Download Habilidades Numéricas - Universidad Nacional Agraria

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA
“POR UN DESARROLLO AGRARIO INTEGRAL Y SOSTENIBLE”
MÓDULO:
Habilidades Numéricas
Aritmética, Álgebra y Geometría
Año Lectivo 𝟐𝟎𝟏𝟕
“Transformar para avanzar con calidad”
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Unidad 1
OPERACIONES ARITMÉTICAS
________________________________________________________
1.1.
Números reales: operaciones y sus aplicaciones
1.2.
Notación científica
1.3.
Regla de tres simple
1.4.
Regla de tres compuesta
1.5.
Porcentajes
1.6.
Sistema internacional de medidas y Sistema Inglés
________________________________________________________
Estimado estudiante, el PMS del módulo de Habilidades Numéricas establece como
subcompetencia para esta unidad:
Aplica de forma precisa las operaciones aritméticas para resolver
situaciones problémicas del campo agrario y ambiental.
Misma que se especifica con tres indicadores de logro:
1. Resuelve operaciones aritméticas para dar respuesta a situaciones problémicas del
campo agrario.
2. Emplea la regla de tres simple (directa e inversa), la regla de tres compuesta y el
cálculo porcentual en la resolución de problemas del campo agrario.
3. Realiza la conversión de unidades para el cálculo de expresiones equivalentes.
Estoda una idea de qué encontraremos en el desarrollo de esta unidad, se iniciaestudiando
el conjunto de los números reales, sus operaciones y las principales propiedades que éstas
cumplen y que le dan la estructura de campo, tan importante en la justificación de los
procesos analíticos y algebraicos.
A continuación, exponemosalgunos elementos aritméticos (notación científica, regla de
tres, porcentajes) útiles en la resolución de problemas del campo ingenieril desde una
perspectiva general o desde el punto de vista agrario, dependiendo de la situación
problémica.
Y finalizamos con un breve estudio de dos sistemas de unidades: el SI y el Sistema inglés.
1.1
NÚMEROS REALES: OPERACIONES Y SUS APLICACIONES
Como recordará de su aprendizaje en la escuela Secundaria, ha quedado claro que la
necesidad de contar fue la base para el desarrollo de los sistemas de numeración, desde
los más sencillos que utilizaban marcas hasta nuestros actuales sistemas posicionales de
numeración. De ellos, el más aceptado es nuestro sistema indoarábigo (o decimal). Si bien
es cierto, han tenido que pasar largos períodos de tiempo para tener el actual conjunto de
números reales: de los naturales (ℕ) a los enteros(ℤ), pasando luego a los racionales(ℚ)
2
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
que juntoa los irracionales(ℚ′) formarán el conjunto de los reales(ℝ), ampliando en cada
uno de ellos el dominio de las operaciones de adición y multiplicación.
Conjuntos numéricos. Las categorías de números que citamos arriba y que serán
utilizadas a lo largo del módulo se resumen a continuación.
Números naturales (o que sirven para contar):
{1, 2, 3, 4, 5, … }
Números enteros no negativos:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
Números enteros:
{… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Números racionales:
𝑝
{ 𝑞 | 𝑝 y 𝑞 enteros con 𝑞 ≠ 0}
(Algunos ejemplos de números racionales son 2⁄7, −3⁄5, 1 234,−7 y 0. Cualquier número
racional puede escribirse como un número decimal exacto, como 0.25, o como números
decimales periódicos, como 5.2477̅ o 3.22̅.)
Números irracionales:
{ 𝑥 | 𝑥 es un número que no puede escribirse como cociente de dos enteros}.
(Las representaciones decimales de los números irracionales nunca terminan y nunca se
repiten, los denominados decimales no periódicos. Algunos ejemplos de números
3
irracionales son√3 , √7 y 𝜋.)
Números reales:
{ 𝑥 | 𝑥 es un número que puede escribirse como decimal}.
Ejemplo 𝟏.Liste los números del conjunto
2
13
𝑆 = { −5, − , 0, √2 ,
, 5, 5.8 }
3
4
que pertenecen a cada uno de los siguientes conjuntos:
i.
Números naturales
ii.
Enteros negativos
iii.
Racionales no negativos
iv.
Irracionales
v.
Reales
El único número natural es el 5.
Solamente −5 es un entero negativo.
Los racionales no negativos son 0,
13
,
4
5 y 5.8 debido a que cada uno de ellos puede
escribirse como el cociente de dos enteros no negativos, a saber,
0 13 5 58
,
, ,
.
1 4 1 10
3
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
El único número irracional de 𝑆 es √2 .
Todos los números en el conjunto son números reales.
Otro concepto importante que necesitamos abordar antes de operar con números reales es
el concepto de valor absoluto de un número real, recordando sí, que para cualquier número
real 𝑎 existe otro número real denotado −𝑎(y denominado opuesto de 𝑎) talque siempre
se cumplen las igualdades𝑎 + (−𝑎) = 0 = −𝑎 + 𝑎.
Valor absoluto. El valor absoluto de un número real 𝑥
se define como
𝑥si𝑥 ≥ 0
|𝑥| = {
−𝑥si𝑥 < 0.
¡ATENCIÓN!
El −𝑥 en la
definición de valor
absoluto no
representa a un
número negativo
sino al opuesto de
𝑥
Con esta definición, si 𝑥 es un número positivo o cero,
entonces su valor absoluto es el mismo 𝑥. Por ejemplo,
como 8 es un número positivo, |8| = 8. Sin embargo,
si 𝑥 es un número negativo, entonces su valor absoluto
es el opuesto de 𝑥. Por ejemplo, ya que −9 es un
número negativo, |−9| = −(−9) = 9.
Ejemplo 𝟐.Simplifique las siguientes expresiones numéricas eliminando los símbolos
de valor absoluto:
a) |5| = 5
b) −|6.3| = −6.3
1
1
c) |− 3 | = − (− 3 ) =
1
3
d) |5 − 2| = |3| = 3
e) −|−5.21| = −(−(−5.21)) = −5.21
f) |9 − 33| = |−24| = −(−24) = 24.
Nota. Consideremos la expresión |𝑎| = 2.Es fácil ver que existen dos valores para 𝑎 tales
que |𝑎| = 2, a saber −2y 2. Escribamos 𝑎 = 2 o 𝑎 = −2. Podemos pues generalizar esta
observación como sigue:
Si 𝑐 es cualquier número positivo y |𝑥| = 𝑐, entonces 𝑥 = 𝑐 o 𝑥 = −𝑐.
AFIANZA
Identifica cada desigualdad como verdadera o falsa:
4
7
a. |3| < |−5|
d.|5| ≤ |− 10|
b. |6| ≤ |−6|
e.2(1 + 3) ≥ |−7| + |−2|
c. |−12| > 4(2 + 1)
f.|−1| < −3 < −12
4
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Operaciones con números reales. Muchas personas
creen que las matemáticas son sólo cálculos. No es así.
Pero los cálculos son parte indispensable de las
matemáticas que usas en tu vida diaria y usarás en el
campo laboral. En esta sección encontrarás información
sobre las operaciones básicas (adición, sustracción,
multiplicación y división).
La adición puede ser la operación más importante de las
matemáticas.
La sustracción es lo opuesto de la adición. No puedes restar a menos que sepas
sumar.Multiplicar es sumar la misma cosa una y otra vez, tantas como te lo indique una de
las cantidades.
Dividir es lo opuesto de multiplicar y por tanto se relaciona con la adición.
SUMA DE NÚMEROS REALES
Signos iguales.Para sumar dos números con el mismo signo,
deben sumarse sus valores absolutos. El signo de la suma es el
mismo que el signo de los dos números.
Signos diferentes. Para sumar dos números
con signos
diferentes debe restarse el valor absoluto más pequeño del más
grande. La suma es positiva si el número positivo tiene el valor
absoluto más grande. La suma es negativa si el número negativo
posee el valor absoluto más grande.
¡ATENCIÓN!
Es casi seguro que
sumas mentalmente
todos los días. A veces
lo haces porque los
números son fáciles,
pero otras veces
necesitas papel
ocalculadora.
Ejemplo 𝟑.Determine cada una de las siguientes sumas:
a) (−6) + (−3) = −(6 + 3) = −9
b) 4 + (−1) = 3
Para las fracciones
tendremos las
siguientes reglas:
c) −9 + 16 = 7
d)
12
5
3
84+15
7
35
+ =
=
99
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐
± =
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
35
e) 324.36 + 23.035 = 347.395.
𝑎 𝑐 𝑎𝑐
∙ =
𝑏 𝑑 𝑏𝑑
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES
𝑎 𝑐 𝑎𝑑
÷ =
𝑏 𝑑 𝑏𝑐
La resta te sirve para muchas cosas:
 Si quieres quitarle una cantidad a otra cantidad, se resta.
Tienes 𝐶$ 28 y gastas 𝐶$ 15. Restas para conseguir cuánto te
queda.
 Si quieres comparar una cantidad con otra, resta.
1
2
Tu mochila llena de libros pesa 14 libras. La de Marlon pesa 7
averiguar cuánto peso llevas más tú.
5
4
7
libras. Restas para
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
 Si conoces parte de una cantidad y también toda la cantidad, pero necesitas averiguar
la otra parte, restas.
Tu hermanito encontró 36 polluelos en la granja, pero toda la colección es de 50. Restas
para averiguar cuántos polluelos están perdidos dispersosen el patio.
Formalmente, tenemos pues que para todos los número reales 𝑎 y 𝑏, se tiene que
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏).
Ejemplo 𝟒.Determine cada una de las siguientes restas:
a) 6 − 8 = 6 + (−8) = −2
b) −12 − 4 = −12 + (−4) = −(12 + 4) = −16
c)
173
180
−
69
1200
=
3460−207
3600
=
3253
3600
d) 324.36 − 23.035 = 301.325.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
La multiplicación es una forma más rápida de sumar. Imagina que la recolección de latas
de tu clase de vida rural fue un éxito. Reunieron 1 275 latas que se pueden vender por 𝐶$ 5
cada una. Tú eres el tesorero de la clase y no quieres sumar 5 córdobas un mil doscientas
setenta y cinco veces. Por eso estás contento de que sabes multiplicar.
De manera general, para cualesquiera números reales tenemos que:
Signos Iguales.Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique sus valores
absolutos. El producto es positivo.
Signos diferentes.Para multiplicar dos números con signos diferentes, multiplique sus
valores absolutos. El producto es negativo.
Ejemplo 𝟓.Determine cada uno de los siguientes productos:
a) −9 ∙ 7 = −63
7
2
7×2
13
21
13×21
c) ( ) ( ) =
b) (−8)(−4) = 32
=
14
273
2
= 39
d) 1.80 × 3.29 = 5.9220.
DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Dividir es lo opuesto de multiplicar. Cada vez que divides,
usas la multiplicación. Hay dos razones para dividir:
a) cuando conoces la cantidad original y el número de
partes, divides para hallar el tamaño de cada parte;
b) cuando conoces el tamaño original y el tamaño de
cada parte, divides para hallar el número de partes.
Signos Iguales.Para dividir dos números con el mismo
signo, deben dividirse sus valores absolutos. El cociente es
positivo.
¡ATENCIÓN!
Cuando dividas medidas,
asegúrate de usar siempre
la MISMA unidad de
medición. Puedes dividir
gramos por gramos pero
NO puedes dividir metros
por pulgadas.
Signos diferentes.Para dividir dos números con signos diferentes, hay que dividir sus
valores absolutos. El cociente es negativo.
6
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Ejemplo 𝟔.Realice las siguientes divisiones:
a) 15 ÷ (−3) = −5
b) (−100) ÷ (−25) = 4
c) 26.88 ÷ 4 = 6.72
d)
3
4
1
3
8
24
8
4
1
4
÷ = × =
= 6.
Nota:La división por cero no está definida.
AFIANZA
Llena el espacio en blanco con la palabra siempre, a veces o nunca de manera que
resulten enunciados verdaderos.
a. La suma de dos números negativos es ______________ un número negativo.
b. La diferencia entre dos números negativos es _____________ un número
negativo.
c. La suma de un número positivo y un número negativo es _____________ un
número negativo.
d. El producto de dos números positivos es ______________ un número negativo.
e. El cociente de cero y cualquier número real no negativo es _____________ cero.
Ejemplo 𝟕.Un granjero tiene 200 animales, la cuarta parte son patos, la tercera parte del
resto son vacas, las dos quintas partes del resto cerdos y los demás son gallinas. ¿Cuántas
gallinas tiene?
La cuarta parte del total de animales del granjero son patos, es decir,
1
(200) = 50.
4
La tercera parte del resto, que es
1
1
(200 − 50) = (150) = 50,
3
3
son vacas. Por otro lado, las dos quintas partes del resto (es decir, de los 200 animales
menos los patos y las vacas) son cerdos, los que son exactamente
2
2
(200 − 50 − 50) = (100) = 40.
5
5
Finalmente, el número de gallinas es
200 − 50 − 50 − 40 = 60.
7
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Ejemplo 𝟖.Un tanque tiene 2 llaves y un desagüe, una llave vierte 80 litros en 8 minutos y
laotra vierte60 litros en 10 minutos. Además, por el desagüe salen 180 litros en 20
minutos.Si el tanque tenía 600 litros y al abrir las llaves y el desagüe al mismo tiempo tardó
30 minutos en llenarse, ¿cuál es la capacidad total del tanque?
La primera llave vierte 80 litros en 8 minutos. Entonces, en un minuto vierte
80
= 10
8
litros. La segunda llave vierte 60 litros en 10 minutos. O sea, que vierte en un minuto
60
=6
10
litros. Además, en un minuto del desagüe salen
180
=9
20
litros.
Así, las dos llaves juntas vierten en un minuto10 + 6 = 16litros. Como del desagüe en un
minuto salen 9 litros, en un minuto quedan en el tanque 16 − 9 = 7 litros. Entonces, en 30
minutos quedan
(30)(7) = 210
litros.
Por tanto, si el tanque tenía 600 litros, la capacidad total es600 + 210 = 810litros.
Ejemplo 𝟗.Al multiplicar 5⁄2 por cierto número se obtiene
5
1
2
20
Como es uno de los factores y
1
20
, ¿cuál es el número?
el producto, entonces dividiendo
1
20
por
5
2
se obtiene el
número deseado. Así,
(1)(2)
1
5
2
1
÷ =
=
=
.
(20)(5)
20
2
100
50
Por tanto, el número es 1⁄50 .
AFIANZA
 Fernando tiene la quinta parte de las tres cuartas partes del quíntuplo de la edad
de José. ¿Cuántos años tiene Fernando si José tiene 24 años?
 Una región produce 750 quintales de maíz, de las cuales utiliza la quinceava parte
para consumo de su comunidad, las tres quintas partes del resto se envían a la
capital y lo que queda se exporta. ¿Cuántos quintales son exportados?
 Al dividir 60 entre cierto número se obtiene 3⁄4 , ¿cuál es el número?
8
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN ℝ(Adición y Multiplicación)
 Clausura
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎𝑏 ∈ ℝ
 Conmutatividad
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎y𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
 Asociatividad
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ∶ (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)y(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐)
 Identidad
∀𝑎 ∈ ℝ, ∃! 0 ∈ ℝ ∶ 0 + 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 + 0
∀𝑎 ∈ ℝ, ∃! 1 ∈ ℝ ∶ 1𝑎 = 𝑎 = 𝑎1
 Inversos
∀𝑎 ∈ ℝ, ∃! (−𝑎) ∈ ℝ ∶ 𝑎 + (−𝑎) = 0 = −𝑎 + 𝑎
(∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0) ∃! (𝑎−1 ) ∈ ℝ ∶ 𝑎 ∙ 𝑎−1 = 1 = 𝑎−1 ∙ 𝑎
 Distributividad
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ∶ 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐y(𝑏 + 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎
POTENCIAS Y RAÍCES
¡ATENCIÓN!
Potencias, raíces (radicales) y logaritmos suenan como
temas de historia, física, biología y música, no de
matemáticas. En esta sección, aprenderás que una potencia
es una forma corta de escribir factores, que las raíces son
factores especiales de un número y que los logaritmos son
una forma de ver factores que hace más fácil trabajar con
números grandes o muy pequeños.
Los matemáticos están
de acuerdo en que
cualquier número no
nulo elevado al
exponente cero es uno.
Entonces,
230 = 1, (−36)0 = 1.
Exponentes positivos. Supongamos que multiplicas por el mismo factor más de una vez.
Puedes mostrar los factores periódicos usando la forma exponencial en la cual la base es
el factor que se repite y el exponente indica el número de veces que se repite la base:
𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎 × 𝑎 = 𝑎𝑛 .
⏟
𝑛 veces
Exponentes negativos.Mira el patrón de laderecha.
Verás que si la base es 3, cada vez que disminuyas el
1
exponente en 1, el valor es 3 menos.
Si la base es 17, cada vez que disminuyes el
exponente en 1, el valor es
1
17
menos.
De manera general, podemos decir que para
cualquier número 𝑎 distinto de cero y cualquier
entero 𝑛, tenemos
1
𝑏 −𝑛 = 𝑛 .
𝑏
9
33 = 27} 9 es un
32 = 9
1
3
de 27
31 = 3 } 1 es un
30 = 1
1
3
de 3
1
1
1
32
1
1} 9
9
3−1 = 31 = 3
3
−2
=
=
es un
1
3
de
1
3
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Exponentes fraccionarios. ¿Qué significan las potencias de números con exponentes
1
fraccionarios, por ejemplo, 83 ? Para entender los exponentes fraccionarios, piensa que la
base es un producto. El denominador del exponente indica el número de veces que se repite
un factor para dar la base. Busca ese factor y luego elévalo a la potencia del numerador del
exponente.
3
Por ejemplo, calculemos 814 .
El denominador del exponente es 4. Entonces se repite 4 veces un factor para dar 81. El
factor es 3 pues 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
El numerador del exponente es 3, entonces 33 = 27.
3
Por tanto, 814 = 27.
A continuación presentamos las principales propiedades de los exponentes, que se aplican
a todos los enteros 𝑚 y 𝑛, y a cualesquiera números reales 𝑎 y 𝑏.
𝑎 𝑚
a. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
b.
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 , 𝑎 ≠ 0
h.
0
c. 𝑎 = 1, 𝑎 ≠ 0
d. 𝑎
−𝑛
=
1
𝑎𝑛
=
1 𝑛
(𝑎) ,
𝑎𝑚
g. (𝑏) = 𝑏𝑚 , 𝑏 ≠ 0
i.
𝑎≠0
e. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
j.
f. (𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 𝑏 𝑚
1
𝑎−𝑛
𝑎−𝑛
𝑏 −𝑚
= 𝑎𝑛 ,
=
𝑎 −𝑛
(𝑏)
𝑏𝑚
𝑎𝑛
𝑎≠0
, 𝑎, 𝑏 ≠ 0
𝑏 𝑛
= (𝑎) ,
𝑎, 𝑏 ≠ 0.
Raíces cuadradas y cúbicas. Las raíces no son más que un caso especial de exponentes
fraccionarios puesto que las igualdades
1
3
1
√𝑎 = 𝑎2 y √𝑎 = 𝑎3
toman sentido en el primer caso para cuando 𝑎 ∉ ℝ− y en el segundo sin restricciones.
Si un número natural no es cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es irracional. Esto significa
que no se puede representar como una razón de enteros. Se representa con un decimal
infinito no periódico, por ejemplo,
2
√2 = 1.4142135...y√11 = 3.3166247...
Una calculadora te dará una raíz aproximada. Así que cuando calcules una raíz que no es
perfecta, tu respuesta no será exacta.
En general, para todo número natural 𝑛, siendo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ se tiene que
𝑛
√𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏 𝑛 .
Es decir, dentro de los números reales positivos siempre puede encontrarse una única raíz
𝑛 −ésima también positiva. En cambio, si 𝑎 es negativo entonces sólo existirá una raíz real
cuando 𝑛 sea impar.
10
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Observa que√4 ∙ √9 = 2 ∙ 3 = 6 y √4 ∙ 9 = √36 = 6.Es decir, √4 ∙ √9 = √4 ∙ 9. Lo cual es
un caso particular de una de las siguientespropiedades de los radicales.
Para todo número natural 𝑛 y cualesquiera dos números reales no negativos 𝑎, 𝑏 se tiene
que:
1
2
𝑛
𝑛
𝑛
√𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏
𝑛
𝑎
√𝑏 =
𝑛 𝑚
√ √𝑎 =
3
𝑛
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
( √𝑎 )
4
𝑚
3
√𝑎
1
𝑚
𝑛
= √𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛
𝑚𝑛
𝑛
√𝑎𝑚+𝑛 .
√𝑎 √𝑎 =
5
1
𝑚
𝑛𝑚
5
1
Ejemplo 𝟏𝟎.¿Cuál es el resultado de (2 4 ∙ 3−2 ∙ 5−2 ) (2−4 ∙ √35 ∙ 1252 )?
Aplicando las leyes de los exponentes, tenemos
1
3
1
5
1
1
3
1
5
5
1
(2 4 ∙ 3−2 ∙ 5−2 ) (2−4 ∙ √35 ∙ 1252 ) = (2 4 ∙ 3−2 ∙ 5−2 ) (2−4 ∙ 32 ∙ (53 )2 )
1
3
1
5
5
3
= (2 4 ∙ 3−2 ∙ 5−2 ) (2−4 ∙ 32 ∙ 52 )
1
= 24
5
4
+(− )
3 5
1 3
∙ 3−2+2 ∙ 5−2+2
1
= 2−1 ∙ 3 ∙ 5 = (15)
2
15
=
.
2
2
1
1
Ejemplo 𝟏𝟏.Realice 15 √405 − 6 √128 − 10 √125 + 3√32 .
2
1
1
2
1
1
√34 ∙ 5 − √26 ∙ 2 − √52 ∙ 5 + 3√24 ∙ 2
√405 − √128 − √125 + 3√32 =
15
6
10
15
6
10
=
2
1
1
(9√5 ) − (8√2 ) − (5√5 ) + 3(4√2 )
15
6
10
=
18
8
5
√5 − √2 − √5 + 12√2
15
6
10
6
4
1
= √5 − √2 − √5 + 12√2
5
3
2
6
1
4
= ( √5 − √5 ) + (12√2 − √2 )
5
2
3
6 1
4
= ( − ) √5 + (12 − ) √2
5 2
3
=
7
32
√5 + √2 .
10
3
11
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
ORDEN DE LAS OPERACIONES
1
Dado un problema como 5 + 2 ∙ 3 − 10, ¿debe sumarse primero el 5 con el 2 o debe
1
multiplicarse 2 por 3 y luego restarle 10 al resultado? Cuando un problema comprende más
de una operación, utilizamos el siguiente orden de operaciones. (Este es el orden utilizado
por las computadoras y muchas calculadoras).
Si hay paréntesis o corchetes.
1) Resuelva
los
numeradores
y
denominadores de las fracciones por
separado.
2) Utilice las reglas siguientes dentro de
cada conjunto de paréntesis o
corchetes. Comience con el conjunto
más interno y trabaje hacia afuera.
Si no hay paréntesis o corchetes.
1) Aplique todos los exponentes.
2) Haga las multiplicaciones o divisiones
en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha.
3) Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a
derecha.
Ejemplo 𝟏𝟐.Utilice el orden de las operaciones para calcular lo que se pide.
a) 4 ∙ 32 + 7 − (2 + 8) = 4 ∙ 9 + 7 − 10 = 36 − 3 = 33.
b)
2(8−12)−11(4)
5(−2)−3
1
1
5
3
2
6
c) ( ÷ ) +
2(−4)−11(4)
=
5(−2)−3
=
−8−44
−10−3
=
1
2
5
2
5
4+5
3
1
6
3
6
6
=( × )+ = + =
−52
−13
=
9
6
= 4.
3
= .
2
AFIANZA
Realice.
a. (5 − 3)4 + 4 + √62 − 20 + √5 × 4 + 16 + (8 − 4)2 × 3
3
b. −√9 − 42 + 3 √27 + 4 × 6 − 23
c.
1
3−
4
1
2
1
2−
5
1
3
1
3−
2
−
3
1
4
25
×( +
)
d. 5√8 − √27 − √32 + 3√3 + √2.
12
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
1.2 NOTACIÓN CIENTÍFICA
Algunas veces tienes que escribir decimales muy
pequeños o muy grandes. Puedes escribirlos en
notación científica. Si usas notación científica, no
tienes que contar tantos ceros cada vez que lees un
número. Un número está escrito en notación
científica si está expresado en la forma
𝑎 × 10𝑛
donde1 ≤ |𝑎| < 10, y 𝑛 ∈ ℤ.
De esta manera, la notación científica requiere que el número se escriba como el producto
de un número entre 1 y 10 (o −1 y −10) y alguna potencia entera de 10.Por ejemplo,
como5 000 = 5 ∙ 1 000 = 5 ∙ 103 ,entonces el número 5 000 se escribe en notación científica
así
5 000 = 5 × 103 .
Al usar notación científica, para denotar la multiplicación se acostumbra usar × en lugar de
un punto.
Para escribir un número en notación científica:
1. Coloque el punto decimal.Dibuje un separador ∧ a la derecha del primer dígito
distinto de cero, donde se colocará el punto decimal.
2. Determine el numeral del exponente de 10. Cuente el número de dígitos entre el
punto decimal del número dado y el separador. Este número da el valor absoluto del
exponente de 10.
3. Determine el signo del exponente de 10. Decida si la multiplicación por 10𝑛 debe
hacer que el resultado del primer paso sea más grande o más pequeño. El
exponente debe ser positivo para que el resultado sea mayor, y negativo para que
el resultado sea más pequeño. (Otra forma de ver esto es, si el separador está a la
izquierda del punto decimal del número dado entonces el exponente es positivo, en
caso contrario, será negativo.)
Ejemplo 𝟏𝟑.Convierta los números 730 000 y 0.000185 a notación científica.
a. 730 000
Se coloca un separador a la derecha del 7 (primer dígito distinto de 0) para que señale
la nueva localización del punto decimal, así
7∧ 30 000;
luego, cuenta a partir del punto decimal, que se sobreentiende que está después del
último 0, hacia el separador. Es decir,
5 lugares
7∧ 3̂0̂0̂0̂0̂.
Podemos observar que el separador está a la izquierda del punto decimal, en
consecuencia el exponente de 10 será positivo. Por tanto la potencia de 10 que
acompañará a 7.3 será 105 . Finalmente,
730 000 = 7.3 × 105 .
13
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
b. 0.000185
El separador quedará a la derecha del 1 y a la derecha del punto decimal, de manera
que el exponente de 10 está vez será negativo, así
4 lugares
0. 0̂0̂0̂1̂∧ 85,
y su valor absoluto es 4, ¿por qué?
En conclusión,
0.000185 = 1.85 × 10−4 .
Ejemplo 𝟏𝟒.La luz viaja a una velocidad de 18 000 000 000 metros por minuto. Escribe este
número en notación científica.
18 000 000 000 = 1∧ 8̂0̂0̂0̂0̂0̂0̂0̂0̂0̂.
𝟏𝟎lugares
= 1.8 × 1010
potencia de 10
𝟏 ≤ 𝟏. 𝟖 < 10
Conversión de notación científica a notación estándar:
Si se multiplica un número por una potencia positiva de 10, digamos 10𝑛 , lo hará más
grande, por lo que hay que mover el punto decimal 𝑛 lugares a la derecha de su ubicación
inicial. Si fuese por una potencia negativa de 10, por ejemplo 10−𝑚 , entonces el número se
hará más pequeño, por lo que el punto decimal deberá moverse 𝑚 lugares a la izquierda
de su ubicación inicial. En ambos casos, deben agregarse ceros tantos como sean
necesarios para el desplazamiento del punto decimal.
Si el exponente de 10 es cero, es decir se tiene 100 , entonces el punto decimal es inmóvil.
Ejemplo 𝟏𝟓. Escriba cada número en notación estándar: (a) 2.37 × 104 ; (b) 5.6 × 10−5 ; (c)
−7.28 × 100 .
a) 2.37 × 104 = 23 700.
El punto decimal se movió 4 lugares a la derecha (fue necesario agregar dos ceros).
b) 5.6 × 10−5 = 0.000056
El punto decimal se movió 5 lugares a la izquierda
c) −7.28 × 100 = −7.28
Ejemplo 𝟏𝟔. Utilice notación científica para evaluar la expresión
1 920 000 × 0.0015
.
0.000032 × 45 000
Aplicando notación científica, propiedades de las operaciones con números reales y
propiedades de los exponentes (diga cuáles) tenemos:
14
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
1 920 000 × 0.0015
0.000032 × 45 000
=
1.92 × 106 × 1.5 × 10−3
1.92 × 1.5 × 106 × 10−3
=
3.2 × 10−5 × 4.5 × 104
3.2 × 4.5 × 10−5 × 104
=
1.92 × 1.5
106 × 10−3
103
× −5
=
0.2
×
3.2 × 4.5
10 × 104
10−1
= (2 × 10−1 ) × 104 = 2 × 103
= 2 000.
AFIANZA
Utilizando notación científica, resuelva.
a.
b.
0.0004×56 000
0.000112
.
840 000×0.03
0.00021×600
c. La longitud de una bacteria es 0.000052 𝑚. Exprese esta
longitud en notación científica.
d. Un pársec, unidad de longitud que se usa en astronomía,
equivale a 8.009 × 107 millas. La distancia media de Urano al
Sol es 1.8 × 107 millas. ¿Cuántos pársecs hay de Urano al Sol?
15
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
1.3
REGLA DE TRES SIMPLE
¡ATENCIÓN!
Regla de tres simple es elprocedimiento empleado para resolver
situaciones de proporcionalidad entre dos magnitudes. Es decir,
se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores
conocidos 𝐴 y 𝐵 (de dos magnitudes), y conociendo un tercer
valor 𝑋, calculamos un cuarto valor 𝑌 (de las misma magnitudes).
𝐴 ⟶ 𝐵
𝑋 ⟶ 𝑌
La regla de tres simple puede ser:
•
•
Directa
si
las
magnitudes
son
directamente
proporcionales, es decir, si la razón entre cada valor de
una de ellas y el respectivo valor de la otra es igual a una
constante (constante de proporcionalidad).
𝐴
𝐵
𝑋𝐵
=
⟹𝑌=
𝑋
𝑌
𝐴
Inversa si las magnitudes son inversamente
proporcionales, es decir, cuando el producto de cada valor
de una magnitud por el respectivo valor de la otra es igual
a una constante (constante de proporcionalidad inversa).
𝐴𝐵 = 𝑋𝑌 ⟹ 𝑌 =
En matemática, una
magnitud se expresa
en números reales no
negativos y con el uso
de la unidad
pertinente, y se puede
definir como la
propiedad de los
fenómenos o las
relaciones que existen
entre ellos que
pueden ser medidos.
Esta medida, se
representa por medio
de un valor escalar,
vectorial o tensorial
según el caso.
𝐴𝐵
𝑋
Una forma sencilla de hacer la anterior identificación de casos, es analizar queé cambio
ocurre en una magnitud al afectar la otra (aumento o disminución). Si ocurre el mismo
cambio en ambas magnitudes (𝐴aumenta −𝐵aumenta o 𝐴disminuye – 𝐵disminuye)
entonces las magnitudes serán directamente proporcionales y estaremos ante un caso de
regla de tres simple directa. Si el cambio es inverso (𝐴aumenta – 𝐵disminuye o 𝐴disminuye
– 𝐵aumenta) entonces éstas se dicen ser inversamente proporcionales y el caso sería de
regla de tres simple inversa.
Ejemplo 𝟏𝟕.En la ventanilla de un banco, cuando este está lleno, se atiende en promedio
a 12 personas cada 7 minutos. ¿Cuántos minutos se necesitan para atender 36 personas?
Personas atendidas
Minutos transcurridos
𝟏𝟐
7
𝟑𝟔
𝑥
Si aumenta el número de personas atendidas, evidentemente aumentará el número de
minutos transcurridos, luego es un caso de regla de tres simple directa. Así,
12
7
= ⟹ 12𝑥 = (36)(7)
36
𝑥
16
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
⟹𝑥=
(36)(7)
12
⟹ 𝑥 = 21.
Por tanto, se necesitan 21 minutos para atender a 36 personas.
Ejemplo 𝟏𝟖.En 3 días una persona desgrana 7 quintales de maíz, ¿cuántos quintales
desgrana en 9 días?
Tiempo transcurrido
Quintales de maíz
desgranados
𝟑
7
𝟗
𝑥
Si se aumenta el tiempo para el desgrane, aumentará el número de quintales de maíz
desgranado, por tanto, también es un caso de regla de tres simple directa. Luego,
3
7
=
⟹ 3𝑥 = (9)(7)
9
𝑥
⟹𝑥=
(9)(7)
= 21.
3
Concluimos que en 9 días se habrán desgranado 21 quintales de maíz.
Ejemplo 𝟏𝟗.Por tres horas de trabajo, Pedro ha cobrado 𝐶$ 150. ¿Cuánto cobrará por ocho
horas de trabajo?
Es evidente, que si Pedro aumenta el número de horas trabajadas habrá un aumento en el
dinero cobrado. De la información brindada en el problema tenemos que la cantidad de
dinero (en córdobas) cobrado por Pedro en ocho horas de trabajo es
(8 horas)(𝐶$ 150)
𝑥=
= 𝐶$ 400.
3 horas
En conclusión, Pedro cobrará por 8 horas de trabajo, la cantidad de 𝐶$ 400.00.
Ejemplo 𝟐𝟎.¿Cuánto costarán 10 camisas si 7 camisas cuestan 𝐶$ 1 260.00?
La cantidad de camisas a comprar y el costo total de la compra son magnitudes
directamente proporcionales. Se usa una regla de tres directa.
Número de Camisas a comprar
Costo de la
compra
𝟕
1 260
𝟏𝟎
𝑥
Según la tabla, la proporción correspondiente es
17
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
7
10
= ,
1 260
𝑥
de donde
(10)(1 260)
= 1 800.
7
La compra de las 10 camisas ascenderá a𝐶$ 1 800.00.
𝑥=
Ejemplo 𝟐𝟏.Una llave que se abre 4 horas diarias durante 5 días, vierte 5 200 litros de agua,
¿cuántos litros vertirá en 12 días si se abre 4 horas por días?
Se calcula el número de horas totales, es decir, en 5 días la llave ha estado abierta 20 horas
y en 12 días la llave permaneció abierta 48 horas.
20horas5 200 litros
48horas𝑥
Las cantidades son directamente proporcionales, ya que al aumentar el número de horas
también se incrementa el número de litros vertidos, y consecuentemente
𝑥=
(5 200 litros)(48 horas)
249 600 litros
=
= 12 480 litros.
20 horas
20
Por consiguiente, en 48 horas la llave vierte 12 480 litros.
Ejemplo 𝟐𝟐.Se ha planeado que un grupo de 24 hombres construyan en 18 días el muro
perimetral de una escuela. Sin embargo, sólo se logró contratar a 12 hombres. ¿En cuánto
días lo construirán?
24hombres18 días
12hombre𝑥
Las cantidades son inversamente proporcionales, ya que al disminuir el número de
hombres, los contratados tardarán más días en construirlo. Luego,
24 18
=
12
𝑥
⟹
𝑥=
(24)(18)
432
=
= 36.
12
12
Por tanto, 12 hombres construyen el muro en 36 días.
Resuelva.
AFIANZA
a. Una bodega se llena con 3 500 sacos de 6 𝑘𝑔 de papas cada uno y otra
de la misma capacidad se llena con sacos de 5 𝑘𝑔. ¿Cuántos sacos cabe
en la segunda bodega?
b. Un leñador tarda 8 segundos en dividir en 4 partes un tronco de cierto
tamaño, ¿cuánto tiempo tardará en dividir un tronco semejante en 5
partes?
c. Si 15 hombre hacen una obra de construcción en 60 días,
¿cuántotiempo emplearán 20 hombres para realizar la misma obra?
18
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
1.4
REGLA DE TRES COMPUESTA
Regla de tres compuesta se utiliza cuando se tienen de 3 a más cantidades directa o
inversamente proporcionales. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas
de tres simples aplicadas sucesivamente.Supongamos que se establecen las siguientes
relaciones de proporcionalidad entre tres valores conocidos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, y conociendo dos
valores más 𝑋, 𝑌, calculamos un sexto valor 𝑍.
𝐴 ⟶ 𝐵 ⟶ 𝐶
𝑋 ⟶ 𝑌 ⟶ 𝑍
Supongamos que 𝐴 y 𝐶 son magnitudes directamente proporcionales pero que 𝐵 y 𝐶 lo son
inversamente (caso de regla de tres compuesta mixta).
Entonces
𝑋𝐵𝐶
.
𝐴𝑌
𝑍=
Esto se desprende, evidentemente, de nuestro supuesto que en forma proporcional es
𝐴 𝑌
𝐶
( )( ) =
𝑋 𝐵
𝑍
Proporcionalidad
inversa
Proporcionalidad
directa
¿Qué forma tendría 𝑍 si cambiáramos nuestro supuesto a un caso donde todas nuestras
magnitudes se relacionan directamente? ¿Y para el caso inverso?
Veamos algunos ejemplos donde detallemos estos hechos.
Ejemplo 𝟐𝟑.Quince cajas de aceite con 18 galones cuestan $ 960, ¿cuánto cuestan 9cajas
con 20 galones?
Formemos las razones entre las cantidades.
Si el número de cajas disminuye, entonces el precio disminuye; por tanto, es una proporción
directa.
Si el número de galones aumenta, entonces el precio aumenta; por tanto, es una proporción
directa.
CAJAS
𝟏𝟓
GALONES
18
19
PRECIO
960
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
𝟗
Directa
20
Directa
𝑥
15 18
960
9 20
𝑥
Las razones y se multiplican sin invertir porque son directas y la razón
se iguala con
el producto de las primeras, así
(
Entonces,
𝑥=
15 18
960
)( ) =
.
9 20
𝑥
(960)(9)(20) 172 800
=
= 640.
(15)(18)
270
Concluimos que 9 cajas con 20 galones cuestan $ 640.00.
Ejemplo 𝟐𝟒.Trabajando 6 horas diarias 5 obreros construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto
tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
Formemos las razones entre las cantidades.
Si el número de obreros disminuye, entonces el número de díasaumenta; por tanto, es una
proporción inversa.
Si el número de horas aumenta, entonces el número de días disminuye; por tanto, es una
proporción inversa.
Las razones
2
𝑥
5
4
y
6
7
OBREROS
HORAS DIARIAS
TRABAJADAS
𝟓
𝟒
Inversa
6
7
Inversa
DÍAS
2
𝑥
se invierten porque son indirectas y su producto se iguala a la razón
, así
4 7
2
( )( ) = .
5 6
𝑥
Entonces,
(5)(6)(2) 60
=
≈ 2.14.
(4)(7)
28
Concluimos que 4 trabajadores trabajando 7 horas diarias tardarán aproximadamente 2.14
días.
𝑥=
Ejemplo 𝟐𝟓.Para pavimentar 2 𝑘𝑚 de una carretera, 50 trabajadores han empleado 8 horas
diarias trabajando durante 20 días. ¿Cuántos días tardarán 100 trabajadores laborando 10
horas diarias en construir 6 𝑘𝑚 más de carretera?
De los datos del problema tenemos la siguiente tabla.
20
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Trabajadores
Días de
trabajo
Horas
trabajadas
por día
𝟐
50
20
8
𝟔
100
𝑥
10
𝒌𝒎 a
pavimentar
Formemos las razones entre las cantidades tomando en cuenta las implicaciones:
(aumenta)kilómetros⟹ (disminuye) días
(aumenta)trabajadores⟹ (disminuye) días
(aumenta)horas⟹ (disminuye) días
Es decir, que las correlaciones entre las magnitudes son (última fila):
𝒌𝒎 a
pavimentar
Trabajadores
Días de
trabajo
Horas trabajadas
por día
𝟐
50
20
8
𝟔
100
𝑥
10
Directa
Inversa
Inversa
Luego,
(2)(100)(10)
2 100 10
20
20
( )(
)( ) =
⟹
=
,
(6)(50)(8)
6 50
8
𝑥
𝑥
es decir,
2 000
20
48 000
=
⟹𝑥=
= 24.
2 400
𝑥
2 000
En conclusión, 100 trabajadores laborando 10 horas diarias tardarán 24 días en construir
6 𝑘𝑚 más de carretera.
AFIANZA
Resuelva.
a. Se necesitan750 𝑘𝑔de alimento para10animales durante 5 días.
¿Cuántos kilogramos de alimento se necesitarían para 15 animales
durante 25 días?
b. Para cosechar1 200 ℎ𝑎trabajando 8 horas diarias se emplean 9 días.
¿En cuántos días se cosecharán 1 800 ℎ𝑎 si las mismas personas
trabajan empero 6 horas cada día?
c. En una hacienda 30 peones utilizan7caballos durante6 días para
efectuar un trabajo. Si se retiran 9 de estos hombres llevándose 2
caballos, ¿en cuántos días se efectuará el mismo trabajo?
d. Durante el mes de enero 20 bujías de 100 𝑊 originaron un gasto de
$ 100 estando encendidas 6 horas diarias. ¿Qué gasto generarán 5
bujías de 120 𝑊 en 45 días encendidas durante 8 horas diarias? Dé su
respuesta en córdobas. Cambio oficial a la fecha de emitida la factura:
$ 1.00 = 𝐶$ 29.41.
21
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
1.5
PORCENTAJES
Los porcentajes nos indican qué significa una cantidad. ¿Qué entenderías si alguien te
dijera que la Sociedad protectora de Animales encontró nuevos hogares para 6 cachorros
más que el mes pasado? ¿Ese cambio es grande?
Si además te dijeran que ese aumento es 100% más que el mes pasado, la respuesta es
sí. Pero si este aumento es de 1%, entonces 6 cachorros más no es una gran diferencia.
El ejemplo anterior ilustra cómo se utiliza el por ciento en este caso de la vida diaria. Este
concepto que se vale de los por cientos se llama porcentaje. El porcentaje es un método
ampliamente usado para transmitir el pensamiento matemático de una persona u otra. En
el campo de los Agronegocios, no hay concepto matemático que se use con más frecuencia
o más extensivamente que el porcentaje.
A principios del siglo XX “por ciento” fue considerada como las más correcta abreviatura de
per centum. Por ciento, que se representa por el símbolo %, puede significar “tanto por
ciento” o “de cada ciento” o simplemente “centésima”. Por ejemplo, una persona que recibe
el 5 % de comisión gana 𝐶$ 50 por cada 𝐶$ 1 000 de mercadería que vende. Como el por
ciento significa centésima, 5 % significa 5 centésimas, que es0.05 en forma decimal.
Porciento
Fracción
Decimal
𝟐𝟓%
25
100
2
100
0.25
0.5
5
=
100
1000
0.005
𝟐%
𝟎. 𝟓%
𝟑𝟑
𝟏
%
𝟑
33
1
3
0.02
0.333̅
100
Si un problema contiene por cientos que deben usarse para propósitos de cálculo, los por
cientos se cambian ordinariamente a fracciones comunes o decimales antes de realizar los
cálculos. Veamos esto.
Convertir porcientos a fracciones
22
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
1. Reemplace el símbolo % por ×
1
100
(o por ÷ 100)
2. Simplifique la fracción a su mínima expresión, de ser posible.
1
100
Ejemplo 𝟐𝟔.84 % = 84 ×
=
84
100
=
21
.
25
Convertir por cientos a decimales
Reemplace el símbolo % por× 0.01. (Esto es equivalente a×
1
y÷ 100).
100
Nota: Multiplicar un decimal por 0.01 es lo mismo que mover el punto decimal dos lugares
a la izquierda.
Ejemplo 𝟐𝟕.(a)24.5 % = 24.5 × 0.01 = 0.245.
(b)0.07 % = 0.07 × 0.01 = 0.0007 (Mueve el punto decimal 2 lugares a la izquierda.)
Convertir fracciones ydecimales a forma porcentual
Multiplique la fracción o decimal por 100 %. (100% = 1).
Ejemplo 𝟐𝟖.
1.
1
5
=
1
5
× 100% =
100
5
% = 20 %
2. 1.14 = 1.14 × 100 % = 114 %
3.
2
3
̅ × 100 % = 66. 6̅ % o 66
= 0. 6
2
3
%.
Proporciones porcentuales y sus aplicaciones. Una proporción porcentual es una
proporción que iguala un por ciento a una razón equivalente. Puede ser escrita en la forma:
porcentaje(monto)
porcentaje(monto)
𝑝
= 𝑝 %o
=
.
base
base
100
La base es el total o cantidad entera (todo) a ser considerado. El porcentaje o monto es
parte que se compara con la base.
Ejemplo 𝟐𝟗.De una muestra de 400 personas, el 85 % encontró alivio usando un analgésico
en particular. ¿Cuántas personas se aliviaron?
Resolviendo la proporción
𝑥
400
=
85
100
tenemos que
𝑥
85
34 000
=
⟹ 100𝑥 = (85)(400) ⟹ 100𝑥 = 34 000 ⟹ 𝑥 =
⟹ 𝑥 = 340.
400
100
100
Por tanto, 340 personas encontraron alivio con dicho analgésico.
Ejemplo 𝟑𝟎.En el año 2016, de un grupo de 36 estudiantes de la carrera de ingeniería en
sistemas de protección agrícola y forestal solamente 9 aprobaron la asignatura de
Fitopatología General. ¿Qué por ciento representa esta cantidad?
De los datos del problema formamos
9
𝑝
=
.
36
100
Resolviendo tenemos
23
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
9
𝑝
900
=
⟹ 36𝑝 = (9)(100) ⟹ 36𝑝 = 900 ⟹ 𝑝 =
= 25.
36
100
36
Del total de estudiantes, solamente el 25 % aprobó la asignatura.
Ecuaciones porcentuales y sus aplicaciones. Una ecuación porcentual representa una
proporción porcentual en una forma alternativa:
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × (𝑝 %).
Ejemplo 𝟑𝟏.Según estudios, de todos los casos de
cáncer de mama, el 1 % ocurre en varones. Si han
sido reportados 2 700 casos, ¿cuántos casos se
espera que ocurran en hombres?
Resolvamos la ecuación𝑃 = (2 700)(1 %). Así
𝑃 = (2 700)(1 %)
= (2 700)(0.01)
= 27.
Se espera que alrededor de 27 casos ocurran en varones.
Al pensar un porcentaje como una ecuación algebraica. Hay tres variables de por medio. Si
conoces dos cualesquiera de esos números, puedes hallar el tercero con álgebra o con una
proporción.
Ecuación verbal: un 𝑎% de un todo es igual a una parte del todo.
Ecuación algebraica:𝑎 % ∙ 𝑏 = 𝑐.
Ejemplo 𝟑𝟐.Hallar los porcentajes indicados:
1) 15% de 2000
2) 40% de 300
3) ¿De qué número es 12 su 60%?
15
1. 2 000 × 100 = 300.
2. 300 × 0.40 = 120.
3.
6
100
=
12
𝑥
→ 6𝑥 = 12(100) → 𝑥 =
1200
6
→ 𝑥 = 200.
Ejemplo 𝟑𝟑 (𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒊𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔). Para calcular impuestos de ventas, use la fórmula
(
Monto o valor del
tasa de
Valor de la
)=(
)∙(
).
impuesto
impuesto
mercadería
El precio de un DVD importado de Corea del Sur es 𝐶$ 1 700.00. Si no está exento del IVA,
¿cuánto es el valor real del mismo? Si Emilio Rodríguez decide adquirir dos a crédito dando
una prima del 20% del total facturado, ¿a cuánto ascenderá la deuda?
24
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Según la ley de Concertación Tributaria, el IVA es un impuesto indirecto que grava el
consumo general de bieneso mercancías, servicios, y el uso o goce de bienes, mediante la
técnica delvaloragregado. La alícuota del IVA es del quince por ciento (15%), salvo en
lasexportaciones de bienes de producción nacional y de servicios prestados al exterior.
[Artos.108, 109].
Entonces, el IVA correspondiente al DVD es
𝑖 = (1 700)(15 %) = (1 700)(0.15) = 255.
Luego, el precio de venta del DVD es
𝐶$ 1 700.00 + 𝐶$ 255.00 = 𝐶$ 1 955.00.
Ahora, Emilio Rodríguez decide comprar dos a crédito, el monto facturado es, por tanto
2(𝐶$ 1 955.00) = 𝐶$ 3 910.00.
Sin embargo, ese valor no fue pagado en su totalidad, el80 %se quedó a deber.Es decir, el
señor Rodríguez quedó debiendo la cantidad de
𝐶$ 3 910.00 × 80% = 𝐶$ 3 910.00 × 0.8 = 𝐶$ 3 128.00.
Ejemplo 𝟑𝟒 (𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔). Para calcular descuentos, use la fórmula
Precio
Monto o valor del
tasa de
(
)=(
)∙(
).
original
descuento
descuento
Alba Luz Valdivia halló un anillo de oroen venta que originalmente costaba$ 425.00 con el
30 % de descuento. Halle el precio actual de venta.
El monto del descuento es
𝑑 = ($ 425)(30 %) = ($ 425)(0.3) = $ 127.5.
Luego, el precio de venta es
$ 425.00 − $ 127.50 = $ 297.50.
AFIANZA
El saldo de la deuda pública (interna + externa) de Nicaragua totalizó $ 5.95 mil
millones (3.5% más que en diciembre de 2015) al tercer trimestre del año 2016, según
el Banco Central de Nicaragua. Esta cifra representa el 45.1 por ciento del producto
interno bruto (PIB proyectado para 2016) nicaragüense, lo que según expertos,
continua mostrando una tendencia estable durante los primeros nueve meses del año
pasado. El saldo de la deuda del Gobierno Central y del Banco Central de Nicaragua con
los acreedores nacionales correspondió al 16% de la Deuda Pública nicaragüense.
(Fuente: Informe de Deuda Pública de Nicaragua, Noviembre 2016).
Encuéntrese:
1. El Producto interno bruto proyectado para 2016.
2. La Deuda pública nicaragüense a diciembre del año 2015.
3. Los saldos de la Deuda interna y externa de Nicaragua al tercer trimestre del
25
año 2016.
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Por cientos de incremento y disminución. Los por cientos de incremento y disminución
comparan el cambio entre dos montos dados respecto al monto original:
Monto de incremento
Por ciento de
(
)=(
) × 100 %
incremento
Monto original
Monto de disminución
Por ciento de
(
)=(
) × 100 %
decremento
Monto original
Ejemplo 𝟑𝟓. En un año un niño creció de 88.9 𝑐𝑚 a 106.68 𝑐𝑚. Determine la tasa de
incremento.
El monto de incremento fue de 106.68 𝑐𝑚 − 88.9 𝑐𝑚 = 17.78 𝑐𝑚. Luego la tasa o razón de
aumento es
17.78 𝑐𝑚
𝑎=
× 100 % = 0.2 × 100 % = 20 %.
88.9 𝑐𝑚
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Y SISTEMA INGLÉS
Sistema Internacional de Unidades
El Sistema Internacional de unidades(SI) creado en la XI Conferencia General de Pesas y
Medidas en 1 960, es el sistema de unidades que se usa en todos los países del mundo, a
excepción de tres que no lo han declarado prioritario o único.
Es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal y por ello también se conoce como
«sistema métrico».
26
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Una de las características trascendentales, que constituye la gran ventaja del Sistema
Internacional, es que sus unidades se basan en fenómenos físicos fundamentales.
Excepción única es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, definida como «la masa
del prototipo internacional del kilogramo», un cilindro de platino e iridio almacenado en una
caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas.
Las unidades del SI constituyen referencia internacional de las indicaciones de los
instrumentos de medición, a las cuales están referidas mediante una concatenación
ininterrumpida de calibraciones o comparaciones.Esto permite lograr equivalencia de las
medidas realizadas con instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares distantes
y, por ende, asegurar —sin necesidad de duplicación de ensayos y mediciones— el
cumplimiento de las características de los productos que son objeto de transacciones en el
comercio internacional, su intercambiabilidad.
Está dividido en dos clases de unidades:siete Unidades básicas (fundamentales) y
Unidades derivadas (que se desprenden de las anteriores).
UNIDADES BÁSICAS
Magnitud
Nombre de la unidad
Símbolo
Metro
𝑚
Masa
Kilogramo
𝑘𝑔
Tiempo
Segundo
𝑠
Corriente eléctrica
Amperio
𝐴
Kelvin
𝐾
Mol
𝑚𝑜𝑙
Candela
𝑐𝑑
Longitud
Temperatura
termodinámica
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
UNIDADES DERIVADAS (algunas)
Magnitud
Nombre de la unidad
Símbolo
Superficie
Metro cuadrado
𝑚2
Volumen
Metro cúbico
𝑚3
Velocidad
Metro por segundo
𝑚/𝑠
Densidad
Kilogramo por metro cúbico
𝑘𝑔/𝑚3
Mol por metro cúbico
𝑚𝑜𝑙/𝑚3
Concentración
Fuerza
Newton
27
𝑁=
𝑘𝑔 ∙ 𝑚
𝑠2
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Trabajo, Energía
Joule
Potencia y flujo de energía
Dosis ambiental
Watt (Vatio)
𝐽=
𝑊=
𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
𝑠2
𝐽 𝑚2 ∙ 𝑘𝑔
=
𝑠
𝑠3
𝑆𝑣 = 𝐽/𝑘𝑔
Sievert
El SI ha aceptado como unidades legales una serie de unidades de sistemas anteriores:




Litro (𝑙)
Bar (𝑏𝑎𝑟)
Celsius (°𝐶)
Hectárea (ℎ𝑎)
Nota: Respecto a la temperatura, tres son las escalas de medición más utilizadas (Celsius,
Kelvin y Fahrenheit), cuya relación está dada por la ecuación
°𝐶 °𝐾 − 273 °𝐹 − 32
=
=
.
5
5
9
Si quisiéramos convertir 50°𝐶 a °𝐹 sería
°𝐶 °𝐹 − 32
9 °𝐶
9 (50)
=
→ °𝐹 =
+ 32 → °𝐹 =
+ 32 = 90 + 32 = 122.
5
9
5
5
Es decir que 50 °𝐶 = 122 °𝐹.
Múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI
Un prefijo combinado con una unidad denota que la unidad es multiplicada por una
determinada potencia de diez. La nueva unidad es llamada un (decimal) múltiplo o
submúltiplo. Los prefijos son utilizados para evitar los valores numéricos grandes o muy
pequeños.
Factor por el que se multiplica la unidad
1012 = 1 000 000 000 000
109 = 1 000 000 000
106 = 1 000 000
103 = 1 000
102 = 100
101 = 10
10−1 = 0,1
10−2 = 0,01
10−3 = 0,00 1
10−6 = 0,000 001
10−9 = 0,000 000 001
−12
10
= 0,000 000 000 001
Por ejemplo, un kilómetro
1 𝑘𝑚 = 103 𝑚 = 1 000 𝑚.
Un nanogramo es
28
Nombre
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
Prefijo
Símbolo
𝑇
𝐺
𝑀
𝑘
ℎ
𝑑𝑎
𝑑
𝑐
𝑚
𝜇
𝑛
𝑝
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
1 𝑛𝑔 = 10−9 𝑔 = 0,000 000 001 𝑔.
Sistema Anglosajón de Unidades (Sistema Inglés)
El sistema anglosajón de unidades es el conjunto de las unidades no
métricas que se utilizan actualmente como medida principal en Estados
Unidos.
Pulgada (𝑖𝑛)
pie(𝑓𝑡)
yarda(𝑦𝑑)
El sistema para medir longitudes en los Estados Unidos se basa en la
pulgada, el pie, la yarda y la milla. Cada una de estas unidades tiene
dos definiciones ligeramente distintas, lo que ocasiona que existan dos
diferentes sistemas de medición, acá los más aceptados.
1 𝑖𝑛 = 2,54 𝑐𝑚;
1 𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛 = 30,48 𝑐𝑚;
1 𝑦𝑑 = 3 𝑓𝑡 = 91,44 𝑐𝑚;
1 𝑚𝑖 = 1,609347 𝑘𝑚.
milla(𝑚𝑖)
acre(𝑎𝑐)
Para unidades de superficie tenemos:
1 𝑖𝑛2 = 6,4516 𝑐𝑚2
1 𝑓𝑡 2 = 144 𝑖𝑛2
1 𝑦𝑑2 = 9 𝑓𝑡 2
1 𝑎𝑐 = 4,840 𝑦𝑑2
Para volumen (líquidos):
1 𝑞𝑡 = 1,10122094272 𝑙
1 𝑔𝑎𝑙 = 4 𝑞𝑡
1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙 = 42 𝑔𝑎𝑙
Para masa:
1 𝑙𝑏 = 453,6 𝑔
1 𝑜𝑧 = 28,3 𝑔
1 𝑡 = 907,2 𝑘𝑔
Conversión de unidades
Ejemplo𝟏𝟎:Realice las conversiones indicadas:
1)
2)
3)
4)
5)
8 ℎ𝑚 25 𝑑𝑎𝑚 333 𝑐𝑚 a metros
30 𝑑𝑚 40𝑐𝑚 300 𝑚𝑚 a pulgadas
8 𝑘𝑚2 31 ℎ𝑚2 50 𝑑𝑎𝑚2 a hectáreas
15 000 𝑚𝑚3 a centímetros cúbicos
45 °𝐶 a °𝐾
1) Primero vamos a convertir cada cantidad a metros y luego sumamos, así:
8 ℎ𝑚 = 8 × 102 𝑚 = 8 × 100 𝑚 = 800 𝑚
25 𝐷𝑚 = 25 × 101 𝑚 = 25 × 10 𝑚 = 250 𝑚
333 𝑐𝑚 = 333 × 10−2 𝑚 = 333 × 0,01 = 3,33 𝑚
Luego, 8 ℎ𝑚 25 𝑑𝑎𝑚 333 𝑐𝑚 = 800 𝑚 + 250 𝑚 + 3,33 𝑚 = 1 053,33 𝑚.
2) Tenemos que
30 𝑑𝑚 = 30 × 10−1 𝑚 = 30 × 0,1 𝑚 = 3 𝑚 = 3 × 100 𝑐𝑚 = 300 𝑐𝑚
40𝑐𝑚 = 40 𝑐𝑚
300 𝑚𝑚 = 300 × 10−3 𝑚 = 300 × 0,001 𝑚 = 0,3 𝑚 = 0,3 × 100 𝑐𝑚 = 30 𝑐𝑚
Luego, 30 𝑑𝑚 40𝑐𝑚 300 𝑚𝑚 = 300 𝑐𝑚 + 40 𝑐𝑚 + 30 𝑐𝑚 = 370 𝑐𝑚. Como una pulgada
equivale a tener 2,54 𝑐𝑚. Resulta que
1 𝑖𝑛
370 𝑖𝑛
370 𝑐𝑚 ×
=
≈ 145,67 𝑖𝑛.
2,54 𝑐𝑚
2,54
29
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Por tanto, 30 𝑑𝑚 40𝑐𝑚 300 𝑚𝑚 ≈ 145,67 𝑖𝑛.
3) Como estamos en presencia de medidas de superficie, los factores relacionales de
longitud se elevan al cuadrado para ser aplicados al caso, tenemos
8 𝑘𝑚2 = 8 × (103 𝑚)2 = 8 × 106 𝑚2 = 8 × 106 𝑚2 ×
1 ℎ𝑚2
104 𝑚
= 8 × 102 ℎ𝑚2
31 ℎ𝑚2 = 31 ℎ𝑚2
1 ℎ𝑚2
50 𝑑𝑎𝑚2 = 50 × (101 𝑚)2 = 50 × 102 𝑚2 . = 50 × 102 𝑚2 × 104 𝑚2 = 50 × 10−2 ℎ𝑚2
Luego,
8 𝑘𝑚2 31 ℎ𝑚2 50 𝑑𝑎𝑚2 = 8 × 102 ℎ𝑚2 + 31 ℎ𝑚2 + 50 × 10−2 ℎ𝑚2
= 831,5 ℎ𝑚2 = 831,5 ℎ𝑎.
4) Ahora,
15 000 𝑚𝑚3 = 15 000 × (10−3 𝑚)3 = 15 × 103 × 10−9 𝑚3
= 15 × 10−6 𝑚3 = 15 × 10−6 × 106 𝑐𝑚3
= 15 𝑐𝑚3 .
5) Es verdadera la igualdad
°𝐶 °𝐾 − 273
=
5
5
Luego,°𝐾 = °𝐶 + 273 → °𝐾 = 45 + 273 = 318 → 45 °𝐶 = 318 °𝐾.
Actividad 𝟏
Resuelve operaciones aritméticas para dar respuesta a
situaciones problémicas del campo agrario
Palabras claves: números reales, operaciones en ℝ, notación científica..
1) Realice las operaciones indicadas, usando el orden de las operaciones cuando sea
necesario. Exprese las respuestas en términos simplificados.
a. − 8(−2) − [(42 ) + (7 − 3)]
b.
c.
f.
(− 6 + 3) × (−4)
−22
5
4
3
5
10
÷ (− ÷
)
g. 2.45(1.2 + 3.4 − 5.6)
−5−1
2( – 5 + 3) × (−4)
2
−
(−32 + 2)(3)
h.
3 − (−4)
118.5
1.45 + 2.3
i. 3√18 + √2
−5–9
5 – 3 ( −7 ) − 6
d.
−9 – 11 + 3 × 7
j.
e. 2√48 − √3
11
15
13
15
2) Escriba en notación científica las siguientes cantidades:
a. 45
d. 250 216
b. 9 785 000 000 000
e. 0.01
c. 2016
f. 0.000089
3) Escribe las siguientes cantidades dadas en notación científica:
30
1
+9
2
–3
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
4)
a. 5.014 × 104
d. 23.43 × 100
b. 9.3 × 1010
e. 9.01 × 10−7
c. 5 × 1012
f. 4.3 × 10−5
Problemas
a. Muchos acontecimientos de la vida real pueden considerarse como
operaciones de opuestos o inversos. Por ejemplo, la operación inversa de
“irse a dormir” es “despertarse”. Para cada una de las siguientes actividades
especifique su inverso.
i. Limpiar su cuarto
ii. Alcanzar buenas calificaciones
iii. Aumentar el volumen de su reproductor de música
iv. Comercializar productos agropecuarios con valor agregado
v. Reforestar en áreas áridas
b. Muchas actividades cotidianas son conmutativas; es decir, el orden en el
cual se realizan no afecta el resultado. Por ejemplo, “ponerse la camisa” y
“ponerse los pantalones” son operaciones conmutativas. Determine si las
siguientes actividades lo son.
i. Sembrar; Preparar la tierra
ii. Vestirse; tomar una ducha
iii. Realizar una cirugíaporcina; aplicar
anestesia
iv. Peinarse el cabello; cepillarse los
dientes
c. Si en una calculadora científica se introduce
12345678910111213 =aparece en pantalla
1.234567891 × 1016. ¿Por qué aparece en
notación científica?
d. La siguiente tabla muestra las exportaciones del año 2014de todas las
formas de café de algunos países exportadores en sacos de 60 𝑘𝑔. Rediseñe
la tabla de manera que los datos representen las exportaciones de café del
año 2014 en miles de sacos de 60 𝑘𝑔.
País
Número de Sacos
Brasil
36 420 000
Vietnam
25 298 000
Colombia
10 954 000
Indonesia
5 977 000
India
5 131 000
31
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Etiopía
3 117 000
Guatemala
3 045 000
Perú
2 720 000
México
2 496 000
Nicaragua
1 900 000
Fuente: International CoffeeOrganization
Evaluación:
Resolución de Guía de ejercicios aplicados en equipos de trabajo.
Actividad 𝟐
Emplea la regla de tres simple (directa e inversa), la regla de tres
compuesta y el cálculo porcentual en la resolución de problemas
del campo agrario.
Palabras clave: Regla de tres simple, regla de tres compuesta, Porcentajes.
1) Obtención del porcentaje de un número.
a. ¿Qué porcentaje de 500 es 75?
b. ¿38 es el 5% de qué número?
c. ¿30 es más del 40% de 120?
d. Si un artículo cuesta normalmente 𝐶$ 70.00 y tiene un descuento del 10%,
¿entonces el precio de descuento es de 𝐶$ 10.00?
2) Problemas
a. El listado de abajo detalla en porcentajes la cantidad de pasajeros que
viajaron a Nicaragua durante el año 2015 en el período Enero-Noviembre. Si
el total de pasajeros entrantes fue 591 753, determine:
i. El número de pasajeros internacionales que viajaron a Nicaragua en
cada mes.
ii. Calcule la variación del número de pasajeros entre el mes de menor
tráfico y el de mayor. ¿Qué porcentaje del total de pasajeros
representa? ¿Cómo verificaría este dato?
Enero
9.37 %
Julio
11.42 %
Febrero
8.65 %
Agosto
8.85 %
Marzo
9.45%
Septiembre
7.32 %
Abril
8.52 %
Octubre
7.52 %
32
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
Mayo
8.91 %
Noviembre
Junio
10.44 %
Fuente: http://www.eaai.com.ni/
9.55 %
b. Para cosechar 1 000 ℎ𝑎 trabajando 6 horas diarias se emplean 10 días. ¿En
cuántos días se cosecharán 1 500 ℎ𝑎 si las mismas personas trabajan
empero 8 horas cada día?
c. La estación meteorológica del Aeropuerto Internacional Managua brindó los
registros de temperatura mínima media (°𝐶) durante el año 2013 en el sector
de su radio de acción que se muestran en la tabla de abajo. Determine:
i. El promedio de los registros de temperatura media
ii. El promedio de las variaciones de cada registro respecto a la media
calculada en el inciso anterior.
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
22.3
21.8
23.0
24.4
24.4
24.2
23.4
23.5
23.5
23.4
22.5
21.9
Fuente: INETER (Resumen Meteorológico Anual).
Evaluación:
Resolución de Guía de ejercicios en equipos de trabajo evaluada entre los
equipos de trabajo.
Actividad 𝟑 Realiza la conversión de unidades para el cálculo de expresiones
Equivalentes
Palabras clave:Sistema internacional de unidades, sistema anglosajón de unidades, conversiones.
1) Exprese en metros:
a. 8 ℎ𝑚 25 𝑑𝑎𝑚 333 𝑐𝑚
b. 0,034 35 𝑘𝑚 234 𝑑𝑚
c. 35.4 𝑀𝑚
2) Responda correctamente las siguientes interrogantes.
a. Un campo de 13 418 𝑚2 se divide en cuatro partes iguales. ¿Cuántos 𝑑𝑎𝑚2
mide cada parte?
b. El piso de una habitación cubre un área de 7 480 𝑚2 y contiene 44 baldosas.
¿Cuántos 𝑐𝑚2 cubre cada baldosa?
c. Una finca de 125 ℎ𝑎 se ha vendido por partes a dos personas. La primer
persona adquirió
3
5
de la finca a $ 5.50 el 𝑚2 y la otra adquirió el resto a 301
dólares el decámetro cuadrado. ¿Cuánto obtuvo el dueño de la finca por su
venta?
d. Un dado tiene 8 𝑐𝑚 de arista. ¿Cuál es su volumen?
e. Un barco transporta 85 𝑑𝑎𝑚3 de ron y se quiere envasar en botellas de 70 𝑐𝑙.
¿Cuántas botellas se lograrán llenar? Exprese el sobrante en litros.
33
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
f. Un estudiante necesita 15 𝑔 de etanol para un experimento. Si la densidad
del alcohol es de 0.789 𝑔/𝑚𝑙, ¿cuántos mililitros de alcohol necesita?
3) Calcule la masa (en 𝑘𝑔) de:
a. 2530 𝑚𝑚3 de oro si 𝜌 = 19.3 𝑔/𝑐𝑚3
b. 10 𝑚3 de nitrógeno si 𝜌 = 1.25 𝑔/𝑙
c. 32.8 𝑐𝑚3de antimonio si 𝜌 = 6.7 𝑔/𝑐𝑚3
4) Complete la siguiente tabla, utilizando la ecuación de conversión:
Celsius
Fahrenheit
Kelvin
𝟏𝟓𝟎 °𝑪
34 °𝐹
−𝟖 °𝑪
333 °𝐾
Evaluación:
Trabajo en equipo sobre Guía de trabajo y posterior presentación en
plenario.
34
MÓDULO DE HABILIDADES NUMÉRICAS
35