Download evaluacion numerica de expresiones algebraicas

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar
un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy
fácilmente números muy grandes o muy pequeños.
Los números se escriben como un producto:
siendo:
un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre
de coeficiente.
un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.
La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante
en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.
representación algebraica de expresiones de un
lenguaje común
a
Un número cualquiera
b
Un número cualquiera
a+b
La suma de dos números o la adición de dos números
generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritm
números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que e
que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquier
Términos para identificar las operaciones en lenguaje algebraico
Suma.- Adición,aumentar, sumar, añadir, exceder, más, agregar.
Resta.- Sustraer, diferencia, menos, disminuir, menos que, menos, de, qu
Multiplicación.- Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar, los
División.- Cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, porción, parte,
EJEMPLOS:
a-b+c
La suma de dos números cualesquiera menos otro número cua
a-b
La resta de dos números o la diferencia de dos números
a.b
El producto de dos números
ab
El producto de dos números
a/b
El cociente de dos números
2a
El doble de un número
3(a+b)
El triple de la adición de dos números
La mitad de un número
La tercera parte de la diferencia de dos números
La tercera parte de la suma de dos números
a2 El cuadrado de un número
a3
El cubo de un número
Raíz cuadrada de un número
2b+5d
El duplo de b mas el quintuplo de d.
El triple de m menos la tercera parte de m.
20+2a
20 aumentado en el doble de a.
El quintuplo de la suma de e más f dividido entre 10.
El reciproco de un número.
El reciproco de la suma de dos números.
con su tercera parte.
A) x + x / 3
B) x - x / 3
C) 3x - x / 3
D) 3x + x / 3

6. El recíproco de un número.
A) x + 1
B) x
C) x2
D) 1 / x

7. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
A) c2 = a2 - b2
B) c2 = a2 + b2
C) c2 = a2 b2
D) c2 = a + b

8. Un número aumentado en 5 unidades.
A) 5 - a
B) a - 5
C) 5a
D) a + 5

9. El cociente de la suma entre la diferencia de dos cantidades.
A) (a + b) / (a - b)
B) (a + b)(a - b)
C) (a + b) + (a - b)
D) (a + b) - (a - b)

10. El doble producto de dos números.
A) -2x y
B) 2x y
C) 2x - y
D) x - 2y
Interpretación de expresiones
algebraicas
¿Para que sirven las expresiones algebraicas?
Las expresiones algebraicas sirven para indicar pasos a seguir, te dicen
sumar, restar, dividir, etc.) Como debes de interpretarlas es utilizando v
literales (X, Y, Z, etc.) Ejemplo:
Repartir $300 entre alma, patricia, y Yadira de modo que la parte de pa
de alma y la de Yadira sea el triple de la de Ana.
Aquí a partir de ese problema lo interpretamos de la siguiente manera:
Tenemos $300 los cuales deben ser repartidos entre 3 personas en canti
suma de estas nos darán los $300 pesos entonces se puede decir que Al
de dinero, patricia tiene el doble de alma 2(X) y Yadira el triple 3(X)
Entonces:
X+2X+3X=300
6X=300
X=50
Alma= $50
Patricia = $100
Yadira = $150
La suma de estos nos dan los $300 entonces quiere decir que la ecuació
interpretadas.
Ejemplos de lenguaje común a lenguaje algebraico
a+b: la suma de dos números o la adición de dos números
a-b: la resta de dos números o la diferencia de dos números
a*b: el producto de dos números
a/b: el cociente de dos números
2a: el doble de un numero
3(a+b): el triple de la adición de dos números
x/2: la mitad de un numero
(a-b) / 3: la tercera parte de la diferencia de dos números
a^2: el cuadrado de un numero
b^3: el cubo de un numero
EVALUACION NUMERICA DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Evaluar una expresión algebraica significa agregarte valores, números a las liberarles y después efectuar
las operaciones indicadas.
Por ejemplo.
Evaluar la expresión 6mn si m=8 y n=2
6mn
6 (8) (2)= 96
OPERACIONES BASICAS DE POLINOMIOS
La suma algebraica consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola. Pero sumar dos o
más polinomios se colocan ordenadamente en forma descendente y se coloca un polinomio debajo del
otro dejando los espacios en caso que no haya termino semejantes.
Sumar:
8b-4c+2
-3a+4b-c+1
-3a+12b-5b+3
RESTA DE POLINOMIOS
Para restar dos polinomios se escriben el minuendo y después el sustraendo cambiándole los signos a
cada uno de sus términos.
Ejemplo:
De 5x³-2x²+4 restar -8x³+4x-2
5x³-2x² +4
8x³
-4x +2
13x³-2x²-4x +6
MULTIPLICACIONDE BINOMIOS
La multiplicación es la operación que consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la
segunda cantidad. Para realizar la multiplicación de polinomios es necesario conocer sus propiedades.




PROPIEDAD COMUNITATIVA: Nos dice que el orden de los factores no altera el producto.
PROPIEDAD ASOCIATIVA: No importa si se hace primero la operación entre paréntesis y luego la
multiplicación por cada uno de los paréntesis
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Nos dice que multiplicar la suma de un número por otro nos da el mismo
resultado.
PROPIEDAD ELEMENTO NEUTRO: Nos dice que cualquier número multiplicado por uno es el mismo
número.


PROPIEDAD ELEMENTO MULTIPLICATIVO (INVERSO): Al multiplicar el número por su inverso, tenemos
como resultado la unidad.
PRPIEDAD ABSORBENTE: Nos dice que todo número multiplicando por cero es cero.
Otros elementos que debemos considerar con la ley de los signos y la ley de los exponentes.
LEY DE LOS SIGNOS
a)
Signos iguales dan positivo
(+)(+)= +
(-)(-)= +
b)
Signos diferentes dan negativo.
(+)(-)= (-)(+)= +
LEY DE LOS EXPONENTES
Los exponentes con las mismas literales se suman. Enla multiplicación de expresiones algebraicas se
destacan tres casos deferentes de multiplicación de polinomios
 1er caso: Monomios por Monomios.
 2do caso: Monomio por polinomio.
 3er caso: Polinomio por polinomio.
Suma de Fracciones con el mismo denominador
Suma de Fracciones de diferentes denominadores
Resta de Fracciones con el mismo denominador
Resta de Fracciones de diferentes denominadores
Multiplicación de Fracciones
División de Fracciones
Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de
esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el
numerador y el denominador.
Una fracción es un número escrito en la forma a/b , de tal modo que b no sea igual a cero.
Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b se llama número racional. El
numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El
denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador
es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo.
En matemáticas, una fracción o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra.
Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el
conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número
racional.
A la parte superior de una fraccion se le denomina Numerador y la parte inferior Denominador.
Cuando el valor del numerador es menor que el denominador, se dice que tenemos
una Fracción Propia, y cuando el valor del numerador es mayor que el denominador, se le
llama Fracción Impropia.
Cuando el númerador es igual al denominador, por lo tanto son iguales a la unidad se les
llama Fracciones Aparentes. Cuando el denominador es igual a 10,100,1000, etc., o sea la
unidad seguida de ceros se les llama Fracciones Decimales.
Operaciones con fracciones
Vamos a suponer que tenemos 4 numeros representados por las letras a,b,c,d.
Sumas y Restas
Para la suma, tenemos los casos siguientes:
1. Denominadores iguales
Cuando tenemos los dos denominadores con el mismo valor, el resultado se obtiene copiando
el denominador y sumando los numeradores.
Por ejemplo,
2. Denominadores diferentes
Si los denominadores son diferentes, entonces se utiliza el método del mínimo común
múltiplo para encontrar el denominador de la fracción resultante.
3. Fraccion de un número
Se debe de multiplicar ese número por el númerador y se divide el resultado por el
denominador.
4. Producto de dos Fracciones
Se deben multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
5. División de Fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a
su recíproco.
Simplificación de Fracciones
Las fracciones se pueden reducir o simplificar; y el resultado sería una fracción equivalente.
Por ejemplo,
se puede simplificar dividiendo por un numero que sea divisible por 3 y 6; en
este caso, el 3.
Por lo tanto,
y
son fracciones equivalentes.
Para encontrar fracciones equivalentes, se divide o se multiplica el denominador y numerador
por un mismo numero que no sea 0.
Ejemplo:
son fracciones equivalentes.
Leyes de los exponentes y radicales
POTENCIAS
La potencia de un número es el producto de varios factore
El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia.
Para señalar potenciación se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un número pequeño q
número pequeño recibe el nombre de exponente.
LEYES DE LOS EXPONEN
RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conocien
El radicando también recibe el nombre de subradical.
LEYES DE RADICACIÓN
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer algunos cambios en los radicales, c

Sacar factores del radical.

Introducir un factor al radical.

Racionalización de denominadores.

Expresar un radical como otro de orden (índice) menor.
Obtener factores del radical
Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes sean m
fuera del radical y los factores “sobrantes” forman el nuevo radicando.
Es decir, simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión, para esto sacamos del radical l
radical como otro de índice menor.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Radicales
semejantes
Son aquellos radicales que tienen el mismo índice de la raíz y el mismo
difieren en el signo y el coeficiente
Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales, previamente los radicales deben simplifi
radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta de suma algebraica de los coeficientes numéricos.
En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales:
Ejemplos:
Cuando se tienen radicales de distinto índice:
En este caso, los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican como en el caso descrito a
La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m
eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice del subr
Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término o dos expresiones radicales,
proceso empleado en la multiplicación de polinomios.
DIVISIÓN DE RADICALES
Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales:
Cuando se tienen radicales de diferente índice: Se expresan los radicales en forma exponencial, y posterio
RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR
Las operaciones con fracciones que contienen un radical en el denominador se facilitan si antes de trabajar
Racionalizar
denominador
el
Es un procedimiento que consiste en transformar una fracción que
contiene un radical en el denominador en otra fracción equivalente que no
contenga ningún radical en el denominador.
Los casos que se pueden presentar en la simplificación de estas expresiones son:
CASO 1.
Cuando el radicando es una fracción cuyo denominador es un monomio de la forma, o
si el denominador de una fracción tiene un radical como factor.
En este caso, se multiplica el numerador y el denominador por y se simplifica la
expresión que resulta.
CASO 2.
Cuando el radicando es una fracción cuyo denominador es un binomio que
contiene radicales de índice 2.
En este caso, para racionalizarlo se multiplica el numerador y el denominador
por el conjugado de la expresión de dicho denominador.
Productos notables
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores
que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y
que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy
utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra
la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a +
b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la
primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.
Ver: PSU; Matemática
Pregunta 12_2005
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el
doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,
menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a
+ b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2
Otros casos de productos notable (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)
(x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x +
a) (x + b)
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 + (a – b)x – ab = (x + a)
(x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x +
a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x2 – (a + b)x + ab = (x – a)
(x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x –
a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx +
a) (nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a +
b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a
+ b)3.
Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a –
b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a
– b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión
algebraica que lo representa:
Producto notable
Expresión algebraica
Nombre
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio al cubo
a2  b2
=
(a + b) (a  b)
Diferencia de cuadrados
a3  b3
=
(a  b) (a2 + b2 + ab)
Diferencia de cubos
a3 + b3
=
(a + b) (a2 + b2  ab)
Suma de cubos
a4  b4
=
(a + b) (a  b) (a2 + b2)
Diferencia cuarta
(a + b + c)2
=
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Trinomio al cuadrado
Factorización
Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la
ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a,
3x son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se
llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el
mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una
ecuación de la forma ax + b = 0.
Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría
analítica.
Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la
forma ax2 + bx + c = 0.
Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y
por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo.
El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3
Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer
de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.
Descomposición de números naturales en sus factores primos
Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes
formas:
20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5
En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.
Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10)
se les denomina factor.
En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.
Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 2 2 • 3 • 5, los factores
primos de 60 son 2, 3 y 5.
Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad
el número se denominaprimo.
Factorización y productos notables
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los
polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión
es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una
expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo
que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el
descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.
Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión
ab2 + 3cb  b3 podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c  b2) (1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:
ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:
Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:
ab2 + 3cb  b3 = b (b (a  b) + 3c)
ab2 + 3cb  b3 = b (ab  b2 + 3c)
ab2 + 3cb  b3 = b (ab +3c –b2)
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser
evaluados de forma directa se denominan Productos notables.
En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables, es necesario recordar la
forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que
los divide simultáneamente, con residuo cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se dividen simultáneamente por los
diferentes números primos (tomados en orden ascendente, y desechando los números primos por los
cuales no se pueda hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila) según el arreglo
mostrado a continuación.
El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última
división simultánea, no pueden dividirse simultáneamente por algún número primo.
El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha:
56
42
28
÷
2
28
21
14
÷
7
4
3
2
Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se divide cada uno de estos
números por 2, escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamente por 3, este número primo se
desecha.
De forma similar se desecha el 5.
El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los números 4, 3 y 2.
Esta última fila no puede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el producto de los números primos de la derecha: 2 • 7
= 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el máximo común divisor de los números 56, 42 y 28
es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12z
Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los
términos de la expresión algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.
Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos con el menor exponente que
aparezca.
Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables comunes en los tres términos
tenemos:
9x + 6y  12z = 3(3x + 2y  4z)
es decir 9x + 6y  12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y  4z.
Ejemplo: Factorizar 9xy2 + 6y4  12 y3z
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres términos. La
menor potencia común es y2 por lo tanto la factorización queda:
9xy2 + 6y4  12y3z = 3y2(3x + 2y2  4yz)
Los factores en este caso son 3x + 2y2  4yz y 3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se
obtiene la expresión original:
3y2(3x + 2y2  4yz) = (3y2 * 3x) + (3y2 * 2y2)  (3y2 * 4yz)
= 9xy2 + 6y4  12y3z
Nótese que se ha aplicado la propiedad distributiva del producto. En general no es necesario hacer la
verificación de la factorización, pero es conveniente cuando existan dudas sobre el resultado obtenido: