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Matemática I Fracciones Algebraicas. Reducción de Fracciones Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Correo electrónico: [email protected] Temas • Primera Unidad: Elementos Algebraicos • Tema 4: Fracciones Algebraicas Reducción de Fracciones Objetivos Conocer el concepto de fracción algebraica, así como los mecanismos para reducirlas. Bibliografía Álgebra, Baldor A. Fundamentos de Matemáticas Modernas, Mehienbacher L. Álgebra Moderna, Nichols E. Álgebra y Trigonometría, Raymond B. Álgebra Superior, Spiegel M. Introducción Una vez comprendidos los procedimientos de descomposición factorial se procede a analizar los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo para dar paso a la posterior reducción de fracciones algebraicas. Fracción Algebraica Fracción Algebraica • Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas 𝒂 • Así es una fracción algebraica porque indica un 𝒃 cociente entre la expresión algebraica 𝒂 y la expresión algebraica 𝒃. • El dividendo 𝒂 de la fracción algebraica se llama numerador el divisor 𝒃 de la fracción algebraica se llama denominador. • Numerador y denominador fracción algebraica. son los términos de la Expresión Algebraica Entera • Una expresión algebraica entera es la que no tiene denominador literal • Se puede considerar que el denominador es 1 Ejemplo de expresión algebraica entera: 𝒂 𝒙+𝒚 𝒎−𝒏 𝟏 𝟐 𝒂+ 𝒃 𝟐 𝟑 Expresión Algebraica Mixta • Una expresión algebraica que consta de parte entera y parte fraccionaria Ejemplo de expresión algebraica mixta: 𝒃 𝒂+ 𝒄 𝟑 𝒙− 𝒙−𝒂 Principios Fundamentales de las Fracciones 1- Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por una cantidad, la fracción queda multiplicada en el primer caso y dividida en el segundo caso por dicha cantidad. (𝒃 + 𝟑) × 𝟑 𝒃 + 𝟑 = ×𝟑 𝒄+𝟐 𝒄+𝟐 𝒃+𝟑 (𝒃 + 𝟑) ÷ 𝟑 𝒄 + 𝟐 𝒃+𝟑 = = 𝒄+𝟐 𝟑 𝒄+𝟐 ×𝟑 Principios Fundamentales de las Fracciones 2- Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por una cantidad, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo caso por dicha cantidad 𝒃+𝟑 𝒃+𝟑 = 𝒄+𝟐 (𝒄 + 𝟐) × 𝟑 𝟑 𝒃+𝟑 𝒃+𝟑 𝒃+𝟑 (𝒃 + 𝟑) × 𝟑 = = = 𝟏 (𝒄 + 𝟐) (𝒄 + 𝟐) ÷ 𝟑 𝒄+𝟐 (𝒄 + 𝟐) × 𝟑 𝟑 Principios Fundamentales de las Fracciones 3- Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se multiplica o se divide por una misma cantidad la fracción no se altera (𝒃 + 𝟑) × 𝟑 𝟑𝒃 + 𝟗 (𝒃 + 𝟑) = = (𝒄 + 𝟐) × 𝟑 𝟑𝒄 + 𝟔 (𝒄 + 𝟐) Signo de la Fracción y de sus términos En una fracción algebraica hay que considerar 3 signos: • Signo de la fracción 𝒂 𝒂 − ó + 𝒃 𝒃 • Signo del numerador −𝒂 +𝒂 ó 𝒃 𝒃 • Signo del denominador 𝒂 𝒂 ó −𝒃 +𝒃 Si, Cambios de signos de la fracción 𝒂 =𝒎 𝒃 𝒚 −𝒂 =𝒎 −𝒃 Entonces, −𝒂 = −𝒎 𝒃 𝒚 𝒂 = −𝒎 −𝒃 𝒚 𝒂 − =𝒎 −𝒃 y, −𝒂 − =𝒎 𝒃 Cambios de signos de la fracción cuando son polinomios 𝒎−𝒏 𝒏−𝒎 𝒏−𝒎 = = 𝒙−𝒚 𝒚−𝒙 𝒚−𝒙 Ejemplos: , 𝒙−𝟑 −𝒙 + 𝟑 𝟑−𝒙 =− =− 𝒙+𝟐 𝒙+𝟐 𝒙+𝟐 𝟑𝒙 𝟑𝒙 𝟑𝒙 =− =− 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏−𝒙 −𝟏 + 𝒙 𝒙 −𝟏 , 𝒙−𝟐 𝟐−𝒙 𝟐−𝒙 𝒙−𝟐 =− =− =− 𝒙−𝟑 𝟑−𝒙 𝒙−𝟑 𝟑−𝒙 Cambios de signos de la fracción cuando numerador y denominador son productos indicados 1- Se puede cambiar el signo de un número par de factores sin cambiar el signo de la fracción. Ejemplo: Dada la fracción 𝒂𝒃 𝒙𝒚 Podemos escribirla como, 𝒂𝒃 −𝒂 𝒃 = 𝒙𝒚 −𝒙 𝒚 Cambios de signos de la fracción cuando numerador y denominador son productos indicados Podemos escribirla como, 𝒂𝒃 −𝒂 𝒃 = 𝒙𝒚 𝒙 −𝒚 𝒂𝒃 −𝒂 (−𝒃) = 𝒙𝒚 𝒙𝒚 𝒂𝒃 𝒂𝒃 = 𝒙𝒚 (−𝒙) −𝒚 𝒂𝒃 (−𝒂)(−𝒃) = 𝒙𝒚 (−𝒙) −𝒚 Cambios de signos de la fracción cuando numerador y denominador son productos indicados 2- Se puede cambiar el signo de un número impar de factores cambiando el signo de la fracción. Ejemplo: Dada la fracción 𝒂𝒃 𝒙𝒚 Podemos escribirla como, 𝒂𝒃 −𝒂 𝒃 =− 𝒙𝒚 𝒙𝒚 Cambios de signos de la fracción cuando numerador y denominador son productos indicados Podemos escribirla como, 𝒂𝒃 −𝒂 𝒃 = 𝒙𝒚 𝒙 −𝒚 𝒂𝒃 −𝒂 (−𝒃) =− 𝒙𝒚 (−𝒙)𝒚 𝒂𝒃 𝒂𝒃 =− 𝒙𝒚 𝒙 −𝒚 Cambios de signos de la fracción Dada la fracción, (𝒂−𝟏)(𝒂−𝟐) (𝒙−𝟑)(𝒙−𝟒) (𝒂 − 𝟏)(𝒂 − 𝟐) (𝟏 − 𝒂)(𝒂 − 𝟐) = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) (𝟑 − 𝒙)(𝒙 − 𝟒) (𝒂 − 𝟏)(𝒂 − 𝟐) (𝟏 − 𝒂)(𝟐 − 𝒂) = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) (𝒂 − 𝟏)(𝒂 − 𝟐) (𝟏 − 𝒂)(𝒂 − 𝟐) =− (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) (𝒂 − 𝟏)(𝒂 − 𝟐) (𝟏 − 𝒂)(𝒂 − 𝟐) =− (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) (𝟑 − 𝒙)(𝟒 − 𝒙) Tareas Extraclase • Ejercicios propuestos en el Sitio Web Tarea Extraclase 7 Conclusiones Se aprendió a determinar el Mínimo Común Múltiplo de expresiones algebraicas.
