrumentos (tareas, etc.), otros factores, etc.,
llegando a un modelo más general que incluso modifique la interpretación
de los resultados obtenidos aquí.
Imparcialidad Las conclusiones a las que hemos llegado tienen el alcance que se puede
atribuir a las evidencias que se presentan. En tal sentido, no hay unanimidad de
criterios y, por tanto, el problema siempre está planteado.
En el desarrollo de la investigación se ha procurado ser objetivo, en lo
posible, y subjetivo en lo necesario, considerando que, a pesar de todo, se
aportan datos y argumentos novedosos y nuevas formas de afrontar el
problema.
Fiabilidad. La fiabilidad de nuestra investigación la podemos avalar por los siguientes
aspectos:
El control de la información (apartado 2.8). Su valoración depende de los
medios disponibles y por tanto de la posibilidad de acceder a cierto tipo de
información. En este sentido consideramos que la información utilizada ha
sido suficiente, ya que ha posibilitado una investigación no realizada y por
tanto original, tanto en su contenido e intenciones como en su proceso
constructivo.
La rigurosidad, profundidad y amplitud de los análisis realizados en todos
los ámbitos científicos que hemos considerado oportunos en relación con
conocimiento lógico ordinal.
El no escatimar esfuerzos en cuanto al proceso completo de la
investigación, realizando cuantos estudios se han creído necesarios para
llegar a obtener evidencias teóricas y empíricas que avalan las cuestiones
planteadas así como los resultados obtenidos.
Resultados análogos obtenidos en dos estudios cualitativos en los que se
han entrevistado, en total, a 74 niños de 3 a 6 años, pertenecientes a
colegios distintos y se han realizado alrededor de 3000 preguntas.
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60 Capítulo II. Marco Metodológico.
Consistencia empírica. No hay contradicción entre el modelo teórico de desarrollo y la
evidencia empírica de las respuestas de los escolares. Ello es comprobable
tanto en los anexos correspondientes como en los capítulos de esta Tesis
Doctoral dedicados al análisis de los resultados. Las grabaciones obtenidas en
las entrevistas constituyen una prueba fehaciente que permanecerá durante
unos años bajo custodia para posibles revisiones y replicaciones de esta
investigación.
Validez. En cuanto a la validez debemos señalar que hemos realizado un análisis
profundo teniendo en cuenta los principales campos del saber que
interaccionan con nuestra conceptualización de conocimiento lógico ordinal de
la secuencia numérica
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CAPITULO III
ANÁLISIS DIDÁCTICO DEL CONOCIMIENTO LÓGICO ORDINAL
DE LA SECUENCIA NUMÉRICA
1. Introducción.
Desde un punto de vista teórico, necesitamos indagar en los modelos de
construcción y elaboración de la secuencia numérica, y en los orígenes del número,
desde una óptica epistemológica y cognitiva en un contexto ordinal para crear un marco
interpretativo de la evolución de las relaciones lógicas ordinales que se dan entre los
términos de la secuencia numérica.
Como ya se ha expuesto1, esta investigación consta de dos etapas:
Construcción de un modelo teórico evolutivo sobre el
Primera etapa
conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica.
Segunda etapa
Evaluación del modelo construido mediante un estudio
empírico cualitativo.
La primera etapa consta, a su vez, de dos partes:
1.1
Análisis didáctico del conocimiento lógico ordinal de la secuencia
numérica, que establece el marco interpretativo y el desarrollo
conceptual del modelo.
1.2 Un estudio exploratorio que confirma la viabilidad del modelo, lo
orienta y permite establecer nuevas cuestiones.
La conclusión del estudio exploratorio, junto con un análisis completo de los
resultados del mismo se presenta en el capitulo IV de esta memoria. El presente capítulo
lo dedicamos al desarrollo de la primera parte de esta etapa. La segunda etapa de la
investigación, dedicada a la evaluación del modelo, se expone en el capitulo V.
1
Apartado 4 del capítulo II de esta Memoria.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
62
El contenido de este capítulo comienza por el análisis epistemológico de la
secuencia numérica para explicar ordinalmente la naturaleza de los números naturales.
La secuencia numérica se contextualiza en el marco de las relaciones ordinales en
cuanto al aspecto ordinal del número y en el marco de la definición de sus términos
como cardinales según el aspecto cardinal del número.
El número para contar, frente al número para cardinar, es, según Fenomenología
de Freudenthal, matemática y didácticamente suficiente. Es por ello que debe tener un
arraigo considerable en la aritmética escolar y se aboga para que se encuentre
sólidamente instalado en el currículo y en la práctica docente.
Completamos el análisis didáctico con un estudio en psicología de aprendizaje y
desarrollo cognitivo, en el que se analiza las distintas interpretaciones cognitivas de la
secuencia numérica desde dos modelos bien distintos: modelo piagetiano y
procesamiento de la información. En el primero se trata la estructura lógica de seriación
subyacente a la secuencia numérica, y en el segundo se analiza la conceptualización y
funcionalidad de la secuencia numérica como componente del conteo.
2. Propósito del Análisis Didáctico y procedimiento seguido
Con el análisis didáctico pretendemos:
a)
Alcanzar los siguientes objetivos:
O1.
Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del
marco general del número natural
Para el logro de este objetivo realizamos una revisión epistemológica del
número natural atendiendo a varias corrientes importantes: convencionalismo,
logicismo y epistemología genética.
O2.
Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número
natural
Para ello realizamos una revisión de la secuencia numérica en el campo
de la Didáctica del Número Natural, incidiendo en la visión ordinal de “número
para contar” de Freudenthal (1983) frente al “número para cardinar”.
O3.
Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la
secuencia numérica en la acción de contar.
El análisis de la secuencia numérica como una componente del conteo se
realiza en el marco psicológico general: procesamiento de la información.
O4.
Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia
numérica
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
63
Para ello realizamos una revisión de la secuencia numérica como una
serie en el sentido piagetiano dentro del marco de la estructura operatoria de
seriación.
b)
Proporcionar un marco teórico para alcanzar el primer apartado del objetivo:
O5
Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal
de la secuencia numérica.
Este objetivo se consigue combinando el análisis didáctico con los
resultados del estudio exploratorio.
c)
De los objetivos complementarios se pretende alcanzar el objetivo
C2.
Comprobar la utilidad del análisis didáctico para fundamentar y
contextualizar investigaciones en Educación Matemática
.
Este objetivo se logra al conseguir interpretar el conocimiento lógico
ordinal de la secuencia numérica en distintos campos del conocimiento del
número natural, con las correspondientes implicaciones para su enseñanza.
El procedimiento seguido en el capítulo se expone en la figura 1 en la que se
puede apreciar que el análisis didáctico realizado se origina en una revisión de la
información primaria sobre el problema de investigación en cada una de las siguientes
fuentes: Epistemología, Enseñanza y Curriculum, Psicología del Aprendizaje, y,
Desarrollo cognitivo.
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64
Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
Epistemología del
número natural
Secuencia
numérica como
componente del
número natural
Procesamiento de
la información
Secuencia
numérica como
componente del
conteo
Didáctica del
número natural
Secuencia
numérica en el
curriculum de
Educación
Matemática
Estructura lógica
de seriación
Secuencia
numérica como
una serie en el
sentido piagetiano
ANÁLISIS
DIDÁCTICO
Fig. 1. Esquema del Análisis Didáctico con las distintas fuentes.
3. Secuencia numérica como componente del número natural
En el último cuarto de siglo XIX sabios como Dedekind, Weierstrass, Heine,
Cantor y otros acaban de definir los números reales a partir de los racionales, mientras
que éstos son entendidos como parejas de números enteros. Basta recordar que los
números enteros pueden concebirse, a su vez, como parejas de números naturales, para
concluir que estos son una pieza fundamental en todo el edificio matemático.
Por tanto, para la construcción de toda la Matemática2 es muy importante
determinar con precisión el conjunto de los números naturales, y más concretamente la
secuencia numérica, ya que estamos de acuerdo con J-B. Grize (1979) cuando afirma:
2
Sobre todo para una concepción muy precisa de la Matemática: su aritmetización.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
65
“En la matemática, todo aquello que puede enunciarse en el lenguaje de los sistemas
formales reposa en la noción de número natural, por medio de las funciones recursivas” (Pag.
109).
“Un primer hecho resulta importante. Tan pronto intentamos, ya sea pensar, con mayor
modestia incluso, utilizar en forma totalmente práctica un número n, lo hacemos siempre como
miembro de la serie de los números naturales. De lo cual se desprende un primer enfoque del
problema, que consistiría simplemente en describir esa serie y los razonamientos que sostiene,
pero del modo más preciso posible” (Pag. 109).
Abordaremos la cuestión en el sentido planteado por Grize, buscando en las
principales corrientes epistemológicas el entendimiento de la secuencia numérica como
una componente del número natural siguiendo el esquema de la figura 2.
Epistemología del número natural
Convencionalismo
Logicismo
Epistemología genética
Secuencia numérica como
componente del número natural
Fig. 2. Secuencia numérica como componente del número natural desde la epistemología.
3.1. Interpretación convencionalista del número natural
En Filosofía, el convencionalismo es una concepción según la cuál las leyes y
teorías científicas son convenciones que dependen de la libre elección entre varios
modos alternativamente posibles de describir el mundo natural. La aparición de un
convencionalismo sistemático en el dominio cognoscitivo se verifica sólo a finales del
siglo XIX, después del descubrimiento de la posibilidad de geometrias no euclidianas,
al desaparecer el carácter evidente de los axiomas geométricos. En el ámbito de la
matemática se considera a Poincaré como un gran teórico del convencionalismo (A.
Ortiz, 1997).
El convencionalismo trae consecuencias importantes para el aprendizaje de la
matemática y, en concreto, para la enseñanza del número. Según Helmholtz (1887):
"Podemos considerar los números como una serie de signos arbitrarios elegidos, pero a
los cuales le aplicamos un modo determinado de sucesión a título de sucesión regular o,
conforme a la expresión habitual, de sucesión natural. El orden de los signos numéricos es tan
convencional como el orden de las letras en las diversas lenguas; orden que, una vez adoptado
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
y empleado de una manera constante, toma igualmente una apariencia normal y regular". (Cita
referenciada en Brunschvicg, 1929, p. 398).
"Se evita la noción de número cardinal y la idea de unidad. La serie ordinal basta para
constituir el número". (Brunschvicg, 1929).
Para los convencionalistas, la adición entra en el marco de la enumeración
puramente ordinal; por ejemplo: por a+b se designa el término de la serie sobre el que
se cae si se cuenta uno para a+1, dos para a+2, etc., hasta que se haya contado b
términos. Según Brunschvicg (op. citada), Helmholtz fundamenta la teoría de las
operaciones aritméticas sin recurrir a la intuición (intuicionismo), ni, tampoco, tiene en
cuenta las teorías lógicas de las construcciones numéricas, sin hacer alusión a la idea de
colección de unidades homogéneas.
Así, si suponemos que estamos en presencia de un grupo de términos distintos,
podemos hacer corresponder un signo de nuestra serie ordinal a cada uno de dichos
términos. Siempre que no haya laguna ni repetición obtendremos el mismo número, sea
cual sea el orden que se le asigne a los términos del grupo. La acción de contar es la
base de todos los cálculos. (A. Ortiz, 1997).
Las tesis convencionalistas tienen éxito debido al reduccionismo en la tesis de
Mill; en este sentido, el origen del número no es sólo la cantidad, sino también, la
repetición o la combinación, por citar algunos ejemplos. La repetición, por ejemplo, es
temporal pero secuencial; podemos hablar de momentos distintos, de cantidades de
tiempo y de frecuencias, de tal manera que, aunque sean idénticas, podemos diferenciar
en el tiempo las oscilaciones de un péndulo y contarlas; la repetición nos lleva a contar.
Las unidades son totalmente idénticas y sólo se diferencia en su distribución temporal.
Aquí podemos decir que la repetición y la acción de contar están en íntima relación. En
lo que se refiere a la combinación, no hay duda que las posibles combinaciones de unos
dígitos representan un número.
Helmholtz alude a un parentesco genético directo entre el número y el tiempo,
idea, ésta, compartido por otros grandes pensadores como Kant ó Brouwer. Así, en su
pequeño tratado Contar y Medir, mostraba que el punto de partida del número se sitúa
en la sucesión temporal de nuestros estados de conciencia.
"Contar es un procedimiento que descansa en nuestra facultad de recordar el orden de
sucesión de nuestros estados de conciencia". (Cita referenciada en Piaget, 1987, p. 76).
Basta entonces "numerar", mediante un procedimiento verbal convencional, los
términos de esta serie para obtener una sucesión de "números de orden" que permiten
definir la suma ordinal por su simple sucesión y la igualdad de los dos números
ordinales.
La importancia de la consideración epistemológica del convencionalismo en
nuestra investigación es incuestionable, por una razón obvia: la acción de contar es la
vía para pasar de una serie de término verbales a una serie de objetos tangibles y
concretos, sobre los cuales los niños pueden actuar y deducir las relaciones ordinales
existentes entre los términos de la secuencia numérica. Por lo tanto, hay una clara
intersección entre el marco epistemológico convencionalista y el conocimiento lógico
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
67
que el niño debe imponer a los objetos para inferir que uno es anterior al otro o
viceversa.
3.2. Logicismo aritmético y la secuencia numérica.
Los modelos lógicos, explicativos de la construcción del número natural, tienen
consecuencias muy importantes para nuestro trabajo, porque a través de ellos vamos a
establecer lo que entendemos por relaciones lógicas- ordinales entre los términos de la
secuencia numérica.
Atendiendo a esta corriente epistemológica, nos encontramos con el siguiente
cuadro explicativo de la secuencia numérica (fig. 3):
Epistemología del número natural: logicismo
Peano:
Sistema definido por
los Axiomas
Dedekind:
B. Russell:
Cadena del primer
elemento
Progresiones
Número ordinal
Relaciones
ordinales
Número cardinal
Términos de
la secuencia
numérica
SECUENCIA
NUMÉRICA
Figura 3. Cuadro explicativo del estudio realizdo sobre la secuencia numérica desde el logicismo.
Tanto Dedekind como Peano no están interasados en definir la naturaleza de los
términos numéricos, no ocurriendo lo mismo con B. Russell3
Aquí la discusión central se encuentra en establecer y determinar qué es la
secuencia numérica. Parece claro para todo el mundo que son unos términos puestos en
3
Mírese en la figura 3 el recuadro “Términos de la secuencia numérica” y véase como se llega a él por el
recorrido de flechas.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
relación, para ello tanto Russell, como Peano y Dedekind, por caminos diferentes, la
identifican con las progresiones generadas por relaciones biunívocas (véase Anexo 3.1),
y en lo único que difieren son en la naturaleza de los términos que se ponen en relación.
En este sentido, para Peano y Dedekind ésta no es una cuestión intrínsecamente
importante, no siendo lo mismo para Bertrand Russell quien insiste en definir los
términos que componen una progresión, y en particular la progresión de los números
naturales mediante los números cardinales.
Dedekind empieza su construcción de los números naturales definiendo los
números ordinales
"Si en la contemplación de un sistema singularmente infinito N, ordenado por una
representación ϕ, no tenemos en cuenta por completo la naturaleza peculiar de sus elementos,
reteniendo solamente la posibilidad de distinguirlos, y considerando solamente las relaciones
en que se hallan colocados por la representación ordenatriz ϕ entonces esos elementos se
llaman números naturales o números ordinales o simplemente número" (Dedekind, 1887, § 73.
Cita referenciada en Russell, 1982, p. 290)
La definición de Dedekind de sistema singularmente infinito se recoge en el
Anexo 3.1 de los Anexos III. La refutación que hace Bertrand Russell a esa
construcción, que la considera, por otro lado, lógicamente correcta, se basa
fundamentalmente en el hecho de la no definición explícita de los términos que
componen el sistema:
"Los ordinales de Dedekind no son elementos. Si no deben ser nada en absoluto deben ser
intrínsecamente algo; deben diferir de otras entidades como los puntos de los instantes o los
colores de los sonidos".
"Una definición formulada de ese modo indica siempre alguna clase de entidades que tiene una
naturaleza genuina propia, y que no depende lógicamente del modo en que han sido definidas."
"Debe recordarse que con la teoría lógica de los cardinales se pueden demostrar tanto los
Axiomas de Peano como los de Dedekind". (Russell, 1982, p. 290).
En otro orden de cosas, la teoría de Peano puede ser considerada como una
axiomatización de la noción de progresión de Russell (véase la definición en el apartado
2.1. del cap. I). Los conceptos indefinidos de Peano son "cero", "entero finito" y
"sucesor de"; por el último concepto entendió "siguiente inmediato" (Russell, 1982).
La primera teoría de Peano apareció en la edición de 1899 de "Formulaire de
Mathématiques". Dos hechos importantes de la teoría también fueron probados:
1. Hay interpretaciones de los tres conceptos indefinidos los cuales hacen
verdaderos todos los cinco axiomas. La primera ley de la aritmética y los
teoremas que le siguen también son ciertas (el sistema de Peano fundamenta
la Aritmética).
2. Igualmente importante, Peano y uno de sus colaboradores, Padoa,
demostraron que los cinco axiomas en cuestión son absolutamente necesarios
para elaborar o hacer posible la aritmética. Cada axioma puede ser revisado
independientemente de los otros cuatro. Peano y Padoa demostraron esto por
muestreo cogiendo grupos de cuatro axiomas elegidos entre los cinco
propuestos.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
69
Peano reconoce que cualquier colección de términos que cumpla lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
Tiene un primer elemento
No tiene último término
No repite término alguno
Es tal que cualquier término puede ser alcanzado desde el primero en
un número finito de pasos
haría verdaderos todos los axiomas. Un sistema constituido por una colección de
términos y cumpliendo estas propiedades es lo que llamaremos progresión.
El resultado general de la teoría de Peano es el mismo que la de Dedekind,
primer matemático moderno que propuso una teoría completa de las relaciones
numéricas en "Was sind und was sollen die zahlen" en 1887. Dedekind identificó los
números naturales con los números ordinales, definiendo, éstos, como una abstracción
de términos a partir de lo que todas las progresiones tienen en común: "Estos elementos
se llaman números naturales ó números ordinales, ó simplemente números" (Dedekind
1887).
Históricamente existen objeciones contra la caracterización precedente de los
números naturales, la más popular fue dada por Russell, pues según él cualquier
progresión puede ser tomada como la base de la matemática pura. Nosotros podemos
dar el nombre "0" a su primer término, el nombre "número" a todo el conjunto de
términos y el nombre "sucesor" al próximo en la progresión. Cada progresión diferente
dará una interpretación diferente de todas las matemáticas pura tradicional. En el
sistema de Peano no hay nada que nos permita distinguir entre estas interpretaciones
diferentes de sus ideas primitivas.
La teoría de las progresiones de Bertrand Russell está estrechamente ligada a la
Aritmética de Peano. El tratar la secuencia numérica como una progresión supone que
todos los términos están entrelazados por relaciones asimétricas transitivas obtenidas a
partir de relaciones asimétricas biunívocas (véase anexos al Capítulo III) y todo estaría
dado en términos de "posición relativa" sin entrar a formar parte del sistema la noción
de cantidad o cardinalidad de los números; de tal modo es así que todo lo relacionado
con la Aritmética finita se puede deducir de tales progresiones:
Suma
a+0=a
a+si(n)=si(a+n)
Multiplicación
a×0=0
a×si(n)=(a×n)+a
A partir de estas definiciones, se continúa con la sustracción, división, términos
positivos y negativos y fracciones racionales, y se demuestra fácilmente que entre dos
fracciones racionales cualesquiera existen siempre una tercera. Desde este punto es fácil
continuar con los irracionales y con los números reales.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
Esta es la razón por la cual algunos matemáticos importantes como Helmholtz,
Dedekind y Kronecker, han mantenido que los números ordinales son previos a los
cardinales. En este punto particular, se entiende que el número ordinal asociado con
cualquier término dado en una progresión da por perdido el número cardinal de una
colección incluidos los términos dados. Este es el hecho más importante acerca de la
teoría de Dedekind, y sugiere que por lo que pueda ser el número natural es ante
todo una progresión.
Pero esta opinión no es compartida por Russell, quien, defiende que tanto de los
cardinales como de los ordinales puede demostrarse toda la Aritmética sin mencionar al
otro, siendo las proposiciones simbólicamente idénticas, pero difiriendo su significado;
además, considera, que no hay ninguna prioridad entre uno y otro ya que ambos pueden
definirse independientemente, pero que una vez definidos uno implica al otro.
De todos modos Bertrand Russell es defensor de que todas las propiedades
ordinales o las de las series de números finitos sólo se emplean en la Matemática
común, donde a través de un procedimiento de abstracción se llega a deducir toda la
Aritmética y lo verdaderamente importante en Matemáticas es que los números forman
una progresión, pero que estos no son los números que se usan en la vida diaria donde el
hecho de que los números sean cardinales es el que los hace verdaderamente
importantes.
3.3. Secuencia numérica desde los planteamientos de la epistemología
genética.
La perspectiva genética del conocimiento es una perspectiva evolutiva de
estados de conocimientos más que de conocimientos en sí mismos. Desde un punto de
vista ontogenético, los conocimientos evolucionan en los sujetos pasando por diferentes
estados que manifiestan competencias operatorias cada vez más completas.
El sujeto pasa de unos estados de conocimiento más primitivos a otros más
evolucionados debido a una progresión hacia una completitud de estructuras: pasa de no
poder establecer relaciones con cierta complejidad lógica o matemática a poder
establecerlas. La evolución genética individual la podemos caracterizar desde un punto
de vista lógico-matemático como un pasaje de un no poder establecer una relación a
poder establecer esa relación.
Las posturas empiristas, aprioristas o convencionalistas sobre la naturaleza del
número no satisfacen a Piaget:
"Desde las acciones iniciales, las relaciones entre el sujeto y los objetos es un testimonio
de un fenómeno mucho más complicado de lo que dejan suponer las interpretaciones
empiristas, aprioristas o convencionalistas. La acción de enumerar no puede estar determinada
únicamente por los objetos, puesto que ella los estructura en función de un esquema operatorio,
que es asimilación de las cosas al doble acto de reunir y ordenar, y puesto que asimilar
significa agregar a los objetos caracteres nuevos que no estaban incluidos anteriormente a la
acción del sujeto: así la reunión elemental 1+1=2 añade a cada uno de los objetos contados
como unidades 1, 1, la nueva propiedad de constituir un todo 2". (Piaget, 1987, p. 128).
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
71
Para Piaget, en la evolución de la aritmética son importantes las aportaciones de
las acciones intencionadas que realiza el sujeto sobre los objetos; estas acciones
presentan la doble vertiente de la adaptación cognitiva: asimilación y acomodación.
Igualmente importante es captar en sus raíces las conexiones de las construcciones
matemáticas nacientes con las estructuras operatorias del sujeto.
La epistemología genética considera que las ideas lógicas sirven de eficaz punto
de partida para la elaboración de los números. Igualmente, considera que la matemática
es un sistema de construcciones que se apoya, en sus puntos de partida, en las
coordinaciones de las acciones y las operaciones del sujeto que avanzan mediante una
sucesión de abstracciones reflexivas de niveles cada vez más elevados.
Piaget considera que el número es una síntesis de las dos estructuras lógicas:
clasificación y seriación. Del mismo modo que ignoramos las diferencias entre los
objetos al clasificar un conjunto de ellos, asimismo ignoramos esas diferencias cuando
asignamos al conjunto su número cardinal; por ejemplo, si vamos a cardinar las
muñecas que hay sobre la mesa las consideramos todas iguales aunque entre ellas haya
diferencias de color, tamaño, etc., se obvian todas esas diferencias al igual que se haría
para construir la clase de las muñecas. De este modo el número, en su aspecto cardinal,
encierra evidentemente una componente de clase.
Pero además de la clasificación existe otra estructura lógico-matemática que
incide directamente en la concepción del número, dicha estructura es la seriación. Los
objetos del conjunto son contados para calcular su número cardinal, y hemos visto que
en este proceso de recuento los objetos son tratados como si todos fuesen iguales
obviando las características que los diferencian unos de otros como el color, etc., pero el
proceso de recuento no se podría llevar a cabo si no se tuviera en cuenta un aspecto que
hace que los objetos sean tratados como diferentes.
En el proceso de determinar el valor cardinal por medio de la enumeración,
debemos ordenar los objetos: contar primero un objeto, luego el siguiente, y así
sucesivamente. Es obvio que el orden de la enumeración no tiene importancia, es
irrelevante, pero sí está claro que debe haber algún orden en el momento que se realiza
el recuento. Es preciso contarlos en alguna forma de sucesión y tener en cuenta cuáles
fueron enumerados en un momento determinado, con el fin de no contar más de una vez
un mismo objeto.
Este proceso de ordinación no es una componente de clase, sino que se vincula
con la estructura lógica de seriación. Si distribuimos los objetos en el orden en que
fueron enumerados estaremos frente a una verdadera serie, pues estos objetos así
distribuidos constituyen un encadenamiento aditivo de relaciones asimétricas,
exactamente análogo a cualquier otra serie. En el caso que nos ocupa las diferencias
entre los objetos que determinan la serie es de posición ordinal ("primer objeto
contado", "segundo objeto contado", etc.); es la determinación de esas diferencias la que
nos permite llevar a cabo el proceso de recuento aplicado a una colección de objetos
tratados desde dos puntos de vista: en un principio todos los objetos son equivalentes o
iguales y por eso una unidad se añade a la otra igual que una clase se reúne con otra; en
un segundo lugar todos los objetos son tratados como diferentes lo que nos permite
ponerlos en secuencia o serie al aplicarles la enumeración.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
72
De esta concepción del número obtenemos la interrelación existente entre el
aspecto cardinal y ordinal según la teoría piagetiana de construcción del número natural:
"Los números finitos son necesariamente cardinales y ordinales al mismo tiempo, y ello
resulta de la naturaleza misma del número, que es ser un sistema de clases y relaciones
asimétricas fusionadas en un mismo todo operatorio. Los cardinales resultan así de una
abstracción de la relación y esa abstracción no modifica la naturaleza de sus operaciones, puesto
que todos los órdenes posibles que pueden atribuirse a n términos se resuelven en la misma suma
cardinal n. Por su parte, los ordinales resultan de una abstracción de la clase, abstracción que es
también legítima, y por esta misma razón el n-ésimo término finito corresponderá siempre a un
conjunto cardinal n. Pero esta doble abstracción de ninguna manera impide que el número entero
finito siga siendo uno, ni que implique la indisociable solidaridad de las totalidades y del orden".
(Piaget, Szeminska, 1982, pág. 187).
Existe una correlación entre el desarrollo del aspecto cardinal y el ordinal, de tal
forma que si un niño se encuentra en la primera etapa según la génesis del cardinal
entonces ese niño también está en la primera etapa de la correspondiente al ordinal y
viceversa. Lo mismo ocurre con las etapas sucesivas.
"A la primera etapa de la seriación, que es pre-ordinal puesto que el niño no comprende
espontáneamente el orden progresivo de los elementos, corresponde (tanto por el promedio de
edad en que se efectúa como desde el punto de vista estructural) la primera etapa de la
cardinación, o sea, aquella en que no hay ninguna conservación de las cantidades, y en que el
niño, cuando debe reproducir una hilera o una figura, no establece una correspondencia término
a término sino que se limita a construir otra hilera de la misma longitud u otra de conjunto
semejante globalmente a la primera". (Piaget, Szeminska, 1982, pág. 176).
La convergencia entre el aspecto cardinal y ordinal del número natural se
establece atendiendo, fundamentalmente, a estas dos cuestiones:
i)
La serie numérica (aspecto ordinal) se aplica a una colección de
elementos para obtener el número cardinal. A su vez, esa colección de
elementos puede estar constituida por una serie, en cuyo caso se
establecería una correspondecia serial entre la secuencia numérica y la
serie de la que se quiere conocer el número de elementos que posee.
ii)
La segunda cuestión que liga el cardinal con el ordinal se fundamenta en
que cualquier serie está constituida por un encadenamiento de unidades
de esta forma:
1. 1, (1+1), (1+1+1)........
lo cual implica que avanzar una posición (aspecto ordinal) supone
aumentar en uno la cantidad (aspecto cardinal); y reciprocamente, al
aumentar en uno la cantidad se avanza una posición.
En los estudios de Piaget se pone a prueba la capacidad del niño para distinguir
la posición ordinal en una serie y los valores cardinales determinantes de esta posición y
determinados por ella, igualmente se establece la relación entre esos valores y esa
posición.
De manera esquemática, todas las explicaciones precedentes sobre la
construcción del número natural según la epistemología genética y cómo quedaría
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
73
enmarcado el estudio de la secuencia numérica en esta corriente, quedan recogido en el
cuadro resumen de la figura 4:
Epistemología Genética
El número como síntesis de
clasificación y seriación
Génesis de la cardinación
versus génesis de la
clasificación
Génesis de la ordinación
versus génesis de la
seriación
Correlación entre las génesis
Génesis de la correlación entre
el cardinal y el ordinal
Estructura lógica de
seriación subyacente a
la secuencia numérica
Figura 4. Secuencia numérica contextualizada en la epistemología genética
4. Secuencia numérica en el curriculum de Educación Matemática
Los distintos planteamientos sobre los orígenes y la naturaleza del número
natural implican consideraciones didácticas diferenciadas en las que se prima, en
ocasiones, el número ordinal en detrimento del cardinal, mientras que en otras ocurre lo
contrario.
Teniendo en cuenta los estudios realizados por Ortiz (1997), Ortiz y González
(2001), en España se distinguen tres períodos en la transmisión de la aritmética en el
siglo XX:
"Un primer período aritmetista con fundamentación inductivista pero con un
planteamiento didáctico convencionalista, un segundo período conjuntista con origen
estructuralista, que es dedecctivista y un tercer período post-conjuntista con intenciones
constructivistas. En el período aritmetista se considera la naturaleza inductiva del número
natural, primando el aspecto ordinal y en el período conjuntista la naturaleza lógica del número
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
74
natural primando las clases y el aspecto cardinal. No hemos profundizado en el período postconjuntista ya que al ser muy reciente, aún se encuentra en fase de implantación" (pag. 299).
Con respecto a la secuencia numérica (acción de contar) y los períodos
encontrados reseña:
"La acción de contar es resaltada en los períodos estudiados como fundamental en la
construcción escolar del número natural, siendo aún más patente en el período aritmetista"
(pag. 299).
"Entendiendo el aritmetismo como aquella corriente que considera que el origen del
número natural es inductivo, predominando el aspecto ordinal ante el aspecto cardinal" (pag.
298).
En Educación Matemática, y atendiendo al aritmetismo, podemos encontrar
autores que fundamentan la didáctica de la aritmética en la secuencia numérica como es
el caso, entre otros, de:
•
•
•
•
•
•
Guiu Casanova, Manuel, (1948, octava edición): Aritmética y Algebra.
Pedro Abellanas Cebollero (1960). Introducción a la Matemática.
Rey Pastor (1966): Elementos de análisis matemático.
Salinas y Angulo (1943): Aritmética (decimoséptima edición)
Alvarez (1960). Enciclopedia.
Hernando (1962). Enciclopedia
A esta lista se podrían añadir muchos otros autores todos ellos del período
aritmetista. Dentro de una tendencia post-conjuntista nos encontramos con la línea de
Razonamiento Inductivo Numérico (Ortiz Comas, 1997), según la cual, podemos
considerar la secuencia numérica como la serie numérica básica por excelencia, y en
este sentido, la didáctica de la misma se presentaría de acuerdo al siguiente esquema
inclusivo (fig. 5):
Origen inductivo del número natural con predominio del
aspecto ordinal
Contexto epistemológico y escolar aritmetista
Razonamiento Inductivo Numérico
Secuencia numérica
Fig. 5 Esquema inclusivo de la secuencia numérica en un contexto de Razonamiento Inductivo Numérico.
Por otra parte, en el periodo conjuntista, entendiéndolo aquí como el período de
tiempo que coincide con el movimiento de las matemáticas modernas, nos encontramos
dos concepciones bien distintas para la enseñanza del número natural: una de ellas es la
defendida por Freudenthal, quien aboga por la secuencia numérica como base de la
didáctica; mientras que la otra es la que mantiene Dienes fundamentada en el aspecto
cardinal. En los puntos sucesivos de este apartado se especifican estas dos tendencias.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
75
4.1. Freudenthal: Números para contar.
Para Freudenthal, la secuencia numérica es el pilar fundamental de las
Matemáticas, y por tanto, entre las distintas concepciones del número atendiendo a su
fenomenología, prima, especialmente y con gran relevancia "el número para contar"
considerado, éste, como el devanado en el tiempo de la secuencia de números
naturales.
“El número para contar es matemáticamente llamado el número ordinal, es formalizado
mediante la inducción completa y los Axiomas de Peano”. (Freudenthal.1983)
Aboga por el número para contar en Educación Matemática, frente al número
para cardinar, por estos motivos:
a)
Contar llega pronto a convertirse en una necesidad teórica para el niño,
llegando a utilizar el conteo más allá de lo que sus propias necesidades
prácticas le exigen.
b)
Contar es la base de la Aritmética más elemental.
En efecto, la suma es continuar contando, la resta es contar hacia
atrás. Este es un principio fundamental de los viejos didactas. Contar
hacia delante y hacia atrás, así como otras formas de conteo sistemático
tales como de dos en dos, de tres en tres, etc., completando decenas, han
sido ejercitadas intensamente en la aritmética tradicional; todo ello se
puede asociar a trabajar con la recta numérica. Esto contribuye a preparar
la aritmética mental (cálculo mental) con más imaginación y el conteo
hacia atrás antes que su representación concreta, allanando el camino a la
algoritmización del conteo y a la aritmética escrita.
c)
El contar es una actividad no sólo para obtener el número cardinal de un
conjunto, sino también es una actividad rítmica en el tiempo que
proporciona la numeración en orden de los elementos de los conjuntos
(número ordinal) y para ello se debe conocer los principios
fundamentales para operar con este sistema (sistematización de la
secuencia numérica).
d)
El concepto "y así sucesivamente" es operatorio en toda la instrucción
aritmética, así como en todas las reglas que se aprenden. Si hay una
infinitud de tiempo y espacio, se entiende de acuerdo al principio "así
sucesivamente" de la serie numérica (este principio se formaliza en el
principio de la inducción completa).
e)
El número para cardinar es matemáticamente insuficiente.
Si los números naturales deben estar subordinados al concepto
general de potencia, se está obligado a definir lo que son potencias
finitas. El modo es definir 0, 1, 2 y algunos más, pero esto no es
suficiente, ya que de algún modo se deberían de abarcar todas las
potencias finitas. Un modo de hacerlo es recurriendo a la inducción
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
76
completa pues añadiendo un nuevo elemento a un conjunto de n
elementos se obtiene otro nuevo con n+1 elementos; pero este
procedimiento sería una estupidez ya que sólo se puede aplicar si los
números naturales están ya disponibles.
Freudhental asegura que para toda las demostraciones importantes
en el paradigma de "números para cardinar", como por ejemplo:
demostrar que cada número natural n representa una única potencia1, la
definición de suma y producto de potencias demostrando que la unión de
dos conjuntos finitos es un conjunto finito, etc., deben recurrir
inexorablemente al principio de inducción completa, concretamente a la
secuencia numérica, y por tanto acceder al paradigma de "números para
contar"
f)
El aspecto cardinal de los números naturales es irrelevante en
comparación con el aspecto del conteo.
Hasta la época de Cantor el número cardinal había sido totalmente
irrelevante. El número cardinal es un concepto de número totalmente
primitivo, que fue pronto reemplazado en la historia de la humanidad por
otros más perfeccionados, repitiéndose del mismo modo en el desarrollo
individual. Algunos animales dominan un poco los números cardinales,
pero por encima de todo, el hombre domina otro concepto de número:
puede contar.
El aspecto cardinal en la matemática escolar juega un papel
importante en los problemas de combinatoria. Es bien conocido el hecho
de que si se unen dos conjuntos disjuntos sus cardinales se suman. El
hecho de que emparejar elemento a elemento (pares ordenados) dos
conjuntos sus cardinales se multiplican, aunque no sea oportuno para
definir el producto, es uno de los aspectos de la multiplicación que no ha
sido debidamente explicado en las viejas didácticas. Realmente se hace
justicia a la importancia del aspecto cardinal, si el número como
indicador de numerosidad (cantidad) se encuentra en un contexto
adecuado a sus aplicaciones, es decir, con relación a los problemas de
combinatoria, y ello es más adecuado que tener que sufrir errores,
equivocaciones y fundamentos del concepto de número faltos de
efectividad.
A pesar de todo, Freudenthal insiste en la gran importancia del
aspecto ordinal frente a la importancia que pueda tener el aspecto
cardinal tanto en la didáctica del número natural como en las
matemáticas puras.
g)
El aspecto cardinal es insuficiente para la didáctica de los números
naturales.
Normalmente el niño puede contar antes de empezar a reconocer
cantidades. A menudo se ha advertido que los niños pueden contar sin
1
La definición de "potencia" está tomada en el sentido de Cantor de conjuntos equipotentes.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
77
necesidad de conocer la conexión entre el número contado y la cantidad.
Freudenthal asegura que, de ninguna manera, el niño construye el
número, ni siquiera inconscientemente, como una clase de conjuntos
equivalentes; considera que la cardinalidad es un aspecto más,
relacionado con el hecho de que el número para contar es invariante ante
correspondencia uno a uno.
El niño aprende esa invariancia en un contexto mucho más
amplio, no ya que el número es invariante frente a las diversas formas de
efectuar la acción de contar (principio de orden irrelevante que llaman
Gelman y Gallistel), es decir el número es independiente de la
correspondencia uno a uno elegida, sino que la invariancia del número
aparece en otras situaciones distintas como puede ser que un número
determinado de objetos no cambia de un día para otro, por ejemplo
siempre tenemos cinco dedos (conservación en el tiempo), que todas las
personas tienen cinco dedos en una mano, etc.
La invariancia bajo correspondencias uno a uno, es un caso especial de
entre las propiedades de invariancia del número para contar; su
importancia deriva del análisis influenciado por la teoría de conjuntos
cuando se utiliza para estructurar las matemáticas.
No hay ninguna duda de que la importancia del aspecto cardinal en psicología se
ha debido a Piaget. Freudenthal (1983, cap. 11) lo critica en base a lo siguiente:
•
Piaget estudió el concepto de número bajo el aspecto cardinal. Creía que el
concepto de número natural se puede derivar totalmente de las potencias;
matemáticamente puede ser esto cierto pero él creyó que también lo era
psicológicamente; pero aquí enterviene la cuestión, ya planteada, de que el
aspecto cardinal del número natural es matemáticamente insuficiente.
•
Cuando trata el número ordinal bajo éste epígrafe no tiene nada que ver con
el número ordinal ni con el número para contar. Es tal su indiferencia hacia
el conteo que no menciona si los niños entrevistados saben contar y hasta
dónde pueden llegar.
En consecuencia la didáctica basada en la teoría de Piaget, y según Freudenthal,
no considera el número para contar, desterrándose los juegos de conteo en pro de
calcular sistemáticamente el número de objetos de las colecciones, invariante ante
transformaciones espaciales, y, todo ello, debido a la exagerada importancia dada al
aspecto cardinal. En estas didácticas, tan importante eslabón entre la aritmética mental y
escrita como es el hecho de interpretar las sumas como contar hacia adelante y las restas
como contar hacia atrás, es algo simplemente olvidado.
4.2. Dienes: Didáctica basada en el aspecto cardinal
En la teoría de Dienes sobre la didáctica del número natural se parte de la
siguiente concepción de número:
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
78
"El número es una propiedad de los conjuntos" (Dienes, 1966, p. 32).
Por lo tanto, y siguiendo a Bertrand Russell, cuando Dienes utiliza el término
"número" en realidad está haciendo mención a "número cardinal"; y así, su didáctica
está basada en la cardinalidad o aspecto cardinal del número natural siendo el concepto
de equipotencia de Cantor la base de la misma.
En la didáctica que propone Dienes para la adquisición del concepto de número
es necesario animar al niño a:
1º)
2º)
Que realice juegos de correspondencia uno a uno. Debe aprender a
clasificar los conjuntos en conjuntos equivalentes.
Que juegue con los bloques lógicos.
3º)
Comprender que no hay una única correspondencia uno a uno entre
dos conjuntos, sino que hay muchas.
4º)
Construir conjuntos que no puedan ponerse en correspondencia uno
a uno. La posibilidad de establecer conjuntos en correspondencia
conduce a la igualdad de sus propiedades numéricas y la imposibilidad a
la desigualdad de estas propiedades.
5º)
Usar el simbolismo matemático: =, <, >. Los símbolos <, > se
adquirirán fácilmente mediante la manipulación de las regletas encajables
6º)
Poner los números cardinales en sucesión. Para ello hay que
determinar el siguiente de un número dado; éste sería aquel que se refiere
a los conjuntos que tienen un elemento más que los conjuntos a los cuales
se aplica nuestro número. Así, para introducir la idea de sucesión es
necesario introducir la de "uno más". Para ello, Dienes propone juegos
que pueden realizarse independientemente de la acción de contar: los
niños construyen pilas de cubos de modo recurrente. El primer ejercicio
consiste en coger un objeto y así tenemos la primera pila. Después se
construye un conjunto equivalente al primer conjunto (o a la primera
pila) al que se añadirá otro objeto y así se obtiene la segunda pila. Este
proceso se continúa tanto tiempo como sea posible, de modo preferente
hasta que el niño haya perdido la cuenta del número de objetos que
entran en la composición de las pilas sucesivas. Ahora, se le muestra las
dos primeras pilas y se le pregunta que cual de ellas tiene más objetos. La
pregunta siguiente es: "¿cuántos objetos tiene más la mayor de las dos?",
Prosiguiendo las preguntas se recuenta la serie, mostrando siempre dos
pilas consecutivas. Dienes deduce que los niños no son lentos en
comprender que la pila "siguiente" tiene siempre un objeto más, puesto
que anteriormente es así como se ha construido.
En consecuencia, Dienes aboga por una didáctica del número natural basada en
la equipotencia entre conjuntos y, por tanto, en el aspecto cardinal del número; con lo
cual la secuencia numérica debe ser aprendida desde la perspectiva cardinal, haciendo
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
79
caso omiso al conocimiento que los niños pudieran tener acerca del recitado de la
misma y comparando dos términos consecutivos a través de la cantidad de elementos
que representa cada uno, para posteriormente comprobar que difieren en un único
elemento (noción igualmente cardinal), y que, por tanto, el siguiente de un término en la
secuencia representa aumentar en uno la cantidad precedente.
5. Secuencia numérica como componente del conteo
El estudio que realizamos a continuación de la secuencia numérica forma parte
de un estudio más amplio atendiendo a dos modelos psicológicos del desarrollo del
número en el niño según aparece en el esquema de la figura 6.
El desarrollo del
número en el niño
Modelo
lógico
piagetiano
Construcción
conceptual y
operatoria del
número
Rechaza el
conteo
práctico o
empírico
Modelo de integración de
habilidades: Procesamiento de la
Información
Modelos de
conteo
Análisis de la
secuencia
numérica en
base a la
estructura
operatoria de
seriación
El número
como operador
cuantificador y
generalización
del uso del
conteo
Análisis de la
secuencia
numérica
como una
componente
del conteo
Figura 6. Desarrollo del número en el niño según las corrientes psicológicas: Modelo Lógico Piagetiano y
Procesamiento de la Información
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
80
Nos situamos dentro del procesamiento de la información, y desde esta
perspectiva estudiaremos la secuencia numérica como componente del conteo4.
Tras haber situado la secuencia de numerales con relación al conteo, como
procedimiento más global en el que se integra, pasamos al análisis de la misma dentro
de las corrientes procesuales, estudiando en primer lugar su conceptualización y
pasando, posteriormente, al carácter funcional ordinal. En el citado análisis insertaremos
algunas matizaciones puntuales, que no se encuentran en este marco teórico, acerca de
las componentes lógicas que interrelacionan a todos y cada uno de los términos de la
secuencia.
5.1. Acción de contar: Conceptualización de la Secuencia Numérica
Se ha encontrado que los niños manejan la secuencia de numerales desde muy
temprano (por ejemplo, Gelman y Gallistel (1978), Fuson et al, (1982)), pero es posible
que sólo sepan que la secuencia de conteo5 se compone de números, y que éstos han de
repetirse siempre en el mismo orden (por ejemplo, Baroody (1986), Fuson (1988)), sin
que por ello se infiera una cierta comprensión conceptual como, por ejemplo, que el
orden de emisión de los términos de la secuencia se mantiene constante a lo largo de
sucesivas aplicaciones de la misma, o que cada elemento de la lista es único, es decir,
aparece una y sólo una vez a lo largo de la emisión de la secuencia (Fuson, 1988).
De aquí llegamos a deducir que existe, en primer lugar, un conocimiento
memorístico en el recitado de la secuencia, y en segundo lugar se alude a una
comprensión conceptual de la misma; dicha comprensión implica dos aspectos básicos:
por un lado está el orden en el que aparecen los términos en el recitado, el cual es una
propiedad invariante, lo que hace que los numerales estén entrelazados por una relación
de "siguiente"; y por otro lado está la propiedad antisimétrica que nos garantiza que los
elementos de la secuencia numérica no se repiten en el recitado, de forma esquemática
viene expresado en la siguiente tabla:
Conocimiento memorístico
•
Comprensión conceptual
•
La secuencia numérica se compone
de términos que se repiten siempre
en el mismo orden
•
Orden de los términos de la
secuencia: propiedad invariante.
Relación de siguiente.
Propiedad antisimétrica: los
elementos no se repiten.
Fuson, Richards y Briars (1982) realizan un estudio longitudinal transversal, que
comprende desde los dos años hasta los ocho, para analizar la adquisición y
elaboración de la secuencia de numerales. Aunque estas dos fases son diferentes, en
algún momento llegan a solaparse, ya que se precisa un largo período para adquirir y
4
La secuencia numérica como componente del conteo, ha de coordinarse con otro aspecto importante: la
correspondencia uno a uno.
5
Ver Anexo 3.2.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
81
consolidar la secuencia estándar de numerales. Por ejemplo, puede comenzar el proceso
de establecimiento de relaciones entre los primeros términos de la secuencia, mientras
que se está alargando el tamaño de la misma; en otras palabras, el primer fragmento de
la secuencia puede estar en fase de elaboración, mientras que el extremo final de la
misma está en plena fase de adquisición.
Durante la fase de adquisición, se realiza el aprendizaje de la secuencia
convencional y el niño comienza a aplicarla en situaciones de conteo. En esta fase la
secuencia funciona como una estructura global unidireccional que consta de los
siguientes fragmentos: una parte inicial estable y convencional; a continuación un
fragmento estable no convencional; y la parte final, compuesta por fragmentos que no
son convencionales ni estables
Para Fuson et al, dentro de las porciones no estables de la secuencia existen
series crecientes ordenadas ya que la mayoría de los fragmentos estables no
convencionales difieren de la secuencia convencional tan sólo en la omisión de alguno
de sus elementos.
En la fase de adquisición se dan tanto errores de omisión como de repetición. En
los primeros se respetan algunos esquemas lógicos de ordinación, por ejemplo se
mantiene el orden creciente de los números en el recitado de la secuencia; mientras que
en algunos errores de repetición, los que Baroody (1986) llama "errores de reciclaje"
(por ejemplo, "1, 2, … 9, 1, 2, …") se manifiestan algunos esquemas lógicos de la
secuencia convencional como puede ser la aparición del esquema cíclico de la seriación.
En la fase de elaboración, los vínculos entre los elementos de la secuencia se
fortalecen y los términos contiguos (junto a la relación que los entrelaza) pueden
emitirse al margen de la secuencia global. De este modo, cada término de la secuencia
puede emplearse como elemento de apoyo para recordar el término inmediatamente
anterior o posterior.
La fase de elaboración, según Fuson y otros (1982), se subdivide en cinco
niveles6.
Adquisición
•
•
•
Aprendizaje del recitado de la
secuencia numérica
Iniciación en la aplicación de
situaciones de conteo
La secuencia consta de tres
fragmentos.
Elaboración
•
•
•
•
•
Nivel cuerda
Nivel cadena irrompible
Nivel cadena fragmentable
Nivel cadena numerable
Nivel cadena bidireccional
En otro orden de cosas y siguiendo con la secuencia numérica como componente
del conteo, nos vamos a centrar en un aspecto importante del que hasta ahora no hemos
hecho mención y es lo relativo al carácter convencional o social de los términos.
6
Ver Anexo 3.3, de los Anexos III
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
82
La cuestión que queremos abordar en este momento es ver si cualquier "lista"
vale para contar o si, por el contrario, la "secuencia numérica" goza de un estatus
especial que la hace insustituible.
Respecto a la cuestión planteada nos encontramos con diferentes posturas: así
para Gelman y Gallistel (1978) con el principio de orden estable, para Wagner y
Walters (1982) quienes distinguen una forma "fuerte" y otra "débil" del mismo
principio, así como para Saxe(1981), cualquier lista vale, mientras que autores como
Song y Ginsburg (1988) o Fuson (1988 a) defienden que la secuencia de numerales es
insustituible. Ante esta discusión, nosotros nos centraremos en el uso de la secuencia
numérica frente a cualquier otra lista, y ésto por varias razones:
•
•
Es un aprendizaje temprano en el niño, si se quiere por razones
socioculturales.
La serie numérica tiene caracteristicas estructurales propias-intrinsecas que
no tiene cualquier otra serie a no ser que se le aplique un isomorfismo
estructural a una secuencia de diez dígitos pero que ya nos alejaríamos del
conocimiento incipiente, en el niño, del recitado de la secuencia.
Saxe, Becker, Sadeghpour y Sicilian (1989) realizan un interesante trabajo para
determinar las diferencias evolutivas en la comprensión mostrada por los niños acerca
de la naturaleza arbitraria de los numerales en tanto que son símbolos culturales.
Analizan directamente la comprensión mostrada por los niños respecto a la posibilidad
de sustituir la lista de numerales estándar por una lista de símbolos diferenciables (el
alfabeto, por ejemplo).
Los resultados de Saxe et al. revelan que la mayoría de los niños de seis años son
capaces de apreciar la necesidad de la correspondencia uno a uno y la arbitrariedad de
los símbolos numéricos, de modo que los niños advierten progresivamente que en tanto
se preserve el principio de correspondencia uno a uno cualquier lista de símbolos puede
servir para realizar el conteo.
Fuson (1988 a) justifica que la secuencia de numerales es insustituible según
cuatro puntos de apoyatura:
1. La información aportada por algunos estudios en los que se muestra que los
niños conciben la lista convencional de numerales como un instrumento que
ninguna otra lista puede sustituir.
2. El hecho de que los niños juzguen como erróneos los conteos en los que una
marioneta no aplica debidamente la secuencia de conteo.
3. El segmento estable convencional que encabeza todas las secuencias
emitidas por los niños (incluso a partir de los dos años y medio), ya que
reflejan los intentos realizados por los mismos para aprender "la lista
especial" de conteo
4. La anterioridad de las secuencias estables sobre la comprensión de la
cardinalidad.
No podemos dejar de considerar las aportaciones de Song y Ginsburg (1988) con
sus estudios sobre la naturaleza de los elementos de la secuencia de conteo. En estos
estudios transculturales se observa que en casi todos los lenguajes los numerales hasta
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
83
100 se producen a través de un sistema basado en reglas para combinar unidades y
decenas7
Carácter arbitrario
•
•
•
Gelman y Gallistel: principio de
orden estable
Warner y Walters: forma “fuerte”
y “débil” del mismo principio.
Saxe: cualquier lista vale.
Carácter insustituible
•
•
Fuson: segmento estable y
convencional que encabeza todas
las listas, anterioridad de la
secuencia
estable
a
la
cardinalidad, etc.
Song y Ginsbug: sistematización.
Existen otras posturas como la adoptada por Riley, Greeno y Gelman (1984),
según las cuales los números están ligados, simplemente, por una relación de siguiente y
no por estructuras concretas.
Por nuestra parte, cabe señalar, que adoptaremos posturas al respecto cuando
analicemos la secuencia numérica bajo la óptica de la estructura lógica de seriación,
según la cual los términos de la secuencia estarán entrelazados por la relación de
siguiente (i.e. encadenamiento aditivo) que a su vez, y por aparecer en esta seriación
aspectos cíclicos, conducirán a la construcción operatoria de la estructura subyacente en
la sistematización de la secuencia numérica.
Para finalizar este apartado debemos hacernos eco de los planteamientos
expuestos sobre la memorización de la secuencia. Autores, ya citados, como son : Song
y Ginsburg (1988), Fuson y Hall (1986) ó Baroody y Ginsburg (1986), defienden el
aprendizaje memoristico de la secuencia al menos en lo concerniente al tramo 1-10,
ellos entienden que la habilidad numérica temprana de los niños se debe a la creación de
hábitos y proponen que la aplicación mecánica del procedimiento de conteo va siendo
paulatinamente modificada por la comprensión del mismo, comprensión que pasa por la
coordinación e integración de todos los principios del conteo.
En una segunda línea se encuentran las posturas de Gelman y Gallistel (1978),
Gelman y Meck (1986) ó Wagner y Walters (1982); para ellos no hay simplemente
aprendizaje memorístico sino que éste va acompañado de una cierta comprensión
previa. Concretamente Gelman y Meck (1986) defienden que si los niños no dispusieran
del principio de orden estable, el aprendizaje de la secuencia sería memorístico y
carente de sentido, lo que no sólo dificultaría el aprendizaje, sino que lo convertiría en
una tarea altamente lenta y costosa.
El siguiente cuadro (figura 7) resume esquemáticamente el estudio precedente.
7
Ver Anexo 3.4.
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84
Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
Memoristico
Comprensión conceptual
Adquisición
Carácter arbitrario
Elaboración
Carácter insustituible
Relación de siguiente
Relación estructural
Conceptualización de la
secuencia numérica
Figura 7. Conceptualización de la secuencia numérica contextualizada en las teorias de Procesamiento de
la Información
5.2.Carácter funcional de la secuencia numérica en un contexto ordinal.
Es importante observar que la habilidad de contar no tiene una meta en sí misma,
sino que se trata de un comportamiento instrumental, es decir, de una estrategia,
extraordinariamente potente, en el desarrollo matemático del niño.
Con respecto al conteo existen dos líneas de investigación: por una parte está la
conceptialización y por otra su carácter funcional.
Las investigaciones que tratan la conceptualización se interesan, sobre todo, por
cómo los niños comprenden y coordinan cada uno de sus componentes, así como el
curso evolutivo que suelen seguir para adquirir esta habilidad (p.e. Baroody y Ginsburg,
1986; Becker, 1986; Frye et al., 1989; Fuson y Hall, 1983; Gelman y Gallistel, 1978;
Wagner y Walters, 1982; etc.).
Paralelamente a estas investigaciones, centradas en el estudio del conteo
exclusivamente, existen otras en las que se pretende determinar la capacidad de los
niños para resolver problemas en los que el conteo se usa como procedimiento (p.e.
Becker, 1989; Cowan y Danields, 1989; Fuson et al. 1983; Sophian, 1988, etc.).
Debemos reseñar que algunos estudios que buscan determinar el conocimiento
del valor funcional del conteo parecen inducir un nuevo giro hacia posturas
tradicionales, como la encabezada por Piaget y Szeminska (1941). En esta línea se
sitúan trabajos como los de Clement y Callahan (1983) mostrando cómo se pueden
aprovechar diversas situaciones de conteo, debidamente estructuradas y significativas,
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
85
para fomentar la comprensión y el uso del conteo, que a su vez mejoraría el nivel de
rendimiento de los sujetos tanto en tareas numéricas como en tareas lógicas al más puro
estilo de Kamii (1986).
La secuencia numérica ha sido analizada, en el apartado anterior, como una
componente del conteo y, a su vez, éste ha sido tratado como un procedimiento en sí
mismo en el ámbito de conceptualización aludido anteriormente. En este apartado
realizaremos un giro en dicho tratamiento, y así, miraremos hacia el valor funcional; de
este modo, y volviendo a retomar la secuencia numérica como una componente del
conteo, trataremos de exponer cómo se manifiestan los nexos lógicos entre los términos
de la misma a través de su uso.
Por ello, lo que pretendemos es usar el valor funcional del conteo para establecer
relaciones ordinales entre los numerales de la secuencia. Por tanto siempre que
hablemos de componentes lógicas subyacentes a la secuencia numérica nos estaremos
refiriendo a las relaciones ordinales entre sus términos, y no será objeto de estudio de
esta investigación la lógica subyacente al aspecto cardinal del número natural.
La funcionalidad del conteo para determinar el cardinal de un conjunto ha sido
objeto de estudio en destacadas investigaciones tales como las de: Gelman y Gallistel
(1979), con el establecimiento del principio de cardinalidad; Klahr y Wallace (1976),
con el conteo como "operador cuantificador"; ó Schaeffer et al. (1974), con la
determinación de los estadios mediante el criterio de la cardinalidad a través del
recuento.
Así como el aspecto cardinal del número natural ha sido tratado con profundiad
en las teorias procesuales sobre la funcionalidad del conteo, no hemos encontrado un
tratamiento similar en todo lo concerniente al aspecto ordinal, considerándolo en un
estado "puro" sin contaminaciones con el cardinal.
La mayoría de los trabajos encontrados en la literatura con relación al carácter
funcional del conteo en cuanto a la ordinalidad lleva como soporte mental la
cardinalidad, es una comparación ordinal cuantitativa; cada número de la secuencia
representa, a priori, el cardinal de un conjunto para después realizar la comparación
entre los términos, por tanto, dicha comparación se da entre magnitudes y no en cuanto
a posición en la secuencia numérica.
Esta visión se enmarca dentro de la construcción lógica de Bertrand Rusell: el
número natural se define a través de cardinales finitos y posteriormente se definen las
relaciones de orden.
En esta línea se sitúan los trabajos de Bermejo y Lago (1991) para estudiar el
carácter funcional del conteo en las tareas de orden. Parece ser, según estos autores, que
esta es una forma útil de evitar el conocimiento puramente memorístico de la secuencia
de numerales; sostienen la idea que si en una tarea no interviene la cardinalidad los
niños no son capaces de establecer comparaciones ordinales entre los numerales ya que
éstas adquieren la forma "más/después" y "menos/antes" donde el cardinal y el ordinal
aparecen, de nuevo, interrelacionados por una relación isomorfica “suigeneris”.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
86
En consecuencia, parecen habituales las tareas en las que se adopta la forma en
la que se comparan dos números que representan dos números cardinales obtenidos
previo conteo, se tratan de las habituales tareas de comparación de magnitudes
(Ashcraft, 1983; Bermejo y Lago, 1991; Cowan, 1987; Fuson, 1982; Fuson, Secada y
Hall, 1983; Knight y Beherens, 1988; Sophian, 1988b; Russac, 1978).
Sin embargo, y en contraposición a estos trabajos defendemos la hipótesis H3 de
nuestra investigación relativa a las tareas óptimas en las que se pone de manifiesto
exclusivamente las relaciones ordinales entre los términos de la secuencia numérica,
ésta consiste en la resolución, por parte del niño, de problemas concretos sobre el
número ordinal, i.e. determinar la posición misma de un término en una serie (que
previamente se ha considerado como un conjunto contable, para continuar siendo un
conjunto ordenado) mediante la secuencia numérica8.
Si proponemos al niño tareas en las que a través de la secuencia numérica tiene
que determinar una posición ordinal de un elemento en un conjunto contable, estaremos
evaluando sólo y exclusivamente las competencias ordinales del sistema a través de su
uso. Estas tareas son relevantes para nuestro estudio frente a otras en las que el recitado
de la secuencia puede ser memorístico y si ponemos al niño simplemente a contar
objetos nos resultaría difícil evaluar si establece o no relaciones lógicas entre sus
términos; o bien, si proponemos las habituales tareas de comparación de magnitudes
estaremos evaluando el "isomorfismo" entre la cardinalidad y la ordinalidad (i.e. "a es
mayor que b si y sólo si a es posterior a b"; y "a es menor que b si y sólo si a es anterior
a b") y nos alejaríamos de nuestro objetivo que no es otro que la comparación de dos
términos cualesquiera de la secuencia a través de la posición ordinal que ocupan en ésta.
Este tipo de tareas del uso funcional ordinal de la secuencia numérica supone:
1
La aplicación práctica a través de la acción de contar de las propiedades
internas del sistema, i.e. términos de la secuencia numérica y operaciones
lógicas ordinales entre ellos.
La secuencia numérica, en sí misma, constituye un conjunto contable; y
las mismas competencias lógicas entre los numerales de la secuencia son
trasladadas a los objetos de un conjunto contable, y viceversa, cuando se realiza
la acción de contar.
Esto es así porque el esquema de actuación permite establecer una
biyección entre el conjunto contable y un tramo de la secuencia numérica
mediante la cuál queda ordenado el conjunto. Una vez establecido el orden en el
conjunto se puede establecer relaciones ordinales entre sus elementos.
Estas relaciones serían tanto comparativas como clasificatorias:
•
8
Los aspectos comparativos llevarían a la consideración de que los objetos
del conjunto contable constituyen una serie aditiva (i.e. sucesión de
siguientes), así cada elemento, excepto el primero, es el siguiente de otro,
y colateralmente, cada elemento, excepto el último (si el conjunto es
finito) es anterior a otro, y que por lo tanto cada elemento (excepto el
Dicha hipótesis quedará probada con el estudio empírico cualitativo de esta investigación.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
87
primero y el último) está "entre" otros dos elementos del conjunto
contable.
• Los clasificatorios, junto con los comparativos, hacen que se obtenga dos
clases de equivalencia a partir de un elemento determinado del conjunto
contable y ya ordenado: la clase de todos los elementos que le anteceden
y la clase de todos los que le suceden.
Las relaciones ordinales entre los elementos del conjunto pueden ser
trasladadas mentalmente a los términos de la secuencia que están emparejados
con cada uno de esos elementos y con ello conseguiríamos que los niños
establecieran relaciones ordinales entre esos términos.
En definitiva, las competencias lógicas de la secuencia numérica son, de
este modo, trasladas al estudio de la ordinación numérica y planteada, ésta, en el
plano de la numeración verbal con un material concreto como base y susceptible
a la seriación.
2
Se pasa de un recitado memoristico de la secuencia numérica al valor funcional
de la misma en la resolución de problemas ordinales.
Los objetos del conjunto contable son tangibles y los niños "razonan"
mejor sobre la acción que con un simple recitado de la secuencia. Es el paso de
la interiorización de la verbalización a través de la acción, pues como asegura
Piaget (1941)
"La verbalización se hace mucho más segura y fecunda cuando se realiza en el
momento mismo de experiencias efectuadas por medio de un material adecuado, y
cuando el niño, en vez de reflexionar en el vacío, antepone ante todo su propia acción
y la comenta" (p. 9).
Todo ello supone la necesidad de presentar pruebas experimentales para
la investigación con un soporte gráfico, perceptivo y manipulativo, en los que,
a través de la acción, el niño pueda manifestar los esquemas lógicomatemáticos implícitos en la secuencia numérica.
En definitiva, tenemos que, el valor funcional ordinal de la secuencia numérica
se manifiesta cuando, con la acción de contar, los niños tienen que resolver problemas
de ordinación.
El planteamiento de dichos problemas llevaría implícito: la manipulación de
objetos; la traslación mental de las relaciones ordinales entre los términos de la
secuencia a las relaciones ordinales entre los objetos tangibles del conjunto contable;
pero, sobre todo, llevaría implícito un medio de análisis para el sujeto que generaría
estrategias a la vez que pone en conexión los datos del problema para llegar a la
solución, dando, así, un significado distinto a los términos de la secuencia numérica a la
que supone la mera etiquetación.
El estudio que en esta investigación se lleva a cabo sobre el carácter funional
ordinal de la secuencia numérica queda contextualizado en el siguiente esquema (figura
8):
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
88
CONTEO
Conceptualización
Carácter funcional
Ordinal
Cardinal
Comprensión
y
Coordinación
de sus
componentes
Curso
evolutivo
Principio de
cardinalidad
Operador
cuantificado
r
Estadios de
Schaeffer
Comparación
de magnitudes
Determinación
del número
ordinal
Establecimiento de relaciones
ordinales en la secuencia numérica
Figura 8. Carácter funcional ordinal de la secuencia numérica.
6. Secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano
Remitiéndonos a las tareas propias piagetianas relativas a la estructura lógica de
seriación, nos encontramos con términos y expresiones claves en esta teoría como son,
entre otros, los siguientes:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Anticipar
Encadenamiento aditivo
Intercalar un elemento en una serie.
Un elemento en una serie es diferente en un sentido al anterior y diferente
en otro sentido al posterior.
Seriación operatoria
Sistematización de la serie
Primer elemento
Ultimo elemento
Seriación cíclica
Alternancia.
El análisis didáctico de la secuencia numérica desde el punto de vista de la
estructura lógica de seriación se basará en esos conceptos.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
89
Por ser el estudio de la estructura lógica de seriación un análisis genético, el
tratamiento de la secuencia numérica como una serie en el sentido piagetiano lleva
consigo el estudio de las capacidades necesarias que el niño debe manifestar para llegar
al establecimiento de las relaciones intrínsecas de un elemento (posición relativa) de la
secuencia con todos los demás.
En el cuadro siguiente (fig. 9), aparece de forma esquematizada el paso de la
seriación a la sistematización de la secuencia, entendiendo las casillas que aparecen en
las partes intermedias como capacidades seriales que el niño debe aplicar para llegar a
dicha sistematización. La expresión “sistematización de la secuencia” se traduce en
terminología piagetiana como alcanzar el éxito operatorio de la serie, y el éxito
operatorio, en nuestro estudio, es el establecimiento de relaciones ordinales entre los
términos de la secuencia numérica.
Seriación
Encadenamiento
aditivo
Generar
series
Por seriación
doble y cíclica
Relación
asimétric
Alternancia
Lugar
determinado
Cíclica
Todo elemento es
primero y primero
Arbitraria
Primer y último
elemento
Existencia der
primero y último:
Tramo finito
El cero no tiene
antecesor
Ausencia del
último elemento:
serie infinita
SISTEMETIZACIÓN
DE LA SECUENCIA
NUMÉRICA
Figura 9. Sistematización de la secuencia numérica en el contexto de la seriación operatoria.
Las capacidades seriales consisten en lo siguiente:
1. Relación asimétrica.
Se alude a la comparación a través de la terminología ordinal: anterior,
siguiente, predecesor, posterior, consecutivos, antes de, después de, anteriores,
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90
Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
siguientes, etc., de dos términos cualesquiera de la serie. Se trata de advertir las
diferencias existentes entre dos elementos de la serie relativos a su posición
ordinal
2. Encadenamiento aditivo.
Esta capacidad alude al proceso de construcción de una sucesión de
siguientes: A un elemento le continúa otro elemento y a éste otro y así
sucesivamente hasta completar toda la serie9. La aplicación de estos esquemas a la
secuencia numérica pasa por el entendimiento de que el primer tramo de la
secuencia (del 0 al 9) constituye un ciclo a partir del cuál, y con una regla de
combinación, se genera toda la serie de números naturales. Dicha regla conlleva, a
su vez, la aplicación de la seriación doble según se muestra en el apartado 2 del
Anexo 3.5.
Las actividades del encadenamiento aditivo plantean cuestiones como estas:
continuar una serie dada, encadenar elementos, averiguar el siguiente de un
número, etc. Para la planificación de las mismas debemos tener en cuenta la
génesis del conocimiento y estudiar la evolución que presentan los niños ante
tareas de seriación. En este sentido tenemos las siguientes fases:
I.
Exito operatorio en las tareas de realizar series sencillas en las
que no hay relación de orden
II.
Exito operatorio en las tareas de reconstrucción de una serie con
un criterio antisimétrico y transitivo, como por ejemplo ordenar
bastones de diferentes tamaños en orden creciente. La razón de
no incluir en este apartado las series numéricas, es porque las
estamos estudiando como sucesiones de términos con carácter
ordinal en la que no intervienen la relación de orden "menor o
igual que" dada por el cardinal.
Esto significa que los niños consiguen dominar antes las series
en las que el criterio es sencillo y convencional frente a las
series que se construyen a partir de una relación de orden10.
3. Primer y último elemento.
Esta capacidad advierte que en algunas series finitas existen primer y último
elemento. El “primero es anterior a todos” y el “último es posterior a todos los
demás”. Para que una serie finita tenga primer y último elemento tiene que estar
"bien ordenada", es decir debemos disponer de una "buena ordenación" y “orden
total” en la serie.
El primer elemento indica por dónde se debe iniciar la serie y el último dónde
termina. ya que éstos son, respectivamente, el anterior y el posterior a todos los
demás. Las actividades que conllevan estos esquemas son del tipo siguiente:
Construcción de una serie dando el primer y último elemento.
9
Ver apartado 1 del Anexo 3.5.
Ver apartado 3 del Anexo 3.5
10
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
91
Empezar la serie a partir de un término "a" y terminarla en "b"
Decir "n" términos a partir de "a", hay que dar otro término "b"
como respuesta.
La asimilación de estos dos elementos caracteristicos de cualquier serie
finita con diagrama lineal, manifiesta el inicio del éxito operatorio, puesto que
identificar los elementos "a" y "b" como primero y último conlleva, entre otros, lo
siguiente:
i)
Advertir las diferencias existentes entre cada uno de esos
elementos con todos los demás.
ii)
Usar los términos que describe una serie en sentido comparativo
frente al uso de esos mismos términos en un sentido puramente de
etiquetaje, y así indicar que "a" es el más pequeño de todos y que
"b" es el más grande, o en un lenguaje puramente ordinal decir
que "a" es anterior a todos y que "b" es el posterior.
iii)
Hacer uso de la serie comparativa en los dos sentidos puesto que
un niño si se tiene que detener en el último elemento "b" debe
reconocer el término "k" como anterior a éste para saber que el
posterior de "k" es el último, y ésto conlleva hacer un uso
simultáneo de los conceptos "anterior" y "posterior", o lo que es
lo mismo de las relaciones "mayor que" y "menor que" en las
ordenaciones, lo que implica la posibilidad de desarrollar la serie
en los dos sentidos.
En resumen, la capacidad para identificar el primer y último elemento en
series finitas supone desarrollar el lenguaje subyacente a la seriación, cuyo éxito
operatorio es la descripción de las series en los dos sentidos.
4. Todo elemento es primero y último.
Un término en una serie lineal es último elemento de todos los que le
anteceden y primero de los que le suceden.
Esta capacidad se infiere de las series ordinales11, en las que intervienen
una relación de orden total; de todas ellas podemos decir que un elemento
cualquiera es mayor que todos los anteriores y menor que todos los posteriores
generalizando la relación de orden como: "menor o igual que".
Este esquema se puede generalizar a cualquier tipo de serie lineal usando
una terminología ordinal o de posición relativa, haciendo uso de la definición de
primer y último elemento.
La identificación de cualquiera de estos términos supone el éxito
operatorio en la realización de series, puesto que ello determina un método
sistemático para la construcción de las mismas; consistente, éste, en colocar en
11
Llamamos series ordinales a las series cuyo criterio es un orden, es decir que la relación lógica ordinal
que genera la serie es antisimétrica y transitiva.
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92
Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
primer lugar el primer elemento, a continuación se coloca el primero de entre los
restantes, etc., luego, en cada paso, el elemento que se coloca es tratado
simultáneamente como primero y último: primero de los restantes y último de los
que ya han sido colocados.
Estos esquemas que acabamos de dar para realizar actividades suponen
trabajar el concepto de "subserie" como aquella parte de la primera que a su vez es
una serie, así como trasladar la aplicación de primer y último elemento de la serie
a la subserie. Esto crea el mismo tipo de dificultades y conflictos cognitivos que
se dan en la inclusión jerárquica cuando se considera una clase simultáneamente
como una "parte" de un "todo" en una secuencia de la clasificación y como un
"todo" cuando se vuelve a clasificar sobre ella; del mismo modo una subserie es
un subconjunto de la serie cuyos elementos siguen un encadenamiento aditivo con
el mismo criterio de sucesión que en la secuencia inicial, y es visto
simultáneamente como una parte de la primera y como una serie en sí misma.
5. Lugar determinado.
Cada elemento ocupa un lugar determinado en la serie. Se alude a la
capacidad de averiguar la posición que ocupaba un elemento dado aplicando
distintos esquemas seriales:
Alternancia. En general, podemos indicar que en una alternancia, un
elemento determinado se encuentra entre dos elementos de la clase
contraria. Con ello se descubren algunas propiedades importantes
de la secuencia numérica, como, por ejemplo, que cada número par
está entre dos impares, del mismo modo que cada impar está entre
dos pares,
Cíclicas.
Una seriación cíclica tiene la particularidad de que
conociendo la posición de cada uno de los elementos que
componen el ciclo se puede determinar el anterior y el siguiente de
todos los demás; y esto no depende del número de objetos que lo
integren. Cuando se repite un término de forma cíclica en una serie,
a éste siempre le antecede y suceden los mismos elementos.
En el Anexo 3.6 se describe un método sistemático según el cuál
se puede obtener el anterior y siguiente inmediato de un número
cualquiera con un número indeterminado de cifras. Lo importante
es poner de manifiesto que el anterior y el posterior se calcula
basándose en la posición que ocupa la cifra de las unidades del
número en el ciclo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0, y teniendo en cuenta
que cada vez que éste se completa se cambia de decena, cuando se
completa las decenas se cambia de centena y así sucesivamente12.
12
Y por último aclarar que cuando escribimos (xi-1) ó (xi+1) en las cifras del número (ver Anexo 3.6) no
se está indicando cantidad sino posición en el ciclo (anterior y posterior).
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
93
Arbitraria
Se trata de averiguar el lugar que ocupa un término
cualquiera y observar cómo se realiza la descripción de dicha
posición. En este caso se pueden aplicar distintas estrategias:
Número ordinal.
Significa realizar la descripción de
la posición relativa de un número de la secuencia usando la
posición ordinal.
Localización del anterior y el posterior.
Se describe la
posición relativa de un número indicando el anterior y el
posterior.
Esquemas más evolucionados.
Se
describe
la
posición de un número usando otro número dado como
referencia.
6. Generación de series.
Se trata el proceso de generación de series aludiendo a criterios
ordinales13 En el Anexo A.8 se define una serie numérica con el criterio: "contar
n-lugares en una serie dada" (a ésto lo hemos llamado Sn-1), es decir, hemos dado
significado ordinal al criterio anterior.
Si combinamos este apartado con algunos de los anteriores podemos
obtener, por ejemplo, las tablas de multiplicar de esta forma:
Partimos de la secuencia de números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, …
Contar dos lugares y con el dos como primer elemento: 2, 4, 6, 8, …
Contar tres lugares y con el tres como primer elemento: 3, 6, 9, 12, …
Contar cuatro lugares y con el cuatro como primer elemento: 4, 8, 12, 16,
…
Y así sucesivamente.
En definitiva, podemos generar cualquier serie aditiva, por ejemplo, las
del tipo:
La serie de las decenas. Contar de diez en diez empezando por diez y
terminando en 90, que es lo mismo que decir contar diez lugares con el
diez como primer elemento y 90 como el último.
Contar de diez en diez empezando por uno y terminando en 91.
Contar de diez en diez empezando por dos y terminando en 92.
Contar de diez en diez empezando por tres y terminando en 93.
y así sucesivamente
En resumen, todas las series numéricas aditivas se pueden generar a
partir de la secuencia de números naturales usando un método de generación de
carácter ordinal.
13
En el Anexo 3.8 se describe un proceso de generación de las series numéricas aditivas a partir de la
secuencia de números naturales.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
94
7. Consecuencias del análisis didáctico.
Concluimos este capítulo con una exposición de los resultados y conclusiones
que se deducen del estudio realizado. En los próximos dos apartados se relacionan los
resultados y conclusiones de todo el estudio bajo dos enfoques diferentes: una reflexión
general comentada y una síntesis global.
7.1. Reflexión general
Recapacitando sobre la relación existente entre la interpretación y construcción
del conocimiento ordinal de la secuencia numérica en el niño, los modelos ordinales del
número natural y los casos relevantes de relaciones generadoras de series14, se llega a la
conclusión de que dicho conocimiento no se aplica en el vacío, es decir, subyace a la
sucesión de términos numéricos un entramado de relaciones lógicas ordinales que hacen
posible la construcción del número natural en su aspecto ordinal.
Tal y como se ha puesto de manifiesto en el análisis logicista de la secuencia
numérica, a ella, se llega, a través de las relaciones ordinales que se dan en un sistema
de progresiones. Por tanto la secuencia numérica, independientemente de la naturaleza
de sus términos, posee un soporte conceptual ordinal para su construcción.
Tener en cuenta ese soporte conceptual ordinal15 nos lleva a su integración en un
sistema conceptual e interpretativo coherente. Dicha coherencia pasa por las
concepciones y creencias sobre la secuencia numérica, lo que remite inmediatamente a
consideraciones de tipo psicológico, epistemológico y didáctico.
Las consideraciones epistemológicas se circunscriben al problema de la
naturaleza, origen y el modo de existencia del número natural y de la aritmética
elemental, de manera que la construcción de la secuencia numérica va a depender, en
este punto, de las conclusiones que se establezcan en torno al problema mencionado.
Tal y como se desprende del análisis didáctico, coexisten varios planteamientos
epistemológicos sobre el número natural que condicionan el significado de construcción
de la secuencia, estos son:
14
•
La postura convencionalista está basada en los aspectos ordinales para la
construcción del número natural. El soporte inicial es la acción de contar y la
verbalización de la secuencia numérica. Para este enfoque, que parte de la
estructura superficial sin considerar la estructura profunda, los numerales y
los signos numéricos son convenciones, o normas, que actúan mediante unos
criterios.
•
La secuencia numérica en el seno de la corriente logicista se desarrolla
dentro del sistema de progresiones que, según Bertand Rusell (1982),
coincide con el sistema de Peano y con el de Dedekind. Las relaciones
Son las relaciones lógicas-ordinales definidas a partir de las relaciones asimétricas y biunívocas de
Bolzano.
15
Bajo la óptica de ese soporte conceptual ordinal hemos analizado la secuencia numérica en otros
campos
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
95
ordinales y el número ordinal bastan para desarrollar la secuencia y el
número natural. Existen modelos de construcción de la secuencia numérica
que no precisan de la definición previa de los términos numéricos y, por
tanto, son independientes del número cardinal.
•
Para la epistemología genética el número natural es síntesis de dos
estructuras operatorias: clasificación y seriación. Como consecuencia, el
número es cardinal y ordinal construyéndose ambos aspectos
simultáneamente, es por ello que se da la correlación entre ambas génesis. La
estructura operatoria de seriación deriva en la ordinación16 y, entonces, el
tratamiento de la secuencia numérica, en este modelo, es el de una serie.
Las diferentes posiciones epistemológicas ante el número natural condicionan la
transmisión escolar de la aritmética, pero en todos los casos la secuencia numérica es
importante para su aprendizaje. Nos encontramos con prioridades opuestas como:
•
Prioridad del número ordinal. Atendiendo a la Fenomenología de
Freudenthal, el número para contar es el pilar sobre el cual se sustenta toda
la Matemática y también su Didáctica, siendo el número para cardinar
matemática y didácticamente insuficiente.
•
Prioridad del número cardinal. Se intenta una construcción lógica de la
aritmética a partir de nociones previas a la de número como es la noción de
conjuntos. La secuencia numérica se obtiene como una sucesión de números
cardinales y el tratamiento didáctico de siguiente de un número es aumentar
en uno la cantidad. Dienes es defensor de este modelo.
En cuanto a las consideraciones psicológicas, en el estudio del desarrollo del
número en el niño han aparecido dos grandes líneas de investigación, que se han
proyectado igualmente en los trabajos sobre enseñanza y aprendizaje de éste concepto:
por una parte el modelo lógico piagetiano y, por otra, el modelo de integración de
habilidades seguido ampliamente en nuestros días (véase, por ejemplo, Kints 1988,
Schaeffer y otros, 1974; Unglaub, 1997.)
Desde una perspectiva del desarrollo del conocimiento (que está en relación con
los planteamientos de la epistemología genética), hemos de basarnos en la psicología
evolutiva de Piaget. En este modelo la evolución del desarrollo infantil suele ser más
exigente, preocupándose menos de la precocidad de sus adquisiciones que de la
madurez cognitiva de las mismas. En cambio, el enfoque de procesamiento de la
información favorece más bien la detección de la precocidad y la cuantificación de lo
adquirido.
Tanto la correspondencia uno a uno como la secuencia ordenada de numerales
son componentes propias de los modelos procesuales del conteo (Gelman y Gallistel,
1978) presentándose en los dos principios: de correspondencia uno a uno y de orden
estable. Uno de los rasgos definitorios del principio de correspondencia uno a uno es
que todos los elementos gozan de igual status (i.e. no tienen propiedades, o las pierden,
que permitan a un elemento constituirse en distinto o diferenciable de los demás cuando
16
Terminología usada por Piaget para referirse al aspecto ordinal.
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96
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
va a ser etiquetado), mientras que en el principio de orden estable los elementos se
caracterizan por las relaciones de orden que mantienen con los inmediatamente
anteriores y posteriores, que los hacen únicos e irrepetibles (Gelman y Gallistel 1978,
Fuson et al. 1982, Baroody 1986, Fuson 1988).
Esta interpretación de los principios está estrechamente relaciona con la
concepción del número según Piaget (identificando, el principio de correspondencia uno
a uno con la inclusión jerárquica y el del orden estable con la seriación). Piaget concibe
el número como resultado de la síntesis de la clasificación y la seriación, ya que cada
número es un todo formado por elementos, que son al mismo tiempo equivalente
(clasificación), y distintos, por lo que están también seriados u ordenados (véase, para
más detalles: Piaget y Szeminska 1941, Flavell 1982, Kamii 1982, Fuson 1988). En
consecuencia, la adquisición del número estará estrechamente ligada con la inclusión y
la seriación, tal como afirman Piaget y Szeminska (1941):
"La clase, la relación asimétrica y el número son tres manifestaciones complementarias
de la misma construcción operatoria aplicada sea a las equivalencias, sea a las diferencias, sea
a las equivalencias y diferencias reunidas" (p. 235).
Aunque se dan las relaciones anteriormente indicadas entre los modelos
procesuales y la teoria lógica de Piaget, debemos hacer hincapié en que ambos marcos
teóricos no son paralelamente comparables. El primero permite la creación de un
modelo de conteo mientras que el segundo hace referencia a la construcción conceptual
y operatoria del número en el niño.
En el primero se parte del conteo, como una concepción primaria en el
desarrollo del número (teniendo en cuenta que esta habilidad suele aparecer
tempranamente en el desarrollo infantil), a partir del cual se llega a la comprensión de
su significado en cuanto operador cuantificador y la generalización de su uso a
diferentes tareas o contextos (Klahr y Wallace 1976, Saxe 1977, Sophian 1987); es
decir, esta referencia teórica desembocaría en la construcción de modelos de desarrollo
del número partiendo de la acción de contar y usando el propio conteo como un
"operador cuantificador" (Klahr y Wallace 1976), mientras que el segundo marco
teórico considerado rechaza las posturas de conteo.
Piaget y Szeminska (1941) restan todo interés al conteo memorístico del niño
preescolar porque el concepto de número piagetiano es abstracto, surgido del
funcionamiento de la abstracción reflexionante, y muy distinto, por tanto, del concepto
práctico o empírico que suele adquirirse precozmente, gracias a al abstracción simple.
En consecuencia, el conteo conceptual u operatorio sería una habilidad que el niño
alcanzaría sólo después de haber consolidado lógicamente la correspondencia
biunívoca, la conservación y el número.
Esta postura es contraria a la de muchos autores quienes afirman que el conteo,
la cardinalidad y otras habilidades numéricas inciden en la conservación y otras
estructuras operatorias (Acredolo 1982, Fuson 1988, Gelman 1982, Saxe 1979, Siegler
1981, Souviney, 1980, etc.), y todo ello debido a diferencias en la concepción misma
del conteo con referencia a la postura piagetiana.
Por tanto, si tomamos como marco referencial la teoria de procesamiento de la
información, el análisis de la secuencia numérica pasa por ser considerada como una
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
97
componente del conteo; mientras que si tomamos como referencia las teorías lógicas,
pasaremos a estudiar la secuencia numérica como una serie bajo la estructura de
seriación, sería aplicar el estructuralismo de Piaget a la secuencia numérica como serie.
7.2. Síntesis de conclusiones.
Las principales conclusiones del estudio se pueden resumir en los siguientes
apartados y puntos concretos:
1.
Secuencia numérica y relaciones lógicas ordinales en el origen del número
natural.
2.
17
18
C1
Que los números naturales están dados en secuencia es el único punto
incuestionable en todas las teorías explicativas del origen del número. La
interpretación de su papel elaborador depende de la concepción
epistemológica del número natural.
C2
Para el convencionalismo, el principio del número radica en la secuencia
numérica y en la acción de contar, la serie ordinal es suficiente para
construir el número.
C3
Para los logicistas existen conceptos primarios que determinan la
secuencia numérica y por tanto el número. Estos tienen como referencia
relaciones seriales17 como son las asimétrica-biunívocas de Bolzano o las
asimétricas-transitivas de Vivanti-Gilman.
C4
Desde la epistemología genética, el problema de construcción de la
secuencia numérica sólo puede ser resuelto en función de su desarrollo.
Secuencia numérica y enseñanza del número en la escuela.
C5
Las distintas interpretaciones epistemológicas sobre la secuencia
numérica se han reflejado en la enseñanza del número en la escuela, así,
los planteamientos conjuntistas introducen los conceptos de cardinal y de
correspondencia, produciéndose intentos de reducir la aritmética a la
lógica y el número natural a las clases; mientras que los planteamientos
aritmetistas abogan por el número ordinal.
C6
En cuanto al número cardinal, se intenta una construcción lógica de la
aritmética a partir de la noción de conjuntos. La secuencia numérica se
obtiene como una sucesión de números cardinales y el tratamiento
didáctico de siguiente de un número es aumentar en uno la cantidad.
C7
En cuanto al número ordinal, se intenta que la secuencia numérica18 sea
matemátia y didácticamente suficiente.
Relaciones que generan series o progresiones.
Se identifica, según la Fenomenología de Freudenthal, con el número para contar.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
98
3.
Secuencia numérica y desarrollo del número en el niño en los modelos:
piagetiano, y procesamiento de la información.
C8
Desde el modelo piagetiano se puede analizar la estructura lógica de
seriación subyacente a la secuencia numérica.
C9
Desde el procesamiento de la información, la secuencia numérica se
analiza como componente del conteo pero sin tener en cuenta las
relaciones lógicas ordinales que existen entre sus términos. En este
modelo, las investigaciones sobre la funcionalidad del conteo apuntan
hacia el “operador cuantificador”, comparando los números cardinales
para posteriormente localizarlos en la secuencia.
C10
Las relaciones lógicas ordinales no han sido objeto específico de estudio
ni en el modelo piagetiano, ni en el modelo de integración de habilidades
(procesamiento de la información).
C11
Es posible determinar tareas específicas del número ordinal que reflejen
las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica sin tener que tratar estos términos como magnitudes.
Se confirma la bondad de las hipótesis:
H1.
Existen corrientes epistemológicas que consideran las relaciones lógicas
ordinales del número natural como el origen de toda la construcción
matemática.
Los resultados y conclusiones del análisis didáctico basados en el
análisis epistemológico aportan evidencias que sostienen la hipótesis H1.
H2.
Existen líneas en Didáctica de la Matemática que priman el aspecto
ordinal del número natural frente a su aspecto cardinal.
La bondad de esta hipótesis queda de manifiesto cuando se
analiza la Fenomenología de Freudenthal y se aboga por el número para
contar.
H3.
Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación
de Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos
tenerla en cuenta en la didáctica del número natural.
Esta hipótesis se sostiene gracias a los resultados y conclusiones
del análisis didáctico en cuanto a los análisis de: epistemología genética y
la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica.
H4.
Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.
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Capítulo III. Análisis Didáctico del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica.
99
La bondad de esta hipótesis es evidente gracias al análisis
didáctico basado en el análisis del uso funcional ordinal de la secuencia
numérica.
La confirmación de estas hipótesis es garantía del logro de los distintos objetivos
propuestos en el apartado 2 de este mismo capítulo.
El análisis didáctico efectuado proporciona un marco teórico en el que establecer
un modelo evolutivo teórico del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica.
Dicho modelo se presentará en el capitulo V una vez que conozcamos los resultados del
estudio exploratorio cualitativo.
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CAPITULO IV
ESTUDIO EXPLORATORIO CUALITATIVO
1. Introducción.
En aras al problema de investigación planteado en cuanto a la pretensión de
estudiar la evolución de las relaciones lógicas-ordinales, creemos necesario realizar un
estudio exploratorio de carácter cualitativo basado en la observación de los
comportamientos individuales, de un grupo reducido de niños seleccionados al azar,
ante situaciones ordinales.
En el mencionado estudio interviene una muestra formada por 27 niños con
edades comprendidas entre los 3 y los 5 años realizando la entrevista sobre relaciones
lógicas-ordinales que figura en el Anexo IV de este informe.
La prueba, cuya construcción y características se exponen en los apartados
correspondientes de este capítulo, consta de tres tareas bien diferenciadas: a) aplicar una
alternancia a los elementos de una serie dada, b) contar los elementos de la serie, c)
realizar la correspondencia serial entre la alternancia y la secuencia numérica.
Como se puede observar en el mencionado Anexo, la serie en cuestión es una
escalera con 10 peldaños, la alternancia es colocar pan en un escalón sí y en otro no, y la
correspondencia serial referida es: 1-sí, 2-no, 3-sí, 4-no, 5-sí, 6-no, 7-sí, 8-no, 9-sí, 10no. Todas las tareas se han intercalado en la entrevista de manera que cada una de ellas
puede aparecer en distintas partes de la misma según se vaya desarrollando con cada
niño. En 4 años se realizan, en primer lugar, las tareas con 5 peldaños y después se pasa
a 10, para 5 años lo hacemos desde el principio con 10, y para 3 años empezamos con 5
y, si la situación lo requiere, continuamos con 10. Podemos añadir que la entrevista es
semiestructurada, con preguntas abiertas y múltiples con el fin de obtener las más
adecuadas para una prueba definitiva que constaría de preguntas establecidas.
El objetivo de la entrevista es ver como se manifiestan los niños ante la relación
lógico ordinal de “siguiente inmediato” que se da entre dos términos consecutivos de la
secuencia numérica mediante la comparación que se presenta entre ellos a través de la
relación establecida por una correspondencia serial dada (Alternancia/Secuencia
numérica).
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102
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
En esta correspondencia la alternancia tiene un papel fundamental: se usa como
instrumento de comparación de los elementos de la otra serie. La correspondencia serial
tiene otra finalidad: es una herramienta de análisis para el niño ya que se sustituye el
acto de recitar intuitivamente toda la secuencia (de manera global) por una cierta
reflexión sobre cada uno de sus términos particulares.
Aunque la alternancia va dirigida, fundamentalmente, al establecimiento de la
relación lógica ordinal “siguiente inmediato” ya que únicamente los elementos
consecutivos presentan la relación asimétrica de la serie, en la entrevista tratamos
también el resto de las relaciones lógicas-ordinales, pero por la propia estructura de la
misma (al considerar la alternancia) están siempre generadas por el “siguiente
inmediato”.
Cuando en la entrevista presentamos la cuestión: “si en a ocurre tal cosa ¿qué
ocurre en b?”, esperamos del niño que manifieste algunas de las relaciones lógicasordinales que se dan en la secuencia. Así, si el niño parte de a para llegar a b, es decir, si
el niño tiene en cuenta el dato del problema entonces podemos suponer que está
aplicando algunas de estas relaciones:
Primer y último elemento. Cuando a es considerado primer y último elemento a
través de una concepción global de la situación. Esta relación se daría
siempre y cuando el niño contemple: “todos los posteriores a a hasta
llegar a b”.
Entre.
Esta relación se manifestaría si el niño tiene en cuenta sólo y
exclusivamente los términos de la secuencia numérica del tramo a-b.
Primer elemento.
Si combinamos el esquema de actuación: “todos los posteriores a
a hasta llegar a b”. con un “esquema acumulativo”, particularizando a
cada término, cambiando la situación paso a paso, entonces a es
considerado primer elemento ya que a partir de él se empieza a contar y
a razonar, teniendo así una componente generatriz, pero al mismo
tiempo esta categoría de primer elemento pasa al siguiente inmediato al
ser contado éste, es decir, es el establecimiento paso a paso de un
término que, al ser enumerado, pasa de ser “siguiente inmediato”de uno
dado a ser el primero de una nueva división de la secuencia a partir del
cual se puede empezar a contar.
Siguiente.
Cuando se alcanza, por el método expuesto más arriba, el término b
entonces éste será el siguiente de a.
Por tanto, aunque en la prueba hagamos hincapié en el siguiente inmediato,
debemos considerar, por lo expuesto anteriormente, que las demás relaciones lógicas
ordinales aparecen como generadas por aquella, y dependiendo del procedimiento que
siga el niño podremos deducir que está estableciendo una u otra relación.
El capítulo está dividido en cuatro partes: una primera sobre consideraciones
generales en la que se expone el diseño del estudio cualitativo realizado. Las tres partes
restantes consta del análisis de cada una de las tareas señaladas a las que hemos llamado
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
103
respectivamente: Alternancia (codificada con la letra A), Contar (codificada como C) y
Secuencia Numérica/Alternancia. (codificada con las siglas S/A).
2. Propósito del estudio exploratorio
Con este estudio pretendemos lo siguiente:
•
Construir un instrumento para detectar diferencias en las competencias lógicas
ordinales en niños de 3 a 6 años
•
Aportar nuevos elementos que junto con el análisis didáctico nos permita realizar un
modelo teórico y diseñar una entrevista con tareas que posibiliten:
1.
Obtener evidencia empírica en la que los niños manifiesten relaciones
lógicas ordinales entre los elementos de una serie.
2.
Establecer una escalabilidad entre las categorías de respuestas que
manifiesten la pertinencia e idoneidad de un modelo de desarrollo de las
relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.
•
Construir una entrevista definitiva. Tomar decisiones para la construcción de la
misma
•
Búsqueda de preguntas adecuadas para la fase definitiva
Para ello es necesario:
Organizar la información recogida estableciendo categorías de respuestas
Establecer un escalonamiento en las distintas categorías encontradas
Estudiar la distribución de respuestas según la escala establecida
Delimitar los patrones y regularidades que puedan ser de utilidad para la
construcción de un modelo teórico de desarrollo.
Relacionar las categorías de respuestas con las edades
Ver si se relacionan las respuestas entre sí o si son independientes
3. Metodología.
De acuerdo con los propósitos específicos del análisis cualitativo que vamos a
realizar, los procedimientos y técnicas adecuados que consideramos para dicho estudio
son, entre otros, la entrevista clínica individual semiestructurada y el análisis de tareas
(Cohen, 1990, p. 377).
Para simplificar el trabajo decidimos unificar la entrevista y el análisis de tareas en
un solo procedimiento. Vamos a proponer a cada alumno entrevistado la realización de
tres tareas manipulativas y con una cierta componente lúdica, que actúan como campo
de observación y como soporte a la entrevista.
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104
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
Cada tarea tiene una finalidad determinada para obtener un tipo concreto de
información. En el transcurso de la entrevista se provoca, intencionadamente, la
interacción constante entre el entrevistador y el entrevistado, dependiendo el desarrollo
de la misma de las respuestas de cada sujeto. Veamos, a continuación, algunas
consideraciones generales sobre las tres tareas, la información que se pretende obtener
con cada una de ellas y la justificación de las mismas desde el punto de vista de las
relaciones lógicas-ordinales.
1. Alternancia.
Al niño se le muestra una escalera con 10 peldaños, de 25 cm de
largo por 20 cm de alto aproximadamente, debe realizar y describir una alternancia
(colocar pan en un escalón sí y en otro no). Al alumno se le muestra dos peldaños
consecutivos, sin percibir la alternancia, y sabiendo lo que ocurre en el primero de
ellos debe anticipar lo que sucederá en el siguiente inmediato. El procedimiento se
repite con peldaños distintos. También se pide la comparación de dos peldaños
cualesquiera.
Se pretende obtener información sobre los conocimientos y competencias del
alumno ante la necesidad de establecer relaciones lógicas-ordinales no numéricas.
El niño debe contar los escalones, determinar una posición ordinal
2. Contar.
cualquiera mediante el número correspondiente y determinar una posición ordinal a
partir de otra dada como dato.
Se pretende recoger información acerca de hasta qué punto el recitado correcto
de la secuencia numérica es condición suficiente para que el niño sea capaz de
establecer las relaciones lógicas ordinales necesarias para resolver un problema
ordinal.
3. Secuencia numérica/Alternancia. El niño debe realizar la correspondencia serial
entre la secuencia numérica y la alternancia, describirla y determinar para cada
posición las características definidas por la correspondencia serial. También debe
anticipar qué ocurrirá en un escalón conociendo lo que ocurre en otro dado como
dato, pero en este caso el dato que se da es numérico y el niño debe responder
igualmente con una posición numérica de la secuencia describiéndola mediante la
alternancia.
La información se refiere aquí a la capacidad de los alumnos de establecer la
relación lógica de siguiente inmediato entre dos elementos consecutivos de la
escalera mediante la comparación que se presenta entre ellos a través de la relación
establecida por la correspondencia serial dada.
Estas tareas se encuentran cuasi-escalonadas según los parámetros siguientes:
1. Relaciones ordinales previas al conteo
2. Relaciones ordinales en el conteo
3. Relaciones ordinales en la secuencia numérica como herramienta
El hecho de que un niño cualquiera de la muestra presente una de estas habilidades y
deje de presentar otras hará que sus respuestas se sitúen en una categoría u otra. Dichos
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
105
parámetros aparecen en una especie de jerarquización en el sentido del esquema
siguiente:
1. Relaciones ordinales
previas al conteo
2. Relaciones ordinales en el
conteo
3. Relaciones ordinales en la secuencia numérica como herramienta
Es decir, de mayor a menor sería:
I.
Si un niño es capaz de establecer relaciones ordinales entre los términos de la
secuencia numérica cuando la usa como herramienta para organizar y describir una
situación ordinal con un material concreto manipulativo, entonces es capaz de contar
estableciendo relaciones ordinales en el conteo así como indicar las mismas
relaciones ordinales en series sencillas.
II.
Si estamos en el supuesto que el niño realice correctamente el conteo y con ello
establece algunas relaciones ordinales entre los términos de la secuencia, entonces
podría llevar a cabo relaciones ordinales entre términos de series sencillas pero no
tendría porqué ser capaz de establecer relaciones ordinales entre los términos de la
secuencia cuando la usa en un contexto manipulativo, concreto y ordinal
combinándola con otra secuencia para la comparación de sus términos.
III.
Por último, si un niño es capaz de reconocer el anterior y el posterior de un término
en una serie sencilla entonces no tiene porqué ser capaz de establecer las
capacidades correspondientes a los otros dos parámetros.
Estos parámetros se determinan sobre la base de las tres tareas propuestas en la
entrevista, de esta manera:
La tarea de alternancia apunta hacia el primer parámetro considerado, el niño tiene
que comparar un lugar determinado en la escalera con el siguiente inmediato
mediante una acción concreta
La tarea de contar está relacionada con el segundo parámetro, de manera que el niño
tiene que contar para determinar una posición ordinal numérica y usar el
isomorfismo de orden de la secuencia para determinar el siguiente inmediato en la
escalera.
La tercera tarea está relacionada con el tercer parámetro, el niño tiene que comparar
dos elementos consecutivos de la secuencia numérica usando como instrumento de
comparación la alternancia y viceversa, es una síntesis de las dos tareas anteriores y
consecuentemente el parámetro que determina englobaría a los dos anteriores.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
106
Con los datos obtenidos del desarrollo de la entrevista en cada una de estas tareas,
cuyos detalles se describen en los apartados correspondientes de este capítulo, nos
proponemos realizar el análisis cualitativo. EL procedimiento para llevar a cabo el
citado análisis en cada una de las tareas queda sistematizado en los siguientes puntos:
1. Categorización de respuestas. Para cada una de las tareas propuestas se ha
realizado, a su vez, una categorización de tres bloques de actividades. Así, por
ejemplo para la tarea de alternancia se han considerado los bloques: a). Realización
de la alternancia, b) descripción de la misma cuando se deja de percibir y c)
descripción de lo que ocurrirá (respecto a la alternancia) en una posición ordinal
teniendo como dato otra. Para cada uno de los bloques de cada tarea se ha realizado
una clasificación de respuestas atendiendo a que el niño realizara correctamente la
actividad e introdujera estrategias y procedimientos relacionados con la secuencia
numérica
.
2. Escalabilidad de respuestas. Dada la categorización de las mismas en cada una de
las tareas, se establece una escalabilidad entre la respuesta más evolucionada en la
que el niño, además de dar la respuesta correcta, la justifica aplicando alguna
relación lógica ordinal; y la menos evolucionada en la que no entiende nada.
3. Determinación de niveles. Dado que las respuestas presentan un escalonamiento y
que cada una de las tareas están divididas en distintos bloques, podemos realizar
combinaciones de respuestas de los distintos bloques y con ello establecer niveles
evolutivos en cada una de las tareas.
A todo ello se unirá un estudio general que sintetice los resultados obtenidos en
cada una de las tareas comparando los distintos niveles evolutivos, con lo que poder
perfilar un modelo teórico de desarrollo de comprensión de las relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años.
4. Elección y distribución de la muestra
La muestra de escolares para la realización del estudio exploratorio sale de un
centro con unas características generales cercanas a la mayoría. El criterio para la
elección de dicha muestra viene dado por una distribución por edades dentro de cada
año de nacimiento.
El centro es un colegio público urbano de una ciudad de unos cuarenta mil
habitantes. Está ubicado en un barrio que muy bien puede representar a uno cualquiera
de esta ciudad, y en el que no existe conflictos sociales ni de marginación.
Una vez que el investigador ha sido presentado a los niños por sus maestras
correspondientes, éstos se ofrecieron voluntarios para realizar la entrevista y entre ellos
fue elegida la siguiente composición de la muestra:
3 Años
4 Años
5 Años
8 niños
8 niños
11 niños.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
107
Con un total de 27 escolares
5. Materiales
El material empleado en esta prueba consta de:
•
Una escalera con 10 escalones. Los peldaños son independientes unos de otros.
Cada uno de ellos tiene unos 25 centímetros de largo, el primero tiene un centímetro
de ancho por uno de alto, siendo estas dimensiones para el segundo de 2x2, para el
tercero 3x3 y así sucesivamente hasta el décimo.
•
Un osito de peluche de unos 6 centímetros de alto. Al osito se le pueden doblar las
piernas y se puede sentar en cualquier peldaño de la escalera.
•
Trocitos de pan para colocar en los lugares correspondientes de la escalera.
•
Un paño de tela para ocultar la parte de la escalera en la que está colocado el pan
6. Actividades
Al ser una entrevista semiestructurada, es necesario especificar en el diseño
previo tanto el contenido como los procedimientos (Cohen, 1990, p. 379). Por ello,
exponemos a continuación el objetivo pretendido, el desarrollo de la entrevista, así
como los aspectos a observar en cada una de las tareas que constituyen el soporte de la
prueba.
6.1. Tarea 1.
La tarea consiste, concretamente, en que los niños tienen que colocar pan en un
escalón sí y en otro no, bajo la consigna: “el osito come pan en un escalón sí y en otro
no, repito es en uno sí y en otro no”. Una vez que los niños han realizado la alternancia
se cubre el pan para que reconstruya la correspondencia serial.
.
6.1.1. Objetivo
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
108
El aspecto básico que se pretende explorar es el uso y representación mental de
un encadenamiento aditivo de la relación lógica ordinal de “siguiente inmediato” en
una situación prenumérica sencilla donde la secuencia empleada es una alternancia.
6.1.2. Desarrollo de la entrevista
En la parte de la entrevista que hace alusión a ésta tarea se procede de la
siguiente forma:
Fase 1A.
El investigador explica que el osito come pan en un escalón sí y en otro
no. El niño debe colocar pan en los escalones correspondientes; con lo cual
debe confeccionar por sí mismo la serie y tomar conciencia del principio de
esa “ordenación”.
Fase 2A.
Una vez realizada la correspondencia serial, el investigador insiste para
que la describa. Se oculta el pan, el niño debe describir la correspondencia en
esta nueva situación; con ello, manifestaría una representación mental de la
alternancia y su criterio; además el hecho de ocultar el pan tendría otra
función: se trataría de poner al alcance del niño un sistema de autocorrección.
Fase 3A.
El investigador señala una posición ordinal y pregunta sobre lo que ahí
ocurre “el osito está sentado en este escalón, ¿ahí come?”. Sabiendo lo que
ocurre en una posición ordinal determinada, el investigador pregunta sobre lo
que ocurrirá en el siguiente inmediato: “Si el osito está sentado aquí y sí come
¿qué ocurre en este otro? (Señala el siguiente inmediato)” Con ello pasamos
de lo global a lo particular.
En el transcurso de la entrevista se pueden pedir aclaraciones o justificaciones a
las respuestas dadas.
6.1.3. Aspectos a considerar
Pretendemos lo siguiente:
•
Comprobar si el niño comprende el criterio de una serie sencilla como es la
alternancia, primeramente, bajo una percepción global para pasar, posteriormente, a
una representación mental de la misma.
•
Comprobar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales prenuméricas al
comparar (frente a la acción de etiquetar) dos elementos consecutivos en la escalera,
usando como instrumento de comparación una alternancia en una correspondencia
serial.
•
Averiguar qué tipo de relaciones lógicas-ordinales establece.
•
Estrategias seguidas para establecer las relaciones.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
•
109
Averiguar qué tipo de sistematización se da en las respuestas de cada niño.
6.2. Tarea 2
La tarea consiste en que los niños tienen que contar una escalera con 10
peldaños. Una vez que los niños han contado han de responder sobre algunas cuestiones
referentes a las posiciones ordinales de los escalones.
6.2.1. Objetivo
El aspecto básico que se pretende explorar es el conteo y su evolución en cuanto al
uso por parte del niño como herramienta para determinar un número ordinal en una
serie.
6.2.2. Desarrollo de la entrevista
Se realiza con el siguiente procedimiento:
Fase 1C.
El investigador relata al niño que al osito le gusta mucho contar, por eso
cuando sube la escalera siempre cuenta los escalones. El niño debe contarlos.
Fase 2C.
Una vez contado, el investigador coloca al osito en un escalón
determinado y el niño tiene que determinar el número correspondiente al
peldaño (número correspondiente en la correspondencia serial que se
establece cuando se cuentan los escalones).
Fase 3C.
Sabiendo el número correspondiente al escalón donde está sentado el
osito, el investigador puede preguntar por el siguiente inmediato, cualquier
siguiente, anterior inmediato o cualquier anterior.
En el transcurso de la entrevista se pueden pedir aclaraciones o justificaciones a las
respuestas dadas.
6.2.3. Aspectos a considerar
Pretendemos lo siguiente:
•
Observar si los niños aplican correctamente la acción de contar sin cometer errores
respecto a los principios del conteo.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
110
•
Comprobar si el niño usa la secuencia numérica como herramienta para determinar
una posición ordinal.
•
Averiguar qué tipo de estrategias usan los niños para determinar una posición
ordinal teniendo como referencia a otra dada como dato.
6.3. Tarea 3
La tarea consiste en que los niños tienen que realizar la correspondencia serial
entre la alternancia sí-no y los términos de la secuencia numérica aplicada a los
peldaños de la escalera. Una vez que los niños han realizado dicha correspondencia han
de responder algunas cuestiones abiertas referentes a la descripción ordinal dada por ella
(correspondencia serial) sobre cada uno de los elementos de la serie (escalera), viendo
los que matizan y los que no.
6.3.1.Objetivo
Con esta tarea pretendemos explorar, fundamentalmente, cuándo y cómo
adquiere el niño la relación lógica de siguiente inmediato que se da entre dos términos
consecutivos de la secuencia numérica mediante la comparación que se presenta entre
ellos a través de la relación establecida por la correspondencia serial dada. Además
pretendemos ver si aparece un razonamiento inductivo.
6.3.2. Desarrollo de la entrevista
La parte de la entrevista referente a esta tarea se desarrolla de la siguiente forma:
Fase 1S/A.
El investigador relata al niño que al osito le gusta mucho contar y
también comer pan, por eso se inventa un juego, cuando sube la escalera
siempre cuenta los escalones y dice si come o no come entonces va diciendo:
“En el 1-sí como, en el 2- no como, …”. Pide al niño que continúe.
Aparecería un razonamiento inductivo con la secuencia a partir de dos
términos. Una vez realizada la correspondencia serial, el investigador insiste
para que la describa. Se oculta el pan, el niño debe describir la
correspondencia en esta nueva situación en la que la alternancia se deja de
percibir.
El investigador señala una posición ordinal y pregunta sobre lo
Fase 2S/A.
que ahí ocurre. El niño tiene que determinar el número correspondiente al
peldaño y si come o no come: “el osito está sentado en este escalón, ¿qué
número es?, ¿Ahí come?”.
Sabiendo el número correspondiente al escalón donde está
Fase 3S/A.
sentado el osito y si come o no come en dicho número, el investigador puede
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
111
preguntar por el siguiente inmediato, cualquier siguiente, anterior inmediato o
cualquier anterior: “el osito está sentado en este escalón que es el número a y
aquí sabemos que sí come ¿qué ocurre en b?”.
En el transcurso de la entrevista se pueden pedir aclaraciones o justificaciones a las
respuestas dadas.
6.3.3. Aspectos a considerar
Los aspectos a observar en esta tarea son los siguientes:
•
Averiguar si el niño es capaz de aplicar un razonamiento inductivo con la secuencia
numérica y la alternancia a partir de dos términos.
•
Comprobar si el niño ha adquirido la relación comparativa entre los términos
sucesivos de la secuencia numérica, relación que se establece mediante la
alternancia.
•
Averiguar qué tipo de estrategias usan los niños para determinar la citada relación
comparativa. Estas estrategias estarán evaluadas en cuanto a las relaciones lógicas
ordinales entre los términos numéricos establecidas.
•
Averiguar si las estrategias permanecen o cambian los procedimientos cuando se
parte de un dato, k-l en el que k toma los valores de 1 a 10 y l es sí ó no, en lugar de
empezar por 1-sí.
7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información
Para la recogida de datos hemos utilizado un instrumento común que ha sido la
grabación en vídeo además de un reproductor del mismo.
Con estos instrumentos hemos podido reproducir las entrevistas en su totalidad
con todos aquellos detalles que de otra manera nos hubiera sido imposible de conseguir.
Una vez realizada todas las entrevistas se hace la transcripción de las mismas
con ayuda del reproductor de vídeo (transcripción que puede verse en el Anexo IV,
apartado Anexo 4.1).
8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista
El período de las entrevistas comenzó en el mes de Diciembre del curso 98/99,
dedicando la primera sesión a los niños de 4 años, la segunda a los de 5, para finalizar
con los de 3.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
112
Se realizaron a puerta cerrada en un despacho preparado a tal efecto en el centro
y pasando, uno por uno, todos los alumnos seleccionados. Cada entrevista tuvo una
duración que osciló entre 20 y 30 minutos, por lo que, si tenemos en cuenta que no se
permitieron interrupciones y que era obligado respetar el horario de los alumnos,
incluido el recreo, sólo se pudieron realizar entre 6 y 7 entrevistas diarias. Por último
hemos de decir que todas las entrevistas tuvieron un desarrollo adecuado, incluso más
satisfactorio de lo previsto teniendo en cuenta la corta edad de los entrevistados.
Expresar nuestro agradecimiento al centro y muy especialmente a los niños y maestras
que apoyaron en todo momento el trabajo.
En los apartados que siguen hasta el final del capítulo, se exponen los resultados
y conclusiones de dichas entrevistas teniendo en cuenta las tareas consideradas en la
estructuración de las mismas.
9. Resultados y conclusiones de la tarea 1: Alternancia.
Recordamos que en esta tarea el niño tiene que realizar y describir la alternancia
que consiste en colocar pan en un escalón sí y en otro no en una escalera que consta de
10 peldaños, a continuación debe anticipar lo que ocurrirá en un lugar determinado
dando como dato lo que sucede en otra posición ordinal.
Vamos a considerar para todos los estudios realizados dentro de esta tarea que el
alumno da la respuesta que se le asigna en la tabla A-2 si la hace explícita al menos una
vez en el transcurso de la entrevista.
9.1. Codificación y Categorías de respuestas
Las respuestas de los niños referentes a la tarea de alternancia se pueden
codificar según estos tres bloques para cada una de las fases del punto 6.1.2.de este
mismo capitulo:
1A.
2A.
3A.
Categorías de respuestas relativas a la realización de la alternancia.
Es el bloque de respuestas correspondiente a la descripción de la
alternancia cuando se deja de percibir.
Son las respuestas relativas a la anticipación de lo que ocurrirá en una
posición ordinal respecto de la alternancia conociendo lo que ocurre
en una posición dada como dato, que con respecto a la incógnita tiene
una relación lógica ordinal de siguiente inmediato, pasando
posteriormente a cuestiones sobre cualquier siguiente.
Con la división en estos tres bloques pretendemos analizar como se da la
transformación mental en los niños que llegan a anticipar el siguiente inmediato de un
término cualquiera de la serie a través de una comparación entre los términos dada por
la alternancia habiéndola realizado previamente.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
113
Respecto a cada uno de los bloques señalados realizamos la siguiente
categorización (Tabla A-1):
Para la interpretación correcta de la tabla A-1 debemos puntualizar lo siguiente:
•
•
•
•
•
La primera columna indica cada uno de los bloques de respuestas especificados
previamente a la tabla.
Cada bloque está codificado por dos signos, el primero es un dígito del 1 al 3 según
sea el bloque, y el segundo es la letra A que significa que estamos dentro de la tarea
de Alternancia.
La segunda columna indica las distintas categorías de respuestas en cada bloque
Cada bloque incluye distintas categorías de respuestas. Si una categoría es de un
bloque determinado entonces empieza por el mismo número que éste, seguido de la
letra A y un número que varía de 0 a 3 que indica la categoría específica dentro del
bloque.
En el caso que haya que matizar distintos tipos de respuestas dentro de una misma
categoría, como es el caso del 3A2, añadiremos un nuevo dígito al final de los ya
escritos, así, por ejemplo, los tres tipos distintos de respuestas dentro de la categoría
indicada son: 3A21, 3A22, 3A23.
1A0 No sabe o no contesta
1A1 Estado de duda en la alternancia con 5 escalones. Al azar con 10.
1A
Realiza de primera instancia la alternancia con 5 escalones, se equivoca con
10, lo consigue, estado de duda.
Entiende de primera instancia el criterio y realiza la alternancia con 5 y 10
1A3
escalones
1A2
2A0 No sabe o no contesta
2A1 Al azar
2A
2A2 Describe la alternancia pero sin usar la secuencia numérica
2A3
Describe la alternancia cuando deja de percibirla e introduce la secuencia
numérica, por propia iniciativa, para explicarla
3A0 No sabe o no contesta
3A1 Al azar
3A21
3A
3A2 3A22
3A23
3A3
Duda y cambia el criterio a lo largo de la entrevista
Da la respuesta correcta a preguntas relativas al siguiente inmediato
pero falla en cuestiones sobre cualquier siguiente
Da la respuesta correcta pero sin justificación
Contesta y da indicios de conocer el criterio, anticipa y/o usa la secuencia
numérica.
Tabla A-1. Codificación y categorización de respuestas de la Alternancia
Según la codificación de respuestas observamos que en cualquier categoría kAi
con K variando de 1 a 3 e i variando de 0 a 3, tenemos que fijando k, las respuestas más
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114
evolucionadas son cuando i=3 y las menos se dan cuando i=0, y así, en la escala de 0 a 3
podemos medir de la menos a la más evolucionada según el orden natural.
9.2. Análisis de respuestas
La codificación de respuestas nos ha proporcionado una categorización de las
mismas. En el Anexo IV, apartado Anexo 4.2, podemos encontrar las respuestas
verbales respecto a la tarea de alternancia, de todos y cada uno de los niños
entrevistados, que hacen que presenten una categoría determinada.
En la tabla A-2 se recogen las respuestas de cada uno de los niños según los
bloques y categorías consideradas en esta tarea.
1A0
1A1
1A2
1A3
2A0
2A1
2A2
2A3
3A0 3A1 3A21 3A22 3A23
3A3
Pab. 3,1
Lou. 3,3
Mar. 3,3
Sal. 3,4
Luc. 3,9
Ir. 3,9
Mi. 3,10
Nu. 3,11
Fr. 4,0
Adr., 4,1
An. 4,3
Beg. 4,6
Pat. 4,6
Nar. 4,8
Sal. 4,11
Ver. 4,11
Jav. 5,0
Esp. 5,2
Non. 5,2
Cri. 5,5
Is. 5,6
Clar. 5,7
Ari. 5,7
Ant. 5,9
Mar. 5,9
Par.5,11
Mab.5,11
Tabla A-2. Distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre la alternancia.
Para la interpretación de dicha tabla debemos añadir las siguientes precisiones:
•
Cada casilla de la primera columna indica las iniciales del nombre del niño cuyas
respuestas se registran en esa misma fila. Los números que aparecen a continuación
de las iniciales expresan la edad, indicando, el primero de ellos, los años y el
segundo los meses.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
115
•
Los niños están agrupados por edades prevaleciendo el año de nacimiento, cuando
se pasa de un año a otro en la tabla, la línea de separación entre filas queda marcada
por el grosor de la misma.
• Cada casilla de la primera fila indica una categoría de respuesta. Las respuestas se
agrupan según los bloques establecidos en la codificación, cuando se pasa de un
bloque a otro en la tabla, la línea de separación entre columnas queda marcada por el
grosor de la misma.
Una primera lectura de la tabla indica que las respuestas del bloque 1Ai son más
evolucionadas (en la escala de 0 a 3, considerando i=3 como la que más) que las del
2Ai, es decir, si un niño responde a la primera cuestión de la forma 1Am y a la segunda
como 2An entonces m es mayor o igual que n, ocurriendo lo mismo al comparar las
respuestas del bloque 2Ai con el 3Ai. Esto se visualiza en la tabla observando que a
medida que nos movemos en los bloques de izquierda a derecha las casillas señaladas en
cada bloque de una misma fila, se mueven en sentido contrario o bien permanecen
constantes.
El paso del bloque 1A al 3A significa:
“Realización previa de la alternancia para manifestar la capacidad de
anticipación del siguiente inmediato de un término cualquiera de la serie usando
la alternancia como instrumento de comparación”.
Según podemos observar en la tabla A-2, para los niños entrevistados es
condición necesaria la realización de la alternancia para la anticipación del siguiente
inmediato, pero no es condición suficiente. Esto se manifiesta claramente en los niños
de 5 años en los que todos responden correctamente a la cuestión 1A y sin embargo no
todos están en la categoría de respuesta 3A3.
Hay que hacer notar que todos los niños que han pasado del 1A3 al 3A2 son
porque previamente están en 2A2, excepto An (4,3) que pasa del 2A2 al 3A1 pero An
(4,3) no estaba en 1A3; por tanto, para los niños entrevistados podemos hacer las
afirmaciones siguientes:
• Todos los que han pasado del 1A3 al 3A2 están en la categoría de respuesta 2A2
• Todos los niños que están en el 3A3 han estado, previamente, en el 1A3.
A estas afirmaciones podemos unir estas otras, que a continuación indicaremos,
para realizar una partición en el conjunto de niños entrevistados, tomaremos como
referencia el bloque 3A ya que es éste el que hace alusión directa a las relaciones
lógicas-ordinales establecidas:
•
Todos los que están en el 3A1 previamente han estado en el 1A2 pasando por el
2A2
• Todos los que están en el 3A0 vienen del 1A1 ó del 1A0, y con respecto al bloque 2
están en el 2A1 ó en el 2A0.
A raíz de estas afirmaciones junto con el análisis de la tabla A-2 podemos
considerar el siguiente diagrama (Fig. 1-A) que da una visión gráfica de la escalabilidad
de las respuestas.
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116
1A3
1A2
2A3=3A3
3A2
2A2
1A1
3A1
1A0
2A1
3A0
2A0
Fig. 1-A. Escalabilidad en las respuestas
Para la interpretación gráfica del diagrama (fig.1-A) debemos tener en cuenta los
siguientes puntos:
•
Los recuadros representan los distintos conjuntos de niños que dan la categoría
de respuesta indicada dentro del mismo
• Entre los recuadros se dan las relaciones lógicas-conjuntistas.
• La forma en escalera indica que entre dos peldaños consecutivos la respuesta
más evolucionada es la representada por el recuadro que está en la parte
superior
9.2.1. Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas
De acuerdo con el diagrama de la figura 1-A interpretamos las respuestas de los
niños conforme a la escalabilidad presentada de la siguiente forma:
I.
1
2
Ver Anexo 4.2.
Ver Anexo 4.2.
Si la respuesta de un niño está en la categoría más evolucionada de 3A,
es decir, está en 3A3, lo cual quiere decir que el niño justifica su
respuesta de comparar (frente a la acción de etiquetar) dos elementos
consecutivos de la escalera, usando la alternancia como instrumento de
comparación, bien anticipando como es el caso de Ver (4, 11)1 ó usando
la secuencia numérica como es el caso de Non (5, 2)2, entonces las
respuestas de esos niños también están en la categoría más evolucionada
de 1A y 2A, es decir están en 1A3 y 2A3, por tanto son niños que han
realizado de primera instancia la serie (1A3) y han sido capaces de
describirla usando la secuencia numérica, de ahí que obtengamos la
primera conclusión de nuestro análisis:
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
117
Conclusión 1-A. - Los niños que usan la secuencia numérica para resolver una
situación o problema ordinal donde se pide determinar el siguiente inmediato usando la
alternancia como instrumento de comparación, son aquellos niños que han usado la
secuencia numérica para describir la alternancia no perceptiva y que previamente han
realizado la alternancia sin dificultad
Hay que hacer notar que todos los niños cuyas respuestas están en 2A3 son los
mismos que dan la respuesta 3A3, y teniendo en cuenta que todos estos niños están en el
1A3 tenemos la segunda conclusión recíproca a la primera:
Conclusión 2-A. - Los niños que usan la secuencia numérica para describir la
alternancia no perceptiva y que previamente han realizado la alternancia sin dificultad,
son los mismos que usan la secuencia numérica para resolver una situación o problema
donde se pide determinar el siguiente inmediato, usando la alternancia como
instrumento de comparación.
Resumiendo, si tenemos en cuenta que el conjunto de niños cuyas respuestas
están en la categoría 2A3 coincide con el conjunto de niños de la categoría 3A3 y que
las respuestas de todos ellos están en la categoría 1A3, obtenemos las conclusiones 1 y
2.
II.
Todos los niños que dan la respuesta 3A2 están dentro de la categoría 2A2,
algunos de ellos están en 1A3 (como es el caso de Jav (5,0), Mar (5,9), Par
(5,11))3 mientras que otros están en el 1A2.
El paso del 1A3 al 2A2 significa que hay niños que realizan correctamente la
alternancia, pero cuando dejan de percibirla y la tienen que describir o bien lo hacen con
dificultad o simplemente lo hacen pero no usan ningún esquema de anticipación. Se da
la circunstancia de que son estos niños los que tendrán cierta dificultad en determinar el
siguiente inmediato en la alternancia, es como si los niños que usaran la secuencia
numérica (de forma espontánea) para organizar y explicar una situación manifestara la
relación lógica-ordinal que queremos ver aparecer.
Para los niños que están en el 3A2, 2A2, 1A3 podemos interpretar lo siguiente:
Los niños que realizan de primera instancia la alternancia sin
dificultad aparente (1A3), como es el caso de Ja (5, 0) ó Par (5,11), y son
capaces de describirla pero sin hacer uso de la secuencia numérica para
explicar esa situación (2A2), son los niños que no manifiestan ninguna
justificación en la determinación del siguiente inmediato usando la
alternancia como instrumento de comparación (3A2), es decir son niños
capaces de adivinar la respuesta (sobre el siguiente inmediato en una
escalera usando la alternancia como instrumento de comparación) pero
sin justificación.
La diferencia fundamental de estos niños con aquellos otros que han sido
capaces de dar una explicación de la justificación de lo que ocurre en el siguiente
3
Ver Anexo 4.2, págs. 313-317.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
118
inmediato, está precisamente en el uso de la secuencia numérica para describir la
alternancia.
Es curioso como los niños que no usan la secuencia numérica tampoco usan la
secuencia de la alternancia (que previamente ellos han construido y han descrito) para
justificar su respuesta sobre el siguiente inmediato, son sólo los niños cuyas respuestas
son de la categoría 2A3 los que son capaces de asegurar que “si en uno come en el
siguiente no come” y lo usan como argumento.
Ningún niño fuera de la categoría 2A3, aunque esté en la categoría 2A2, usa un
método sistemático para determinar lo que ocurrirá en una posición determinada; tenían
todos los elementos a su alcance para razonar inductivamente según la secuencia de la
alternancia: “En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2) y así sucesivamente hasta
alcanzar la posición predeterminada”, pero no lo hacían.
Con todo ello, llegamos a la tercera conclusión:
Conclusión 3-A. - Aunque los niños tengan series sencillas a su alcance (como la
alternancia) que expliquen una situación ordinal no la usan. Únicamente tienen una
visión explicativa general de una situación secuencial (aunque ésta sea sencilla como la
alternancia) si tienen a la secuencia numérica como representación mental que les
permite organizar y explicar una situación ordinal.
III.
Los niños cuyas respuestas son de la categoría 2A2 pueden venir del 1A3 ó
del 1A2, sin embargo los que responden 2A1 vienen del 1A1.
Por lo tanto, todos los niños que realizan bien la alternancia con ayuda del
investigador o sin ella, son capaces de describirla cuando dejan de percibirla (algunos de
ellos con ayuda del investigador), y no hay ningún niño que sin realizar bien la
alternancia (1A1) sea capaz de describirla, es decir, estarían en el 2A1 ó 2A0.
IV.
Los niños que no entienden nada cuando se les pide que realicen la
alternancia, es decir los que responden de la forma 1A0, siguen sin entender
nada cuando planteamos la descripción de la misma (2A0) o las cuestiones
sobre el siguiente inmediato (3A0).
Sin embargo, algunos niños, como es el caso de Luc (3, 9)4, mejoran la respuesta
del 1A con respecto a los dos bloques siguientes, es decir, llegan a hacer algo con
respecto a la realización de la alternancia (1A1) pero no entienden nada de las demás
cuestiones (2A0 y 3A0).
9.3. Niveles en la tarea de Alternancia. AN.
Teniendo en cuenta la escalabilidad en las respuestas expuesta en el diagrama de
la fig. 1-A y cuya interpretación se ha presentado en el apartado anterior, podemos
considerar los subniveles siguientes:
4
Ver Anexo 4.2. pág. 314
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
AS0
AS1
AS2
AS3
AS4
AS5
AS6
119
1A0
1A1
1A1
1A2
1A2
1A3
1A3
2A0
2A0
2A1
2A2
2A2
2A2
2A3
3A0
3A0
3A0
3A1
3A2
3A2
3A3
Tabla A-3. Definición de subniveles de la alternancia
Debemos hacer notar que, como consecuencia de la codificación usada en las
respuestas según la cual kAi es más evolucionada cuanto mayor sea i, con i variando de
0 a 3, tenemos que ASi es más evolucionado cuanto mayor sea i, con i variando de 0 a
6.
A partir de los subniveles y con la reagrupación de los mismos establecemos los
niveles para la alternancia en la tabla A-4, siguiendo el orden natural de los números de
0 a 3 para indicar del menos al más evolucionado, es decir AN3 es el más evolucionado
mientras que AN0 es el menos:
NIVELES DE
ALTERNANCIA
AN0 AS0
AN1 AS1
AS2
AN2 AS4
AS5
AS3
AN3 AS6
Tabla A-4. Definición de niveles en la tarea de alternancia
Los criterios de reagrupación de subniveles para determinar los niveles han sido:
•
AN0 lo caracteriza las respuestas menos evolucionadas de cada bloque.
•
AN1 es la reagrupación de subniveles donde los niños hacen “algo” en
algunos de los bloques planteados
•
AS5 y AS4 se reagrupan para dar AN2 porque en ambos subniveles se
dan los mismos esquemas lógicas-ordinales
•
Para AN3 hemos elegido las respuestas más evolucionas de cada bloque
Atendiendo a esta codificación de niveles presentamos la tabla A-5 en la que todos
y cada uno de los niños entrevistados presentan un único nivel:
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120
AN0
AN1
AN2
AN3
Pab. 3,1
Lou. 3,3
Mar. 3,3
Sal. 3,4
Luc. 3,9
Ir. 3,9
Mi. 3,10
Nu. 3,11
Fr. 4,0
Adr. , 4,1
An. 4,3
Beg. 4,6
Pat. 4,6
Nar. 4,8
Sal. 4,11
Ver. 4,11
Ja. 5,0
Esp. 5,2
Non. 5,2
Cri. 5,5
Is. 5,6
Clar. 5,7
Ari. 5,7
Ant. 5,9
Mar. 5,9
Par.5, 11
Mab.5,11
Tabla A-5. Distribución por niveles en la tarea de alternancia de los niños de la muestra
Si tenemos en cuenta la tabla A-5 y en ella leemos la frecuencia por edades en cada
uno de los niveles, obtenemos el siguiente gráfico (A-1), cuyo análisis lo detallaremos
cuando realicemos los estudios I y II del próximo apartado. Podemos observar cómo en
los niveles más evolucionados (AN3 y AN2) los niños de 5 años están por encima de
los de 4 y los de 3, así como los de 4 lo están con respecto a los de 3, mientras que en
los niveles menos evolucionados (AN1 y AN0) ocurre lo contrario.
8
6
3 años
4
4 años
2
5 años
0
AN0
AN1
AN2
AN3
Gráfico A-1. Distribución de frecuencias por edades
en cada uno de los niveles considerados
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
121
9.3.1. Caracterización de los niveles.
I. AN0. (1A0, 2A0, 3A0)
Los niños de este nivel son los que no entienden ninguna de las cuestiones
planteadas.
En éste nivel se encuentra 4 niños de 27, lo que representa un 14,81%, su
distribución por edades es::
AN0
3 años
2
4 años
2
5 años
-
II. AN1. (1A1, 2A0, 3A0) ó (1A1, 2A1, 3A0) ó (1A2, 2A2, 3A1).
Los niños de este nivel son los que hacen la alternancia al azar, aunque alguno de
ellos llegan a realizarla con ayuda del investigador, la describen al azar cuando dejan de
percibirla e incluso alguno de ellos llegan a describirla (2A2), pero no entienden la
cuestión de siguiente inmediato o responden al azar (3A0 ó 3A1).
En definitiva, los niños de este nivel se caracterizan porque son incapaces de
anticipar qué ocurrirá, respecto a la alternancia, en una posición ordinal determinada
teniendo como dato lo que ocurre en otra, aunque alguno de ellos ha sido, incluso, capaz
de describir la alternancia cuando han dejado de percibirla.
El 11,1%, sólo 3 de los 27 niños entrevistados, son de este nivel y su distribución
por edades es:
AN1
3 años
2
4 años
1
5 años
-
III. AN2. (1A3, 2A2, 3A2) ó (1A2, 2A2, 3A2)
Este nivel se caracteriza porque el niño no introduce la secuencia numérica para
explicar la alternancia.
En este nivel están los niños que realizan la alternancia y conocen el criterio sin
hacer uso de la secuencia numérica. Dan siempre la respuesta correcta cuando tienen
que determinar qué ocurrirá en una posición determinada respecto a la alternancia dando
como dato lo que ocurre en otra, pero no tienen argumentos para justificar su decisión.
Todos estos niños han sido capaces de realizar la alternancia bien de primera
instancia (1A3) o con algún estado de dudas (1A2).
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122
Conclusión 4-A. Los niños no usan la alternancia como instrumento que explique
situaciones ordinales no numéricas.
De los 27 niños entrevistados, 11 son de este nivel, o sea un 40,74% y su
distribución por edades es:
AN2
3 años
3
4 años
3
5 años
5
VI. AN3. (1A3, 2A3, 3A3).
Los niños de este nivel se caracterizan porque entienden de primera instancia el
criterio y realizan la alternancia, usan la secuencia numérica para describirla y son
capaces de anticipar lo que va a ocurrir en una posición ordinal determinada respecto a
la alternancia mediante el uso de la secuencia numérica.
En definitiva, son los niños que usan la secuencia numérica para describir, actuar y
explicar una situación ordinal no numérica
Conclusión 5-A. Los niños del nivel de alternancia más evolucionado usan la
secuencia numérica como instrumento para resolver problemas ordinales no numéricos
El 33,33%, es decir, 9 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su
distribución por edades es:
AN3
3 años
1
4 años
2
5 años
6
Estudio I. Comparación de respuestas de escolares del mismo nivel pero de
distintas edades.
1) Los niños del nivel AN0 son el 14,81% y corresponden al subnivel AS0, son
niños que no dan indicios de comprender ninguna de las cuestiones planteadas.
Teniendo en cuenta la tabla A-6:
Nivel 0/Años
AN0, 3
AN0, 4
AN0, 5
Frecuencia
2
2
Tabla A-6
Observamos:
a) No hay niños de 5 años en este nivel
b) Encontramos a niños tanto de 3 años como de 4.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
123
2) El nivel AN1 por edades según los subniveles AS1, AS2 y AS3.
Considerando la tabla A-7
Nivel 1/Años Frecuencia
2
AN1, 3
1
AN1, 4
AN1, 5
Fr/AS1
1
-
Fr/AS2
1
-
Fr/AS3
1
-
Tabla A-7
Hacemos las siguientes observaciones:
a) No hay niños de 5 años en el nivel 1, todos los niños entrevistados están en
niveles superiores (entendiendo por superiores el 2 y el 3).
b) Los niños de 3 años de este nivel responden peor que los de 4 años, ya que los
primeros se encuentran repartidos entre los subniveles AS1 y AS2, y los
segundos son todos de AS3. La diferencia se encuentra en que los niños de 3
años responden al azar o bien no entienden las cuestiones sobre la alternancia,
mientras que los de 4 años llegan incluso a describir la alternancia pero no dan
indicios de anticipación en las cuestiones sobre qué ocurrirá en un lugar
determinado respecto a la alternancia.
3) Vamos a estudiar los del nivel AN2 por edades según los subniveles AS4 y
AS5.
Consideramos la siguiente tabla, en la que la primera columna indica que estamos
en el nivel AN2 y en cada casilla de la misma aparece un número de 3 a 5 que indica los
años, la segunda columna indica la frecuencia con la que se da cada nivel por edades;
mientras que las columnas tercera y cuarta indican las frecuencias con las que se da,
respectivamente, los subniveles AS4 y AS5
Nivel 2/Años
AN2, 3
AN2, 4
AN2, 5
Frecuencia
3
3
5
Fre/AS4
3
2
-
Fre/AS5
0
1
5
Tabla A-8
Observamos que los niños de 3 años que están en el nivel 2 están en el subnivel AS4,
los de 4 están en una “fase intermedia” ya que nos encontramos a niños en AS5 y en
AS4, mientras que los de 5 años están todos en AS5. (Debemos recordar que tanto en
los subniveles ASi, como en los niveles ANi, cuanto mayor sea i más evolucionadas son
las respuestas).
Los niños de 3 años de este nivel, como son Mar (3, 3), Sal (3,4) e Ir (3,9)5 se
diferencian, fundamentalmente, de los de 5 años del mismo nivel en que los primeros
5
Ver Anexo 4.2.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
124
consiguen realizar la alternancia con dudas y equivocaciones mientras que los segundos
entienden de primera instancia el criterio.
También encontramos diferencia en las respuestas del tercer bloque, aunque todos
ellos (los del nivel 2) han respondido de la forma 3A2 (cuestión: “anticipar lo que va a
ocurrir en una posición determinada dando otra como dato; y las respuestas se
caracterizan porque son correctas pero sin justificación), los niños de 3 años dudan y
cambian el criterio a lo largo de la entrevista aunque consiguen realizar con éxito la
tarea, mientras que en 5 años nos encontramos con niños de 3A23 y 3A22, al igual que
en 4 años. Todo ello queda reflejado en la tabla A-9:
Nivel 2/Años Frecuencia
3
AN2, 3
3
AN2, 4
5
AN2, 5
Fr/3A21
3
2
2
Fr/3A22
1
Fr/3A23
1
2
Tabla A-9
Concluyendo, la diferencia por edades en el nivel AN2, se encuentra:
a) Los niños de 3 años dudan y cambian el criterio a lo largo de la entrevista al
realizar la alternancia, cosa que no ocurre con los de 5 años (Tabla A-8).
b) Los niños de 3 años dudan y cambian la respuesta cuando tienen que anticipar
lo que ocurrirá en una posición ordinal determinada respecto a la alternancia,
mientras que los de 5 años se encuentran en la misma proporción con respecto a
los niños de la misma edad y del mismo nivel que siempre dan la respuesta
correcta con respecto a la anticipación pero sin justificación (ver tabla A-9).
c) Los niños de 4 años se mantienen en una posición intermedia aunque son más
frecuente los casos en los que los niños dudan que los que dan la respuesta
correcta de primera instancia.
4) No hay diferencias significativas en las respuestas de los niños del nivel AN3
por edades.
Si observamos el cuadro de frecuencia por edades de éste nivel:
Nivel 3/Años
AN3, 3
AN3, 4
AN3, 5
Frecuencia
1
2
6
Tabla A-10
Vemos que el número de niños de 5 años de este nivel aumenta considerablemente
respecto a los de 4 y éstos con respecto a los de 3. Por tanto, es un conocimiento que
evoluciona con la edad.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
125
Estudio II. Comparación de respuestas de escolares del mismo año pero de
distintos niveles
1) 3 Años.
Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
3 años
AN0
2
AN1
2
AN2
3
AN3
1
Observaciones:
a) La mitad de los niños de 3 años están en los niveles AN3 y AN2, y la otra mitad
la encontramos en los niveles más bajos. Esto significa que la mitad de los
niños entrevistados o bien responden al azar o bien no entienden las cuestiones
planteadas sobre posiciones ordinales usando la alternancia como instrumento
de comparación de posiciones.
b) El número de niños de los niveles AN3 y AN2 no se reparte por igual entre
ellos; la proporción es de tres veces más el número del nivel AN2 que en el
AN3, lo cual significa que la mayoría de los niños de 3 años que describen y
usan la alternancia para realizar comparaciones ordinales no introducen la
secuencia numérica ni usan la alternancia para explicar una situación ordinal.
2) 4 Años.
Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
4 años
AN0
2
AN1
1
AN2
3
AN3
2
Observaciones:
a) La frecuencia de niños de 4 años en los niveles AN3 y AN2 es superior a la de
los niveles AN1 y AN0; por tanto, hay menos niños de 4 años que o bien no
entienden las cuestiones planteadas o bien responden al azar que niños capaces
de usar la alternancia para determinar posiciones ordinales.
b) El aumento de esta frecuencia a favor de los niveles AN3 y AN2 con respecto a
los niños de 3 años, se establece para incrementar el nivel AN3 manteniéndose
la misma frecuencia para el nivel AN2. Por tanto, los niños de 4 años, con
respecto a los de 3, usan más frecuentemente la secuencia numérica para
describir una realidad ordinal en la que interviene una serie sencilla, como es la
alternancia, como instrumento de comparación.
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126
3) 5 Años.
Once de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
5 años
AN0
-
AN1
-
AN2
5
AN3
6
Observaciones:
a) Todos los niños de 5 años entrevistados están en los niveles AN3 y AN2, por
tanto no hay niños en los niveles más bajos, luego no hay niños de 5 años que
no entiendan las cuestiones planteadas.
b) La frecuencia del nivel AN3 es superior a la del nivel AN2, por tanto más de la
mitad de los niños de 5 años usan, por propia iniciativa, la secuencia numérica
para explicar una realidad en la que interviene cuestiones ordinales a través de
una serie sencilla como es la alternancia.
Conclusiones de los estudios I y II.
1)
Es un conocimiento que evoluciona con la edad ya que más de la mitad de los
niños de 5 años se encuentran en el nivel AN3, siendo sólo un niño de los ocho
de 3 años y dos de los también ocho niños de 4 años de este nivel.
Conclusión 6-A. A medida que van creciendo los niños es más frecuente el uso de
la secuencia numérica para explicar una realidad ordinal
2)
Los niños que usan la alternancia para comparar posiciones ordinales (nivel
AN2) se diferencian, también, por edades: mientras que los de 3 años, en su
mayoría, dudan y cambian el criterio a lo largo de la entrevista, los de 4 y,
fundamentalmente los de 5, se dirigen hacia respuestas más evolucionadas
caracterizándose, éstas, por ser siempre correctas pero carentes de justificación.
Conclusión 7-A. Los niños de 5 años están capacitados para comparar posiciones
ordinales a través de la alternancia.
3)
Los niños de 4 años del nivel AN1 se diferencian de los niños de 3 años del
mismo nivel en que éstos responden al azar mienta que los de 4 años responden
al azar las cuestiones de anticipación aunque previamente han sido capaces de
describir la alternancia.
Conclusión 8-A. La descripción de la alternancia no es condición suficiente para
anticipar una posición ordinal.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
127
9.4. Resumen y conclusiones generales.
Teniendo en cuenta todo el estudio previo y observando en la tabla cómo hay un
total de 21 niños de los 27 entrevistados que llegan a realizar la alternancia y describirla
cuando no la perciben (categorías de respuestas 1A3, 1A2 del bloque 1A y 2A3, 2A2
del bloque 2A), obtenemos la siguiente conclusión general:
Los niños prefieren resolver problemas ordinales a través de la secuencia numérica
frente al uso de otras secuencias como la alternancia.
Ningún niño hace uso de la alternancia como método para determinar el siguiente
inmediato, los niños que usan un método sistemático son los de la secuencia numérica,
por tanto:
•
•
•
Los hechos psicológicos no justifican una tarea matemática
El aprendizaje de la Matemática es necesario en estas edades posibilitando
resolver problemas
La secuencia numérica básica es fundamental para estos niños como
herramienta de conocimiento.
10. Resultados y conclusiones de la tarea 2: Contar.
En esta tarea el niño tiene que realizar la acción de contar sobre la escalera y
determinar una posición ordinal mediante un término numérico, además tiene que
anticipar la posición ordinal de un peldaño conociendo otra como dato.
Vamos a considerar para todos los estudios realizados dentro de esta tarea que el
alumno da la respuesta que se le asigna en la tabla C-2 si la hace explícita al menos una
vez en el transcurso de la entrevista.
10.1. Codificación y categorías de respuestas
La codificación de las respuestas de los niños referentes a la tarea de contar se
inicia con la consideración de estos tres bloques de respuestas referentes a las tres fases
de esta tarea expuestas en el punto 6.2.2 de este mismo capítulo:
1C.
2C.
3C.
Categorías de respuestas relativas a la realización de la acción de
contar.
Es el bloque correspondiente a la descripción de una posición ordinal
mediante un término numérico
Son las respuestas relativas a la determinación de una posición ordinal
mediante un término numérico conociendo otra como dato.
Con la división en estos tres bloques pretendemos analizar como se da la
transformación mental en los niños que llegan a determinar mediante un término
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
128
numérico el siguiente inmediato de un término cualquiera de la serie a través de la
acción de contar.
Respecto a cada uno de los bloques señalados realizamos la siguiente
categorización (Tabla C-1):
Para la interpretación correcta de la tabla C-1 nos remitimos a los puntos ya
considerados en el apartado 9.1 de este mismo capítulo para la tabla A-1 Estas
puntualizaciones serán análogas en ambas tablas, sólo hay que cambiar la letra A (de
Alternancia) por C (de Contar) y adaptar el último punto a las especificaciones de cada
tabla.
1C0 No sabe o no contesta
1C1
1C
El orden estable y convencional llega a 4 ó menos de 4, algunos errores en
la correspondencia uno a uno
1C2 Comete algunos errores previos al conteo
1C3 Contar correctamente
2C0 No sabe o no contesta
2C1 Al azar
2C
2C2
2C21
2C22
2C31
2C3
2C32
Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la
entrevista.
Da la respuesta correcta pero sin justificación
Da la respuesta correcta y la justifica de manera espontánea a
través del conteo.
Da la respuesta correcta y la justifica de manera espontánea usando
siguiente inmediato ó alguna relación lógica ordinal.
3C0 No sabe o no contesta
3C1 Al azar
3C
3C2
3C21
3C22
3C31
3C3
3C32
Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la
entrevista.
Da la respuesta correcta pero sin justificación
Da la respuesta correcta y la justifica usando alguna relación lógica
ordinal. No tiene en cuenta el dato.
Da la respuesta correcta y justificarla usando alguna relación lógica
ordinal. Tiene en cuenta el dato
Tabla C-1. Codificación y categorización de respuestas de la tarea de Contar
Análogamente a lo que ocurría en la codificación de las respuestas de la primera
tarea, tenemos que en cualquier categoría kCi con K variando de 1 a 3 e i variando de 0
a 3, una vez fijado k, las respuestas más evolucionadas son cuando i=3 y las menos se
dan cuando i=0, y así, en la escala de 0 a 3 podemos medir de la menos a la más
evolucionada a medida que aumenta i.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
129
10.2. Análisis de respuestas
.En el Anexo 4.3 (pags. 317-321) podemos encontrar las respuestas verbales
respecto a la tarea de contar, de todos y cada uno de los niños entrevistados, que hacen
que presenten una categoría determinada.
La codificación de respuestas de la tabla C-1 nos ha proporcionado una
categorización de las mismas. En la tabla C-2 se recogen las respuestas de cada uno de
los niños según los bloques y categorías consideradas en esta tarea. Para la
interpretación de dicha tabla debemos tener en cuenta las mismas matizaciones
consideradas para la tabla A-2 en el apartado 9.2 de este mismo capítulo..
1C0 1C1 1C2 1C3 2C0 2C1 2C21
2C22
2C31
2C32 3C0 3C1 3C21
3C22
3C31 3C32
Pab. 3,1
Lou. 3,3
Mar. 3,3
Sal. 3,4
Luc. 3,9
Ir. 3,9
Mi. 3,10
Nu. 3,11
Fr. 4,0
Adr., 4,1
An. 4,3
Beg. 4,6
Pat. 4,6
Nar. 4,8
Sal. 4,11
Ver. 4,11
Jav. 5,0
Esp. 5,2
Non. 5,2
Cri. 5,5
Is. 5,6
Clar. 5,7
Ari. 5,7
Ant. 5,9
Mar. 5,9
Par.5,11
Mab.5,11
Tabla C-2. Distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre la tarea de contar.
Si para un niño cualquiera las respuestas obtenidas en esta tarea son: 1Ci, 2Cj,
3Ck, entonces i es mayor o igual que j y éste mayor o igual que k. Ello significa que los
niños entrevistados pueden ser capaces de contar los elementos de una serie pero no por
ello tienen que ser capaces de resolver los problemas ordinales planteados en el bloque
3C.
La observación en la tabla C-2 de este hecho se da en que a medida que nos
desplazamos en ella de izquierda a derecha según los bloques de respuestas, el
desplazamiento en una misma fila en cuanto a las categorías de respuestas presentadas
por ese niño se da en sentido contrario, exceptuando el caso de Sal (4,11) que del bloque
2 al bloque 3 pasa de izquierda a derecha pero hay que tener en cuenta que en definitiva
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
130
este niño pasa de la categoría 2C3 a la 3C3 que es realmente el comportamiento que se
desea destacar.
El paso del bloque 1C al 3C significa:
“Realización previa de la acción de contar para manifestar la capacidad
de anticipación del siguiente inmediato de un término cualquiera de la serie
usando la secuencia numérica para su determinación”.
Según podemos observar en la tabla C-2, para los niños entrevistados es
condición necesaria que realicen la acción de contar los escalones correctamente para
llegar a la descripción por un término numérico del siguiente inmediato de un término
de la serie, pero no es condición suficiente.
Observando la tabla C-2 podemos hacer las siguientes afirmaciones:
•
Todos los que están en el 3C3 previamente han estado en el 1C3 pasando por
el 2C3
• Todos los que están en el 3C2 vienen del 1C3 y con respecto al bloque 2
están en el 2C3 ó en el 2C2.
• Todos los que están en el 3C1 vienen del 2C1 y con respecto al bloque 1 se
reparten entre las categorías 1C1, 1C2 ó 1C3
• Todos los que están en el 3C0 son los mismos que los del 2C0 y con respecto
al primer bloque están en el 1C1 ó 1C0.
De la observación y análisis la tabla C-2 podemos considerar el siguiente diagrama
(Fig. 1-C) que da una visión gráfica de la escalabilidad de las respuestas.
1C3
2C3
3C3
2C2
1C2
3C2
2C1=3C1
1C1
1C0
2C0=3C0
Fig. 1-C. Escalabilidad en las respuestas de la tarea de contar
Para la interpretación gráfica del diagrama (fig.1-C) debemos tener en cuenta los
puntos análogos considerados para la figura 1-A en el apartado 9.2 de este mismo
capítulo.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
131
10.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas
Analizando el diagrama de la figura 1-C determinamos lo siguiente:
I
Teniendo en cuenta que el conjunto de niños cuyas respuestas están en la
categoría 3C3 es un subconjunto de la categoría 2C3 y que las respuestas de todos ellos
están en la categoría 1C3 se obtiene la siguiente conclusión:
Conclusión 1-C. Todos los niños que determinan una posición ordinal a partir
de otra han descubierto, previamente, que contar es un procedimiento válido para
obtener el número que ocupa un elemento en una serie.
Hay niños que están en 2C3 pero no en 3C3, son los niños que responden de la
forma: 1C3, 2C3, 3C2, como por ejemplo: Pat. (4, 6), o más claramente se da entre los
niños de 5 años como Par. (5,11) ó Cri. (5, 5)6, estos niños han descubierto que
contando se determina una posición ordinal pero no son capaces de determinar una
posición ordinal a partir de otra dada como dato, aunque en alguna ocasión llegan a usar
una relación lógica ordinal, es el caso de Pat. (4, 6):
Pat. (4, 6): “E. Colocamos a Saltarín en éste escalón (en el 6), ¿cuál es?. P. El 5. E.
¿Cómo sabes que ese es el 5?. P. No me acuerdo. –E. Si lo piensas seguro que me lo puedes
decir. –P. Entonces hay que contarlo, 1 (señala 1), 2 (señala2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5
(señala 5), 6 (señala 6), es el 6”.
Pat. (4, 6): “-E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7?. –P. Éste (señala el 7). -E. El osito
está en el 6, ¿cuál es el 5?. –P. Éste (señala el 5). -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 4?. –P. Éste
(señala el 4). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –P. Porque este es el 3 (señala el 3) y yo sé
contar hasta 4”.
De las consideraciones anteriores obtenemos la segunda conclusión en la tarea
de contar:
Conclusión 2-C. Existen niños que son capaces de determinar una posición
ordinal usando una relación lógica ordinal como la de siguiente inmediato, pero no son
capaces de tener en cuenta una posición ordinal dada como dato para la determinación
de otra.
II.
Los niños del 2C21, es decir los que al contestar sobre la posición ordinal
de un elemento en una serie dudan y cambian la respuesta a lo largo de la entrevista, sin
llegar a descubrir que contar es un procedimiento válido para resolver el problema,
como es el caso de Nar (4, 8)7, son niños que previamente han realizado correctamente
el conteo, 1C3, pero que en cuanto a la tercera cuestión planteada tienen la misma
actuación, 3C21: dudan y cambian el juicio a lo largo de la entrevista.
III.
Dentro de los niños que cuentan correctamente, nos encontramos con
respuestas respecto a la segunda tarea hasta 3 categorías: 2C3, 2C2 ó 2C1, lo cual quiere
decir que un niño puede realizar correctamente la acción de contar y sin embargo no ser
6
7
Ver Anexo 4.3, ps. 317-321
Ver Anexo 4.3.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
132
capaz de resolver cuestiones sencillas sobre posiciones ordinales, es decir no usan el
conteo como instrumento en la resolución de tareas ordinales.
Conclusión 3-C. La realización correcta de la acción de contar es condición
necesaria pero no suficiente para garantizar el carácter funcional del conteo.
IV.
Los niños que responden al azar en cuanto a la segunda cuestión, 2C1,
son los mismos niños que responden de esta forma en cuanto a la tercera 3C1, sin
embargo en esta categoría de niños encontramos con algunos que cuentan correctamente
1C3, como es el caso de Mar. (3, 3) ó Sal. (3, 4)8, mientras que otros lo hacen al azar,
sin coordinación alguna entre el principio de orden estable y el principio de
cardinalidad, y con un tramo de la secuencia estable y convencional inferior a 3 ó 4
como es el caso de algunos niños de 3 años.
V.
Los niños cuyas respuestas son de las categorías 1C0, 2C0, 3C0 son los
que no comprenden ni hacen nada.
10.3. Niveles en la tarea de Contar. CN
Análogamente a como se hiciera en el apartado 9.3 de este mismo capítulo para
la tarea de Alternancia, podemos definir los niveles correspondientes en la tarea de
Contar atendiendo a la escalabilidad en las distintas categorías de respuestas de los tres
bloques considerados en esta tarea y que acabamos de presentar en el apartado anterior.
De esta forma empezamos por definir los subniveles según aparecen en la tabla
C-3:
CS0
CS1
CS2
CS3
CS4
CS5
CS6
CS7
CS8
CS9
CS10
CS11
CS12
1C0
1C1
1C1
1C2
1C3
1C3
1C3
1C3
1C3
1C3
1C3
1C3
1C3
2C0
2C0
2C1
2C1
2C1
2C31
2C32
2C31
2C32
2C31
2C32
2C31
2C32
3C0
3C0
3C1
3C1
3C2
3C21
3C21
3C22
3C22
3C31
3C31
3C32
3C32
Tabla C-3. Definición de subniveles de la tarea de Contar
Debemos hacer notar que, como consecuencia de la codificación usada en las
respuestas según la cual kCi es más evolucionada cuanto mayor sea i, con i variando de
8
Ver Anexo 4.3.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
133
0 a 3, tenemos que CSi es más evolucionado cuanto meyor sea i, con i variando de 0 a
12. En los casos en los que las categorías de respuestas sean del tipo kCij con i variando
de 0 a 3 y j entre 1 y 2, tenemos que la evolución de las respuestas es fijada por el
subíndice i según se ha considerado en el diagrama de la figura 1-C del apartado 10.2
del presente capitulo.
A partir de los subniveles establecemos los niveles para la tarea de contar en la
tabla C-4, siguiendo el orden natural de los números de 0 a 3 para indicar del menos al
más evolucionado, es decir CN0 es el menos evolucionado mientras que CN3 es el más:
NIVELES EN LA TAREA DE
CONTAR
CN0 CS0
CS1
CN1 CS2
CS3
CS4
CN2 CS5
CS6
CS7
CN3 CS9
CS10 CS11 CS12
CS8
Tabla C-4. Definición de niveles en la tarea de contar
Los criterios de reagrupación de subniveles para determinar los niveles han sido:
•
•
•
•
CN0 lo caracteriza las respuestas menos evolucionadas de los dos últimos
bloques
CN1 es la reagrupación de subniveles donde los niños responden al azar
sobre las descripciones de posiciones ordinales a través de un término
numérico.
De CS5 al CS8 se reagrupan para dar CN2 porque en todos ellos están las
categorías de respuestas 1C3, 2C3
Para CN3 hemos elegido las respuestas más evolucionas de cada bloque,
teniendo en cuenta que las categorías de respuestas 2C3 y 3C3 se desdoblan
respectivamente en 2C31 y 2C32, y en 3C31 y 3C32.
Atendiendo a esta codificación de niveles presentamos la tabla C-5 en la que todos
y cada uno de los niños entrevistados presentan un único nivel:
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
134
CN0
CN1
CN2
CN3
Pab. 3,1
Lou. 3,3
Mar. 3,3
Sal. 3,4
Luc. 3,9
Ir. 3,9
Mi. 3,10
Nu. 3,11
Fr. 4,0
Adr., 4,1
An. 4,3
Beg. 4,6
Pat. 4,6
Nar. 4,8
Sal. 4,11
Ver. 4,11
Jav. 5,0
Esp. 5,2
Non. 5,2
Cri. 5,5
Is. 5,6
Clar. 5,7
Ari. 5,7
Ant. 5,9
Mar. 5,9
Par.5,11
Mab.5,11
Tabla C-5. Distribución por niveles en la tarea de contar de los niños de la muestra
Si tenemos en cuenta la tabla C-5 y en ella leemos la frecuencia por edades en cada
uno de los niveles, obtenemos el siguiente gráfico (C-1), cuyo análisis lo detallaremos
en los estudios I y II del próximo apartado, sin embargo, podemos adelantar el carácter
más significativo del mismo y es que los niños de 3 años se sitúan en su mayoría en el
nivel CN1.
8
6
3 años
4
4 años
2
5 años
0
CN0
CN1
CN2
CN3
Gráfico C-1. Distribución de frecuencias por edades
en cada uno de los niveles considerados
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
135
10.3.1. Caracterización de los niveles
I. CN0. (1C0, 2C0, 3C0) ó (1C1, 2C0, 3C0)
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
No entienden ninguna de las cuestiones planteadas sobre posiciones ordinales
Carecen de los principios de orden estable y correspondencia uno a uno del
conteo.
En éste nivel se encuentra 3 niños de los 27, lo que representa un 11,11%, su
distribución por edades es::
CN0
3 años
2
4 años
1
5 años
-
II. CN1. (1C1, 2C1, 3C1) ó (1C2, 2C1, 3C1) ó (1C3, 2C1, 3C1).
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
Responden al azar en las cuestiones referentes a la determinación de una
posición ordinal, no usan el conteo como método sistemático para resolver esas
cuestiones
Carecen de método sistemático para determinar una posición a partir de otra
El 25,92%, es decir 7 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su
distribución por edades es:
CN1
3 años
5
4 años
2
5 años
-
En este nivel no encontramos a niños de 5 años siendo su mayoría de 3.
III. CN2. (1C3, 2C3, 3C2)
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
•
Saben contar
Utilizan el conteo como instrumento para determinar una posición ordinal
No relacionan una posición ordinal con otra para su determinación
De los 27 niños entrevistados, 6 son de este nivel, o sea un 22,22% y su
distribución por edades es:
CN2
3 años
-
4 años
1
5 años
5
En este nivel están los niños de 5 años que no están en el nivel CN3
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
136
IV. CN3. (1C3, 2C3, 3C3).
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
•
Saben contar
Usan la secuencia numérica para determinar una posición ordinal y llegar a
manifestar que contar es un instrumento válido para resolver la cuestión
planteada
Determinan una posición ordinal a partir de otra que puede ser el dato o no.
El 40,74%, es decir, 11 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su
distribución por edades es:
CN3
3 años
1
4 años
4
5 años
6
Por tanto, es un conocimiento que evoluciona con la edad; los de 3 años no llegan
al 10% mientras que los de 5 son más de la mitad, observándose un claro ascenso con
los niños de 4 años respecto a los de 3.
A continuación realizaremos dos estudios comparativos para los niveles del conteo
y las edades de los niños de la muestra, análogos a los ya realizados para la tarea de
alternancia, por tanto las consideraciones sobre los diseños de las tablas serán las
mismas a las ya realizadas.
Estudio I. Comparación de respuestas de escolares del mismo nivel pero de
distintas edades.
1) El nivel CN0 por edades según los subniveles CS0 y CS1
.
Teniendo en cuenta la tabla C-6:
Nivel 0/Años
CN0, 3
CN0, 4
CN0, 5
Frecuencia
2
1
-
Fre/CS0
1
1
-
Fre/CS1
1
0
-
Tabla C-6
Observamos que la frecuencia de niños de este nivel disminuye con la edad,
tendiendo a desaparecer a partir de los 5 años.
2) El nivel CN1 por edades según los subniveles CS2, CS3 y CS4.
Considerando la tabla C-7
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
Nivel 1/Años Frecuencia
5
CN1, 3
2
CN1, 4
CN1, 5
137
Fr/CS2
2
1
-
Fr/CS3
1
-
Fr/CS4
2
1
-
Tabla C-7
Hacemos las siguientes observaciones:
•
No hay niños de 5 años en el nivel 1, todos están en niveles superiores.
•
En 3 años encontramos igual número de niños en el nivel CN1 que no
cometen errores al contar los elementos de una serie (1C3) como los que no
aplican ningún principio del conteo (1C1). Por lo que obtenemos la siguiente
conclusión:
Conclusión 4-C. Que un niño no cometa errores en el conteo no garantiza que lo
use como estrategia para resolver problemas ordinales.
•
Entre los niños de 4 años también encontramos un caso de niños que no
saben contar (CS2) y otro niño que sabiendo contar no usa el conteo (CS4).
Resumiendo, tenemos que la principal característica, respecto a la edad, del nivel
CN1 se encuentra en que disminuye a menos de la mitad los niños de 4 años que están
en éste nivel con respecto a los de 3, y desaparece con 5 años.
3) Estudio del nivel CN2 por edades según los subniveles CS5,CS6, CS7 y CS8.
Consideramos la siguiente tabla C-8
Nivel 2/Años Frecuencia
CN2, 3
1
CN2, 4
5
CN2, 5
Fr/CS5
1
-
Fr/CS6
-
Fr/CS7
4
Fr/CS8
1
Tabla C-8
Observamos que los niños de 3 años no están en este nivel porque o bien se
quedan en niveles inferiores (su gran mayoría) o existe una minoría que llega al nivel
superior, pero podemos considerar que son casos excepcionales.
El prototipo de respuestas del niño de 4 años del nivel 2 es:
Nar (4, 8). –E. ¿Sabes qué escalón es éste? (señala el 3). –N. Es el 3. –E. Sentamos al osito aquí
(en el 6), ¿en qué escalón está?. –N. En el 6. –E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7? –N. Este
(señala el 8) –E. No ese no es. –N. Este (señala el 9). –E. Pero si el osito está en el 6 ¿cuál es el
7?. –N. Este (señala el 6). –E. Pero ese es el 6 ya que el osito está en el 6. Vamos a ponerlo en el
7. –N. Lo pone en el 9. –E. ¿Ese es el 7?. _N. No. –E. ¿Cuál es?. –N. El 9. –E. Si ese es el 9
¿cuál es el 10?. –N. Este (señala el 10).
Observamos que el niño infiere que contar es un procedimiento válido para
determinar una posición ordinal, pero se detecta una gran inseguridad en su respuesta a
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
138
la hora de determinar una posición ordinal a partir de otra, no aplica la misma estrategia
(el conteo) cuando se plantea el mismo problema ordinal introduciendo un dato.
Los niños de 5 años del nivel 2, CN2, están en su gran mayoría en el subnivel
CS7, son niños que usan la estrategia del conteo frente a estrategias lógicas ordinales; y
posteriormente no recurren a relaciones lógicas-ordinales para justificar las respuestas
sobre la determinación de una posición ordinal a partir de otra (3C22)
Como consecuencia de las observaciones realizadas se tiene la siguiente
conclusión:
Conclusión 5-C. Existen niños de los niveles intermedios que usan
preferentemente el conteo como estrategia para determinar una posición lógica-ordinal
frente a estrategias de siguiente inmediato. Ninguno de estos niños tienen en cuenta una
posición dada como dato para obtener otra.
4) El nivel CN3 por edades según los subniveles CS9, CS10, CS11 y CS12.
Considerando la tabla C-9
Nivel 3/Años Frecuencia
1
CN3, 3
4
CN3, 4
6
CN3, 5
Fr/CS9
2
-
Fr/CS10
1
-
Fr/CS11
1
-
Fr/CS12
1
6
Tabla C-9
Tenemos que los niños de 5 años del nivel 3 (CN3) basan su estrategia para
localizar una posición ordinal en alguna relación lógica ordinal (2C32) y en cuestiones
en las que tienen que localizar una posición ordinal a partir de otra tienen en cuenta el
dato (3C32), mientras que, entre los niños de 4 años de este nivel, nos encontramos con
algunos que o bien no tienen en cuenta el dato en las cuestiones planteadas (subniveles
CS9 y CS10), o bien el conteo es la única estrategia utilizada para la determinación de
una posición ordinal (subnivel CS11).
A partir de esas consideraciones tenemos la siguiente conclusión:
Conclusión 6-C. Para determinar una posición ordinal, los niños mayores (de 5
años) usan preferentemente estrategias de “siguiente inmediato” y tienen en cuenta una
posición dada como dato para obtener otra.
Estudio II. Comparación de respuestas de escolares del mismo año pero de
distintos niveles
1) 3 Años.
Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
3 años
139
CN0
2
CN1
5
CN2
-
CN3
1
Observaciones:
Muchos de los niños de 3 años cuentan correctamente (1C3), pero otros muchos
(CN1) cometen errores drásticos contra los principios del conteo (1C1) (orden estable y
correspondencia uno a uno), pero en su gran mayoría no usan la secuencia numérica
como procedimiento o estrategia para resolver problemas ordinales.
2) 4 Años.
Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
4 años
CN0
1
CN1
2
CN2
1
CN3
4
La mitad de los niños de 4 años están en el nivel CN3 lo cual quiere decir que
realizan un uso funcional ordinal de la secuencia numérica; además, seis de los ocho
cuentan sin cometer errores.
3) 5 Años.
Once de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
5 años
CN0
-
CN1
-
CN2
5
CN3
6
Más de la mitad de los niños de 5 años se encuentran en el nivel más
evolucionado del conteo y el resto en el nivel anterior. Todos los niños de 5 años
cuentan correctamente hasta 10 (1C3), son capaces de determinar una posición ordinal
en una serie dada de 10 elementos (2C2 ó 2C3), mientras que algunos de ellos son
capaces de determinar una posición ordinal a partir de otra dada como dato mediante
relaciones lógicas ordinales (3C3), otros no lo son (3C2)..
11. Estudio comparativo de los niveles de Alternancia y Conteo
Consideraremos la tabla A-C-1 de distribución de niveles de las tareas:
Alternancia y Contar de cada uno de los niños de la muestra. Para un mejor
entendimiento de la misma debemos precisar lo siguiente:
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
140
•
•
La tabla está dividida en tres bloques por columnas, en cada una de ellas aparecen
los niños de la muestra por edades, así, el primer bloque de columnas es para los
niños de 3 años, el segundo para los de 4 y el tercero para los de 5.
Cada uno de los bloques de las columnas, a su vez está dividido en tres: en la
primera aparecen las iniciales de los nombres de cada niño, en la segunda los niveles
de Alternancia y Contar de cada uno de ellos y en la tercera aparecen casillas en
blanco y otras con asteriscos señalando, así, los niños que cambian de nivel en
cuanto a las dos tareas consideradas
3 AÑOS
4 AÑOS
AN0
Pab, 3,1
CN0
Lou. 3,3
AN0
CN0
Mar. 3,3
AN2
CN1
Sal. 4, 3
Luc. 3,9
Ir. 3, 9
Mi.3,10
AN2
CN1
*
AN1
CN1
AN2
CN1
AN1
CN1
AN3
Nu. 3,11
CN3
Ja, 5, o
CN3
Esp. 5, 2
Adr. 4,1
AN0
CN0
Non. 5, 2
AN3 y
CN3
An. 4, 3
AN1
CN1
Cri. 5, 5
AN2 y
CN2
Is. 5, 6
AN3 y
CN3
Clar. 5,7
AN3 y
CN3
Ari. 5, 7
AN3 y
CN3
Ant. 5, 9
AN2 y
CN2
Mar. 5, 9
AN2 y
CN2
Beg. 4,6
Pat. 4, 6
*
AN2 y
CN2
AN3 y
CN3
AN3
Fr 4,0
*
5 AÑOS
Nar. 4,8
Sal.4,11
AN0
CN0
AN2
CN3
*
AN2
CN2
AN2
CN3
AN3
Ve.4,11
CN3
*
AN2 y
CN2
AN3 y
Mab. 5,11
CN3
Par. 5,11
Tabla A-C-1. Distribución de niveles de las tareas: Alternancia y Contar de cada uno de los niños de la
muestra
Teniendo en cuenta la tabla anterior, podemos hacer las siguientes
observaciones:
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
141
1. Los niños de 3 años que estaban en el nivel 2 de la alternancia (AN2), han pasado al
nivel 1 en la tarea de contar (CN1). Son niños que con respecto a la tarea 1, llegan a
realizar bien la alternancia pero sin introducir la secuencia numérica para explicar la
situación planteada (AN2), y con respecta a la tarea 2 pueden llegar a realizar la
acción de contar sin cometer errores, sin embargo, no usan la secuencia numérica
para determinar una posición ordinal.
Conclusión 1-A-C. Los niños de 3 años resuelven mejor las cuestiones sobre el
siguiente inmediato con la alternancia como instrumento de comparación que con el
conteo.
2. Dos de los ocho niños de 4 años cambian de nivel, del AN2 pasan al CN3. En los
niños de 4 años se da el efecto contrario de lo que ocurría para los de 3: contesta
mejor el conteo que la alternancia. Los niños de 4 años están:
En el mismo nivel en la alternancia que en el conteo, o bien
Mejoran el conteo con respecto a la alternancia. Los niños que
mejoran son los que pasan del nivel 2 de la alternancia (AN2) al nivel
3 del conteo (CN3)
Son niños que conocen el criterio de la alternancia pero no usan la secuencia
numérica para explicarlo, es decir son niños que no usan la secuencia numérica en un
contexto no numérico y, sin embargo, son capaces de usarla como instrumento para
resolver problemas ordinales en contextos numéricos.
Conclusión 2-A-C. A medida que los niños crecen, resuelven mejor los
problemas ordinales en contextos numéricos que los mismos problemas en contextos no
numéricos.
3. Los niños de 5 años no cambian de nivel en cuanto a la alternancia y el conteo
Conclusión 3-A-C. Los niños de 5 años llegan a tener una representación mental
de la secuencia numérica que le permite trasladar las relaciones lógicas ordinales entre
sus términos a otros tipos de secuencias como la alternancia para la resolución de
problemas ordinales.
12. Resultados y conclusiones de la tarea 3:
Secuencia Numérica / Alternancia
En esta tarea el niño tiene que realizar y describir la correspondencia serial entre
la alternancia sí-no y los términos de la secuencia numérica aplicada a los peldaños de
la escalera, a continuación debe, primero, describir una posición ordinal determinada
según la correspondencia serial y terminar con la anticipación y determinación de una
posición ordinal conociendo lo que ocurre en una posición dada como dato.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
142
Consideraremos para todos los estudios realizados dentro de esta tarea que el
alumno da la respuesta que se le asigna en la tabla S/A-2 si la hace explícita al menos
una vez en el transcurso de la entrevista.
12.1 Codificación y caracterización de respuestas.
La codificación de las respuestas de los niños respecto de la tarea de
correspondencia serial se realiza según los tres bloques siguientes, que corresponden,
cada uno de ellos, a las tres fases de esta tarea expuestas en el punto 6.3.2 de este mismo
capítulo:
1S/A
2S/A
3S/A
Categorías de respuestas relativas a la realización de la
correspondencia serial Secuencia Numérica/Alternancia.
Es el bloque correspondiente a la descripción de una posición ordinal
respecto a la correspondencia serial considerada en el bloque anterior.
Son las respuestas relativas a la anticipación y determinación de una
posición ordinal respecto de la correspondencia serial Secuencia
Numérica/Alternancia conociendo lo que ocurre en una posición dada
como dato, que con respecto a la incógnita tiene una relación lógica
ordinal de siguiente inmediato, pasando posteriormente a cuestiones
sobre cualquier siguiente.
.
Estos tres bloques nos permite analizar la transformación mental llevada a cabo
en los niños que llegan a establecer la relación lógica ordinal de siguiente inmediato
entre los términos de la secuencia numérica mediante la comparación vía
correspondencia serial realizada previamente.
Respecto a cada uno de los bloques señalados realizamos la categorización de
respuestas que exponemos en la tabla S/A-1.
Para la interpretación correcta de dicha tabla nos remitimos a los puntos ya
considerados en el apartado 9.1 de este mismo capítulo para la tabla A-1 Estas
puntualizaciones serán análogas en ambas tablas, sólo hay que cambiar la letra A (de
Alternancia) por las siglas S/A (de Secuencia Numérica/Alternancia) y adaptar el último
punto a las especificaciones de cada tabla.
Análogamente a lo que ocurría en la codificación de las respuestas de las dos
tareas anteriores, se da que en cualquier categoría kS/Ai con K variando de 1 a 3 e i
variando de 0 a 3, una vez fijado k, las respuestas más evolucionadas son cuando i=3 y
las menos se dan cuando i=0, y así, en la escala de 0 a 3 podemos medir de la menos a
la más evolucionada.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
143
1S/A0 No sabe o no contesta
1S/A1 Al azar
Tiene dudas y equivocaciones, no llega a realizar la correspondencia
serial
Llega a realizar la correspondencia serial Secuencia Numérica
1S/A22
/Alternancia con dudas y equivocaciones.
Entiende de primera instancia el criterio y realiza correctamente la
correspondencia serial. Aparece un razonamiento inductivo con la secuencia
numérica a partir de dos términos.
No sabe o no contesta
Al azar
Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la
2S/A21
entrevista. No usa la correspondencia serial.
2S/A22 Da la respuesta correcta sin justificación
Da la respuesta correcta y la justifica usando una relación lógica ordinal de la
secuencia numérica.
No sabe o no contesta
Al azar
Da la respuesta correcta cambiando el criterio a lo largo de la
3S/A21
entrevista
3S/A22 Da la respuesta correcta pero sin justificación
Da la respuesta correcta y la justifica usando alguna relación lógica
3S/A31
ordinal. No tiene en cuenta el dato.
Da la respuesta correcta y la justifica usando alguna relación lógica
3S/A32
ordinal. Tiene en cuenta el dato.
1S/A21
1S/A 1S/A2
1S/A3
2S/A0
2S/A1
2S/A 2S/A2
2S/A3
3S/A0
3S/A1
3S/A2
3S/A
3S/A3
Tabla S/A-1. Codificación y categorización de respuestas de la tarea de correspondencia serial
12.2. Análisis de respuestas
Una vez codificadas y categorizadas las respuestas, podemos encontrar en el
Anexo 4.4 las respuestas verbales respecto a la tarea de correspondencia serial, de todos
y cada uno de los niños entrevistados, que hacen que presenten una categoría
determinada.
En la tabla S/A-2 se recogen las respuestas de cada uno de los niños según los
bloques y categorías consideradas en esta tarea. Para la interpretación de dicha tabla
debemos añadir las mismas precisiones que ya hiciéramos para las tablas A-2 y C-2 de
este mismo capitulo.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
144
1S/A0 1S/A1
1S/A21
1S/A22
1S/A3
2S/A0
2S/A1
2S/A21
2S/A22
2S/A3
3S/A0
3S/A1
3S/A21
3S/A22
3S/A31
Pab. 3,1
Lou. 3,3
Mar. 3,3
Sal. 3,4
Luc. 3,9
Ir. 3,9
Mi. 3,10
Nu. 3,11
Fr. 4,0
Adr., 4,1
An. 4,3
Beg. 4,6
Pat. 4,6
Nar. 4,8
Sal. 4,11
Ver. 4,11
Jav. 5,0
Esp. 5,2
Non. 5,2
Cri. 5,5
Is. 5,6
Clar. 5,7
Ari. 5,7
Ant. 5,9
Mar. 5,9
Par.5,11
Mab.5,11
Tabla S/A-2. Distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre la correspondencia serial
Al igual que en los casos anteriores, en esta tarea nos volvemos a encontrar en la
situación concreta de que si un niño responde, con respecto a las categorías de
respuestas señaladas en la tabla S/A-1, de la forma 1S/Ai, 2S/Aj, 3S/Ak entonces i es
mayor o igual que j y éste mayor o igual que k. Ello significa que los niños
entrevistados pueden ser capaces de realizar la correspondencia serial sin ser, por ello
capaces de resolver los problemas ordinales, respecto a esa misma correspondencia,
planteados en el bloque 3S/A.
La observación en la tabla S/A-2 de este hecho se presenta de la misma forma a
la ya expuesta en el caso de la tabla C-2, y por tanto nos remitimos al apartado 10.2 de
este mismo capitulo para su especificación, teniendo en cuenta que en este caso no hay
que hacer ninguna salvedad.
El paso del bloque 1S/A al 3S/A significa:
“Realización previa de la correspondencia serial Secuencia
Numérica/Alternancia para establecer la relación lógica ordinal de siguiente
inmediato que se da entre dos términos consecutivos de la secuencia numérica
mediante la comparación que se presenta entre ellos a través de la relación
establecida por la correspondencia serial dada”.
3S/A32
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
145
Según podemos observar en la tabla S/A-2, para los niños entrevistados es
condición necesaria que realicen y describan la correspondencia serial considerada para
llegar al establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos numéricos
mediante la comparación entre ellos vía correspondencia serial, pero no es condición
suficiente.
Observando la tabla S/A-2 podemos hacer las siguientes afirmaciones:
•
Todos los que están en el 3S/A3 previamente han estado en el 1S/A3 pasando
por 2S/A3
• Los que están en el 3S/A2 vienen del 1S/A2 ó 1S/A3 y con respecto al
bloque 2 están en el 2S/A2 ó en el 2S/A3.
• Todos los que están en el 3S/A1 vienen del 2S/A1 ó 2S/A2 y con respecto al
bloque 1 se reparten entre la segunda y tercera categoría.
• Todos los que están en el 2S/A0 son los mismos que los del 1S/A0. Los del
3S/A0 vienen del 1S/A0 ó 1S/A1 y con respecto al bloque 2 están en el
2S/A0 ó en el 2S/A1.
De la observación y análisis la tabla S/A-2 podemos considerar el siguiente
diagrama (Fig. 1-S/A) que da una visión gráfica de la escalabilidad de las respuestas.
1S/A3
1S/A2
2S/A3=3S/A3
2S/A2
3S/A2
1S/A1
2S/A1
3S/A1
1S/A0=2S/A0
3S/A0
Fig. 1-S/A. Escalabilidad en las respuestas
Para la interpretación gráfica del diagrama (fig.1-S/A) debemos tener en cuenta los
mismos puntos explicativos de la Fig.1-A en el apartado 9.2 de este mismo capítulo.
12.2.1 Interpretación de la Escalabilidad de las respuestas
Interpretamos las respuestas de los niños, conforme a lo establecido en el
diagrama de la figura 1-S/A, de la siguiente forma:
I.
El que la respuesta de un niño esté en la categoría más evolucionada de
3S/A, es decir en 3S/A3, quiere decir que el niño anticipa lo que
sucederá, con respecto a la correspondencia serial, en una posición
determinada teniendo en cuenta lo que ocurre en otra dada como dato. Al
ser la correspondencia serial entre la secuencia numérica y la alternancia,
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
146
ésta se convierte en un instrumento de comparación de términos de la
primera, y ello significa que el niño es capaz de comparar (frente a la
acción de etiquetar) dos términos consecutivos de la secuencia numérica
usando la alternancia como instrumento de comparación. Con ello
obtenemos la primera conclusión:
Conclusión 1-S/A. - El niño que anticipa lo que sucederá, respecto a la alternancia,
en una posición ordinal determinada de la secuencia conociendo lo que ocurre en otra
dada como dato, es porque establece relaciones lógicas-ordinales entre los términos de
la secuencia numérica mediante la comparación dada por la correspondencia serial
Si las respuestas de los niños son de la categoría 3S/A3, entonces las respuestas de
esos niños también están en la categoría más evolucionada de 1S/A y 2S/A, es decir
están en 1S/A3 y 2S/A3, por tanto son niños que han realizado y comprendido de
primera instancia el criterio de la correspondencia serial (1S/A3) y han sido capaces de
determinar y describir una posición ordinal usando la secuencia numérica/alternancia
(2S/A3), de ahí que obtengamos la segunda conclusión de nuestro análisis:
Conclusión 2-S/A. – Los niños que comparan los términos numéricos a través de la
alternancia, y que por tanto establecen relaciones lógicas ordinales entre ellos, son los
que usan la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia, que previamente han
realizado, para describir una posición ordinal en una serie.
Hay que hacer notar que todos los niños cuyas respuestas están en 2S/A3 son los
mismos que dan la respuesta 3S/A3, y teniendo en cuenta la conclusión 1-S/A y que
todos estos están en 1S/A3, tenemos la siguiente conclusión recíproca a la anterior
Conclusión 3-S/A. Los niños que describen una posición ordinal mediante la
correspondencia serial secuencia numérica/alternancia, que previamente han realizado,
son los mismos niños capaces de establecer las relaciones lógicas ordinales entre los
términos de la secuencia numérica vía la alternancia.
II.
Todos los niños que dan la respuesta 3S/A2 están dentro de la categoría
2S/A2, algunos de ellos están en 1S/A3 mientras que otros están en el
1S/A2.
El paso del 1S/A3 al 2S/A2, como es el caso de Cri (5,5) significa que hay niños
que realizan correctamente la correspondencia serial, pero cuando deben usarla para
describir una posición ordinal o bien lo hacen con dificultad, o simplemente lo hacen
pero sin expresar ninguna justificación vía correspondencia serial realizada previamente
Cri. (5,5). E. Es en 1-sí, en 2-no,, venga sigue tú. C. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no,
en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí, en el 10-no. E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón
está?. ¿come?. C. En el sí. E. En el 7 ¿come?. C. No. E. ¿Cómo averiguas si es que sí o si es que
no?. C. Que sí come..
Para los niños que están en el 3S/A2, 2S/A2, 1S/A3 se puede interpretar lo
siguiente:
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
147
Los niños que realizan de primera instancia la correspondencia serial sin
dificultad aparente (1S/A3) y no la usan para justificar la descripción de una
posición ordinal (2S/A2), son niños que no justifican las relaciones lógicas
ordinales que se da entre los términos de la secuencia numérica usando la
alternancia como instrumento de comparación.
Con esta interpretación llegamos a la siguiente conclusión:
Conclusión 4-S/A. El hecho de realizar con éxito la correspondencia serial
secuencia numérica/alternancia no garantiza el uso para determinar y describir una
posición ordinal a través de ella, ni tampoco que la alternancia sea instrumento de
comparación en la justificación del establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre
los términos de la secuencia numérica
Análogamente, para los niños que presentan estas categorías de respuestas:
3S/A2, 2S/A2 y 1S/A2 se interpreta como que los niños que ya presentan algún tipo de
dificultad en la realización de la correspondencia serial (1S/A2) no dan justificaciones
ni de la descripción de una posición ordinal a través de ella ni de la anticipación,
respecto a la correspondencia serial, del siguiente inmediato de una posición ordinal
dada como dato.
III.
Dentro de los niños que llegan a realizar la correspondencia serial con
algún tipo de dificultad (1S/A2), nos encontramos con respuestas
respecto al segundo bloque de dos categorías: 2S/A2, como es el caso de
Pat. (4,6), Nar. (4,8) ó Sal. (4,11)9, o bien 2S/A1 como por ejemplo Mar.
(3,3) ó Sal (3,4)10.
Por tanto, los niños de respuestas 1S/A2 no tienen porqué ser capaces de resolver
cuestiones sobre posiciones ordinales en las que interviene dicha correspondencia. Con
ello se corrobora la conclusión anterior.
IV.
Los niños que responden al azar en cuanto a la tercera cuestión, 3S/A1,
son niños que con respecto al segundo bloque están en: 2S/A1 ó 2S/A2,
y con respecto al primero: 1S/A1 ó 1S/A2.
Hay niños que llegan a dar la respuesta correcta con ayuda del entrevistador en
las dos primera cuestiones y sin embargo responden al azar en las cuestiones en las que
tienen que usar la alternancia para comparar, términos consecutivos de la secuencia
numérica y con ello establecer relaciones lógicas ordinales, como es el caso de Nar.
(4,8):
Nar. (4,8). E. En el 1- sí, en el 2-no, …,venga sigue tú. N. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en
el 7-sí (señala el 9). E. ¿Este es el 7?. N. ¿El 8? … E. Venga empezamos de nuevo. N. En el 1-sí, en
el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no, en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí y en el 8-no
(señala el 10)…. E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿sabes en qué escalón está?, ¿Ahí come?. N. Es
el 3 y sí come. E. ¿Por qué?. N. Porque me acuerdo. E. ¿Y éste? (Señala el 4), ¿come?. N. Es el 4 y
no come. E. ¿Por qué?. N. Porque me acuerdo…. E. El osito está en el 6 y no come pan, ¿qué ocurre
en el 7?. N. No come porque me acuerdo. E. Te recuerdo que en el 6 no come, ¿cuál es el 7?. N. Este
(señala el 7). E. ¿Come?. N. Sí come porque me acuerdo. E. ¿Y en el 8?. N. Sí porque me acuerdo.
9
Ver Anexo 4.4, ps. 321-326
Ver Anexo 4.4.
10
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
148
Por lo tanto deducimos la siguiente conclusión:
Conclusión 5-S/A. Un niño puede resolver (aunque con cierta dificultad) las dos
primeras cuestiones sobre la correspondencia serial y la determinación a través de ella
de una posición ordinal y no tener totalmente construidas las relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica y que responden al azar cuando se
trata de comparar dos términos consecutivos de la misma
V.
Los niños que no entienden nada cuando se les pide que realicen la
correspondencia serial, es decir los que responden de la forma 1S/A0,
coincide con el conjunto de niños que no entienden nada con respecto a
la segunda cuestión (2S/A0) y estos mismos niños siguen sin entender
nada cuando planteamos las cuestiones del tercer bloque (3S/A0).
Sin embargo, algunos niños, como es el caso de Ir. (3,9)11, mejoran la respuesta del
1S/A y 2S/A con respecto al tercer bloque, es decir, llega a hacer algo con respecto a la
realización de la correspondencia serial (1S/A1) y la descripción de las posiciones
ordinales (2S/A1) pero no entienden nada de la comparación de términos a través de la
correspondencia. (3S/A0).
12.3. Niveles en la tarea Secuencia Numérica / Alternancia. S/AN
Definimos los siguientes subniveles (Tabla S/A-3) para la correspondencia serial
al tener en cuenta la escalabilidad en las respuestas expuesta en el diagrama de la fig. 1S/A y cuya interpretación se ha presentado en el apartado anterior:
S/AS0
S/AS1
S/AS2
S/AS3
S/AS4
S/AS5
S/AS6
S/AS7
1S/A0
1S/A1
1S/A1
1S/A2
1S/A2
1S/A2
1S/A3
1S/A3
2S/A0
2S/A1
2S/A1
2S/A1
2S/A2
2S/A2
2S/A2
2S/A3
3S/A0
3S/A0
3S/A1
3S/A1
3S/A1
3S/A2
3S/A2
3S/A3
Tabla S/A-3. Definición de subniveles de la correspondencia serial
Al igual que venimos haciendo en las dos tareas anteriores, debemos hacer notar
que, como consecuencia de la codificación usada en las respuestas según la cual kS/Ai
es más evolucionada cuanto mayor sea i, con i variando de 0 a 3, tenemos que S/ASi es
más evolucionado cuanto mayor sea i, con i variando de 0 a 7.
A partir de los subniveles y con la reagrupación de los mismos establecemos los
niveles para la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia en la tabla S/A-4,
11
Ver Anexo 4.4.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
149
siguiendo el orden natural de los números de 0 a 3 para indicar del menos al más
evolucionado, es decir S/AN0 es el menos evolucionado mientras que S/AN3 es el más:
NIVELES DE SECUENCIA
NUMÉRICA/ALTERNANCIA
S/AN0 S/AS0 S/AS1 S/AS2
S/AN1 S/AS3 S/AS4
S/AN2 S/AS5 S/AS6
S/AN3 S/AS7
Tabla S/A-4. Definición de niveles en la tarea de correspondencia serial
Los criterios de reagrupación de subniveles para determinar los niveles han sido:
•
•
•
•
Los subniveles en los que aparece la respuesta menos evolucionada del tercer
bloque se reagrupan en el nivel S/AN0, incluyendo también aquel en el que
aparecen las respuestas que se dan al azar.
El nivel S/AN1 es la reagrupación de subniveles caracterizados porque en
cuanto al tercer bloque se responde al azar, pero responden de forma algo más
evolucionada en los otros dos bloques.
S/AS5 y S/AS6 se reagrupan para dar S/AN2 porque en ambos se llega al
mismo grado en cuento la comparación de dos términos consecutivos de la
secuencia numérica mediante la alternancia (3S/A2)
Para S/AN3 hemos elegido las respuestas más evolucionas de cada bloque.
Atendiendo a esta codificación de niveles presentamos la tabla S/A-5 en la que
todos y cada uno de los niños entrevistados presentan un único nivel:
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
150
S/AN0
S/AN1
S/AN2
S/AN3
Pab. 3,1
Lou. 3,3
Mar. 3,3
Sal. 3,4
Luc. 3,9
Ir. 3,9
Mi. 3,10
Nu. 3,11
Fr. 4,0
Adr. , 4,1
An. 4,3
Beg. 4,6
Pat. 4,6
Nar. 4,8
Sal. 4,11
Ver. 4,11
Ja. 5,0
Esp. 5,2
Non. 5,2
Cri. 5,5
Is. 5,6
Clar. 5,7
Ari. 5,7
Ant. 5,9
Mar. 5,9
Par.5, 11
Mab.5,11
Tabla S/A-5. Distribución por niveles en la tarea de correspondencia serial de los niños de la
muestra
Si tenemos en cuenta la tabla S/A-5 y en ella leemos la frecuencia por edades en
cada uno de los niveles, obtenemos el siguiente gráfico (S/A-1), cuyo análisis lo
detallaremos cuando realicemos los estudios I y II del próximo apartado.
8
6
3 años
4
4 años
2
5 años
0
S/AN0
S/AN1
S/AN2
S/AN3
Gráfico S/A-1. Distribución de frecuencias por edades
en cada uno de los niveles considerados
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
151
12.3.1. Caracterización de los niveles
I. S/AN0. (1C0, 2C0, 3C0) ó (1C1, 2C1, 3C0) ó (1C1, 2C1, 3C1)
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
Son incapaces de realizar la correspondencia serial.
Responden al azar o no entienden nada sobre las cuestiones planteadas de
posiciones ordinales usando la correspondencia serial.
En éste nivel se encuentra 8 niños de los 27, lo que representa un 29,61%, su
distribución por edades es::
S/AN0
3 años
5
4 años
3
5 años
-
II. S/AN1. (1S/A2, 2S/A1, 3S/A1) ó (1S/A2, 2S/A2, 3S/A1)
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
•
Llegan a realizar la correspondencia serial aunque no sea de primera instancia.
Responden al azar o sin argumentos en las cuestiones referentes a la
determinación de una posición ordinal mediante la correspondencia serial.
Carecen de método sistemático para comparar un término numérico con otro a
través de la alternancia
En definitiva, los niños de este nivel se caracterizan porque son incapaces de
anticipar qué ocurrirá, respecto a la correspondencia serial, en una posición ordinal
determinada teniendo como dato lo que ocurre en otra.
El 11,1%, es decir 3 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su
distribución por edades es:
3 años
2
S/AN1
4 años
1
5 años
-
III. S/AN2. (1S/A2, 2S/A2, 3S/A2) ó (1S/A3, 2S/A2, 3S/A2)
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
Llegan a realizar la correspondencia serial
No comparan un término numérico con otro mediante la alternancia para la
descripción (a través de la correspondencia serial) de una posición ordinal.
En este nivel están los niños que realizan la correspondencia. Dan siempre la
respuesta correcta cuando tienen que determinar qué ocurrirá en una posición
determinada respecto a la correspondencia serial dando como dato lo que ocurre en otra,
pero no tienen argumentos para justificar su decisión. Esta falta de argumentación nos
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
152
hace pensar que los niños no disponen de una representación mental de la
correspondencia serial previamente realizada que les permita establecer relaciones
lógicas ordinales en una de las series usando la otra como instrumento.
De los 27 niños entrevistados, 7 son de este nivel, o sea un 25,925%, y su
distribución por edades es:
S/AN2
3 años
-
4 años
2
5 años
5
En este nivel están los niños de 5 años que no están en el nivel S/AN3
IV. S/AN3. (1S/A3, 2S/A3, 3S/A3).
Los niños de este nivel se caracterizan porque:
•
•
•
Realizan de primera instancia la correspondencia serial
Usan dicha correspondencia para determinar y describir una posición ordinal y
relacionarla con su anterior inmediato.
Comparan, mediante la correspondencia serial, una posición ordinal con otra
que puede ser el dato o no.
En definitiva, son los niños capaces de relacionar y comparar términos de la
secuencia numérica, estableciendo relaciones lógicas ordinales entre ellos, cuando
tienen que determinar posiciones ordinales mediante una correspondencia serial en la
que una de las series en litigio es dicha secuencia y la otra es una alternancia.
Conclusión 6-S/A. Los niños del nivel de correspondencia serial más evolucionado
usan la alternancia como instrumento de comparación entre los términos de la secuencia
numérica.
El 33,33%, es decir, 9 de los 27 niños entrevistados son de este nivel y su
distribución por edades es:
3 años
1
S/AN3
4 años
2
5 años
6
A continuación realizaremos dos estudios comparativos para los niveles de la
correspondencia serial y las edades de los niños de la muestra, análogos a los ya
realizados para las dos tareas previas. Las consideraciones sobre los diseños de las
tablas serán las mismas a las ya realizadas en la tarea de alternancia.
Estudio I. Comparación de respuestas de escolares del mismo nivel pero de
distintas edades.
1) El nivel S/AN0 por edades según los subniveles S/AS0, S/AS1 y S/AS2
.
Teniendo en cuenta la tabla S/A-6:
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
Nivel 0/Años
S/AN0, 3
S/AN0, 4
S/AN0, 5
Frecuencia
5
3
-
153
Fre/S/AS0
4
2
-
Fre/S/AS1
1
-
Fre/S/AS2
1
-
Tabla S/A-6
Observamos que la frecuencia de niños de este nivel disminuye con la edad,
tendiendo a desaparecer a partir de los 5 años.
Observamos:
a) No hay niños de 5 años en este nivel
b) Encontramos a niños de 3 y 4 años, aunque son más frecuentes los
primeros, situándose en su gran mayoría en el subnivel menos
evolucionado.
2) El nivel S/AN1 por edades según los subniveles S/AS3 y S/AS4.
Considerando la tabla S/A-7
Nivel 1/Años Frecuencia
2
S/AN1, 3
1
S/AN1, 4
S/AN1, 5
Fr/S/AS3
2
-
Fr/S/AS4
1
-
Tabla S/A-7
Hacemos las siguientes observaciones:
a) No hay niños de 5 años en el nivel 1, todos los niños entrevistados están en
niveles superiores.
b) Los niños de 3 años de este nivel responden peor que los de 4 años, ya que
los primeros se encuentran en S/AS3, y los segundos son de S/AS4. La
diferencia se encuentra en que los niños de 3 años responden al azar las
cuestiones en las que tienen que usar la correspondencia serial en la
determinación de posiciones ordinales, mientras que los de 4 años llegan
incluso a determinarla.
3) Vamos a estudiar los del nivel S/AN2 por edades según los subniveles S/AS5 y
S/AS6.
Consideramos la siguiente tabla,
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
154
Nivel 2/Años
S/AN2, 3
S/AN2, 4
S/AN2, 5
Frecuencia
2
5
Fre/S/AS5
2
4
Fre/S/AS6
1
Tabla S/A-8
Observamos que no hay niños de 3 años en el nivel 2; al igual que en la tarea de contar,
estos niños se quedan en niveles inferiores (su gran mayoría) o existe una minoría que
llega al nivel superior. Los de 4 años que están en éste nivel se encuentran en el
subnivel S/AS5, y tenemos que ir a los de 5 para encontrar niños en el subnivel S/AS6
Los niños de 4 años de este nivel, como son Pat (4, 6), Sal (4,11)12 se diferencian,
fundamentalmente, de los de 5 años del mismo nivel en que los primeros consiguen
realizar la correspondencia serial con dudas y equivocaciones mientras que entre los
segundos nos encontramos con aquellos que entienden de primera instancia el criterio.
No hay diferencias significativas por edades entre los niños de este nivel.
4) El nivel S/AN3 por edades.
Considerando la tabla S/A-9
Nivel 3/Años Frecuencia
1
S/AN3, 3
2
S/AN3, 4
6
S/AN3, 5
Fr/3S/A31
1
2
1
Fr/3S/A32
5
Tabla S/A-9
Encontramos diferencia en las respuestas del tercer bloque, aunque todos ellos (los del
nivel 3) han respondido de la forma 3S/A3 (cuestión: “anticipar lo que va a ocurrir
respecto a la correspondencia serial, en una posición determinada dando otra como dato
numérico; y las respuestas se caracterizan porque son correctas y la justifican con una
relación lógica ordinal), los niños de 3 y 4 años no tienen en cuenta el dato (3S/A31)
mientras que en 5 años nos encontramos con niños de 3S/A31 y 3S/A32.
Estudio II. Comparación de respuestas de escolares del mismo año pero de
distintos niveles
1) 3 Años.
Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
12
Ver Anexo 4.4.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
3 años
S/AN0
5
155
S/AN1 S/AN2 S/AN3
2
1
Observaciones:
a) Siete de los ocho niños de 3 años están en los niveles S/AN0 y S/AN1. Esto
significa que la mayoría de los niños entrevistados o bien responden al azar o
bien no entienden las cuestiones planteadas en las que tienen que usar la
alternancia como instrumento de comparación entre los términos de la
secuencia numérica.
b) Tan sólo nos encontramos con un niño en el nivel S/AN3 y ninguno en
S/AN2, por lo tanto, la mayoría de los niños de tres años aún llegando a
realizar la correspondencia serial (hay dos que sí lo hacen además del niño
del nivel S/NA3) no la tienen como representación mental que resuelve
problemas.
2) 4 Años.
Ocho de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
4 años
S/AN0
3
S/AN1 S/AN2 S/AN3
1
2
2
Observaciones:
a) La mitad de los niños de 4 años están en los niveles S/AN3 y S/AN2, y la
otra mitad la encontramos en los niveles más bajos. Esto significa que la
mitad de los niños entrevistados o bien responden al azar o bien,
mayoritariamente, no entienden las cuestiones planteadas sobre posiciones
ordinales usando la alternancia como instrumento de comparación de
términos numéricos.
b) El número de niños de los niveles S/AN3 y S/AN2 se reparte por igual entre
ellos, lo cual significa que los niños de 4 años que describen y usan la
correspondencia serial para realizar comparaciones ordinales entre los
términos numéricos pueden llegar a justificar su razonamiento o no.
c) El aumento de esta frecuencia a favor de los niveles S/AN3 y S/AN2 con
respecto a los niños de 3 años, se establece para incrementar el nivel S/AN3
y se dé la aparición de casos para el segundo nivel. Por tanto, los niños de 4
años, con respecto a los de 3, usan instrumentos como la alternancia para
establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica.
3) 5 Años.
Once de los veintisiete niños entrevistados son de esta edad y su distribución por
niveles es la siguiente:
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
156
5 años
S/AN0
-
S/AN1 S/AN2 S/AN3
5
6
Observaciones:
a) Todos los niños de 5 años entrevistados están en los niveles S/AN2 y S/AN3,
por tanto no hay niños de 5 años que no entiendan las cuestiones planteadas.
b) Todos los niños de 5 años son capaces de usar la alternancia como
instrumento de comparación entre los términos numéricos, muchos de ellos
llegan incluso a justificar el razonamiento que ponen en funcionamiento
cuando resuelven problemas ordinales en los que deben manifestar
relaciones lógicas ordinales dadas por la correspondencia serial previamente
construida.
13. Estudio comparativo de las tres tareas
Para ello consideraremos la tabla 1 que es síntesis de las tablas A-2, C-2 y S/A-2
expuestas en este mismo capitulo, donde aparece la distribución de respuestas de cada
niño por casos y bloques sobre cada una de las tareas T1, T2 y T3.
En dicha tabla se introduce una novedad en la forma de codificar las respuestas. Para
su interpretación debemos añadir a las precisiones de cualquiera de las tablas de la que
es síntesis, lo siguiente:
•
Cada casilla de la primera fila indica un bloque de respuestas en cada una de las
tareas consideradas (Alternancia, Contar, Secuencia Numérica/Alternancia). Cuando
se pasa de un bloque de una tarea a otro en la tabla, la línea de separación entre
columnas queda marcada por el grosor de la misma.
•
Para cada una de las tres tareas se considera los bloques establecidos en la
codificación realizada en el capítulo anterior, estas son: iA, iC, iS/A con i variando
de 1 a 3. Cuando se pasa de un bloque a otro la línea de separación entre columnas
es diferente.
•
Cada una de las casillas de la primera fila divide al resto de la tabla en cuatro
columnas. Las cuatro casillas de la segunda fila correspondientes a una celda
determinada de la primera constan cada una de ellas de un número k entre 0 y 3. Ello
significa, y aquí está la novedad de esta nueva codificación, que si la respuesta de un
niño en el bloque 1A fue, por ejemplo, 1A3 entonces se marca la casilla
correspondiente al número 3.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
1A
0
1
2
2A
3
0
1
2
3A
3
0
1
2
157
1C
3
0
1
2
2C
3 0
1
2
3C
3
0
1
2
1S/A
3
0
1
2
2S/A
3
0
1
2
3S/A
3
0
Pab. 3,1
Lou. 3,3
Mar. 3,3
Sal. 3,4
Luc. 3,9
Ir. 3,9
Mi. 3,10
Nu. 3,11
Fr. 4,0
Adr., 4,1
An. 4,3
Beg. 4,6
Pat. 4,6
Nar. 4,8
Sal. 4,11
Ver. 4,11
Jav. 5,0
Esp. 5,2
Non. 5,2
Cri. 5,5
Is. 5,6
Clar. 5,7
Ari. 5,7
Ant. 5,9
Mar. 5,9
Par.5,11
Mab.5,11
Tabla 1. Síntesis de las tablas de distribución de respuestas de cada niño por casos y bloques sobre cada
una de las tareas T1, T2 y T3 del estudio exploratorio.
Con la nueva codificación podemos evaluar la respuesta de cada niño con un número
k que varía de 0 a 3. De esta forma, que un niño obtenga la puntuación: 0, 1, 2 ó 3 en
cada uno de los bloques de respuestas iA, iC ó iS/A significa que su respuesta
corresponde a la categoría de ese bloque es iAk, iCk ó iS/Ak siendo k la puntuación,
entre 0 y 3, que hubiera obtenido (debemos puntualizar que k no tienen porqué ser el
mismo número en los tres casos).
Con esta evaluación de respuestas podemos ver que las tareas T1, T2 y T3 están
jerarquizadas en el sentido que se expresa en la figuna 1 que es el siguiente: Si la
puntuación de un niño en el bloque iS/A es z, en iA es x y en iC es y entonces “z es
menor o igual que x”, y “z es menor o igual que y”.
:
Fig. 1. Esquema arbóreo evolutivo de las tres tareas del estudio exploratorio
1
2
3
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158
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
Ello significa que si un niño realiza bien alguna de las actividades de la tarea T3
es porque ha respondido con éxito a las actividades homólogas13de las tareas T1 y T2,
presentándose ese mismo esquema arbóreo entre dichas actividades homologas (fig. 2)
Entre las tareas T1 y T2 no se dan la comparación en el sentido que estamos
definiendo, ya que como pudimos ver en el apartado 11 de este mismo capítulo, existen
niños de la muestra, de 3 años, que empeoran la respuesta en la tarea de contar con
respecto a la alternancia, mientras que encontramos niños de 4 años a los que ocurre lo
contrario; siendo ese el motivo por el que las tareas T1 y T2 aparecen en el mismo nivel
en el diagrama jerárquico de la figura 1.
Fig. 2. Esquema arbóreo evolutivo de las fases homólogas en cada una de las tareas del estudio
exploratorio
Todo ello indica que hay niños que usan la alternancia y/o el conteo
adecuadamente14 y sin embargo no son capaces de usar la correspondencia serial
Secuencia Numérica/Alternacia como instrumento secuencial para resolver los mismos
problemas ordinales. Estos niños se encuentran, mirando en la tabla 1, a partir de los
cuatro años y medio.
Esta jerarquía, desde el punto de vista evolutivo, muestra que en primer lugar los
niños son capaces de realizar con un cierto nivel de éxito (este éxito se evalúa de 0 a 3)
actividades en las que usan la acción de contar o la alternancia para determinar o
resolver problemas ordinales antes que la resolución de los mismos problemas ordinales
en la propia secuencia numérica.
14. Conclusiones evolutivas del estudio exploratorio
En las páginas anteriores se ha detallado los análisis efectuados sobre las
respuestas dadas por los niños de la muestra a la entrevista del estudio exploratorio. En
dichos análisis se apunta hacia una evolución marcada por la permanencia de algunas
características del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica y, al mismo
tiempo, por la aparición de otras nuevas al pasar de una fase de una tarea dada
(alternancia, contar, secuencia numérica/alternancia) a otra y de unas edades a las
siguientes.
Con la intención de aportar una visión global de los resultados obtenidos,
realizamos a continuación una síntesis de los mismos desde la óptica de las
competencias lógicas-ordinales involucrando su evolución:
13
Son actividades homólogas: iA, iC, iS/A con i variando de 1 a 3,siendo iA, iC, iS/A los bloques
considerados en cada una de las tareas correspondientes.
14
Esto se observa en el Anexo 2.5, mirando los bloques 2S/A y 3S/A que son donde se usan una
secuencia como instrumento para resolver un problema ordinal. En estos bloques encontramos niños con
la puntuación 3 en 2A, 2C y 3A, 3C, mientras que en 2S/A y 3S/A obtiene un 2.
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Capítulo IV. Estudio exploratorio cualitativo.
159
a) La realización correcta de la acción de contar no garantiza que se use como
estrategia para resolver problemas ordinales.
b) Los niños mayores (5 años) usan preferentemente estrategias de siguiente
inmediato teniendo en cuenta una posición dada como dato para obtener otra;
mientras que niños más pequeños (4 años) usan preferentemente el conteo
como estrategia para determinar una posición lógica-ordinal15.
c) Los niños más pequeños (3 años) resuelven mejor las cuestiones de
“siguiente inmediato” relativos a la alternancia que las relativas al conteo. A
los 4 años les ocurre lo contrario. Los de 5 llegan a trasladar mentalmente las
relaciones lógicas ordinales presentes entre los términos de la secuencia
numérica a otro tipo de secuencia, como la alternancia, para la resolución de
problemas ordinales usando como herramienta dicha secuencia.
d) La comparación de términos numérico mediante la alternancia denota la
capacidad de establecer las relaciones lógicas-ordinales entre los términos de
la secuencia numérica. Los niños que establecen dichas relaciones son los
que describen una posición lógica-ordinal mediante la correspondencia serial
secuencia numérica/alternancia.
e) El éxito en la construcción de la correspondencia serial secuencia
numérica/alternancia no garantiza su uso como herramienta para la
determinación de una posición lógica-ordinal, y por tanto no se garantiza el
éxito en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos
de la secuencia numérica.
f) Las respuestas que manifiestan relaciones lógicas ordinales entre los
términos de la secuencia numérica están presentes en los tres cursos que
intervienen en el estudio, con un aumento considerable al pasar de 4 a 5
años. Estos niños son capaces de usar la alternancia como instrumento de
comparación entre los términos de la secuencia numérica.
Del análisis de la tabla 1 (apartado 13) en la que se recoge todas y cada una de
las respuestas de los niños de la muestra en todas y cada una de las tareas presentadas
observamos lo siguiente: a partir de los cuatro años y medio16 todos los niños obtienen
la puntuación 2 ó 3 en todas y cada una de las pruebas realizadas. Las respuestas tienden
a la no-dispersión que se da en la parte de arriba de la tabla hasta llegar a Pat (4,6).
Dentro de esta no-dispersión de respuestas vemos como las correspondientes a las
actividades de la tarea 2: Contar, obtienen una mayor homogeneización17con respecto a
las otras dos. En particular si comparamos las respuestas del segundo bloque de esta
tarea (columna 2C) con la correspondiente a la Alternancia (2A) vemos como la primera
está totalmente concentrada en una única columna mientras que la segunda se distribuye
en dos. A partir de ello obtenemos la siguiente conclusión importante desde el punto de
vista evolutivo:
15
Llamamos “posición lógica-ordinal” a la comparación de una posición ordinal con otra dada como
dato.
16
A partir de Pat (4,6) en la tabla.
17
Se concentra mayor número de respuestas en la misma columna (la de puntuación 3).
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
“A partir de los cuatro años y medio los niños tienen un dominio del
conteo18 que les permite determinar posiciones ordinales y lógicas-ordinales”
El conteo es determinante en la homogeneización de los otros bloques de
actividades, ello quiere decir que cuando se da el dominio del conteo empieza la
homogeneización en el resto de tareas y con ello se llega al dominio de alternancia y al
de Secuencia Numérica/Alternancia, entendiendo ésto como la generalización del
dominio del conteo, sólo que en cada caso se coge como instrumento secuencial (ó
sucesión de siguientes) la alternancia, secuencia numérica, ó correspondencia serial
entre ambas.
La dispersión de respuestas presente antes de los cuatro años y medio, manifiesta
que los niños están construyendo esquemas mentales secuenciales (relaciones lógicas
ordinales) que se manifiestan más claramente en series no numéricas como la
alternancia antes que en la propia secuencia numérica, y es que no han alcanzado, aún,
el dominio del conteo que es el determinante de las dos clases de niños. Ello justifica el
que los niños de tres años respondan mejor a las cuestiones sobre siguiente ó siguiente
inmediato usando la alternancia como instrumento secuencial que a las mismas
cuestiones pero con el conteo como instrumento.
18
Denominamos dominio de conteo al uso de éste en la determinación de posiciones ordinales y lógicasordinales.
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CAPITULO V
MODELO EVOLUTIVO DE COMPETENCIAS ORDINALES
1. Introducción.
El principal objetivo de la investigación es describir el conocimiento lógico
ordinal de la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años. El estudio exploratorio
desarrollado en el capítulo anterior permitió, en tal sentido, abordar el problema y
obtener resultados relevantes.
En el citado estudio hemos caracterizado y analizado los resultados de las tres
tareas ordinales tratadas en la entrevista para dar significado a los comportamientos
generales y a las situaciones singulares encontradas, así como a los procedimientos,
destrezas y estrategias ordinales en niños de 3 a 6 años, y con ello dirigirnos hacia un
modelo evolutivo que explique las competencias ordinales en estos niños (Hipótesis
H6).
Las respuestas a las tareas analizadas en el capítulo anterior denotan la
existencia de regularidades y la posibilidad de clasificarlas, con una evidente evolución
de las distintas categorías. Ello nos permitirá caracterizar diferentes perfiles del
conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica, así como su evolución.
Tales tareas sirven para detectar diferencias en las competencias ordinales de los
niños, debido a la jerarquía que se da entre ellas. Todo ello nos conducirá a clasificar los
niños de la muestra en distintos niveles de competencias lógico-ordinales de la
secuencia numérica.
Debemos hacer constar que con este capítulo no pretendemos realizar una
clasificación generalizable, sino tan sólo clasificar a los individuos de nuestra población
y poder relacionar las categorías que obtengamos con distintos estados intelectuales o
con distintas habilidades lógicas ordinales. Todo ello independientemente de su
posible generalización.
Los aspectos mencionados se abordan en el presente capítulo como
consecuencias importantes del estudio exploratorio y del análisis didáctico. Del primero
tomamos las categorías que determinan la jerarquía de las tres tareas y perfilamos el
conocimiento evolutivo de las competencias lógicas ordinales según todas las
conclusiones parciales obtenidas en el capítulo anterior, y del segundo (junto con el
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
162
primero) obtenemos los distintos estados intelectuales que relacionan las distintas
categorías.
2. Modelo evolutivo del conocimiento lógico ordinal de la secuencia
numérica
Nos proponemos desarrollar un modelo de competencias cognitivas de carácter
evolutivo sobre el conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica que explique e
integre los siguientes factores:
La progresión en el descubrimiento de las relaciones lógicas ordinales
entre los términos de la secuencia numérica por parte del sujeto individual
Las características en el uso de la secuencia para determinar una posición
ordinal ó lógica-ordinal
Los tipos de relaciones lógicas ordinales que se toman en consideración
La evolución de las competencias lógicas-ordinales al pasar de un nivel
evolutivo a otro superior
Para ello además de tener en cuenta los resultados del estudio exploratorio como
información fundamental es necesario:
1
•
Realizar un análisis exhaustivo de cada una de las tareas ordinales
propuestas, así como de los esquemas secuenciales (relaciones lógicas
ordinales) atribuibles a cada uno de los instrumentos secuenciales
presentados: alternancia, secuencia numérica y correspondencia serial entre
ambas.
•
Determinar las posibles interpretaciones que pueda establecer el niño acerca
de las relaciones lógicas ordinales cuando describe una posición ordinal ó
lógica ordinal y asignar a cada una de ellas un estatus evolutivo que tenga en
cuenta los datos conocidos sobre la evolución del conocimiento involucrado,
tanto en su filogénesis, expuesta en el análisis didáctico, como en la
ontogénesis de determinados conceptos, tales como el espacio, el tiempo, el
lenguaje, etc.
•
Delimitar los distintos tipos de tareas ordinales y construir las que se puedan
adaptar mejor a las distintas interpretaciones y niveles de competencias
•
Examinar el desarrollo curricular de la acción de contar1 y analizar su
incidencia en las tareas y competencias en estudio, teniendo en cuenta que el
desconocimiento, por ejemplo, del principio de orden estable puede dificultar
o impedir la ejecución de algunas tareas ordinales.
•
Ordenar los tipos de respuestas en categorías y delimitar las características
que las definen (lo que luego llamaremos “perfiles del conocimiento lógico
ordinal”) teniendo en cuenta los resultados de todos los puntos anteriores
expuestos, es decir, la construcción del modelo.
En el examen del desarrollo curricular se involucra los principios del conteo de Gelman y Gallistel.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
163
La opción que hemos elegido para la exposición del modelo teórico es la de un
razonamiento progresivo, a partir de los aspectos más elementales hasta los más
complejos y de las edades inferiores a las superiores, resumido y estructurado por etapas
o aproximaciones. Cada aproximación corresponde a un estado diferente, que viene
especificado por su descripción y justificación así como por las competencias teóricas
que le corresponden desde un punto de vista de la progresión de las capacidades
correspondientes en un sujeto individual ideal.
Estado I.
Etiquetaje.
En el inicio de las primeras nociones ordinales, el niño no está aún en
disposición de interpretar una secuencia desde el punto de vista lógico-ordinal.
Teniendo en cuenta el subsistema lingüístico relativo a la seriación (Sinclair de
Zwart, 1978), el niño pasa por tres fases previas hasta alcanzar la “serie comparativa en
un sentido” y culminar con la “serie comparativa en los dos sentidos”; dichas fases
consisten en asignar un término a cada elemento de la serie2 para diferenciarlos pero no
para compararlos.
Por consiguiente, establecemos que la primera aproximación para alcanzar las
relaciones lógicas ordinales en cualquier serie es la diferenciación de sus elementos,
para lo cual se debe indicar, bien de manera motora con el señalamiento, ó bien
mediante el lenguaje con una etiqueta ó palabra, cada elemento de la serie; es decir, a
cada elemento le corresponde un único señalamiento o ser etiquetado una sola vez. Los
niños que hacen un gesto rasante para describir la serie estarán por debajo de este
estado.
Estado II.
Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie
cualquiera usando esquemas infralógicos.
Una vez diferenciados los términos de una serie mediante el etiquetaje podemos
aplicar una interpretación espacial ó temporal de la misma y manifestar con ello los
primeros esquemas comparativos entre los términos de la serie.
Según Piaget (1981), la construcción del espacio matemático, por parte del niño,
comienza en los aspectos topológicos, para pasar, posteriormente, a los proyectivos y
euclídeos. Uno de estos aspectos es el orden de los puntos sobre una línea, el cual hace
posible la construcción de referencias ordinales: al lado de, para adelante ó para atrás,
que se transfieren a las series. De este modo, al indicar que un elemento está al lado del
otro estaremos indicando el “siguiente inmediato”, y la cuestión de cómo se comparan
dos términos cualesquiera no consecutivos se resuelve con las relaciones “hacia
delante” ó “hacia atrás” tomando como referencia uno de los términos a comparar que
de esta forma se convierte en “primer y último elemento” al dividir la línea de puntos en
dos clases: todos los que están delante y todos los que están detrás.
2
Estos términos son de tipo dicotómico, como por ejemplo grande-pequeño, en la fase dicotómica; ó
tricotómico: grande-mediano-pequeño en la fase tricotómica ó todos distintos para cada uno de los
elementos de la serie en la fase de etiquetaje.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
164
Asimismo, el orden lineal espacial es considerado por muchos autores como una
noción primitiva para la comparación ordinal de los números:
“La idea de orden de los puntos sobre una recta es una de las nociones geométricas
primitivas. Es un modelo matemático de la concepción intuitiva de comparación de números
enteros” (Dieudonné, J. 1989, p. 194).
Por consiguiente, establecemos que el primer soporte intuitivo-espacial del que el
niño dispone para organizar e interpretar una realidad ordinal está relacionado con el
concepto de línea y, en particular, con el concepto de orden topológico de un conjunto
finito de puntos pertenecientes a una línea (conjunto que debe contener al menos tres
puntos).
Análogamente, el orden temporal, como conocimiento igualmente infralógico
(según taxonomía piagetiana), constituye un soporte intuitivo importante de referencias
ordinales que se transfieren a las series.
Estado III. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie
cualquiera usando la alternancia como instrumento secuencial.
Se utiliza una secuencia para etiquetar los elementos de una serie. Dicha secuencia
es la que permite el estudio de la comparación ordinal entre los elementos de la misma.
En el estado anterior la secuencia que se usaba como instrumento de etiquetación
y comparación era la línea topológica en la que no era necesaria la verbalización ni el
conocimiento memorístico. En este estado es necesario que el niño aplique esquemas
secuenciales y relaciones lógicas ordinales tales como:
Encadenamiento aditivo3 para la construcción de la alternancia que se usa
como instrumento, basados en esquemas infralógicos temporales: “y después,
y después, …”
Correspondencia serial entre orden lineal y alternancia
.
Cada elemento ocupa un lugar determinado: se empieza a caracterizar cada
elemento de la serie como único al compararlo con el anterior inmediato y el
siguiente inmediato.
3
Ver Anexos V, Apartado 5.1.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
165
En la alternancia, las relaciones ordinales entre elementos consecutivos se
manifiestan mediante una dicotomía, y esto, evolutivamente hablando, son conceptos
primarios según: clasificación conceptual de Stegmüller (1970), la génesis de la
clasificación de Piaget e Inhelder (1976), el lenguaje subyacente a la seriación de
Sinclair-Zwart (1978), entre otros.
Al aparecer en primer lugar la dicotomía se favorece la descripción de la serie por
alternancia. Pero además, usando la alternancia como instrumento secuencial, se puede
llegar a lo más alto teniendo en cuenta las ideas evolutivas de los autores citados
anteriormente:
a) Etiquetación: cuando se etiqueta a cada uno de los términos de la serie con un
sí ó un no.
b) Serie comparativa en un sentido: se manifiesta cuando el niño tiene que
describir lo que ocurre en una posición dada, es decir determinar una posición
ordinal a través de la alternancia empezando por el primer elemento. Esto
corresponde, según nuestro análisis lógico-matemático de la secuencia, a que
la alternancia (identificada como un instrumento secuencial) es una sucesión
de siguientes que empieza en el primer elemento.
c) Serie comparativa en los dos sentidos: se alcanza cuando el niño determina
una posición lógica ordinal usando la alternancia, es decir, llega a determinar
una posición ordinal a partir de otra dada como dato usando la alternancia
como instrumento secuencial. Según el estudio realizado en el análisis
didáctico de la estructura lógica de seriación, los esquemas lógicos
matemáticos que se manifiestan son (entre otros):
Tramo finito en la sucesión de siguientes: esquemas de primero y
último
Cada elemento ocupa un lugar determinado: el sí siempre está entre
dos noes.
Comparativa en dos sentidos: Un término cualquiera es anterior a
uno y posterior a otro. Un término cualquiera de la clase de los síes es
anterior y posterior de un no.
Según el estudio exploratorio, a los tres años los niños empiezan a aplicar
esquemas lógicos-matemáticos propios de este estado.
Estado IV. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie
cualquiera usando el conteo como instrumento de comparación.
Se utiliza la acción de contar para la comparación lógica-ordinal entre los
elementos de la serie.
En el estado anterior la secuencia que se usaba como instrumento de etiquetación
y comparación era la alternancia en la que el esquema lógico-matemático subyacente
era la dicotomía, mientras que en este estado es necesario que el niño disponga de una
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
166
secuencia estable y convencional (principio de orden estable según Gelman y Gallistel,
1978) y del principio de correspondencia uno a uno de la acción de contar.
Además de aplicar los mismos esquemas secuenciales que en el estado anterior
(cambiando el instrumento secuencial), será necesario que el niño aplique esquemas
secuenciales y relaciones lógicas ordinales propias del conteo tales como:
Relación antisimétrica: alude a la comparación a través de la terminología
ordinal de dos términos cualesquiera de la serie usando el isomorfismo con el
orden secuencial de la secuencia numérica que se establece en la acción de
contar. Por lo tanto, con la acción de contar se establece una relación de orden
total, que además es orden completo y buena ordenación, entre los elementos
de la serie.
Todo elemento es primero y último: el elemento contado es tratado
simultáneamente como primero y último: primero de los que quedan por
contar y último de los que ya han sido contados.
Con el dominio del conteo se da:
a) Etiquetación: cuando se etiqueta a cada uno de los elementos de la serie con
un término numérico.
b) Serie comparativa en un sentido: se manifiesta cuando el niño tiene que
describir lo que ocurre en una posición dada, es decir determinar una posición
ordinal a través del conteo empezando por el primer elemento Esto
corresponde, según nuestro análisis lógico-matemático de la secuencia, a que
es una sucesión de siguientes que empieza por uno
c) Serie comparativa en los dos sentidos: se alcanza cuando el niño determina
una posición lógica ordinal usando el conteo. Siguiendo el estudio realizado
en el análisis didáctico de la estructura lógica de seriación, los esquemas
lógicos matemáticos que se manifiestan son:
La sucesión de siguientes es una caracteristica que se mantiene ante
cualquier división realizada en la secuencia numérica: el que un
término sea el siguiente de otro es independiente del término elegido
para el inicio.
Esquemas acumulativos del conteo: Al contar a partir de un término
a, dado como dato, para localizar otra posición ordinal b,
establecemos, paso a paso, el esquema acumulativo siguiente: “Un
término al ser enumerado, pasa de ser siguiente de uno dado a ser el
primero de una nueva división de la secuencia a partir del cuál se
puede empezar a contar”
Según el estudio exploratorio, a los cuatro años y medio los niños manifiestan
esquemas lógicos-matemáticos propios de este estado.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
Estado V.
167
Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica usando la alternancia como instrumento de
comparación.
Se relacionan4 dos términos cualquiera de la secuencia numérica a la que se ha
sometido, previamente, a una correspondencia serial con la alternancia.
En los estados anteriores se comparaban dos elementos de una serie lineal discreta
usando como instrumento de comparación la alternancia (Estado III) o el conteo (Estado
IV). Pues bien, en este estado se sustituye la serie lineal por la secuencia numérica y
tratamos de comparar5 sus términos a través de la alternancia.
Desde el punto de vista evolutivo este estado es posterior a los anteriores según
los resultados del estudio exploratorio.
En este estado el niño aplicaría esquemas secuenciales y relaciones lógicas
ordinales tales como:
Primer y último elemento: se dan las relaciones inversas “anterior” y
“posterior” mediante un método sistemático de construir la secuencia
numérica vía la correspondencia serial.
Generación de series: cogiendo los correspondientes a los síes se da la
secuencia “contar de dos en dos empezando por uno”, es decir la serie de los
impares; y tomando los correspondientes a los noes se genera la serie de los
pares.
El dominio de la correspondencia serial Secuencia Numérica/Alternancia supone:
a) Etiquetación: cuando se etiqueta a cada uno de los elementos numéricos con
un término de la alternancia
b) Serie comparativa en un sentido: se manifiesta cuando el niño tiene que
describir lo que ocurre, respecto a la alternancia, en una posición numérica.
Aquí el niño establece la correspondencia serial de manera “global”
empezando desde uno. No tiene en cuenta, explícitamente, las relaciones
lógicas ordinales como la de siguiente inmediato, es decir, no manifiesta que
el homólogo de un número respecto a la alternancia es complementario a los
homólogos correspondientes al anterior y siguiente inmediatos.
c) Serie comparativa en los dos sentidos: se alcanza cuando el niño determina
una posición lógica ordinal de la secuencia numérica usando la
correspondencia serial dada.
La correspondencia serial conduce a la comparación ordinal entre dos
términos cualesquiera de la secuencia numérica a través de la relación
4
5
Relaciones lógicas-ordinales
El término “comparar” se debe entender como el establecimiento de relaciones lógicas ordinales.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
168
establecida por la alternancia, las relaciones dejarían de estar sometidas a la
conexión rígida de la comparación en un sentido y, ello, permitiría la
conservación de dichas relaciones establecidas en la descripción de la
correspondencia serial en la particularización de sus elementos; en este sentido,
el siguiente inmediato adquiere su significado según la alternancia, o mejor
dicho, el siguiente inmediato se traduce en ”si en a-sí entonces en a+-no” desde
que se descompone la correspondencia serial para examinar las relaciones
lógicas ordinales de un elemento particular con su siguiente inmediato ó con
cualquier siguiente.
Según el estudio exploratorio, a los cinco años los niños aplican esquemas
lógicos-matemáticos propios de este estado.
Estado VI. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica.
Se relacionan ordinalmente dos términos cualquiera de la secuencia numérica, en
ella cada término puede ser considerado en sí mismo en cuanto a sus relaciones lógicasordinales con todos los demás.
En este estado los niños alcanzan la sistematización de la secuencia numérica
según la estructura lógica de seriación6, y actúan sobre ella con estrategias ligadas a la
estructura serial (seriación cíclica y doble); todo ello hace que los niños sean capaces de
razonar ordinalmente sobre la secuencia numérica, tienen un dominio de la misma lo
que permite:
Contar de n en n
Solucionar ordinalmente a+b con el llamado recuento progresivo
Solucionar ordinalmente a-b con el llamado recuento regresivo
Estar en disposición de interpretar las tablas de multiplicar como
correspondencias seriales entre los términos de la secuencia numérica y
las series generadas a partir de ella como contar de n en n.
Afrontar toda la aritmética a partir del dominio ordinal de la secuencia
numérica.
Dado que este estado se puede identificar con el Bloque Numérico del Modelo
Teórico de Desarrollo del Razonamiento Inductivo Numérico (Ortiz Comas, A. 1997),
podemos indicar que los niños lo alcanzarían alrededor de los siete años.
El modelo teórico que acabamos de determinar se visualiza sintéticamente en la
tabla 1. Se produce el dominio de una visión totalizadora de los números naturales en su
aspecto ordinal desde el desarrollo del lenguaje, se aprecia una evolución que comienza
en el etiquetaje para pasar posteriormente, a un lenguaje secuencial y a un lenguaje
numérico específico. Además, desde las relaciones lógicas ordinales, se contempla una
6
Ver esquema de la figura 9 de Cap. III de este Informe.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
169
evolución desde estados con ausencias de las mismas, pasando por estados de
descubrimiento de relaciones con instrumentos secuenciales sencillos, a un estado en el
que la estructura operatoria de seriación se refleja en la secuencia numérica.
MODELO EVOLUTIVO
ESTADOS
CARACTERISTICAS
LÓGICAS MATEMÁTICAS
I.
Etiquetaje.
II.
Relaciones lógicas-ordinales entre
los términos de una serie cualquiera
usando esquemas infralógicos
Linealidad y orden topológico
Orden temporal
III.
Relaciones lógicas ordinales entre
los términos de una serie cualquiera
usando
la
alternancia
como
instrumento secuencial.
Posiciones lógicas ordinales con la
alternancia
Relaciones lógicas ordinales entre
los términos de una serie cualquiera
usando el conteo como instrumento
de comparación.
Posiciones lógicas ordinales con el conteo
Relaciones lógicas ordinales entre
los términos de la secuencia
numérica usando la alternancia
como instrumento de comparación.
Posiciones lógicas ordinales de la secuencia
numérica con la alternancia.
Relaciones lógicas ordinales entre
los términos de la secuencia
numérica.
Sistematización de la secuencia numérica
según la estructura lógica de seriación
Dominio ordinal de la secuencia numérica:
Contar de n en n, recuento progresivo,
recuento regresivo, cálculo mental.
IV.
V
VI
Diferenciar los elementos.
Tabla 1.Caracterización de los estados del modelo evolutivo.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
170
3. Plan de trabajo
En este apartado haremos referencia a la proyección del modelo que se acaba de
exponer en relación con la continuación del presente informe.
Con la construcción del modelo tenemos el propósito de validar la Hipótesis H6:
H6.
Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer
relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica
en niños de 3 a 6 años, se pueden organizar en un modelo teórico de
desarrollo que explica y describe la evolución del conocimiento lógico
ordinal de la secuencia.
Pero en el proceso de validación, debemos distinguir dos etapas desde el punto de
vista metodológico:
1ª Construcción del modelo
2ª Valoración empírica del modelo.
Con respecto a la primera etapa, se realizó el análisis didáctico para tener un
marco referencial y explicativo en el que se construye y justifica el modelo de desarrollo
de las competencias ordinales en niños de 3 a 6 años. Además de ello, se realiza un
estudio empírico exploratorio para obtener información de las habilidades y estrategias
utilizadas por los niños como indicadores de pautas ordinales que quedasen reflejadas
en el modelo. El hecho de considerar un estudio empírico exploratorio en la
construcción del modelo evolutivo teórico, hace que éste sea susceptible de una
validación empírica y con ello se da paso a la siguiente etapa.
La segunda etapa se orienta hacia la evaluación empírica del modelo, para ello
consideramos dos subetapas:
Construcción de una prueba adaptada al modelo. Para la preparación de
dicha prueba es necesario determinar tareas de competencias ordinales de
acuerdo con los esquemas lógicos matemáticos que aparecen en cada uno de
los estados del modelo teórico (Berthoud y Ackermann, 1986, Lagos, 1992,
Ortiz, 1997).
Una vez preparada la prueba sobre el universo de tareas considerado, será
necesario realizar un estudio empírico para confirmar la validación y
contrastación del modelo.
Hasta ahora llevamos desarrollada la primera etapa del plan indicado. Con
respecto a la segunda, vamos a dedicar lo que resta de capítulo a la primera subetapa, es
decir, a la construcción de una prueba adaptada al modelo evolutivo teórico. El próximo
capítulo estará destinado a concluir la segunda etapa realizando un estudio empírico
cualitativo en base a la prueba que determinemos.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
171
4. Viabilidad de una prueba asociada al modelo evolutivo.
En este apartado buscamos una prueba que forme parte de un diseño
experimental adecuado para un propósito muy concreto dentro de esta investigación,
que no es otro que el de validar empíricamente el modelo teórico evolutivo ya expuesto.
Al tratarse de un modelo evolutivo se pretende determinar diferentes estados de
conocimiento y las transiciones de unos estados a otros. En este sentido, no basta con
los métodos de observación pura y pruebas de rendimiento, sino que se hace más
adecuado un método clínico, esencialmente individual, cualitativo y no estandarizado
(Claparède, 1976; Vinh-Bang, 1966; Inhelder, Sinclair y Bovet, 1974). Dicho método
puede tener la siguiente forma:
Niño y experimentador actúan y hablan sobre una situación concreta.
Según las acciones individuales de los niños, las observaciones y las
respuestas a preguntas, el experimentador puede modificar la situación
concreta, ofrecer sugerencias o pedir explicaciones (Piaget y Apostel
1986; Bermejo y Lago 1991; Sophian, 1995, Ortiz, 2001).
En este sentido, hemos considerado adecuado aplicar el método anteriormente
expuesto en la construcción de la prueba, sin perder de vista que nuestras pretensiones
son las de evaluación de distintos estados que entran a formar parte de un modelo
evolutivo y la comparación entre los mismos. Es por ello que la prueba la conforma un
conjunto de tareas destinadas cada una de ellas al estudio y análisis de las características
lógicas matemáticas que se dan en cada uno de los estados. Por tanto, la prueba consta
de seis tareas, una por cada estado.
Debemos hacer notar que una vez que se construya la prueba, estaremos ante la
validación de la hipótesis H5 expuesta en el apart. 7 del capítulo I:
H5. Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un
diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas que
podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los esquemas
lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.
En los apartados sucesivos definimos las tareas mediante un método sistemático
que hace que todas ellas tengan unas características comunes para conformar la prueba
en el sentido del método anteriormente señalado. Para ello, debemos partir de
situaciones concretas con materiales y presentación comunes. Estas situaciones
concretas de las que hablamos se plantean a partir de un material concreto7: escalera (de
unos 25 cm. de ancho por 10 cm. de alto), Piolínes ( 5cm. de alto), dos tabiques (10x14
cm.) y migas de pan. Dependiendo de los estados, los niños deben colocar pan, colocar
Piolines según datos previos, contar escalones, realizar correspondencias seriales, etc.
7
De los materiales y del diseño de la prueba en general se hablará más extensamente en el siguiente
capítulo.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
4.1. Tareas asociadas a los Estados del Modelo Evolutivo.
Para cada uno de los estados pasamos una tarea que conlleva las características
lógico matemáticas del mismo8
El procedimiento seguido queda sistematizado en el cuadro de la figura 1; lo
explicamos a continuación:
• Cuando indicamos Estado K, la letra K toma sucesivamente los valores I, II,
III, IV, V y VI.
• La tarea específica para cada uno de los estados, se inicia con una situación
de partida que llamaremos Situación K1.
• La situación K1 divide a los niños en dos categorías: los que la resuelven y
los que no lo hacen. La primera queda codificada como K1a, y la segunda
como K1b
• A los niños de la categoría K1b se les presenta otra situación, llamada
Situación K2.
• La situación K2 divide a los niños de K1b en dos categorías: los que la
resuelven, codificada como K2a, y los que no lo hacen, codificada como
K2b.
• Los niños de la categoría K2b no siguen la prueba, o bien pasan a otra tarea,
y son de un estado inferior al considerado.
• A los niños de la categoría K2a se les presenta otra situación, llamada
Situación K3.
• La situación K3 divide a los niños de K2a en dos categorías: los que la
resuelven, codificada como K3a, y los que no lo hacen, codificada como K3b
• Los niños de la categoría K3b no siguen la prueba, o bien pasan a otra tarea,
y son de un estado inferior al considerado
• A los niños de la categoría K3a se les presenta la situación de partida, es
decir la Situación K1
• Los niños de la categoría K3a, que son parte de los que inicialmente no
habían resuelto la situación K1, pueden, ahora, llegar a resolverla una vez que
han realizado con éxito las situaciones K2 y K39.
8
Estas características se muestran en la tabla 1 de este capitulo.
Las situaciones K2 y K3 contienen algunos aspectos lógicos matemáticos de la situación K1 pero no
todos, en ese sentido, la situación K1 es la más completa. Igualmente, entre las situaciones K2 y K3 se da
que la K3 es más completa que la K2 en el sentido de completitud anteriormente señalado.
9
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
173
• Los niños que después del proceso precedente están en K1b no siguen la
prueba, o bien pasan a otra tarea, y están en un estado inferior al considerado
• Los niños que están en K1a, bien desde el principio de la prueba o una vez
seguido el proceso, son los niños del estado en cuestión.
Tarea del Estado K
Situación 1
Situación K1
K1b
K1a
Situación K2
Estrategia 1. Estados inferiores
Estrategia 2. Estados inferiores
K2a
Estrategia 3. Propias del Estado
K2b
Estrategia 4. Propias del Estado
Situación K3
Otras:. Estados superiores
K3b
K3a
Situación K1
K1a
K1b
Figura 1. Sistematización en las tareas realizadas para cada uno de los estados del modelo teórico
Todas las situaciones de cada una de las tareas están planteadas con el material
que hemos reseñado en el apartado anterior, y cada una de ellas se pretende adaptar al
nivel lógico matemático del estado.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
174
Teniendo en cuenta las características lógico matemáticas del Estado K y el
método sistemático, anteriormente señalado en la figura 1, se determina la tarea
asociada al mismo perfilando las tres situaciones que la componen.
A continuación, y para cada uno de los estados, veremos, algunas
consideraciones generales sobre las tres situaciones que conformarían la tarea asociada
al mismo, la información que se pretende obtener con cada una de ellas y la justificación
de las mismas desde el punto de vista de las características lógicas-ordinales del estado.
1. Tarea asociada al Estado I.
ESTADO I
CARACTERÍSTICAS
LÓGICOMATEMÁTICAS
Etiquetaje.
Diferenciar los
elementos.
Situación I1. Al niño se le muestra la escalera con 10 peldaños, debe etiquetar todos
los escalones diferenciando cada uno de ellos (colocar un único trocito de pan en
todos y cada uno de los escalones conforme se vaya subiendo).
Con esta situación se pretende que el niño diferencie cada uno de los elementos
que compone una serie.
Situación I2. El niño está viendo etiquetado los cinco primeros elementos, se le
muestra como se etiqueta el siguiente diferenciándolo de los anteriores y él debe
continuar hasta el final (colocar un único trocito de pan en los peldaños que van
del 7 al 10).
Esta situación difiere de la anterior en cuanto que el niño percibe la diferenciación
de los primeros elementos a través del etiquetaje realizado y el proceso que se
sigue en la diferenciación de los elementos sucesivos de la serie, ellos deben
continuar el proceso.
Situación I3. Se le muestra al niño la forma de diferenciar los primeros elementos y él
debe continuar hasta el final (se coloca un trocito de pan en el primero, otro en el
segundo y otro en el tercero, el niño debe continuar colocando pan hasta el final
de la escalera).
En este caso sólo se le muestra el proceso de los tres primeros elementos. Se
pretende que el niño aplique el mismo criterio de diferenciación de elementos a
toda la serie.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
2.
175
Tarea asociada al Estado II.
ESTADO II
CARACTERISTICAS
LÓGICOMATEMÁTICAS
Relaciones lógicasordinales entre los
términos de una serie
cualquiera usando
esquemas infralógicos
Linealidad y orden
topológico
Orden temporal
Situación II1. El niño a partir de un elemento determinado en una serie lineal y
topológica debe determinar el siguiente inmediato usando criterios infralógicos. A
continuación también se pide de manera sucesiva el siguiente inmediato de cada
uno de los elementos que se van obteniendo. Igual para el anterior inmediato (se
le pide al niño que determine el pan que se comerá justamente después de haberse
comido el del quinto peldaño…).
Con esta situación se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales
entre los elementos de una serie usando esquemas infralógicos.
Situación II2. Esta situación es igual que la anterior pero sólo se pide aplicar los
esquemas infralógicos en un sentido y se empieza por el primer elemento en lugar
de considerar un elemento determinado en la serie (el niño debe continuar
diciendo el pan que el pajarito se comerá después de haberse comido el 1, el 2,…)
Esta situación difiere de la anterior en cuanto que al niño se le está indicando el
proceso que se sigue en la determinación del siguiente inmediato con un criterio
infralógico.
Situación II3. Al igual que en la situación II1 el niño debe determinar el siguiente
inmediato de un elemento determinado en una serie lineal y los sucesivos a éste,
pero el elemento determinado está casi al final del tramo y no se pide la
determinación de los anteriores. .
En este caso no se le indica el proceso que se sigue10 y se pretende que el niño
establezca relaciones lógicas ordinales sólo en una dirección.
10
Hay que tener en cuenta que los niños que pasan a esta situación son los que han superado la situación
II2 han aplicado el proceso empezando desde uno.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
176
3.
Tarea asociada al Estado III.
ESTADO III
CARACTERISTICAS
LÓGICOMATEMÁTICAS
Relaciones lógicas
ordinales entre los
términos de una serie
cualquiera usando la
alternancia como
instrumento secuencial.
Posiciones lógicas
ordinales con la
alternancia
Situación III1. El niño a partir de un elemento determinado en una serie y sin percibir la
alternancia debe de determinar posiciones lógicas ordinales usando la alternancia
como instrumento. (Habiendo pan en un escalón sí y en otro no y sin que esta
alternancia sea perceptiva en los tramos 1-3 y 7-10, se le pide al niño que
determine el pan que se comerá justamente después de haberse comido el del
quinto peldaño y dada una posición cualquiera el niño debe determinar si come o
no come).
Con esta situación se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales
versus alternancia como instrumento secuencial.
Situación III2.
Se pide que el niño establezca la alternancia como instrumento
secuencial (el niño debe colocar pan en un escalón sí y en otro no y en el primero
es que sí)
Únicamente se pretende que el niño establezca la alternancia sin tener que
particularizar en ninguno de sus términos.
Situación III3.
Al igual que en la situación II1 el niño debe determinar posiciones
lógicas ordinales usando el criterio de la alternancia, pero sólo se piden en una
dirección, es decir se hablarían de siguientes y no de anteriores, y en este caso las
posiciones a determinar serían “próximas” al elemento dado.
En este caso se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales versus
alternancia sólo en una dirección.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
4.
177
Tarea asociada al Estado IV.
ESTADO IV
CARACTERISTICAS
LÓGICOMATEMÁTICAS
Relaciones lógicas
ordinales entre los
términos de una serie
cualquiera usando el
conteo como
instrumento de
comparación.
Posiciones lógicas
ordinales con el conteo
Situación IV1. El niño debe determinar una posición ordinal a partir de otra dada como
dato en ambos sentidos ascendente y descendente. (Habiendo un pajarito colocado
en un escalón determinado debe colocar otro en otra posición teniendo en cuenta la
primera. Esto se repite para varias posiciones en ambos sentidos)
Con esta situación se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales
versus conteo como instrumento comparativo
Situación IV2.
Se pide que el niño que cuente los escalones.
Únicamente se pretende que el niño establezca el conteo sin tener que determinar
ninguna posición ordinal a partir del mismo.
Situación IV3.
El niño debe determinar una posición ordinal cualquiera mediante
el número correspondiente. Es igual que la situación IV1 pero sin dato, sólo se
trabaja con un número..
En este caso se pretende que el niño use el conteo para determinar posiciones
ordinales..
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
178
5.
Tarea asociada al Estado V.
ESTADO V
CARACTERISTICAS
LÓGICOMATEMÁTICAS
Relaciones lógicas
ordinales entre los
términos de la
secuencia numérica
usando la alternancia
como instrumento de
comparación.
Posiciones lógicas
ordinales de la secuencia
numérica con la
alternancia.
Situación V1. El niño debe anticipar qué ocurrirá en una posición determinada
conociendo lo que ocurre en otra dada como dato, pero en este caso el dato que se
da es numérico y el niño debe responder igualmente con una posición numérica de
la secuencia describiéndola mediante la alternancia. (Habiendo pan en un escalón sí
y en otro no y sin que esta alternancia sea perceptiva en los tramos 1-3 y 7-10, se le
pide al niño que determine el siguiente número después del 5 en el que comerá pan,
y esto sucesivamente para otros números, y dado un número cualquiera el niño debe
determinar si come o no come a partir de otro dado como dato).
Se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales en la secuencia
numérica versus alternancia como instrumento comparativo.
Situación V2. Se pide que el niño establezca la correspondencia serial secuencia
numérica/alternancia.
Sólo se pretende que el niño establezca la correspondencia serial secuencia
numérica/alternancia sin tener que particularizar en ninguno de sus términos.
Situación V3. Se le da el dato numérico y el niño tiene que determinarlo en la
correspondencia serial secuencia numérica/alternancia.
En este caso se pretende que el niño use la correspondencia serial como
instrumento secuencial para determinar posiciones ordinales.
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Capítulo V. Modelo evolutivo de competencias ordinales.
6.
179
Tarea asociada al Estado VI.
ESTADO VI
CARACTERISTICAS
LÓGICOMATEMÁTICAS
Relaciones lógicas
ordinales entre los
términos de la
secuencia numérica.
Sistematización de la
secuencia numérica
según la estructura
lógica de seriación
Dominio ordinal de la
secuencia numérica:
Contar de n en n,
recuento progresivo,
recuento regresivo,
cálculo mental
Situación VI1.
El niño debe averiguar qué ocurrirá en una posición determinada
conociendo lo que ocurre en el tramo 1-10. Una vez averiguado se considerará
como dato y se pide que describa las posiciones sucesivas a la misma. ( Siendo
perceptiva la alternancia en la escalera, el niño debe averiguar qué ocurre en un
número mayor o igual que 15. A continuación debe de decir números que le siguen
a ese en los que sí come).
Se pretende que el niño establezca relaciones lógicas ordinales entre los términos
de la secuencia numérica haciendo valer la estructura lógica de seriación
subyacente a la misma, especialmente el aspecto de seriación cíclica que se da en
el encadenamiento aditivo.
Es igual que la anterior pero las posiciones a determinar se van
Situación VI2.
dando de forma sucesiva a partir de 10.
Se pretende que el niño extienda la correspondencia serial secuencia
numérica/alternancia más allá del tramo 1-10.
Situación VI3.
Se le da el dato numérico mayor que 10 y el niño debe continuar
describiendo las posiciones sucesivas al mismo.
En este caso se pretende lo mismo que en la situación VI1 pero quitando la
dificultad del primer elemento.
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CAPITULO VI
ESTUDIO EMPÍRICO CUALITATIVO
1. Introducción.
El fin primordial de esta investigación, de acuerdo con el marco metodológico y
el esquema general que se incluyen en los capítulos I y II, es indagar en determinados
aspectos del conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica en niños de 3 a 6
años. Para ello hemos realizado un estudio empírico exploratorio y un estudio teórico
que han servido para fundamentar la investigación, construir un modelo teórico
evolutivo susceptible de comparación empírica y orientar el resto del trabajo con ciertas
garantías de éxito.
La contrastación y validación del modelo mencionado requiere, a nuestro juicio,
de un estudio empírico cualitativo para el análisis y predicción de la evolución del
conocimiento lógico-ordinal en los niños.
En el presente capítulo se exponen el diseño y los resultados del estudio
empírico cualitativo, que en su parte fundamental tiene un carácter transversal (grupos
diferentes de sujetos de distintas edades, 3, 4 y 5 años, y niveles escolares, los tres
cursos de Educación Infantil correspondientes a esas edades) y se ha realizado con un
enfoque de presente. La información que se requiere obtener se refiere a la
categorización de los niños según el rendimiento obtenido en las tareas asociadas a los
estados del modelo evolutivo teórico señaladas en el capítulo anterior.
Como la pretensión general del estudio empírico, es validar un modelo evolutivo
sobre un conocimiento concreto: las relaciones lógicas-ordinales, la prueba que
consideramos adecuada es la entrevista clínica semiestructurada en base a lo que reseña:
White y Gunstone (1992) refiriéndose a las entrevistas sobre conceptos; Cohen (1990)
en cuanto a las entrevistas semiestructuradas y al análisis de tareas; ó Piaget y Apostel
(1976) sobre el método clínico y las entrevistas clínicas.
Cuando los niños se enfrentan a tareas no usuales en la enseñanza pueden
manifestar, como así se ha comprobado en el trabajo, el estado real de comprensión de
los conocimientos, a diferencia de otras tareas rutinarias, en las que diversos factores
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
182
pueden llegar a enmascarar la verdadera situación de dicha comprensión. En este
sentido y como ya hemos apuntado en el capítulo anterior, las tareas que hemos
considerado en la prueba (entrevistas clínicas semiestructuradas) creemos que son
adecuadas para analizar el estado real de comprensión de relaciones lógicas ordinales en
los niños por varios motivos:
•
Las situaciones concretas pensadas para la prueba, parten de un material original en
el que confluyen esquemas lógicos-matemáticos como son: la seriación entre los
peldaños de la escalera; aspectos infralógicos del espacio topológico cuando, por
ejemplo, se consideran los tabiques para realizar una separación en un conjunto de
peldaños; ó el conjunto de piolínes todos iguales y sin diferencias perceptivas entre
ellos para realizar seriaciones topológicas en un conjunto seriado como es la
escalera.
•
No son tareas usuales en la educación reglada, con lo cuál evitamos los aspectos
rutinarios que se puedan dar y permitir que aflore la comprensión del conocimiento
deseado.
•
La determinación de las tareas viene precedida por la construcción de un modelo
evolutivo que a su vez está avalado por el análisis didáctico realizado en el capítulo
III y el estudio empírico exploratorio del capitulo IV.
•
Las tareas asociadas a los estados del modelo teórico manifiestan las características
lógico-matemáticas de cada uno de los mismos.
En los apartados correspondientes a la primera parte del capítulo se exponen los
objetivos del estudio, la metodología y los aspectos fundamentales del diseño. La
segunda parte se dedica a la exposición de los resultados y las conclusiones del trabajo.
2. Propósito del estudio
Con esta parte de la investigación se pretende alcanzar los siguientes objetivos
de los enunciados en el capítulo I:
O5. Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógicoordinal de la secuencia numérica y comprobar, con escolares de
Educación Infantil (3-6 años), la utilidad y eficacia del modelo
para describir su comportamiento real en el establecimiento de
relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica.
O6. Caracterizar cada uno de los diferentes estados de desarrollo en
términos de estrategias y procedimientos relativos al conocimiento
ordinal
Junto a éstos también se pretenden conseguir el objetivo complementario
siguiente:
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
183
C3. Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este
tipo de investigaciones en las que se estudian conceptos lógicosmatemáticos en niños de Educación Infantil
Para alcanzar los objetivos anteriores se ha de comprobar la bondad de la
hipótesis H6:
Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer
relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica
en niños de 3 a 6 años, se pueden organizar en un modelo teórico de
desarrollo que explica y describe la evolución del conocimiento lógico
ordinal de la secuencia.
Como se ha visto en el capítulo anterior, la primera parte de construcción del
modelo evolutivo teórico ya se ha realizado. En el presente capítulo se exponen los
trabajos para llevar a cabo la valoración empírica del modelo y concluir con ello la
segunda parte antes reseñada, obteniendo así, la validación total de la Hipótesis H6.
Previamente y para poder constractar la hipótesis H6, debemos construir la
prueba que nos permita realizar el estudio empírico cualitativo deseado, es entonces
cuando validaremos la hipótesis H5:
Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte
de un diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas
que podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los
esquemas lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.
Y con ello se alcanzaría el objetivo complementario C3.
3. Metodología.
Se trata de una investigación empírica cualitativa basada en la recogida de
información mediante una entrevista clínica semiestructurada y en el análisis cualitativo
de los resultados.
En principio, a cada alumno entrevistado se le propone la realización de seis
tareas, una por cada estado del modelo teórico, compuesta, a su vez, cada una de ellas
por varias situaciones. Todas tienen en común el material manipulativo y concreto que
sirve como soporte a la entrevista.
Aún teniendo las tareas un grado creciente de dificultad en cuanto están
asociadas a estados evolutivos de un modelo teórico, todas ellas parten del mismo
material manipulativo y concreto, pues creemos conveniente que la dificultad esté en los
esquemas lógicos matemáticos empleados para resolver las cuestiones planteadas y no
en hacer variar un material que conllevaría, colateralmente, aspectos estructurales
propios y ello haría variar la situación didáctica y dificultaría la evaluación del
conocimiento que queremos ver aparecer en los niños.
En el transcurso de la entrevista se provoca, intencionadamente, la interacción
constante entre el entrevistador y el entrevistado, dependiendo el desarrollo de la misma
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
184
de las respuestas de cada sujeto. Es por ello, por lo que a pesar de tener preparadas seis
tareas para cada niño, no todos realizan la prueba en su totalidad debido
fundamentalmente a dos razones:
A los niños que no superan las tareas de dos estados consecutivos no se
les pasa la tarea del estado siguiente
Los niños que para realizar un número de tareas han necesitado media
hora no se pasa la tarea del estado siguiente al último realizado.
Las seis tareas de la prueba se pueden denominar de la siguiente forma:
1. Etiquetaje
2. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicos
3. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento
secuencial
4. Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento
comparativo
5. Relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica versus alternancia
como instrumento comparativo.
6. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica
Cada una de ellas presenta las características lógico-matemáticas propias de cada
estado del modelo evolutivo teórico, en este sentido presentan una jerarquización de
menor a mayor dificultad en cuanto que los esquemas lógicos matemáticos implicados
para su resolución sean más o menos evolucionados. Por ello, cuando un niño no realiza
dos tareas consecutivas no se le pasa la siguiente.
Cada una de las tareas consta de tres situaciones, así para la tarea asociada al
Estado K, las situaciones serían K1, K2 y K3. Para el desarrollo de la entrevista, en cada
una de las tareas, se sigue el esquema de la figura 1 del capítulo V (apartado 4.1) en el
que queda sistematizado el desarrollo de la prueba.
.
4. Elección y distribución de la muestra
De acuerdo con los propósitos de la investigación tomamos como referencia la
población de escolares correspondientes al segundo ciclo de Educación Infantil de
Málaga capital y provincia. Por razones de tamaño y teniendo en cuenta los propósitos
limitados de la investigación, decidimos elegir una muestra que tuviera una cierta
representatividad con respecto a la población mencionada. Todo ello se justifica sobre la
base de los siguientes motivos:
Puede haber diferencias significativas en los resultados según el medio
sociocultural, urbano o rural, y según el tipo de enseñanza, pública o privada
Para el estudio cualitativo nos interesa confrontar los resultados de alumnos de
distintos cursos y que hayan seguido procesos de enseñanza tanto iguales como
distintos. Esta semejanza o diferencia en el proceso de enseñanza-aprendizaje no
es determinante para nuestro trabajo, pero puede ser un factor a tener en cuenta
para la interpretación de nuestro trabajo.
Pretendemos realizar un estudio transversal
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
185
El estudio no tiene la intención de generalizar resultados.
En definitiva se eligen cinco centros escolares con las siguientes características:
a. Dos centros de la capital, uno público y otro privado (que denominaremos B
y C respectivamente)1
b. Tres centros de la provincia:
b1. Dos urbanos, uno público y otro privado (se denominan M y R)
b2. Uno público rural (al que asignamos la letra H)
La muestra de escolares para la realización del estudio empírico cualitativo sale de
estos cinco centros. El criterio para la elección de dicha muestra viene dado por una
distribución por edades dentro de cada curso de los tres considerados en Educación
Infantil.
Los niños que participan son elegidos entre aquellos que se ofrecen voluntarios para
realizar la entrevista una vez que la investigadora es presentada a los niños por sus
maestras correspondientes. El sistema de elección es el siguiente: se elige el quinto de la
lista, si ese no está en las condiciones anteriormente señaladas, entonces se elige el
siguiente y así sucesivamente.
Nos hemos encontrado algunas particularidades
En el colegio privado, R, de la provincia, se necesitó tener autorización
escrita de los padres para que los niños fuesen entrevistados. Por ello la
muestra fue elegida entre aquellos niños que contaban con la misma.
El colegio rural, H, es de Media Línea. Sólo cuenta con una clase de
Educación Infantil y en ella hay: 9 niños de 3 años, 4 niños de 4 años y 3
niños de 5 años, y los días que visitamos el centro faltó un niño de 4 años.
Por ello, en este colegio sólo hubo procedimiento al azar entre los de 3 años.
Con todo ello la composición de la muestra fue la siguiente:
Centros de la capital
1 Colegio Público B.
Clase de 3 años
Clase de 4 años
Clase de 5 años
3 niños
3 niños
3 niños.
Un total de 9 niños de este colegio participaron en la muestra, de los cuales 4 son
niños y 5 niñas
2 Escuela Infantil C.
Clase de 3 años
Clase de 4 años
1
3 niños
3 niños
Las letras con las que asignamos a los colegios coinciden con las iniciales de sus nombres.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
186
Clase de 5 años
3 niños.
Delos 9 niños de este centro hay 4 niños y 5 niñas
Centros urbanos de la provincia
1 Colegio Público M.
Clase de 3 años
Clase de 4 años
Clase de 5 años
3 niños
3 niños
4 niños.
Se entrevistaron a 10 niños de este centro: 5 niños y 5 niñas.
2 Colegio Concertado R.
Clase de 3 años
Clase de 4 años
Clase de 5 años
3 niños
4 niños
3 niños.
De los 10 niños del centro 6 fueron niños y 4 niñas.
Centro rural de la provincia
1 Colegio Público H.
Clase de 3 años
Clase de 4 años
Clase de 5 años
3 niños
3 niños
3 niños
Entre los niños entrevistados de este centro 3 son niños y 6 son niñas.
En total la muestra está compuesta por 47 escolares del segundo ciclo de Educación
Infantil, de los cuales 22 son niños y 25 son niñas. Hacemos notar que nuestra intención
era que el número de niñas y niños estuviesen igualados (salvo uno de diferencia porque
el número de la muestra es impar), pero las características peculiares del colegio rural
H, anteriormente señalada, hicieron que el número de niñas aumentara ya que los tres
alumnos de cinco años con los que contaba el centro, y que por consiguiente
participaron en la prueba, eran niñas.
5. Materiales
El material empleado en esta prueba consta de:
•
Una escalera con 10 escalones. Los peldaños son todos iguales, están unidos unos a otros
constituyendo una escalera en bloque. El ancho de cada uno de ellos es de 4 cm. El primer peldaño
tiene 1 cm. de alto y esta dimensión es la que se mantiene
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
187
constante al pasar de un escalón a otro, por ello la escalera tiene una altura total de
10 cm.
•
10 Piolínes, cada uno de ellos mide 4 cm de alto y están pegados a una base circular
de unos 3 cm de diámetro para poderlos colocar en los peldaños de la escalera.
•
Trocitos de pan para colocar en los lugares correspondientes de la escalera.
•
Dos tabiques de 14 cm. de alto; ambos tiene en la base marcas de los escalones para
apoyarlos en la escalera. Uno de ellos tiene tres marcas y se colocaría sobre los
peldaños 1, 2 y 3, y el otro tiene 4 marcas para tapar el tramo de escalera 7-10.
6. Actividades
Al igual que ya se considerara en el estudio exploratorio del capítulo IV, se trata
de una entrevista semiestructurada, y por ello es necesario especificar en el diseño
previo tanto el contenido como los procedimientos (Cohen, 1990, p. 379). Por tanto
exponemos a continuación el objetivo pretendido, el desarrollo de la entrevista, así
como los aspectos a observar en el conjunto de la prueba.
6.1. Tareas.
Las tareas consisten en lo siguiente:
1. Etiquetaje. Se trata de colocar pan en todos y cada uno de los escalones
siguiendo el orden de sucesión de la escalera
2. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicos. Se trata de
determinar qué pan comerá después de uno dado cuando se sube. Igual para
el sentido descendente.
3. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento
secuencial. El niño tiene que averiguar el lugar donde comerá pan el Piolín
teniendo otro como dato y usando la alternancia como instrumento
secuencial
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral
188
4
Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo.
El niño a partir de una posición ordinal debe localizar una lógica ordinal a
través del conteo.
5
Relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica versus alternancia
como instrumento comparativo. Sabiendo que los piolínes comen pan en un
escalón sí y en otro no, el niño debe determinar el siguiente número a uno
dado en el que sí come.
6
Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica. El
niño debe averiguar en cualquier término de la secuencia numérica (los
números dados son menores que 100) si el pajarito va a comer o no, y a
partir de un término dado el niño debe continuar diciendo los números en los
que sí come.
6.2. Objetivo
Con estas tareas se pretende estudiar la evolución de las relaciones lógicas
ordinales desde los esquemas infralógicos hasta las relaciones lógicas ordinales entre los
términos de la secuencia numérica pasando por relaciones prenuméricas sencillas como
es la alternancia.
6.3. Desarrollo de la entrevista
A continuación expresamos la forma de proceder en las entrevistas para todas y
cada una de las tareas asociadas a los estados del modelo evolutivo teórico. El
desarrollo completo de las mismas se encuentra en los Anexos VI, apartado Anexo 6.1
de este informe. El procedimiento general según figura 1 del apartado 4.1 del capítulo
V, es el siguiente:
Para cada uno de los estados su tarea asociada1 conlleva, a su vez tres
situaciones. Para la situación K1 (primera de la tarea K) se ha realizado una
clasificación de respuestas atendiendo a que el niño realizara o no la actividad.
Si la realiza correctamente se analiza el tipo de estrategia y procedimiento
seguido, si no lo hace entonces pasa a realizar la situación K2 (segunda de la
tarea K). Si no realiza con éxito esta nueva situación se da por finalizada la
tarea K, mientras que si la realiza correctamente entonces pasa a realizar la
situación K3 (tercera de la tarea K). Si no realiza con éxito esta nueva situación
se da por finalizada la tarea K, mientras que si la realiza correctamente
entonces pasa a realizar nuevamente la situación K1 (primera de la tarea K). Si
la realiza correctamente se analiza el tipo de estrategia y procedimiento
seguido, si no lo hace entonces se da por finalizada la tarea.
1
La tarea asociada al estado K la denominamos tarea K, K varía de I a VI.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
189
En los apartados sucesivos, exponemos el procedimiento seguido en el
desarrollo de las entrevistas para cada una de las tareas asociadas a los estados, así como
el protocolo seguido.
6.3.1. Presentación esquemática del desarrollo de la entrevista para cada
una de las tareas asociadas a los estados.
Considerando las características lógicas-matemáticas asociadas a las tareas y el
procedimiento general señalado en el apartado anterior tenemos lo siguiente:
Tarea 1.
Situación I1. El niño ve la escalera con 10 peldaños y sobre la mesa hay 15 trocitos de
pan amontonados. La investigadora plantea: Vamos a poner en todos y cada uno de los
escalones un trocito de pan. Solo colocaremos uno en cada escalón y lo haremos según
se vaya subiendo.
Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño
de la situación I1 que llamaremos I1a y I1b (I1 indica que estamos en la primera
situación del primer estado) y que son respectivamente: La resuelve y no la resuelve.
La investigadora observa las distintas estrategias de los niños que presentan la
opción I1a.
Situación I2. Para los niños de la categoría I1b se presenta la situación I2. En ella, el
niño ve la escalera con 10 peldaños, hay un trocito de pan en cada uno de los cinco
primeros escalones, sobre la mesa hay 10 trocitos de pan amontonados. La
investigadora plantea: En cada uno de estos escalones (señala del uno al cinco) hay un
trocito de pan. Ahora colacamos un trocito aquí (en el 6), otro aquí (en el 7), venga
ahora sigue tú hasta llegar aquí (señala el final de la escalera).
Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño
de la situación I2 que llamaremos I2a y I2b: la resuelve y no la resuelve
Los niños de la categoría I2b no continúan con la prueba en lo referente a la
tarea de este estado. A los niños de la categoría I2a les hacemos continuar con la
situación I3.
Situación I3. El niño ve la escalera con 10 peldaños y sobre la mesa hay 15 trocitos de
pan amontonados. La investigadora plantea: Vamos a poner en todos y cada uno de los
escalones un trocito de pan. Colacaremos un trocito de pan aquí (en el 1), otro aquí (en
el 2), otro aquí (en el 3), venga ahora sigue tú hasta llegar aquí (señala el final de la
escalera).
Las opciones existentes respecto a la resolución son: I3a si la resuelve y I3b si
no lo hace
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral
190
Los niños de la categoría I3b no continúan con la prueba en lo referente a la
tarea de este estado. A los niños de la categoría I3a les volvemos a pasar la situación I1:
si están en I1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en I1b se
quedan por debajo del primer estado considerado en el modelo evolutivo teórico.
Este procedimiento queda recogido en el esquema de la figura 1.
Tarea 1. Etiquetaje
I1. Poner en todos y
cada uno de los
escalones un trocito de
pan. Solo colocaremos
uno en cada escalón y lo
haremos según se vaya
subiendo.
Tarea del Estado I:
Tarea del Estado I:
Diferenciar los elementos
Diferenciar los elementos
I2. Hay pan en cada
uno de estos
escalones (del 1 al 5).
Colocamos aquí (en
el 6), otro aquí (en el
7), ahora sigue tú
hasta llegar aquí
(señala el 10)
I1b. No
I1b. No
resuelve I1
resuelve I1
I1a.
I1a.
Resuelve I1
Resuelve I1
1. Ensayo y error 1. Coloca varios en
1. Ensayo y error 1. Coloca varios en
un escalón y deja otros sin pan.
un escalón y deja otros sin pan.
Termina por corregirlo.
Termina por corregirlo.
I2a.
I2a.
Resuelve I2
Resuelve I2
2. Ensayo y error 2. Coloca varios en
2. Ensayo y error 2. Coloca varios en
un escalón pero todos tienen. Termina
un escalón pero todos tienen. Termina
por corregirlo.
por corregirlo.
I3. Colocaremos pan en
todos los escalones, aquí
(en el 1), aquí (en el 2),
aquí (en el 3), venga sigue
tú hasta llegar aquí.
3. Coloca un único trozo en todos y cada uno
3. Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones. Los ha puesto sin geguir el
de los escalones. Los ha puesto sin geguir el
orden de sucesión de la escalera.
orden de sucesión de la escalera.
4. Coloca un único trozo en todos y cada uno
4. Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de
de los escalones siguiendo el orden de
sucesión de la escalera.
sucesión de la escalera.
5. A medida que coloca el pan verbaliza con
5. A medida que coloca el pan verbaliza con
términos propios del orden topológico, orden
términos propios del orden topológico, orden
temporal u orden numérico.
temporal u orden numérico.
I2b. No resuelve
I2b. No resuelve
I2
I2
I3a.
I3a.
Resuelve I3
Resuelve I3
I3b. No
I3b. No
resuelve I3.
resuelve I3.
I1. Volvemos a la
situación I1
I1a.
I1a.
Resuelve I1
Resuelve I1
I1b. No
I1b. No
resuelve I1
resuelve I1
Fig. 1 Desarrollo de la entrevista para la tarea 1.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
191
Tarea 2.
Situación II1. El niño ve la escalera con 10 peldaños, hay pan en todos los escalones, el
pan está colocado en un extremo del escalón, en el quinto escalón además del pan hay
un pajarito. La investigadora plantea: El pajarito se come el pan de ese escalón (señala
el 5). Y va subiendo, ¿qué pan comerá después de ese, ¿y después?…¿Qué pan se
comió el pajarito justamente antes de llegar aquí (señala el 5)?, ¿y antes de ese?…
Se pueden presentar dos opciones II1a y II1b y se procede igual que en la tarea
anterior.
Situación II2. El niño ve la escalera con 10 peldaños y hay pan en todos los escalones.
Se plantea: El pajarito va subiendo y en todos los escalones se detiene para comer pan.
“En este (señala 1) va y se lo come, venga sigue tú, vamos a ver como se come el
pajarito todo el pan”.
Las opciones presentadas son II2a y II2b, y se procede como en la tarea anterior
.
Situación II3. El niño ve la escalera con 10 peldaños; hay pan en los escalones ocho,
nueve y diez; hay un pajarito en el escalón número ocho junto al pan. Se planteada: El
pajarito se come el pan de ese escalón (señala el 8) y va subiendo¿qué pan comerá
después de ese?. ¿Y después?
Dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño de la situación II3
que llamaremos II3a y II3b: La resuelve y no la resuelve
Los niños de la categoría II3b no continúan con la prueba en lo referente a la
tarea de este estado. A los niños de la categoría II3a les volvemos a pasar la situación
II1: si están en II1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en
II1b son del estado anterior.
De forma esquemática el procedimiento se describe en la figura 2:
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192
Tarea 2. Relaciones lógicas ordinales usando esquemas infralógicos
II1. El pajarito se come
este pan (el 5) y va
subiendo, ¿qué pan se
comerá después de ese?, ¿y
después?… ¿Qué pan se
comió el pajarito
justamente antes de llegar
aquí (señala el 5), ¿y antes
de ese?... .
Tarea del Estado II:
Tarea del Estado II:
Linealidad y orden
Linealidad y orden
topológico. Oreden
topológico. Oreden
temporal
temporal
II2. El pajarito va
subiendo y en todos los
escalones se detiene
para comer. “En este
(señala 1) va y se lo
come, venga sigue tú”.
II1b. No
II1b. No
resuelve II1
resuelve II1
II1a.
II1a.
Resuelve II1
Resuelve II1
1.1.Ensayo
Ensayoyyerror
error
II2a.
II2a.
Resuelve II2
Resuelve II2
2. Realiza el ascendente y en el
2. Realiza el ascendente y en el
descendente no tiene en cuenta
descendente no tiene en cuenta
anterir inmediato
anterir inmediato
3.3.Igual
Igualque
que11óó22pero
perocon
con
justificación
justificaciónverbal
verbal
II2b. No
II2b. No
resuelve II2
resuelve II2
II3. El pajarito se come el
pan de aquí (señala 8) y va
subiendo, ¿qué pan comerá
después de ese?, ¿y
después?
4.4.Igual
Igualque
quedos
dospero
perobidireccional
bidireccional
5.5.Bidireccional
Bidireccionalyycon
conjustificación
justificación
verbal
verbal
II3a.
II3a.
Resuelve II3
Resuelve II3
II3b. No
II3b. No
resuelve II3.
resuelve II3.
II1. Volvemos a la
situación II1
II1a.
II1a.
Resuelve II1
Resuelve II1
II1b. No
II1b. No
resuelve II1
resuelve II1
Fig. 2 Procedimiento para la tarea 2.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
193
Tarea 3.
Situación III1. El niño ve la escalera con 10 peldaños. Hay pan en un escalón sí y en
otro no. El pan está colocado en un extremo del escalón. En presencia del niño se coloca
un tabique que separa cada escalón, del 1 al 3, en dos partes: una que oculta el pan y,
otra, que queda libre y que el niño ve. Igualmente, aparece un tabique para los escalones
7, 8, 9 y 10. Los escalones 4, 5, y 6 se ven en su totalidad. Sobre una mesa hemos
colocado nueve pajaritos amontonados. El niño ve un tramo de la escalera (el
correspondiente al 4, 5y 6) en el que hay pan en un extremo del peldaño que está en la
posición entre, en el otro extremo se coloca un pajarito. El niño debe colocar pajaritos
donde haya pan y determinar qué ocurre en una posición dada
Las dos opciones se denominarán III1a y III1b y se procede como en tareas
anteriores
Situación III2. Para los niños de la categoría III1b se presenta la situación III2, ésta
consiste en establecer la alternancia.
Se pueden presentar dos opciones :III2a y III2b según la resuelvan o no
respectivamente.
Los niños de la categoría III2b no continúan con la prueba en lo referente a la
tarea de este estado. A los niños de la categoría III2a les hacemos continuar con la
situación III3.
Situación III3. Igual que la situación III1, pero en este caso es visible el tramo 1-6 ó
sólo se pregunta en una dirección.
Las dos opciones son III3a y III3b y se procede como en los casos anteriores.
Presentamos el esquema del desarrollo de esta tarea en la figura 3.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral
194
Tarea 3. Relaciones lógicas ordinales versus alternancia como instrumento secuencial
Tarea del Estado III:
Tarea del Estado III:
Posiciones lógicas
Posiciones lógicas
ordinales con la
ordinales con la
alternancia
alternancia
III1. Se ve únicamente el
tramo correspondiente al 4, 5
y 6, en el que hay pan en un
extremo del peldaño de la
posición entre, en el otro
extremo se coloca un pajarito.
El niño debe colocar pajaritos
donde haya pan y determinar
qué ocurre en una posición
dada
III1b. No
III1b. No
resuelve III1
resuelve III1
III1a.
III1a.
Resuelve III1
Resuelve III1
1.1.Ensayo
Ensayoyyerror.
error.Duda,
Duda,loloquita
quita
yylolovuelve
a
poner
vuelve a ponerenenelelmismo
mismo
lugar
lugar
2. Intenta explicar el criterio
2. Intenta explicar el criterio
III2. Establecer la
alternancia
III2a.
III2a.
Resuelve III2
Resuelve III2
3. Empieza desde el principio. No
3. Empieza desde el principio. No
tiene en cuenta el dato pero aplica la
tiene en cuenta el dato pero aplica la
alternancia
alternancia
III2b. No
III2b. No
resuelve III2
resuelve III2
III3. Igual que III1 pero en
este caso es visible el
tramo 1-6 ó preguntar sólo
en una dirección
44Tienen
Tienenenencuenta
cuentaeleldato
datoyyaplica
aplicaelel
criterio
de
la
alternancia
criterio de la alternancia
5. Introduce la secuencia numérica
5. Introduce la secuencia numérica
III3a.
III3a.
Resuelve
Resuelve
III3
III3
III3b. No
III3b. No
resuelve III3.
resuelve III3.
III1. Volvemos a la
situación III1
III1a.
III1a.
Resuelve
Resuelve
III1
III1
III1b. No
III1b. No
resuelve III1
resuelve III1
Figura 3. Procedimiento en el desarrollo de la entrevista para la tarea 3
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
195
Tarea 4.
Situación IV1. El niño debe colocar pajaritos en posiciones ordinales dando otra como
dato en ambos sentidos: ascendente y descendente (según hemos indicado en el estudio
exploratorio, a este tipo de situaciones las llamamos “determinar posiciones ordinales”).
Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño
de la situación IV1 que llamaremos IV1a y IV1b según la resuelva o no.
Situación IV2. Si no ha resuelto la situación anterior entonces se le pide al niño que
cuente los escalones.
Se procede igual que en la tarea anterior.
3ª)
Situación IV3. Para los que han resuelto la situación anterior correctamente se le
pide que determinen posiciones ordinales.
Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño
de la situación IV3 que llamaremos IV3a y IV3b: que la resuelvan o no.
Los niños de la categoría IV3b no continúan con la prueba en lo referente a la
tarea de este estado. A los niños de la categoría IV3a les volvemos a pasar la situación
IV1: si están en IV1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en
IV1b no son de este estado y tenemos que averiguar al pasar la prueba si son de estados
inferiores ó de cualquier estado.
La forma esquemática se presenta en la figura 4.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral
196
Tarea 4. Relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo
Tarea del Estado IV:
Tarea del Estado IV:
Posiciones lógicas
Posiciones lógicas
ordinales con el conteo
ordinales con el conteo
Preguntar si ha tenido en
cuenta el dato
IV1. Determinar
posicones lógicas
ordinales en ambos
sentidos: ascendente y
descendente
IV1b. No
IV1b. No
resuelve IV1
resuelve IV1
IV1a.
IV1a.
Resuelve IV1
Resuelve IV1
1. Ensayo y error. Duda, lo quita
1. Ensayo y error. Duda, lo quita
y lo vuelve a poner en el mismo
y lo vuelve a poner en el mismo
lugar
lugar
IV2a.
IV2a.
Resuelve IV2
Resuelve IV2
2. Porque me acuerdo
2. Porque me acuerdo
3. Empieza desde el principio a
3. Empieza desde el principio a
contar. Si tiene en cuenta el dato
contar. Si tiene en cuenta el dato
.
esesenenelelascendente
ascendente.
4. En el ascendente tiene en
4. En el ascendente tiene en
cuenta
cuentaeleldato,
dato,yyenenelel
descendente coge otro número
descendente coge otro número
para razonar sobre él
razonarelsobre
él los dos
5. Tienepara
en cuenta
dato en
5. Tiene en cuenta el dato en los dos
sentidos. .
sentidos
IV2. El niño debe
contar los
escalones.
IV2b. No
IV2b. No
resuelve IV2
resuelve IV2
IV3. Determinar
posiciones ordinales.
IV3a.
IV3a.
Resuelve IV3
Resuelve IV3
IV3b. No
IV3b. No
resuelve IV3.
resuelve IV3.
IV1. Volvemos a la
situación IV1
IV1a.
IV1a.
Resuelve IV1
Resuelve IV1
IV1b. No
IV1b. No
resuelve IV1
resuelve IV1
Figura 4. Desarrollo de la entrevista para la tarea 4.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
197
Tarea 5
Situación V1. Se ve el tramo 4-6.En el 5 hay pan y un pajarito. “El pajarito está en el 5 y
sí come, ¿cuál es el siguiente número en el que sí come?”. Dado un número determinar
el siguiente o el anterior en el que sí come.
Las opciones se llaman V1a y V1b según la resuelvan o no. Se observan las
distintas estrategias seguidas si la opción es V1a.
Situación V2. Los niños de la categoría V1b deben establecer la correspondencia serial
secuencia numérica/alternancia..
Las opciones son V2a y V2b. Los niños de la categoría V2b no continúan con la
prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los niños de la categoría V2a les
hacemos continuar con la situación V3.
Situación V3. Dado un dato numérico determinar si come o no come.
Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño
de la situación V3 que llamaremos V3a y V3b:
Los niños de la categoría V3b no continúan con la prueba en lo referente a la
tarea de este estado. A los niños de la categoría V3a les volvemos a pasar la situación
V1: si están en V1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en
V1b pueden ser de estados inferiores.
Esquemáticamente el procedimiento está en la figura 5.
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral
198
Tarea 5. Relaciones lógicas pordinales en la s.n. Versus alternancia
como instrumento comparativo
Tarea del Estado V:
Tarea del Estado V:
Posiciones lógicas
Posiciones lógicas
ordinales de la secuencia
ordinales de la secuencia
numérica con la
numérica con la
alternancia
alternancia
V1. Se ve el tramo 4, 5 y
6. En el 5 hay pan y un
pajarito. “El pajarito está
en el 5 y sí come: ¿cuál
es el siguiente número
que come? . Dado un nº
determinar el siguiente ó
el anterior en el que sí
come
V2. Esrtablecer la
correspondencia
serial secuencia
numérica/alternancia
V1b. No
V1b. No
resuelve V1
resuelve V1
V1a.
V1a.
Resuelve V1
Resuelve V1
1.1.Ensayo
Ensayoyyerror
error
2.2.Usa
Usalalaalternancia
alternanciapero
perono
nolala
secuencia
numérica.
Estrategia
secuencia numérica. Estrategia
del
delEstado
EstadoIII
III
V2a. Resuelve
V2a. Resuelve
V2
V2
3. Porque come en el 1, 3, 5, 7 y 9,
3. Porque come en el 1, 3, 5, 7 y 9,
ó 1-sí, 2-no…
ó 1-sí, 2-no…
V3. Dado un dato numérico
determinar si come o no en
ese número
4. Tiene en cuenta el dato
4. Tiene en cuenta el dato
numérico
numérico
5. Cuenta de dos en dos y tiene en
5. Cuenta de dos en dos y tiene en
cuenta el dato numérico.
cuenta el dato numérico.
Bidireccional
Bidireccional
V2b. No
V2b. No
resuelve V2
resuelve V2
V3a.
V3a.
Resuelve V3
Resuelve V3
V3b. No
V3b. No
resuelve V3.
resuelve V3.
V1. Volvemos a la
situación V1
V1a.
V1a.
Resuelve V1
Resuelve V1
V1b. No
V1b. No
resuelve V1
resuelve V1
Figura 5. Procedimiento para la entrevista para la tarea 5.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
199
Tarea 6.
Situación VI1. El niño ve la escalera con 10 peldaños. Hay pan en un escalón sí y en
otro no. Se imagina la escalera más larga, ¿come en el número m (con m mayor ó igual
a 15). Decir los números que sí come en un tramo cuyo extremo inferior es m.
Se pueden presentar dos opciones con respecto a la resolución por parte del niño
de la situación VI1 que llamaremos VI1a y VI1b, según la resuelva o no.
Con la opción VI1a, se observa la estrategia seguida.
Situación VI2. Para los niños de la categoría VI1b se presenta la situación VI2: “Si la
escalera fuese más larga ¿en qué número después del 9 comería pan?, ó recíprocamente
¿come en el 11?”.
Las opciones se llaman VI2a y VI2b si la resuelven o no. Los niños de la
categoría VI2b no continúan con la prueba en lo referente a la tarea de este estado. A los
niños de la categoría VI2a les hacemos continuar con la situación VI3.
Situación VI3. Se ve la alternancia en el tramo 1-10 y se plantea: En el 11 come pan,
¿en qué número después del 11 come pan?. ¿En qué número después del 13 come pan?.
¿En qué número después del 15 come pan?.
Análogamente las opciones se llaman VI3a y VI3b.
Los niños de la categoría VI3b no continúan con la prueba en lo referente a la
tarea de este estado. A los niños de la categoría VI3a les volvemos a pasar la situación
VI1: si están en VI1a entonces son niños de este estado, pero si por el contrario están en
VI1b son de estados inferiores.
En la figura 6 se presenta de forma esquemática:
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral
200
Tarea 6. Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica
VI1. Se imagina la
escalera más larga.
¿Come en el nº m (con
m mayor que 15). Decir
los números que sí come
en un tramo cuyo
extremo inferior es m .
Tarea del Estado VI:
Tarea
del Estado VI:
Sistematización
de la
Sistematización de la
secuencia numérica según
secuencia
numérica
según
la estructura lógica de
la estructura lógica de
seriación
seriación
VI2. Si la escalera
fuese más larga, ¿en
qué otro nº después
del 9 comería?, ó
recíprocamente
¿come en el 11?
VI1b. No
VI1b. No
resuelve VI1
resuelve VI1
VI1a.
VI1a.
Resuelve VI1
Resuelve VI1
1. Ensayo y error
1. Ensayo y error
VI2a.
VI2a.
Resuelve VI2
Resuelve VI2
2. Porque es en uno sí y en otro
2. Porque es en uno sí y en otro
no
no
3. Empieza desde el principio
3. Empieza desde el principio
VI3. Se ve la alternancia, en
el 11 sí come, ¿en qué nº
después del 11 come?, ¿y
después del 13?, ¿y del 15?.
4. Empieza a partir de un número
4. Empieza a partir de un número
que sabe que es que sí
que sabe que es que sí
5. Usa el ciclo 1-10 para generalizar
5. Usa el ciclo 1-10 para generalizar
a toda la secuencia.
a toda la secuencia.
VI2b. No
VI2b. No
resuelve VI2
resuelve VI2
VI3a.
VI3a.
Resuelve VI3
Resuelve VI3
VI3b. No
VI3b. No
resuelve VI3.
resuelve VI3.
VI1. Volvemos a la
situación VI1
VI1a.
VI1a.
Resuelve VI1
Resuelve VI1
VI1b. No
VI1b. No
resuelve VI1
resuelve VI1
Figura 6. Procedimiento para la tarea 6.
El desarrollo completo de las entrevistas se puede ver en los Anexos VI.
Según los esquemas presentados, se observa que las estrategias son tenidas en
cuenta si se supera la Situación 1 de cada tarea, bien inicialmente o después de haber
pasado las situaciones 2 y 3. Esto es debido, como se verá en los apartados
correspondientes a que la única situación que marca el paso de un estado a otro es la
primera.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
201
6.3.2. Aspectos protocolarios en el desarrollo de la entrevista.
Toda vez que hemos visto el procedimiento en cuanto a su forma sistemática y
esquematizada del desarrollo de las entrevistas en cada una de las tareas, es momento de
indicar el formalismo y la parte protocolaria que hemos considerado.
El comienzo de las tareas de cada uno de los estados en las entrevistas se realiza
de la siguiente forma por parte de la investigadora (lo indicamos con la letra I):
Tarea 1
I. Vamos a jugar con los Piolines, la escalera y el pan (señala cada uno de
esos objetos que se encuentran sobre la mesa). Todos los días los Piolines suben
por esta escalera para ir a su casa. Su mamá le ha dicho que coman pan en todos y
cada uno de estos escalones cuando van subiendo. Tú vas a ayudar a los Piolines a
obedecer a su madre, entonces tienes que colocar pan en todos los escalones
conforme se sube.
Tarea 2
I. (Coge un Piolín va subiendo la escalera hasta dejarlo en el 5). Cuando
está aquí se come este pan. ¿Qué pan se comerá después de ese (señalando el
Piolín del escalón 5)?.
I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro)1. ¿Lo ves cómo está?
Tarea 3.
Es en uno sí y en otro no. Ponemos el pajarito aquí (5) porque hay pan. (Saca un
muro de cartulina para ponerlo en la escalera). Colocaremos este tabique aquí (lo
pone en la parte inferior de la escalera, en los escalones del 1 al 4 y tapando con
ello los trozos de pan que estaban en el 1 y el 3 de la vista del niño/a) para que
no veas tú si hay o no hay pan. Colocaremos esta otra pared aquí (pone otro muro
en la parte superior de la escalera, tapando los escalones del 7 al 10) para que tú
no veas si hay o no hay. Entonces, el pajarito está aquí (señala el Piolín que está
en el escalón 5) que sí hay pan (señala el pan). Ahora tienes que poner pajaritos
donde haya pan detrás de la pared.
Tarea 4.
I. Ahora sólo la escalera, sin pan (quita los trocitos de pan y los
Piolínes). Colocamos a este Piolín aquí (en el 5), (pone un muro tapando los
primeros escalones) Lo hemos puesto en el número 5. Ahora tienes que colocar
tú un pajarito en el número N2.
Tarea 5.
I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro no)3. Colocaremos de
nuevo los tabiques (en los tramos 1-3 y 7-10). También ponemos un Piolín en el
5, éste (5) es el número 5 y come pan (señala el pan), ¿en qué otro número
después del 5 come también pan?
1
El niño realiza la alternancia bajo la indicación de la investigadora: “El Piolín ya no come en todos,
ahora come en uno sí y en otro no y en el primero es que sí. Venga, colócalos así”. Tanto si la respuesta
es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado III. Si la respuesta ha sido correcta se considera
que ha superado la situación 2 de ese estado.
2
N es un número del tramo 5-10.
3
El niño realiza la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia bajo la indicación de la
investigadora: “El Piolín come en uno sí y en otro no, 1-sí… Me tienes que decir los números en los que
hay pan.”. Tanto si la respuesta es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado V. Si la respuesta
ha sido correcta se considera que ha superado la situación 2 de ese estado.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
202
Tarea 6 – (Sobre la escalera hay pan y Piolín en uno sí y en otro no). La escalera llega
hasta el 10, y hemos visto en los números que se come. Ahora debemos imaginar
que la escalera es más larga y que después del 10 hay otro escalón que es el 11,
después otro que es el 12, otro el 13…¿Tú crees que en el T4 habrá pan?.
Las intervenciones de la investigadora, para iniciar cada uno de los estados, se
marcan con un asterisco en las transcripciones de las entrevistas que se pueden seguir en
el apartado Anexo 6.1 de los Anexos VI. Debemos interpretar que estas intervenciones
siempre se inician de la misma forma según los puntos dados anteriormente, por ello
aparecen puntos suspensivos antes de iniciar la frase en dicha transcripción.
.
6.4. Aspectos a considerar
Pretendemos lo siguiente:
•
Comprobar si el niño es capaz de diferenciar los elementos de una serie mediante un
etiquetaje sencillo. Relacionarlo con los puntos siguientes
•
Comprobar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales prenuméricas e
infralógicas al comparar (frente a la acción de etiquetar) dos elementos consecutivos
en la escalera, usando como instrumento de comparación el orden topológico.
Relacionarlo con los demás puntos de este apartado
•
Averiguar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales prenuméricas al comparar
dos elementos consecutivos en la escalera, usando como instrumento de
comparación una alternancia en una correspondencia serial. Ver qué ocurre con los
demás puntos de este apartado.
•
Estudiar las relaciones lógicas ordinales numéricas usando el conteo como
instrumento comparativo y ponerlo en relación con el resto de puntos que estamos
considerando.
•
Averiguar si el niño establece relaciones lógicas-ordinales en la secuencia numérica
al comparar dos números consecutivos, usando como instrumento de comparación
una alternancia en una correspondencia serial, y todo ello en función del resto de los
puntos.
•
Estudiar las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica
teniendo en cuenta todos los puntos anteriores.
7. Instrumentos y estrategias de recogidas de información
Para la recogida de datos hemos utilizado un instrumento común que ha sido la
grabación en vídeo además de un reproductor del mismo.
4
T es un número que la investigadora considera adecuado para realizar la entrevista según proceda, toma
valores mayores ó iguales a 15.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
203
Con estos instrumentos hemos podido reproducir las entrevistas en su totalidad
con todos aquellos detalles que de otra manera nos hubiera sido imposible de conseguir.
Una vez realizada todas las entrevistas se hace la trascripción de las mismas con
ayuda del reproductor de vídeo (trascripción que puede verse en el Anexo VI, apartado
Anexo 6.1).
Además de las grabaciones, la investigadora llevaba preparado los cuadrosesquemas de las tareas que pueden verse en los Anexos VI, apartado Anexo 6.2. Se
utilizan para registrar por escrito datos concretos, controlar el desarrollo de la entrevista
y prevenir posibles fallos en la grabación.
8. Consideraciones generales sobre el desarrollo de la entrevista
Las entrevistas se realizaron en el mes de Abril del curso 2000/2001. Para su
efecto, el orden de colegios seguido fue: colegios urbanos provinciales: privado y
público, centros de la capital (escuela infantil y público) y, por último, centro provincial
rural.
En todos y cada uno de los centros, las entrevistas se realizaron a puerta cerrada
en un despacho preparado para ello y pasando, uno por uno, todos los alumnos
seleccionados.
Cada entrevista tuvo una duración que osciló entre 20 y 30 minutos, por lo que,
si tenemos en cuenta que no se permitieron interrupciones y que era obligado respetar el
horario de los alumnos, incluido el recreo, se realizaron entre 4 y 5 entrevistas diarias,
por tanto, fueron necesario dos días por cada colegio para completar la prueba.
Por último hemos de decir que todas las entrevistas tuvieron un desarrollo
adecuado, incluso más satisfactorio de lo previsto teniendo en cuenta la corta edad de
los entrevistados, sólo volver a reseñar que el colegio rural es de Media Línea y que
únicamente contaba con tres niñas de Infantil 5 años, a las cuales se les pasó la prueba,
pero descompensó el número de niñas y niños que teníamos pensado que fuese el
mismo mas/menos uno por ser impar el número de la muestra.
Agradecemos a todos los niños, maestros y directores su colaboración.
En los apartados que siguen hasta el final del capítulo, se exponen los resultados
y conclusiones de dichas entrevistas teniendo en cuenta las tareas consideradas
asociadas al modelo evolutivo.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
204
9. Resultados y conclusiones de la prueba.
Diremos que un niño ha superado con éxito la tarea del Estado K si realiza
correctamente la situación K1 en cualquiera de sus dos presentaciones, es decir, si están
en la categoría K1a. En el caso que un niño se encuentre en esta situación se observará
la estrategia seguida y se codificará con un número del 1 al 5 según se indicó en el
apartado 6.3.1 de este capítulo.
Vamos a considerar para todos los estudios realizados, que el alumno da la
respuesta que se le asignará en las tablas correspondientes si la hace explícita al menos
una vez en el transcurso de la entrevista.
9.1. Análisis de respuestas
La serie de cuadros-esquemas presentados en las figuras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 del
apartado 6.3.1 de este mismo capítulo nos ha proporcionado una posible categorización
de respuestas para su análisis desde el punto de vista del modelo evolutivo.
En el Anexo VI, apartado Anexo 6.1, podemos encontrar algunas anotaciones
para justificar que el niño presenta una categoría determinada de respuestas. Aunque
dichas anotaciones aparezcan en una intervención concreta tenemos que considerar,
para que sirva de justificante en la categoría, algunas preguntas y respuestas que le
anteceden así como algunas otras que le suceden. En este sentido, tenemos:
•
Las anotaciones del tipo (Ki) que aparecen en algunas intervenciones de la
investigadora significa que está planteando la situación i (con i variando de 1 a
3) de la tarea asociada al estado K (K toma los valores de I a VI)
•
En algunas respuestas de los niños aparece entre paréntesis notas del tipo:
(Kim)5 que será el justificante de señalar en la tabla6 la celda de coordenadas (m,
Estado K, i), es decir, justificará que el niño ha superado la situación i del estado
K si m toma el valor a, y que no lo ha superado si m toma el valor b.
•
En algunas respuestas aparece (KEtt), K indica el estado, Ett significa estrategia
seguida, siendo E fijo y tt variando de 11 a 55.. Si para un niño y estado
g ) y (KEh
h ), con gg mayor que hh, entonces consideramos
determinado aparece (KEg
que la estrategia usada en el estado considerado es la mayor
A continuación presentamos una serie de tablas, una por cada colegio que
participan en la prueba, que recogen las respuestas de cada uno de los niños según las
tareas, situaciones dentro de las tareas y, si procede, la estrategia utilizada.
Para la interpretación correcta de las tablas debemos tener en cuenta los siguientes
puntos:
5
6
K representa el estado, i la situación de la tarea asociada al estado y m toma los valores a ó b
Nos estamos refiriendo a las tablas que determinaremos en este mismo apartado
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
•
Cada casilla de la primera fila indica que se va a evaluar la resolución de la tarea
asociada al estado correspondiente. Cuando se pasa de un estado a otro en la
tabla, la línea de separación entre columnas queda marcada por el grosor de la
misma.
•
Para cada una de las tareas asociada a un estado, se consideran las situaciones
que la determinan. Se empieza con la situación 1 y se termina con la misma. Esto
se refleja en la segunda fila de las tablas.
•
La primera columna indica el centro al que pertenecen los niños de la tabla
•
Cada casilla de la segunda columna indica las iniciales del nombre del niño
cuyas respuestas se registran en esa misma fila. Los números que aparecen a
continuación de las iniciales expresan la edad, indicando, el primero de ellos, los
años y el segundo los meses.
•
Los niños están agrupados por edades prevaleciendo el curso de Educación
Infantil en el que se encuentran, cuando se pasa de un curso a otro en la tabla, la
línea de separación entre filas queda marcada por el grosor de la misma.
•
Las casillas correspondientes a las coordenadas (i, Estado K, 2)7 se rellenan si
aparecen en blanco las casillas (a, Estado K, 1)8. Para cada niño la casilla (i,
Estado K, 3) se rellena si anteriormente ha sido marcada la casilla (a, Estado K,
2). Análogamente se da esa misma situación entre las casillas (i, Estado K, 1)9 y
(a, Estado K, 3)
•
Los recuadros correspondientes a las coordenadas (a, Estado IV, 2) indican que
los niños realizan el conteo correctamente atendiendo a los principios de orden
estable y correspondencia uno a uno de Gelman y Gallistel
•
Los recuadros de coordenadas (a, Estado K, 1), con K variando entre I y VI,
indican que los niños han superado el estado que se indica en la terna.
•
El número que aparece en las casillas sombreadas correspondientes a las
coordenadas (a, Estado K, 1), indica la estrategia seguida por el niño en la tarea
asociada al estado que se considera en la terna.
La codificación de las estrategias se registra en el siguiente cuadro:
7
205
La primera componente de la terna, i,, toma los valores a ó b. Respecto a la segunda componente, la
letra K varía entre I y VI
8
El 1 que aparece en esta terna se refiere a la primera columna del Estado K en la tabla
9
El 1 que aparece en esta terna se refiere a la cuarta columna del Estado K en la tabla
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
206
ESTADOS
ESTRATEGIAS
1.
2.
3.
I. Etiquetaje
4.
5.
1.
2.
II. Relaciones lógicas ordinales
usando esquemas infralógicos
III. Relaciones lógicas ordinales
versus alternancia como
instrumento secuencial
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
IV. Relaciones lógicas ordinales
versus conteo como instrumento
comparativo
4.
5.
V. Relaciones lógicas ordinales en
la secuencia numérica versus
alternancia como instrumento
comparativo
VI. Relaciones lógicas ordinales
entre los términos de la secuencia
numérica.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
10
Ensayo y error 110
Ensayo y error 211
Coloca un único trozo en todos y cada uno de los
escalones. Los ha puesto sin seguir el orden de
sucesión de la escalera
Coloca un único trozo en todos y cada uno de los
escalones siguiendo el orden de sucesión de la
escalera
A medida que etiqueta verbaliza con términos
propios del orden topológico, temporal o
numérico.
Ensayo y error12.
En el descendente no tiene en cuenta el anterior
inmediato sino cualquier anterior13
Igual que el 111 ó 222 pero con justificación verbal
Lo hace correctamente en los dos sentidos
Igual que 444 pero con justificación verbal
“Porque me acuerdo”.
Intenta explicar el criterio
Empieza desde el principio, no tiene en cuenta el
dato pero aplica el criterio de la alternancia.
Tiene en cuenta el dato y aplica el criterio de la
alternancia.
Introduce la secuencia numérica ó alude a la
alternancia como instrumento para contar
Ensayo y error
“Porque sí”.
Empieza desde el principio a contar. Tiene en
cuenta el dato si es ascendente, cuando es
descendente empieza desde uno.
Tiene en cuenta el dato si es ascendente y en
ocasiones cuando es descendente. En algunos
casos y si es descendente, coge otro número para
razonar sobre él14.
Cuenta desde 5 e introduce términos ordinales,
cuenta de dos en dos, etc. Bidireccional.
Porque sí.
Usa la alternancia pero no la secuencia numérica.
Empieza desde el principio
Tiene en cuenta el dato
Tiene en cuenta el dato y cuenta de dos en dos.
Bidireccional
Porque sí.
Porque es en uno sí y en otro no
Porque come en el 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…
Porque van de dos en dos y tiene en cuenta un
número distinto de uno.
Usa el ciclo 1-10 para generalizar a toda la
secuencia
En un principio no etiqueta según la correspondencia uno a uno: coloca varios en un mismo lugar
dejando algunos otros vacíos. Termina por conseguirlo
11
Coloca varios en un mismo escalón pero todos tienen.
12
En un principio confunde ascendente y descendente, contesta cuando le dices el primero.
13
Es , de nuevo, ensayo y error.
14
La diferencia entre 333 y 444, es que en 333 empieza desde uno cuando es descendente y en 444 coge otro
número distinto de 1 para razonar sobre él, pero en ambos casos es unidireccional al menos en alguna
ocasión.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
207
Debemos puntualizar que, para cada uno de los estados, las estrategias
codificadas como 11 y 22 son propias de estados inferiores, 33 y 44 corresponden a
esquemas lógicos matemáticos propias del estado en cuestión, mientras que la estrategia
55 corresponde a estados superiores.
Una vez realizadas todas las aclaraciones pertinentes pasamos a presentar las
tablas de los distintos centros.
ESTADO I
Colegio Concertado Provincial Urbano, R.
Ro.
3,4
Ju.
3,11
An.
4,2
Ja.
4,6
Ma.
4,11
Je.
4,11
Ol.
5,3
Em.
5,4
Al.
5,8
El.
6,2
1
4
4
a 4
b
a 444
b
a 444
b
a 333
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
2 3
1
ESTADO II
1
333
444
2 3
1
ESTADO III
1
222
444
2
3
1
ESTADO IV
1
2
3
1
ESTADO V ESTADO VI
1
333
2
3
1
1
222
222 333
444
111
333
444
222
333
555
444
555
444
222
222
555
555
555
555
555
555
555
444
555
333
333
333
444
555
Tabla 1. Distribución de respuestas de cada niño del colegio concertado provincial urbano, R,
por tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados
2
3
1
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
208
ESTADO I
Al.
3,4
Colegio Público Provincial Urbano, M.
Mar.
3,11
Ju.
4,2
Ra.
4,4
Al.
5,1
Ma.
5,1
Ma.
5,5
Pa.
5,8
Ma.
5,8
Nu.
6,3
1
4
4
a 4
b
a
b
a 444
b
a 444
b
a 333
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
2 3
1
ESTADO II
1
2 3
1
222
ESTADO III
1
2
3
1
ESTADO IV
1
2
3
1
ESTADO V ESTADO VI
1
2
3
1
1
2
3
1
444 111
555
333
333
222
444
222
444
555
333
333
444
111 333
555
444
555
444
555
444
555
444
555
Tabla 2. Distribución de respuestas de cada niño del colegio M, por tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados
ESTADO I
An.
3,5
Colegio Infantil de la Capital, C.
Ro.
3,6
Fe.
3,11
Ad.
4,8
Su.
4,10
Ed.
4,11
Lu.
5,4
Na.
5,7
Pa.
5,9
1
4
a 44
b
a
b
a 111
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
2 3
1
ESTADO II
1
111
111
2 3
1
ESTADO III
1
2
3
1
ESTADO IV
1
2
3
1
ESTADO V ESTADO VI
1
2
3
1
1
2
3
1
111
333
111
111
333
222
222
444
333
444 555
444
444
333
444
222
444
444
444
222
444
333
333
Tabla 3. Distribución de respuestas de cada niño de la Escuela Infantil C, por tareas, situaciones y estrategias asociadas
a los estados
555
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
ESTADO I
No.
3,6
Colegio Público de la capital, B.
Ke.
3,9
Jo.
3,10
Ma.
4,4
Li.
4,4
Ru.
4,10
Ju.
5,4
Lo.
5,7
In
6,2
1
2
2
a 2
b
a 444
b
a
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
2 3
1
209
ESTADO II
1
2 3
1
111
ESTADO III
1
2
3
1
ESTADO IV
1
2
3
1
ESTADO V ESTADO VI
1
2
3
1
1
2
3
1
333
444
111
333
111
333
333
333
111
333
222
333
444
333
222
222
111
333
Tabla 4. Distribución de respuestas de cada niño del colegio público de Málaga capital, B, por
tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados
ESTADO I
Colegio Público (Media Línea) Rural, H.
Ma.
3,5
Ju.
3,9
Ma.
3,11
Da.
4,4
Jo.
4,4
Lo.
4,7
Ci
5,8
Sa.
5,8
Pa.
5,10
1
a 111
b
a 222
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
a 444
b
2 3
1
ESTADO II
1
111
2 3
1
ESTADO III
1
2
3
1
ESTADO IV
1
2
3
1
ESTADO V ESTADO VI
1
2
3
1
1
333
111
333
333
444
444
333
222
333
111
222
111
333
Tabla 5. Distribución de respuestas de cada niño del colegio público rural provincial H, por
tareas, situaciones y estrategias asociadas a los estados
2
3
1
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
210
Antes de empezar con el análisis de respuestas, y para saber a qué niños nos
estamos refiriendo cuando hagamos alusión a algunos de ellos en concreto y poder
localizarlos en las tablas, a las iniciales del nombre se le añadirá por la izquierda la letra
correspondiente al centro donde se encuentra, así, por ejemplo HMa. (3,5) es Ma (3,5)
del centro rural H.
Una primera lectura de las tablas indica que las casillas con números15 señaladas
de los niños que resuelven con mayor facilidad una tarea asociada a un estado, se
encuentran pegadas a la izquierda de cada bloque16, quedando en blanco el resto de
casillas del mismo.
Las tareas asociadas a los Estados I y II han sido realizadas con éxito en la
totalidad de los casos, mientras que, por el otro extremo, la tarea del estado VI sólo se
ha superado en 3 de los 47. Con ello ratificamos el grado creciente de dificultad de las
tareas en cuanto a los esquemas lógico matemáticos implicados. Ello se visualiza en las
tablas observando que a medida que nos movemos de izquierda a derecha, las casillas
con números señaladas en cada bloque de una misma fila17, están en lugares
consecutivos18 y en el momento que desaparecen los números ya no vuelven a aparecer.
De acuerdo con el grado creciente de dificultad de los esquemas lógicos
matemáticos implicados, en lo que sigue interpretaremos las respuestas de los niños
desde los esquemas más evolucionados hasta los menos. Para ello, analizaremos los
casos que se dan en las tablas denominándolos por sus coordenadas.
1.
Realizar con éxito la tarea asociada al Estado VI: (VI1a) ó (VI1b,VI2a,
VI3a, VI1a)
Si el niño ha superado la tarea asociada al Estado VI con la estrategia más
5 ), quiere decir que es capaz de aplicar esquemas lógicos de seriación
evolucionada (5
cíclica a la secuencia numérica, trasladando las relaciones lógicas ordinales entre los
términos presentes en el tramo 1-10 a toda la secuencia. En esta situación nos
encontramos a REm. (5,4) y a MMa. (5,8), CEd. (4,11):
MMa (5,8).
I – … ¿Y en el 45 hay pan?. N – Dice que sí con la cabeza.. I – ¿Por qué?. N –
Porque es igual que el 5 y el 35. I – Ah, ¿y en el 47?. N – Dice que sí con la cabeza. I –
¿También? ¿Por qué?. N – Porque es igual que el 7. I – ¿Y en el 36?. N – Dice que no con la
cabeza.. I – ¿Por qué?. N – Porque el 6 (señala el 6) está sin pan.
REm. (5,4). I – Pero, ¿por qué sabes tú que en el 49 sí come?. N – Porque....Porque ha cogido
dos escalones del 17 al 19. I –. ¿En el 66, come?. N – No. I – ¿Por qué?. N – Porque en el 65
come y en el 66 no, en el 67 sí. I – Pero, ¿tú por qué sabes que en el 65 es que sí?. N – En el
...sí, sí. I – Ah, en el 65 es que sí, ¿por qué los sabes?. N – Porque del 3 al , digo del 63 al 65
come. I – Y..¿Tú sabes si come en el 92?. N – No.. I – ¿No come en el 92? ¿Por qué?. N –
Porque ha cogido uno, ...¿en el 42 has dicho?. I – En el 92. N – Porque tenía que comer en el 93.
I –¿Por qué sabes tú que en el 93 sí? N – Porque del 91 al 93 se come. I Venga, dime en todos
los que come. En el 83 sí, ¿después? N – En el 85 sí, en el 87 también, en el 89 también, en el 91
15
Las casillas con números son las que marcan que se ha superado la tarea del estado correspondiente.
Según se indica en las tablas, cada estado se considera un bloque.
17
Estamos considerando una fila como el conjunto de casillas que siguen horizontalmente a las iniciales
de un niño, es decir, se consideran conjuntamente las opciones a y b.
18
Lugares consecutivos se refiere a dos bloques consecutivos
16
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
211
también, en el 93 también, en el 95 también, en el noventa y ..., a ver, en el 97 también, en el 99
también, en el noventa y....noventa y.. también come.
CEd. (4,11). N – En el 21 sí comía, en el 22 no, no en el 23 sí, 24 no, en el 25 sí y en el 26 no, y
en el 27 sí y en el 28 no y en el 29 sí. I – Yo te he dicho en el 32. N – En el 31 sí y en el 32 no. I
–. Y si yo te digo en el 48. N – Piensa en silencio. I – Pero, ¿cómo lo estás pensando? Dilo en
voz alta. N – 26, 27, 28, 29, ,30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 sí, en el 42 no, en el 43
sí, en el 44 no, en el 45 sí, en el 46 no. 47 sí, en el 48 no y en el 49 sí. I – Pero yo te he dicho 48.
N – En el 48 no come I – Y si yo ahora te digo en el ..., 57. N – Piensa callada. I – ¿En el 57
qué? Dilo en voz alta lo que estás pensando. N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, ...40, 41,
42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. En el 1 sí, en el 2 no, en el 3
sí, en el 5 sí, en el 8 ..., en el 7 sí, en el 9 sí. I – Entonces, ¿qué pasa en el 57?. N – En el 57 sí,
cuenta.
Si el niño es capaz de superar la tarea asociada al estado VI pero usando estrategias
menos evolucionadas que la 55, caso que no hemos encontrado, significará que no ha
llegado a extrapolar el tramo 1-10 al resto de la secuencia (en el sentido de seriación
cíclica) pero conoce la relación lógica ordinal entre los términos de la secuencia
numérica, con números mayores que 10, versus alternancia como instrumento
comparativo, por tanto aplica esquemas lógicos-matemáticos propios del estado V a un
tramo de secuencia cuyo extremo inferior es mayor que 10.
El hecho de no encontrar niños en esta situación nos lleva a presentar lo siguiente
Para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica
en cualquier tramo de ella, es necesario que se apliquen esquemas lógicos-matemáticos
de seriación cíclica generados por el tramo 1-10.
2.
Realizar con éxito la tarea asociada al Estado V: (V1a) ó (V1b,V2a, V3a,
V1a)
En este caso consideraremos los niños que han superado con éxito la tarea asociada
al Estado V, son niños que en sus tablas correspondientes se dan las coordenadas:
(V1a), como es el caso de: RJe (4,11), REm (5,4), RAl (5,8), REl (6,2), MJu
(4,2), MMa. (5,8), MNu (6,3), CLu (5,4), CNa (5,7), HCi (5,8), HSa (5,8).
Estos niños, siempre y cuando la estrategia seguida sea 33 o mayor que 33 (
la 22 es una estrategia propia de estados inferiores) estarán usando relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 1-10,
versus la alternancia como instrumento de comparación, pues son capaces de
establecer el instrumento secuencial, determinar posiciones ordinales y lógicas
ordinales con ese instrumento y usarlo mentalmente prevaleciendo el criterio
numérico (al ser estrategias mayores o iguales a 33).
(V1b, V2a, V3a, V1a), como es el caso RJu (3,11) CEd. (4,11), BJu. (5,4).
No es significativo que haya superado la tarea en la segunda ocasión que
se presenta la situación V1, ya que CEd (4,11) es uno de los tres niños que
después realizarán con éxito la tarea del estado siguiente, pero hay que tener en
cuenta que esta niña ha superado la situación con una estrategia del tipo 4, es
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
212
decir tiene en cuenta el dato y actúa mentalmente de forma sintética ante la
correspondencia serial secuencia numérica/alternancia.
3.
Comparación de respuestas de las tareas asociadas a los Estados V y VI.
En el Estado V se da la construcción del instrumento serial en el tramo 1-10, hay por
tanto un soporte concreto material, mientras que en las tareas del Estado VI se da la
aplicación de ese soporte a otros tramos de la secuencia numérica distinto del 1-10.
Nos encontramos con los siguientes casos:
3.1 Hay niños que no alcanzan a resolver la tarea asociada al Estado VI pero
han llegado a superar las situaciones VI2 y VI3 además de la tarea
asociada al Estado V. Estos niños presentan una de estas dos opciones:
No determinan el primer elemento del tramo al que aplicar el instrumento
secuencial “a-sí, a+-no….” del que disponen y conocen (pues son niños que
han superado la tarea del Estado V) como es el caso, por ejemplo, de RJa
(4,11), RAl (5,8) ó MNu. (6,2)
RAl (5,8) I.Cuando lleguemos al 20, en el 20 ¿habrá pan o no?. N – No. I – ¿Por qué? N –
Sí, sí, sí. I – ¿Por qué?. N – Por ... porque en el 20 hay pan ...hasta el 22... Entonces en el 20
y el 22...
Tienen un método sistemático para averiguarlo: “empezar desde 1 con el
instrumento secuencial “a-sí, a+-no….”, pero ese método se dificulta cuando
se trata de un número grande (resuelven el problema del primer elemento) y
no llegan a dar la solución. En esta situación estarían, por ejemplo, CNa.
(5,7) ó REl. (6,2)19
REl. (6,2). I –Entonces, ahora, Elena, dime desde el 45,... ¿en el 45 come?.N – (Se queda
un rato en silencio pensando.) I – ¿Cómo lo estás pensando? ¿Contando desde el 19? N –
Es que ....(se pone la mano en la cabeza pensativa). I – ¿Qué has empezado desde el 1? N –
Porque es que como...I – ¿Qué has empezado desde el 1 a contar? En el 1, en el 3,... ¿todo
eso?. N – Y si no, ¿cómo?
Las consideraciones realizadas en este punto nos lleva a las siguientes
reflexiones:
Los niños que únicamente usan el instrumento secuencial, sin llegar a aplicar
esquemas lógicos matemáticos de primer elemento para la determinación de
posiciones ordinales en un tramo cuyo extremo inferior es superior a 10, no
alcanzan el Estado VI de relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica.
No es condición suficiente tener un método sistemático para determinar posiciones
ordinales en la secuencia numérica y establecer con ello relaciones lógicas
ordinales en cualquier tramo de la secuencia.
19
En el caso de REl. (6,2), como se puede observar en la tabla 1 de este mismo apartado, las tareas de los
estados III, IV y V las resuelve con la estrategia 333, es decir usando el instrumento secuencial desde el
primer elemento (desde uno).
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
213
Debemos hacer notar los casos de HCi 5,8 y HSa 5,8 que logran realizar la tarea
del estado V pero no llegan a realizar la situación VI3 pero sí VI2, ello es debido a que,
aunque consiguen extender el instrumento secuencial más allá de 10, justifican mediante
la alternancia, nunca cuentan de dos en dos y tienen dificultades al decir en el siguiente
número que sí come. Estas dificultades se reflejan en las estrategias usadas en la
resolución de la tarea del estado V, que son en el primer caso 2 y en el segundo 1.
3.2 Consideramos, en este punto, los niños que no llegan a resolver la tarea
asociada al estado V pero han realizado la segunda y tercera situación, es
decir están en V2a y V3a, y que con respecto a la tarea del estado VI no ha
superado la segunda situación.
En este caso los niños no saben determinar el siguiente número en el que sí
come en el tramo 1-10, por eso no superan con éxito la tarea asociada al
Estado V, pero al realizar correctamente las situaciones V2 y V3 muestran
competencias en la construcción del instrumento secuencial secuencia
numérica/alternancia (situación V2) y en la determinación de una posición
lógica ordinal con ese instrumento en el tramo 1-10 (situación V3). Y con
respecto al Estado VI no construyen el instrumento secuencial precisamente
porque no saben decir el siguiente número en el que sí come y por tanto a
partir de 9 no saben continuar, por lo que no superan la situación VI2, es
decir son niños que aunque les resuelva el problema del primer elemento no
saben continuar con el instrumento secuencial en tramos cuyo extremo
inferior es superior a 10
Niños que están en esta situación son: RAn. (4,2), CSu. (4,10), BIn. (6,2),
CPa (5,9)20
RAn. (4,2), I – Y así van todos, vale. Entonces, ¿en el 12 hay pan?.N – No. I – ¿Por qué?. N –
Porque yo cuento en el 1 y en el 2 y en el 3 y en el 4 y en el 5 y en el 6 en el 7 y en el 8 y en el 9
y en el 10 y en el 7 y en el 8 y en el 9 y en el 10 y en el 12 y en el 13, y en el 14 y en el 12 no hay
pan21. …I – Muy bien, Antonio, entonces después del 13 ¿en qué número come?. N – Voy a
contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 9, 10, el 11, el 12, el 13,el ... , después del 13, el ...14. I –Es
el número que le sigue a 13 que sí come. N –¿Qué?… I – ¿Y en el 22 hay pan?. N – No. I – ¿Por
qué?. N – Sí, sí, sí. N – Porque... es que, es que, es que... el primero que sí22. I –Después del 22
¿qué números vienen en los que sí come?. N –¿Qué?…
Tenemos lo siguiente:
El que un niño tenga construido el instrumento secuencial en el tramo 1-10 secuencia
numérica /alternancia y localice posiciones ordinales con ese instrumento en ese tramo,
no es condición suficiente para: Determinar posiciones lógicas ordinales23 en el tramo 110 versus alternancia como instrumento comparativo, y extender el instrumento
secuencial a tramos cuyos extremos inferiores sean mayores que 10
20
El caso de CPa (5,9) difiere un poco de los anteriores pues el problema de ella con respecto a la tarea
VI es que no sabe continuar aplicando el instrumento secuencial con número que estén alejados de 10, por
eso supera la situación VI2 y no la VI3.
21
Aplica sí-no a la secuencia, pero no sabe determinar el siguiente en la secuencia que es sí por eso es
V1b
22
La determinación del primer elemento es capital
23
Distinguimos las posiciones lógicas ordinales de las posiciones ordinales, en cuanto que las primeras se
determinan a partir de otra posición dada como dato y en las segundas no.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
214
3.3.En este punto vamos a considerar las respuestas de los niños que con
respecto a la tarea V presentan, en las tablas correspondientes, las
coordenadas siguientes: (V1b, V2a,V3b), y con respecto a la tarea del
estado VI se da: (VI1b, VI2b, VI3b).
En esta situación se encuentran RJa (4,6), y la cuestión central está en que
este niño no sabe determinar el siguiente número a uno dado en el que sí
come, tanto en el tramo 1-10, como en otros tramos de la secuencia
numérica. La construcción del instrumento secuencial secuencia numérica
alternancia no es sintética24, dividiendo ese instrumento en dos: por una
parte está al alternacia y por otra la secuencia numérica
3.4.Este punto es igual que el anterior pero con respecto a la tarea del estado
VI los niños no han superado la situación VI2, por tanto en las tablas
correspondientes presentan las coordenadas, con respecto a la tarea del
estado V, siguiente: (V1b, V2a,V3b), y con respecto a la tarea del estado
VI se da: (VI1b, VI2b).
Están en esta situación: RMa (4,11), ROl. (5,3). Estos niños construyen el
instrumento secuencial secuencia numérica/alternancia en el tramo 1-10,
pero no lo usan para determinar posiciones ordinales, ni lógicas ordinales en
ese tramo, ni son capaces de extender el instrumento secuencial construido a
otros tramos distintos del señalado.
RMa. (4,11) I –¿En qué número, después del 5,... el Piolín come? N – ¿Qué número? I –
Después del 5 come. -N – Pone un Piolín en el escalón 7. I – Pero, ¿qué número es ese? N –
Ese, el 725. … I – La escalera es más larga, ¿eh? Está el 11, el 12, el 13, ... ¿ En qué número
después del 9 come, cariño?. N – En el 3. I – ¿En el 3 come después del 9? ¿Por qué?. N –
Porque... porque está mirando a los otros y por eso... quiere comer, pero ya no quiere comer.
Tenemos lo siguiente:
El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial, secuencia
numérica/alternancia, no es condición suficiente para establecer relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica versus alternancia como
instrumento de comparación
El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial para manifestar
relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 110, versus alternancia como instrumento de comparación; no es condición suficiente
para extender el instrumento secuencial construido a otros tramos distintos del señalado
24
25
En el sentido piagetiano (Piaget., Morf 1970)
Se mueve mentalmente con la alternancia y con los números por separado.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
215
3.5.Consideramos las respuestas de los niños con respecto a la tarea asociada
al estado V con las coordenadas: (V1b, V2b), y con respecto al estado VI
presentan: (VI1b, VI2b)
En esta situación se encuentran: MMa (5,5), MPa. (5,8), CFe. (3,11), BMa
(4,4), BLi. (4,4), BRu (4,10), BLo (5,7). Estos niños y niñas no han sido
capaces
de
establecer
el
instrumento
secuencial
secuencia
numérica/alternancia en el tramo 1-10, ni en ningún otro tramo de la
secuencia numérica. Lo cuál es lógico, pues si no lo consiguen en 1-10
difícilmente lo harán en otro.
MMa (5,5). I – Mira los piolínes están colocados en uno sí y en otro no, y este (1) es el 1, dime
los números en los que están colocados estos piolines (señala los de los escalones 3, 5, 7 y 9. N –
(Empieza hablando muy bajito) ...el 8 y el ... el 9. (señala el Piolín del escalón 9. I – Dime los
números sólo de los escalones que tiene pajaritos.. N – El 1 y el ... el 2 (3).... el 3, el 4(5), el 5(7),
el 6 (9) (V2b).
4.
Realizar con éxito la tarea asociada al Estado IV: (IV1a) ó (IV1b,IV2a,
IV3a, IV1a)
Empezamos el análisis con los niños que de primera instancia han resuelto la
situación IV1 de la tarea asociada al estado IV; estos niños son los que desde el
principio cuando se plantea la primera situación tienen en cuenta el dato numérico para
determinar otra posición ordinal a partir de él mediante la acción de contar.
Entre los niños que están en esa situación nos encontramos con los que superan la
tarea con estrategias:
55, como es el caso de REm (5,4), RAl (5,8), MMa (5,8), MNu (6,3), CEd
(4,11). Entre ellos se encuentran los niños que llegarán a lo más alto en la
prueba, es decir que lograrán realizar con éxito la tarea del estado VI.
Que realicen la tarea del estado IV con la estrategia 55 significa que
tienen en cuenta el dato de manera bidireccional, es decir en sentido
ascendente y descendente, cuentan de dos en dos, introducen términos
ordinales, etc. Diremos entonces que estos niños son capaces de establecer
relaciones lógicas ordinales versus conteo como instrumento comparativo.
Esto lo podemos observar en el siguiente ejemplo:
MMa, (5,8). I – … Éste (5) es el 5, ¿por qué sabes que éste (7) es el 7?. N – Porque me paso
el 6. I – Ahora sólo dejamos este que está en el 7. Quiero que sabiendo que ese es el 7
pongas uno en el 3. N – Coloca uno en el 3. I–¿Por qué sabes que éste (3) es el 3?. N –
Porque he contado para abajo. I – ¿Cómo?. N – Porque me paso al 6, al 5, al 4 y al 3
Los que pasan la tarea con la estrategia 44 significa que tienen en cuenta el
dato de manera unidireccional, pero en sentido descendente cogen otro dato
y a partir de él razonan como es el caso de CLu. (5,4)
CLu. (5,4). I – Claro, pero si uno está aquí, ese es el número 5, ¿qué has hecho para
adivinar que éste (9) es el número 9. N – Pues he hecho 5, 6, 7, 8 y 9 (va señalando con el
dedo los escalones). I Ahora (quita el Piolín 9) éste (5) es el número 5, yo quiero que
sabiendo que es el número 5 coloques uno en el número 3. N – Yo lo he puesto porque yo sé
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
216
cual es el número 3. (Coloca uno en el escalón 3). I – Ahora ponemos uno en el número 9
(lo pone) como tú habías dicho antes. Quiero que pongas uno en el número 7, ¿de acuerdo?
Pero sabiendo que éste (9) es el número 9 N – Está chupao, porque el 6 es ahí (pone un
Piolín en el escalón 6). I – ¿Y por qué sabes que es ahí?. N – Porque, mira, aquí éste el 6
(6). y este (7) es el 7.
Además de esta niña encontramos otros niños que también resuelven la
tarea del Estado IV con la estrategia 44, como son: CNa (5,7) ó BJu (5,4).
Para estos niños, también entendemos que establecen relaciones lógicas
ordinales versus conteo como instrumento comparativo, pues parten de un
dato, aunque no sea el dado, para a partir de él razonar y encontrar una
posición ordinal, lo que ocurre es que las relaciones lógicas ordinales
elegidas para realizar la actividad serán del tipo “siguiente inmediato ó
siguiente” y se omiten los esquemas lógicos matemáticos de “anterior
inmediato ó anterior” en la forma de proceder.
Resuelven la tarea con la estrategia 33 los siguientes niños: REl (6,2), RJu
(3,11), RAn (4,2), RJa (4,6), REl (6,2), MJu 4,2, MPa (5,8), CSu (4,10), HCi
(5,8). Estos niños se caracterizan porque en sentido ascendente tienen en
cuenta el dato para localizar una posición ordinal a partir de otra a través del
conteo, pero en sentido descendente empiezan desde uno, y, en ese sentido,
es una estrategia menos evolucionada que la anterior pero se siguen
manteniendo los mismos logros, en cuanto a las relaciones lógicas ordinales
versus conteo como instrumento comparativo, que en el punto anterior.
Los niños que resuelven la tarea con estrategias inferiores a 33 son los que lo
hacen por ensayo y error.
Los niños que para resolver la tarea asociada al estado IV presentan las coordenadas
(IV1b, IV2a, IV3a, IV1a) son los que han tenido dificultad a la hora de considerar dos
números simultáneamente, al tener que localizar una posición ordinal a partir de otra,
pero que resuelven fácilmente el problema de localizar una posición ordinal a través del
conteo y por supuesto cuentan correctamente los escalones.
5.
Realizar con éxito la tarea asociada al Estado III: (III1a) ó (III1b, III2a,
III3a, III1a)
Los niños que han superado con éxito la tarea asociada al Estado III, son niños que
en sus tablas correspondientes se dan las coordenadas:
(III1a), como es el caso de: RJu 3,11, RJa 4,6, RMa 4,11, RJe 4,11, ROl 5,3,
REm 5,4, RAl 5,8, REl 6,2, MJu 4,2, MMa. 5,5, MMa. 5,8, MNu 6,3, CSu 4,10,
CLu 5,4, CNa 5,7, BMa 4,4, BJu 5,4, HCi 5,8, HSa 5,8.
Estos niños, cuando la estrategia seguida sea 22 significará que conoce el
criterio de la alternancia y actúan con ese razonamiento (“porque en uno hay y
en otro no”, “porque da un salto”, etc.) pero no tienen en cuenta el dato, ni
empiezan desde uno (les faltaría un método sistemático) para determinar una
posición lógica ordinal usando la alternancia como instrumento secuencial, por
tanto actuarían por ensayo y error hasta encontrar la solución, aunque cuenrtan
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
217
con un instrumento secuencial, conocen el criterio pero les faltan el primer
elemento que genera la sucesión.
Los que actúan con una estrategia mayor ó igual que 33 han sido capaces
de construir un instrumento secuencial como es la alternancia mediante el cuál
pueden determinar posiciones lógicas ordinales de una manera sistemática
empezando desde el primero ó bien estableciendo relaciones lógicas ordinales
usando la alternancia a partir de un elemento de la serie para determinar otro. Es
significativo la frase de RAl (5,8) cuando se refiere a la alternancia como
instrumento secuencial para contar
RAl (5,8). N – Porque...porque he contado y habías dicho uno sí, otro no, otro sí. (Coloca los
dedos en los escalones 1, 2, 3 y 4)
(III1b, III2a, III3a, III1a), como es el caso RAn (4,2), MPa (5,8), CFe (3,11),
CEd. (4,11), CPa (5,9), BRu. (4,10).
De los 6 niños que están en esta situación, 4 niños la realizan con estrategia
menor ó igual a 2, y uno con la estrategia 3, ninguno de ellos lograrán,
posteriormente, realizar la tarea del estado V.
6.
Comparación de respuestas de las tareas asociadas a los Estados III, IV
y V.
En estos tres estados se da la construcción de un instrumento secuencial: en el III
tenemos la alternancia, en el IV el conteo y en el V la correspondencia serial secuencia
numérica/alternancia, por tanto se trata de analizar y estudiar cuando los niños usan el
instrumento secuencial propio del estado V en función de los instrumentos construidos
en los dos estados previos.
Nos encontramos con los siguientes casos:
6.1 Realizan correctamente cada una de las tareas asociadas, respectivamente, a
cada uno de los tres estados
Los niños que están en esta situación presentan alguna de estas ternas de
estrategias: (2, 3, 2)26, (4,5,4), (5, 5, 5), (5, 5, 4), (3,3,3), (3, 3, 2) (3,4,2) (4,4,2),
(2,4,2) (4, 3, 2) (1,2,1).
La estrategia del estado V nunca mejora la del estado III, en todo caso la iguala.
Las actuaciones del tipo (x, y, 2) muestran que, los niños que así proceden, aún
sabiendo encontrar el siguiente número a uno dado en el que sí come, es decir
pensar con el instrumento del estado V, a la hora de justificar sus respuestas
prefieren usar los instrumentos secuenciales propios de los estados III y IV por
separado para resolver problemas propios del estado V. Pero ninguno de estos niños
al final alcanzan el estado VI.
26
Cada componente de la terna representa la estrategia de los estados III, IV y V respectivamente.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
218
Hay niños, los que actúan de la forma (4, 4, 2), que a pesar de conseguir buenos
rendimientos en las tareas asociadas a los estados III y IV, no consiguen razonar
con los esquemas lógicos matemáticos propios del Estado V y estarán resolviendo
tareas de este estado sin la síntesis que debe comportar la alternancia y la secuencia
numérica.
Las ternas del tipo (x, y, 3) únicamente aparecen cuando x e y toman también el
valor 3, ello significa que los niños que así proceden, para usar los instrumentos
secuenciales de cualquier estado disponen de un método sistemático: el de empezar
por uno.
Cuando tenemos (x, y, 4) ó (x, y, 5), se da que x e y toman valores mayores ó
iguales a 4, y ello significa que los niños utilizan la alternancia y el conteo para
determinar posiciones lógicas ordinales pues tienen en cuenta el dato, y es entonces
cuando usan la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia como
instrumento secuencial para determinar posiciones lógicas ordinales. Estos niños
son los que presentan la posibilidad de alcanzar el Estado VI.
6.2.
Resuelven las tareas asociadas a los estados III y IV pero no resuelven la
del estado V.
Consideraremos el caso en el que no se resuelve la tarea asociada al estado V,
pero se superan las situaciones V2 y V3. Los niños que están en esa situación, como por
ejemplo RAn 4,2, son capaces de aplicar sí-no a la secuencia a partir de un término
cualquiera distinto de uno, pero no saben determinar el siguiente de un término
cualquiera que es que sí, por ello decimos que no logran determinar relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia como
instrumento secuencial. Estos niños han superado los estados III y IV con estrategias:
(2,3), (3,3), por tanto son niños que usan los instrumentos secuenciales de forma
sistemática empezando por uno (caso 3,3), ó bien conocen el criterio y lo aplican pero
no saben justificarlo (caso 2,3).
Cuando no se supera la situación V3, es decir cuando con respecto al estado V se
tienen las coordenadas (V1b, V2a, V3b), y se han superado las tareas correspondientes a
los estados III y IV, podemos considerar que aunque logren establecer el instrumento
secuencial secuencia numérica/ alternancia, éste no le sirve para resolver problemas de
ordinación, a pesar de que con los instrumentos secuenciales propios de los estados III y
IV sí han resuelto tareas de esos estados. En esta situación se encuentran: RJa (4,6),
RMa (4,11), ROl (5,3). Las estrategias que presentan estos niños en los estados III y IV
no pasan de 2 para el III y de 3 para el IV.
Considerando, ahora el caso en el que no se llega a resolver la tarea del Estado V
dándose estas coordenadas (V1b, V2b) pero habiéndose realizado con éxito las tareas
asociadas a los estados III y IV, tenemos que para estos casos los niños han sido capaces
de establecer, por separado, la alternancia y conteo como instrumentos secuenciales
llegando, con ellos, incluso a determinar posiciones lógicas ordinales pero son
incapaces de establecer un nuevo instrumento que sintetice los dos anteriores mediante
una correspondencia serial. En este caso nos encontramos a MMa (5,5), MPa (5,8),CFe
(3,11).
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
219
6.3.Resuelven las tareas asociadas al estado III pero no resuelven las de los estados
IV y V.
En esta situación nos encontramos sólo un caso: HLo (4,7), con coordenadas
respecto a las tareas de los tres estados siguientes: (III1a), (IV1b, IV2a, IV3b) y
(V1b,V2b). Esta niña tiene muy claro el criterio de la alternancia y no se
equivoca nunca con el razonamiento “porque en uno hay y en otro no”, sin
embargo con respecto al conteo, a pesar de que cuenta los escalones
correctamente (IV2a), se equivoca a la hora de localizar posiciones ordinales
(IV3b) y lógicas ordinales (IV1b) usando el conteo como instrumento
secuencial. Y en cuanto a la secuencia numérica/alternancia no llega ni siquiera
a construir la correspondencia serial.
Este es un caso, de los ya contemplados en el estudio exploratorio, en el que los
niños resuelven mejor tareas de ordinación con instrumentos secuenciales
sencillos como la alternancia que las mismas tareas con el conteo como
instrumento.
6.4.Resuelven la tarea asociadas al estado IV pero no resuelven las de los estados
III y V.
No hemos encontrado casos en esta situación, todos los niños entrevistados que
han resuelto la tarea de conteo, habían resuelto previamente la tarea de la
alternancia.
6.5.Resuelven la tarea asociadas al estado V pero no resuelven las de los estados III
y IV.
No se da esta situación, todos los niños entrevistados que han resuelto la tarea de
la correspondencia serial como instrumento, habían resuelto previamente las
tareas de la alternancia y el conteo como era de esperar según los resultados del
estudio exploratorio.
6.6.No resuelven ninguna de las tareas asociadas los estados III, IV y V.
Según el aspecto técnico y protocolario del desarrollo de las entrevistas27,
cuando un niño no llega a realizar con éxito las tareas asociadas a dos estados
consecutivos entonces no se pasa la del estado siguiente. Por consiguiente, si no
han superado las tareas de los estados III y IV no se pasa la del V porque
suponemos que no la va a superar. Existen algunas excepciones en las que se
llegaron a pasar la prueba completa para reafirmar nuestro supuesto.
Nos encontramos con niños que construyen los instrumentos secuenciales con la
alternancia y el conteo pero no resuelven con ellos los problemas de ordinación
planteados en las tareas III y IV; son los que, en las tablas correspondientes,
aparecen marcadas las casillas correspondientes a III2a y IV2a pero no llegan a
27
Ver apartado 6.3 de esta mismo capítulo
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
220
realizar con éxito las tareas en cuestión. En esta situación se encuentran: MRa
(4,4), MAl (5,1), CAd (4,8), BIn (6,2), HDa (4,4).
Debemos hacer hincapié en el caso en que para la tarea del Estado IV se dan las
coordenadas (IV1b, IV2a, IV3b) y no se resuelven las tareas asociadas a los
estados III y V. Esto significa que los niños han contado correctamente los
escalones del 1 al 10 (IV2a) pero no han resuelto ningún problema de ordinación
con el conteo, ni han sido capaces de construir otros instrumentos secuenciales,
prenuméricos y numéricos, con los que actuar ordinalmente.
El caso señalado anteriormente es el de coordenadas (III1b, III2b), (IV1b, IV2a,
IV3b). En este caso se encuentran: MAl (3,4), BNo (3,6), HJo (4,4), y el caso de
HPa (5,10) que llega incluso a contar y localizar una posición ordinal mediante
el conteo, pero no construye otros instrumentos secuenciales, por ello sus
coordenadas, con respecto a la cuarta tarea, son: (IV1b, IV2a, IV3a. IV1b)
Hay niños, que por el contrario al caso señalado anteriormente, construyen el
instrumento secuencial de la alternancia pero no realizan el conteo
correctamente, son los casos en los que marcamos las casillas correspondientes a
III2a y IV2b, como son: MMar (3,11), MMa (5,1), CAn (3,5), CRo (3,6).
Finalmente, nos encontramos con niños que no establecen ninguno de los dos
instrumentos (ni la alternancia ni cuentan correctamente), en estos casos no
encontramos marcadas las casillas correspondientes a III2b y IVb. En esta
situación se encuentran: RRo (3,4), BKe (3,9), BJo (3,10), HMa (3,5), HJu (3,9),
HMa (3,11).
7.
Realizar con éxito la tarea asociada a los Estado I y II: ((I1a) ó (I1b, I2a,
I3a, I1a)) y ((II1a) ó (II1b, II2a, II3a, II1a))
La gran mayoría de niños (38 de los 47) han superado con éxito las tareas asociadas
a los estados I y II, con coordenadas (I1a) y (II1a) es decir de primera instancia, en su
mayoría (todos salvo tres) con estrategias mayores ó iguales que 33 con respecto a la
segunda tarea y con estrategias mayores o iguales que 44 respecto a la primera.
Para estos casos, se entiende que los niños son capaces de diferenciar los elementos
de una serie (la escalera) al tener que etiquetarlos siguiendo el orden de sucesión de los
peldaños (esto es lo que significa que los niños resuelvan la tarea I con la estrategia 44).
Por otra parte, el niño es capaz de comparar dos elementos consecutivos de la escalera
mediante la relación infralógica de orden topológico “estar al lado de” cuando resuelve
la tarea asociada al estado II con una estrategia mayor o igual a 33.
Algunos niños resuelven las tareas I y II en otras condiciones distintas a las
señaladas anteriormente (5 de los 47), es decir resuelven de segunda instancia. Estos
niños no llegan a realizar las tareas del estado siguiente salvo el caso de MPa (5,8) que
llega a realizar correctamente hasta la tarea del estado IV, pero este niño procede con la
estrategia 44 en el estado II.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
221
Todos los niños entrevistados han superado las tareas asociadas a los estados I y
II salvo HJu (3,9) y HJo (4,4) que no han realizado con éxito la tarea asociada al estado
II
8.
Comparación de respuestas de las tareas asociadas a los Estados I y II
con respecto a los demás estados.
Como ya hemos indicado en los párrafos anteriores, la gran mayoría de niños
resuelven las tareas asociadas a los estados I y II de primera instancia y con estrategias
mayores o iguales que 3. Por este motivo nos vamos a centrar en los casos que ésto no
es así, considerando los siguientes puntos:
Resuelven de primera instancia pero con estrategias menores que 3 en alguna de
las dos tareas.
En esta situación están: CAn (3,5), CFe (3,11), HMa (3,5), HDa (4,4), estos
niños actúan en algún caso por ensayo y error, no consiguen buenos resultados
en las tareas de los estados sucesivos.
Resuelven las dos tareas pero no de primera instancia, al menos, en alguno de
los dos casos.
El aspecto a destacar dentro de este punto se da cuando se presentas las
coordenadas (II1b, II2a, II3a, II1a) con respecto a la segunda tarea. Ello significa
que los niños identifican a nivel verbal antes y después, ó frases como
“justamente antes” y “antes de”, dado un término de una serie sólo ven un
sentido, por eso en un principio es II1b, pero después de plantear las situaciones
II2 y II3 el niño toma en consideración que estamos hablando de dos sentidos:
ascendente y descendente.
Los niños que están en la situación marcada por este punto son: MAl (3,4),
MMar (3,11), MPa (5,8), CRo (3,6), BJo (3,10). Como ya hemos indicado, estos
niños no llegan a realizar las tareas del estado siguiente salvo el caso de MPa
(5,8) que llega a realizar correctamente hasta la tarea del estado IV, pero este
niño procede con la estrategia 44 en el estado II.
No resuelven la tarea asociada al estado II
En esta situación se encuentran HJu (3,9) y HJo (4,4), ninguno de estos niños
alcanzan a realizar ninguna de las tareas de los estados sucesivos. Debemos
destacar que HJo (4,4) que consigue pasar la tarea I con una estrategia del tipo 4,
cuenta los escalones correctamente en la tarea asociada al estado IV pero no
consigue por ello resolver ningún problema de ordinación.
9.2. Niveles asociados al modelo evolutivo teórico.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
222
Pretendemos determinar los perfiles de los niños que conforman una categoría
determinada atendiendo a que en la prueba, del estudio empírico cualitativo que estamos
realizando, hayan sido capaces de realizar o no la tarea asociada a un estado k del
modelo evolutivo.
Para ello consideraremos las tablas (6-10) siguientes que sintetizan los
resultados de las tablas 1-5 del punto anterior. Previamente, aclararemos que:
Cada casilla de la primera fila indica la tarea asociada a un estado
En la primera columna se indica el centro del que se trata
Cada casilla de la segunda columna indica las iniciales del nombre del niño y
su edad, el primer número indica los años y el segundo los meses.
Cada casilla marcada, de una fila y columna dadas, representará que el niño,
de esa fila, ha superado la tarea asociada al estado correspondiente, de esa
columna.
Colegio Concertado
Provincial Urbano, R
I
II
III
IV
V
VI
Ro. 3,4
Ju. 3,11
An. 4,2
Ja. 4,6
Ma. 4,11
Je. 4,11
Ol. 5,3
Em. 5,4
Al. 5,8
El. 6,2
Tabla 6. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio privado
urbano R.
Colegio Público Provincial
Urbano M.
I
II
III
IV
V
VI
Al. 3,4
Mar. 3,11
Ju. 4,2
Ra. 4,4
Al. 5,1
Ma. 5,1
Ma. 5,5
Pa. 5,8
Ma. 5,8
Nu. 6,3
Tabla 7. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio público,
provincial, urbano M.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
223
Colegio Infantil: de la
Capital, C.
I
II
III
IV
V
VI
An. 3,5
Ro. 3,61
Fe. 3,11
Ad. 4,8
Su. 4,10
Ed. 4,11
Lu. 5,4
Na. 5,7
Pa. 5,9
Tabla 8. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio infantil de
la capital C.
Colegio Público: de la
Capital, B.
I
II
III
IV
V
VI
No. 3,6
Ke. 3,9
Jo. 3,10
Ma. 4,4
Li. 4,4
Ru. 4,10
Ju. 5,4
Lo. 5,7
In. 6,2
Tabla 9. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio público de
la capital B.
Colegio Público (Media
Línea) Rural, H.
I
II
III
IV
V
VI
Ma. 3,5
Ju. 3,9
Ma. 3,11
Da. 4,4
Jo. 4,4
Lo. 4,7
Ci. 5,8
Sa. 5,8
Pa. 5,10
Tabla 10. Distribución de respuestas por tareas asociadas a los estados de los niños del colegio público,
provincial, rural H.
De la observación de las tablas podemos decir que todos los niños que han
realizado con éxito la tarea asociada al Estado K del modelo evolutivo, realizan
correctamente todas las tareas asociadas a estados inferiores. Este hecho se visualiza en
las tablas de la siguiente forma: si consideramos una casilla marcada cualquiera,
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
224
entonces están marcadas todas las que se encuentran a la izquierda de la misma, y si por
la derecha aparece una casilla en blanco entonces todas las que le siguen, por la derecha,
están también en blanco; es decir, dada una fila cualquiera no encontramos casillas en
blanco entre casillas marcadas, no hay huecos.
Todo ello contribuye a confirmar que la prueba que estamos considerando ha
funcionado en el sentido que los esquemas lógicos matemáticos implicados en los
estados del modelo teórico están escalonados de menor a mayor dificultad y la realidad
empírica lo corrobora. Por tanto, podemos categorizar a los niños en niveles creciente
evolutivos, en los que en cada nivel se perfilan unas características lógicas matemáticas
propias de cada uno de los estados del modelo teórico. En este sentido, los niveles
quedan definidos como sigue:
Los niños de este nivel son los que consiguen realizar con éxito tareas
Nivel I.
asociadas al estado I, pero no superan tareas propias del estado II del modelo
evolutivo.
Nivel II.
Aquí se encuentran aquellos niños que consiguen realizar con éxito tareas
asociadas a los estados I y II del modelo evolutivo y no realizan las propias del
estado III.
Nivel III.
En este nivel están los niños que realizan correctamente tareas asociadas
a los estados I, II y III del modelo evolutivo, pero no logran las propias del estado
IV
Nivel IV.
Los niños de este nivel son los que logran la realización correcta de las
tareas propias de los estados I, II, III y IV del modelo evolutivo, y no hacen lo
mismo con tareas del estado V.
Nivel V.
Pertenecen a este nivel todos aquellos niños que realizan tareas asociadas
a los estados I, II, III, IV y V del modelo evolutivo pero no con tareas del estado
VI.
Nivel VI.
Se encuentran los niños que han logrado realizar con éxito todas las
tareas propias de todos los estados del modelo evolutivo presentado.
Comparando las frecuencias28 de los distintos niveles en un curso determinado de
Educación Infantil tenemos para cada uno de ellos lo siguiente:
1) Educación Infantil 3 Años.
Quince de los cuarenta y siete niños entrevistados son de esta edad y su distribución
por niveles es la siguiente:
3 años
I
1
II
10
Observaciones:
28
Estas se obtienen a partir de las tablas 6-10 de este apartado.
III
-
IV
2
V
2
VI
-
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
225
a) El 73,3% de los niños de Infantil 3 años entrevistados son de los niveles I ó II, de
los cuales el 90,9% son del nivel II, con lo cual podemos afirmar que un porcentaje
alto (más del 70%) de niños de Infantil de 3 años únicamente llegan a comparar los
elementos de una serie con esquemas infralógicos de espacio y tiempo sin llegar a
aplicar otros instrumentos más evolucionados de comparación.
b) El resto de niños que no están en los niveles I y II, están en los niveles IV y V, por
tanto, en Educación Infantil de 3 años podemos encontrar algunos niños que
establecen relaciones lógicas ordinales entre los elementos de una serie usando el
conteo ó la alternancia, y otros niños que incluso llegan a establecer relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica usando la alternancia
como instrumento.
2) Educaciín Infantil 4 Años.
Dieciséis de los cuarenta y siete niños entrevistados son de esta edad y su
distribución por niveles es la siguiente:
4 años
I
1
II
6
III
1
IV
6
V
1
VI
1
Observaciones:
a) Encontramos de 4 años en todos los niveles, con mayor frecuencia se dan los de los
niveles II y IV. Por tanto, podemos decir que los niños de 4 años, en su mayoría (un
75%) bien utilizan sólo esquemas infralógicos para comparar los elementos de una
serie, o bien usan instrumento secuenciales como la alternancia o el conteo para
determinar posiciones ordinales y lógicas ordinales y comparar así los elementos de
una serie. Podemos encontrar algunos niños que incluso aplican esquemas de
seriación cíclica para generalizar relaciones ordinales del tramo 1-10 a otros tramos.
b) El aumento de la frecuencia a favor del nivel IV con respecto a los niños de 3 años,
significa que los niños de 4 años, con respecto a los de 3, usan instrumentos
secuenciales más evolucionados que los infralógicos como son la alternancia y el
conteo para comparar elementos de una serie.
3) Educación Infantil 5 Años.
Dieciséis de los cuarenta y siete niños entrevistados son de este curso de Educación
Infantil y su distribución por niveles es la siguiente:
5 años
Observaciones:
I
-
II
2
III
-
IV
4
V
8
VI
2
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
226
a) El 87,5% de los niños entrevistados de Educación Infantil de 5 años se encuentran
en niveles mayores o iguales a IV. Ningún niño se encuentra en el primer nivel y
encontramos algunos en el nivel II.
b) El nivel más frecuente es el V, por lo tanto la mayoría de los niños de 5 años son
capaces de usar la alternancia como instrumento de comparación entre los términos
numéricos, y algunos de ellos llegan a aplicar esquemas lógicos matemáticos de
seriación cíclica al tramo 1-10 y extrapolar las relaciones lógicas ordinales entre
esos términos numéricos a otros de cualquier tramo con extremo superior menor que
100.
Observamos que los niños de 3 años tienen mayor representatividad en los dos
primeros niveles, los de 4 están repartidos por todos los niveles y en los que tienen
mayores frecuencias no son consecutivos, y por último, los de 5 años están
mayoritariamente en los tres niveles superiores, por consiguiente, podemos decir que se
trata de un conocimiento que evoluciona con la edad.
10. Resultados y conclusiones.
Uno de los propósitos de este estudio era caracterizar y justificar los resultados
de la prueba asociada al modelo evolutivo, y dar significado a los comportamientos
generales encontrados, así como a los procedimientos, destrezas y estrategias ordinales
que los niños de Educación infantil utilizan para resolver problemas de ordinación, es
decir, completar los perfiles de competencias ordinales correspondientes a cada uno de
los niveles establecidos tras el estudio cualitativo. Dicha caracterización es:
Nivel I.
Se caracterizan porque son capaces de etiquetar los elementos de una serie
diferenciándolos unos de otros, pero sin establecer comparaciones entre ellos
Nivel II.
Se caracterizan porque además de diferenciar los elementos de una serie son
capaces de compararlos mediante el orden temporal o topológico pero no con otro
instrumento secuencial sencillo como la alternancia.
Nivel III.
Las características fundamentales son : diferenciar los elementos de una serie,
comparar dichos elementos mediante el orden temporal o topológico y además
establecer relaciones lógicas ordinales entre los elementos de la serie usando la
alternancia como instrumento secuencial, pero no logran hacer esas
comparaciones con la secuencia numérica como instrumento.
Nivel IV.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
227
Sus características son: diferencian los elementos de una serie, comparan dichos
elementos mediante el orden temporal o topológico, establecen relaciones lógicas
ordinales entre los elementos de la serie usando la alternancia como instrumento
secuencial y, además, aplican relaciones lógicas ordinales entre los elementos de
una serie usando el conteo como instrumento comparativo, sin llegar a comparar
los elementos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento
comparativo.
Nivel V.
Se caracterizan porque además de diferenciar los elementos de una serie,
compararlos mediante el orden temporal ó topológico, también con la alternancia
y el conteo como instrumentos secuenciales; son capaces de diferenciar, y con
ello, establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica usando la alternancia como instrumento comparativo, todo ello en el
tramo 1-10, pero no son capaces de extrapolar estas capacidades a otros tramos de
la secuencia con extremos inferiores mayores que 10.
Nivel VI.
Un niño que se encuentre en este nivel tiene todas las características del nivel
anterior y además es capaz de aplicar esquemas lógicos-matemáticos de seriación
cíclica generados por el tramo 1-10 a otros tramos de la secuencia.
Como última observación, debemos hacer notar lo que ocurre en el nivel VI en
cuanto que, los niños que alcanzan ese nivel son los que resuelven la tarea asociada al
estado VI con estrategias de tipo 55 y de ahí se obtiene las siguientes conclusiones:
29
•
Para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica en cualquier tramo de ella, es necesario que se apliquen esquemas
lógicos-matemáticos de seriación cíclica generados por el tramo 1-10.
•
Los niños que únicamente usan el instrumento secuencial, sin llegar a aplicar
esquemas lógicos matemáticos de primer elemento para la determinación de
posiciones ordinales en un tramo cuyo extremo inferior es superior a 10, no
alcanzan el Estado VI de relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica
•
No es condición suficiente tener un método sistemático para determinar
posiciones ordinales en la secuencia numérica y establecer con ello relaciones
lógicas ordinales en cualquier tramo de la secuencia.
•
El que un niño tenga construido el instrumento secuencial en el tramo 1-10 de la
secuencia numérica /alternancia y localice posiciones ordinales con ese
instrumento en ese tramo, no es condición suficiente para: Determinar
posiciones lógicas ordinales29 en el tramo 1-10 versus alternancia como
instrumento comparativo, y extender el instrumento secuencial a tramos cuyos
extremos inferiores sean mayores que 10
Distinguimos las posiciones lógicas ordinales de las posiciones ordinales, en cuanto que las primeras se
determinan a partir de otra posición dada como dato y en las segundas no.
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Capítulo VI. Estudio empírico cualitativo.
228
•
El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial, secuencia
numérica/alternancia, no es condición suficiente para establecer relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica versus alternancia
como instrumento de comparación. Ni siquiera, tampoco lo es, el que el niño
establezca el instrumento secuencial para manifestar relaciones lógicas ordinales
entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 1-10, versus alternancia
como instrumento de comparación.
Como conclusión final a todo el estudio exploratorio realizado hemos de señalar
la culminación de P.E.R.T. (Planned Evaluation and Review Technique), propuesto en
el apartado 4 del capítulo II de este informe, para la evaluación del modelo teórico de
competencias ordinales que se expone en el capítulo V. Esto significa que se confirman
las hipótesis H5 y H6, y se alcanzan con ello los objetivos O5 y O6 además del objetivo
complementario C3.
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CAPITULO VII
CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS FUTURAS
1. Introducción.
En este informe presentamos un trabajo en la línea de investigación Pensamiento
Numérico, con la intención de complementar, desde la perspectiva del conocimiento
ordinal, y en relación con los procesos de enseñanza aprendizaje de la serie numérica
básica, los trabajos ya realizados en el tópico de las relaciones numéricas y secuencias
de números naturales.
En este capítulo exponemos los aspectos fundamentales del trabajo, haciendo
referencia a los siguientes puntos:
•
Objetivo general, objetivos específicos, hipótesis y metodología, indicando
los estudios en los que nos hemos basado para la confirmación de las
hipótesis
•
Exposición de las conclusiones generales y logros más relevantes
•
Perspectivas futuras, indicando vías abiertas para la realización de
investigaciones que aporten nuevos conocimientos a los logros
conseguidos.
•
Análisis de las consecuencias del trabajo sobre diversos aspectos
relacionados con la enseñanza aprendizaje del número natural en
Educación Infantil.
2. Objetivos e hipótesis de la investigación
Dentro de la línea de pensamiento numérico, el objetivo más general de esta
investigación es el siguiente (apartado 6, cap. I):
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
230
"Analizar la naturaleza y evolución del conocimiento lógico-ordinal de la
secuencia numérica en los escolares de Educación Infantil (3 a 6 años)"
Entendiendo por secuencia numérica lo siguiente:
"La secuencia numérica es una progresión dada por la relación generatriz
de Bolzano, es decir, es una progresión en el sentido de Bertrand Russell"
Y definiendo las relaciones lógicas ordinales como:
"Las relaciones generatrices de las progresiones de Bertrand
Russell, la función sucesor de Peano, o la representación ordenatriz de
Dedekind".
El objetivo general anterior se concretó en los siguientes objetivos específicos:
O1. Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del marco
general del número natural
O2. Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número natural
O3. Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la secuencia
numérica en la acción de contar
.
O4. Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia numérica
O5. Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal de la
secuencia numérica y comprobar, con escolares de Educación Infantil (3-6
años), la utilidad y eficacia del modelo para describir su comportamiento real en
el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos de la
secuencia numérica.
O6. Caracterizar cada uno de los diferentes estados de desarrollo en términos de
estrategias y procedimientos relativos al conocimiento ordinal
Objetivos complementarios:
C1.
Iniciar una línea de trabajo en Pensamiento Numérico en Educación Infantil,
dentro de la línea de investigación seguida por Ortiz Comas cuyo nivel de
concreción se da en "Razonamiento Inductivo Numérico".
C2.
Comprobar la utilidad del Análisis Didáctico para fundamentar y contextualizar
investigaciones en Educación Matemática.
C3.
Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este tipo de
investigaciones en las que se estudian conceptos lógicos-matemáticos en niños
de Educación Infantil
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
231
Para conseguir estos objetivos se han sometido a prueba las siguientes hipótesis
(apartado 7., cap. I):
H1. Existen corrientes epistemológicas que consideran las relaciones lógicas
ordinales del número natural como el origen de toda la construcción matemática
H2. Existen líneas en Educación Matemática que priman el aspecto ordinal del
número natural frente a su aspecto cardinal.
H3. Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación de
Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos tenerla en
cuenta en la didáctica del número natural.
H4. Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica
H5. Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte de un
diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas que
podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los esquemas
lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.
H6. Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer relaciones
lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica en niños de 3 a 6
años, se pueden organizar en un modelo teórico de desarrollo que explica y
describe la evolución del conocimiento lógico ordinal de la secuencia.
3. Estudios realizados
Para confirmar las hipótesis se han realizado dos tipos de estudios: estudios
teóricos y estudios empíricos cualitativos. Para cada uno de ellos se han utilizado
técnicas metodológicas concretas:
o Estudios teóricos: Análisis Didáctico
o Estudios empíricos cualitativos: entrevistas clínicas individuales y
semiestructuradas a niños de 3 a 6 años.
Han sido dos estudios empíricos: uno exploratorio, previo a la construcción del
modelo evolutivo definido en el capítulo V, y otro para determinar la validez empírica
de dicho modelo.
Las conclusiones del análisis didáctico (cap. III) y del estudio exploratorio (cap.
IV) han justificado la construcción de un modelo teórico de la evolución de las
competencias lógicas ordinales en la secuencia numérica en niños de 3 a 6 años, que
explica el desarrollo del conocimiento lógico ordinal en términos de competencias
prenuméricas y numéricas.
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
232
Debemos indicar que junto a los resultados del estudio exploratorio y del análisis
didáctico tenemos que añadir los resultados, ya conocidos, sobre la evolución del
conocimiento según Piaget, punto de referencia en nuestros planteamientos (apdo 2.
cap.II), para explicar y justificar el modelo construido.
Este modelo consta de seis estados evolutivos, que significan un dominio
progresivo de las relaciones lógicas ordinales versus instrumentos secuenciales
prenuméricos hasta evolucionar a la secuencia numérica. Así, pasamos desde un estado
de etiquetaje en el que sólo se diferencian elementos, hasta el logro de las relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica que representa el último
estado.
Para la validación empírica del modelo se creó una prueba constituida por seis
tareas, cada una de las cuales estaba asociada a un estado del modelo, por tanto, en cada
tarea se dan los esquemas lógicos matemáticos implicados en el estado correspondiente
(apdo. 4.1 Cap. V).
En el estudio empírico exploratorio, realizado con entrevistas clínicas
individualizadas a niños de 3 a 6 años, se llegó a establecer una escalabilidad entre las
categorías de respuestas que implicaban la pertinencia e idoneidad de un modelo de
desarrollo de las relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica. Dicha escalabilidad se da según los parámetros siguientes:
1. Relaciones ordinales previas al conteo
2. Relaciones ordinales en el conteo
3. Relaciones ordinales en la secuencia numérica como herramienta
Estos parámetros aparecían en una especie de jerarquización que nos permitió
delimitar estados evolutivos de conocimiento lógico ordinal en situaciones
prenuméricas y numéricas (ap. 3, cap. IV)..
El estudio empírico cualitativo (cap. VI) nos ha posibilitado:
•
Verificar, en una nueva muestra, los resultados del estudio exploratorio
•
Investigar la evolución de las competencias lógicas ordinales de los niños
de 3 a 6 años en tareas asociadas a estados de conocimiento ordinal
•
Investigar la distribución de los alumnos del segundo ciclo de Educación
Infantil según los distintos niveles asociados a los estados
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
233
4. Resultados y conclusiones de los diferentes estudios
4.1. Conclusiones del análisis didáctico
Si reflexionamos sobre la relación existente entre la interpretación y
construcción del conocimiento ordinal de la secuencia numérica en el niño, los modelos
ordinales del número natural y los casos relevantes de relaciones generadoras de series1,
se llega a la conclusión de que dicho conocimiento no se aplica en el vacío, es decir,
subyace a la sucesión de términos numéricos un entramado de relaciones lógicas
ordinales que hacen posible la construcción del número natural en su aspecto ordinal.
Tal y como se ha puesto de manifiesto en el análisis logicista (apartado 3.2. del
cap. III) de la secuencia numérica, a ella, se llega, a través de las relaciones ordinales
que se dan en un sistema de progresiones. Por tanto la secuencia numérica,
independientemente de la naturaleza de sus términos, posee un soporte conceptual
ordinal para su construcción.
Tener en cuenta ese soporte conceptual ordinal2 nos lleva a su integración en un
sistema conceptual e interpretativo coherente. Dicha coherencia pasa por las
concepciones y creencias sobre la secuencia numérica, lo que remite inmediatamente a
consideraciones de tipo psicológico, epistemológico y didáctico.
Las consideraciones epistemológicas se circunscriben al problema de la
naturaleza, origen y el modo de existencia del número natural y de la aritmética
elemental, de manera que la construcción de la secuencia numérica va a depender, en
este punto, de las conclusiones que se establezcan en torno al problema mencionado.
Tal y como se desprende del análisis didáctico, coexisten varios planteamientos
epistemológicos sobre el número natural que condicionan el significado de construcción
de la secuencia, estos son:
• La postura convencionalista está basada en los aspectos ordinales para la
construcción del número natural. El soporte inicial es la acción de contar y la
verbalización de la secuencia numérica. Para este enfoque, que parte de la
estructura superficial sin considerar la estructura profunda, los numerales y
los signos numéricos son convenciones, o normas, que actúan mediante unos
criterios.
• La secuencia numérica en el seno de la corriente logicista se desarrolla
dentro del sistema de progresiones que, según Bertand Rusell (1982),
coincide con el sistema de Peano y con el de Dedekind. Las relaciones
ordinales y el número ordinal bastan para desarrollar la secuencia y el
número natural. Existen modelos de construcción de la secuencia numérica
que no precisan de la definición previa de los términos numéricos y, por
tanto, son independientes del número cardinal.
1
Son las relaciones lógicas-ordinales definidas a partir de las relaciones asimétricas y biunívocas de
Bolzano.
2
Bajo la óptica de ese soporte conceptual ordinal hemos analizado la secuencia numérica en otros campos
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234
Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
• Para la epistemología genética el número natural es síntesis de dos
estructuras operatorias: clasificación y seriación. Como consecuencia, el
número es cardinal y ordinal construyéndose ambos aspectos
simultáneamente, es por ello que se da la correlación entre ambas génesis. La
estructura operatoria de seriación deriva en la ordinación3 y, entonces, el
tratamiento de la secuencia numérica, en este modelo, es el de una serie.
Las diferentes posiciones epistemológicas ante el número natural condicionan la
transmisión escolar de la aritmética, pero en todos los casos la secuencia numérica es
importante para su aprendizaje. Nos encontramos con prioridades opuestas como:
• Prioridad del número ordinal. Atendiendo a la Fenomenología de
Freudenthal, el número para contar es el pilar sobre el cual se sustenta toda
la Matemática y también su Didáctica, siendo el número para cardinar
matemática y didácticamente insuficiente.
• Prioridad del número cardinal. Se intenta una construcción lógica de la
aritmética a partir de nociones previas a la de número como es la noción de
conjuntos. La secuencia numérica se obtiene como una sucesión de números
cardinales y el tratamiento didáctico de siguiente de un número es aumentar
en uno la cantidad. Dienes es defensor de este modelo.
En cuanto a las consideraciones psicológicas, en el estudio del desarrollo del
número en el niño han aparecido dos grandes líneas de investigación, que se han
proyectado igualmente en los trabajos sobre enseñanza y aprendizaje de éste concepto:
por una parte el modelo lógico piagetiano y, por otra, el modelo de integración de
habilidades seguido ampliamente en nuestros días (véase, por ejemplo, Kints 1988,
Schaeffer y otros, 1974; Unglaub, 1997.)
Desde una perspectiva del desarrollo del conocimiento (que está en relación con
los planteamientos de la epistemología genética), hemos de basarnos en la psicología
evolutiva de Piaget. En este modelo la evolución del desarrollo infantil suele ser más
exigente, preocupándose menos de la precocidad de sus adquisiciones que de la
madurez cognitiva de las mismas. En cambio, el enfoque de procesamiento de la
información favorece más bien la detección de la precocidad y la cuantificación de lo
adquirido.
Tanto la correspondencia uno a uno como la secuencia ordenada de numerales
son componentes propias de los modelos procesuales del conteo (Gelman y Gallistel,
1978) presentándose en los dos principios: de correspondencia uno a uno y de orden
estable. Uno de los rasgos definitorios del principio de correspondencia uno a uno es
que todos los elementos gozan de igual status (i.e. no tienen propiedades, o las pierden,
que permitan a un elemento constituirse en distinto o diferenciable de los demás cuando
va a ser etiquetado), mientras que en el principio de orden estable los elementos se
caracterizan por las relaciones de orden que mantienen con los inmediatamente
anteriores y posteriores, que los hacen únicos e irrepetibles (Gelman y Gallistel 1978,
Fuson et al. 1982, Baroody 1986, Fuson 1988).
3
Terminología usada por Piaget para referirse al aspecto ordinal.
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
235
Esta interpretación de los principios está estrechamente relaciona con la
concepción del número según Piaget (identificando, el principio de correspondencia uno
a uno con la inclusión jerárquica y el del orden estable con la seriación). Piaget concibe
el número como resultado de la síntesis de la clasificación y la seriación, ya que cada
número es un todo formado por elementos, que son al mismo tiempo equivalente
(clasificación), y distintos, por lo que están también seriados u ordenados (véase, para
más detalles: Piaget y Szeminska 1941, Flavell 1982, Kamii 1982, Fuson 1988). En
consecuencia, la adquisición del número estará estrechamente ligada con la inclusión y
la seriación, tal como afirman Piaget y Szeminska (1941):
"La clase, la relación asimétrica y el número son tres manifestaciones complementarias
de la misma construcción operatoria aplicada sea a las equivalencias, sea a las diferencias, sea
a las equivalencias y diferencias reunidas" (p. 235).
Aunque se dan las relaciones anteriormente indicadas entre los modelos
procesuales y la teoria lógica de Piaget, debemos hacer hincapié en que ambos marcos
teóricos no son paralelamente comparables. El primero permite la creación de un
modelo de conteo mientras que el segundo hace referencia a la construcción conceptual
y operatoria del número en el niño.
En el primero se parte del conteo, como una concepción primaria en el
desarrollo del número (teniendo en cuenta que esta habilidad suele aparecer
tempranamente en el desarrollo infantil), a partir del cual se llega a la comprensión de
su significado en cuanto operador cuantificador y la generalización de su uso a
diferentes tareas o contextos (Klahr y Wallace 1976, Saxe 1977, Sophian 1987); es
decir, esta referencia teórica desembocaría en la construcción de modelos de desarrollo
del número partiendo de la acción de contar y usando el propio conteo como un
"operador cuantificador" (Klahr y Wallace 1976), mientras que el segundo marco
teórico considerado rechaza las posturas de conteo.
Piaget y Szeminska (1941) restan todo interés al conteo memorístico del niño
preescolar porque el concepto de número piagetiano es abstracto, surgido del
funcionamiento de la abstracción reflexionante, y muy distinto, por tanto, del concepto
práctico o empírico que suele adquirirse precozmente, gracias a al abstracción simple.
En consecuencia, el conteo conceptual u operatorio sería una habilidad que el niño
alcanzaría sólo después de haber consolidado lógicamente la correspondencia
biunívoca, la conservación y el número.
Esta postura es contraria a la de muchos autores quienes afirman que el conteo,
la cardinalidad y otras habilidades numéricas inciden en la conservación y otras
estructuras operatorias (Acredolo 1982, Fuson 1988, Gelman 1982, Saxe 1979, Siegler
1981, Souviney, 1980, etc.), y todo ello debido a diferencias en la concepción misma
del conteo con referencia a la postura piagetiana.
Por tanto, si tomamos como marco referencial la teoria de procesamiento de la
información, el análisis de la secuencia numérica pasa por ser considerada como una
componente del conteo; mientras que si tomamos como referencia las teorías lógicas,
pasaremos a estudiar la secuencia numérica como una serie bajo la estructura de
seriación, sería aplicar el estructuralismo de Piaget a la secuencia numérica como serie.
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236
Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
Las principales conclusiones del estudio se pueden resumir en los siguientes
apartados y puntos concretos:
1.
Secuencia numérica y relaciones lógicas ordinales en el origen del número
natural.
Que los números naturales están dados en secuencia es el único punto
incuestionable en todas las teorías explicativas del origen del número. La
interpretación de su papel elaborador depende de la concepción
epistemológica del número natural.
Para el convencionalismo, el principio del número radica en la secuencia
numérica y en la acción de contar, la serie ordinal es suficiente para construir
el número.
Para los logicistas existen conceptos primarios que determinan la secuencia
numérica y por tanto el número. Estos tienen como referencia relaciones
seriales4 como son las asimétrica-biunívocas de Bolzano o las asimétricastransitivas de Vivanti-Gilman.
Desde la epistemología genética, el problema de construcción de la
secuencia numérica sólo puede ser resuelto en función de su desarrollo.
2.
Secuencia numérica y enseñanza del número en la escuela.
Las distintas interpretaciones epistemológicas sobre la secuencia numérica se
han reflejado en la enseñanza del número en la escuela, así, los
planteamientos conjuntistas introducen los conceptos de cardinal y de
correspondencia, produciéndose intentos de reducir la aritmética a la lógica y
el número natural a las clases; mientras que los planteamientos aritmetistas
abogan por el número ordinal.
En cuanto al número cardinal, se intenta una construcción lógica de la
aritmética a partir de la noción de conjuntos. La secuencia numérica se
obtiene como una sucesión de números cardinales y el tratamiento didáctico
de siguiente de un número es aumentar en uno la cantidad.
En cuanto al número ordinal, se intenta que la secuencia numérica5 sea
matemática y didácticamente suficiente.
3.
Secuencia numérica y desarrollo del número en el niño en los modelos:
piagetiano, y procesamiento de la información.
Desde el modelo piagetiano se puede analizar la estructura lógica de
seriación subyacente a la secuencia numérica.
Desde el procesamiento de la información, la secuencia numérica se analiza
como componente del conteo pero sin tener en cuenta las relaciones lógicas
4
5
Relaciones que generan series o progresiones.
Se identifica, según la Fenomenología de Freudenthal, con el número para contar.
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
237
ordinales que existen entre sus términos. En este modelo, las investigaciones
sobre la funcionalidad del conteo apuntan hacia el “operador
cuantificador”, comparando los números cardinales para posteriormente
localizarlos en la secuencia.
Las relaciones lógicas ordinales no han sido objeto específico de estudio ni
en el modelo piagetiano, ni en el modelo de integración de habilidades
(procesamiento de la información).
•
Es posible determinar tareas específicas del número ordinal que reflejen las
relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica sin
tener que tratar estos términos como magnitudes.
4.2.- Conclusiones del estudio empírico exploratorio.
Del análisis de las respuestas dadas por los niños de la muestra a la entrevista del
estudio exploratorio, se evidencia una evolución marcada por la permanencia de algunas
características del conocimiento lógico-ordinal de la secuencia numérica y, al mismo
tiempo, por la aparición de otras nuevas al pasar de una fase de una tarea dada
(alternancia, contar, secuencia numérica/alternancia) a otra y de unas edades a las
siguientes. En este sentido, tenemos las siguientes conclusiones del estudio exploratorio
desde la óptica de las competencias lógicas-ordinales involucrando su evolución:
a) La realización correcta de la acción de contar no garantiza que se use como
estrategia para resolver problemas ordinales.
b) Los niños mayores (5 años) usan preferentemente estrategias de siguiente
inmediato teniendo en cuenta una posición dada como dato para obtener otra;
mientras que niños más pequeños (4 años) usan preferentemente el conteo
como estrategia para determinar una posición lógica-ordinal6.
c) Los niños más pequeños (3 años) resuelven mejor las cuestiones de
“siguiente inmediato” relativos a la alternancia que las relativas al conteo. A
los 4 años les ocurre lo contrario. Los de 5 llegan a trasladar mentalmente las
relaciones lógicas ordinales presentes entre los términos de la secuencia
numérica a otro tipo de secuencia, como la alternancia, para la resolución de
problemas ordinales usando como herramienta dicha secuencia.
d) La comparación de términos numérico mediante la alternancia denota la
capacidad de establecer las relaciones lógicas-ordinales entre los términos de
la secuencia numérica. Los niños que establecen dichas relaciones son los
que describen una posición lógica-ordinal mediante la correspondencia serial
secuencia numérica/alternancia.
e) El éxito en la construcción de la correspondencia serial secuencia
numérica/alternancia no garantiza su uso como herramienta para la
6
Llamamos “posición lógica-ordinal” a la comparación de una posición ordinal con otra dada como dato.
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
238
determinación de una posición lógica-ordinal, y por tanto no se garantiza el
éxito en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos
de la secuencia numérica.
f) Las respuestas que manifiestan relaciones lógicas ordinales entre los
términos de la secuencia numérica están presentes en los tres cursos que
intervienen en el estudio, con un aumento considerable al pasar de 4 a 5
años. Estos niños son capaces de usar la alternancia como instrumento de
comparación entre los términos de la secuencia numérica.
En general tenemos que:
“A partir de los cuatro años y medio los niños tienen un dominio del
conteo que les permite determinar posiciones ordinales y lógicas-ordinales”
El conteo es determinante en la homogeneización de los otros bloques de
actividades, ello quiere decir que cuando se da el dominio del conteo empieza la
homogeneización en el resto de tareas y con ello se llega al dominio de alternancia y al
de Secuencia Numérica/Alternancia, entendiendo esto como la generalización del
dominio del conteo, sólo que en cada caso se coge como instrumento secuencial (ó
sucesión de siguientes) la alternancia, secuencia numérica, ó correspondencia serial
entre ambas.
La dispersión de respuestas presente antes de los cuatro años y medio, manifiesta
que los niños están construyendo esquemas mentales secuenciales (relaciones lógicas
ordinales) que se manifiestan más claramente en series no numéricas como la
alternancia antes que en la propia secuencia numérica, y es que no han alcanzado, aún,
el dominio del conteo que es el determinante de las dos clases de niños. Ello justifica el
que los niños de tres años respondan mejor a las cuestiones sobre siguiente ó siguiente
inmediato usando la alternancia como instrumento secuencial que a las mismas
cuestiones pero con el conteo como instrumento.
4.3.- Modelo evolutivo de competencias lógicas ordinales
En el capítulo V se justifica un modelo teórico de competencias cognitivas de
carácter evolutivo sobre el conocimiento lógico ordinal que, explica la progresión en el
descubrimiento de relaciones lógicas ordinales en la secuencia numérica en niños de 3 a
6 años.
En resumen, el modelo consta de seis estados de dominio progresivo de las
relaciones lógicas ordinales, cada uno de ellos tiene unas características lógico
matemáticas propias.
Los estados y sus características lógicas matemáticas son:
Estado I.
Etiquetaje.
Diferenciar los elementos.
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
239
Estado II.
Relaciones lógicas-ordinales entre los términos de una serie cualquiera
usando esquemas infralógicos
Linealidad y orden topológico
Orden temporal
Estado III.
Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie cualquiera
usando la alternancia como instrumento secuencial.
Posiciones lógicas ordinales con la alternancia
Estado IV.
Relaciones lógicas ordinales entre los términos de una serie cualquiera
usando el conteo como instrumento de comparación.
Posiciones lógicas ordinales con el conteo
Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica
Estado V
usando la alternancia como instrumento de comparación.
Posiciones lógicas ordinales de la secuencia numérica con la alternancia.
Estado VI
Relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica.
Sistematización de la secuencia numérica según la estructura lógica de
seriación Dominio ordinal de la secuencia numérica: Contar de n en n, recuento
progresivo, recuento regresivo, cálculo mental.
4.4.- Conclusiones del estudio empírico cualitativo
Hemos desarrollado un estudio empírico cualitativo que ha permitido obtener y
valorar la información sobre la evolución del conocimiento lógico ordinal en la
secuencia numérica en escolares de segundo ciclo de Educación Infantil, en concreto en
los escolares que han formado nuestra muestra.
Hemos tomado las pautas de las tres tareas del estudio empírico exploratorio (cap.
IV) para establecer algunos estados del modelo teórico, concretamente los estados III,
IV y V. Por otra parte, el estudio empírico cualitativo, desarrollado en el capítulo VI,
está basado en una prueba que consta, a su vez, de seis tareas cada una de las cuales está
asociada a un estado del modelo, en el sentido que cada tarea comporta las
características lógicas matemáticas propias del estado correspondiente; y en este estudio
hemos probado que las tareas se realizan con éxito de una manera acumulativa, es decir,
que si un niño hace la tarea K entonces ha realizado todas las tareas asociadas a los
estados anteriores a K7. En este sentido son compatibles los resultados del estudio
exploratorio con estos nuevos, en cuanto que estos no difieren en las respuestas verbales
de tareas homólogas en ambos estudios. El que se hayan realizado los dos estudios con
muestras distintas de niños y colegios, corrobora la consistencia interna del método
seguido.
Con el estudio empírico cualitativo hemos logrado una categorización de niños
por niveles evolutivos según sus competencias lógicas ordinales. Estos niveles son:
7
K toma valores entre I y VI
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
240
Nivel I.
Se caracterizan porque son capaces de etiquetar los elementos de una serie
diferenciándolos unos de otros, pero sin establecer comparaciones entre ellos
Nivel II.
Los niños de este nivel se caracterizan porque además de diferenciar los
elementos de una serie, son capaces de compararlos mediante el orden temporal o
topológico pero no con otro instrumento secuencial sencillo como la alternancia.
Nivel III.
Un niño está en este nivel si es capaz de: diferenciar los elementos de una serie,
comparar dichos elementos mediante el orden temporal o topológico y además
establecer relaciones lógicas ordinales entre los elementos de la serie usando la
alternancia como instrumento secuencial, pero no logran hacer esas
comparaciones con la secuencia numérica como instrumento.
Nivel IV.
Sus características son: diferencian los elementos de una serie, comparan dichos
elementos mediante el orden temporal o topológico, establecen relaciones lógicas
ordinales entre los elementos de la serie usando la alternancia como instrumento
secuencial y, además, aplican relaciones lógicas ordinales entre los elementos de
una serie usando el conteo como instrumento comparativo, sin llegar a comparar
los elementos de la secuencia numérica usando la alternancia como instrumento
comparativo.
Nivel V.
Se caracterizan porque además de diferenciar los elementos de una serie,
compararlos mediante el orden temporal ó topológico, también con la alternancia
y el conteo como instrumentos secuenciales; son capaces de diferenciar, y con
ello, establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica usando la alternancia como instrumento comparativo, todo ello en el
tramo 1-10, pero no son capaces de extrapolar estas capacidades a otros tramos de
la secuencia con extremos inferiores mayores que 10.
Nivel VI.
Un niño que se encuentre en este nivel tiene todas las características del nivel
anterior y además es capaz de aplicar esquemas lógicos-matemáticos de seriación
cíclica generados por el tramo 1-10 a otros tramos de la secuencia.
Otras conclusiones del estudio empírico cualitativo son:
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
241
•
Para establecer relaciones lógicas ordinales entre los términos de la secuencia
numérica en cualquier tramo de ella, es necesario que se apliquen esquemas
lógicos-matemáticos de seriación cíclica generados por el tramo 1-10.
•
Los niños que únicamente usan el instrumento secuencial, sin llegar a aplicar
esquemas lógicos matemáticos de primer elemento para la determinación de
posiciones ordinales en un tramo cuyo extremo inferior es superior a 10, no
alcanzan el Estado VI de relaciones lógicas-ordinales de la secuencia numérica
•
No es condición suficiente tener un método sistemático para determinar
posiciones ordinales en la secuencia numérica y establecer con ello relaciones
lógicas ordinales en cualquier tramo de la secuencia.
•
El que un niño tenga construido el instrumento secuencial en el tramo 1-10 de la
secuencia numérica /alternancia y localice posiciones ordinales con ese
instrumento en ese tramo, no es condición suficiente para: Determinar
posiciones lógicas ordinales8 en el tramo 1-10 versus alternancia como
instrumento comparativo, y extender el instrumento secuencial a tramos cuyos
extremos inferiores sean mayores que 10
•
El establecimiento, por parte del niño, del instrumento secuencial, secuencia
numérica/alternancia, no es condición suficiente para establecer relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica versus alternancia
como instrumento de comparación. Ni siquiera, tampoco lo es, el que el niño
establezca el instrumento secuencial para manifestar relaciones lógicas ordinales
entre los términos de la secuencia numérica, en el tramo 1-10, versus alternancia
como instrumento de comparación.
5. Logros y hallazgos.
Esta investigación aporta datos concretos que avalan la bondad de las hipótesis y
por tanto el logro de nuestros objetivos:
Con respecto de las hipótesis:
H1.
Existen corrientes epistemológicas que consideran las relaciones lógicas
ordinales del número natural como el origen de toda la construcción
matemática.
Los resultados y conclusiones del análisis didáctico (cap. III)
basados en el análisis epistemológico de la secuencia numérica aportan
evidencian la veracidad de la hipótesis H1.
H2.
8
Existen líneas en Didáctica de la Matemática que priman el aspecto
ordinal del número natural frente a su aspecto cardinal.
Distinguimos las posiciones lógicas ordinales de las posiciones ordinales, en cuanto que las primeras se
determinan a partir de otra posición dada como dato y en las segundas no.
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
242
La bondad de esta hipótesis queda de manifiesto cuando se
analiza la Fenomenología de Freudenthal (cap. III) y se aboga por el
número para contar.
H3.
Los elementos básicos característicos de la estructura lógica de seriación
de Piaget son aplicables a la secuencia numérica y por tanto podemos
tenerla en cuenta en la didáctica del número natural.
La veracidad de esta hipótesis se demuestra gracias a los
resultados y conclusiones del análisis didáctico (cap. III) en cuanto a los
análisis: epistemología genética y la estructura lógica de seriación
subyacente a la secuencia numérica. Y se reafirma con las conclusiones
generales del estudio empírico cualitativo del capítulo VI.
H4.
Existen tareas exclusivamente ordinales para evaluar las relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica.
Se verifica la hipótesis gracias al análisis didáctico (cap. III)
basado en el análisis del uso funcional ordinal de la secuencia numérica.
H5
Es posible determinar pruebas para niños de 3 a 6 años que formen parte
de un diseño experimental cualitativo, constituidas por una serie de tareas
que podemos ordenar de menor a mayor dificultad dependiendo de los
esquemas lógicos-ordinales implicados en cada una de ellas.
Se verifica con la construcción de la prueba del capítulo V, ya
que, dicha prueba, reúne las condiciones que la hipótesis indica.
H6.
Las diferentes estrategias lógicas-ordinales que permiten establecer
relaciones lógicas-ordinales entre los términos de la secuencia numérica
en niños de 3 a 6 años, se pueden organizar en un modelo teórico de
desarrollo que explica y describe la evolución del conocimiento lógico
ordinal de la secuencia.
El estudio empírico cualitativo expuesto en el capítulo VI, confirma
la adecuación de la prueba definida en el capítulo V para validar
empíricamente el modelo evolutivo de competencias ordinales, y
consecuentemente, queda validado con niños del segundo ciclo de
Educación infantil; por tanto, se confirma la hipótesis.
Con respecto a los objetivos:
Las pruebas presentadas para confirmar las diferentes hipótesis son garantía del
logro de los distintos objetivos:
O1. Delimitar el conocimiento lógico de la secuencia numérica dentro del
marco general del número natural
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
243
Para el logro de este objetivo realizamos una revisión epistemológica del
número natural atendiendo a varias corrientes importantes: convencionalismo,
logicismo y epistemología genética. Se consigue por la confirmación de la
hipótesis H1.
O2. Delimitar el aspecto ordinal en la transmisión escolar del número natural
Al realizar una revisión de la secuencia numérica en el campo de la
Didáctica del Número Natural, incidiendo en la visión ordinal de “número para
contar” de Freudenthal (1983) frente al “número para cardinar”, estamos
validando H2 y con ello conseguimos el objetivo.
O3. Caracterizar las relaciones lógicas existente entre los términos de la
secuencia numérica en la acción de contar
Se consigue con el análisis de la secuencia numérica como una
componente del conteo que se realiza en el marco psicológico general:
procesamiento de la información.
O4. Caracterizar la estructura lógica de seriación subyacente a la secuencia
numérica
Se consigue cuando realizamos una revisión de la secuencia numérica
como una serie en el sentido piagetiano dentro del marco de la estructura
operatoria de seriación y validamos la hipótesis H3
O5. Establecer un modelo teórico evolutivo del conocimiento lógico-ordinal de
la secuencia numérica y comprobar, con escolares de Educación Infantil (36 años), la utilidad y eficacia del modelo para describir su comportamiento
real en el establecimiento de relaciones lógicas ordinales entre los términos
de la secuencia numérica.
Queda confirmado con la Hipótesis H6 y H5
O6. Caracterizar cada uno de los diferentes estados de desarrollo en términos de
estrategias y procedimientos relativos al conocimiento ordinal
También queda confirmado con la hipótesis H6 y con las conclusiones del
capítulo VI.
Objetivos complementarios.
C1. Iniciar una línea de trabajo en Pensamiento Numérico en Educación
Infantil, dentro de la línea de investigación seguida por Ortiz Comas cuyo
nivel de concreción se da en "Razonamiento Inductivo Numérico".
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
244
Siguiendo la línea investigación de Ortiz (1997) en su aspecto
metodológico y de forma, hemos conseguido realizar este trabajo, por ello
se consigue el objetivo.
C2. Comprobar la utilidad del Análisis Didáctico para fundamentar y
contextualizar investigaciones en Educación Matemática.
Ha quedado claro la importancia en nuestro tema del análisis didáctico
ya que ha posibilitado dar significado a nuestra investigación y determinar
los elementos básicos de un modelo evolutivo de conocimiento lógico
ordinal que se ha podido contrastar de modo empírico.
C3. Corroborar que las metodologías cualitativas son efectivas en este tipo de
investigaciones en las que se estudian conceptos lógicos-matemáticos en
niños de Educación Infantil
Consideramos que este trabajo es un ejemplo de investigaciones
cualitativas en Educación infantil sobre conceptos lógicos matemático
6. Perspectivas futuras
A continuación comentamos vías por las que encaminar los esfuerzos en futuras
investigaciones.
1)
Con el estudio empírico cualitativo, hemos demostrado a través de los
alumnos investigados, que los niños del nivel VI son capaces de aplicar esquemas
lógicos de seriación cíclica, usando como ciclo el tramo 1-10, para establecer relaciones
lógicas ordinales entre los términos de la secuencia numérica según las tareas asociadas
al modelo evolutivo.
De acuerdo con los resultados expuestos anteriormente se nos plantea algunos
interrogantes a constatar empíricamente como son: “Estudiar el alcance, real,
aritmético de los niños del nivel VI”, ó también “Analizar el alcance en razonamiento
inductivo numérico de este nivel”. Al mismo tiempo se podría realizar la comparación
de esto con los niños del nivel 5, que son capaces de establecer relaciones lógicas
ordinales entre los términos de la secuencia numérica pero únicamente en el tramo 1-10,
sin llegar a extrapolar esos resultados a otros tramos. En este sentido, se podrían dar
respuestas a las preguntas: ¿Por qué un niño si conoce el resultado de a+b, con a y b
menores que 10, no conoce el resultado de 2a+b, ó 3a+b, 4a+b, etc.?9, ó ¿Por qué si se
conoce el siguiente de un número en el tramo 1-10, no siempre sabe cuál es el siguiente
de un número cualquiera en otro tramo distinto al señalado?, etc. Estas y otras
cuestiones se pueden considerar en investigaciones futuras que traten de determinar el
verdadero alcance de los niños de un determinado nivel, de competencias lógicas
ordinales, en la aritmética.
2)
9
En otro orden de cosas podemos considerar que: Hemos obtenido unos
2a, 3a, 4a, etc. representan respectivamente un número entre 20 y 29, 30 y 39, 40 y 49, etc.
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
245
resultados a partir de una muestra intencional de alumnos de Educación Infantil, que
confirman los ya obtenidos en una muestra anterior. Estos resultados tienen un
significado debido a un análisis didáctico que nos ha permitido construir un modelo
evolutivo en competencias lógicas ordinales. Pensamos que con un diseño estadístico
adecuado a los fines pretendidos, los resultados cualitativos obtenidos en las muestras
analizadas son generalizables a todos los niños del segundo ciclo de Educación Infantil
y todo ello podría configurar una nueva investigación.
3)
Otra perspectiva sería la de ampliar el estudio a toda la Educación
infantil: ¿Qué hay, en cuanto a las relaciones lógicas ordinales, antes del estado de
etiquetaje? ¿Se pueden disponer en estados evolutivos?, ¿Cuáles serían esos estados?,
etc. Estos serían los planteamientos generales para poder determinar estados evolutivos
de 0 a 3 años de competencias lógicas ordinales prenuméricas.
4)
No nos podemos olvidar del aspecto cardinal, y con ello preguntarnos
¿qué ocurre con el número cardinal en niños de 3 a 6 años?, ¿Se puede organizar el
conocimiento cardinal en un modelo evolutivo?, ¿Ese modelo evolutivo sería
comparable con el nuestro?.
Teniendo en cuenta el cuadro 1 que figura en el apartado 2 del capítulo I, que
contextualiza la secuencia numérica en el marco del número natural y de las relaciones
ordinales, y sobre el que hemos partido para realizar toda nuestra investigación, nos
podríamos preguntar qué ocurre con el aspecto cardinal si lo enmarcamos dentro del
número natural y de las relaciones de equivalencia (todo ello con niños de 3 a 6 años),
sería seguir el camino de la flecha de la figura 1 siguiente:
Relaciones
Relaciones de
orden
Relaciones
de equivalencia
Número natural
Progresiones
Número ordinal
Equipotencia de conjuntos:
Número cardinal
Figura 1. Contextualizar posibles investigaciones del número cardinal en el marco de las relaciones de
equivalencia.
7. Aplicabilidad de los resultados
Teniendo en cuenta la gran importancia que tiene la secuencia numérica en el
currículum de Educación Infantil, consideramos que los resultados obtenidos, y los que
se puedan obtener en un futuro, son de gran valor ya que posibilitan una adaptación
curricular a las posibilidades reales de los niños de Educación Infantil, con unos
currículums que se adapten a los niveles adecuados del conocimiento lógico ordinal de
la secuencia numérica
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246
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Capítulo VII. Conclusiones y perspectivas futuras
La investigación plantea un reto a los maestros de Educación Infantil: conseguir
en sus alumnos la integración de las habilidades y rutinas presentes en la acción de
contar en estrategias que manifiesten algún tipo de relación lógica ordinal entre los
términos numéricos.
Un hecho a tener en cuenta es que no todos los alumnos de un curso están en el
mismo nivel de conocimiento lógico ordinal de la secuencia numérica lo que justifica,
en parte, la diferencia de rendimientos entre los alumnos en cuanto a la asimilación de
los conocimientos que se les pretenden enseñar. Por otra parte, por el hecho de que un
niño sepa contar no está garantizado que se encuentre en el nivel IV ó más, ello
significa que debemos ser cautos a la hora de presentar conocimientos numéricos a los
niños para su aprendizaje.
Consideramos que los profesores pueden utilizar los niveles del conocimiento
lógico ordinal para obtener una información del estado en competencias ordinales de
sus alumnos como indicador de sus potencialidades en actividades numéricas.
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ANEXOS
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ANEXOS I. El Problema de Investigación
Anexo 1.1. Relaciones asimétricas biunívocas de Bolzano
Sea R una relación entre los términos de una colección conexa, tal que todo
elemento (con la posible excepción de uno sólo) guarde respecto a uno y sólo uno de la
colección una cierta relación asimétrica (que debe ser intransitiva), y que todo término
(nuevamente con una posible excepción) guarde respecto a uno y sólo uno de la
colección la relación que es recíproca de la primera, la cual notaremos por Ř.
Entonces si e es cualquier término de nuestra colección, existen dos, d f, tales
que:
dRe
y
eRf
como cada término sólo tiene la relación R con otro, no podemos tener dRf ( pues ya se
tiene dRe), tampoco se puede tener fRd (pues eRf si y sólo si fŘe y por tanto la
relación recíproca de f está con e y ésta debe ser única. Por lo tanto e se halla entre1 d
y f).
Entonces todo término de la relación menos los dos peculiares (que serán los
extremos), guardan una relación con un segundo término, y la recíproca con un tercero,
mientras que los mismos no tienen con ningún otro alguna de las relaciones en
cuestión2.
En consecuencia, por la definición de entre, nuestro término e se halla entre d y
f. El término con el cual el dado tiene una de las relaciones consideras se llama
inmediato posterior al lado; y aquél con el que tiene la relación recíproca recibe el
nombre de inmediato anterior al lado. Dos términos entre los que existen las relaciones
en cuestión se llaman consecutivos.
1
Se define entre como sigue: “b está entre a y c si y sólo si existe una relación de a a b y de b a c y no
sea relación de b a a, de c a b ó de c a a.
2
Cada par de términos tiene una relación única que no se tiene para otro par, es para definir de manera
única el inmediato posterior y el inmediato anterior.
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Anexos I. El problema de investigación
264
Cada lugar en la serie está determinado de manera única, esto se pone de
manifiesto en la definición cuando se dice que cada término guarde respecto a uno y
sólo uno de la colección una cierta relación.
Anexo 1.2. Relaciones asimétricas transitivas de Vivanti
Otro tipo de relaciones ordinales generadoras de series son las asimétricas
transitivas (Vivanti, 1985)
Sea R una relación transitiva y asimétrica entre los términos de una colección,
mediante la cual dos elementos cualesquiera son
xRy ó yRx
Por cumplirse estas condiciones se tiene que la colección inicial forma
necesariamente una serie singular3
Como la relación es asimétrica podemos distinguir
xRy de yRx
y ambas no pueden subsistir simultáneamente4.
Como R es transitiva, xRy e yRz involucran xRz. Se deduce que Ř es también
asimétrica y transitiva.
De modo que respecto a cualquier término x de nuestra colección todos los
demás inciden en dos clases:
{y/ xRy}
{z/ zRx}
Llamando respectivamente a estas dos clases:
Ãx→ Clase de los siguientes
Ax→ Clase de los anteriores
tenemos que:
a) xRy⇒ Ãy⊂Ãx
En efecto, sea
a∈Ãy ⇒ yRa
3
Es decir, todos los términos están relacionados.
En vez de admitir que R sea asimétrica podemos formular una hipótesis equivalente, es lo que Pierce
llama un aliorrelativo, es decir, una relación que no tiene ningún término con sí mismo; esta hipótesis no
es equivalente a la asimétrica en general, sino sólo cuando se combina con la transitividad.
4
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Anexos I. El problema de investigación
265
como xRy y R es transitiva, se deduce que
xRa ⇒ a∈Ãx
b) zRx⇒ Az⊂Ax
La demostración de esta proposición es análoga a la anterior.
Tomando, ahora, dos términos x,y para los que xRy, todos los demás inciden
en tres clases:
1. Los que pertenecen a Ax y por tanto a Ay
2. Los que pertenecen a Ãy y por tanto a Ãx
3. Los que pertenecen a Ãx pero no pertenecen a Ãy
Si z es de la primera clase tenemos que
zRx, zRy
si v es de la segunda clase tenemos que
xRv, yRv
y si w es de la tercera se tiene que
xRw, wRy
Se excluye el caso yRu y uRx, pues si xRy, yRu implica xRu, que es
inconsistente con uRx. De modo que tenemos en los tres casos:
1. x está entre z e y
2. y está entre x y v
3. w está entre x e y.
En consecuencia, tres términos cualesquiera de nuestra colección son tales que uno está
entre otros dos, y toda la colección forma una serie singular.
Si la clase tres no contuviera ningún término entonces se dice que x e y son
términos consecutivos, y en consecuencia "y es siguiente inmediato de x".
Con esta construcción el siguiente inmediato se define como consecuencia de las
clases de los siguientes y la de los anteriores de este modo:
Diremos que y es siguiente inmediato de x si y sólo si se cumple lo siguiente:
xRy ∧(Ãx ∩ Ay=ø)
Anexo 1.3. Las relaciones asimétricas biunívocas y las asimétricas
transitivas son equivalentes
Como con cualquiera de las dos relaciones queda generada la serie, la cuestión
que se plantea es cómo pasar de una relación asimétrica biunívoca a una asimétrica
transitiva. El paso de la transitiva a la biunívoca ya se ha expuesto en el apartado
anterior cuando se definía el "siguiente inmediato" bajo la condición de que una cierta
clase fuese vacía.
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266
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Anexos I. El problema de investigación
El problema planteado se resuelve a través de las sucesivas potencias de la
relación R, la que se supone que es asimétrica-biunívoca y sin perder de vista que la
colección sobre la cuál actúa la relación es una serie finita y abierta (en oposición a las
series cerradas, que entonces la generación de relaciones a partir de otra tendría otras
consecuencias).
Dada una relación R asimétrica y biunívoca sobre una serie abierta y finita, la
relación asimétrica y transitiva obtenida a partir de ella, R’, se define como sigue:
xR’y⇔∃nxy, xRny
es decir, xR’y, si y sólo si existe una potencia de R, que estará en función de los
términos x e y, tal que xRny.
Es fácil comprobar que esta relación es asimétrica y transitiva. En efecto, es
asimétrica porque R lo es y por tanto sus sucesivas potencias. Veamos que es transitiva:
sea xR’y, yR’z, entonces existen dos números, n y m, tales que xRny , yRmz,
entonces xRn+mz, y por lo tanto xR’z.
Es obvio, que al considerar las sucesivas potencias, está considerando a los
números, si se quiere, como términos de la secuencia numérica; que, por otra parte, es lo
que queremos construir. Para evitar este circulo vicioso, podemos optar por otras vías de
construcción.
Es uno de los triunfos de la matemática moderna haber adaptado un antiguo
principio a las necesidades de este caso, nos estamos refiriendo al principio de
inducción matemática, que por otra parte, y según Bertrand Russell (1903), de él
depende todo lo que respecta a los ordinales.
Este principio es la señal inequívoca de las progresiones, y en este sentido puede
formularse de la siguiente forma:
Sea ϕ(x) una función proposicional que es una proposición determinada
en cuanto se da x. Entonces ϕ(x) es una función de x, y será en general
verdadera o falsa de acuerdo con el valor de x. Si x es miembro de una
progresión, indiquemos sig(x) por el término inmediato posterior al lado de
x. Sea ϕ(x) verdadera cuando x es cualquier término de una cierta progresión,
y sea ϕ(sig(x)) verdadera siempre que ϕ(x) lo sea, donde x es cualquier
término de la progresión. Se deduce entonces, por el principio de inducción
matemática, que ϕ(x) es siempre verdadera si x es cualquier término de la
progresión en cuestión".(Russell, 1903, § 229)
Nos volvemos a centrar en la pregunta clave de este punto: ¿cómo evitar las
sucesivas potencias y por tanto el número?. Se trataría del paso del "siguiente
inmediato" a "todos los siguientes" a través de la inducción matemática.
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Anexos I. El problema de investigación
267
Sea R una relación asimétrica y biunívoca definida en una serie abierta, finita y
conexa. Sea x un término cualquiera de esa progresión, y sea y el único término que
guarda la relación R con x, entonces5
xRy⇔y=si(x)
Sea R’ una relación definida a través de la inducción matemática del siguiente
modo:
aR’x, para todo x siendo a el primer elemento (tiene sentido considerar el
primer elemento pues estamos hablando de progresiones), y
si xR’y, entonces x R’(si(y))
La relación R’ dada por el principio de inducción matemática a partir de
la relación asimétrica y biunívoca R, es asimétrica y transitiva (Russell, 1903); y de
esta forma hemos conseguido lo que pretendíamos, es decir pasar del "siguiente
inmediato" a "todos los siguientes" sin usar el número.
5
Por si(x) denotamos “el posterior inmediato al lado de x”.
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ANEXOS I I. Marco Metodológico
Anexo 2.1. Palabras claves y número de registros encontrados en la base de dato
ERIC.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Records
642
6794
4805
28
88
112
90
15
324
5896
3
7
0
0
9
(92 - Dec/0)
16
36
17
795
18
4784
19
5
20
5994
21
0
22
19
23
0
24
5
* 25
4
26
27
28
29
30
31
32
33
34
26
225
2625
0
5514
40
0
2825
1
Request
"NUMBER-CONCEPTS" IN DEM,DER
"EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION" IN DEM,DER
"MATHEMATICS-EDUCATION" IN DEM,DER
"SERIAL-ORDERING" IN DEM,DER
"MATHEMATICAL-LOGIC" IN DEM,DER
"INDUCTION-" IN DEM,DER
"NUMBERS-" IN DEM,DER
#1 and #2
#1 and #3
PY = "2000"
#9 and (PY = "2000")
#1 and #5
#4 and #5
#5 and #6
#7 and #2
Searches and records above from: The ERIC Database
#1 and #2
#1 and #3
"PRESCHOOL-CHILDREN" IN DE
#18 and #17
"CHILDREN-" IN DE
#20 and #17
#1 and #5
#4 and #5
#5 and #6
#7 and #2
Searches and records above from: ERIC (1966 - 1981)
#1 and #2
#1 and #3
"INFANTS-" IN DE
#28 and #27
"CHILDREN-" IN DE
330
#27 and 330
"PRESCHOOL-CHILDREN" IN DE
#27 and #33
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Anexos II. Marco Metodológico
270
35
36
37
38
* 39
13
0
1
1
12
#1 and #5
#4 and #5
#5 and #6
#5 and #6
#7 and #2
Searches and records above from: ERIC 1982-1991
Búsqueda realizada el 15 de Marzo de 1998 que recoge el período 1992/1997.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
* 16
Registros
319
291
11792
68
3337
201
31
23
817
0
15
81
3
0
65
14
Solicitud
explode "NUMBER-CONCEPTS"
"NUMBER-CONCEPTS" IN DE
explode "EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION"
#2 and #3
"MATHEMATICS-EDUCATION" IN DE
#3 and #5
#4 and #5
"SERIAL-ORDERING" IN DE
explode "MATHEMATICAL-LOGIC"
#8 and #9
#2 and #9
"INDUCTION-" IN DE
#9 and #12
#2 and #12
"NUMBERS-" IN DE
#3 and #15
Actualización de la búsqueda anterior para los años 1998-1999.
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
* 17
Registros
474
18738
5713
1
4102
5
26
82
0
0
104
0
0
74
0
308
3
Solicitud
"NUMBER-CONCEPTS" IN DEM,DER
PY>=1998
"EARLY-CHILDHOOD-EDUCATION" IN DEM,DER
#1 and #2 and #3
"MATHEMATICS-EDUCATION" IN DEM,DER
#2 and #3 and #5
"SERIAL-ORDERING" IN DEM,DER
"MATHEMATICAL-LOGIC" IN DEM,DER
#7 and #8
#1 and #2 and #8
"INDUCTION-" IN DEM,DER
#2 and #8 and #11
#2 and #1 and #11
"NUMBERS-" IN DEM,DER
#2 and #3 and #14
"NUMERACY-" IN DEM,DER
#2 and #3 and #16
Anexo 2.2. Búsqueda en la base de dato CSIC, en Junio de 2001.
Realizada la búsqueda entre los artículos de revistas españolas en primer lugar
dentro del área de Ciencias Sociales y Humanidades (ISOC), y posteriormente en las
especializadas en Ciencia y Tecnología (ICYT), hemos obtenido lo siguiente:
1. ISOC
Palabras claves en descriptores
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Anexos II. Marco Metodológico
No.
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"educación infantil"
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"niños-"
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#1 y #5
#4 y #5
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#5, #6 y #2
"conteo"
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#7 y #4
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Solicitud
"conteo"
"contar"
"concepto de número"
"educación infantil"
"Educación matemática
"ordinales-"
"Lógica matemática-"
"Inducción-"
"número"
"niños"
#3 y #4
#3 y #10
#3 y #5
#3 y #7
#6 y #7
#7 y #8
#4, #7 y #8
#2 y #4
#2 y #3
#2 y #5
#2 y #6
#2 y #7
#2 y #8
#2 y #9
#2 y #10
2. ICYT
Palabras claves en descriptores
No.
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No entra
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"concepto de número"
"número natural"
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Anexos II. Marco Metodológico
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"número entero"
"ordinal"
"Educación Matemática"
"Lógica matemática"
"INDUCcION-"
"Aritmética"
#4 y #6
#3 y #6
#7 y #6
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ANEXOS III. Análisis Didáctico
Anexo 3.1. Definición de Dedekind de sistema singularmente infinito
La definición de Dedekind de sistema singularmente infinito, que se halla
contenida en Was sind und was sollen die Zahlen? (2ª edición, 1893, § 71), es la
siguiente:
"Es una clase que puede representarse en sí misma por medio de una
relación biunívoca, y que además es tal que llega a ser la cadena, respecto a esa
relación biunívoca, de un término singular de la clase no contenido en la
imagen de la misma. Llamando R a la relación biunívoca y N a la clase, existen
cuatro puntos en esta definición:
1) La imagen de N está contenida en N; es decir, todo término con el
que N guarde relación R está en N.
2) N es la cadena de uno de sus términos.
3) Este término es tal que ningún N tiene la relación R con él.
4) La relación R es biunívoca. El sistema abstracto definido
simplemente por la posesión de esas propiedades son los números
ordinales."
Anexo 3.2. Diferencia entre procedimiento de conteo y emisión de
numerales.
Quisiéramos dejar constancia de un fenómeno muy frecuente aunque no por ello
correcto; se trata de la confusión entre el procedimiento de conteo y la mera emisión de
la "secuencia de conteo" o "secuencia de numerales" (esto en la terminología procesual)
o "recitado de la secuencia numérica" en nuestra terminología.
En efecto, algunos autores como, por ejemplo, Siegler y Robinson (1982),
denominan la pura emisión de numerales como "conteo abstracto", y otros como
"conteo memorístico" tal es el caso de Fuson y otros (1982) ó Baroody (1986). Sin
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Anexos III. Análisis Didáctico.
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embargo, estas denominaciones son pocos afortunadas en tanto que la recitación de
numerales es sólo una parte del proceso de conteo, por el que se entiende el
establecimiento de correspondencias biyectivas entre los elementos del conjunto de
objetos y la secuencia numérica, para dar a continuación, si procede, el cardinal del
conjunto (número cardinal) o la posición relativa de un elemento en el conjunto
(número ordinal) en cuanto a las implicaciones de las diferentes relaciones numéricas
elementales extraídas del valor funcional del conteo.
Anexo 3.3. Niveles de dominio de la secuencia numérica de Fuson.
El período de elaboración de la secuencia numérica, según Fuson, Richards y
Briars (1982), se subdivide en cinco niveles:
1) Nivel cuerda (string level), en el que los numerales no son objeto de
reflexión y sólo pueden emitirse ordenadamente.
2) Nivel de cadena irrompible (unbreakeable chain level), durante el cual los
numerales se convierten en objeto de reflexión, ya que se ha iniciado el
proceso de diferenciación entre los términos de la secuencia.
3) Nivel de cadena fragmentable (breakeable chain level), momento en que
las partes de la secuencia pueden emitirse comenzando a partir de un punto
cualquiera de la secuencia de numerales, en vez de tener que comenzar
siempre por el primer elemento como ocurría en el nivel anterior.
4)
Nivel de cadena numerable (numerable chain level), nivel en el que los
numerales alcanzan un mayor grado de abstracción y se convierten en
unidades que pueden contarse..
5)
Nivel de cadena bidireccional (bidireccional chain level), que supone la
culminación de proceso de elaboración, ya que los numerales pueden
emitirse con gran facilidad y flexibilidad en cualquier dirección (creciente o
decreciente).
Análisis didáctico de los niveles.
Realizamos la siguiente reflexión general sobre cada uno de los niveles:
Nivel.1En el primer nivel sólo se puede emitir la secuencia como un "todo" sin
diferenciar las palabras numéricas que aparecen dentro de la misma. La falta de
diferenciación hace que los términos sean considerados como etiquetas sin
existir ningún nexo comparativo entre ellos. Esto conlleva a la no obtención de
éxito en tareas relativas a la acción de contar por la falta de coordinación de las
dos componentes básicas del conteo: correspondencia uno a uno y secuencia de
numerales.
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Anexos III. Análisis Didáctico.
275
Nivel.2 Cada una de las palabras que se emiten dentro de la secuencia son términos
distinguibles los unos de los otros, y así la secuencia no está constituida como un
“todo” sino que está integrada por una sucesión de términos.
Dicha diferenciación de términos, permite entre otras cosas, que se pueda
establecer una correspondencia uno a uno entre los términos de la secuencia y
los objetos de una colección contable
.
Nivel.3 Se da una mayor comprensión de las relaciones existentes entre las palabras
numéricas dentro de la sucesión.
Nivel.4Se puede contar a partir de un término cualquiera "a" hasta llegar a otro término
"b". Al tener que recordar continuamente el término de llegada, aparecen nuevas
conexiones entre un término determinado, el anterior a éste y el siguiente. Si
tiene que llegar al término "b", cuando va contando y llega al "b-1" tiene que
saber que el siguiente de ese número es "b". Pero igualmente se da la relación
contraria, es decir, un niño que tiene la habilidad de contar desde un término "a"
n-términos y dar otro término "b" como respuesta, sabe que el término "b-1" es
anterior a "b" y que cuando llegue a alcanzar dicho término, el siguiente será con
el que ha de finalizar
Nivel.5 En este nivel se da la culminación de la fase de elaboración de la secuencia, cada
término en la secuencia ocupa un lugar determinado porque es posterior a todos
los que le anteceden y anterior a todos los que le suceden
Se puede reinterpretar los niveles de Fuson en base a la estructura lógica de
seriación y las relaciones lógicas ordinales como sigue:
I
La relación entre los términos de la secuencia numérica es antisimétrica.
Quiere decir que cada término de la secuencia ocupa un lugar único y se
emite una sola vez. En las actuaciones de los niños ante una situación de conteo
o simplemente en una situación de recitado de la secuencia este esquema se pone
de manifiesto si los niños emiten la secuencia sin repetir ningún término de la
misma (esto en cuanto al recitado) y no cuentan un lugar dos veces (esto en
cuanto a situaciones de conteo)
II
La secuencia numérica es una sucesión de siguientes que empieza en uno.
Quiere decir que la secuencia numérica no se emite como un "todo" sino
que hay diferenciación entre los términos ya que cada uno de ellos, excepto el
primero, se emite a continuación de otro. Esto, junto con lo anterior, determina
que cada término tiene un único siguiente, pero hasta este momento, para los
niños, estos siguientes aparecen siempre que la secuencia se emita empezando
por uno.
En cuanto a las actuaciones de los niños, este esquema se pone de
manifiesto si son capaces de establecer una correspondencia uno a uno entre los
objetos del conjunto contable y la secuencia numérica en oposición al "gesto
rasante" propio de los niños que emiten la secuencia como un "todo".
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Anexos III. Análisis Didáctico.
276
III.
La sucesión de siguientes es una característica que se mantiene ante cualquier
división realizada en la secuencia numérica.
El que un término sea el siguiente de otro es independiente del primer
término elegido para el inicio del conteo. Por lo tanto es una propiedad que se
conserva con independencia de la referencia inicial.
En las actuaciones de los niños, y siguiendo un orden lógico de evolución
según los niveles de Fuson, este aspecto se manifiesta cuando los niños son
capaces de contar a partir de un término cualquiera sin tener que empezar por
uno.
Pero además, se da otra circunstancia y es la del "siguiente inmediato"
presentándose, en este nivel, un "esquema acumulativo". Si los niños saben
contar a partir de un término "a" es porque saben cuál es el "siguiente de a", por
lo tanto es el establecimiento paso a paso de un término que, al ser enumerado,
pasa de ser siguiente de uno dado a ser el primero en una nueva división de la
secuencia a partir del cuálse puede empezar a contar.
En conclusión, tenemos que en las situaciones cognoscitivas de este nivel
se dan actuaciones de "siguiente inmediato" en las que el niño es capaz de
reconocer el siguiente de un término cualquiera de la secuencia numérica, y se
pueden realizar comparaciones entre dos términos cualesquiera a través del
esquema acumulativo de siguiente.
IV.
Tramo finito en la sucesión de siguientes.
El primer elemento es considerado como aquel que es anterior a todos los
dados y el último como aquel que es posterior. En las actuaciones de los niños
que tienen en cuenta este esquema lógico-matemático está el poder contar o
emitir la secuencia desde un término cualquiera "a" hasta otro término
cualquiera "b", considerado "a" y "b", respectivamente, como primero y último.
Los niños que tienen adquiridos estos conocimientos aplicaran esquemas
de actuación en situaciones cognoscitivas en las que daban contemplar "todos
los posteriores a un término dado hasta llegar a otro" y con ello podrán
determinar una posición cualquiera (posterior) teniendo como referencia otra sin
necesidad de ser el uno.
V.
Diferentes sentidos: ascendente y descendente en la sucesión de siguientes.
En la emisión de la secuencia, tanto en un sentido ascendente como
descendente, se manifiestan varios esquemas lógicos:
Se puede determinar tanto el siguiente como el anterior de un
elemento dado cualquiera.
Análogo a la sucesión de siguientes a partir de un término "a"
cualquiera se tendría una sucesión de anteriores.
Al igual que se adquiere el conocimiento de "todos los posteriores" se
obtiene la clase de "todos los anteriores"
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Anexos III. Análisis Didáctico.
277
Del mismo modo que se puede determinar la posición de un término
tomando como referencia una posición anterior a través del recuento
progresivo, se puede determinar la posición de un término tomando
como referencia una posición posterior a través del recuento
regresivo.
Anexo 3.4. Sistematización de la secuencia en un estudio transcultural.
En los estudios transculturales de Song y Ginsburg (1988) se observa que, en
casi todos los lenguajes, los numerales hasta 100 se producen a través de un sistema
basado en las reglas:
1. Denominación de las unidades (1 a 9)
2. Denominación de las decenas (10 a 90)
3. Reglas para combinar las unidades y las decenas.
Según estos autores los pasos seguidos por los niños para aprender este sistema
numérico serían los siguientes:
1. Memorizar mecánicamente los nombres de las unidades, ya que son
denominaciones arbitrarias que deben recordarse como "sílabas carentes
de sentido"
2. Producir las decenas a partir de las unidades
3. Aprender las reglas que indican el modo en que deben combinarse las
unidades y las decenas para formar números mayores. Estas reglas evitan
que el aprendizaje de la secuencia de numerales tenga que ser aprendido
hasta 100.
La secuencia numérica cuenta con un sistema de generación que sustituye al
aprendizaje memorístico a partir de 10.
Anexo 3.5. Encadenamiento aditivo como componente de la seriación.
1. Definiciones.
Sea R una relación asimétrica y biunívoca que genera una progresión P, entonces
cualquier término a de la progresión mantiene la relación R con algún otro término b de
la misma. Los términos a y b constituyen lo que llamaremos sucesión de dos
términos1.
Si al coger un término cualquiera siempre existe la relación R con algún otro
término (según la definición de progresión), entonces si tomamos el segundo elemento
de la "sucesión de dos términos" y aplicamos lo anterior tenemos que existe otro
elemento c de P tal que bRc, con lo cual se añade un nuevo término a la sucesión de
dos anteriormente construida, aplicándose, así, un procedimiento que llamaremos
1
Por la relación asimétrica R un término será primero y otro segundo.
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Anexos III. Análisis Didáctico.
278
"encadenamiento aditivo". Por consiguiente el "encadenamiento aditivo" es un
procedimiento recursivo, a partir del cuál se obtiene la "sucesión de siguientes".
En definitiva, la sucesión de siguientes es una serie discreta y conexa que está
generada por una relación asimétrica y biunívoca, por lo tanto es una progresión en el
sentido de Bertrand Russell; mientras que el encadenamiento aditivo es relativo al
proceso de ir añadiendo cada término en la sucesión de siguientes, así, al mencionar un
nuevo término se añade a la lista de los ya mencionados, y este nuevo término se pone a
continuación del último término considerado hasta ese momento porque es el siguiente
inmediato de éste según la relación biunívoca que ha generado la sucesión de siguientes.
2. Encadenamiento aditivo en la sistematización de la secuencia numérica.
En la tabla 1, la fila y la columna "generatriz" (la primera fila y la primera
columna) indican, respectivamente, el ciclo y el criterio de seriación doble, de manera
que si nos encontramos, por ejemplo, en "la fila del uno", la regla es poner delante de
cada uno de los términos del ciclo un "1"; lo mismo con la fila del dos, el tres, hasta
considerar la fila del nueve, y así obtenemos la sucesión de los números naturales de
los cien primeros términos. El encadenamiento aditivo para obtener el "tramo" que va
del 100 al 199 sigue la misma regla de formación pero sustituyendo la columna
generatriz por los números: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 y 19.
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85
86
87
88
89
9
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Tabla 1
Para continuar sustituiremos la columna geratriz de la figura 1, sucesivamente, por:
20, 21,…,29
30, 31,…,39
...............................
90, 91,…,99
Según este procedimiento, cada fila de la tabla de doble entrada daría lugar a
cien números una vez que se han combinado con el ciclo. Este juego se puede prolongar
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Anexos III. Análisis Didáctico.
279
todo lo que se quiera, puesto que no hay ninguna restricción, generándose una sucesión
infinita de términos.
3. Relativo a la psicogénesis del encadenamiento aditivo.
Atendiendo a la psicogénesis de la seriación, nos encontramos tres etapas de
maduración hasta conseguir el éxito operatorio. Las actuaciones de los niños, en lo que
hemos llamado la primera fase de la evolución (seriación sin criterio de orden), vendría
dada por los tres apartados siguientes:
i)
Ausencia de seriación. Los niños son incapaces de mantener el criterio de la
serie y ante tareas como ensartar bolas siguiendo la alternancia rojo-azul, ellos
cambian el criterio fijándose más en los aspectos figurales y hacen otra cosa.
ii)
Seriación por "tanteos". Es la capacidad de seriar correctamente a través de
tanteos empíricos. Esta actuación conlleva realizar la serie con éxito, pero es
una tarea hecha sin seguridad, por ensayo y error, prueban con un elemento si
está bien lo dejan y si está mal lo quitan, son incapaces de anticipar un
resultado, de decir cuál va a ser el siguiente. Es una seriación intuitiva, es decir,
el encadenamiento aditivo sólo se comprende en función de la serie total
percibida y éste se pierde cuando la serie queda dispersada desde el punto de
vista de la percepción.
iii)
Seriación operatoria. Es donde aparece el éxito operatorio y se caracteriza
porque el niño es capaz de anticipar la serie y la realiza usando un método
sistemático.
Para las series con un criterio de orden se dan las mismas actuaciones anteriores
pero se da la circunstancia de que a medida que el criterio es más complicado la edad
en la que se dan dichas actuaciones aumenta, de manera que un niño puede realizar
bien una serie sencilla y acto seguido, realizar mal otra en la que el criterio es más
complicado. La interpretación de las tres conductas anteriores en el caso concreto de
seriación con un criterio antisimétrico y transitivo (relación de orden), como, por
ejemplo, ordenar diez bastones de tamaño creciente es la siguiente (Sinclair de Zwart,
1978):
i)
El niño no consigue realizar la serie, pero aunque fracasa en la ordenación
completa sí es capaz de construir pequeñas series yuxtapuestas, como por
ejemplo coger dos bastones de los diez y decir cuál es el más pequeño y el más
grande, es decir series de dos elementos, o coger un grupo de tres bastones y
ordenarlos.
ii)
Consiguen realizar por tanteo una escalera inicial, pero este procedimiento no
conlleva el sistema de relaciones necesarios que origina una ordenación
sistemática, por lo tanto se da la incapacidad para intercalar elementos en una
serie dada.
iii)
Se da la seriación operatoria. Seriar operatoriamente significa coordinar las dos
relaciones inversas, "menor que" y "mayor que". Un bastón ocupa un lugar
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Anexos III. Análisis Didáctico.
280
determinado en la serie porque es mayor que el anterior y menor que el
siguiente, lo cuál implica usar un método sistemático para la realización de la
tarea de ordenar bastones (primero se busca el elemento más pequeño, luego el
más pequeño de los que quedan, etc.). El niño es capaz de anticipar el resultado
de la ordenación mediante un procedimiento seguro.
En resumen, la evolución que sigue el encadenamiento aditivo pasa por: una
primera etapa de seriación arbitraria en la que sólo se da una yuxtaposición de términos
y carece de una ley de sucesión; le sigue la seriación intuitiva realizada por tanteos
empíricos que no conlleva capacidad de anticipación, método sistemático, etc. y
caracterizada porque mientras se percibe se mantienen las relaciones entre los términos
pero cuando se destruye dejan de existir en la mente del niño; para terminar con el éxito
operatorio de la tercera etapa en las que se dan las relaciones inversas "mayor que" y
"menor que" lo cuál implica la posibilidad de desarrollar la serie en los dos sentidos.
En una supuesta extrapolación de las actuaciones de los niños (anteriormente
citadas) a la serie numérica y partiendo de que el niño domina la secuencia del uno al
diez, nos encontraríamos lo siguiente:
i)
El niño no consigue repetir la secuencia del uno al cien por ejemplo, pero sí es
capaz de reproducir pequeñas tramos de la misma
ii)
El niño es capaz de contar del uno al cien pero recibiendo ayuda en el cambio
de decenas
iii)
Se da el éxito operatorio. El niño conoce un método sistemático para repetir la
serie numérica, sabe que cuando se “agotan” los números que empiezan por "1"
el siguiente es empezar por "2" y unir éste a todos los del ciclo, y cuando ésto se
termina se debe continuar con el "3", y así sucesivamente.
En resumen, la psicogénesis de la seriación se puede aplicar al desarrollo de la
serie numérica.
Anexo 3.6. Cálculo del anterior y siguiente inmediato con la seriación
cíclica.
Se puede hacer uso de la seriación cíclica para determinar algunas propiedades
importantes de la secuencia numérica como, por ejemplo, calcular el anterior y
siguiente inmediato de cualquier número de este modo:
1.
Para números de dos cifras: A=x1x2
i)
El siguiente inmediato de A es
x1(x2+1) si x2≠9, y
(x1+1)0 si x2=9
ii)
El anterior inmediato de A es
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Anexos III. Análisis Didáctico.
281
x1(x2−1) si x2≠0, y
(x1−1)9 si x2=0 y x1≠1
9 si A=10
2
Para números de tres cifras: A=x1x2x3
i)
El siguiente inmediato de A es
x1x2(x3+1) si x3≠9
x1(x2+1)0 si x3=9 y x2≠9
(x1+1)00 si x3=9 y x2=9
1000 si x3=9, x2=9 y x1=9
ii)
-
El anterior inmediato de A es
x1x2(x3−1) si x3≠0, y
x1(x2−1)9 si x3=0 y x2≠0
(x1−1)99 si x3=0 y x2=0
99 si A=100
y así sucesivamente.
Anexo 3.7. Etapas para determinar el lugar que ocupa un término
cualquiera en una serie:
De los estudios psicogenéticos de la estructura operatoria de seriación podemos
inferir las siguientes etapas para determinar el lugar que ocupa un término cualquiera
en una serie:
I.
El niño responde de forma arbitraria, indicando el primer lugar que se le
ocurre, es puro azar.
II.
El niño actúa por ensayo y error, por tanteo, prueba a decir un lugar y
cuando tiene que razonar su respuesta, duda y cambia el criterio.
III.
Se da el éxito operatorio. Los niños responden correctamente aludiendo a
los elementos "vecinos", es decir, al anterior y al posterior; o bien
utilizando una terminología espacial: "entre" (el elemento en cuestión se
encuentra entre este y este otro); temporal: "antes de" y "después de",
etc., pero en todos los casos, son capaces de describir la posición que
ocupa un elemento determinado en una serie que no perciben.
El desarrollo de esta capacidad advierte que el niño ha superado la etapa de
seriación intuitiva en la que sólo puede describir una serie cuando ésta es percibida y
deja de establecer relaciones entre sus elementos cuando ya no la tienen presente
físicamente.
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Anexos III. Análisis Didáctico.
282
Anexo 3.8. Proceso de generación de las series numéricas aditivas a
partir de la secuencia de números naturales
El proceso de generación vendría dado por los pasos siguientes:
1º)
Construcción de la serie S1.
Realizamos una correspondencia serial entre la secuencia numérica2 (que
llamaremos S) y la alternancia: sí-no-sí-no-sí-no-sí-no… Consideramos, ahora, la serie
de la secuencia correspondiente a los "síes" y obtenemos:
(S1) 1-3-5-7-9……
La serie así construida la podemos llamar "alternancia de la primera serie", y el
siguiente de un elemento en S1 es el "siguiente del siguiente en S", es decir, que si α es
la función sucesor de S y α1 es la correspondiente a S1, entonces:
α1(x) = α(α(x))
siendo x un elemento cualquiera de S1.
Si usáramos una terminología cardinal junto a la ordinal podríamos decir que la
serie, así construida, S1, es la que sigue el criterio: "dos lugares después de", pero
precisamente nuestras pretensiones son trabajar el aspecto ordinal lo más aisladamente
posible, por eso usamos la función sucesor y las correspondencias seriales.
2º)
Construcción de la serie S2.
En el segundo paso aplicamos el mismo método generativo que hemos usado en
el primero. Así a la serie S le aplicamos la correspondencia serial con esta otra:
sí-no-no-sí-no-no-sí-............
y obtenemos S2 que sería:
1-4-7-10.............
y si α2 es la función sucesor de S2, se cumple:
α2(x) = α(α(α(x)))
3º)
. Construcción de la serie S3.
Obtenemos S3 a partir de la correspondencia serial con la serie:
2
Consideramos que S es la secuencia numérica empezando en 1.
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Anexos III. Análisis Didáctico.
283
sí-no-no-no-sí-no-no-no-sí-..........
entonces, S3 es:
1-5-9-...............
y si α3 es la función sucesor de S3 , se cumple:
α3(x) = α(α(α(α(x))))
De esta forma en el n-ésimo paso se obtiene la sucesión Sn a partir de la
correspondencia serial:
sí-(n-noes)-sí-(n-noes)-sí-.......
y si αn es la función sucesor de Sn , se cumple:
(n+1)
αn(x) = α
(x)
Con este proceso se ha creado un método de construcción de las series
numéricas aditivas a partir de la secuencia numérica de los números naturales con la
particularidad de que es un proceso ordinal, y así hemos obtenido:
S. 1, 2, 3, 4, 5,....................
S1. 1, 3, 5, 7, 9,....................
S2. 1, 4, 7, 10,13,........................
S3. 1, 5, 9, 13, 17,...........................
y así sucesivamente.
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ANEXOS IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
Anexo 4.1. Trascripción de las entrevistas del estudio exploratorio
Trascripción completa de las entrevistas en la misma secuencia en las que
sucedieron. Se empieza con la clase de 4 años, para seguir con la de 5 y finalizar con la
de 3. Cada niño entrevistado está identificado por las dos o tres primeras letras de su
nombre de pila; entre paréntesis mostramos dos números que reflejan su edad: el
primero indica los años y el segundo los meses.
La secuencia en la presentación del material durante la entrevista es la siguiente
La entrevista la inicia siempre la experimentadora con esta frase: "Tú te llamas
Tal y el osito Saltarín, tiene K1 años los mismos que tú; el osito va subiendo por esta
escalera que le lleva a su casa”. Y se termina con esta otra: “A Saltarín le ha gustado
jugar contigo, y ahora tiene que despedirse ¡Hasta pronto amiguito!”.
Clase de 4 años
La experimentadora:
•
1
Presenta el material.
K toma, en cada caso los valores: 3, 4 y 5 años
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
286
•
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•
Hace subir al osito por la escalera, recorriendo los escalones de uno en uno. Coloca
dos escaleras con 5 escalones cada una, y trabaja sólo con una. Le pide al niño que
haga, al osito, subir los escalones y cuente al mismo tiempo.
Cuenta al niño que el osito come pan en un escalón sí y en otro no: “La mamá del
osito Saltarín ha dicho que tiene que comer pan en un escalón sí y en otro no. En
éste, que es el 1, sí come pan; ahora sigue tú poniendo el pan en los escalones que sí
tienen que tener, te recuerdo que come en uno sí y en otro no, y en este (señala 1) ya
hemos puesto”1.
.Deja que el niño ponga el pan en los escalones correspondientes.
Va contando y dice "en el uno sí, en el dos no, etc.". Se pretende que el niño prosiga
la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia
Oculta el pan con un trapo. Motiva al niño diciendo que el osito ahora no sabe
dónde está el pan, pero que nosotros somos "magos" y se lo vamos a decir.
Construye la escalera con 10 escalones y le pide al niño su colaboración. Pide que
cuente los escalones. Se repite todo el proceso anterior, pero ahora con 10 peldaños
en lugar de 5.
1) Ver. (4, 11)
-E. Cuenta los escalones
-V. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5).
-E. Coloca el pan en uno sí y en otro no
-V. Va colocando pan en uno sí y en otro no.
-E. En el 1-sí, en el 2-no…, venga sigue tú.
-V. Silencio
-E. En el 1-sí, en el 2…
-V. No, en el 3-sí, en el 4-no y en el 5-sí..
-E. Ahora con el pan oculto: En el 1…
-V. Sí hay
-E. En el 2...
-V. No hay
-E. ¿Cuál es? (Señala 3)
-V. El 3
-E. ¿Hay?
-V. Sí.
- E. ¿Cuál es? (Señala 4).
- V. Es el 4 y no hay.
-E. ¿Cuál es? (Señala 5).
-V. En el 5 sí hay
-E. ¿Cuál es?( Señala 3), ¿Hay pan en ese
escalón?
-V. Es el 3 y sí hay porque me acuerdo.
-E. Si en el 3 hay ¿qué ocurre en éste? (señala el
4)
-V. No hay porque me acuerdo y en éste (señala
el quinto) sí hay porque me acuerdo
1
-E. (Escalera con 10 escalones). Cuenta los
escalones.
-V. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. En el 1 no hay, en el 2...
-V. 2 sí, en el 3 no, en el 4 sí, en el 5 no, en el 6
sí, en el 7 sí...
-E. Repítelo
-V. En el 1 no, en el 2 sí, en el 3 no, en el 4 sí,
en el 5 no, en el 6 sí, en el 7 no, en el 8 sí, en el
9 no y en el 10 sí.
-E. Lo tapa. El experimentador señala uno a uno
y la niña va diciendo correctamente si hay o no.
- E. En el 3 ¿hay?
-V. Sí
-E. ¿Por qué?
-V. Porque lo he puesto.
-E. ¿Cuál es el 3?
-V..Éste (señala el 3) y no hay porque me
acuerdo
-E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿Cuál es el
4?, ¿Hay pan en el 4?
-V.. Éste (señala 4) y sí hay pan porque en el 3
no hay.
-E..El osito está en el 3 y no hay, entonces: "En
el 6 ¿hay?"
-V.. En el 6 sí porque en el 5 no hay
Tenemos que exceptuar el caso de Ver. (4, 11) que se trabajó con la correspondencia: 1-no, 2-sí, 3-no, 4sí, 5-no, 6-sí, 7-no, 8-sí, 9-no, 10-sí
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-E. ¿Y en el 8? (Deja el osito en el 3 y recuerda
que ahí no había)
-V.. En el 8 sí hay.
-E.. ¿Por qué?
-V.. Porque en el 7 no hay
-E.. ¿Y por qué no hay en el 7?
-V.. Porque en el 6 hay
-E.. ¿Y en el 10 hay?
-V. Sí, porque en el 9 no hay
287
-E. ¿Por qué?
-V.. Porque en el 8 hay.
-E. Sabemos que en el 3 (donde está sentado el
osito) no hay ¿qué pasa en el 1?
-V.. No hay.
-E. ¿Y en el 2?
-V.. Sí hay
-E.. ¿Por qué?
-V. Porque en el uno no hay.
2). Nar. (4, 8).
-E. Tienes que contar los escalones.
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5).
-E. El osito se salta en escalón cuando come,
come pan en un escalón sí y en otro no. Ahora
ponlo tú.
-N. Coloca pan en un escalón sí y en otro no.
-E. En el 1-sí, en el 2-no…, sigue tú
-N. En el 3-sí, en el 4-no y en el 5-sí.
-E. Tapamos la parte de la escalera donde está
el pan con un trapo, y, claro está, el osito no
sabe ahora donde está el pan, pero, nosotros
somos "magos” y se lo vamos a decir ¿verdad?.
-N. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2),
en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4) y en
éste sí (señala 5).
- E. ¿Sabes qué escalón es éste? (señala 3).
¿Aquí come pan el osito?.
-N. Es el 3 y sí come pan.
- E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
-E. ¿Cuál es éste? (Señala 4) ¿Come pan?.
-N. Es el 4 y no come pan.
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
- E. ¿Sabes contarlo?.(La escalera tiene ahora 10
peldaños)
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. Entonces ahora la escalera es muy larga.
-N. Tiene 10.
- E.. El osito come pan en uno sí y en otro no.
Tienes que poner pan en los escalones donde el
osito va a comer
-N. duda bastante y realiza la alternancia con
ayuda de la experimentadora.
- E. Dime en el 1-sí (señala el 1), en el 2-no,
venga sigue tú.
-N. 2-no (señala 2), 3-sí (señala 3), 4-no (señala
4), 5-sí(señala 5), 7-sí (señala 6).
- E. ¿Este es el 7? (Señala 6).
-N. ¿El 8?.
- E. ¡Ah el 8!.
-N. Es el 7.
- E. ¿Y éste? (Señala 8).
-N 9.
- E. Sigue señalando el 8.
-N. El 7.
- E. Sigue señalando el 8.
-N. Es el 15 y no hay.
- E. ¡Ah el 15!, Este es el 7 y éste también
(señala los dos escalones que el niño ha
etiquetado con 7) ¿Cuántos sietes hay?.
-N. Sólo tiene que haber uno y señala el primer
peldaño que él etiquetó con 7.
- E. ¿Por qué no lo hacemos de nuevo?, venga,
en el 1-sí...
-N. 2-no (señala 2), 3-sí (señala 3), 4-no (señala
4), 5-sí (señala 5), 6-no (señala 6), 7-sí (señala
7), 8-no (señala 8), 9-sí (señala 9) y en el 8 no
(señala 10)
- E Cuenta los escalones.
-N 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 10).
- E. Tapamos el pan y colocamos el osito en el
número 3 ¿comerá pan el osito en este escalón?.
-N. Sí.
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
-E. Si lo pongo en el 6 ¿come?.
-N. No come.
- E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
- E. Dejamos al osito en el 6. ¿Qué ocurre en el
7?, ¿Comerá el osito pan en el 7 o no comerá?.
-N. No come.
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
-E. Te recuerdo que en el 6, donde está el osito,
no come, ¿cuál es el 7?.
-N. Este (señala 7)
-E. ¿Come?.
-N. Sí come.
- E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
-E. En el 6 no come, ¿come en el 8?
-N. En el ocho come bizcocho.
E. ¿Come pan?.
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288
-N. Sí porque me acuerdo.
- E. ¿En el 9?.
-N. No come.
-E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 3?, ¿Come
en el 3?.
-N. Aquí, señalando el 4 (puede ser porque el 1
es muy pequeño y no lo considera), sí come
porque me acuerdo.
- E. ¿Y en el 4?.
-N. Aquí (señala 5), sí come porque me acuerdo.
-E. Sentaremos al osito en el escalón número 6
y ahora me tienes que decir de otra forma que
no sea "porque me acuerdo" si hay pan en este
escalón o no hay.
-N. Sí hay.
- E. ¿Por qué?.
-N. Porque sí.
- E. Levantaremos el trapo, ¡oh!, no hay, pero
¿por qué no hay?.
-N. Porque me acuerdo.
- E. Sabemos que en el 6 no hay, pero ¿y en el
7? ¿cuál es el 7?.
-N. Este es el 7 (señala 8).
- E. ¿En qué escalón está sentado el osito?.
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6). Está en el 6
- E. ¿El 7 cuál es?.
-N. Señala el 9.
- E. Pero el osito está en el 6 ¿cuál es el 7?.
-N. Señala el 6.
- E. Pero ese es el 6.
-N. ¿Lo ponemos aquí? (Señala el 9).
- E. Quiero que sientes al osito en el 7.
-N. Lo pone en el 9.
- E ¿Ese es el 7?.
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-N. No.
- E. Entonces cuál es ese.
-N. El 9.
- E. ¿Ese es el 9?.
-N. Sí.
- E. ¿Por qué sabes que ese es el 9?.
-N. Porque me acuerdo.
- E. ¿Hay pan en el 9?.
-N. Sí.
- E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
- E. Si en el 9 sí hay, en el 10 ¿hay?.
-N. No.
- E ¿Cuál es el 10?.
-N. Este (señala 10).
- E. Comprueba que efectivamente no hay.
- E. El osito está en el 9 y no hay. ¿Cuál es el
8?, ¿hay pan en el 8?.
-N. Este (Señala 8) y no hay.
- E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
- E. ¿Y en el 7?.
-N. No.
- E. ¿Cuál es el 7?.
-N. Este (señala el 9) donde está el osito.
- E. ¿Cuál es el 9?.
-N. Señala el 5, pero rectifica al instante y
señala el escalón donde se encuentra el osito.
- E. Entonces, ¿cuál es el 7?.
-N. Señala el 7.
- E. ¿Hay pan?.
-N. No.
- E. ¿Por qué?.
-N. Porque me acuerdo.
3) Pat. (4, 6).
-E. Cuenta los escalones.
-P. con el osito en la mano, hace que éste
recorra los escalones uno a uno.
-E. Tienes que contar en voz alta.
-P. 1 (señal 1), 2 (señal 2), 3 (señal 3), 4 (señal
4) y 5 (señal 5),
-E. Coloca el pan en uno sí y en otro no
-P. Va colocando pan en uno sí y en otro no.
-E. En el 1- sí, en el 2- no, …
-P. En el 4-sí (señala 3)
-E. ¿Por qué ese es el 4? (señala 3)
-P. Porque va después que el 3 y el 3 es éste
(señala el4)
-E ¿Y el 2?
-P Este es el 2 (señala 2).
-E. Entonces, ¿cuál es el 3?
-P. Este (señala 4).
-E. ¿Por qué?.
-P. Porque va después del 2.
-E. Ahora vamos a decirlo todo, decimos en el
1-sí,....
-E. Señala el 2
-P. El 2 no hay.
-E Señala el 3.
-P. El 3 sí hay.
-E. Señala el 4.
-P. En el 4 sí hay (con muchas dudas).
-E. Señala el 5.
-P. El 5 sí hay.
(A partir de este momento se oculta el pan)
-E. Este es el uno, ¿hay pan?
-P. Sí hay (Para dar esta respuesta ha tenido que
mirar por debajo del trapo).
-E. En el 2 ¿hay? (señala 2)
-P. No hay (mira por debajo del trapo).
-E. En el 3 ¿hay? (señala 3)
-P. Sí hay (mira por debajo del trapo).
-E. En el 4 ¿hay? (señala 4)
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-P. No hay (mira por debajo del trapo).
-E. En el 5 ¿hay? (señala 5)
-P. No hay (mira por debajo del trapo).
-E. El osito está cansado y se va a sentar aquí
(en el 3)), ¿en qué escalón está sentado el osito?.
-P. En el 4
-E. ¿Por qué ese es el 4?
-P. Porque viene después del 3
-E ¿Y dónde está el 3?.
-P. señala el 4
-E. ¿Ahí está el 3?.
-P. Sí.
-E ¿Por qué el 3 es éste (señala el 4)?.
-P. Porque este es el 3 (señala el escalón donde
está el osito) y éste es el 4 (señala 4)
-E Entonces este es el 3 y este es el 4 (señala 3 y
4)
-P. ¡Sí!, ¡Te estaba gastando una broma!.
-E. El osito está en el 3, ¿hay pan?.
-P. intenta averiguarlo mirando por debajo del
trapo.
-E. ¡No puedes verlo!
-P. Sí hay.
-E. ¿Por qué?.
-P. Porque sí.
-E. Pero, ¿porqué sabes que hay pan en el 3?
-P. Porque lo sé.
-E.. Vale, bueno en el 3 sí hay pan porque lo
sabes, y en el 4 ¿hay?¿, ¿Cuál es el 4?.
-P. Este (señala 4) y no hay.
-E. ¿Por qué?.
-P. Porque no quiere comer (mira por debajo del
trapo).
A partir de este momento la escalera
tiene 10 escalones.
-E. Quiero que cuentes los escalones.
-P 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. En el 1 sí come pan y lo ponemos, ¿cuál es
éste? (señala 2)
-P. El 2 y no come
-E. ¿Y éste?, (Señala el 3).
-P. El 3
-E. ¿Y éste? (señala el 4)
-P. El 4
-E. ¿Ponemos pan?
-P. Sí
-E. ¿Sí?.
-P.. No
-E. ¿Y éste? (señala el 5)
-P. El 5
-E. ¿Hay pan?
-P. Sí
-E. ¿Y aquí? (señala el 6)
-P. Sí. (Cuando coloca pan en el 6 se da cuenta
que no puede ser pues ya había colocado pan en
el 5, por tanto, lo quita y dice que no hay).
-E. ¿Y aquí? (señala 7)
-P. Sí
289
-E. ¿Y aquí? (señala 8)
-P. No
-E. ¿Y aquí? (señala 9)
-P. Sí
-E. ¿Y aquí? (señala 10)
-P. No
-E. Entonces dime como ha quedado para
decírselo al osito.
-E. Este es el....(señalando el 1).
-P. El 1 y sí hay (ha cogido al osito para
enseñárselo)
-E. Este es el....(señalando el 2).
-P. El 2 y no hay
-E. Este es el....(señalando el 3).
-P. El 3 y sí hay
-E. Este es el....(señalando el 4).
-P. El 4 y no hay
-E. Este es el....(señalando el 5).
-P. El 9 y sí hay
-E. ¿El 9?.
-P. No, es el 5 y sí hay.
-E. Este es el....(señalando el 6).
-P. El 9 y sí hay
-E. ¿El 9?.
-P. El 10.
-E. Mira éste es el 5 (señala 5) entonces éste es
el... (señala 6)
-P. El 7.
-E. ¿Después de 5 va el 7?
-P. Sí.
-E. Este es el ....(señala el 7).
-P. El 9 y sí hay.
-E. Este es el ....(señala el 8)
-P. No sé... ¡el 9!.
-E. Tienes que decírmelo pensando, tienes que
pensar y cuando estés segura me lo dices.
El experimentador empieza de nuevo
todo el proceso.
-P. Ese es el 1y sí hay (señala 1), este es el 2 y
no hay (el experimentador señala el 2), este es el
....¿4?, ¡No! es el 3, este es el 4 (el
experimentador señala el 4), este es el 9 (el
experimentador señala el 5) y sí hay.
-E. Tienes, ahora, que contar los escalones sin
decir si hay pan o no.
-P. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 9). Este
(señala 10) no lo he contado porque no había
pan.
El experimentador coloca el trapo
ocultando el pan.
-E. Yo voy a colocar a Saltarín en este escalón
(lo sienta en el 6), ¿en qué escalón está?.
-P. En el 5.
-E. ¿Por qué en el 5?.
-P. No me acuerdo.
-E. Pero no te tienes que acordar, tú lo puedes
adivinar, ¿cómo lo adivinas?.
-P. ¡El 7!
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290
-E. ¿Porqué en el 7?.
-P. Entonces hay que contarlo.
-E. Pues cuéntalo.
-P. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5) y 6 (señala 6), entonces
está en el 6
-E. Ahora quiero que me digas si en el 6 come
pan o no come.
-P. Sí
-E. ¿Por qué?.
-P. (No sabe qué contestar y quita el trapo)
¡Oh!, ¡No hay!.
-E. ¿Cuál es el 3?
-P. Este es el 3 (señala el 4, puede ser porque el
1 sea muy pequeño).
-E. ¿Porqué ese es el 3?.
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-P. Porque después del 2 viene el 3 y este es el 3
(señala el 3 por el 2). En el 2 sí hay (después de
quitar el trapo). En el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí,
en el 4-no, en el 5-sì (esto lo hace viendo el pan,
sin trapo).
-E. El osito está en el 6 y no come, en el 7
¿come?, ¿Cuál es el 7?.
-P. Este es el 7 (señala 7), y no sé si come o no
come. ¡No come! (quita ella misma el trapo y ve
que sí come).
-E. El osito está en el 6 y no come, en el 4
¿come?, ¿cuál es el 4?.
-P. Este es el 4 (señala 4)
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?.
-P. Porque este es el 3 (señala 3) y yo sé contar
hasta 4.
4) An. (4, 3)
-E. Cuenta los escalones.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 6 (señala 5), 9 (señala 5).
-E. Debes colocar pan en un escalón sí y en otro
no
-A. Sí.
-E. Venga pon tú el pan en los escalones en los
que el osito va a comer.
-A. Coloca pan en el primer escalón.
-E. En el 1 come.
-A. Coloca pan en el segundo escalón.
-E. Te recuerdo que en el 2 no come y en el 3 sí
come.
-A. Coloca otro trocito de pan en el segundo
escalón.
-E. ¿Ese es el 3?
-A. Sí.
-E. Cuenta, de nuevo los escalones.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 2), 4
(señala 3), 5 (señala 4), 6 (señala 5),
-E. Aquí sí come pan (colocando al osito en el
1).
-A. Coloca el pan en ese escalón.
-E. Aquí... (coloca el osito en el 2)
-A. No come.
-E. Aquí... (coloca el osito en el 3)
-A. Sí come (colocando el pan)
-E. Aquí... (coloca el osito en el 4)
-A. No come.
-E. Aquí... (coloca el osito en el 5)
-A. Sí come (colocando el pan).
-E. Estás viendo la escalera y el pan en la
escalera; me tienes que decir "el número de cada
escalón y si come o no come pan", "mira, este es
el 1 (señala 1) y sí hay, entonces en el 1 sí
come", y así todos ¿vale?.
-A. Silencio.
-E. ¿Cuál es? (Señala 1)
-A. El que come (está viendo el pan en ese
escalón).
-E. Sí, aquí sí come (señala el 1), pero, ¿qué
número es?
-A. El 3
-E. ¿Por qué?
-A. Porque come.
-E. Y éste, ¿cuál es? (señala el 2).
-A, El 6
-E. ¿Por qué es el 6?
-A. Porque come.
-E. Pero tú habías dicho que éste (señala el 1)
era el 3, entonces ¿cuál es éste? (señala el 2).
-A. El 5
-E. ¿Por qué?
-A. Porque no come.
-E. Pero después del 3, ¿cuál viene?.
-A. El que no come.
-E. Pero, ¿cuál es el 3?.
-A Este (señala 3).
-E. Venga, cuéntalo otra vez.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 2), 4
(señala 3), 5 (señala 4), 6 (señala 5).
A partir de ahora se oculta el pan
-E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 1).
-A. Sí puede comer.
-E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 2).
-A. No puede comer.
-E Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 3).
-A. Sí puede comer.
-E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 4).
-A. No puede comer.
-E. Aquí, ¿hay pan? (coloca al osito en el 5).
-A. Sí puede comer.
-E. Vamos a sentar a Saltarín en este escalón (lo
sienta en el 3), ¿come pan en este escalón?
-A. No.
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
E. ¡Oh, sí come! (descubre el pan), entonces en
este come (señala 3), ¿come en este? (señala 4).
-A. Sí
-E. ¿Por qué?
-A. Porque come.
-E. El osito está en este (señala 5), ¿En qué
escalón está?, ¿qué número es?.
-A. El 5
-E. ¿Por qué?
-A. Porque come.
-E. En el 1, ¿come?.
-A. No.
-E. En el 2, ¿come?.
-A. No.
-E.. En el 3, ¿come?.
-A. Sí.
-E. En el 4, ¿come?.
-A. Sí.
-E. En el 5, ¿come?.
-A. Sí.
291
-E. ¿En qué número de escalón está sentado el
osito? (sigue en el 3)
-A. En el 6
-E. ¿Por qué?.
-A. Porque hay comida.
-E. Bueno, no importa si hay comida o no, ¿en
qué escalón está?.
-A. ¿El 5?.
-E. Mira el osito está en el 3 porque este es el 1
(señala 1), este es el 2 (señala 2) y este es el 3
(señala 3). Bien si este es el 3 (señala 3), ¿cuál
es el 4?
-A. Este (señala 3)
-E. ¿Y el 5?
-A. Este (señala 3)
-E. El osito está en el 3 y sí come, vamos a
levantar el trapo para verlo ¿lo ves?. Bien si en
el 3 come ¿come en el 4?, ¿cuál es el 4?
-A. Este (señala 5) porque hay comida
-E. ¿Y en el 5?, ¿cuál es el 5?
-A. Este (señala 3) porque no hay comida.
5) Adr. (4, 1).
-E. Cuenta los escalones.
-A. Silencio.
-E. Hay que ir señalando y contando,
-A. 1, 2, (muy bajito y sin señalar).
-E. ¿No quieres señalarlos?
-A. señala algunos escalones pero no los cuenta.
-A. 1 (y mira al experimentador pero no señala),
y 2 (mira la escalera y al experimentador sin
señalar) y 9, y 4,
-E. El osito, Saltarin, come pan en uno sí y en
otro no, tienes que ponerle el pan.
-A. pone pan en el primer escalón, también en
el segundo.
-E. Es en uno sí y en otro no.
-A. omite la consigna del experimentador, deja
el pan que ya había puesto y sigue poniendo en
el 3, en el 4 y en el 5.
-E. ¿Qué come en todos?.
-A. Sí
-E. Es un Saltarín; en este (señala el 1) sí, en
este (señala el 2) no come y se lo quitamos, en
este(señala el 3) sí, en éste (señala el 4) no come
y se lo quitamos, y en este (señala el 5) sí.
-E. Es en 1-sí, 2-no, sigue tú
-A. Silencio
-E. En el 1 ¿come? (señala 1).
-A. Sí
-E. En el 2 ¿come? (señala 2).
-A. Sí (está viendo la escalera con el pan en los
escalones correspondientes y aún así dice que sí
hay en el 2).
-E. En el 3 ¿come? (señala 3).
-A. Sí
-E. En el 4 ¿come? (señala 4).
-A. El 4
-E. En el 5 ¿come? (señala el 5).
-A. Sí
-E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué
escalón está?
-A. Silencio
-E. En ese escalón ¿come? (señala 3).
-A. Sí
-E. ¿Qué número es? (señala 3)
-A. El 7 (respuesta que da después de algunos
minutos)
-E. Vamos a comprobar, levantando el trapo si
hay pan en ese escalón que es el 3. Mira, ¡no
hay!. ¿En este hay? (señala 4)
-A. Sí
6) Fr. (4, 0).
-E. Cuenta los escalones que hay.
-F. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3(señala3), 4
(señala4) y 5 (señala 5).
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292
-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro
no.
-F. Coloca el pan en los escalones
correspondientes
-E. Ahora le vamos a decir al osito: "mira en el
1 sí comes pan (señalando el 1 y el pan)", ahora
sigue tú.
-F. En el 2 no come pan (señalando el 2), en el 3
sí come pan (señalando el tercer escalón y el
pan), en el 4 no come pan (señalando el 4) y en
el 5 sí come pan (señalando el escalón y el pan).
-E. Ahora tapamos el pan. Colocamos al osito
aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?.
-F. En el 3
-E. En el 3 ¿come pan?.
-F. Sí.
-E. ¿Por qué sabes que en el 3 come pan?.
-F. Porque sí.
-E. Pero, ¿por qué sí?.
-F. Porque antes lo había hecho.
-E. Vale, en el 3 come pan (se comprueba
levantando el trapo), ¿y en el 4?, ¿cuál es el 4?.
-F. Este (señala 4) y no come pan.
-E. ¿Por qué no come pan?
-F. En el tres...,(silencio), y en el 4 no come
porque me acuerdo.
-E. En el 3 come; en el 2 ¿come?, ¿cuál es el 2?.
-F. Este (Señala el 2) y no come.
-E. ¿Por qué no come pan?
-F. Porque me acuerdo.
-E. Vamos a hacer la escalera más larga. Cuenta
los escalones.
-F 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. Ahora, igual que antes, ponemos pan en un
escalón sí y en otro no.
-F. Coloca el pan en uno sí y en otro no
empezando por el primero que sí.
-E. Entonces en el 1-sí, venga sigue tú.
-F. En el 2 no come; en el 3 sí come; en el 4 no
come, en el 5 sí come. Cuando llega al 6 lo
señala y dice "éste antes no estaba"
-E. Es verdad antes no estaba.
-F. no recuerda por donde se había quedado
-E. Mira este es el 5 (señala el 5) y sí hay pan.
¿este cuál es? (señala el 6).
-F Es el 6.
-E. ¿Come?
-F. No lo sé
-E. Es: en uno sí y en otro no.
-F. No.
-E. Este es el 6 (señala el 6), ¿este es el...?
(señala el 7).
-F. El 7.
-E. ¿Por qué sabes que es el 7?.
-F. Porque sé contar.
-E. En el 7 hay pan. ¿Este es el ...? (señala el 8)
-F El 9. (mira desde 1 y es como si lo estuviera
contando)
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. ¿El 9?.
-F El 8
-E ¿Come?
-F. No
-E. Este es el 8 (señala el 8), ¿este es el ...?
(señala el 9)
-F. El 9 (después de contar desde uno)
-E. ¿Come en el 9?.
-F .Sí
-E. Este es el 9 (señala el 9), ¿este es el ...?
(señala el 10).
-F. El 10 (después de contar mentalmente desde
uno)
-E. ¿Come en el 10?
-F. No.
-E. Tapa el pan y coloca al osito en el 6. ¿En
qué escalón está?.
-F. En el 6
-E. ¿Come en el 6?.
-F. Sí come.
-E. ¿Por qué?, ¿cómo lo has averiguado?.
-F. Porque antes lo he hecho.
-E. Levanta el trapo y comprueba que no come.
-E. Bueno en el 6 no come, y en el 7 ¿come?,
¿cuál es el 7?.
-F Señala el 8.
-E. Bueno, vamos a colocar al osito aquí (lo
sienta en el 3), ¿en qué escalón está sentado?
-F. En el 3
-E. ¿Come?.
-F. No.
-E. (Levanta el trapo y comprueba que sí come).
Bueno, ya sabes que en el 3 sí come, ¿comerá
en el 4?, ¿cuál es el 4?.
-F. Éste (señala el 4).
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?.
-F. Porque después del 3 viene el 4
-E. ¿Qué pasa en el 4?
-F. No come
-E. ¿Por qué?
-F. Porque yo lo he pensado.
-E. Levanta el trapo y comprueba que la
respuesta es correcta.
-E. Y en el 2 ¿come?, ¿cuál es el 2?
-F. El 2 (señala 2).
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 2?
-F. Porque después del 1 viene el 2.
-E. Y qué pasa en el 2, ¿come?
-F. No
-E. ¿Por qué?
-F. Porque lo he hecho y se que en el 2 no hay.
-E. ¿Y como lo has hecho?
-F. En el 1 hay y en el 2 no hay
-E. El osito está en el 3 y sí come, ¿qué pasa en
el 5?, ¿cuál es el 5?.
-F. Este es el 5 (señala 5)
-E. ¿Por qué ese es el 5?
-F. Porque este es el 4 (señala 4) y después del 4
va el 5.
-E. En el 3 sí come ¿y en el 5?.
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-F. Sí
-E. ¿Por qué?
-F. Porque lo he pensado.
-E. ¿Cómo lo has pensado?
-F. En el 4 no come y después del 4 viene el 5.
-E. Sentamos al osito en el 5, ¿cuál es el 6?
-F. Este es el 6 (señala el 6).
-E. ¿Por qué lo sabes?
-F. Porque lo he pensado.
-E. ¿Cómo lo has pensado?.
-F. Tú lo sabes porque la gente mayor lo sabe.
293
-E. Vamos a sentar al osito en el 6 y aquí no
come (levanta el trapo para comprobarlo), ¿qué
ocurre en el 7?, ¿cuál es el 7?.
-F. Este es el 7 (señala el 7)
-E. ¿Qué hace en el 7?
-F. Sí come
-E. Este es el 6 (Señala el 6 que es donde está
sentado el osito), entonces ¿cuál es el 8?
-F Señala el 8.
-E. ¿Por qué?
-F. Porque lo he pensado.
7) Sal. (4, 11)
.
-E. Cuenta los escalones.
-S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4) y 5 (señala 5).
-E. El osito come pan en un escalón si y en otro
no, debes ponerlo donde corresponda
-E. En el 1 come pan, en el 2 no y así. ¿En el 1?
-S. Sí
-E. Lo ponemos, ¿en el 2?
-S. No.
-E. ¿En el 3?
-S. Sí, en el 4 sí (y pone pan también en el 4).
-E. ¿En éste come? (señalando el 4)
-S. No (lo quita).
-E. ¿Este cuál es? (señalando el 4).
-S. El 2
-E. ¿El 2?
-S. No sé
-E. Piénsalo, seguro que lo sabes.
-S. El 4
-E. ¿Cómo lo has averiguado?
-S. Lo he contado
-E. ¡Ah!, has empezado desde aquí (señala el 1)
-S. Sí, 1 (señala 1), 2 (señala2), 3 (señala3) y 4
(señala 4).
-E. Bueno, entonces ha quedado así: en el 1 sí,
en el 2 no, venga sigue tú.
-S. En el 3 sí, en el 2 no
-E. Este no es el 2 (señalando el 4), es el que
viene después del 3.
-S. No lo sé.
-E. ¿No sabes cuál viene después del 3?.
-S. No
-E. Venga, yo sé que tú sabes cuál es éste
(señala el 4).
-S. El 4.
-E. Sí, ¿por qué?
-S. Porque lo he contado.
-E. Bueno en el 4 no y en ¿éste? (señala el 5)
-S. En este sí.
-E. Ahora tapamos el pan y colocaremos al osito
aquí (en el 3), ¿cuál es éste?
-S. Es el 3
-E. ¿Come?
-S. Sí
-E. ¿Por qué?
-S. Porque sí
-E. Este es el 3 y sí come. En el 4 ¿come?, ¿cuál
es el 4?
-S. Este es el 4 (señala el 4) y no come.
-E. ¿Por qué?
-S. Porque lo sé
-E. (Comprueban que no come tocando el
escalón por encima del trapo). En el 5 ¿come?,
¿cuál es el 5?.
-S. Este es el 5 (señala el 5) y sí come.
-E. El osito está en el 3 y sí come. En el 2
¿come?, ¿cuál es el 2?.
-S. Este es el 2 (señala el 2) y sí come.
-E. ¿Si come?
-S. No hay.
-E. En el 1 ¿come?, ¿cuál es el 1?
-S. Este es el 1 (señala el 1) y sí hay (toca por
encima del trapo)
-E. Pero sin tocarlo, ¿hay aquí? (señala el 1)
-S. Sí hay porque lo sé. Aquí sí hay (señalando
el 1) y aquí no (señalando el 2), aquí sí (señala
el 3) y aquí no (señala el 4), y aquí sí (señala el
5).
-E Vamos a hacer la escalera más larga (pone 10
escalones con ayuda del niño).
-E Venga, cuenta los escalones.
-S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10),
-E. Ahora, el osito, igual que antes, come en uno
sí y en otro no, venga pon el pan donde sí come.
-S. Coloca el pan en los lugares
correspondientes.
-E. En el 1 sí, en el 2 no, venga continúa tú.
-S. En el 3 sí, en éste no (señala el 4), en este sí
(señala el 5), en este no (señala el 6), en este sí
(señala el 7), en este no (señala el 8), en este sí
(señala el 9), en este no (señala el 10),
-E. Este es el 3 y sí come, ¿este es el ...? (señala
el 4)
-S. El 4
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294
-E. Este es el 4 (señala el 4) y este es el...
(señala el 5).
-S. El 7.
-E. ¿El 7?.
-S. En este sí come (señala el 5)
-E. Este es el 4 (señala el 4) y no come, este es
el 5 (señala el 5) y sí come, ¿éste es el...?
(señala el 6)
-S. El 6 y no come, el 7 (señala el 7) y sí come,
en este no come (señala el 8) y en este sí come
(señala el 9).
-E. Este es el 8 (señala el 8) y no come, ¿este el
el...? (señala el 9).
-S. ¿El 9?
-E. ¿ Este es el 8 (señala el 8), entonces ¿este es
el...? (señala el 9).
-S. El 5 (abre los dedos de su mano y cuenta)
-E. Sí, pero éste es el 8 (señala el 8), entonces
¿este es el...?.
-S. El 7 (después de pensar bastante)
-E. ¿Por qué?
-S. Porque sí.
-E. ¿Y el otro? (refiriéndose al 10)
-S El 7.
-E. ¿También el 7?.
-S. No el 8 (señala el 8), entonces es el 5.
-E. ¿También es el 5?, ¿por qué?.
-S. Porque lo sé.
-E. Bueno, entonces vamos a colocar al osito
aquí (lo pone en el 7), ¿dónde está el osito?.
-S. Aquí (señala el escalón con el osito)
-E. Bueno, sí, pero ¿qué número es?.
-S. El 3.
-E. ¿Por qué?.
-S. Es que no lo sé.
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. Vale, no le sabe, pero seguro que tú lo
puedes averiguar.
-S. En el 5.
-E. Pero porqué dices en el 5, seguro que no lo
has pensado bien.
-S. No lo sé averiguar.
-E. Sí, seguro que lo sabes.
-S. No..., en el 2 (lo dice al azar).
-E. ¿el 2?, entonces ¿éste cuál es? (señala el 2)
-S piensa mucho, mira el 2 y el 7 (escalón donde
está sentado el osito) y finalmente dice ¡el 7!
(señala el escalón donde está el osito).
-E. ¿Por qué sabes que es el 7? (señala el 7).
-S. Cuenta desde 1 pero se equivoca al contar
llegando hasta 4 cuando señala el escalón donde
está el osito; dice que no puede ser.
-E. Venga, cuéntalo de nuevo.
-S. 1 (señala 1), 2 (señala2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) y 7 (señala
7), es el 7
-E. El osito está sentado en el 7 y sí come pan,
¿qué hace en el 8?, ¿cuál es el 8?.
-S. Este es el 8 (señala el 8).
-E. ¿Por qué sabes que es el 8?.
-S. Porque sí y no lo he contado (entonces
empieza a contar y llega hasta el 8 y dice que es
el 8)
-E. El osito está en el 7 (señala el 7), ¿cuál es el
6?.
-S. Entonces tengo que contar (empieza a contar
pero sólo cuenta los que tienen pan, por eso el 9
es el 5 y después dice que el 10 es el 6).
-E. Entonces, ¿cómo es que el osito está en el 7?
(señala el 7).
-S. Porque sí, porque lo sé.
8) Beg. (4, 6)
-E. Cuenta los escalones.
-B. 1 (señala1), 2 (señala2), 3 (señala3), 4
(señala4) y 5 (señala5).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes ponerlo en los escalones correspondientes
-B. coge el pan y lo pone en el 4
-E. Este osito come pan en un escalón sí y en
otro no, entonces en el 1 sí come, en el 2 no
come..., venga pon tú el pan ¿vale?.
-B. Silencio
-E. ¿Este es el 1? (señala el 4).
-B quita el pan de ese escalón y lo pone en el 1.
-E. En el 1 sí, en el 2 no..., es en uno sí y en otro
no. Mira en un escalón come pan y en otro no
come.
-B. pone pan en el 2.
-E. ¿Aquí come? (señala el 2).
-B. lo quita y lo pone en el 3.
-E. En el 4 no y en el 5 sí, ¿cuál es el 5?.
-B. señala el 4 y coloca el pan en ese escalón.
-E. ¿Ese es el 5? (señala 4)
-B. rectifica y coloca el pan en el 5.
-E. Vamos a sentar al osito en este escalón (en
el 3), ¿en qué escalón hemos sentado al osito?.
-B.. En el 1.
-E. Este es el 1 (señala el 1), ¿en qué escalón se
ha sentado el osito?.
-B. En el 3
-E. ¿Cómo lo sabes?.
-B. Porque se ha sentado en el 3
-E. Vale, en el 3 come pan, en el 4 ¿come?.
-B. No come.
-E. ¿Cuál es el 4?.
-B. Este (Señala el 5)
-E. ¿Ese es el 4?. (Señala 5)
-B. No, es este (señala 1).
-E. No, ese es el 1, ¿cuál es el 4?.
-B Este (señala el 3)
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-E. ¿Cuál es el 4?, el osito está sentado en el 3,
mira 1, 2, y 3 (cuenta desde uno), entonces
¿cuál es el 4?.
-B Este (señala el 5)
-E. ¿Cuál es el 1?
-B Este (señala 1)
-E. ¿Cuál es el 2?.
-B. Este (señala el 5).
-E. ¿Qué número viene después del 1?
-B Este (señala el 3)
-E. ¿Por qué?.
-B. Porque está el osito.
-E. Pero, ¿por qué sabes que se ha sentado en el
3 y no en otro número?.
-B. Porque está el pan.
-E. Pero, el pan también está aquí (señala el 5),
¿éste cuál es? (señala el 5).
-B. No sé.
-E. Cuenta los escalones.
-B. 1 (señala1), 2 (señala2), 3 (señala3), 4
(señala4) y 5 (señala5).
-E. Mira este es el 1 (sienta al osito en el 1),
¿cuál es el 2?.
-B Este (señala el 5).
-E. ¿Ese es el 2? (señala el 5).
-B señala el 5.
-E. ¿Ese es el 2?
-B señala el 3.
-E. ¿Ese es el 2?.
-B señala el 4.
-E. ¿Ese es el 2?, ¿cuál viene después del 1?.
-B. El 2
-E. Entonces, ¿cuál es el 2 si éste es el 1?
(señala el 1).
295
-B señala el 4.
-E. Este es el 1 (señala el 1) ¿cuál es el 2?.
-B señala el 5 (donde hay pan).
-E. ¿Y el 3?
-B señala el 3.
-E. ¿Y el 4?.
-B señala el 5.
-E. ¿Y el 5?.
-B señala el 3.
-E. Bueno, vamos a quitar el pan. El osito está
en el 1 ¿cuál es el 2?.
-B señala el 2.
-E. ¿Y el 3?
-B señala el 3.
-E. ¿Y el 4?
-B. señala el 5.
-E. ¿Y el 5?
-B señala el 4.
-E. Sentamos al osito aquí (lo sienta en el 4),
¿en qué escalón está sentado el osito?.
-B. En el que no había pan.
-E. Pero, ¿en qué número?.
-B. En el 2.
-E. ¿Por qué?.
-B. No sé.
-E. Bueno, sentaremos al osito en el 3, mira este
es el 1, este es el 2 y este es el 3, ¿lo ves?.
-B. Sí.
-E. Entonces, ¿éste cuál es? (señala el 4).
-B. El 4.
-E. ¿Y éste? (señala el 5).
-B. El 5.
-E. ¿Y éste? (señala el 2).
-B. El 4.
Clase de 5 años.
En el desarrollo de la entrevista la experimentadora realiza los mismos puntos
que con la clase de los 4 años, con la salvedad que en 5 años se empieza directamente
con 10 escalones, suprimiéndose los puntos relativos a los cinco peldaños. Se tienen en
cuenta por si en algún momento determinado de la entrevista con algún niño se requiere
el trabajar con 5 en lugar de 10, pero no se dio el caso.
9) Non. (5, 2).
-E. Cuenta los escalones.
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes colocar el pan en los lugares
correspondientes
-N.
Coloca
pan
en
los
escalones
correspondientes.
-E. En el 1 come pan, en el 2 no y así...
-N. Come pan en el 1, en el 3, en el 5, en el 8,
no, digo en el 9, éste es el 9 (señala el 9 y cuenta
desde uno para comprobarlo).
-E. Dime otra vez en los que come pan.
-N. En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9
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296
-E. Ahora tapamos el pan y tienes que adivinar,
sin verlo, donde come pan. ¿En éste come pan?
(señala el 1).
-N. Sí.
-E. ¿Por qué?
-N. Porque empezando come.
-E. En éste ¿come pan? (señala el 2)
-N. No
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 1 come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 3)
-N. Sí
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 2 no come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 4)
-N. No
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 3 come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 5)
-N. Sí
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 4 no come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 6)
-N. No
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 5 come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 7)
-N. Sí
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 6 no come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 8)
-N. No
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 7 come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 9)
-N. Sí
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 8 no come
-E. En éste ¿come pan? (señala el 10)
-N. No
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 9 come
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. Colocaremos al osito en este escalón (en el
7), ¿en qué escalón está?.
-N. En el 7.
-E. ¿Por qué lo sabes?.
-N. Porque lo he contado.
-N. En el 7 sí come.
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 6 no come, ¡veras! (levanta el
trapo para comprobarlo)
-E. El osito está en el 7 y sí come, en el 8
¿come?, ¿cuál es el 8?.
-N. Este es el 8 (señala el 8) y no come porque
come en el 7.
-E. ¿Y en el 9?.
-N. En el 9 sí come porque en el 8 no come.
-E. El osito está en el 7, ¿cuál es el 9?.
-N. Este es el 9 (señala el 9).
-E. ¿Y el 10?.
-N. Este es el 10 (señala el 10) y no come
porque en el 9 sí come.
-E. Sólo hay 10 escalones, pero si hubiera más
¿cómo sería?. Mira vamos a poner al osito en el
10 que no come, en el 11 ¿come?.
-N. Sí porque en el 10 no comía.
-E. ¿En el 12?.
-N. No porque en el 11 sí comía.
-E. ¿En el 13?.
-N. Sí porque en el 12 no comía.
-E. ¿En el 14?.
-N. No porque en el 13 sí comía.
-Er. ¿En el...?
-N. ¿15?, sí porque en el 14 no comía.
-E. Vamos a poner al osito aquí (en el 9), ¿qué
número es?, ¿en qué escalón está sentado?.
-N. En el 9.
-E. ¿Por qué lo sabes?.
-N. Porque antes estaba en el 10.
-E. En el 9 ¿come?.
-N. Sí porque en el 10 no comía.
-E. Y en el 6 ¿come?.
-N. No come.
-E. ¿Por qué?.
-N. Porque en el 8 no, en el 7 sí y en el 6 no.
10) Ant. (5, 9)
-E. Cuenta los escalones.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 5), 7 (señala
7), 8 (señala 9) y 9 (señala 10).
-E. Venga, como lo has hecho muy deprisa
vamos a contar de nuevo.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 5 (señala 10)
-E. ¿Después del 9 va el 5?..
-A. No.
-E. Entonces, ¿cuál va después del 9?
-A. El 7.
-E. ¿El 7 va después del 9?.
-A. No.
-E. Entonces ¿cuál?.
-A. No lo sé.
-E. Entonces cuéntalo de nuevo
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 6 (señala
7), 7 (señala 8), 8 (señala 9) y 9 (señala 10)
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-E. Bueno, ahora con el osito, vamos subiendo
mientras contamos.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro
no,
debes
ponerlo
en
los
lugares
correspondientes.
-A. Coloca el pan correctamente
-E. En el 1 sí come, en el 2 no come, y así;
venga sigue tú.
-A. En el 3 sí come, en el 4 no come pan, en el 5
sí come pan, en el 7 no come pan (señalando el
6).
-E. Después del 5, ¿cuál viene?
-A. El 7.
-E. ¿Y el 6?
-A. Después del 7.
-E. Venga este es el 6 (señala el 6) y no come.
-A. En el 5 sí come pan (señala el 7).
-E. Es el 7.
-A. En el 8 no come pan (señala el 8), en el 9 no
come pan (señala el 9).
-E. Aquí ¿no come? (Señala 9).
-A. Sí.
-E. ¿Por qué?
-A. Porque en este no comía (señala el 8 y ve
que no hay pan en ese escalón).
-E. ¿Y en éste? (Señala 10).
-A. No come pan.
-E. Dime de nuevo 1-sí, …
-A. En el 1 sí come pan. En el 2 no come pan.
En el 3 sí come pan. En el 4 no come pan. En el
¿5? sí come pan. En el ¿6? no come pan. En el
¿7? sí come pan. En el ¿8? no come pan. En el 7
sí come pan. Aquí no come pan (señala 10).
-E. Cuéntalo otra vez, sin decir si come o no
come.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. Tapamos el pan. Vamos a colocar al osito
aquí (en el 6) y tú vas a decir en qué escalón
está y si come o no.
-A. levanta el trapo para verlo.
-E. No, sin mirar.
-A. Está en el 5
-E. ¿Por qué?
-A. Porque el 4 está detrás del 5.
-E. ¿Dónde está el 4?
-A Este (señala 5)
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?
-A. Porque antes lo he contado.
-E. A ver, cuéntalo de nuevo.
-A 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala3 y 4), 4
(señala 5), 5 (señala 6).
-E. Entonces ¿en qué escalón está el osito?
-A. En el 5
-E. Venga, cuéntalo otra vez.
297
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6)
-E. Entonces, ¿en qué escalón está el osito?.
-A. En el 5
-E. ¿Por qué?.
-A. Porque come pan.
-E. Bueno, tú todavía no sabes si come pan o no.
Pero independientemente dime en qué escalón
está, cuéntalo otra vez.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), cin-co (señala 5 y 6), entonces está
en el cinco.
-E. Tú has dicho cin-co y has señalado éste y
éste (el 5 y el 6), entonces ¿en qué escalón
está?. ¿Cuál es éste? (señala 5)
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), (se detiene en este
escalón que es donde la entrevistadora tiene
puesto el dedo).
-E. Entonces si este es el 5 (señala 5), ¿dónde
está el osito?.
-A. En el 7
-E. ¿Por qué?
-A. No lo sé.
-E. Venga cuéntalo otra vez.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6).
-E. Entonces ¿dónde está el osito?.
-A. En el 6
-E. ¿Por qué sabes que es el 6?.
-A. Porque lo he contado.
-E. Ahora como eres mago y todo lo puedes
adivinar, me tienes que decir si come o no come
pan en el 6.
-A. Sí come.
-E. ¿Por qué?.
-A. Porque hay.
-E. Y ¿por qué sabes que hay?
-A. Porque sí.
-E. Tienes que decir, pensando, si en el 6 hay o
no hay pan.
-A. Porque hay.
-E. No lo sabemos, ya que en algunos hay y en
otros no, debemos pensar para averiguar si en el
6 hay o no hay.
-A. Sí hay.
-E. ¿Por qué?, ¿Puedes contarlo?
-A. 1, 2, 3, 4, 5, y 6.
-E. ¿Te acuerdas que en el 1 sí habíamos
puesto?.
-A. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2),
en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en
éste sí (señala 5), en éste sí (señala 6) y después
no.
-E. Entonces, ¿come pan el osito en el 6 que es
donde está?
-A. No hay.
-E. ¿Por qué?
-A. Porque no hemos puesto.
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298
-E. ¿Por qué no hemos puesto pan en ese
escalón?
-A. Para que no coma.
-E. Pero hemos puesto en uno sí y en otro no,
¿por qué no hemos puesto aquí? (señala 6)
-A. Porque no hemos puesto.
-E. Entonces ¿dónde hemos puesto?.
-A. En éste sí (señala 5) y en este sí (señala 7).
-E. Colocamos al osito en este escalón (en el 4),
¿dónde está?.
-A. En el 4.
-E. ¿Come?.
-A. Sí
-E. ¿Por qué?.
-A. Porque en este come (señala 4)
-E. Y ¿qué pasa en el 3?, ¿Cuál es el 3?
-A. Señala el 3 y sí hay.
-E. Y ¿qué pasa en el 5?, ¿Cuál es el 5?.
-A. Este (señala 5) y no hay.
-E. ¿Por qué?.
-A. Porque me sé todos los números.
-E. En este sí hay (señala 5) ¿lo ves?; en el 6
¿hay pan?, ¿Cuál es el 6?.
-A. No hay.
-E. ¿Por qué?.
-A. Porque en uno le pones y en otro no.
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. Sabemos que el osito está en el 5 y que
come pan, me tienes que decir qué pasa en el 7,
¿cuál es el 7?.
-A. Este es el 7 (señala el 7)
-E. ¿Por qué?
-A. Me sé todos los números.
-E. ¿Hay pan?
-A. No sé.
-E. Este es el 7, ¿come pan?
-A. Sí lo sé porque antes lo he visto.
-E. Antonio lo tienes que adivinar sabiendo que
en el 5 sí hay pan.
-A. Sí hay.
-E. ¿Y en el 8?, ¿Cuál es el 8?.
-A. Este (señala 8)
-E. ¿Hay pan?.
-A. No
-E. ¿Por qué?.
-A. Porque lo sabia antes.
-E. ¿Cuál es el 10?
-A. Este (Señala 9)
-E. ¿Ese es el 10?
-A. Este (Señala 10)
-E. ¿Come?.
-A. No lo sé.
11) Mab. (5, 11)
-E. Cuenta los escalones.
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes colocar el pan en los lugares
correspondientes
-M.. Coloca el pan en los escalones
correspondientes.
-E. En el 1 come pan, en el 2 no y así...
-M. 1 (señala 1), 3 (señala 3), 5 (señala 5), 6
(señala 7) y señala 9.
-E. ¿Este es el 6? (Señala 7).
-M. Sí
-E. ¿Por qué?
-M. Porque va después del 5
-E. ¿Y el 7?
-M. El que va después del 6.
-E. En el 1-sí come (señala el 1), en el 2-no
come (señala el 2), venga sigue tú.
-M. En el 3- sí come (señala 3), en el 4-no come
(señala 4), en el 5-sí come (señala 5), en el 6-no
come (señala 6), en el 7-sí come (señala 7), en
el 8-no come (señala 8), en el 9-sí come (señala
9) y en el 10-no come (señala 10).
-E. Tapamos el pan y le vamos a decir al osito
donde come pan y donde no. El osito va
subiendo y se sienta aquí (en el 7), ¿en qué
escalón está?.
-M. En el 7
-E. ¿Por qué?
-M Porque come pan.
-E. Sí, pero eso lo averiguaremos después, ahora
quiero que me digas por qué es el 7.
-M Porque lo sé.
-E. ¿Porque lo has contado?
-M. ¡Sí!, ¡Porque lo he contado!.
-E. Sí, y ¿desde donde lo has contado?
-M. Desde éste (señala 1).
-E. Vamos a ver si es el 7.
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6) y 7 (señala
7).
-E. Y en el 7 ¿come pan?
-M. Sí.
-E. ¿Por qué?.
-M. Porque lo he contado
-E. ¿Cómo lo has contado?.
-M. Mira en el 1 sí come pan, en el 2 no y así.
-E. Vamos a comprobarlo (quitan el trapo y ven
que sí hay). Este es el 7 (señala 7 que es donde
está el osito sentado), si el osito está aquí que es
el 7 y sí come pan, qué pasaría si se va al 8
¿cuál es el 8?.
-M. Este es el 8 (señala 8) y no come pan.
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-E. ¿Por qué?
-M. Porque este es el 1 (señala el 1) y sí come y
éste es el 2 (señala el 2) y no come.
-E. Sí, pero ¿has tenido en cuenta que en el 7,
donde está el osito, sí come?.
-M. No.
-E. ¿Por qué sabes que en el 8 no?
-M. Porque lo he pensado.
-E. (Lo comprueban). ¿Y en el 9?
-M. Sí come.
-E. ¿Por qué?
-M. Porque éste es el 7 (señala 7), entonces este
es el 8 (señala 8) y éste es el 9 (señala 9) y sí
come
-E. ¿Y en el 5, hay pan?, ¿Cuál es el 5?.
-M. Este es el 5 (señala 5)
-E. ¿Por qué lo sabes?.
-M. Porque lo he contado.
-E. ¿Cómo lo has contado?, ¿Por donde has
empezado?
-M. Por aquí (señala 1)
-E. Y ¿en el 6?, ¿Cuál es el 6?
-M. Este (señala 6).
-E. ¿Por qué lo sabes?
-M. Porque este es el 5 (señala 5) y este es el 6
(señala 6).
-E. Este es el 6 y ¿come pan?.
-M. No.
-E. ¿Por qué?
-M. Si este es el 5 y hay pan, entonces éste es el
6 y no hay.
-E. Y si ahora cogemos al osito y lo ponemos
aquí que es el 10, sabemos que no hay pan; en el
9 ¿hay?, ¿Cuál es el 9?.
-M. Este es el 9 (señala 9)
-E. ¿Come pan?.
-M. Sí.
-E. ¿Por qué?
-M. Porque este es el 8 (señala 8) y no hay,
entonces en este (señala 9) sí hay y en este no
hay (señala 10).
-E. El osito está en el 10. ¿Cuál es el 8?.
-M. Este (señala 8).
-E. ¿Por qué?.
299
-M. Porque este es el 9 (señala 9) y éste es el 8
(señala 8).
-E. Este es el 10 (señala 10) y el osito está en el
10, pero si tú ahora te imaginas la escalera más
larga, ¿cuál vendría después del 10?.
-M. El 11.
-E. Y en el 11, ¿comería pan?
-M. Sí, porque si en el 10 no come, en el 11
tiene que comer.
-E. Y en el 12, ¿comería pan?
-M. No, porque si en el 11 sí come entonces en
el 12 no tiene.
-E. ¿Y en el 13?.
-M. Sí
-E. ¿Por qué?
-M. Porque si en el 12 no tiene, en el 13 sí tiene.
-E. ¿En el 16?
-M. Es muy difícil porque el 16 no va después
del 13.
-E. ¿Cuál va después del 13?.
-M. El 14.
-E. Y en el 14, ¿hay?
-M. No porque en el 13 sí hay.
-E. ¿Cuál va después del 14?.
-M. El 15
-E. Y en el 15, ¿hay?
-M. Sí porque en el 14 no hay.
E. ¿Cuál va después del 15?.
-M. El 16.
-E. Y en el 16, ¿hay?
-M. No porque en el 15 sí hay.
-E. Entonces ya lo puedes adivinar todos
¿verdad?. En el 20 ¿hay?.
-M. No te entiendo.
-E. Sí, mira en el 10 no hay, entonces en el 11
sí, en el 12 no y así lo vamos viendo, entonces
¿cómo podemos adivinar si hay pan en el 20?,
¿Se puede hacer o es muy difícil?.
-M. Sí se puede adivinar.
-E. ¿Cómo?.
-M. Sí, mira en el 1 hay y en el 2 no hay.
-E. ¡Ah!, Entonces así se puede adivinar, pero es
muy difícil.
-M. Sí.
12) Is. (5, 6)
-E. Cuenta los escalones.
-I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes colocar el pan en los lugares
correspondientes
-I. Coloca el pan en los escalones
correspondientes.
-E. En el 1 come pan, en el 2 no y así...
-I. En el 1-sí (señala 1), en el 2-no (señala 2), en
el 3-sí (señala 3), en el 4-no (señala 4), en el 5-sí
(señala 5), en el 6-no (señala 6), en el 7-sí
(señala 7), en el 8-no (señala 8), en el 9-sí
(señala 9) y en el 10-no (señala 10).
-E. Tapamos el pan y le vamos a decir al osito
donde hay pan y donde no. El osito sube y se
sienta aquí (en el 7), ¿dónde está el osito?.
-I. En el 7.
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300
-E. ¿Por qué sabes que es el 7?, ¿Qué has hecho
para adivinarlo?.
-I. Porque sí.
-E ¿Qué magia has hecho?.
-I. Porque aquí hay poco (señala la parte de la
escalera que va del 7 al 10) y aquí hay mucho
(señala la parte de la escalera que va del 1 al 7),
entonces este es el 7 (señala 7).
-E. Y ¿éste cuál es? (Coloca al osito en el 6).
-I. El 6.
-E. ¿Por qué?.
-I. Porque aquí hay pocos (señala la parte de la
escalera que va del 6 al 10) y aquí muchos
(señala del 1 al 6)
-E. Y ¿éste cuál es? (coloca al osito en el 5)
-I. Es el 5.
-E. ¿Por qué?.
-I. Porque aquí hay pocos (señala la parte de la
escalera que va del 1 al 5) y aquí muchos
(señala del 5 al 10)
-E. Y ¿éste cuál es? (coloca al osito en el 8)
-I. El 8
-E. ¿Por qué?.
-I. Porque ahora aquí hay muchos (señala la
parte de la escalera que va del 1 al 8) y ahora
aquí hay dos (señala 9 y 10)
-E. Sí, pero me parece que tú has contado desde
aquí (señala el 1).
-I. No, lo he visto porque aquí hay muchos (del
1 al 8) y aquí hay dos (señala 9 y 10).
-E. Vale, ¿y éste? (Coloca al osito en el 9).
-I. El 9.
-E. ¿Por qué?
-I. Porque aquí hay muchos (señala del 1 al 9) y
aquí hay uno (señala 10).
-E. Colocaremos al osito aquí (en el 7). ¿Cuál es
este escalón?
-I. El 7.
-E.. En el 7 ¿come pan?.
-I. Sí.
-E. ¿Por qué?
-I. Porque sí.
-E. Venga dímelo.
-I. Porque lo hemos puesto.
-E. Y ¿por qué lo hemos puesto?.
-I. Porque me acuerdo.
-E. ¿Lo comprobamos? (Lo comprueban y sí
hay). En el 7 sí hay, en el 8 ¿hay?, ¿Cuál es el
8?.
-I. Este es el 8 (señala el 8) y no hay.
-E. ¿Por qué?.
-I. Porque lo sé.
-E. ¿Y en el 9?
-I. En el 9 sí
13) Clar. (5, 7).
-E. Cuenta los escalones.
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. ¿Por qué?.
-I. Porque en uno se come y en otro no.
-E. ¿Y en el 10?
-I. No.
-E. ¿Por qué?
-I. Porque no lo hemos puesto.
-E. El osito está en el 7, ¿cuál es el 6?
-I. Este (señala 6)
-E. ¿Por qué lo sabes?
-I. Porque el osito está en el 7 entonces éste
(señala 6) es el 6.
-E. En el 7 sí come pan...
-I. Entonces en el 6 no come.
-E. ¿Y en el 5?, ¿Cuál es el 5?
-I. Este es el 5 (señala 5)
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 5?
-I. Porque estos son 4 (señala englobando los 4
primeros) y entonces éste es el 5.
-E. ¿Tú no lo has sabido porque éste es el 7 y
éste es el 6?
-I. No.
-E. ¿En el 5 come pan?.
-I. Sí porque lo hemos puesto, porque en uno se
come pan y en el 6 no se come.
-E. ¿Y en el 4?, ¿Cuál es el 4?
-I. Este (señala 4). En el 4 no se come pan
porque en el 5 sí se come.
-E. ¿Y en el 3?, ¿Cuál es el 3?
-I. Este (señala 3). En el 3 sí se come pan
porque en el 4 no se come.
-E. Si ponemos el osito aquí (en el 10), ¿come?.
-I. No.
-E. Ahora vamos a imaginar que la escalera es
más larga y que podemos seguir subiendo,
entonces ¿en el 11 comería pan?
-I. Sí
-E. ¿En el 12?
-I. No.
-E. ¿En el 13?
-I. Sí.
-E. ¿En el 14?
-I. No.
-E. ¿En el 15?
-I. Sí.
-E. ¿En el 20?
-I. Es en el 16.
-E. Sí, después del 15 va el 16, pero yo quiero
saber si en el 20 se come o no.
-I. No.
-E. ¿En el 23?
-I. Sí.
-E. ¿Cuál es el truco de esta maga que sabe
tanto?
-I. Porque en uno se come y en otro no.
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes colocar el pan en los lugares
correspondientes
-C. Coloca el pan en los escalones
correspondientes.
-E. En el 1 come pan, en el 2 no y así.
-C. Hay pan en el 1, 3, 5, 7 y 9 (lo dice sin
señalar).
-E. Tapamos el pan. Colocamos al osito aquí (en
el 7), ¿en qué escalón está el osito?.
-C. En el 7.
-E. ¿Por qué?
-C. Porque va detrás del 6.
-E. ¿Come pan o no?
-C. Sí
-E. ¿Por qué?
-C. Porque he puesto un pan
-E. ¿Por qué has puesto en ese?
-C. Porque se tenía que poner
-E. ¿Por qué?
-C. Porque se tenía que poner en uno sí y en
otro no.
-E. Y ¿por qué ha tocado en ese que sí?
-C. Porque en el 7 se tiene que poner pan.
-E. Vamos a comprobarlo. ¡Sí, en el 7 sí hay!,
¿En el 8 hay?, ¿Cuál es el 8?.
-C. Este (señala 8)
-E. ¿Come?.
301
-C. No porque no tiene que haber un pan
-E. ¿Y en el 9?, ¿Cuál es el 9?.
-C. Este (señala 9) y sí come porque tenía que
haber un pan
-E. ¿Y en el 10?, ¿Cuál es el 10?.
-C. Este (señala 10) y no come porque no tenía
que haber un pan
-E. Vamos a comprobarlo. El osito está en el 7,
en el 6 ¿come?, ¿Cuál es el 6?
-C. Este (señala 6) y no come porque no había
pan
-E. ¿Por qué?
-C. Porque se tenía que poner en uno sí y en
otro no.
-E. ¿Y en el 5?, ¿Cuál es el 5?.
-C. Este (señala 5)
-E. ¿Por qué?
-C. Porque este es el 6 (señala 6), y este es el 5
(señala 5)
-E. ¿Come?
-C. Sí
-E. ¿Por qué?
-C. Porque en este no come (señala el 6) y en
este come (señala el 5)
-E. ¿Y en el 4?, ¿Cuál es el 4?
-C. Este (señala 4)
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?
-C. Porque va delante del 5
-E. ¿Come?
-C. No
14) Esp. (5, 2)
-E. Cuenta los escalones.
-Es. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes colocar el pan en los lugares
correspondientes
-Es. Coloca el pan en los escalones
correspondientes.
-E. Dime los números y si hay o no hay pan.
-Es. En el 1 come, en el 3 come, en el 5 come,
en el 7 come, en el 9 come.
-E. Tapamos el pan. Vas a decir donde come
pan y donde no.
-Es. Comes en el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en
el 9.
-E. Vamos a sentar al osito en el 5, ¿cuál es el
5?, ¿Come en el 5?.
-Es. Este (señala el 5).
-E. ¿Come? (sienta al osito en el 5)
-Es. Sí
-E. ¿Por qué?
-Es. Entonces en el 5 sí (después de haber
señalado el 1 y el 3).
-E. El osito está en el 5 y come. En el 6
¿come?, ¿Cuál es el 6?
-Es. Este (señala el 9)
-E. ¿Ese es el 6? ,¿por qué?
-Es. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 3 (señala 5), 4
(señala 6), 5 (señala 8), 6 (señala 9).
-E. El osito, ¿dónde está?
-Es. En el 5
-E. ¿Por qué?
-Es. Porque ahí es donde come, (señala el 6 y el
7 y dice que en el 7 está el 6)
-E. Entonces, ¿éste cuál es? (señala 6)
-Es. El 6
-E. ¿Por qué?
-Es. Porque detrás del 5 va el 6
-E. ¿Come en el 6?
-Es. No.
-E. ¿Por qué?
-Es. Porque van de dos en dos
-E. ¿Por qué sabes que en el 6 no le toca?
-Es. Porque saltamos uno
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302
-E. Ponemos al osito aquí (en el 8), ¿cuál es?
-Es. El 7
-E. ¿Por qué?
-Es. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 3 (señala 5), 4
(señala 6), 5 (señala 7), 6 (señala 7), 7 (señala
8).
-E. ¿Ese es el 7?
-Es. Sí, si van de dos en dos sí.
-E. (Coloca al osito en el 9), ¿cuál es?
-Es. El 7
-E. ¿El 7 también?
-Es. El 5 (señala 7), 6 (señala 8) y 7 (señala 9).
-E. (Coloca al osito en el 10), ¿cuál es?
-Es. El 9
-E. ¿Por qué?
-Es. Porque son de dos en dos.
-E. Tenemos que contarlos todos, lo que ocurre
es que en uno come pan y en otro no. ¿Cuál es
el 5?.
-Es. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4) y 5 (señala 5).
-E. Entonces éste es el 5 (señala 5), ¿y el 6?
-Es. Este (señala 6)
-E. ¿Y el 7?
-Es. Este (señala 7)
-E. ¿Y el 8?
-Es. Este (señala 8)
-E. ¿Y el 9?
-Es. Este (señala 9)
-E. ¿Y el 10?
-Es. Este (señala 10)
-E. Entonces, el osito está en el 10, ¿come pan
en el 10?.
-Es. No
-E. ¿Por qué?
-Es. Porque es de dos en dos (va señalando la
escalera)
-E. Entonces, en el 9 ¿come?.
-Es. Sí
-E. ¿Por qué?
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-Es. Porque hay miguitas de pan.
-E. Quitamos las miguitas, y me tienes que
decir, ahora, si en el 8 come o no come pan,
¿cuál es el 8?.
-Es. Este (señala 8)
-E. ¿Por qué?
-Es. Porque este es el 9 (señala 9) y éste es el 8
(señala 8)
-E. ¿Hay pan?
-Es. Sí.
-E. ¿Por qué?
-Es. Porque sí, porque yo creo que hay pan.
-E. Le tienes que decir al osito porqué hay pan
en el 8.
-Es. Porque yo creo que hay.
-E. Destapan el pan y comprueban que no hay.
Ahora que sabemos que no hay, me tienes que
decir porqué no lo hemos puesto.
-Es. Porque van de dos en dos.
-E. Si lo ponemos aquí (en el 8) ¿estaría bien?.
-Es. No porque van de dos en dos y éste (señala
el 8) se lo salta.
-E. ¿Aquí hay? (Señala el 7, el trapo está
tapando hasta el 7).
-Es. Sí (lo comprueban)
-E. ¿Aquí hay? (Señala el 6, el trapo está
tapando hasta el 6, del 7 en adelante se ve).
-Es. No
-E. ¿Aquí hay? (Señala el 5, el trapo está
tapando hasta el 5, del 6 en adelante se ve).
-Es. Sí
-E. ¿Aquí hay? (Señala el 4, el trapo está
tapando hasta el 4, del 5 en adelante se ve).
-Es. No
-E. ¿Aquí hay? (Señala el 3, el trapo está
tapando hasta el 3, del 4 en adelante se ve).
-Es. Sí
-E. ¿Aquí hay? (Señala el 6, el trapo está
tapando hasta el 6, del 7 en adelante se ve).
-Es. No
15) Mar. (5, 9)
-E. Cuenta los escalones.
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes colocar el pan en los lugares
correspondientes
-M.. Coloca el pan en los escalones
correspondientes.
-E. En el 1 come pan, en el 2 no y así
-M. Sí (señala 3), no (señala 4), sí (señala 5), no
(señala 6), sí (señala 7), no (señala 8), sí (señala
9) y no (señala 10).'
-E. Tienes que decir el número y si come o no
come. En el 1 sí (señala 1), en éste (señala 2).....
-M. No.
-E. ¿En éste? (Señala 3), ¿cuál es?
-M. El 3-sí.
-E. ¿En éste? (señala 4)
-M. No.
-E. ¿Cuál es?
-M. El 4.
-E. ¿En éste? (señala 5)
-M. El 5-sí
-E. Tapamos el pan y tienes que adivinar donde
hay pan y donde no hay.
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-M. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2),
en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en
éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí
(señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí
(señala 9) y en éste no (señala 10),
-E. Sentaremos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es?,
¿Come pan?.
-M. Es el 6 (cuenta desde uno). No come.'
-E. En el 7 ¿come pan?, ¿Cuál es el 7?
-M. Este (señala 7) y sí come
-E. ¿Por qué come?
-M. Porque lo hemos puesto
-E. ¿Por qué lo hemos puesto?
-M. Porque sí.
-E. En el 8 ¿come pan?, ¿Cuál es el 8?
-M. Este (señala 8) y no come
-E. ¿Por qué no come?
-M. Porque no lo hemos puesto
-E. ¿Por qué no lo hemos puesto?
-M. Porque no.
303
-E. En el 9 ¿come pan?, ¿Cuál es el 9?
-M. Este (señala 9) y sí come
-E. ¿Por qué come?
-M. Porque lo hemos puesto
-E. ¿Por qué lo hemos puesto?
-M. Porque sí.
-E. En el 10 ¿come pan?, ¿Cuál es el 10?
-M. Este (señala el 10) y no come
-E. ¿Por qué no come?
-M. Porque no lo hemos puesto
-E. ¿Por qué no lo hemos puesto?
-M. Porque no.
-E. ¿Y en el 5?
-M. Sí (señala el 5 y cuenta desde uno)
-E. ¿Y en el 4?
-M. No (señala el 4 y cuenta desde uno)
-E. ¿Y en el 3?
-M. Sí (señala el 3 y cuenta desde uno)
-E. ¿Y en el 2?
-M. No.
16) Ari. (5, 7)
-E. Cuenta los escalones.
-A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
debes colocar el pan en los lugares
correspondientes
-A coloca el pan en la escalera en uno sí y en
otro no, empezando desde uno, pero al llegar al
10 coloca pan.
-E. ¿Por qué pones aquí pan? (Señala 10).
-A. Lo quita.
-E. ¿Por qué lo quitas?
-A. Porque ahí no va.
-E. Es en 1-sí, en 2-no, y así, venga sigue tú.
-A. En 3-sí (señala 3), en 4-no (señala 4), en 5-sí
(señala 5), en 6-no (señala 6), en 7-sí (señala 7),
en 8-no (señala 8), en 9-sí (señala 9) y en 10-no
(señala 10),
-E. Tapamos el pan y nosotros le vamos a decir
al osito si come o no come pan. Sentamos al
osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?.
-A. No lo sé.
-E. Adivínalo, piensa y dímelo.
-A. En donde come pan.
-E. Sí, pero dime como lo puedes adivinar.
-A. En el 7
-E. ¿Come pan?
-A. Sí
-E. ¿Por qué?
-A. Porque sí
-E. ¿Y en el 8?, ¿Cuál es el 8?
-A. Este (señala 8)
-E. ¿Por qué?
-A. Porque detrás del 7 va el 8.
-E. Y, ¿come?
-A. No, porque si ponemos pan aquí (señala 7)
en el otro no hay (señala 8).
-E.. ¿Cuál es el 9?
-A. Este (señala 9).
-E. ¿Por qué?
-A. Porque detrás del 8 va el 9.
-E. ¿Y come?
-A. Sí porque si en éste no hemos puesto
(señala 8) en éste sí (señala 9).
-E. ¿Y en el 4?, ¿Cuál es el 4?
-A. Este (señala el 4).
-E. ¿Por qué?
-A. Porque si aquí hay dos escaleras (señala los
dos primeros escalones) y aquí hay otras dos
(señala 3 y 4), entonces este es el 4 (señala 4).
Es que yo estoy sumando en el colegio y ya sé
cuál es el 4.
-E. Ya sabes cuál es el 4; y en el 4 ¿come pan el
osito?.
-A. No.
-E. ¿Por qué?
-A. Porque lo sé.
-E. Vamos a colocar al osito aquí (en el 5),
¿dónde está?
-A. En el 5.
-E. ¿Por qué lo sabes?
-A. Porque 3 más 1 son 5
-E. ¿3 más 1 son 5?
-A. Sí.
-E. En el 5 ¿come pan?.
-A. Sí
-E. ¿Por qué?
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304
-A. Porque sí
-E. Vamos a comprobarlo. Entonces está en el 5
y sí come pan, en el 6 ¿come?, ¿Cuál es el 6?.
-A. Este (señala el 6) y no come.
-E. ¿Por qué?
-A. Porque si en éste hay pan (señala 5) en éste
no hay (señala 6)
-E. En el 7 ¿come?, ¿cuál es el 7?.
-A. Este (señala el 7) y sí come.
-E. ¿Por qué?
-A. Porque si en éste no hay pan (señala 6) en
éste hay (señala 7)
-E. En el 9 ¿come?, ¿Cuál es el 9?.
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-A. Este (señala 8)
-E. ¿Este es el 9? (señala 8)
-A. No, es éste (señala 9)
-E. Y ahí ¿come?
-A. Sí
-E. ¿Por qué?
-A. Porque si en éste no hay pan (señala 8) en
éste hay (señala 9)
-E. ¿Por qué no come en éste? (señala 8)
-A. No sé
-E. Sí lo sabes, piensa un poco y dímelo.
-A. No lo sé (después de pensar un tiempo).
17) Par. (5, 11)
-E. Cuenta los escalones.
-P. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro
no
-P Pone pan en un escalón sí y en otro no.
-E. En el 1-sí, en el 2- no, sigue tú.
-P. En el 1 sí hay, en el 2, en el 3 sí hay,
después el 4 no hay, después el 5 sí hay,
después el 7 (señala 6)
-E. Este es el 5 (señala 5) y sí hay, entonces
¿éste es el...? (señala 6)
-P. El 6, después el 7 (señala 7) sí hay, después
el 8 y no hay, después el 9 y sí hay, y éste
(señala 10) no hay.
-E. ¿Este es el ...? (señala 10)
-P. El 10 y no hay.
-E. Vamos a tapar el pan, y vamos a adivinar
dónde hay pan y dónde no.
-P. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2),
en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en
éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí
(señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí
(señala 9) y en éste no (señala 10),
-E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 5),
¿dónde está el osito?.
-P. Aquí (señala al osito)
-E. Sí, pero ¿qué número es?
-P. En el 5 (empieza a contar desde uno)
-E. En el 5 ¿come?
-P. Sí
-E. ¿Por qué?
-P. Porque aquí hay migas
-E. Vamos a quitar las migas, y me tienes que
decir porqué hay pan, lo tienes que pensar y
decírmelo.
-P. Porque sí, porque antes habíamos puesto.
-E. Bien, en el 5 hay pan, en el 6 ¿hay?.
-P. No, porque yo sé que no hay.
-E. En el 7 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 7?
-P. Este (señala 7), y sí hay porque lo he puesto.
-E. En el 8 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 8?
-P. Este (señala 8), y no hay porque no lo he
puesto.
-E. En el 9 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 9?
-P. Este (señala el 9), y sí hay porque lo he
puesto.
-E. En el 10 ¿hay pan?, ¿Cuál es el 10?
-P. Este (señala 10), y no hay porque no lo he
puesto.
-E. Vamos a comprobarlo. En el 4 ¿hay?, ¿Cuál
es el 4?
-P. Este (señala el 4) y no hay.
-E. En el 3 ¿hay?, ¿Cuál es el 3?
-P. Este (señala el 3) y sí hay
-E. ¿Por qué hay en el 3?
-P. Porque lo he puesto yo.
-E. En el 2 ¿hay?, ¿Cuál es el 2?
-P. Este (señala el 2) y sí hay
-E. ¿Por qué hay en el 2?
-P. Porque lo he puesto yo.
-E. Vamos a comprobarlo, ¡Ah!, ¡No hay!.
Vamos a colocar al osito aquí (en el 7), ¿en qué
escalón está el osito?
-P. En el 8.
-E. ¿Por qué sabes que es el 8?
-P. Porque sí.
-E. Venga, cuenta.
-P. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (cuenta sin señalar).
-E. Bien, si éste es el 8 (señala el 7), ¿cuál es
éste? (Señala el 8).
-P. El 9.
-E. ¿Y éste? (señala el 9)
-P. El 10.
-E. ¿Y éste? (señala el 10)
-P. El 11.
-E. ¡Ah!, ¿había 11?
-P. No.
-E. Sentamos al osito aquí (en el 8), ¿cuál es?
-P. El 8
-E. ¿Come pan?
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-P. Sí porque lo he puesto.
-E. Vamos a comprobarlo, ¡Oh!, No come. ¿En
el 9 come?, ¿Cuál es el 9?
-P. Este (señala el 9)
-E. ¿Por qué sabes que es el 9?
-P. Porque yo cuento en mi casa.
-E. ¿Pero en tu casa hay esta escalera y este
osito?
305
-P. No, pero cuento en mi casa.
-E. Pero ¿porqué sabes que ese escalón es el 9?
-P. Porque sí.
-E. El osito está en el 8 ¿cuál es el 7?, ¿Come
en el 7?
-P. Este (señala 7), y sí come porque lo he
puesto.
18) Jav. (5, 0)
-E. Cuenta los escalones.
-J. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10).
-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro
no, venga ponlo tú.
-J. Coloca el pan en el 1, 3, 5, 7, 8 y 9.
-E. ¿Está bien?, ¿Lo has hecho bien?, Es en uno
sí y en otro no.
-J. Mira la escalera con el pan y quita el que
había puesto en el 8.
-E. El osito dice: "En el 1 como pan, en el 2 no
como pan...", venga sigue tú.
-J. En el 3 sí como pan (señala 3), en el 4 no
como pan (señala 4), en el 5 sí como pan (señala
5), en el 6 no como pan (señala 6, contando
bajito, sin señalar, desde uno), en el 8 sí como
pan (señala 7)
-E. ¿Este es el 8? (señala 7)
-J. Es el 7 (después de pensar durante un
tiempo)
-E. En el 7 ¿come pan?
-J. Sí come pan, en el ... (señala 8) no como
pan.
-E. ¿Cuál es? (señala 8)
-J. El 8 (después de pensar durante un tiempo)
-E. ¿Come o no come?
-J. No como.
-E. ¿Cuál es? (señala el 9)
-J. El 8 ó el 9
-E. Tienes que decir uno
-J. ¿Es el 9?
-E. ¿Por qué lo sabes?
-J. Porque me lo ha dicho mi madre.
-E. Este, ¿cuál es? (señala 10)
-J. El 10 (después de pensar durante un tiempo)
-E. Entonces ya sabes como es: en uno come
pan y en otro no, por eso en el 1-sí, en el 2-no,
en el 3-sí y así todos. Vamos a decirle al osito
donde come pan y donde no.
-E. En éste sí (señala 1), ¿en éste? (señala 2)
-J. No
-E. ¿En éste? (señala 3)
-J. Sí
-E. ¿En éste? (señala 4)
-J. No
-E. ¿En éste? (señala 5)
-J. Sí
-E. ¿En éste? (señala 6)
-J. No
-E. ¿En éste? (señala 7)
-J. Sí
-E. ¿En éste? (señala 8)
-J. No
-E. ¿En éste? (señala 9)
-J. Sí
-E. ¿En éste? (señala 10)
-J. Sí
-E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué
escalón está?.
-J. ¿En el 7?
-E. ¿Por qué?
-J. El 6
-E. ¿Por qué?
-J. Porque aquí está el pan.
-E. ¿En qué escalón está el osito?
-J. En el 7, ¡no! En el 6.
-E. ¿Qué has hecho para saber que ese es el 6?
-J. Porque mi madre me lo ha dicho.
-E. ¿Ahí come pan?
-J. Sí
-E. ¿Por qué dices tú que ahí come pan?
-J. Porque sí
-E. Vamos a comprobarlo, ¡oh! No come. Es el
6 y no come pan, en el 7 ¿come? ¿Cuál es el 7?
-J. ¿Este? (señala 7)
-E. Ahí ¿come?
-J. Sí
-E. ¿Por qué?
-J. Porque aquí hay una chispita de pan.
-E. Pero por eso no lo debes adivinar, eres
mago y tienes que decirme porqué; ¿come en el
7?
-J. ¿Sí?
-E. ¿Por qué?
-J. Porque mi madre me lo ha dicho
-E. ¿Y en el 8?, ¿Cuál es el 8?
-J. ¿Este? (señala el 8)
-E. Sí ese es el 8, ¿por qué lo sabes?
-J. Porque he contado todo el día.
-E. Y ahí ¿come?
-J. ¿No?
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306
-E. ¿Por qué sabes que no come?
-J. Porque lo aprendí en mi campo.
-E. ¡Ah! En tu campo aprendiste que el osito en
el 8 no comía. En el 9 ¿come?, ¿Cuál es el 9?.
-J. ¿Este? (señala el 9)
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 9?
-J. Porque lo aprendí yo solo
-E. Y en el 9 ¿come?
-J. No
-E. ¿Por qué?
-J. Porque me lo ha dicho mi madre.
-E. Vamos a comprobarlo, ¡oh! En el 9 sí come.
El osito está en el 6, ¿cuál es el 5?
-J. ¿Este? (Señala el 4), ¡no!, ¡Es éste! (Señala
el 5).
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. ¿Por qué este es el 5? (señala el 5)
-J. Porque éste es el 4 (señala el 4)
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?
-J. Porque me lo ha dicho mi madre.
-E. Entonces ¿cuál es el 5?
-J. Este (señala el 5)
-E. Tú sabes que en el 6, donde está sentado el
osito, no come, entonces ¿en el 5 come?
-J. No.
-E. Te recuerdo que es en uno sí y en otro no, y
en éste, donde está sentado el osito no come
(señala 6), entonces ¿en éste come? (señala 5)
-J. ¿Sí?
-E. ¿Por qué?
-J. Porque lo aprendí yo
19) Cri. (5, 5).
-E. Cuenta los escalones.
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10)
-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro
no
-C Coloca pan en un escalón sí y en otro no.
-E Es en el 1-sí, en el 2- no, ..., venga, sigue tú.
-C. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no,
en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí y en el 10-no.
-E. Vamos a tapar el pan y vamos a adivinar si
el osito come o no come pan.
-C. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2),
en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en
éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí
(señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí
(señala 9) y en éste no (señala 10).
-E. Sentaremos al osito aquí (en el 7), ¿en qué
escalón está el osito?
-C. En el sí
-E. Me tienes que decir el número en el que
está.
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 4 (señala 5), 5
(señala 9).
-E. Tienes que contarlos todos, sin saltarte
ninguno y decirme en qué escalón está.
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), está en el 7.
-E. En el 7 ¿come?
-C. No
-E. ¿Por qué?, ¿Cómo averiguas si es que sí o si
es que no? ¿Qué forma tienes para averiguarlo?
-C. Que sí come
-E. ¿Por qué?
-C. Sí hay, ¡no hay!.
-E. Tienes que decir sí o no pero no las dos
cosas. Vamos a ponerlo en otro sitio, lo
ponemos aquí (en el 3), ¿hay pan?.'
-C. Sí
-E. ¿Por qué?
-C. Porque lo sé
-E. ¿Por qué lo sabes?
-C. No me acuerdo
-E. En el 1 hay, en el 2 no hay,...
-C. En el 3 sí hay.
-E. El osito está en el 3 y sí hay. En el 4 ¿hay?,
¿Cuál es el 4?
-C. Este (señala el 5)
-E. ¿Por qué?
-C. Porque sí
-E. ¿Cuál es el 2?
-C. Este (señala el 2)
-E. ¿Cuál es el 4?
-C. Este (señala el 5)
-E. Entonces ¿éste cuál es? (señala 4)
-C. El 4
-E. Ahí ¿come?
-C. No.
-E. ¿Y en el 5?, ¿Cuál es el 5?
-C. Este (señala el 6)
-E. Sentamos al osito aquí (en el 9), ¿en qué
escalón está?
-C. En el 7
-E. ¿Seguro?, cuéntalo
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7)
(mira al osito) ¡ah! entonces está en el 9.
-E. Sí, en el 9 ¿come?
-C. No
-E. ¿Por qué?, te recuerdo que es en el 1-sí, en
el 2-no ....y así todos. Vamos a comprobar que
en el 9 sí hay pan. En el 9 hay, en el 8 ¿hay?,
¿Cuál es el 8?
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8).
-E. ¿Hay pan?
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-C. No me acuerdo
-E. El osito está en el 9 y sí hay pan, ¿cuál es el
7?
-C. Este (señala el 7)
-E. ¿Hay pan en el 7?
-C. No me acuerdo
-E. El osito está en el 9 y sí hay pan, en el 10
¿come?, ¿Cuál es el 10?
-C. Este (señala el 10)
-E. ¿Hay pan en el 10?
-C. No
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7) ¿en qué
escaló está?
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala 7)
-E. ¿Come?
307
-C. No me acuerdo
-E. En el 7 sí come, en el 8 ¿come?, ¿Cuál es el
8?
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8)
-E. ¿Come?
-C. No me acuerdo
-E. En el 7 sí come, en el 9 ¿come?, ¿Cuál es el
9?
-C. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9)
-E. ¿Come?
-C. No me acuerdo
Clase de 3 años
El desarrollo de la entrevista se realiza siguiendo los mismos puntos que en la
clase de los 4 años.
20) Nu. (3, 11)
-E. Cuenta los escalones.
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4) y 5 (señala 5)
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no.
-N. Coloca el pan en los escalones
correspondientes
-E. En el 1-sí, 2-no..., venga ahora tú.
-N. Coloca el pan en el 1, "en el 2 no come";
coloca pan en el 3 y en el 5.
-E. En el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no y
en el 5-sí. Ahora tú.
-N. En el 1-sí, en el 2 no come, en el 3 sí come,
en el 4 no come y en el 5 sí.
-E. Tapamos el pan y adivinaremos si hay o no
hay. Sentamos al osito en este escalón (en el 3),
¿en qué escalón está sentado?
-N. En el 3
-E. En el 3 ¿come?
-N. Sí
-E. ¿Por qué?
-N. Porque lo sé
-E. Vamos a comprobarlo, ¡sí!, en el 3 hay, en el
4 ¿hay?, ¿Cuál es el 4?
-N. No hay, éste es el 4 (señala 4)
-E. ¿Por qué no hay?
-N. No hay porque lo sé, vamos a comprobarlo.
-E. Vale, lo comprobamos, ¡no hay!. El osito
está en el 3 y come pan, ¿cuál es el 5?, ¿Come
en el 5?.
-N. Este (señala 5) y sí come.
-E. ¿Por qué?
-N. Porque lo sé
-E. ¿Por qué sabes que come en el 5?
-N. Porque sí
-E. Vamos a hacer la escalera más larga (entre
las dos hacen la escalera con 10 peldaños).
Ahora con la escalera larga tienes que contar
con el osito.
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) y 10 (señala 10)
-E. Ahora, igual que antes, en uno come pan y
en otro no.
-N Coloca el pan en uno sí y en otro no.
-E. Tienes que decir en 1-sí, en el 2-no, ...,
venga sigue tú.
-N. En el 1-sí (señala el 1), en el 2-no (señala el
2), en el 3-sí (señala el 3), en el 4-no (señala el
4), en el 5-sí (señala el 5), en el.....
-E. Este es el 5 (señala el 5), entonces ¿este es el
...? (señala 6)
-N. (Cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, mientras
señala el 6) el 6-no, el... (cuenta en voz baja 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7 mientras señala el 7) el 7 sí, el...
(cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 mientras
señala el 8) el 8 no, el... (cuenta en voz baja 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 mientras señala el 9) el 9 sí,
el... (cuenta en voz baja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 mientras señala el 10) el 10 no.
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308
-E. Tapamos el pan, colocamos al osito aquí (en
el 6), ¿en qué escalón está?
-N. En el 4
-E. ¿Sí?, entonces ¿éste cuál es? (señala 4)
-N. El 3
-E. Entonces ¿éste cuál es? (señala el 5)
-N. El 4
-E. ¿Y donde está el osito es también el 4?
-N. No, el 5.
-E. Venga, puedes contarlo
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), es el 6.
-E. En el 6, ¿hay pan?.
-N. Sí
-E. ¿Por qué?
-N. Porque en uno sí y en otro no
-E. Vale, pero por qué dices que en ese (señala
el 6) es que sí, podría ser que no.
-N. Vamos a verlo.
-E. Bueno vamos a comprobarlo, ¡oh! No hay.
Vamos a colocarlo aquí (en el 5) ¿cuál es?,
¿Hay?
-N. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), es el 5 y no hay.
-E. Es en el 1-sí...., entonces...
-N. En el 2-no, en el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí.
-E. ¿Entonces?
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-N. Sí hay.
-E. Vamos a comprobarlo, ¡sí hay!. Vamos a
colocarlo aquí (en el 7), ¿hay?.
-N. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2),
en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en
éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí
(señala 7). Sí hay, ¡vamos a verlo!.
-E. Vale, lo comprobamos, ¡sí hay!. El osito está
en el 7 ¿cuál es el 8?
-N. Este (señala el 8)
-E. ¿Por qué sabes que ese es el 8?
-N. Porque lo sé
-E. ¿Por qué?
-N. Porque sé contar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
después del 7 viene el 8.
-E. Si después del 7 va el 8 y en el 7 come pan,
en el 8 ¿come?
-N. No
-E. Vamos a comprobarlo, ¿cuál es el 9?
-N. Este (señala el 9)
-E. ¿Por qué?
-N. Porque lo sé
-E. El osito está en el 7 y come pan, en el 9
¿come?
-N. Sí, ¿vamos a verlo?
-E. Vale lo comprobamos, ¡sí!.
21) Lou. (3, 3)
-E. Cuenta los escalones
-L. No (tímidamente)
-E. Venga que el osito es tu amigo y quiere
jugar contigo, ¿por qué no le ayudas a contar los
escalones?
-L. No (tímidamente)
-E. ¿Te quieres ir a la clase?
-L. Sí (tímidamente)
-E. Venga vamos.
22) Luc. (3, 9)
-E. Cuenta los escalones
-L. 1, 2, 3 (coloca al osito al azar en un escalón
al mismo tiempo que dice 1, 2, 3)
-E. Tienes que ir sentando al osito en los
escalones al mismo tiempo que dices los
números.
-L. 1 (señala 1), 2 (señala 3), 4 (señala 4), 5
(señala 5).
-E. El osito quiere que tú lo vuelvas a contar.
-L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5)
-E. Ahora vamos a hacerlo entre las dos, yo lo
coloco y tú lo cuentas.
-L. 1 (colocan al osito en el 1), 2 (lo colocan en
el 2), 3 (lo colocan en el 3), 4 (lo colocan en el
4) y 5 (lo colocan en el 5).
-E. Al osito le gusta mucho comer, ¿sabes lo
que hace?, que en un escalón come pan y en
otro no; debes colocar pan en un escalón sí y en
otro no
-L Coloca pan en el 1, vuelve a colocar pan en
el 1
-E. No, es en uno sí y en otro no. En éste (señala
1) sí, que ya lo has puesto, en ¿éste? (señala 2).
-L. Sí (y pone pan)
-E. No es en uno sí y en otro no, y en éste
(señala 1) ya has puesto, en ¿éste? (señala 2)
-L. No
-E. En ¿éste? (señala 3)
-L. No
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-E. Es en uno sí y en otro no, y en éste (señala
1) sí y ya lo has puesto, en éste (señala 2) no
hay, en ¿éste? (señala 3).
-L. Sí (lo pone)
-E. En ¿éste? (señala 4)
-L. Sí (lo pone)
-E. Es en uno sí y en otro no.
-L. No (lo quita)
-E. En ¿éste? (señala 5)
-L. Sí (lo pone)
-E. Entonces ¿en el 1?
-L. Sí come (entre la entrevistadora y la niña
cogen al osito y lo colocan en el 1)
-E. ¿En el 2?
-L. No come (cogen al osito y lo colocan en el
2)
-E. ¿En el 3?
-L. Sí come (cogen al osito y lo colocan en el 3)
-E. ¿En el 4?
-L. No come (cogen al osito y lo colocan en el
4)
-E. ¿En el 5?
-L. Sí come (cogen al osito y lo colocan en el 5)
-E. Es en el 1-sí, en el 2-no, venga sigue tú
-L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5).
-E. Tapamos el pan y sin verlo vamos a decir si
come o no come. ¿En el 1? (coloca al osito en el
1)
309
-L. Sí
-E. ¿En el 2? (coloca al osito en el 2)
-L. Sí
-E. Vamos a verlo (levanta el trapo y ven que no
hay), ¿en el 3?
-L. No
-E. Vamos a verlo, ¡oh! Sí; ¿en el 4?
-L. Sí
-E. Vamos a verlo, ¡oh! no; ¿En el 5?
-L. Sí
-E. Vamos a verlo, ¡sí! . Bien, como tú eres
pequeña vamos a dejar que se vea el pan, y
vamos a colocar al osito aquí (en el 3), ¿en qué
escalón está?.
-L. Silencio
-E. ¿Este cuál es? (señala 1)
-L. El 4
-E. No es el 1, y éste (señala el 2)
-L. El 3
-E. ¿Tú sabes contar?
-L. No
-E. ¿Por qué?
-L. Porque no sabo.
-E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el
4?
-L. Silencio.
23) Mi. (3, 10)
-E. Cuenta los escalones
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 3 (señala 2), 4
(señala 3), 5 (señala 4), 6 (señala 5), 7 (señala 5)
-E. Es de uno en uno, venga cuéntalo de nuevo.
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 3 (señala 2), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 5)
-E. El osito en un escalón come pan y en otro
no, es en uno sí y en otro no
-M. Silencio
-E. ¿Tú sabes poner pan en el sitio que es sí y no
en el sitio del no?
-M. Silencio.
-E. ¿En éste? (señala 1)
-M. Sí (lo pone)
-E. ¿En éste? (señala 2)
-M. No
-E. ¿En éste? (señala 3)
-M. Sí (lo pone)
-E. ¿En éste? (señala 4)
-M. No
-E. ¿En éste? (señala 5)
-M. Sí (lo pone)
-E. Venga, ahora tienes que coger al osito y
decir en el 1-sí, en el 2-no y así ¿vale?
-M coloca al osito en el 1 y silencio.
-E. ¿Este es el...? (señala el 1)
-M. Silencio
-E. ¿Cuál es éste? (señala 1)
-M. El 5
-E. ¿Este es el...? (señala el 2)
-M. El 4.
-E. ¿Este es el...? (señala el 3)
-M. El 5
-E. ¿Por qué?
-M. Porque salta.
-E. Sentamos al osito aquí (en el 4), ¿en qué
escalón está el osito?
-M. En éste (señala al osito)
-E. Sí pero ¿qué número es?
-M. El 2
-E. ¿Estás seguro?
-M. Sí
-E. Entonces ¿éste cuál es? (señala el 2)
-M. El 1
-E. ¿Por qué?
-M. Porque sube
-E. ¿Entonces éste cuál es? (señala el 1)
-M. Porque cuando sale el niño le da un
pelotazo.
-E. Sí, pero éste escalón ¿cuál es? (señala el 1)
-M. No lo sé
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310
-E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 3), si tú
empiezas a contar desde abajo ¿en qué escalón
está el osito?
-M. Aquí (señala el 2)
-E. No, el osito está aquí (señala el 3) ¿no lo
ves?
-M. Coge al osito y recorre la escalera con él.
-E. ¿Quieres contar los escalones otra vez con el
osito?
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 5)
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. Vamos a hacer la escalera más larga (ahora
con 10 escalones), ¿quieres contar los escalones
ahora?
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 4), 6 (señala 5), 7 (señala
6), 8 (señala 7), 9 (señala 7), 10 (señala 8), 4
(señala 9), 6 (señala 10).
-E. Sentamos al osito en el 3 que sabemos que sí
come, ¿come en el 4?.
-M. Silencio.
24) Pab. (3, 1).
-E. Cuenta los escalones
-P. Coge al osito y recorre la escalera con él.
-E. Tienes que ir contando al mismo tiempo que
el osito sube.
-P. Coloca al osito en el 1, en el 2
-E. Este ¿cuál es? (con el osito en el 2)
-P. El 2, coloca al osito en el 3.
-E. ¿Cuál es? (señala el 3)
-P. El 14
-E. ¿Y éste? (señala el 4)
-P. El 6
-E. ¿Y éste? (señal 5)
-P. El 11.
-E. Cuéntalo otra vez
-P. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 5 (señala 2), 2
(señala 3), 3 (señala 4), 4 (señala 5)
-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro
no, en el 1-sí, en el 2-no,... y así; es en uno sí y
en otro no, en éste sí (señala 1), venga ahora
ponlo tú.
-P. Coloca pan en el 1 (y se para)
-E. ¿En éste? (señala 2)
-P. Sí
-E. Es en uno sí y en otro no
-P. No (en el 2)
-E. ¿En éste? (señala 3)
-P. No
-E. Es en uno sí y en otro no. Venga tú sólo vas
a colocar pan donde creas que debe estar porque
es en uno sí y en otro no.
-P. Coloca pan al lado del que ya había puesto
(en el 1)
-E. ¿Así está bien?
-P. No.
-E. Entonces ¿cómo es bien?
-P. Coloca más pan en el 1.
-E. Vamos a hacer la escalera más larga para
que tú cuentes los escalones (con 10 peldaños).
-P. 1 (señala 1), 3 (señala 2), 4 (señala 3), 5
(señala 4), 6 (señala 5), 7 (señala 6), 8 (señala
7), 9 (señala 8), 14 (señala 9), 15 (señala 10)
-E. Es en 1-sí, 2-no, venga sigue tú
-P. 1, 14.
25) Mar. (3, 3)
-E. Cuenta los escalones.
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5)
-E. El osito cuando sube la escalera come pan
en un escalón sí y en otro no. Es en uno sí y en
otro no y empieza por éste que es el 1 en el que
sí come.
-M. Coloca en el 1, 3 y 4.
-E. ¿En éste? (señala 4), es en uno sí y en otro
no.
-M Lo quita del 4 y lo coloca en el 2
-E. Es en uno sí y en otro no
-M Quita el pan del 2
-E. ¿En éste? (señala 4)
-M. No
-E. ¿En éste? (señala 5)
-M. Sí (lo pone)
-E. Es en uno sí y en otro no, entonces en el 1sí, en el 2-no,..., venga sigue tú.
-M. Silencio
-E. En el 1-sí (señala 1).....
-M. En éste no (señala 2), en éste sí (señala 3),
en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5).
-E. Tienes que decir los números al mismo
tiempo, en el 1-sí, ¿en éste? (señala el 2)
-M. No
-E. Pero ¿cuál es?
-M. El 2
-E. ¿En éste? (señala el 3)
-M. Sí
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-E. Pero ¿cuál es?
-M. El 5
-E. No, éste era el 2 (señala 2), entonces ¿éste?
(señala el 3)
-M. El 3
-E. ¿En éste? (señala 4)
-M. En el 4, no.
-E. ¿En éste? (señala 5)
-M. En el 8, no.
-E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué
escalón está?
-M. En el 3
-E. ¿Come pan en el 4?
-M. No
-E. ¿Cuál es el 4?
-M. Este (señala el 2)
-E. ¿Este? (señala el 2)
-M. Sí
-E. ¿Por qué?
-M. Porque no come
-E. Bien, vamos a quitar el pan de todos los
sitios. El osito está sentado en el 3, ¿cuál es el
4?
-M. Este (señala el 4)
-E. ¿Por qué?
-M. Porque había un pan
-E. Vamos a poner la escalera más larga para
que contemos más. Venga cuéntala.
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 10)
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no,
venga coloca el pan
-M. Coloca el pan en los escalones
correspondientes
311
-E. Tapamos el pan. En éste come (señala 1), en
¿éste? (señala 2)
-M. No
-E. ¿En éste? (señala 3)
-M. Sí
-E. ¿En éste? (señala 4)
-M. Sí
-E. ¿En éste? (señala 5)
-M. Sí
-E. ¿En éste? (señala 6)
-M. Sí
-E. ¿Sí?
-M. No
-E. ¿En éste? (señala 7)
-M. Sí
-E. ¿En éste? (señala 8)
-M. Sí
-E. ¿En éste? (señala 9)
-M. Sí
-E. ¿En éste? (señala 10)
-M. No
-E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es?
-M. El 6
-E. Cuéntalo
-M. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6)
-E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7?
-M. Este (señala 9)
-E. ¿Y el 8?
-M. Este (señala 10)
-E. ¿Y el 5?
-M. Este (señala 9)
-E. ¿Y el 2?
-M. Este (señala 4)
26) Sal. (4, 3)
-E. Cuenta los escalones
-S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5)
-E. El osito cada vez que sube la escalera come
pan en un escalón sí y en otro no, ¿quieres poner
tú el pan donde sí come?
-S Coloca pan en el 1.
-E. Se salta uno, en uno come y en otro no,
entonces ¿en éste? (señala 2)
-S. No
-E. ¿En éste? (señala 3)
-S. Sí (lo pone)
-E. ¿En éste? (señala 4)
-S. No
-E. ¿En éste? (señala 5)
-S. Sí (lo pone).
-E. Ahora que está el pan puesto en un escalón
sí y en otro no, le tienes que decir en qué
números hay pan, entonces en el 1-sí (señala el
1), ¿en éste? (señala el 2)
-S No
-E. Pero ¿cuál es?
-S. El 2
-E. ¿En éste? (señala el 3) ¿cuál es?
-S El 3, sí
-E. ¿En éste? (señala el 4) ¿cuál es?
-S El 2
-E. ¿Este es el 2? (señala el 4)
-S. Sí
-E. ¿Y éste? (señala el 5)
-S. El 1
-E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué
escalón está?
-S. En el 3
-E. Está en el 3, ¿cuál es el 4?
-S Este (señala el 4)
-E. ¿Por qué?
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312
-S. Porque no tiene pan
-E. ¿Cuál es el 2?
-S. Este (señala el 4)
-E. ¿Por qué?
-S. Porque no tiene pan
-E. ¿Te acuerdas en qué escalón está el osito?
-S. En el 3
-E. ¿Cuál es el 2?
-S. Este (señala el 5)
-E. ¿Por qué?
-S. Porque tiene pan.
-E. Vamos a poner la escalera más larga para
contar más. Venga cuéntala.
-S 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9), 10 (señala 10)
-E. Ahora, igual que antes el osito come pan en
uno sí y en otro no
-S. Coloca el pan en los lugares
correspondientes
-E. Vamos a tapar el pan y vas a decirme en
cuál sí y en cuál no
-S. En éste sí (señala 1), en éste no (señala 2), en
éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí
(señala 5), en éste no (señala 6), en éste sí
(señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí
(señala 9) y en éste no (señala 10).
-E. ¿Come en éste? (señala 3)
-S. No
-E. ¿Por qué?
-S. Porque es muy bonito
-E. Ahora colocaremos al osito aquí (en el 6),
¿en qué escalón está?
-S. En el 2
-E. ¿Por qué?
-S. Porque es muy bonito
-E. Venga vamos a contarlo: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
¡oh!, está en el 6, ¿en qué escalón está?
-S. En el 3
Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
-E. Y ¿cuál es el 4?
-S. Este (señala 10)
-E. ¿Y el 3?
-S. Este (señala 7)
-E. ¿Y el 2?
-S. Este (señala 2)
-E. ¿Y el 6?
-S. Este (señala 7)
-E. ¿Por qué?
-S. Porque no tiene pan
-E. Bueno ninguno tiene pan, ¿por qué ese es el
6?
-S. Porque es muy bonito
-E. Entonces ¿éste es feo? (señala 5)
-S. No, pero éste es más bonito (señala 7)
-E. ¿Quieres poner el osito en el 10?
-S. Lo coge del 6 y lo pone en el 7
-E. ¿Quieres poner el osito en el 1?
-S. Lo coge del 7 y lo pone en el 9
-E. ¿Quieres contar de nuevo los escalones?
-S. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), 7 (señala
7), 8 (señala 8), 9 (señala 9) (se detiene donde
está el osito)
-E. ¿Por qué te has parado ahí? (en el 9)
-S. Porque es grande
-E. ¿En qué escalón está el osito?
-S. En éste (señala 9)
-E. ¿Y ese cuál es?
-S. El grande
-E. Bien, vamos a colocar al osito aquí (en el 5),
¿come?
-S. No
-E ¿Por qué?
-S. Porque no come
-E. Es en uno sí y en otro no
-S. Sí come
27) Ir. (3, 9)
-E. Cuenta los escalones.
-I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5)
-E. El osito cada vez que sube la escalera come
pan en un escalón sí y en otro no, ponlo tú.
-I. Coloca pan en el 1.
-E. Se salta uno, en uno come y en otro no,
entonces ¿en éste? (señala 2)
-I. No
-E. ¿En éste? (señala 3)
-I Sí (lo pone).
-E. ¿En éste? (señala 4)
-I. No
-E. ¿En éste? (señala 5)
-I. Sí (lo pone).
-E. Es en 1-sí, 2-no, venga sigue tú
-I. Silencio.
-E. Tapamos el pan y sentamos al osito aquí (en
el 3), ¿en qué escalón está?, ¿Come?
-I. En éste (señala el 3)
-E. Sí pero ¿cuál es?
-I. No sé
-E. Es el 3, ¿come?
-I. No
-E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4? ¿come?
-I. Este (señala 1)
-E. ¿Por qué dices que ese (señala 1) es el 4?
-I. No sé
-E. Vamos a hacer la escalera más larga (10
peldaños), cuenta ahora
-I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5) 6 (señala 6), 7 (señala 7),
8 (señala 7), 9 (señala 8), 10 (señala 9), 11
(señala 10)
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
-E. En esta escalera larga el osito come pan en
uno sí y en otro no, venga ponlo tú.
-I. Coloca el pan en los escalones
correspondientes
-E. Si tapamos el pan ¿sabes decírmelo?
-I. Silencio
-E. Es en uno sí y en otro no, en éste (señala1)
es sí, ¿en éste? (señala2)
-I. No
-E. ¿En éste? (señala 3)
-I. Sí
-E. ¿En éste? (señala 4)
-I. Sí
-E. ¿Sí?
-I. No sé
-E. ¿En éste? (señala 5)
-I. Sí
-E. ¿En éste? (6)
-I. Sí
-E. ¿Sí?
-I. No
-E. ¿En éste? (señala 7)
-I. Sí
-E. ¿En éste? (señala 8)
-I. No
-E. ¿En éste? (señala 9)
-I. Sí
-E. ¿en éste? (señala 10)
313
-I. No
-E. Colocaremos al osito aquí (en el 6), ¿en qué
escalón está?
-I. Aquí
-E. ¿Cuál es?
-I. No sé
-E. Cuéntalo
-I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6)
-E. Entonces ¿en qué escalón está?
-I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6)
-E. Bien el osito está en el 6, ¿cuál es el 7?
-I. No sé
-E. ¿Y el 5?
-I. Este (señala el 10)
-E. ¿Y el 3?
-I. Este (señala 4)
-E. Bueno, ahora sin números, ponemos al osito
aquí (en el 5) ¿come?
-I. Sí
-E. ¿Por qué?
-I. No sé
-E. Vamos a comprobarlo. ¡Sí come!. Ya
sabemos que come en este (señala 5), ¿come en
este? (señala 6)
-I. No sé
Anexo 4.2. Categorización de las respuestas de la entrevista de cada niño
en la tarea 1: Alternancia
De la transcripción global de las entrevistas, extraemos la parte correspondiente
a la tarea 1: Alternancia, que justifica la inclusión de las respuestas de cada niño en una
categoría determinada según la codificación y categorización establecidas en la tabla A1 del apartado 9.1 del capítulo
Alternancia. Clase de los 3 años
Pab. (3,1).
1A0, 2A0, 3A0
-E. El osito come pan en un escalón sí y en otro no, en éste sí (señala 1), venga ahora ponlo tú. -P. coloca
el pan en el 1 (y se para). -E. ¿En éste? (señala 2). -P. Sí. -E. Es en uno sí y en otro no. -P. No (en el 2). E. ¿En éste? (señala 3). -P. No. -E. Es en uno sí y en otro no. -P. coloca el pan al lado del que ya había
puesto (en el 1). -E. ¿Así está bien?. -P. No. -E. Entonces ¿cómo es bien?. -P. coloca más pan en el 1.
Lou. (3,3).
1A0, 2A0, 3A0
No contesta
Mar. (3,3).
1A2, 2A2, 3A21
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
314
-E. El osito cuando sube la escalera come pan en un escalón sí y en otro no ¿vale?, es en uno sí y en otro
no y empieza por éste que es el 1 en el que sí come, venga ponlo tú. -M. coloca en el 1, 3 y 4. -E. ¿En
éste? (señala 4), es en uno sí y en otro no. -M quita el pan del 4 y lo coloca en el 2. -E. Es en uno sí y en
otro no. -M quita el pan del 2. -E. ¿En éste? (señala el 4). -M. No. -E. ¿En éste? (señala el 5). -M. Sí (lo
pone)
Sal. (3,4)
1A2, 2A2, 3A21
-E. Aquí sí come (señala 3), ¿come aquí? (señala 4). -S. No. -E. ¿Y aquí? (señala 5). -S. Sí. -E. ¿Por qué?.
-S. Porque es muy bonito.
Luc. (3,9)
1A1, 2A1, 3A0
-E. Al osito le gusta mucho comer, ¿sabes lo que hace?, en un escalón come pan y en otro no; debes
colocar pan en un escalón sí y en otro no. -L. Coloca pan en el 1, vuelve a colocar pan en el 1. -E. No, es
en uno sí y en otro no. En éste (señala 1) sí, que ya lo has puesto, en ¿éste? (señala 2). -L. Sí (y pone pan).
-E. No es en uno sí y en otro no, y en éste (señala 1) ya has puesto, en ¿éste? (señala 2). -L. No. -E. En
¿éste? (señala 3). -L. No. -E. Es en uno sí y en otro no, y en éste (señala 1) sí y ya lo has puesto, en éste
(señala 2) no hay, en ¿éste? (señala 3). -L. Sí (lo pone). -E. En ¿éste? (señala 4). -L. Sí (lo pone). -E. Es
en uno sí y en otro no.. -L. No (lo quita). -E. En ¿éste? (señala 5). -L. Sí (lo pone)
Ir. (3,9)
1A2, 2A2, 3A21
-E. Si tapamos el pan ¿sabes decírmelo?. -I. Silencio. -E. Es en uno sí y en otro no, en éste (señala1) es sí,
¿en éste? (señala 2). -I. No. -E. ¿En éste? (señala 3). -I. Sí. -E. ¿En éste? (señala 4). -I. Sí. -E. ¿Sí?. -I. No
sé. -E. ¿En éste? (señala 5). -I. Sí. -E. ¿En éste? (6). -I. Sí. -E. ¿Sí?- -I. No. -E. ¿En éste? (señala 7). -I. Sí..
-E. ¿En éste? (señala 8). -I. No. -E. ¿En éste? (señala 9). -I. Sí. -E. ¿en éste? (señala 10). -I. No
Mi. (3,10)
1A1, 2A0, 3A0
-E. El osito en un escalón come pan y en otro no, es en uno sí y en otro no. -M. Silencio. -E. ¿Tú sabes
poner pan en el sitio que es sí y no en el sitio del no?. -M. Silencio. -E. ¿En éste? (señala 1). -M. Sí (lo
pone). -E. ¿En éste? (señala 2). -M. No. -E. ¿En éste? (señala 3). -M. Sí (lo pone). -E. ¿En éste? (señala
4). -M. No. -E. ¿En éste? (señala 5). -M. Sí (lo pone)
Nu. (3,11)
1A3, 2A3, 3A3
-N. Es en uno sí y en otro no. -E. ¿Qué ocurre en éste? (Señala 7). -N. En este sí (señala 1), en este no
(señala 2), en este sí (señala 3), en este no (señala 4), en este sí (señala 5), en este no (señala 6) y en este
sí (señala 7), ¡Sí hay!
Alternancia. Clase de los 4 años
Fr. (4,0)
1A3, 2A3, 3A3
-E. Si en éste (señala 3) el osito come, ¿come en éste? (señala 4) -F. No come porque en el 3 (silencio), en
el 4 no come. -E. ¿En éste come? (señala 2). -F. No come porque lo he hecho. -E. ¿Y en éste? (señala 8).
–F. No come porque lo he pensado.
Adr. (4,1)
1A0, 2A0, 3A0
-E. El osito, Saltarin, come pan en uno sí y en otro no. Tienes que ponerle el pan. -A. Coloca pan en el
primer escalón, también en el segundo. -E. Es en uno sí y en otro no. -A. Omite la consigna del
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
315
experimentador y deja el pan que ya había puesto; sigue poniendo en el 3, en el 4 y en el 5. -E. ¿Qué
come en todos?. -A. Sí
An. (4,3)
1A2, 2A2, 3A1
-A. Coloca pan en el 2. -E. Es en uno sí y en otro no y aquí (señala 1) ya hemos puesto. -A. Coloca más
pan en el 2. -E. Empezamos de nuevo, aquí come (señala 1), ¿aquí? (señala 2). -A. No como. -E. ¿Aquí?
(señala 3). -A. Sí. -E. ¿Aquí? (señala 4). -A. No. -E. ¿Aquí? (señala 5). -A. Sí. -E. El osito está aquí (en el
3) y sí come, ¿come en este? (señala 4). -A. Sí. -E. ¿Por qué?. -A. Porque come. -E. ¿En este come?
(señala 1). -A. No. -E. ¿En este? (señala 2). -A. No. -E. ¿En este? (señala 3). -A. Sí. -E. ¿En este? (señala
4). -A. Sí. -E. ¿En este? (señala 5). -A. Sí
Beg. (4,6)
1A0, 2A0, 3A0
-E. El osito come pan en uno sí y en otro no, debes ponerlo en los escalones correspondientes. -B. coge el
pan y lo pone en el 4. -E En un escalón come pan y en otro no come. -B. pone pan en el 2. -E. ¿Aquí
come? (señala 2). -B. lo quita y lo pone en el 3
Pat. (4,6)
1A2, 2A2, 3A21
-E. Si ponemos aquí al osito (en el 6), ¿come?. -P. No come porque me acuerdo (toca por encima del
trapo). -E. El osito está aquí (en el 6) y no come, ¿come en éste? (señala 7). -P. No come porque me
acuerdo. -E. Pero sabemos que aquí no come (señala 6), ¿come en éste? (señala 7). -P. Sí come porque me
acuerdo (levanta el trapo para comprobarlo)
Nar. (4, 8)
1A2, 2A2, 3A21
-E. Si ponemos aquí al osito (en el 6), ¿come?. -N. No come porque me acuerdo -E. El osito está aquí (en
el 6) y no come, ¿come en éste? (señala 7). -N. No come porque me acuerdo. -E. Pero sabemos que aquí
no come (señala 6), ¿come en éste? (señala 7). -N. Sí come porque me acuerdo
Sal. (4,11)
1A3, 2A2, 3A23
-E. Si ponemos aquí al osito (en el 3), ¿come?. –S. Es el 3 y sí come porque me acuerdo. -E. En el 3
come, ¿en éste? (señala 4). -S. No come porque lo sé. –E. ¿Y en éste? (señala 5). –S. Sí come porque lo
sé. -E. El osito está en el 3 y sí hay, ¿en éste hay? (señala 2). –S. Sí. –E. ¿Sí?. –S. No. –E. ¿Y en éste?
(señala 1). –S. Sí.
Ver (4,11)
1A3, 2A3, 3A3
-E. ¿Qué ocurre en éste? (Señala el 3). -V. Sí hay porque me acuerdo. -E. Si en éste hay (señala 3), ¿qué
ocurre en éste? (Señala 4). -V. Que no hay porque me acuerdo y en este (señala 5) sí hay, y en este (señala
6) no hay.
Alternancia. Clase de los 5 años
Jav. (5,0)
1A3, 2A2. 3A21
-E. Sabemos que en éste (señala 6), donde está sentado el osito, no hay pan, ¿hay en éste? (señala 7). -J.
Sí. -E. ¿Por qué?. -J. Porque me lo ha dicho mi madre. -E. En éste (señala 6) no hay pan, ¿hay en éste?
(señala 5). -J. No. -E. Es en uno sí y en otro no. -J. ¿Sí?. -E. ¿Por qué?. -J. Porque me lo ha dicho mi
madre.
Esp. (5,2)
1A3, 2A3, 3A3
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
316
-E. Ahora vamos a tapar el pan y tú me vas a decir donde hay pan y dónde no. -Es. Comes en el 1, en el 3,
en el 5 y en el 9. –E. En el 5 ¿come?. –Es. Sí porque en el 1, en el 3 y en el 5. –E. Si en el 5 come, ¿come
en éste? (señala 6). –Es. No, porque se salta uno, van de dos en dos.
Non. (5,2)
1A3, 2A3, 3A3
-N. En este come (señala 1) porque empezando come. -E. ¿Qué ocurre en éste? (Señala el 2). -N. No
porque en el 1 come. -E. ¿Y en este? (señala 3). -N. Sí porque en el 2 come. -E. Si en éste hay (señala 7),
¿qué ocurre en éste? (señala 8). –N. Este es el 8 y no come porque en el 7 sí come.
Cri. (5,5)
1A3, 2A2. 3A21
-E. ¿En éste come? (señala 7). –C. No. –E. ¿Cómo averiguas si es que sí o si es que no?. –C. Sí hay…¡No
hay!. -E. Tienes que decir sí o no pero no las dos cosas. Venga, vamos a ponerlo en otro sitio, lo
ponemos aquí (en el 3), ¿hay pan?.' -C. Sí. -E. ¿Por qué? –C. Porque lo sé. -E. ¿Por qué lo sabes?. -C. No
me acuerdo
Is. (5,6)
1A3, 2A3, 3A3
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7). ¿hay pan?. –I. Sí porque me acuerdo. –E. En éste (señala 8) ¿hay?. –I.
En el 8 no hay. - -E. ¿Por qué?. –I. Porque en uno se come y en otro no.
Clar. (5,7)
1A3, 2A3, 3A3
-E. Ahora vamos a tapar el pan y tú me vas a decir donde hay pan y dónde no. -C. Hemos puesto en el 1,
3, 5, 7 y 9. –E. En el 7 ¿hay?. –C. Sí. –E. ¿Por qué?. Porque se tenía que poner en uno sí y en otro no y en
éste (señala 7) toca.
Ari. (5,7)
1A3, 2A3, 3A3
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7), -E. ¿Come pan?. -A. Sí. -E. ¿Por qué? -A. Porque sí. -E. Y, ¿come?
(en el 8). -A. No, porque si ponemos pan aquí (señala 7) en el otro no hay (señala 8) (previamente ha
dicho, señalando el 8, que era el ocho porque va detrás del 7). -E. ¿Y come? (en el 9). -A. Sí porque si en
éste no hemos puesto (señala 8) en éste sí (señala 9).
Ant. (5,9)
1A3, 2A2. 3A23
-E. Pero hemos puesto en uno sí y en otro no, ¿por qué no hemos puesto aquí? (señala 6). -A. Porque no
hemos puesto. -E. Entonces ¿dónde hemos puesto?. -A. En éste sí (señala 5) y en este sí (señala 7). –E.
Aquí ¿come? (señala 9). –A. Sí. -E. ¿Por qué?. –A. Porque en éste no comía (señala 8). -E. ¿Come?
(señala 10). -A. No lo sé.
Mar. (5,9)
1A3, 2A2. 3A23
-E. Tapamos el pan y tienes que adivinar donde hay pan y donde no hay. -M. En éste sí (señala 1), en éste
no (señala 2), en éste sí (señala 3), en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5), en éste no (señala 6), en éste
sí (señala 7), en éste no (señala 8), en éste sí (señala 9) y en éste no (señala 10), -E. ¿Por qué come? (en el
7). -M. Porque lo hemos puesto. -E. ¿Por qué lo hemos puesto?. -M. Porque sí.. -E. ¿Por qué no come?
(en el 8). -M. Porque no lo hemos puesto. -E. ¿Por qué no lo hemos puesto?. -M. Porque no
Par. (5,11)
1A3, 2A2. 3A22
-E. ¿En éste, hay pan? (señala 8). –P. Sí porque lo he puesto. –E. En el 8 no hay (lo comprueban), ¿hay en
éste? (señala 9). –P. Sí porque lo he puesto. –E. ¿Hay en éste? (señala 7). –P. Sí porque lo he puesto.
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
Mab. (5,11)
317
1A3, 2A3, 3A3
-E. ¿Cómo lo has contado?. –M. Mira en el 1 come pan, en el 2 no y así. –E. En el 5 ¿hay?. –M. Sí porque
lo he contado. –E. Si en el 5 hay ¿en éste hay? (señala 6). –M. No porque si en este, que es el 5, sí hay
entonces en éste, que es el 6, no hay.
Anexo 4.3. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños en
la tarea 2: Contar.
De la transcripción global de las entrevistas, extraemos la parte correspondiente
a la tarea 2: Contar, que justifica la inclusión de las respuestas de cada niño en una
categoría determinada según la codificación y categorización establecidas en la tabla C1 del apartado 10.1 del capítulo
Contar. Clase de los 3 años
Pab. (3,1)
1C1, 2C0, 3C0
-E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). –P. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 5 (señala 2), 2 (señala
3), 3 (señala 4), 4 (señala 5). –E. ¿Este cuál es? (señala 2). –P. El 2. –E. ¿Este cuál es? (señala 3). –P. El
14. –E. ¿Y éste? (señala 4). –P. El 6. –E. ¿Y éste? (señala 5). –P. El 11
Lou. (3,3)
1C0, 2C0, 3C0
No contesta
Mar. (3,3)
1C3, 2C1, 3C1
-M. Cuenta correctamente los escalones. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -M.
En el 3. -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cúal es?. -M. El 8. -E. Sentamos al osito aquí (en el 8),
¿cúal es?. -M. El 5
Sal. (3,4)
1C3, 2C1, 3C1
-S. Cuenta correctamente los escalones. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -S. En
el 3. -E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cúal es?. -S. El 2. -E. ¿Por qué?. –S. Porque es muy bonito. –E.
El osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –S. Este (señala 4). –E. ¿Por qué?. –S. Porque tiene pan. –E. El osito
está en el 3, ¿cuál es el 2?. –S. Este (señala 5). –E. ¿Por qué?. –S. Porque tiene pan. -
Luc.(3,9)
1C1, 2C1, 3C1
-E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). –L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5). –E. ¿Este
cuál es? (señala 1). –L. El 4. –E. ¿Y éste? (señala 2). –L. El 3. –E. Este es el 1, ¿cuál es este? (señala 2). –
L. El 3.
Ir. (3,9)
1C2, 2C1, 3C1
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
318
-E. Cuenta los escalones. –I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6),
7 (señala 7), 8 (señala 7), 9 (señala 8), 10 (señala 9), 11 (señala 10). –E. Sentamos al osito aquí (en el 6),
¿en qué escalón está?. –I. No sé. –E. Cuéntalo. –I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5
(señala 5), 6 (señala 6). –E. Entonces, ¿en qué escalón está?. –I. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6). –E. El osito está en el 6 ¿cuál es el 7?. –I. No sé. –E. ¿Y el 5?. I. Este
(señala 10).
Mi. (3,10)
1C1, 2C1, 3C1
-E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). –M. 1 (señala 1), 2 (señala 1), 3 (señala 2), 4 (señala
4), 5 (señala 5), 6 (señala 5). –E. Sentamos al osito aquí (en el 4) ¿cuál es?. –M. El 2. –E. Entonces ¿éste
cuál es? (señala 2). –M. El 1–E. ¿Por qué?. –M. Porque sube.
Nu. (3,11)
1C3, 2C32, 3C32
-E. ¿Este es el …? (señala 7). –N. El 7 (cuenta en voz baja desde uno). –E. Sentamos al osito en el 7 ¿cuál
es el 8? –N. Este (señala 8). –E. ¿Por qué?. –N. Porque se contar y después del 7 viene el 8.
Contar. Clase de los 4 años
Fr. (4,0).
1C3, 2C31, 3C31
–E. Vamos a sentar a Saltarín aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿qué número es?. –F. El 3. –E. ¿Cuál
es éste? (señala 6). –F. El 6. –E. ¿Cuál es éste? (señala 7). –F. El 7. –E. ¿Por qué sabes que ese es el 7?. –
F. Porque se contar. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –F. Este (señala 4). –E. ¿Por qué sabes que
ese es el 4?. –F. Porque después del 3 viene el 4. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 2?. –F. Este (señala
2). ). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 2?. –F. Porque después del 1 viene el 2.
Adr. (4,1)
1C0, 2C0, 3C0
-E. Cuenta los escalones (escalera con 5 peldaños). -A. Silencio. -E. Hay que ir señalando y contando. -A.
1, 2, (muy bajito y sin señalar). -E. ¿No quieres señalarlos?. -A. señala algunos escalones pero no los
cuenta. -A. 1 (y mira al experimentador pero no señala), y 2 (mira la escalera y al experimentador sin
señalar) y 9, y 4. -E. ¿Qué número es? (señala 3). -A. El 7 (respuesta que da después de algunos minutos)
. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. -A. Silencio
An. (4,3)
1C1, 2C1, 3C1
Tramo estable y convencional del 1 al 4. –E. Vamos a sentar a Saltarín aquí (en el 3), ¿en qué escalón
está?, ¿qué número es?. –A. El 5. –E. ¿Por qué?. –A. Porque come. –E. Me tienes que decir el número. –
A. El 6. –E. El osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –A. Este (señala 5). –E. ¿Y el 5?. –A. Este (señala 3).
Beg. (4,6)
1C3, 2C1, 3C1
Cuenta correctamente los escalones. –E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?. –B. En el
1. –E. No, el uno es éste (señala 1), ¿en qué escalón está el osito?. –B. El 3. –E. ¿Cómo lo sabes?. –B.
Porque se ha sentado. -E. ¿Cuál es el 1?. –B. Este (señala 1). -E. ¿Cuál es el 2?. –B. Este (señala 2). -E.
¿Cuál es el 3?. –B. Este (señala31). -E. ¿Cuál es el 4?. –B. Este (señala 5). -E. Entonces, ¿cuál es éste
(señala 4)?. –B. El 4. –E. ¿Y éste (señala 5)? –B. El 5. –E. ¿Y éste (señala 2)? –B. El 4. –E. Sentamos al
osito en el 3, ¿cuál es el 4?. –B. Este (señala 5). –E. ¿Ese es el 4?. –B. No (señala 1). –E. Mira ese es el 1
(sienta al osito en el 1), ¿cuál es el 2?. –B Este (señala 5).
Pat. (4,6)
1C3, 2C31, 3C31
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
319
-E. Colocamos a Saltarín en éste escalón (en el 6), ¿cuál es?. -P. El 5. -E. ¿Cómo sabes que ese es el 5?.
-P. No me acuerdo. –E. Si piensas seguro que me lo puedes decir. –P. Entonces hay que contarlo, 1
(señala 1), 2 (señala2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5), 6 (señala 6), es el 6. -E. El osito está en el
6, ¿cuál es el 7?. –P. Éste (señala 7). -E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 5?. –P. Éste (señala 5). -E. El
osito está en el 6, ¿cuál es el 4?. –P. Éste (señala 4). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –P. Porque este
es el 3 (señala el 3) y yo sé contar hasta 4.
Nar. (4, 8)
1C3, 2C22, 3C21
–E. ¿Sabes qué escalón es éste? (señala 3). –N. Es el 3. –E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué
escalón está?. –N. En el 6. –E. El osito está en el 6, ¿cuál es el 7? –N. Este (señala 8) –E. No ese no es. –
N. Este (señala el 9). –E. Pero si el osito está en el 6 ¿cuál es el 7?. –N. Este (señala el 6). –E. Pero ese es
el 6 ya que el osito está en el 6. Vamos a ponerlo en el 7. –N. Lo pone en el 9. –E. ¿Ese es el 7?. _N. No.
–E. ¿Cuál es?. –N. El 9. –E. Si ese es el 9 ¿cuál es el 10?. –N. Este (señala 10).
Sal. (4,11)
1C3, 2C31, 3C32
-E. ¿Este cuál es? (señala 4). –S. El 4. –E. ¿Por qué lo sabes?. –S. Porque lo he contado. -E. ¿Has
empezado a contar desde aquí (señala 1)?. –S. Sí. – E. Este es el 3 (sienta al osito), ¿cuál es éste (señala
4)?. –S. El 2. –E. No, es el que viene después del 3. –S. No lo sé. –E. Venga, ¿cuál es éste (señala 4)?. –S.
El 4. -E. ¿Por qué?. –S. Porque lo he contado. –E. El osito está sentado en el 7, ¿cuál es el 8?. –S. Este
(señala 8) y no lo he contado (en ese momento cuenta, llega hasta el 8 y dice “es el 8”).
Ver (4,11)
1C3, 2C32, 3C31
-E. ¿Cuál es? (señala 3). –V. El 3. -E. ¿Cuál es? (señala 4). –V. El 4. -E. ¿Cuál es? (señala 5). –V. El 5. -E.
Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿Cuál es el 4?.-V. Éste (señala 4). –E .¿Y el 8? (Deja el osito en el 3). -V.
En el 8 sí hay. -E.. ¿Por qué?. -V.. Porque en el 7 no hay. -E.. ¿Y por qué no hay en el 7?. -.. Porque en el
6 hay. -E.. ¿Y en el 10 hay?. -V. Sí, porque en el 9 no hay
.
Contar. Clase de los 5 años
Jav. (5,0)
1C3, 2C31, 3C22
-E. ¿Cuál es éste? (señala 9). –J. El 8 ó el 9. –E. Tienes que decir uno. –J. ¿El 9?. –E. ¿Por qué lo sabes?.
–J. Porque me lo ha dicho mi madre. –E. El osito está en el 6 ¿cuál es el 5?. –J. Este (señala 4), ¡no! Es
éste (señala 5). –E. ¿Por qué?. –J. Porque este es el 4 (señala 4). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –J.
Porque me lo ha dicho mi madre.
Esp. (5,2)
1C3, 2C32, 3C32
-E. Sentamos al osito aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?. –Es. En el 5. –E. ¿Por qué sabes que es el 5?. –
Es. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4 (señala 4) y 5 (señala 5). –E. El osito está en el 5, ¿éste cuál
es? (señala 6). –Es. El 6. –E. ¿Por qué?. –Es. Porque detrás del 5 va el 6. –E. Sentamos al osito en el 10,
¿cuál es el 9?. –Es. Este (señala 9) –E. ¿Y el 8?. –Es. Este (señal 8). –E. ¿Por qué?. –Es. Porque éste es el
9 (señala 9) y éste es el 8 (señala 8).
Non. (5,2)
1C3, 2C32, 3C32
-E. Colocamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –N. En el 7. –E. ¿Por qué lo sabes?. –N.
Porque lo he contado?. –E. El osito está en el 7, ¿cuál es el 8?. –N. Este (señala 8). –E. ¿Y el 9?. –N. Este
(señala 9). –E. Ahora colocamos al osito aquí (en el 10), ¿cuál es el 9?. –N. Este (señala 9). –E. ¿Por qué
lo sabes?. –N. Porque el osito está en el 10 y éste (señala 9) es el 9. –E. ¿Y el 6?. –N. Este (señala 6). . –E.
¿Por qué lo sabes?. –N. Porque este es el 8 (señala 8), este es el 7 (señala 7) y éste es el 6 (señala 6).
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
320
Cri. (5,5)
1C3, 2C31, 3C22
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7). ¿en qué escalón está?. –C. En el que sí. –E. Me tienes que decir el
número. –C. En el 7 (cuenta desde uno después de haberle dicho que tenía que contarlos todos). –E. El
osito está en el 3, ¿cuál es el 4?. –C. Este (señala 5). –E. ¿Por qué? –C. Porque sí. –E. ¿Cuál es el 2?. –C.
Este (señala 2). –E. ¿Cuál es el 4?. –C. Este (señala 4). –E. ¿Por qué? –C. Porque sí.
Is. (5,6)
1C3, 2C32, 3C32
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –I. En el 7. –E. ¿Por qué sabes que es el 7. –I.
Porque aquí hay poco (señala del 7 al 10) y aquí hay mucho (señala del 1 al 7). -E.Y ¿éste cuál es?
(coloca al osito en el 5). -I. Es el 5. -E. ¿Por qué?. -l. Porque aquí hay pocos (señala la parte de la escalera
que va del 1 al 5) y aquí muchos (señala del 5 al 10). -E. Y ¿éste cuál es? (coloca al osito en el 8).-I. El 8.
-E. ¿Por qué?. -I. Porque ahora aquí hay muchos (señala la parte de la escalera que va del 1 al 8) y ahora
aquí hay dos (señala el 9 y el 10). -E. Sí, pero me parece que tú has contado desde aquí (señala el 1).-I.
No, lo he visto porque aquí hay muchos (del 1 al 8) y aquí hay dos (señala el 9 y el 10). –E. El osito está
en el 7, ¿cuál es el 6?. –I. Este (señala 6). –E. ¿Por qué?. –I. Porque éste es el 7 (señala 7) y entonces éste
es el 6 (señala 6).
Clar. (5,7)
1C3, 2C32, 3C32
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –C. En el 7. –E. ¿Por qué sabes que es el 7?. –
C. Porque va detrás del 6. –E. El osito está en el 7, ¿Cuál es el 5?. –C. Este (señala 5). –E. ¿Por qué?. –C.
Porque éste es el 6 (señala 6) y éste es el 5 (señala 5). –E. ¿Y el 4?. –C. Este (señala 4). –E. ¿Por qué?. –
C. Porque va delante del 5 y éste es el 5 (señala 5).
Ari. (5,7)
1C3, 2C32, 3C32
-E. ¿Cuál es el 4?. –A. Este (señala 4). –E. ¿Por qué?. –A. Porque aquí hay dos (señala 1 y 2) y aquí hay
otros dos (señala 3 y 4), entonces este es el 4 (señala 4). –E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿cuál es el
8?. –A. Este (señala 8). –E. ¿Por qué?. –A. Porque detrás del 7 viene el 8. –E. ¿Y el 9?. –A. Este (señala
9). –E. ¿Por qué?. –A. Porque detrás del 8 viene el 9.
Ant. (5,9)
1C3, 2C31, 3C22
Cuenta correctamente después de varios ensayos. –E. Colocamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón
está?. –A. En el 5. –E. ¿Por qué?. –A. Porque el 4 está detrás del 5. –E. ¿Dónde está el 4?. –A. Este
(señala 5). –E. ¿Por qué sabes que ese es el 4?. –A. Porque antes lo he contado. –E. Cuéntalo de nuevo. –
A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3 y 4), 4 (señala 5), 5 (señala 6). – E. Entonces, ¿en qué escalón
está el osito?. –A. En el 5. –E. Venga, cuéntalo otra vez. –A. 1 (señala 1), 2 (señala 2), 3 (señala 3), 4
(señala 4), 5 (señala 5) y 6 (señala 6). – E. Entonces, ¿en qué escalón está el osito?. –A. En el 5. –E. ¿Por
qué?. –A. Porque come pan. –E. Olvídate del pan y dime en qué escalón está. –A. 1 (señala 1), 2 (señala
2), 3 (señala 3), 4 (señala 4), 5 (señala 5) y 6 (señala 6). – E. Entonces, ¿en qué escalón está el osito?. –A.
En el 6. –E. ¿Por qué?. –A. Porque lo he contado. –E. Colocamos al osito en el 4, ¿cuál es el 3?. –A. Este
(señala 3). –E. ¿Y el 5?. –A. Este (señala 5). –E. ¿Por qué? –A. Porque me sé todos los números. –E. ¿Y
el 7?. –A. Este (señala 7). –E. ¿Por qué? –A. Porque me sé todos los números. –E. ¿Y el 10?. –A. Este
(señala 9). –E. No. –A. Este (señala 10).
Mar. (5,9)
1C3, 2C32, 3C22
-E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?. –M. En el 6 (cuenta desde 1). –E. Este es el 7
(señala7), ¿cuál es el 8?. –M. Este (señala 8). –E. ¿Y el 9?. –M. Este (señala 9). –E. ¿Y el 10?. –M. Este
(señala 10).
Par. (5,11)
1C3, 2C31, 3C22
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
321
-E. Sentamos al osito aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?. –P. En el 5. –E. ¿Por qué?. –P. Porque cuento
en mi casa. –E. El osito está sentado en el 8 ¿Cuál es el 9?.-P. Este (señala 9). –E. ¿Por qué?. –P. Porque
cuento en mi casa.
Mab. (5,11)
1C3, 2C32, 3C32
-E. Colocamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. –M. En el 7.-M. ¿Por qué sabes que es el 7?.
–M. Porque lo he pensado. -E. ¿Lo has contado?. –M. ¡Sí, lo he contado!. . –E. Desde dónde has contado.
–M. Desde éste (señala 1). –E. Si el osito está en el 7 ¿cuál es el 8?. –M. Este (señala 8). –E. ¿Por qué?. –
M. Porque éste es el 1 (señala 1), éste es el 2 (señala 2), éste es el 3 (señala 3), éste es el 4 (señala 4), éste
es el 5 (señala 5), éste es el 6 (señala 6), éste es el 7 (señala 7) y éste es el 8 (señala 8). –E. Si, pero ¿has
tenido en cuenta que éste (señala 7) es el 7?. –M. No. –E. ¿Y el 9?. –M. Este (señala 9). –E. ¿Por qué?. –
M. Porque éste es el 7 (señala 7), éste es el 8 (señala 8) y éste es el 9 (señala 9).
Anexo 4.4. Categorización de las respuestas de cada uno de los niños en
la tarea 3: Secuencia Numérica/Alternancia.
De la transcripción global de las entrevistas, extraemos la parte correspondiente
a la tarea 3: Secuencia Numérica/Alternancia, que justifica la inclusión de las respuestas
de cada niño en una categoría determinada según la codificación y categorización
establecidas en la tabla S/A-1 del apartado 11.1 del capítulo
Secuencia Numérica/Alternancia. Clase de los 3 años
Pab. (3,1)
1S/A0, 2S/A0, 3S/A0
-E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –P. 1, 14. –E. El osito está aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –. P.
El 11. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?. –P. Silencio.
Lou. (3,3)
1S/A0, 2S/A0, 3S/A0
No contesta
Mar.( 3,3)
1S/A21, 2S/A1, 3S/A1
-E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –M. Silencio. –E. Tienes que decir los números al mismo tiempo, en el 1-sí, ¿en
éste? (señala 2). –M. No. –E. Pero, ¿cuál es?. –M. El 2. –E. ¿En éste? (señala 3). –M. Sí. –E. ¿Cuál es?. –
M. El 5. –E. El osito está aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –M. En el 8. –E. ¿Come?. –M.
No. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?, ¿cuál es el 4?. –M. No come, este es el 4 (señala
2).
Sal. (3,4)
1S/A21, 2S/A1, 3S/A1
-E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –S. No. –E. ¿Cuál es?. –S. El 2, en éste sí (señala 3). –E. ¿Cuál es?. –S. El 3-sí.
–E. ¿En éste?. (señala 4). –S. El 2-sí. –E. El osito está aquí (en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –S.
En el 3. –E. ¿Come?. –S. Sí. –E. ¿Por qué?. –S. Porque es muy bonito. –E. El osito está en el 3 y sí come,
¿come en el 2?, ¿cuál es el 2?. –S. Este (señala 5) porque tiene pan.
Luc. (3,9)
1S/A0, 2S/A0, 3S/A0
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
322
-E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –L. 1 (señala 1), 2 (señala 4), 3 (señala 5). –E. El osito está aquí (en el 3), ¿en
qué escalón está?, ¿come?. –L. Silencio. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?. –L. Silencio.
Ir. (3,9)
1S/A1, 2S/A1, 3S/A0
-E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –I.. 1-sí (señala 1), 4-no (señala 3. –E. Sentamos al osito está aquí (en el 3), ¿en
qué escalón está?, ¿come?. –I. En éste (señala 3). –E. Sí, pero ¿cuál es?. –I. No sé. –E. Es el 3, ¿Come?. –
I. No. –E. El osito está en el 3 y sí come, ¿come en el 4?, ¿cuál es el 4?. –I. Este (señala 1).
Mi. (3,10)
1S/A0, 2S/A0, 3S/A0
-E. Es en el 1-sí, 2-no,…. –M. Coloca al osito en el 1 y silencio –E. El osito está aquí (en el 3), si tú
empiezas a contar desde abajo ¿en qué escalón está?, ¿come?. –M. Aquí (señala 2). –E. El osito está en el
3 y sí come, ¿come en el 4?. –M. Silencio.
Nu. (3,11)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A31
-E. Es en el 1-sí, 2-n0,…. –N. En el 3-sí (señala 3), en el 4-no (señala 4), en el 5-sí, en el …(cuenta en voz
bajia 1, 2, 3, 4, 5, 6, mientras señala 6) 6-no,…(repite el proceso hasta 10). –E. El osito está en el 7 y sí
hay, ¿hay en el 8?, ¿cuál es el 8?. –N. Este (señala 8) porque después del 7 viene el 8. –E. ¿come?. –N.
No.
Secuencia Numérica/Alternancia. Clase de los 4 años
Fr. (4,0)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A31
-E. Y en el 2 ¿come?, ¿cuál es el 2?. -F. El 2 (señala 2). -E. Y qué pasa en el 2, ¿come?. -F. No. -E. ¿Por
qué?. -F. Porque lo he hecho y sé que en el 2 no hay. -E. ¿Y como lo has hecho? -F. En el 1 hay y en el 2
no hay. -E. El osito está en el 3 y sí come, ¿qué pasa en el 5?, ¿cuál es el 5?. -F. Este es el 5 (señala 5). -E.
En el 3 sí come ¿y en el 5?. -F. Sí . -E. ¿Por qué? -F. Porque lo he pensado. -E. ¿Cómo lo has pensado?.F. En el 4 no come y después del 4 viene el 5.
Adr. (4,1)
1S/A0, 2S/A0, 3S/A0
-E. En el 1-sí, en el 2-no,..venga sigue tú. –A. Silencio. –E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿en qué
escalón está?, ¿come pan ahí?. –A. Silencio. –E. En el 3, donde está sentado el osito hay pan, ¿en el 4,
hay pan?, ¿cuál es el 4?. –A. Sí
An. (4,3)
1S/A1, 2S/A1, 3S/A1
-E. Estás viendo la escalera y el pan en la escalera; me tienes que decir "el número de cada escalón y si
come o no come pan", "mira, este es el 1 -señala el primer escalón- y sí hay, entonces en el 1 sí come", y
así todos ¿vale?. -A. Silencio. -E. ¿Cuál es? (Señala 1). -A. El que come (está viendo el pan en ese
escalón). -E. Sí, aquí sí come (señala el 1), pero, ¿qué número es?. -A. El 3. –E. Al osito lo sentamos aquí
(en el 3), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –A. En el 5 porque come. –E. El osito está en el 3 y sí come,
¿come en el 4?, ¿cuál es el 4?. –A. Este (señala 5) porque hay comida. –E. ¿Y en el 5?, ¿cuál es el 5?. –A.
Este (señala 3) porque no hay comida.
Beg. (4,6)
1S/A0, 2S/A0, 3S/A0
-E. En el 1-sí, en el 2-no, …venga sigue tú. –B. Coge pan y lo pone en el 4. –E. Sentamos al osito aquí
(en el 4), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –B. En el que no había pan.
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
Pat. (4,6)
323
1S/A21, 2S/A21, 3S/A21
-E. En el 1- sí, en el 2- no, …-P. En el 4-sí (señala 3). -E. Ahora vamos a decirlo todo, decimos en el 1sí,....-E. Señala el 2.-P. El 2 no hay.. -E Señala el 3.. -P. El 3 sí hay. -E. Señala el 4. -P. duda pero
finalmente dice "en el 4 sí hay". -E. Señala el 5. -P. El 5 sí hay. -E. ¡Está (el osito) en el 6!. Ahora quiero
que me digas si en el 6 come pan o no come. -P. Sí -E. ¿Por qué?. -P. (No sabe qué contestar y quita el
trapo) ¡oh!, ¡No hay!. -E. El osito está en el 6 y no come, en el 7 ¿come?, ¿cuál es el 7?. -P. Este es el 7
(señala 7), y no se si come o no come. ¡No come! (quita ella misma el trapo y ve que sí come).
Nar. (4, 8)
1S/A21, 2S/A21, 3S/A1
-E. En el 1- sí, en el 2-no, …,venga sigue tú. -N. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 7-sí (señala 9). -E.
¿Este es el 7?. -N. ¿El 8? … -E. Venga empezamos de nuevo. -N. En el 1-sí, en el 2-no, en el 3-sí, en el 4no, en el 5-sí, en el 6-no, en el 7-sí, en el 8-no, en el 9-sí y en el 8-no (señala el 10)…. -E. Sentamos al
osito aquí (en el 3), ¿sabes en qué escalón está?, ¿Ahí come?. -N. Es el 3 y sí come. -E. ¿Por qué?. -N.
Porque me acuerdo. -E. ¿Y éste? (Señala 4), ¿come?. -N. Es el 4 y no come. -E. ¿Por qué?. -N. Porque me
acuerdo…. -E. El osito está en el 6 y no come pan, ¿qué ocurre en el 7?. -N. No come porque me acuerdo.
-E. Te recuerdo que en el 6 no come, ¿cuál es el 7?. -N. Este (señala 7). -E. ¿Come?. -N. Sí come porque
me acuerdo. -E. ¿Y en el 8?. -N. Sí porque me acuerdo.
Sal. (4,11)
1S/A22, 2S/A22, 3S/A22
-E. En el 1-sí, 2-n0, venga sigue tú. –S. 3-sí, en éste no (señala 4), en éste sí (señala 5),…-E. Sentamos al
osito aquí (en el 3), ¿cuál es?, ¿come?. –S. Es el 3 y sí come. –E. ¿Por qué?. –S. Porque sí. –E. Este es el
3 y sí come, en el 4 ¿come?, ¿cuál es el 4?. –S. Este (señala 4) y no come. –E. ¿Por qué?. –S. Porque sí.
Ver (4,11)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A31
-E. En el 1 no hay, en el 2...-V. En el 1 no, en el 2 sí, en el 3 no, en el 4 sí, en el 5 no, en el 6 sí, en el 7 no,
en el 8 sí, en el 9 no y en el 10 sí. - E. ¿Cuál es? (Señala 4). - V. Es el 4 y no hay. -E. ¿Cuál es? (Señala 5).
-V. En el 5 sí hay. -E. ¿Cuál es?( Señala 3), ¿Hay pan en ese escalón?. -V. Es el 3 y sí hay porque me
acuerdo. -E. Sentamos al osito aquí (en el 3), ¿Cuál es el 4?, ¿Hay pan en el 4?. -V.. Éste (señala 4) y sí
hay pan porque en el 3 no hay. -E. ¿Y en el 8? (Deja el osito en el 3 y recuerda que ahí no había).-V. En el
8 sí hay. -E.. ¿Por qué?. -V.. Porque en el 7 no hay.
Secuencia Numérica/Alternancia. Clase de los 5 años
Jav. (5,0)
1S/A22, 2S/A21, 3S/A21
-E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –J. ¿En el 7?. –E. Piénsalo. –J. El 6. –
E. ¿Por qué?. –J. Porque aquí está el pan (señala 6). –E. El osito está en el 6 y no come, ¿come en el 7?,
¿cuál es el 7?. –J. Este (señala 7), -E. ¿Come?. –J. Sí. –E. ¿Por qué?. –J. Porque sí.
Esp. (5,2)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A32
-E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 5), ¿qué número es?, ¿come?. –Es. Sí. –E. ¿Por qué?. –Es.
Entonces en el 5 sí (después de haber señalado el 1 y el 3). –E. El osito está en el 5 y sí come, en el 6
¿come?. –Es. No. –E, ¿Por qué?. –Es. Porque van de dos en dos. –E. ¿Por qué sabes que en el 6 no toca?.
–Es. Porque saltamos uno
Non. (5,2)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A32
-E. El osito está en el 7 y sí come. En el 8, ¿come?. -N. No come porque en el 7 sí come. -E. ¿Y en el 9?
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Fernández Escalona, C. Tesis Doctoral.
324
-N. Sí come porque en el 8 no come. -E. El osito está ahora en el 10 y no come. En el 9 ¿come?. -N. Sí
porque en el 10 no comía. -E. En el 6 ¿come?. -N. No come porque en el 8 no, en el 7 sí y en el 6 no.
Cri. (5,5)
1S/A3, 2S/A21, 3S/A21
-E. Es en 1-sí, en 2-no,, venga sigue tú. -C. En el 3-sí, en el 4-no, en el 5-sí, en el 6-no, en el 7-sí, en el 8no, en el 9-sí, en el 10-no. -E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?. ¿come?. -C. En el
sí. -E. En el 7 ¿come?.- C. No. -E. ¿Cómo averiguas si es que sí o si es que no?. -C. Que sí come..
Is. (5,6)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A32
-E. El osito se sienta aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –I. El 7 y sí come. –E. Y en el 4
¿come?, ¿cuál es el 4?. –I. Este (señala 4). En el 4 no come pero en el 5 sí. –E. En el 7 sí hay, en el 8
¿hay?, ¿cuál es el 8?. –I. Este es el 8 (señala 8) y no hay. –E. ¿Por qué?. –I. Porque en uno se come y en
otro no.
Clar. (5,7)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A31
-E. Colocamos al osito aquí (en el 7), ¿en qué escalón está?, ¿come?. –C. En el 7 y sí come. -E ¿Por
qué?. -C. Porque se tenía que poner en uno sí y en otro no. -E. Y ¿por qué ha tocado en ese que sí?. -C.
Porque en el 7 se tiene que poner pan. –E. En el 7 hay, ¿en el 6 hay?. –C. No porque no tenía
que haber un pan. –E. ¿Y en el 5?. –C. Sí porque en éste no come (señala 6) y en este come (señala 5).
Ari. (5,7)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A32
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿cuál es?, ¿come?. –A. El 7 y sí come. –E. En el 7 sí come, ¿come en
el 8?, ¿cuál es el 8?. –E. Este (señala 8) y no come. –E. ¿Por qué?. –A. Porque detrás del 7 viene el 8 y si
ponemos pan aquí (señala 7) en el otro no hay (señala 8).
Ant. (5,9)
1S/A22, 2S/A21, 3S/A21
-E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es?, ¿come?. –A. En el 6. –E. ¿Come?. –A. Sí. –E. ¿Por qué?. –
A. Porque hemos puesto. –E. Sabemos que el osito está en el 5 y que come pan, me tienes que decir qué
pasa en el 7, ¿cuál es el 7?. –A. Este (señala 7). –E. ¿Hay pan?. –A. No lo sé. –E. Lo puedes adivinar
sabiendo que en el 5 sí hay. –A. Sí hay.
Mar. (5,9)
1S/A22, 2S/A22, 3S/A22
-E. Sentamos al osito aquí (en el 6), ¿cuál es?, ¿come?. –M. Es el 6 (cuenta desde 1) y no come. –E. ¿Por
qué?. –M. Porque lo hemos puesto. –E. El osito está en el 6 y no come, ¿come en el 8?, ¿cuál es el 8?. –
M. Este (señala 8) y no come. –E. ¿Por qué?. –M. Porque no lo hemos puesto.
Par. (5,11)
1S/A22, 2S/A22, 3S/A22
-E. Vamos a sentar al osito aquí (en el 5), ¿en qué escalón está?, ¿hay pan?. –P. En el 5 y sí hay. –E. ¿Por
qué?. –P. Porque hay migas. –E. Sentamos al osito aquí (en el 8), ¿en qué escalón está?, ¿hay pan?. –P.
En el 8 y sí hay porque lo he puesto. –E. El osito está en el 5 y sí hay pan, ¿hay en el 6?, ¿cuál es el 6?. –
P. Este (señala 6) y no hay porque yo se que no hay.
Mab. (5,11)
1S/A3, 2S/A3, 3S/A32
-E. Sentamos al osito aquí (en el 7), ¿cuál es?, ¿come?. –M. El 7 y sí come. –E. ¿Por qué?. –M. Mira en el
1 come pan, en el 2 no y así. –E. Si el osito está aquí que es el 7 y sí come pan, qué pasaría si se va al 8
¿cuál es el 8?. -M. Este es el 8 (señala el 8) y no come pan. -E. ¿Por qué?. -M. Porque este es el 1 (señala
el 1) y sí come y éste es el 2 (señala el 2) y no come. -E. Sí, pero ¿has tenido en cuenta que en el 7, donde
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Anexos IV. Estudio Exploratorio Cualitativo
325
está el osito, sí come?. -M. No. –E .¿Y en el 9?. -M. Sí come.. -E. ¿Por qué?. -M. Porque éste es el 7
(señala 7), entonces este es el 8 (señala 8) y éste es el 9 (señala 9) y sí come
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ANEXOS V.
MODELO EVOLUTIVO DE COMPETENCIAS ORDINALES
Anexo 5.1. Sucesión de siguientes y encadenamiento aditivo.
Llamamos sucesión de siguientes a:
Una serie discreta y conexa que está generada por una relación asimétrica y
biunívoca, es una progresión en el sentido de Bertrand Russell.
Encadenamiento aditivo es relativo al proceso de ir añadiendo cada término en
la sucesión de siguientes, así, al mencionar un nuevo término se añade a la lista
de los ya mencionados, y este nuevo término se pone a continuación del último
término considerado hasta ese momento porque es el siguiente inmediato de éste
según la relación biunívoca que ha generado la sucesión de siguientes.
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ANEXOS VI. Estudio Empírico Cualitativo
Anexo 6.1. Trascripción de las entrevistas del estudio empírico
En las trascripciones de las entrevistas aparecen códigos y signos que debemos
aclarar:
•
•
•
•
••
•
•
Las intervenciones de la investigadora se marcan con la letra I y las del niño con
la letra N
Los asteriscos en las intervenciones de la investigadora indican que se inicia la
tarea asociada a un estado.
Las anotaciones del tipo (Ki) que aparecen en algunas intervenciones de la
investigadora significa que está planteando la situación i de la tarea asociada al
estado K
En algunas respuestas de los niños aparece entre paréntesis notas del tipo:
(Kim)1 que será el justificante de señalar en la tabla2 la celda de coordenadas (m,
Estado K, i)
En algunas respuestas aparece (KEtt), K indica el estado, Ett significa estrategia
seguida, siendo E fijo y tt variando de 11 a 55
g ) y (KEh
h ), con gg mayor que
Si para un niño y estado determinado aparece (KEg
hh, entonces consideramos que la estrategia usada en el estado considerado es la
mayor.
Igualmente predominará a sobre b en las situaciones 2 y 3 en cada uno de los
estados. Así, por ejemplo, si para un niño encontramos (III2b) en una
intervención y encontramos en otra (III2a), consideraremos que ha superado la
situación 2 de la tarea asociada al estado III.
Para facilitar la lectura y aunque ya se ha indicado en el apartado 6.3.2. del capítulo
VI, el comienzo de cada uno de las tareas asociadas a los estados en las entrevistas se
realiza de la siguiente forma por parte de la investigadora:
1
2
K representa el estado, i la situación de la tarea asociada al estado y m toma los valores a ó b
Nos estamos refiriendo a las tablas del apartado 9.1 del capítulo VI.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
Estado I.
I. Vamos a jugar con los Piolines, la escalera y el pan (señala cada uno de
esos objetos que se encuentran sobre la mesa). Todos los días los Piolines suben
por esta escalera para ir a su casa. Su mamá le ha dicho que coman pan en todos y
cada uno de estos escalones cuando van subiendo. Tú vas a ayudar a los Piolines a
obedecer a su madre, entonces tienes que colocar pan en todos los escalones
conforme se sube.
Estado II.
I. (Coge un Piolín va subiendo la escalera hasta dejarlo en el 5). Cuando
está aquí se come este pan. ¿Qué pan se comerá después de ese (señalando el
Piolín del escalón 5)?.
Estado III.
I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro)3. ¿Lo ves cómo está?
Es en uno sí y en otro no. Ponemos el pajarito aquí (5) porque hay pan. (Saca un
muro de cartulina para ponerlo en la escalera). Colocaremos este tabique aquí (lo
pone en la parte inferior de la escalera, en los escalones del 1 al 4 y tapando con
ello los trozos de pan que estaban en el 1 y el 3 de la vista del niño/a) para que
no veas tú si hay o no hay pan. Colocaremos esta otra pared aquí (pone otro muro
en la parte superior de la escalera, tapando los escalones del 7 al 10) para que tú
no veas si hay o no hay. Entonces, el pajarito está aquí (señala el Piolín que está
en el escalón 5) que sí hay pan (señala el pan). Ahora tienes que poner pajaritos
donde haya pan detrás de la pared.
Estado IV.
I. Ahora sólo la escalera, sin pan (quita los trocitos de pan y los
Piolínes). Colocamos a este Piolín aquí (en el 5), (pone un muro tapando los
primeros escalones) Lo hemos puesto en el número 5. Ahora tienes que colocar
tú un pajarito en el número N4.
Estado V.
I –(Sobre la escalera hay pan en uno sí y en otro no)5. Colocaremos de
nuevo los tabiques (en los tramos 1-3 y 7-10). También ponemos un Piolín en el
5, éste (5) es el número 5 y come pan (señala el pan), ¿en qué otro número
después del 5 come también pan?
Estado VI. –(Sobre la escalera hay pan y Piolín en uno sí y en otro no). La escalera
llega hasta el 10, y hemos visto en los números que se come. Ahora debemos
imaginar que la escalera es más larga y que después del 10 hay otro escalón que es
el 11, después otro que es el 12, otro el 13…¿Tú crees que en el T6 habrá pan?.
.
Las intervenciones de la investigadora para iniciar cada uno de los estados se
marcan con un asterisco. Debemos interpretar que estas intervenciones siempre se
3
El niño realiza la alternancia bajo la indicación de la investigadora: “El Piolín ya no come en todos,
ahora come en uno sí y en otro no y en el primero es que sí. Venga, colócalos así”. Tanto si la respuesta
es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado III. Si la respuesta ha sido correcta se considera
que ha superado la situación 2 de ese estado.
4
N es un número del tramo 5-10.
5
El niño realiza la correspondencia serial secuencia numérica/alternancia bajo la indicación de la
investigadora: “El Piolín come en uno sí y en otro no, 1-sí… Me tienes que decir los números en los que
hay pan.”. Tanto si la respuesta es acertada como si no se pasa a situación 1 del estado V. Si la respuesta
ha sido correcta se considera que ha superado la situación 2 de ese estado.
6
T es un número que la investigadora considera adecuado para realizar la entrevista según proceda,
normalmente toma valores entre 15 y 29
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
331
inician de la misma forma según los puntos dados anteriormente, por ello aparecen
puntos suspensivos antes de iniciar la frase en la trascripción.
Los Estados I y II se desarrollan mayoritariamente de la forma que a
continuación se expresa:
*I – … Ponles pan en todos los escalones,
conforme se sube. Un pan en cada escalón. (I1)
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 )
de la escalera. (I1a, IE4
*I – …. ¿Después de comerse éste (5), cuál se
come? (II1)
N – Señala el pan del escalón 6.
I –¿Y después de ese, cariño?
N – Señala el pan del escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 10. (II1a)
I – Ha ido subiendo y se ha puesto aquí (5),
entonces, ¿antes de comerse éste (5), antes, cuál
se había comido?.
N – Antes.... (se queda pensativo).
I – Iba subiendo. Justamente antes.
N – Ese ( Señala el pan del escalón 4.)
I – ¿Y antes?
N – Ese (señala el pan del escalón 3).
I – ¿Y antes?
N – Ese (señala el pan del escalón 2).
I – ¿Y antes?
44
N – Señala el pan del escalón 1. (II1a, IIE4
Ese es el motivo por el cuál en la trascripción se omite lo referente a los estados I y
II, exponiéndose, sólo, aquellos casos en los que se produce alguna variación.
6.1.1. Colegio Concertado Provincial Urbano R.
1)
Al. 5,8. Nombre: Alba. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Agosto.
I –¿Por qué, cuando va subiendo, se come éste
(6), después de comerse éste (5)? (IIE)
N – Porque va subiendo y está al lado
55 )
(IIE5
I –Ahora vamos a hacer otra cosa. (Va quitando
los trozos de pan y el Piolín) Entonces, ahora en
lugar de comer pan en todos los escalones, come
pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro
no. Y en el primero es que sí. Venga, colócalo.
N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9.
*I – …. Hay aquí un Piolín (pone un Piolín en
el escalón 5) porque aquí come pan, Ahora
tienes que poner Piolines donde haya pan (III1)
N – Pone un Piolín detrás del muro.
I – No, pero ponlo aquí delante, después lo
quitamos y vemos si hay o no.
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
I – En todos, cariño, en todos donde haya pan.
N – (Coloca Piolines en los escalones 7 y 3)
¿Aquí (9) es, no?
I – Tú lo pones y después... Si tú lo crees, pues
lo pones y después lo vemos.
N – Es que si éste está juntado... (III1a…)
I – Pues entonces, arréglalo.
N – Pone un Piolín en el escalón 9 y quita el del
escalón 10.
I – ¿Y por allí abajo, ya no hay más?
N – Pone un Piolín en el escalón 1y 3
I –¿Por qué pones éste (7) aquí? ¿Por qué
después de éste (5) que es donde hay pan, por
qué lo pones aquí (7), cariño?
(IIIE)
N – Porque me dijiste que uno sí y otro no, uno
sí. (Va señalando los escalones 5, 6 y 7)
I – (Quita los Piolines) Si coloco uno aquí (3)
¿Por qué come?
N – Porque...porque he contado y habías dicho
uno sí, otro no, otro sí. (Coloca los dedos en los
55 )
escalones 1, 2, 3 y 4)
(…III1a, IIIE5
I – Ahá, ¿y éste (5) aquí?
N – Porque aquí (4) venía que no en uno y aquí
tiene que venir. Aquí (6) viene que no, y aquí
(7) viene que sí, aquí (8) viene que no, aquí (9)
viene que sí, y aquí (10) viene que no.
55 )
(IIIE5
*I – … Está en el número 5, pon ahora otro en
el número 7.
(IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
(IV1a)
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7?
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332
N – Porque lo he pensado sin contarlo.
I – ¿Y cómo lo has pensado sin contarlo?.
N – Porque me he saltado uno (señala el
escalón 6) que era el 6 y éste (7) era el 7.
I –. Y ahora (coloca un muro tapando los
últimos escalones y quita el muro de abajo)
sabiendo que éste (5) es el 5, pon uno en el 3.
N – (Coloca un Piolín en el escalón 3) Lo he
contado pensándolo.
I – ¿Cómo lo has pensado, cariño?
N – Cuando lo has dicho lo he pensado
contándolo.
I – Pero, ¿cómo lo has...? ¿Cómo se piensa
contándolo que no lo sé?
N – Pues con... con el celebro. Y haces como si
estuvieras contándolo con los dedos, pero sin
verlo. Y viéndolo así, sin decirlo..
I –. Yo quiero saber si tú puedes adivinarlo
sabiendo que este es el 5 ¿comprendes?
Empezando por el 5. ¿Cómo lo puedes hacer?
N – Si es que desde aquí yo (5) he pensado, he
ido bajando y he visto el 3 y lo he puesto.
55 )
(IVE5
I – Ahora vamos a hacerlo con Piolines, pan y
números, ¿de acuerdo? (Quita todo de la
escalera) Entonces, venga, como antes, pon pan
en un escalón sí y en otro no.
N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9.
I –. Ahora, vas a ir colocando los Piolines y me
vas a decir en qué números lo vas colocando
para que coma. Tienes que colocar los Piolines
donde hay pan.
N – En el 1 (coloca un Piolín en el escalón 1),
en el (coloca un Piolín en el escalón 3). En el
5 (coloca un Piolín en el escalón 5). En el 7
(coloca un Piolín en el escalón 7). En el 9
(coloca un Piolín en el escalón 9).
*I – … Alba, mira, en el 5 hay pajarito porque
hay pan. ¿Después del 5 en qué número hay
también pan?
(V1)
N – En el 7 (coge un Piolín y lo coloca en el
escalón 7).
(V1a)
I – En el 7 hay pan, ¿en el 9 hay pan?
N – No, ay, sí .
I – ¿Cuál es el 9, cariño?
N – (Coge un Piolín y lo coloca en el escalón
9).
I – ¿Y hay pan?
N – Si.
I – ¿Por qué?
N – Porque hay en uno sí y en otro no, en uno
sí.
I – Ahá, ¿ por eso hay en el 9? ¿Y en el 9, por
qué le ha tocado que hay pan?
N – ¿Qué?
I – En el 7 hay pan. Éste (7) es el 7. ¿Por qué en
el 9 le ha tocado que hay pan?
N – Porque me he acordado. Y también aquí
había pan, ... en uno sí y en otro no, en uno sí...
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Y otro no, muy bien. Ahora, en el 5 hay
pan, ¿hay pan en el 3?
N – ¿En el 3?
I – ¿Cuál es el 3?
N – (Piensa en silencio moviendo la cabeza
como si contara.) Sí hay. (Coloca un Piolín en
el escalón 3)
I – ¿Y en qué otro número hay pan?
N – En el 1.
I –. (Pone los muros, tapando los escalones a
partir del 2) Ahora, aquí así, ¿vale?. Entonces,
mira, en éste (9) ¿qué número es?
N – 9.
I – 9. ¿Por qué sabes que éste es el 9?
N – Porque aquí (10) falta uno que es el 10 y
éste el 9.
I –. Entonces, en el 9 hay pan, ¿qué número,
bajando la escalera, qué número viene ahora
para que haya pan?
N – Coloca un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 7.
I – ¿Y por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque baja un escaloncito que era el 8 , y
ahora viene también el 5 (va bajando un Piolín
por la escalera desde el 8 y lo coloca en el
44 )
escalón 5).
(VE4
I –Sí, ¿por qué sabes que ese es el 5?
N – Porque también igual que antes, porque voy
bajando.... Y también aquí (coloca otro Piolín
en el escalón 3).
I – ¿Que ese qué número es?
N – 3.
I –. (Quita los muros) Ahora, dime en qué
números hay pan y Piolines, ya para terminar.
N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9.
I – Muy bien, entonces, tú te imaginas ahora
que esta escalera es más larga, más larga, más
larga, sube, sube, sube, sube, sube, sube ... y
llega muy lejos y hay muchos números, porque
la escalera sube. Aunque tú no la veas, pero
como tú es que lo sabes todo tan bien porque lo
piensas, ¿a que tú te imaginas que la escalera es
más larga para que los Piolines, pongamos
muchos Piolines?
N – Sí, lo que pasa es que no se pueden poner
porque se caen.
I – Se caen, pero tú te lo imaginas en tu cabeza.
N – Vale.
[...]
I –Ahora, tú, como la escalera es más larga, más
larga, más larga... Tú piensa ahora en un
número después del 20 que sí coma.
N – En el ... ¿22?
I – En el 22, ¿crees tú que sí come pan?
N – ¿En el 21.
I – ¿En el 21 por qué?
N – Porque ..., no, en el 22 no, en el 21
I – ¿Tú cuál crees? Si tú dices el 22, ¿por qué?
¿Por qué dices que es el 22?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Porque me salto el 21.
I – ¿Y por qué te lo has saltado el 21?
N – ¿Te doy un Piolín?
*I – Sí, no, es que te lo tienes que imaginar.
Igual que tú contaste aquello sin tocarlo, porque
lo pensaste con tú cabeza. Ahora te lo tienes que
imaginar la escalera mucho más larga y cuando
llegamos al 20... Aquí (10) hemos llegado al 10,
el 11, el 12, el 13, el 14, el 15, el 16, el 17el 18,
el 19 y el 20. Cuando lleguemos al 20, en el 20
¿habrá pan o no? (VI1)
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Sí, sí, sí.
I – ¿Por qué?
N – Por ... porque en el 20 hay pan ...hasta el
22... Entonces en el 20 y el 22... (VI1b)
I – Mira Alba, vamos a empezar por números
más pequeños, aquí (9,) que es el 9, come, ¿en
qué otro número después de éste comería si la
escalera fuese más larga?
N – Aquí (pone un Piolín detrás de la escalera).
I – Sí, pero ¿ese qué número sería?
N – El 11.
(VI2a)
I – El 11, muy bien. ¿Y después?
N – El 13.
(VI3a)
I – ¿Y después?
N – El 15.
I – Ahá, ¿y por qué sabes que en el 15 come?
N – Porque me he saltado uno.
2)
333
I – Te saltas uno, muy bien. ¿Y después del 15?
N – 17.
I –Entonces en el 17 come. En el 20 ¿hay?
(VI1)
N – Porque hay... En el 20...
I – ¿En el 20 qué?
N – Porque en el 20 hasta el 21, ...en el 20 hasta
el 22... En el 20 hay pan y en el 22 también.
I – Pero, ¿por qué? ¿Tú no lo puedes pensar
viendo esto (señala la escalera con los Piolines)
que hay pan en el 1, en el 3,... y así.
N – Porque en el 20 ...., porque en el 15 y en el
20 ... , y yo me imagino que en el 20 hay pan.
(VI1b)
I – Te lo imaginas.
N – Yo creo que en el 20 hay pan.
I – ¿Por qué?
N – Porque dijiste vamos al 20.... hay pan y
después me he pasado el 21 y me voy al 22........
I – Venga. ¿Y entre el 45 y el 50 hay pan? Dime
los números que sí puede haber pan.
N – Si no quedan más Piolines. (Enseña la caja
vacía)
I – No quedan más, pero tú te lo imaginas,
tampoco quedan más escalones
N – El cua... el cincuenta... ¿El 52?
I – No. Bueno, ya está Alba, porque como todo
lo has hecho tan bien, lo vamos a dejar, ¿vale?
Di adiós Alba a la cámara.
N – Adiós.
Em. 5,4. Nombre: Emilio. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Diciembre.
I.-¿Por qué cuando va subiendo, después de
comerse éste (5) se come éste (6)? (IIE)
55 )
N – Porque de abajo-arriba.
(IIE5
I –Ahora, Emilio, ya no come pan en todos los
escalones, porque ya el Piolín pues se ha
hartado de comer pan. Ahora, mira lo que hace,
(va quitando todo de la escalera) va a comer
pan en un escalón sí y en otro no, es en uno sí y
en otro no, y en el primero sí come. Venga,
coloca tú el pan en uno sí y en otro no.
N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3,
5, 7 y 9.
*I – … Aquí (5) hay pan y tú lo estás viendo,
entonces, ponemos un Piolín porque aquí (5)
hay pan, pon Piolines en los demás sitios donde
sí hay pan.
(III1)
N – ¿Dónde hay más?
I – Pon Piolines. Están aquí (señala los muros),
acuérdate de que yo he puesto esto, pero que el
pan siguen ahí, ahora después lo quitamos para
ver si lo has adivinado.
N – Pone Piolines en los escalones 9 y 7. Y
pone otro en el escalón 2, pero lo cambia al 1.
(III1a)
I – ¿Y ya no hay más? ¿Por aquí en medio
(señala los escalones que quedan en medio de
los escalones 1 y 5) ya no hay más?
N – ¿Dónde? (Se encoge de hombros)
I – ¿Seguro?
N – ¡Ay! (Pone un Piolín en el escalón 3)
(III1a)
I – Has puesto éste aquí (7), ¿por qué has puesto
éste (7) aquí?
N – Porque aquí (6) no hay pan y aquí (7) sí.
44 )
(IIIE4
I – (Quita los muros) Sí lo has adivinado. Ahora
vamos a hacer esto (pone el muro inferior), lo
vamos a poner en otro sitio porque tú no lo vas a
ver, ¿vale? (Quita los Piolines de la escalera y
pone el otro muro tapando los trozos de pan de
los escalones 5 y 7) Venga, ahora, pon Piolines
donde haya pan.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – No, espérate. Aquí (9) ponemos un Piolín
porque aquí estás viendo el pan. Cuando va
bajando, después de éste, ¿dónde tienes que
poner pan?
N – Aquí (señala el escalón 8).
I – Después de éste (9).
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334
N – Digo, aquí (señala el escalón 7).
I – Venga, ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Por qué sabes tú que ahí sí tienes que poner
pan?
N – Porque hay pan y aquí no.
I – ¿Y después?
N – Pone Piolines en los escalones 5, 3 y 1.
I – Emilio, mira (quita los Piolines), si yo
coloco aquí un pajarito, si yo lo pongo aquí (4),
¿tú crees que va a comer pan el pajarito?
N – No.
I – ¿Por qué sabes que no?
55 )
N – Porque ha cogido 4 escalones. (IIIE5
I – ¿Y por qué si ha cogido 4 escalones no
come?
N – Porque no hay pan.
I – (Levanta el muro inferior, quita los Piolines
y corre el muro superior unos escalones hacia
arriba). Aquí (5) hay un pajarito y lo pongo, ¿lo
ves? porque hay pan. ¿Si yo pongo aquí (8) un
pajarito, tú crees que va a comer ahí pan?
N – No, no.
I – ¿Por qué?
N – Porque no tiene pan ahí.
I – ¿Y por qué sabes tú que no?
N – Porque ha cogido cuatro escalones.
I – ¿He cogido cuatro? ¿Dónde están los
cuatro,?
N – 1, 2, 3 y 4 (señala los escalones 5, 6, 7 y 8).
I – ¿Y siempre que cojo cuatro no?
N – No.
I –Y si lo pongo aquí (9), ¿aquí va a comer?
N – (Se encoge de hombros) No.
I – ¿Por qué?
N – Porque ha cogido muchos escalones. Ha
cogido 1, 2, 3, 4 (señala los escalones 6, 7, 8 y
9)
I – ¿Y por eso no va a comer?
N – Porque tenías que ponerlo aquí (10).
I – Pero si aquí no hay (recorre todo el escalón
10 con el dedo).
N – Es verdad.
I – Yo veo que aquí ya no hay. ¿Entonces, qué?
N – Está bien.
I – ¿Está bien puesto? (Levanta el muro
superior) Muy bien, perfecto. Ahora, lo vamos a
poner aquí (pone el Piolín que estaba en el
escalón 9 en el escalón 3). Aquí hay un pajarito
(baja el muro superior unos escalones, dejando
ver el pan del 9). ¿Tú crees que ahí hay pan?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque ha cogido dos escalones.
I – ¿Qué dos?
N – Uno, que diga. Ha cogido uno, éste (2).
Porque aquí no había pan.
I – ¿No? ¿Y dónde más había pan?
N – Aquí (9), también aquí (5) y aquí (7).
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Vale, mira, ¿lo ves? (levanta el muro
inferior). Sí lo has adivinado, un pajarito y hay
pan. Muy bien. Ahora, yo sé que aquí (3) hay
pan, me lo has dicho (pone un trozo de pan).
Aquí hay pan, si yo cojo y pongo aquí (6) el
pajarito, ¿comerá pan?
N – Dice no con el dedo.
I – ¿Por qué?
N – Porque ha cogido dos escalones.
I – ¿Y cuántos tengo que coger para que coma?
N – Uno.
(IIIE5)
*I –....Está en el 5. Coloca ahora otro en el
número 7.
(IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
(IV1a)
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7,?
N – Porque éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7.
I –Ahora (coloca el muro tapando los escalones
a partir del 5), coloca otro en el número 3. Éste
(5) es el 5, piensa uno en el 3.
N – Coloca un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 3?
N – Porque hay dos escalones.
I – Muy bien, ahora (quita los Piolines
colocados en el 3 y el 5 y pone el muro a partir
del escalón 7) ese (7) ¿en qué escalón está?
¿Hemos dicho? ¿Este pajarito en qué escalón
está?
N – En el 7.
I –Éste (7) está en el 7 y sabiendo que éste está
en el 7 se tiene que poner en el número 5. Coge
otro y lo pones en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – ¿Por qué sabes que es el 5?
N – Porque he cogido un nu... un escalón
55 )
(señala el escalón 6).
(IVE5
I – ¿Sí? Has cogido un escalón ¿y qué pasa?
N – Que ese es el número 5 ese.
I – Que ese es el número 5, ¿no? ¿Y por qué
sabes que ese es el número 5?
55 )
N – Porque ese es el 6. (IVE5
I – Ah, estupendo. Ahora, éste (7) es el 7, tienes
que poner...Éste va aquí otra vez (pone el Piolín
del escalón 5 en la caja). Y tienes que poner
otro en el número 3.
N – Coloca un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Y por qué sabes que ese es el número 3?
N – Porque aquí hay dos escalones (señala los
escalones 1 y 2).
I – Sí, pero yo quiero que tú me lo digas
sabiendo que éste es el 7.
N – Porque ha cogido tres escalones (señaliza
tres con los dedos, 4, 5, 6).
I – ¿Y cuáles son los que ha cogido?
N – Porque aquí (señala los dos primeros
escalones) hay dos y si ponemos tres aquí
(señala los tres primeros escalones), y tres aquí
(señala tres escalones por encima del Piolín)
pues son 6
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Ahora vamos a hacerlo, como tú te sabes
todos los números…
N – Me sé hasta el 100.
I – ¡Anda! Entonces, ahora tienes que poner pan
igual que antes, en uno sí y en otro no.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7 y 9.
I –Ahora coges pajaritos y me vas diciendo los
números en los que los pone.
N – El 1, éste es el 3, éste es el 5, éste es el 7 y
éste es el 9. (Va poniendo Piolines en los
escalones que nombra)
I – Muy bien, entonces ahora ya sabes en los
números que hay pajaritos, ¿de acuerdo? Pues
entonces, vamos a hacerlo como que antes pero
me tienes que ir diciendo los números, ¿sí?
(Quita los Piolines, menos el del escalón 5 y
pone los muros) Mira, dejamos el pajarito en el
número 5
N – 1, 3, 5...
*I – En el número 5 hay pan, ¿En qué número
después del 5 hay pan? (V1)
N –En el 7
(V1a)
I – Eso es, entonces, ahora, en el 5 hay pan, ¿en
el número 8 come pan?
N – No. (V1a)
I – ¿Y por qué sabes que no hay pan?
N – Porque no hay pan.
I –En el 5 sí hay. ¿Hay en el 8?
N – No, no.
I – ¿Por qué?
N – Porque aquí, ... Porque ha cogido uno
(señala del 7 al 8). Así que lo quitamos. (Quita
55 ).
el Piolín del escalón 8) (VE5
I – Y dime ahora los números en los que sí hay
pan, otra vez me lo dices.
N – En el 1, en el 3, en el 5, en el ... en el 7 y en
el... 9.
*I –. ...Ahora quiero que me digas los números
en los que come pan, que están entre el 30 y el
40. Los números que van del 30 al 40 en los que
sí come pan.
N – Elllll 31.
(VI1a)
I – ¿Por qué en el 31, cariño? ¿Por qué en el 31
come pan?
N – Porque hemos cogido,... Porque si lo pones
en el 30 no come.
I – ¿Por qué?
N – Porque no está el pan.
I – ¿Y por qué sabes tú que no está el pan?
N – Porque... porque, ...a ver, ...porque en el 30
no puede estar el pan.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque ha cogido un escalón.
I – ¿Qué escalón?
N – Pues, el 30.
I – Entonces, en el 31, ¿y en cuál más? Desde el
30 al 40.
N – En el 33, ...33, 35, 37, 39.
I – Muy bien, ¿y en el 40 come?
335
N – Noo.
I – ¿Por qué?
N – Porque hemos cogido un escalón y no hay
pan... y es en el 40.
I – Ah. Y ahora, entre el 51 y el 60.
N – Entonces, 53...
I – ¿Y en el 51?
N – En el 51 y 53.
I – Pero, ¿en el 51 come?
N – Síí.
I – ¿Por qué?
N – Porque ha cogido un escalón y lo ha puesto
en el otro.
I – ¿Y por qué en el 51 sí?
N – Porque ...
I – ¿Podría ser que no?
N – Si estaba en el cuarenta...., no, en el ...49,
pues ahí come y después en el otro no come.
I – Pero, ¿por qué sabes tú que en el 49 sí
come?
N – Porque....Porque ha cogido dos escalones
55 )
del 17 al 19.
(VIE5
I – Del 17 al 19. Bueno, ahora dime del 66 al 73
los que comen. ¿En el 66, come?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 65 come y en el 66 no, en el
67 sí.
I – Pero, ¿tú por qué sabes que en el 65 es que
no?
N – En el ...sí, sí.
I – Ah, en el 65 es que sí, ¿por qué los sabes?,
es verdad.
N – Porque del 3 al , digo del 63 al 65 come.
I – Y..¿Tú sabes si come en el 92?
N – No.
I – ¿No come en el 92? ¿Por qué, vida mía?
N – Porque ha cogido uno, ...¿en el 42 has
dicho?
I – En el 92.
N – Porque tenía que comer en el 93.
I –¿Por qué sabes tú que en el 93 sí?
N – Porque del 91 al 93 se come.
I – Muy bien. ¿Y en el 46, come?
N – ¿En el 46? Noo.
I – ¿Por qué?
N – Porque ...porque.... porque tendría que
coger un escalón y después al otro, coger un
escalón y 1 y 2.
I – ¡Oy, qué bien sabe! Sabes bien, bien, bien,
¿eh? Emilio. Muy bien. ¿Y tú sabes decirme
desde el noventa y...desde el 83 hasta el 91 en
los que come? Desde el 83. ¿En el 83 come,
cariño?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque ha cogido dos escalones
I – Venga, dime en todos los que come. En el 83
sí, ¿después?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
336
N – En el 85 sí, en el 87 también, en el 89
también, en el 91 también, en el 93 también, en
el 95 también, en el noventa y ..., a ver, en el 97
3)
también, en el 99 también, en el noventa
y....noventa y.. también come.
I – Muy bien, bien y bien, Emilio. Bueno, di
adiós.
El. 6,2. Nombre: Elena. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Febrero.
I –. ¿Por qué después de comerse éste (5), se
come éste (6)?
N – Porque está al lado, este (5) y este (6)
55 )
(IIE5
I – (Quita todo de la escalera). Ahora, el Piolín
ya no come pan en todos los escalones, come
pan en uno sí y en otro no, y en el primero es
que sí. Venga, ponlo.
N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5 , 7 y
9.
*I – … Pon Piolines en los sitios que sí hay
(III1)
N – Pone Piolines en los escalones 9, 7, 3 y 1.
(III1a)
I –.¿Por qué lo has puesto aquí (7)?
N – Porque aquí era uno sí, uno no, uno sí, uno
no, uno sí, uno no, uno sí, uno no y uno sí. (va
señalando los escalones del 1 al 9).
33 )
(IIIE3
I –. (Levanta los muros) Mira, ¿Ves como eres
maga? Porque tú tienes el truco para adivinarlo,
uno sí y otro no, pues lo adivinas. (Coloca de
nuevo los muros). Ahora yo coloco éste aquí (8)
¿el Piolín comería pan?
N – (Se queda un momento callada pensando)
No.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque ahí no creo que haya pan.
I – ¿Por qué crees tú que no?
N – Porque era uno sí, uno no, uno sí, uno no,
uno sí, uno no, uno sí y uno no (va señalando
los escalones desde el 1 al 8).
I – (Levanta el muro superior), ahí no come
pan, perfecto. Y si yo lo pongo aquí (2), ¿come
pan?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque aquí es uno sí (1) y uno no (2).
I – Entonces, ahora (pone los muros juntos y
dejan a la vista a partir del escalón 8) yo voy a
poner aquí (9) el Piolín, ahí sí come pan. Si yo
pongo aquí (4) un Piolín, ¿come pan?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque come en uno sí y uno no, uno sí y
uno no
*I – El 5, muy bien. Entonces, éste (5) es el 5,
perfecto. (Coloca un muro tapando los primeros
escalones) Si tú sabes que éste es el 5, coloca
otro en el 7.
(IV1)
N – Coloca un Piolín en el escalón 7.
(IV1)
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque aquí es el 1, aquí el 2, aquí el 3, aquí
el 4, aquí el 5, aquí el 6 y aquí el 7 (va
señalando por el borde de la escalera los
33 )
escalones correspondientes).
(IVE3
I –.. (Quita el Piolín del escalón 7) Coloca
ahora otro en el 8.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Por qué sabes que ese es el número 8?
N – Porque éste es el 1, éste el 2, éste el 3, éste
el 4, éste el 5, éste el 6, éste el 7 y éste el 8 (va
señalando por el borde de la escalera los
escalones correspondientes).
I –Mira, hay uno en el 5, ¿vale? Coloca ahora
uno ... (pone el muro delante de la escalera
como queriendo tapar los primeros escalones).
Éste es el 5. Coloca ahora uno en el 9
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 9?
N – Porque éste es el 1, éste el 2, éste el 3, éste
el 4, éste el 5, éste el 6, éste el 7, éste el 8 y éste
es el 9 (va señalando por el borde de la
escalera los escalones correspondientes).
I – (Quita todo de la escalera) vamos a hacer lo
mismo que hicimos antes, pero con números y
panes, ¿vale?. Vamos a poner pan en uno sí y en
otro no.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7 y 9.
I –Ahora ponemos los Piolines donde hay pan,
pero decimos los números en los que sí come
pan, ¿vale? Venga, ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – Tienes que decirme el número.
N – El 1, el 2 (pone un Piolín en el escalón 3).
I – No, el número en el que hay, el 2....¿por qué
ese es el 2, cariño?
N – El 3, porque éste (1) es el 1, éste (2) el 2
que no hay pan y éste es el 3.
I – Venga, ahora venga, sigue.
N – Éste el 5, el 7 y el 9 (coloca Piolines en los
escalones correspondientes).
I –Ya lo has puesto todo en los números en los
que sí hay pan. Dilos otra vez, cariño
N – 1, 3, 5, 7, 9 (va señalando los Piolines de
los escalones que va nombrando el número).
*I – … Éste es el 5 y hay pan, ¿en qué número
viene después del 5 hay pan?
(V1)
N – 7. (V1a)
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Muy bien, pues colócalo, cariño.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – En el 3, ¿hay pan?
N – (Se queda un momento pensativa, mirando
a la escalera como si contara) Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque éste (1) es el 1 hay, éste (2) el 2 y no
hay, éste es el 3 y sí hay.
I – Pues ponlo, cariño.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Qué número viene después del 7 en el que
sí hay pan?
N – El 9. (Pone un Piolín en el escalón 9).
I – ¿Y qué número hay antes del 3 en el que sí
hay pan?
N – El 1. (Pone un Piolín en el escalón 1).
I – (Quita los Piolines, menos el del escalón 5).
Éste (5) es el 5, yo quiero que sepas que éste es
el 5 y que hay. Aquí (coloca un Piolín en el
escalón 8), ¿qué número es? Y ¿come o no
come?
N – (Se queda pensativa) No come.
I – ¿Por qué?
N – Porque éste (1) sí, éste (2) no, éste (3) sí,
éste (4) no, éste (5) sí, éste (6) no, éste (7) sí y
33 )
éste (8) no.
(VE3
I – Y ese qué... Pero, ¿qué número es?
N – El 8.
I – El 8. Vamos a colocar esto aquí así (pone los
muros juntos y deja a la vista los escalones del
8 en adelante,) ¿de acuerdo? Aquí así y quiero
que me digas (cambia el Piolín del escalón 8 al
6) éste qué número es y si hay o no hay.
N – El 6.
I – ¿Y hay?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque éste (1) sí, éste (2) no, éste (3) sí,
éste (4) no y éste (5) sí y éste (6) no.
I –¿En el 7 hay?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque es en éste (1) sí, éste (2) no, éste (3)
sí, éste (4) no, éste (5) sí, éste (6) no y éste (7)
sí.
I – Mira, éste es el 9. Éste es el 9 y sí hay, ¿en el
4 hay?
N – (Se queda callada mirando la escalera un
momento) No.
I – ¿Por qué?
N – Porque éste (1) hay, éste (2) no, éste (3) hay
y éste (4) no.
I – Muy bien, entonces ya lo sabes. Ahora, mira
(quita los muros), vamos a hacer ya lo último
para no cansarte, cariño, Elena, porque lo estás
haciendo tan bien... Vamos a poner el pan y los
Piolines en los sitios correspondientes porque
los Piolines son tus amiguitos, tú le has puesto
el pan para que se lo coman (coloca Piolines
donde hay pan, los escalones 1, 3, 5, 7 y 9).
337
Mira, aquí están todos los Piolines, mira la
carita que tiene el Piolín tan bonita. Dime otra
vez en los números que sí hay pan.
N – El 1, el 3, el 5, el 7 y el 9 (va señalando los
Piolines).
I –. Ahora, Elena, mira, la escalera llega hasta
aquí (10), éste es el 10. Éste (9) es el 9 y éste
(10) es el 10, pero tú te imaginas... Tú en tu
cabecita, te imaginas, cierras los ojitos y te
imaginas que esto es más laaaaaarga, más alta,
más alta, más alta y llega muy lejos. Que
después está el 11, el 12, el 13, el 14, el 15, el
16, así llega hasta el 100, ¿vale? Aunque tú no
la veas, pero tú te la imaginas más larga, más
larga, más larga, ¿vale? ¿Te la imaginas? ¿Vale?
N – Sí.
I – Entonces yo quiero que tú me digas si
después del 9, ¿en qué número come pan?
N – El 9....... En el 11.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque hay, no hay, hay, no hay, hay, no
hay, hay, no hay, hay, no hay y el otro es hay
(va señalando los escalones desde el primero
hasta el imaginario 11).
I – Y el otro ya era el 11, ¿no? ¿Y después del
11?
N – El 12, pero no hay.
I – Entonces, ¿en qué número hay después de
11?
N – El 13.
I – ¿Y después del 13 en qué número hay?
N – El 14.
I – No. En qué número hay pan, no que número
viene después del 13, sino qué número hay pan.
N – (Se queda pensativa un momento en
silencio) El 15.
I – Y después del 15, ¿en qué número sí hay
pan?
N – El 17.
I – Y después del 17, ¿en qué número hay pan?
N – En el 19.
I – Muy bien. ¿Y después del 19 en qué número
hay pan?
N – (Se queda pensativa un momento en
silencio) En el 21.
(VI2a, VI3a)
*I –Entonces, ahora, Elena, dime desde el 45,...
¿en el 45 come? (VI1)
N – (Se queda un rato en silencio pensando.)
I – ¿Cómo lo estás pensando? ¿Contando desde
el 19?
N – Es que ....(se pone la mano en la cabeza
pensativa).
I – ¿Qué has empezado desde el 1?
N – Porque es que como...
I – ¿Qué has empezado desde el 1 a contar? En
el 1, en el 3,... ¿todo eso?
N – Y si no, ¿cómo?
I – Si no, no sabes, ¿no? ¿Y por dónde ibas ya?
N – Por el 40.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
338
I – ¿Y en el 40 qué te había salido, qué sí o que
no?
N – No me acuerdo. (Se queda pensando y se le
escucha como murmurando números)
I – Bueno, ya está, Elena, no lo pienses más, te
voy a decir otros numeritos más fáciles, ¿vale?
¿En el 21 come? ¿Come en el 21?
N – (Se queda callada pensando) ¿De cuánto
era?
I – Del 21 ¿o antes?
N – Sí, del 21. (Se vuelve a quedar por un buen
rato callada y pensando) ¿Qué era del 15?
I – Sí.
N – (Se queda de nuevo pensando en silencio)
Sí hay.
I – ¿Sí? ¿Por que lo has pensado desde el
principio o cómo?
N – Porque mira, 1 hay, 2 no hay, 3 hay, 4 no
hay, 5 hay, 6 no hay, 7 no hay (dice no con la
4)
cabeza), 7 hay, 8 no hay, 9 hay, 10 no hay (va
señalando con el dedo los escalones y vuelve a
empezar por el primer escalón cuando nombra
el 11), 11 hay, 12 no hay, 13 hay, 14 no hay, 15
hay.
I – Si yo te digo ahora, en vez del 15, en el 23,
¿lo piensas otra vez igual? Piénsalo señalando
la escalera como antes otra vez.
N – Voy a contarlo otra vez (Va señalando los
escalones 1, 2 y 3) 4, 5, 6. Y otra vez 7, 8, 9. 10,
11, 12. 13, 14, 15. 16, 17, 18. 19, 20, 21. 22, 23.
I – Y si te hubiera dicho 25, ¿qué hacías, desde
dónde contabas?
N – 25.... (Cuenta hasta el 25 señalando sólo
los 5 escalones primeros una y otra vez.
I –, Elena, ya lo has hecho todo muy bien.
Adiós.
Ol. 5,3. Nombre: Oliva. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Enero.
I –¿Por qué después de comerse éste (5) se
come éste (6)?
N – No lo sé.
I – (Va quitando
todo de la escalera).
Entonces, ahora el Piolín en vez de comer pan
en todos los escalones come pan en uno sí y en
otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? Y en el
primero come. Entonces, venga, ponlo, cariño.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7 y 9.
*I – … ¿Después de éste (5) dónde colocamos
un Piolín para que coma pan?
(III1)
N – Intenta mirar detrás del muro.
I – No, no lo veas, tú lo tienes que adivinar
pensando.
N – No lo sé.
I – ¿No? ¿No lo sabes?. Si yo pongo aquí (pone
un Piolín en el escalón 8) un Piolín, ¿aquí come
pan? ¿Tú crees que detrás de la pared hay pan?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué? Aquí (5) hay pan. ¿Tú crees que
ahí come el Piolín pan?
N – No lo sé.
I – ¿Y lo puedes adivinar? ¿Tú te acuerdas
cómo lo pusimos el pan? En uno sí y en otro no.
N – Ya s´.
I – ¿Te acuerdas, no? Entonces, aquí (5) hay
pan, ¿tú crees que aquí (8) va a comer pan el
Piolín? ¿Ese Piolín comerá pan?
N – No lo sé.
I – No lo sabes, pero tú eres una maga, tú lo
puedes pensar y adivinarlo. ¿Tú crees que sí o
no?
N – Que no.
I – ¿Qué no? ¿Que no lo sabes o que no come?
N – Que no come.
I – ¿Por qué?
N – No lo sé.
I – ¿No lo sabes? (Levanta el muro superior)
Pues es que no come. Lo has adivinado, aunque
no sabes por qué pero es así. Bueno, entonces
ahora nosotros ...(quita el muro inferior) Esto
no lo ves (señala la parte de arriba de la
escalera), pero esto (la parte inferior) sí lo ves,
¿vale?. Entonces hay pan y hay Piolín (pone
Piolines en los escalones 1 y 3), ¿Dónde
colocamos Piolín para que coma?
N – No lo sé.
I – ¿No lo sabes? ¿Lo colocamos aquí (señala
el escalón 6)? ¿Aquí come?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Y aquí (7)?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No come?
N – (Dice sí con la cabeza.)
I – ¿Por qué?
N – No lo sé.
I – ¿Y aquí (8) come?
N – No lo sé.
I – ¿Y aquí (9)?
N – Tampoco.
I – ¿Y aquí (10)?
N – Tampoco.
I – Muy bien, Oliva. Entonces, (va quitando
todo de la escalera) vamos a hacer una cosa
pero con números, con números, ¿vale? Ya
quitamos el pan y ahora vamos a hacer con
números. Quiero que pongas un Piolín en el
número 5.
N – Vale.
I – Pon un Piolín en el número 5, cariño
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿Ese es el 5?
N – Creo que sí.
I – ¿Por qué?
N – No lo sé.
I – ¿No lo sabes? Bueno, ahora, ¿tú sabes contar
los escalones, cariño? (Quita los Piolines de la
escalera) Cuéntalos.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando el
escalón correspondiente). (IV2a)
I –Entonces, ahora voy a poner un Piolín aquí,
¿vale?. Ese es el número 5, ¿vale? Pon tú otro
en el número 6.
N – (Se queda callada un rato.) No sé.
I – Ese está en el número 5, pon tú otro en el
número 6.
N – No sé.
I – ¿No lo sabes? Bueno, y ahora, ¿sabes
hacerlo con números y con pan? ¿Lo sabrías
hacer? Por ejemplo, pon pan en un escalón sí y
en otro no.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7 y 9.
I – . Ahora, pon los Piolines donde hay pan y
me dices los números. Por ejemplo (pone un
Piolín en el escalón 1), en el 1 sí hay. Venga,
pon Piolines donde hay pan y me dices los
números.
N – En el 2 sí hay (pone un Piolín en el escalón
3).
I – No, el 2 no es ese. Éste (1) es el 1 y éste (2)
es el 2.
N – En el 3 sí hay, en el 4 no hay, en el 5 sí hay
(pone un Piolín en el escalón 5), en el 6 no hay
y en el 7 sí hay (pone un Piolín en el escalón 7),
en el 8 no hay..., en el 8 no hay, ..., en el 9 sí
hay (pone otro Piolín en el escalón 9).
*I – Muy bien. Entonces, lo sabes hacer muy
bien, has dicho los números en los que sí hay,
¿vale?. Ahora vamos a hacer igual que antes,
que antes no lo supiste hacer sin números, pero
ahora vamos a ver con números a ver si eres una
maga y sabes hacerlo, ¿vale? (Pone los muros)
Guardamos aquí los estos, entonces, mira, en el
5 sí hay pan, éste es el 5. Si yo pongo aquí uno
(pone un Piolín en el escalón 7), ¿en qué
número lo he puesto y si hay o no hay?
(V1)
N – No hay.
I – ¿No hay? ¿Por qué?
N – Porque ...,creo que sí.
I – ¿Por qué? Crees que sí, pero no lo sabes. ¿Y
en qué número lo he puesto?
N – En el 7.
(IV1a)
I – Ahora, dime si en el 8... Coloca un Piolín en
el 8 y dime si hay o no hay.
N – (Pone un Piolín en el escalón 8) Aquí y
creo que no hay.
I – ¿Por qué? ¿No sabes?, pero crees que no,
pero no lo sabes, vale. Ahora coloca uno en el
3,..., coloca uno en el 3 y dime si hay o no hay.
339
N – (Pone un Piolín en el escalón 3 y se encoge
de hombros) Creo que sí hay.
I – ¿Por qué?
N – Pero no sé por qué.
I – Coloca uno en el 2 y dime si hay o no hay.
N – Creo que sí.
I – ¿Que sí hay? ¿Por qué?
N – No sé por qué, porque sí.
I – ¿Tú me sabes decir los números en los que sí
hay?
N – En el 6..., no.
*I – ¿No te acuerdas? Bueno, (mueve el muro
superior unos escalones más abajo) Éste (9) es
el número 9,¿Cuál es el 8?
(IV1)
N – (Señala el escalón 8). Este.
(IV1a)
I –. ¿Y cómo lo sabes que ese es el 8? ¿Por qué
lo sabes?
N – No lo sé.
I – Pero, ¿cómo lo has adivinado? ¿Qué has
hecho para decirme que ese es el 8?
22 )
N – Lo he pensado.
(IVE2
I – Pero, ¿cómo lo has pensado? Yo quiero tú
que me digas cómo lo has pensado para decirme
que ese es el 8.
N – No sé.
I – ¿No sabes cómo lo has pensado?. Yo quiero
que pongas un Piolín en el número 6 y me digas
si come o no come. Pon un Piolín en el número
6.
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese es el número 6? ¿Por qué sabes que es
el 6?
N – No sé.
I – ¿Y come o no come ahí?
(III1)
N – No, creo que no.
(III1a)
I – ¿Por qué?
22 )
N – No sé, creo que no. (IIIE2
I – Crees que no, ¿no? Crees que no, pero, ¿por
qué?
N – Creo algunas veces que sí, pero otras veces
que no.
I – Que no lo sabes. Algunas veces crees que sí
y otras veces crees que no. Pues mira, (quita los
muros) es que no (señala el Piolín colocado en
el escalón 6 sin pan), porque es en éste (9) sí, en
éste (8) no, en éste (7) sí y en éste (6) no, ¿vale?
Ahora (va poniendo Piolines en los escalones
que hay pan). ¿Sabes en qué números hay pan?
N – En el 1 sí, en el 2 no, en el 3 sí, en el 4 no,
en el 5 sí, en el 6 no, en el 7 sí, en el 8 no, en el
9 sí y en el 10 no.
(VI2a)
I – Después del 5 ¿qué número viene en el que
sí come?
N – No sé
(V1b)
I – ¿Come en el 7?
N – No sé
(V3b)
*I – Pues entonces esto llega hasta el 10, pero
imagínate que es más larga, más larga, más
larga, está el 11, el 12, el 13, el 14, ..., están
todos esos números. Ahora quiero que me digas
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
340
qué número viene después del 9 en el que sí
come. (VI3)
N – No tengo ni idea.
(VI3b)
5)
I – ¿No sabes? Muy bien, Olivia. Pues entonces
vamos a irnos a la clase.
Je. 4,11. Nombre: Jesús. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Abril.
I –Jesús, cuando se come éste (5), ¿por qué
después se come éste (6)?
N – Porque está en la siguiente escalera.
55 ).
(IIE5
I –. Ahora vamos a hacer otra cosa. (Va
quitando todo de la escalera) Ahora, cuando el
Piolín sube ya no va a comer pan en todos los
escalones, va a comer pan en uno sí y en otro
no, ¿vale? Venga, ponlo.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7 y 9.
*I – … Entonces aquí (5) vamos a poner un
Piolín porque aquí come pan, ¿de acuerdo?
Entonces ahora cuando va subiendo pon otro
Piolín donde sí va a comer pan también.
(III1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
(III1a)
I –. ¿Vas a poner más?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Venga, ponlo.
N – Pone otro Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y por abajo?
N – Coloca Piolines en los escalones 3 y 1.
I –¿Por qué después de ponerlo aquí (5), de
comer pan, pones uno aquí (7)?
N – Porque ahí hay otro.
I – ¿Y por qué sabes que hay otro?
N – Pone cara de “no sé”.
I – ¿No sabes por qué hay otro?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Te acuerdas que era en uno sí y en otro no?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué hay ahí otro?
N – Se queda callado mirando hacia arriba.
I – Bueno, aquí hay (levanta los muros), mira
¿lo ves? Eres mago, porque lo has puesto en los
que hay. ¿Lo ves como eres mago? Porque tú
sabes hacerlo. Ahora (quita los Piolines de la
escalera), vamos a hacer esto, verás, en vez de
tapar esos, vamos a tapar por ejemplo estos
(pone un muro tapando los escalones de
arriba), estos y todos estos (pone el otro muro
tapando los escalones del 5 al 3), vamos a
taparlo, ¿vale? Así. Entonces, ahora está el
Piolín aquí (pone un Piolín en el escalón 1), si
yo pongo un Piolín aquí (6), ¿tú crees que ahí va
a comer pan el Piolín ese que yo he puesto?
N – Dice no con la cabeza.
I –¿Por qué?
N – Porque ahí tocaba que no.
I – Ahí tocaba que no, ¿y por qué sabes que
tocaba que no, cariño? ¿Cómo lo has adivinado?
Dime el truco.
N – Porque...
I – Ahí tocaba que no, ¿por qué?
N – Porque lo sabía.
I – Ah, ¿porque lo sabías? Pero ¿me lo puedes
decir? A ver, piénsalo y me lo dices por qué
crees tú que tocaba que no.
N – Porque... he contado la escalera.
I – Ah, que has contado la escalera. ¿Y cómo lo
has contado?
33 )
N – Pues sí, no, sí, no, sí, no.
(IIIE3
I – Ah, has contado diciendo no, sí, no, sí, no.
Ah, muy bien. (Levanta el muro superior) ¿Lo
ves? Ahora, si yo lo pongo por ejemplo aquí (4),
aquí ¿qué crees tú, que va a comer o que no?
N – No.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Porque otra vez lo he contado.
I – Ah, otra vez lo has contado, muy bien, vale.
Ahora vamos a poner esto (mueve el muro
inferior unos escalones más abajo, deja a la
vista el pan del escalón 5) ahí es que sí, ¿lo ves?
Ahí es que sí, ¿de acuerdo? Ahí es que sí, ¿aquí
(pone un Piolín en el escalón 8) qué será, que sí
o que no?
N – Que no.
I – ¿Por qué?
N – Porque otra vez lo he contado.
I – Pero, ¿desde dónde lo has contado? ¿Cómo
lo has contado?
N – Desde aquí (señala el escalón 5).
44 )
(IIIE4
I – (Va quitando todo de la escalera) ahora
vamos a contar con los números, en vez de con
el sí y con el no. Entonces, pon ahora un Piolín
en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – En el número 5, muy bien. ¿Por qué sabes
que ese es el número 5, cariño?
N – Porque lo he contado.
I – Porque lo has contado, perfecto. Ahora, éste
es el número 5, ¿de acuerdo? Quiero que pongas
otro en el número 7.
(IV1)
N – Pone otro Piolín en el escalón 7.
(IV1a)
I –. ¿Por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque otra vez lo he contado.
I – Pero, ¿cómo lo has contado?
44 )
N – Así, (señala el escalón 6) 6. (IVE4
I –. Pon ahora otro en el número 3.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Por qué sabes que es el 3?
N – Porque ahora lo he contado para atrás.
55 )
(IVE5
I – Ah, que lo has contado para atrás. Ahora,
vamos a hacer otra cosita. (Quita los Piolines de
la escalera) Vamos a hacerlo con números y
con panes, igual que antes, sí, no y números,
¿vale? Las dos cositas juntas. Entonces, vamos a
poner otra vez pan en uno sí y en otro no, venga
(pone un trozo de pan en el escalón 1), pon pan
en uno sí y en otro no.
N – Pone pan en los escalones 3, 5, 7 y 9.
I –. Ahora, pon los Piolines, ...ponemos los
Piolines (pone un Piolín en el escalón 1) y me
tienes que decir los números en los que sí los
vamos a poner. En el 1 es que sí. Venga, pon
Piolines y me dices los números.
N – En el tercero también. (Pone un Piolín en el
escalón 3)
I – En el 3 sí.
N – En el 5, en el 7 y en el 9. (Pone Piolines en
los escalones correspondientes)
*I – … Entonces, nosotros sabemos que éste (5)
es el 5, y el 5 sí hay. ¿Qué número después del 5
sí hay? (V1)
N – 7. (V1a)
I – Pues ponlo, cariño.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I. Ahora, dime después de éste (7) en qué
número sí hay.
N – En el 9.
I – Pues venga, ponlo.
N – Pone otro Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y por qué hay ahí? ¿Por qué en el 9 sí hay?
N – Porque veo un trocillo.
I – No, pero sin verlo. Pero, dime que eres un
mago, sin verlo me lo tienes que decir. En el 7
hay, ¿ por qué en el 9 hay?
N – Porque tocaba.
I – ¿Y por qué toca, cariño?
N – Porque en el 7 era y aquí (8) no y aquí (9)
44 )
sí.
(VE4
I – En el 7 era, aquí no y ahí sí. ¿Y ese cuál es?
N – El 9.
I – Muy bien. Y ahora, por abajo, ¿qué número
toca? Éste (5) es el 5, ¿qué número toca ahora
por abajo?
N – El 3.
I – El 3, y¿ por qué en el 3 toca?
N – Porque aquí (4) no hay nada y aquí ...
I – Sí hay. Vale, pues ponlo.
N – Pone otro Piolín en el escalón 3.
I – ¿En el 2 hay?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque no toca.
I – Porque no toca.
N – Porque lo he contado.
341
I – No toca porque lo has contado y ¿cómo lo
has contado?
N – Pues así, no (señala el escalón 2), sí (1).
I – (Quita los muros y va poniendo Piolines en
los escalones que tienen pan). Mira, dime los
números otra vez en los que sí hay.
N – Yo sé sumar de dos en dos.
I – ¿Sí? ¿Lo sabes sumar de dos en dos? Pues
venga, dímelo, cariño.
N – 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18...
I – Muy bien. Entonces dime los números que
hay, aquí es desde el 1.
N – 1, 3, 5, 7, 9.
I – En el 9 sí hay, en el 10 no. Ahora, imagínate
que la escalera es más larga, 11, 12, 13, 14, 15,
16... y llega hasta el 100, ¿de acuerdo? ¿Te lo
imaginas? Entonces ahora, en el 9 es que sí.
Después del 9, ¿en qué número es que sí
también?
(VI3)
N – 11.
I – ¿Y después del 11?
N – 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, ... (VI3a)
I – Bueno Jesús, ya lo sabes hacer todo muy
bien, muy bien. Ahora dime si en el 31 come.
¿Tú crees que en el 31 comería el Piolin pan?.
(VI1)
N – Pone cara como de “no sé”.
I – ¿No lo sabes? Entre el... Imagínate que ya va
el Piolín va ya por el número 42, va subiendo,
subiendo, subiendo,... y está en el escalón
número 42. Entonces, desde el 42 hasta el 51, en
esos escalones ¿en cuáles comería? ¿En el 42
come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque ahí empieza.
I – Porque empieza ahí, ¿no?
N – Después el 44, después el 46, el 48, 50...
I – Ah, pero es que el pajarito ha ido subiendo,
por ejemplo, tú dices éste (4) es el 4, ¿no? aquí
no hay. ¿Desde el 4 hasta el 8 en cuáles come?
¿Desde aquí (4), hasta aquí (8)?
N – En el 5, en el 7 y en el 8 ya no come.
I – Eso. Entonces, ¿tú me puedes decir si en el
86 come?
N – Ni idea.
I – ¿En el 86 va a comer? ¿Sí?
N – No sé.
I – ¿No sabes?
N – Se queda callado.
I – ¿En el 86 comerá o no? ¿Tú que crees?
(VI1)
N – No sé.
(VI1b)
I – ¿Y en el 95?
N – Tampoco sé.
I – ¿No lo sabes? Y entre el 32 y el 43, ¿en
cuáles come?
N – 34, 36, 38, 40, 42.
I – Ah, que en el que yo te digo siempre hay,
¿no?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
342
N – Afirma con la cabeza y parece que duda
6)
I – Bueno ya estamos cansados, vamos a decir
adiós.
Ja. 4,6. Nombre: Javi. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Octubre.
I –. ¿Por qué cuando se come éste pan (5),
después se come éste (6)? (IIE)
N – Se encoge de hombros.
I – (Quita todo de la escalera). El Piolín ya no
come pan en todos los escalones, come pan en
uno sí y en otro no y en el primero es que sí,
venga, ponlo.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 1 y mira
a la investigadora.
I – En uno sí y en otro no, venga, ponlo en los
sitios que sí come.
N – Pone trozos de pan en los escalones 3, 5, 7
y 9.
*I – ...Aquí, éste (5) que sí lo ves ponemos un
Piolín porque aquí come pan, ¿lo ves? Entonces
yo quiero que ahora tú me pongas Piolines en
los sitios que sí hay pan (III1)
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Ahí hay pan?. Aquí (5) sí hay, ¿lo ves?
Venga, ponlo en todos los que sí hay.
N – Cambia el Piolín del escalón 8 al 7 y pone
otros en los escalones 9, 2.
I – ¿Aquí (7), por qué has puesto el Piolín?
N – Porque hay pan.
I – ¿Y por qué sabes que hay pan, cariño?
N – Lo sabía.
I –¿Y aquí (9)?
N – Porque también lo sabía.
I – ¿Y aquí (2) por qué has puesto pan?
N – Lo quita.
I – (Levanta los muros para comprobar),
(Coloca de nuevo los tabiques y retira los
Piolines excepto el del 5) Si yo pongo un Piolín
aquí (pone un Piolín en el escalón 8), ¿ahí
comerá pan? ¿Tú qué crees?
N – No.
I –¿Por qué?
11 )
N – Porque me acordaba. (IIIE1
I – Porque te acordabas. Y si yo pongo un Piolín
aquí (3), ¿hay pan?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque hay pan.
I – (Va quitando todo de la escalera) Ahora lo
hacemos con números. Quiero que pongas un
Piolín en el escalón número 5.
N – Coloca un Piolín en el escalón 5.
I – ¿Por qué ese es el número 5?
N – Porque yo sé sumar.
I – Ahora ponemos un muro delante de los
primeros escalones para que no veas esto.
Quiero que coloques uno en el número 7 y ya
sabes que este(5) es el 5. (IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Por qué ese es el número 7?
N – Porque éste (6) es el 6 y éste (7) es el 7.
(IV1)
I – Quiero que pongas ahora en el número 9.
N – Pone otro Piolín en el escalón 10.
I – ¿Por qué ese es el número 9?
N – Porque éste (9) es el 8.
I – Sí, pero éste (7) está en el 7, ¿eh? Éste Piolín
está en el 7.
N – Cambia el Piolín del escalón 10 al 9.
I –(Va quitando los Piolines de la escalera,
menos el del 5), éste (5) está en el 5, ¿de
acuerdo? Éste está en el 5, ha subido todos los
escalones que hay detrás de esto (el muro), está
en el 5. (Pone un Piolín en el escalón 8) ¿En
qué escalón he puesto este Piolín?
N – En el 8.
I – (Quita el Piolín del escalón 8, pone el muro
tapando los escalones superiores), vamos a
poner el Piolín en el 7, ¿de acuerdo? Éste está
en el 7, yo quiero que, sabiendo que éste está en
el 7, que me pongas uno en el 4.
N – Pone un Piolín en el escalón 4.
I – Pero, ¿por qué sabes que ese es el 4? Tienes
que pensarlo sabiendo que éste es el 7,
N – Porque dos y dos son cuatro y yo sé sumar
33 )
el cuatro. , (IVE3
I – Pero, ¿tú has tenido en cuenta que éste
estaba en el 7?
N – Sí.
I – ¿Sí? ¿Y cómo? Porque 2 más 2 son cuatro y
¿qué pasa con el 7?
N – Se queda callado.
I – ¿Qué pasa con el 7?
N – Tengo que sumar siete.
I – (Quita todo de la escalera) (Pone trozos de
pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9). Ahora
ponemos los Piolines y tú me dices en el
número que lo he puesto. (Pone un Piolín en el
escalón 1) En el 1, sí. Ahora, pon Piolín donde
hay pan y me dices el número.
N – (Pone un Piolín en el escalón 3) El 2.
I – No, el 2 es éste (señala el escalón 2)
N – 3, 5, 7 y 9 (pone Piolines en los respectivos
escalones).
*I – ...¿En qué número después del 5 hay pan?
(V1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Qué número es ese?
N – 6, 7.
I –¿Y en qué otro número después del 7 hay?
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y qué número es?
N – 9.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿Y en el 9 hay?
N – Pan.
I – (Levanta el muro superior) Sí, lo has
adivinado. ¿Y por aquí abajo, en qué números?
N – En el 1 (pone un Piolín en el escalón 1).
I – ¿Y en qué más?
N – Ya está.
(V1b)
I – ¿Y ya está? (Levanta el muro inferior) Aquí
también había (pone un Piolín en el escalón 3 y
quita los muros). Ahora me tienes que decir en
los números estos que hay, mira, éste (1) era...
Dímelo otra vez en los números en los que sí
hay.
N – El 1, el 3, el 5, el 7 y el 9.
(V2a)
I – (Coloca el muro en el tramo superior) Dime
todos los números después del 5 en los que sí
hay
N – En el 6…
I –Ëste (10) es el 10 y ahora tú te imaginas que
la escalera es más larga, 11, 12, 13, 14, 15,...
hasta llegar al 100. Entonces, éste (9) es el 9 y sí
hay, ¿qué número después del 9 también habría
pan?
(VI2)
N – En el.... 11. (VI2a)
I –¿Y en qué otro número?
N – En el ...13
I –¿Y en qué otro número?
N – En el 14.
(VI3b)
7)
343
I – ¿En el 14 habría pan? En el 13 hay. ¿Hay
pan en el 14?
N – Se queda callado.
I – ¿Hay pan en el 14, cariño?
N – Me acuerdo que había pan.
I – ¿Te acuerdas que había pan? Pero si no lo
has visto, porque el 14 no está aquí (señala por
encima de la escalera), ¿cómo te acuerdas?
¿Con estos que tú ves aquí, puedes saber si en el
14 hay pan?
N – Sí.
I – ¿Cómo?
N – Porque yo lo sabía.
I – Ah, porque tú lo sabías, ¿no? ¿Tú sabes si
hay pan en el 25?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque....
I – ¿Por qué?
N – Porque lo sabía y .... porque lo sabía.
I – Porque lo sabías, ¿no?. ¿Y tú sabes si hay
pan en el 36?
N – Sí. (VI1b)
I – ¿También? ¿Por qué?
N – Porque lo sé.
I – Muy bien, Javier, cómete los ositos que nos
vamos.
Ma. 4,11. Nombre: Manuel. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Mayo.
I –Manuel, éste (5) está aquí y se come éste,
¿por qué, cuando va subiendo, después de éste
(5) se come éste (6)?
N – Porque se lo quiere comer porque está en el
sitio equivocado.)
I –(Va quitando todo de la escalera) y ahora
hacemos otra cosita, que tú sabes hacer muy
bien, porque eres amigo de los Piolines y eres
muy listo. Entonces, ahora el pan ya no está en
todos los escalones, ahora le vamos a hacer un
truco a los Piolines, ¿eh?. Entonces, ahora va a
comer pan en un escalón sí y en otro no, en uno
sí y en otro no, y en el primero es que sí. Venga,
colócalo así como yo te he dicho.
N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3,
5, 7 y 9.
*I – ... Entonces, yo aquí (5) pongo un Piolín
porque aquí hay pan y come, entonces tú debes
colocar Piolines en los sitios que sí hay pan.
(III1)
N – Coloca Piolines en los escalones 1, 3, 7 y
9.
(III1a)
I – Sabes cuando está y cuando no está, ¿eh?
Entonces, mira como va. Ahora, vamos a quitar
otra vez todo esto (quita los Piolines) y en vez
de que se vean unas cosas, vamos a ver otras,
¿vale? Por ejemplo, vamos a ver esto, o mejor
así (pone los muros tapando los panes de los
escalones 3, 5, 7 y 9, dejando entre los dos
muros el escalón 6), ¿ves ese (1)? Y entonces
colocamos éste aquí (pone un Piolín en el
escalón 1). Colocamos ahí el Piolín porque
come pan, ¿vale?. Si yo coloco aquí (4) un
Piolín ¿tú crees que ahí comerá pan el Piolín?
N – Dice no con la cabeza..
I – ¿Por qué? ¿Por qué no, cariño?
N – Porque, ...,no come, porque es que no
quiere comer.
I – Pero, ¿por qué no quiere comer?
N – Porque... Porque ahí hay un pan y ahí hay
dos (señala los muros inferior y superior
respectivamente), o ahí hay dos y ahí hay uno
(señala los muros superior y inferior
respectivamente).
I –Entonces, aquí (4) no hay y aquí (6) tampoco
hay, porque se está viendo, ¿vale? Si yo pongo
el Piolín aquí (7), ¿éste va a comer? ¿Éste va a
ser listo y va a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque quiere comer, porque tiene mucha
hambre.
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344
I – Tiene mucha hambre. Pero si yo quito esto,
¿tú crees que aquí detrás, cuando quite esto,
detrás va a haber pan para que coma este Piolín?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué crees que sí?
N – Porque hay otro, por ejemplo, eso aquí hay
un pan y ahí hay otro.
I – ¿Dónde hay un pan, cariño?
N – Aquí (señala de lejos con la mano entre los
Piolines 5 y 7).
I – ¿Aquí en éste (7) donde está el Piolín hay un
pan?
N – Umm....
I – Entonces, ¿qué crees, que sí o que no?
N – Que sí.
I – Que sí, bueno, pero, ¿por qué?
N – Porque ... porque... por eso tiene mucha
hambre y después...
I – ¿Por qué hay?
N – Porque hay pan y ...
I – Pero aquí, si te das cuenta, aquí (6) no hay,
éste lo estás viendo. Lo estás viendo, ¿a qué si,
cariño?
N – Sí.
I –¿Tú crees que éste (7) se ha puesto en el sitio
que sí hay?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque ahí está el sitio muy bien, ...,sí, pero
éste está, ... no está en el sitio equivocado, pero
ese sí, pero eso no (señala desde lejos con el
dedo). Pero ese (7) está bien, ese (4) está mal,
pero ese está bien (1), porque... porque aquí (4)
22 ).
no hay pan, pero ahí (1) sí hay pan. (IIIE2
I – . Quiero saber si en éste lugar (8) come. Si
yo pongo aquí un Piolín, (Pone un Piolín en el
escalón 8) ¿ahí qué pasa?
N – Que no hay pan.
I – ¿Por qué?
N – Porque ha puesto un hueco y no hay.
I – Pero, ¿por qué sabes tú que no hay?
N – Porque... porque tiene que haber pan y
come y por eso como no hay... Y también ...
I – Y no hay, ¿no?
N – Dice no con la cabeza.
*I –...Ya sabes que el Piolín está en el número
5, coloca un Piolín en el número 7. (IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7 (IV1a).
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque... porque hago cuando llego todos
los días, hasta las seis y media hago los números
y podemos hacer los números ya.
I –. Entonces, éste (7) es el número 7 y éste (5)
es el número 5. (Quita el muro) éste es el
número 7, ¿de acuerdo? Quiero que coloques
uno en el número 9.
N – (Señala con el dedo los escalones 8 y 9 y
pone un Piolín en el escalón 9)
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – (Quita los Piolines) Ahora, éste (pone un
Piolín en el escalón 6), ¿qué número es? ¿En
qué número he colocado yo el Piolín?
N – (Cuenta los escalones desde abajo) En el 6.
I –Si tú sabes que éste es el número 6, coloca
uno en el número 4.
N – (Cuenta los escalones desde abajo y pone
33 )
un Piolín en el escalón 4.)
(IVE3
I –Ahora, yo voy a colocar ese (quita los
Piolines de los escalones 6 y 4 y pone uno en el
escalón 5) en el número 5. Ese es el número 5,
¿de acuerdo?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Éste es el número 5. (Pone un muro en los
escalones superiores) Coloca uno en el número
3.
N – Cuenta los escalones desde abajo hasta
llegar al 3 y pone un Piolín en éste escalón.
I – (Quita los Piolines) Ahora, éste Piolín está
en el número, por ejemplo, 9 (coloca un Piolín
en el escalón 9). Yo quiero que, si tú sabes que
éste es el 9, coloques uno en el número 7. Pero,
tú tienes que saber que éste es el 9. Coloca uno
en el número 7.
N – (Señala los escalones 8 y 7 y pone un Piolín
en el escalón 7)
I – ¿Por qué ese es el número 7, cariño? ¿Cómo
lo has pensado? Dímelo, porque tú has hecho
una cosa ahí y has pensado.
N – Porque he pensado con, ahora con eso he
hecho una ficha, así grande que tiene los
números y por eso lo sé yo
I – ¡Todos los números!.
N – Hasta el 10.
I – ¡Anda, estupendo! Manuel. Vamos a colocar
el pan en uno sí y en otro no (Pone pan en los
escalones 1, 3, 5, 7 y 9). Ahora, vas a ir
colocando Piolines en los sitios que haya pan y
me vas diciendo los números en los que hay,
¿de acuerdo?.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 1.
I – En el 1 sí.
N – En el 3, en el 5, en el 7 y en el 9 (pone
Piolines en los escalones correspondientes).
*I – ... Y en el 5 come, ¿de acuerdo? ¿En qué
número, después del 5 come también ?
(V1)
N – Pone un Piolín en el escalón 4.
(V1b)
I – ¿Ahí come?, si ahí lo estás viendo. ¿Ahí
come?
N – Dice no con la cabeza.
I – Pues entonces no lo tienes que poner, tienes
que ponerlo en los que sí come y me tienes que
decir el número. ¿En qué número tienes que
poner el Piolín para que coma?
N – (Agacha la cabeza para ver el pan por
debajo del muro)
I – No lo mires por debajo.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – Me tienes que decir los números. ¿Ese qué
número es?
N – Ese, el 1.
I – ¿En el 1 come?
N – No.
I – ¿En el 1 no come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Dime otros números en los que sí come.
N – Pone otro Piolín en el escalón 7.
(V1b)
I – Me tienes que decir los números, cariño.
N – (Pone otro Piolín en el escalón 9.) 1 (1), 2
(5),...
I – No, 2 no, el 2 es éste (2).
N – (Cuenta mentalmente los escalones 2, 3 y 4)
1, 5, 7 y 9.
I –¿Y por aquí (señala los escalones inferiores)
hay alguno más donde sí come?
N – Por ahí (señala desde lejos hacia el hueco).
I – Vale, pues ponlo, cariño, en el que sí come.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – (Quita los muros). Entonces, ¿los números
en los que sí come cuáles son? Dime los
números en los que sí come.
(V2)
N – 1. (V2a)
I – Sí.
N – 3. . (V2a)
I – Sí.
N – 5. . (V2a)
I – Ahá.
N – 7. . (V2a)
I – Ahá.
N – 9. . (V2a)
I –. Ahora, vamos a tapar otra vez los Piolines,
para adivinar otra cosa. (Quita los Piolines y
pone los muros) Vamos a tapar, igual que antes
así, ¿vale? Y yo te voy a poner aquí un Piolín
(pone un Piolín en el escalón 5) Éste está en el 5
y come. Yo quiero saber si colocamos un Piolín
en el 8,... va a comer.
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿El Piolín va a comer en el número 8?
N – (Dice no con la cabeza.) No.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque no hay pan.
I –¿En qué número, después del 5,... el Piolín
come? (V1)
N – ¿Qué número?
I – Después del 5 come.
N – Coge el Piolín del escalón 5.
I – Coge otro Piolín de aquí y me lo dices con
otro.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
(V3b)
I – Pero, ¿qué número es ese?
8)
345
N – Ese, el 7. .
I – ¿Y por qué después del 5, por qué come
después en el 7?
N – Porque tiene un montón de hambre y ... y
tiene mucha hambre y quiere comer toda la
comida para que no le...para que se lo coma y
para que no se le deje ninguno.
I –Vamos a quitar esto (quita los muros),
ponemos otra vez los Piolines en el sitio que hay
pan. Venga, ayúdame. (Colocan Piolines en los
escalones que hay pan.). Dime otra vez en los
números en los que sí hay pan y Piolines.
N – 1, 3, 5, 7 y 9.
I –Entonces, éste (10) es el 10 y en el 10 no
come. Tú te imaginas ahora la escalera más
larga, después del 10 viene el 11, después el 12,
el 13, ¿vale? Porque tú sabes contar mucho y la
escalera es muy larga, ¿de acuerdo? Entonces,
yo quiero saber en qué número comería pan
después del 9. (VI2)
N – El 9.
I – La escalera es más larga, ¿eh? Está el 11, el
12, el 13, ... ¿Qué número después del 9 come,
cariño?
N – En el 3.
(VI2b)
I – ¿En el 3 come después del 9? ¿Por qué?
N – Porque... porque está mirando a los otros y
por eso... quiere comer, pero ya no quiere
comer.
I –Bueno, ¿tú crees que en el número 15 come
pan el pajarito? Cuando va subiendo el 10,
después el 11, el 12, el 13,.. , cuando llegue al
15, ¿tú crees que en el 15 va a comer pan?
(VI1)
N – Dice no con la cabeza.
(VI1b)
I –. ¿Y en el 26 tendrá hambre el pajarito?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque no tiene hambre.
I – ¿Y en el 55?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque tiene mucha hambre.
I – ¿Y en el 63?
N – No, porque no tiene hambre.
I – ¿Y en el 79?
N – No quiere comer, porque tiene mucha
hambre.
I – Dime los números en los que comería entre
el 42 y el 51. ¿En qué números comería entre el
42 y el 51?
N – En el 42 sí come, pero en el cuarenta.... No
lo sé.
I – ¿No lo sabes, cariño? Bueno, pues déjalo,
vida mía que lo has hecho todo muy bien.
An. 4,2. Nombre: Antonio. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Febrero.
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346
I – ¿Por qué cuando se come éste(5), se come
después éste (6)?
N –Porque tiene hambre
I – Bueno, Antonio, ahora el Piolín no come pan
en todos los escalones, sino que va a comer pan
en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿
de acuerdo? Y en el primero es que sí. Pues
entonces, colócalo, coloca el pan.
N – Pone pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 8.
I – Es en uno sí y en otro no, Antonio.
N – ¿Así? (Pone otro trozo de pan en el escalón
10.)
I – ¿Está todo bien? Es en uno sí y en otro no.
N – ¿Así? (Quita el pan del escalón 7)
I – ¿Lo has colocado bien?
N – Sí.
I – Es en uno sí (señala el trozo de pan del
escalón 5) y en otro no, en uno sí y en otro no.
¿Lo has colocado bien?
N – Sí.
I – Cariño, en éste (5) sí, en éste (6) no, ahora
en éste (7) es sí (cambia el pan del escalón 8 al
7), en éste (8) no y en éste (9) sí (cambia el pan
del escalón 10 al 9), ¿de acuerdo?
N – Sí.
*I – … Venga, coloca Piolines donde sí hay
pan.
(III1)
N – ¿Aquí? (Pone un Piolín en el escalón 8)
(III1b)
I – Tú lo colocas y después me dices por qué lo
has colocado. ¿Aquí (8) por qué has puesto éste
Piolín?
N – Porque ahí detrás puede, ..., puede, puede,
puede,.... y se pone ahí atrás y después se lo
come.
I – Claro, pero, ¿por qué sabes tú que cuando yo
quite esto ahí detrás va a haber un pan, aquí (8),
en éste escalón?
N – Porque es que yo lo he puesto ahí para que
cuando, cuando, cuando, encuentre un pan y se
lo comerá.
I – ¿Seguro? Pero, los magos tienen que pensar
y saber por qué lo ponen, ¿eh? Es en uno sí y en
otro no, cariño. Aquí (5) sí hay.
N – Entonces, en todos estos escalones ahí, ¿no?
I –. Ponlo en los que tú crees que sí hay, ¿vale?
N – Vale. (Coge el Piolín del escalón 8). Pone
el Piolín en el escalón 1.
I –Ve poniéndolo en todos los que tú creas que
sí.
N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 2).
I – ¿Ahí sí? Es en uno sí y en otro no, ¿eh?
N – Entonces, éste (2) no, ¿no? Éte no. ¿Sí o
no?
I – Tú me lo dices y después lo vemos.
N – Pone otro Piolín en el escalón 4.
I – ¿Ahí come pan? ¿Éste Piolín (4) come pan?
N – No.
I – ¿Entonces? No lo puedes poner ahí.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Es que siempre soy muy torpe.
I – No, tú eres muy listo. Bueno, cariño, vamos
a hacer una cosa, (quita el muro) vamos a
hacerlo un poquitín más fácil, ¿de acuerdo?
Solamente vas a adivinar ésta parte que tienes
aquí arriba y entonces, ahí come y aquí come
(pone un Piolín en el escalón 3) y aquí (5) come
y ponemos uno. En todos estos que te quedan
¿en cuál tienes que poner? (III3)
N – En... aquí (señala el escalón 7).
(III3a)
I – Muy bien.
N – Aquí (señala el escalón 9).
I – Pues venga, coloca.
N – Pone trozos de pan en los escalones 7 y 9.
I – Ahá. Bueno, tienes que poner Piolines, pan
no. Aquí y aquí (quita los panes y pone Piolines
en su lugar y levanta el muro superior). Lo has
adivinado, ¿lo ves como sabes? ¿Tú sabes por
qué hemos puesto éste (7) aquí?
N – Porque detrás había pan.
I – Sí, pero, ¿por qué hay pan detrás?
N – Porque lo ha tapado, lo has tapado.
I – Lo he tapado, ¿no?
N – Sí.
I – Ahá, muy bien, vale. Pues entonces, ahora
vamos a hacer otra cosita, pero tapando esto
(quita los Piolines, menos el del escalón 1 y
pone un muro tapando los panes de los
escalones 3 y 5) vamos a tapar esto y vamos a
ver solamente el 1. Éste de aquí es el que vamos
a ver, ¿no?. Si yo coloco aquí (4) un Piolín,..., si
lo coloco aquí, ¿tú crees que ese Piolín va a
comer pan cuando quitemos esto (el muro
inferior)? ¿Lo habré puesto en un sitio donde sí
hay pan?
(III1)
N – Sí. (III1b)
I – ¿Por qué?
N – Porque detrás hay pan.
I – Pero, ¿por qué en ese hay pan?
N – Porque ha comido tres.
I – ¿Cómo?
N – Que ha comido tres panes.
I – ¿Que he puesto tres?
N – Sí.
I – ¿Y tú crees que ahí sí he puesto?
N – Sí.
I – ¿Seguro?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Seguro?
N – (Dice sí con la cabeza.) Sí, seguro.
I – (Levanta el muro inferior) Pues no, no he
puesto. No he puesto, ¿eh? No he puesto.
Vamos a ver ahora la magia cómo va. Si yo
coloco uno aquí (pone el Piolín en el escalón 5),
¿aquí hay pan?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque lo has tapado.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Te acuerdas, ¿no? ¿Porque te acuerdas?
N – Sí y lo has tapado.
I – Vale. Aquí (5) hay pan. Si yo coloco uno
aquí (9), ¿tú crees que aquí hay pan?
N – No.
I – ¿Ahí no? ¿Por qué?
N – Porque no está junto el pan. Si estuviera
junto entonces se comía los trozos de pan.
I – ¿Aquí (9) no hay?
N – No.
I – (Levanta el muro superior) Pues sí hay. ¡Ay,
el truco! Bueno, entonces ahora vamos a hacer
ahora otro (va quitando todo de la escalera),
pero contando. Vamos a quitar el pan para que
no lo coma y lo vas a contar. Coloca un Piolín
en el número 5. A ver si tú sabes dónde está el
número 5. Coloca un Piolín en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Ese es el número 5?
N – No
I – Pues colócalo en el 5.
N – Pone el Piolín en el escalón 5.
I – ¿Ese es el 5?
N – 1, 2, 3, 4, 5 (va señalando con el dedo los
escalones correspondientes).
*I –Ese está en el número 5, quiero que
coloques ahora otro en el número 7 (pone el
muro delante de los escalones inferiores).
Coloca otro en el número 7.
(IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ese es el 7?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – 1, 2, 3 (señala los escalones 5, 6 y 7). Es
que aquí has tapado.
I –Pero, ¿por qué éste (7) es el número 7?
N – Porque ese es el 5, después del 5 viene el 6
44 )
y después del 6 el 7.
(IV1a, IVE4
I –. (Quita el muro y quita el Piolín del escalón
5, dejando sólo el del escalón 7) Ese está en el
7. Si yo pongo aquí uno (pone un Piolín en el
escalón 2 y el muro tapando el primer escalón),
¿en qué número lo he puesto?
N – En el 2.
I – ¿Por qué?
33
N – Porque después del 1 viene el 2. IVE3
I – (Quita el muro y el Piolín del escalón 7) Si
ese es el 2, coloca uno en el 8.
N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 8)
I – ¿Ese es el 8?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque después del 7 viene el 8.
I – ¡Ah!
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va contando los
escalones, coincide el 7 con la posición del
Piolín del escalón 8), en el 7 y después del 7
está aquí (9), en el 8 (cambia el Piolín al
11
escalón 9). . IVE1
I –¿Sí?
347
N – Sí, así.
I – Así es, ¿no?
N – Sí, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (va señalando el
escalón correspondiente), aquí está (cambia el
Piolín del escalón 9 al 8).
I –. (Pone el muro delante de los escalones a
partir del escalón 3) Éste es el 2 (Lo señala),
éste es el 8, coloca uno en el 7.
N – Pone otro Piolín en el escalón 7.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque aquí lo he puesto el 7.
I – Pero, ¿por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque 1, 2, 3, 4, 5 (va como contando los
escalones con el dedo)... porque aquí cuento
muy rápido y aquí (8) estaba el 8, ¿verdad? Así
que éste es el 7.
I – (Quita los Piolines de la escalera). Vamos a
coger el pan igual que antes, colócalo en uno sí
y en otro no y lo hacemos con números.
N – ¿En éste? (Pone un trozo de pan en el
escalón 1) ¿En éste? (Pone un trozo de pan en
el escalón 3) ¿En éste? (Pone un trozo de pan
en el escalón 5) ¿En éste? (Pone un trozo de
pan en el escalón 7) ¿En éste? (Pone un trozo
de pan en el escalón 9) ¿Y ya está no?
I – (Va afirmando) Muy bien. Ahora pones los
Piolines donde has puesto pan y me dices el
número que es.
N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 1.)
I – ¿Qué número es?
N – El 1.
I – En el 1 hay pan, de acuerdo. ¿Qué más?
N – (Pone otro Piolín en el escalón 3) El 2.
I – ¿Cómo?
N – Éste es el 2.
I – ¿Cuál es el 2?
N – Éste (señala el escalón 2).
I – Ese es el 2. Entonces, donde has puesto el
Piolín, ¿cuál es?
N – El 3.
I – En el 3 hay también pan, de acuerdo. Venga,
dime más.
N – (Pone otro Piolín en el escalón 5.) El 5.
I – En el 5 también, muy bien.
N – 1, 2, 3, 4, 5 (señala los escalones
correspondientes) (Pone otro Piolín en el
escalón 7) ¿Éste cuál es el número? El 6.
I – ¿El 6?
N – Sí, porque éste (5) es el 5, después éste (6)
es el 6...
I – Éste (6) es el 6 y éste (7) es el ...
N – 9.
I – ¿Después del 6 viene el 9?
N – El 7.
I – El 7, muy bien. Venga, ¿qué más?
N – (Pone otro Piolín en el escalón 9) El 9.
I – Entonces, ¿ya sabes en los números que hay
pan?
N – Sí.
I – ¿En qué números? ¿Me lo dices otra vez?
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348
N – Sí. 1,...3, ... 5,... 7,....9 (va señalando)
(V2a)
*I –…¿Después del 5 qué número viene en el
que sí come?
(V1)
N – El 6.
(V1b)
I – Es en el que sí come, no después del 5.
Después del 5 viene el 6, pero ¿qué número de
todos estos (señala la parte superior de la
escalera) es el que le sigue a éste (5) en el que
sí come?
N – 6 (señala el escalón 6 y a continuación el
7), aquí.
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 6,... el 7. (V2a)
I –El 7, ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Y por qué come ahí?
22 )
N – Porque ahí está separado.
(IIIE2
I – ¿Y después de ese qué número viene en el
que sí come?
N – El 8.
I – Es en el que sí come, ¿eh?
N – ¿Éste? (Señala el escalón 8)
I – El 7, en el 7 come. Entonces, ¿en qué otro
número come?
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
(V3b)
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 9.
I – El 9. (Quita el muro) bien… Antonio. vamos
a hacer esto (pone los muros tapando los panes
de los escalones 3, 5, 7, y 9, deja libre el
escalón 6 entre los muros), vamos a ver.., estos
son los que vemos (1) y estos son los que no
vemos (quita los Piolines). Ese es el 1 y en el 1
come, ¿de acuerdo? En el 1 come, quiero saber
si en el 6 come.
N –Éste ( señala el escalón 7) es el 6, ¿no?
I – Tú mira a ver cuál es el 6, cariño.
N – Voy a contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6 (va señalando y
pone el Piolín en el escalón 6) No come.
I – Porque ya lo has visto, ¿eh? Porque eso se
ve. Entonces, en el 6 no come. ¿En el 9 come?
N – Después del 6 viene el 7, ¿no?, después del
8, el 9. Aquí el 7, aquí el 8 y aquí el 9 (va
señalando los escalones correspondientes y
pone el Piolín en el 9).
I – ¿Y ahí come?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque está separado el pan.
I – (Levanta el muro superior) Muy bien, ahí sí
come. Tú el truco ya lo estás haciendo todo,
¿eh? Ya estás conociendo el truco. Y en el 3,
¿come?
N – Éste (3) es el 3, ¿no?
I – ¿En el 3 come?
N – (Pone un Piolín en el escalón 3) No.
I – ¿Por qué?
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Porque está separado el pan. Sí, que diga.
Creo que sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque ... creo que no.
I – ¿Qué crees que sí o que no?
N – Que no.
I – Que no. (Levanta el muro inferior) Todavía
te queda un poquitín de truco por saber, ¿eh?
Todavía una chispita de truco sí que te queda
por saber. (Pone los muros pegados desde el
escalón 4 y quita los Piolines de la parte
superior) Y ahora, en el 1 y en el 3 sí come. ¿En
el 10 come?
N – Éste (10) es el 10, ¿no?
I – ¿En el 10 come?
N – (Pone un Piolín en el escalón 10) No come.
I – ¿Por qué?
N – Porque está separado del pan.
I – Y si está separado ¿ahí toca que no?
N – Éste (7) y éste (9), ahí está el pan. Éste (7)
con éste (9), separado, así.
I – Muy bien, lo has acertado (quita los muros).
Ahora ya por último vamos a hacer una cosa,
Antonio, (pone Piolines donde hay pan) tú ya
sabes los números en los que hay. ¿Me lo dices
en los números en los que hay otra vez pan?
N – Va señalando donde están los Piolines.
I – Pero dime los números.
N – ¿Qué?
I – Dime los números.
N – Aquí (1) hay pan, aquí (2) no hay pan, aquí
(3) hay pan...
I – Sí, pero dime los números.
N – Éste (1) es el 1, éste (2) es el 2 y no hay
pan, éste (3) es el 3 sí hay pan, éste (4) es el 4
no hay pan, éste (5) es el 5, si que hay pan, éste
(6) es el 6 no hay pan, éste (7) es el 7, sí que hay
pan, éste (8) es el 8, no hay pan, éste (9) es el 9,
sí que hay pan y éste (10) es el 10 y no hay pan.
(V2a)
I –Ahora, éste (10) es el 10, pero la escalera se
termina aquí, pero tú sabes que los números
continúan, está el 11, el 12, el 13, el 14, ...hay
muchísimos más números…Ëste (9) es el 9 que
sí hay pan. Entonces, yo quiero saber en qué
número después del 9 sí come pan el pajarito.
N – Después del 9 el 10. (VI2b)
I – El 10 es éste (señala el escalón 10) y no
come. Entonces, ¿en qué número sí habría pan
otra vez?
N – En ese.
I – ¿En éste (7)? Pero, lo que continúan la
escalera más larga.
N –Después de que no hay pan, hay pan.
22 )
(IIIE2
I – Después de que no hay pan, hay pan, vale.
Entonces, ¿en el 11 hay pan?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Porque primero hay pan, después no hay
pan, después de que no hay pan, ...después de
que no hay pan hay pan, (sigue con este
razonamiento
(V3a)
I – Y así van todos, vale. Entonces, ¿en el 12
hay pan?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque yo cuento en el 1 y en el 2 y en el 3
y en el 4 y en el 5 y en el 6 en el 7 y en el 8 y en
el 9 y en el 10 y en el 7 y en el 8 y en el 9 y en
el 10 y en el 12 y en el 13, y en el 14 y en el 12
no hay pan.
(V3a)
I – De acuerdo, ¿y en el 13?
N – Sí.
I –Y después del 13 ¿qué número viene en el
que sí hay pan?
N – Después... Voy a contar otra vez, que no me
lo sé después del 13. Mi padre sabe todos los
números, que está en Kosovo ayudando a unos
niños.
I – ¿Sí, cariño? ¿Tú padre sabe todos los
números y se lo está enseñando a todos los
niños de Kosovo?
N – Sí. Y también le están ayudando y le están
acompañando a ir a colegios.
I – Muy bien, Antonio, entonces después del 13
¿en qué número come?
N – Voy a contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
9, 10, el 11, el 12, el 13,el ... , después del 13,
el ...14 (VI3b)
I –Es el número que le sigue a 13 que sí come
N –¿Qué?
I –Bueno…¿Tú crees que en el 25 va a comer
pan, en el 25?
N – Voy a contar. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
9, 10, el 11, el 12, el 13,el ... , después del 13,
el ... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19, 13, 14, ...
I – No, 19 y 20.
N – 20, 21, 22, 23, 24, 25...
I – 25, ya me has dicho el 25, ¿en el 25 come?
9)
349
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque, porque en el 24 no había pan y en
el 25 sí que hay pan.
I – ¿Y en el 22 hay pan?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Sí, sí, sí.
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Porque... es que, es que, es que... el primero
que sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 22 hay pan, porque en el
diecidos hay pan.
I – ¿En el diecidos hay pan?
N – Sí porque mira, aquí hay dos (señala los
Piolines de los escalones 7 y 9) y aquí hay pan y
aquí hay pan, por eso en el 22 hay pan.
I –Después del 22 ¿qué números vienen en los
que sí come?.
N –¿Qué?…
I –Vale, ¿Y en el 28, come?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque, porque tiene que ir aquí (señala en
medio de dos Piolines) y no tiene pan. Y éste es
el 28... (señala el escalón 6)
I – ¿Y por qué sabes que ese es el 28, cariño?
N – Porque, porque, porque, después sigo
contando, después sigo contando de abajo,
después sigo contando de abajo, después en el
primero (1), en el segundo (2), en el tercero (3),
en el cuarto (4), en el segun (5), en el primero
(7), en el ... y aquí (8) no hay pan, ¿no?, ni aquí
(6), ni aquí (4), ni aquí (2), ni aquí (10). En el
que no hay pan son el que, el que... el malo y en
el que hay pan son el bueno.
I – Y entonces, ¿tú crees que el 36 hay pan, en
el 36?
N – No lo sé.
I – Muy bien, Antonio, vamos a ir a por otro
amiguito tuyo, ¿vale?
Ju. 3,11. Nombre: Juan Luis. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo.
I – ¿Por qué cuando se come éste(5), se come
después éste (6)?
N –Porque sí
I –Ahora ya el Piolín no come pan en todos los
escalones, (va quitando todo de la escalera)
ahora come en uno sí y en otro no y en el
primero es que sí, venga, colócalos tú, para que
coma pan en uno sí y en otro no.
N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3,
5, 7 y 9.
*I – …. Ahora tienes que colocar un Piolín
después de éste (5) para que sí coma pan.
(III1)
N – Pone el Piolín en el escalón 7, sin soltarlo y
la mira.
I –Venga, sigue poniendo, a ver, para que
cuando quitemos los tabiques, si hay pan en los
sitios que tú has colocado Piolínes. Venga,
ponlo.
N – (Señala al escalón 7) Ahí va a haber pan.
I – Porque lo has visto, ¿no? Venga, pues a ver
en los demás
N – Pone otro Piolín en el escalón 9.
I – ¿Ahí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
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350
N – Porque ahí iba.
I – ¿Por qué ahí puede comer, cariño?
N – Porque es en uno sí y en otro no.
22 )
(III1a, IIIE2
I – Ah, porque es en uno sí y en otro no. Vale,
vida mía. ¿Y por ahí abajo, come pan en
alguno?
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Y en cúal más?
N – Pone otro Piolín en el escalón 1.
I – (Levanta los muros) Muy bien, ¿lo ves come
eres un mago? Porque sabes el truco, tú sabes el
truco para hacer magia. Ahora vamos a poner
aquí esto aquí así (quita los Piolines menos el
del escalón 1 y pone los muros tapando los
panes de los escalones 3, 5, 7 y 9, dejando el
escalón 6 a la vista) y lo colocamos esto aquí
así. Vamos a hacer, igual que antes, pero lo
vamos a colocar así. Si yo coloco un Piolín aquí
(8), ¿tú crees que aquí va a comer pan?
N – Se queda callado mirando la escalera.
I – ¿Tú crees que ahí va a comer pan el Piolín?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque ahí no hay.
I – Pero, ¿por qué sabes que no?
N – Porque ahí no hay pan.
I – Pero, ¿por qué no?
N – Se queda callado mirando hacia el suelo.
I – Dime por qué, ¿cómo lo adivinas?, ¿qué
truco usas?
N – (Señala el escalón 7 y dice sí con la
cabeza) El pan.
I –¿Aquí (4) hay?
N – (Mira como por abajo del muro.) No.
N – Porque no hay.
N – Aquí (3) sí hay
I – ¿Sí?
N – Creo que sí (mira detrás del muro). Sí, sí
hay.
I – (Quita los muros y va quitando los trozos de
pan) vamos a hacer esto, pero sin pan, con
números, ¿vale? Quiero que coloques un Piolín
en el número 5.
N – (Va contando los escalones en silencio y
pone el Piolín en el escalón 5) Aquí.
*I –…Ëste es el 5 porque tú lo has dicho (pone
el muro delante de los primeros escalones).
Coloca uno en el 7.
(IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
(IV1a)
I – ¿Por qué ese es el 7?
N – Porque antes va el 6.
I – Ahá. Coloca uno en el 10.
N – Aquí (señala el escalón 10)
I – ¿Por qué sabes que es el 10?
N – (Pone un Piolín en el escalón 10) Porque es
el de arriba.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Mira, vamos a poner uno en el 8. Sabiendo
que éste es el 8, ¿cuál es éste (señala el escalón
6)?
N – El 6.
I – ¿Por qué?
33 )
N – Porque antes va el 5. (IVE3
I – Antes va el 5, ¿no?
N – Sí.
I – (Deja en la escalera sólo un Piolín en el
escalón 4) , éste es el 4, ¿vale? Coloca uno en el
9.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – Coloca uno en el 2.
N – Pone un Piolín en el escalón 2.
I – Pero tú sabes que éste (4) es el 4, tú para
colocar éste (9) ¿cómo has hecho? ¿Por qué éste
es el 9? Tú sabes que éste (4) es el 4, ¿por qué
éste es el 9?
N – Porque antes va el 8.
I – Porque antes va el 8, ¿no? Vale, muy bien,
ahora, (quita los Piolines de la escalera) vamos
a hacer números y panes, ¿vale?. Coloca el pan,
igual que antes, en uno sí y en otro no.
N – (Coloca panes en los escalones 1, 3, 5, 7 y
9.) Ya.
I – Ya has colocado el pan en uno sí y en otro
no, ¿vale?. Ahora coloca los Piolines y vas
diciendo los números en los que hay. En el 1
hay (pone un Piolín en el escalón 1), venga,
¿qué más números? Coloca el Piolín y me dices
el número.
N – En el 3 (pone un Piolín en el escalón 3).
I – Ahá, muy bien.
N – En el 5 (pone un Piolín en el escalón 5). En
el 7 (pone un Piolín en el escalón 7). Y en el 9
(pone un Piolín en el escalón 9).
*I – … En el 5 hay, ¿qué numero viene después
del 5 en el que sí hay pan? (V1)
N – El 6.
(V1b)
I – El 6 es éste y...
N – El 7.
I – El 7. Venga, coloca uno en el 7 que sí hay
pan. ¿Qué número viene después del 7 que sí
hay pan?
N – 8. (V1b)
I – En el 8. ¿Cuál es el 8?
N – Éste (señala el escalón 8).
I – ¿Y en el 8 hay pan?
N – No.
I – Entonces no digas el 8.
N – Ah, el 9.
I – En el 9 hay pan. ¿Qué número viene antes
del 5 en el que sí hay pan?
N – El 6. En el 6, no hay.
I – ¿Cuál es el 6?
N – Éste (señala el escalón 6).
I – En ese no hay.
N – Y el 4 (señala el escalón 4).
I – Ahá.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – En el 3 sí hay (pone un Piolín en el escalón
3). En el 1.
(V1a)
I – Ahá, muy bien. (Levanta los muros y quita
los Piolines y vuelve a poner los muros) Ahora
yo te voy a preguntar cosas igual que antes, a
ver si sabes. En el 5 sí come, ¿en el 8 come?
N – (Se queda pensativo) Sí.
I – ¿Cuál es el 8?
N – Señala el escalón 8.
I – ¿Y en el 8 come? colócalo en el 8.
N – No.
I – ¿Por qué no?
N – Porque no come.
I – ¿Por qué no come en el 8, cariño?
22 )
N – Porque es uno sí y otro no.
(VE2
I – Porque es uno sí y otro no, muy bien. En el 8
no come. ¿En el 2 come?
N – Tampoco.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Porque es uno sí y otro no.
I – ¿Y por qué le toca al 2 no comer?
N – Porque no hay pan.
I – Pero, ¿por qué no hay? Si es en uno sí y en
otro no, ¿por qué en el 2 es que no?
N – En el 1 sí.
I – Ahá, muy bien. ¿Y en el 4 come?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – No hay pan.
I – ¿Y por qué sabes que no hay pan? No hemos
puesto pan, pero ¿por qué no lo hemos puesto
aquí (4)?
N – Porque no lo ...
I –¿Y en el 6 hay pan?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque es en uno sí y en otro no.
I – Es en uno sí y en otro no ¿Y qué pasa en el 6
qué es que no?
N – Se queda callado.
I – Entonces, ésta escalera llega hasta el 10,
pero los números continúan y después del 10 el
11, el 12, el 13, el 14, el 15...
N – El 16, 17, 18, ... (sigue contando hasta el
39)
I – Muy bien, Juanlu, ya está, que te voy a
preguntar otra cosita. Este niño sabe contar
muchísimo.
N – Hasta el do..
I – ¿Hasta el 200?
N – Hasta el doscientos.
I – Ya sabes contar un montón de números.
Entonces, éste (9) es el 9 y come, ¿después del 9
en qué número come también si la escalera
fuese más larga? (VI2)
N – Se queda callado, mirando la mesa.
I –. ¿Come en el 11?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque es uno sí y otro no.
351
I – ¿Y en el 12?
N – No.
I – ¿Y en el 13?
N – Sí.
I – ¿Y en el 14?
N – No.
I – ¿Y en el 15?
N – Sí.
I – Ahá, muy bien. Y ahora si da un salto y nos
ponemos en el 25, ¿en el 25 come?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque es uno sí y otro no.
I – ¿Y por qué le toca al 25 que sí?
N – Porque es uno sí, uno no, uno sí, uno no.
I – Ahá, y ¿en el 32 come?
N – Se queda callado pensativo.
I – ¿Come en el 32?
N – (Cuenta con los dedos.) En el 25 no come
(VI1b)
I – ¿Y cómo lo has hecho?
N – Vuelve a contar con los dedos.
I – Bueno, solamente una cosita. ¿Cómo lo
estabas haciendo? ¿Contando desde el 1? En el
1 sí, en el 2 no ¿y así lo has hecho? Y tú sabes
decirme entre el 20 y el 30 en los números que
sí come.
N – En el 20 no, en el ...
I – Entonces, ¿me lo puedes decir? Venga, ve
diciéndome mientras terminamos. Entre el 20 y
el 30 ¿en qué números sí comería pan el
pajarito? ¿En qué números entre el 20 y el 30
come pan el pajarito?
N – Voy a contar. (Cuenta con los dedos, pero
en silencio y se pone con la cabeza entre los
brazos)
I – Juanlu, piensa en voz alta y me cuenta lo que
estás pensando. Dilo en voz alta lo que piensas.
N – Sigue con la cabeza entre los brazos en la
mesa.
I – Venga, Juanlu. ¿Por dónde vas?
N – (Sigue pensando con la cabeza escondida)
Sí, en el 30 y sí. En el 30, el 30 sí.
I – ¿En el 30 sí come?
N – Sí.
I – ¿Y en el 20 come?
N – No.
I – ¿Y después del 20 en cuál come?
N – En el 21 sí come.
I – ¿Y despés?
N – En el 22 no come, en el 23 sí come, en el 24
no come, en el 25 sí come, en el 26 no come, en
el 27 sí come, en el 28 no come, en el 29 come y
en el 30 no come.
(VI3a)
I – Muy bien. ¿Y entre el 35 y el 40 dónde
come?
N – No hasta el 10..
I – Te lo sabes.
N – Sí. No, desde el 10... Desde el 11 hasta el
13.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
352
I – Sí, pero si tú has dicho que en el 30 no
come, piensa ahora del 35 al 40.
N – No, del 40 hasta el 60.
I – ¿Ahí vas a pensar?
N – Sí.
I – Pero tú sabes que en el 30 no, no come.
¿Qué vas a empezar desde el 1?
N – Desde el 39 al 40 y desde el 40 hasta el 60.
I – ¿Vas a pensar desde el 30?
N – No, desde el 39.
I – Pues venga, piensa desde el 39. ¿En el 39
qué pasa?
N – En el 39 que ... En el 38 come y en el 39 no
come. (VI1b)
I – ¿Y por qué?
N – Porque es uno sí y uno no.
I – ¿Y por qué sabes que en el 38 que sí?
N – No, es al revés, es al revés, que en el 38 no
come y el 39 come y el 40 no come.
I – ¿Y por qué sabes tú que en el 39 es que sí?
N – ¿Qué?
I – Que ¿por qué sabes que en el 39 es que sí?
N – Porque es uno sí, uno no, uno sí...
I – Sí, pero ¿por qué le toca al 39 que sí?
10)
N – Se queda callado.
I – ¿Por qué le toca al 39 que sí, cariño?
N – Porque el 40 no.
I – ¿El 40 no?
N – Y el 41 sí.
I – Pero, ¿por qué en el 40 es que no?
N – Voy a empezar desde el 30.
I – Venga.
N – No, desde el 1.
I – ¿Desde el 1 vas a empezar?
N – No, eso es mucho.
I – Entonces, ¿desde cuál vas a empezar?
N – Desde el ,... desde el ...
I – ¿Desde cuál va a empezar? ¿No sabes desde
cuál vas a empezar?
N – No, porque son mucho.
I – Porque son mucho.
N – Desde el 1 hasta el 11.
I – ¿Vas a empezar hasta el 11 nada más?
N – No, hasta el 20.
I – ¿Hasta el 20 vas a pensar?
N – Se queda pensativo..
I –. Bueno ya está Juanlu, porque ya lo has
hecho muy bien y ya estamos muy cansados.
Ro. 3,4. Nombre: Rocío. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Diciembre.
*I – … Coge el pan y lo vas colocando en todos
conforme se sube (I1).
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 )
de la escalera. (I1a, IE4
*I – … ¿Después de comerse ese pan (5), qué
pan se come?
(II1)
N – Señala el pan del escalón 6.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 8?
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 9.
I – Ahá, ¿y después?
N – Señala el pan del escalón 10.
I –Y cuando iba subiendo, antes de comerse éste
pan (5), ¿qué pan se había comido?
N – Señala el pan del escalón 1.
I – ¿Y antes de ese?
N – Señala el pan del escalón 2.
I – ¿Y antes?
N – Señala el pan del escalón 3 y después el del
4.
(II1a)
I – Y después ese, vale. Cuando va subiendo y
se come éste pan (5), ¿por qué después se come
éste (6), cariño? ¿Por qué?
33)))
N – Porque va subiendo la escalera. (IIE3
I – (Va quitando todo de la escalera), ahora ya
el Piolín ya no come pan en todos los sitios,
ahora va a comer pan en uno sí y en otro no, y
en el primero es que sí. Venga, coloca el pan en
uno sí y en otro no.
N – Pone pan en los escalones 1 y 2. .
(III2b)
I – Cariño, es en un escalón sí y en otro no
N – Quita el pan del escalón 2.
I – Venga, coloca pan en un escalón sí y en otro
no. En éste (1) es que sí, en éste (2) es que no, y
ahora (3) es que sí (pone pan). ¿Y en éste?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Y en éste?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Entonces ponlo.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 5.
I – ¿Y en éste (6)?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Y en éste (7)?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Pues colócalo.
N – Pone pan en el escalón 7.
I – ¿Y en éste (8)?
N – Dice sí con la cabeza, pero rectifica y dice
que no.
I – ¿Y en éste?
N – Dice sí con la cabeza.
*I – …Coge de aquí (caja) pajaritos y los pones
en los que sí hay pan.
(III1)
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Sí, ahí ya hemos puesto. En ese escalón ya
hemos puesto un pajarito. Tienes que ponerlos
en los demás.
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ahí come pan?
N – Dice no con la cabeza.
I – Pues entonces quítalo. Tiene que ser en los
sitios que sí coma pan. Cariño, colócalo en los
sitios que sí come pan.
N – Mira el Piolín que sostiene en la mano.
I – Venga, cariño. Coge el pajarito...
N – Sólo hay un pan.
I – No, es que detrás hay (levanta el muro
superior), ¿lo ves? Colocamos esto, tú no lo
ves, pero detrás hay. Colócalo en los sitios que
sí haya pan.
N – Dubitativa no sabe dónde coloca el Piolín.
I – Come pan en uno sí y en otro no, ¿eh? En
éste (5) sí come, pero come pan en uno sí y en
otro no.
N – Pone el Piolín en el escalón 4, pero detrás
del muro.
(III1b)
I – ¿Ahí come pan?
N – Coge el Piolín y lo pone en el escalón 1
detrás del muro.
I – Lo puedes poner delante, cariño. Lo pones
aquí (lo cambia hacia la parte delante del
muro), después lo quitamos y vemos si hay pan,
¿vale? Venga, tú lo vas colocando aquí, después
quitamos esto para ver si hay o no.
N – Quita el muro inferior.
I – Mira, aquí hay pan (pone un Piolín en el
escalón 3), ¿no?, que ponemos pajarito. En
éstos de aquí (señala la parte superior de la
escsalera), aunque tú no los veas, ¿dónde hay
pan?
N – Está ahí detrás.
I – ¿Qué?
N – Detrás.
I – Detrás está el pan, ¿no? Pero, tú no sabes
dónde hay, ¿no? Si ponemos aquí (8) un
pajarito, ¿tú crees que detrás hay pan? ¿Aquí va
a comer pan el pajarito?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque no hay, porque está el pan detrás.
I – Está el pan detrás, sí, pero ¿tú crees que
detrás de este escalón hay pan, detrás? ¿Tú crees
que aquí va a haber pan detrás?
N – Intenta mirar por detrás del muro. Dice no
con la cabeza.
I – ¿No sabes?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Hay o no?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí hay? (Levanta el muro) No, aquí no hay,
¿lo ves? Ahora, vamos a hacer una cosa, ¿vale?
Ahora vamos a contar (va quitando todo de la
escalera), ya no vamos a hacerlo con panes,
vamos a contar. Quiero que coloques un Piolín
353
en el número 5. Coloca un Piolín en el número
5.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – ¿Ese es el número 5?
N – Parece que dice sí con la cabeza.
I – ¿Eh? ¿Ese es el número 5?
N – Dice no con la cabeza.
I – Pues, ponlo en el número 5.
N – Pasa el Piolín por los escalones 3 y 4.
I – Coloca un Piolín en el número 5, cariño.
N – Pone el Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice no con la cabeza y cambia el Piolín al
escalón 7.
I – ¿Ese?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Cuál es el número 5?
N – Pasa el Piolín por los escalones 8, 9 y lo
deja en el 10.
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque el pajarito va subiendo la escalera y
ve las miguitas de pan.
I –. ¿Tú sabes contar estos escalones? .
(IV2)
N – Dice sí con la cabeza. 1, 2, 3, 4 y 5 (va
señalando con el dedo los escalones
correspondientes).
I – ¿Cuál es el número 5?
N – Señala el escalón 5.
I – Ahá, pues coloca un Piolín en el número 5.
N – Pone el Piolín en el escalón 6.
I – (Quita el Piolín de la escalera) Entonces,
¿tú sabes ya poner el Piolín en el número 5? Pon
el Piolín en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque el pajarito va subiendo y en las
miguillas de pan. Y ahí se encuentra el número
5.
I – ¿Tú puedes contar los escalones? Cuéntalos.
N – 1, 2, 3, 4, 5 (va señalando los escalones,
pero se salta el escalón 5).
I – ¿Ese es el 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Bueno, si tú... Ponemos,... mira, 1, 2, 3
(pone un Piolín en el escalón 3) Éste es el
número 3. Si éste Piolín está en el número 3,
pon otro Piolín en el número 4.
N –Pone un Piolín en el escalón 5.
(IV1b)
I – ¿Ese es el número 4?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque el pajarito va subiendo, subiendo y
se cuenta las miguitas de pan y luego se cuenta
el número 4.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
354
I – (Quita los Piolines de la escalera) Ahora
vamos a poner pan en uno sí y en otro no, igual
que antes ¿vale?. (Va poniendo pan en los
escalones 1, 3, 5, 7 y 9) Es en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no. Ahora yo quiero que
pongas Piolines y me digas los números que hay
pan.
N – Pone un Piolín en el escalón 1
I – ¿Ese qué número es?
N – El que hay pan.
(VI2b)
I – ¿Y qué número es ese?
N – El 1.
I – Muy bien. Pon otro Piolín dónde hay pan y
me dices el número en el que hay pan.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 2.
I – ¿El 2?
N – Dice sí con la cabeza.
I – El 2 es éste (2), cariño. ¿Ese qué número es?
N – El 3.
I – Muy bien. Ahora venga, pon Piolín donde
hay pan y me lo dices.
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 4.
I – El 4 es éste (4).
N – El 6.
I – El 6 es éste (6).
N – El 5.
I – Muy bien, venga, sigue, cariño.
N – Pone otro Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 4.
I – Éste (5) es el 5. ¿Éste (7) qué número es?
N – ¿Éste (7)?
I – Ahá.
N – El 6.
I – El 6 es éste (6).
N – El 7.
I – Ahá. Y ya el que te queda, venga. Dime qué
número es ese
N – (Pone un Piolín en el escalón 9.) El 6.
I – No, el 6 no es, ¿por qué ese es el 6? ¿Por qué
dices tú que es el 6?
N – Porque el pajarito, el Piolín no sabe cuál
número son.
I – ¿Lo sabes?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No?
N – Dice no con la cabeza.
I – Bueno, Rocío, ya está, ya hemos terminado
con los Piolines, ¿te han gustado? Di adiós
6.1.2. Colegio Público Provincial Urbano M.
11)
Ma. 3,11. Nombre: María. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo.
.
*I – …Coloca pan en todos los escalones
conforme vaya subiendo. (I1)
N – Pone un trocito de pan en el escalón de
arriba (10) y mira a la investigadora como para
pedir aprobación. (I1b)
I – Conforme vaya subiendo. Un pan sólo,
venga. En todos los escalones.
(I1b)
N – Coloca en 9,8,7, en el 6 no pone, en el 5 sí,
en el 4 no, y en 3, 2, 1 sí.
(I1b)
I – Pero, ¿ya lo has puesto en todos?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿En todos los escalones lo has puesto?
N – Afirma con la cabeza.
I – ¿Has puesto el pan en todos los escalones?
N – Afirma de nuevo con la cabeza.
I – Mira, María, ¿hay pan? (señala con un
bolígrafo cada uno de los escalones empezando
desde abajo).
N – Va afirmando con la cabeza.
I – En el escalón 4 se detiene con el bolígrafo.
¿Hay pan?
N – Dice no con la cabeza.
I – Pone un trozo de pan en el escalón 4. Deja
los panes que están en los primeros seis
escalones y los demás los quita. Mira, María,
hay pan, aquí, aquí, aquí, ... (va señalando de
abajo hacia arriba donde hay pan). Venga, pon
pan en todos los escalones, para que los
pajaritos coman en todos. (I2)
N – Coloca pan en todos los escalones
continuando hacia arriba, sin dejar ninguno
libre. (I2a)
I – Mi niña, como pone el pan en todos los
escalones. En todos los pone.
N – Me quedan tres panes (pone 3 dedos).
I – ¿Tres panes te quedan? Qué bien pone pan
en todos los escalones. Ahora, los quitamos
todos otra vez y ahora otra vez lo haces, ¿vale?
N – Vale.
I – Tienes que poner conforme vayas subiendo.
Va subiendo la escalera y pones pan en todos
los escalones, ¿vale? Venga, ponlo.
(I1)
N – Coloca un trozo en todos los escalones
siguiendo el orden de sucesión de la escalera.
44 )
(11a , IE4
*I – …¿Dónde come después de este? (Señala
5).
(I1)
N – Señala el escalón 6. (I1a).
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿Y después de ese?
N – Señala el escalón 7. (I1a)
I – ¿Y después de ese?
N – Señala y pone un trozo en el 8.
I – ¿Y después?
N – Pone un trozo en el escalón 9.
I – Cuando sube, justamente antes de éste (5)
¿què pan se había comido?
11 )
N – Pone un trozo en el escalón 9 (IIE1
I – No, es cuando va subiendo (señala los
escalones hasta llegar a 5)
11 )
N – Señala el escalón 3 (IIE1
I –¿Y antes?
N –Señala 1
I –¿Y antes de éste (3)?
N –Señala 4
I –No, es antes
N –Señala 1
I –¿Por qué después de éste (5) viene este (6)?
(IIE)
N – Porque en éste no hay ninguno (señala 6).
11 )
(IIE1
I – ¿No hay ningún pajarito? Pero, bueno, por
qué después de éste (5), viene éste (6)?
N – Se queda unos instantes mirando las
escaleras y encoge los hombros) Porque hay
pan.
I – Sí, pero lo has puesto tú. Ahora, vamos a
hacer otro juego. Metemos esto y eso (Va
quitando el pajarito y los trozos de pan de la
escalera), ahora, como el pajarito ya está harto
de comer pan en todos los escalones, ¿sabes lo
que hace? Que come pan en uno sí y en otro no.
Mira, en éste (pone un trozo de pan en el lado
izquierdo del escalón 1) en uno sí y en otro no.
(Señala escalón 2) entonces, en éste no, en éste
(3) sí (pone un trozo de pan en el escalón 3), en
éste (4) no, en éste (5) sí, ¿en éste (señala
escalón 6)?
N – No.
I –¿En éste (7)?
N – Sí. (Pone un trozo de pan.)
I – ¿Y en éste (8)?
N – No.
I – ¿Y en éste?
N – Sí.
I – Ahá, y lo pones, ¿lo ves? ¿y en éste (10)?
N – No.
*I –…Ahora tienes que poner pajaritos donde
haya pan detrás de la pared. Tú tienes que poner
el pajarito en los sitios que haya pan.
(III1)
N – Coge un Piolín y lo pone por detrás de la
pared.
I – ¿Porque lo ves?
N – Porque lo veo, sí.
I – Pero, no lo pongas al lado, tú lo pones en
este sitio (señala la parte derecha de las
escaleras, delante del muro o pared). Ahí lo
pones, ¿vale?
355
N – Pone un Piolín en la parte derecha del
escalón 7.
(III1)
I – ¿Dónde lo pones más?, pon otro pajarito
donde haya también pan..
N – ¿A dónde?
I – Donde tú creas que hay pan. Hay pan en uno
sí y en otro no.
N – Señala con el dedo detrás de la pared.
I – Venga, ponlo, pero no detrás. Donde tú creas
que haya lo pones.
N – Deja el Piolín en el escalón 3. (III1)
I – Venga, ahí crees que hay, ¿no? Muy bien,
venga, ¿dónde más, cariño? Venga, ponlo donde
hay. Que es en uno sí y en otro no.
N – ¿A dónde? (Coge un Piolín y mira la
escalera)
I – Donde haya.
N – No hay más pared.
I – ¿Ya no hay más panes?
(III1)
N – Dice que no con la cabeza.
(III1b)
I – No, más pared no, donde haya pan. Es en
uno sí y en otro no,... de escalones.
N – Sostiene el pajarito, mira la escalera y
después a la investigadora.
I – ¿Dónde hay más? Vamos a hacer una cosa,
vamos a quitar esto (quita las paredes y los
pajaritos, menos el que está en el escalón 5)
para que tú veas donde hay pan. Y ahora, pones
los pajaritos donde haya pan.
(III2)
N – Coloca un pájaro en el escalón 9.
(III2a)
I – En todos los que haya pan tienes que poner
un pajarito. En todos los que haya pan.
N – Pone un pajarito en el 7.
(III2a)
I – En todos los que haya pan. ¿Y lo has puesto
en todos los que hay pan?
N – No.
I – Pues venga, ponlo.
N – Coloca uno en el escalón 3 y otro en el 1. .
(III2a)
I – ¿Lo has puesto todos en los que hay pan?
N – Dice sí con la cabeza. .
(III2a)
I – ¿Has visto cómo es?
N – Asiente con la cabeza.
I –Vamos a hacer una cosa, vamos a tapar esto
(coge un tabique tapando el tramo 7-10, entre
los trozos de panes y los Piolines y quita los
Piolines menos el que está en el escalón 5) para
que tú no lo veas, porque es que tú lo tienes que
adivinar. Tienes que tener una forma de adivinar
dónde hay pan. Aquí hay pan (señala el pan del
escalón 1), aquí hay pan y pajarito (señalando
al escalón 3). Aquí hay pan y pajarito
(señalando al escalón 5). ¿Dónde tienes que
poner un pajarito para que después, cuando
quitemos esto (señala la pared) haya pan? .
(III3)
N – Aquí (señala el escalón 7).
I – Ponlo.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
356
N – Pone un Piolín en el escalón 7. .
(III3a)
I – ¿Y dónde más?
N – Se queda un momento pensando mirando la
escalera. En ningún sitio
I – ¿En ningún sitio más? ¿Por qué?
N – Porque no hay más pared.
I – ¿Ya no hay más? No, no, pared no, panes,
panes.
N – ¿Pan?
I – Tiene que haber donde haya pan. Es que tú
ten en cuenta que yo he puesto (levanta la pared
unos instantes) ¿lo ves?, yo he quitado y he
puesto la pared, pero aquí detrás de la pared hay
pan. Tienen que ser pajaritos para que cuando
yo quite la pared haya pan. ¿Comprendes?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Dónde más tienes que poner pajaritos? .
(III3a)
N – Pone un Piolín en el escalón 9. .
(III3a)
I – (Quita la pared). Anda, mira! Todos los
pajaritos tienen pan. Ahora vamos a hacerlo
como al principio, para que ya te salga todo bien
(quita los Piolines, menos el del escalón 5).
Mira, ¿has visto dónde está el pan?
N – Aquí te falta uno (señala el Piolín del
escalón 5).
I – Bueno, pero ese lo dejamos para que tú lo
veas. ¿Has visto dónde hay pan, cariño? ¿Lo
has visto? Ahora lo tapamos y éste también lo
tapamos (pone los dos muros delante de los
panes para ocultarlos). Y ahora tienes que
poner pajaritos donde haya pan, ¿te acuerdas? .
(III1)
N – Sí. (Coge un pajarito y lo pone en el
escalón 8 y mira a la investigadora)
I – ¿Ahí hay pan?
N – Afirma con la cabeza (III1b).
I – Venga, pues sigue poniéndolos en todos los
sitios. ¿Ya no hay más pan en ningún otro sitio?
N – Coge otro Piolín y lo pone en el escalón 2.
I – ¿Ya está? ¿Ya no pones nada más?
N – Dice no con la cabeza.
I – A ver (quita las paredes). ¿Te has
equivocado o qué?
N – Mira.
I – ¿Has puesto los pajaritos donde había pan?
N – Mira a la investigadora y sonríe.
I – Bueno, María, ahora, vamos a hacer otra
cosita ¿vale? (Quita los Piolines, menos el del
escalón 5)
12)
N – ¿El qué?
I – Ahora lo mismo pero sin pan, sólo con los
pajaritos, ¿vale?
N – Vale.
*I – …Colocamos un Piolín aquí (en el 5). Lo
hemos puesto en el número 5. Ahora tienes que
colocar tú un pajarito en el número 7.
(IV1)
N – ¿Aquí van los pan? (Señala la parte de la
mesa donde ha puesto los panes)
I – No, ahí van los pajaritos (señala la
escalera). Ahora, venga, mira este pajarito,
¿sabes en qué número está?... Está en el 5, ¿te
acuerdas? Este pajarito está en el número 5. Pon
otro en el número 7.
N – ¿En cual?
I – En el número 7.
N – Pone el Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese cual es? Este (5) es el 5, ¿ese cual es?
N – El 6.
I – El 6, muy bien. Pero, yo quiero que me
pongas uno en el 7.
N – Pone el Piolín que estaba en el 6 en el
escalón 7.
I – Eso es, muy bien. Ahora, pon uno en el 9.
N – ¿En el 9?
I – Si, en el 9.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9.
(IV1b)
I – Ahora pon uno en el 3.
(IV1b)
N – Pone el Piolín en el escalón 10 y después lo
cambia al 8.
(IV1b)
I – En el tres. Este (5) es el 5.
(IV1b)
N – Suelta el Piolín en el 8.
(IV1b)
I – (Retira todos los Piolines de la escalera).
Cogemos este pajarito porque le gusta mucho
contar. Coge el pajarito y cuenta los escalones.
(IV2)
N – ¿Cual?
I – Todos los escalones, empieza 1, 2, (va
señalando con el dedo). Empieza a contar.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( va señalando con el dedo,
hasta el 4 se corresponde el conteo con el
número del escalón , después va más rápido el
dedo que el conteo y llega hasta el escalón 7).
(IV2b)
I – ¿Y ya está?
N – No, (mira la escalera y el escalón 8) cuatro.
I –Como ya estás cansada y tienes ahí los ositos
y tienes que comértelos, pues ya les dices adiós
a los Piolines.
Ju. 4,2. Nombre: Juan Ignacio. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños: Febrero.
I – ¿Por qué sabes tú que después de comerse
éste pan (5) se come éste (6).
N – Porque hace así (señala con un dedo en el 5
y después sube al escalón 6) y cuando se come
55 )
este (5) después se come este (6). (IIE5
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Ahora vamos a hacer otra cosa, no vamos a
poner pan en todos. Lo vamos a poner sólo en
uno sí y en otro no (quita todos los trozos de
pan). Para que el Piolín en algunos coma y en
otros descanse o cante la Bella y la Bestia, o
haga cosas, ¿vale?
N – Sí, porque yo tengo el juego de la Bella y la
Bestia y... y el que caiga luego, empieza otra
vez.
I – Pues aquí vamos a hacer una cosa. En un
escalón pones (pone un trozo de pan en el
escalón 1) entonces en el primero va a comer
¿no?
N – En éste (2) no.
I – Eso, en éste (2) no.
N – En ese (3) sí ( va poniendo sólo un trozo de
pan en cada uno de los escalones 3, 5, 7, 9, en
la parte derecha.
I –¿Y aquí (señala el escalón 10) no? Es en uno
sí y en otro no. Porque en uno come y en otro
baila, en uno come, pues en otro no come,
¿vale? Lo dejamos para que descanse.
N – Asiente con la cabeza.
*I –…Ahora tienes que poner pajarito donde sí
haya pan.
(III1)
N – Pone un pajarito en el escalón 3.
I – En todos.
N – Ahí (3) sí hay pan porque hay uno.
(III1a)
I – Vale.
N – Aquí también (pone un pajarito en el
escalón 1). Y aquí (7). Y aquí también (9).
(III1a)
I – Sabemos que aquí (5) hay un pajarito, ¿Por
qué has puesto aquí (7) un pajarito?.
(IIIE)
N – Porque ahí hay un pan.
I – Porque los ves, ¿no?
N – Aquí también hay pan (5).
I – Y si lo pones aquí (7), ¿por qué lo pones
aquí (9)?
N – Porque hay un pan.
I – Porque hay un pan, muy bien.
N – Porque es sí, no, sí, no (señala con el dedo
33 )
por la escalera). (IIIE3
*I –…El Piolín está en el número 5. Coloca
ahora otro Piolín en el número 7. (IV1)
N – ¿Aquí? (7)
I – Tú me lo pones, cariño. Yo te lo digo que
está en el número 5 y tú eres un adivino, tú eres
un mago, muy adivino y muy guapo y tú
adivinas cual es el número 7.
N – ¿Por qué?
I – Porque tú eres un adivino. Porque tú
pensando sabes cual es el 7. Este (5) es el 5.
44 )
N – Pues el 6 va después del 5.
(IV1a, IVE4
I – Pero yo te he dicho el 7.
N – Después del 6. Aquí (lo pone en el 7).
44 )
(IV1a, IVE4
I – Muy bien.
357
N – Porque el 6 va aquí (6) y el 7 va después del
6.
I – De acuerdo. Ahora en el 9. Está en el 7. Tú
lo has colocado en el 7. Ahora colócalo en el 9.
N – Señala con el dedo el 9.
I – ¿Por qué?
N – Porque éste (7) es el 7, y aquí (8) el 8 y aquí
(9) el 9.
I – Ahora colócalo en el 3. Éste es el 5.
Colócalo en el 3.
N – ¿En el 3? (Señala el escalón 3).
I – ¿Por qué lo sabes? ¿Por qué sabes que ese es
el 3?
N – Porque he visto los escalones, 1,2 y 3
33 )
(IVE3
I – Pero lo tienes que decir sabiendo que éste es
el 5.
N – Coloca un Piolín en el 1.
*I –… El pajarito está en el 5 y sí come,¿qué
número viene después del 5 donde sí come el
pajarito? (V1)
N – Señala el 7.
I – Pero, ¿ese qué número es?
N – ¿Este? (7)
I – Sí, éste (5) es el 5.
N – ¿Qué?
I – Que éste es el 5.
N – Pero, si aquí no hay (6), éste tiene que ser el
6 (7).
I – ¿El 6?.
N – Vuelve a decir sí con la cabeza.
I – ¿El 6 es el número que viene después del 5
que sí come?
N – Asiente con la cabeza. Porque el 6 va
después que el 5.
I – Exactamente. El 6 va después del 5, pero
éste (6) ¿cual es?
N – El 6.
I – Pero aquí no come. Entonces, ¿en qué
número come?
N – En el 7.
(V1a)
I – En el 7 come.
N – Pero en el 8 no come y en el 9 sí come
porque hay uno. Lo he visto por abajo.
(V1a)
I – ¿Y en cual más? Y en éstos de aquí abajo,
¿en cuál come? ¿En qué número come?
N – (Se queda pensativo). Sí, voy a pensar
22 )
porque he dicho sí, no, sí, no.
(VE2
I – Exacto, entonces, ¿en cuál come?
N – Aquí (dubitativo señala con el dedo el
escalón 1 e intenta mirar por debajo del muro
para ver el pan.
I – Mira, éste es el 5, cariño. Y en el 5 sí come.
N – Aquí sí (señala el escalón 1)
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 1. Al.... el..... 2 ... (mira por detrás de los
muros de cartulina) Sí porque hay detrás.
I – En el 1, ¿y cuál más?
N – ¿Qué?
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358
I – ¿En qué número más come?
N – (Mira por debajo de la cartulina) En éste
(señala escalón 3) hay uno, lo he visto.
I – Pero, ¿ese qué número es?
N – ¿Qué?
I – ¿Qué número es ese?
N – ¿Este (3)?
I – Sí.
N – El 3.
I – Bueno, …
N – Mira el bolígrafo de la investigadora. Pues
mi papá tiene un rotulador azul.
I – ¿Azul? ¿y te gusta el que tengo? Éste es muy
bonito, ¿a qué si?
N – Sí. Mi papá tiene dos rotuladores azules.
Me gustan mucho.
I – ¿Si?
*I –…En el 15, ¿habría? (VI1)
N – Asiente con la cabeza.
I – En el 15, ¿habría pan o no? Ahí llega hasta
el 9, pero, ¿tú crees que en el 15 sí habría pan?
N – Espera, que lo tengo que contar. 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... 10 y después el 11.
I – ¿Hay pan en el 15?
N – ¿Qué?
I – ¿Hay pan en el 15?
N – No sé.
(VI1b)
I – ¿No lo sabes?
N – Dice no con la cabeza.
I – Ahora, bueno, como el 15 es que está muy
lejos, porque tú has dicho que después del 10
viene el 11, el 15, mira que lejos está.
N – Hombre, está muy lejos, ... porque... pues
será por la puerta (señala la puerta de la
habitación).
I – Más o menos.
N – Porque hay muchos números. Porque ... hay
muchos números. Después empiezan otra vez.
I – ¿Otra vez empiezan? Sí. Entonces puede
estar muy lejos. Entonces, en el 9, que está allí.
N –Señala el 9.
I – Sí hay, ¿lo ves?
N – Mira un momento y piensa.
I – Y en el 11¿hay? ¿Habría en el 11?
(VI2)
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Después del
11 ... Después del 10 va el 11.
I – Pero, ¿hay o no? ¿Habría pan o no, en el 11?
N – No sé.
I – ¿No sabes? Mira, ¿tú con lo que estás viendo
no sabes si en el 11...?
N – Sí (señalando al 7). No (señalando en el 8).
Sí (9). No (10). Sí (11). (VI2a)
I – Pero, ¿hay en el 11?
N – ¿Qué?
I – ¿En el 11 hay?
N – Lo voy a contar otra vez, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11 y 12.
.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Pero, ¿hay en el 11 pan o no?
N – ¿En el 11?
I – Sí. No lo sabes, ¿no?
N – No.
I – Y... en el 11 no lo sabes. Pero, ¿qué número,
después del 9 sí tendría pan, ¿qué número? Ese
de aquí, éste (9) es el 9 y sí hay pan, ¿qué
número de la escalera si siguiera más largo
habría pan después del 9? ¿En qué número?
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 11, en el 11
tendría el pan (señala al aire después de
terminar la escalera)
I – Tendría pan, en el 11 tendría pan. Y ¿en qué
número después del 11 habría pan?
N – ¿Qué?
I – ¿Qué número después del 11?
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. En el 12.
I – ¿En el 12 habría pan? En el 11 hay, ¿en el 12
habría?¿sí?
N – ¿Qué?
I – ¿En el 12 sí habría pan? En el 11 sí hay.
N – Asiente con la cabeza.
I – Y entonces, ¿en el 12 hay?
(VI3a)
N – No. (VI3a)
I – ¿No?
N – Porque es sí, no, sí, no..
(VI3a)
I – Muy bien. Entonces en el 12 no, y ¿en el 13?
N – Piensa. Sí. (VI3a)
I – Y ¿en qué número después del 13 sí habría?
N – El ...el... (piensa callado). Lo estoy
pensando.
I – ¿Lo estás pensando?
N – (Asiente. Se pone el dedo en la boca como
para pensar.)1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13. En el 12 ... (VI3a)
I – En el 13 sí. (VI3a)
N – Porque es sí, no, sí, no.
I – Exactamente, porque sí, no
N – Sí, porque si ... si aquí no había (7) ...
I – Exacto, pero como hay...
N – Claro.
I – ¿En qué número, entonces?
N – En el 1 y en el 6 también hay pan.
I – Muy bien. Y entonces en el 15, ¿hay o no?
N – ¿Qué?
I – En el 15, ¿hay pan o no?
N – Sí.
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Porque sí, no, sí, no, ..
I –En el 15 hay ¿y qué número después de 15
habría? ¿Qué número?
(VI1)
N – No, no.
I –¿Qué número detrás del 15 sí habría?
N – Pero, nosotros lo hacemos sí, no, sí, no,...
I – Dime los números a partir de 15 que sí hay.
N – Porque sí, no, sí, no. (VI1b)
I – Porque sí, no,… muy bien. Lo has hecho
todo muy bien. Despídete de los Piolines
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
13)
359
Al. 3,4. Nombre: Alberto. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños: Diciembre.
*I – … Conforme va subiendo la escalera vas a
poner pan en todos los escalones, un pan sólo en
cada escalón.
(I1)
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 )
de la escalera. (I1a, IE4
*I …Después de ese (5) ¿cuál se come?
(II1)
N – Pone un Piolín en el escalón 4.
(II1b)
I – Después, después. Va subiendo, ¿eh?. Va
subiendo la escalera, ¿eh?(quita el Piolín del
escalón 4) ¿Cuál se come después?
N – Vuelve a poner el Piolín en 4. (II1b)
I – ¿Y después?
N – Pone otro Piolín en el escalón 3.
I – ¿Y después?
N – Pone otro en 2.
I – ¿Y después?
N – Pone en 1.
I – Vale, ¿y por el otro lado? Está aquí (5),
¿cual se come después? (II2)
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
(II2a)
I – ¿Y después?
N – Pone en 7 y otro en 8.
I – ¿Y después? (II3a)
N – Pone en 9. (II3a)
I – ¿Y después? (II3a)
N – Pone otro Piolín en el escalón 10.
(II3a)
I –Cuando va subiendo, justamente antes de
comerse éste (5) ¿cuál se come? (II1)
N – Este (3).
I –Cuando va subiendo, ¿por qué después de
éste (5) viene éste (6)?
(II1)
N – Porque sí.
I – ¿Por qué? ¿Por qué después de éste (5) viene
éste (6)?
N – Porque sí (señala el del escalón 5 y el del
22 )
6).
(II1a, IIE2
I – ¿Porque sí?
N – Asiente con la cabeza.
I – Vale. Ahora vamos a poner otra vez en la
cajita para empezar otro juego con los pajaritos
y los escalones. (Guarda todos los Piolines en
la caja). Mira, ahora, el pajarito ya no come pan
en todos los escalones, ahora come pan en uno
sí y en otro no, en uno sí y en otro no. En éste
(1) es que sí. entonces ¿dónde tienes que poner
pan?.
N – En el 1 sí.
I – Venga, pon pan. Pon pan en uno sí y en otro
no.
N – Coge el trozo del escalón 1 y lo pone en el
escalón 10. Coge otro trozo y lo pone en el 8,
después va poniendo en todos los escalones
siguiendo el orden hacia abajo.
I –Has puesto pan en todos. ¿Lo ves que en
todos los escalones has puesto? Así no dijimos.
Dijimos que era en uno sí (quita los trozos de
pan de la escalera). Era en uno sí y en otro no.
Entonces, venga, en uno sí (pone un trozo en el
escalón 1), en éste (2) no, en éste (3) sí (lo
pone), ¿en éste?
N – No.
I – ¿En éste (5)?
N – Sí.
I – Pues, venga, ponlo. Continúa tú.
N – Éste no (6). Éste sí (coge un trozo de pan y
lo pone en 7). Éste (8) no, éste sí (pone un trozo
de pan en escalón 9).
I –¿Has visto que ya hay pan en un sí y en otro
no?
N – Dice sí con la cabeza.
*I – … ¿Dónde pones los pajaritos para qu
coman pan?
(III1)
N – Aquí (señala detrás del muro).
I – Pues venga, ponlo. Pon pajaritos donde
haya.
N – He visto uno.
I – Pues ponlo.
N – (Pone un Piolín en escaló 4) Dos.
I – Pon donde haya
N – Es que ya, ..., ya no hay más. (III1b)
I – ¿Ya no hay más?
N – Niega con la cabeza. No, de momento, no.
I – Mira, (quita los muros) aquí no hay y has
puesto. Así que el mago es regular de mago.
Ahora viéndolo. Viéndolo, pon pajaritos donde
haya pan.
(III2)
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – En todos, en todos.
N – Pone en 7, en 9 y en 1.
I –Ahora vamos a tapar estos (pone muro en la
parte superior de la escalera) y quitamos estos
pajaritos (7, 9). Entonces, mira, aquí (1) hay
pajarito y pan, pajarito y pan (señalando los del
escalón 3), pajarito y pan (señalando los del 5).
Coloca, ahora, pajaritos en estos (señala
escalones de la parte superior) donde sí haya
pan. Para cuando quitemos el tabique... Cuando
quitemos esto haya pan detrás.
N – Intenta mirar por detrás del muro.
I – Pero no mires.
N – ¿Hay pan?
I – Tú lo pones, mira como va (señala los de
abajo) y pon donde haya pan.
N – (Mira la parte superior de la escalera) No
hay, no he visto más.
(III2b)
I – ¿Ya no hay más?
N – No.
I – ¿Por qué sabes que no hay más?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
360
N – Porque no, porque no lo he visto. Además
que ...
I – ¿Ya no pones más?
N – No.
I – Pero, ten en cuenta que ahora cuando
quitemos éste (señala el muro) sí hay detrás.
N – Lo voy a quitar yo. (Quita el muro) Ya está.
I – ¿Lo ves que hay? ¿Lo ves que hay? ¿Lo ves
o no? Vamos a poner esto (vuelve a colocar el
muro en la parte de arriba, ocultando los trozos
del 7 y el 9). ¿Donde ... Dónde estaba el pan?
N – Aquí (señala la parte inferior donde está el
pan)
I – Mira, ves, hay pan (levanta un momento el
muro para dejarle ver los trozos) ¿lo ves? Y
aquí (parte superior derecha de la escalera) y
aquí no hay pajaritos. Ahora tienes que poner
pajaritos donde haya pan, ¿lo ves?
N – Sí.
I – Pues le ponemos esto (coloca de nuevo el
muro) para que no veas tú e pan. ¿Donde ...
donde está el pan?
N – Aquí (señala en el muro a la altura del
escalón 7).
I – Venga, coge el pajarito, donde tú creas que
haya el pan.
N – Vuelve a señalar al muro.
I – Venga, ponlo.
N – Pero, hasta que no me quites esto ... (coge el
muro de cartulina)
I – ¿Lo vas a quitar?
N – Sí (quita el muro y pone Piolines en los
escalones 7 y 9). Ya.
*I – …Hay un pajarito en el número 5, pon un
pajarito en el número 7. (IV1)
14)
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 4.
(IV1b)
I – En el 7, ¿ese es el 7?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque sí.
I – Vale, ahora, vamos a ponerlos aquí (coge los
Piolines y los pone en la caja). Cuenta los
escalones .
(IV2)
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (Va señalando
con el dedo los escalones a la vez que cuenta).
(IV2a)
I –. Ahora éste (5) es el número 5. Vamos a
colocar un pajarito en el número 5 (lo pone)
¿vale? Coloca otro pajarito en el número 6
(IV3)
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 10.
(IV3b)
I – ¿Ese es el 6?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – ¿Ese es el 6?
N – Sí.
I – Ah.
N – Cuenta con el dedo algunos escalones.
I – Coloca uno en el número 1.
N – En el número 1. (Coge un Piolín y lo pone
en el escalón 6)
I –Como salen los niños al recreo, pues ya nos
vamos.
Ma. 5,8. Nombre: Marcos. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños: Agosto.
I – ¿Por qué después de éste (5) viene éste (6)?
(IIE)
55 )
N – Porque es el siguiente.
(IE5
I –Ahora vamos a hacer otra cosa con los panes
y los Piolines. (Quita los trozos de pan y el
Piolín). Ahora el Piolín va a comer pan en un
escalón sí y en otro no. Venga, ponlo. en uno sí
y en otro no.
N – Coloca trozos de panes en 1, 3, 5, 7, y 9
por orden.
*I – … Tienes que poner Piolines donde hay
pan. Aunque tú no lo veas, pero hay pan en los
escalones porque lo hemos tapado. Pon Piolines
...
(III1)
N – Coge el Piolín del 5 y lo pone en el escalón
1.
I – Cogelo de aquí (señala la caja).
N – Pone Piolines en 1, 3, 7, 9.
(III1a)
I –¿Ves que tú eres un mago? ¿Por qué pones
aquí (7) un Piolín?
N – Porque hay pan.
I – ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Y por qué sabes que hay pan?
N – Porque sé que en éste (6) no hay.
44 )
(IIIE4
I – Si coloco un Piolín aquí (8), ¿va a comer?
N –No, porque sé que en éste (6) no hay, en éste
44 )
(7) sí hay y en éste (8) no hay
(IIIE4
*I –... Ese Piolín que hemos dejado está en el
número 5. Ahora coloca tú un Piolín en el
número 7. (IV1)
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7.
(IV1a)
I –. Coloca ahora uno en el número 9.
N – Lo pone.
I – Coloca uno en el número 3.
N – Pone un Piolín en el número 3.
I – Ahora uno en el número 1.
N – Lo pone en el escalón 1.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Ahora dime por qué éste (7) que has puesto
aquí... Estaba éste (5) que estaba en el número 5
y éste (7), ... por qué éste (7) es el número 7.
(IVE)
N – Porque lo sé.
I – ¿Y por qué lo sabes?
N – Porque me paso.
I – ¿Uh?
55 )
N – Me paso un número al otro. (IVE5
I – Porque te pasas un número al otro. Pero,
¿por qué sabes ...? Éste (5) es el 5, ¿por qué
sabes que éste (7) es el 7?
55 )
N – Porque me paso el 6. (IVE5
I – Ahora sólo dejamos este que está en el 7.
Quiero que sabiendo que ese es el 7 pongas uno
en el 3
N – Coloca uno en el 3
I–¿Por qué sabes que éste (3) es el 3?
N – Porque he contado para abajo
I – ¿Cómo?
N – Porque me paso al 6, al 5, al 4 y al 3
I –. Ahora vamos a hacerlo con pan y con
pajaritos, con las dos cosas, ¿vale?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Entonces ponemos pan, otra vez pan en uno
sí y en otro no.(Pone un trozo de pan en el
escalón 1). Ve poniéndolo en uno sí y en otro
no el pan.
N – Coloca en 3, 5, 7, 9.
*I –... El pajarito que está ahí está en el número
5 ¿sí? ¿En qué número, después del 5, tienes
que poner un pajarito para que haya pan? (V1)
N – Coge el Piolín del 5 y lo pone en el escalón
7). Siete.
(V1a)
I – El 7,¿Y en qué otro número para que haya
pan?
N – Pone el pan en el escalón 9. Nueve.
I –En qué otro número para que haya pan por
aquí abajo (señala la parte inferior de la
escalera).
N – Pone el pajarito en el escalón 3.
I – ¿Y ese qué número es?
N – Tres.
I –¿Y en qué otro número para que haya pan?
N – Lo pone en el 5.
I – El 5 sí, ese ya lo habías puesto. Ahora dime,
... El pajarito está aquí en el 5 y hay pan. Si
quieres coge otro pajarito pero si quieres con
éste. Entonces el pajarito está aquí que hay pan,
¿vale?, dime ¿por qué después de éste, que es el
5, viene el 7 donde sí come pan? (VE)
44 )
N – Porque me paso el 6. (VE4
I – Porque te pasas el 6, ¿y por qué te pasas el
6?
N – Porque no puede subir.
I – ¿Por qué no?
N – Porque ... (Coge el Piolín lo mueve en 5, 6,
7 y después del 5 al 7 y lo vuelve a dejar en 5).
361
I – Ese pajarito está en el 5, ¿vale? Y come pan.
Y tú has dicho que después del 5 ...
N – El 7.
I – El 7, muy bien. Pon un pajarito en el 7.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – Eso. Ahí come pan ¿por qué después de éste
(5) pones un pajarito aquí?
N – Porque ahí (6) no hay pan.
I – Porque ahí no hay pan, muy bien. (Levanta
el muro para que compruebe que en el 7 había
pan) (Quita los dos muros) Ahora, hay pan y
pajaritos (coloca pan y pajaritos en 1, 3, 5, 7, 9)
¿En qué número... ¿ Dime los número en los
que hay pan.
N – El 1, el 3, el 5, el 7 y el 9.
*I –... Si ahí estuviera el número 15, ¿habría pan
o no, en el número 15?. (VI1)
N – Sí.
I – ¿Por qué,?
55 )
N – Porque es igual que el 5.
(VI1a, VIE5
I – Porque es igual que el 5, vale. Y dime otros
números más grandes que el 15. A partir del 15,
dime otro número que sí tiene que haber pan.
N – En el 100.
I – Sí, pero el 100 es muy lejos. El siguiente del
15 donde sí hay pan.
N – El 17.
I – ¿Y el siguiente de ese donde sí hay pan?
N – 19.
I – Muy bien. ¿Y el siguiente donde también
hay pan?
N – 21.
I – ¡Qué bien! ¿Y el siguiente donde también
hay pan?
N – 23.
I – ¿Y el siguiente donde también hay pan?
N – 25
I – ¿Y el siguiente?
N – 27.
I – ¿Y el siguiente?
N – 29
I – ¿Y el siguiente?
N – 31.
I – Perfecto. ¿Y en el 45 hay pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque es igual que el 5 y el 35.
I – Ah, ¿y en el 47?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿También? ¿Por qué?
N – Porque es igual que el 7.
I – ¿Y en el 36?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque ésta (señala el 6) está sin pan.
I – Muy bien. Dile adiós a la cámara.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
362
15)
Nu. 6,3. Nombre: Nuria. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en : Enero.
I –¿Por qué después de éste (5) viene éste (6)?
N – Porque viene después de éste (señala al 5).
55 ).
(IIE5
I –.(Quita todos los trozos de pan). El pajarito
va a comer pan en un escalón sí y en otro no, en
uno sí y en otro no. Venga, ponlo.
N – (Pone trozos de pan en 1, 3, 5, 7, 9). Ya.
*I – … Ahora pon pajaritos tú en todos los que
sí hay. (III1).
N – Sí hay (señala el escalón ().
I – Pon pajaritos en todos los que sí hay.
N – Coge un pajarito y lo pone en 8.
I – En todos los que sí hay, venga, pon pajaritos.
N – Mira y piensa un momento.
I – Era en uno sí y en otro no.
N – Mueve el pajarito que estaba en el 8 y lo
pone en el 7.
(III1a).
I – Venga, pues en todos los demás.
N – Pone uno en el 9, otro en el 3 y otro en el 1
(III1a)..
I – ¿Por qué has puesto aquí (7) un pajarito?
N – Porque ...(se tapa la cara con el jersey)
¿Me puedo ir?
I – ¿Por qué sabes que hay pan?
N – Porque lo he puesto yo.
I – Pero, ¿por qué sabes que ahí hay pan? Aquí
hay pan (señala 5) ¿lo ves está el pajarito y hay
pan. ¿Por qué sabes que aquí (7) hay pan?
N – Porque,... porque ... Aquí está el pajarito
porque hay pan. Aqhí no hay (6) y aquí sí hay
44 )
(7)
(IIIE4
*I – …(Quita los trozos de pan y los Piolines,
menos el del 5). Este Piolín está en el 5, pon
otro en el número 7.
(IV1)
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7.
(IV1a)
I – Pon un pajarito en el número 9.
N – Lo pone en el escalón 9.
(IV1a)
I – Pon un pajarito en el número 3.
N – Lo pone en el 3.
(IV1a)
I – Pon un pajarito en el número 1.
N – Lo pone en 1.
(IV1a)
I –Este (5) es el número 5. ¿Por qué sabes tú
que éste (7) es el número 7?
N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es
55 )
el 6 y éste (7) es el 7.
(IVE5
I –Este (5) es el número 5. ¿Por qué sabes tú
que éste (9) es el número 9?
N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es
el 6, éste (7) es el 7, éste (8) es el 8 y éste (9) es
el 9
N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es
55 )
el 6 y éste (7) es el 7.
(IVE5
I –Este (5) es el número 5. y lo tienes que trener
en cuenta para decirme que este (3) es el 3
N – ¿Qué?
N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es
55 )
el 6 y éste (7) es el 7.
(IVE5
I –Sí, mira este (5) es el número 5. ¿Por qué
sabes tú que éste (3) es el número 3?
N – Porque lo he contado
N – Porque como el 6 va detrás del 5, éste (6) es
55 )
el 6 y éste (7) es el 7.
(IVE5
I –Pero yo quiero que me lo digas teniendo en
cuenta que este (5) es el número 5.
N –¿Ah, sí!, se cuenta para abajo, éste (5) es el
5, éste (4) es el4, éste (3) es el 3
I –Ahora vamos a hacerlo con los pajaritos y el
pan,
N – ¿Los pajaritos y el pan?
I – Vamos a poner el pan donde están los
pajaritos (en 1,3 y 5), en uno sí y en otro no.
N – Pone pan en 7 y 9.
*I – El pajarito que está en el número 5 y sí
come pan, ¿en qué, después del 5, tienes que
poner pajaritos? (V1)
N – Coge pan.
I – No, un pajarito, ¿en qué número para que
coma pan?
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – Ahí, ¿y ese qué número es?
N – El 7.
I – El 7, muy bien. Y ¿en qué número tienes que
poner el pajarito donde haya pan?
N – (Pone Piolín en el escalón 9). En el 1, en el
3, en el 5, en el 7 y en el 9.
(V1a)
I –¿Por qué detrás de éste (5) que es el 5, viene
el 7?
N – Porque éste es el 6 y no come (señala
escalón 6) y éste (7) el 7 y sí come.
44 )
(VE4
I – (Quita los muros de cartulina y pone
pajaritos en 1 y 3). ¿En qué número comen pan
los pajaritos?.
N – En el 1, e el 3, en el 5, en el 7 y en el 9.
*I – … en el 15, ¿come pan el pajarito?
(VI1)
N – Éste (9) es el 9, ¿no? (Piensa en silencio y
mueve los dedos como contando). No.
I – ¿En el 15 no come? ¿por qué?
N – Porque viene ..... el 12.
I – ¿Después del 9 cual viene? ¿El 12?
N – (Va moviendo los dedos) El 11, 1l 11.
Viene el 10, pero ... va 11, 13, 14, y 15.
I – Entonces, ¿en el 15 come o no?
N – Hace un ruido como diciendo que no.
I – ¿En el 15 no come? (VI1)
N – Dice no con la cabeza(VI1b).
I – Entonces, éste (9) es el 9. ¿Qué número
viene desués del 9 en el que sí come? (VI2)
N – 11 (VI2a)
I – En el 11. ¿Y después del 11?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – El 13.
I – ¿Y después del 13? (VI3)
N – El 15.
(VI3a)
I – Ah, el 15, muy bien. Entonces, ¿en el 15
come?
N – No.
I – Pues ¿no me acabas de decir que sí?
N – Síí.
I – ¿En el 15 come?
(VI1)
N – Sí.
I – En el 15 come. ¿Y después del 15 en cual
come?
N – En el 17.
(VI1a, VIE3)
I – ¿Y después del 17?
N – El ... 19.
I – ¿Y después del 19?
N – El 21.
I – ¿Y después del 21?
16)
363
N – El 23.
I – ¿Y por qué come? ¿y en el 25?
N – ¿ 25 come? No ... sí, sí.
I – Entonces, en el 15 sí come ¿por qué come?
Y después del 15 ¿cual come también?
N – En el 17.
I – ¿Y por qué?
N – Porque después del 15 viene el 16 y
después el 17.
I – ¿Y por qué come en el 17?
N – Porque va de 2 en 2.
I –¿Y en el 32?
N – Um… sí, ah!, no
I –¿Y en el 43?
N – No lo sé
I – Muy bien. Bueno, Nuria, di adiós a los
pajaritos que ya has terminado.
Ma. 5,5. Nombre: Marina. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños : Noviembre.
I –¿Por qué después de éste (5) se come éste
(6)?
N – Porque ha comido éste (5), ha saltado
(señala el escalón 6), y entonces se come el
55)))
otro.
(IIE5
I –. Vamos a poner el pan aquí (en la caja).
Ahora vamos a hacer otro juego.
N – Quita los trozos de pan y los mete en la
caja.
I –. Ahora, Marina, el pajarito en vez de comer
pan en todos los escalones, come pan en uno sí
y en otro no. En un escalón sí y en otro no.
N – Asiente con la cabeza.
I – Pues entonces, venga, ponlo tú. Pon tú el pan
en un escalón sí y en otro ...
N – Pone trozos de pan en 1, 3, 5, 7 y 9.
*I – …Este Piolin (5) sí come. Pon pajaritos en
todos donde sí haya pan detrás de la valla.
(III1)
N – Coloca un pajarito en el escalón 7.
(III1a)
I – Ponlos en todos en los que sí come pan.
N – Pone pan en los escalones 9, 1 y 3.
(III1a)
I –Y ¿por qué si aquí (5) hay pan, por qué has
puesto aquí (7) un pajarito?
N – Porque .... (se queda pensativo). Porque ahí
hay un pan.
I – ¿Y por qué sabes que ahí hay un pan?
N – Porque se ve.
I – … Y aquí (9), ¿por qué has puesto un
pajarito? Aquí (7) has puesto un pajarito porque
hay pan y lo ves, ¿y aquí?, ¿por qué los pones?
N – Porque hay pan.
I – ¿Y por qué sabes que hay pan?
N – Porque, mira, éste (1) tiene pan, éste (3)
tiene pan y ahora éste (5) tiene pan, éste (7)
tiene pan y éste (9) tiene pan y éste (10) no
33 ).
(IIIE3
*I –…Éste está en el número 5, pon ahora otro
pajarito en el número 7. (IV1)
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7.
(IV1a)
I –Ahora, tienes que coger otro pajarito y
ponerlo en el número 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
I – ¿Ese es el 9?
N – Coge el del 10 y lo baja al 9.
I – Ahora coge otro pajarito y lo pones en el
número 3.
N – Eso va abajo.
I – Coge otro y lo pones en el 3.
N – Pone otro Piolín en el escalón 3.
I – Y coge otro y lo pones en el 1.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 1.
I –Ahora, dime, ... Éste (5) es el número 5, ¿por
qué éste (7) es el número 7?
N – (Piensa mirando al techo) Porque el 1 es
aquí, el 2 está detrás del 1 y detrás del 2, .. el 3 y
ahora luego el 5 está ahí (señala el escalón 5) y
el 6 no está ahí, pues ahora el 7 va ahí.
I – Vale, y ¿cual es el 8?
N – (Va siguiendo con la vista la escalera y se
queda callada pensando.) Éste (señala el
escalón 8).
I – ¿Por qué ese es el 8?
N – Porque el 1 es el primero, el 2 es detrás del
33 )
1, el 3 ... el cuatro, y el 5 ... y el 8. (IVE3
I – ¿Cual es el 8, me dices?
N – Éste (parece que señala el escalón 9)
I – ¿Cual es? Es que no ... Señálalo
N – Señala con el dedo el pajarito que está en el
escalón 9.
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364
I – ¿Ese es el 8? O, si quieres quitamos todos
los pajaritos (quita todos los Piolines) y ahora
tienes que ponerme tú el pajarito en el número
8. Pon el pajarito en el número 8.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Ese es el número 8?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque el 1 es aquí (1), el 2 aquí (2), el 1
aquí (3), el 3 aquí (5), el 4 aquí (7), el 5 aquí (8)
y ahora el 8 aquí (9).
I – Y pon otro en el 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
I – ¿Ese es el 9?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Y pon otro en el 10.
N – Coge un Piolín de la caja, pero se queda un
rato pensantiva mirando el final de la escalera.
Después hace un recorrido de abajo arriba por
toda la escalera como si contara. ¿El 10 qué va,
aquí? (10)
I – ¿El 10 va ahí?
N – Dice que sí con la cabeza
I – Bueno...
N – Pone el Piolín en el escalón 10.
I – Entonces, ¿cual es el 8?
N – Este. (Señala al Piolín que está en el
escalón 9).
I – ¿Y el 9?
N – El 9 éste (señala el Piolín que puso primero
en el escalón 10)
I – ¿Y el 10?
N – Señala el otro Piolín que está en el escalón
10.
I – ¿El mismo?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Es el mismo el 9 que el 10?
N – Dice que no con la cabeza.
I – Entonces, quita los Piolines.
N – Los quita.
I – Pon uno en el 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
I – ¿Ese es el 9?
N – Asiente con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque el 1 es éste (1), el 2 éste (2), el 3
éste (3), el 4 éste (4), el 5 éste (5), 6 éste (6), ...
el 8 éste(8) y el ...... (señala escalón 9)...
Ummm... El 1 (señala el escalón 1), el 2 éste
(3), el 4 éste (5) .. éste el 5 (8) y el número 9
aquí y (señala al Piolín del escalón 10).
(IV1b)
I – Bueno, Marina, quita El Piolín de ahí, anda.
Cuenta los escalones.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (va señalando con
el dedo los escalones y se corresponden con el
número nombrado).
(IV2a)
I – Ahora, ya has contado los escalones y lo has
hecho muy bien. Ahora, pon un Piolín en el
número 5.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese el es 5?
N – Asiente con la cabeza.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 5?
N – Porque ... (pasa el dedo por los escalones)
éste (5) es el 4 y el 6 es... el 1 (1) éste.
I – Ese, ¿qué es, el número 5?, bueno. El
número 5 Marina, (cambia el Piolín del escalón
6 al 5). Mira, aquí está. Este (señala Piolín del
escalón 5) es el número 5, Marina ¿eh? Pon
uno en el número 6.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7
I – Pon otro en el número 7.
N – Lo pone en el escalón 9.
I – ¿Y por qué sabes ...? ¿Y esto qué número es
(6)?
N – El 6.
I – Pues entonces ponlo en el 6.
N – Pone el Piolín que estaba en el escalón 7 en
el escalón 6.
I – Ahora, pon otro en el número 7.
N – El 7,.. éste no (Baja el Piolín que estaba en
el escalón 9 al 7).
I – Pon otro en el número 8.
N – Pone uno en el escalón 8. Y coge otro
Piolín para ponerlo en el mismo escalón)
¿Pongo otro aquí?
I – ¿Para qué? Si tú lo pones ahí, ¿ese qué
número es?
N – Se queda callada mirando.
I – ¿Qué número es éste (7)?
N – El 7.
I – ¿Por qué sabes que es el 7?
N – Porque el 5 (5), el 6 ese (6) y el 7 y el 8 (los
señala tambien).
I – Pon otro en el número 9.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9.
I – Otro en el número 10.
N – Pone otro en el escalón 10.
I – Otro en el número 4.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 4.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 5?
N – Porque éste (5) es el 5.
I – Pon otro en el número 3.
N – Coge uno y lo pon en el escalón 2 y al
momento lo cambia al 3.
I – Pon otro en el número 2.
N – Lo pone.
I –Ahora quita todos los Piolines. Los ponemos
en la cajita (entre las dos quitan todos los
Piolines y los meten en la caja). Pon uno en el
número 5.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 5.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 5?
N – Porque éste (1) es el 1 ... El cuatro va aquí
(4). No ves que éste (1) es el 1 y después del 2
(2) el 3 (3) y ahora como el 4 es éste (4), pues el
5 va (señala el Piolín del escalón 5).
(IV3a)
I –Si ese es el 5, pon otro en el 8.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Coge un Piolín, cuenta los escalones y lo
pone en el escalón 8.
I – El 8, ¿por qué sabes que ese es el 8?
N – Porque el 5 es éste (señala con la mirada el
escalón 5) y ahora el 6 va ahí y el 7 ahí (señala
los escalones de lejos) I – El 8, ¿por qué sabes
que ese es el 8?
I –Bien, si ese es el 5, pon otro en el 83.
N – Coge un Piolín, cuenta los escalones y lo
pone en el escalón 3.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 3?
N – Porque 1, 2 y 3 (señala con la mirada los
33 )
tres primeros escalones ) (IVE3
I – (Quita los Piolines de la escalera). Ahora
vamos a hacer las dos cosas. ¿Te acuerdas que
antes pusimos el pan? Bueno, pues ahora,
entonces vamos a poner el pan igual que antes
en uno sí y en otro no. Pon el pan en uno sí y en
otro no
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7, 9..
*I –…En el número 5 hay pan, ¿En qué número
después del 5? (V1)
N – En éste (1).
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 1.
I – Venga. Lo pones y me lo dices.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – ¿En qué número tienes que poner pajaritos
para que haya pan?
N – En éste (3). (V1b)
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 3.
I – Ahá. Pues, ponlo. Venga, más.
N – Pone Piolín en el escalón 7. (V1b)
I – ¿Ese qué número es? Me tienes que decir los
número.
N – El 8 y el ... el 9. Pone un Piolín en el
escalón 9.
I – Mira los piolínes están colocados en uno sí y
en otro no, y este (1) es el 1, dime los números
17)
365
en los que están colocados estos piolines (señala
los de los escalones 3, 5, 7 y 9
N – (Empieza hablando muy bajito) ...el 8 y el
... el 9. (señala el Piolín del escalón 9.
I – Dime los números sólo de los escalones que
tiene pasjaritos.
N – El 1 y el ... el 2 (3).... el 3, el 4(5), el 5(7), el
6 (9)
(V2b).
I –Éste (5) es el 5 y hay pan y éste es el 7. Y
éste (7) es el 7 y hay pan también. ¿Por qué
después del 5 viene el 7 para que haya pan?
N – (Piensa) Porque el 6 queda aquí (señala el
escalón 6). Y va aquí (7) y aquí (5).
I – ¿Y por qué?
N – Porque cada número ... El 1 es más poco,
que es una cosa, el 2, dos cosas, el 3 tres cosas,
ahora el 5 es más cosas.
*I – …Entonces, si la escalera fuese más larga,
¿tú sabes si en el 15, cuando el pajarito está en
el 15, come pan? (VI1)
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque hay mucho.
I – ¿Porque hay mucho? ¿Y después del 15 en
cual come?
N – Piensa durante un rato callado.
I – ¿En cual come? ¿Sabes en cual come
después del 15?
N – Mueve la cabeza diciendo que no.
(VI1b)
I – Bueno… Entonces, éste (1) es el 1 y come,
éste (3) el 3 , el 5, el 7 y el 9 y come. Entonces,
después del 9, ¿en qué número come, después
del 9?
N – En el 10.
(VI2b)
I – ¿En el 10? El 10 está ahí. ¿En el 10 come?
N – Sí.
I – Bueno, ya está. Ya no te canso más. Di
adiós.
Pa. 5,8. Nombre: Pablo. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños: Agosto.
*I – …Pon pan en cada uno de los escalones
conforme va subiendo
(I1).
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 ).
de la escalera. (I1a, IE4
*I – … Después de comerse éste pan (5), ¿qué
pan se come el pajarito después de éste?
(II1).
N – La bebida. (II1b).
I – Ahí no hay bebida. Hay pan sólo. Se va
comiendo el pan cuando va subiendo. Cuando
se come ese (5), después, ¿cual se come?
N – Otro pan.
I – Otro pan, ¿no? Pero, ¿qué pan?
N – Pan tierno.
I –. El pajarito va subiendo. En éste (1) se come.
Cuando sube, aquí (pone el Piolín en el escalón
1), se come éste pan. Cuando sube aquí (2) se
come éste. Cuando sube aquí (sube el Piolín al
escalón 3) se come éste. Entonces, después de
éste (3) ¿cual se come? (II2).
N – Éste (señala el pan del escalón 4).
(II2a).
I –Cuando va subiendo (mueve el Piolín por los
escalones, subiendo desde el escalón 3 al 8). Y
después de éste (8) ¿cual se come?
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366
N – Éste (9).
(II3a).
I – Y después ¿cuál se come?
N – Éste (10).
I –Entonces, cuando está aquí (pone el Piolín en
el escalón 5) ¿cual se come?
(II1).
N –Éste (6).
(II1a).
I –¿Y después de ese cual se come?
N – Éste (7).
I –Y después de éste (7).
N – Señala el 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el 9.
I – ¿Y antes de este (5) cuando sube?
N – Señala el 4.
I – ¿Y antes?
N – Señala el 3
I – ¿Y antes?
N – Señala el 2
I – ¿Y antes?
44 ).
N – Señala el 1. .
(IIE4
I –¿Por qué cuando se come éste (5) , después
se come ese (6)? ¿Por qué?
44 ).
N – Porque tiene mucha hambre. (IIE4
I –Ahora vamos a hacer otro juego. (Empieza a
retirar el pan)
N – Quita todo el pan y lo pone en la cajita.
I – El pajarito va a comer pan en uno sí y en
otro no. Ya en todos no, sino en uno sí y en otro
no. Venga, ponlo. Pon el pan en uno sí y en otro
no.
N – Señala con el dedo el escalón 4 y 5 y mira
a la investigadora.
I – Ponlo. Es en uno sí y en otro no.
N – Coge un trozo de pan y lo pone en el
escalón 4.
I – Venga, va subiendo la escalera y entonces
pone pan en uno sí y en otro no. Venga. En éste,
empieza aquí (pone un trozo en el escalón 1) en
éste sí, ahora sigue tú poniendo
N – Pone un trozo en el escalón 2.
I – Es en uno sí y en otro no.
N – ¿Aquí también? (Señala con un pan el
escalón 2).
I – Es en uno sí y ... En un escalón come y en
otro no come. Entonces, tienes que ponerlo
como es.
N – Pone 4 trozos en 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
I – Es en uno sí y en otro no, Pablo, vamos a
quitar esto (quita los trozos de los escalones 2,
4, 6, 8, 10). Porque mira, es en éste (1) sí, en
éste (2) no, en éste (3) sí, en éste (4) no ¿lo ves?
(Corre los trozos de pan hacia la izquierda de
la escalera) ¿eh?
N – Sí
*I –…Tienes que poner un pajarito donde sí hay
pan
(III1)
N – Señala el pan del escalón 5. (III1b)
I – Venga, pues ponlo. Coge un pajarito de aquí
y lo pones.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 5,
entre el pan y el otro Piolín.
I – Pero, en estos escalones (señala los de la
parte inferior) en ese ya hemos puesto. Quita el
pajarito, porque en ese ya hay un pajarito.
N – Quita el pajarito que puso en el escalón 5.
¿Cual?
I – Éste, (5). Tienes que poner pajaritos en los
escalones que sí hay.
N – Coge un pajarito, mira la escalera y
después mira al Piolín y le va dando vueltas
para verlo por todos lados.
I – Vamos a hacerlo primero viéndolo (quita
los muros) y después lo hacemos sin ver. Pon un
pajarito en los sitios que sí hay pan.
(III2)
N – Pone pajaritos en 1, 3, 7 y 9. (III2a)
I – Has puesto pajaritos ya en los sitios que sí
hay pan. Ahora voy a tapar esto, estos sitios te
los voy a tapar (pone el muro superior) y voy a
quitar de aquí los pajaritos (quita los Piolines
del 7 y el 9) y ahora sin verlo tú me vas a poner
los pajaritos donde sí hay pan, en esos escalones
que yo te lo he quitado. (III3)
N – Mira la escalera pensativo.
I – Porque detrás de esa pared que hemos
puesto, detrás, hay pan en algunos escalones.
Entonces tú lo tienes que poner en los sitios que
sí hay.
N – Señala los Piolines de 1, 3, 5.
I – Ya está puesto ahí. Pero, ahí porque lo estás
viendo, pero más para arriba también hay en
algunos sitios. Venga, ponlo donde hay. Y
después quitamos la pared ésta y ya vemos si lo
has hecho bien o no.
N – (Mira la escalera y señala el escalón 7).
Ahí hay.
(III3a)
I – Venga, pues pon un pajarito. Tú pones
pajaritos donde tú creas que hay.
N – Coloca un Piolín en el escalón 9.
(III3a)
I – ¿Y por qué sabes que ahí había?
N – Porque, ... Porque,...
I – ¿Por qué?
N – Porque ... porque yo lo sé muy bien.
I –A ver (quita el muro). Pues sí, lo sabes bien,
porque has puesto que aquí había y aquí hay.
Ahora te voy a quitar esto (quita los Piolines
menos el del escalón 5) y vamos a poner aquí
otra vez el tablero éste (pon muro). Y ahora aquí
hay un pajarito (5) y hay aquí pan ( señala el
pan del 5), ¿lo ves? Ahora me tienes que poner
pajaritos donde sí hay pan. Ponlos. Pon pajaritos
donde sí hay pan.
(III1)
N – Coge el Piolín del escalón 5.
I – No, coge otros de allí de la cajita. Cógelo de
la caja y pones donde sí hay pan.
N – Ahí (señala el pan de la escalera 5).
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Sí ahí hay pan, sí, pero en la escalera, en
otros escalones que sí hay pan. Pues venga,
ponlo.
N – Señala escalón 7.
(III1a)
I – Tú pon tú pajarito, cariño.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – Venga, más, ponlo en todos los sitios que sí
haya, pues venga, ponlo.
N – Señala escalón 9.
I – ¿Y por qué lo sabes? ¿Por que lo ves?
N – Dice que no con la cabeza. Y pone un
Piolín en el escalón 9.
I – Venga, más, ahora por aquí abajo. Pon
pajaritos donde sí haya pan.
N – Señala escalón 3.
I – Venga, pues ponlo.
N – Pone uno en escalón 3.
I – Venga.
N – Señala escalón 1.
I – Ahá, pues lo pones.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – Muy bien. ¿Por qué sabes tú...? Si aquí hay
pan (5), ¿lo ves? y hay pajarito ¿Por qué has
puesto aquí (7) éste?
(IIIE)
N – Porque,.... porque... eh..... había ahí pan
(señala con el dedo el escalón).
I – ¿Y por qué sabías que había pan?
N – Porque ... porque hay niños que lo saben
todo.
I – ¿Y tú lo sabes todo, todo? ¿Y por qué sabes
que había ahí pan, hijo?
N – Porque yo he pensado.
I – ¿Has pensado? ¿Y qué es lo que has
pensado?
N – Del pan.
I – ¿Y por qué sabes que ahí había?
11 )
N – Porque sí. (IIIE1
*I – … Es un pajarito que está en el número 5,
¿vale? Ahora, pon tú otro pajarito en el número
7. (IV1)
N – Cuenta con el dedo los escalones desde el
primero al 7, coge un Piolín y lo pone en el
33 )
escalón 7.
(IV1a, IVE3
I – Pon otro pajarito en el número 9.
N – Vuelve a contar los escalones hasta el 9 y lo
pone.
I – Pon otro pajarito en el número 3.
N – Cuenta y lo pone en el 3.
I – Y pon otro pajarito en el número 1.
N – Pone otro en el escalón 1.
I –Éste (5) es el 5. ¿Por qué sabes que éste (7)
es el 7?
N – Porque he saltado.
I –Sí, pero tú puedes adivinar que éste es el 7
teniendo en cuenta que este es el 5
N – Porque he saltado.
I –Ahora hacemos el pan y los número ¿vale?,
entonces pon otra vez pan en uno sí y en otro
no, igual que antes,
N – Pone pan en 1, 3, 5, 7, 9.
367
*I – … Éste (5) pajarito está en el número 5,
¿En qué número tienes que poner otro pajarito
para que coma pan también?
(V1)
N – Ahí (señala escalón 7).
I – ¿Y ese qué número es?
N – (Cuenta con el dedo los escalones desde
abajo hasta llegar al escalón 7). El 7.
I – Pues venga, ponlo.
N – Lo pone.
I – ¿En qué números tienes ahora que poner el
pajarito para que coma pan?
N – Vuelve a contar con el dedo los escalones
hasta llegar al escalón 9. Y pone el Piolín en el
escalón 9
(V1b).
I – ¿En qué número?
N – Vuelve a contar con el dedo los escalones y
en voz baja va diciendo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
I – ¿En qué número?
N – En el 9.
I –¿Ahora en qué número tienes que poner el
pajarito también para que coma pan?
N – Señala el escalón 3.
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 3 (lo pone).
I – ¿Y en qué número tienes que poner el
pajarito para que coma pan?
N – ¿El 2?
(V1b)
I – ¿En el 2 come pan? ¿Cual es el 2?
N – Señala con el dedo el escalón 2.
I – ¿Y ahí come pan?
N – No.
I – Entonces, ¿cual te queda para que coma
pan?
N – El 1 ...
I – Come, y ¿en qué más? Venga, dime los
números.
N – El 3, el 4, ..
I – ¿En el 4 come pan?
N – 5 y el 9. Cuenta los escalones.
I – ¿En qué número come pan el pajarito? (V2)
N – En el 1, en el 2, en el 4, en el 5 y en el 9.
(Señalando con el dedo los Piolines colocados).
(V2b)
I – ¿En qué número come pan?
N – Señala con el dedo los Piolines.
I – ¿Cuáles son esos números?
N – (Va pasando el dedo por los Piolines). En el
1, en el 2, el 4, el 5 y el 9.
I – ¿Sí? ¿Ahí es donde come pan? Bueno, ahora,
mira, esta es la escalera (quita los muros) ¿lo
ves? Va comiendo pan el Piolín. Aquí come pan
(1), aquí (3) come pan y va comiendo pan. ¿Éste
(9) cual es?
N – El Piolín.
I – El Piolín, sí, pero ¿qué número es ese?
N – (Cuenta con el dedo desde el principio de la
escalera por donde están los Piolines, cuando
va por el 5 vuelve a empezar un par de veces,
sin subir más allá del 5). El 1 (1)... el 3 (3), ... 4
(5), 5 (7) y el 6 (9).
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
368
*I – Bueno, mira, Pablo. Este es el número 9
(señala el escalón 9). Si contamos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 (va señalando los escalones a la vez
que cuenta). Ese (9) es el 9, ¿lo ves? Imagínate
la escalera más larga. Llega hasta allí, pero tú te
la imaginas más larga ¿vale? Después del 9
¿qué número viene para que coma pan el
pajarito?
(VI2)
N – El 10.
(VI2b)
18)
Ra. 4,4. Nombre: Raquel. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños : Diciembre.
I –¿Por qué después de comerse éste (5) se
come éste (6)?
N – Toca el Piolín del escalón 5.
I – Venga, dímelo, para que yo después se lo
diga a Nuria.
N – Mira a la hoja en la que escribe la
investigadora.
I – Ahora los pajaritos comen pan en todos los
escalones, pero ahora en vez de comer pan en
todos los escalones va a comer en uno sí y en
otro no ¿vale? (Quita todos los trocitos de pan).
Come pan en un escalón sí y en otro no ¿eh?
Entonces, ponlo tú. Pon pan en un escalón sí y
en otro no.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 1.
I – Venga, ponlo, en uno sí y en otro no.
N – Pone pan en el escalón 2 y mira a la
investigadora.
I – Es en uno sí y en otro no.
N – Cambia el trozo de pan del escalón 2 al 3.
I – Venga. Pon en uno sí y en otro no, venga.
N – Pone pan en los escalones 5, 7 y 9.
*I – … Ahora pon tú en los sitios donde sí come
pan, donde sí puede comer pan. (III1)
N – Pone Piolines en los escalones 7, 8, 9, 10,
4, 3, 2, 1.
(III1b)
I – Mira, Raquel (quita los muros) ¿has visto?
Aquí (2) has puesto y aquí no hay pan. Aquí (4)
has puesto y aquí no hay pan, ¿lo ves?. Vamos a
hacerlo viéndolo. Vamos a poner aquí todos
(pone todos, menos el Piolín que están en el
escalón 5, en la caja). Pon pajaritos en los sitios
donde sí hay pan.
(III2)
N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5, 7, 9.
(III2a)
19)
I – ¿Sí? ¿Y después?
N – El doce.
I – ¿Y después?
N – El 13.
I – Para que coma pan. ¿Por qué?
N – Porque,... para que tenga mucha comida.
I – Muy bien, Pablito. Despídete de tus
amiguitos los pajaritos..
I – Ya lo has puesto donde sí hay pan. Y ahora
para ver si lo adivinas sin verlo, quitamos los de
esta parte y los ponemos aquí (quita los
Piolines de los escalones 7 y 9 y pone un muro
en la parte superior de la escalera). Mira como
va, aquí (1) hay pan , hemos puesto, aquí (3)
hay pan , hemos puesto y aquí (5) hay pan y
hemos puesto. Ahora sigue poniendo donde sí
hay pan.
(III3).
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – Pero ahí ya hay uno. Tiene que ser uno.
N – Pone Piolines en los escalones 8, 9, 10.
(III3b)
I – Mira, Raquel.(Quita el muro para dejar ver
los trozos de pan). Has puesto aquí (8) un
pajarito y aquí no hay pan, ¿lo ves?
N – Quita los Piolines de los escalones 8 y 10.
*I – … Este pajarito (5) está en el número 5,
¿vale?, en el escalón número 5. Pon tú otro
pajarito en el escalón número 6. (IV1)
N – Pone un pajarito en el escalón 8.
(IV1b)
I –Cuenta los escalones (IV2)
N –Cuenta correctamente (IV2a)
I – ¿Ese (6) es el número 6?
(IV3)
N – Mueve la cabeza y toca el pajarito del
escalón 8.
(IV3b)
I – ¿Ese es el número 6?
N – Mueve la cabeza diciendo que no.
I – Pon un pajarito en el escalón número 1.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – Bueno, Raquel, ya está. Dile adiós a los
Piolines.
Al. 5,1. Nombre: Alberto. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Marzo.
*I – … Cuando va subiendo pon pan en cada
uno de los escalones.
(I1).
N – ¿Aquí? (Pone un pan en el escalón 4 y la
mira).
I – En cada uno, cuando va subiendo, desde el
principio.
N – ¿Aquí? (Pone uno en el 5 y mira, después
pone en los escalones 6, 7, 8, 9, 10 y mira de
nuevo a la investigadora). .
(I1a)
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Pero tiene que ser en todos, en todos los
escalones.
N – Señala con el dedo los escalones 3, 2, 1.
33 ).
¿Aquí? .
(I1a, IE3
I – Sí.
N – (Pone pan en los escalones 3, 2, 1.) Ya.
*I – … Después de ese (5) ¿qué pan se come? .
(II1).
N – Señala el pan del escalón 6. Éste.
(II1a).
I – ¿Y después?.
N – Señala 7
(II1a)
I – ¿Y después? (II1a)
N – Señala el escalón 8. (II1a)
I – ¿Y después?.
N – Señala97
(II1a)
I – ¿Y después? (II1a)
N – Señala el escalón 10. (
I –. ¿Y antes de comerse éste,...?antes ¿cual se
había comido? (II1a)
22 ).
N – Señala el escalón 3 (II1a, IIE2
I –. Es justamente antes
22 ).
N – Mira a la investigadora (IIE2
I – ¿Y antes que ese?
N – Señala el escalón 2..
I – ¿Y antes?
N – Señala escalón 1. .
I –¿Por qué come ese después de este (5)?
N – Se encoge de hombros como diciendo no sé.
I – ¿No lo sabes?. Ahora vamos a hacer otra
cosa (quita los panes y el Piolín de la escalera).
El Piolín te va a pedir que pongas pan en un
escalón sí y en otro no, venga, pon pan en un
escalón sí y en otro no.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7, 9.
*I – … Entonces, tienes que poner Piolín en los
sitios que sí hay pan sabiendo que aquí (5)
hemos puesto uno
(III1)
N – Pone Piolines en 3, 1, 8 y 9. (III1b)
I – ¿Ahí hay pan? En los sitios que tú has dicho,
¿estás seguro que sí?
N – Mira de nuevo la escalera y cambia el
Piolín del escalón 9 al 10.
I – Pues ahora lo vamos a ver, (quita los muros)
¿lo has hecho bien o mal?
N – Mal.
I –Quitamos los Piolines y dejamos el pan.
Tienes que colocar pajaritos en los sitios que
hay pan. (III2)
N – (Los coloca correctamente) (III2a)
I – (Quita los Piolines de la parte superior).
Vamos a dejar esto (coloca el muro en la parte
de arriba) ¿lo ves? Aquí (1) hemos dejado el
Piolín, aquí también (3) y aquí también (5). Allí
tienes que decirme dónde se ponen.
(III3)
N – Aquí (señala con el dedo en el escalón 10).
I – Venga, ponlo.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 10.
369
I – ¿Ahí lo tienes que poner?
N – Sí.
I – Es donde haya pan, acuérdate.
N – Cambia el Piolín del escalón 10 al 9.
I – Tú ponlo en los sitios que tú creas que hay
pan.
N – Aquí (pone un Piolín en el escalón 8).
I – Es en los sitios que tú creas. Mira los sitios
que vienen por aquí.
N – Cambia el del escalón 8 al 7. (III3a)
I –¿Por qué crees tú que ahí hay pan.
N – Porque sí (lo dice muy bajito).
*I –… Ahora dime en qué escalón, detrás de
éste (5) hay pan, ¿dónde tienes que poner el
Piolín ahora, conforme va subiendo?
(III1)
N – Señala con dos dedos, con uno el escalón 7
y con otro el 8.
I – Venga, ponlo.
N –Lo pone en el 8
(III1b)
I –¿Por qué?
N – Porque sí.
I –¿Ahí por qué? Aquí (5) come, ¿por qué lo
pones allí (8)?
N – Se le queda mirando.
I –¿No lo sabes?
N – Dice no con la cabeza.
*I – … El Piolín está en el número 5, ese es el
número 5. Pon otro Piolín en el número 7.
(IV1)
N – Aquí (señala el escalón 7).
I – En el número 7. Venga, ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – Pon otro en el número 9.
N –¿Aquí? (Señala el escalón 8) (IV1b)
I – Tú ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – Otro en el número 3.
N – Pone uno en el escalón 9.
(IV1b)
I – Otro en el número 1.
N – Lo pone en el escalón 10.
I –¿Lo has hecho bien?.Cuenta los escalones.
(IV2)
N – 1, 2, 3, 4, 5 (señala con el dedo los
escalones 5, 7, 8, 9, 10.)
I –¿Has dicho 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Cuenta los escalones, todos los escalones.
N – Se escucha una voz: Ha contado bien, pero
ha empezado por la mitad.
I – Cuéntalo otra vez.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (Va señalando
con el dedo los escalones).
(IV2a)
I – Ahora ponemos el pajarito en el número 5.
Pon otro en el número 6. (IV3)
N – Señala el 7.
I – Está en el 5, el pajarito está en el 5.
N – ¿Aquí? (Señala el 4)
I – No, ese pajarito que hemos puesto está en el
número 5.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
370
N – Sí.
I – Pon otro en el 6.
N – ¿Dónde?
I – ¿Cual es el 6?
N – Aquí (señala el escalón 7).
I – ¿Ese es el 6? ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – Vamos a contar. Éste es el 1, Alberto. Éste
es el 1 (señala el escalón 1), éste el 2 (2), éste es
el 3 (3) éste es el 4 (4) y éste el 5 (5). Pon otro
.
20)
en el 6. El pajarito está en el 5, pon uno, coge un
pajarito y lo pones en el 6.
N – Señala escalón 7.
(IV3b)
I – En el 6 ¿Ese es el 6? ¿Por qué ese es el 6,
cariño?
N – Porque sí.
I – ¿Porque sí? Bueno, Alberto, ya está. ¿O tú lo
quieres hacer con números y con pan?
N – No.
I – Bueno, di adiós a los pajaritos
Ma. 5,1. Nombre: Marina. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Marzo.
I –¿Por qué después de este (5) se come éste
(6)?
N – Porque sí..
I – (Quita Piolines y pan). Ahora el Piolín en
vez de comer pan en todos los escalones, come
pan en un escalón sí y en otro no, en uno sí y en
otro no. Venga, ponlo, pan en un escalón sí...
N – Coge un Piolín.
I – No. El pan lo pones en un escalón sí y en
otro no. Venga, ponlo.
N – Pone un pan en el escalón 1 y mira a la
investigadora.
I – En uno sí y en otro no ¿de acuerdo?
N – Dice sí con la cabeza y pone pan en 3, 6, 8
y 10.
*I – … Y aquí (5) ponemos un Piolín porque
aquí sí come pan (pone un Piolín) ¿de acuerdo?
Ahora sigue poniendo tú Piolines donde sí coma
pan.
(III1)
N – ¿Dónde?
I – Donde tú creas. Es en uno sí y en otro no.
Ahí ha comido pan , sigue tú poniendo donde sí
come pan.
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
(III1b)
I – ¿Ahí come pan?
N – No. ¿Y dónde?
I – Donde tú lo creas. Porque el pan sigue aquí,
lo que pasa es que tú no lo ves, pero sigue.
N – ¿Lo pongo detrás?
I – No, no, no, mira (quita los muros), pon
Piolines donde hay pan. Pon Piolines donde sí
hay pan. (III2)
N – Pone Piolines en 1,3, 7, 9.
(III2a)
I – Entonces ahora vamos a ponerlos aquí,
(corre los Piolines hacia la derecha) los
Piolines, para poner delante el muro. Aquí está
donde hay pan. Pero ahora tú vas a adivinar en
estos sitios donde tienes que poner Piolines.
(Pone muro en la parte superior de la escalera)
Estos (7,9) los quitamos y ahora lo pones tú,
donde sí hay pan.
(III3)
N – Pone uno en el escalón 7.
I – ¿Y dónde hay más?
N – Aquí (señala el escalón 9) hay otro.
I – Pues venga, ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Ahí hay pan?
N – No (señala escalón 9)
I – ¿Ese (8) está bien puesto? ¿Ahí hay pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
(III3b)
*I – … El Piolín está en el número 5. Pon otro
en el número 7. (IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – Ese es el 7, pon otro en el número 9.
N – Pone uno en escalón 8, pero rectifica y lo
pone en el 9.
I – Pon otro en el 3.
(IV1b)
N – Pone uno en el escalón 4. . (IV1b)
I – Pon otro en el número 1. .
N – Señala primero el escalón 3 y después lo
pone. (IV1b)
I –. Ahora vamos a quitar los Piolines y vas a
contar los escalones.
(IV2)
N – (Empieza contando por el escalón 10 hacia
abajo) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
I – Cuéntalo otra vez.
N – 1 (10, 2 (9), 3 (8), 8 (7), 9 (6), 10 (5), 11
(4), 12 (3), 13 (2), cuatroce.
(IV2b)
I – ¿14?.
N – Es que ya me lo he aprendido yo.
I – Ya lo has aprendido tú hasta el 14, anda,
mira que bien. El pajarito éste está en el 5 (pone
un Piolín en el escalón 5). Pon otro en el 6.
N – Coge un Piolín y empieza como a contar
desde arriba de la escalera, finalmente lo pone
en el escalón 1.
I – Muy bien, Marina. Bueno, ya está vamos a
ir, ¿vale?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
371
6.1.3. Colegio Infantil de la Capital C.
21)
Lu. 5,4. Nombre: Lucía. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños: Diciembre.
I –. ¿Y tú sabes cuando está subiendo porque
después de comerse éste (5) se come éste(6)?
N – Mira la escalera.
I – (Va quitando el pan de todos los escalones).
Ahora el Piolín ya no come pan en todos los
escalones. Ahora, Lucía, va a comer pan en uno
sí y en otro no, en uno sí y en otro no, ¿vale? Y
en el primero es que sí. Venga, colócalo, cariño,
N – Coloca pan en los escalones 1,3, 5, 7, y 9.
(III2a)
*I – … Coloca otros Piolines donde sí hay pan.
(III1)
N – Coloca Piolines en el escalón 9.
I – Venga, más.
N – Pone Piolines en 10, 7, 1, 2, 3.
(III1b que se transforma en III1a)
I – Lucía ¿tú crees que cuando quitemos éste
(muro), este Piolín (señala el del escalón 10) va
a comer pan?
N – Dice sí tímidamente con la cabeza.
I – ¿Tú crees que sí? Mira este sí come (5) aquí.
¿Éste (10) va a comer pan?
N – Dice que no con la cabeza también
tímidamente.
I – ¿No? Di sí o no. Habla para que después
salga en la tele.
N – No.
I –Entonces, ¿por qué lo has puesto?
N – Porque me he equivocado.
(III1a)
I – Pues ponlo bien, cariño. Ponlo donde tú
crees que sí va a comer pan.
N –Lo pone en escalón 9
I –¿Por qué va a comer pan éste (7)?
N – Piensa en silencio.
I – ¿Por qué has puesto ese ahí, cariño?
N – Porque tiene que ir ahí.
I –Piénsalo y me lo dices que seguro que lo
sabes.
N – (Callada mira la escalera) Porque ahí
22 )
seguro que hay uno.
(IIIE2
I – ¿Ahí seguro que hay uno? ¿Por qué, cariño?
N – Porque sí.
I – (Quita Piolines, menos el del 5) Venga,
Lucía. Aquí (5) hay y lo estás viendo, coloca en
los sitios que sí debe haber pan. (III1)
N – Coloca Piolines en 7, 9, 1 y 3. (III1a)
I –¿Por qué crees tú que está bien?
N – Porque creo que ahí, donde yo le he puesto
los Piolines hay uno.
I – ¿Y por qué crees tú eso?
N – Porque sí.
I –Yo también creo lo mismo que tú, (levanta
los muros y los vuelve a colocar. Quita los
Piolines). Ahora ese (5) está aquí y lo dejamos
porque lo estás viendo, ¿vale? Ahora si yo
coloco aquí un Piolín (pone un Piolín en el
escalón 8) ¿Tú crees que ese Piolín va a comer
pan?
N – Dice que no enérgicamente con la cabeza.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Porque ahí no hay uno.
I – Pero, ¿por qué ahí no hay uno?
N – Porque yo lo sé.
I –¿Cómo piensas para saber que ahí no hay?.
N – Porque antes tú lo has levantado eso ...
(señala el muro).
I –Si yo coloco ahora aquí uno (pone un Piolín
en el escalón3) ¿ahí va a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí? ¿por qué, cariño?
N – Porque yo antes he puesto una ahí.
*I –…Si este es el 5, quiero que coloques otro
en el número 9. (IV1)
N – Coloca un Piolín en el escalón 9.
(IV1a)
I – ¿Por qué sabes que ese es el número 9,
cariño?
N – Porque si uno está ahí (5), pues el otro está
aquí (señala hacia el Piolín 9).
I – Claro, pero si uno está aquí, ese es el número
5, ¿qué has hecho para adivinar que éste (9) es
el número 9.
N – Pues he hecho 5, 6, 7, 8 y 9 (va señalando
44 )
con el dedo los escalones).
(IVE4
I Ahora (quita el Piolín 9) éste (5) es el número
5, yo quiero que sabiendo que es el número 5
coloques uno en el número 3.
N – Yo lo he puesto porque yo sé cual es el
número 3. (Coloca uno en el escalón 3).
I – Ahora ponemos uno en el número 9 (lo
pone) como tú habías dicho antes. Quiero que
pongas uno en el número 7, ¿de acuerdo? Pero
sabiendo que éste (9) es el número 9
N – Está chupao, porque el 6 es ahí (pone un
Piolín en el escalón 6).
I – ¿Y por qué sabes que es ahí?
N – Porque, mira, aquí éste el 6 (6) y este (7) es
el 7.
I – Ahá, ¿y teniendo en cuenta que éste es el 9
(9)? ¿Sabiendo que éste es el 9? ¿Lo puedes
tener en cuenta?
N – Se queda pensando y mirando la escalera.
I –Está en el 9. Coloca uno en el número 5.
N – Coloca un Piolín en el escalón 5.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 5? Pero
sabiendo que éste (9) es el 9 ¿eh?, tienes que
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372
partir que éste es el 9, ¿de acuerdo? ¿por qué
sabes que ese es el número 5?
N – Porque antes yo lo he puesto.
I – Porque tú antes ya lo habías puesto, vale,
muy bien, Lucía. Ahora vamos a hacer con
números y con el pan, ¿vale? Entonces, igual
que antes tienes que poner en uno sí y en otro
no, cariño. Pon pan en uno sí y en otro no.
N – Coloca pan en 1, 3, 5, 7,9.
I –Ya has puesto pan en uno sí y en otro no.
Ahora, pones Piolines en los escalones que hay
pan y decirme el número que es, ¿vale?
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – Me tienes que ir diciendo los números, si tú
quieres puedes empezar por abajo.
N – 9.(pone un Piolín en el escalón 7) 7? 5 (lo
pone), 3 (lo pone) y 1 (lo pone).
I –Ya sabes los números en los que hay pan.
Repítelo otra vez. Y empieza desde aquí (señala
el escalón 1).
N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9.
*I – … ¿Qué números va a haber pan?
(V1)
N – Está chupao, yo lo sé aún.
I – ¿Sí? Dímelo.
N – Aquí hay en el 1 y en el 3 (señala ambos
escalones).
(V1a)
I – De acuerdo, ¿y aquí? ¿por arriba?
N – Pues aquí en el 7 y en el 9 (los señala).
I – Entonces, ¿Después del 5 en qué número
come?
N – Pues aquí en el 7
(V1a)
I –Pon uno en el número 8, y dime si en el 8
come o no come, cariño.
N – (Pone un Piolín en el escalón 8). No come.
I – ¿Por qué no come, cariño?
N – Porque yo lo sabía desde antes.
I –Pon uno en el número 10.
N – Pone Piolín en el escalón 10.
I – Dime si come o no come.
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque antes yo he puesto, tú has destapado
eso y yo antes he visto que ... era sí (1), no (3),
sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí (5), no (6), y aquí
(7), sí va a comer, y aquí no (8) y aquí (9) sí y
33 )
aquí (10) no.
(IIIE3
I – Muy bien, entonces dime ahora si en el 3
come y sabemos que en el 5 sí come
N – En el 3 sí come.
I – ¿Por qué?
22 )
N – Porque sí (1), no (2), sí (3)
(VE2
I –Entonces ahora (quita muros) vamos a
imaginarnos cosas (hay Piolínes en 1, 3, 5, 7 y
9) Estos son todos los Piolines. Entonces Lucía,
dime, en los números, otra vez que están los
Piolines.
N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9.
I – Muy bien. Entonces, Lucía, esta escalera
llega hasta el 10 (señala escalón 10) ¿de
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
acuerdo? Este es el 9 (lo señala) y luego éste
(10) es el 10.
N – Claro, yo sé...
I – Como tú sabes contar mucho, imagínate
ahora...
N – Hasta cuando yo tenía 4 años y cumplí los
5, todavía sabía contar hasta 20.
I – Hasta 20, ¿cuando tenías 4 años? Ahora que
tienes 5 sabes contar mucho más, Lucía.
Entonces, éste (10) es el 10, ¿de acuerdo?
Imagínate la escalera más larga, más larga, más
larga… Entonces después de 10, el 11, el 12, el
13,... ¿a que sí? Después el 14, el 15, ¿verdad?.
Con esta escalera tan larga, dime tú si en el 11
el Piolín come pan
N – Creo que sí.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque mira, sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí
(5), no (6), sí (7), no (8), sí (9), no (10), sí
(señala al aire como si hubiera otro escalón).
(VI2a)
I – Ahá, entonces en el 11 es sí ¿y en el 12?
N –Sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí (5), no (6), sí
(7), no (8), sí (9), no (10), sí (11 imaginario), no
(12 imaginario).
I – ¿Y en el 13?
N – Sí porque si, no, si, no, ... y sí.
I – ¿Y en el 14?
N – Dice no con la cabeza. No.
I – ¿Por qué?
N – Porque es como una serie, si, no, si, no
(continúa así hasta el 14).
I – Ahá, como una serie. Entonces, yo te he
dicho el 14 y todo eso, pero como tú sabes
contar hasta el 69, fíjate. Si llegáramos, por
ejemplo, a decir el 25, ¿tú crees que en el 25 va
a comer?
(VI1)
N – Se queda callada.
I – ¿No lo sabes? Pero, ¿tienes alguna forma de
adivinarlo?
N – Sí, ¿qué has dicho? ¿el 50?
I –No, 25. ¿Tú crees que en el 25 va a comer?
N – (Mira la escalera y piensa). Yo creo que sí.
I – ¿Por qué crees que sí, cariño?
N – Porque lo he pensado.
I – Pero, ¿cómo lo has pensado?
N – Es que cuando piensas salen de la cabeza,
cuando piensas,...
I – Cuando piensas salen de la cabeza, entonces,
tú crees que en el 25 es que sí. ¿Y en el 33?
¿Qué crees tú que ocurrirá en el 33?
(VI1)
N – Que no.
(VI1b)
I – ¿En el 33 es que no? Pero, ¿por qué? ¿Y
cómo lo has pensado?
N – Con la cabeza.
I – Pero, en el 33, ¿por qué es no? Me tienes
que dar una razón. Tú antes me dijiste porque
era una serie, porque en el 9 sí, ... Entonces me
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
tienes que decir por qué en el 33 dices tú que
no.
N – Porque es una serie.
I – ¿Y ahora la serie te ha dicho que en el 33
no?
N – Creo que no.
I – ¿Y en el 34?
N – Que sí (lo dice bajito).
I –¿Y en el 35?
N – Que no.
I – Y tú dime ahora, entre los números que van
del 42 al 50 en los que sí hay. Dímelos.
N – Se queda callada.
I – ¿Sabes lo que te estoy preguntando? Sí,
como la escalera es más larga, hay un número
de la escalera ... el 11, el 12, el 13, el 14, 15, ...
Entonces, hay un número que es el 42, ¿a que
sí? Y entonces, ¿en el 42 va a comer?
N – Yo creo que sí.
I – Que sí come, ¿no? Dímelo ahora desde el 42
al 50 los que sí va a comer.
N – Piensa. Que... en el 49 que sí va a comer.
I – ¿Sí? En el 49 que sí. ¿Y en cual más?
N – Silencio
I –¿Y en el que va después del 49, cariño?
22)
373
N – 48
I – No, ese es el que va antes.
N – Se queda callada pensando. El 50 que no.
I – Eso, en el 50 es que no. Dime ahora si en el
65, que también sabes contar hasta 65, va a
comer.
N – Yo creo que sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque yo he pensao.
I – ¿Y cómo lo has pensado, cariño?
N – He pensado con la cabeza.
I – Si, bueno. Y dime ahora si en el 23 va a
comer.
N – No.
I – ¿En el 23 es que no? Y dime si en el 17 va a
comer.
N – Piensa un momento en silencio. Creo que sí.
I – ¿En el 17 sí? ¿Por qué?
N – Porque yo he pensao.
I – ¿En qué número después del 17 come?
N – En el 18.
I – Y dime si en el 37 va a comer.
N – No.
I – Bueno, ya está, Lucía, que lo sabes todo muy
bien. Vamos a despedirnos de los Piolines.
Na. 5,7. Nombre: Nacho. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Septiembre.
I – ¿Por qué cuando se come éste (5), por qué
después se come éste (6)?
N –Porque sube ahí (señala 5).
I Ahora Nacho, vamos a hacer otra cosita.
(Quita todo lo de los escalones). Ahora ya
comen los Piolines en uno sí y en otro no, en
uno sí y en otro no y el primero es que sí.
Venga, cariño, colócalo en uno sí y en otro no.
N – Coloca pan en los escalones 1,3, 5, 7 y 9.
*I – … ¿Tú sabes colocar Piolines en los sitios
que sí hay pan detrás de esto?
(III1)
N – Umm, ... Sí.
I – Venga, colócalo. Coloca Piolines donde sí
hay pan, no lo tienes que ver. Colócalo de ahí
(señala la caja donde están los Piolines).
N – Pone Piolines en 1, 3, 5, 7, 9.
I – (Levanta los muros para que lo vea y lo
vuelve a poner). Este es un mago total, sabe que
detrás donde hay, aunque no lo ve pero sabe
adivinarlo. Sin verlo lo adivina. Eso, ..., eso son
los trucos de magia, ¿sabes? (quita los Piolines
menos el del 5). Entonces el Piolín está aquí
(señala escalón 5), si yo coloco un Piolín aquí
(8), ¿tú crees que éste va a comer, cuando quite
esto (muro) va a tener pan?
N – Dice no con el dedo.
I – ¿Por qué no?
N – Porque aquí (6) no hay pan, aquí (7) sí, aquí
44 )
(8) no. (IIIE4
I –. ¿Y si yo lo pongo aquí (10)?
N – No hay.
I – ¿Por qué?
N – Pasa el dedo por el escalón 9 y 10 e intenta
mirar por debajo.
I – Pero no lo mires por debajo, dime por qué.
Dímelo en voz alta, ¿por qué no?
N – Por,..por,... porque aquí (8) no hay, aquí (9)
sí y aquí (10) no.
I – Perfecto, Nacho (levanta el muro). Lo
adivina todo, todo. Muy bien y si yo coloco uno
aquí (2), ¿va a comer?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque el pan está aquí (1) y aquí sí, sí va a
comer porque aquí (1) no, aquí sí, aquí (3) no.
I – No, bueno, piénsalo bien. Tú estás viendo
éste (5) ¿eh? Esto es una información. ¿Ahí va a
comer?
N – Dice no con gesto.
I – No, ¿por qué? Dímelo en voz alta como lo
has visto que no.
N – Porque sí (1), no (2), sí (3), no (4), sí (3), no
(4).
I – Sí, ¿y dónde hay pan?
N – Pues... aquí (9) y aquí (8) no.
I – Y aquí (9), ¿por qué sabes tú que había pan?
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374
N – Porque ahora lo he numerado, si tiene que
haber pan aquí (5), tiene que haber , tiene que
haber y aquí (8) no.
I – Pero, ¿por qué lo sabes? ¿Has tenido en
cuenta que aquí (5) hay pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Dime si en este (10) va a comer pan.
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Pues, porque si aquí (8) no come, aquí sí y
aquí no, pues en ninguno come..
I – ¿En este (7) come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque aquí (8) no come, aquí (7) sí.
I – Ahora, por abajo.¿En este (2) come?
N – Eh...Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque aquí (1) no y aquí sí (2).
I – Bueno, yo quiero que sepas que aquí (5) sí
come, porque lo estás viendo. ¿Te viene bien
que en este (2) coma?
N – Se queda callado.
I – A ver, venga, si aquí (5) come, ¿Qué pasa en
este (2)? ¿Come?
N – Eh... No.
I – ¿Por qué?
N – Porque aquí (1) tiene que haber y aquí (2)
no, si, no,... no.
I –. Ahora, vamos a contar (va quitando todo de
la escalera). Pon un Piolín en el número 5.
N – Parece que va contando los escalones
mentalmente y señalando con el dedo y pone un
Piolín en el escalón 5.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 5, cariño?
N – Porque (pasa el dedo por los escalones 1, 2,
3) 4 (4) y 5 (5).
*I – Ahá, muy bien. Entonces, este Piolín está
en el número 5, muy bien. Ahora yo quiero que
(pone el muro de cartulina delante de los
primeros escalones para que no se vean) tú
sepas que éste es el 5. Y sabiendo que éste (5)
es el número 5, pongas uno en el número 9.
(IV1)
N – Pasa el dedo por los escalones 5, 6, 7, 8, 9.
Coge un Piolín y lo pone en el 9.
I – ¿Y por qué sabes que ese es el 9? Dímelo en
voz alta lo que has hecho.
N – Porque aquí está el 5 (5) 6, 7, 8 y 9.
I –Pon ahora otro en el número 8.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 8?
N – Porque primero del 9 viene el otro.
I –Ahora (quita el muro) yo quiero que tú sepas
que éste (8) es el 8 ¿de acuerdo? Ya sabiendo
que éste es el 8 coloques uno en el número 4.
N – Coloca un Piolín en el escalón 4.
I – ¿Y por qué sabes que es el 4?
N – Porque si aquí está el 5 (lo señala), aquí va
44 )
el 4 (4). (IVE4
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Pero, ¿y sabiendo que éste (8) es el 8? Yo
quiero que me lo averigües sabiendo que es el 8
éste.
N – Porque si éste (5) va atrás, aquí atrás tiene
que ... va ese.
I – Tiene que venir ese ¿no? Muy bien, Nacho,
ahora quiero que hagas lo mismo que antes con
el pan y con los números (quita los Piolines).
Vamos a poner pan en uno sí y en otro no (pone
un Piolín en el escalón 1). Colócalo.
N – Pone pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9.
I – Y ahora me tienes que decir los número en
los que el Piolín come pan.
N – El 9, el ... aquí (1) en el 1, aquí (3) el 3, aquí
(5) el 5, aquí (7) el 7 y aquí (9) el 9.
(V2a)
*I – … El Piolín está en el 5 y en el 5 come pan.
¿En qué otro número después del 5 come pan?
(V1)
N – El 6.
I – No, es en el que come y está después del 5.
N – Ah!, el 7
(V1a)
I – ¿Y por qué después del 5 come en el 7?.
N – Porque sí
I –Ahora yo quiero que tú me digas si en el 8 va
a comer pan.
N – Sí.
I – Colócalo en el 8 y dime si va a comer pan en
el 8.
N – El de aquí (coge Piolín del escalón 5).
I – No, coge otro (señala la caja de los
Piolines).
N – Coge uno y lo coloca en el escalón 8.
I – ¿Y en el 8 va a comer pan?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué va a comer pan?
N – Porque (señala el 5) pan, no (6), no (7), sí
(8).
I – ¿Seguro? A ver. Éste (5) es el 5 y en el 5
come pan. Dime si en el 8 come pan.
N – (Se queda callado un rato pensando.) No,
no come.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque aquí (7) hay pan y aquí (8) no.
22 )
(VE2
I – (Quita los muros y mueve los Piolines y los
pone en 1, 3, 5, 7 y 9). Di los números en los
que sí come, cariño.
N – Aquí (1), aquí (3), aquí (5),...
I – Sí, pero dime los números.
N – Aquí el 1 (1) sí, aquí el 2 (3) sí, aquí (5) el 3
sí ...
I – No, no, no, el 2 es éste (2), vida mía, que no
come. Éste es el 1, sí come, éste es el 2, no
come.
N – Sí (señala un Piolín en el escalón 3).
I – Pero, dime el número.
N – Éste (3) es el 3 sí come. Éste (4) es el 4 no
come. Éste es el 5 (5), sí come, éste (6) es el 6 y
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
no come, éste (7) es el 7 sí come, éste (8) es el 8
y no come y en el 9 (9) sí come.
I – Y éste (10) es el 10 y no come. Yo ya te he
dicho que los Piolines viven muy lejos, ¿no? Tú
te imaginas ahora ... Ésta escalera llega hasta el
10, porque éste (10) es el 10. Pero tú te
imaginas que ahora éste el 11, después está el
12, después el 13, después está el 14,... ¿a que
sí? ¿a que tú te sabes todos esos números?
Entonces, en el 9 sí come y en el 10 no. ¿Tú
crees que en el 11 comerá?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque si en el 10 no come, en el 11 sí.
(VI2a)
I –En el 11 come, ¿en qué número después del
11 come?
N – En el 12
I –Mira, en el 11 come ¿ en el 12 come?
N – No.
I –Pues entonces, ¿en qué número después del
11 come?
N –En el 13 (después de pensar un tiempo)
I – Entonces en el 13 come, ¿Y en el 14?
N – No.
*I – Bueno, vale, pero yo ya no te lo voy a decir
así de seguido uno detrás de otro. Tú te
imaginas la escalera más larga y llegará un
momento que sea el 25. ¿En el 25 va a comer?
(VI1)
N – Pues (señala con el dedo como si quisiera
contar la escalera imaginaria). No.
I – ¿Por qué?
N – Bueno, sí, porque si aquí viene, en el 5 tiene
que comer.
I – ¿Porque en el 5 tiene que comer, cariño?
N – Porque ... (señala el escalón 10 y se queda
pensando). No.
I – ¿No come? ¿Por qué?
N – Porque si en el 10 no come, en el 25 no
come. (VI1b)
23)
375
I – O sea, ¿si en el 10 no come en el 25 no
come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Yo te he escuchado. Lo has dicho bajito,
pero lo has pensado así. Diciendo, en el 10 no,
en el 11 sí, en el 12 no, en el 13 sí, ¿a que lo has
44 )
pensado así?
(IIIE4
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Yo te he escuchado, los has dicho bajito,
pero lo has pensado así. Diciendo en el 11 sí, en
el 12 no, en el 13 sí, en el 14 no, ... hasta llegar
al 25, ¿a que sí?
N – Sí.
I –.Pero si yo de digo ahora un número más
grande, por ejemplo, yo te digo en el 55…
N – Umm...
I – ¿En el 55 tú que crees, que sí o que no?
N – Pues,... que no.
I – En el 55 tú crees que no, bueno, ¿y en el 38?
N – (Piensa callado un rato y después va
diciendo algo en voz bajita.) Pues yo digo que
... sí.
I –Lo que pasa es que te has equivocado porque
en el 38 no come. ¿Y tú sabes decirme todos los
número en los que come desde el 22 al 30?
N – En el 22 no come ...
I – ¿En el 22 no come? ¿Por qué?
N – Pues, bueno, sí come, ... bueno, no sé.
I – No sabes si come o no en el 22 ¿no? En el
22 no come, te lo digo yo. Entonces sigue tú
hasta el 30. Y dime los números que sí come.
N – Veinti...
I – Pero dime los números.
N – En el 22 no ... y en el 22 no, pues ..., 21
tam...
I – Sí.
N – 24, 23 sí, venti..., venti... 24 no, 22 no, 23
sí, venti... venti.., 24 eh ... no, 25 sí, 26 no, 27 sí,
28 no, 28 no ... 29 eee... sí y .... 30 no.
(VI3a)
I – Bueno, Nacho ya no te canso más. Vamos a
por unos amiguitos tuyos.
Pa. 5,9. Nombre: Paloma. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Julio.
I –¿Por qué cuando va subiendo después de éste
(5) se come éste (6)?
N – Mira a la escalera, piensa un momento
callada y finalmente dice: No sé.
I – (Va quitando los panes y el Piolín de la
escalera). Ahora come pan en uno sí y en otor
no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no, ¿de acuerdo? Y en el
primero es que sí. Entonces, venga, colócalo.
N – Coloca trozos en los escalones 1, 4.
I – En uno sí y en otro no, cariño, Paloma.
N – Coloca un trozo en el escalón 7.
I – Mira, Paloma, en éste (1) sí, ¿en éste?
N – No.
I – ¿En éste (3)?
N – Sí.
I – Entonces, coloca aquí el pan.
N – Coloca el pan que estaba en el 4 en el 3.
I – ¿En éste (4)?
N – No.
I – ¿En éste?
N – No..., sí (mueve la cabeza afirmando).
I – Pues entonces, coloca el pan.
N – Pone pan en el escalón 5.
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376
I – ¿En éste?
N – No.
I – ¿En éste?
N – Sí.
I – Coloca entonces el pan, cariño.
N – Coloca pan en el escalón 7.
I – ¿En éste (8)?
N – No.
I – ¿Y en éste (9)?
N – Sí.
I – Pues, entonces pon. ¿Has visto ya? En uno sí
y en otro no.
N – Afirma con la cabeza.
*I – …Coloca Piolines donde sí haya pan.
(III1)
N – Coloca en el 7 y 9. y en el 1 y 3.
(III2a)
I – (Levanta muros para comprobar las
respuestas y los vuelve a poner). Venga,
Paloma, ahora sigue el pan detrás (quita los
Piolines) y éste lo vamos a dejar aquí (pone un
Piolín en el escalón 5). Si yo ahora coloco un
Piolín aquí (8), ¿éste va a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – Venga, adivínalo.
N – Se queda callada.
I –¿Estás segura que ahí va a comer? Mira, éste
(5) está aquí y éste está comiendo, ¿lo ves?
Venga, ¿ese que yo he colocado ahí arriba (8)
va a comer?
N – Dice sí con la cabeza. (III1b)
I – ¿Lo comprobamos a ver?
N – Dice sí con la cabeza.
I – (Levanta el muro) No va a comer, ¿eh? No
va a comer y habías dicho que sí. Bueno, ahora
yo te voy a colocar otro en otro sitio y tú me vas
a decir si va a comer o no. Aquí (coloca un
Piolín en el escalón 9). ¿Va a comer?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí, porque está el pan.
I – ¿Pero por qué lo sabes?
N – Porque se ve.
I –¿Y si yo coloco aquí (2) uno, éste va a
comer?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque ahí no está el pan.
I – Pero, ¿por qué sabes que no?
N – Porque ahí no está el pan..
I –. Aquí (señala el Piolín del escalón 5) éste lo
estas viendo, y aquí sabes que sí hay. ¿Tú no
puedes averiguar si allí (2) hay o no?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque no.
I –Y si yo coloco uno aquí (10), ¿éste va a
comer?
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Sí. (III1b)
I – ¿Éste va a comer? ¿Por qué?
N – Porque hay pan.
I – Pero, ¿por qué sabes que hay pan?
N – Porque sí.
I – (Levanta el muro) Pues, no, éste no va a
comer (señala el Piolín 10 y el escalón vacío),
sin embargo éste (2) dijiste que no y es que no,
¿lo ves? Eso sí lo has adivinado, pero esto de
aquí arriba no (va quitando Piolines y panes y la
niña le ayuda). Lo vamos a hacer con números,
¿vale? Coloca un Piolín en el número 5, cariño.
N – Coloca un Piolín en el escalón 5.
(IV2a)
I – ¿Por qué sabes tú que ese es el número 5?
N – Porque sí.
I – Ahora éste está en el número 5. Y voy a
tapar esto (pone el muro delante de los primeros
escalones ocultándolos) para que no lo puedas
contar por ahí, pero tú sabes que lo has puesto
en el número 5. Pon uno en el número 9.
(IV1)
N – Va contando como desde el 5, piensa un
momento y pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Por qué sabes que es el número 9.
N – Porque sí..
I – ¿Cómo lo has adivinado? Si por aquí abajo
no has podido contar? ¿Por qué sabes que es el
número 9?
N – Callada.
I – ¿No lo sabes?
N – Dice no con la cabeza.
I – Bueno, ahora, éste (9) es el número 9 (quita
el Piolín 5), ¿vale?. Tú tienes que saber que éste
(9) es el número 9. Coloca uno en el número 6.
N – Coge un Piolín, lo pone en el escalón 8,
pero sin soltarlo, lo levanta y mira la escalera.
(IV1b)
I – En el número 6.
N – Coloca el Piolín en el escalón 7.
I –Éste (9) es el 9, ¿eh? ¿Por qué sabes que éste
(6) es el 6?
N – Se queda callada.
I – ¿No lo sabes? Bueno, (quita el Piolín del
escalón 7). Éste (9) es el 9, coloca uno en el
número 8.
N – Piensa un momento mirando la escalera y lo
pone en el escalón 7. ¿Éste?
I – Este (9) es el 9, ¿eh?
N – Lo cambia del escalón 7 al 8. (IV3a)
I – ¿Por qué ese es el número 8?
N – Se queda callada con la mano en la boca.
I – ¿No sabes?
N – Dice no con la cabeza.
I – Coloca uno en el número 10.
N – Mira la escalera y piensa un rato callada,
finalmente coge un Piolín y lo pone en el
escalón 10.
(III3a)
I – Ahá, coloca uno en el número 7.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Piensa unos instantes y lo pone en el
escalón 7.
(IV1a)
I – Coloca uno en el número 5.
N – Pone otro Piolín en el escalón 5.
(IV1a)
I – ¿Por qué sabes que es el número 5, cariño?
N – Porque ... (mira los Piolines de arriba,
señala con el dedo la escalera) porque... como
éste (señala la parte del muro) está tapado
pues...
I – Sí, pero tú sabes que éste (7) es el 7. ¿Tú has
tenido en cuenta que éste es el 7?
33 )
N – Dice que sí con la cabeza.
(IVE3
I – ¿Cómo?
33 )
N – Se queda callada.
(IVE3
I – ¿Cómo lo has tenido en cuenta, hija?
N – Se queda callada mirando al frente.
I –Bueno, (Va quitando todo de la escalera)
Ahora, igual que antes los Piolines van a comer
pan en uno sí y en otro no, venga, ponlo desde
el principio en uno sí y en otro no.
N – Pone pan en los escalones 1, 3, 6, 8 y 10.
(V2b)
I – Muy bien. Ahora pon los Piolines al lado de
los sitios donde hay pan.
N – Coloca Piolines al lado de los panes 6, 8,
10, 3, 1.
I – Pero, ¿lo has hecho bien? ¿Lo has puesto en
uno sí y en otro no?
N – Mira los escalones.
I – Éste (3) come, aquí (4) no come, ¿y aquí?
N – No.
I – ¿Por qué? Es en uno sí y en otro no.
N – Porque aquí no hay pan ni Piolín.
I – Ni Piolín, pero porque tú no lo has puesto. Si
en éste come (3) en éste es que ...
N – No.
I – ¿Y en éste?
N – Sí.
I –Entonces tenemos que poner éste (coge el
Piolín del 6 y lo cambia al escalón 5) y éste, lo
ponemos aquí (6) es que ...
N – No.
I – ¿Y aquí (7)?
N – No.
I – Es en uno sí y en otro no, cariño. ¿Así está
bien? (Señala tramo de escalera del 5 al 8)
¿Esto lo has hecho bien?
N – (Mira la escalera) Yo creo que no.
I – ¿Que no? Pues, venga, ponlo bien.
N – Coloca un pan y un Piolín en el escalón 7.
I – Y ahora, ¿esto está bien? (Señala los
Piolines colocados en 7 y 8)
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Es en uno sí y en otro no. Si en éste (7)
come, ¿en éste que pasa?
N – Que no.
I – Pues entonces, quita éste (8).
N – Los quita.
I – Si en éste no (8) ¿en éste?
377
N – Sí.
I – Entonces, ¿qué pasa?
N – Pone pan y Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y en éste (10)?
N – No.
I – Pues entonces, quítalo.
N – Lo quita.
I – Ahora, ... Es en uno sí y en otro no. Dime los
números en los que sí hay.
N – 1 (señala el escalón 1), 2 (señala el escalón
3).
(V2b)
I – No, 2 no. El 2 es éste (señala el escalón 2)
en el 2 no hay.
N – En el 1 (1), en el 3 (3), en el 4 (5).
I – No, el 4 es éste (4).
N – En el 5 (5), en el 6 (7).
I – No, en el 6 no, el 6 es éste.
N – En el 7 y en el 10.
I – No, no lo has hecho bien. Si quieres ve
diciéndome: en el 1 sí, en el 2 no y así todo.
N – (Va señalando los escalones) En el 1 sí, en
el 2 no, en el 3 sí, en el 4 no, en el 5 ...(señala el
escalón 4 y mira a la investigadora), en el 5...
I – en el 5 sí, éste (5) es el 5.
N – En el 6 sí.
I – No, éste es el 6.
N – En el 6 no, en el 7 sí, en el 9 ... en el 8 no y
en el 9 sí.
(V3a)
I – (Pone muros) Éste (5) es el número 5 en el
que sí come, ¿de acuerdo? Yo quiero que me
coloques un pan en el número 8 y me digas si en
el 8 hay o no hay.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 8.
I – Ese es el 8 y ahí ¿hay o no hay?
N – Se encoge de hombros.
(V1b)
I – ¿No lo sabes?
N – Dice que no con la cabeza.
I –¿Hay o no hay pan aquí? ¿El Piolín va a
comer pan (8) cuando yo quite esto o no?
N – No.
I – No, ¿por qué?
N – Porque ..(se queda mirando a un punto
lejano). Porque ...Porque no hay puesto.
I – Pero, ¿por qué no hay puesto?
N – (Se queda callado pensando) Porque...
I – Bueno, en el 8 no hay puesto pan, de
acuerdo, en el 8 no he puesto. En el 9, ¿he
puesto o no?
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – Ese es el 9, ¿y ahí he puesto?
N – Sí. (III3a)
I – ¿Por qué?
N – Porque... (se queda callada mirando a lo
lejos y mordiéndose el labio, como pensando)
Porque...
I –En el 8 no hay, ¿por qué en el 9 hay?
N – Porque en uno sí y en otro no, en uno sí y
22 )
en otro no, en uno sí y en otro no. (III1a, IIIE2
I – Ah, porque es en uno sí y en otro no, ¿no?
¿Y en el 9, qué le ha tocado que sí?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
378
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Se queda callada.
I – Tú sabes que aquí sí, éste (5) es el 5 y en el 5
sí hay. ¿Por qué si en el 5 hay en el 9 también le
toca que hay?
N – Porque mira, aquí (1) sí, aquí (3) ... sí, aquí
(4)..., aquí (1) sí, aquí (2) no, aquí (3) sí, aquí
(4) no, aquí (5) sí, aquí (6) no, aquí (7) sí, aquí
33 )
(8) no, aquí (9) sí, aquí (10) no.
(III1a, IIIE3
I – De acuerdo, y ahora coloca uno en el 2.
N – Pon un Piolín en el escalón 2.
I – ¿En el 2 hay?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque... Porque yo no he puesto.
I –. Ahora yo quiero que tú me digas otra vez
los números en los que sí hay pan, en los que sí
hay Piolines y comen pan. Dime otra vez los
números.
N – Sí, no (señalando los escalones)...
I – Pero el número, me tienes que decir los
números también.
N – En el 1 sí, en el 2 no, en el 3 sí, en el 4 no,
el 5 sí, en el 6 no, en 7 sí , en el 8 no y en el 9 sí.
(V2a)
I – Bien…, ¿después del 5 en qué número
come?.
N – En el 6 no
I – Entonces, ¿dónde come?.
N – Se queda pensando (V1b)
I – De acuerdo, entonces tú ahora te imaginas la
escalera más larga. Éste es el 10 y el 10 es que
no. Y entonces vendría el 11, después el 12,
después el 13 y todo eso. Entonces yo quiero
saber si en el 11, cuando el Piolín esté en el 11,
¿en el 11 va a comer pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
(VI2a)
I –¿Por qué?
N – Se queda callada pensando.
I – Y en el 12, ¿va a comer?
N – Dice que no con la cabeza y se mete un
osito en la boca. (VI2a)
I – ¿Por qué?
N – Mira a lo lejos y para arriba mientras
mastica.
I – ¿Y en el 13?
N – Dice que sí con la cabeza.
(VI2a)
I – ¿Por qué?
N – Porque... (se queda callada, mueve los ojos
como si estuviera pensando)
I – ¿Por qué en el 13 sí, cariño?
N – _Callada mirando hacia arriba.
I – ¿Y en el 14?
24)
N – Dice que no con la cabeza.
(VI2a)
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Se queda callada.
I – ¿Y en el 15?
N – Dice que sí con la cabeza.
(VI2a)
I – Después del 9, ¿en qué número come?
N – Se queda callada
(VI3b)
I –Ahora imagínate, ya no te voy a decir ni el
11, , en el 12, en el 13... Como la escalera es
mucho más larga, pues ahora yo pienso qué
puede pasar con el 35 ¿en el 35 comerá pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Sí?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Se queda callada.
I – ¿Por qué crees tú que en el 35 va a comer
pan?
N – Porque ... porque sí, porque ... (se queda
mirando hacia arriba).
I – ¿Y en el 42? ¿Tú crees que en el 42 va a
comer pan?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Se queda callada.
I – Dime ahora todos los números en los que tú
crees que va a comer pan desde el 22 en
adelante.
N – En el 1 sí, el 2,...
I – No, es desde el 22, cariño. Empieza en el 22.
En el 22, ¿qué va a pasar?
N – Que no.
I –¿Por qué?
N – Porque...
I – Bueno, continúa, en el 22 es que no…
N – Silencio
(VI3b)
I – Me tienes que decir cómo siguen los
números desde el 22 que es que no come.
N – Silencio
I – ¿Y tú crees que va a comer pan en el 46?
N – Sí. (VI1b)
I – ¿En el 46 sí? ¿Y en el 58?
N – Sí.
I – ¿Y en el 72?
N – No.
I – ¿Y en el 32?
N – Sí.
I – ¿Y en el 12?
N – No.
I – ¿Y en el 92?
N – Sí.
I – Muy bien, Paloma. Ya no te voy a preguntar
más. Vamos a terminar.
Ro. 3,6. Nombre: Rocío. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Octubre..
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
*I – …Debes colocar pan cpnforme va subiendo
(I1)
N – Dice sí con la cabeza.
I – Vale, ponle pan para que los Piolines se lo
coman. Empezamos por este (1), coloca pan.
N – Pone pan en el escalón 2.
I – Porque los Piolines tienen que comer pan.
Venga, en todos.
N – Pone en el escalón 3.
I –Pónselo en todos.
N – Pone pan en los escalones 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10.
(I1b)
I –Pónselo en todos, también por aquí (señala
del 1 al 4)
N – Pone pan en los escalones 2,3 y 1.
(I2a, I3a, IE1)
I –Entonces el Piolín va subiendo (va pasando
un Piolín por la escalera hasta llegar al 5 y lo
deja allí) y se coloca aquí. Entonces cuando está
aquí se come éste pan ( el del 5), después de
comerse ese, ¿qué pan se come, cariño? ¿Qué
pan come después de ese?
N – Señala el del escalón 6.
I –¿Y después?
N – Señala el del 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el del 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el del 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el del 10.
(II2a, II3a)
I –. Entonces, ha ido subiendo, cuando ha
llegado aquí (5) se ha comido éste (señala el
pan del 5). ¿Antes de comerse éste (5) qué pan
se come?
11 )
N – Señala el del 7.
(IIE1
I – No, antes, de los que están aquí abajo. Antes
de éste (5) ¿qué pan se había comido?
N – Mira la escalera y después mira a la
investigadora.
I – ¿Qué pan, cariño? Rocío, mira. Después de
éste (5) está éste (6). Pero antes de éste, ¿cual
está, antes?
11 )
N – Señala el pan del escalón 4. . (IIE1
I –Cuando va subiendo, ¿por qué después de
comerse éste se come éste?
N – Mira los escalones y a la investigadora.
I –Quitamos el pan. Porque ahora el Piolín ya
no come pan en todos, ahora come en uno sí y
en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en
otro no, ¿de acuerdo? Y en el primero es que sí,
venga, colócalo tú. Coloca el pan en uno sí y e
otro no.
N – Coge un trozo y mira a la investigadora.
I – Venga, en el primero es que sí y en otro no.
Venga, colócalo.
N – La mira.
I – Venga, Rocío. Es en uno sí y en otro no,
vida mía. Colócalo, Rocío, ¿quieres un
379
caramelito? ¿Estos ositos que también son
amiguitos tuyos? Venga, todos estos caramelos
para ti, cariño. Venga, es en uno sí y en otro no.
N – Se queda mirando la escalera y masticando
caramelo.
I – Rocío, en éste (1) es que sí, ¿en éste (2)?
N – Se queda callada.
I – ¿Aquí (2) tienes que poner pan o no?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Y aquí (3)?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Pues, venga, colócalo. ¿Y aquí (4)?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Y aquí (5)?
N – Dice que sí con la cabeza y pone un trozo.
I – ¿Y aquí (6)?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Aquí (7)?
N – Dice sí con la cabeza y pone otro.
I – ¿Y aquí (8)?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Y aquí (9)?
N – Dice que sí con la cabeza y lo pone.
I – Señala el escalón 10.
N – Dice que no con la cabeza.
(III2a)
*I – …Coge de aquí Piolines y ponlos en los
sitios que sí hay pan.
(III1)
N – Mira a la investigadora.
I – Venga, Rocío, coge de aquí Piolines y los
colocas, ¿vale?
N – Dice que sí con la cabeza, se queda callada
y mira a la investigadora.
I – ¿No quieres? Venga, Rocío, coge de aquí
Piolines y los vas colocando.
N – Vuelve a mirar a la escalera y a la
investigadora.
I – Rocío, si yo pongo aquí (7) un Piolín, ¿este
Piolín va a comer pan? ¿eh? ¿va a comer?
N – Mira a la escalera como pensando y dice sí
con la cabeza
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – La mira.
I – Bueno, Rocío, si yo pongo un Piolín aquí (2)
¿éste va a comer pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
(III1b)
I – ¿Por qué?
N – Se queda callada.
I – No, Rocío, mira (levanta el muro de la parte
de abajo) éste (señala el Piolín del escalón 2)
no come pan y habías dicho que sí. Ahora, éste
(quita el muro de los escalones de arriba y
señala el 7) sí come pan. (Coloca el muro de
arriba y deja el de abajo). En este (5) es que sí,
¿en éste (7) come?
N – Dice que no con la cabeza.
(III3b)
I – Quitamos todo lo de la escalera y ahora, así
vacía vamos a contar los escalones. Cuéntalos.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 8, 9 y 11 y ..(va señalando
con el dedo los escalones).
(IV2b)
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
380
I – ¿Sí? Rocío, coloca este Piolín en el número
5.
N – No lo sé dónde es.
I – ¿No sabes dónde es?
N – Dice no con la cabeza.
I – Bueno, pues yo te voy a poner aquí (5) un
Piolín y yo quiero que tú me digas en qué
número lo he puesto. ¿En qué número he puesto
ese?
N – A ese (señala al Piolín).
I – Pero, ¿ese qué número es?
N – No lo sé.
(IV3b)
I – ¿No lo sabes? Muy bien. Éste (5) es el
número 5, Rocío porque se cuenta 1, 2, 3, 4, 5
(va señalando los escalones correspondientes) y
éste es el número 5. Entonces, si éste es el
número 5, coloca uno en el número 6.
N – La mira.
I – ¿Cual es? Coge uno y lo pones en el número
6.
N – Mira a la investigadora.
(IV1b)
I – ¿No lo sabes? ¿No sabes cuál es el 6?
N – Dice no con la cabeza.
I – Vale, muy bien. Ahora, Rocío, ¿tú sabes
poner pan en uno sí y en otro no, igual que
antes?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Pues pon pan en uno sí y en otro no.
N – Pone pan en los escalones 1, 3, 5, 7 y 9.
(III2a)
I – Muy bien, Rocío, ahora pones los Piolines
en los sitios que hay pan. Coloca el piolín en los
sitios que hay pan.
N – Pone Piolines en 9, 7, 5, 3, 1.
I – Muy bien, Rocío. Rocío, ahora tú me vas a
decir los números y donde sí hay pan. Por
ejemplo, en el 1 sí hay, en el 2 no hay, ahora
éste es el ...
N – Mira a la investigadora.
25)
I – ¿Cuál es ese?
N – No lo sé.
I – ¿No lo sabes?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Tú me puedes decir los números en los que
hay pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Venga, dime los números en los que hay
pan.
N – Se queda callada mirando la escalera de
arriba a abajo.
I – Dilo, Rocío, ¿no sabes decirlo?
N – Dice que no con la cabeza.
I – Éste (1) es el 1, éste (2) es el 2, éste (3) es el
...
N – Se queda callada.
I – ¿Éste cuál es? ¿No lo sabes?
N – Dice que no con la cabeza.
I – Bueno, Rocío, mira (quita los Piolines).
Mira, Rocío, éste (coge un muro y lo pone en la
parte de arriba) igual que antes vamos a tapar
esto, ¿vale? Lo tapamos (pone también el otro
muro en la de abajo) y éste (pone un Piolín en
el escalón 5) es el número 5. ¿Tú puedes
colocar un Piolín en el número 8?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Coloca un Piolín en el número 8, cariño.
N – Coge un Piolín en la mano y mira a la
investigadora.
I – Venga,... Pon un Piolín en el número 8,
¿vale?
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese es e número 8?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Se queda callada.
I – Bueno, ya está bien, porque ya vamos a ir a
jugar con unos niños que están abajo.
Fe. 3,11. Nombre: Fernando. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo.
*I – … Vas a poner pan en todos los escalones,
conforme va subiendo, ¿de acuerdo?
(I1)
N – Dice que sí con la cabeza
I – Venga, pues ponlo, hijo.
N – Coge un Piolín.
I – No, el Piolín no, el pan.
N – Pone pan en el escalón 1 y otro más en el
mismo escalón.
I – No, en todos los escalones.
N – (Rectifica y pone uno de los dos trozos del
escalón 1, en el 2. Y sigue poniendo trozos en
los escalones 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.) Ya está.
I – ¿Y en éste (10) qué? ¿Qué me vas a poner?
N – (Pone uno en el escalón 10). Ya está.
(I1a, IE1)
*I –...(Coge un Piolín y lo va subiendo por la
escalera) Ponemos aquí (5) el Piolín, entonces
éste Piolín se come este pan. “Me lo como
porque tengo que ponerme grande y fuerte”.
Entonces, tiene que comerse este pan, después
de comerse este pan (5) ¿qué pan se come,
cariño? Va subiendo.
(II1)
N – Éste (6), éste (7) y éste (8) y éste (9) y
ahora ese (10) y ya está.
I – Ahá. Entonces, después de comerse éste (5)
se come éste (6), pero antes, antes , .. Está aquí
el 5, ¿antes de comerse éste (5), cual se había
comido antes?
N – Éste (señala el pan del escalón 5).
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Sí, éste se lo había comido, pero antes de
comerse éste (5), ¿cual? Antes, por ahí abajo,
antes de éste (5), ¿cual?
33 )
N – Pues ...éste (1).
(IIE3
I – Vale. Entonces, si el Piolín va subiendo,
¿por qué después de comerse éste (5), se come
éste (6)? ¿Por qué?
N – Porque éste,... llevo 3, este escalón.
I – ¿Cómo?
N – Que está éste (6) escalón, luego de éste (5).
I –. Entonces ahora, mira, Fernando va a hacer
otra cosita. Ya los Piolines no comen pan en
todos los escalones, ya no. Ahora va a comer
pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no. En el primero es que
sí, ¿vale? Venga, cariño, pues ponlo.
N – Pone pan en el escalón 1.
I – Ahá. Hay en uno sí y en otro no.
N – Va a coger un Piolín.
I – Pero no pongas el Piolín, pon solamente el
pan primero y después ponemos los Piolines,
¿vale?
N – Pone pan en los escalones 3, 5, 6 y mira a
la investigadora.
I – Es en uno sí y en otro no.
N – Cambia rápidamente el del 6 al 7 y pone
pan en el 9. Coge otro pan, lo pone en el
escalón 6 sin soltarlo y mira a la investigadora
I – Es en uno sí y en otro no.
N – Aquí (lo pone en el 4).
I – ¿Por qué ahí?
N – Al lado (pone uno al lado del otro del 9)
Aquí (10).
I – En uno sí y en otro no.
N – Ya no hay más.
*I –… Entonces, ahora, tú vas a colocar
Piolines en los sitios que sí hay pan detrás de
esta pared. Que cuando lo levantemos (levanta
el muro) hay pan, ¿vale? Pon Piolines en los
sitios que haya pan.
(III1)
N – ¿Aquí (8)? (III1b)
I – Donde tú creas que hay pan. Tu tienes que
ver que aquí (5) sí hay y que es en uno sí y en
otro no.
N – Aquí sí hay (pone uno en el escalón5).
I – Bueno, pero ese no, ese ya tiene su Piolín,
ahí no tienes que poner más.
N – Aquí sí (pone un Piolín en el escalón 2).
(III1b)
I – Ahí tú lo pones y después me dices por qué.
¿Por qué va a haber ahí pan? ¿Ahí por qué hay
pan?
N – Porque,... porque tiene... cuando, cuando
me lo has hecho lo he visto.
I – Ah, que te acuerdas, ¿no? Bueno, venga,
sigue colocando.
N – ¿Aquí? (Pone uno en el escalón 8).
I – Ya después voy a ver si eres mago o no,
¿eh? Tienes que tener un truco para saberlo.
381
N – Pasa el Piolín por encima de la escalera. Ya
no hay más.
I – Donde tú creas.
N – Aquí (pone un Piolín en el escalón 9) y
a...quí.
I – ¿Y eso está bien? Es en uno sí y en otro no.
¿Esto (señala el Piolín del 8 y el 9) está bien?
Es en uno sí y en otro no.
N – Sí, está bien.
I – Está bien. Vamos a levantarlo (levanta el
muro superior). Mira, ¿está bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Cómo va a estar bien?, ¿éste come? (Mueve
el Piolín que está en el escalón 8 por el escalón)
¿Aquí hay pan?
N – Dice que no con la cabeza.
I – No estaba bien, ¿eh? Éste (9) sí, pero éste
(8). Es que el pan es uno sí (7) y en otro no (8).
Es que el pan es en uno sí (7) y en otro no (8),
en uno sí (9).
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Lo ves? Así es. Ahora (quita los Piolines de
los escalones 8 y 9 y el muro inferior), estos de
aquí abajo tampoco. ¿Esto está bien?
N – Dice que no con la cabeza y señala el
Piolín del escalón 1.
I – Ese sí está bien, pero ese (2) no. Entonces
mira, esto es así (pone Piolín del escalón 2 en el
3). (Queda en la escalera Piolines en 1, 3, 5 y
panes sólo en 7 y 9) porque... (pone muro).
Coloca pan por aquí arriba, a ver. No, pan no,
que diga, Piolines por los sitios que sigan.
(III3)
N – ¿Aquí (4)? Aquí hay (pone un Piolín en el
escalón 5).
I – Pero ahí no tienes que poner porque ya lo
hemos puesto. Tiene que ser en éstos (señala la
parte de arriba) que tú no ves.
N – Pone Piolín en el 6 sin soltarlo.
I – ¿Ahí hay?
N – No.
I – Entonces ¿para qué pones el Piolín?
N – Dirige el Piolín hacia los escalones de
abajo.
I – Por aquí, por estos sitios (señala la parte
superior).
N – Ah, ya, ya. (pone uno en el escalón 8).
I – ¿Ahí va a comer pan?
N – (Levanta el Piolín del escalón 8). No, por
aquí, ... por aquí no hay ningún de esto que
tenga pan.
(III3b)
I – Es que detrás de esto sí. Cuando yo levante
esto (muro).
N – Ah, ya, ya.
I – Tú tienes que ver si hay pan o no. Venga,
dímelo.
N – Ahí (señala hacia el muro por el escalón 7).
I – Pues ponme el Piolín para que cuando
levantemos esto veamos si hay o no.
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382
N – Con el Piolín da golecitos en el escalón 8 y
lo pone en 9.
I – Ahí, ¿no? ¿Tú crees que ahí va a comer pan
el Piolín?
N – Levanta el Piolín.
I – Déjalo en su sitio y me dices si crees que va
a haber pan o no.
N – Pone el Piolín en el escalón 8.
I – ¿Tú crees que ahí va a comer pan?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque lo he visto cuando lo has apartado.
I – Pero, ¿estás seguro? Tú piénsalo, no porque
lo hayas visto, sino porque aquí (5) sí. ¿Tú crees
que ahí va a comer pan?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – … Yo quiero saber, si yo coloco aquí (8) un
Piolín ¿ahí va a comer?
N – Dice que no con la cabeza.
(III3a).
I – Vamos a verlo (levanta el muro). Pues no,
Fernando, no va a comer, fíjate (quita el Piolín
del escalón 8). Lo adivinas sólo algunas veces,
11 )
otras veces...(III1a, IIIE1
Hay un pequeño corte en la grabación.
N – Tengo que contar los escalones.
I – Sí, cuéntalos.
N – 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando con el dedo los
escalones).
(IV2a)
I – Muy bien.
N – ¿Lo pongo aquí?
I – Yo quiero que me lo pongas en el número 5,
cariño. Colócalo en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – Un Piolín en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 2.
I – ¿Por qué los pones en todos? Colócalo en el
número 5.
N – Entonces (coge los dos Piolines puestos en
la escalera con la mano)... Entonces, sí, 1, 2, 3,
4 y 5 (contando con el dedo los escalones).
I – Exactamente.
N – Ahí (pone el Piolín en el número 5).
I – Pues muy bien, Fernando, está en el número
5. Yo quiero que tú sepas que está en el número
5. Porque tú lo has contado y has visto que está
en el número 5. Ahora vamos a tapar esto.
N – ¿El Piolín?
I – El Piolín no, vamos a tapar estos escalones
(pone el muro delante de los primeros
escalones), para que tú sepas que está en el
número 5, coloca uno en el número 9.
N – 9, ¿lo cuento? 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando
con el dedo los escalones desde el 6 al 10).
I – No, éste (5) está en el 5.
N – Ah, lo cuento por aquí (señala parte de
abajo)? Aquí 3, hay 3 aquí y 5 escalones.
I – Sólo hay 5 escalones, ¿no?
N – Sí y no puedo contar hasta el 9.
I – Vale, entonces, éste (5) es el 5, ¿de acuerdo?
¿Cuál es el 6?
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Señala con golpecitos el escalón 6.
(IV3a)
I – Muy bien, entonces, ¿cuál es el 8? Este (6)
es el 6, ¿cuál es el 8?
N – Éste, 7 y 8 (señala los escalones 7 y 8).
I – Muy bien, entonces, ¿cuál es el 9?
N – Señala con golpecitos el escalón 8 y cambia
al 9.
I – Señala uno.
N – Éste (9).
I – Ese, colócalo en el número 9.
N – Coloca un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Por qué ese es el número 9?
N – Porque... 8 (7), no, 8 (8) y 9 (9).
I – 8 y 9, muy bien. Entonces éste (9) está en el
número 9, ¿vale? Y yo quiero, ...Éste está en el
número 9. Yo quiero que coloques uno en el
número 6.
N – &?
I – Sí, éste es el número 9.
N – 4, 5 y 6 (señala los escalones). Éste.
I – Ese es el 6, vale. Yo quiero que coloques
ahora uno en el número 8.
N – Éste (va dando golpecitos en los escalones
11 )
6 y 7), no , éste, éste es ...(8).
(IVE1
I – ¿Por qué ese es el 8?
N – Siete... (6), 7 (7) y 8 (8).
I – ¿Por qué sabes que ese es el 8, cariño?
N – Porque si éste ... está lleno de escalones,
este ... tiene cada número (va pasando el dedo
por la escalera a saltitos).
I – ¿Cómo?
N – Que tiene cada ....cada...cosa.
I – Que tiene cada cosa.
N – Que es 1, 2, , 3, 4, 5, 6, 7, 8, donde es 8 y
ya lo sé.
I – Entonces, éste (9) está en el 9. ¿Cuál es el
10?
N – (Señala es el escalón 10). Éste.
I –…Ahora, yo quiero igual que antes que
pongas pan (quita el muro y los Piolines) en un
escalón sí y en otro no, ¿de acuerdo? Venga
coloca el pan en uno sí y en otro no.
N – Primero sí (pone un pan en el escalón 1), el
segundo... (pone pan en los escalones 3, 5, 7 y
9).
I –Entonces, ahora quiero que pongas los
Piolines al lado del pan y me digas el número.
(Pone un Piolín en el escalón 1) En el 1 hay
pan. Ahora, me vas diciendo los Piolines al
lado...
N – En el 2 no hay.
I – Exacto.
N – Y en el 3 sí (coge un Piolín y lo pone en el
escalón 3). El 3, aquí sí hay (pone un Piolín en
el escalón 3).
I – Sí, pero ese, ¿qué número es?
N – El 2.
I – No, el 2 no es.
N – El 3.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – El 3, muy bien. Venga, ¿qué más?
N – A...(Coge un Piolín y lo pone en el escalón
5).
I – ¿Ese qué número es?
N – El 4.
I – No, el 4 es éste, cariño.
N – El 5.
I – Éste es el 3 (3) y éste es el 4 (4).
N – 5.
I – Eso es.
N – Éste (coge un Piolín y lo pone en el escalón
7)... Éste es el 6.
I – No, el 6 es éste.
N – Ah.
I – Éste es el 5 (5) éste 6 (6) éste es el ....
(señalando el escalón 9).
N – 7. El 7.
I – Muy bien, ¿Y éste (9)?
N – (Pone un Piolín en el escalón 9). Ese es el
9.
I – El 9, muy bien. Venga, repite otra vez los
número en los que sí hay pan. Venga, repítelo
otra vez.
N – Comen aquí... (señala la caja de los
Piolines).
I – Sí, pero tú me lo vas diciendo, aquí (1), en
los números.
N – Ah, 1 (1).
I – En el 1 come.
N – 1, en el 2 no.
I – En el en el 2 no come.
N – En el 3 (3) sí, en el 7 (7) sí, en el 6 (6) no,
en el 8 (8) no, en el 9 (9) sí y en el 10 no (10)
(V2a).
*I –. Ahora (corre los panes del 7 y el 9 y quita
los correspondientes Piolines) vamos a taparlo
igual que antes (pone el muro delante de los
panes), lo tapamos como antes lo habíamos
tapado (quita los Piolines 1, 3 y pone muro). Y
éste (5) ¿en qué escalón está? ¿En qué escalón
esta el Piolín que ese ve?
N – Aquí (5).
I – Sí ¿y ese que número es?
N – 1 (1), 2 (2), 3 (3), 4 (3), 5 (4), 6 (5). 6.
I – No, no lo has contado bien.
N – Ah, vale. 1, 2, 3, 4, 5.
I – Entonces, ¿en qué escalón está?
N – En el 5.
I – En el 5 sí come, ¿lo ves? En el 5 come
(señala el Piolín y el pan del escalón 5). En el 8
¿come?
N – No.
I – ¿Cuál es el 8?
N – (Señala con el dedo los escalones 6, 7, 8.)
6, 7, 8. No ves que no hay, ... aquí no hay
Piolín.
I – Pero puede estar detrás, cariño. En el 8 no.
¿come en el 2?
N – No (señala el escalón 2).
I – ¿Por qué?
383
N – Porque no hay, no hay pan.
I – ¿Come en el 3?
N – Tampoco (señala el escalón 3).
I – Es que el pan está aquí, cariño (levanta un
momento el muro para dejarle ver el pan).
N – Ah.
I – O sea, tú tienes que saber si detrás hay pan.
¿En el 3 come?
N – Ummm... sí
I – ¿Por qué?
N – Porque hay pan.
I – Porque lo has visto, ¿no?
N – Sí, porque tú antes me lo has sacado.
I – ¿En el 9 come?
N – En el 9 ...sí.
I – ¿Cuál es el 9?
N – Parece que lo va a señalar directamente,
pero señala el escalón 1) ¿Lo cuento? 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. (Va señalando con el dedo los
escalones).
I – Ahí, ¿ahí come? El 9 es éste (9). Pon un
Piolín ahí, ¿ahí va a comer el Piolín?
N –Pone un Piolín en el 9.
I – ¿Va a comer?
N – Umm... (Dice que sí con la cabeza.)
I – ¿Por qué?
N – Estoy viendo por ese agujerillo pan.
I – Ah, porque lo estás viendo, pero no porque
seas un mago.
N – No, no, no, porque lo estoy viendo... por ese
agujerillo.
I –. En el 9 come, en el 10, ¿come?
N – (Mueve un poco la cabeza). Ahí no estoy
viendo nada. No
I – Pero ¿porque no lo ves? ¿No es que tú lo
puedas adivinar?
N – No, no, no come, no.
I – Y en el 7, ¿come? Éste (9) es el 9.
N – Sí el 7 sí, me parece que sí.
I – ¿Por qué?
N – No, en el 7 no.
(V3b)
I – ¿En el 7 no? ¿Cuál es el 7?
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando con el dedo
los correspondientes escalones).
I – ¿En el 7 come?
N – Umm... no,...no, sí, sí, sí.
I – ¿Por qué? ¿Por qué dices que sí? Dime por
qué.
N – Porque... estoy viendo yo a través el pan.
I – ¿Porque lo estás viendo? ¿Por eso sabes tú
que sí? ¿Porque lo estás viendo?
N – Un poquillo.
I – ¿Sí? ¿Y en el 3 come? ¿Cuál es el 3?
N – 1, 2, 3. Sí.
I – ¿Por qué?
N – (Intenta mirar por debajo del muro). No, no
come. (V1b)
I – ¿En el 3 no come? ¿Por qué? Pero tú sabes
que en el 5 (5) donde está el osito... Éste es el 5,
en el 5 sí come. Entonces, ¿qué pasa en el 3?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
384
N – En el 3... no sé que pasa.
I – ¿No sabes que pasa en el 3? Éste (5) es el 5.
Coloca un Piolín en el 3.
N – 1, 2, 3. (Pone un Piolín en el escalón 3)
I – ¿Ahí come?
N – Depende.
I – ¿Depende de qué?
N – De... del... pan.
I – Ah, del pan depende. Pero, ¿no depende de
que en el 5 come? Es en uno sí y en otro no.
N – Porque en el 5 ya está el pan.
I – Eso, y entonces, ¿en el 3 come?
N – ¿En el 3? Pues... también..
I – ¿Y en el 2 hay?
N – En el 2...también.
I – ¿En el 2 también hay?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Bueno, mira (quita los muros). El 2 es éste
(2) en el 2, ¿ves que en el 2 no hay? Los panes
te lo sabes regular, los números muy bien, pero
los panes te salen regular el sí, no. (Pone un
Piolín en el escalón 1 y vuelve a quedar
Piolines en 1, 3, 5, 7 y 9) Mira, di otra vez los
números.
N – 1 (1), 2 (3), 3 (4), 4 (5), 5 (6), 5 (7). Mira a
la investigadora. (V2b)
I – Tienes que contarlos todos.
N – Ah, 1...
I – En el 1 hay.
N – 3, en el 2 no.
I – En el 3 sí. Tienes que decir si hay o no hay.
N – 4, no hay.
I – En el 4 no.
N – 5, sí hay, 6 hay, 7 sí hay, 8, no hay, 9 sí hay
y 10 no hay.
26)
I –Imagínate ahora la escalera más larga, ¿de
acuerdo? Imagínate que éste (10) es el 10,
después viene el 11, después viene el 12,
después viene el 13, después viene el 14... ¿a
que tú te lo sabes todos estos números? Tú te
sabes todos esos números, ¿verdad? Entonces,
éste (9) es el 9 y sí come, en el 10 no come, en
el 11, ¿comerá?
N – No hay 11.
I – No, pero tú te lo imaginas que sí. ¿En el 11...
N – Sí, sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – ¿Y en el 12?
N – También.
I – ¿Y en el 13?
N – No.
I – ¿Y en el 14?
N – Sí.
I – ¿Y en el 15?
N – También.
I – ¿Y en el 16?
N – También.
I – ¿Y en el 17?
N – También.
I –Y ¿tú crees que comerá en el 25?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – ¿Y en el 22?
N – También.
I – ¿Y en el 38?
N – También.
I – Muy bien, entonces va a comer mucho, se va
a poner gordísimo. Vamos para la clase a
recoger
a
otro
nene.
An. 3,5. Nombre: Antonio. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños: Noviembre..
*I – ….Venga, Antonio, coge el pan y lo vas
colocando en todos los escalones, un pan en
cada escalón.
(I1)
N – Coloca un único trozo de pan en todos y
cada uno de los escalones siguiendo el orden de
44 )
sucesión de la escalera. (I1a, IE4
*I – …Entonces, cuando se come éste pan (5),
¿qué pan se come después cuando está
subiendo?
(II1)
N – Mira toda la escalera y piensa en silencio.
I – Venga, Antonio dímelo. Se come éste (5),
¿después de éste cual viene?
N – No dice nada.
I – ¿No sabes? Después de éste (5) viene éste
(6). Después de éste (5) viene éste (6). ¿Y
después cuál viene, vida mía?
N – Señala el pan del escalón 7.
I – ¿y después?
N – Señala el escalón 8.
I Antonio, ¿y después?
N – Señala el escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el escalón 10.
I – Ahá, muy bien. Entonces, antes... Éste (6)
está después de éste (5) ¿Antes de éste (5) cuál
está, cariño?
N – Señala el escalón 6.
11 )
I – Antes está éste (4), vida mía. (II1a, IIE1
N – Señala escalón 4.
I – ¿Y antes? ¿Antes de ese? ¿Y antes de ese
cuál está?
N – Señala el escalón 3.
I – ¿Y antes?
N – Señala el escalón 2.
I – ¿Y antes?
N – Señala el escalón 1.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Antonio, ¿por qué después de éste (5) se
come éste (6)?
N – Mira a la investigadora.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque... (mira a la escalera) se come ese
antes (6).
I – (Quita todo de la escalera) Entonces, ahora
los Piolines ya no comen pan en todos los
escalones, ahora comen pan en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no, ¿vale, cariño? Y en el
primero es que sí. Venga, coloca el pan, ahora
en uno sí y en otro no,
N – Pone pan en el escalón 2.
I – Es en uno sí y en otro no, Antonio.
N – Pone pan en el escalón 3.
I – Mira, Antonio. En éste (1) es que sí, en éste
(2) es que no (quita el pan de ese escalón), en
éste (3) es que sí, ahora viene.... Venga, hazlo.
Hazlo, en uno sí y en otro no, cariño.
N – Éste (4) no.
I – Eso es.
N – Pone pan en el escalón 5.
I – Muy bien, Antonio, ponlo tú, cariño.
N – (Pone pan en el escalón 7. Señala el
escalón 6) Éste tampoco.
I – Ese tampoco, muy bien.
N – Pone pan en el 9 y señala escalón 7. Éste
tampoco.
(III2a)
*I – …Coloca Piolínes donde haya pan
(III1)
N – Pone Piolines en los escalones 9 y 10.
(III1b)
I – ¿Éste (10) va a comer pan?
N – Mira a la investigadora.
I – Es en uno sí y en otro no, ¿está bien puesto?
N – Vuelve a mirarla en silencio.
I – ¿Está bien puesto? ¿Está bien? ¿Sí? ¿Y por
aquí (señala la parte inferior de la escalera)
abajo no pones nada?
N – Vuelve a mirarla callada.
I – (Quita los Piolines que estaban en el 9 y en
el 10 y pone el muro) Mira, Antonio, vamos a
hacerlo así (quita el muro de la pare inferior)
éste lo vamos a poner aquí (3) y éste lo vamos a
poner aquí (coge otro y lo pone en el escalón 1),
porque sí come ¿ves? Éste (1) sí, éste (2) no,
éste (3) sí, éste (4) no, éste (5) sí y éste (6) no,
27)
385
¿de acuerdo? Coloca por aquí (señala la parte
superior de la escalera) arriba donde sea que sí,
¿vale? (III3)
N – Coloca uno en el 8 y otro en el 9.
(III3b)
I – ¿Éste (8) va a comer? ¿Está bien puesto?
Aquí (5) es que sí. ¿Ese que tú has puesto va a
comer?
N – Mira a la escalera y a la cámara.
I – Dímelo, Antonio.
N – Mira la escalera de un lado a otro y se
queda callado.
I – Antonio, ¿va a comer o no? Venga, ahora
Antonio, (quita el muro, los Piolines y los
panes) vamos a hacer una cosita. Quiero,
Antonio, que cuentes los escalones. Cuenta los
escalones, cariño.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, (va señalando los escalones
correspondientes), 8 (6), 9 (8), 10 (9). Este... 4
(10).
(IV2b)
I –¿Ese es el 4? Ahora, Antonio coloca un
Piolín en el número 5. Venga, Antonio.
(IV3)
N – Señala hacia la escalera y mira a la
investigadora.
I –Cuéntalo.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 3, 4.
(III3b)
I – Bueno, Antonio, mira (quita todo), ponemos
igual que antes un pan en un escalón sí y en otro
no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro
no, ¿vale? (pone panes en 1, 3, 5, 7 y 9) Pon tú
los Piolines donde hay pan.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – Tú me puedes decir ¿en los números que sí
has puesto Piolines? ¿Los números que has
puesto los Piolines? ¿En qué número lo has
puesto?
N – Los señala.
I – A ver, ¿qué has dicho? 1 (1), 2 (3), ...(señala
el escalón 5)
N–3
I – Señala el escalón 6.
N – ¿El 3?
I – Bueno, ya está Antonio, que ya nos tenemos
que ir a comer, ¿vale? Muy bien.
Ed. 4,11. Nombre: Edurne. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Mayo.
I –. Cuando va subiendo, ¿por qué el Piolín
después de comerse éste (5) se come éste (6)?
N – Umm..., porque ya se ha comido ese (5) y
después se tiene que comer ese (5).
I –Ahora, vamos a hacer, en vez de comer
pan..., ya los Piolines no comen pan en todos los
escalones (quita todo de la escalera). Come en
uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no, y en
el primero es que sí, cariño, venga, colócalo.
N – Los panes en 1, 3, 5, 7, 9.
(III2a)
*I –…Piolín aquí (5) para que coma este pan
(señala el pan del escalón 5). Yo quiero que tú
pongas (III1)
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386
N – (Coge un Piolín, pero antes de dejarlo en
un escalón mira a la investigadora.)
I – Sabes tú que aquí (5) sí hay, ¿eh,cariño?
N – Sí. (Pone uno por la parte inferior de la
escalera, pero no se ve en la grabación, después
coloca otros en los escalones 7 y 9.)
I – ¿Por ahí abajo lo has puesto bien?
N – Mira.
I – Si aquí come (5), ¿qué pasa después con
todo esto? ¿Está bien puesto así?
N – (Coloca los Piolines mirando hacia arriba).
Así.
I – Así está bien puesto, ¿no? Pero éste (señala
al escalón2), éste que has puesto aquí, ¿éste está
bien?
N – Umm....
I – ¿Ese está bien puesto? ¿Ahí (2) va a comer
pan el pajarito?
N – No, ... sí... sí.
I – Dime sí o no, me tienes que decir una de las
dos cosas y me tienes que decir por qué.
N – Sí. (III1b)
I – Sí, ¿por qué? ¿Por qué come ahí pan el
pajarito?
N – Porque está ahí el pan.
I – Pero, ¿por qué hay pan? En algunos hay y en
otro no, ¿por qué crees tú que en éste (2) sí hay?
N – Porque aquí no hay (parece que señala el
escalón 1).
I – Ahí, ... pero, ... ¿tú has visto que aquí (5) sí
hay?
N – Sí.
I – ¿Y te queda bien si aquí (2) pones el
pajarito?
N – (Se queda pensativa)
I – ¿Te queda bien?
N – Sí.
I – ¿Y por qué dices tú que aquí no hay? (1),
¿por qué no hay ahí?
N – Porque... porque yo lo he pensado.
I – ¿Vamos a quitarlo para verlo?
N – Sí.
I – Pues mira, Edurne, (quita el muro) no había,
porque es éste (1) sí que hay, es que si aquí (2)
hay, tú te... ves que aquí no....hay (5). Aquí es
que no (4), aquí es que sí (3) y aquí es que no
(2), ¿lo ves?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Vale?
N – Vale.
I – Entonces, ahora, (quita los Piolines 2, 9, 7)
si quieres lo ponemos aquí así. Aquí (5) come
¿vale? ¿Éste pajarito (pone un Piolín en el
escalón 8) comerá aquí? ¿Ahí va a comer?
N – Sí. (III1b)
I – ¿Por qué?
N – (Se queda callada un momento) Porque...
I – Tú lo tienes que pensar, aquí (5) hay, ¿eh?
Tienes que ver que aquí hay.
N – Pasa el dedo subiendo la escalera hasta 5.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿Aquí (8) va a comer el pajarito pan?
¿Cuando nosotros quitemos esto (muro) aquí va
a haber pan?
N – No.
I – ¿Por qué, cariño? Dímelo.
N – Porque no está.
I – Pero, ¿por qué no está?
N – Porque en uno hay que ponerlo y en otro
no.
I – Ah, en uno hay que ponerlo y en otro no. Y
en éste, ¿qué toca que sí o que no?
N – Que no.
I – ¿Por qué?
N – Porque no está.
I – Pero, ya sé que no está, ¿pero por qué no
está? En uno toca y en otro no, pero en éste (8),
¿tocará?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque...
I – Mira, éste, aquí (5) sí hay. Piénsalo así.
N – Mira para otra parte.
I – (Pone un Piolín en el escalón 9) Tú me has
dicho que aquí (8) no come ¿éste (9) pajarito va
a comer?
N – (Piensa callada un momento como
contando.) No.
I – ¿Éste (9) va a comer? Éste dices tú que no,
¿por qué?
N – Porque...
I – ¿Ninguno de estos dos? (señala los
escalones 8 y9)
N – Éste (9) sí. (III3a)
I – Ah, éste (9) sí, ¿por qué sabes que éste sí,
cariño?
N – Porque... porque ahí está.
I – Aquí está, ¿no? ¿Por qué sabes tú que ahí
hemos puesto?
N – Porque ahí no hemos puesto.
I – ¿Hemos puesto o no? (señala el escalón 9)
N – Sí.
I – Mira éste (5) come (pone un Piolín en el
escalón 7), ¿ahí va a comer?
N – Sí.
I –¿Por qué?
N – Porque aquí no (6) y aquí sí (7).
44 ).
(IIIE4
I – Ahora vamos a hacerlo con los números,
contando, ¿de acuerdo? (Quita todo de la
escalera)
N – Vale.
I – Venga, Edurne, coloca un Piolín en el
número 5.
N – Cuenta los escalones un par de veces y
coloca el Piolín en el escalón 5. (IV3a)
I – Muy bien, ¿por qué ese es el 5?
N – Porque ... éste (4) es el 4 y ese (5) es el 5.
*I –Entonces, si éste es el 5, coloca otro en el 9.
(IV1)
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Mueve el dedo como subiendo la escalera y
pone un Piolín en el escalón 9
(IV1a).
I – ¿Por qué sabes que ese es el 9?
N – Porque éste (6) es el 6, éste (7) el 7, éste (8)
es el 8 y éste (9) el 9.
I –Este (9) es el 9. Coloca otro en el 7. Tú sabes
que éste (9) es el 9. ¿Cuál es el 7?
N – Cuenta con el dedo los escalones desde el 5
y pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Por qué ese es el 7, cariño? ¿Qué has hecho
para saberlo?
N – Porque éste era el 6 (6) y éste (7) el 7.
I – Muy bien, pero, ¿tú no lo has hecho
pensando que éste (9) era el 9?
N – Sí.
I – ¿También?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Y por qué si éste (9) es el 9, éste (7) es el
7?
55 )
N – Éste (8) es el 8.
(IV5
I – Muy bien, Edurne, muy bien. (quita el
muro). Entonces, ahora vamos a hacerlo con
número y con pan, ¿vale?
N – Vale.
I – Coloca otra vez el pan en uno sí y en otro
no, igual que antes.
N – Señala los escalones.
I – En el primero es que sí, venga, pon el pan.
Ahora, en uno sí y en otro no, venga.
N – Pone pan en el escalón 4.
I – Es en uno sí y en otro no, cariño.
N – Cambia el pan del escalón 4 al 3 y pone
otro en los escalones 5, 7 y 9.
I –Entonces, tú hora vas a colocar los Piolines al
lado de donde hay pan y vas a decirme los
números, ¿vale? Venga, hazlo.
N – Vale. (Pone un Piolín en el escalón 1)
I – ¿Ese qué número es?
N – El 1.
I – Muy bien, en el 1 come pan.
N – Pone Piolín en el escalón 3.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 3.
I – En el 3 come pan.
N – (Pone Piolines en los escalones 5, 7 y 9
mientras va diciendo los números) El 5, el 7 y el
9.
I – Muy bien, guapa, ¿entonces en qué números
hay pan? Venga, dímelo, otra vez.
N – En el 1, en el 3, en el 5, en el 7 y en el 9.
(V2a)
*I – …Entonces come en el 5, ¿qué número
viene después en el que también come?
N – El 6 (V1b)
I – No, tiene que ser en el que sí come. Bueno,
el Piolín en el 5 come, ¿de acuerdo? Ese es el 5
y come. Pues si come en el 5, ¿come el 8?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque no está.
387
I – Pero, ¿por qué no está?
N – Umm...(señala con el dedo de lejos
mientras piensa)
I – ¿Cuál es el 8?
N – Éste (9).
I – Coloca el Piolín en el 8.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Ese es el (8)?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Éste es el 5, ¿eh? Mira a ver si ese es el 8.
N – ¿Quito esto (el muro)?
I – No, no, ahí no se ve si ese es el 8. Éste (8) tú
dices que es el 8, ¿por qué éste es el 8?
N – Porque éste (10) es el 9.
I – Dice que no con la cabeza. Entonces, éste
(8) ¿cual es? Cuéntalo, cuéntalo a ver.
N – Éste (7) es el 7.
I – Ese es el 7, entonces el 8, ¿cuál es, cariño?
N – Éste (8).
I – Muy bien, pues entonces pon el Piolín en el
8.
N – Pone el Piolín del escalón 9, en el 8.
I – Ese, en el 8. ¿Ahí va a comer? ¿En el 8
come?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque no está.
I – Pero, ¿por qué no está? Tienes que saber que
en el 5, ... éste (5) es el 5, que en el 5 sí come.
En el 5 sí come. En el 8, ¿come? Tienes que
pensarlo y decirme por qué.
N – Vale (se queda pensativo).
I – ¿Come en el 8 o no?
N – Dice que no con la cabeza.
I – No, ¿por qué?
N – Umm...
I – Piensa en voz alta.
N – ¿Qué?
I – Que me digas lo que estás pensando. En el 8
dices tú que no, ¿por qué?
N – Piensa callada.
I – en el 5 es que sí y en el 7 (señala 7) es que sí
también, entonces ¿en el 8?
N – Es no porque en el 7 comía y en el 8 no.
(V3a)
I –. Entonces en el 7 comía y en el 8 no. ¿En el
2 come?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 1 sí comía y en el 2 no.
I – Muy bien, en el 9, ¿come?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque aquí no. En el ...
I – ¿El 9 cual es?
N – Éste (7).
I – No, ese no es el 9.
N – Éste.
I – ¿Por qué? En el 9 dices que sí comía, ¿por
qué?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
388
N – Porque en el 8 no comía y en el 9 sí.
I – Entonces, después del 7, ¿en qué número
come?
N – En el 8
I – El 8 es el que viene después del 7 pero es en
el que sí come
44 )
N – En el 8 no comía y en el 9 sí. (VE4
I – (Quita los muros y pone Piolines en los
escalones 1, 3, 5, 7 y 9). Mira, dime otra vez los
números en los que come pan el Piolín.
N – En el 1, en el 3, en el 3, en el 5, en el 7 y en
el 9.
*I –Entonces, éste (9) es el 9 y éste es el 10,
¿no? Imagínate, esto llega hasta aquí, pero tú en
tu cabeza te imaginas que la escalera es más
larga y que tiene el 11 y que tiene el 12 y que
tiene el 13 y que tiene el 14..., se pone el Piolín
en el 25, tú te imaginas que va andando y se
para en el 25, ¿tú crees que en el 25 va a comer?
(VI1)
N – Umm...
I – ¿Tú qué crees?
N – Que no
(V1b).
I – Mira en el 9 come (señala el 9), ¿en el 11
come?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 10 no comía y en el 11 sí.
I – Muy bien, y en el 12 ¿come?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 11 comía y en el 12 no.
I – Muy bien, ¿y en el 13 come?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 12 comía y en el 13 sí.
(VI
2a, VI3a)
I – Entonces si ahora el pajarito se va volando
del 13 al 25, ¿comerá?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 24 no comía y en el 25 sí.
I – Pero, ¿por qué sabes tú que en el 24 no
comía? ¿Eh? ¿Por qué?
N – Porque en el 23 comía y en el 24 no y en el
25 sí.
I – Muy bien. ¿Y tú crees que en el 32 va a
comer?
28)
N – Piensa en silencio.
I – ¿Cómo lo estás pensando?
N – En el 21 sí comía, en el 22 no, no en el 23
sí, 24 no, en el 25 sí y en el 26 no, y en el 27 sí
y en el 28 no y en el 29 sí.
I – Yo te he dicho en el 32.
N – En el 31 sí y en el 32 no.
I – Muy bien, guapa. Y si yo te digo en el 48.
¿En el 48 come?
N – Piensa en silencio.
I – Pero, ¿cómo lo estás pensando? Dilo en voz
alta.
N – 26, 27, 28, 29, ,30, 31, 32, 33, 34, 35, 36,
37, 38, 39, 40, 41 sí, en el 42 no, en el 43 sí, en
el 44 no, en el 45 sí, en el 46 no. 47 sí, en el 48
no y en el 49 sí.
I – Pero yo te he dicho 48.
N – En el 48 no come.
I – Y si yo ahora te digo en el ..., 57.
N – Piensa callada.
I – ¿En el 57 qué? Dilo en voz alta lo que estás
pensando.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, ...40,
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53,
54, 55, 56, 57, 58, 59. En el 1 sí, en el 2 no, en
el 3 sí, en el 5 sí, en el 8 ..., en el 7 sí, en el 9 sí.
I – Entonces, ¿qué pasa en el 57?
N –En el ... 51 sí, en el 52 no, en el 53 sí, en 54
no, y en el 55 sí, en el 54 .... 56 no, en el 57 no.
I – En el 57 sí.
N – En el 57 sí, cuenta.
I – Entonces, ¿qué pasa en el 57? Es lo que yo
te estaba preguntando.
N – En el 57 ... (señala la escalera) en el 7 sí.
I – Muy bien.
N – En el 57 sí.
I – ¿Y en el 68?.
N – En el 67 sí y en el 68 no
I – ¿Por qué?.
N – ... (señala la escalera) en el 7 sí.
I – Muy bien, Edurne, muy bien. Vamos a por
otro niño de la clase.
Ad. 4,8. Nombre: Adolfo. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Agosto.
I – ¿por qué después de comerse éste (5) se
come éste (6)? ¿Por qué?
N – Porque,... ponerse muy fuerte y grande.
I – (Quita los panes y el Piolín de la escalera) y
en lugar de comer ahora el Piolín en todos los
escalones. Ahora va a comer en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro
no, ¿vale? Y en el primero es que sí. Venga,
coloca ahora pan en uno sí y en otro no. En uno
sí y en otro no, cariño. Ahí no, ahí lo está
colocando todos en el mismo. Yo quiero en un
escalón y en otro no. Mira, Adolfo, un
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
momentito, cariño. En éste es que sí (pone pan
en el escalón 3), ahora éste es que no, ahora éste
(3) es que sí venga, sigue tú.
N – Pone pan en los escalones 5, 7 y 9.
(IV2a)
*I – …Mira en éste (5) está el Piolín porque hay
pan, coloca pajaritos en los escalones que sí
tengan pan
(III1)
N – Pone Piolines en 7, va a poner otro en 8,
pero lo cambia al 9 y pone otro en el escalón 3 y
el último lo iba a poner en el 2, pero lo cambia
al 1.
I – Muy bien, Adolfo, mira (levanta muro y
señala) éste come (7), éste (9) come, ¡qué bien
lo hace! (levanta el muro inferior) y éste (1)
come, éste (3) come. Este niño es un mago.
Adolfo, mira, (quitando los Piolines menos el
del 5) éste está aquí porque se come este pan
(señala el pan del escalón 5). Si yo pongo este
aquí (8), un Piolín, ¿ese va a comer?
N – Dice sí con la cabeza. (III1b)
I – ¿Por qué? ¿Por qué va a comer, Adolfo?
N – Porque... porque...porque... porque sí...
porque...
I – Sí, pero tienes que decir pensándolo, aquí (5)
come, en algunos come y en otros no. ¿Tú crees
que ha caído en el escalón que sí come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque...
I – Y si yo lo pongo aquí (pone un Piolín en 7),
¿éste va a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿También va a comer? ¿Sí? ¿Éste (8) come y
éste (9) come también? ¿Los dos comen? ¿Está
así bien puesto?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí? Pero, ¿no era en uno sí y en otro no?
N – Mira hacia la escalera.
I – ¿Están los dos bien puestos? ¿Así van a
comer los dos?, ¿eh?
N – Se queda callado mirando la escalera.
I – ¿Va a comer? ¿Éstos dos van a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué? ¿Los dos van a comer? Pero,
¿porque van a comer los dos si era en uno sí y
en otro no? Mira, Adolfo (levanta el muro) éste
(señala el Piolín del escalón 8) no come, porque
es en éste (7) sí come y ahora en éste (8) es que
no. Tú antes me lo dijiste bien, ¿vale? (pone
muro y quita los Piolines) Si yo ahora pongo
éste aquí (en el escalón 2) ¿ese va a comer?
N – Dice sí con la cabeza y después dice que
no.
I – ¿Por qué? ¿Va a comer si o no?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Porque no está el pan.
I – ¿Y por qué no está el pan, cariño?
389
N – Porque...
I – Y si yo coloco uno aquí (3) ¿éste come?
N – Dice sí con la cabeza (IV3a)
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Porque... está el pan.
I – ¿Y por qué está ahí el pan? ¿Por qué sabes tú
que está el pan?
N – Porque sí.
I – ¿Porque sí? Vale, mira. Muy bien (levanta
los muros y los quita) aquí está el pan y ahí no
está el pan, muy bien Adolfo. Venga, Adolfo
(quita todo de la escalera). Mira, Adolfo, ahora
quiero que pongas un Piolín en el número 5.
N – Mira los escalones y después coge un Piolín
y lo pone en el escalón 10.
I – ¿Ese es el número 5? ¿Por qué ese es el
número 5, Adolfo? Adolfo, cuenta los escalones
(quita el Piolín de la escalera), cuéntalos,
cariño.
N – Pasa el dedo por los escalones como
contando desde el escalón 1 al 4.
I – Pero, en voz alta.
N – 4, 5, 6, 7, 8, 9.
I – Empieza otra vez y lo cuentas en voz alta,
venga.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (se corresponde el
conteo con el movimiento en el dedo).
(IV2a)
I –Entonces pon un Piolín en el número 5.
N – Coge un Piolín, parece que cuenta los
escalones con la mirada y lo pone en el 6.
(IV3b)
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Dilo en voz alta, cariño. ¿Por qué ese es el
número 5?
N – Porque... porque sí.
I – ¿Porque sí? Bueno, Adolfo, el 5, éste. 1, 2,
3, 4, 5 (va subiendo por la escalera). El 5 es
éste. Si éste está en el 5, ..., si éste está en el 5,
coloca otro en el número 9.
(IV1b)
N – Pone un Piolín en el escalón 10
rápidamente.
I –¿Por qué ese es el 9?
N – Porque sí.
I – ¿Por qué sí? Bueno, Adolfo, (quita los
Piolines), mira, ahora vamos a colocar panes en
uno sí y en otro no, igual que antes, ¿vale?
Venga, colócalo, el pan, en uno sí y en otro no
(pone un trozo de pan en el escalón 1).
N – Pone pan en 3, 5, 7 y 9.
I – Y ahora coloca Piolines al lado de los panes.
Vamos a ir colocando... Coloca un Piolín donde
hay pan.
N – Pone Piolines en 3, 5, 7 y 9.
I – Y dime los números donde has puesto los
Piolines, donde comen. Éste (1) es el 1. En el 1
come. Venga, sigue tú.
N – Pasa el dedo por los tres primeros
escalones.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
390
I – ¿Ese cual es?
N – El... el 2.
I – El 2 no, el 2 es éste (2), cariño, éste (1) es el
1. Y éste (2) el 2.
N – El 3.
I – El 3 come. Venga, sigue.
N – El 4 (señala el escalón 5).
(V2b)
I – El 4 es éste (4).
N – (Señala hacia el escalón 5) Uhmm.... El 5.
I – El 5, venga, sigue.
N – Uhmm... (Señala el escalón 7. Va
recorriendo la escalera con la mirada y se
queda pensativo.)
I – ¿No me puedes decir los número? ¿Lo estás
pensando?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Éste (5) es el 5, ¿cuál más?
N – El... (Se queda callado mirando a la
escalera)
I – Bueno, mira, vamos a tapar el pan como
antes, ¿no? (quita los Piolines y pone el muro
delante de los panes) Vamos a tapar el pan igual
que antes, lo vamos a tapar, ¿vale? Entonces,
éste (5) es el número 5, ¿eh? Éste es el número
5 (pone un Piolín) en el número 5 hay un Piolín
porque hay pan. Coloca un Piolín en el número
8. Y dime si en el 8 come pan o no. Me tienes
que decir si en el número 8 va a comer pan el
Piolín o no.
N – Va señalando los escalones con el dedo y
murmurando, como contando, desde el
principio de la escalera hasta el final)
I – Colócalo en el número 8 y me dices si tiene
pan o no.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (no se corresponde el
conteo con el escalón al que señala)
I – ¿Va a comer pan en el número 8? ¿Cuál es el
número 8? Coge un Piolín y lo colocas en el
número 8.
29)
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
I – ¿Ese es el número 8? ¿Por qué es el número
8?
N – Porque sí.
I – ¿Porque sí? ¿Ahí va a comer pan?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque ahí no.
I – Y en el número 7, ¿cuál es el número 7? El
Piolín está en el 5, ¿eh? Te lo digo, el Piolín está
en el 5, ¿cuál es el 7?
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (Parece que la vista se
corresponde con el escalón, pero finalmente
pone un Piolín en es escalón 9.
I – ¿Por qué ese es el 7?
N – Porque sí.
I – ¿Porque sí? Pero, ¿por qué es el 7? Éste (5)
es el 5, ¿eh? ¿Por qué éste (9) es el 7?
N – Porque...
I – ¿Porque sí? Bueno, mira, ahora (quita los
muros y pone Piolines en 9, 7, 5, 3, 1) lo
tenemos aquí así, ¿vale? Lo vas a ver todo.
Porque éste (1) es el 1, éste (3) es el 3, éste (5)
es el 5 , éste (7) es el 7 y éste (9) es el 9. Si tú la
escalera te la imaginas más larga, en el 11,
¿come?
N – Mira la escalera y dice que no con la
cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque no hay pan.
I – Porque no hay pan, ¿no? ¿Y en el 12?
N – Mira hacia abajo.
I – ¿Tampoco?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Tampoco come en el 13? Entonces no come
en ninguno. Pues, ya está Adolfo, nos vamos a
despedir para
coger a
otro
niñito.
Su. 4,10. Nombre: Susana. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Junio.
*I – …Venga, ponlo. Conforme va subiendo un
pan en cada uno de los escalones. (I1)
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 )
de la escalera. (I1a, IE4
*I – … Después de comerse este (5) pan ¿qué
pan come, cariño?
(II1)
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – ¿Y después?
N – Señala el escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el escalón 8. (II1a)
I – Muy bien, cariño. Entonces está aquí (5),
después de comer éste (5) se come éste (6), pero
como ha ido subiendo antes de comerse éste (5)
¿Cuál se había comido antes de éste (5)?
N – Señala los escalones 1, 2, 3, 4.
22 )
(II1a, IIE2
I – Sí, todos esos se los ha comido antes, pero
éste (6) está justo después de éste (5), ¿y
justamente antes de ese (5) cuál está?
N – Señala el escalón 1.
I – ¿Por qué después de este (5), cuando sube,
se come este (6)?
N – Señala el escalón 1.
I – (Quita todo de los escalones) ya el Piolín va
a comer pan en todos los escalones. Ahora va a
comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
otro no. Y en el primero es que sí, venga, coloca
pan en el primero.
N – Pone pan en el escalón 1.
I – Ahá y ahora es en uno sí y en otro no.
N – Coloca en los escalones 3, 5, 7 y 9.
(III2a)
*I – … Venga, pon un Piolín en los sitios que sí
va a haber pan. (III1)
N – Pone Piolines en 1, 3, 7 y 9. (III1a)
I –Bueno, si yo ahora pongo aquí (8) un Piolín,
¿tú crees que este Piolín va a comer pan?
N – Dice no con la cabeza.
(III1a)
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Porque no hay pan.
I – Pero, ¿por qué sabes tú que no hay pan, en
algunos sitios hay...
N – Porque no lo he puesto.
I – Pero, ¿por qué no lo has puesto ahí?
N – Porque tú me lo has explicado.
I –. Y si yo pongo éste aquí (pone un Piolín en
el escalón 9) ¿éste va a comer pan?
N – No.
I – ¿Ese tampoco va a comer pan?
N – Ese sí.
I – ¿Ese sí come pan? ¿Por qué?
N – Porque lo he puesto.
I – Pero, ¿por qué lo has puesto?
N – Porque... tú me lo has explicado.
I – Pero, ¿cómo te lo he explicado yo? Venga,
dímelo tú como yo te he explicado.
N – Pon un pan uno sí , otro no, uno sí, otro no.
22 )
(IIIE2
I – ¿Y en éste (9) tocaba que sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque ... me lo has explicado.
I – Pero, ¿aquí si tocaba?
N – Dice sí con la cabeza.
I –Ahora, yo quiero, Susana, que pongas un
Piolín en el escalón número 5.
N – Primero lo cuento, ¿no?
I – Vale.
N – 1, 2, 3, 4, 5 (va contando con el dedo y pone
un Piolín en el escalón 5).
I – Muy bien, Susana. Éste es el número 5
porque ya lo has contado. Ahora yo voy a poner
éste (pone el muro delante de los primeros
cuatro escalones) para que ya esto no lo puedes
contar, pero tú sabes que éste (5) está en el 5
porque tú lo has puesto en el 5. Coloca ahora
otro en el número 9.
N – 1 (6), 2 (7), 3 (8), 4 (9)... se para y mira a la
investigadora.
I – Susana, éste (5) está en el 5, ¿de acuerdo?
Tú tienes que saber que éste (5) es el 5. Aunque
tú no veas esto (levanta el muro) esto sigue
aquí.
N – 6 (6), 7, 8, 9 (se corresponde conteo con la
señalización y pone un Piolín en el escalón 9.
391
I – Ahá, muy bien, Susana. Entonces éste (9) es
el 9 (quita el Piolín del escalón 5). Éste es el 9.
Yo quiero, que sabiendo tú que éste (9) es el 9,
pongas uno en el 7, ¿cuál es el 7?
N –1 (5), 2 (6), 3 (7)...
I – No, no. Ese no es el 1 porque aunque tú aquí
no veas (levanta el muro un momento), aquí
hay. Éste (9) es el 9.
N – 5 (5), 6 (6), 7 (7). Pone un Piolín en el
33 )
escalón 8.
(IVE3
I – ¿Ese es el 7?
N – Cambia el Piolín del escalón 8 al 7.
I – Ahá, vale, coloca uno en el número 10.
N – ¿En el 10?
I – En el 10.
N – 5 (5), 6 (6), 7 (7), 8 (8), 9 (9), 10 (10). Pone
un Piolín en el escalón 10.
(IV1a)
I –Bueno, Susana, vale, perfecto, ahora vamos a
hacerlo con números y con pan, ¿de acuerdo?,
igual que antes. Pon el pan en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no.
N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5, 7, 9.
I –Ahora vas a ir colocando los Piolines en los
sitios que hay pan y me va a decir en los
números que son, ¿vale?
N – Pone un Piolín en el 1.
I – ¿Ese cuál es?
N – El 1.
I – Muy bien, venga, colócalo en todos y me
dices los números.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Cuál es ese, cariño?
N – Ese el... el 3.
I – Muy bien, guapa, venga, sigue.
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – ¿Y es? ¿Éste cuál es?
N – El 5.
I – Venga, sigue.
N – Pone en el escalón 7.
I – ¿Y ese?
N – El 7.
I – ¿Y en cuál más?
N – Coloca en el escalón 9.
I – ¿Ese cuál es, vida mía?
N – El 8.
I – No, el 8 no, el 8 es éste, cariño (8) ¿Cuál es
ese?
N – El 9.
*I – …. Éste (5) es el número 5 y aquí come
pan. ¿Después del 5 qué número viene para que
coma pan?.
(V1)
N – En éste (7)
I –¿Cuál es ese?
N – El 7
I – Después de 7 ¿qué número viene para que
coma?
N – Este (8)
(V1b)
I –Éste (5) es el número 5 y aquí come pan.
Entonces yo quiero saber si en el 8 come pan el
Piolín..
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392
N – (Dice no con la cabeza.) No come.
I – ¿Y cuál es el número 8? Coge un Piolín de
aquí y lo pones en el número 8..
N – Señala el escalón 8..
I – Coge un Piolín y lo colocas ahí.
N – Lo pone.
I – ¿Por qué sabes tú que ese es el 8?
N – Porque no hay pan.
I – ¿Porque no hay pan?
N – Porque no lo he puesto.
I – Pero, ¿por qué sabes tú que no lo has
puesto?
N – Porque tú me has dicho uno sí y otro no,
uno sí y otro no.
I – Vale, y en ese escalón ¿qué tocaba, que no?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – No había pan.
I – Bueno, coloca ahora un Piolín en el número
6.
N – Mira los escalones y señala el 5.
I – Ese es el 5. El Piolín está en el 5.
N – Señala el escalón 6.
I –Venga, coloca un Piolín en el número 6.
N – Coloca un Piolín en el escalón 6.
I –¿En el número 6 come?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque no hay pan.
I – ¿Y por qué sabes que no hay pan?
N – Porque tú me has dicho uno sí y otro no,
uno sí y otro no.
I – Vale, ahora, ¿en el 9 come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque he puesto un pan.
I – Pero, ¿por qué has puesto un pan?
N – Porque tú me has dicho uno sí, otro no, uno
sí y otro no.
I – Muy bien, ¿en el 2 come?
N – Sssss.... No.
I – ¿Por qué? ¿Cuál es el 2, cariño?
N – Señala el escalón 2.
I – ¿Y por qué no come?
N – Porque no he puesto pan.
I – ¿No has puesto pan? Pero, éste (5) es el 5, en
el 5 sí hay. ¿Tú puedes adivinar sabiendo que en
el 5 sí hay, lo que ocurre en el 2?
N – Que no hay pan.
I – Pero, ¿por qué?
N – Porque tú me has dicho uno sí, otro no, uno
sí, otro no.)
I – ¿Y en el 2 qué, no toca?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué? ¿Pero por qué no toca en el 2?
N – Porque tú me has dicho uno sí, otro no.
(V3a)
I – Vale, ¿y en el 3?
N – Señala el escalón 3. Sí hay.
I – ¿En el 3 sí hay?
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Dice sí con la cabeza.
I – (Quita el muro y pone Piolines donde hay
pan). Entonces, dime otra vez los números
donde están los Piolines.
N – Éste (1), el 1, éste (3) el 3, éste (5) el 5, éste
(7) el 7, éste (9) el 9 y... (V2a)
I – Entonces, ¿después del 5 ¿en qué número
come?
N – En el 6
(V1b)
*I –…En el escalón número 25, ¿en el 25 tú
crees que va a comer?
(VI1)
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No?
N – Sssss...
I – ¿Sí o no?
N – No. (VI1b)
I – ¿Por qué? ¿Por qué va a comer en el 25?
N – Porque está en medio.
I – Bien, ¿en el 32 va a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Porque está al lado.
I – ¿Y en el 41?
N – Está en medio.
I – ¿Y en el 48?
N – No, porque está en medio.
I – El 48 también está en medio. ¿Y el 63?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque está al lado.
I – Dime entre el .... 81 en adelante, ¿dónde
comería?
N – Señala el escalón 5.
I – Vale, vamos de nuevo aquí abajo, entonces
en el 9 hay pan, en el 10 no hay. Pero tú te
imaginas ahora que la escalera sea más larga,
¿en el 11 qué sería?
N – Ninguno.
I – Ninguno, ¿qué? ¿En el 11 qué ocurriría,
habría pan o no?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque está en medio.
I – ¿Porque está en medio el 11? ¿Y en el 12?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque está al lado.
I – Porque está al lado. ¿Y en el 13?
N – Porque está en medio.
I – Pero, ¿en el 13 qué pasaría?
N – Que no hay.
I – ¿Que no? ¿Y en el 14?
N – Que sí.
I – ¿Y en el 15?
N – Que no.
(VI2b)
I – Si la escalera fuese más larga, ¿después del 9
qué número viene en el que sí come?
N – El 10
(VI3b)
I –Lo dejamos ya, cómete los ositos ya, porque
eres una niña muy guapa.
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6.1.4. Colegio Público de la Capital, B.
30)
Ma. 4,4. Nombre: Mª del Mar. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños:
Diciembre.
I – ¿Por qué después de este (5) se come este
(6)?.
N – Silencio
I – (Quita todo) Ahora el Piolín en lugar de
comer pan en todos, come en uno sí y en otro
no, ¿vale?
N – Vale.
I – Empieza por el que sí. Entonces, ponlo,
cariño, donde come y donde no come, es en uno
sí y en otro no.
N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9.
(III2a)
*I – …Entonces, tú ahora tienes que poner aquí,
de estos Piolines, en los sitios donde hay pan,
pero que tú no lo ves. ¿Después de éste (5)
dónde tienes que poner pan?
(III1)
N – Intenta poner un Piolín detrás del muro
inferior.
I – No, cariño, pero aquí (señala la parte de la
escalera de delante del muro) delante de... en
éste sitio, después lo vemos.
N – Coloca un Piolín en el escalón 3.
I – Tienes que poner todos donde siempre haya
pan.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – ¿Ya está?
N – ¿Y ahora los de arriba?
I – Venga.
N – Pone Piolines en los escalones 7 y 9.
(III1a)
I –. Dime por qué has puesto aquí (9) un
pajarito.
N – Porque hay pan.
I – ¿Y por qué sabes tú que hay pan?
N – Porque lo pienso.
I – ¿Y no me quieres decir cómo lo piensas?
N – Con los ojos cerrados.
I – Entonces, aquí (5) hay un pajarito porque
hay pan (quita todos los pajaritos excepto el 5),
si ponemos aquí uno (7) ¿hay pan?
N – Sí.
I – ¿Y por qué sabes que hay pan?
N – Porque se ve.
I – ¿Y aquí (9)?
N – Porque he pensado.
I – ¿Y cómo lo has pensado? Venga,
cuéntamelo, cariño.
N – Con los ojitos cerrados.
I – Ah, que lo piensas con los ojos cerrados,
¡qué bien sabe pensar esta niña! ¿Y aquí (3) por
qué hay pan?
N –Porque está el Piolín.
I – ¿Y aquí (1) por qué has puesto el Piolín?
N – Porque hay pan.
I – ¿Y por qué sabes que hay pan ahí, cariño?
11 )
N – Porque también lo he pensado. (IIIE1
*I –…Mira, este Piolín está en el 5, entonces,
yo quiero que pongas ahora otro Piolín en el 7.
(IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
(IV1b)
I – Es en el 7. Éste (5) Piolín está en el 5, pon
otro en el 7.
N – Pone un Piolín en el 9.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7?
N – Porque éste (10) es arriba y éste (9) abajo.
I – Sí, éste (5) ¿éste en qué número está?
N – En el 5.
I – ¿Por qué sabes tú que ese es el 5, cariño?
N – Porque pienso.
I – Sabes que es el 5, pues entonces ahora yo
quiero que tú pienses y que lo pongas en el 7.
Éste (señala el Piolín colocado en el escalón 9)
lo pongas en el 7.
N – Se queda callada mirando la escalera y
coloca el Piolín en el escalón 10.
I –Vamos a hacer una cosita que tú sabes hacer
muy bien, ¿vale? Yo quiero,... (quita los
Piolines de la escalera) ahora, Mª del Mar, que
cuentes los escalones. Cuenta los escalones,
vida mía.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (Va señalando
con el dedo los escalones correspondientes).
I –Ahora, como has contado muy bien los
escalones, voy a poner un escalón, igual que
antes un Piolín en el número 5. Quiero que
pongas otro en el número 6.
(IV3)
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 10.
I – ¿Ese es el 6, cariño?
N – Sí.
I – En el número 6. Éste (5) es el 5, ¿por qué
éste (señala el Piolín que ha colocado la niña
en el escalón 10) es el 6?
N – Porque deja 6 escalones.
I – ¿Y dónde están los 6 e que se deja?
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394
N – 1 (6), 2 (7), 3 (8), 4 (9), 5 (10)... 1 (5), 2 (6),
3 (7), 4 (8), 5 (9), 6 (10).
I – Ah, ¿por eso está en el 6?
N – Sí.
I – No, pero yo quiero que lo pongas en el
número 6, ... en el número 6, contándolo desde
aquí (señala el escalón 1), o sea , empieza desde
aquí (1) y lo pongas en el número 6.
N – 1 (1), ..., 3 (3), 4 (4), 5 (5) y 6 (pone un
Piolín en el escalón 6). (IV3a)
I – Muy bien, ahora quiero que pongas uno en el
número 7.
N – (Coge un Piolín) 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (va
subiendo la escalera con el Piolín hasta que lo
deja en el escalón 7).
I – Muy bien, ahora quiero que pongas uno en el
número 8.
N – (Coge un Piolín y lo va subiendo por los
escalones hasta el escalón 8 mientras cuenta) 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
I – Muy bien, ahora quiero que pongas uno en el
número 9.
N – (Coge otro Piolín y lo sube por los
escalones hasta llegar al escalón 9 y lo deja
allí) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
I – Ahora uno en el número 10.
N – (Repite la misma operación, coge un Piolín
y lo va subiendo mientras cuenta) 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 y 10
I – Muy bien, Mª del Mar. Entonces, ahora
quitamos (va quitando los Piolines puestos en la
escalera) los Piolines y dejamos solamente el
que está en el número 5, ¿vale? Éste (5) es el
número 5, ¿de acuerdo?
N – Sí.
I – Entonces, éste (5) es el número 5, porque es
1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando con el dedo los
escalones que cuenta). Ahora, pon uno en el
número 7, sabiendo que ese es el 5, ¿eh?
N – (Coge un Piolín y lo sube por la escalera a
la vez que cuenta) 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
33 )
(IV1a, IVE3
I – Muy bien, ahora pon otro en el número 9.
N – (Vuelve a coger otro Piolín y a la vez que
cuenta lo sube por los escalones que nombra) 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
I – Muy bien, ahora pon uno en el número 3.
N – (Coge otro y lo sube hasta el escalón 3) 1, 2
y 3.
I – Y ahora pon uno en el número 1.
N – (Coge un Piolín y lo pone en el escalón 1)
Uno.
I – (Quita los Piolines, menos el del escalón 5)
ponemos pan, ... Pon pan en uno sí y en otro no,
igual que antes.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7 y 9.
*I – … Está en el número 5 y come pan ¿Cuál
es el siguiente número en el que sí come?
(V1)
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Coge un Piolín y parece que lo pone en el
escalón 9.
(V1b)
I – El siguiente número, cariño, espérate. (Quita
el Piolín del escalón) Está en el número 5 y
come, ¿cuál es el siguiente número en el que sí
come pan? ¿En qué número de escalón tienes
que ponerlo para que coma pan?
N – Aquí y aquí ( pareces que señala con el
dedo los escalones 8 y 10)
I – ¿Y ese qué número es? ¿Éste (8)..? Venga,
ponlo, ponlo, cariño. Pon el siguiente.
N – Coloca un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando con el
dedo, pero se salta un escalón y al final
termina el conteo señalando al escalón 8).
I – ¿Lo has contado bien? Cuéntalo otra vez,
vida mía.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (señala los escalones
mientras cuenta).
I – Entonces, ¿en qué número después del 5 sí
come pan?
N – Éste (pone un Piolín en el escalón 10).
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 9.
I – Entonces, ¿en qué número come pan?
N – El 10.
I – El 10, bueno. Vamos a hacer una cosa,
vamos a hacer... Mira, cariño, (quita el muro
superior) te has equivocado, porque aquí (10)
no hay pan y aquí (8) tampoco, y sí habías
puesto un pajarito (quita el otro muro y los
Piolines de los escalones 8 y 10). Vamos a
hacerlo viéndolo, ¿vale? Primero viéndolo y
después sin verlo, ¿de acuerdo, cariño? Mira,
está en el 5 y sí come pan (lo señala) Ahora,
ponlo... Éste es el 1 (pone un Piolín en el
escalón 1) y sí hay pan.
N – Pone un Piolín en el 3.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 3.
I – Y come pan. ¿Éste (5) es el ...?
N – El 5 (coloca un Piolín en el escalón 7).
I – ¿Ese es el ...?
N – El 7 (pon un Piolín en el escalón 9). El 8.
I – ¿El 8?
N – Sí.
I – Cuéntalo, cariño.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8 y 9.
I – Entonces, ¿en qué número, en qué número
hay pan? ¿En qué número el pajarito come pan?
Dime todos los números en los que sí come pan.
(V2)
N – En el 1, en el 3, en el 5, en el sie.., en el 8 y
en el 9. (V2b)
I – ¿Sí?
N – Sí.
I – ¿En esos come pan? Ahá, vale. Dime, ¿éste
(7) qué número es?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7 (va
señalando cada escalón).
I – Entonces es el 7 en el que come pan, no en
el 8, ¿vale?
N – Vale.
I – Entonces, ahora, vamos a tapar esto (pone el
muro superior) para que tú no veas esto (quita
los Piolines de los escalones 7 y 9) y me tienes
que decir otra vez esto, mira. En el 1.... come.
N – En el 2 come, en el 3 ...
I – ¿En el 2 come?
N – En el 3 come, en el 5 come.
I – Ahora, pon un pajarito en el número que
viene después.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7, el 8.
I – ¿Y ahí come?
N – No (cambia el Piolín al escalón 7).
I – ¿Ese qué número es?
N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7.
I – Muy bien.
N – Pone Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6, el 7, el 8, el 9.
(V2b)
I – Entonces, ¿en qué números come pan?
(Quita el muro) ¿En qué números come?
N – En el 9.
I – (Quita los Piolines menos el que está en el
escalón 5). Está en el 5 y sí come, tapamos
(pone los muros) aquí y tapamos aquí. Está en
el 5 que sí come, ¿de acuerdo, cariño? En el 5
come. Ahora, dime el número de aquí arriba
(señala la parte superior de la escalera), el
número que está después del 5 en el que
también come. (V3)
N – Aquí (pone el Piolín en el escalón 1).
I – Bueno, pero me tienes que decir el número
que es.
N – El 5.
I – Ese (5) es el 5, ¿y después que has puesto
ahí (1), cariño?
N – El 1.
I – En el 1 come, venga, ¿qué más?
31)
395
N – Y en el 2 y en el 3. (V3b)
I – ¿En el 2 come?
N – En el 3.
I – En el 3, ¿qué números más? Venga, dime.
N – Y en el 6.
I – ¿En el 6 come?
N – Sí.
I – Pero, si estás viendo que no come.
N – (Pone el Piolín del escalón 6 en el 7) En el
7.
I – Ahá.
N – Y en el 9.
*I – … Si tú te imaginas más larga, ¿tú crees
que en el número 15 el pajarito come pan?
(VI1)
N – Sí. (VI1b)
I – ¿Por qué?
N – Porque va subiendo la escalera.
I – ¿Y en el 16 come pan?
N – También
.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque está mirando la escalera y está
subiendo.
I – Sí, pero es que es en uno sí y en otro no, ¿a
que sí?
N – Sí.
I – Pues, venga. ¿En el 11 comería? En el 11.
(VI2b)
N – También.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque en ... porque está mirando la
escalera.
I – Ah, ¿y en el 12?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque en el 12 no puede estar.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque tiene que dejar algo sin hacer.
I – Y dime todos los números en los que comen
pan después del 15 hasta llegar a 30.
(VI1)
N – Después de 15,... 19. (VI1b)
I – ¿Después del 15 en el 19?
N – En el 18.
I –Muy bien, Mª del Mar. Dile adiós a los
Piolines.
Ru. 4, 10. Nombre: Rubén. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Junio.
I –. ¿Por qué después de éste (5), cuando va
subiendo, se come éste (6)?
N – Porque quiere comerse todos los pan.
I – (Quita todo de la escalera). Verás, cuando
va subiendo ya no come pan en todos los
escalones, come pan en uno sí y en otro no, en
uno sí y en otro no. Y empieza con el que es sí,
venga ponlo. Es en uno sí y en otro no.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 1.
I – Venga, sigue poniendo a ver como se lo
come.
N – Coloca pan en los escalones 3, 5, 7, 9.
(III2a)
*I – … Y en éste (5) sí come. Ahora tienes que
poner Piolines en los que sí come, aunque no los
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396
veas tú pero tú lo sabes. Tienes que poner
Piolines en los que sí come.
(III1)
N – Coge un Piolín y lo va a poner en el
escalón 3, junto al pan detrás del muro.
I – Pero ponlo delante de esto, cariño. Después
quitamos el tabique y lo vemos.
N – Coge otro Piolín y lo coloca en el escalón
2.
I – ¿Ahí come?
N – Dice no con la cabeza.
I – Venga, ponlo donde come.
N – Pone el Piolín que había puesto en el 2, en
el escalón 1.
I – Ahá, venga. Y ahora...
N – Coloca Piolines en los escalones 9 y 7.
(III3a)
I – ¿Están en todos los que comen?
N – Dice sí con la cabeza. (III1b)
I –¿Por qué después de éste (5) has puesto uno
aquí (7)?
N – Porque aquí (señala el escalón 7) no hay
pan.
I – ¿Ahí no hay?
N – Dice no con la cabeza.
I – Entonces, ¿por qué lo has puesto?
N – Se queda callado mirando la escalera.
I – ¿Por qué lo has puesto si no hay, cariño?
N – Se me ha olvidado.
I – Entonces, tú lo pones donde hay. ¿Está bien
así?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Ahí hay pan? ¿Tú estás seguro de que ahí
hay?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Vale. ¿Y por qué lo has puesto aquí (7), por
qué no lo has puesto aquí (8) o aquí (6)? ¿Por
qué lo has puesto aquí (7)?
N – Porque ahí hay pan.
I – ¿Por qué sabes que hay?
N – Porque ...tengo un juego de magia.
I – ¿Ah, sí? Por eso lo sabes tú.
N – Y mi primo... Pero yo no tengo la barita.
I – ¿No? ¿Y por qué pones aquí (9) uno y no lo
pones aquí (8), por ejemplo? ¿Por qué lo pones
aquí?
N – Porque ahí, aquí (8) no hay pan.
I – ¿Por qué sabes que no hay?
11 )
N – Porque no hay.
(III1a, IIIE1
*I – … Ese está en el escalón 5, pon otro en el
número 7.
(IV1)
N – Coge un Piolín, lo iba a poner en el escalón
8, pero finalmente lo pone en el escalón 10 y
mira a la investigadora. (IV1b)
I – ¿Ese es el 7?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque he contado.
I – ¿Y cómo lo has contado?
N – Pensando.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Venga, dímelo, para que yo vea cómo lo has
contado.
N – 1 (6), 2 (7), 3 (8), 4 (9), 5 (10) (se queda
mirando la escalera de arriba a abajo, pasa el
dedo por el filo de los escalones del 5 al 9)
I – ¿Éste (5) por qué está en el 5? (Quita el
Piolín del escalón 10) Venga, dime ¿por qué
está ese en el 5?
N – Porque es el escalón 5.
I – ¿Y por qué sabes que es el escalón 5?
N – Porque estoy contando estos (pasa el dedo
por los escalones, del 1 al 5) también.
(IV2a, IV3a)
I – Ah, venga. Pues entonces, ahora ponlo
(señala un Piolín de fuera de la escalera) en el
número 7. Éste (5) es el 5 porque es 1, 2, 3, 4 y
5 (va señalando los escalones). Ahora ponlo en
el número 7.
N – Coge un Piolín y lo vuelve a poner en el
escalón 10.
I – ¿Por qué ese es el 7, cariño?
N – Porque aquí (5) está el 5.
I – Y si ese es el 5, ¿por qué ese es el 7?
N – Porque (pasa el dedo por los escalones del
5 al 9) después de éste (9) viene éste (10).
I – Sí, pero yo quiero que lo pongas en el 7.
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Y por qué ese es el 7?
N – Porque lo cuento pensando.
I – Pues dime como lo cuentas para que yo lo
sepa.
N – 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando los escalones
desde el 6 hasta el 10).
I – Bueno, cuenta los escalones, cariño.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 (va señalando con
el dedo los escalones correspondientes).
I – ¿Cuál es el 5?
N – Señala el escalón 6.
I – A ver, ¿Por qué ese es el 5?
N – Porque lo he contado.
I – Venga, pues cuéntalo otra vez.
N – 1, 2, 3,4,...,5, 6, 7, 8, 9, 10 (va señalando
los escalones).
I – Pues entonces pon un Piolín en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – Ahora pon un Piolín en el número 6.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ese es el 6?
N – Dice no con la cabeza.
I – Pues ponlo en el 6.
N – Cambia el Piolín que había puesto en el
escalón 7 al 6.
I – Ahora, pon uno en el número 7.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – Ahora, otro en el número 8.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – Otro en el número 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – Y otro en el número 10.
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Muy bien, Rubén, lo sabes hacer todo bien,
bien, bien. Ahora, entonces, como ya esto lo
sabes hacer (va quitando los Piolines, deja el
del escalón 5), entonces vamos a hacer igual
que al principio a ver si ahora ya te sale. Éste
(5) está en el número 5, ¿de acuerdo? Pon otro
en el número 7.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Por qué ese es el 7?
33 )
N – Porque lo he contado. (IV1a, IVE3
I –. Vale, Rubén. Ahora vamos a hacerlo con
pan y con números, ¿de acuerdo? Vamos a
colocar pan en uno sí y en otro no, igual que
están ahora. Ponlo, pon el pan en un escalón sí y
en otro no.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7, 9.
*I – … Entonces, ¿en qué número después del 5
hay pan? .
(V1)
N – Señala el escalón 7. (V1b)
I – Ese que...Pero, me tienes que decir el
número, ¿ese qué número es?
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando los
escalones correspondientes).
I – Venga, sigue diciéndome sólo los números
donde hay pan.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9.
I – ¿Ahí ? ¿Qué número es?
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9.
I – ¿Qué más? Y ahora por el de abajo.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 1. (Pone otro Piolín en el escalón 2) El
2.
I – ¿En el 2 come pan? (V3b)
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque hay pan.
I – ¿Y por qué hay pan ahí?
N – Porque cuento.
397
I – Vale, Rubén, vale, vale, vale. Pero yo te voy
a hacer esto (quita el muro inferior) y fíjate que
no hay, ¿lo ves que no hay?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – (Quita tabiques y deja piolines en 1, 3, 5, 7 y
9). Ahora lo vemos todo, pero tú me tienes que
ir diciendo los números en los que hay pan y
Piolines, claro. Los números.
N – Señala el escalón 9.
I – Empieza desde abajo y me vas diciendo los
números.
N – 1 (1), 2 (3), 3 (5), 4 (7), 5 (9). (V2b)
I – No, éste (2) es el 2, éste no es el dos, este
escalón no es el número 2. El 2 es éste.
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Éste (3) qué número es?
N – El 3.
I – Eso es, entonces en el 1, en el 3, aquí...
(señala el Piolín del escalón 5).
N – El ...5 (5), el...9 (7), el... 8 (9).
I – ¿Sí?
N – Dice que sí con la cabeza.
*I – … Y entonces, ¿tú sabes si en el número 15
come pan?
(VI1)
N – Dice que no con la cabeza.
(VI1b)
I – ¿En el número 15 no come?
N – (Dice que no con la cabeza) No hay pan.
I – No hay pan. Y ... éste (9) es el 9 y hay pan,
¿en el 11 hay pan?
(VI2)
N – Dice que no con la cabeza.
(VI2b)
I – ¿No?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Y en el 13 hay pan?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Entonces dónde hay pan, en qué números?
N – En el 14.
I – ¿Por qué?
N – Porque no lo estoy viendo y lo pienso.
I – Ahá. Vale, pues ya está. Rubén eres muy
guapo
.
32)
Li. 4,4. Nombre: Lidia. Curso: 4 años. Cumpleaños en: Diciembre.
I –¿Por qué cuando se come éste (5), después se
come éste (6)?
N – Porque tiene ganas de comer.
I –Pues ahora ya en vez de comer en todos, va a
comer pan en un escalón sí y en otro no, en uno
sí y en otro no y en el primero sí come, venga
ponlo.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 1.
I –. Pon pan en uno sí y en otro no.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 2.
I – Es en uno sí y en otro no, Lidia.
N – Pone trozos de pan en los escalones 4, 5, 7,
8 y 9. (III2b)
I – Lidia, algunos los has puesto juntos, porque
mira, éste (2) lo has puesto junto. Es en uno sí y
en otro no. Entonces, en éste (1) sí, ahora (2) es
no.
N – Cambia el pan del escalón 2 al 3.
I – Ahora (3) es sí. Ahora estos dos los has
puesto juntos (señala los panes de los escalones
3 y 4).
N – Corre el pan del escalón 4 hacia la
izquierda.
I – (Quita el pan del escalón 4) Es en uno sí y
en otro no. Entonces, en éste (3) sí y en éste (4)
no, en éste (5) sí y en éste (6) no, en éste (7) sí
y en éste (8) no (quita el trozo de pan de ese
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398
escalón), en éste (9) sí y en éste (9) no, ¿vale?
¿Ya has visto cómo es?
N – Dice sí con la cabeza.
*I – … Entonces, aquí ponemos un Piolín
porque aquí hay pan (pone un Piolín en el
escalón 5), ¿de acuerdo? Ahora, tú tienes que
poner aquí (señala la parte superior de la
escalera) Piolines donde haya pan detrás de esta
pared. Pon Piolines donde haya pan. Coge un
Piolín y los vas poniendo en los sitios que haya
pan.
(III1)
N – Pone Piolines en los escalones 2 y 9.
(III1b)
I – ¿Ya está?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Vamos a ver si te has equivocado (levanta el
muro superior) ¡Uy! Éste sí, pero, mira, aquí (7)
no has puesto y había. Espérate, espérate un
momento (Quita el muro inferior). Y aquí (2),
¿lo ves? no había y has puesto. Osea que no lo
has hecho bien del todo. Todavía no lo has
hecho bien (quita los Piolines de los escalones 2
y 9). Ahora, viéndolo, viéndolo pon Piolines
donde hay pan. Ahora lo estás viendo.
N – Pone Piolines en los escalones 1, 3, 5, 7 y
9.
I – Muy bien, has puesto Piolines donde hay
pan, perfecto. Ahora vamos a quitar estos de
aquí (quita los Piolines de los escalones 9 y 7) y
vas a ver los que hay ahí, los de abajo sí los vas
a ver, pero estos de aquí arriba no (pone el muro
en la parte superior) a ver si lo puedes adivinar,
a ver si ahora sí haces una magia. Pon Piolines
donde sí hay pan.
N – Aquí hay.
I – Tú lo pones y ahora lo vemos. Venga,
cariño, pon Piolines donde haya pan.
N – Pone Piolines en los escalones 8 y 7.
I – ¿Lo has puesto bien?
N – Se queda callada mirando la escalera.
I – ¿Está bien?
N – Parece que dice que no con la cabeza.
I – ¿Tú crees que está bien, cariño? ¿Tú lo
puedes averiguar según esto que estás viendo?
¿Lo puedes averiguar?
N – Porque yo antes éste, éste, éste, éste (va
señalando los Piolines de lejos).
I – ¿Así lo has puesto? ¿Así está bien puesto?
N – (Pone un carilla como diciendo que sí, pero
no con mucha seguridad)
I – ¿ Vemos si está bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – A ver si está bien, cariño (levanta el muro).
¡Oh! No, cariño. Aquí (8) has puesto uno y aquí
no hay. Y ahora aquí (9) no has puesto y aquí sí
hay. ¡Oh! Bueno, ahora, como me ha dicho tú
señorita que sabes contar muy bien... (va
quitando los panes y los Piolines menos el del
escalón 5)
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Sí. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando
los escalones correspondientes). (IV2a)
*I –…Mira, ese está en el número 5, ¿de
acuerdo? Pon otro Piolín en el número 7.
(IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
(IV1b)
I – Pon otro Piolín en el número 9.
N – Pone otro Piolín en el escalón 7.
I –. ¿Cuál es el número 9?.
N – Señala el Piolín del escalón 7.
I – ¿Por qué sabes que ese es el número 9?
N – Porque lo he contado.
I – Venga, cuéntalo. Cuenta los escalones.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 9...(va señalando con el dedo el
escalón correspondiente, menos cuando dice el
9 que señala el escalón 6).
I – Vamos a quitarlos (quita los tres Piolines de
la escalera) y cuenta los escalones, cariño,
cuéntalos.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... (y se sonríe).
I – Entonces, coloca un Piolín en el número 5..
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – ¿Por qué ese es el número 5?
N – Porque yo lo sé.
I – Venga, dime por qué ese es el número 5,
cariño.
N – Porque yo lo he contado éste (1), éste (2),
éste (3), éste (4), éste (5) y éste (6).
I – Lo ves, ¿entonces cuál es el 5?
N – Cambia el Piolín del escalón 6 al escalón 7.
I – ¿Ese es el 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Bueno, mira, 1, 2, 3, 4 y 5 (va subiendo el
Piolín por la escalera hasta dejarlo en el 5).
Éste es el 5, coloca uno en el número 6.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6 (va señalando con el dedo los
escalones mientras cuenta y después coloca un
Piolín en el escalón 6). 6.
I – Coloca otro en el número 7.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (va señalando con el dedo
los escalones mientras cuenta y después coloca
un Piolín en el escalón 7).
I – Coloca otro en el número 8.
N – 1 (1), 2 (2), 3 (3), 4 (4), 5 (5), 10 (7), 11
(8), 12 (9), 8 (10). El 8 (señala el escalón 10 y
pone un Piolín) (IV3b)
I – ¿Sí? ¿Ese es el 8? Coloca otro en el número
9.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (va señalando con el
dedo los escalones, pero empieza a contar
desde arriba, el 9 se corresponde con el escalón
1 y sin embargo pone el Piolín en el escalón 3)
I – Vale. Ahora vamos a ver con el pan y los
Piolines, ¿de acuerdo? (quita todo de la
escalera) Con el pan y los Piolines, entonces...
Mira, come en uno sí y en otro no, en uno sí y
en otro no, en uno sí y en otro no, en uno sí y en
otro no (va poniendo trozos de pan en los
escalones 1, 3, 5, 7, 9), ¿de acuerdo?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Está separado.
I – Eso, pero ahora los Piolines... (pone un
Piolín en el escalón 1) Tú me tienes que decir
en los números que hay Piolines y que hay pan.
Éste (1) es el 1 y sí hay, venga, dime los
números en los que hay pan
N – Señala el escalón 3.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 9.
(V2b)
I – ¿El 9?
N – 1, 2, 3 (señala con el dedo). El 3.
I – Venga, coloca los Piolines...
N – 1, 2, 3, 4... 1, 2, 3...4 (1). 1, 2, 3, 4, 5. El 5
(coloca un Piolín en el escalón 5).
I – Venga, coloca donde hay Piolines.
N – 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. El 7 (coloca un Piolín en el
escalón 7).
I – Venga, y el otro Piolín...
N – Coloca un Piolín en el escalón 9.
I – Entonces, ¿en qué números hay Piolines?
Venga, dímelo en qué números hay.
N – En éste (1), en éste (3), en éste (5)
I – Sí, pero me tienes que decir los números, no
señalarlos.
N – 1, 2, 3, 4 (va señalando los Piolines
colocados).
I – No sólo... Los números que hay Piolines, los
números.
N – 1, 2, 3, 4. 5 (señala de nuevo los Piolines
colocados).
I – Sí, hay 5 Piolines. Pero, éste (1) es el 1, éste
(2) es el 2 y en el 2 no hay, éste (3)es el 3 y en
el 3 sí hay. Venga, ve diciéndome.
399
N – 1, 2, 3, 4, 5 (vuelve a contar los Piolines
colocados).
I – ¿Esos son los números?
N – En éste (2) no he contado, ni en éste (4), ni
en éste (6), ni en éste (8). Ese (9) sí.
I – ¿Ese lo has contado?
N – Ese sí.
I – Muy bien. Ahora, Lidia viene, si esta
escalera fuese más larga, ¿en el número 15
habría pan?
N – Pasa el dedo por el escalón 10.
I – No, no más para acá, sino éste (10) es el 10 y
después el 11, el 12, el 13, el 14, el 15... y
siguiera la escalera para arriba, ¿en el 15
comería pan el Piolín?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Sí.
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Porque tiene que comer pan....(señala a los
escalones).
I – En todos, ¿no?
N – Si.
I – Y después del 9, ¿qué número vendría en el
que sí come pan?
N – En el 2.
I – En el 2. Muy bien, Lidia.
N – Creo que es en el 2.
I – Muy bien, Lidia di adiós, que nos vamos a tú
clase.
33)
Ju. 5,4. Nombre: Juan José. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en:
Diciembre.
I – ¿Por qué después de comerse éste (5) se
come éste (6)?
N – Porque es más chico.
I –Ahora, el pajarito va comiendo pan en un
escalón sí y en otro no, en uno sí y en otro no,
en uno sí y en otro no. (Quita los panes y el
Piolín) En el primero es que sí. Venga, pues,
pon pan en uno sí y en otro no..
N – Coloca pan en los escalones 1, 3, 5, 7, 9,
*I – … Después de éste (5) ¿dónde ponemos un
pajarito para que coma pan?
(III1)
N – Va a coger el Piolín del escalón 5.
I – Cógelo de aquí, cariño, y lo vas poniendo.
N – Coloca un Piolín en el escalón 7.
(III1a)
I – ¿Y después de ese dónde ponemos un
pajarito para que coma pan?
N – Señala el escalón 9.
I – Pues venga, ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – Y ahora por allí abajo.
N – Pone un Piolín en el escalón 3 y otro en el
1.
I – Y hemos puesto el pajarito. Éste estaba
(señala el Piolín del escalón 5) porque tú lo
estás viendo. ¿Por qué después de éste (5) has
puesto aquí (7) un pajarito para que coma pan?
N – Porque da un salto.
I – Da un salto, muy bien. Y aquí (7) después de
éste, ¿por qué lo has puesto aquí (9)?
N – Porque da un salto (lo dice muy bajito).
22 )
(IIIE2
I – ¿Y por qué no lo has puesto aquí (señala el
escalón 10) que también daría un salto?
N – Se queda callado mirando la escalera y a la
investigadora. Y se encoge de hombros.
*I –...Éste pajarito ya sabemos que está en el
número 5. Pon ahora un pajarito en el número 7.
(IV1)
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 7.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
400
I – ¿Por qué sabes que ese es el 7, cariño?
N – Porque detrás del 5 viene el 6.
I – Vale. Pon ahora uno en el número 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Por qué sabes que ese es el número 9?
44 )
N – Porque antes del 9 viene el 8. (IV1a, IVE4
I – Que es éste (8), ¿no? ¿Y por qué sabes que
éste (8) es el 8?¿Por qué lo sabes?
N – Porque... antes del 8 viene el ssssss, el 6.
I – ¿El 6?
N – (Dice no con la cabeza) El 7.
I – ¿Y por qué sabes que éste (7) es el 7?
N – Porque cuento.
I – Vale, pon ahora otro en el número 3.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Por qué ese es el 3?
N – Porque lo he adivinado yo.
I – Quiero que lo pienses a partir de este (5) que
es el 5.
N – Piensa.
*I –…Ahora sabemos que éste (5) es el número
5. Porque ya lo hemos contado y sabemos que
en el 5 hay pan. Entonces, ¿en qué número,
después del 5, tienes que poner un Piolín para
que haya pan?, ¿en qué número? (V1)
N – Señala el escalón 3 (V1b).
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 3.
I – Pues venga, ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – Venga, dime, en qué números. En todos los
números que tienes que poner un Piolín. Y lo
vas poniendo.
N – Señala el escalón 1.
I – ¿Ese qué número es?
N – (Pone un Piolín en el escalón 7). El 1.
(Señala el escalón 7)
I – ¿Ese cuál es?
N – 7.
I – ¿Y cuál más?
N – (Pone un Piolín en el escalón 9.) 9.
34)
I –Entonces ¿en qué número hay Piolines y hay
pan? ¿En qué números? Venga, dímelos todos
desde el principio.
N – En el 7, en el 9, en el 3 y en el 1.
(V2a)
I –¿Por qué sabes tú que detrás del 5, viene el 7
para que sí coma?
N – Porque da un salto. (V1a, VE2)
I – ¿Y por qué da ese salto y cae en el 7 y no en
el el 8,..?
N – Porque no hay pan. (V3a)
I – ¿Y por qué no hay pan?
N – Se enconge de hombros.
*I – … Dime si en el 15 come pan el Piolín.
(VI1)
N – En un principio dice no con la cabeza, pero
rectifica y dice que sí también con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque lo he pensado.
I – ¿Y cómo lo has pensado?
N – Contando.
I – ¿Cómo lo has contado?
N – Pensando.
I – Vale. Y después del 15, dime todos los
números en los que come después del 15 hasta
llegar al 30.
N – 17, 19, 21, 23, 25, 27, 24.
(VI3a)
I – ¿27, 24?
N – 27, 29.
I – ¿Y en el 45 comería?
N – Se queda callado pensando y se encoge de
hombros.
(VI1b)
I – No lo sabes, ¿no? ¿Por qué come en el 15,
me has dicho? ¿Si come en el 15, por qué come
en el 17? Tú me has dicho el 15 y después me
has dicho el 17. ¿Por qué come en el 15 y come
en el 17?
N – Porque da un salto.
I –Juan José di adiós que lo has hecho muy
bien.
N – Adiós.
In. 6,2. Nombre: Inma. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Febrero.
I –¿Por qué después de comerse éste (5) se
come éste (6)?
N – Con una voz muy bajita, parece que dice no
sé.
I – ( Quita el Piolín y los trozos de pan). Va
subiendo, pero ahora el Piolín ya no come pan
en todos los escalones, come pan en uno sí y en
otro no, en uno sí y en otro no. En el primero sí
come. Venga, ponlo.
N – Pone un trozo en el escalón 1.
I – Y ahora, come pan en uno sí y en otro no, a
ver dónde lo tienes que poner.
N – Pone trozos de pan en los escalones 3, 5, 7,
.9
*I – … Yo quiero que tú pongas pajaritos en los
sitios que sí hay pan, aunque no los veas, pero
tú sabes que hay pan..
N – Pone Piolines en los escalones 3, 1, 7 y 9.
I –. ¿Por qué pones un pajarito aquí (7)?
N – ¿Aquí (6)?
I – No, aquí (7). Tú has puesto aquí un pajarito,
¿por qué lo has puesto aquí?
N – Es que me he equivocado, porque es como
no sabía hacer un juego magia, ...
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Entonces, ¿ahí estaría bien puesto el
pajarito?
N – Dice no con la cabeza.
(III1b)
I – ¿Dónde lo pondrías?
N – ¿Aquí (parece que señala el escalón 9)
hay?
I – Tú lo tienes que saber es en uno sí y en otro
no. Tú lo tienes que adivinar porque eres maga.
Aquí (5) hay pan, ¿eh? Ese lo estás viendo.
N – Ya no sé dónde hay pan.
I – Es en uno sí y en otro no.
N – En éste (6).
I – En ese no, porque se está viendo.
N – (Señala el escalón 7, mira a la
investigadora, pero como no recibe respuesta lo
cambia al escalón 8.) Creo que es ahí, ...no lo
sé. Yo creo que si no es...
I –.(Quita el muro inferior) Hay pan en un
escalón sí y en otro no, ¿lo ves? Entonces los
pajaritos están así bien colocados, ¿vale?
N – Éste se llama Piolín.
I – Sí, el Piolín está bien colocado. Entonces
ahora, estos no lo vemos (quita los Piolines de
los escalones 7 y 9)
N – Coge los Piolines de los escalones 5 y 3.
I – Sí, deja ese (señala el escalón 5), deja esto
donde hay pan.
N – Pone los Piolines en los escalones 3 y 5.
I – Ahí sí. ¿Lo ves? Es en uno sí y en otro no.
Ahora colocamos aquí esto (coloca el muro
superior) Coloca Piolines donde hay pan. Estos
sitios (señala los escalones de arriba) donde
hay pan. (III3)
N – Pone Piolines en los escalones 8 y 9.
(III3b)
I – ¿Por qué hay aquí (8) pan? ¿Por qué pones
aquí un Piolín?
N – (Quita inmediatamente el Piolín del
escalón 8.) ¿Ya?
I – ¿Tú crees que están todos? Es en uno sí y en
otro no. ¿Tú crees que ya están todos?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Levanta el muro superior.
N –Pone rápidamente un Piolín en el escalón 7.
I – Porque te equivocas.
N – Siempre me equivoco.
I – (Quita el muro) Ahora vamos a hacer lo
mismo, pero sin pan (empieza a quitar los
trozos de pan)
N – Le ayuda a quitar los trozos de pan.
I – Pero, vamos a hacerlo con números, ¿de
acuerdo? (quita los Piolines) Mira, Inma, éste
Piolín va subiendo (coge un Piolín y lo va
subiendo escalón por escalón hasta llegar al 5),
tan, tan, tan, y lo colocamos aquí. Ahí está en el
número 5. Éste es el número 5. ¿Por qué
sabes...? ¿por qué crees tú que éste es el número
5?
401
N – Porque si el Piolín sube todos estos
números (pasa el dedo como subiendo los
escalones inferiores hasta llegar al escalón 5),
entonces, éste número lo sé, porque los niños de
mi clase tienen 5 años, porque si yo cuento 1, 2,
3, 4 y 5 (señala con el dedo cada uno de los
escalones correspondientes mientras cuenta).
Es que,... yo eso lo sé porque lo estoy leyendo
con mi profesor, porque yo ya lo sé. Cuando....,
cuando sé el número 5.
I – ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Muy bien, cariño. Pues, entonces, pon ahora
otro Piolín en el número 7.
N – ¿Éste (señala el Piolín coloca en el escalón
5)?
I – No, coge otro. En el número 7.
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese es el 7?
N – Coge rápidamente el Piolín del escalón 6,
se queda pensando un momento mirando la
escalera y lo pone en el escalón 7.
I – Ahora, pon otro en el número 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – Pon otro en el número 3.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – Y pon otro en el número 1.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – ¿Por qué sabes que éste (7) es el número 7?
N – Porque yo lo voy contando a poquito a
poco, porque es que si me equivoco, entonces,
cojo éste y después lo cambio (hace el gesto con
la mano)
I – Ahá. ¿Y éste (9) qué número es? ¿En qué
número está?
N – (Se queda mirando la escalera, callada,
como si estuviera contando los escalones)
Nueve.
I – ¿Y cómo lo sabes que es el 9?
N – Porque voy contando cada escalerita
I – Pero tú has tenido en cuenta que este es el
número 5?
N – ¿Qué?
I – Bueno, vamos a hacerlo con otros números.
Este es el 9, quiero que pongas uno en el 7 pero
teniendo en cuenta que este es el 9
N – Coloca uno en el nueve
I – Vale. Ahora están los pajaritos y los panes,
¿vale? Vamos a poner,...Pon un pan donde están
los pajaritos.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7, 9. El Piolín no quiere.... El gatito lindo
quiere comerse al Piolín, ...pero el gatito lindo
... él siempre le gustan mucho los Piolines.
I – ¿Sí? ¡Qué bien! Bueno, entonces hay pan en
uno sí y en otro no. Ahora vamos a ver,... Yo
quiero que me digas con los números, con los
números donde hay pan. Pero primero te voy a
tapar esto para que me lo digas, ¿vale? (pone los
muros)
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402
N – Vale.
I – Sin que tú veas. (Quita todos los Piolines,
menos el del escalón número 5). Éste (5) es el
número 5 y hay pan. Este Piolín está en el
número 5 y hay pan, ¿de acuerdo? ¿En qué
número...? ¿Qué número viene ahora para que
haya pan? ¿Qué número viene ahora, después
del 5, en el que sí hay pan?
N – Siete.
I – Pues, venga, ponlo. Ponlo en el 7.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Y qué número viene ahora, después del 7,
para que haya pan?
N – 8. (Pone un Piolín en el escalón 9)
I – ¿Ese es el 8? ¿Has puesto el Piolín en el
número 8?
N – Quita rápidamente el Piolín del escalón 9.
Y dice no con la cabeza.
I – ¿Dónde lo has puesto?
N – (En silencio va señalando los escalones 5,
7, 9, como contando. Empieza de nuevo por el
primer escalón como contando y se detiene en
el 8, pero dubitativa.) ¿Aquí?
I – Tú ponlo, cariño, donde tú creas que viene...
Me tienes que decir el número en el que hay
pan.
N – Se queda callada mirando la escalera y
pensando. Y pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 8.
I – Vale, ahora vamos a poner esto (pone
Piolines en los escalones 3 y 1 y quita los
muros) y vamos ver el pan y entera la escalera.
Mira, éste (1) es el 1 y hay pan, éste (2) es el 2 y
no hay pan, éste (3) es el ... Venga, continúa tú,
diciendo el número y si hay o no hay.
N – Éste es el 3 que sí, éste es el 4 que no hay
pan, éste es el 5 que sí hay pan, el 6 que no hay
pan, el 7 que sí hay pan, el 8 no hay pan, en el 9
sí hay pan.
I – De acuerdo. Entonces dime, ¿en qué número
hay pan?
N – En ese (señala el 9).
I – Dímelos todos, desde abajo. Dime en qué
números hay pan.
N – En el número 1 (1), en el número 2 (3), en
el número 3 (5), en el número
I – No, en el número 2.... Es éste (2) el número
2.
N – El 1 (1), el número 2 no hay.
I – Sí, pero me tienes que decir sólo en los
números que sí hay.
N – ¿Éste (3) sí hay?
I – Sí, dime el número. Me tienes que decir los
números que sí hay.
N – En el 3 sí hay, en el 5 sí hay, en el 7 sí hay,
en el 9 sí hay (Va señalando los Piolines
correspondientes). ...
(V2a)
I – Ahá, muy bien. Ahora vamos a tapar esto,
cariño, para que tú no los veas (pone el muro
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
superior y quita los Piolines 7 y 9). Y ahora,
mira, en el 1 sí hay, en el 3 sí hay, en el 5 sí hay.
Ahora dime tú en los números que vienen ahora,
en el que sí hay
N – Se queda un momento pensando callada
mirando los escalones de arriba a abajo) En
éste (señala con el dedo el escalón 7) sí hay.
(V3b)
I – Sí, pero me tienes que decir el número.
N – (Va como contando mentalmente los
escalones) El 7.
I – Muy bien, ¿y después del 7?
N – El 8 es que no hay.
I – Dice sí con la cabeza.
N – En el 9 sí hay.
I – Muy bien, pues pon los pajaritos.
N – Pone Piolines en los escalones 9 y 7.
I – Muy bien. (Quita el muro) ¡Oy, qué maga!
Eres una supermagísima. Ahora vamos a
hacerlos igual que al principio (pone los muros
y quita los Piolines, menos el del 5), quitando
esto y me tienes que decir en los números que
hay. Éste (5) es el 5 y hay. Si ese es el 5, dime
qué número hay después del 5 en el que sí hay.
¿Qué número hay después del 5 en el que sí
hay?
N – Éste (señala el escalón 1).
I – No, después del 5.
N – (Parece que cuenta los escalones
mentalmente). El 7.
I – Venga, pues ponlo.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Qué número hay después del 7 en el que sí
hay?
N – Se queda pensativa mirando la escalera y
señala el escalón 9.
I – ¿Y ese qué número es?
N – En el 9. (Pone un Piolín en el escalón 9.)
I – ¿Qué número hay antes del 5 en el que sí
hay?
N – ¿Ahí (señala el escalón 3)?
I – ¿Ese qué número es?
N – El 3. (Pone un Piolín en el escalón 3)
I – ¿Y qué número hay antes del 3 en el que sí
hay?
N – El 1 (Pone un Piolín en el escalón 1).
I –Éste (señala el escalón 5) es el 5. ¿Por qué el
7 es el número que viene después del 5 en el que
sí hay?
N – Porque eso la señorita nos enseñó a...
contar. Así, mira, en éste (1) sí hay, en éste (2)
no hay, en éste (3) sí hay, en éste (4) no hay, en
éste (5) sí hay, en éste (6) no hay, en éste (7) sí
hay, en éste (8) no hay, en éste (9) sí hay.
I –Ahora, (quita los Piolines, menos el del 5)
dime, éste (5) es el 5 y sí hay, ¿no? ¿En éste (9)
hay o no hay? ¿Aquí tenemos que poner un
pajarito o no?
N – Dice no con la cabeza.
(V1b)
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿Por qué? ¿Por qué sabes tú que aquí no
tenemos que poner pajarito?
N – Pero es que eso es difícil para , para ... a
ver... Porque eso es un poquillo más difícil y
esas cositas un poco ...no me salen tan bien.
I –¿Aquí (9) hay que poner un pajarito o no?
N – Se encoge de hombros. Ni idea.
I – ¿No lo puedes adivinar tú?¿ Sabiendo que
aquí (5) sí hay?
N – Ahí no hay.
I – ¿Por qué? ¿Por qué lo sabes?
N – Es que se ve esto (señala la parte superior
de la escalera delante del muro) y yo no lo veo.
I – No pero si tenemos... Hay pan detrás de
aquí, si aquí hay pan, si quitamos este tabique
detrás hay pan en algunos. Yo si lo quito... ¿Tú
crees que si yo quito esto (señala al muro)
detrás de esto va a haber pan? ¿Aquí (9) en este
sitio? Si yo pongo aquí (pone un Piolín en el
escalón 9) un pajarito, ¿aquí este pajarito
comerá pan, cuando yo quite esto?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No?
N – Se encoge de hombros.
I – ¿Come o no?
N – Dice no con la cabeza, pero con cara de
extrañeza.
I – No lo sabes, o no sabes si come.
N – Es que no sé si come o no come.
I – ¿No?
N – Dice no con la cabeza.
I – Bueno, entonces tú ahora,... Mira, éste (5)
está en el 5, ¿no?
35)
403
N – Dice sí con la cabeza.
*I – … ¿Tú crees que en el 15, cuando
lleguemos al 15, allí habrá pan? (VI1)
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Porque es que en éste (señala el escalón
10) ya no hemos contado pan.
I – ¿Y por qué en el 15 sí crees tú que hay?
N – Porque es que sólo hemos leído éste (1),
éste (3), éste (5) y éste (7) y éste (9) , pero en
éste (10)...
I – Sí, pero en el 15 podemos poner o no
podemos poner, no lo sabemos. ¿Tú qué crees
que en el 15 hay o no?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Y en qué números habría hasta el 30? ¿En
qué números?
N – No lo sé.
I – ¿No lo sabes? Ahá. Mira, éste (9)... Di todos
los números otra vez donde hay pan.
N – En el 1 sí hay, en el 3, en el 5 sí hay, en el
7 sí hay, en el 9 sí hay.
I – ¿Qué número vendría después del 9 en el
que sí hay?
N – Creo, que en éste (10) no.
I –¿En qué número? Tienes que decir el
número. ¿Qué número viene después del 9 en el
que sí come?
N – (Se queda callada mirando la escalera.) El
10.
(VI2b)
I – Bueno, pues ya está Inma. Yo le voy a decir
a tu seño que tú eres una supermaga.
Lo. 5,7. Nombre: Lorena. Curso: Infantil 5 años. Cumpleaños en: Septiembre.
.
I – ¿Por qué, cuando va subiendo, después de
comerse éste (5) se come éste (6)?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque como encuentra uno y se come uno,
cuando encuentra otro se come otro.
I –Entonces ahora (va quitando todo de la
escalera) ya no se va a comer en todos, ahora
va a comer en uno sí y en otro no, en uno sí y en
otro no y en el primero es que sí, venga,
colócalo.
N – Pone caramelos en todos los escalones
hasta llegar al 9.
I – Es en uno sí y en otro no Lorena, ¿así lo has
hecho bien? Es en un escalón sí...
N – Ah, en uno y aquí (3) no, en uno y aquí (4)
no.
I – Exacto, venga, ves quitando los que no son.
N – (Quita los caramelos de los escalones 2, 4)
¿Éste (6) también lo quito?
I – Claro.
N – Quita también el del 8).
*I – … Entonces, pon tú pajaritos donde sí haya
caramelos, ¿vale? Porque aunque tú no los veas
detrás sí hay.
(III1)
N – Coge el Piolín del escalón 5.
I – Pon aquí pajaritos, tienes más, venga, deja
ese ahí. Lo vas poniendo en los sitios que tú
creas que hay.
N – Pone Piolines en los escalones 7, 8, 9 10.
(III1b)
I – ¿Ahí hay?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Lorena, mira (levanta el muro superior),
aquí (8) has puesto y aquí no hay, aquí (10) has
puesto y aquí no hay. ¿Lo ves?
N – Quita los Piolines del 8 y el 10.
I – ¿Has visto? Y ahora por abajo, ponlo donde
tú creas que sí hay.
N – Pone Piolines en los escalones 3 y 1.
I –. ¿Por qué has puesto éste (3) aquí?
N – Porque hay detrás caramelo.
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404
I –¿Por qué sabes tú que hay?
N – Porque antes yo lo he puesto.
I –. (Coloca un Piolín en el escalón 8) ¿Si yo
pongo aquí (8) un pajarito ahí va a comer? ¿Ahí
hay caramelo? ¿Ahí va a comer?
N – No.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque no hay caramelo.
I – Pero, ¿por qué sabes tú que no hay
caramelo?
N – Porque yo no veo caramelo.
I – (Quita todo de la escalera). Coloa caramelos
en uno sí y en otro no
N – Coloca en 1, 3, 5, 7 y9
(III2a)
I – (Pone muros y el piolín en el 5) Si aquí hay
(5) ¿hay aquí (8)?
N – No
I – ¿Po qué?
N – Porque yo no veo caramelo
I – No, pero aquí detrás, ..., puede haber ahí
detrás. ¿Por qué ahí no hay?
N – Porque lo hemos quitado.
I – ¿Seguro? (Levanta el muro superior) mira,
no lo hemos quitado siguen ahí. Ahora yo te
pongo en un sitio y tú me dices si hay o no.
(Pone un Piolín en el escalón 9). ¿Aquí hay?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí.
I –Si yo lo pongo aquí (2), ¿aquí va a comer?
N – Ahí no.
I – ¿Por qué?
N – Porque ahí detrás no hay.
I – Pero, ¿ por qué sabes que no hay?
N – Porque aquí (1) y aquí (3) sí hay.
(IIIE2)
*I – … Ésta en el número 5. Pon un pajarito en
el número 7.
(IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
(IV1b)
I – ¿Por qué ese es el 7?
N – Porque es más alto.
I – Es más alto que el 5. Pero, ¿no has hecho
nada para saber si es el 7? ¿No?
N – Dice no con la cabeza.
I – Bueno, ahora, pon tú un pajarito en el
número 6.
N – ¿El 6?
I – Sí.
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – Ese es el número 6, muy bien. ¿Por qué?
N – Porque es el escalón 6.
I – Es el escalón 6, ¿y qué has hecho para
adivinarlo?
N – Porque lo he sabio, porque yo cuento los
escalones y lo he sabido. (IV3a)
I –Tú sabes que éste es el número 6, ¿de
acuerdo? Pon otro en el número 9.
N – ¿9?
I – Ese está en el 6.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 9?
N – Porque un día yo estaba haciendo una ficha
y estaba haciendo escaleras y he puesto el 9,
33 )
entonces lo he sabido.
(IV1a, IVE3
I –Éste es el número 9, pon uno en el número 8.
N – 8. (Pone un Piolín en el escalón 8).
I – Pon uno en el número 3.
N – Pone un Piolín en el número 3.
I – (Quita todo de la escalera) Lorena, quiero
que pongas, igual que antes, en uno sí y en otro
no, los caramelitos. Ponlo en uno sí y en otro
no, igual que antes.
N – Pone caramelos en los escalones 1, 3, 5, 7,
9.
I – Muy bien. Ahora, Lorena, quiero que me
digas los números donde están. Éste (pone un
Piolín en el escalón 1) es el uno, en el 1 hay un
Piolín. Venga, ve diciéndome los números y
colocando los Piolines en los sitios que sí hay
caramelo.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 2.
I – No. El 2 es éste (señala el escalón 2), cariño.
N – El 3.
I – El 3, muy bien.
N – Pone otro Piolín en el escalón 5.
I – ¿Ese cuál es?
N – El 4.
I – No, el 4 es éste (señala el escalón 4), cariño.
N – El 5. (Pone otro Piolín en el escalón 7) El
7. (Pone otro Piolín en el escalón 9) Y el 8.
I – No, el 8 es éste.
N – Porque es que no hay caramelo.
I – Entonces dime los números en los que sí hay
caramelo.
N – El 1 (señala el escalón 1), el 3 (señala el
escalón 3), el 5 (señala el escalón 5), éste (7)
no me acuerdo.
I – Éste (5) es el 5, ¿cuál es éste (7)?
N – El 7. Y el 8.
I – No, el 8, no.
N – El 9.
I – ¿Vale? Entonces, ahora lo vas a hacer con
números, e igual que antes lo tapamos como si
fuese... Éste (5) está en el 5 y sí come (coloca
los muros). En el 8, ¿come? ¿Cuál es el 8? Éste
(5) es el 5. ¿Cuál es el 8?
N – Señala el escalón 8.
I – Venga, pon ahí un Piolín.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Ahí, come?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque no hay comida.
I – No, pero porque están detrás de esto. Los
caramelos pueden estar ahí detrás. ¿Tú crees
que si yo quito esto, detrás va a haber un
caramelo? ¿Detrás hay un caramelo?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque yo no lo veo que sea eso.
I – Porque no lo ves. ¿Y aquí (7) hay caramelo?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Tampoco?
N – Tampoco.
I – ¿Por qué?
N – Porque como ahí lo veo. Éste sí lo veo.
I – Porque lo ves. Pero tú no lo tienes que ver,
lo tienes que adivinar pensando, sin verlo.
Bueno, pon uno en el 10, en el 5 sí hay, pon uno
en el 10.
N – Pone un Piolín en el escalón 10.
I – ¿En 10 hay? ¿Come en el 10?
N – Sí.
I – ¿Por qué?
N – Porque como he puesto caramelos detrás,
pues yo lo he sabido.
I – Tú lo has sabido porque has puesto
caramelos detrás, ¿no? Entonces, en el 10 ¿hay
caramelos detrás?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí?
N – Sí.
I – (Levanta el muro superior) Pues en el 10 no
hay. ¿Lo ves? No hay. No hay caramelo detrás
del 10. No hay. Éste (5) está en el 5, ¿de
acuerdo? ¿Cuál es el 3?
N – Señala el escalón 3.
I – ¿Por qué sabes que ese es el 3?
N – Porque he contado los escalones.
I – Pero, ¿cómo lo has contado?
N – Pues así, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (va
señalando con el dedo los escalones, pero
empieza por el escalón 3)
I – Muy bien. Bueno, en el 3. Coloca uno en el
3. ¿En el 3 hay?
N – Coloca un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Hay caramelo en el 3? ¿Ahí come
caramelo?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Porque yo no lo veo.
I – (Levanta el muro) Pues sí hay. ¿Ves cómo
había? Tú no lo veías pero sí había. En el 3 sí
hay. Ahora, coloca... Éste (5) es el 5, ¿de
acuerdo?, el 5, Pon uno en el 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Ese es e 9?
N – No.
I – Pues pon uno en el 9. Éste es el 5, ¿eh?
Coloca uno en el 9.
N – Voy a contarlo todo porque si no, no lo sé.
I – Muy bien.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
I – ¿Cuál es el 9?
N – (Cambia el Piolín del escalón 8 al 9)
I – Ese. ¿Aquí come?
N – Dice sí con la cabeza.
405
I – ¿Por qué?
N – Porque hemos puesto caramelo ya, pero yo
no lo veo.
I – ¿Y por qué en éste hemos puesto?
N – Porque yo lo sé que hemos puesto.
I – Porque tú lo sabes.
N – Porque como un día yo estaba jugando a
esto con mi padre y mi hermano, pues yo he
puesto un caramelo ahí, entonces dice: “tú
tienes...”, dice mi padre “¿tú crees que hay un
caramelo ahí?” Y dice: “yo creo que sí hay”. Y
lo levanta y sí hay.
I – ¿Sí? Por eso sabes tú que había, ¿no?
(Levanta el muro superior) Muy bien, ahí sí
hay. Ahora vamos a poner esto aquí (pone un
muro a partir del escalón 3), ¿vale? y esto aquí
(pone el otro muro a continuación del otro), ¿de
acuerdo? ¿Lo ves? Así lo vamos a poner. Aquí,
éste (pone un Piolín en el escalón 10) es el 10 y
en el 10 no hay, ¿de acuerdo? Éste es el 10 y en
el 10 no hay. ¿En el 8 hay?
N – Éste (señala el escalón 9).
I – ¿Ese es el 8?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Estás segura de que ese es el 8?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué ese es el 8?
N – Porque el 8 yo lo he coloreado y lo sé si es
el 8.
I – Bueno, ponlo en el 8. Coge un Piolín y lo
pones en el 8.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 9.
I – Ese es el 8. Entonces, éste (8), ¿cuál es?
N – El 9.
I – ¿El 9? ¿El 9 que está antes que el 8?
N – No.
I – Entonces, ¿éste (8) cuál es?
N – El 8.
I – ¿Y entonces éste (9)?
N – El 9.
I – Vale, pues yo quiero que lo pongas en el 8.
N – Pone el Piolín del escalón 9 en el 8.
I – ¿Ahí come? Fíjate que en el 10, donde está
en el pajarito no come. ¿Aquí come?
N – Sí, yo creo que sí.
I – (Levanta el muro) No come, en el 8 no
come. Bueno, pues entonces ahora, vamos a
coger y vamos a poner los pajaritos (va
poniendo los pajaritos en los escalones 1, 3, 5,
7, 9). Mira, hemos puesto los pajaritos aquí. Di
otra vez los números en los que están los
pajaritos.
N – 1, 2, 3, 4 y 5. 5.
I – Hay 5 pajaritos, sí. Pero los números de los
escalones. En el 1 hay, en el 2 no, en el 3 sí, ¿en
cuál más?
N – En el 5 sí come, en el 6 no come, en el 8 sí
come. (V2b)
I – No, en el 8 no, éste no es el 8.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
406
N – (Se queda callada mirando a la escalera)
Es que no me acuerdo como se llamaba.
I – No te acuerdas cómo se llamaba qué.
N – Éste (7) escalón.
I – El 7.
N – Pues en el 7 sí hay.
I – ¿En cuál más?
N – El 8.
I – No, el 8 no. Éste (7) es el 7 y éste (8) el 8.
N – Entonces en el 8 sí hay.
I – No, ¿después del 8 cuál viene?
N – El 9.
I – El 9. ¿Y después?
N – El 10.
I – Muy bien. Entonces ahora éste (10) es el 10,
después del 10 viene el 11, después viene el 12,
36)
después viene el 13, después viene el 14,
después viene el 15 y así la escalera podría
seguir muy alta, ¿vale? Entonces éste (9) es el 9
y sí come, en el 10 no come, ¿en el 11 come?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque no hay caramelo.
I – ¿No?
N – Dice no con la cabeza. No.
I – ¿Y en el 12?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – ¿Por qué se ha roto?
I – Porque se ha caído. Bueno, Lorena, pues ya
está nos vamos a ir a la clase.
No. 3,6. Nombre: Noelia. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Octubre.
*I – … Pon pan aquí en todos los escalones
conforme vaya subiendo. (I1).
N – Coge un Piolín.
I – No, pero pan, después ponemos los Piolines,
pon el pan. (Le cambia el Piolín por un trozo de
pan). Coge el pan y lo pones en todos los
escalones de la escalera conforme va subiendo.
N – Para que coma. (Coloca pan en los
escalones 1, 2, 3, 4, 5 y coloca otro más en el
escalón 5) Pero un montón no, ¿No?
I – Un pan, un pan en cada escalón.
N – Continúa poniendo trozos de pan en los
escalones 6, 7, 8, 9, 10. (I1a, IE2)
*I – … Cuando se come el pan éste (5),¿qué pan
se come después?
(II1)
N – Ese (señala el pan del escalón 4).
I – ¿Y antes?
N – Éste (señala el pan del escalón 5).
I – Ese se lo ha comido ya. ¿Qué pan se come
después que ese?
N – Éste (señala el escalón 4).
I – ¿Y después?
N – Éste (señala el escalón 3).
I – ¿Y después?
N – Éste (señala el escalón 2).
I – ¿Y después?
N – Éste (señala el escalón 1).
I – ¿Y antes? Se come éste (5) pan. ¿Antes de
comerse éste cual se come?
N – Éste ya se lo ha comido (señala el Piolín
del escalón 5). Entonces éste no abre la boca,
¿no?
I – No, no la abre porque es un dibujito.
Entonces, ¿qué pan se come antes que ese?
N – Bueno, voy a poner un pan aquí (señala el
escalón 4)
I – Ya lo has puesto. Venga Noelia.
N – No, los dos. (Se pone a contar trozos de pan
de la caja) 1, 2, 3, 4. Bueno, vamos a poner dos
pan, 1, 2 y 3 y 4(pone dos trozos más de pan
en el escalón 5 y otro en el escalón 6) ¡Ah! Ya
he ponio los pan. Ahora los Polines (pone un
Piolín en el escalón 6) 1...
I – Sí cariño, venga, (quita los Piolines y los
trozos de más del escalón 5) vamos a ver, mira,
el Piolín va subiendo, se come éste pan (coge
un Piolín y toca el trozo de pan del escalón 1),
después se come éste (2), después se come éste
(3), después se come éste (deja al Piolín en el
escalón 4), ¿después cuál se come?
N – Éste (3).
I – Ese, ¿después cuál?
N – Éste (2).
I – ¿Y después?
N – Éste (1).
I – ¿Y después cuál?
N – Éste (señala el pan del escalón 4).
I – El osito, el pajarito va subiendo, se come
primero éste (pone un Piolín en el escalón 1),
¿después de comerse ese cual se come?
N – Señala el pan del escalón 1.
I – Ese se lo come, ¿después cuál se come,
cariño?
N – Señala el pan del escalón 2.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 3.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 4.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 5.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 6.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 7.
I – ¿Y después?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Señala el pan del escalón 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 10.
I – Y está, ¿no? Ahora, el pajarito va subiendo,
y se come (va poniendo el Piolín en los
escalones) éste (1), éste (2), después éste (3),
después éste (4), después éste (5), éste (6), éste
(7) y después éste (deja el Piolín en el escalón
8) y después de comerse éste (señala el pan del
escalón 7) ¿cuál se come, cariño?
N – Señala el pan del escalón 8.
I – ¿Después cuál?
N – Señala el pan del escalón 9 y después el del
10.
I – Señala sólo uno.
N – Pone el Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y después cuál?
N – Pone el Piolín en el escalón 10.
I – Vale. Entonces el pajarito está aquí (pone el
Piolín que estaba en el escalón 9, en el escalón
5) ¿Cuál se pone después de que ese? Una vez
que se ha comido este, ¿cuál viene después? ¿
Cuál se come? ¿Cuál se come?
N – Señala el pan del escalón 6.
I (Quita todo de la escalera) Entonces, ahora el
pajarito come en un escalón sí y en otro no, en
uno sí y en otro no. En el primero es que sí.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – Y ahora es en uno sí y en otro no.
N – Pone un Piolín en el escalón 2.
I – Es en uno sí y en otro no.
N – (Pone Piolines en los escalones 3 y 4 y
señala con el dedo los que lleva como si
contara.) ¿Pongo otro en el 1, 2 y 3?
(III2b)
I – Bueno. ¿Tú estás poniendo uno sí y en otro
no?
N – (Pone otro Piolín en el escalón 5 va
señalando con el dedo los Piolines colocados,
pero no se corresponde con el conteo) 1, 2, 3, 4.
(Pone otro Piolín en el escalón 6) 1, 2, 3, 4, 5 y
6. (Pone otro Piolín en el escalón 7) 1, 2, 3, 4, 5
y 6. (Pone otro Piolín en el escalón 7) 1, 2, 3, 4,
5, 6. 1, 2, 3 y 4.
I – Bueno, mira, te lo voy a poner yo y después
tú vas a poner los Piolines. Yo pongo el pan y tú
pones los Piolines (quita los trozos de pan de la
escalera). Mira, el pajarito come en un escalón
sí y en otro no, en éste (1) es que sí (pone un
trozo de pan en el escalón), en éste (2) no, en
éste (3) sí, en éste no (pone un trozo de pan en
el escalón 5) sí, sí (pone un trozo de pan en el
escalón 7), sí (pone un trozo de pan en el
escalón 8). ¿Ves? En uno sí (1) y en otro (2) no.
37)
407
En éste (3) sí, en éste (4) no, en éste (5) sí, en
éste (6) no, y así, ¿vale?
N – En éste sí... (señala el escalón 10).
I – Pon pajaritos donde hay pan.
N – (Coge un Piolín y lo pone en el escalón 2)
¿En éste?
I – Donde hay pan. ¿Tú no lo ves que ahí no hay
pan?
N – (Cambia el Piolín al escalón 1 y pone otro
en el 3. Pone otro en el escalón 4.)¿En éste? 1,
2, 3 (señala a los Piolines). ¡Ah! Todos juntos
no.
(III2b)
I – No, juntos no. Es en uno sí y en otro no,
cariño.
N – (Pone un Piolín en el escalón 5) ¿En éste?
I – Donde está el pan. Tú tienes que poner
pajaritos donde hay pan.
N – Pero mira, esto es pan.
I – Claro.
N – Vamos a ponerlo... (pone otro Piolín en el
escalón 6). Entonces le ponemos un pan (pone
un trozo de pan al lado del Piolín que ha puesto
en el escalón 6). Y en éste (pone otro trozo de
pan en el escalón 4). (Pone un trozo de pan y un
Piolín en el escalón 10, pero después coge el
Piolín recién puesto y lo pone en el escalón 7)
¿Aquí, no? Y éste aquí (pone otro Piolín en el
escalón 8).
*I – … Ese es el número 5. Pon uno en el
número 7, cariño.(IV1)
N – Coge un Piolín y lo va subiendo por toda la
escalera.
(IV1b)
I – Pon un pajarito en el número 7.
N – Deja el Piolín en el escalón 1.
I – ¿Ese es el número 7?
N – Pone otro Piolín en el escalón 2.
I – Ahora, (quita los Piolines) mira, cuenta los
escalones. Cuéntalos.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 y 9 y 10 (va señalando
con el dedo los escalones correspondientes)
(IV2a)
I – Ahora, hay un pajarito en el número 5.
Venga, vamos a colocar un pajarito en el
número 5 (va subiendo la escalera con un
Piolín) 1, 2, 3, 4 y 5 (lo deja en el escalón 5).
Éste es el número 5, hemos contado y éste es el
número 5. Pon uno en el número 6.
N – No, pero éste no (quita el Piolín del escalón
5).
I – Bueno, pues pon tú uno en el número 5.
N – (Coge un Piolín y va subiéndolo por la
escalera a la vez que cuenta) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 ,10. (IV3b)
I – Vale, muy bien. Dile adiós que ya nos
vamos, cariño.
Jo. 3, 10. Nombre: Jose. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Junio.
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408
*I – … Entonces tú tienes que poner de estos
caramelos en todos y cada uno de los escalones
conforme va subiendo. (I1)
N – Pone caramelo en el escalón 8.
I – En todos tienes que poner, conforme va
subiendo. Tienes que poner en todos, para que
los coma en todos, ¿vale?
N – Pone 7 caramelos en el mismo escalón 8.
(I1b)
I –El Piolín va subiendo y se come los
caramelos, mira. Se come en éste (pone
caramelo en el escalón 1), después se come éste
(pone caramelo en escalón 2) y así .
N – Pone caramelo en los escalones 3, 4, 5, 6,
44 )
7, 8, 9, 10.
(I2a, I3a, I1a, IE4
*I –…Después de comerse éste (5), ¿cuál se
come? Como va subiendo...
(II1)
N – Señala el caramelo del escalón 6.
I – Ese, ¿después cuál, cariño?
N – Señala el caramelo del escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el caramelo del escalón 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el caramelo del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el caramelo del escalón 10.
I –entonces, antes de comerse éste, ¿cuál se
había comido? ¿Antes?
N – Señala el caramelo del escalón 4.
I – ¿Y antes de ese?
N – Señala el caramelo del escalón 6.
I – Antes, antes, cariño. Cuando iba subiendo
antes ¿cuál se comía? Antes se había comido
éste (señala el caramelo del escalón 4) ¿Y antes
de ese, cuál, cariño?
N – Señala el caramelo del escalón 1.
I – ¿Y antes?
N – Señala el caramelo del escalón 2.
I – ¿Y antes?
N – Señala el caramelo del escalón 3.
I – ¿Y antes?
N – Señala el caramelo del escalón 4.
I – Vale, bueno Jose, Ahora come en uno sí y en
otro no, en uno sí y en otro no, y en el primero
es que sí. Venga, ponlo cariño,
N – Pone un caramelo en el escalón 1.
I – Eso es, venga, sigue poniendo.
N – Pone un caramelo en el escalón 3.
I – Ahá. Venga, ponlo.
N – Pone un caramelo en el escalón 2.
(III2b)
I – Es en uno sí y en otro no, cariño.
N – Pone un caramelo en el escalón 4.
I – ¿Está bien puesto? ¿Éste (2) está bien
puesto? ¿Éste es en uno sí y en otro no? ¿Éste
está bien puesto? ¿Eh?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Está bien puesto ese, Jose? ¿Sí? En éste (1)
come, ahora en éste (2) no come. En éste (2) no
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
(quita un caramelo del escalón 2). En éste es
que sí, ahora es que no (quita el del escalón )
Venga, ponlo. Sigue tú, cariño, es en uno sí y en
otro no.
N – Pone un caramelo en el escalón 4.
I – ¿Por qué come aquí? ¿Por qué has puesto
uno aquí?
N – Cambia el caramelo del escalón 4 al
escalón 5.
I – Ahá, venga, ponlo.
N – Coloca otro caramelo en el escalón 6.
I – Es en uno sí y en otro no, vida mía. ¿Lo
pones?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Esto (señala el caramelo del escalón 6)
está bien puesto aquí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí? ¿Ahí es en uno sí y en otro no? ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Jose, mira, (coge el del escalón 6 y lo pone
en el escalón 7) es en uno sí (señala el del
escalón 5) y en otro no (6), en uno sí (7), ahora
en éste (8) no y éste (señala el escalón 9) es
que... ¿A éste qué le toca?
N – Señala donde están los caramelos.
I – Que sí, ¿no? Pues, ponlo.
N – Pone un caramelo en el escalón 9.
*I – … Pon Piolín en los sitios que sí hay.
(III1)
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
(III1b)
I – ¿Ahí hay? Aquí no hay (pasa el dedo a lo
largo del escalón 6). ¿Por qué lo has puesto?
N – Cambia el Piolín del 6 al 7.
I – Venga, pon más. ¿Aquí (7) hay?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No hay?
N – Dice no con la cabeza y pone el Piolín en el
escalón 8.
I – ¿Ahí hay?
N – Primero mueve la cabeza como diciendo no
y después como diciendo sí.
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No hay?
N – Dice no con la cabeza y señala el escalón 9.
I – ¿Y ahí hay? ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – … Cuenta los escalones, cariño.
N – (Va señalando los escalones uy bajito va
diciendo los números ).
I – Voy a colocar éste (coge un Piolín y lo pone
en el escalón 5) aquí. ¿En qué número lo he
puesto?
N – Señala el escalón 5.
I – Ahí, ¿ese qué número es?
N – El 4.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí..
I – ¿El 4? ¿Porque sí, no? Bueno, Jose, venga,
éste es el 5, ¿eh?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Éste es el número 5, sino cuéntalo, verás
como es el número 5, cuéntalo.
N – 1, 2, 3, 5, 6, ... (va señalando por toda la
escalera se corresponde hasta el 3, después no y
dice los números a partir del 6 tan bajito que no
se le escucha). (IV2b)
I – Vale, éste (5) es el 5, pon otro en el 7.
N – Coge un Piolín y lo pone en el escalón 4.
I – ¿Ese es el 7?
N – Lo cambia del escalón 4 al 6.
I – ¿Ese es el 7?
N – Dice sí con la cabeza.
38)
409
I – ¿Por qué?
N – Aquí...
I – Bueno, Jose, ahora (quita los Piolines de la
escalera) coloca otra vez esto(señala la caja de
los caramelos) en uno sí y en otro no.
N – Pone uno en el escalón 1 y mira a la
investigadora.
I – Bueno, Jose, (pone un caramelo en el
escalón 3), mira, éste es el 1 y es que sí, ¿éste
(3) qué número es?
N – 1.
I – ¿El 1 también?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Bueno Jose, lo quitamos porque los Piolines
ya van a descansar para comerse todos los
caramelitos
y
tú
te
comes
estos.
Ke. 3, 9. Nombre: Kevin. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Julio.
I – ¿Por qué después de este (5) se come este
(6)?
N – Se queda callado mirando la escalera.
I – Bueno, no importa Kevin. Ahora, vamos a
hacer otra cosita. Ya el Piolín no se lo come en
todos (va quitando todo de la escalera), en
todos ya no se lo come, porque ahora vamos a
hacer otra cosa. Ahora el Piolín se va a comer
los caramelitos en uno sí y en otro no, en uno sí
y en otro no, ¿vale? En el primero es que sí,
venga ponlo. Pon en uno sí y en otro no, cariño.
Coge uno y lo pones. Allí en el primero es que
sí.
N – Coloca un caramelo en el escalón 1.
I – Venga, ahora colócalo en uno sí y en otro
no. Venga, colócalo, cariño.
N – Pone otro caramelo en el escalón 2.
I – Es en uno sí y en otro no, vida mía. Kevin,
¿lo has puesto bien? Es en uno sí y en otro no.
En éste escalón (1) come, ¿en éste (2) come?
N – No.
I – Pues entonces quítalo, no lo pongas.
N – (Quita el caramelo del escalón 2)
I – Es en uno sí y en otro no. ¿En éste (3) come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Pues ponlo, cariño.
N – Pone uno en el escalón 3.
I – Es en uno sí y en otro no, venga sigue
poniendo, en uno sí y en otro no.
N – Coloca otro caramelo en el escalón 5.
I – Muy bien, Kevin. Venga, ponlo.
N – Coloca caramelos en los escalones 7 y 9.
*I – … coloca un Piolín en los sitios que sí hay.
(III1)
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ahí come, cariño?
N – Se queda callado mirándolo.
I – Venga, colócalo, coloca en todos los que tú
creas que hay.
N – Pone otro Piolín en el escalón 9.
I – ¿Ya está? ¿Y por abajo?
N – Pone Piolines en los escalones 4 y 3.
(III1b)
I – Cariño, ¿aquí come? ¿Éste come aquí
(señala el Piolín del escalón 4)? Éste (4) se ve.
N – Cambia el Piolín del escalón 3 al 2.
I – ¿Éste (4) come? Mira, ¿éste de aquí (4)
come?
N – Se queda callado mirando.
I – ¿Ese está bien puesto, Kevin?
N – Se encoge de hombros y dice que no con la
cabeza.
I – Ponlo donde tú crees que está bien puesto.
N – Se queda callado mirando.
I – ¿Ese come? ¿Éste come, cariño?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Ese come? Si estás viendo que no (señala
con el dedo todo el escalón). ¿Lo ves? Este se
ve, aquí no hay.
N – Se queda callado mirando y quita el Piolín
del escalón 4.
I – ¿Éste de aquí (2) come, cariño?
N – Dice sí con la cabeza.
I – No, ese no come. (Levanta el muro inferior)
¿Lo ves?, no come. Colócalo en los sitios donde
tú crees que come.
N – Cambia el Piolín del escalón 2 al 3.
I – Ahá. ¿Y dónde más?
N – Se queda callado mirando.
I – ¿Ya no pones más? ¿No? Kevin, mira
(levanta el muro), aquí (señala el escalón 1) te
falta. Pon otra vez que ahí sí.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
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410
I Éste (5) está comiendo aquí ¿Por qué este (7)
come?
N – Se queda callado.
I – ¿Lo sabes?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No? Bueno, Kevin, lo has hecho bien (quita
los muros), ¿lo ves? Aquí hay y lo has puesto en
los sitios que hay, muy bien. (Vuelve a colocar
los muros) Ahora vamos a seguir viendo ese,
¿vale? (quita todos los Piolines, menos el del
escalón 5) Ahora, yo lo voy a poner en un sitio,
por ejemplo lo pongo aquí (8). ¿Aquí va a
comer el pajarito?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Porque hay.
I – ¿Y por qué hay, cariño?
N – Porque sí.
I – ¿Porque sí? ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – No cariño, aquí no hay (levanta el muro
superior). ¿Ves que no hay? Bueno, y si yo
coloco uno aquí (pone un Piolín en el escalón 3)
¿aquí hay?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Porque no.
*I – … Éste es el número 5, está en el número
5, ¿vale?. Pon otro en el número 7. (IV1)
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
(IV1b)
I – ¿Ese es el 7?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por es el 7 ese?
N – Porque sí.
I – Cuenta los escalones, cariño. A ver cómo los
cuentas. Kevin, cuenta los escalones.
N – Callado va recorriendo con la mirada los
escalones.
I – Pero, en voz alta que yo te escuche.
Cuéntalos, vida mía.
N – Se queda callado mirando los escalones.
I – ¿Qué lo estás contando bajito? ¿Lo estás
contando bajito? Bueno, Kevin, si yo pongo éste
aquí (quita los Piolines y pone otro en el
escalón 7), ¿en qué número lo he puesto?
N – Se queda callado mirando los escalones.
I – No lo sabes o que no me quieres contestar.
¿Lo sabes, cariño?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Venga, dímelo, vida mía.
N – En el 7.
I – En el 7. ¡Qué bien sabe este niño! ¿Y cómo
lo has adivinado que es el 7? Venga, dímelo.
¿Cómo lo has adivinado, Kevin? ¿Lo has
contado?
N – Dice no con la cabeza.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Entonces, ¿cómo? Bueno, pero lo has
adivinado, venga. Si ahora yo lo pongo aquí
(coloca el Piolín en el escalón 9), ¿en qué
número lo he puesto, cariño?
N – En el 6.
I – ¿En el 6? ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – ¿Sí? Y si yo ahora lo pongo aquí (coloca el
Piolín en el escalón 5), ¿en qué número lo he
puesto?
N – En el 8.
I – ¿En el 8? ¿Sí? Y si lo pongo aquí (3), ¿en
qué número lo pongo?
N – En el ... en el 1.
I – ¿En el 1? Anda, ¿y cómo lo sabes?
N – Porque sí.
I – Venga, ahora ponlo tú... Yo te digo un
número y tú lo pones. Ponlo en el número 5.
N – Lo pone en el escalón 6.
I – ¿Ese es el 5? ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – ¿Porque sí? Bueno, mira, Kevin, ahora
vamos a hacerlo igual que antes, en uno sí y en
otro no y con números, ¿vale? Coge los
caramelitos y los pones en uno sí y en otro no.
N – Coge un caramelo y lo sostiene en el aire y
mira a la escalera.
I – ¿Lo ponemos en uno sí y en otro no, vida
mía?
N – Se queda quieto mirando la escalera.
I – Bueno, yo te ayudo y lo ponemos, ¿vale? Es
un uno sí (pone un caramelo en el escalón 1) y
en uno no, ahora sí (pone un caramelo en el
escalón 3), éste (4) no, éste (5) sí (pone otro
caramelo), éste (6) no, éste (7) sí (lo pone), éste
(8) no y éste (9) sí (pone un caramielo). Ahora,
éste es el 1 (pone un Piolín en el escalón 1) el 1
es que sí. Venga ves poniendo los pajaritos
donde hay y ve diciéndome los números.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Ese cuál es?
N – El 1.
I – El 1 es éste (lo señala), cariño. Éste (2) es el
2 y éste (3) es el ... ¿Cuál es ese?
N – Se queda callado.
I – ¿Cuál es, Kevin? ¿No lo sabes? ¿Cuál es,
vida mía? ¿Lo sabes o no? ¿No lo sabes?
¿Sabes decir los números?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Venga, dímelo. ¿Sabes decir los números,
vida mía? ¿Éste (3) qué número es? ¿Qué
número está ahora el pajarito? ¿No sabes los
números o que no me lo quieres decir?
N – Se queda callado.
I – Bueno, Kevin, ya está, vámonos para la
clase,
coge
tus
caramelitos.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
411
6.1.5. Colegio Público (Media Línea) Rural, H.
39)
Ma. 3,5. Nombre: María. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Noviembre.
*I – … Tú tienes que poner pan en todos los
escalones conforme va subiendo, cariño. (I1).
N – Pone un trozo de pan en el escalón 8.
I – En todos, cariños.
N – Pone otro trozo en el escalón 9.
I – En todos.
N – Pone otro en el escalón 7.
I – ¿Ya están en todos?
N – Dice no con la cabeza.
I – Pues venga, ponlo en todos.
N – Pone trozos de pan en los escalones 6, 5, 4,
3, 2, 1.
I – ¿Ya están en todos, vida mía?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí, seguro?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Lo has mirado ya en todos?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Y en éste (señala el escalón 10)?
N – Pone un trozo en el escalón 10.
11 )
(IE1
I – ¿Ya están en todos?
N – Dice sí con la cabeza.
*I – Vale, entonces ahora, conforme va
subiendo el Piolín se coloca aquí (5), entonces
se come éste pan y después sigue subiendo.
¿Después de comerse este pan (5) qué pan se
come? (II1)
N – Señala el pan del escalón 5.
I – Se come ese, y después, ¿cuál se come?
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 8.
I – ¿Después de ese cuál?
N – Señala el trozo de pan del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 10.
I – Ahá. Y como ha ido subiendo, cuando se ha
comido éste (5) ¿qué pan se ha comido antes
que ese?
N – Señala el trozo de pan del escalón 10.
11 )
(IIE1
I – No, por ahí abajo, por abajo.
N – Señala el trozo de pan del escalón3.
I – ¿Y antes?
N – Señala el trozo de pan del escalón 2.
I – ¿Y antes?
N – Señala el trozo de pan del escalón 1.
I –Cuando se come éste (5), ¿por qué se come
después éste (6)?
N – Dice sí con la cabeza.
I –Quita todo de los escalones. Venga, María,
mira, ahora, ya el Piolín no come pan en todos
los escalones, ahora come en uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no, ¿vale? Y en el
primero es que sí. Venga, ponlo..
N – Pone un trozo de pan en el escalón 8.
(III1b, III2b, III3b)
I – ¿Así está bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Así has puesto en uno sí y en otro no?
N – Dice no con la cabeza.
I – Venga, ponlo.
N – Pone otro trozo en el escalón 7.
I – ¿Así está bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – No, mira María, cariño. Es así: en éste come
(pone un trozo de pan en el escalón 1), en éste
(2) no come, en éste sí come (pone otro trozo
en el escalón 3), sigue tú. En uno sí y en otro
no, en uno sí y en otro no.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 4.
I – Es en uno sí y en otro no. ¿Ahí lo has puesto
bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Lo has puesto bien ahí? ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Cariño, es en uno sí y en otro no. Aquí sí
(cambia el trozo de pan del escalón 4 al 5).
Ahora sigue tú, venga, sigue cariño.
N – Pone un trozo en el escalón 4.
I – No, María, es en uno sí y en otro no (quita
los trozos de los escalones 4 y 5). Bueno, venga
, en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro no,
en uno sí y en otro no (pone trozos de pan en los
escalones 5, 7 y 9), ¿vale? ¿Lo ves que es en
uno sí y en otro no? Bueno, entonces ahora los
Piolines se ponen en el sitio que come pan.
Venga, pon Piolín en los sitios que come pan.
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – Ponlo en todos los que sí come pan, cariño.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ya lo has puesto en todos?
N – No. (Pone otro Piolín en el escalón 9)
I – ¿Ya lo has puesto en todos?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿ En todo lo has puesto ya?
N – En eso me falta. (Pone un Piolín en el
escalón 3)
*I – … Ponlo en los sitios que hay pan detrás,
cariño (III1).
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
412
N – Pone en los escalones 7, 4, 3, 2, 1, 8, 9, 10.
I – Has puesto todo. Mira (levanta el muro
superior) éste (10) no come, éste (8) no come.
Lo has puesto en todos los sitios. Bueno, cariño,
ahora vamos a hacer otra cosita, ¿vale? (Va
quitando todo de la escalera) Venga, María,
vamos a ver... María, cuenta los escalones
N – Va pasando el dedo por los escalones,
como contando, desde el primer escalón hasta
el último.
I – En voz alta, vida mía, que no te escucho.
Cuéntalos.
N – 2, 3 y 4. (Va pasando el dedo por la
escalera de abajo a arriba).
(IV2b).
40)
I – Pon un Piolín en el escalón número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón número 4.
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Se encoge de hombros.
I – Ese no es el número 5
N – Cambia el Piolín del escalón 4 al 3.
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí.
I – Bueno, ya está María, vámonos.
Ma. 3,11. Nombre: Marta. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Mayo.
*I – … Ponle pan a los Piolines en todos los
escalones, conforme van subiendo (I1)
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 )
de la escalera. (I1a, IE4
*I – … Después de comerse ese qué pan (5)
¿Cuál se come? (II1)
N – Este (señala el pan del escalón 6).
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 10.
I – Ahá, y ha ido subiendo. Entonces, ¿antes de
comerse éste (5) qué pan se había comido,
antes?
N – Éste (señala el pan del escalón 6).
11 )
(IIE1
I – No, ese es después.
N – Éste (Señala el pan del escalón 1).
I – ¿Y antes que ese?
N – Señala el pan del escalón 2.
I – ¿Ese que se lo come antes o después?
N – Después.
I – ¿Y antes? ¿Cuál se comía?
N – Dice que sí con la cabeza y señala el pan
del escalón 3.
I – ¿Y antes?
N – Señala el pan del escalón 4.
I – Bueno. Si se come éste (5), ¿por qué después
se come éste (6)? ¿Por qué?
33 )
N – Porque va del uno al otro.
(IIE3
I – (Va quitando todo de la escalera), cariño, lo
quitamos porque ahora el Piolín ya no va a
comer pan en todos los escalones, ahora va a
comer pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en
otro no. Y en el primero es que sí. Venga, pon
en uno sí y en otro no y en el primero es que sí.
N – Pon un trozo de pan en el escalón 1.
I – Venga, coloca el pan en uno sí y en otro no.
N – Pone otro trozo de pan en el escalón 2.
I – En uno sí y en otro no, vida mía.
N – Pone otro trozo en el escalón 3.
I – ¿Está bien puesto así?
N – Quita el pan del escalón 2.
I – Ahá, venga en uno sí y en otro no. Continúa.
N – Pone trozos de pan en los escalones 8 y 6.
(III2b)
I – ¿Ya está así bien puesto?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Seguro?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Mira, Marta, en éste (1) es que sí, en éste (2)
es que no, en éste (3) es que sí, ahora (señala el
escalón 4) viene que no, ¿después cómo
continúa?
N – Que sí.
I – Y ¿por qué aquí....? ¿Esto está bien (señala
el tramo de los escalones del 4 al 6)?
N – Dice no con la cabeza.
I – Pues ponlo bien.
N – Cambia el trozo del escalón 6 al 5 y el del 8
al 4.
I – ¿Así está bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Es en uno sí y en otro no.
N – Cambia el trozo de pan del escalón 5 al 9.
I – ¿Así está bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Mira, en éste (3) sí, en éste (4) no, estaba
mal puesto (cambia el pan del escalón 4 al 5) en
éste (5) sí, en éste (6) no, ahora (cambia el pan
del escalón 9 al 7) en éste sí, ¿ahora cómo
continúa?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Señala el escalón 6.
I – ¿Sí?
N – Dice sí con la cabeza.
I – No, es en éste (6) no, en éste (7) sí, en éste
(8) no, y en éste (9) sí y en éste (10) no. Es así,
¿vale?
N – Dice sí con la cabeza.
*I –…Venga, coloca los Piolines en los sitios
para que cuando quitemos los tabiques haya
pan.
(III1)
N – Coloca Piolines en los escalones 7, 6, 3, 9,
4, 10, 2, 1.
(III1b)
I – Pero, mira Marta (levanta el muro superior)
éste (10) no come, éste (7) lo habías puesto
bien, pero éste, fíjate, lo has puesto en todos. En
todos no, era únicamente en los sitios donde sí
comía pan. Bueno, vamos a hacer otra cosa,
cariño. Vamos a quitar este de aquí, vamos a
dejarlo como estaba antes (va quitando todos los
Piolines menos el del 5) y yo únicamente te voy
a hacer una preguntita con esto. Si yo pongo
este Piolín aquí (8), ¿éste come pan? ¿Ese va a
comer pan?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque no tiene pan.
I – Pero, ¿por qué sabes que no?
N – Porque está comiendo este pan (señala el
pan del escalón 5).
I – Porque el otro está comiendo, ¿no? De
acuerdo. Si yo lo pongo aquí (pone un Piolín en
el escalón 9), ¿éste va a comer pan?
N – Dice no con la cabeza.
(III3b)
I – No va a comer pan. ¿Por qué?
N – Porque el otro está comiendo.
I – Porque el otro está comiendo, ¿no? Vale.
(Levanta el muro) Pues éste (9) sí come, porque
aunque coma éste (5), éste puede comer, pero
éste (8) no come, ¿de acuerdo? Bueno, Marta,
ahora vamos a contar, ¿de acuerdo? (Va
quitando todo de los escalones) Cuenta los
escalones.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (va señalando
con el dedo los escalones, pero no se
corresponden con los número nombrados).
(IV2b)
I – Coloca un Piolín en el número 5, en el
escalón número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ese es el 5?
N – No (quita el Piolín y va señalando con el
dedo los escalones a la vez que cuenta) 1, 2, 3,
4 y 5 (deja el Piolín en el escalón 5).
I – Ahá, ese es el 5, coloca otro en el número 7.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 (va señalando con el
dedo desde el principio de la escalera y deja el
Piolín en el escalón 7).
I – Coloca otro en el número 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Por qué ese es el 9?
413
N – (Lo quita y va contando señalando con el
dedo, pero no se corresponde) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10 (vuelve a poner el Piolín en el escalón
9).
I – Coloca otro en el número 3.
N – 1, 2, 1, 2, 3 (va señalando los escalones
correspondientes con el dedo y pone un Piolín
en el escalón 3).
I – Vale, muy bien Marta. Ahora, Marta vamos
a hacerlo con pan, como antes, y con los
números, ¿de acuerdo? Coloca pan en un
escalón sí y en otro no.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 1.
I – En uno sí y en otro no, vida mía.
N – Pone otro trozo de pan en el escalón 6.
¿Así?
I – No, es: en éste (1) sí, en éste (2) no, en éste
(3) sí (coloca el pan del escalón 6 en el 3). Sí
(1), no (2), sí (3), ahora (4) vendría no.
N – En éste (5) (pone un trozo de pan en el
escalón 5).
I – Que sí.
N – En éste (pone un trozo en el escalón 7).
I – Exacto.
N – Éste (pone pan en el escalón 8 sin soltarlo).
I – En ese que no
N – Pone el trozo en el escalón 9.
I – Y ese que sí, de acuerdo. Ahora, vas
poniendo los Piolines al lado del pan y me dices
en el número que está.
N – En el 1 (pone un Piolín en el escalón1), en
el 2 (pone otro Piolín en el escalón 3).
I – No, el 2 es éste.
N – En el 2 (deja el Piolín en el escalón 3).
I – No, ese no es el 2, cariño.
N – ¿En el 2 éste? (Pone un Piolín en el escalón
2)
I – En ese no hay, y entonces, ¿dónde ponemos
el Piolín?
N – Pone un Piolín en el escalón 5.
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 7.
I – No.
N – El 9.
I – No.
N – El 27.
I – ¿El 27?
N – Yo he dicho 1, 2 éste va aquí (va señalando
con el dedo los escalones y coge el Piolín del
escalón 5 y lo cambia al 3).
I – ¿Y ese cuál es?
N – El,... mira, 1, 2, 3 (va señalando con el dedo
los escalones correspondientes). 3.
I – En el 3, sí hay. Venga, sigue colocando
Piolines y me dices en el número en el que está.
N – 1, 2, 3, 4 y 5 (señala con el dedo los
escalones correspondientes mientras cuenta y
deja el Piolín en el escalón 5).
I – Ahá.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
414
N – 1 (1), 2 (2), 3 (3), 4 (4), 5 (5), 6 (6), 7 (6), 7
(6), 8 (7) (deja el Piolín en el escalón 7). 8.
(Coge otro Piolín y vuelve a contar desde el
principio) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (hasta aquí hay
correspondencia), 7 (6), 8 (7), 9 (7), 10 (8), 11
(9) (pone un Piolín en el escalón 9).
I – Mira, Marta, es: 1, en el 1 sí hay, en el 2 no
hay, en el 3 sí hay, en el 4 no hay, en el 5 sí hay,
en el 6 no hay, en el 7 sí hay, en el 8 no hay y en
el 9 sí hay y en el 10 no hay. (Va señalando con
el bolígrafo los escalones correspondientes)
¿De acuerdo? ¿Lo has visto como es? Entonces
yo ahora voy a tapar esto (va quitando los
Piolines de la escalera, menos el del escalón 5)
y tú me dices los números y si hay o no hay,
¿vale? Yo por ejemplo, taparía aquí (pone el
muro inferior) y tapo aquí (pone el muro
superior). Yo te digo, ¿en el 8 come el pajarito
pan?
N – No.
I – ¿Cuál es el 8?
N – Señala el escalón 9.
I – Ponlo, pon un pajarito ahí. ¿Ese es el 8?
N – Coloca un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Por qué ese es el 8?
N – Porque...
I – Éste es el 5 (lo señala), ¿eh? En el 5 sí hay,
¿ese es el 8?
N – No.
I – ¿Es el 8 o no es el 8?
N – No.
I – Yo quiero que lo pongas en el 8 Pon un
pajarito en el 8.
41)
N – Señala el Piolín colocado en el escalón 9.
I – Ese es el 8, ¿por qué es el 8?
N – Porque, ..., el 8,... Porque antes no había ahí
Piolín.
I – Pero, ¿ese es el 8? El pajarito está en el 5 y
sí come. Quiero que lo coloques en el 8.
N – Pero el otro está comiendo, ... el otro no
había antes, y ... el otro no había antes, y el
otro,....y como el otro está comiendo, el otro no
está comiendo.
I – Pero, ¿ese es el 8?
N – Dice no con la cabeza.
I – Yo quiero que lo pongas en el 8.
N – (Se queda mirando a la mesa y murmura.)
Es que el otro está comiendo...
I – Sí, Marta, pero ¿por qué no pones un Piolín
en el 8?
N – Lo he puesto (señala el Piolín colocado en
el escalón 9).
I – Pero, ¿por qué ese es el 8? Dímelo.
Entonces, ¿éste (8) cuál es? (Se queda
señalando con el dedo el escalón 8)
N – El 9.
I – ¿El 9?
N – (Dice sí con la cabeza.) Mira, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, (se corresponde) 9 (señala de nuevo el
escalón 8) 9.
I – ¿Sí? Bueno, Marta, (levanta el muro
superior), ahí sí come y ahí también (señala los
escalones 9 y 7). Bien, Marta, pues ya hemos
terminado
Ju. 3,9. Nombre: Juan. Curso: Infantil 3 años. Cumpleaños en: Julio.
*I – … Entonces, coloca pan en todos los
escalones conforme va subiendo. Venga, ponlo,
cariño. (I1)
N – Pone un trozo de pan en el escalón 2.
I – En todos, cariño, en todos. Tienes que poner
pan en todos.
N – Pone pan en los escalones 4, 1, 5, 6, 7, 8, 9,
10.
I – ¿Ya has puesto en todos?
N – Sí
I – No, te falta uno.
N – ¿A dónde?
I – En el tercero.
N – Pone otro trozo en el escalón 3.
22 )
(I1a, IE2
*I – …Entonces cuando está aquí se come este
pan y después sigue subiendo. Entonces, ¿qué
pan se come después que ese(5)? (II1)
N – Señala el pan del escalón 6.
I –¿Y después?
N – Señala el pan de la cajita.
I – No, esos no están ahí. Va subiendo la
escalera. Se come los que están en la escalera.
Después de éste (5) has dicho tú que se come
éste (6), ¿y después?
N – Señala el pan de la caja.
(II1b)
I – ¿Y después?
N – Vuelve a señalar el pan de la escalera.
I – ¿Y después?
N – Señala el pan del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Vuelve a señalar el pan de la caja.
I –Como ha ido subiendo, cuando ya ha llegado
aquí (5), ¿antes de comerse éste (5), qué pan se
come?
N – Señala el pan del escalón 10.
I – Mira, Juan, el pajarito va subiendo, está aquí
(pone el Piolín en el escalón 1) va subiendo,
cuando está aquí (1) se come éste pan, después
se come éste (2), después se come éste (3),
después se come éste (4), venga sigue tú,
¿después cuál se come?
N – Señala el trozo de pan del escalón 1.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 2.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 3.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 4.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 5.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 10.
(II2a)
I – Vale. El pajarito va subiendo. Ha subido
todo esto, todo esto y se ha puesto aquí (pone el
Piolín en el escalón 8) y se come éste. ¿Después
de comerse éste (8), cuál se come?
N – Señala el trozo de pan del escalón 9.
(II3a)
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 10.
I – Ahá. Muy bien. Entonces, si el pajarito lo
ponemos aquí (5), se come éste, ¿cuál se come
después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 4.
I – Es al subir, va subiendo. Ya ese se lo ha
comido, ¿cuál se come después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 4.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 3.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 2.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 1.
I – ¿Qué escalón viene antes que éste (5)?
N – Señala el pan del escalón 4.
I – ¿Y cuál está después de éste (5)?
N – Señala el trozo del escalón 3.
I – Después de éste (5), de éste que estoy
señalando. ¿Cuál es el que viene después?
N – Señala el trozo del escalón 6.
I – Vale, ¿y antes de éste (5)?.
N – Porque viene éste de aquí.
I – (Va quitando todo de la escalera). Lo vamos
a quitar todo, ¿sabes? Lo quitamos todo porque
ahora ya no come pan en todos los escalones.
Ahora come pan en uno sí y en otro no, en uno
sí y en otro no. Venga, ponlo tú en uno sí y en
otro no.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 1.
I – En uno sí y en otro no.
N – Pone otro trozo de pan en el escalón 2.
I – Es en uno sí... En un escalón come y después
es que no, ¿de acuerdo? Entonces, ¿eso está
bien puesto?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Venga, ponlo en uno sí y en otro no.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 3.
415
I – ¿Está bien puesto eso?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Mira, Juan, es en uno sí (1), en éste (2) no
(quita el pan de ese escalón), en éste (3) sí,
ahora es que no, ahora es que... ¿En éste (5) qué
es, que sí o que no?
N – Que no.
(III2b)
*I – … Coloca tú Piolines en los sitios que sí va
a comer, que detrás hay pan.
(III1)
N – Va a ponerlo detrás del muro.
I – No, lo colocas aquí y después lo vemos, lo
quitamos y ya lo vemos. Venga.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – Venga, sigue colocando Piolines en los sitios
que sí come.
N – Pone otro Piolín en el escalón 8.
(III1b)
I – ¿Ahí va a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué? ¿Sí va a comer? Venga, sigue
colocando en los sitios que sí come.
N – Pone Piolines en los escalones 9 y 10.
I – ¿Y por abajo?
N – Pone Piolines en los escalones 3, 2 y 1.
I – No, mira Juan, has puesto Piolines, mira,
aquí (10) has puesto y aquí no se come, ¿lo
ves? Eres un mago regular, porque aquí (8) has
puesto, pero aquí no come pan, ¿lo ves? Y lo
mismo pasa por ahí abajo, ¿de acuerdo? Vamos
a quitar los Piolines y vamos a hacerlo ahora
conforme yo te vaya diciendo, ¿de acuerdo?
Mira, Juan, en éste sí come, si yo coloco aquí un
Piolín (pone un Piolín en el escalón 7), ¿aquí va
a comer?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Ahí va a comer?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Tú qué dices que sí o que no?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Que no?
N – No.
I – ¿Por qué? ¿Por qué no come?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque no hay trozo de pan ahí.
I – ¿Y por qué crees tú que no hay pan?
N – Porque aquí (señala el escalón 10) no hay
pan.
I – No, pero tú estás viendo que aquí (5) sí hay,
¿lo ves como aquí sí hay? ¿Aquí (7) hay?
N – No.
I – ¿Por qué?
N – Porque no hay.
I – ¿No hay? (Levanta el muro para dejar ver
los trozos de pan) Sí hay, aquí has dicho que no
hay y sí hay. Mira, Juan (quita el muro inferior
y pone Piolines en los escalones 2 y 1), aquí
ponemos un Piolín y aquí ponemos un Piolín
porque comen pan. ¿Dónde más tienes que
poner Piolines? Coge un Piolín y lo colocas.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
416
N – Pone un Piolín en el escalón 8.
I – ¿Ahí? (Quita el muro superior) Juan, mira,
aquí (8) no hay, ¿lo ves? y tú habías dicho que
sí había. Bueno, Juan, vamos a ver, cuenta los
escalones (va quitando todo de la escalera).
Ahora vas a contar los escalones, ¿de acuerdo?
Quiero que los cuentes.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12 (empieza a
contar desde arriba de la escalera)(IV2b).
I – Bueno, Juan, coloca un Piolín en el número
5.
N – Coloca un Piolín en el escalón 7.
(III3b, IIIb)
I – ¿Ese es el número 5?
N – ¿Y éste? (Cambia el Piolín del escalón 7 al
8)
I – ¿Ese qué número es?
N – El 5.
I – No, mira. (Coge un Piolín y lo va pasando
por los escalones desde abajo) 1, 2, 3, 4 y 5,
éste es el número 5. Ese es el número 5. Coloca
un Piolín en el número 8.
N – (Pone un Piolín en el escalón 9) ¿Éste es?
I – No.
N – Este no es (coge el Piolín que había
colocado en el escalón 9).
I – Pues venga, colócalo en el sitio que sí es.
N – (Pone el Piolín en el escalón 8) ¿Aquí?
I – ¿Ese es el número 8?
N – No.
I – Pues entonces colócalo en el número 8.
N – ¿Éste? (Pone el Piolín en el escalón 7).
I – ¿Ese es?
N – No.
42)
I – ¿Cuál es? El que yo he puesto, éste (5) está
en el número 5
N – ¿A dónde lo pongo?
I – En el número 8.
N – ¿Aquí? (Pone el Piolín en el escalón 4)
I – ¿Cómo puedes averiguar si es el 8 o no?
N – Sí es el 8.
I – Ese es el 8, ¿no? Bueno, Juan, mira, ahora
vamos a hacer una cosa, ponemos pan en uno sí
y en otro no, igual que antes, ¿vale? Colocamos
el pan en uno sí y en otro no. Ahora tienes que
poner Piolines donde hay pan y decirme en el
número en el que está, ¿de acuerdo? Por
ejemplo, éste está aquí (pone un Piolín en el
escalón 1), éste es el 1, en el 1 sí hay pan. Sigue
colocando Piolines donde hay pan y me dices el
número.
N – (Pone un Piolín en el escalón 5)
I – ¿Qué número es ese?
N – El 3.
I – ¿Por qué ese es el 3?
N – Porque sí.
I – Venga, sigue colocando y me dices los
números.
N – Coloca otro Piolín en el escalón 3.
I – ¿Qué número es ese?
N – El 9. (Pone otro Piolín en el escalón 7)
I – ¿Y ese?
N – El 3. (Pone otro Piolín en el escalón 9)
I – ¿Y ese?
N – El 3.
I – ¿El 3 también? Bueno, ya está Juan, vamos
a dejarlo ya, cariño, para que tú puedas hacer tu
gimnasia.
Da. 4,4. Nombre: David. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Diciembre.
*I – … Tú tienes que poner pan en todos los
escalones, conforme va subiendo tienes que
poner uno en cada uno
(I1).
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 ).
de la escalera. (I1a, IE4
*I –…¿Después de comerse éste (5) cuál se
come? (II1)
N – Señala el pan del escalón 8.
I – ¿Ese?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Y todos esto qué (señala los trozos desde
donde está colocado el Piolín hacia arriba), no
se los come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Después de comerse éste (5), cuál se come?
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 7.
I – ¿Y después?
N – Señala los trozos de los escalones 8, 9 y 10.
I – Y cuando iba subiendo, hasta llegar aquí (5),
¿antes de éste (5) cuál se había comido, antes?
N – Señala el trozo de pan del escalón 1.
I – ¿Y éste (4)?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Antes de éste (5), cuál está? ¿Cuál está
antes?
N – Señala el trozo de pan del escalón 1.
I – ¿Y después? ¿Cuál está después de éste (5)?
N – Señala el trozo de pan del escalón 2.
I – Después de éste(5).
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – Ahá. ¿Y antes de éste (5)?
N – Señala el trozo de pan del escalón 7.
I – ¿Antes de éste (5) que estoy señalando?
N – Señala el trozo de pan del escalón 4.
I – ¿Antes de éste (4) que estoy señalando?
N – Señala el trozo de pan del escalón 3
I – ¿Antes de éste (3) que estoy señalando?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Señala el trozo de pan del escalón 2
I – ¿Antes de éste (2) que estoy señalando?
N – Señala el trozo de pan del escalón 1
11 )
(II1a, IIE1
I – Bueno, David, quita el pan y vamos a hacer
otra cosa.
N – Lo quita todo de la escalera.
I – Mira, David, cuando va subiendo, ahora ya
no se lo come en todo, ahora se come en uno sí
y en otro no, en uno sí y en otro no y en el
primero es que sí. Venga, colócalo, a ver si tú
sabes cómo lo tienes que poner.
N – Coloca trozos de pan en los escalones 1, 3,
5, 7 y 9. (III2a)
*I –…Colócalos aquí los Piolines en los sitios
que sí hay pan detrás de la pared. (III1)
N – Pone Piolines en los escalones 10, 9, 8 y 7.
(III1b)
I – ¿Tú crees que éste Piolín (10) va a comer
pan? ¿Detrás, cuando yo quite esto ahí va a
haber pan?
N – Quita los Piolines de los escalones 10 y 9 y
cambia el del escalón 8 al 9.
I – ¿Así está bien?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Éste Piolín (7) va a comer pan?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque hay pan.
I – ¿Y por qué hay?
N – Porque está el Piolín.
I – Sí, porque tú lo has puesto el Piolín, pero
¿por qué hay pan detrás de esto? Cuando yo
quite esto ¿por qué va a haber pan ahí detrás?
¿Por qué?
N – No sé.
I –¿Y éste (9), comerá pan?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Tú crees que cuando yo quite esto, éste (9)
va a comer pan?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué? ¿Por qué va a comer pan éste?
N – No lo sé.
I – ¿No lo sabes? ¿No sabes por qué va a comer
pan?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Y por ahí abajo, comerá pan alguno?
N – Pone Piolines en los escalones 1 y 3.
(III3a)
I – ¿Por qué va a comer pan éste (3), cariño?
N – Se encoge de hombros.
I – ¿No lo sabes?
N – Dice que no con la cabeza.
I – Pero, ¿por qué va a haber pan detrás de la
valla?
N – Se encoge de hombros.
I – Bueno, (levanta el muro superior) pues lo
has adivinado, eres mago, no sabes el truco,
pero lo has adivinado, ¿lo ves? éste (9) come y
aquí (7) come, y aquí (levanta el muro inferior)
417
exactamente igual, ¿lo ves? Lo has hecho bien,
bien, bien, bien, lo has hecho perfecto. Ahora,
(vuelve a poner los muros) yo te voy a preguntar
una cosita y tú me lo vas a decir (quita los
Piolines de la escalera, menos el del escalón 5).
Mira, éste (5) sí come, tú lo estás viendo, éste sí
come, y por aquí tú tienes que saber el truco.
Éste sí come, y aquí (6) no come. Entonces, si
yo coloco uno aquí (pone un Piolín en el
escalón 8), ¿Lo he puesto en un sitio que hay
pan o en un sitio que no hay?
N – Hay pan.
I – ¿Que sí hay? ¿Por qué?
N – Se encoge de hombros.
I – ¿Por qué?
N – No sé.
I – ¿No sabes? (Levanta el muro superior) Pues
no eres mago, porque éste (8) lo he puesto en un
sitio que no hay. Tú tienes que adivinarlo (pone
el muro de nuevo), aunque no lo veas lo tienes
que adivinar, ¿vale? (Pone el Piolín en el
escalón 10)
N – No, ahí tampoco.
I – ¿Ahí no come?, ¿por qué?
N – Se encoge de hombros.
I – ¿No lo sabes?
N – Dice que no con la cabeza.
I – Aquí sí lo has adivinado (levanta el muro),
aquí sí sabes que no come. Muy bien. Si yo
coloco uno aquí (pone un Piolín en el escalón
7), aquí es que sí o que no?
N – Dice que no con la cabeza
(III3b).
I – Mira, en este (5) come porque lo estás
viendo, ¿en qué escalón después de éste
tenemos que pones el Piolín para que coma?
N – Se encoge de hombros.
(III3b)
I –Vale, y si coloco uno aquí (3) ¿es que sí o
que no?
N – Dice que no con la cabeza.
I – (Va quitando todo de la escalera) Yo quiero
que cojas un Piolín y lo coloques en el número
5.
N – 1, 2, 3, 4 y 5 (va señalando el escalón
correspondiente y pone el Piolín en el escalón
5).
(IV2a, IV3a)
I – Eso es, muy bien. Ese está en el número 5,
¿tú sabes colocar, ahora, uno en el número 3?
N – 1, 2, 3 (coloca el Piolín del escalón 3).
I – ¿Vale? Éste (5) está en el 5, ¿tú has tenido
en cuenta que éste está en el 5 para poner éste
(3) en el 3?
N – Dice no con la cabeza.(IV1b)
I – No lo has tenido en cuenta, yo quiero que lo
tengas en cuenta. Si éste (5) está en el 5...
(Quita el Piolín del escalón 3) Éste (5) está en
el 5, (pone un muro delante de los primeros
escalones de la escalera). Quiero que coloques
uno en el número 7.
N – 1 ... (señala el escalón 10)
I – No, se empieza a contar por abajo.
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418
N – Es que no llego.
I – Pero tú puedes pensar otra forma, porque
éste (5) es el 5.
N – 1, 2, 3, 4, y 5 (va señalando desde el
escalón 6 al 10).
I – No, éste (5) no es el 1, éste es el 5, cariño.
N – 1, 2, ... (de nuevo empieza a contar a partir
del escalón 6)
I – No, no, éste (5) es el 5. ¿Cuál es el 6? El 5 es
éste (5).
N – Señala el escalón 6.
I – Ahá. ¿Y cuál es el 8?
N – (Señala el escalón 8) El 7 es éste.
I – ¿Ese es el 7?
N – Y éste es el 8 (señala el escalón 9).
I – ¿Si? vale,. (Quita todo de la escalera)
Venga, cuenta los escalones.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 y 10 (va señalando
los escalones correspondientes).
I – Muy bien, ahora, vas a poner pan en uno sí y
en otro no, igual que antes. Ponlo.
N – Pone trozos de pan en los escalones 1, 3, 5,
7 y 9.
I – Ya has colocado pan en uno sí y en otro no,
¿no?, muy bien. Ahora, quiero que pongas los
Piolines en los sitios donde hay pan y me digas
los números.
N – Coloca un Piolín en el escalón 1
I – ¿Ese qué número es?
N – El 1.
I – En el 1 sí hay.
N – (Coloca otro Piolín en el escalón 2) El 2.
I – No.
N – Ay, no (cambia el Piolín del escalón 2 al
3). El 2.
I – No, el 2 es éste (lo señala), en el 2 no hay.
¿Éste (3) cuál es?
N – El 3.
I – El 3. Venga, pues ponlo.
N – Coloca otro Piolín en el escalón 5.
I – ¿Ese qué número es?
N – (Se queda mirando por un momento la
escalera) El 1 (1), el 2 (3) y ...
I – No, no, el 2 es éste (2), en el 2 no hay pan.
N – El 4.
(V2b)
I – No, el 4 no es.
N – El 5.
I – Muy bien, venga sigue.
N – Coloca otro Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ese qué número es?
N – El 7.
I – Muy bien.
N – Coloca otro Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y ese qué número es?
N – El 8.
I – No.
N – El 10.
I – Dice no con la cabeza.
N – No sé.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – ¿No sabes? Pues, venga, cuenta, a ver qué
número es.
N – 1 (1), 2 (2),..
I – No, no, no...
N – 3 (3), ...
I – Eso es, 3.
N – 4 (5)...
I – No, 4 no es ese.
N – 5 (5), 6 (7)...
I – No, 6 no es ese.
N – 7 (7), 8 (9).
I – No, tienes que contarlos todos, aunque no
tenga pan esto es un escalón, le tienes que
contar. Empieza otra vez, 1, 2,... (va señalando
los escalones).
N – 3 (4)...
I – No, 3, no es ese.
N – 3 (5).
I – Empieza otra vez.
N – 1 (1), 2 (3),
I – El 2 no, tienes que contar...
N – 3, el 3, 4 (5).
I – No, el 4 no.
N – El 5.
I – Eso.
N – El 6 (7).
I – No, el 6 es éste (señala el escalón 6).
N – El 7.
I – Eso.
N – Éste (8) es el 8 y éste (9)...
I – ¿Cuál es ese?
N – El 12.
I – ¿El 12?
N – El 9.
I – Eso es. ¿Y éste?
N – El 9.
I – No, no.
N – El 10.
I – Eso es, muy bien. Entonces ya sabes en los
números que hay, ¿lo ves? En los números que
hay (va quitando los Piolines de la escalera).
Ahora, quita los Piolines y vamos a tapar...
N – Quita los Piolines que quedaban.
I – Ahora, vamos a tapar esto (va poniendo los
muros superior), vamos a taparlo con este...
pared, igual que antes lo vamos a tapar.
N – ¿Para qué?
I – Para que tú no lo veas, para que no veas
donde hay pan y lo adivines, ¿de acuerdo?
N – Aquí atrás.
I – Pero no lo mires. Éste es el número 5
(coloca un Piolín en el escalón 5) y en el 5 hay
Piolín porque come pan. Pon un Piolín en el
número... ¿En el número 7 va a comer pan, el
Piolín? ¿En el número 7?
N – ¿Aquí (7)?
I – Ese es el número 7, bien, colócalo ahí.
N – (Mira por detrás del muro) Sí hay (pone el
Piolín en el escalón 7.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
I – Ah, ¿por qué lo has mirado? Ese es el
número 7, ¿por qué es el número 7, cariño?
N – Porque hay atrás.
I – ¿Porque hay pan? Pero, ¿por qué es el 7?
¿No sabes? Bueno, coloca uno en el número 3 y
dime si hay pan en el número 3.
N – (Intenta mirar por debajo del muro
superior) Lo he mirado por ahí y no lo veo
(coloca el Piolín en el escalón 8).
I – ¿Por qué ese es el número 3?
N – No sé.
I – Pero tienes que empezar por abajo a contar,
¿eh?
N – Toca el Piolín del escalón 5.
I – Ese es el 5, ¿cuál es el 3?
N – Señala el escalón 7 con golpecitos.
I – ¿Ese es el 3?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Sí? ¿Por qué ese es el 3?
N – No sé.
I – ¿No lo sabes? ¿Y ahí come pan el pajarito?
¿Come o no?
N – Por aquí (7) come.
I – Ahí come.
N – Señala el Piolín colocado en el escalón 8.
I – Entonces, ¿en ese come?
N – No (cambia el Piolín del escalón 8 al 9).
I – ¿Ahí come?
43)
419
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Y cuál es ese?
N – Se encoge de hombros.
I – ¿No sabes que número es? Éste (5) es el 5,
vida mía y éste (7) es el 7. ¿Éste (9) cuál es?
N – El 8.
I – No, el 8 es éste (señala el escalón 8).
N – El 9.
I – Ahá, el 9. ¿Y en el 3, come? ¿Cuál es el 3?
N – Aquí atrás no hay (señala el escalón 1 con
el Piolín), (2) tampoco, aquí (3) sí hay
I – ¿Y ese...? Pero, ponlo en el 3, yo quiero que
me pongas en el 3.
N – Cambia el Piolín colocado en el escalón 3
al 1.
I – ¿Ese es el 3?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Cuál es el 3?
N – Hace un gesto como diciendo “no sé”.
I – ¿No sabes?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿No sabes cuál es el 3?
N – Señala el escalón 3.
I – Ese es el 3. ¿Por qué ese es el 3?
N – Porque hay pan.
I – Porque hay pan, ¿no? Bueno, ya está David,
despídete de todos.
Jo. 4,4. Nombre: José Luis. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños: Diciembre.
*I – … Conforme va subiendo tienes que poner
pan en todos los escalones
(I1)
N – Coloca un único trozo en todos y cada uno
de los escalones siguiendo el orden de sucesión
44 )
de la escalera. (I1a, IE4
*I – … ¿Después de comerse éste (5), qué pan
se come después?
(II1)
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I –. ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 8.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 9.
I – ¿Y después?
N – Señala el trozo de pan del escalón 10.
I – Ha ido subiendo, ¿antes de comerse éste (5),
cuál está?
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – Ese está después. ¿Cuál está antes?
N – Señala el trozo de pan del escalón 5.
I – ¿Y antes de ese cuál está?
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – Antes, antes.
N – Señala el trozo de pan del escalón 6.
I – Ese está después, cariño. Antes.
N – Señala el trozo de pan del escalón 7.
I –. (Va recogiendo todo de la escalera) Ya no
come pan en todos los escalones, ahora come
pan en uno sí y en otro no, en uno sí y en otro
no, y en el primero es que sí. Venga, pon los
panes ahora en uno sí y en otro no.
N – Coloca un trozo de pan en el escalón 1.
I – Ahá, y ahora en uno sí y en otro no, ¿vale?
N – Pone un trozo de pan en el escalón 2, pero
no lo suelta y mira a la investigadora.
I – Es en uno sí y en otro no, cariño.
N – Pone el trozo en el escalón 4.
I – Mira, en éste (1) es que sí, en éste (2) es que
no, ahora en éste (3) ¿qué toca? ¿Qué toca aquí?
N – Sí.
I – Pues venga, colócalo, cariño.
N – Cambia el trozo de pan del escalón 4 al 3.
I – ¿En éste (4)?
N – Dice no con la cabeza.
I – Ahá, ¿y en éste (5)?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Pues venga, coloca.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 5.
I – ¿En éste?
N – Primero dice que sí y después que no con la
cabeza.
I – Ahá, ¿y en éste (7)?
N – Dice sí con la cabeza.
I – Coloca.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 7.
I – ¿En éste (8)?
N – Dice que no con la cabeza.
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420
I – ¿Y en éste?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – Pues, coloca.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 9.
I – Muy bien. ¿Y en éste 10?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Qué sí? ¿En éste (10) que sí?
N – Dice que no con la cabeza.
*I – … Coloca aquí Piolines en los sitios que sí
hay pan. (III1)
N – Va a poner el Piolín del escalón 5 detrás
del muro.
I – No, no, cariño, deja ese Piolín aquí. Ahora
coloca en los sitios que sí hay pan, lo colocas
por aquí, para que cuando lo quitemos veamos
si come o no.
N – Coloca un Piolín en el escalón 8.
(III1b)
I – ¿Ahí come?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué? En éste (5) come. ¿Ahí (8)come?
N – Dice que no con la cabeza y mueve el Piolín
del escalón 8 más hacia la derecha.
I – ¿Ahí come?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Lo vemos?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Tú que dices que sí come o que no come?
N – Sí come.
I – ¿Que sí come? Vamos a verlo. (Levanta el
muro superior) No come, ¿lo ves? En éste no
come, aquí no hay, mira, (coge el Piolín y lo
pasa de un lado a otro del escalón) aquí,
¿dónde está el pan?
N – Señala el escalón 7.
I – En ese de abajo, pero aquí no, ¿lo ves?
N – Cambia el Piolín del escalón 8 al 7.
I –Tienes que ponerlo en los que sí come. Lo
vamos a tapar (pone el muro superior) y ahí sí
come. ¿Por qué come aquí (7), cariño? ¿Por qué
has puesto ahí uno?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Porque come? Bueno, sigue poniendo
donde sí come.
N – Pone el Piolín del escalón 7 en el 9.
I – ¿Ahí come?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Sí (lo dice muy bajito).
I – ¿Sí? ¿Por qué?
N – Se queda callado..
I – ¿Y por abajo? Venga, sigue, pon ahora por
abajo.
N – Coge el Piolín del escalón 8 y lo pone en el
7.
I – No, yo digo por abajo. En éste (5) come. Pon
por aquí (señala la parte inferior de la escalera)
en los escalones que sí come.
Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Pone el Piolín en el escalón 2.
I – ¿Ahí come?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿No? ¿Por qué?
N – Dice que sí con la cabeza.
I – ¿Sí come? ¿Por qué?
N – Se encoge de hombros.
I – No sabes, ¿no? Bueno, venga José Luis (va
quitando todo de los escalones), ahora vamos a
coger y vas a contar los escalones. Cuéntalos,
cariño.
N – Cuenta los escalones señalándolos
correctamente (IV2a).
I – Muy bien, ahora, pon un Piolín en el número
5.
N – ¿El número 5?
I – Sí en el número 5 coloca un Piolín.
Cuéntalos y di cuál es el número 5.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6. El 5, éste (no se corresponde
y finalmente señala el escalón 8). (IV3b)
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿No es el número 5?
N – Señala el escalón 6.
I – ¿Ese es el número 5? Tú coloca un Piolín y
me dices si está en el número 5 o no. Coge un
Piolín y lo pones en el número 5.
N – Pone un Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese es el número 5?
N – Dice que no con la cabeza.
I – Pues entonces ponlo en el número 5.
N – Cambia el Piolín al escalón 8.
I – Mira José Luis, 1, 2, 3, 4 y 5 (va subiendo el
Piolín por la escalera y lo deja en el escalón 5),
éste es el número 5, coloca uno en el número 7.
Coge un Piolín y lo colocas ahora en el número
7.
N – 1 (señala el escalón 6).
(IV1b)
I – ¿Ese es el 1?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Cuál es el 1?
N – No sé.
I – ¿No sabes, cariño? Bueno, venga, ahora
vamos a hacer igual que antes, come pan en
uno sí y en otro no, (pone un trozo de pan en el
escalón 1)venga, colócalo en uno sí y en otro
no, igual que antes.
N – Pone un trozo en el escalón 4.
I – No, cariño. Vamos a colocarlo (pone trozos
de pan en los escalones 3, 5, 7 y 9). Ya. Ahora,
pon los Piolines y me dices los números. Éste
(1) es el 1, hay pan. Coloca los Piolines donde
hay pan y me dices los números.
N – En éste (3).
I – Venga, coloca un Piolín y me dices qué
número es.
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – ¿Ese qué número es?
N – Uhmm...
I – ¿No sabes qué número es ese?
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
N – Dice que no con la cabeza.
I – Aquél es el 1, dónde está el Piolín es el 1.
Éste (1) es el 1, éste (2) es el 2, éste (3) es el ...
N – 4.
I – No.
N – El 5.
I – No, el que viene después del 2.
44)
421
N – El 3.
I – El 3. Éste (4) es el ...
N – El 6.
I – ¿El 6?
N – Dice que no con la cabeza.
I – ¿Cuál es? ¿No lo sabes? Ya está, ya hemos
terminado.
Lo. 4,7. Nombre: Lore. Curso: Infantil 4 años. Cumpleaños en: Septiembre.
I –Cuando va subiendo el Piolín se come éste
pan (5), ¿por qué después de éste se come éste
(6)?
N – Porque es que si no su madre le regaña.
I – (Va quitando todo de la escalera) ahora, ya,
el Piolín no come pan en todos los escalones,
ahora va a comer pan en uno sí y en otro no, en
uno sí y en otro no. Entonces coloca tú el pan en
uno sí y en otro no, cariño.
N – Pone un trozo de pan en el escalón 1.
I – Venga, en uno sí y en otro no.
N – Coloca trozos de pan en los escalones 3, 5,
7 y 9.
*I – …. Coloca Piolines en los sitios que sí hay
pan.
(III1)
N – Pone un trozo de pan en el escalón 3.
I – Quita el pan. El pan está aquí detrás (levanta
el muro inferior), aunque no lo veas está aquí,
cariño.
N – Pone un Piolín detrás del muro en el
escalón 1.
I – Pero ponlo delante. Delante, después le
quitamos eso y ya se lo come.
N – Pone un Piolín en el escalón 1.
I – Ahá, ¿y dónde más?
N – Pone un Piolín en el escalón 3.
I – Ahá, ¿y por aquí arriba?
N – Pone un Piolín en el escalón 9.
I – ¿Y dónde más, cariño?
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
(III1a)
I –. ¿Por qué has puesto aquí (7) un Piolín? ¿Por
qué?
N – Gira el Piolín.
I – (Levanta los muros). Loren es una maga, sin
verlo sabe donde está. (Quita los Piolines menos
el del escalón 5). Vas a ver sólo ese (5), ese sí lo
vas a ver. Ahora, ¿si yo coloco un Piolín aquí
(pone un Piolín en el escalón 8), éste Piolín va a
comer pan? ¿Si yo quito esto, tú crees que aquí
va a haber pan detrás de esto?
N – Dice no con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque, ... ahí no hay porque.... (se toca la
garganta).
I – ¿Por qué, cariño? [...] Venga, Lore, ¿por qué
aquí (8) no hay?
22 )
N – Porque es en uno y en otro no. (III1a, IIIE2
I – Ah, en uno sí y en otro no, muy bien. ¿Y
aquí qué le toca que sí o que no?
N – Que no.
I – ¿Por qué, cariño?
N – Porque no hay pan.
I – No hay, muy bien. Ahora, si yo lo coloco,
aquí (pone otro Piolín en el escalón 9), ¿éste va
a comer o no va a comer?
N – Sí va a comer.
I – ¿Por qué?
N – Porque en uno hay y en otro no.
I – Muy bien. ¿Y en éste le toca que sí?
N – Que sí.
I – ¿Por qué le toca que sí?
N – Porque en ese hay un pan.
I Mira aquí (7) sí hay, ¿eh?. Ya lo has visto. Si
yo coloco uno aquí (4), ¿aquí hay o no hay?
N – No hay.
I – ¿Por qué?
N – Porque...
I – ¿Por qué?
N – Porque en uno hay y en otro no.
33 )
(IIIE3
I – ¿Y en ese por qué le toca que no?
N – Uhm...
I – (Va quitando todo de la escalera), vamos a
contar los escalones. Cuenta los escalones.
N – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (va señalando
con el dedo los escalones correspondientes).
I – Muy bien. Coloca, ahora, un Piolín en el
número 5.
N – Pone el Piolín en el escalón 1.
I – En el número 5.
N – Pone el Piolín en el escalón 6.
I – ¿Ese es el 5? ¿Por qué?
N – Cambia el Piolín al escalón 5.
I –¿Ese por qué es el número 5, cariño?
N – No sé.
I – Coloca ahora uno en el número 7. Un Piolín
en el número 7.
N – Pone un Piolín en el escalón 7.
I – ¿Ese es el 7?
N – Dice sí con la cabeza.
I – ¿Por qué?
N – Porque sí, ... No sé.
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Anexos VI. Estudio Empírico Cualitativo.
422
I – Coloca uno en el número 9, un Piolín en el
número 9.
N – Pone un Piolín en el escalón 9..
I – Lorena, mira, (quita los Piolines de la
escalera, menos el del escalón 5) éste (5) está
en el número 5, ¿lo ves? 1, 2, 3, 4 y 5 (vuelve a
señalar con el dedo los escalones
correspondientes). Éste (5) es el 5, coloca uno
en el 6.
N –