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SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA
Versión: 01
GUÍA DE APRENDIZAJE
SISTEMA INTEGRADO DE GESTIÓN
Proceso Gestión de la Formación Profesional Integral
Procedimiento Ejecución de la Formación Profesional Integral
Fecha: 09/10/2014
Código: F004-P006-GFPI
GUÍA DE APRENDIZAJE Nº
2
1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE
Programa de Formación: Diseño de acciones de formación Código: 03000063
complementaria.
Versión: 1
Nombre del Proyecto: Fortalecimiento en razonamiento
cuantitativo para la articulación con la media.
Código: 280301022
Fase del proyecto: Ejecución
Actividad (es) de Aprendizaje:
 Identificar
diferentes
modelos
matemáticos para la resolución De
problemas en un contexto real.
 Analiza r la información o verificar el
dominio de los procesos a partir de
Actividad (es) del Proyecto:
información cuantificable.
 Concluir
sobre
situaciones
cuantitativas asociadas a problemas
en contexto teniendo en cuenta la
información
suministrada
y
conocimiento matemático asociado.
Resultados de Aprendizaje: Resolver problemas cotidianos y de Competencia: efectuar mediciones de
contexto real cuantificable usando operaciones y superficies y contornos de acuerdo con
procedimientos que apliquen las matemáticas básicas.
planos y especificaciones técnicas.
Duración de la guía ( en horas): 15
2. INTRODUCCIÓN
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por
letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligada por los signos de las
operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
 Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la0circunferencia.
 Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
 Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
 Expresiones algebraicas comunes:
Guía de Aprendizaje
El doble o duplo de un número: 2x, El triple de un número: 3x, El cuádruplo de un número: 4x, La mitad de
un número: x/2., Un tercio de un número: x/3, Un cuarto de un número: x/4, Un número es proporcional a
2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.., Un número al cuadrado: x2, Un número al cubo: x3, Dos números consecutivos: x y x
+ 1, etc…
Las ecuaciones ocupan un lugar importante en el estudio de las matemáticas, pues proporcionan una
herramienta útil y cómoda para resolver múltiples problemas que, sin ellas, se resuelven de forma más
complicada.
Los problemas pueden resolverse por métodos aritméticos y algebraicos. En muchos casos la resolución
aritmética es más sencilla, pero en muchos otros es mucho más fácil plantear una ecuación para
resolverlo.
3. ESTRUCTURACION DIDACTICA DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
3.1 Actividades de Reflexión inicial.
Analizar la aplicabilidad del algebra en la vida cotidiana.
Analice y discuta con sus compañeros de grupo, la importancia de las ecuaciones algebraicas en el
contexto real y como se aplicarían en su vida profesional.
En grupos de tres responde la pregunta:
¿Para que se utiliza el álgebra en la vida cotidiana?
3.2 Actividades de contextualización e identificación de conocimientos necesarios para el aprendizaje.
Utilizar los conocimientos previos de matemáticas para iniciar una etapa de exploración del
pensamiento variacional.
3.2.1 Resuelve el juego propuesto por el instructor. (Anexo 1 sesión 1)
3.2.2 Después de la instrucción del instructor resuelve en tríos el taller de paso de lenguaje natural al
algebraico y viceversa. (Anexo 2 sesión 1 )
3.3
Actividades de apropiación del conocimiento (Conceptualización y Teorización).
Identificar las características de las expresiones, clasificación, operación con polinomios algebraicas y
resolución de problemas aplicando ecuaciones de primer y segundo grado .
3.3.1 Leer el anexo 3 y resolver los ejercicios propuestos para afianzar tus conocimientos de las
enseñanzas de algebra trabajadas hasta el día de hoy. (Anexo 3 sesion1).
3.3.2 Resuelve el crucinúmero de operaciones con polinomios (Anexo 4 sesión 2)
3.3.3 Recordar los conceptos previos para desarrollar ecuaciones de primer y segundo grado.
Criptonumero. (Anexo 5 sesion2)
3.3.4 Desarrollar guía de ecuaciones lineales y gráficas. (Anexo 5 sesión 3)
3.3.5 Leer la guía de resolución de problemas de ecuaciones de primer grado y resolver los
problemas de aplicación. (Anexo 6 sesión 3 )
3.3.6 Resolver los problemas de aplicación de segundo grado. (Anexo 7 sesión 4 )
3.3.7 Con el fin de reforzar sus conocimientos resuelve 5 de los puntos la actividad de forma individual
a manera de informe para entregar el próximo lunes. (Anexo 8 )
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Guía de Aprendizaje
3.4
Actividades de transferencia del conocimiento.
3.4.1 Aplicar el teorema de Pitágoras y de Thales en la solución de situaciones de la vida cotidiana.


Realice la lectura del anexo 9. (Sesión 5)
Resuelva los ejemplos de forma grupal con la asesoría del instructor aclarando las dudas que
hayan surgido al momento de la lectura.
Identifique y escriba la aplicabilidad que tienen esta clase de teoremas en la vida cotidiana.
Resuelva el “taller” prueba saber que se presenta en la última página del anexo 9.
El instructor propondrá una situación problema para cada grupo con el fin de que sea resuelta y
expuesta en un tiempo no mayor a 5 minutos por los pequeños grupos.



3.5
Actividades de evaluación.
Evidencias de Aprendizaje
Evidencias de Producto:








Resolución de juego de lógica
Taller de lenguaje natural.
Guía de características.
Crucinúmero.
Criptonúmeros.
Talle de resolución de
problemas ecuaciones de
primer grado.
Problemas de ecuaciones de
segundo grado.
Actividad de refuerzo.
Criterios de Evaluación
Técnicas e Instrumentos de
Evaluación
 Analiza la información matemática
de un contexto real teniendo en
cuenta
los
conocimientos
asociados a los datos cuantitativos.
Listas de chequeo
 Resuelve problemas de contexto
real mediante el uso de diferentes
métodos matemáticos de solución.
4. RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE








Juego de lógica aplicando expresiones algebraicas.
Taller de traducción de lenguaje natural al algebraico y viceversa.
Guía de características y operaciones algebraicos.
Crucinúmero de aplicación con operaciones algebraicas.
Decodificador para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Guía de resolución con ecuaciones de primer grado.
Guía de resolución con ecuaciones de segundo grado.
Actividad de refuerzo de resolución de problemas.
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Guía de Aprendizaje
5. GLOSARIO DE TERMINOS


Expresión algebraica: es una combinación de números y letras asociados mediante operaciones aritméticas.
Clasificación de expresiones algebraicas: pueden ser monomios de un término, binomios de dos términos,
trinomios de tres términos y polinomios de más de tres términos.
Términos semejantes: son aquellos que tienen la misma parte literal.
Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos polinomios, donde el divisor es diferente de 0.
Factorizar: Transformar un polinomio en un conjunto de polinomios.
Ecuación lineal: su mayor exponente es uno.
Ecuación cuadrática: significa encontrar el valor o los valores de las incógnitas que hacen verdadera la
igualdad.
Variable: es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado
grupo.
Incógnita: En una expresión o ecuación matemática, cantidad que no se conoce y se debe averiguar, que,
generalmente, se representa por una de las letras iniciales o finales del alfabeto.
Coeficientes: Es un factor multiplicativo vinculado a un monomio. Dado un divisor del monomio, el
coeficiente es el cociente del monomio por el divisor. Así el monomio es el producto del coeficiente y el
divisor.
Lógica: Es la disciplina que estudia métodos de análisis y razonamiento; utilizando el lenguaje de las
matemáticas como un lenguaje analítico
Teorema: Proposición matemática demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas.
Triangulo rectángulo: En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo
recto, es decir, un ángulo de 90-grados.
Rectas paralelas: Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano.
Segmentos: Un segmento de recta es una porción o parte de una línea que esta acotada por dos puntos.
Pitágoras: Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro.
Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética.










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

6. BIBLIOGRAFÍA/ WEBGRAFÍA
Bibliografía:
• Hipertexto grado noven editorial Santillana.
• Precalculo editorial Thomson.
• Algebra intermedia editorial Pearson.
Webgrafía:

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



www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4contenidos.html
htpp//descartes.cnice.mec.es/Descarte1/4a eso/Ecuación de segundo grado/Ecua seg.html#probl.
Anagarciaazcarate.wordpress.com
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://www.google.com.co/search?newwindow=1&q=TEOREMA%20DE%20PItagoras&rct=j
http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html
http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html
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Guía de Aprendizaje
7. CONTROL DEL DOCUMENTO (ELABORADA POR)
Nombre
Autores
Cargo
Dependencia
Firma
Andrea Carolina Tejero Ruiz.
Octubre 09
del 2014
Cristofer Bolaños Scalante
Instructor
Carlos Andrés Varela García.
Orlando Morales Muñoz.
Fecha
-
CENIGRAF
-
Cafam
Naranjos
los
Asesoría
Pedagógica
Revisión
Aprobación
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Anexo1
JUEGO PIRAMIDE
m*m*m=27
11=m+m-1
8/4x=2
3+x=4x
z=-8+5
2x+x=6
Y*Y=9
5x-2x=3
(x+x)/2=3
2x+1=x+2
2x-3=7
x+x=8
x/3=1
x*4=8
3x/2=6
x+3=9
9
1
3 jugadores: dos jugaron y el tercero será el juez.
Objetivo: llegar a la sima de la pirámide resolviendo las ecuaciones.
Inicio: uno de los jugadores lanza un dado hasta obtener uno, luego resuelve la ecuación y
vuelve a lanzar el dado, el número obtenido debe ser la respuesta de la ecuación dada,
sino logra el número adecuado continua el siguiente jugador, el juez verifica los
resultados.
Anexo 3
Características de los polinomios.
Polinomios
Un polinomio es así:
Están conformados por:

Literales o variables: son las letras del alfabeto que se utilizan para representar números
que se desconocen inicialmente.
Coeficientes: son los números que acompañan a las letras.
Constantes: son números que aparecen solos dentro del polinomio.
Exponentes: son los números que se encuentran en la parte superior de una letra.



Los polinomios se pueden combinar por medio de las operaciones.
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del
mismo grado.
4x
2
+2x
2
+ 2x + 2= 6 x
2
+2x+2
La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo .
2x
2
− 2x – 2−2x+2x=2x
2
−2x−2
Multiplicación de polinomios
Producto de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y
como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el
número.
Producto de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman
el polinomio.
Producto de polinomios
1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.
2 Se suman los monomios del mismo grado.
(4x
2
+ 1)*(2x
2
4
+ 1) =8x + 4x
2
2
4
+ 2x +1=8 x + 6x
2
+1
División de polinomios
P(x) / Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es
completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor.
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado a nterior y
lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo
restamos al dividendo.
Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el
grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.
Estos son polinomios:



3x
x-2
3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
Grado
El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.
Ejemplo:
El grado es 3 (el mayor exponente de x)
Ejercicios:





Escribe 5 polinomios ordenados.
Identifica cada parte de los polinomios que escribió.
Suma el primer polinomio con el segundo.
Resta el tercer polinomio con el cuarto.
Multiplica el primer polinomio con el quinto.
Anexo 4
CRUCINÚMERO
Resuelve el crucinúmero:
A
B
C
1
2
3
Horizontales:
x
4
− 3x
5
+ 2x
1.
2
+ 5
Encuentra el grado del polinomio. // Encuentra el coeficiente principa l.//
escribe la consta nte.//
2.
Resuelve 4x + 1=5// Reempla zar x por 3 en el polinomio 2x
//Rempla za r x por 1 en el polinomio 4x
3.
Multiplica r el polinomio (4x
2
– 1) * x
2
2
2
− 2x – 2
– 1.
Encontra r el gra do del
polinomio// el coeficiente principa l del polinomio// la constante del
polinomio.
V ertica les:
A . S oluciona r la ecuación: 2x+4=14// Soluciona r la ecua ción 3z 2z=1// Resuelve la ecuación 1/2x + 4=12.
B. x
3
− 6x
2
+ 4 encuentra el gra do del polinomio.// x
2
+ 1 reempla za r por 3
// soluciona r la ecuación 2x+2x=16.
C . Indica r el grado del polinomio x
polinomiox
3
+ x
5
+ x
2
3
+ x
5
+ x
2
// 8x-5x=9// consta nte del
ANEXO 2
NOMBRE_____________________________________________________________________
Traducción del lenguaje cotidiano al algebraico
1. Coloree la expresión algebraica y su correspondiente expresión verbal de un mismo
color. Como se muestra en el ejemplo.
Expresión verbal
El triple de un número
Un número cualquiera
El producto de dos
La suma de dos números
números diferentes
diferentes
El cubo de un número
La quinta parte de un
cualquiera
número.
La mitad de la diferencia
¿Cuál es el número que
de dos números
agregado a 3 suma 8?
cualesquiera
¿Cuál es el número que Cuatro veces la suma de
disminuido de 20 da por
dos números
diferencia 7?
cualesquiera
Expresión algebraica
Traducción de un lenguaje algebraico a un lenguaje cotidiano
2. Escriba en frente de cada expresión algebraica el enunciado, como se muestra en el
ejemplo.
La suma de dos números cualquiera dividida entre su diferencia
3. Escriba la expresión algebraica que corresponda.
3.1 El doble de un número cualquiera._________________________________________
3.2 El triple de un número cualquiera disminuido en 2.____________________________
3.3 El doble de un número cualquiera aumentado en 5. ___________________________
3.4 La quinta parte de un número aumentado en 8._______________________________
3.5 La diferencia entre un número y 8._________________________________________
3.6 La diferencia de dos números cualquiera es 6.________________________________
3.7 La suma de dos números diferentes es 15.___________________________________
3.8 El doble de un número dividido en otro._____________________________________
3.9 El producto de 3 números aumentados en 2._________________________________
3.10
La tercera parte de un número aumentado en 5 ____________________________
4. Halle la ecuación y diga cuánto dinero tiene cada uno.
5. Halle la ecuación y diga cuales son las edades.
Anexo 5
Actividad uno: resuelve mental mente.
X + 8 = 18
x - 2= 8
6 + 3 – x = 12
12 – 4 + x = 22
¿Qué valor tiene x en cada caso?
Esta etapa sería un aprestamiento mental, el cual podría durar algunos minutos, la intención es
que entiendan que x es un número que tengo que encontrar, que es un buen juego de lógica.
Actividad dos: Aplica la teoría
Despeja la siguiente ecuación a través de la tabla. Una vez desarrollada esta primera parte utiliza
el valor final de la incógnita y remplázalo por uno de los símbolos que lo representa.
A es 1
B es 2
C es 3
De esta manera
sucesivamente.
Ejemplo
4x - 6 = 6 + x
-x+4x - 6
3x-6
3x
3x
x
x
=6
=6
=6+6
=12
=12/3
=4
4 es la letra D
D
A
Desarrolla:
45
𝑥
A) . 9x − 8 = 37
F) .
B) . 3x-5=2(x+7)
G) .3(2x-3)=15
C) . 2x+9=41
H) .2x-2=x+3
D) .6 =
25
𝑥
+1
−9=0
I)
.2𝑥 2 + 4 = 54
J)
.x(x+2)2=117
E) . 5x+9=59
K) .x2-50=391
l)x2-5x+6=0
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es
toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Estos casos se resuelven mediante la
siguiente fórmula:
Fórmula
Ejemplo: x2 + 1x -2=0
a=1 b=1 c=-2
−(1) ± (1)2 − 4(1)(−2)
𝑥=
2(1)
𝑥=
−(1) ± 1 + 8
2
−(1) ± 9
2
𝑥=
𝑥=
𝑥1 =
𝑥2 =
−1 ± 3
2
−1 + 3
=1
2
−1 − 3
= −2
2
Una de las respuestas es 1 el cual representa
en nuestra actividad la letra A
Ya tienes pistas suficientes cual es el
título que tiene el tema de hoy.
Actividad dos
Mira la teoria y repressenta las funciones
Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3
la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b =
3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano.
Funciones cuadráticas
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) =
ax2 + bx + c
a, b y c = números reales diferentes a cero.
Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la
parte superior de la parábola.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo
al eye de las “y”.
Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se
mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la
función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.
Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:
1. Igualar la ecuación a cero.
2. Factorizar la ecuación.
3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.
Para graficar la función seguimos estos pasos:
1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación,
para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con
la fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva.
Desarrolla.
1 Para dibujar la gráfica de una función lineal basta hacer una tabla de valores con dos valores,
pero podemos tomar tres para orientarnos mejor. Completa las siguientes tablas de valores
correspondientes a las funciones lineales señaladas en cada caso.
Completa la tabla de valores de la función lineal y = 3x
x
1
0
-1
-2
y
Completa la tabla de valores de la función lineal y = −5x
x
y
1
0
-1
-2
Representa las funciones cuadráticas
1y = −x² + 4x − 3
2y = x² + 2x + 1
3y = x² + x + 1
ANEXO 6
RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 1°
Ecuaciones de la forma ax + b = c.
Recuerda que para despejar x:
1. Lo que está sumando pasa al otro miembro restando, y viceversa.
2. Lo que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo, y viceversa.
Una ecuación de primer grado puede tener:

Una única solución: ej. x+2 = 5, sólo tiene como solución x=3 ; (3 + 2 = 5)


Infinitas soluciones: (realmente es una identidad), ej. 2x + 4 = 2(x+2)
Ninguna solución: ej. x + 1 = x + 3
 Ecuaciones con paréntesis:
Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
Se pasan a un miembro los términos con x y a otro los términos sin x.
Se simplifican ambos miembros y se despeja la incógnita x.
 Ecuaciones con denominadores:
Se eliminan los denominadores reduciendo todos los términos a común denominador.
Se eliminan los paréntesis.
Se continúa igual que antes.
A la hora de resolver problemas mediante una ecuación de primer grado se deben tener en cuenta los
siguientes pasos:
1.- Entender el problema: debemos leer detenidamente el enunciado del problema, para entender bien tanto lo que
en él se describe como la pregunta que se nos plantea. ¿De qué datos disponemos? ¿Cómo podemos relacionarlos?
¿Hemos resuelto algún problema similar anteriormente? ¿Qué expresiones y cálculos matemáticos vamos a necesitar?
2.- Planificar: tenemos que buscar la incógnita adecuada y relacionarla con los datos conocidos. A continuación,
planteamos la ecuación, para lo cual hay que expresar en lenguaje algebraico la información proporcionada (de la
misma forma que lo has hecho al principio de la unidad).
3.- Realizar los cálculos: resolvemos la ecuación.
4.- Comprobar: comprobamos que la solución obtenida es correcta y conforme al enunciado y a la situación del
problema planteado. Revisamos todo el proceso.
Ejemplo:
El peso de una paella es igual a 0,8 kg más el peso de su mitad.
Determinar mediante el planteamiento y resolución de una ecuación el peso de dicha paella.
Resolución del problema:
Primero:
Determinamos cuántas incógnitas (datos para determinar) tiene el problema. Observamos que es una sola
incógnita, el peso de la paella. Por tanto:
x = peso de la paella en kilogramos
Segundo
Traducimos la condición que nos dan a una ecuación:
x = 0,8 + x/2
Tercero
Ahora basta con resolver la ecuación: x = 0,8 + x/2 => 2x = 1,6 + x => 2x - x = 1,6 => x = 1,6
Por tanto la solución es: el peso de la paella es de 1,6 kg
Finalmente
Comprobamos que su cumple el enunciado: 0,8 + 1,6/2 = 0,8 + 0,8 = 1,6 (correcto)
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Problema 1.Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm el perímetro vale 52 cm. ¿cuánto mide el lado del primer
cuadrado?
Problema 2.La base de un rectángulo es el doble de su altura. ¿ cuales son sus dimensiones si el perímetro mide 30
cm? ¿Cuánto mide el área del rectángulo?
Problema 3. El perímetro de una finca rectangular es 480 m. ¿Cuánto miden el largo y el ancho?, el largo mide 5x y
el ancho x.
Problema 4. Si al triple de un número le restas dicho número, resulta 30. ¿Cuál es ese número?
Problema 5. La suma de un número natural y el siguiente es 13. Averigua mentalmente cuáles son estos números.
Después plantea una ecuación y resuelve con ella el problema planteado.
Problema 6. La suma de un número con su mitad es igual a 45. ¿Cuál es ese número?
Problema 7. Ana pregunta a Sergio la edad que tiene y Sergio contesta: la mitad de mis años, más la tercera parte,
más la cuarta parte, más la sexta parte de mis años suman los años que tengo más 6. ¿Cuántos años tiene Sergio?
Problema 8. El doble de un número menos siete es igual a 8. ¿Cuál es ese número?
Problema 9. Un número más el doble del anterior es igual a 19. ¿Cuáles son los números?
Problema 10. Calcula la cantidad de colesterol en mg recomendada por persona y día sabiendo que la suma de su
quinta parte y su sexta parte es 40 mg menor que su mitad.
Problema 11. La medida de los tres lados de un triángulo son tres números consecutivos. Si el
Perímetro del triángulo es 12 cm, ¿cuánto mide cada lado?
ANEXO 7
RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 2°
La ecuación cuadrática a una ecuación polinómica, que tiene como mayor exponente el número 2. La ecuación
cuadrática tiene la forma: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥+𝑐 =0
Ejemplos de ecuación cuadrática:
* 8𝑥2+ 9𝑥−10 =20
* 2𝑥2 + 8=15
* 3𝑥2− 4𝑥=0
* 2𝑥2−6𝑥+5=0
Es importante tener en cuenta para este último ejemplo que:
a=2 (a es el coeficiente de la 𝑥2), que b=-6 (b es el coeficiente de la x)
y c=5 (c es el valor constante).
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:
Disfrazadas
Qué hacer
En forma estándar
a, b y c
x2 = 3x -1
Mueve todos los
términos a la izquierda
x2 - 3x + 1 = 0
a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5
Desarrolla paréntesis
2x2 - 4x - 5 = 0
a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3
Desarrolla paréntesis
x2 - x - 3 = 0
a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0
Multiplica por x2
5x2 + x - 1 = 0
a=5, b=1, c=-1
Forma de solucionar una ecuación cuadrática:

Caso primero: ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥
donde 𝑎
pertenecen a los números reales.
La 𝑎 pasa a dividir quedando 𝑥
, y para eliminar la raíz cuadrada y terminar de despejar la x hallo la raíz
cuadrada a ambos lado de la igualdad, final mente 𝑥
√ .

Caso segundo: ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥
𝑏𝑥
donde 𝑎 𝑏 pertenecen a los números reales.
Factorizo la x (factor común) quedando x(ax + b) = 0, luego la x pasa a dividir con 0 (cero) lo que indica
que se cancela y queda una ecuación simple de primer grado ax + b =0.

Caso tercero: ecuación cuadrática completa de la forma 𝑎𝑥
𝑏𝑥 𝑐
donde a, b, y c son números que
pertenecen a los números reales.
Para solucionar este tipo de ecuaciones uso la una formula llamada la fórmula de la cuadrática que es:
𝑥
𝑏
√𝑏
𝑎
𝑎𝑐
Y reemplazo cada uno de los valores en la fórmula para así hallar los posibles valores de x, que puede
presentarse de las siguientes maneras: un número real, dos reales, un imaginario o dos imaginarios.
Podemos encontrarnos numerosas situaciones en las que aparecen ecuaciones con x2 o x elevado a otro exponente,
ecuaciones con x tanto en el numerador como en el denominador de una fracción, ecuaciones con x dentro de una raíz
cuadrada o de otro índice, ...,Si nos metemos en temas más profundos, como en economía o en estudios de la
dinámica de poblaciones, podemos encontrarnos con ecuaciones donde aparecen logaritmos, exponenciales, etc.
A la hora de resolver problemas mediante una ecuación de primer segundo grado se deben tener en
cuenta que:
Los distintos pasos que se indicaron para poder afrontar la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer
grado son también válidos para aquellos que se necesiten resolver pero mediante ecuaciones de segundo grado.
Muchos de estos problemas suelen estar basados en aspectos geométricos como el área, ya que, como sabes, las
unidades de medidas son cuadráticas (m2, cm2, etc, es decir obtenidas por el producto de dos dimensiones).
También se debe tener en cuenta que, como generalmente las ecuaciones de segundo grado dan generalmente dos
soluciones, tendrán que comprobar si sólo vale como solución una de ellas o las dos.
Ejemplo 1:
Se quiere realizar un toldo estampado como el de la figura. Su superficie
total es de 12m2 y una de sus partes es de forma cuadrada.
Conteste las siguientes cuestiones:
a) Cuánto mide el lado de la parte cuadrada del toldo?
b) Cuánto mide cada lado del toldo?
Tendrás que utilizar para resolver este problema tus conocimientos de geometría
y lo que has aprendido sobre las operaciones con polinomios
Resolución del problema:
 Primero:
Los lados del toldo miden x+2 y x+3, por tanto al ser el área total 12 m2, tenemos que (x+2)(x+3)=12

Segundo:
Realizamos el producto y simplificamos.(x+2)(x+3)=12 => x2+5x+6=12 => x2+5x+6-12 = 0=> x2+5x-6 = 0
 Tercero:
Resolvemos la ecuación x2+5x-6 = 0, y obtenemos como soluciones x=1, x=-6
 Cuarto:
Observamos las dos soluciones y determinamos cuál de ellas es la válida. Como vemos de ellas la solución válida
es x=1 ya que la otra es negativa y no tiene sentido una longitud para los lados del toldo que sea negativa.
Por tanto el lado del cuadrado del toldo mide 1 m y las dimensiones del toldo serán por tanto 1+2=3 m y 1+3=4 m.

Quinto:
Comprobamos que la solución es correcta, para ello vemos que efectivamente el área total del toldo es 3·4=12 m2
Ejemplo 2.
Si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar la longitud del lado y el área del cuadrado.
Representaciones:







lado del cuadrado: x
Área del cuadrado: x2
Diagonal del cuadrado: 23cm
Aplicamos el teorema de Pitágoras y la ecuación
+x2 =232
quedaría: Ecuación: x2
23
2
sumamos términos semejantes.2x = 529
dividimos entre dos la ecuación 𝑥 2 =264,5
sacamos raíz a ambos términos. 𝑥 = 16,26 Por lo tanto
la magnitud del lado es
x = 16,26 cm y el área es x2= 264,5
Estudiante de cafam si desea continuar con su estudio personal en casa, el siguiente es un link donde encontrara
problemas resueltos y por resolver para que recuerde y refuerce sus conocimientos.
http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4_Contenidos.html
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar
lugar a una ecuación de primer grado en algún caso.
Problema 1.- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las
medidas de sus lados son tres números consecutivos. Teniendo en cuenta el
teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2.
Problema 2.- Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial
disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. (Sugerencia: Realiza un dibujo del
problema).
OJO. La solución de los dos problemas anteriores se encuentran en :
http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/Ecua_seg.htm#probl
Pero no vas a encontrar los procedimientos, verifica tus resultados.
Problema 3. A mi hermana le dijo su amiga que el número de su casa era curioso: se había dado cuenta de que al
cuadrado de dicho número era igual a nueve más ocho veces dicho número. Ayuda a mi hermana a calcular el número
de la casa de su amiga.
Problema 4. La base de un rectángulo es 7m más larga que la altura. Su área mide 494m 2. Calcular las dimensiones
del rectángulo.
Problema 5.En un triángulo rectángulo, el cateto más pequeño mide 8 cm menos que la hipotenusa y 7 cm menos
que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados.
Problema 6. El perímetro de un terreno rectangular es de 350m. Sabiendo que el largo del terreno es el triple de su
ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?¿Cuál es el área del terreno?. Redondea a dos cifras decimales.
Problema 7. Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm, el perímetro vale 52 cm. ¿Cuál es el lado del primer cuadrado?
Problema 8. La altura de un triángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm 2. Cuáles son las medidas de
la base y de la altura de dicho triángulo?
Problema 9. El área de un piso rectangular es de 209 m2, el piso tiene 8m de largo que de ancho. ¿Cuáles son las
dimensiones del piso?
Problema 10. Calcula la medida del largo y el ancho de un terreno rectangular sabiendo que su área es de 2244,50
m2 y que su largo es el doble de su ancho.
ANEXO 8
ANEXO 9
TEMA
TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE THALES
PRESENTACIÓN
Son unas herramientas matemáticas que sirven para el desenvolvimiento de
problemas cotidianos que influyen ángulos y triángulos rectángulos.
Teorema de Pitágoras
Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el
lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, lo que conforman
el ángulo recto). Por tanto como se muestra en las siguientes figuras:
CONTENIDO
TEMÁTICO
Según las figuras anteriores el teorema de Pitágoras se puede definir como el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en
un triangulo rectángulo. Se tiene:
Donde las letras respectivas representan:
Ejemplo:
1. Utilizando el teorema de Pitágoras encontrar los lados correspondientes
que hacen falta:
Utilizando la ecuación respectiva se deba hallar la hipotenusa que se
denota por la letra c, por tanto se realiza el siguiente proceso
reemplazando los valores respectivos se tiene:
Entonces se completa los valores del triangulo rectángulo con sus tres valores
respectivos por tanto a=3, b=4 y c=5.
2. Utilizando el teorema de Pitágoras encontrar los lados correspondientes
que hacen falta:
Ahora en el segundo ejemplo se tiene la hipotenusa y el cateto adyacente y me
están pidiendo el cateto opuesto, se utiliza el proceso aritmético adecuado por
tanto se tiene:
Por tanto se demuestra los valores de la parte superior, y se realiza el mismo
proceso para hallar el cateto adyacente.
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos
determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra. Como se muestra en la figura
Teorema De Thales En Un Triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de
los lados del
triangulo,
se
obtiene
otro triángulo
AB'C',
cuyos
lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Ejemplos:
1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
Utilizando el teorema se encuentra el valor de x, por tanto se tiene:
2. Hallar las medidas de los segmentos a y b.
Utilizando el teorema se encuentra los valores a y de b, por tanto se tiene:
Ahora se encuentra el valor de b de la siguiente manera:
Según la explicación descrita en contenido temático responder las
siguientes preguntas
EVALUACIÓN
-Prueba Saber-
1. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos en un triangulo rectángulo, lo anterior
es la definición de:
a.
b.
c.
d.
Teorema de Pitágoras
Teorema de THALES
Teorema de newton
Teorema de Leibniz.
2. Una ciudad se encuentra 18km al oeste y 10 km al norte de
otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades?
a.
b.
c.
d.
20,591 km
25 km
20km
21km
3. Según el siguiente triangulo rectángulo encontrar el lado que
hace falta y escoger la respuesta correcta:
a.
b.
c.
d.
11,18m
12m
11,90m
11,00 m
4. Utilizando el teorema de THALES encontrar el valor de x según
corresponda:
a.
b.
c.
d.
9cm
10cm
9,6cm
9,9cm
5. Utiliza el teorema de THALES para encontrar x.
a.
b.
c.
d.
3,59cm
4,00cm
3,8 cm
3,1 cm
Aplicación Del Teorema De Pitágoras En La Cotidianidad
En la cotidianidad se aplica este teorema en diversos campos del conocimiento e
incluso para resolver problemas de diario vivir, cuando un problema represente
una figura geométrica es recomendable y necesario dibujarlo. A esta
representación gráfica se le llama figura de análisis. Conviene en ella volcar los
datos e incógnitas. A partir de este dibujo resulta más sencillo elaborar un plan
para organizar la solución. Por tanto se tiene:
1. La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m. se sabe
que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., determinen el ancho
reglamentario de una mesa de ping-pong.
Si observamos el dibujo, vemos dos triángulos rectángulos. Sólo nos detendremos
en uno de ellos. De allí sacamos los datos:
un cateto (b)= 2,74 m
hipotenusa (a)= 3,14 m
otro cateto (c)= ancho de la mesa, que es nuestra incógnita.
Por tanto aplicaremos el teorema de Pitágoras para encontrar el ancho de la mesa:
Por tanto de la ecuación anterior se despeja el cateto c.
Por tanto el ancho de la mesa de pingpong mostrado en la imagen es de 1,53 m.
https://sites.google.com/site/439matematica/pitagoras-en-la-vida-diaria
Aplicación Del Teorema De Thales En La Cotidianidad
Has pensado alguna vez como es posible medir ciertas alturas, a las cuales no
podemos llegar con una escalera u otro instrumento. Thales fue un gran filósofo y
matemático griego. Cuenta la leyenda que en su recorrido por el mediterráneo se
encontró con un faraón de Egipto que lo invitó a pasar una temporada en su
palacio. Juntos pasaban largos días hablando de Matemática y Astronomía. Una
mañana, haciendo una recorrida por el lugar, pasaron por la pirámide de Keops.
En grupos de dos o tres personas responder la siguiente pregunta:
— ¿Qué hizo Thales de Mileto para averiguar la altura de esta gran pirámide?
1.
Las rectas a, b y c son paralelas hallar la longitud de x.