Download IESTec 2016 Matematica

2016
IESTec
Introducción a los
Estudios
Superiores
Técnicos
Índice
Presentación…………………………………………
3
Objetivos……………………………………………………………….
4
Desarrollo
Números Reales…………………….……………………….
5
Propiedades de los Números Reales…….……….………
7
Regla de Signos……………………..………………………
9
Potenciación………………………….………………………
9
Radicación……………………………………………………
10
Operaciones con Números Racionales……………….…..
12
Operaciones con Fracciones y Números Decimales..…..
13
Suma de Números Decimales…………………………..…
14
Resta de Números Decimales……………………….…….
14
Multiplicación de Números Decimales…………….………
15
División de Números Decimales……………………………
15
Operaciones Combinadas………………………………….
15
Ejercitación Propuesta……………………..………………..
Razones y Proporciones…..……….…..………………………
21
Teorema de la propiedad fundamental de las proporciones.
22
Ejercitación Propuesta………………….………..…..………
Porcentaje o tanto porciento…………..……………………….
24
Ejercitación Propuesta ………………………….……………
Aplicaciones Comerciales del Porcentaje…………….……
27
Regla de Tres Simple…………………………………….…..
28
Ejercitación Propuesta ………………………….……………
Expresiones Algebraicas…..……….…..………..………....
32
Características de un Polinomio………………………….…
32
Clasificación de Polinomios………………………………….
33
Operaciones con Polinomios………….……………………..
33
Adición de Polinomios………….…………………………….
33
Término Semejante…….………………..…….……………..
34
Término No Semejante…..……………..……………………
35
Operaciones Básicas de Adición………..….………….…..
35
Ejercitación Propuesta…………..…….…………………….
Multiplicación de Polinomios……..…………………..……..
40
Ejercitación Propuesta……………………….…....…………
Productos Algebraicos y Factorización……….…..…..…..
44
Multiplicación de términos algebraicos…………………….
44
Cuadrado del Binomio………….………….…………..…….
44
Suma por Diferencia………….…………………….....…….
45
Multiplicación de Binomios con un término común……….
45
Factorización……………………………………….………….
46
Ejercitación Propuesta………….……………………..…….
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18
23
25
31
39
43
47
Estadística: Introducción……………….……………............49
Conceptos básicos…………………………………………… 49
Clasificación de variables………….………………………….50
Ejercitación Propuesta……………………………………….51
El símbolo de sumatoria…….…..………………….………...52
Recuento y agrupamiento de datos:
Tablas de frecuencias.….…………………………………….53
Tipos de frecuencia………………….…….……………..…..53
Distribución de frecuencia…………………………..………..54
Distribución de frecuencias agrupadas ……………..……..54
Intervalos de clase……………………….……………...…….56
Método general para la distribución de frecuencias
agrupadas…………….……………………………..……..…..57
Ejercitación Propuesta.…………………………..……….58
Gráficos estadísticos
Diagrama de barras………………….…..…………..............60
Gráfico de líneas…………………..…….….……..……...…..61
Gráficos circulares……….……..………….….…..……..……61
Histogramas……….………………………………..…….……62
Polígonos de frecuencia…………………..……..……....…..62
Histogramas y polígonos de frecuencia ……….....…...…..62
Lectura y análisis de gráficos estadísticos ………..…..…..63
Ejercitación propuesta…………….…………….…...….64
¿Algunos gráficos son mentirosos?..................................67
La estadística en los medios…………………………………68
Medidas de tendencia central. Concepto……….….……...69
Para datos sin agrupar…………………………….………….69
Para datos agrupados………………………………….…….71
Ejercitación Propuesta…………………………….……..72
Bibliografía………………………………………………………….….
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Presentación
La matemática es una ciencia que pertenece al igual que la lógica al grupo de las
ciencias formales, cuyo objeto y entes son ideales, a diferencia de otras ciencias que tienen
objetos concretos de los que se puede experimentar.
Con esto podemos aclarar que para conocer y aprender la matemática solo necesitamos
el uso del razonamiento, esta es la única herramienta que debemos considerar. Por ello,
estudiar la matemática significa ejercitar, practicar haciendo ejercicio del proceso lógico que
eso implica.
El siguiente material está constituido por ejes temáticos. Cada uno de ellos se encuentra
presentado con las definiciones y propiedades pertenecientes al marco teórico. Además se
encuentran ejemplos con sus respectivas resoluciones y ejercicios que servirán para realizar la
práctica.
Los elementos mencionados anteriormente: definiciones, propiedades y ejercicios son
claves para el proceso de aprendizaje de la matemática, y de estos contenidos en particular.
Desde el CENT 35 es nuestro deseo que se encuentren con estos contenidos y les
pueda ser de utilidad para lograr un desarrollo cognitivo lógico indispensable para alumnos de
todas las carreras que ofrece el CENT 35.
Les damos la bienvenida y les deseamos a todos éxitos en esta etapa y la mayor
predisposición de ustedes y de nosotros para este proceso que denominamos enseñanzaaprendizaje.
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Objetivos
Lograr
que el alumno aprenda a pensar, relacionar, reconocer y aplicar las leyes de la
matemática a los problemas cotidianos, fijar algunos principios básicos y adquirir una
metodología de trabajo que pueda aplicar posteriormente a la solución de problemas
específicos de su carrera.


Adquirir herramientas matemáticas para fortalecer el pensamiento lógico considerando que
no hay pensamiento matemático que no se origine de la experiencia de la realidad.


Considerar
a la matemática como una actividad genianamente humana con el uso del
razonamiento de la vida cotidiana.
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Números Reales
N
Z
Q
I
R
→
→
→
→
→
Conjunto de los números naturales
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los números racionales
Conjunto de los números irracionales
Conjunto de los números reales
N = Los números naturales se definen como las nociones matemáticas enteras que denotan cantidades
de elementos (1, 2, 3, ….., 10, 11, …. ), NO incluye el 0.
Z = Las operaciones aritméticas sencillas, como la suma y la resta, introducen el concepto de los
números negativos, que unidos a los positivos y al cero, constituyen el conjunto de los números enteros.
Q = Al incluir en el álgebra de los números enteros la multiplicación y la división, aparecen unas
relaciones o proporciones entre números que se conocen como fracciones, los cuales junto con los
números naturales conforman el conjunto de números racionales. Estos números pueden ser
expresados como el cociente entre dos números enteros; y existen dos maneras de escribir un mismo
número racional, como fracción o en forma decimal. La expresión decimal puede tener un número finito
de cifras decimales significativas o es periódica.
I = Estos números son aquellos que no ser expresados como un cociente entre dos números enteros,
por tener infinitas cifras decimales no periódicas, por ejemplo los siguientes números: √ 2, √ 3, Π, e .
R = El conjunto que incluye los números racionales e irracionales se lo conoce como el de números
reales.
Representación en la Recta
Los R se grafican sobre una recta denominada “recta real”. A un punto de la misma se le asigna el 0, se
elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le corresponde un
punto en la recta y viceversa. Es decir como a cada número real le corresponde un punto de la recta y a
cada punto de la recta corresponde un número real, queda establecida una bisección entre el conjunto
de los números reales y el conjunto de puntos de la recta. De esta manera los números reales cubren
totalmente la recta.
Intervalos Reales
Se denomina “intervalo real” a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes.
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Por ejemplo, si a < b, entonces el “intervalo abierto” desde a hasta b está integrado por todos los
números entre a y b, y se denota mediante el símbolo (a,b). Utilizando la notación constructiva de
conjuntos, podemos escribir:
(a,b) = { x / a < x < b}
Nótese que los puntos extremos a y b no están incluidos en este intervalo. Este hecho queda indicado
por los paréntesis ( ) en la notación de intervalos.
El “intervalo cerrado” de a y b es el conjunto:
[a,b] = { x / a ≤ x ≤ b}
Aquí los puntos extremos del intervalo han quedado incluidos. Esto se indica mediante corchetes [ ] en
la notación de intervalos.
Entonces, utilizamos ( ) si los extremos NO están incluidos (intervalo abierto) y utilizamos [
incluyen los extremos (intervalo cerrado).
] si se
También es posible incluir sólo un punto extremo en un intervalo, entonces un extremo será abierto y el
otro será cerrado.
También es necesario considerar intervalos infinitos, como:
(a,∞) = { x / x > a }
Esto no significa que el ∞ (infinito) sea un número. La notación (a,∞) corresponde al conjunto de todos
los números que son mayores que a, por lo que el símbolo ∞ simplemente indica que el intervalo se
extiende de manera indefinida en la dirección positiva.
La siguiente tabla muestra los nueve tipos posibles de intervalos. Cuando estos se analicen, siempre
supondremos que a < b.
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Propiedades de los Números Reales
Al combinar los números reales utilizando las operaciones de suma y multiplicación, utilizamos las
siguientes propiedades de los números reales.
El número 0 es especial en el caso de la suma, se conoce como “neutro aditivo”, porque a + 0 = a para
cualquier número real a. Todo número real a tiene un negativo – a, que satisface la ecuación a + (- a) =
0.
La resta (o sustracción) es la operación inversa de la suma; para restar un número de otro, simplemente
se suma el negativo de dicho número. Por definición: a – b = a + (- b)
Para combinar números reales que involucran negativos, utilizamos las siguientes propiedades:
La propiedad N° 1 es especial para la multiplicación; se conoce como “neutro multiplicativo”, ya que a .
1 = a para cualquier número real a.
Cualquier número real a diferente de cero tiene un inverso 1 / a, que satisface la ecuación a . (1 / a) =
1.
La división es la operación inversa de la multiplicación, para dividir un número, multiplicamos por el
inverso de dicho número. Si b ≠ 0, por definición:
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a:b=a.1/b
Escribimos a . (1 / b) simplemente como a / b. Nos referimos a a / b como el cociente de a y b o como
la fracción de a sobre b; a es el numerador y b es el denominador (o divisor). Para combinar números
reales utilizando la operación de división, aplicamos las siguientes propiedades:
Cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, por lo general no se utiliza la propiedad N°
4. En lugar de esto volvemos a escribir las fracciones, de manera que tengan un denominador común
(normalmente menor al producto de los denominadores) y entonces utilizamos la propiedad N° 3. Este
denominador es el Mínimo Común Denominador (MCD).
Ejemplo:
5 + 7 =
36 120
Al descomponer cada denominador en sus factores primos (un número natural es un número primo
cuando tiene únicamente 2 divisores, el mismo y el N° 1) obtenemos:
36 = 22 . 32
y
120 = 23 . 3 . 5
Determinamos el Mínimo Común Denominador (MCD) formando el producto de todos los factores
obtenidos en la descomposición, utilizando la potencia más elevada de cada uno de ellos. Así, el MCD
es 23 . 32 . 5 = 360. Por lo tanto
5 + 7 = 5 . 10 + 7 . 3
36
120
36 . 10
120 . 3
=
=
50
360
+
Propiedad N° 5
21
360
71
360
Propiedad N° 3
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Regla de Signos
 Si un término está precedido por un signo “ + “, no cambia el signo.
 Si un término está precedido por un signo “ – “, este cambia de signo.
Multiplicación y División:
1234-
+ . + =
+ . (-) =
(-) . + =
(-) . (-) =
+
+
Ejemplos:
2 . 3 = 6
4 . (- 2) = - 8
(- 3) . 5 = - 15
(- 4) . (- 3) = 12
5 / 5 = 1
8 / (- 2) = - 4
(- 16) / 4 = - 4
(- 18) / (- 6) = 3
Potenciación
Si a es cualquier número real y n es un número entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es:
an = a . a . a . ……… . a (n factores)
El número a se conoce como la “base” y n como el “exponente”.
Para el caso del exponente = 0 y negativos, se tiene lo siguiente:
Existen las siguientes reglas para el trabajo de exponentes y bases. En la siguiente tabla, las bases a y
b son números reales, y los exponentes m y n son números enteros.
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Radicación
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Para la radicación también existen propiedades, las cuales aparecen en el siguiente cuadro:
Exponentes Racionales
Para definir un exponente racional o su equivalente, un exponente fraccionario como a1/3, es necesario
utilizar radicales. A fin de darle significado al símbolo a1/n en una forma consistente con las leyes de los
exponentes, tenemos que
( a 1/n ) n = a (1/n)n = a 1 = a
Por esto, a partir de la definición de la raíz n-ésima
En general, definimos los exponentes racionales como sigue:
Con ésta definición se puede comprobar que las leyes de los exponentes también son válidas para los
exponentes racionales.
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Operaciones con Números Racionales
División
Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que:
 el resto de la división sea cero: en éste caso el cociente es una expresión decimal con un
número finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas).
Ejemplos
 el resto nunca se anule: necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras
decimales del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas).
Ejemplos
Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma
el número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica; y en el denominador, tantos 9 como cifras
decimales periódicas tenga la expresión, seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas
contenga.
Ejemplos
Una operación donde aparezca una expresión decimal periódica conviene resolverla en forma
fraccionaria.
Ejemplos
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Operaciones con Fracciones y Números Decimales
Toda fracción que tiene por denominador la unidad seguida de ceros se llama fracción decimal.
La décima parte de la unidad, o sea 1/10, se llama unidad decimal de primer orden; la centésima parte
de la unidad, o sea 1/100, se llama unidad decimal de segundo orden; y así sucesivamente.
Prácticamente se conviene en representar una fracción decimal por su numerador, en el que se separa
mediante una coma, la parte entera de la decimal. Por ejemplo: 456/100 se representa por el número
4,56.
De acuerdo con lo dicho, se comprende que a la izquierda de la coma queda la parte entera, la primera
cifra que sigue a la derecha de la coma es la de los décimos, la segunda, la de los centésimos, etc.
Ejemplos
3 / 100 = 0,03
8091 / 1000 = 8,091
Para distinguir una notación de otra, se conviene en llamar fracción decimal a la que tiene forma de
fracción, y a la otra, número decimal.
Un número decimal NO se altera si se agregan ceros a la derecha de la última cifra decimal.
Multiplicación de un N° Decimal por la Unidad Seguida de Ceros
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se corre la coma tantos lugares
hacia la derecha, como ceros siguen a la unidad. Si no alcanzan las cifras, se completan los lugares con
ceros a la derecha.
Ejemplos
0,25 x 100 = 25
12,4957 x 10 = 124,957
7,69 x 10.000 = 76.900
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División de un N° Entero por la Unidad Seguida de Ceros
Para dividir un número entero por la unidad seguida de ceros, se separan con una coma tantas cifras de
la derecha del número como ceros acompañan a la unidad. Si no alcanzan las cifras, se completan los
lugares con ceros a la izquierda.
Ejemplos
236 : 1.000 = 0,236
4985 : 100 = 49,85
29 : 10.000 = 0,0029
División de un N° Decimal por la Unidad Seguida de Ceros
Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, se corre la coma tantos lugares hacia la
izquierda, como ceros siguen a la unidad. Si no alcanzan las cifras se completan los lugares con ceros a
la izquierda.
Ejemplos
92,93 : 10 = 9,293
5,48 : 1.000 = 0,00548
134,56 : 100 = 1,3456
Suma de Números Decimales
Para sumar dos o más números decimales se colocan uno debajo de otro, de manera que las comas
queden en columna; se suman como si fueran enteros y en el resultado se coloca la coma alineada con
la de los sumandos. La suma también puede efectuarse con los sumandos dispuestos horizontalmente,
cuidando de sumar las unidades de los órdenes correspondientes y la posición de la coma en el
resultado.
Ejemplo
0,458 + 2,37 + 9,086 =
+
0,458
2,37
9,0865
11,9145
Resta de Números Decimales
Para resta dos números decimales se escribe el sustraendo debajo del minuendo, de modo que las
coman queden en columna; se restan como si fueran enteros y en el resultado se coloca la coma en
columna con las anteriores.
Ejemplo
1,59 - 3,2 =
Como el sustraendo tiene valor absoluto mayor que el minuendo, el valor absoluto del resultado se
obtiene restando 1,59 de 3,2 , es decir:
3,2
- 1,59
1,61
y como el signo corresponde al de mayor valor absoluto, es:
1,59 - 3,2 = - 1,61
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Multiplicación de Números Decimales
Para multiplicar un número decimal por un número natural se multiplican como si fueran enteros y en el
resultado se separan tantas cifras decimales como tiene el decimal dado.
Ejemplo
3,29 x 3 = 9,87
Para multiplicar dos números decimales, se multiplican como si fueran enteros y luego se separan en el
producto tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los factores.
Ejemplo
4,21 x 0,9 = 3,789
División de Números Decimales
El cociente de un número entero por uno decimal con error menor que una unidad de un cierto orden, se
transforma en cociente de dos números enteros, multiplicando dividendo y divisor por la unidad seguida
de tantos ceros como decimales hay en el divisor.
Ejemplo
127 : 2,3 = 1270 : 23 = 55,21
(ϵ < 0,01)
En el caso de una división de dos números decimales, es suficiente transformar el divisor en entero,
para ello es evidente que basta multiplicar el dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros
como cifras decimales tiene el divisor.
Ejemplo
4,256 : 1,12 (ϵ < 0,01) = 4,256 x 100 : 1,12 x 100 = 425,6 : 112
= 3,8
Conviene destacar que en todas las divisiones donde el divisor es decimal, el procedimiento a seguir es
transformar el divisor en entero, multiplicando por la unidad seguida de ceros, no interesando que el
dividendo quede transformado en un entero o en un decimal.
Operaciones Combinadas
Se van a desarrollar algunos ejercicios a fin de recordar las propiedades y reglas operatorias con
números racionales.
Ejercicio N° 1:
2/3 - 4/9 - 5/6 + 1/2 =
Como el Mínimo Común Denominador (MCD) es 18, se tiene:
Ejercicio N° 2:
3 + 1/4 - ( - 1/5 ) - 7/8 - 2 + ( - 1/2) =
Al suprimir los paréntesis, la expresión anterior se transforma en:
3 + 1/4 + 1/5 - 7/8 - 2 - 1/2 =
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Como figuran números enteros 3 y – 2, un procedimiento es efectuar la suma entre ellos, y a éste
resultado agregar la suma de los fraccionarios puros, cuyo MCD es 40.
En consecuencia:
Ejercicio N° 3:
Primero es preciso reducir el número mixto 2 5/8 a la fracción impropia, esto es multiplicar el
denominador (8) por la parte entera (2) y este resultado sumarlo al numerador (5), este valor va a ser el
numerador, y como denominador persiste el del número mixto (8). En nuestro caso da por resultado la
fracción 21/8. Luego efectuar todas las simplificaciones posibles y por último calcular el numerador que
va a ser igual al producto de los numeradores y por denominador, el producto de los denominadores, es
decir:
Se efectúan previamente las operaciones indicadas en cada término.
Primer término:
Segundo término:
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Tercer término:
Luego, considerando la suma algebraica dada, se tiene:
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Ejercitación Propuesta
1) Resolver en forma decimal los siguientes cálculos:
2) Resolver los siguientes cálculos:
3) Escribir en forma decimal cada una de las siguientes fracciones:
4) Escribir como fracción irreducible cada una de las siguientes expresiones decimales:
5) Resolver los siguientes cálculos:
6) Calcular las siguientes potencias:
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7) Calcular las siguientes raíces:
8) Resolver los siguientes cálculos combinados:
9) Resolver las siguientes operaciones:
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10) Resolver los siguientes problemas:
a) Una cuenta corriente tiene un saldo inicial deudor de $7825; recibe 18 depósitos de $2500 cada uno
y cuatro de $1800 cada uno y se extraen, sucesivamente: 3 veces $9500; la cuarta vez: $4825 y las dos
últimas veces: $3218 en cada una. ¿Cuál es el saldo actual?
b) Una pileta es llenada por una canilla que arroja 120 l por minuto, pero tiene una grieta por donde
pierde 5 l cada 30 segundos. a) ¿Cuántos litros contiene al cabo de una hora? b) Si su capacidad es de
125.400 l, ¿cuántas horas tardará en llenarse? c) Si cuando la pileta está llena se cierra la canilla,
¿cuánto tardará en vaciarse por completo?
c) Cada mes una persona gana $8450 y gasta $8200. El resto lo deposita en el banco, donde tiene una
deuda. Si el saldo de su cuenta bancaria es de $ – 12250 ¿Cuántos meses, como mínimo le llevará a la
persona saldar su deuda?
d) Un período escolar se inicia el 2 de marzo y finaliza el 30 de noviembre. ¿De cuántos días de clase
consta, sabiendo que hay 55 días entre feriados y domingos, 7 días de suspensión de actividades por
intercolegiales, 4 por falta de calefacción y 3 de estudiantina?
e) ¿Cuántos minutos y segundos hay en 2/3 de una hora?
f) ¿Cuántos centímetros hay en 3/4 de un metro?
1
g) ¿Es lo mismo 3 de torta que 4/12 de esa misma torta?
h) ¿Qué cantidad queda después de gastar los 3/7 de $ 490?
i) Un autor escribió una novela en cuatro meses. En el primer mes escribió los 1/3 de la novela, en el
segundo mes, los 3/12 y en el tercero, 1/4. ¿Qué fracción de la novela escribió en el cuarto mes?
j) Una familia gasta 1/3 de su sueldo en alquiler del departamento; 1/15 del sueldo en teléfono y
electricidad y 2/5, en alimentos, transporte y ropa. Si el ingreso mensual de la familia es de $9.400,
¿qué importe destina para cada uno de los rubros mencionados? ¿Pueden ahorrar algo durante el mes
para otras necesidades?, ¿cuánto podrían ahorrar?

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Razones y proporciones
Introducción
Imaginémonos que Marcela y Elita, tienen $8.000 y $10.000, respectivamente. Al comparar estas
cantidades podemos decir que Elita tiene $2.000 más que Marcela. Sin embargo, esta diferencia no
resultaría ser significativa si las cantidades de dinero fueran muy grandes. Otra forma en que podemos
compararlas es mediante la División, es decir:
8.000 4

10.000 5
Esto nos indica que por cada $4 que tiene Marcela, Elita tiene $5.
Definición: Llamaremos razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas mediante la
división.
Notación: La razón entre a y b se escribe
a
o bien a : b
b
Los elementos que forman la razón se llaman antecedente y consecuente
Ejemplo 1: Si Sergio tiene 50 años y Marcos tiene 25 años, entonces la razón entre la edad de Sergio y
la Edad de Marcos es:
Sergio 50 2


Mar cos 25 1
La razón
2
indica que la edad de Sergio es el doble de la edad de Marcos. ¿Cuál es la razón entre la
1
edad de Marcos y de Sergio?
Ejemplo 2: Si un automóvil recorre una distancia de 100 Km en 2 horas, entonces la razón entre la
distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla es:
100 Km
Km
 50
2h
h
¿Recuerda usted, qué concepto mide esta razón?
¿Tendría sentido la razón inversa?
Observación: Llamaremos razón tanto a la comparación como al cuociente obtenido, en otras palabras
interesa el orden de comparación
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Proporciones
Al simplificar la fracción
50
1
para obtener
nos encontramos con dos razones que tienen el mismo
100
2
valor. Es decir, estamos frente a una proporción
Definición: Llamaremos proporción a la igualdad de dos razones
Notación: Si las razones
c : d.
a c
a c
y son iguales, entonces la igualdad  se anota también así: a : b =
b d
b d
En ambos casos se lee: “ a es a b como c es a d”
En la proporción
a c
 , los términos a y d son los extremos y los términos b y c son los medios.
b d
Teorema propiedad fundamental de las proporciones
En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos
a c
  ad  bc
b d
con b ≠ 0 y d ≠ 0
Ejemplo: ¿Forman una proporción las razones
33 44
y ?
39 52
Dada una proporción, podemos obtener otras proporciones con los mismos términos, utilizando las
siguientes transformaciones:
a c
c a
  
b d
d b
a c
b d
b) Invertir :   
b d
a c
a c
a b
c) Alternar :    medios
b d
c d
a c
d c
d ) Alternar :    extremos
b d
b a
a) Permutar :
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Ejercitación Propuesta
1) Encontrar la razón entre:
3
15
y
25
8
3
7
b)8 y 4
5
9
c)180 g. y 3,6 Kg.
a)
d )15 min . y 3hrs.
2
y 300
3
f )2,25 y 0,75
e)16
2) Calcular el valor de x en las siguientes proporciones:
5
x
c) 14 
9
8
25 15
2
2
4
11
7  3
d)
2
x
15 
5
x
20

105 35
4,4 6,6
b)

x
5,4
a)
3) Dos montañistas están subiendo un cerro de 4.000 m de altura. ¿Cuántos metros les quedan por
subir si ya han recorrido
5
del total?
8
4) El auto de Gabriel tiene un tanque de nafta con una capacidad de 40 litros. Como se va de paseo,
llena el tanque por lo que paga $ 500. Si el litro de nafta vale $ 8,25, ¿Qué parte del tanque estaba con
nafta?
5) Cuatro cuadernos universitarios valen $ 750. Una señora necesita comprar dos docenas de esos
mismos cuadernos para sus hijos, ¿cuánto dinero tendrá que gastar?
6) ¿Cuánto tiempo necesitará Matías para realizar 248 copias si su impresora tarda 5 minutos en
imprimir 20 copias? (Expresar el resultado en horas y min.)
7) Medimos en un mapa la distancia entre las capitales de Argentina y Paraguay, y es de 1,35 cm. En
una esquina del mapa encontramos la escala con que fue hecho: 1cm: 850 Km. ¿Cuántos kilómetros
aproximadamente separan ambas ciudades?
8) Un hombre normal tiene aproximadamente 5 litros de sangre, de los cuales 2,25 litros corresponden a
los glóbulos y plaquetas, y el resto, al plasma. ¿Qué porcentaje de la sangre representan los glóbulos y
plaquetas, y cuál al plasma?
9) Una bacteria de forma circular tiene un radio aproximado de 1,2 mm. Al observarla mediante un
microscopio su radio es de 1,44 m. ¿Cuántas veces aumenta el tamaño de la bacteria al observarla
mediante este microscopio?
CENT 35
–
Matemática
-
24/75
Porcentaje o tanto por ciento
En estudios de publicidad o marketing, principalmente, es importante conocer las opiniones y las
preferencias de las personas, para esto se utilizan las encuestas cuyos resultados se entregan, por lo
general, en porcentajes o tanto por ciento.
Frecuentemente aparecen en la prensa datos referidos a porcentajes, por ejemplo:
1) La población de Chile en los últimos 10 años aumento un 15%.
2) Los depósitos a 30 días generan un interés del 0,3%
3) Algunos Senadores piden que el IVA se aumente en un 0,5%
Definición: Un porcentaje o tanto por ciento es simplemente una fracción con denominador constante e
igual a cien.
O bien Porcentaje es el valor que resulta de comparar una parte con un todo en una escala de 1 es a
100. Se puede considerar que el porcentaje es un caso particular de proporcionalidad directa en que
uno de los términos de la proporción es 100.
a
c

b 100
a es el porcentaje
b es la cantidad de referencia
c es el tanto por ciento
Notación: Las palabras porcentaje o tanto por ciento se abrevian mediante el símbolo %
De acuerdo a la definición, para calcular el tanto por ciento de una cantidad calculamos la fracción
decimal correspondiente de dicha cantidad.
Ejemplo: ¿Cuánto es el 5% de 30?
Solución: 5% de 30 =
5
 30  1,5
100
I.- Tanto por ciento de un número. El a% de x
II.- Relación porcentual de dos números. ¿Qué % es a de x?
III.- Calculo del total, conocido el porcentaje. ¿ De qué número, a es el b%?
IV.- Porcentajes sucesivos. El p% del q% de A es x  x 
CENT 35
–
p
q

A
100 100
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Ejercitación Propuesta
1. 200% de 200
2. 25% de 1,6
3. ¿Qué porcentaje es 100 de 50?
4. ¿Qué porcentaje es A de A2
5. ¿De qué número es 15 el 15%?
6. ¿De qué número es 45 el 30%?
7. El 20% del 50% de 75
8. El 75% de un número es 9; ¿Cuál es el 50% de ese número?
9. ¿Qué porcentaje es 74 de 37?
10. El 90% del 50% de 180 es
11. ¿Qué porcentaje es 25 del 75% de 12?
12. Un comerciante compró una mercadería en $ 4.800 y la vendió obteniendo el 12% de ganancia. ¿En
cuánto la vendió?
Ejercicios
Dos personas A y B tienen un capital de $ 80.000, y aportó el 40% de este capital. Todo el capital se
invierte en la compra de mercadería y gastos de administración. El primer mes se vende toda la
mercadería en $ 100.000. Entonces:
a)
b)
c)
¿Qué cantidad aportó B?
¿Qué tanto por ciento se ganó en la venta?
¿En cuanto deberían vender la mercadería para que el 10% de la ganancia total fuese $ 5.000?
Solución
a) Como A aportó el 40% del capital, entonces B aportó lo que falta para completar el 100%, es decir,
60%. Luego, debemos calcular el 60% de $80.000?
60
x
60  80.000

x
 48.000
100 80.000
100
De modo que B aportó $48.000
b)
La utilidad del negocio es igual a:
UTILIDAD
= VENTA
–
COSTO
= $100.000 - $80.000 = $ 20.000
Por lo tanto, la utilidad es un 25% del capital invertido.
c) Tenemos que calcular la cantidad de la cual $ 5.000 es el 10%
10 5.000
100  5.000

x
 50.000
100
x
10
Por lo tanto, la ganancia total sería $ 50.000
Luego la mercadería debería venderse en $ 80.000 + $ 50.000 = $ 130.000; de modo que el 10% de la
ganancia total fuese $ 5.000
1) El costo de fabricación de un artículo es $ 5.000. El fabricante lo vende al comerciante ganando un
12% y este al consumidor con una ganancia del 20% sobre su precio de compra. ¿Cuánto paga el
consumidor por el artículo?
2) Juan se compra una polera a $ 4.420 a la que se le había aplicado un descuento de un 15%.
¿Cuánto costaba originalmente la polera?
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3) En una tienda comercial se hace una liquidación donde todos los productos son rebajados en un
20%. Después de una semana todos los artículos vuelven a rebajarse en un 5%. Si un pantalón vale
originalmente $ 12.000
a) ¿Cuánto vale después de la primera liquidación?
b) ¿Cuánto vale después de la segunda liquidación?
c) La oferta sería igual si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 25%?
Explica
4) De las 2000 entradas que había para un recital, el primer día se vendió el 70 %. ¿Cuántas entradas
quedan para vender?
5) Luis quiere comprar un par de zapatillas cuyo precio de lista es $ 780. Por pago efectivo tiene un
descuento del 10%. Por pago con tarjeta debe abonar 3 cuotas de $69 cada una.
a) ¿Cuánto dinero debe juntar para pagarlo en efectivo?
b) ¿Qué porcentaje de recargo sufre si lo paga con tarjeta?
CENT 35
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Aplicaciones comerciales del porcentaje
En Chile existe un impuesto llamado IVA ( Impuesto al valor agregado) que se aplica a toda transacción
comercial. Cada producto tiene un valor neto al cual se le debe agregar el IVA para obtener el precio
total. Actualmente el IVA corresponde al 19% del valor neto. Esto quiere decir, que para obtener el
precio total debemos hacer la siguiente operación
Valor neto + 19%  Valor neto = Precio total
El SII ( servicio de impuestos internos) se asegura el pago de este impuesto a través de documentos
específicos, como las boletas de venta y las facturas.
En Las boletas de venta, el precio que aparece escrito incluye el IVA. En las facturas, en cambio,
aparece escrito en detalle el valor neto, el IVA y el precio total.
Es muy importante que el cliente se fije si el valor que le entregan incluye o no el IVA, ya que de eso
dependerá el valor real de su compra.
(1) Por la compra de una enciclopedia se paga $ 49.560, incluido el IVA. ¿Cuál es el valor neto de ese
libro?
(2) En una fábrica se confecciona la siguiente lista con los precios de los artículos que produce
Artículo
A
B
C
D
E
Precio Unitario Precio
(*)
IVA
$ 6.845
$ 3.428
$ 4.215
$ 8:932
$ 4.550
+
(*) Estos artículos no incluyen IVA
a) Completa la tabla
b) Si un cliente desea comprar todos los artículos de la lista, ¿Cuánto debe pagar?
d)
¿Es lo mismo sumar los precios de los artículos y a esto calcular el IVA, que calcular el IVA al
precio de cada producto y luego sumarlos?
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Regla de tres simple
Sea, por ejemplo, el siguiente problema: si 80 kgde azúcar cuestan A 28, ¿cuánto cuestan 60 kg de
azúcar de esa misma calidad?
Como se ve, figuran dos cantidades: 80 kg y 60 kg de la magnitud peso, y una cantidad, A 28, de la
magnitud precio, que corresponde a los 80 kg. Se pide calcular la otra cantidad de la magnitud precio,
correspondiente a los 60
Los problemas de este tipo, que consisten en: dadas dos cantidades de una magnitud y la
correspondiente a la primera de ellas en la otra magnitud, calcular la correspondiente a la segunda, se
llaman de regla de tres simple. Las magnitudes que intervienen pueden ser directa o inversamente
proporcionales; en el primer caso, la regla de tres simple se dice directa-, en el segundo, inversa.
Para resolver estos problemas, se procede así:
CENT 35
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Otro ejemplo de regla de tres simple puede ser:
CENT 35
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Otro ejemplo de regla de tres simple puede ser:
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Ejercitación Propuesta
Regla de Tres Simple Directa
1) Un avión tarda 2 min para recorrer 4,5 km. ¿Cuánto tarda en recorrer con la misma velocidad: 180
km; 900 km; 225 km, respectivamente?
2) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿Cuántas horas tardará en hacer 25
de esas mismas cajas?
R: 20 horas
3) Un obrero gana $ 960 por 8 horas de trabajo. ¿Cuánto tiempo ha trabajado para ganar $ 1920 y $
2400, respectivamente?
4) Si una docena de vasos cuesta $ 744, ¿Cuánto debe abonarse por 17 de esas copas?
R: $ 1054
5) Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 lt de pintura, ¿cuántos lt se necesitarán para pintar una
superficie rectangular de 12 m de largo por 1000 cm de ancho? R: 16 lt
6) Un automóvil recorre 100 km en 1 h 32 min. ¿En qué tiempo recorrerá 60 km?
R: 55 min 12 seg
Regla de Tres Simple Inversa
1) Ocho obreros han tardado 24 horas para realizar un trabajo. ¿Cuánto tiempo hubiesen empleado
para hacer el mismo trabajo 4 obreros, 6 obreros, 12 obreros y 18 obreros, respectivamente?
2) Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra, 4 obreros
abandonan el trabajo. ¿Cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? R: 27 horas
3) Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin
disminuir la ración diaria y sin agregar forraje, ¿durante cuántos días podrá alimentarlas?
R: 18 días
4) Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho. ¿Cuántos rollos
se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m?
R: 9 rollos
5) Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30 días,
¿cuántos obreros deberán aumentarse? R: 32 obreros
6) Con 15 kg de hierro se han hecho 420 tuercas de 4 pulgadas. ¿Cuántas tuercas semejantes a las
anteriores, pero de 3 pulgadas, se pueden hacer con la misma cantidad de hierro?
R: 560
tuercas
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Matemática
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Expresiones algebraicas
Empecemos definiendo lo que es un polinomio; este término es de origen griego “poli” que significa
muchos y “nomio” expresión algebraica. Un polinomio, matemáticamente hablando es una suma
algebraica de varias expresiones algebraicas, que representan cantidades desconocidas. Cuando
decimos suma algebraica nos referimos a una operación combinada, donde intervienen la suma y la
resta, y al hablar de expresiones algebraicas significa los términos que componen la suma. Cada
término que compone un polinomio es una estructura matemática que consta de una parte numérica y
una parte literal.
Ejemplo de la Estructura de una Término:
Exponente de la variable
 3x 5
Parte numérica o coeficiente de la variable
Parte literal o variable
Características de un Polinomio
Sea el polinomio:
3 2
1
x  5x 3  x 
4
3
Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:
 5x3 
3 2
1
x x
4
3
Términos
 5x 3
3 2
x
4
x
Variable
x
x
x
5
3
4
1
3
2
1
Coeficientes de la variable
Exponentes de la variable
Grado del polinomio (El grado del
polinomio lo representa el exponente
mayor de la variable)

0
3

Término Independiente
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1
3
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1
3
Clasificación de los polinomios
Los polinomios, según el número de términos, se clasifican en:

Monomio: Es aquella expresión algebraica que consta de un solo término.


a 2b x
2
5
5
x4  a
4
Ejemplos: 3x  1
ab
Trinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene tres términos:


3 2
x
7
Binomio: Es aquella expresión algebraica que tiene dos términos:


Ejemplos: 
Ejemplos:
9 2
y  y 5
2
6 3
1
x x
5
7
Polinomio: Es aquella expresión algebraica que tiene más de tres términos:

Ejemplo: 
3 4 2 3
x  x  x2 1
4
5
Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros
por el signo positivo (+) o el negativo (-).
Operaciones con polinomios
Las expresiones algebraicas pueden ser afectadas por las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas.
Adición de polinomios
La adición consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola que
se le llama suma.
En la aritmética la adición siempre significa aumento, pero en el álgebra es un concepto más general
por lo que puede significar aumento o disminución.
En una adición de polinomios se puede dar una agrupación de términos semejantes. Incluso, hasta un
polinomio puede tener inmerso términos semejantes.
CENT 35
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Matemática
-
34/75
Término semejante
Los términos semejantes se dan cuando:

Tienen la misma variable o variables.

Tienen igual exponente en la variable o variables.
En otras palabras, se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos
términos que tienen igual factor literal.

En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b


En la expresión x2y3 – 8xy2 +
2 2 3
xy
5
, x2y3 es semejante con
2 2 3
xy
5
Ejemplo:
Aunque los
coeficientes de las
variables sean
diferentes
Son términos semejantes:
 5x 2
 3x 2  x 2
La variable “x” es la
misma para los tres
términos
El exponente “2” de la
variable es igual para
los tres términos
Entonces, se puede hacer una agrupación con estos términos y reducirlos a una sola expresión
aplicando una suma.
CENT 35
–
Matemática
-
35/75
Observemos el siguiente polinomio:
 5 x 2  3x 2  x 2 
Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable
con su respectivo exponente, así:
 5  3  1  x 2 
Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que están dentro del paréntesis:
 5  3  1  x 2   5  4  x 2
-
Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1
 5  3  1  x 2   1  x 2
-
Se restan las cantidades por ser de signos
diferentes y la diferencia lleva el signo de la mayor
(-5 y -4)
-
Se elimina el paréntesis
-
Como el 1 es elemento neutro de la multiplicación,
sólo se multiplican los signos (+ . - = -)
 5  3  1  x 2   1  x 2
 5  3  1  x 2   x 2
Termino no semejante
Son términos no semejantes los siguientes: 6x 3 , 6x 2 , 6 y 2
Los términos 6x 3 y 6x 2 , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismo
coeficiente no son términos semejantes. El término 6 y 2 no es semejante a ninguno de los otros dos
términos, pues su variable es distinta.
Operaciones básicas de adición
Cuando es una suma de monomios
Sumar:
 5x 2 y 7 x
Solución:
 5x 2  7 x  5x 2  7 x
CENT 35
Observa que, como los términos no
son semejantes la suma se deja
indicada
–
Matemática
-
36/75
Cuando es una suma de binomios
Sumar:
3 2 1
x 
4
3
y
7 2
x  3x
8
Indicamos la operación de los dos
binomios agrupando cada uno entre
paréntesis
 3 2 1 7 2

x     x  3x  
3  8
4

Solución: 
3 2 1 7 2
x   x  3x 
4
3 8
Eliminamos los paréntesis, como el
signo que los precede es positivo, no
se afecta ningún término
3 2 7 2 1
 x  x    3x 
8  3
4
Agrupamos los términos semejantes
3
7 
1
   x 2  3x  
4

8 
3

Luego el polinomio resultante es:
13 2
1
x  3x 
8
3
Extraemos la variable con su
respectivo exponente como factor
dejando los coeficientes dentro del
paréntesis. Observe que estos nos
indican una suma de fracciones con
diferente denominador
Recordar:
Para sumar fracciones de diferente denominador
1. Se calcula el mcm entre los
denominadores
2. Esta cantidad es el denominador del
resultado
3. Se multiplica cada fracción por el mcm y
estas cantidades forman el numerador
del resultado
4. Se efectúa la operación indicada y
obtenemos la fracción resultado
En la adición de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar
pendiente de la agrupación de términos semejantes. Es importante señalar que la sustracción de
polinomios es un caso particular de la adición. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera:
CENT 35
–
Matemática
-
37/75
Observemos el siguiente ejercicio. Se cuenta con dos polinomios A y B. Realizar A – B.
Sea A 
3
7
x  6x 
5
4
Es decir, al polinomio
y
1
1
5
B  x3  x2  x 
5
2
6
3 2
7
1
1
5
x  6x 
le restamos el polinomio x 3  x 2  x 
5
4
5
2
6
3
7 
1
1
5
A  B  x 2  6x    x 3  x 2  x  
5
4 
5
2
6
Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre paréntesis.
Si B  x 3 
Recordar:
Para eliminar signos de agrupación
1 2 1
5
x  x
5
2
6
Cuando un paréntesis está precedido del
signo menos, todos los términos que están
dentro de él cambian de signo
Entonces
1
1
5
 B  x3  x 2  x 
5
2
6
(- B es el opuesto de B)
Luego, la operación quedaría así:
3
7 
1
1
5
A  (  B)  x 2  6 x     x 3  x 2  x  
5
4 
5
2
6
Si eliminamos el paréntesis:
A  (  B) 
3 2
7
1
1
5
x  6x   x 3  x 2  x 
5
4
5
2
6
Agrupamos los términos semejantes:
CENT 35
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Matemática
-
38/75
1  
1 
3
 7 5
A  ( B)   x 2  x 2    6 x  x   x 3     
5  
2 
5
 4 6
Extraemos la variable de cada paréntesis con su respectivo exponente, dejándola como factor
1
3 1

 7 5
A  ( B)     x 2   6   x  x 3     
2
5 5

 4 6
Observa que dentro de cada paréntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador.
Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes, tenemos:
A  (  B)   x 3 
4 2 11
31
x  x
5
2
12
Otra manera de estructurar la suma y resta de polinomios es agrupando los monomios semejantes. A la
resta de dos polinomios la transformamos en una suma, sumando al minuendo el opuesto del
sustraendo.
La forma práctica de sumar o restar es ubicando los polinomios uno debajo del otro, de manera que los
términos semejantes quedan en columnas:
CENT 35
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Matemática
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39/75
Ejercitación Propuesta
1. (-19 + 3x - 4x2 - 14x3) + (-1 +2x - 15x2 - 12x3)
2. (-1 + 16x + 10x2 - 16x3) + (-14 -5x + 0x2 - 4x3)
3. (23 + 9x + 20x2 + 4x3) + (23 - 13x + 8x2 - 20x3)
4. (20 + 20x + 18x2 + 17x3) + (20 + 12x - 2x2 + 24x3)
5. (-9 -2x -5x2 -6x3) + (-17 + 1x + 2x2 + 4x3)
6. (16 -20x -10x2 -2x3) + (-20 + 18x + 23x2 + 13x3)
7. (15 + 5x -9x2 + 7x3) + (14 + 24x -10x2 -2x3)
8. (-17 +20x -12x2 + 10x3) + (6 + x + 20x2 + 15x3)
9. (13 -6x + 22x2 -20x3) + (-18 + 0x + 22x2 + 1x3)
10. (22 + 13x -22x2 + 0x3) + (-21 -16x + 6x2 + 20x3)
11. (-21 -13x + 24x2 - 2x3) + (-6 + 15x -18x2 + 7x3)
12. (12 + 22x + 23x2 - 1x3) + (-16 + 2x -7x2 -14x3)
13. (3 + 12x + 20x2 + 23x3) + (21 -20x -12x2 + 14x3)
14. (7 -22x + 20x2 -23x3) + (-14 + 2x + 23x2 -5x3)
CENT 35
–
Matemática
-
40/75
Multiplicación de polinomios
La multiplicación de polinomios, es una operación que consiste en multiplicar dos o más polinomios
llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es
necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de la potenciación y la agrupación de términos
semejantes.
Recordar:
Regla de los signos
Recordar:
Leyes de la potenciación
* ( a n ) m  a n. m
an
 a nm
m
a
* a0  1
* a1  a
*
* a n .a m  a n m
+*+=+
- *-=+
+*-= -*+= -
a .b 
m p
n
*
 a n. p .b m. p
Veamos algunos casos de la multiplicación:
3x .  2x.  5 
En esta multiplicación tenemos varios factores
con sus respectivos signos, hay factores
numéricos y factores literales o variables.
3 .  2 .  5 . x 2  . x 
Observa que los coeficientes numéricos de
cada monomio, son también factores y se
pueden manipular independientemente de la
variable, siempre y cuando estén como factores
dentro de la misma multiplicación. En la
organización es conveniente que los factores
numéricos sean los primeros en expresarse.
2
 3 .  2 .  5 .  x 2  .  x 
+
3.  2.  5.x 2 .x  30.( x 2 ).( x)
Si multiplicamos los signos de cada
uno de los factores: + . - . - . + . + = +
obtenemos el signo del producto. En
este caso es positivo
Ahora calculamos el producto de los
factores numéricos: 3 . 2 . 5 = 30
CENT 35
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Matemática
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41/75
Para multiplicar las variables (la parte
literal), que son potencias, tienes que estar
claro con la ley de la potenciación que dice
que “en la multiplicación de potencias de
igual base se obtiene otra potencia con la
misma base, cuyo exponente resulta de
sumar los exponentes parciales de cada
potencia” x2 . x = x2+1 = x3
3.  2.  5.x 2 .x  30.x 3
Este es el resultado de multiplicar los monomios:
3x .  2x.  5  30x
2
3
Multiplicación de monomios por polinomios
Multiplicar:
5
3 2  2
 x .  x  2 x   
2
5 

Para multiplicar un monomio por un
polinomio,
se
aplica
una
propiedad
distributiva del producto con respecto a la
adición, de esta manera obtenemos una
suma algebraica con los productos parciales.

5 3 2 
3 2  2
3 2
3  5 
2
 x .  x  2 x     x .  x   x .2 x     .   
2 5 
5 
5 
5  2
Observa que cada producto parcial es una multiplicación de dos monomios.
Recuerde el procedimiento para este caso. En cada multiplicación parcial,
realiza primero la multiplicación de los signos, luego, multiplica los coeficientes
de cada monomio y por último realiza la multiplicación de las variables o
potencias literales.
CENT 35
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Matemática
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Vamos a calcular los productos por separado:
1° producto:
Coeficientes


  
3 4
3 2
 3
2
2
2
 x .  x   . 1. x . x   x
5
5 
5
Producto
Potencias
Literales
Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; los
coeficientes o parte numérica son números racionales; es
decir, fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de
forma lineal, numerador por numerador y denominador
por denominador.
3
 3
 3   1
 . 1   .    
5
5
 5   1
La multiplicación de las potencias literales se realiza
aplicando la ley de potenciación “cuando se multiplican
potencias de igual base, el producto que resulta es otra
potencia con la misma base y el exponente es la suma de
los exponentes parciales”.
x 2 .x 2  x 2  2  x 4
2° producto:
 
6 3
3 2
 3 2 2
 x .2 x    . . x x    x
5
5 
5 1
Se procede igual al caso anterior:
6
 3
 3 2
Coeficientes
 .2   .   
5
5
51
x 2 .x  x 21  x 3
Potencias Literales
Se procede igual al caso anterior:
3° producto:
 
15 2
3 2
 3 2  5  3 5 2
 x .     .  . x   x   x
10
2
5  2 5 2
15
3.5
3
 3 5

 .      
10
2.5
2
5 2
Observa que el producto de los coeficientes, resultó una fracción que se simplificó, debido a que al
descomponer tanto el numerador como el denominador, resultó un factor común (el 5), el cual se
canceló por ley de la potenciación, quedando una fracción irreducible. Luego, reuniendo los productos
parciales resultantes conformamos el producto total de la multiplicación inicial:
5
3 4 6 3 3 2
3 2  2
 x .  x  2 x     x  x  x
2
5
5
2
5 
CENT 35
El polinomio resultante no tiene
términos semejantes por lo tanto es
un polinomio irreducible.
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Matemática
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43/75
Productos especiales
Cuadrado de un binomio: 𝑎 ± 𝑥
2
= 𝑎±𝑥 ∙ 𝑎±𝑥
En los dos casos para resolver se aplica la
propiedad distributiva.
Suma de un binomio por su diferencia: 𝑎 + 𝑥 ∙ 𝑎 − 𝑥 = 𝑎2 − 𝑥 2
Ejercitación Propuesta
Efectúa los siguientes productos:
a)
b)
c)
d)
e)
2x . (3x + 2) =
5y . (y – 6) =
(4a + 8) . 7a =
( x  5).( x  5) 
12 x  9. 12 x  9 
f) (4 x3  1).(4 x3  1) 
g) 12  7 x 2 
. 12  7 x 2  
h) (x  6)2 
i)
j)
k)
(2 x  3)2 
 73 x  17 2 
 x  1 
1
3
3
2
CENT 35
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Matemática
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Productos algebraicos y factorización
Multiplicación de términos algebraicos
Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la
parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los
términos semejantes, si los hay.
Ejemplos:
1. 5xy2 · -7x3y2 =
2. 2xy·(-5x + 4y – 3xy) =
3. (3x – 2y)(4x + 5y)=
4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) =
En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya
aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos
notables.
Cuadrado del binomio
Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.
Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b) 2 y luego (a - b)(a - b) que puede
expresarse como (a - b)2
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo.
Luego podemos enunciar que: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término
más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del
segundo término”.
La estructura que representa esta fórmula es:
Donde
representa al primer término del binomio y
al segundo.
Ejemplos:
a) (x + 7)2 = x2 + 2·x·7 + 72 = x2 + 14x + 49
b) (2a – 3b)2 = (2a)2 - 2·2a·3b + (3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2
CENT 35
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Matemática
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45/75
Suma por diferencia
Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.
Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b)
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:
Es decir,
“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo”
Ejemplos:
a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2
b) (7m2 + 5n3)(7m2 – 5n3) = (7m2)2 – (5n3)2 = 49m4 – 25n6
Multiplicación de binomios con un término común
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término
común “a”.
Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión.
(x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15
Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15
(x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x2 – 5x - 14
Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14
La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:
Concluimos entonces que
“El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la
suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los
términos distintos”
Ejemplos:
a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 6·12 = x2 + 18 x + 72
b) (a + 7)(a – 3) = a2 + (7 – 3)a + 7·-3 = a2 + 4a – 21
CENT 35
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Matemática
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Factorización
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.
Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común.
Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz.
Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común.
O sea mx - my + mz = m( x - y + z ).
Ejemplos: Factorizar
a) 6ab2 – 18a2b3 = 6ab2(1 – 3b)
b) 5a2bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ).
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto
Sabemos que (a  b)2 = a2  2ab + b2.
Luego, se tendrá inversamente que a2  2ab + b2=(a  b)2.
Ejemplos: Factorizar
a) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2
b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2
Factorización de la diferencia de dos cuadrados
Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2.
Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).
Ejemplos: Factorizar
a) 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b).
b) 4x2 – 0,01 = (2x)2 – (0,1)2 = (2x + 0,1)(2x – 0,1)
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Matemática
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Ejercitación Propuesta
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
2 2
2
3
1) 3a b + 15ab – 45ab =
2
2
2) x - xy + xz - xz =
2
2
3) 4x –12xy + 9y =
4
4
4) 25x – 25y =
2
5) 0,09 – 4x =
4
3
6) b - b =
2
7) 8y - 18 =
8)
9 2 49 2
a 
b 
25
36
2 2
2
9) 35a b + 15ab – 45ab =
10)
1 2
𝑥
4
+ 3𝑥𝑦 + 9𝑦 2 =
CENT 35
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Matemática
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Estadística
Introducción
La estadística es una ciencia que se dedica a recolectar, organizar y computar
datos con el objeto de inferir conclusiones sobre ellos.
Por ejemplo, en los días previos a las elecciones, los encuestadores entrevistan a un
grupo de personas y, sobre la base de esos datos, predicen el resultado de la elección.
O bien, en el lanzamiento de nuevos productos al mercado, las empresas realizan un
sondeo sobre un grupo de consumidores y evalúan previamente la aceptación que tendrá el
nuevo producto.
También es utilizada como una herramienta de investigación en Medicina cuando los
médicos trabajan sobre pequeños grupos de enfermos probando un tratamiento o nueva
medicina y, sobre la base de esa experiencia, determinan la efectividad del tratamiento o
medicamento.
Por eso podemos decir que el estudio y la comprensión de los métodos estadísticos
provee a los profesionales de diversas áreas de la ciencia una herramienta fundamental en el
campo de la investigación.
Conceptos Básicos
Individuo: cualquier elemento que brinde información sobre el fenómeno que se estudia. Así,
si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos el
precio de la vivienda en una ciudad, cada vivienda es un individuo.
Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten
información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos el precio de la
vivienda en una ciudad, la población será el total de las viviendas de dicha ciudad.
Muestra: subconjunto que seleccionamos de la población. Así, si se estudia el precio de la
vivienda de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las viviendas de la
ciudad (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra)
que se entienda que es suficientemente representativo.
Muestreo: es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida
y representativa de la población (muestra).
Valor: es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio
estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.
Dato: es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si
lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.
Variables: son las características que se estudian en una muestra o población.
Se clasifican de acuerdo con el tipo de valor que tomen y pueden ser variables cualitativas o
de atributos y variables cuantitativas.
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Matemática
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49/75
Clasificación de Variables
Las variables estadísticas se clasifican de la siguiente manera:

Variables cualitativas o atributos: se refieren a características o cualidades que no
pueden ser medidas con números. Es decir, no toman valores numéricos.
Podemos distinguir dos tipos:
 Variable cualitativa nominal: presenta modalidades no numéricas que no
admiten un criterio de orden.
Por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo.
 Variable cualitativa ordinal: presenta modalidades no numéricas en las que
existe un orden.
Por ejemplo, las notas de un examen: aprobado, reprobado.
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos
anuales).
Podemos distinguir también en ellas dos tipos:
 Variable cuantitativa discreta: es aquella variable que toma valores enteros no
decimales. No admite valores intermedios entre dos valores específicos.
 Variable cuantitativa continua: es aquella variable que puede tomar valores
comprendidos entre dos números reales, es decir pueden ser valores decimales.
Ejemplos.
 Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.).
Por ejemplo: número de hermanos 1; 2; 3;....; etc., pero nunca podrá ser 3,45.
 Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo.
Por ejemplo, las estaturas de niños de un curso pueden ser: 1,35 m; 1,28 m; 1,32 m,
etc., o la velocidad de un vehículo 80,3 km/h; 94,57 km/h;...etc.
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Ejercitación Propuesta
1) Indica que variables son cualitativas y cuáles cuantitativas.
a) Comida favorita
b) Profesión que te gusta
c) Número de alumnos del CENT 35
d) Números de goles de tu equipo favorito en la última temporada.
2) Clasificar las siguientes variables en cualitativas nominales u ordinales y cuantitativas
discretas o continuas.
a. La nacionalidad de una persona
b. Suma de los puntos obtenidos en el lanzamiento de una par de dados
c. Litros de agua contenidos en un depósito.
d. La profesión de una persona.
e. El área de las distintas baldosas de un edificio.
f. Organización del sistema Judicial Argentino.
3) Completar la tabla:
Variable
Algunos valores
posibles
Clasificación
Color de pelo de una persona
Cantidad de veces que una
persona viajó al exterior
Altura de un río en época de
crecida
Cantidad de peces en un estanque
Peso de bebés recién nacidos.
Cantidad de habitantes de un país.
Raza de un perro.
Cantidad de lluvia caída durante
una tormenta.
CENT 35
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Matemática
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51/75
El símbolo de sumatoria
El símbolo ∑ significa sumatoria, se utiliza con frecuencia en las fórmulas estadísticas
para facilitar su escritura.
Para un conjunto de n números cuyos elementos se simbolizan 𝑎𝑖, , escribimos en forma
simplificada su suma de la siguiente manera:
𝑛
𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2+𝑎3 + ⋯ +𝑎𝑛
𝑖=1
Se lee: sumatoria de los elementos 𝑎𝑖 desde i igual a 1 hasta n.
Ejemplos:
5
𝑎)
7
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
𝑏)
𝑖=1
3𝑖 = 33 + 34 + 35 + 36 + 37 = 3267
𝑖=3
CENT 35
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Matemática
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Recuento y agrupamiento de datos
La distribución o tabulación de los datos es una ordenación de los mismos en forma de
tabla, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Tablas de frecuencias
Las tablas de frecuencia sirven para ordenar los datos de una muestra y permitir que se
pueda leer la información en forma más clara.
Para datos numéricos los ordenamos en forma creciente, es decir de mayor a menor.
En una tabla de frecuencia encontramos los siguientes conceptos: el tamaño de la muestra,
la frecuencia (frecuencia absoluta), la frecuencia relativa, la frecuencia porcentual y la
frecuencia acumulada, con sus respectivas simbologías.
Tipos de frecuencia
Conceptos y simbología
El tamaño de la muestra se simboliza con n, que representa el total de los datos.
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta indica la cantidad de veces que ocurre cada valor de la variable
observada. Su símbolo es 𝑓𝑎
La suma de las frecuencias absolutas debe coincidir con el número total de datos.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa de un valor observado indica la fracción del total de la muestra que
corresponde a cada valor de la variable.
Se calcula mediante la fórmula:
𝑓𝑎
𝑓𝑟 =
𝑛
Frecuencia porcentual
Indica el porcentaje del total de elementos de la muestra que corresponde a cada valor
de la variable, y se calcula así
𝑓𝑝 = 𝑓𝑟 ∙ 100
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Matemática
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Frecuencia acumulada
Indica la frecuencia absoluta que se acumula hasta esa fila de la tabla y se calcula para
una fila k cualquiera, mediante la siguiente fórmula
𝑘
𝑓𝑎𝑐 𝑘 =
𝑓𝑎 𝑖
𝑖=1
Punto Medio o Marca de Clase
Es el valor medio de cada intervalo de clase
Distribución de frecuencias
Una vez recogidos los datos debemos resumir la información de forma adecuada y útil
para su posterior estudio. Según el tipo de problema, el agrupamiento se hará de un modo u
otro:
 Si el carácter de la variable es cualitativo, hallaremos las frecuencias absolutas de cada
valor observado.
 Si el carácter es cuantitativo, hallaremos las frecuencias absolutas de cada valor de la
variable, si son pocos datos.
En caso contrario, agruparemos los valores en intervalos y hallaremos las frecuencias
absolutas de cada intervalo.
Si la variable es no agrupada, construiremos la siguiente tabla:
Valores de la
variable
Frecuencia
Absoluta
fa
Frecuencia
Relativa
fr
Frecuencia
Porcentual
fp
Distribución de frecuencias agrupadas
Cuando se trabaja con una gran cantidad de datos conviene agruparlos en clases o
categorías y determinar el número de valores correspondientes a cada clase, que es lo que
denominamos frecuencia de clase. Cada una de estas agrupaciones recibe el nombre de
intervalo de clase.
CENT 35
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Matemática
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54/75
Ejemplo: Tabla de frecuencias agrupadas
Intervalo de
clase
Frecuencia
absoluta
𝑓𝑎
Frecuencia
Relativa
𝑓𝑟
Frecuencia
Porcentual
𝑓𝑝
Punto Medio
𝑥𝑚
Ejemplo 1: La Tabla 1 muestra los datos correspondientes a las ventas semanales de un
determinado producto.
TABLA 1. Ventas semanales de un producto X.
75
88
75
82
89
97
73
73
82
73
87
75
61
97
67
81
68
60
74
94
75
78
88
72
90
93
62
77
95
85
78
63
62
71
95
69
60
76
62
76
88
59
78
74
79
65
76
75
1- Ordenamos los datos de menor a mayor.
2- Observamos que el menor de los valores es 59 y el mayor es 97. Así surge el concepto de
rango.
Rango: es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores de una muestra.
En nuestro ejemplo el rango es:
97 – 59= 38
CENT 35
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Matemática
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55/75
Intervalo de clase
Cuando agrupamos los datos en clases, cada clase contiene un número fijo de valores
posibles. Este número de valores de la variable recibe el nombre
tamaño de la clase.
En el ejemplo, hemos elegido tamaño de clase 5 y obtenemos la siguiente agrupación de
datos en la tabla 2:
TABLA 2.
Intervalo de clase
Frecuencia absoluta
[59 – 63]
7
[64 – 68]
3
[69 – 73]
6
[74 – 78]
14
[79 – 83]
5
[84 – 88]
5
[89 – 93]
3
[94 – 98]
5
Totales
48
𝑓𝑎
Los valores comprendidos entre corchetes son los intervalos de clase y cada par de
valores que lo conforman reciben el nombre de límites de clase.
El número menor se denomina límite inferior (59) y el valor mayor, se llama límite superior, (63).
Los intervalos de clase se simbolizan así: [m ; n] cuando incluimos en el intervalo los
valores inferior m o límite inferior y superior n o límite superior.
Si el intervalo incluye al valor inferior m pero no al superior n, el intervalo se simboliza así: [ m ;
n).
Aclaración: utilizamos paréntesis y/o corchetes en los intervalos dependiendo si
consideramos o no en esa clase los límites superiores. Es decir, que si consideramos ambos
en esa clase, como en el ejemplo, entonces el intervalo es cerrado y utilizamos corchetes. Si
sólo consideramos el límite inferior y no el superior, el intervalo es semicerrado o semiabierto.
El valor superior es nuestro límite inferior en el intervalo de clase siguiente.
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Matemática
-
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Método general para la distribución de frecuencias agrupadas
1. Determinar el mayor y el menor valor entre los datos registrados y así encontrar el rango.
2. Dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase del mismo tamaño.
3. Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, es
decir, encontrar la frecuencia de clase.
4. Determinamos el valor medio de cada intervalo de clase, llamado punto medio o marca de
clase.
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Matemática
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57/75
Ejercitación Propuesta
1. En el hall de un aeropuerto internacional se entrevistó a los turistas que partían para
preguntarles cuántas veces antes de esta habían tomado vacaciones en el exterior. Las
respuestas de una muestra de 40 entrevistas fueron las siguientes:
2 0 1 2 1 2 2 0 2 0 2 0 2 1 2 3 0 3 2 2
1 3 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 2 2 0 0 2 1
a. Completen la tabla de frecuencias.
b. ¿Qué fracción de los turistas salía al exterior por primera vez?
c. Calculen el porcentaje de turistas que había salido antes del país
al menos una vez……………….
Variable
(veces)
0
1
2
3
Totales
𝒇𝒂
𝒇𝒓
𝒇𝒑
𝒇𝒂𝒄
2. En una empresa se recabó información sobre la antigüedad que tenían sus empleados en el
trabajo. Los valores obtenidos en una muestra de 30 empleados fueron los siguientes:
5 4 11 3 16 0 3 9 21 13 10 2 6 6 8 4
4 15 2 25 7 14 3 8 15 9 5 10 19 24
a. Completen la tabla.
b. Calculen la fracción de empleados
que tienen una antigüedad inferior
a los 14 años………….
Antigüedad
(Años)
0;7)
7;14)
14; 21)
21; 28)
Totales
CENT 35
–
Matemática
-
58/75
𝒇𝒂
𝒇𝒓
𝒇𝒑
𝒇𝒂𝒄
3. a. Completen las siguientes tablas de frecuencias que muestran cómo se distribuyen los
sueldos de los empleados de dos empresas.
Empresa A
Empresa B
Sueldos ($)
𝒇𝒂
300; 500)
15
𝒇𝒓
𝒇𝒑
𝒇𝒂𝒄
35
700; 900)
500;800)
800;1100)
900; 1100)
𝒇𝒂
𝒇𝒓
200;500)
500; 700)
Totales
Sueldos ($)
𝒇𝒑
𝒇𝒂𝒄
33,33
33
0,22
130
1100;1400)
25,00
120
Totales
b. ¿Cuál de estas dos empresas paga mayor fracción de sueldos por debajo de $500?
4. Las notas obtenidas en un examen por los estudiantes de un curso, son las siguientes:
5, 3, 9, 7, 5, 3, 6, 6, 9, 5, 3, 6, 5, 4, 5, 3, 6, 4, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 5, 3, 3, 4, 3, 6, 5, 7, 5, 6, 7
a) ¿Cuál es el número de observaciones? n =
b) ¿Cuál es el dato observado?
c) ¿Qué clase de variable es?
d) ¿Cuál es mayor valor de la variable?
e) ¿Y el menor?
f) ¿Cuál es el rango de la variable?
g) Construir la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
h) Calcular el porcentaje para cada nota.
i) ¿Cuál es el porcentaje de aprobados?
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Gráficos estadísticos
Las representaciones gráficas deben conseguir que un simple análisis visual ofrezca la
mayor información posible. Según el tipo de variable que estemos estudiando, usaremos una u
otra representación.
Al realizar gráficos estadísticos debemos tener en cuenta lo siguiente:
 Todo gráfico debe llevar un título principal indicando la variable que se representa y la
unidad de medida utilizada.
 Aclarar el tipo de frecuencia que se está utilizando para evitar confusiones
 Los ejes deben llevar sus respectivos nombres
 Al pie del mismo debemos citar la fuente de información.
Diagramas de barras
Un diagrama de barras se utiliza para representar datos cualitativos o datos cuantitativos
discretos. Se grafica sobre ejes cartesianos graduados con una escala adecuada, en el eje de
abscisas (eje x) se colocan los valores de la variable y, sobre el eje de ordenadas (eje y), las
frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de
una altura proporcional a la frecuencia. También se suele utilizar para series cronológicas y
pueden, asimismo, representarse horizontalmente intercambiando los ejes.
Ejemplo. Cantidad de pan que consumen 4 amigos en un mes.
Eje y: kilogramos ; eje x: nombre amigos
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Gráfico de líneas
Se utiliza para analizar la evolución de una variable en el tiempo. Gráficamente son
parecidas a funciones continuas, pero no deben confundirse con funciones pues no
representan relaciones funcionales.
Gráficos circulares
Es el gráfico más adecuado para representar variables cualitativas con sus respectivas
frecuencias porcentuales. Se utilizan para analizar la participación de cada categoría de la
variable en el total de la muestra. Esta participación es proporcional al total de las
observaciones. Por eso, para graficar los distintos sectores en los que queda dividido el círculo,
tenemos que calcular el ángulo que le corresponde a cada sector, siendo éste proporcional al
porcentaje correspondiente.
El ángulo se calcula aplicando proporciones o bien una regla de tres simple,
considerando el ángulo total de 360° que se corresponde con el 100% de los datos
observados.
𝛼=
360°
· 𝑓𝑎
𝑛
Consumo de pan en un mes
Jorge
15%
Luis
35%
CENT 35
–
Juan
26%
Pedro
24%
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Histogramas
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se
utiliza para variables continuas o para variables discretas con un gran número de datos, y que
se han agrupado en clases. En el eje de abscisas se construyen rectángulos que tienen por
base la amplitud del intervalo y, por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo. La
superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Ejemplo. El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
𝒇𝒊 𝑭𝒂
𝒙𝒎
[50, 60)
8
8
55
[60, 70)
10 18
65
[70, 80)
16 34
75
[80, 90)
14 48
85
[90, 100)
10 58
95
[100, 110)
5
63
105
[110, 120)
2
65
115
Intervalos
Totales
65
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el
punto medio de cada rectángulo y luego unimos esos puntos con una línea.
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Lectura y análisis de cuadros estadísticos
Los siguientes gráficos fueron extraídos de una revista y un diario.
¿Qué información les da cada uno de los gráficos? Formulen algunas preguntas que
puedan responderse a partir de estos gráficos.
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Ejercitación Propuesta
1. Observen los siguientes gráficos indicadores de la actividad turística en Playa Amarilla.
a. ¿Cuántos turistas arribaron a Playa Amarilla
en el verano de 2000?
b. ¿Cuántos de ellos lo hicieron en automóvil?
c. ¿En qué porcentaje disminuyó la afluencia de
turistas en 1996 respecto de 1995?
d. ¿Cuántos turistas de 50 años o más
arribaron a Playa Amarilla en el verano de
2000?
e. ¿En qué año se dio el mayor incremento en
la afluencia turística?
f. ¿En qué porcentaje respecto del
año anterior?
2. En la siguiente matriz de datos se observan los resultados de una investigación sobre el
uso de Internet por parte de los usuarios que están abonados al servicio de una
compañía.
a.. Construyan un gráfico circular con la distribución porcentual de la variable tipo de servicio (realicen
previamente la tabla de frecuencias).
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b. Construyan un histograma de frecuencias con la cantidad de horas que los usuarios estuvieron
conectados a Internet durante el último mes. Realicen previamente la tabla de frecuencias utilizando 5
clases con un ancho de intervalo de 50, teniendo como límite inferior de la primera clase al 0.
c. Construyan un gráfico circular de la distribución de los clientes por categoría (A: menos de un año de
antigüedad; B: entre 1 y 2 años de antigüedad; C: más de 2 años de antigüedad). Realicen previamente la
tabla de frecuencias.
3. Observen el siguiente gráfico que representa los trasplantes de riñón realizados en 1996 y
1997 en la provincia de Buenos Aires.
a. Analicen si el tipo de gráfico elegido es el adecuado.
b. Si consideran incorrecta la elección, realicen un nuevo
gráfico para la variable.
4. La siguiente tabla representa la producción de las principales frutas en la provincia de
Buenos Aires, campañas 1990-1991 a 1994-1995.
a. Construyan un gráfico de líneas para comparar la evolución de la producción de limones y la de
mandarinas.
b. Construyan un gráfico de líneas para representar la evolución de la producción de frutas
utilizando el total de la producción de cada año.
c. Construyan un gráfico circular con la distribución de la producción por tipo de frutas en la
campaña 1994-1995.
d. ¿Cuál de las producciones de frutas manifiesta mayor crecimiento en la última campaña
respecto de la primera?
5. Observen la tabla y los dos gráficos construidos a partir de ella. El primero tiene rectángulos
de igual base y la altura proporcional a la frecuencia absoluta. El segundo tiene rectángulos de
distinta base (los intervalos no tienen la misma longitud) y área proporcional a la frecuencia
absoluta.
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a. ¿Cuál de los dos gráficos les resulta de más clara lectura?
b. A partir de los datos de la tabla analicen la forma de construir el gráfico B.
6. Las estaturas en cm de una muestra de 35 varones adultos, son las siguientes: 156, 159,
160, 163, 164, 165, 165, 166, 168, 170, 171, 171, 172, 172, 173, 173, 174, 175, 175, 176, 177,
178, 178, 179, 180, 181, 182, 182, 183, 184, 185, 185, 187, 187, 188.
a) Encuadren estos datos en 5 clases de 7 cm. de ancho de intervalo, con 154 como límite
inferior de la primera clase.
b) Construyan la correspondiente tabla con las frecuencias y porcentajes.
c) Dibujen el histograma.
7. Se hizo un estudio, sobre los grupos sanguíneos, y estos fueron los resultados:
Grupo
A
sanguíneo
Nº de personas 390
B
AB
O
470
330
180
a) ¿Qué porcentaje le corresponde a cada grupo sanguíneo?
b) Tracen un gráfico circular.
8. El profesor de educación física de la escuela pesó a los alumnos de un curso y anotó los
siguientes registros : 50, 40, 48, 47, 56, 39, 49, 42, 52, 38, 41, 58 46, 37, 47, 41, 50, 45, 38, 49,
64, 35, 52, 48, 51, 44, 46, 39, 43, 54, 48, 56, 47, 40, 63, 59, 43, 55, 46, 50.
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuál es la población?
¿Qué clase de variable es?
Calculen la amplitud de la variable.
Realicen la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
Realicen un gráfico de barras.
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¿Algunos gráficos son mentirosos?
En el siguiente gráfico se representa la cantidad de ventas de tres negocios diferentes,
todos dedicados al mismo ramo.
¿Es verdad que, según el gráfico, el negocio C vendió muy poco en comparación con el
negocio A? ¿Por qué? Observen que si miramos solamente “el dibujo” (las barras que
aparecen en el gráfico) parecería ser cierto que C vendió muy poco. Pero, si analizamos el eje
vertical, vemos que no comienza en 0 sino en 6. ¡Nos están mostrando solamente una parte
del gráfico! El gráfico completo es:
¿Les parece que es verdad que C no vendió casi nada?
Cuando se leen gráficos hay que prestar atención a la escala que figura en cada uno de los
ejes.
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La estadística en los medios
Si bien uno de los objetivos principales de la estadística es proveer herramientas para
simplificar la información y hacerla accesible a mayor cantidad de gente, esto no ocurre con
mucha frecuencia. Las herramientas estadísticas son usadas frecuentemente para manipular la
visión de los lectores sobre la realidad. Algunos ejemplos son los siguientes:
El mal uso intencionado de los porcentajes y los valores absolutos
Para comprender el alcance de esta manipulación pondremos algunos ejemplos y luego,
entre paréntesis, la aclaración acerca de la información omitida.
“El año pasado desaprobaron 20 alumnos y este año 40. Esto implica que el índice de
desaprobación se incrementó en un 100%”. (El año pasado había 150 alumnos y este año hay
480).
“Entre los que se enfermaron, el 75% debió ser internado en terapia intensiva. Es
necesario que las autoridades decreten una emergencia sanitaria”. (Se declararon 4 casos en
una ciudad de 100000 habitantes, entre los cuales 3 fueron internados en terapia intensiva).
La modificación de la escala de los gráficos produce distorsión en la percepción de los
datos.
¿Cuál de los dos gráficos sugiere mayor velocidad de crecimiento?
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Medidas de Tendencia Central
Concepto
Estas medidas nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. Las
medidas de centralización son: moda, mediana y media aritmética. Las formas y fórmulas que
utilizaremos para calcularlas dependerán del tipo de variable que estemos analizando y de la
distribución que utilicemos para tabular los datos.
Para datos sin agrupar :
Moda
La moda es el valor que más se repite en una distribución, es decir es el valor que tiene
mayor frecuencia absoluta. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Simbolización: Mo.
Ejemplo 1:
- Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
Mo = 4
- Cuando todas las puntuaciones de un grupo tiene la misma frecuencia, no hay moda.
Ejemplo 2:
- 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
No existe Moda.
Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando están ordenados de
menor a mayor. La mediana se puede hallar solo para variables cuantitativas. Se representa
así: Me.
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Cálculo de la mediana
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de datos, la mediana es la puntuación central.
Ejemplo:
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6.
Me = 5
3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones, la mediana es la media entre las dos
puntuaciones centrales.
Ejemplo:
7, 8, 9, 10, 11, 12.
𝑀𝑒 =
9+10
2
= 9,5
𝑀𝑒 = 9,5
Media aritmética o Promedio
La media aritmética de una muestra es el promedio aritmético de sus valores. Para
calcular el promedio se suman todos los datos y se divide ese resultado entre el número total
de datos.
𝑛
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑥=
𝑛
𝑥=
𝑖=1
𝑥𝑖
𝑛
Ejemplo
Las edades de 5 alumnos son: 14, 15, 15, 16, 14.
𝑥=
14 + 15 + 15 + 16 + 14
= 14,8
5
Entonces, la media es 𝑥 = 14 𝑎ñ𝑜𝑠.
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Para datos agrupados:
Cálculo de la Media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en intervalos de clase, calculamos la media utilizando el punto
medio (𝑥𝑚 ) de cada intervalo. Cuando los datos aparecen en tablas de frecuencias agrupados
en intervalos, aplicamos las siguientes fórmulas de aproximación:
Donde 𝑥𝑚𝑖 es el punto medio de cada intervalo y 𝑓𝑖 su
frecuencia absoluta.
Ejemplo
La siguiente tabla corresponde a los pesos, en kilogramos, de 20 adultos que concurren
a una clínica de nutrición. Calcula el peso medio.
PESO
𝒇𝒊
[60, 70)
[70 , 80)
[80 , 90)
[90 , 100)
[100 , 110)
5
3
4
7
1
Resolución
PESO
𝒇𝒊
Punto medio
𝒙𝒎𝒊
𝒙𝒎𝒊 · 𝒇𝒊
[60, 70)
[70 , 80)
[80 , 90)
[90 , 100)
[100 , 110)
TOTALES
5
3
4
7
1
20
65
75
85
95
105
325
225
340
665
105
1660
𝑋=
1660
= 83
20
Intervalo Modal
Cuando los datos están agrupados en intervalos de clase, se llama Intervalo Modal aquel que
tiene la mayor frecuencia. En el ejemplo anterior el Intervalo Modal sería [90, 100), dado que es
el que tiene la mayor frecuencia.
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Mediana aproximada
Cuando los datos están ordenados de menor a mayor, la Mediana es el valor central. Para una
distribución de frecuencias buscamos en qué intervalo se encuentran el o los datos centrales.
En el ejemplo anterior, la mediana se encuentra en el intervalo [80, 90) y la aproximamos con el
punto medio: 85.
Ejercitación Propuesta
1. La siguiente tabla corresponde a los valores de las facturas telefónicas de 200 familias de
una ciudad.
a. Completen la tabla.
b. Aproximen la media aritmética, el intervalo modal y
la mediana.
c. Construyan un histograma con las frecuencias y
ubiquen los valores hallados.
2. Aproximen las media aritmética de la muestra de tiempos (en minutos) que tardan los
operarios de una fábrica en armar una pieza, representada por el histograma, y ubíquenla en la
gráfica.
Minutos
…………………………..
…………………………..
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3. Las alturas de los jugadores de un equipo de basquet vienen dadas por la tabla:
Altura
[170,
175)
[175,
180)
[180,
185)
[185,
190)
[190,
195)
[195,
2.00)
Nº de jugadores
1
3
4
8
5
2
Calcular:
a. La media
b. La mediana aproximada
c. El intervalo modal.
d. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media?
4. De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:
Edad
Fi
[0, 2)
4
[2, 4)
11
[4, 6)
24
[6, 8)
34
[8, 10)
40
a. Media aritmética, mediana aproximada e intervalo modal.
b. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
5. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
𝑓𝑖
4
4
7
5
7
𝑓𝑎𝑐
𝑓𝑟
0.08
16
0.16
0.14
28
38
45
a. Calcular la media, mediana y moda de esta distribución
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6. En una zapatería se vendieron, en un día, 20 pares de zapatos de los siguientes números:
39, 36, 38, 39, 37, 38, 35, 36, 37, 35, 38, 39, 40, 38, 36, 37, 36, 38, 37, 38.
a)
b)
c)
d)
Confeccionen la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
¿Qué porcentaje de cada número se vendió?
¿Cuál fue la moda, es decir el zapato más vendido?
El próximo mes, los dueños comprarán dos mil pares de zapatos. ¿Recomendarían
comprar mil pares del número 38? ¿Por qué?
7. Los valores siguientes corresponden a las alturas (en cm) de un grupo de alumnos de
cuarto grado:
124 – 125 – 126 – 128 – 128 – 128 – 130 – 130 – 132 – 132 – 132 – 132
133 – 133 – 134 – 136 – 138 – 139 – 138 – 140 – 142 – 142 – 145 – 147
a) Encuadren estos datos en 5 clases de 6 cm de ancho de intervalo cada una, con el límite
inferior de la primera clase 120.
b) Construyan la correspondiente tabla con las frecuencias y porcentajes.
c) Tracen el histograma.
d) Calculen la media aritmética, la mediana aproximada y el intervalo modal.
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Bibliografía
“MATEMÁTICA”. Funciones y Estadística de Irene Marchetti de De Simone y Margarita García
de Turner – aZ Editora S.A.
“MATEMÁTICA”. Funciones 1 de Silvia V. Altman, Claudia R Comparatore y Liliana Kurzrok –
Editorial Longseller S.A.
“MATEMÁTICA”. Números y Sucesiones de Silvia V. Altman, Claudia R Comparatore Liliana E.
Kurzrok – Editorial Longseller S.A
Carpeta de Matemática 2 Polimodal – AIQUE, 2005
Libros de texto de Matemática: 1° año Polimodal Editorial Santillana, Comunicarte, Aique.
Páginas web: Vitutor, Sector Matemática.
Profesores: Julio Aguiar, Adrian Alvarado, Dario Galvan, Patricia Alesandro, Margot Asencio
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