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BLOQUE II :
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.- LOS ORÍGENES DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN:
El buscar una explicación razonable al movimiento aparentemente irregular de los
planetas fue objeto de graves preocupaciones de los astrónomos de la antigüedad.
De todas las explicaciones y teorías , sólo citaremos las más interesantes:
PTOLOMEO: ( s. II d.C.)
El modelo que planteó fue considerar que la Tierra permanece en el centro ,
mientras que los planetas describen complicadas órbitas alrededor de ella ( teoría
GEOCÉNTRICA) . Su teoría se basaba en:
a) La Luna , el Sol y las estrellas describen círculos simples entorno a la Tierra.
b) Los planetas conocidos hasta esa época ( Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y
Saturno) se mueven entorno a la Tierra describiendo trayectorias más
complejas ( describen con movimiento uniforme círculos pequeños
denominados epiciclos , cuyos centros describen a su vez , círculos mayores
entorno a la Tierra denominados deferentes . La superposición de ambos
movimientos dan lugar a una trayectorias complicadas denominadas
epicicloides las cuales explicaban los pequeños retrocesos en las trayectorias de
los planetas) .
Este modelo gozó de buena salud durante toda la edad Media por su precisión
matemática y su gran capacidad de ajuste.
1
COPÉRNICO: ( s. XVI d.C. )
Su modelo se basa en que el Sol ocupa el centro del universo ( modelo
HELIOCÉNTRICO). El Sol y las estrellas se consideran fijos y los planetas , incluida la
Tierra , describen órbitas circulares en torno a éste ( el Sol). Sus innovaciones,
recogidas en su libro “De revolutionibus orbium coelestium” , resumidas son las
siguientes:
* La Tierra no está en el centro del Universo, es un planeta. En el centro del
Universo está inmóvil , el Sol.
 Los planetas giran alrededor del sol según el siguiente orden: Mercurio ,
Venus , Tierra , Marte, Júpiter y Saturno.
 La luna no gira directamente alrededor del Sol, sino de la Tierra.
 La Tierra está afectada por tres movimientos: rotación sobre su eje ,
traslación alrededor del sol ; y un tercero llamado trepidación por el que el eje
terrestre se desplaza cónicamente con gran lentitud alrededor del polo
celeste, para explicar la precisión de los equinoccios.
 La esfera de las estrellas fijas es inmóvil y está muchísimo más alejada de lo
que exige el geocentrismo.
Las ideas de Copérnico recibieron fuerte oposición tanto de carácter científico
como eclesiástico. Sin embargo , fue Copérnico quién marcó el comienzo de una
revolución en astronomía al indicar la falsedad de la teoría geocéntrica ( veremos más
adelante que fue Galileo el principal defensor de la teoría heliocéntrica) , pero su
modelo sólo fue aceptado como un nuevo esquema matemático para calcular
posiciones y no como una descripción del Cosmo real.
TYCHO BRAHE: finales s. XVI ( 1546 – 1601 )
Fue el primer astrónomo que registró detalles precisos acerca de los movimientos
planetarios y proporcionó la base del modelo del sistema solar aceptado en la
actualidad.
2
Trató de perfeccionar el sistema geocéntrico, situando la Tierra en el centro del
Universo, al Sol circulando alrededor de la Tierra y los demás planetas girando
alrededor del Sol.
GALILEO GALILEI:
Adoptó el modelo heliocéntrico de Copérnico ( sigue suponiendo órbitas
circulares) . Este modelo resultaba mucho más sencillo de realizar el cálculo correcto
de las posiciones planetarias.
Hacia 1610 construyó un telescopio lo que le permitió descubrir:
 La Luna tiene valles y montañas, mares y océanos como la Tierra.
 Alrededor de Júpiter se movían cuatro cuerpos que llamó “planetas medíceos”
( Io , Europa , Ganímede , Calixto , los uatro satélites de Júpiter). Esto le hizo
ver que no todos los cuerpos celestes giraban en torno a la Tierra como
afirmaba el geocentrismo.
 La Vía Láctea no era más que una acumulación de estrellas.
 Se veían muchas más estrellas que a simple vista , y curiosamente , no se
veían más grandes.
 El Sol tenía manchas.
KEPLER:
Tycho Brahe le legó un catálogo de los movimientos de los planetas, sobre todo
de Marte. A partir de estos datos y de sus propias teorías , Kepler llegó a la conclusión
de que los planetas describen órbitas elípticas. Y enunció sus tres famosas leyes
empíricas que han tenido un valor fundamental en la reforma de la astronomía que se
realizó entre los siglos XVII y XVIII .
Las tres leyes se pueden resumir así:
1.- Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, donde el Sol
ocupa uno de los dos focos.A esto se le conoce como ley de órbitas.
3
WalterFendt\ph11s\keplerlaw1_s.htm
2.- Las áreas recorridas por la recta Sol-planeta (radio vector) son proporcionales a los
tiempos empleados en recorrerlas. Ley de las áreas.
Si t2 – t1 = t4 - t3 , se cumple que el AB = AA.
Siendo:
t : tiempo
A : área

Veamos lo que quiere decir esta ley: demostración
El momento de una fuerza es el producto vectorial del vector posición y la
fuerza aplicada. Expresado matemáticamente es:

  
M  r x Fg  0 porque

M  r. Fg sen  siendo  = 0 ya que el ángulo formado por
 
r y Fg es cero por estar contenido en una línea recta y el sen 0º = 0


Sustituyendo Fg = m . a g
resulta:

 

 
dv 
M  r x m . a g   r x  m . 
dt 


 dL

M 
 0  L  cte
dt
4

cte
L  cte  m.r.v  cte  r. v 
 r.v  cte
m
r 

r  
v 

v 
 
Por tanto , lo que viene a decir Kepler , es que el planeta se mueve más despacio
al estar más lejos . Y más rápido al estar más cerca del Sol.
WalterFendt\ph11s\keplerlaw2_s.htm
3.- Los cuadrados de los tiempos de revolución son proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores de las órbitas. Ley de los periodos.
Suponiendo dos planetas P1 y P2 que describen dos órbitas elípticas con períodos
T1 y T2 :
Según esta ley se cumple:
T12
T22
 3
3
r1
r2
Applets\PLANETS.HTM
Con estas tres formulaciones el comportamiento real de los movimientos
planetarios estaba finalmente aclarado. Correspondió a Newton más tarde, con la ley
de la Gravitación universal, encontrar la explicación física de tales movimientos y
demostrarla analíticamente.
NEWTON :
Utilizando las leyes de Kepler y aplicando las leyes de la dinámica al estudio de
los fenómenos naturales , dedujo la ley de gravitación universal .
Newton imaginó que la gravedad de la tierra influenciaba la Luna y la fuerza que
mantiene a ésta ( la Luna ) en su órbita está dirigida hacia la Tierra. De este modo , la
Luna estaría cayendo continuamente hacia la Tierra. También que la fuerza que ejerce
5
la Tierra sobre la Luna es la misma que la que ejerce sobre cualquier cuerpo situado en
la sperficie terrestre, es decir , la atracción gravitatoria. Extendió esta atracción a
todos los astros del universo.
Con su ley sobre la fuerza centrífuga y utilizando la tercera ley de Kepler, dedujo
las tres leyes fundamentales de la mecánica celeste:



Ley de la inercia: Todo cuerpo tiene a mantener su estado de movimiento
mientras no actúe sobre él otra fuerza externa.
Ley fundamental de la dinámica: La fuerza es igual a la masa por
aceleración.
Ley de la acción y la reacción: A toda fuerza siempre se le opone una
reacción de la misma magnitud pero de sentido contrario.
Este es el triunfo de la unificación de las mecánicas terrestre y celeste.
La importancia de dicha ley permitió que Newton diera explicaciones sobre:
- Las órbitas de los cometas.
- Calculó las masas de la Tierra, el Sol y los planetas con sus satélites.
-
Explicó la forma aplastada de la Tierra.
Utilizó esta idea para explicar la precisión de los equinoccios.
El origen de las mareas.
La variación de la gravedad con la altura.
EJEMPLOS:
1.- Sabemos que la distancia de Marte al sol es de 228.10 6 Km. ¿Cuánto dura un año
marciano?
DATOS : dsatélite – Tierra = 150.106 Km ; TTierra = 1 año ; dMarte – Sol = 228.106 Km
DESARROLLO:
Aplicamos la tercera ley de Kepler:
T12 T22
 3
r13
r2
Sustituyendo por los datos del enunciado:
TM2
TT2

rM3
rT3
 TM2 
TT2 . rM3
 TM  TT
rT3
rM3
rT3
 1año
(228.106 Km)3
(150.106 )3
 1,87años terrestres
2.- LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL:
Utilizando las leyes de Kepler , Newton dedujo la ley de la gravitación universal
suponiendo que el Sol gira alrededor de la Tierra en lugar de salir despedido en línea recta,
y esto es debido a la presencia de una fuerza que le empuja hacia la Tierra y describe una
circunferencia ( esta suposición no es muy errónea ya que las órbitas elípticas reales tienen
muy poca excentricidad. Las órbitas de todos los planetas , excepto la de Mercurio y Marte ,
son aproximadamente circulares).
6
La interacción gravitatoria es la responsable de los movimientos a gran escala en el
Universo y hace que los planetas del Sistema Solar sigan órbitas predeterminadas alrededor
del Sol.
Si un planeta tiene una órbita circular:
la recorre con movimiento uniforme, por tanto:
A1  A2
Si

s1  s2 
v1t1  v2 t 2
Según la ley de las Áreas:
A1  A2
 t1  t 2
 v1  v2
Y al ser un movimiento uniforme se cumple que el período de revolución es constante y su
valor es :
T 
2

siendo


T : período

siendo 

 : velocidad angular 
v
R
T :es una magnitud que mide la cantidad de tiempo necesario para realizar una revolución
completa. Se mide en segundos.
Despejando

en T resulta:
T 
2R
v
La aceleración centrípeta para un planeta que describe una órbita de radio R 1 es:
---- x -----
7
La aceleración centrípeta es una magnitud relacionada con la razón de cambio de
dirección de la velocidad de una partícula en movimiento. En cambio cuando el cuerpo
se mueve en una trayectoria curvilínea con rapidez constante (por ejemplo el MCU), lo
hace con una dirección variable, y debido a que la velocidad es un vector que indica la
dirección, sentido y la rapidez de un objeto, una dirección variable implica una
velocidad variable.
--- x ---2
v
a c1  1
R1
T 
2R
v
sustituyendo el valor de la velocidad en función del período resulta:
 v
2R
T
al sustituir este valor en la ac :
 2 R 

2
a c1
1
2
T1 . R1

4 2 R1
2
2
T1 . R1

4 2 R1
T1
2
La aceleración centrípeta para otro planeta que describe una órbita de radio R 2 será:
 2 R2   4 2 R2
v
ac2  2 
2
2
R2
T2 . R2
T2 . R2
2
2
2

4 2 R2
2
T2
La relación entre las aceleraciones es :
4 2 R1
2
2
R1 T2
a1
T1


2
4 2 R2
a2
R2T1
2
T2
 ecuación 1
y teniendo en cuenta la 3º ley de Kepler (Ley de los períodos) , la relación entre las
aceleraciones ( ecuación 1) se puede expresar en función de los radios:
8
3º Ley de Kepler :
2
 T1 2
T2
 3  3
r
r2
 1





T2
2
T1
2

R2
3
R1
3
Sustituyendo esto en la ( ecuación 1 ) resulta:
3
2
a1
R R
R
 1 . 23  22
a2
R2 R1
R1

a1 R1  a2 R2
2
2
En general , para cualquier planeta podemos escribir:
a r 2  k1
o también
a
k1
r2
de dicha ecuación se deduce que
la aceleración de un planeta es inversamente proporcional al cuadrado del radio de la
órbita que describe.
Así la fuerza centrípeta a la que está sometida el planeta es: (basándose en la segunda
ley de Newton (F=ma):
Fcentrípeta del
planeta
 m ac  m
k1
r2
( ecuación 2 )
Por el principio de acción y reacción ( tercera ley de Newton) , el Sol estará sometido a
otra fuerza igual y de sentido contrario. Es decir , sobre el Sol actúa la fuerza:
F
Sol
M
k2
( ecuación 3 )
r2
Fig. : ( acción y reacción para el Sol y un planeta).
Igualando las fuerzas de las ecuaciones 2 y 3 :
k1
k
k1
k
donde se observa que
 M 22
 m k1  M k 2

 2
2
M
m
r
r
la constante k para cada planeta es inversamente proporcional a su respectiva masa.
m
Ello nos permite definir una nueva constante llamada G , de manera que se cumpla:
9
k1
k
 2  G
M
m
Obteniéndose la constante de proporcionalidad para cada planeta:
Planeta m
 k1  G M
Para el SOL
 k2  G m
Al sustituir estos valores en la expresión de la fuerza , ( ecuaciones 2 y 3 ) :
F m
k1
GM
Mm
 m 2  G
2
r
r
r2
F M
k2
Gm
Mm
M 2 G
2
r
r
r2







se observa que ambas expresiones son las mismas. De aquí se deduce de forma
vectorial la ecuación de gravitación universal:
Mm
F G
r2
siendo :

F  G
M m 
ur
r2
(N)
2

11 N m
G
:
cte
de
gravitació
n
universal
de
valor
6
,
67
.
10

Kg 2

M : masa de la Tierra

m : masa de un planeta
r : radio disancia entre un planeta y otro

u r : vector unitario ( de módulo la unidad ) cuya dirección es la recta que une los centros de las dos partículas




r
 que se atraen y cuyo sentido está dirigido hacia afuera . er 
r







10
:
Esta ley considera una acción entre masas a distancia y es instantánea.
La ley de Newton se puede generalizar para todos los cuerpos del Universo
enunciándola:
“ Dos cuerpos cualesquiera del universo se atraen mutuamente con una fuerza
que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre sus centros”.
Fue Newton la primera persona en darse cuenta que la fuerza que hace que los
objetos caigan con aceleración cte en la Tierra y la
FUERZA que mantiene en movimiento los planetas
y las estrellas es la misma.
Sentido físico de G:
La constante de gravitación G de determinó experimentalmente con la llamada
balanza de Cavendish ( 1731 – 1810 ) en función de la torsión que sufre un filamento
metálico o de cuarzo debido a la atracción entre masas ( al situar las dos masas
grandes en las proximidades de las pequeñas esferas , éstas son atraídas de acuerdo
con la ley de la gravitación universal, y el hilo se retuerce. La torsión que experimente
el hilo se mide por la desviación que experimenta la luz reflejada en la escala).
11
Balanza de torsión: consta de una barra horizontal
suspendida por su punto medio de un hilo muy fino
Intercalado en el hilo hay un espejo O sobre el que
incide un rayo de luz que después de reflejarse se
recoge en una escala graduada. La barra lleva en sus
extremos sendas esferas de masa m .
Cavendish, además de hallar el valor de G , calculó la densidad de la Tierra y
la cifra encontrada ( 5,45) apenas ha sido modificada por determinaciones posteriores.
Para averiguar el significado de la constante de gravitación , basta dar en la ley
de Newton a las masa el valor de 1 Kg y a la distancia 1 metro :
F G
1 Kg 2
1m 2
de donde se deduce que G es la fuerza con que se atraen dos masa de 1 Kg cada una
cuando están situadas a 1 metro de distancia:
2
G  6,67.10 11 N m
Kg 2
3.- CAMPO GRAVITATORIO:
Definición: En Física , un CAMPO es cualquier magnitud física que presenta
cierta variación sobre una región del espacio ( ya que el espacio de la Física , no es un
espacio puramente geométrico, sino que está dotado de propiedades físicas: P, T ,
velocidad , F , Epotencial , etc) . Presenta una evolución temporal ( variación en el tiempo
) y presenta variación en el espacio . Ello hace que sus ecuaciones vengan dadas por
ecuaciones en derivadas parciales.
  
La idea del CAMPO es la mod ificación de propiedade s físicas de a lg una región del espacio

Vamos a aplicar el concepto de campo al campo gravitatorio:
El campo gravitatorio es un campo de fuerzas que representa la fuerza gravitatoria.
Veamos este concepto de manera intuitiva: supongamos que tenemos una masa m y
colocamos en distintas posiciones alrededor de m , una masa m’ . En cada una de
12

estas posiciones , la masa m’ , experimenta una F debida a la interacción gravitatoria
con la masa m que en un punto genérico P , de acuerdo con la ley de gravitación
universal, vendrá dado:

m m'   
 
F G mm'  r   G 2   ur 
r 
 

Esto se puede interpretar de otra manera:
la masa m produce en cada punto del
espacio que le rodea una perturbación en
sus propiedades físicas que denominamos
campo gravitatorio , de tal manera que este
campo se pone de manifiesto por la fuerza
atractiva que ejerce m sobre m’ (
denominada testigo) que colocamos en
dichos putos del espacio que rodea a m .
Desglosando esto , resulta:
1) La simple existencia de la masa m provoca que las propiedades del espacio que
lo rodea cambien , es decir , la masa m crea un campo gravitatorio en cada
punto del espacio que le rodea.
2) El campo gravitatorio creado por la masa m lo notamos cuando se coloca una
masa testigo m’ en dicha región observándose que sobre ésta actúa una
fuerza. La masa testigo juega el papel de aparato de medida.
3) La fuerza que actúa sobre la masa testigo ( m’ ) en un punto del espacio es
debida al campo gravitatorio que crea la masa m en dicho punto.
Veamos esto con un caso práctico:
1.- Supongamos un elástico tenso cuyos extremos están fijos a la pared.
2.- Si colocamos una gran masa m sobre el elástico ,
éste se deforma ( espacio = elástico ; campo =
deformación).
3.- Para ver la presencia de este campo , basta colocar
una masa testigo m’ en un punto del espacio en torno a
m y se observa que sobre ella actúa una FUERZA que en
este caso hace que la masa m’ se mueva hacia ella (m ).
CONCLUSIÓN:
13
Si por ejemplo cogemos un libro y lo levantamos , observamos que pesa. Si lo
soltamos vemos que cae al suelo. Si repetimos la operación en distintos puntos y lugares ,
observamos que siempre sucede lo mismo: se cae. Ello ocurre porque la Tierra ejerce una
fuerza de atracción sobre el libro.Con ello comprobamos la existencia del campo
gravitatorio terrestre.
Lo definimos como la región del espacio con una masa m , colocada en un punto de
esa región que experimenta una fuerza gravitatoria.
El campo gravitatorio es una propiedad física comunicada al espacio por un objeto
con masa m. Se caracteriza porque:



Es un caso particular de la gravitación universal.
El campo gravitatorio es conservativo.
El campo gravitatorio es estacionario ( porque el valor del campo en un punto
dado no cambia con el tiempo, solamente depende de las coordenadas del
punto).
3.2.- INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO:
Hemos visto que el campo gravitatorio se interpreta como una alteración de las
propiedades del espacio alrededor de los cuerpos. Esta alteración se mide por medio
de la INTENSIDAD DE CAMPO.
Podemos definir la intensidad de campo gravitatorio en un punto a la fuerza que
ejerce el campo sobre la unidad de masa colocada en dicho punto . e representa por

g , y tiene dimensiones de una aceleración.

 g : mide la int ensidad de campo que crea un cuerpo de masa M en un


 punto exterior P a dis tan cia R . El vector unitario u indica la dirección de
la int ensidad .




F
g 
m
Su expresión matemática es:
sustituyendo la Fuerza resulta:
F G

g  G
M 
ur
r2
(N
Mm
r2

Kg
g G
)
14
M
r2
La expresión de la intensidad gravitatoria sólo es útil en el exterior del planeta.
De la ecuación deducimos que la intensidad de campo DISMINUYE cuando AUMENTA la
distancia.
http://newton.cnice.mecd.es/2bach/campo_gravitatorio/grav_glocal.htm?2&1
EJEMPLOS:
2.- ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra el punto , sobre la recta que une los
centros de la tierra y la Luna, en que la intensidad del campo gravitatorio terrestre es
doble que la intensidad del campo gravitatorio de la Luna?.
DATOS: dTierra – Luna = 384000 Km ; MTierra = 81 veces la masa de la Luna.
DATOS:


gT  2 g L
M T  81 M L
¿x?

M   
 
g r   G 2   u r 
r 
 


 
gT  2 g L
G
como
MT
ML
 2G
2
x
D  x 2
81 M L
2ML

2
x
D  x 2
81
2

2
D  x 2
sustituyendo M T y simplifica ndo G resulta :
simplifica ndo M L :
pasando los n º a un tér min o y las incógnitas al otro :
2
 x 
81
81
x
 hallando la

 
:

2
2
Dx
 Dx
x
x
40,5 
; 6,364 
; 6,364 D  6,364 x  x  6,364 D  7,364 x
Dx
Dx
81
x2

2
D  x 2
x
6,364 D
6,364
384000 Km 

7,364
7,364
15
x  331852 Km
3.3.- INTENSIDAD DE CAMPO PARA UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS:
En el caso de tener una distribución discreta de masas en algún punto del
espacio , el vector intensidad de campo viene dado por el principio de superposición (
cuando un cuerpo se encuentra sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias , el
efecto resultante es igual a la suma de los efectos individuales de cada fuerza):

g 
in 
g
i 1
i

Ftotal 

Fi  G
in 
F
i 1
i


 F1  F2  ...
 m1   
m3 m '   
m3    
m1 m'   
m 2 m'   
m2   
u

G
u

G
u

m
'
G

u

G
u

G










 u r  

r
r
r
r1
r
2
r12  r 
r22  2 
r32  3 
r22  2 
r32  3 

 r1 

 

 m'  g 1  g 2  g 3 


CONCLUSIÓN:


La dirección del vector g es la de la línea que une el objeto con la Tierra y
sentido hacia el centro de la Tierra.
16

El vector intensidad de campo está dirigido siempre hacia el cuerpo que lo crea.

Esto se representa mediante un vector direccional u r . Dicho vector unitario
tiene como dirección la recta que une cada punto del campo con el centro de la
masa que crea dicho campo y, cuyo
sentido está dirigido hacia el
exterior de éste. Lo vemos en la
siguiente figura:

Que a todo punto del espacio que rodea a la Tierra se le puede asociar un vector


g , cuyo módulo mide la aceleración que tomaría un objeto colocado en dicho
punto.
La aceleración de la gravedad no es constante , depende de la altitud:
a) Una altitud h = 0 (nivel del mar) : r =
b) Una altitud h  0 r =

RT  h ; g  G
RT ; g = G
RT
MT
 9,8 m 2
s
RT2
MT
 h
2
Que el campo gravitatorio de la Tierra es el conjunto de todos estos vectores:
17
3.4.- LÍNEAS DE CAMPO:
La línea de campo es la representación gráfica del campo (gravitatorio , eléctrostático ,
magnético …) . Se definen como “curvas tangentes al vector intensidad de campo en
cada punto del espacio que rodea a una masa o a una distribución de masas. De la
definición de línea de campo se desprende que las líneas de fuerza del campo
gravitatorio son siempre salientes de las masas creadoras del mismo.
Cada línea esta dibujada de forma que el campo es tangente a la misma en
cada punto de ésta y las puntas de las flechas indican la dirección del campo. El
espacio entre ellas indica el valor del campo. En las regiones en donde las líneas están
muy juntas este es muy grande, mientras que donde están muy separadas es muy
pequeño.
Un campo uniforme estará representado por líneas de campo igualmente
espaciadas, rectas y paralelas. Además las líneas de campo definen superficies
equipotenciales perpendiculares a estas.
.
Se observa que las líneas de campo
son radiales y que mueren en la región
donde existe la masa m.

g es mayor en las regiones más próximas a la masa ( m ) que lo crea , siendo más
pequeña en las regiones más alejadas de la masa m.
18
Los campos vectoriales se representan mediante series de líneas que señalan la
trayectoria que seguirían las partículas bajo la influencia del campo. En el campo
gravitatorio creado por una masa puntual, estas líneas de fuerza siguen direcciones
que apuntan hacia la masa creadora del campo.
Líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual.
las líneas de fuerza de los
campos gravitatorio y eléctrico son abiertas, es decir, empiezan en algún punto (fuentes del
campo o el infinito) y terminan en algún otro (sumideros del campo o el infinito).
3.5.- FUERZA CENTRAL:
Una fuerza aplicada sobre una partícula en movimiento es central , cuando
dicha fuerza está dirigida constantemente hacia un punto fijo.
19
El movimiento de la Tierra en torno al Sol,representa el movimiento de partícula
sometida a una fuerza central.
Las trayectorias de partículas sometidas a fuerzas centrales son PLANAS .
Las fuerzas gravitatorias son centrales y con simetría esférica.
4.- ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA:
4.1.- TRABAJO DE UNA FUERZA:
Se denomina trabajo infinitesimal , al producto escalar del vector fuerza por el
vector desplazamiento. Su unidad en el S. I. es el J .
 
Ft : componente de la fierza a lo l arg o del desplazami ento.
ds : módulo del vector desplazami ento.  dr 
 : ángulo que forma el vector fuerza con el vector
desplazami ento
La expresión del trabajo viene dada por:
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de
todos los trabajos infinitesimales:
W 
B
B
A
A
 F . dr   F ds
t
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función
que relaciona la componente tangencial de la fuerza F t y el desplazamiento s:
20



Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es
negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
Si la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la
fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento:
W=Ft s
Una fuerza conservativa es una fuerza asociada a un campo conservativo de fuerzas
, capaz de devolver el trabajo que se realiza contra ellas. Se caracterizan por realizar un
trabajo que sólo depende de las posiciones inicial y final , y no de la trayectoria del
recorrido. Por este motivo cuando el trabajo se realiza en torno a una trayectoria cerrada , es
cero. Ejemplos de fuerzas conservativas: Gravitacional ; Elásticas ; Electrostáticas. No
son conservativas la Fuerza de Rozamiento ; Fuerza Magnética.
------ X ------La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza
sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a esta.
F=-kx
El trabajo de esta fuerza es
La función energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la
deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0,
de modo que la constante aditiva vale c=0.
--- X ----
21
4.2.- ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA:
La energía potencial es una magnitud característica de las fuerzas
conservativas. Se representa por U ó Ep . Su unidad en el S.I. es el J .
 
Los cambios que se producen en la energía potencial indican el trabajo realizado
por las fuerzas del campo.
Teorema de la energía potencial: “en un campo de fuerzas conservativo , el
trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía
potencial cambiada de signo”.
WAB  U A  U B   U
Vamos a ver la expresión de energía potencial que resulta aplicada a la
interacción gravitatoria:
hemos visto que:
W   F dr
W   U
igualando las expresiones del trabajo resulta:
 F dr
  U
o lo que es lo mismo:
 F dr  dU
sustituyendo el valor de la fuerza gravitatoria:
F  G
M m
er
r2
(N)
22
resulta:
como
U  0
la expresión de la energía potencial gravitatoria resulta:
dU   G
m m'
dr
r2
B
 dU   G m.m'

B
dr
r
2

B
B
1
1
r
1 
U B  U    G m m'  2    G mm'     G m m' 
 cte 
r
r
r
r
 
 
B

1
1
1
  G m m'

 cte   G m m'
 0  cte 
rB

rB
U  G
m m'
r
La energía potencial gravitatoria es negativa , como corresponde a un campo
cuyas líneas de fuerza se dirigen hacia el origen. Por tanto , a pesar de ser
inversamente proporcional a r , la energía potencial aumenta con la distancia.
EJEMPLO:
3.-Calcular el incremento de energía potencial que sufre un cuerpo de masa 10 Kg
cuando cae desde una altura de 150 m hasta la superficie de la Tierra y comparar este
resultado con el que se obtiene sin hacer la aproximación.
DATOS: RT = 6,37.106 m ; g0 = 9,8 m/s2
DATOS: mcuerpo = 10 Kg. , h = 150 m ;
DESARROLLO:
 1
1 
h
   G M T m
E p   G M T m 


RT  h  
RT RT  h 
 RT
G MT
sustituyendo g 0 
la exp resión anterior resulta
RT2
E p   g 0 m
h RT
RT  h
  (9,8) (10)
(150) ( 6,37.10 6 )
  14699,654 J
(6,37.10 6  150)
23
Haciendo la aproximación: (considerar que en las proximidades de la superficie
terrestre la altura tiene un valor muy pequeño frente al radio terrestre , R ,
aproximándose a RT + h  RT :
E p   mgh  10 . (9,8) (150)   14700 J
4.3.- ENERGÍA MECÁNICA:
Teorema de conservación de la energía mecánica: “ en un campo de fuerzas
conservativo , la suma de la energía cinética y la potencial para un cuerpo tiene
siempre el mismo valor; es decir , la energía mecánica se conserva”.
Em  Ec  U
Con el conocimiento de las energías , podemos definir y determinar el concepto de
velocidad de escape.
La energía mecánica de un planeta es siempre negativa:
Em  Ec  U
1  GM
 Em  m 
2 
r
2

Mm
1
Mm
  G
  G

r
2
r

4.4.- POTENCIAL GRAVITATORIO:
Se llama potencial, en un punto de un campo, al trabajo realizado por la
fuerza central para trasladar la unidad de masa sometida a la acción del campo desde
el infinito, donde suponemos que el campo es nulo, hasta dicho punto.
Se representa por V y sus unidades en el S. I.
J
.
 Kg 
El potencial gravitatorio en las inmediaciones de la superficie terrestre se
obtiene mediante la fórmula del potencial a distancias superiores al radio terrestre. Así
, para un punto P situado a una distancia h de la superficie terrestre tenemos:
24
VG   G
MT
RT  h 
De la definición de potencial que hemos dado se
deducen las siguientes consecuencias:
- El potencial en un punto depende de la
distancia r desde dicho punto al
centro del campo. Todos los puntos que
equidistan del centro del campo tendrán,
pues, el mismo potencial y forman una
superficie equipotencial.
- El potencial gravitatorio es una magnitud escalar con valor siempre negativo.
_ En cada punto de un campo gravitatorio está definido un potencial.
Diferencia de potencial entre dos puntos:Se llama diferencia de potencial
entre dos puntos de un campo al trabajo realizado para trasladar la unidad de carga
positiva (o unidad de masa) desde uno al otro punto.
La energía potencial gravitatoria viene dada por:
Ep   G
Mm
r
4.5.- POTENCIAL PARA UNA DISTRIBUCIÓN DE MASA:
4.6.- TRABAJO APLICANDO EL POTENCIAL :
Si tuviésemos una masa m que se traslada de A hacia B en el seno de un
campo gravitatorio, entonces se define el trabajo en función de la energía potencial:
Wmg, AB  m (U A U B )
de manera que el trabajo para trasladar una determinada masa entre dos puntos del
campo viene dado por la diferencia de energía potencial entre ambos puntos.
5.- MOVIMIENTOS DE PLANETAS Y SATÉLITES
VELOCIDAD DE ESCAPE:
Se llama velocidad de escape a la velocidad que debe adquirir un cuerpo para
que escape de la atracción terrestre. Es una velocidad inicial mínima.
25
La velocidad del cuerpo próximo a la superficie terrestre , correspondiente a
una energía total cero , se denomina velocidad de escape.
Su expresión matemática:
Como la velocidad del cuerpo próximo a la superficie terrestre, corresponde a
una energía total cero y a esto se denomina velocidad de escape ve . Puede
determinarse a partir del concepto de energía mecánica:
Em  Ec  U
Em  0  Ec  U  0
E
cf
 Eci
  U
f
 Ui   0
reagrupando términos de la energía en el mismo punto:
Ec f  U f
 Eci  U i
( ecuación 1)
si se quiere que el cuerpo escape de la atracción de la terrestre, hay que suponer que
se marcha al infinito, por tanto:
U  0
Ec f  Ec  0
quedando la ecuación 1:
Eci   U i
sustituyendo por sus correspondientes expresiones:

1
M m
m ve2     G T 
2
RT 

despejando
ve :
ve2  G
2MT m
RT m
ve 
26
2G MT
RT
De la expresión que acabamos de obtener, se deduce que la velocidad de escape es
INDEPENDIENTE de la masa del objeto que se lanza.
EJEMPLO:
4.- Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6378 Km , calcula la velocidad de escape
de su superficie.
DESARROLLO:
Como la
ve 
2GM T
RT
y
como no nos dan como dato la MT , entonces haremos
uso de la expresión de la intensidad:
g0 
G MT
RT2
despejando de esta exp resión : G M T  g 0 RT2
Sustituyendo en la expresión de la velocidad resulta:
ve 
2 g0
RT2
RT

2 g 0 RT 

2 9,8 6378.10 3

 11180 m
s
ENERGÍA DE UN SATÉLITE EN ÓRBITA:
Cuando un satélite de masa m gira en una órbita circular estable en torno a la
Tierra, la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza
de atracción gavitatoria. Igualando esta a la fuerza
centrípeta , puede conocerse la velocidad en la órbita:
 F  Fc
FG  Fc
G
27
MT m
v2

m
r2
r
Y la energía total del satélite en su órbita es:
1
M m

m v2    G T 
2
r 

MMT
21
MT m
M m
M m
v  mGG r T  G
 G T
G T
2
r
r
2r
r
Eórbita  Ec  U 
Eórbita
Eórbita   G
MT m
2r
EJEMPLO:
5.- Calcular la velocidad de un satélite en una órbita a 6000 Km de la superficie de la
Tierra. Indicar el valor de su energía cinética si su masa es de 500 Kg:
DATOS: RT = 6378 Km ; MT = 5,98.1024 Kg
DESARROLLO:
De acuerdo con la expresión de la velocidad de satélite:
M
v G T
r
2

v 
MT
G
RT  h 
v  5677 m

6,67.10
11
5,98.10 
24
6378.10
3
s
El valor de su energía cinética es:
Ec 
1
msatélite v 2
2
1
( 500 Kg ) ( 5677) 2
2
9
Ec  8,05.10 J

Ec 
28
 6000.10 3

FORMA DE LAS TRAYECTORIAS:
a) ETOTAL < 0
b) ETOTAL > 0
c) ETOTAL
d) ETOTAL
= O
 Trayectoria descrita por el cuerpo es una CIRCUNFERENCIA.
 Trayectoria es una HIPÉRBOLA.
 Trayectoria es una PARÁBOLA
negativa

es  pero es mayor que la necesaria para que la órbita sea circular es una


ELIPSE
29
• Sentido físico del signo negativo
Según la expresión vemos que si el desplazamiento dr y el campo son del
mismo sentido, el trabajo es positivo y, entonces nos movemos en el sentido de
los potenciales decrecientes porque dV es negativo.
• El trabajo lo realiza el campo: W > 0
Si dr y E son de signo opuesto, el trabajo es negativo y nos desplazamos en
sentido de los potenciales crecientes, ya que dV > 0
• El trabajo se realiza contra el campo: W < 0
30
31