Download 2º bachillerato - FISICA ROMERAL

2º BACHILLERATO
FÍSICA
TEMA 4
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
2
2º BACHILLERATO
TEMA 4
FÍSICA
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
4.1. Cálculo vectorial.
4.1.1. Magnitudes escalares y vectoriales.
Las magnitudes escalares son aquellas que quedan perfectamente
definidas dando un valor numérico y la unidad correspondiente. Ejemplos: el
tiempo, la masa, la densidad, la temperatura…
Las magnitudes vectoriales son aquellas que para que queden
perfectamente definidas, además de dar un valor numérico y la unidad
correspondiente debemos de dar la dirección y el sentido. Ejemplos: la
velocidad, la fuerza, la aceleración……
4.1.2. Definición y elementos de un vector.
Podemos definir un vector como un segmento orientado. Se suelen
 
representar con las letras del abecedario y un pequeño vector arriba ( a , b ….).
En cualquier vector encontramos la recta soporte ( recta a la que pertenece el
vector ); el punto de aplicación ( el punto donde comienza el vector ) y el
extremo ( punto final de la flecha ).
Los elementos de un vector son: el módulo ( parte escalar del vector que
coincide con la longitud del vector ); la dirección ( que la marca la recta soporte)
y el sentido ( que viene indicado por la punta de flecha ).
3
4.1.3. Suma y diferencia de vectores.
La suma de dos o más vectores es otro vector que por sí solo realiza el
mismo efecto que los componentes. Matemáticamente se expresa así:




s = a + b + c + …….
Para sumar gráficamente dos vectores se sigue la regla del
paralelogramo, que consiste en una vez unidos por su punto de aplicación los
dos vectores que queremos sumar, se traza una recta desde el extremo del
primer vector paralela al segundo vector, a continuación se traza otra recta
desde el extremo del segundo vector paralela al primer vector, el vector suma
será un vector que tiene como punto de aplicación el mismo que el de los
vectores a sumar y como extremo el punto donde se cortan las dos rectas
trazadas. Ejemplo:
Para restar gráficamente dos vectores se suma al primer vector el
opuesto del segundo vector siguiendo la regla del paralelogramo. Como
podemos comprobar el vector diferencia también es el vector que une el
extremo del segundo vector con el extremo del primero. Ejemplo:
4.1.4. Descomposición de un vector.
Descomponer un vector es hallar dos o más vectores cuya suma nos dé
el vector inicial. Si lo particularizamos para el caso de dos vectores, podemos
comprobar que existen infinitas parejas de vectores que cumplen la condición
anterior.
4
Un caso muy interesante de descomposición de vectores es el que se
refiere a la descomposición de un vector en dos o tres componentes que sean
perpendiculares entre sí (componentes cartesianas o rectangulares). Para
obtener las componentes cartesianas de un vector solamente debemos
proyectar dicho vector sobre los ejes coordenados.

Los cosenos de los ángulos que forma el vector a con cada uno de los ejes
coordenados se denominas cosenos directores. Su valor, deducido a partir de
la figura, vendrá dado por:
5
Sustituyendo los valores de ax , ay , az en la expresión general que define

el módulo de a , se tiene:
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a la
unidad.
4.1.5. Producto y cociente de un escalar por un vector.
El producto de un escalar por un vector es otro vector que tiene la misma
dirección y sentido que el vector dado y como módulo el producto del escalar
por el módulo del vector inicial.


c = a. b
El cociente de un vector entre un escalar es otro vector que tiene la
misma dirección y sentido que el vector dado y como módulo el cociente entre
el módulo del vector inicial y el escalar.

b

c =
a
4.1.6. Vector unitario de un vector dado.

El vector unitario u de un vector dado es un vector que tiene la misma
dirección y sentido que la del vector dado y como módulo la unidad. Así pues

cualquier vector a podrá venir dado por:
6


a = a. u
Luego:

a

u =
a
Los vectores unitarios cuyas direcciones coinciden con los ejes coordenados y
cuyos sentidos son los positivos de los ejes se simbolizan:
4.1.7. Distintas formas de expresar un vector.
Los vectores se pueden expresar de distintas formas:
a) En función de los vectores unitarios.
7
b) En función de sus coordenadas.

a ( x, y, z )
c) En función del módulo y los ángulos directores.
4.1.8. Suma de vectores expresados en función de sus
componentes rectangulares.
Si tenemos que sumar dos o más vectores que vienen dados en función
de sus vectores unitarios podemos operar como sigue:
8
Se puede demostrar geométricamente que:
Y generalizando para n vectores en tres dimensiones:
4.1.9. Producto escalar de dos vectores.


El producto escalar de dos vectores a y b es un escalar que tiene como
valor el producto del módulo del primer vector por el módulo del segundo vector
y por el coseno del ángulo  que forman entre sí.


Cuando los vectores a y b vienen dados en función de sus
componentes rectangulares, tenemos:
9
4.1.10. Producto vectorial de dos vectores.


El producto vectorial de dos vectores a y b (que se representa como
 
a  b ) es otro vector que tiene como módulo el producto del módulo del
primer vector por el módulo del segundo vector y por el seno del ángulo  que
forman entre sí.
 
a  b = a.b.sen α
La dirección es perpendicular al plano que contiene los dos vectores y el
sentido viene dado por la regla del sacacorchos. La regla del sacacorchos dice
que el sentido coincide con el de avance de un sacacorchos que colocamos su
extremo coincidente con los puntos de aplicación de los vectores dados y lo
hacemos girar para llevar el primer vector hacia el segundo vector por el
camino más corto.
10
Si los dos vectores vienen dados en función de sus componentes
rectangulares. El producto vectorial será:
Expresión que coincide con el desarrollo del determinante:
4.1.11. Momento de un vector con respecto a un punto.
11

El momento de un vector a respecto de un punto O es el producto


vectorial del vector de posición r del punto de aplicación de a , por el propio
vector.

 
M = r a
M = r . a senα
4.1.12. Derivada de un vector con respecto de un escalar.

Sea un vector r que varía en módulo o dirección, o en ambos a la vez,

respecto de un escalar t ; la derivada de r respecto a t corresponderá al límite

a que tiende el cociente  r / t cuando t tiende a cero:
Si el vector viene expresado en función de sus componentes rectangulares la
derivada será:
12
4.2. Antecedentes históricos de la ley de gravitación universal.
Los griegos fueron los primeros que intentaron dar una respuesta a la
pregunta, ¿cómo es el Universo donde vivimos?. Platón en el siglo IV a.C.
enunció que la Tierra es esférica y está inmóvil en el centro del Universo
(geocentrismo) y que los movimientos de los astros alrededor de la Tierra
deben ser circulares y uniformes. Su discípulo Aristóteles, recogiendo las ideas
antes expuestas postula el primer modelo de Universo, el modelo de las
esferas , que dice que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas, están
engarzados a esferas transparentes y concéntricas, que giran alrededor de la
Tierra y que la esfera más externa es la de las estrellas fijas.
Estas ideas llegan hasta Ptolomeo ( s. II de nuestra era ) que propone un
modelo basado en el de Aristóteles, y que debido al hecho observacional de
que ciertos planetas como Marte describen una especie de bucles en el cielo,
tiene que introducir una serie de epiciclos ( circunferencias con centro en otras
circunferencias ) que complican en demasía el modelo inicial, pero que puede
hacer predicciones sobre el movimiento de los astros con cierta exactitud. El
modelo de Ptolomeo se mantiene en vigor durante más de 14 siglos.
Ya en pleno siglo XVI Tycho Brahe realiza las observaciones
astronómicas más precisas de la época, antes del descubrimiento del
telescopio, y Nicolás Copérnico, propone un modelo de Universo que se basa
en la idea de que el Sol es el centro del Universo ( heliocentrismo) y que los
planetas junto con la Tierra giran alrededor de éste. Johannes Kepler
(principios del siglo XVII) aceptando el modelo de Copérnico y utilizando las
observaciones astronómicas de Brahe enuncia sus leyes que dan una
respuesta cinemática al movimiento de los planetas. Por otro lado, también a lo
largo del siglo XVII, Galileo-Galilei da una respuesta cinemática al movimiento
de caída de los cuerpos hacia el centro de la Tierra.
Por último, Isaac Newton ( finales del siglo XVII ) llega a la conclusión de
que la causa que mueve a los planetas alrededor del Sol es la misma que la
que mueve a los cuerpos que caen hacia el centro de la Tierra, es decir, da una
respuesta dinámica común a ambos movimientos y enuncia la ley de
gravitación universal.
4.3. Las Leyes de Kepler.
Fueron enunciadas por Johannes Kepler a comienzos del siglo XVII y se
refieren a los movimientos que describen los planetas en su recorrido alrededor
del Sol. Son las siguientes:
1. - Ley de las órbitas. Los planetas describen órbitas elípticas en su
movimiento alrededor del Sol, ocupando éste uno de los focos de
dicha elipse.
13
Esta ley, que se basa en los datos observacionales de Tycho Brahe como
todas las demás, destierra la idea establecida por Platón del movimiento
circular perfecto de los planetas.

2. - Ley de las áreas. El radio vector ( r ) que une el Sol con cada
planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.
Para que el radio vector de un planeta, describiendo una trayectoria elíptica,
pueda barrer áreas iguales en tiempos iguales, es necesario que su velocidad
lineal varíe en todo el recorrido, siendo máxima en el perihelio y mínima en el
afelio. Esta segunda ley contradice la idea platónica del movimiento uniforme
de los planetas.
3. - Ley de los períodos. Los cuadrados de los períodos de revolución
de cada planeta alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de
las distancias promedio del Sol a cada planeta. Matemáticamente:
T2 T2
= 3 = ………. = cte.
r13
r2
14
En definitiva, Kepler hizo una descripción cinemática del movimiento de los
planetas, pero dejaba planteada una pregunta clave que no pudo llegar a
contestar: ¿qué características tiene la fuerza que hace que se muevan así los
planetas?.
4.4. La ley de gravitación universal.
4.4.1. Enunciado de la ley.
Isaac Newton, a finales del siglo XVII, basándose en el modelo
heliocéntrico de Copérnico, teniendo en cuenta las leyes de Kepler, así como la
idea de fuerza y las leyes de la dinámica por él establecidas, enunció la ley de
gravitación universal, que dice lo siguiente:
La fuerza con la que se atraen dos cuerpos cualesquiera es
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que separan sus centros de gravedad.
Matemáticamente:
F=G
m1 .m2
r2
Donde m1 y m2 son las masas de los cuerpos, r es la distancia que separa los
centros de gravedad de los cuerpos y G la constante de gravitación universal.
Expresado vectorialmente:

m .m 
F =-G 13 2 r
r
-
Donde la dirección coincide con la línea que une los centros de gravedad de
los cuerpos.

El sentido es contrario al del vector de posición ( r ). Esto es lo que nos
indica el signo (-).
El módulo viene dado por la expresión:
15
F=G
m1 .m2
r2
G, es la constante de gravitación universal, determinada experimentalmente
por Cavendish ( finales del siglo XVIII ) , cuyo valor es:
G = 6,67.10-11 N.m2 / Kg2
Este valor de la constante es independiente del medio donde se encuentren los
cuerpos, por eso decimos que tiene carácter universal.
Un caso particular de fuerza de atracción gravitatoria es la fuerza peso o peso
de un cuerpo.
4.4.2. Consecuencias.
Al tratarse de una ley tan fundamental, son muchas las consecuencias
que se deducen de la misma. A continuación vamos a tratar brevemente
algunas de las principales.
1. - Justificación de las leyes de Kepler.
A partir de la ley de gravitación universal se pueden demostrar las tres leyes de
Kepler. A continuación demostraremos la tercera ley:

La fuerza de atracción gravitatoria que ejerce el Sol sobre un planeta ( F ) es

igual a su fuerza centrípeta ( Fc ).
16
Se puede comprobar que la constante (cte.) de la tercera ley de Kepler coincide
con el valor 42 / G.M.
2. - Determinación de la masa de planetas con satélites.
Utilizando la ley de gravitación universal se puede determinar la masa de un
planeta que tenga como mínimo un satélite orbitando a su alrededor.
Solamente se necesita conocer la distancia del planeta a su satélite y su
período de revolución. Estos datos se obtienen fácilmente por observación
astronómica.
3. - El fenómeno de las mareas.
Newton explicó el fenómeno de las mareas mediante la ley de gravitación
universal. Este fenómeno se produce por la diferencia de atracción gravitatoria
que ejerce la Luna sobre el agua del mar en los lados opuestos de la Tierra.
Esto obedece sencillamente a que la fuerza de la gravedad se debilita con el
aumento de la distancia. En los puntos de la Tierra más próximos a la Luna y
en los opuestos se produce marea alta y en los puntos intermedios marea baja.
Las mareas altas de mayor altura y las mareas bajas de mínima altura se
presentan cuando la Tierra, la Luna y el Sol están alineados ( aguas vivas ).
Esto ocurre cuando hay Luna nueva o Luna llena.
17
Cuando la Luna y el Sol se encuentran formando un ángulo recto entre sí, con
respecto a la Tierra, se producen las mareas altas más bajas y se conocen con
el nombre de mareas muertas. Esto ocurre cuando hay cuarto creciente o
cuarto menguante.
Cada 25 horas se producen dos mareas altas (pleamar) y dos mareas bajas
(bajamar ).
4. - Descubrimiento de nuevos planetas.
Mediante la ley de gravitación universal, Newton también analizó las pequeñas
perturbaciones de las órbitas planetarias. Estas ligeras desviaciones de los
planetas sobre sus trayectorias elípticas teóricas se explicaban por las
pequeñas interacciones gravitatorias existentes entre los mismos planetas.
Posteriormente, esta teoría de las perturbaciones condujo al descubrimiento de
los planetas Neptuno y Plutón.
5.- Descubrimiento de planetas alrededor de estrellas.
18
4.5.
Ampliación del concepto de trabajo.
En el curso anterior, veíamos que el trabajo realizado por una fuerza

F aplicada sobre un cuerpo, venia dado por la siguiente expresión:


W = F . ∆ r = F.∆e.cosα

Donde F es el módulo de la fuerza,  r es el vector desplazamiento, e el
espacio recorrido por el cuerpo en línea recta y  el ángulo que forma la
dirección de la fuerza con el vector desplazamiento.
Esta expresión tenía unos condicionantes a la hora de ser aplicada. La
trayectoria seguida por el cuerpo debía ser rectilínea y la fuerza aplicada debía
de ser constante en todo momento.
Para obtener una expresión general para el trabajo que no presente ninguna
restricción, debemos razonar de la siguiente forma:

Sea un cuerpo sometido a una fuerza variable F , que describe una trayectoria
cualquiera entre los puntos A y B. En un tiempo infinitesimal dt el cuerpo

realiza un desplazamiento infinitesimal d r y podemos suponer que la fuerza
aplicada en este desplazamiento permanece constante, luego el trabajo
infinitesimal realizado será:
Si todo el trayecto recorrido por el cuerpo lo dividimos en infinitos
desplazamientos infinitesimales y en cada uno calculamos el trabajo
infinitesimal. La suma de todos estos trabajos infinitesimales nos dará el trabajo
total.
19
4.6.
Fuerzas conservativas y no conservativas.
Una fuerza es conservativa si cumple que el trabajo realizado por dicha fuerza
para trasladar un cuerpo de una posición A a otra posición B, es independiente
del camino seguido y solo depende de la posición inicial y final.
Cuando sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas, se cumple que:
a) El trabajo realizado por las fuerzas conservativas que actúan sobre un
cuerpo lleva consigo una disminución de su energía potencial.
W AB = - ∆ Ep
b) Cuando actúan sobre un cuerpo fuerzas conservativas, la energía cinética
más la energía potencial de dicho cuerpo permanece constante. Es decir,
se cumple el principio de conservación de la energía mecánica.
∆ Ec = - ∆ Ep
EcB – EcA = - ( EpB – EpA )
EcA + EpA = EcB + EpB
20
Son fuerzas conservativas: la fuerza gravitatoria, la fuerza eléctrica, la fuerza
elástica.
Una fuerza es no conservativa si cumple que el trabajo realizado por dicha
fuerza para trasladar un cuerpo de una posición A a otra posición B, depende
del camino seguido.
Son fuerzas no conservativas: la fuerza de rozamiento, la fuerza magnética.
4.7.
El campo gravitatorio.
4.7.1. Concepto de campo
Hemos visto en cursos anteriores que las interacciones por contacto entre dos
cuerpos quedan bien determinadas empleando el concepto de aceleración. Así
podemos calcular el valor de la fuerza aplicada sobre un cuerpo de masa m,
utilizando la segunda ley de Newton:


F = m. a
En muchos casos , sin embargo, la fuerza que actúa entre dos cuerpos no se
expresa en función de la aceleración, sino en función de la posición relativa de
dichas partículas, son las llamadas interacciones a distancia. La ley de
gravitación universal es un ejemplo de este tipo de interacciones. En efecto,
hemos visto cómo la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos cualesquiera viene
dad por la expresión:
m .m
F=G 12 2
r
que depende de la distancia. Hay muchos casos importantes de interacciones a
distancia. Por ejemplo, la interacción que existe entre el Sol y la Tierra o la
interacción entre un imán y un clavo. Los físicos siempre han tenido dificultades
para explicar esta interacción a distancia. Para poder describir este tipo de
interacciones se ha inventado el concepto de campo, que fue introducido por
primera vez por Faraday para poder estudiar el electromagnetismo.
4.7.2. Definición de campo gravitatorio.
El campo gravitatorio creado por una masa m1 , es la región del espacio que
rodea a dicha masa, tal que si colocamos una segunda masa m2 en un punto
cualquiera de dicha región, instantáneamente aparece sobre esta segunda
masa una fuerza de atracción debida a la presencia de la masa que crea el
campo.
21
Cualquier punto de un campo gravitatorio viene caracterizado por dos
magnitudes físicas: una magnitud vectorial denominada intensidad del campo
gravitatorio y una magnitud escalar denominada potencial gravitatorio.
4.7.3. Intensidad del campo gravitatorio.

La intensidad del campo gravitatorio o simplemente campo gravitatorio g en un
punto P, es la fuerza gravitatoria a la que se encuentra sometida la unidad de
masa colocada en dicho punto.
Para el caso de que la masa que crea el campo sea m 1 y la masa que
colocamos en el punto sea m2, tendremos:

La intensidad del campo gravitatorio g , solo depende de la masa que crea el
campo y de la distancia de ésta al punto considerado.
Su dirección coincide con la línea que une la masa que crea el campo y el
punto considerado.

El sentido es contrario al del vector de posición r y coincidente con el sentido
de la fuerza gravitatoria.
El módulo viene dado por la expresión:
g=G
m1
r2
Sus unidades serán N / Kg o m/s2.
4.7.4. Principio de superposición.
En el caso de que existan varias masas puntuales en una misma región del
espacio se cumple el principio de superposición: " El campo gravitatorio
22
resultante en un punto P es igual a la suma de los campos debidos a cada una
de las masas en ese punto".
4.7.5. El campo gravitatorio terrestre.
Cuando la masa que crea el campo es la de la Tierra, al campo se le denomina
campo gravitatorio terrestre.
g=G
mT
r2
El módulo de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra
g0 vendrá dada por la siguiente expresión:
g0 = G
mT
RT2
Donde mT es la masa de la Tierra = 5,98.1024 Kg y RT el radio de la Tierra =
6,370.106 m. Sustituyendo estos valores en la expresión anterior, tenemos:
Podemos comprobar que la fuerza gravitatoria de la Tierra en su superficie o
cerca de ella es lo que también conocemos como fuerza peso o simplemente
como peso de un cuerpo.
23
La intensidad del campo gravitatorio terrestre g va disminuyendo con la altura,
ya que:
Y si la ponemos en función de la aceleración de la gravedad en la superficie de
la Tierra g0 , tenemos:
4.7.6. Líneas de fuerza.
Una forma de representar un campo gravitatorio es mediante las líneas de
fuerza. Las líneas de fuerza son líneas imaginarias tangentes al vector

intensidad del campo gravitatorio g en cada punto del campo. Se les suele
asignar un sentido a las líneas de fuerza, que en este caso es hacia la masa
que crea el campo.
24
4.8.
Energía potencial gravitatoria.
4.8.1 En un punto alejado de la Tierra.
Ya hemos visto que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, luego el
trabajo realizado por esta fuerza para trasladar un cuerpo de un punto A a un
punto B, lleva consigo una disminución de su energía potencial.
W AB = - ∆ Ep
Para el caso de la Tierra, si queremos calcular la energía potencial en un punto
A alejado de la misma, debemos seguir los siguientes pasos:
a) En primer lugar, calculamos la variación de la energía potencial de un
cuerpo de masa m al trasladarlo desde un punto A a un punto B del campo
gravitatorio terrestre.
El trabajo realizado en contra de la fuerza de atracción gravitatoria para
trasladar el cuerpo desde la posición A a la posición B se emplea en aumentar
la energía potencial del cuerpo, luego:
25
b) En segundo lugar, si arbitrariamente fijamos que para un punto B situado en
el infinito la energía potencial es cero, podremos calcular le energía
potencial en un punto A del campo gravitatorio terrestre, ya que:
Es decir, la energía potencial de un cuerpo en un punto del campo gravitatorio
terrestre es el trabajo que se debe realizar sobre dicho cuerpo para trasladarlo
desde dicho punto al infinito.
26
El signo negativo nos indica que la energía potencial gravitatoria disminuye a
medida que el cuerpo de masa m se acerca a la Tierra.
4.8.2. En un punto cerca de la superficie de la Tierra.
Cuando se estudia la energía potencial de un cuerpo cerca de la superficie de
la Tierra, se escoge como punto de energía potencial cero el nivel de la
superficie de la Tierra. Se encuentra entonces que para una altura h sobre la
superficie, la energía potencial será:
Ya que aquí la fuerza gravitatoria (peso del cuerpo) podemos considerarla
prácticamente constante.
P = m.g0 = m G
mT
( RT  h) 2
h despreciable frente a RT.
4.9.
Potencial gravitatorio.
Otra magnitud que caracteriza cada uno de los puntos de un campo
gravitatorio, como ya hemos apuntado antes, es el potencial gravitatorio. A
diferencia de la intensidad del campo gravitatorio que es una magnitud
vectorial, el potencial gravitatorio es una magnitud escalar.
27
El potencial gravitatorio en un punto de un campo se define como: la energía
potencial de la unidad de masa colocada en dicho punto. Matemáticamente:
Sus unidades son pues J / Kg.
La diferencia de potencial ( VA – VB ) entre dos puntos del campo gravitatorio
será:
VA – V B =
W AB
m
y
W AB = m ( VA – VB )
Se denominan superficies equipotenciales de un campo gravitatorio, a
aquellas superficies que contienen todos los puntos del campo de igual
potencial. El trabajo para trasladar una masa m por estas superficies será 0.
Como
W AB = m ( VA – VB ) = m . 0 = 0
VA = VB
4.10. Aplicaciones del modelo newtoniano al movimiento de
satélites y de planetas.
4.10.1.
Velocidad orbital de un satélite.
Cuando un satélite gira alrededor de la Tierra o de cualquier cuerpo másico, la


fuerza de atracción gravitatoria F es igual a la fuerza centrípeta Fc . Por lo que:
F = Fc
G
m.mT
v2
=
m
r
r2
Donde mT es la masa de la tierra, m es la masa del satélite y r el radio de la
órbita, medido desde el centro de la Tierra. De la igualdad se deduce la
velocidad v con que gira el satélite en su órbita (velocidad orbital).
28
El tiempo que tarda un satélite en describir su órbita recibe el nombre de
período de revolución T y viene dado por la ecuación:
4.10.2.
Energía mecánica de un satélite.
Se llama energía mecánica o energía total de un satélite, a aquella energía
que necesita dicho satélite para mantenerse en órbita circular alrededor de la
Tierra.
El satélite en esta posición está sometido a la fuerza gravitatoria y cumple que:
La energía cinética Ec que tendrá el satélite será:
29
Ep =
m .m
1
1
m v2 = G T
2
2
r
La energía potencial gravitatoria Ep asociada al sistema Tierra-satélite vale:
Ep = - G
mT .m
r
Por consiguiente, la energía mecánica Em del satélite será:
Que es negativa, debido a la elección que hicimos del origen de energía
potencial.
El movimiento de un satélite será finito cuando la EM  0 y por tanto la
trayectoria será cerrada ( circular, elíptica..).
Por el mismo razonamiento, el movimiento será infinito cuando Em  0 ya que
esto supone que la energía potencial se debe hacer cero, y esto sólo ocurre
cuando el cuerpo se encuentra en el infinito. La trayectoria en este caso será
abierta ( hiperbólica, parabólica…).
4.10.3.
Velocidad de escape de un cohete.
Se llama velocidad de escape a la velocidad que debe adquirir un cuerpo para
que escape de la atracción terrestre.
Para lanzar un cuerpo de masa m a una trayectoria abierta (movimiento
infinito), tendrá que cumplirse que:
30
De donde se deduce:
Podemos comprobar que la velocidad de escape es independiente de la masa
del cuerpo que lanzamos. Necesitamos comunicarle la misma velocidad de
escape a una piedra que a una nave espacial, pero se necesita mucha más
energía para comunicarle la velocidad de escape a una nave espacial que a
una piedra.
La fórmula obtenida es válida para objetos lanzados desde cualquier cuerpo
másico ( planetas, satélites, estrellas….).
Ve =
2.G.m
r
Donde m es la masa del cuerpo y r la distancia del centro de gravedad del
cuerpo al punto de lanzamiento.
4.10.4.
Energía para elevar un satélite a una determinada
altura desde la superficie de la Tierra.
La energía que se necesita para elevar un satélite desde la superficie de la
Tierra hasta una cierta altura coincide con la variación de su energía potencial,
de tal forma que:
31
Donde mT es la masa de la Tierra, m es la masa del satélite, r la distancia
desde el centro de la Tierra a la órbita y RT el radio de la Tierra.
Anexo:
www.iac.es/cosmoeduca/gravedad/index.html
www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/gravitacion.htm