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POTENCIAS
1. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:
En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente.
Al utilizar las potencias ten en cuenta que:
 Cualquier número puede expresarse mediante una potencia de exponente 1.
Por ejemplo: 51 = 5, 71 = 7, ...
 Para efectuar una potencia debes multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique
el exponente. No confundas 54= 5 · 5 · 5 · 5 = 625 con 5·4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20.
Ejemplo 1.
Expresar en forma de potencia:
3 · 3 · 3 · 3 = 34
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
(-5) · (-5) · (-5) = (-5)3
Ejemplo 2.
Calcular:
53 = 5 · 5 · 5 = 125
104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000
Ejemplo 3.
(+4)2 = (+4) · (+4) = +16
(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = +81
(–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243
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En las sucesivas potencias de un número negativo obtenemos, alternativamente, resultados
positivos y negativos:
(–3)1 = –3
(–3)2 = +9
(–3)3 = –27
(–3)4 = +81
Al elevar un número negativo a una potencia:
• Si el exponente es par, el resultado es positivo.
(a es un número positivo)
• Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
( −a)n (par) → positivo
( −a)n (impar) → negativo
(a es un número positivo)
Ten cuidado con las potencias y el signo de la base.
(-3)2 La base es -3, el exponente es 2 y debajo de él hay un paréntesis que encierra la base -3.
(-3)2 = (-3)·(-3)=9
-32 No es una potencia, se trata de un operación combinada, un
producto y una potencia.
-32= (-1)·32=(-1)·9= -9
exponente es 2.
La potencia es 32, luego la base es 3 y el
También podemos decir que -32 es el opuesto de 32, como 32 = 9 su
opuesto es -9, luego -32=9
Ejemplo 4.
(-5)2=25
-34=-81
-52= -25
(-2)3=- 8
-23=-8
(-3)4=81
Cuando la base de una potencia queramos que sea negativa debe ir entre paréntesis.
1.1. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
■Potencia de exponente cero:
a0 = 1
Ejemplo 5.
50=1
150=1
(- 2)0=1
(- 7)0=1
Ejemplo 6.
- 20= -1
- 70= -1
- 50=-1
¿Por qué no es 1? Porque se trata de un operación combinada, un producto y una potencia.
- 20 = (-1)·20= (-1)·1=-1
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- 70 = (-1)·70= (-1)·1=-1
- 50 = (-1)·50= (-1)·1=-1
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■ Potencia de un producto:
(a ⋅b)n = an ⋅ bn
Ejemplo 7.
(2·3)3 = 23·33 = 8·27 = 216
(3 · 7)2 = 32 · 72 = 9 · 49 = 441
Ejemplo 8.
Calcular, por el camino más sencillo, 56 · 26.
56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1000000
■ Potencia de un cociente:
(a : b )n = an : bn
n
an
a
⇔   =
b
bn
Ejemplo 9.
203 : 43= (20 : 4)3 = 53 = 125
1.2. OPERACIONES CON POTENCIAS
■Producto de potencias de la misma base
an ⋅ am = an+ m
Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número.
Observa que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los factores.
Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes.
Por ejemplo: a3 · a2 = a3 + 2 = a5
Ejemplo 10.
Reduce a una sola potencia:
2 5 ⋅ 2 7 = 2 5 + 7 = 212
9 4 : 3 4 = (9 : 3 )4 = 3 4
■Cociente de potencias de la misma base
an : am = an−m
⇔
an
am
= an−m
Al dividir dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número.
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57 : 53 =
5/ ⋅ 5/ ⋅ 5/ ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 54
5/ ⋅ 5/ ⋅ 5/
Observa que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y del
divisor.
Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes.
Por ejemplo:
a8 : a6 = a8 – 6 = a2
Ejemplo 11.
59 : 53 = 59 −3 = 5 6
■Potencia de otra potencia
(an )m = an ⋅ m
Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la misma base.
(54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512
Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresión inicial.
Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la base y se multiplican los exponentes.
Por ejemplo:
(a2)4 = a2 · 4 = a8
Ejemplo 12.
[(− 2)4 ]3 = (− 2)12
Ejemplo 13.
(58 ⋅ 5 4 ): (52 )5 = (58 + 4 ): 52 ⋅ 5 = 512 : 510 = 512−10 = 52
(− 12)7 : [(− 3)5 ⋅ 4 5 ] = (− 12)7 : [(− 3 ⋅ 4)5 ] = (− 12)7 : [(− 12)5 ] = (− 12)7 − 5 = (− 12)2 = 144
1.3. POTENCIAS DE BASE 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA.
Ya has observado que el tamaño de un número con muchos ceros se percibe mejor si se expresa
con una potencia de base 10:
100 000 000 000 000 = 1014
Ahora vamos a aprovechar este recurso para facilitar la expresión y la comprensión de números
muy grandes.
Ejemplo 14.
Un año luz equivale, aproximadamente, a 9 500 000 000 000 kilómetros. Observa las
transformaciones que proponemos para hacer esa cantidad más manejable:
• Descomposición en producto por la unidad seguida de ceros. 95·100 000 000
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• Transformación del segundo factor en potencia de base 10.
95·1011
Diremos, entonces, que un año luz equivale a 95 · 1011 kilómetros. Esta cantidad es más
fácil de leer, de escribir y de recordar.
La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar
en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.
Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como
potencia de diez.
En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación
científica.
Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la
desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número
es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea
necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre
1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.
Es más fácil entender con ejemplos:
750 = 7,50 • 0,01= 7,50 •10-2
732,5051 =7,325051 • 100= 7,325051 • 102 (movimos la coma
decimal 2 lugares hacia la izquierda)
−0,005612 = −5,612 •0,001= −5,612 • 10−3 (movimos la coma
decimal 3 lugares hacia la derecha).
Fíjate la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el
exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo
hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.
Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será
positivo.
Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será
negativo.
Ejemplo 15. Representar en notación científica: 7.856,1
1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede
un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.
7,8561
La coma se desplazó 3 lugares.
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2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras
desplazadas son 3, la potencia es de 103.
3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es
negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los
exponentes no se anota; se sobreentiende.
Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es:
7,8561 • 103
2. POTENCIAS DE FRACCIONES NÚMEROS FRACCIONARIOS
Las propiedades que has estudiado para las potencias de números enteros se conservan con los
números fraccionarios. Estas propiedades se traducen en reglas de uso práctico; pero no te limites a
memorizarlas, si comprendes su justificación, las usarás con mayor seguridad y eficacia.
■Potencia de una fracción
La potencia de un número fraccionario se calcula de la misma forma que la potencia de un entero.
4
2 2 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 24
2
=
  = ⋅ ⋅ ⋅ =
3 3 3 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 34
3
Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador
a dicha potencia.
Ejemplo 16.
(− 3)2 = 9
−3
=


25
 5 
52
2
n
an
a
  ≠
b
b
Observa que para que la base de una potencia sea una fracción ésta tiene que ir entre
paréntesis.
Ejemplo 17.
4
16
24
2
  = 4 =
625
5
5
24
5
=
≠
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 16
=
5
5
■Potencia de un producto de fracciones
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los
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n
n
 c
a
a c
 ⋅  =  ⋅  
 d
b
b d
n
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factores.
Ejemplo 18.
4
4
4
4
6 5
6 5
 30 
4
  ⋅   =  ⋅  =   = 2 = 16
5 3
5 3
 15 
■Potencia de un cociente de fracciones
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y
del divisor.
n
n
a c
a  c
 :  =   : 
b d
b  d
n
Ejemplo 19.
3
3
3
3
3
1
 1
 15 
5 5
5 5
  :  = :  =  =  =
8
2
 30 
6 3
6 3
■Producto de potencias de la misma base
n
Para multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes.
m
a
= 
b
m
a
= 
b
a a
  ⋅ 
b b
n+m
Ejemplo 20.
3
3
 1
 1  1
  ⋅  =  
2
2 2
3+3
6
1
 1
=  =
64
2
■Cociente de potencias de la misma base
n
a
a
  :  
b
b
Para dividir dos potencias de la misma base, se restan los exponentes.
Ejemplo 21.
4
3
 1
 1  1
  :  = 
2
2 2
4 −3
n −m
1
1
 1
=  =
2
2
■Potencias de exponente cero (a0)
El cociente de dos números iguales es igual a la unidad.
35
35
=1
Para dividir dos potencias de igual base, restamos los exponentes.
35
35
= 35 −5 = 30
Entonces 3 0 = 1
Y de la misma forma:
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5
5




0
a 
=  
b 
a a
  :  =1
b b
5
a a
  : 
b b
5
0
a
  =1
b
La potencia de exponente cero vale siempre uno (para cualquier base distinta
Ejemplo 22.
0
2
  =1
3
(− 6)0 = 1
50 = 1
¡ Cuidado !
0
 3
−  = 1
 5
70 1
=
5
5
■Potencia de otra potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.
Ejemplo 23.
m
n

  a  
 b  


n⋅m
a
= 
b
3
2 ⋅3
6
  2 2 
64
2
    =  2 
=  =
 3  
729
3
3


3. RAíCES CUADRADAS. CUADRADOS PERFECTOS
Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.
b2 = a ⇔
a = ±b
Ejemplo 24.
•


 ⇔ 16 = ±4
( − 4) 2 = 16

La raíz cuadrada de 16 es ± 4
4 2 = 16
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•

 ⇔ 225 = ±15
( −15) 2 = 225 
La raíz cuadrada de 225 es ± 15
15 2 = 225
Si observas la definición de raíz cuadrada quizá te hayas dado
cuenta que no existe la raíz cuadrada de números negativos.
Si
− 25 = a entonces el número a debería de cumplir que
a2 = -25, lo cual es imposible, porque al elevar un número a dos
se obtiene otro número siempre positivo.
Si a < 0, a no existe
3.1. RAÍCES EXACTAS
Los números cuya raíz es exacta se llaman cuadrados perfectos. Por ejemplo, son cuadrados
perfectos 25, 100 ó 400.
25 = ±5
100 = ±10
400 = ±2 0





2
5 = 25



2
10 = 100



2
20 = 400
( −5) 2 = −25
( −10) 2 = −100
( −20) 2 = −400
3.2. RAÍCES ENTERAS
Para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras.
Busquemos, por ejemplo, la raíz de 34:
5 2 = 25 < 34
 → 5 < 34 < 6
6 2 = 36 > 34 
La raíz cuadrada de 34 está comprendida entre 5 y 6.
Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera.
34 ≈ 5 La raíz entera de 34 es 5.
Ejemplo 25.
17 2 = 289 


289 = ±17 → 
 →La raíz cuadrada de 289 es ± 17
( −17) 2 = 289 
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60 2 = 3600 


3600 = ±60 → 
→
( −60) 2 = 3600 
La raíz cuadrada de 3600 es ± 60
Lo más habitual el que no nos sepamos los cuadrados perfectos. ¿Cómo podemos calcular sus
raíces? Factorizando el número como puedes ver en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 26.
9 = 3 2 = ±3
441 = 3 2 ⋅ 7 2 =
(3 ⋅ 7)2
37 2 = 1369
= ±3 ⋅ 7 = ±21
38 2 = 1444
400 = 5 2 ⋅ 2 4 = (5 ⋅ 2 2 ) 2 = ±5 ⋅ 2 2 = ±20
32 ⋅ 52 =
39 2 = 1521
(3 ⋅ 5)2 = ±3 ⋅ 5 = ±15
40 2 = 1600
Ejemplo 27.
Teniendo en cuenta los datos del cuadro, calcular 1440 , 1444 y
1580
1440 ≈ 37 → Raíz entera
1444 = ±38 → Raíz exacta
1580 ≈ 39 → Raíz entera
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