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Taller de Matemáticas I Taller de Matemáticas I 1 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I Temario 1. Los números positivos 1. 1. Representación de números positivos 1.1.1. Fracciones 1.1.2. Decimales 1.1.3. Porcentajes 1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones 1. 2. Jerarquización de operaciones numéricas 1. 3. Planteamiento de una expresión algebraica 1.3.1. Procedimiento para el planteamiento de una ecuación 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones 3. Sucesiones y sumas numéricas 3.1 Sucesiones 3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas 3.2.2. Series aritméticas 3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética 3.3. Sucesiones y series geométricas 3.3.1. Sucesiones geométricas 3.3.2. Series geométricas 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica 4. Conceptos algebraicos importantes 4.1. Términos semejantes 4.2. Potencias 4.3. Leyes de los exponentes 5. Operaciones con monomios y polinomios 5.1. Suma de polinomios 5.2. Resta de polinomios 5.3. Multiplicación de polinomios 2 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I 5.3.1. Monomio por monomio 5.3.2. Monomio por polinomio 5.3.3. Polinomio por polinomio 6. Productos Notables 6.1. Binomios conjugados 6.2. Binomios con un término común 6.3. Binomios al cuadrado 7. Factorización 7.1. Factorización por factor común 7.1.1. Un monomio como factor común 7.1.2. Un polinomio como factor común 7.1.3. Factor común por agrupación 7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados 7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c 8.2. Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c con a ≠ 0, 1 9. Factorización combinada 10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales 11. División de polinomios 3 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Seman
na 1 Sesión 1 Los ttemas a revvisar el día d
de hoy son:: 1. Los núme
1
eros positivvos 1. 1. Rep
presentación de númerros positivo
os 1.1..1. Fraccion
nes 1.1..2. Decimales 1.1..3. Porcenttajes 1.1..4. Converssiones entre
e distintas rrepresentacciones 1. 2. Jeraarquización de operaciiones numé
éricas 1. 3. Plan
nteamiento
o de una exp
presión algebraica 1.3.1. Procedim
miento paraa el planteamiento de una ecuación 1 Los núm
1.
meros positivvos 1.1. Representaación de nú
úmeros possitivos Los n
números su
urgieron de la necesidaad de representar canttidades, es decir, relaccionar un síímbolo con
n una magn
nitud. Los primeros números creaados tenían
n la intenció
ón de contaar, establecciendo un orden para indicar cuál era mayor y cuál meno
or. El 1 ees el menorr de todos, el 2 es el que le sigue, etc., pero también ell 4 es mayor que el 3, el 3 mayorr que el 2 y así sucesivvamente. Assí fue como
o surgió la rrecta numérica y aparecieron opeeraciones como c
la sum
ma y multiplicación, con c la restricción de que q el resulltado de ellaas debe serr un número
o de este mismo conjunto. Por eejemplo: ¿Cóm
mo represen
ntarías la au
usencia de cantidad? LLa respuesta es anexarr el número
o cero y colocarlo en laa recta como el primer número o el menor dee todos: A partir de ese momento sse puede co
ontar desde
e el cero hasta donde sse desee, no hay límite; es decir, el conjunto
o de número
os es infinito y se deno
ominan núm
meros positivos. A su vez el conjjunto de loss números positivos se
e puede clasificar como se muesttra en la sigguiente imagen: 4 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Los números positivos pueden representarse de tres maneras: 10 3 75
• Como fracciones, por ejemplo: 2 , 8 , 6
• Como decimales, por ejemplo: 9.81, 16.15, 0.00013 • Como porcentajes, por ejemplo: 2%, 46.8%, 77% 1.1.1. Fracciones Las fracciones constan de dos números: el superior llamado numerador y el inferior llamado denominador. a
numerador
=
, con b ≠ 0
b denominador
Una fracción describe una parte de un todo. Por ejemplo, si un pastel se divide en doce partes iguales y ocho de las rebanadas se reparten entre los asistentes de una fiesta, la fracción que representa lo anterior es: Número de rebanadas repartidas entre los asistentes 8 una parte
=
Número total de rebanadas del pastel 12 un todo
Al cociente o división de dos números enteros se le llama número racional o fraccionario y ese conjunto de números se representa por Q. Se debe tener cuidado de que el denominador no sea cero. 5
12
56
9
Algunos ejemplos son: 1
1
7
12
Se observa que las primeras dos fracciones en realidad son dos números enteros divididos entre la unidad; así, un número natural es al mismo tiempo entero y por tanto, racional. 1.1.2. Decimales Los números positivos pueden tener una representación decimal de tres tipos: • Decimal exacto: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Por ejemplo: 1
= 0.25
4
• Decimal periódico puro: la parte decimal completa se repite indefinidamente, la cual puede ser representada con una línea encima de los dígitos que representan al periodo. Ejemplo: 3.25252525L = 3.25
• Decimal periódico mixto: al principio de la parte decimal hay una parte que no se repite y otra que sí se repite. Por ejemplo: 3.12252525L = 3.1225
1.1.3. Porcentajes Es una manera de expresar un número positivo como una parte de 100 y se representa por el símbolo %. Se puede pensar como el numerador de una fracción que tiene un denominador de 100: numerador 56
=
= 56%
100
100
5 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones Conversión de fracción a: a) Decimal. 5
Se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo: = 0.625
8
b) Porcentaje. Se convierte a decimal y se multiplica por 100%. Por ejemplo: 1
= 0.25 ⎯
⎯→ 0.25 × 100% = 25%
4
Conversión de porcentaje a: a) Fracción. Se quita el símbolo de porcentaje y se coloca la cantidad en el numerador. Siempre se utiliza como denominador el número 100. Se debe simplificar la fracción en 78 39
caso de ser posible: 78% ⎯
⎯→
=
100 50
b) Decimal. Se quita el símbolo de porcentaje y se recorre el punto decimal dos cifras hacia la izquierda. Se agrega el cero como parte entera. La razón por la cual se recorre el punto dos cifras a la izquierda es porque esta operación es equivalente a dividir el número entre 100, y estas dos cifras representan los dos ceros que contiene el número 100. Por ejemplo: 15 . 62 %
⎯⎯ →
0 • 1
5
6
2
15 . 62
= 0 . 1562
100
Conversión de decimal a: a) Fracción. Caso
Descripción
Número con
parte entera
igual a cero y
parte decimal
periódica pura
El numerador será igual a la parte periódica
y el denominador será igual a tantos
nueves como dígitos contenga el periodo
Número con
parte entera
distinta a cero y
parte decimal
periódica pura
Será igual a la parte entera más un racional
que tendrá como numerador la parte
periódica y como denominador tantos
nueves como dígitos contenga el periodo
Número con
parte entera
distinto de cero y
parte decimal
periódica mixta
Será igual a la parte entera más un racional
que tendrá como numerador la parte no
periódica seguida de la parte periódica
menos la parte no periódica, y como
denominador tantos nueves como dígitos
contenga el periodo y tantos ceros como
dígitos contenga la parte no periódica
6 Universidad CNCI de México Ejemplo
0.3 =
3 1
=
9 3
38
=
99
198 38 236
+
=
99 99 99
2.38 = 2 +
3.1225 =
1225 − 12
=
9900
1213
3+
=
9900
29700 1213 30913
+
=
9900 9900 9900
3+
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
b) Porcentaje. Multiplicar por 100% o recorrer el punto decimal de la cantidad dos lugares hacia la derecha y agregar el símbolo %. Por ejemplo: 0.2641 ⎯
⎯→ 0.2641× 100% = 26.41%
0• 2 6 4 1 ⎯
⎯→ 26.41%
Un resumen de las distintas representaciones de los números positivos descritos en los cuatro ejemplos anteriores se muestra en la tabla siguiente: Natural (N) Decimal 4 4.0 No es natural 7.282828… 7.28
No es natural 0.135 0.1350
No es natural 0.125192 Decimal Periódico Fracción Porcentaje 4.0
4
1
400% 721
99
728.28%. 135
27
=
1000 200
13.5% No aplica 245925
1964375
12.5% Práctica de ejercicios Práctica 1 Complementa el siguiente cuadro con las diferentes maneras de representación de los números positivos: Natural Decimal 4.32
3.4444… 7 Universidad CNCI de México Decimal Periódico 1.3
10.28
Fracción Porcentaje 75% 8 7
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 2 Relaciona las columnas que a continuación se muestran, de manera que coloques la letra del inciso en el paréntesis que indica el número equivalente. Práctica 3 Resuelve el siguiente problema y contesta lo que se te pide. Un anciano millonario dejó una herencia para repartir entre su único hijo y el asilo donde pasó sus últimos días. La repartición fue la siguiente: 3/4 para su hijo y el resto para el asilo. 1. Si el hijo recibió 63 millones. ¿Cuánto dinero recibió el asilo? 2. Representa la cantidad anterior como: a) porcentaje. b) fracción. 3. ¿Cuánto dinero dejó de herencia el anciano? 1.2. Jerarquización de operaciones numéricas En matemáticas como ciencia formal, existe una jerarquía u orden en las operaciones para proceder a resolverlas, así como también existen leyes que rigen el despeje de las expresiones, y los elementos de un conjunto deben escribirse en una forma específica para tener sentido matemático. En las operaciones numéricas se sigue un orden cuando en una expresión aparecen varios operadores: 1º Se deben efectuar aquellas que indiquen potenciación, es decir, potencias ( ) y raíces ( ). x 2 , x3 , x n
9 , 25 , 144
8 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
2
2º Se realiza
an las multiiplicacioness ( (9), 7 * 25 y 3× 18, 555 ) y
45
laas divisione
es ( 21 ÷ 3, 600 ).
/ 20,
5
o se realizan las adicio
3
3º Por últim
ones o sumaas ( 25 + 8, 2 + 9 ) y las susstracciones o restas ( 25 − 14
, 9 − 2 ). En occasiones see deben exp
presar operaciones en la que el orden que se ha establecido se ro
ompe; por eejemplo, se desea realiizar primero
o una adició
ón para desspués multiplicar su reesultado po
or un númeero. Para expresar e
estte tipo de operacionees se utilizaan los símb
bolos de agrrupación: p
paréntesis ( ), corchetes [ ] y llavess { }. mplo: Ejem
4 + 32 × 5 − 81 ÷ {14 ÷ 7[8 − (30 − 23)] + 1}
Utilizzando la caalculadora se s puede llegar a la solución s
dee la expresión del eje
emplo anterior. Antees que nad
da debes faamiliarizarte con tu calculadora
c
. Identificaa las teclass que repreesentan a los l parénteesis, así com
mo las teclaas para las operacionees básicas como c
sumaa, resta, mu
ultiplicación
n y división, incluyendo
o la raíz y la potencia. Si utiilizas una caalculadora ccientífica Ca
asio, puede
es “escribir”” la ecuación de la sigu
uiente maneera: El ressultado en eel display o pantalla dee la calculad
dora debe ser 46. 9 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 4 Javier reconoce que su salud está en peligro debido a que tiene sobrepeso de 10 Kg con respecto a la recomendación de su médico, por lo que ha decidido utilizar su caminadora que registra los kilómetros que ejercita. 1
1
2
1
El lunes recorre Km; martes y miércoles Km; el jueves 4 Km, 3
5
4
3
viernes y sábado Km y el domingo de Km. 3
3
5
Determina la cantidad de kilómetros que recorrió Javier en la semana. 1.3. Planteamiento de una expresión algebraica Para resolver problemas o modelar situaciones por medio del lenguaje del álgebra, lo primero que debes hacer es traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Las +, −, ×, ÷
operaciones básicas en matemáticas se caracterizan por símbolos como La siguiente tabla muestra algunas operaciones expresadas en lenguaje común y su representación en lenguaje algebraico. "a" y "b"
En la tabla anterior se utilizaron las letras minúsculas para representar dos números cualesquiera. Esas letras, así como cualquier otra letra minúscula que se utilice para representar algún número, se conocen como literales y en matemáticas se utilizan comúnmente para expresar variables, las cuales dependiendo de la situación que se desea modelar, pueden representar: 10 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
a) un valor específico (cuando se utilizan en ecuaciones) y se les denominan incógnitas. b) un rango específico de valores delimitado por una condición (cuando se ubican en una relación funcional o función) y se les denominan variables. c) cualquier valor y se les denominan números generales. Práctica 5: 9 Traduce el siguiente enunciado al lenguaje algebraico. “Encuentra un número que sumado a 10 es 25”. 9 Plantea la expresión algebraica del siguiente enunciado: “10 menos el doble del número es tres veces el doble del número menos 5”. 9 Representa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico. 11 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 2 Los temas a revisar el día de hoy son: 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos En la sesión anterior conociste los números positivos, entre ellos los enteros, los naturales y los racionales. Una representación que se tiene acerca de esos números es la recta numérica teniendo como referencia al cero u origen. El cero representa la ausencia total de cantidad. Los enteros positivos (Z+) se ubican a la derecha del cero y representan cantidades “completas”, es decir, cantidades que son enteras que se utilizan para contar. Los enteros negativos (Z‐ ) se ubican a la izquierda del cero y con signo negativo. El conjunto de los números reales está formado por varios subconjuntos: 1. Los números naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } ∞
2. Los números enteros positivos: Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } ∞
−∞
3. Los números enteros negativos: Z‐ ={ , …, ‐9, ‐8, ‐7, ‐6, ‐5, ‐4, ‐3, ‐2, ‐1} 4. El conjunto que contiene al cero: {0} Algunos símbolos importantes para utilizar conjuntos son: 1. El símbolo que significa “unión de conjuntos”. Se deben tomar en cuenta todos los elementos de los conjuntos a unir. 2. El símbolo ⊂
indica que un conjunto es un “subconjunto” de un conjunto ⊄
mayor. Su contraparte es el símbolo indica que no es subconjunto de otro. ∪
12 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I 3. El de pertenencia que indica si un elemento está dentro de un conjunto. El ∈
que niega que un elemento pertenezca a un conjunto es . ∉
De acuerdo a lo anterior, los números enteros se forman de los números enteros negativos y positivos y se representan por Z: Semana 1 y 2
Z + = {N ∪ {0 }}
Z = ⎪⎨Z − ∪ Z + ⎪⎬
⎧
⎫
⎪⎩
⎪⎭
Otro conjunto que pertenece a los reales son los números racionales, que son los que se pueden obtener a partir de una fracción y se representan por la letra Q. Así, en notación de conjuntos se tiene que: Z ⊂ Q
Existen más números que no se representan como naturales, enteros o racionales, 2, y
3
ejemplos son el número (pi), o . A estas cantidades se les denomina números irracionales y se representa por Ι . La parte decimal de un número racional carece de un periodo repetitivo. En notación de conjuntos se tiene que: R = Ι ∪ Q
Ejemplo: identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números. a) El ‐5 es un número: entero negativo y real. 3
b) El es un número: racional y por lo tanto real. 4
π
c) El es un número: irracional y real. 2
d) El 90 es un número: natural y por lo tanto real. 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden Existen algunas relaciones entre los números reales que son importantes: el simétrico de un real, el valor absoluto y las relaciones de orden. 2.2.1. Simétrico de un número real A los reales negativos que están a la misma distancia del cero que los positivos, se les llaman números simétricos o números opuestos. Ejemplo: El ‐3 es el simétrico de 3: 13 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2.2.2. Valor absoluto de un número real El valor absoluto de un número representa la distancia de éste al origen. El símbolo que lo representa son dos barras verticales entre las cuales se “encierra” el número. Por ejemplo: Se lee “el valor absoluto de ‐15 es igual a 15”. En general, se puede decir que “el valor absoluto de un número es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo”. En una recta numérica es la distancia entre el número y el cero. 2.2.3. Relaciones de orden Antecesor y Sucesor de un número entero El conjunto de los números enteros tiene una característica especial: cada uno de sus elementos tiene antecesor y sucesor. El antecesor de un número es el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él; el sucesor es el que está inmediatamente a su derecha. Por ejemplo: Relaciones Mayor que y Menor que Los números reales son un conjunto ordenado, es decir, hay números reales mayores o menores que otros. Un número real es menor que otro (<), si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor (>), cuando está a su derecha. Ejemplo 1. Observa la siguiente recta numérica: En este caso, el número ‐7 es el menor de todos porque está más a la izquierda, mientras que el 6 es el mayor de todos porque es el que está más a la derecha. Así − 7 < −1 < 3 < 6
pues: 14 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 6 Realiza lo que se te pide. 1. Identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números colocando la letra que le corresponda (N: naturales, Z+ : enteros positivos, Z– : enteros negativos, Q : racionales, I: irracionales, R: reales). Si un número pertenece a más de un conjunto, indícalos. 3
a) El es ________________ b) El ‐125 es __________________ −
5
2. Indica el valor absoluto de las siguientes cantidades: 1
a) − 28
b) −
9
3. Encuentra el opuesto o simétrico, el antecesor y el sucesor de los siguientes números: a) ‐36 b) 81 4. Establece la relación correcta entre los siguientes pares de números utilizando los símbolos > y <. a) 8 _______ ‐4 b) 0 _________ 7 ∈ ∉
5. Utiliza los símbolos y para indicar lo que se pide. a) ‐6 _______ Z+ b) 3.14 _______ Q Práctica 7 1. Ordena de menor a mayor los siguientes números: a) {5, − 8, 35, 18, − 41, 85, 22, − 58
} b) {− 58, − 25, 11, − 10, 0, 12, 1, − 5}
2. Escribe el opuesto, el valor absoluto, el antecesor y el sucesor de cada uno de los siguientes números: a) ‐4 b) 18 c) 0 d) ‐25 15 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones Es el cociente de dos números o dos cantidades que tienen las mismas unidades. Con ellas se pueden comparar cantidades numéricas. Existen tres formas de escribir una razón: 1) Como fracción, donde el numerador se llama antecedente y el denominador consecuente. 2) Como dos números separados por la letra “a”. 3) Como dos números separados por dos puntos. Ejemplo: representa las cantidades de las tres formas que existen para escribir una fracción. 2.2.1. Tasas Es un cociente de dos cantidades con distintas unidades. Se escribe como fracción. Ejemplo: en la etiqueta de una lata de pintura se lee “Cobertura: Un cuarto cubre 200 pies cuadrados”. Escribe lo anterior como una tasa. 1 cuarto
200 pies cuadrados
Cuando escribas una tasa siempre incluye las unidades de las mediciones. 2.2.2. Proporciones Es una afirmación de la igualdad de dos razones o tasas y se expresa matemáticamente como: donde “b” y “d” deben ser distintos de cero. A los términos “a” y “d” se les llama extremos y a los términos “b” y “c” se les nombra medios. Ejemplo: un sastre compró 5 metros de tela y pagó por ella $25. Si necesita 8 metros de la misma tela, ¿cuánto deberá pagar? Aplicando el concepto de proporciones: 5 m = 8 m
$25
x
A esta expresión generalmente se le llama regla de tres simple y para resolverla se emplea un procedimiento sencillo, ya que se multiplican los datos que se conocen como medios y se divide entre el dato extremo que se conoce: 25 × 8
x
=
= 40
5
16 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Realizando las operaciones, el sastre deberá pagar $40 por los 8 metros de tela que le faltan. Propiedad fundamental de las proporciones. En cualquier proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Con esta propiedad se puede comprobar si dos razones dadas son una proporción o no. A esto se le llama productos cruzados: Variación directa. Cuando dos variables x, y están relacionadas de tal manera que la y
razón no cambia; es decir, es igual a una constante, entonces se dice que y varía x
directamente con x. Lo anterior se expresa matemáticamente como: y
y varía directamente con x, significa que = constante = k x
donde k se llama constante de proporcionalidad y debe ser diferente de cero. Dicho lo anterior, si despejas y, entonces y = kx también representa una variación directa. “En una variación directa si una de las magnitudes aumenta, la otra también”. Ejemplo: José quiere repartir de forma directamente proporcional a la edad de sus hijos, la cantidad de $15,000. Sus hijos Carlos, Juana y Mario tienen 15, 12 y 10 años respectivamente. Primero, debes expresar las variaciones en forma de proporción: x
y
z
=
= ;
x + y + z = 15,000
10 12 15
x+ y+z
cantidad
Utilizando una regla de tres: =
10 + 12 + 15
edad
15000(10)
x+ y+z x
A Mario le corresponde: =
⎯
⎯→ x =
= 4054.05
37
10
37
15000(12)
x+ y+z y
A Juana le toca: =
⎯
⎯→ y =
= 4864.86
37
12
37
15000(15)
x+ y+z z
=
⎯
⎯→ z =
= 6081.08
37
15
37
A Carlos le corresponde: 17 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Variaación inverrsa. Tiene como c
caraccterística prrincipal quee si una de las magnittudes relaccionadas aumenta, la otra disminuye; y y si disminuye, la otra aum
menta. Mateemáticamen
nte se dice que las dos cantidade
es son inverrsamente p
proporcionaales o tieneen una variaación inverssa si: dond
de . proporcionaalmente con otra, ento
onces k = xy Si una maggnitud varíaa inversa y p
la primera es igu
ual al produ
ucto de una constante por el recíp
proco de la ssegunda. Variaación comp
puesta. Un problema ees de propo
orcionalidad
d compuestta si interviienen tres o más magnitudes.
m
Al intervvenir más de dos magnitudes
m
s las relacciones porcionales dos a dos d
de las magn
nitudes pue
eden ser disstintas, es d
decir, si tenemos prop
las magnitudes m
A, B, y C, la relación
n proporcio
onal entre A A y B pued
de ser directa o inverrsa y entre B y C pued
de ocurrir lo
o mismo, dicho de otrra manera, se presentaa una comb
binación dee proporcion
nes directass e inversas. Combinación de
e dos propo
orciones dirrectas Ejem
mplo: cuatro
o costurerass producen en 10 días 320 vestido
os. ¿Cuánto
os vestidos sserán producidos por 10 costurerras en 16 díías? Coloccando los d
datos en unaa tabla: o anterior como propo
orción: Reprresentado lo
x=
3220(10)
4
Desp
pejando x dee las magnitudes A y B: x = 800
La prroducción d
de 10 costurreras en 10 días es de 8
800 vestido
os. 10
8
Sustiituyendo x==800 en las magnitudess B y C: 800
=
x
16
800(16)
x=
x = 1280
Desp
pejando nueevamente xx: 100
La prroducción ees de 1,280 piezas en 16 días por 1
10 costureraas. 18 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 8: Resuelve matemáticamente y contesta lo que se te pide. 1) Un vehículo recorre 305 kilómetros con 30 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorre con un litro de gasolina? 2) Si en la construcción de una calle se emplearon 10 obreros y se terminó en 20 días, ¿en cuántos días hubieran realizado 40 obreros la misma construcción? 3) Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 130 pesos. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo? Resuelve el siguiente problema algebraico. 4) La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 146 años. El padre es 4 años mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 21 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? 19 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 3 Los temas a revisar el día de hoy son: 3. Sucesiones y sumas numéricas 3.1 Sucesiones 3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas 3.2.2. Series aritméticas 3. Sumas y sucesiones numéricas 3.1. Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números reales escritos en un orden específico, de tal manera que sea claro saber cuál es el primer término, el segundo y todos los términos sucesivos mediante una fórmula que permite obtener cualquiera de ellos. La notación de una sucesión es {a1 , a2 , a3 , L , an ,L}
donde el subíndice indica el lugar del término de la sucesión: a1 es el primer término a2 es el segundo término a3 es el tercer término es el n‐ésimo término. El valor de n debe ser un número natural, es an decir: 1, 2, 3, 4, etc. El término n‐ésimo o término general de una sucesión, es el término que ocupa el lugar “n” y generalmente se expresa mediante una fórmula. Las sucesiones se clasifican de la siguiente manera: • Sucesiones convergentes: son las que tienen límite porque son finitas o contables. {a , a , a , L , a }
1
2
3
n
• Sucesiones divergentes: son las que no tienen límite finito, es decir, no se sabe donde terminan. {a1 , a2 , a3 , L , an ,L}
Ejemplo: clasifica las siguientes sucesiones como convergentes o divergentes. •
a) Los números pares. Sucesión divergente •
b) Los años en los que se han jugado los mundiales de fútbol hasta hoy. Sucesión convergente 20 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 9 Completa las siguientes sucesiones: 3, 6, 9, 12, 15, _____ , 21, 24, ______ , 30, 1, 3, ______ , 7, 9, 11,_____ , 15, 17,_____ , 21, 3, 5, 7,_____, 11, 13, _____ , 17, 19, Analiza las siguientes sucesiones Ejemplo: obtén la fórmula para calcular el n‐ésimo término de las siguientes sucesiones y utilízala para calcular el término a50 y a100. 1 1 1
a) b) 1, 4, 9 , 16, L c) 1 , 2 , 3 , 4 , L
1, , , , L
3, 5 7 9
2 3 4
Para encontrar la fórmula de cada sucesión primero es necesario saber que se está representando: a) Los números en los denominadores representan al conjunto de los números naturales. b) Cada número es el cuadrado del conjunto de los números naturales. c) Los numeradores representan el conjunto de los números naturales, los denominadores representan los números impares iniciando en 3. De acuerdo a lo anterior, trata de obtener la fórmula (recuerda que los valores que puede tomar “n” son los números naturales, es decir, n = 1, 2, 3, 4, …) 1
n
a) an =
b) an =
n 2 c) an =
n
2n + 1
21 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Los términos a50 y a100 para cada sucesión son: a) b) 1
a50 = 50 2 = 2500 =
a
50
50
a100 = 100 2 = 10,000
1
a100 = 100
50
50
c) a50 = 2(50) + 1 = 101
100
100
a100 =
=
2(100) + 1 201
Práctica 10 Obtén la fórmula para calcular el n‐ésimo término de las siguientes sucesiones y utilízala para calcular el término a23 y a68. 9 16 25 36
a) 1 2 3 4
b) 4, , , , , L
, , , ,L
2 3 4 5
2 3 4 5
3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas Una sucesión aritmética es una sucesión de números en la cual la diferencia entre dos términos sucesivos, a excepción del primero, es constante y se le nombra diferencia común (que puede ser positiva o negativa). A una sucesión aritmética también se le conoce como progresión aritmética. Cuando se desea encontrar el valor de un término cualquiera an de una sucesión aritmética, es necesario sumar (o restar) el valor constante. La fórmula del término general está dada por: an = a1 + d (n − 1)
donde: an = término n‐ésimo de la sucesión a1 = primer término de la sucesión d = diferencia común entre término y término n = número de términos que se pide encontrar A partir de la fórmula anterior se pueden encontrar los valores de a1, d y n. Para encontrar el primer término: a1 = an − d (n − 1)
an − a1
Para encontrar la diferencia común: d =
n −1
a −a
Para encontrar el número de términos que tiene la sucesión: n = n 1 + 1
d
22 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Ejem
mplo: encuentra el valo
or del términ
no 30 de la siguiente su
ucesión: Los d
datos abajo son una su
ucesión aritm
mética, y paara encontrrar el siguien
nte término
o sólo sabes que: 4, 6, 8, 10, 12, L
n = 3
30 a1 = 4 pero no tienes eel valor de ““d”. Para ello, necesitaas obtener la diferenciaa entre cadaa uno de lo
os términos (o algo más simple: al segundo té
érmino réstale el primeero) entoncces, d = 2. an = a1 + d (n − 1)
Ahorra sí, sustitu
uye en la fórrmula los daatos: El nú
úmero que sse encuentrra en el térm
mino 30 a = 4 + 2(30 − 1) = 62
2
30
de laa sucesión ees 62. 3.2.2
2. Series aritméticas Mateemáticamen
nte habland
do, una serie es la sum
ma de los téérminos de una sucesió
ón. Si nos rreferimos a una serie aaritmética, es la suma de todos lo
os términoss pertenecientes a unaa progresión aritméticaa. La su
uma de los ttérminos dee una serie aaritmética ffinita, es igu
ual a la semisuma de lo
os extreemos por el número dee términos; es decir: n(a1 + an )
Sn =
2
dond
de: Sn = ssuma de loss términos d
de una suceesión aritmé
ética n = número dee términos d
de la sucesió
ón a1 = primer térm
mino de la ssucesión an = n‐ésimo téérmino de laa sucesión mplo: encuentra la seriee de la siguiiente sucesión aritmética. Ejem
3 17 19 21 233
, , , ,
2 10 10 10 100
Lo prrimero que debes haceer es identiificar los tre
es valores q
que necesitaas sustituir en la fórm
mula: 233
a1 = 3
an =
n= 5
2 100
⎛ 15 23 ⎞
⎛ 38 ⎞
⎛ 19 ⎞
5⎜ + ⎟ 5⎜ ⎟ 5⎜ ⎟
n(a1 + an )
Sustiituyendo en
n la fórmulaa: Sn =
10 10 ⎠
10
5
S5 = ⎝
= ⎝ ⎠= ⎝ ⎠
2
2
2
2
⎛ 3 23 ⎞
19
5⎜ + ⎟
=
S
5
2 10 ⎠
2
S5 = ⎝
2
5 términos d
de esta proggresión aritmética es 1
19/2. La seerie de los 5
23 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 11 En las siguientes progresiones o sucesiones aritméticas encuentra lo que se te pide. a) El 8º término de: 2 , 19 , 28 , L
3 15 15
3
49
2
b) La cantidad de términos de la sucesión si se sabe que: a1 = , an = , d =
5
15
3
c) La diferencia común si a1 = 10, an = − 227, n = 80
d) El primer término si d = −7, an = − 27, n = 1
e) ¿Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena tantas veces como cada hora que marca? Práctica 12 Contesta lo que se te pide. El último graderío de un gimnasio tiene capacidad para 1,000 aficionados; el penúltimo, para 930; el antepenúltimo para 860, y así sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderíos, ¿cuál es su capacidad total? 24 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 4 Los temas a revisar el día de hoy son: 3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética 3.3. Sucesiones y series geométricas 3.3.1. Sucesiones geométricas 3.3.2. Series geométricas 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica 3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética La característica principal de una progresión aritmética es que el valor de an depende directamente del que pueda tener la diferencia común “d”. Gráficamente, representa una recta cuya inclinación está en función del valor de “d”. La siguiente tabla muestra los primeros siete términos de tres progresiones aritméticas obtenidas a partir de tres valores diferentes de “d”, la diferencia común entre dos términos. Grafica las tres series en un plano cartesiano, tomando en cuenta que los pares ordenados serán (n,d), es decir, en el eje “x” va el número de términos de la sucesión (n), y en el eje “y” los términos de la sucesión (an), para los diferentes valores de “d”. 25 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Obseerva qué sucede con laa inclinación
n de las recctas para loss diferentess valores de
e “d”. Cuan
ndo la diferencia com
mún “d” es positiva, la progresió
ón aritmética es crecciente (com
mo en estee ejemplo), mientrass que si “d” “
es neggativa, la progresión será decreeciente. 3.3. Sucesioness y series ge
eométricas
3.3.1. Suce
esiones geo
ométricas Una sucesión geométrica g
es una succesión de números n
do
onde el cocciente entre
e dos térm
minos sucesivos es consstante y se le nombra rrazón comú
ún. A una sucesión ggeométricaa también see le conoce como proggresión geométrica. Cuan
ndo se desea encontrrar el valorr de un térrmino cualq
quiera an d
de una succesión geom
métrica, es necesario dividir (o multiplicar) el valor constante. La fórmulaa del térm
mino generaal está dada por: a = a r n −1
1
n
dond
de: an = ttérmino n‐éésimo de la sucesión. a1 = p
primer térm
mino de la sucesión. r = rrazón comú
ún entre térrmino y térm
mino. n = n
número de términos que se pide eencontrar.
26 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Ejemplo. Indica por qué la siguiente sucesión es una progresión geométrica. 3, 12, 48, 192, L
Observa que todos los términos (excepto el primero), se obtiene a partir del número 4; si divides el segundo término entre 4, obtienes el primer término; si divides el tercer término entre la misma razón, obtienes el segundo término, y así sucesivamente. Entonces, la sucesión es una progresión geométrica debido a que sus elementos se obtienen mediante una razón común que es r = 4. En general, para determinar la razón común de una sucesión geométrica, se divide un término entre el término antecedente. Lo anterior se representa algebraicamente como: a
r= n
an −1
Práctica 13 Realiza lo que se te pide. La tabla siguiente muestra el registro de un corredor que se prepara para una competencia. Complétala y traza su gráfica, considera que los datos tienen un comportamiento aritmético. Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Kilómetros 7.5 10 recorridos Considera los números 5 y 320. Encuentra dos medios geométricos. Importante: dos medios geométricos tienen como característica que se encuentran precisamente a cierta distancia, la cual es determinada por la multiplicación de una constante por los elementos antecedentes y sirve para encontrar los consecuentes, de manera que se tiene una progresión en la que se conocen el primero y el cuarto de los elementos. 5, ? , ? , 320 Práctica 14 Resuelve lo que se te pide. 1. Grafica los primeros 10 términos de la siguiente sucesión 2, 7, 12, 17, 22, L
Si el décimo término de una progresión geométrica es 118,098 y la razón común es 3, ¿cuál es el primer término de la progresión? 27 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
3.3.2. Series geométricas Una serie geométrica, es la suma de todos los términos pertenecientes a una progresión geométrica. La suma de los términos de una serie geométrica finita se obtiene por: a1 (1 − r n )
=
S
n
1− r
donde: Sn = suma de los términos de una sucesión aritmética. n = número de términos de la sucesión. a1 = primer término de la sucesión. r = razón común entre término y término. Ejemplo. Si los términos de una progresión son 3, 18, 108, 648, 3888, …, y el valor de la razón común es r = 6, la serie geométrica hasta el cuarto elemento es: a (1 − r 4 ) 3(1 − 6 4 ) 3(1 − 1296) 3(−1295) − 3885
=
=
=
=
S4 = 1
= 777
−5
−5
1− r
1− 6
−5
Práctica 15 La señora Luisa pidió un presupuesto para reparar ocho joyas. El encargado de la joyería le dice que le cobrará $6 por la primera joya, y por cada pieza sucesiva lo triple de la anterior. ¿Cuánto tendrá que pagar la señora Luisa al joyero? Al deducir la información para averiguar lo que le cobrarán a la señora Luisa, sólo sabes que: a1 = 6 (lo que cobra por reparar la primera pieza) n = 8 (número de piezas que se van a reparar) r = 3 (la razón común que cobrará por cada pieza subsiguiente) a8 = ? (lo que costará reparar la última pieza) 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica La característica principal de una progresión geométrica es que el valor de an depende directamente del valor que pueda tener la razón común “r”. Gráficamente, esto se representa mediante una curva exponencial cuyo crecimiento está en función del valor de “r”. Ejemplo. La siguiente tabla muestra los primeros cinco términos de tres progresiones geométricas obtenidas a partir de tres valores diferentes de “r”, la razón común entre dos términos. 28 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sucesiones Geométricas con diferentes tamaños de “r” 550
500
450
400
350
300
r=2
250
r=3
200
r=4
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
Observa que sucede con la curvatura de las sucesiones para los diferentes valores de “r”. Cuando la razón común “r” es positiva, la progresión geométrica es creciente (como en este ejemplo), mientras que si “r” es negativa, la progresión será decreciente. Práctica 16 Realiza lo que se te pide. Una empresa tiene un crecimiento geométrico a razón del triple por año. Si inició con un capital de 200 millones de pesos, ¿cuánto habrá crecido y cuál será su capital total en diez años? 29 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Práctica 17 Plantea y resuelve la ecuación del siguiente enunciado. Antonio tiene 7 años, su hermano Roberto 14 y su padre 40. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? 30 Universidad CNCI de México Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Semana 2 Sesión 5 Los temas a revisar el día de hoy son: 4. Conceptos algebraicos importantes 4.1. Términos semejantes 4.2. Potencias 4.3. Leyes de los exponentes 5. Operaciones con monomios y polinomios 5.1. Suma de polinomios 5.2. Resta de polinomios 5.3. Multiplicación de polinomios 5.3.1. Monomio por monomio 5.3.2. Monomio por polinomio 5.3.3. Polinomio por polinomio 4. Conceptos algebraicos importantes 3
5, − 33, − , 20 , L
Coeficiente. Es cualquier cantidad numérica: 8
Literal. Es cualquier letra minúscula que represente una cantidad desconocida: a, b, x, y, z , L
Exponente. Es la potencia a la que se eleva el término. Término. Es la expresión algebraica que presenta cuatro elementos: signo, coeficiente, literal y exponente. Un ejemplo de un término es: donde el signo sólo puede ser positivo (+) o negativo (‐). Cuando no aparece el signo en un término algebraico, automáticamente se considera de signo positivo. Si no se especifica el coeficiente o el exponente de un término, se le asigna el valor de 1. Un monomio es un sólo término y en él no aparecen ni la adición ni la sustracción. Un binomio es una expresión algebraica compuesta de dos términos, un trinomio se compone de tres términos, y un polinomio es formado por dos o más términos. En resumen, un polinomio recibe su nombre a partir del número de términos que tiene: 31 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
4.1. Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas literales, elevadas a los mismos exponentes. Aquí, los signos y los coeficientes pueden ser diferentes. Ejemplo. Indica si los términos son semejantes: Términos semejantes porque la literal y el exponente son iguales. 3b y b
No son términos semejantes porque aunque las literales son iguales, éstas NO tienen el mismo 2
4ab y − 6a b
exponente. No son términos semejantes porque aunque las literales son iguales, éstas NO tienen el mismo − 3 x 2 y 3 y 5 x 3 y 2
exponente. Términos semejantes porque las literales y los − 23 x 3 y 2 y 9 x 3 y 2
exponentes son iguales. Términos semejantes porque la literal y el x −5
x −5
y exponente son iguales. k
7k
No son términos semejantes porque aunque los 4cz
4cs
y exponentes son iguales, las literales no son las mismas. 32 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
4.2. Potencias A la eexpresión aan se le cono
oce como potencia de un número
o o expresió
ón exponenccial, en do
onde “a” ess la base y ““n” es el exp
ponente. Laa potencia d
de un númeero es igual al prod
ducto de la b
base multip
plicada por ssí misma “n
n” cantidad de veces. nte: Mateemáticamen
Ejem
mplo: Resuelve las siguiientes expreesiones: a) 3
4 3 4 ⋅ 4 ⋅ 4 64
=
⎜ ⎟ = 3=
7 ⋅ 7 ⋅ 7 34
43
⎝7⎠ 7
b) ⎛ 4 ⎞
Al resultado de una multiplicación se lle llama pro
oducto, y a las cantidad
des que multiplicas se lees llama facttores. Prácctica 18 Realiiza las siguieentes poten
ncias: 7
5
1
⎞
⎛
−4)
a) (−
b) ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
os exponentes 4.3. Leyes de lo
m
ón de dos cantidades de d la misma base, es igual a tom
mar la 1era. Ley. La multiplicació
mism
ma base y su
umar los exponentes: a m ⋅ a n = a m + n
2da. Ley. La divvisión de do
os cantidad
des de la misma m
base, es igual a tomar la misma m
m
base y restar lo
os exponenttes: a
= a m−n
n
a
3era. Ley. Si la m
multiplicación de dos o
o más cantidades cualeesquiera esttá elevada a una potencia, todos los factores toman el mismo expo
onente: m
m
a ⋅ b = a bm
(
33 Universsidad CNCI dde México )
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
4ta. Ley. Si la división de dos cantidades cualesquiera está elevada a una potencia, tanto el numerador como el denominador toman el mismo exponente: m
a⎞
am
⎛
⎜ ⎟ = m
b
⎝b⎠
5ta. Ley. Si una potencia se eleva a otra potencia, se toma la misma base y se multiplican los exponentes: n
a m = a m ⋅n
6ta. Ley. Toda expresión con exponente negativo, es igual a su recíproco: 1
−m
a
=
am
0
7ma. Ley. Toda cantidad elevada a la potencia cero, es igual a 1: a
=1
8va. Ley. Un número elevado a una potencia fraccionaria es igual a la raíz de ese número: nm
m n
a
=
a
Ejemplo. Aplica las leyes de los exponentes a los siguientes ejercicios: 68
2
6
2+ 6
8
5
⋅
5
=
5
=
5
a) Ley 1: b) Ley 2: = 68 − 3 = 6 5
3
6
3
5 ⎞ 53
4
⎛
4 4
c) Ley 3: 5 ⋅ 6 = 5 6
d) Ley 4: ⎜ ⎟ = 3
⎝7⎠ 7
1 1
4
−2
e)Ley 5: f) Ley 6: 3 = 2 =
32 = 32×4 = 38 3
9
43
4
3
g) Ley 7: 157 0 = 1
h) Ley 8: 45 = 45
( )
(
)
( )
Práctica 19 Simplifica las siguientes expresiones utilizando las reglas de los exponentes: a) b) a 3b + 2 c
x 4 g −5 f ⋅ x −5 g +5 f
a 2 b −5 c
34 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
5. Operacioness con monomios y polinomios 5.1
1. Suma de polinomioss Para realizar operaciones
o
s entre po
olinomios es e necesario que los términos sean semeejantes. Si deeseas realizar una adicción de polinomios, de
ebes sumarr los coeficientes, mie
entras que llas literales se mantien
nen con sus exponente
es. Ejem
mplo. Suma los polinom
mios 6 x 3 − 9 x + 5 x 2 − 10
1 y 8 x 3 − 7 x 2 − 5 + 5 x
Lo prrimero que debes haceer es identifficar los térm
minos semeejantes en ccada polinomio y acom
modarlos dee tal maneraa que se puedan sumar: Lo prrimero que debes haceer es identifficar los térm
minos semeejantes en ccada polinomio y acom
modarlos dee tal maneraa que se puedan sumar: Se suman los coeeficientes d
de acuerd
do con el siggno que tiene cada térm
mino. Prácctica 20 Sumaa los polino
omios − 5 y − 7 yy 5 y − 9
12
2
15
9
10
uerda que para sumaar o restarr fraccioness con diferente deno
ominador debes d
Recu
obtener un com
mún denominador y desspués tratar de simplifficar: a c ad ± bc
± =
b d
bd
5.2. Resta de polinomios ntre dos o más m polinomios es necesario mu
ultiplicar el signo Para resolver una resta en
negaativo (‐) por la totalidad
d de términos que se vayan a restar. − 8 + 6 z 2 + 4 z
3 z 2 + 6 de − 5z
Ejem
mplo. Resta Al nú
úmero que le vas a resstar se llamaa minuendo
o, mientras que el núm
mero que se
e va a restaar es el susttraendo, de manera qu
ue la resta se expresa d
de la siguien
nte forma: Al nú
úmero que le vas a resstar se llamaa minuendo
o, mientras que el núm
mero que se
e va a restaar es el susttraendo, de manera qu
ue la resta se expresa d
de la siguien
nte forma: 35 Universsidad CNCI dde México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Obseerva cómo eel sustraend
do se colocaa entre paré
éntesis paraa indicar la resta; este signo se multiplica po
or cada uno de los térm
minos para e
efectuar la rresta: Prácctica 21 3
5
1
A res
tar − x +
x −9
4
6
6
Realiiza las siguieentes operaaciones básicas. a) 8a 2 − 3a − 1 + − 5a 2 − 9a + 4
b) − 12b 4 − 10b 2 − 15b − 6b 4 + 15
1 b 2 + 13b
5.3. Multiplicacción de poliinomios En laa multiplicacción de expresiones alggebraicas puedes obseervar tres caasos: 1 Monomiio por mono
1.
omio 2 Monomiio por polinomio 2.
3 Polinomio por polin
3.
nomio 5.3.1. Mono
omio por mo
onomio Para mulltiplicar do
os monomios es nece
esario que utilices laas leyes de los m
expo
onentes parrticularmen
nte la 1era. Ley: a ⋅ a n = a m + n
Ejem
mplo 1. Resu
uelve los sigguientes pro
oductos. a) − 8 x 5 y 8 6 xy −6
En esste caso loss coeficienttes se multiplican y se suman los exponentees de las lite
erales que sson iguales: − 8 x 5 y 8 6 xy −6 = −48 x 5+1 y 8−6 = −48 x 6 y 2
(
) (
(
(
)
) (
)(
)
(
)(
36 Universsidad CNCI dde México )
)
Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
5.3.2
2. Monomio por polinomio En el producto de un monomio por u
un polinomiio se multip
plica el mon
nomio por ttodos de los exponentes en laas literales. los téérminos del polinomio y se aplican las leyes d
5 6
4 −6
3 5
−2 4
3
−4
Ejem
mplo. Realizza la siguien
nte multipliccación: 2x y 3 x y − 2 x y + 6 x y − 8 xy − y
Multtiplica el mo
onomio porr cada uno d
de los 5 términos del p
polinomio. EEs necesario
o que respeetes las leyees de los exxponentes een las sumass de las literrales iguales. (
)(
El ressultado del producto d
del monomio por el polinomio es:
6x 9 − 4 x 8 y11 + 12x 3 y10 − 16xx 6 y 9
− 2xx 5 y 2
Prácctica 22 Realiiza la siguiente multiplicación: a) (5a b c )(4a b)
−3
2 8
5
4
b) M
Multiplica por m5
m4
6
3
5.3.3
3. Polinomiio por polin
nomio Para multiplicarr un polinom
mio por otro
o polinomio
o es necesarrio que cadaa uno de loss térm
minos del priimer polino
omio se multiplique por los términ
nos del otro. Si existen térm
minos semejantes, habrrá que reducirlos. Ejem
mplo. Multip
plicar 6 x − 5 por 5x 2 − 7 x + 8
Aquí es necesaario que reealices tress pasos para obtenerr el produccto; primerro se requiere que m
multipliques 6x por cad
da uno de lo
os términoss del segun
ndo polinom
mio; a continuación haarás lo mism
mo con ‐5, yy por último
o reducirás los términoss semejante
es. 37 Universsidad CNCI dde México )
Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Otra forma de resolver la o
operación an
nterior es u
utilizando un
n arreglo co
omo el siguiiente, orma que accomodes los productoss obtenidoss con sus términos sem
mejantes parra de fo
podeer realizar laas sumas o restas algeb
braicas máss fácilmentee: Prácctica 23 Multtiplica 3 x 3 − 4 x 2 + 5 po
x + 4 or 2 x 3
+ 6x − 9
3
Multtiplica 3 x 5 + 5 x 4 − 2 x 2 − 4 x + 4 por 5 x − x + 2
mplifica los ssiguientes productos. Desaarrolla y sim
6 x5 y8 z 6 2 x3 z
a) 5
⎛2
⎞
− 12a 3b − 4 c − 2 ⎜ a −1c 4 − 5bc
b −4 + a −3b 4 ⎟
b) 9
⎝7
⎠
c) − 5 z 4 + 3z 2 − 9 − 2 z 3 − 4 z − 7
(
(
(
)(
)
)
)((
38 Universsidad CNCI dde México )
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 6 Los temas a revisar el día de hoy son: 6. Productos Notables 6.1. Binomios conjugados 6.2. Binomios con un término común 6.3. Binomios al cuadrado 7. Factorización 7.1. Factorización por factor común 7.1.1. Un monomio como factor común 7.1.2. Un polinomio como factor común 7.1.3. Factor común por agrupación 7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados 7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 6. Productos Notables Los productos notables son productos especiales cuyos resultados se obtienen sin llevar a cabo la multiplicación como lo viste anteriormente, sino que es posible obtener los resultados mediante el uso de algunas reglas simples. Estos productos se encuentran clasificados según su forma en: • Binomios conjugados • Binomios con un término común • Binomios al cuadrado 6.1. Binomios conjugados Es el producto de dos binomios cuyo primer término es idéntico al segundo, sólo que uno es positivo y el otro negativo; es decir, son dos binomios iguales con signos diferentes, los cuales tienen la forma algebraica siguiente: (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
“El primer término de cualquier paréntesis elevado al cuadrado, menos el segundo término de cualquier paréntesis elevado al cuadrado”. Ejemplo. Desarrolla el binomio 6 + a 6 − a
(
)(
)
(6 + a )(6 − a ) = 6 2 − a 2
= 36 − a 2
39 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 24 (
)(
a) Desarrolla el binomio 7 m − 4n 7 m + 4n
b) Resuelve el producto ⎛⎜ 12 x 4 y + 4 ⎞⎟⎛⎜ 12 x 4 y − 4 ⎞⎟
3 ⎠⎝ 5
3⎠
⎝5
3
2
3
2
)
6.2. Binomios con un término común El producto de binomios que contienen un término común tiene la siguiente forma algebraica: ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b) x + ab
“El cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más el producto algebraico de los términos no comunes”. Ejemplo: desarrolla el binomio m + 9 m − 2
(
)(
)
(m + 9)(m − 2) = m 2 + (9 − 2)m + (9)(−2)
= m 2 + 7 m − 18
Práctica 25 a) Resuelve el producto (5w
8
)
⎛ 73
⎞⎛ 73 3 ⎞
b) Desarrolla el binomio ⎜⎜ 4a + 6 ⎟⎟⎜⎜ 4a − ⎟⎟
5⎠
⎝
⎠⎝
40 Universidad CNCI de México )(
− 7 5 w8 − 3
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
6.3. Binomios al cuadrado Es una expresión algebraica que incluye un par de términos diferentes que están elevados al cuadrado. La fórmula que sirve para desarrollar este tipo de producto notable es: 2
a + b = a 2 + 2ab + b 2
“El cuadrado del primer término, más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”. 2
Ejemplo: desarrolla el binomio al cuadrado 3 y + 4
(
)
(
)
(3 y + 4)2 = (3 y )2 + 2(3 y )(4) + (4)2
= 9 y 2 + 24 y + 16
Práctica 26 (
)
5 2
a) Desarrolla el binomio 3m n − 5 p q
2
4 4 6 8⎞
⎛
b) Resuelve el binomio al cuadrado ⎜ a + b ⎟
5 ⎠
⎝ 9 7. Factorización Factorizar es el proceso inverso de multiplicar. Factorizar una expresión significa escribir una expresión equivalente expresada como la multiplicación de dos o más expresiones. Ejemplo. El procedimiento de factorizar se puede ilustrar mediante la siguiente tabla comparativa: 2
41 Universidad CNCI de México 3
3
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Existen muchas maneras de factorizar 12a2, cada una de ellas se llama factorización de 12a2. Los procedimientos principales de factorización son 3: • Factor común • Diferencia de cuadrados • Trinomio cuadrado perfecto 7.1. Factorización por factor común ¿Te acuerdas cómo se multiplica un monomio por un polinomio? El monomio multiplica a todos los términos del polinomio y se aplican las leyes de los exponentes en las literales, por ejemplo: 5m 3 2n 2 − 3m 2 n + 4 = 10m 3 n 2 − 15m 5 n + 20m 3
Factorizar es aplicar el producto inverso y se dice que estás sacando factor común. Su nombre lo dice, es el factor que está en todos los términos (en este caso el 5m3): (
)
(
)
10m n − 15m n + 20m = 5m 2n − 3m n + 4
Los polinomios que tienen factor común pueden tener alguna de las siguientes características, o ambas: sus términos son divisibles en un número común y/o cuentan con una letra presente en cada uno de los términos del polinomio. Existen tres casos de factorización por factor común: 1. Un monomio como factor común. 2. Un polinomio como factor común. 3. Factor común por agrupación. 3
2
5
3
3
2
2
7.1.1. Un monomio como factor común Un factor común de este tipo es un monomio que está presente en cada término del polinomio que se va a factorizar. Ejemplo: factoriza el polinomio 18 x 2
− 45 x + 27
Los coeficientes de este polinomio son 18, ‐45 y 27. Busca el número más grande que divida a los tres, en este caso el nueve, por lo que el primer paso para factorizar es 2
poner el nueve a la izquierda de un paréntesis: (
)
18 x − 45 x + 27 = 9
42 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
A continuación, dentro del paréntesis coloca números y literales que, al ser multiplicados por el factor común 9, den por resultado el polinomio que deseas factorizar: 18 x 2 − 45 x + 27 = 9 2 x 2 − 5 x + 3
(
)
Ejemplo: encuentra el factor común del polinomio 6 x y − 9 xy + 3 xy
2
2
Los coeficientes del polinomio son 6, ‐9 y 3, y su factor común es 3; es decir, es la cantidad más grande que puede dividir exactamente a los tres. En las literales, el factor común es “x” “y” debido a que son las letras que se repiten en cada término y que a la vez tienen el menor exponente. Por lo tanto: 6 x 2 y − 9 xy 2 + 3 xy = 3 xy (2 x − 3 y + 1)
Práctica 27 a) Factoriza 4 x y − 12 x y + 8 x y
4 6 2
5 5 6
b) Factoriza el polinomio 5a b c + 15a b c
2
10
4
6
8
5
− 20a 6b 4 + 35a 7 b 3c 8
7.1.2. Un polinomio como factor común Un factor común de este tipo es un polinomio que aparece en cada término de la expresión que se va a factorizar. Ejemplo: factoriza xn
(a + b ) + ym(a + b )
El factor común en los dos términos de esta expresión algebraica es (a+b): xn (a + b ) + ym (a + b ) = (a + b )(xn + ym ) Ejemplo: factoriza 2a (m − 2n ) − b (m − 2n ) El factor común es (m‐2n): 2 a (m − 2 n ) − b (m − 2 n ) = (m − 2 n )(2 a − b ) 7.1.3. Factor común por agrupación En este tipo de factorización se intenta extraer un doble factor común. Ejemplo: factoriza ax + ay + bx + by
En este polinomio, “a” es factor común de los dos primeros términos, y “b” es factor común de los últimos dos términos, por lo que puedes escribir: ax + ay + bx + by = a( x + y ) + b( x + y )
43 Universidad CNCI de México Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
En esta última expresión matemática (x+y) es factor común de “a” y “b” por lo que la factorización final es: ax + ay + bx + by = x + y a + b
(
)(
)
7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados Recuerda que al multiplicar dos binomios conjugados obtienes una diferencia de cuadrados: a + b a − b = a 2 − b 2
Pero ahora conoces la diferencia de cuadrados y deseas factorizar, es decir, quieres obtener los binomios conjugados. Para que un binomio sea la diferencia de cuadrados, se deben cumplir tres condiciones: 1. Debe tener dos términos. 2. Debe haber un signo negativo entre los dos términos. 3. Que se pueda obtener la raíz cuadrada exacta de ambos términos. Los pasos que debes realizar para factorizar una diferencia de cuadrados son: 1. Escribe dos paréntesis: ( )( ). 2. En el centro de uno de los paréntesis pon el signo positivo, y en el centro del otro, pon el signo negativo, de manera que separen a los dos términos de cada binomio conjugado: ( + )( ‐ ). 3. Obtén la raíz cuadrada del primer término y anótalo dentro de los paréntesis: (a + )(a ‐ ). 4. Obtén la raíz cuadrada del segundo término y anótalo dentro de los paréntesis: (a + b)(a ‐ b). Ejemplo: factoriza la siguiente diferencia de cuadrados 9 x 2 − 4b 2
(
)(
)
(
(
+
9 x 2 = 3x
⎯
⎯→
4b 2 = 2b
⎯
⎯→
)(
)
)( − )
(3x + )(3x − )
(3x + 2b )(3x − 2b )
Práctica 28 a) Factoriza la diferencia de cuadrados 81m − 64n
b) Factoriza 16 p 2 − 25 p 4
8
44 Universidad CNCI de México 10
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Recuerda que un binomio al cuadrado te da el siguiente trinomio: 2
2
2
a
+
b
=
a
+
2
ab
+
b
Pero ahora conoces el trinomio y deseas factorizarlo; es decir, obtener un binomio al cuadrado. Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres condiciones: 1. Debe tener tres términos. 2. El primer término y el tercero deben tener raíz cuadrada exacta. 3. La doble multiplicación de la raíz del primer término por la raíz del tercer término, es el segundo término del trinomio original. Los pasos que debes realizar para factorizar un trinomio cuadrado perfecto son: 1. Escribe un paréntesis: ( ). 2. El signo que tendrá el binomio será el signo del segundo término del trinomio: ( ). ±
3. Obtén la raíz cuadrada del primer término y anótalo dentro de los paréntesis: (a ). ±
4. Obtén la raíz cuadrada del tercer término y anótalo dentro de los paréntesis: ±
(a b). 2
5. Eleva al cuadrado el binomio resultante: (a b)
. ±
2
Ejemplo 1: Factoriza el siguiente polinomio: p + 6 p + 9
+
p2 = p ⎯
⎯→ p +
9 =3 ⎯
⎯→ p + 3
2
p
+
3
(
)
(
)
(
(
(
)
Práctica 29 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. a) b) c) 6ac − 4ad − 9bc + 6bd + 15c 2 − 10cd
(a + 1)(a − 1) + (a − 1)(a 2 + 1)
(x + 1)2 − 16
64
45 Universidad CNCI de México )
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 7 Los temas a revisar el día de hoy son: 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c 8.2. Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c con a ≠ 0, 1 9. Factorización combinada 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Un trinomio de segundo grado es el resultado de multiplicar dos binomios con un término común. Hay que resaltar que este trinomio no es cuadrado perfecto, debido a que no cumple con la segunda condición (tener raíz cuadrada exacta el primer y el tercer término). Considera el producto de los siguientes binomios: 1
x + m x + n = x 2 + (m + n) x + mn
Si se definen “b” y “c” como: b = m+n
c = mn
Sustituyendo lo anterior en (1): ( x + m )( x + n ) = x 2 + bx + c
A partir de esto, y de manera inversa, se puede decir que es posible factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, de la siguiente manera: x 2 + bx + c = x + m x + n
Los pasos que debes realizar en esta factorización son: 1. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el primer término. 2. Busca dos factores que multiplicados den como resultado el tercer término. 3. Multiplica cruzado los factores de los pasos anteriores y súmalos algebraicamente para que den como resultado el segundo término. 4. Anota dentro de dos paréntesis los binomios resultantes. (
)(
()
)
(
46 Universidad CNCI de México )(
)
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Práctica 30 a) Factoriza y − y − 42
b) Factoriza n 2 − 3n − 10
2
47 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
8.2. FFactorizació
ón de un triinomio de lla forma axx2 + bx + c ccon a ≠ 0, 1 Un trrinomio de la forma axx2+bx+c, tiene como caaracterísticaa que el coeeficiente de
e x2 es diferrente de cerro y de uno, por lo tanto, su facto
orización es un poco más complejaa que la an
nterior, aunq
que se resuelve de la m
misma mane
era que el ttrinomio antterior. os que parra un Los pasos que debes reaalizar en essta factorizzación son los mismo
2
omio de segundo grado
o de la form
ma x + bx + c: trino
1 Busca do
1.
os factores que multipllicados den como resultado el prim
mer término. 2 Busca do
2.
os factores que multipllicados den como resultado el tercer término
o. 3 Multiplicca cruzado llos factoress de los paso
3.
os anteriorees y súmalo
os algebraiccamente paara que den
n como resu
ultado el seggundo térm
mino. Anotta dentro dee dos parén
ntesis los bin
nomios resu
ultantes. 9. Faactorización
n combinad
da Algunas expresiones algebrraicas que sson factorizables tienen, al mismo
o tiempo, do
os o más formas de ffactorizació
ón involucraadas. El pro
ocedimientto general p
para realizarr una factorrización com
mbinada es:: 1. Siempre em
S
pieza buscaando factor común. 2. Luego exam
L
ina el númeero de térm
minos: 3. Dos término
D
os: checa si es una diferencia de cu
uadrados. 4. Tres término
T
os: checa si es un trino
omio cuadraado perfecto
o, sino prue
eba c
con otro tipo
o de trinom
mios. Siem
mpre factorizza las vecess que sea neecesario hassta que ya n
no sea posib
ble factorizaar más. 48 Universsidad CNCI dde México Taller de Matemáticas I Ejemplo. Factoriza 6 x 2 − 24
Inicialmente la expresión algebraica tiene la forma de una diferencia de cuadrados, pero es obvio que ninguno de los dos términos tiene raíz exacta. El binomio tiene como factor común al número 6, por lo que: 6 x 2 − 24 = 6 x 2 − 4
En la expresión resultante es posible factorizar utilizando diferencias de cuadrados: 2
6
x
− 24 = 6 x + 2 x − 2
(
(
Práctica 31 a) Factoriza x 4 − 8 x 2 + 16
b) Factoriza 18m
n − 50m 3 n 5
5 3
49 Universidad CNCI de México )(
)
)
Semana 1 y 2
Taller de Matemáticas I Semana 1 y 2
Sesión 8 Los temas a revisar el día de hoy son: 10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales 11. División de polinomios 10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales Las expresiones algebraicas racionales están formadas por polinomios indicados como una división. Algunos ejemplos son: 1
x
3x 3 + 8 x 2 − 5 x − 6
, ,
4x2 + 6x −1
x2 − 6x + 8 4 x3 − 2 x 2 + 9 x − 1
Una expresión racional se denota con la expresión P( x) , Q(x) ≠ 0 Q ( x)
donde P(x) es el polinomio que está en el numerador y Q(x) es el polinomio que está en el denominador de la fracción. Para simplificar expresiones algebraicas racionales es necesario que utilices el principio fundamental de las fracciones que enuncia lo siguiente: Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una misma cantidad diferente de cero, el valor de la fracción no se altera. El principio te permite eliminar los factores comunes en el numerador y el denominador de una fracción dada: ak
a
= , siempre y cuando b, k ≠ 0 bk b
Una fracción está totalmente simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1 y ‐1. Al mismo tiempo, el principio te permite encontrar fracciones equivalentes multiplicando el mismo número al numerador y al denominador de una fracción; a ak
este proceso se le conoce como elevar una fracción, es decir: a
=
b bk
En el caso de que en una fracción el numerador y el denominador tengan algún factor común, puedes hacer uso de los diversos procedimientos para encontrar sus factores y simplificarla. 50 Universidad CNCI de México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
Ejem
mplo. Simplifica la fraccción 3 x 3 − 6 x 2 + 3 x
3x 2 − 3x
Para simplificarr la fracción
n, es posiblle factorizar el numerrador y el d
denominado
or de mpartan un factor com
mún: maneera que com
3x 3 − 6 x 2 + 3x 3x x 2 − 2 x + 1 x 2 − 2 x + 1
=
=
3x 2 − 3x
3 x( x − 1)
x −1
En laa fracción reesultante, eel numerador es un trinomio cuaadrado perffecto, por lo
o que pued
des factorizzarlo como
o la difereencia de dos d
términos al cuad
drado y uttilizar nuevvamente el principio fu
undamental de las fraccciones: 2
(x − 1)(x − 1) = x − 1
x 2 − 2 x + 1 ( x − 1)
=
=
(x − 1)
x −1
x −1
de m
manera que la simplificaación es: 3x 3 − 6 x 2 + 3x
= x −1
3x 2 − 3x
(
)
Prácctica 32 30 x 2 − 19 x − 5
a Simplificca la fracción a)
6 x 2 − 11
1 x+5
20b + 5
b Simplificca la fracción b)
4b 2 − 7b − 2
c Simplificca a 2 − 4ab + 4b 2
c)
2
2
a
−
4
b
División de polinomioss 11. D
La simplificació
s
ón de fraccciones no siempre puede reaalizarse po
or medio de d la facto
orización vista anterio
ormente, en algunas ocasiones esa reduccción tendráá que llevarse a cabo p
por medio d
de la divisió
ón directa de polinomio
os. Una división in
ndependientemente sii es de can
ntidades nu
uméricas o de polinomios, consta de un divisor d
(el que divide), dividendo (lo que se va a divvidir), cocciente (resu
ultado de la división) y residuo (ess la parte qu
ue sobra si la división n
no es enteraa). La división de po
olinomios respeta la siguiente serrie de pasoss: 51 Universsidad CNCI dde México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
1 Ordena los término
1.
os de ambos polinom
mios según las potencias (de mayor a menor o
o viceversa) de alguna d
de las literales comunees a los dos polinomioss. 2 Divide el 2.
e primer téérmino del dividendo entre e
el priimero del d
divisor, con
n esto obtendráás el primerr término del cociente. 3 Multiplicca el términ
3.
no del cocieente del passo anterior por el divissor y se restta del dividend
do, obtenién
ndose un nu
uevo dividendo. 4 Con lo o
4.
obtenido en el paso anterior se re
epiten las op
peraciones de los paso
os 2 y 3 hasta que obtengas un resiiduo igual a a cero o un
na expresió
ón algebraicca de grado menor que el del dividen
ndo. d
dividendo
residuo
o
El ressultado se eexpresa de la siguientee manera: = cocientee +
divisor
divisorr
2
Ejem
mplo. Dividee − 7 x + 6 x entr
− 19 re − 5 + 2 x
Primero ordenaa los términ
nos de amb
bos polinom
mios según
n las potenccias de mayor a menor: Primero ordenaa los términ
nos de amb
bos polinom
mios según
n las potenccias de mayor a menor: Ahorra sí, divide:: 52 Universsidad CNCI dde México Taller d
de Matem
máticas II Semana 1 y 2
El co
ociente de laa división es ; 3 x + 4 la división nno es exacta, debido a que se tienne un resid
duo en la op
peración. videndo
r
residuo
La fo
orma como debes expresar lo anteerior es: div
= cociente
c
+
d
divisor
divisor
6x 2 − 7 x − 19
1
= 3x + 4 +
2x − 5
2x − 5
Prácctica 33 m
a Determina el cocien
a)
nte y el residuo de la división 3m
2
4
3
− 2 entre 2 + y − 3 y
b Divide y + 2 y − 3 y + y b)
2
53 Universsidad CNCI dde México 3
− 8m 2 + 8
m−2