Download curso de ingreso de matemática - Facultad de Ciencias Exactas y

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICA
PROFESORADO Y LICENCIATURA EN MATEMÁTICA
DOCENTES RESPONSABLES:
ESP. NORA OLMEDO
PROF. MARCELA GALÍNDEZ
LIC. JAVIER PERALTA
PROF. BIZOTTO, ANDRÉS
LIC. FIGUEROA, VANESA
PROF. CECILIA MARCHETTI
CICLO ACADÉMICO: 2015
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FUNDAMENTOS:
Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas competencias, indispensables
para asegurar su permanencia en ella y la consecución de sus aprendizajes. Sin embargo los
comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo de adaptación
hasta que consiguen integrarse plenamente. Si a esta situación además le añadimos que, en
particular, el aprendizaje de la matemática depende, en gran medida, de lo que anteriormente
haya aprendido, nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes
conocimientos matemáticos que poseen los alumnos antes de que empiece el curso oficial. En
esto consiste la finalidad de este curso de Ingreso de Matemática, puesto que está centrado en
aportar a los alumnos ingresantes a primer año del profesorado y licenciatura en Matemática
algunos complementos en formación matemática, mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la
resolución de problemas. Se pretende además que los alumnos adquieran un hábito de estudio
adecuado a esta disciplina. El enfoque será teórico - práctico, centrado en la resolución de
problemas, en la justificación, verificación, generalización y en la participación activa del alumno.
OBJETIVOS:
 Adquirir hábitos de estudio propios del aprendizaje de la Matemática en el nivel universitario.
 Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.
 Traducir problemas básicos a lenguaje algebraico y resolverlos.
 Utilizar los diferentes registros de representación.
METODOLOGIA:
La resolución de problemas es el aspecto central de la propuesta porque es el adecuado para
permitir que el alumno desarrolle actividad matemática de tipo variado y por aportar un cambio
actitudinal. También se insistirá en la explicación y en la práctica de producir argumentos para
validar un enunciado o una respuesta, para lo cual se requerirá la interacción entre pares, las
puestas en común y la precisión en el lenguaje, natural y simbólico.
CONTENIDOS MINIMOS:
Operaciones básicas en los conjuntos numéricos. Propiedades. Expresiones algebraicas.
Ecuaciones e inecuaciones. Funciones elementales: lineal, de proporcionalidad directa e inversa,
cuadrática. Trigonometría.
EVALUACION:
Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, con el fin de analizar los resultados del
curso, y en total de acuerdo con la Resolución prevista para el Ingreso. Fecha: 28/03/2014
CRONOGRAMA
Semana 1: Propiedades de las operaciones básicas. Expresiones algebraicas. Ecuaciones,
problemas de aplicación.
Semana 2: Ecuaciones y funciones.
Semana 3: Trigonometría.
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¡Bienvenido a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales!
Desde nuestro lugar, queremos ayudarte en tu inserción a nuestras aulas. Para ello
confeccionamos este documento que pretende brindarte algunos elementos, estrategias y
actividades, que puedan orientar tu estudio personal y te sirvan para reflexionar y actuar durante
la organización de tus actividades como estudiante de matemática.
Bienvenidos!
¿Qué supone estudiar matemática?
Los alumnos que ingresan a la Universidad estudian de manera independiente en muy escasos
momentos, en general, antes de una evaluación. Sus actividades se restringen al trabajo que se
realiza en clase produciendo una fuerte dependencia hacia el profesor, no están acostumbrados a
utilizar libros de matemática y las carpetas suelen estar llenas de respuestas a ejercicios que ni
siquiera están enunciados.
Pero, Estudiar, queridos estudiantes, significa mucho más que resolver ejercicios de la carpeta o
similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Estudiar un concepto involucra, entre
otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos de problemas se pueden
resolver y cuáles no, con esta herramienta, saber cuáles son los errores más comunes que se han
cometido en la clase como parte de la producción y por qué. Estudiar matemática supone,
además de resolver ejercicios, resolver problemas, construir estrategias de validación, comunicar
y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.
Un poco de humor…
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INTRODUCCIÓN
Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas competencias, indispensables
para asegurar su permanencia en ella y la consecución de sus aprendizajes. Sin embargo los
comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo de adaptación
hasta que consiguen integrarse plenamente. Si a esta situación además le añadimos que, en
particular, el aprendizaje de la matemática depende, en gran medida, de lo que anteriormente
haya aprendido, nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes
conocimientos matemáticos que poseen los alumnos
para aportar algunos aspectos
complementarios y fundamentales en formación matemática: habilidad, destreza y capacidad de
desarrollar el razonamiento matemático en la resolución de problemas. Se pretende además que
los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina. El enfoque será teórico práctico, centrado en la justificación, verificación, generalización y en la participación activa del
alumno.
¿QUÉ ASPECTOS CARACTERIZAN LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA?
Cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de producir, de
comunicar y validar conocimientos, y en matemática esto se hace mucho más evidente. Estas
formas específicas que irás conociendo, siempre deben estar incluidas en el momento del estudio;
es decir, no puedes estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de establecer la verdad en
matemática. Estas formas específicas de producir conocimiento, de validarlo y de comunicarlo
deben estar incluidas en el estudio y ello supone la utilización de estrategias de aprendizaje que te
permitan buscar soluciones, no simplemente memorizar procedimientos; explorar patrones, no
simplemente memorizar fórmulas; formular conjeturas, no simplemente resolver ejercicios.
La Comunicación a través del lenguaje matemático
Algunos autores definen la matemática como una ciencia exacta que tiene un sistema de códigos y
símbolos que le permiten expresar ideas contextualizadas a una situación determinada. Por ello,
para comprenderla, es necesario entender la sintaxis y semántica de su lenguaje. Es fundamental
para los alumnos que estudian matemática hacer del uso de su lenguaje, en sus diferentes formas
(oral, escrito, simbólico y gráfico), una actividad cotidiana, porque esto les ayudará a desarrollar
el pensamiento lógico – formal, a construir caminos propios de razonamiento y de estrategias a la
hora de resolver problemas, a precisar, simplificar y formalizar ideas y conceptos propios de la
disciplina.
A través de diferentes actividades matemáticas podrás comprender que el lenguaje matemático,
es la herramienta que te ayudará a construir lazos entre tu experiencia matemática informal y los
símbolos abstractos usados por ella, a optimizar tu vocabulario y tus maneras de expresar ideas. Es
decir, al dominio del lenguaje matemático te permitirá comprender una situación (problema) o
tomar una decisión difícil de explicar y expresar sin usar los símbolos y los gráficos.
La Resolución de ejercicios y problemas:
Una actividad fundamental en matemática es desarrollar la capacidad para ‘manipular’ y también
‘leer a través’ de expresiones simbólicas, como dos aspectos complementarios en la resolución de
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problemas algebraicos. Es decir, debes aprender, por un lado, a separarte de los significados y
adoptar una visión global de las expresiones simbólicas para poder manipular con ellas de manera
rápida y eficiente; y por otro lado, aprender a leer “a través” de las expresiones simbólicas con el
objeto de captar significados. Este trabajo te permitirá armonizar las manipulaciones automáticas
con ciertos niveles de razonabilidad.
La resolución de problemas es la actividad diaria de un alumno que estudia matemática. Estos son
muy importantes en tu formación porque te permiten adquirir entrenamiento para desarrollar
estrategias de pensamiento, métodos de razonamiento y de validación.
La Validación, Justificación y Demostraciones
En la vida en sociedad estamos permanentemente inmersos en situaciones de comunicación en las
que intercambiamos ideas, opiniones y, frente a las diferencias, necesitamos argumentar a favor
de una idea propia y analizar si nos parecen valederas las razones de nuestros interlocutores, para
avanzar en el propósito de convencer y convencernos, propio de una comunidad que elabora
consensos sobre normas y valores. Cuando el intercambio de argumentos se produce entre los
integrantes de una comunidad de producción de conocimientos (por ejemplo en una clase), se van
elaborando formas de argumentación que justifican su validez; pero, en algún momento se
pueden producir dudas sobre ello y entonces se debe revisar la pertinencia de lo enunciado o
investigado. Estas actividades, la justificación y validación de argumentos, son esenciales para
trabajar de manera autónoma y permiten desarrollar el método de trabajo y de razonamiento en
matemática.
Los razonamientos considerados como procesos de pensamiento, son aquellos mediante los
cuales se sacan conclusiones a partir de cierta información. En ocasiones, al observar varias veces
que una acción produce un mismo resultado, se puede elaborar la conclusión que esa acción
tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento, propio de las ciencias naturales,
se le llama razonamiento “inductivo” y a la conclusión que se obtiene a través de este
razonamiento se la llama generalización. En matemática también podemos utilizar este tipo de
razonamientos para formular “conjeturas”, es decir aquellos enunciados generales de los cuales se
sospecha que pueden ser verdaderos.
Existe otro proceso de razonamiento que se utiliza en matemática y es el razonamiento
“deductivo”, que consiste en aceptar cuestiones generales (llamadas postulados) para obtener
conclusiones para casos particulares. Todos aquellos enunciados que se derivan de esta forma, se
llaman “teoremas” y el proceso que requiere del razonamiento deductivo para probar que son
verdaderos se llama “demostración”.
¿QUÉ ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES PUEDEN ORIENTARTE EN LA COMPRENSIÓN DE LOS
DISTINTOS CONTENIDOS?
Muchas veces los profesores nos encontramos en una situación en que los alumnos nos preguntan
qué hay que utilizar para resolver un cierto problema:"¿Es de regla de tres simple directa o
inversa? Sólo dígame eso y yo después lo resuelvo." Es claro que nos están preguntando lo
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esencial del problema. Pero, ¿por qué esto no resulta evidente para los alumnos? ¿Por qué para
ellos la búsqueda de las herramientas adecuadas no forma parte esencial en la resolución de un
problema? ¿Por qué la tarea se restringe a la aplicación de un algoritmo que, si fuera por ellos,
debería estar "adosado" al enunciado? ¿No crea esto una ficción? Los que resolvieron el problema
no fueron los alumnos, sino el profesor, quien les dijo qué concepto tenían que utilizar, pero
puede suceder que el alumno piense que fue él quien llegó a la respuesta. Pensamos que de esta
manera, ustedes, los alumnos, pueden crearse una idea equivocada acerca de cuánto saben: "No
sé qué me pasó en la prueba, si yo en clase resolví todos los ejercicios y me salieron bien. Después
los volví a hacer para estudiar e igual me fue mal. No entiendo qué pasó." Creemos, entonces, que
esta actividad de anticipación de procedimientos y la dependencia del profesor, están relacionada
con la toma de conciencia por parte del alumno de cuáles son sus responsabilidades. Pero los
cambios no se consiguen de un momento para el otro, sino que requieren tiempo.
Cada uno de ustedes debe proponer los caminos y estrategias que te permitan solucionar los
problemas planteados. No todo se resuelve de la misma forma
Las estrategias de aprendizaje que pondrás en práctica surgirán de tu estado motivacional de
acuerdo con las demandas de las tareas que deberás realizar. Es por esto que, las siguientes
actividades estarán orientadas a motivarte hacia el desarrollo de estrategias que te permitan
aprender de forma significativa y autónoma; es decir a planificar, controlar y valorar tu actuación,
intentando utilizar “en forma reflexiva” las técnicas y los procedimientos aprendidos a través de la
resolución de ejercicios y problemas. También podrás adquirir las herramientas que te permitan
analizar, antes de empezar una tarea, qué sabes y qué desconoces de ella, cuáles son sus
características y su finalidad, podrás justificar adecuadamente tus decisiones sobre los
procedimientos y algoritmos que se deben utilizar en función de las reflexiones precedentes.
¿Qué Instrumentos necesitas para estudiar?
La Carpeta
La carpeta es el espacio en el que se deja registro de las interacciones que se producen en la clase
a propósito de un saber matemático. Tiene, o debería tener, un valor instrumental importante.
Para que este valor instrumental pueda construirse, es necesario que sea el alumno quien elabore
y decida cómo incluir en la carpeta los aspectos centrales del trabajo, para ello debes considerar lo
esencial y tener en cuenta que:
a) La solución de los ejercicios y problemas planteados en las guías de Trabajos Prácticos deben
estar acompañadas de alguna reflexión o de discusión acerca del procedimiento utilizado, o a
cerca de los errores que se pudieron haber cometido (o que se cometieron) al resolverlos, con
anotaciones personales que faciliten tu estudio posterior. También al finalizar la guía puedes
elaborar una síntesis de lo aprendido hasta el momento o las relaciones que tiene con lo
aprendido en guías anteriores.
b) En general, “parte de la teoría” estará explicada por el profesor durante la clase, por ello
debes aprender a Tomar Apuntes. Esta técnica es necesaria en la Universidad. Es evidente que
para una buena toma de apuntes debes estar atento en clase y con una actitud positiva tanto
hacia el profesor como hacia lo que se expone. Para facilitar la toma de apuntes es
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conveniente que anteriormente se haya leído el tema de clase, y ya saber el tema dictado en
la clase anterior. Podrías, además tener en cuenta:
- Anotar constantemente y no dejes de lado los comentarios del profesor, aunque te
parezcan triviales.
- Interpretar las ideas del que habla y, si es posible, expresarlas con tus palabras, a
excepción de que lo tratado sea la rigurosidad del lenguaje matemático.
- Escribe lo más claro posible.
- Anota los ejemplos, diagramas, etc, que el profesor propone en cada tema (Ayudará a la
memoria visual).
- Marca las ideas o conceptos que el profesor repite, reitera o destaca con inflexiones de la
voz, anotaciones especiales o referencias aparte.
- Anota las recomendaciones dadas por el exponente en cuanto a bibliografía, puntos de
vista, aplicación de los temas, etc.
- Deja espacios suficientes (conviene los márgenes amplios) para facilitar la
complementación posterior (como por ejemplo: colocar subtítulos, destacar ideas
centrales, agregar aspectos faltantes, anotar dudas, opiniones personales o aspectos
tomados de textos)
- Repasa bien las notas de cada clase, antes de iniciar apuntes de otra.
c) Se puede completar la carpeta, ya sea la solución de un ejercicio o problema, o la toma de
apuntes, con información extraída de libros de texto. Esta tarea de complementación es muy
importante y hace que la carpeta sea un instrumento fundamental para estudiar bien. Esto
significa que podemos incluir definiciones sobre los temas trabajados, se pueden resolver los
ejercicios de otra forma, averiguar si se utiliza la misma notación, y muchas cuestiones más
que a vos se te pueden ocurrir.
d) También puedes incluir las crónicas del día, esto es, una actividad que estaremos poniendo en
práctica en este curso. Consiste en escribir, al finalizar cada clase, qué se hizo, qué se debe
retener de las actividades que se llevaron a cabo, qué se aprendió, qué tipo de ejercicios o
problemas se trabajaron, cuáles fueron los errores más comunes que se cometieron, qué
técnicas de resolución es conveniente aplicar en la solución de los ejercicios, porqué una
estrategia de resolución de problemas es más apropiada que otra, etc. Resulta así la crónica de
cada día una síntesis fundamental, cuya lectura servirá de punto de partida para iniciar las
actividades del día siguiente.
e) Si quieres, también, puedes dedicarle una parte de la carpeta a elaborar un Glosario de
términos matemáticos al cual puedes remitirte cada vez que necesites recordar algún
concepto. De esta manera te irás independizando de la figura del profesor como única fuente
de información y de confirmación en la clase. Además, esto servirá para que frente al “esto no
lo vimos” respecto de un determinado tema, se te irá haciendo costumbre en la clase mirar
previamente el glosario, una suerte de memoria colectiva como ayuda a la memoria individual.
El libro de texto
En la escuela secundaria el libro sólo ha sido utilizado para sacar ejercicios, ya que la "teoría" la
explicaba el profesor. Si bien esta circunstancia también ocurre en la Universidad, deberás
consultarlo con mayor frecuencia no sólo para completar la carpeta, como vimos anteriormente,
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sino también para aprender mejor el lenguaje matemático, para analizar si los conceptos
coinciden o no con los dados en clase. En caso de no coincidir, deberás profundizar sobre esas
diferencias: ¿son sólo diferencias de lenguaje?, ¿se están definiendo, bajo el mismo nombre,
conceptos diferentes?, ¿es una definición más general que la otra? De esta manera se estaría
prestando especial atención a las distintas formulaciones de un concepto.
También puedes analizar, para un tema que se haya estudiado, si los subtítulos del
correspondiente capítulo del libro fueron todos trabajados en clase. Si tienes distintos libros
disponibles puedes comparar el desarrollo de un mismo tema.
¿Qué actividades te ayudarán a reflexionar y a actuar en matemática?
Resolver problemas
Para resolver un problema, cada alumno debe proponer su estrategia de solución, pero si no
tienes experiencia en ello te podemos dar algunas sugerencias útiles:
- Trata de comprender el enunciado: Lee el problema, trata de entender el significado
global, distingue los datos de la incógnita, observa la relación entre ellos, intenta expresar
el problema con tus propias palabras.
- Intenta comprender el problema: haz un dibujo, un esquema, una representación de la
situación, experimenta, considera el problema con datos más sencillos. Si no sabes cómo
empezar, identifica lo que QUIERES hacer y lo que SABES hacer.
- Busca unas cuántas estrategias, algo que te ayude: resuelve primero un problema más
sencillo, haz un esquema, una tabla, un diagrama, elige un papel apropiado, usa lápices de
colores, tantea, elabora preguntas, identifica pautas o regularidades, considera casos
particulares, comienza por el final
- Selecciona una estrategia y trabaja con ella: sin desanimarse ante las dificultades, sin
empecinarse en una idea o camino, anota lo que haces (qué y cómo lo haces), acude a otra
estrategia si la elegida no funciona, trata de llegar hasta el final
- Revisa: repasa las operaciones y los razonamientos, pregúntate si tiene sentido la solución
o es absurda, explica lo que has hecho de manera que otra persona pueda entenderlo,
verifica tu trabajo, cuestiónate luego si el problema se puede resolver de manera más
sencilla, ¿qué ocurriría si…?, enuncia variantes del problema y resuélvelo.
Anticipar la resolución, Conjeturar
Consiste en tratar de poder decir cómo se puede resolver un problema, pero sin hacerlo. Es decir,
poder plantear alguna estrategia de resolución, sin desplegarla totalmente, predecir una postura
frente a la situación planteada justificándola o el resultado a obtener. Luego el paso siguiente será
resolverla y ver efectivamente si la estrategia considerada fue correcta o no.
Los ejemplos y contraejemplos pueden ayudar a conjeturar
Tratar el error
Es habitual que en las clases de matemática el alumno se dirija exclusivamente al docente con la
intención de mostrarle qué sabe o para preguntarle una duda. No desea ser oído por sus
compañeros en caso de decir algo inexacto o no pertinente. El cambio al que apuntamos implica
que dejes de considerar al profesor como único interlocutor y que te dirijas más a tus pares. No se
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trata sólo de que muestres frente a la clase sólo lo que sabes, sino que puedas explicar y dudar a
cerca de tus respuestas y enfrentes los errores con actitud crítica y de aprendizaje. Mientras que
consideres el error como sinónimo de anormalidad, de falta, de tiempo perdido, tratando de
disimularlo, será difícil tu aprendizaje. Sin embargo, si el error es discutido y analizado, con sumo
respeto, por la clase y se explicitan cuáles son las concepciones erróneas que llevaron a producirlo,
podrás obtener herramientas de control y sabrás qué actitud tomar para no volver a cometerlo.
La Evocación:
Evocar significa revisar los conceptos aprendidos o problemas resueltos desde otra perspectiva,
como personas que reflexionan sobre los mismos. Puede ocurrir que para algunos alumnos sea
necesario volver a resolver, o aplicar otro procedimiento de resolución distinto del utilizado en
clase, o bien puede consistir en una explicación de cómo fue tratado y de qué otra manera podría
haberse encarado, sin llegar a resolver, sino más bien como una oportunidad para reflexionar
acerca de lo aprendido. Los alumnos que no entendieron encuentran otra oportunidad y una
razón para hacerlo puesto que deberán hablar de lo sucedido y describirlo sin poder actuar.
Puestas en común y debates
Obtener conclusiones a propósito de problemas, confrontar distintos procedimientos, opinar
acerca de la validez de una conjetura, son actividades fundamentales del trabajo matemático, por
lo cual, es una actividad que debes aprender a realizar y los profesores deben ayudarte para
lograrlo. Las puestas en común tienen varios objetivos; dos esenciales son: la confrontación de
procedimientos y la producción de conclusiones colectivas. Para que la puesta en común tenga
sentido, es necesario que exista cierta incertidumbre respecto de aquello que se discute. A nadie
le resulta estimulante involucrarse en un debate sobre algo acerca de lo cual hay una certeza
absoluta. Por otro lado, la incertidumbre que se genera en la clase respecto del valor de verdad de
una cierta cuestión resulta entonces un elemento esencial que contribuye a la conceptualización.
Las exigencias de explicitación, de argumentación, de revisión y de validación brindan
oportunidades para transformar el conocimiento y hacerlo más reconocible; son por esto,
elementos esenciales en la constitución del sentido de los conocimientos.
Durante el debate, cada grupo expone sus conclusiones y se entera de las conclusiones de los
demás. Luego, según el caso, defiende la propia postura o la deja de lado para adoptar la postura
de otro. Sin embargo, la explicitación de los puntos de vista será de interés si se expresan en un
marco en el cual todos puedan ser escuchados. Es decir, que el debate no consiste en oponer una
opinión a otra o en forcejear esperando el arbitraje del profesor, sino que su funcionamiento
exige a todos aportar argumentos basados en hechos que los demás puedan constatar.
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¿Cómo organizar los Repasos?
Es obvio que son los alumnos, y no el profesor como pasa a veces en la escuela secundaria, quien
debe ser la parte activa del repaso antes de una evaluación. Por lo tanto cada uno tendrá su
estrategia, pero, podemos señalarte algunas que te pueden ayudar en las distintas instancias de
repaso:
a) “Machetes”: Consistiría en una síntesis de los temas estudiados. Puede incluir mapas
conceptuales o esquemas que relacionen los diferentes conceptos, las fórmulas con las
aclaraciones que corresponda a cada una, ejemplos, aclaraciones, carteles de precaución.
Elaborar un “machete” de esta manera es muy interesante porque te ayudará a reflexionar
acerca de cuáles son los aspectos más importantes para recordar y cuáles son los errores
comunes. También es interesante exponerlo en clase o mostrárselo a un compañero para que
puedan hacerle aportes referidos a aspectos que no hayas tenido en cuenta. De esta manera,
podrás organizar un repaso, que no necesariamente debe realizarse antes de una evaluación
escrita, sino que puede hacerse en cualquier momento del aprendizaje e irse completando.
b) “Explicación a un compañero”: Después de comprender un tema, puedes intentar comunicarle
a un compañero lo que aprendiste, para ello debes previamente organizar esa explicación para
que él pueda comprenderte y simular por un momento que eres profesor (en fin, la mayoría
de ustedes lo serán), y éste será un buen momento para practicar la comunicación oral, que
en un futuro cercano lo pondrás en práctica durante los exámenes. Es importante para tu
formación y para aprender a estudiar, el intercambio de información que se realiza en clase, la
posibilidad de discutir, reflexionar, modificar lo que cada uno hizo, justificar las razones por las
cuales está haciendo una elección en particular y no otra y, además, debes poder aceptar
como útil el trabajo hecho por otro compañero adoptando aquellas partes que sirvan para
completar el propio.
c) “Preparación de un examen”: Lo primero que tienes que hacer es quitarle esa trascendencia
al examen como algo imposible de lograr o de lo difícil que será. Luego, es necesario que
conozcas con claridad los contenidos que tienes que estudiar. A partir de allí podrás tener una
idea de cómo te organizarás: con gran memorización, con conexión de ideas, con todos los
datos hasta los de menos importancia, analiza qué tipo de problemáticas se resolvieron
alrededor de los conceptos que se estuvieron trabajando en un determinado momento, cuáles
son las diferencias y similitudes entre ellos, es decir qué sentidos del objeto matemático se
ponen en juego en cada uno. También puedes proponer preguntas acerca de lo que tú piensas
que no se puede pasar por alto en un examen.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS: PROPIEDADES DELAS OPERACIONES
Un poco de historia
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo. Las tribus más
primitivas, tanto en el pasado como en la actualidad, disponen de símbolos para
distinguir entre uno, dos, tres,…
Es difícil analizar los caminos mentales que el hombre hubo de recorrer hasta
llegar a algún sistema de enumeración que le permitiera manejar, con el
pensamiento, la pluralidad. De hecho, sólo en unas pocas civilizaciones
avanzadas se llegó a la creación de sistemas de numeración verdaderamente
manejable y eficiente. Este hallazgo está profundamente unido al progreso
ACTIVIDAD INICIAL:
1) Lee atentamente el problema, notarás que en el texto aparecen distintos tipos de números.
Indica cuáles son esos tipos y para qué sirven cada uno de ellos. Por ejemplo, 28 es un
número natural y sirve para contar.
2) A través de este problema, se pretende que repases un poquito las operaciones entre
números, por ello te pedimos que hagas las cuentas a mano y luego puedes revisarlas con la
calculadora. Mientras vas resolviendo anota los contenidos que tienes olvidados
El siguiente dibujo representa el piso de una habitación
a) ¿Cuántas losetas enteras (sin partir) hay?
b) Las losetas miden 40 cm de lado. Si las que acabas de contar y las pusiéramos una detrás de la
otra, en fila india, ¿qué longitud alcanzarían?
c) ¿Qué dimensiones, en losetas, tiene el suelo de la habitación?
d) ¿Cuál es la superficie del suelo?
e) Si la altura de la habitación es de 2,80 m ¿Cuál es el volumen?
f) ¿Cuánto costará pintar las paredes y el techo a $25,90 el m2 (Los pintores no descuentan la
superficies de puertas y ventanas).
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TRABAJO PRÁCTICO 1
√2
1) Dados los siguientes números: -3; 4; 2 ; -15; -1,2; - 2 ; 0 ; 0,001; 0,01; 2 ; 1,41; -10; 10,1.
a. Ordena de menor a mayor los siguientes números: Explica qué tuviste en cuenta
para ordenarlos
b. ¿A qué subconjunto de Números Reales pertenece cada número?
c. De los números anteriores, ¿cuáles son mayores que 1 y menores que -1?
2) Escribe números fraccionarios cuyos numeradores y denominadores tengan dos cifras y:
a) sean mayores que 1; b) menores que 1; c) mayores que -1; d) menores que -1.
3) Escribe todos los números que satisfacen las siguientes condiciones y luego representa en la
recta numérica:
a) Los números enteros entre -5,3 y 10,5
b) Los números naturales entre -5,3 y 10,5
c) Los números reales entre 5,3 y 10,5
4) Escriba en cada caso todos los números enteros x que satisfacen la condición establecida.
a) −101 < 𝑥 < −97
𝑏) − 17 ≤ 𝑥 < −12
𝑐) − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
5) Si n es un número natural, determine para qué valores de n estos números pertenecen al
conjunto de los números enteros.
𝑛
𝑛
1
3
𝑎) 2
𝑏) 3
𝑐) 𝑛 − 5
𝑑) 𝑛 + 2
𝑒) 𝑛 ∙ 4
6) Para pensar (se pretende una deducción o un razonamiento expresado con sus palabras)
a. Dado un número racional a
i) ¿siempre existe un racional b tal que a + b = 0?
ii) ¿y tal que a · b = 1?
b) Dado un número natural a
i) ¿siempre existe un natural b tal que a + b = 0?
ii) ¿y tal que a · b = 1?
c) Dado un número entero a
i) ¿siempre existe un entero b tal que a + b = 0?
ii) ¿y tal que a · b = 1?
7) Dados los siguientes números:
11 12 17
;
;
;
12 13 12
29
20
a) ¿Son mayores o menores que 1?
b) Ordénalos de menor a mayor
8) Indica en la recta numérica los opuestos a los números ubicados en ella
-b
a
0
c
a) ¿Es a un número positivo? ¿Por qué? b) ¿Es b un número positivo? ¿Por qué?
c) Da un ejemplo numérico de los valores que pueden adoptar a y b
d) ¿Dónde ubicarías el número a+1? ¿Qué consideras para ello?
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9) Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, complete con el signo<; >; =; ≤; ≥; que corresponda y justifique con
ejemplos.
a) Si a > b, entonces a/b . . . 1.
c) Si a = b, entonces a/b . . . 1.
b) Si a < b, entonces a/b . . . 1.
d) Si a = 1, entonces a/b . . . 1.
10) ¿Las siguientes expresiones son equivalentes? Justifica
A) 12 es múltiplo de 4 B) 4 divide a 12 C) 4 es factor de 12 D) 12 es divisible por 4
11) Halle seis múltiplos consecutivos de cada uno de los siguientes números: 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9
a. a) ¿se repite algún múltiplo entre los hallados? ¿Por qué?
b. ¿es igual hallar múltiplos que factores?
12) Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Justifique su respuesta.
a) Si un número es divisible por 6 entonces es divisible por 3.
b) Si un número es divisible por 3 entonces es divisible por 6
c) Si un número es divisible por 210, es divisible por 6.
d) Existe un número que divide a todos los números.
e) Existe un número que es múltiplo de todos los números.
13) Represente los siguientes conjuntos utilizando la notación de intervalo y grafíquelos en la
recta.
a. {𝑥 ∈ ℝ/4 ≤ 𝑥 ≤ 5}
d. {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > −2}
b. {𝑥 ∈ ℝ/−1 < 𝑥 ≤ 1}
e. {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > 2 ∧ 𝑥 < −2 }
c. {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ 5}
f. {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 < 2 ∧ 𝑥 > 2 }
14) Representa en la recta real los siguientes intervalos
a) (−2,5; 0,5)
3 9
b) (−∞; −1]
c) [− 2 ; 2]
15) Resuelve las siguientes operaciones y justifica escribiendo la/s propiedad/es aplicada/s
2
a)  
3
2
e)  1
f) 9
i) 5 2
j)  
62
ll)
2
4 6
o) 
5 25
53
m)
5
2 9
p) .
11 4
3
1
1
g) 4
3
2
k) 27
1
8
 42
 
h) 33
l) 3 
3
2
7
8
3 2 .5
7 .3
n)
ñ)
3
7
 5  15
q)
r) 2.32

8
2
1
3
d)
2
t) 3.4  32
2
 9 w)
2
2
5
9
s) 3.  4  25
v)
c) 3.5
b) 5  30
x)
4
u) 2  7.32
2
y)
2
0
z)
0
7
¡¡Atención!!:
Para justificar primero
expresa, por escrito, con
tus
palabras
la
propiedad en ℝ que
aplicas, luego hazlo
formalmente,
utiliza
lenguaje algebraico.
Elabora un glosario que
te ayude a seguir
trabajando.
(Si
es
necesario,
consulta el enunciado
de las propiedades de
las operaciones en ℝ)
13
16) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas.
a) ¿Es conveniente simplificar el 2 del numerador con el 2 del denominador en el ejercicio ll?
Por qué? ¿Y el 7 del numerador con el 7 del denominador en el ejercicio n?
b) ¿Es posible distribuir el exponente ½ respecto al producto del ejercicio s?, ¿y el 3? ¿y el
exponente – ½ respecto a la suma del ejercicio t?, ¿y el 3?Justifica cada respuesta
c) ¿Será posible resolver el ejercicio s de una manera diferente a como la hicieron?
d) Observen los resultados desde el ejercicio ll hasta el q ¿Qué pueden concluir acerca de las
simplificaciones?
e) Observen los resultados desde el ejercicio v hasta el x ¿Qué pueden concluir?
17) Clasifique cada igualdad como verdadera o falsa. Si no es correcta, modifique el miembro
derecho para obtener una igualdad verdadera.
a) 34 ∙ 32 = 38
b)
104
54
l)
4
=2
4
4
1
= −23
m)
8
c) 3 + 3 = 3
d)
e)
2−3
(22 )3
=2
2 4
24
f) (3) =
3
=1
q) (𝑎 + 𝑏)
1
1⁄
3
3
1
=𝑎
1⁄
3
+𝑏
1⁄
3
6
r) √8 ∙ √8 = √64
s) 2√(𝑥 + 1) = √4𝑥 + 4
7
i) 2 ∙ 2 = 4
j)
93
p) √16 + 25 = √16 + √25
h) (2 + 𝜋)−2 = 4 + 𝜋2
(−27)0
93
= 2−2
o) 𝑎2 + 𝑎2 = 2𝑎2
8
2
23
n) (20 )3 = 23
g) (𝑎2 𝑏)3 = 𝑎2 𝑏 3
5
2−5
t) √(𝑥 − 1)2 = 𝑥 − 1
=1
0
k) (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 1
u) √𝑥 9 = 𝑥 3
𝑤) 𝑎−
1⁄
2
1⁄
2
+ 𝑏−
=
1
√𝑎 + 𝑏
14
18) Calcule el valor numérico aplicando propiedades. Verifique con la calculadora:
a) −105
j)
2
1 3
b) [(2) ]
k)
c) 20 + 21 + 22
1 4
d) (2)
m)
32
n)
30
o)
2 1
g) (3) + (3)
h)
4 −3
(−2)5
(−2)3
3 3
i) (− 4)
3
3
23 ∙34 ∙45
2 −1
+ (3)
√−3
t)
3
u)
√9
1
27− ⁄3
22 ∙33 ∙4 4
l) (3)
(−2)4
2 0
3
s) √9 ∙ √−3
2 −2
e) (−3)2 (−2)3
f)
3−3
√−24
3
v) √(−125)(−1000)
83
162
w) √√625
[(−7)2 (−3)2 ]−1
x) √144 + 25
210
y) √144 + √25
43
p) 81−
1⁄
2
q) 64−
2⁄
3
r) (−125)
z) (−
125
8
1⁄
3
)
1
1⁄
3
− (64)
2⁄
3
19) Resuelve los siguientes problemas
a) Tres recipientes contienen agua, el primero
50
62
litros, el segundo
litros y el tercero
47
55
33
litros. ¿Qué recipiente tiene menos agua y cuál más?
30
1
b) En el colegio,
de los alumnos estudia inglés y un 33% francés. ¿Cuál es la lengua más
3
elegida?
c) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc. ¿cuántos
kilogramos de cada metal habrá en 348 kg de aleación?
d) Luís invita a sus amigos una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luís come el
resto. ¿cuánto come?
e) Dado un cordón Juan toma la mitad. De lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que
queda María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma 2/5. Al final quedan 30 cm.
¿cuál era la longitud del cordón?
20) Las igualdades indicadas en cada caso no son verdaderas. Indique los errores de
procedimiento cometidos y halle el resultado correcto.
2
a. 4 = √16 = √(−4) ∙ (−4) = √−4 ∙ √−4 = (√−4) = −4
b. 2 − 3(4 ·2 + 8) = −1 · 16 = −16
1
17
4+4
−24 +4−1
1
4
c.
−23 −2−1
=
1
−8−2
=
17
−2
=−
2
15
CONJUNTOS NUMÉRICOS.
NÚMEROS NATURALES:
Los números que se usan para contar las cosas de la naturaleza se llaman números naturales. Al
conjunto formado se lo denota con la letra ℕ
ℕ = {1, 2, 3, 4, … }
Operaciones:
Suma y Producto: Para contar un elemento se usa el número 1, para el siguiente el número 2, y así
sucesivamente. A cada número natural le sigue otro natural que se obtiene agregando 1 al
anterior. Así aparece la operación de sumar, que también se suele llamar Adición. Sumar 1 es
nombrar al siguiente número natural. Por ejemplo, el siguiente del 5 es el 6, y por eso 6 = 5 + 1. De
esta manera y según este orden, los primeros naturales son: 1; 2; 3; 4;… La operación de suma se
extiende a todos los naturales.
Para indicar que un número está antes que otro se usa el signo <, y se lee “menor que”. Por
ejemplo, 2 < 5 se lee “2 es menor que 5”, e indica que 2 está antes que el 5. Del mismo modo, el
símbolo > se utiliza para indicar que un número está después que otro y se lee “mayor que”.
La suma reiterada de un mismo número se llama Multiplicación, o también usaremos el término
Producto. Si se multiplica 5 ∙ 8 = 40. Los números 5 y 8 se llaman factores. Sumar 5 veces 8 es
multiplicar 5 por 8, y coincidentemente, es lo mismo que sumar 8 veces 5. Esto es
8+8+8+8+8= ⏟
⏟
5+5+5+5+5+5+5+5
5 veces
8 veces
Entonces, en el conjunto de los números naturales podemos definir 2 operaciones: adición y
multiplicación. Estas operaciones son cerradas, es decir, la adición y la multiplicación entre dos
números naturales es otro número natural. Además, estas operaciones cumplen con las siguientes
propiedades:
Conmutatividad: Esta propiedad se refiere a que el orden de los términos de una suma o de los
factores en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo: 5 + 6 = 6 + 5 𝑦 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2
Asociatividad: Esta propiedad se refiere a que la forma de agrupar los términos en una suma o en
una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo:
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 𝑦 (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
Entonces 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
2 ∙ (3 ∙ 4) = 2 ∙ 12 = 24 𝑦 (2 ∙ 3) ∙ 4 = 6 ∙ 4 = 24
Entonces 2 ∙ (3 ∙ 4) = (2 ∙ 3) ∙ 4
Distributividad de la multiplicación respecto de la suma: La multiplicación distribuye respecto a la
suma. Por ejemplo:
(2 + 3) ∙ 4 = 5 ∙ 4 = 20 𝑦 2 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 8 + 12 = 20
Entonces: (2 + 3) ∙ 4 = 2 ∙ 4 + 3 ∙ 4
16
Potenciación:
La multiplicación reiterada se llama Potenciación.
Ejemplo: 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 84 . En este caso, 8 se llama la base y 4 el exponente. El exponente indica el
número de veces que se multiplica a la base por sí misma.
Resta: La resta entre dos números, por ejemplo, 10 y 2, es el número que hay que sumarle a 2
para obtener 10. Es decir 10 − 2 = 8 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 2 + 8 = 10. El número 10 es el minuendo y el 2 es el
sustraendo.
NÚMEROS ENTEROS:
Si quisiéramos hallar el número que sumado a 5 sea igual a 3, no podríamos encontrar solución en
el conjunto de los números naturales, ya que si sumamos un natural a 5 obtendremos otro natural
mayor que 5, y 3 es menor que 5. Este problema es análogo a querer calcular la resta 3 − 5. Es
decir, ninguna resta en la que el sustraendo sea mayor o igual que el minuendo puede ser resuelta
en el conjunto de los naturales.
La introducción de los números enteros negativos y el cero sirvió para resolver este tipo de
problemas:

En primer lugar, el 0 es el número que sumado a cualquier natural da el mismo natural, por
ejemplo: 3 + 0 = 3 𝑜 125 + 0 = 125. Así queda definida la suma de un natural con el 0 y la
resta entre dos naturales iguales, por ejemplo: 3 − 3 = 0 𝑜 125 − 125 = 0

Para cada natural consideramos el Opuesto como el número que sumado a él da 0. Por
ejemplo, el número que sumado a 1 da como resultado 0 se lo denota -1 y es el opuesto al
número natural 1. El opuesto de 2 es -2, el de 3 es -3 y así sucesivamente. El 0 es el opuesto de
sí mismo

Todos los opuestos de los números naturales se denominan Números Enteros Negativos, y a
los naturales se los denomina Números Enteros Positivos. Así, los enteros negativos, los
positivos y el cero dan lugar al Conjunto de los Números Enteros y se lo representa con la letra
ℤ

Como en los naturales existe un orden natural: 1 < 2, 2 < 3, 3 < 4, etc, en los enteros también
hay un orden compatible con el de los naturales. Los enteros conforman una sucesión infinita
de números, donde cada elemento tiene un sucesor que se obtiene sumando 1 al número, y
un antecesor, que se obtiene restándole 1. Ejemplos: -7 es el antecesor de -6 pues -6 - 1 = -7, y
-5 es el sucesor de -6 porque -6 + 1 = -5.
Podemos expresarlo: ℤ = {… − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

17
Valor Absoluto de un Número Entero
El valor absoluto de un entero positivo o cero es el mismo número, y el valor absoluto de un
entero negativo es su opuesto. Se denota encerrando el número entre barras. Por ejemplo:
|3| = 3 ; |0| = 0 𝑦 |−5| = 5.
Operaciones en ℤ
Suma y Producto
La suma y la multiplicación se extienden a este nuevo conjunto, y la resta queda bien definida
entre cualquier par de números enteros. En efecto, la resta entre dos números enteros se define
como la suma de un número y el opuesto del otro. Por ejemplo: 1 − 4 = 1 + (−4) = −3 y
−7 − 15 = −7 + (−15) = −22
Las operaciones de suma y de multiplicación quedan definidas y satisfacen las mismas propiedades
que se satisfacen para los números naturales. Si bien la resta es una operación cerrada en el
conjunto de los enteros, no cumple con las propiedades asociativa ni conmutativa.
La multiplicación entre dos enteros negativos o dos enteros positivos es un entero positivo y la
multiplicación entre un entero positivo y uno negativo es un entero negativo.
Elemento neutro:
Para la suma es el Cero. Si lo sumamos al 0 con cualquier número se obtiene el mismo número.
Por ejemplo: 7 + 0 = 7 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 − 4 + 0 = −4.
Para la Multiplicación es el Uno: Si se multiplica 1 por cualquier número se obtiene el mismo
número: 8 ∙ 1 = 8 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 − 3 ∙ 1 = −3
Elemento Absorbente
Para la multiplicación el Cero porque cualquier número multiplicado por 0 da como resultado
cero. Por ejemplo: 6 ∙ 0 = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 − 4 ∙ 0 = 0.
Potenciación
También la potenciación con exponente natural se define como la multiplicación reiterada de un
número tantas veces como lo indique el exponente. Así: (−5)3 = (−5) ∙ (−5) ∙ (−5) = −125.
Las potencias con exponente negativo no están definidas para los enteros, excepto para 1 y -1.
Se conviene definir la Potencia con exponente 0 de un número no nulo es igual a 1. Por
ejemplo:70 = 1 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 (−2)0 = 1
División
ℤ es un conjunto cerrado respecto a las operaciones suma, resta y multiplicación. La división
entera es una operación que sólo tiene sentido en el conjunto de los números enteros y en el de
los naturales si le quitamos el 0. La división entera entre dos números, llamados dividendo y
divisor, permite hallar otros dos números enteros, llamados cociente y resto. El resto es un entero
no negativo y menor que el valor absoluto del divisor, tal que si se le suma el producto entre el
divisor y el cociente se obtiene el dividendo. Por ejemplo, la división entre 27 y 6 tiene como
18
cociente 4 y como resto 3 pues 27 = 6 ∙ 4 + 3 o si dividimos 1500 por 125 el cociente es 12 y el
resto es 0 puesto que 1500 = 125 ∙ 12 + 0.
Si el resto de la división es 0 se dice que el divisor divide al dividendo, o que el dividendo es
divisible por el divisor o que el dividendo es múltiplo del divisor. Por ejemplo, 8 es divisible por 4, o
bien, 4 es divisor de 8, o 8 es múltiplo de 4 puesto que 8 = 4 ∙ 2 + 0.
Ahora, si bien el cociente entre 27 y 6 es 4, no es cierto que 4 ∙ 6 sea igual a 27. Por lo tanto la
división entera no es la operación inversa a la multiplicación. Esto es, en el conjunto de los enteros
no es posible resolver problemas como hallar el número que multiplicado por 6 sea igual a 27.
NÚMEROS RACIONALES:
Para dar solución al problema de hallar el número que multiplicado por 5 dé como resultado 2,
2
surge la fracción y se lee “dos quintos”. Las fracciones se representan como cocientes entre dos
5
enteros, llamados numerador y denominador respectivamente, siendo el denominador distinto
de 0.
2
Toda fracción multiplicada por su denominador es igual al numerador. Por ejemplo, ∙ 5 = 2
5
4
2
4
Pero 10 es también el número que multiplicado por 5 es igual a 2. Entonces las fracciones 5 y 10
resuelven el mismo problema, es por ello que se las llama Fracciones Equivalentes
Las Fracciones Irreducibles son aquellas cuyo numerador y denominador no son ambos divisibles
por un mismo entero, excepto 1 y -1. Estas fracciones tienen la propiedad que toda fracción
equivalente a ella se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por un mismo entero
−3
no nulo. Por ejemplo, es una fracción irreducible, y algunas de sus fracciones equivalentes son
−9
12
;
6
−8
4
Las Fracciones comunes se clasifican en:
 Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.
 Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador
 Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.
Los Números Racionales se construyen a partir de los números fraccionarios, considerando a todas
−3 −9
6
las fracciones equivalentes como un solo número. Por ejemplo, las fracciones 4 ; 12 ; −8 son
distintas, pero todas representan el mismo número racional.
Al Conjunto de los Números Racionales se lo denota con la letra ℚ e incluye al conjunto de
números enteros, y por lo tanto a los números naturales. En efecto, cada número entero está
representado por una fracción con denominador 1, o una equivalente.
5
Los números racionales suelen expresarse en notación decimal, por ejemplo, 10 = 0,5
Aquellas fracciones que son equivalentes a una fracción con denominador 1, 10, 100 u otra
potencia de 10 tienen una expresión decimal finita, y se denominan Fracciones decimales.
19
3
12
Por ejemplo, 25 es equivalente a 100, por lo tanto es una fracción decimal y se expresa en notación
decimal como 0,12.
Si no son equivalentes a una expresión con denominador que sea potencia de 10 tienen una
notación decimal infinita periódica. Esto significa que en la parte decimal existe una secuencia de
uno o más números que se repite indefinidamente. A dicha secuencia se la denomina período. Por
1
ejemplo: 3 = 0,333 … , y su período es 3. Para denotar el período se lo suele marcar con un arco
sobre él.
6
6
3549
̂
Por ejemplo:
= 0,06 ; = 0,666 … = 0, 6̂ ;
= 3,584848484 … = 3,584
100
9
990
Por otro lado, todas las fracciones decimales también tienen una representación decimal infinita.
Por ejemplo:
1
1 = 3 ∙ = 3 ∙ 0,3 = 0, 9̂ también 4,53 = 4,529̂
3
Atención: Todas las fracciones equivalentes tienen una misma notación decimal, finita o periódica.
3
12
15
75
Por ejemplo: = = =
= 0,75 = 0,749̂
4
16
20
100
ℚ es el conjunto de todos los números que se pueden escribir como expresiones decimales
finitas o infinitas periódicas.
Operaciones en ℚ:
Suma y Resta:
La suma y la resta de dos fracciones con el mismo denominador es otra fracción con el mismo
denominador cuyo numerador es la suma (la resta respectivamente) de los numeradores. Por
ejemplo:
3 1 4
5 7
2
+ =
; − =−
5 5 5
3 3
3
Si los denominadores son distintos el problema de sumar y restar fracciones se resuelve buscando
dos fracciones del mismo denominador equivalentes a las dos fracciones dadas, es decir, dos
fracciones con denominador común. Por ejemplo:
2
1
4
3
1
+ (− ) = + (− ) =
3
2
6
6
6
El Elemento Opuesto: Cada Número racional tiene su Número Opuesto
La suma y la resta son operaciones cerradas en el Conjunto de los Números Racionales.
Multiplicación y División
La multiplicación entre dos racionales se obtiene multiplicando numeradores entre sí y
denominadores entre sí. Por ejemplo:
2
5
10
− ∙ (− ) =
3
7
21
20
Elemento Inverso:
Un número racional es el inverso de otro si la multiplicación entre ambos es igual a 1. Por ejemplo:
2 3
−3 5
1 4
∙ =1;
∙
=1;
= =4
3 2
5 −3
4 1
La división de números racionales se puede expresar de diferentes maneras. Por ejemplo:
2
2 4 3 2 5
÷ = = ∙
3 5 4 3 4
5
Ambas Operaciones son cerradas en ℚ
Potenciación
Con la introducción de los números racionales se amplía la definición de potenciación con
exponentes enteros negativos. Se define la potencia de un número racional con exponente
negativo como igual a la potencia del inverso con el exponente cambiado de signo. Por ejemplo:
1 3
3 −5
4 5
2−3 = ( ) ; ( ) = ( )
2
4
3
La Potenciación cumple con varias propiedades que estudiaremos completamente en el Conjunto
de los Número Reales
Atención:
Entre dos números enteros existen sólo un número finito de números enteros. Por ejemplo, entre
5 y -4 hay sólo 8 números enteros; pero ¿cuántos números racionales hay? La respuesta es:
¡infinitos! Lo mismo ocurre para cualquier par de números racionales distintos que tomemos.
Para ver esto basta tomar, como ejemplo, el promedio entre ambos y al resultado promediarlo
con alguno de ellos, repitiendo el proceso indefinidamente. Si tomamos el 0 y el 1. Ambos son
números racionales. Su promedio es el número que está entre ambos y equidista de los dos, y es
0+1
1
igual a la semisuma de los dos números: 2 = 2. y es racional.
1
1
+0
1
Ahora el promedio entre 2 y 0, es 2 2 = 4 , nuevamente obtenemos un número racional y
repitiendo este proceso obtenemos una sucesión infinita de números racionales distintos, todos
entre 0 y 1
NÚMEROS IRRACIONALES:
Si quisiéramos conocer el número cuyo cuadrado es 2; esto es, hallar 𝑥 tal que 𝑥 2 = 12 + 12 = 2.
Observamos que no existe ningún número racional que cumpla la propiedad que elevado al
cuadrado sea igual a 2. Este número se llama raíz cuadrada de 2 y se lo denota √2 y es
comparable con los números racionales, en el sentido que se puede determinar qué números
racionales son menores y cuáles mayores que él
Los números irracionales tienen también una representación decimal, y esta expresión decimal es
infinita no periódica.
Algunos de los números irracionales que se utilizan con frecuencia son 𝜋 que surge de la división
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, 𝑒: número de Neper y base del logaritmo
natural y M: logaritmo en base 10 del número e. Las aproximaciones decimales de estos números
se listan a continuación:
21
√2 = 1,41421356 … 𝜋 = 3,14159265 … , 𝑒 = 2,71828182 … 𝑀 = log10 𝑒 = 0,43429448 …
El conjunto de los Numeros Irracionales es el conjunto de todos los números que no se pueden
escribir como expresiones decimales infinitas no periódicas y se designa con
𝕀 = {… − √2, … 𝜋, … 𝑒, … 0,1010010001 … , √3 ; … }.
Las Operaciones en este conjunto y sus propiedades las estudiaremos a continuación
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales se simboliza con ℝ y está formado por todos los números
racionales e irracionales. La unión de los racionales (ℚ) y los Irracionales (𝕀) da como resultado
el conjunto de los Números Reales ℝ
Relación de orden en ℝ: El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que,
dados dos números reales distintos siempre se puede establecer cuál es el mayor. A la relación de
orden definida en ℝ se la indica con “<” (a < b se lee: “a es menor que b”, o también “b es mayor
que a”).
En el conjunto de los números reales vale la ley de tricotomia: dados dos números reales a y b vale
una y solo una de las siguientes expresiones: a  b ó a  b ó a  b También podemos decir que es
válida alguna de estas desigualdades:
𝑎<𝑏 𝑜 𝑎≤𝑏 𝑜 𝑎>𝑏 𝑜 𝑎≥𝑏
Cada una puede representarse gráficamente mediante intervalos, que son subconjuntos de ℝ
En la notación [𝑎; 𝑏), el paréntesis “)“ indica que b no pertenece al intervalo, el corchete “[“ indica
que a pertenece al intervalo.
Operaciones en ℝ:
Para todo número real las cuatro operaciones fundamentales son:
Adición o Suma: a  b
Sustracción o Resta: a  b
Multiplicación o Producto: a.b
División o Cociente: a : b 
a
, con b  0
b
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división son cerradas en el Conjunto de los
Números Reales.
22
Todo número real distinto de cero tiene un inverso. El inverso de un número racional distinto de 0
es un número racional, y el inverso de un número irracional es un número irracional. El producto
de un número y su inverso es Uno.
Todo número real tiene su Opuesto. La suma de un número y su opuesto es cero
Las Propiedades de estas operaciones las podemos sintetizar en el siguiente cuadro, donde se
utilizan símbolos propios de la matemática (cuyo significado lo encuentras al final del cuadernillo):
a) La suma y el producto cumplen la propiedad conmutativa:
∀𝑎, 𝑏𝜖ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
∀𝑎, 𝑏𝜖ℝ ∶ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
b) La suma y el producto cumplen la propiedad asociativas:
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐)
c) La multiplicación es distributiva respecto de la suma:
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
d) Existen elementos llamados neutros para la suma y el producto:
∃ 0 ϵ ℝ / ∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: a+0 =0+a = a El 0 es el neutro para la suma
∃ 1 ϵ ℝ / ∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: a .1 =1. a = a El 1 es el neutro para la multiplicación
e) Existencia del inverso aditivo (opuesto):
∀ 𝑎 ϵ ℝ, ∃(−𝑎)/ 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0
(−𝑎) es el opuesto de 𝑎 y es único
f)
Existencia del inverso multiplicativo (recíproco):
∀ 𝑎 ϵ ℝ, 𝑎 ≠ 0, ∃ 𝑎−1 ϵ ℝ tal que 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1 . 𝑎 = 1
se llama inverso o reciproco de a
g) Propiedad uniforme:
𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 . 𝑐 = 𝑏 . 𝑐
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ϵ ℝ
De esta última se desprenden Simplificación y la amplificación
h) Propiedad Cancelativa: ∀𝑎, 𝑏𝜖ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 + (−𝑎) = 𝑏
23
A tener en cuenta:
Si aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma a la siguiente expresión,
obtenemos: 3−1 (2 + 5) = 3−1 ∙ 2 + 3−1 ∙ 5
Es equivalente a:
1
1
1
2
5
7
∙ (2 + 5) = 3 ∙ 2 + 3 ∙ 5 = 3 + 3 = 3
3
1
1
(2 + 5) ∙ = ∙ (2 + 5) por propiedad conmutativa de la multiplicación
3
3
O bien
=
2+5
3
1
7
= (2 + 5) ÷ 3 = 3
Entonces: (2 + 5) ∙ 3 = (2 + 5) ÷ 3
𝑦 (2 + 5) ÷ 3 = 2 ÷ 3 + 5 ÷ 3
En símbolos: (𝑏 + 𝑐): 𝑎 = 𝑏: 𝑎 + 𝑐: 𝑎
Esto es: vale la propiedad distributiva de la división respecto a la suma a derecha, sólo cuando la
división está a la derecha de la suma
Analicemos el siguiente caso 10 ÷ (2 + 5) ≠
10 ÷ (2 + 5) =
En símbolos
10
2+5
=
10
7
y
10
2
+
10
5
=
10
2
+
10
5
5.10+2.10
10
70
= 10 = 7
a
a a
 
bc b c
Es decir, no vale la propiedad distributiva de la división respecto a la suma a izquierda
Potenciación
La potencia de un número real con exponente entero se define de la misma manera que para los
números racionales.
La Potencia enésima de un número a, a n , es el producto de n factores iguales a a. El número a ϵ ℝ
es la base de la potencia, el número n ϵ ℕ es el exponente.
a n  a  a  a  a...
n veces
Notemos que las potencias con base no nula y exponente par son siempre positivas, por ejemplo:
3 4 81
52 = 25 ; (− ) =
; (−2)2 = 4 ; 𝑒𝑡𝑐
2
16
24
Propiedades de la Potenciación:
Sean a y b números reales no nulos; m y n números fraccionarios
1. Potencia de Exponente Cero: 𝒂𝟎 = 𝟏
2. Producto y Cociente de Potencias de Igual Base:
3. Potencia de Otra Potencia:
4. Distributiva de la Potencia respecto del Producto y del Cociente:
5. Potencia de Exponente Negativo:
1 𝑛
𝑎 −𝑛
𝑎 −𝑛 = (𝑎)
(𝑏 )
𝑏 𝑛
= (𝑎)
6. Potencia de Exponente Fraccionario
𝑚
𝑛
𝑎 𝑛 = √𝑎 𝑚
Ejemplos:
1 0
2,050 = 1
1) (− 4) = 1
3 2
3 3
3 5
2) (4) ∙ (4) = (4)
3 2
3 3
3
3
3
3
3
3 5
𝑝𝑢𝑒𝑠 (4) ∙ (4) = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = (4)
(−3)5
3) (−3)5 ÷ (−3)2 = (−3)3 𝑝𝑢𝑒𝑠 (−3)5 ÷ (−3)2 = (−3)2 =
(−3)∙(−3)∙(−3)∙(−3)∙(−3)
(−3)∙(−3)
Simplificando los factores iguales en el numerador y denominador, obtenemos:
(−3)5 ÷ (−3)2 = (−3)3
4) (3 ∙ 2)3 = 33 ∙ 23
𝑝𝑢𝑒𝑠 (3 ∙ 2)3 = 63 = 216
Recíprocamente: 42 ∙ 72 = (4 ∙ 7)2
5) [(−9) ÷ 3]2 =
2 −2
6) (3)
(−9)2
32
𝑝𝑢𝑒𝑠
𝑦 33 ∙ 23 = 27 ∙ 8 = 216
[(−9) ÷ 3]2 = (−3)2 = 9 𝑦
(−9)2
32
=
81
9
=9
3 2
= (2) por definición de Potencia de Exponente Negativo
9
=4
25
A tener en cuenta
La potenciación no es distributiva respecto de la suma y a la resta
Observa atentamente:
 4  3
2
 5  3
 42  32
7 2  16  9
49  25
3
 53  33
23  125  27
8  98
La Potencia de una Suma o Diferencia de dos Números se resuelve de la manera indicada a la
izquierda del signo =
Radicación
Dado un número n natural y un número a real, se define la raíz n-ésima de a, y se escribe
n
a,
al único número real b, tal que b  a .
n
𝑛
∀ 𝑎 𝜖 ℝ, 𝑛 𝜖 ℕ, 𝑛 > 1: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟: √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎
𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟: √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≥ 0
Cuando el índice es impar la radicación está definida para todos los números reales, y tienen el
mismo signo que el radicando.
Por ejemplo:
3
5
3
5
√27 = 3 ; √32 = 2 ; √−27 = −3 ; √−32 = −2
Cuando el índice es par la radicación está definida sólo para los radicandos positivos. Por ejemplo,
si queremos hallar el número que elevado al cuadrado sea igual a 16 tendremos dos soluciones: 4
y - 4. Para distinguir entre ellas, utilizaremos una notación diferente para cada una. Esto es,
escribiremos
√16 = 4 ; −√16 = −4 𝑦 ± √16 = ±4
Consideraremos como raíz cuadrada de un número positivo a la solución positiva.
Ejemplos:
3
𝑎) √125 = 5
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
53 = 125
5
𝑏) √−32 = −2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−2)5 = −32
4
𝑐) √81 = 3
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
34 = 81
4
𝑑) √−16 ∉ ℝ porque no existe ningún número real que elevado a la cuarta potencia de por
resultado -16.
Esto ocurre con todos los cálculos de raíces de índice par de números negativos, es por eso que
estos casos no son considerados en la definición de radicación en ℝ
26
Propiedades de la Potenciación
denaturales.
la Radicación:
Sean a un número real no nulo; Propiedades
m y n números
1. Simplificación: Se puede simplificar índice con exponente cuando la base de la
potencia es no negativa, por lo tanto: Si
A tener en cuenta:
Para denotar la radicación con índice natural también se utiliza la notación con exponente
fraccionario:
1
1
3
2. Propiedad Distributiva: 4
√81 = 814 ; √12 = 123
 La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división, siempre que
existenselaspuede
raícesextender
de los factores
que intervienen
De esta manera
la definición
de potenciación de un número real positivo con
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
cualquier exponente
𝑎. √𝑏
√𝑎. 𝑏 = √racional:
1
4
𝑎
√𝑏 =
4
𝑛
√𝑎
√𝑏
con b≠0
𝑛
Ejemplos: 2 = √2
 La radicación3 no es1 distributiva
respecto de la adición y sustracción
3
1
1
4
54 = √53 𝑝𝑢𝑒𝑠 54 = 54 ∙ 54 ∙ 54 por producto de potencias de igual base
4
4
4
3. Raíz de otra Raíz
= √5 ∙ √5 ∙ √5 por definición de potencia de exponente fraccionario
𝑛 𝑚
√ √𝑎 = 𝑛.𝑚√𝑎== 4√5.5.5 Por Propiedad recíproca de la Distributiva de la Radicación
4
= √53
4. Potencia de una Raíz
𝑛
𝑝
respecto a la Potenciación y por definición de Potencia.
𝑛
𝑛
( √𝑎) = √𝑎𝑝 = 𝑎𝑝
Ejemplos:
3
3
3
3
1) √27.3 = √27 ∙ √3 = 3 √3
2) √2 ∙ √2 = √2 ∙ 2 = √4 = 2
3
3) √(−2)3 = −2 ; √52 = 5
16
4
4) √625 =
4
√16
4
√625
2
=5
Estas Propiedades se pueden aplicar siempre y cuando la Radicación esté definida en el Conjunto
de los Números Reales
A tener en cuenta
 Para simplificar exponentes e índices, se debe tener en cuenta que las operaciones estén bien
definidas. Por ejemplo:
a.
4
 3
4
, no se puede simplificar, ya que
resultado que se obtiene es
4
 3
4
4
 3
4
 4 81  3 , si hubiéramos simplificado el
 3 y sabemos por la definición dada que si el índice de la
raíz es par, la raíz es positiva
b.
12
 3
6
, no se puede simplificar, si lo hacemos quedaría
3 , que no está definida.
27
 Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no negativa, por lo tanto: Si
a  0, entonces n a n  a
 Análogamente las demás propiedades se pueden aplicar si la Radicación tiene solución en ℝ
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
El valor absoluto de un número real x, denotado x , se define:
x
x 
 x
si x  0
si x  0
Se puede ver que el valor de absoluto es un número no negativo. También podemos definir Valor
Absoluto de un número real de la siguiente manera:
Se llama módulo o valor absoluto de un número real, a la distancia que hay entre ese número y
el 0. En símbolos el módulo de un número real a se escribe a .
Por ejemplo 4  4 , pues la distancia entre 0 y 4 es de cuatro unidades, si se considera como
unidad la medida de la distancia entre 0 y 1.
Como la distancia que hay entre -4 y 0 es la misma que hay entre 0 y 4, entonces 4  4 .
Recta Numérica:
Este conjunto lo podemos representar en una recta tal que existe una biyección entre los
números y los puntos de una recta. Entonces es posible hacer corresponder a cada número real
un punto de la recta, y a cada punto de la recta un único número real.
28
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ACTIVIDAD INICIAL
El Álgebra comienza cuando los matemáticos comienzan a interesarse por las operaciones que
se pueden realizar con cualquier número, más que por los mismos números. Ese cualquier
número se representa con una letra y se da así el paso de la Aritmética que se interesa por los
números concretos, al Álgebra. En un principio las operaciones generales con números
cualquiera se describían con un montón de palabras. Ejemplo de ello fue el epitafio escrito en
la tumba de Diofanto, un famoso matemático griego del siglo III d.C., de cuya vida no se sabe
mucho pero el escrito proporciona algunos detalles sobre ella:
“Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh
maravilla! La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello
su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio
estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su
primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo
vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la
sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime,
caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.”
El lenguaje simbólico permite traducir problemas, dados mediante un enunciado, en
expresiones algebraicas.
Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras y números relacionados entre sí por
una o más operaciones. Por ejemplo: Si a, b y c son números reales, son expresiones
algebraicas algunas de las siguientes
Lenguaje Coloquial
El
El
El
El
El
doble de a
triple de la suma de a y c
producto de a por el cuadrado de b
cubo de a, disminuido en 3
cubo de: a disminuido en 3
A) Representa en símbolos:
a. Tres números consecutivos
b. Un número impar
c. Dos
números
pares
consecutivos
d. El opuesto de un número
e. El inverso de un número
distinto de cero
f. Todo número mayor que 5
g. x está comprendido entre 1 y 2
Lenguaje
algebraico
2a
3(a+c)
ab2
a3-3
(a-3)3
h. 2 es un número real
i. x está comprendido entre 4 y 6
o es igual a 4 o es igual a 6
j. el cuadrado de un número
disminuido en 2
k. el cuadrado de: un número
dividido 2
l. el número al que excede n en 3
m. la mitad del triple de n
29
TRABAJO PRÁCTICO 2
1) Reduce las siguientes expresiones algebraicas. Escribe a continuación el nombre de la/s
propiedad/es aplicada/s
2
a) x .x
2 x 3  3x 3
x
2
5x  x 2
i)
x3
e)
m)
y .y
f)
y 
y
.y
x .x
7
k)
2x
x
ñ)
5
x. x
3
x
0
5x
v)
x 3 x

 x. x 3  2 x
h)
2
( x  1) 5
r)
x 1
2 3
u)
x
l)
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
y2
y9
d)
x 6 .5 x
g)
4x 4
4
x6
x3
c)
2 x 
q)
x
1
3
n)
 x 2
 
t) y 2
11
2 6
j)
 y  3 y 3
p)
3
b)
5

Completa: “Es toda
combinación…………
………………………………
…………………………….
2 z 3
z
 y  22  4
o)
y
x0 1
s)
2
2
w) x .x
2
 
 2x 2
3
2) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas
a) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x en el ejercicio c? ¿y en ejercicio w?
b) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x del ejercicio v?
c) ¿En qué ecuación x no puede tomar el valor 1? ¿Por qué?
3) Simplifique y exprese cada respuesta sólo con exponentes positivos. Indique qué valores
puede tomar cada letra. Luego, verifique reemplazando las letras por números:
a) (𝑥 −3 )2
b)
i)
𝑥9
c) (2𝑎)3 (3𝑎)2
k) (𝑎−4 𝑏 −8 )
d) (−2𝑎2 𝑏 0 )4
e)
f)
g)
h)
(𝑎+𝑏)−8
j) 𝑥 −2 + 𝑦 −2
𝑥3
(𝑥 2 𝑦)
(𝑎+𝑏)−2
l)
4
1
1
𝑎2 ∙𝑏 − ⁄2 ∙𝑐 ⁄3
1
𝑎−3 ∙𝑏0 ∙𝑐 − ⁄3
(𝑥𝑦)2
64𝑎6
m) ( 𝑏−9 )
(𝑥−2𝑦)6
(𝑥−2𝑦)2
n)
3
(𝑥 −2 𝑦 2 )
3⁄
4
1
2
2⁄
3
(𝑥 2 + 4𝑥)−
1⁄
2 (2𝑥
+ 8)
(𝑥 3 𝑦 −2 )2
(2𝑥 3 𝑦 −2 )
2
8𝑥 −3 𝑦 2
30
4) Indica si las siguientes expresiones son Verdaderas o Falsas y justifica tu respuesta

3
3
a)  a  a 
2
2
c)2  3  4  20
e) a  7   a  5    2  a 
g )2  3  5   2  3   2  5 
i)

b)  2  5  b   5 2  5b
53 5

23 2
d )2  3  4  14
1
1
f )  b   b   3  2   5
5
5
75 7 5
h)
 
2
2 2
2
2 2
j)
 
75 7 5
5) En las siguientes demostraciones, identifique las propiedades de los números reales que se
utilizan en cada renglón (Sugerencia: consulte, si es necesario el Apunte teórico).
Sean a, b, c 𝜖 ℝ :
a) 𝑎(𝑎 + 𝑏) + 𝑏𝑎 + 𝑎2 = (𝑎2 + 𝑎𝑏) + 𝑎𝑏 + 𝑎2 …………………………………
= 𝑎2 + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑏) + 𝑎2 …...……………………………..
= (𝑎2 + 𝑎2 ) + 2𝑎𝑏
……………………………………..
2
= 2𝑎 + 2𝑎𝑏
………………………………………
b) 𝑎(𝑏 + (𝑎 − 𝑏)) = 𝑎(𝑏 + (𝑎 + (−𝑏))) …..…………………………………...
= a (b + (−b + a))
….…………………………………...
= a (b + (−b) + a)
….……………………………………
= a (0 + a)
….……………………………………
=a·a
……………………………………………
2
=𝑎
c) a + (b · (a ÷ b)) = a + (b · (a · 𝑏 −1 ))
… …………………………………….
−1
= a + (b · (𝑏 · a))
………………………………………..
= a + ((b ·𝑏 −1 ) · a))
……………………………………….
= a + (1 · a)
....……………………………………..
=𝑎+𝑎
....……………………………………..
= 2𝑎
....……………………………………..
6) Sea 𝑥 𝜖 ℝ, indique si son verdaderas o falsas cada una de estas afirmaciones.
𝑎) 𝑥 2 > 0
𝑑)𝑥 −1 < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑏) 𝑥 3 ≥ 0
𝑒) − 𝑥 2 < 0
3
𝑐) √𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑓) − 𝑥 < 0
7) Si se supone que𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, determine el signo de las siguientes
expresiones:
𝑧−𝑥
𝑎) 𝑥 − 𝑦
𝑏) 𝑥 − (𝑦 + 𝑧)
𝑐)
𝑑) 𝑥(𝑦 + 𝑧) 𝑒)(−𝑦)3
𝑓)(𝑦 − 𝑥)2
𝑦
8) Siendo 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 + 12 𝑄(𝑥) = −3𝑥 4 + 2𝑥 2 + 𝑥 3 . Obtiene:
a) 𝑃(−1); 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥); 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥)
b) Indica el coeficiente principal, el coeficiente del término de grado 0 y el grado de cada
polinomio
9) Expresa en símbolos lo planteado en cada problema y luego resuélvelos.
31
a) Después de un 20% de descuento, un proyector se vendió en 9 600 pesos. Determine el precio
original del artículo.
b) Un grupo de alumnos fue encuestado. El 20% (700 alumnos) favoreció a un nuevo producto
sobre la marca de mayor venta. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?
c) Encuentre tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48.
d) En 5 años Alberto tendrá 3 veces la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene Alberto?
e) Dentro de 12 años Lucas tendrá 27 ¿Qué edad tiene ahora?
f) Hace 7 años Juan tenía 16 ¿Cuál es su edad?
g) Si María tuviera el doble del dinero que tiene ahorrado podría comprarse un automóvil de
$35000 y le quedarían $7000 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?
h) Un hombre comenzó una dieta y en seis meses redujo su peso a la mitad, continuó con la dieta
y bajo 14 kg llegando a los 71 kg ¿Cuánto pesaba antes de comenzar la dieta?
i) Si a 8 se le resta la raíz cúbica de un número y al resultado de la resta se lo multiplica por 6 se
obtiene 64 ¿Cuál es ese número?
10) En las siguientes ecuaciones, primero trata de anticipar, sin resolverlas, qué se lee a través de
su expresión simbólica: ¿tendrán solución, es decir, existe el valor de x? ¿Qué valores puede o
no adoptar x para que la expresión tenga solución? ¿El posible valor de x será positivo o
negativo? Luego, determine el conjunto solución de cada una y verifique el resultado
obtenido (aunque sea mentalmente).
a)  5x  2  12
b) 6 y  y  23
27
c) x 3 
8
3
2 x   18
d)
x2
23 x
e)
1
5
x .6  18
18
l)
 9
x3
m) 4 x  6
4
 1
n)
2 x
2
o) 3
 2
x 1
13
22

y y2
1 y
g)
  3y  5
4 2
5
h)
9
2x  3
2x  1
i)
6
4
2
j)
 3  11
x
k)
f)
11) Decida si las siguientes ecuaciones tienen solución real o no. En caso de tener, halle el/los
valor/es que satisfacen las ecuaciones:
a) 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0
d) 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 = 0
b) 4𝑥 2 + 𝑥 = 3
e) −𝑥 2 + 2𝑥 + 15 = 0
c) 2𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0
f) 2𝑥 + 3 = −4𝑥 2
12) Exprese como productos las siguientes expresiones
a) 4𝑥 2 − 9
b) 25𝑥 2 − 144𝑦 2
c) 𝑎2 − 121𝑏 2
d) 24𝑥 5 + 18𝑥 4 − 30𝑥 2
e) 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1
f) 𝑥 2 + 3𝑥 +
9
4
32
13) Dada la ecuación:
2x  3
2
4x  6
a) Trata de anticipar: sin resolverla, escribe qué se lee a través de su expresión simbólica.
¿tendrá solución? ¿por qué?
b) Ahora, resuélvela por el procedimiento que consideres conveniente y luego verifica si tu
anticipación fue acertada completamente o en algunos aspectos.
14) Complete cuadrados:
a) 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 5
b) 𝑦 = −𝑥 2 − 6𝑥 + 2
c) 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
d) 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 3
e) 𝑦 = 5 − 6𝑥 + 3𝑥 2
1
2
f) 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 + 1
14) Escribe en los siguientes trinomios el término que hace falta que el trinomio sea cuadrado
perfecto. Luego, factorea.
a) ….. + 2 x + 1
b) 4 x2 – 12 x + ……
c) 36 x2 - …… + 4 b2
15) Resuelve la ecuación (x – 3). (x – 4 ) = 0 (Ten en cuenta de que para que un producto de varios
factores sea 0, es suficiente que uno de ellos sea 0). ¿Qué tipo de ecuación es?
a) Efectúa el producto (x – 3 ). (x – 4 ). ¿Has obtenido x2 – 7x + 12?. Resuelve esta última
ecuación igualando previamente a 0.
b) Observa los coeficientes -7 y 12. ¿Encuentras alguna relación entre ellos?.
c) Prueba lo observado escribiendo una ecuación que tenga como raíces 2 y 3.
16) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
−3𝑥 + 2𝑦 = −6
2𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 − 2𝑦 = 5
a) {
b) {
c) {
3
3𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 − 4𝑦 = 0
3+𝑦 = 𝑥
2
33
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La palabra «Álgebra» proviene del vocablo árabe al-yabar que se traduce como
'restauración', 'reponimiento, o reintegración'. Deriva del tratado escrito alrededor del
año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persa Muhammad Musa Al-Jwarizmi
(conocido como Al Juarismi), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la
solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Se suele pensar que el álgebra comienza cuando se empieza a utilizar letras para representar
números, pero, en realidad comienza cuando los matemáticos se interesan por las operaciones
que se pueden hacer con cualquier número. Ese cualquier número se representa con una letra y se
da, así el paso de la aritmética, que se interesa por los números concretos, al álgebra.
La importancia relevante del Álgebra es poder, a través de ella, escribir una determinada situación
problemática mediante ecuaciones, desigualdades u otras expresiones matemáticas. También
permite la generalización de un determinado tipo de problemas o situaciones haciendo uso de
“letras” que representan números.
En este punto es conveniente diferenciar desde el principio que existen distintos usos de las letras
en el álgebra:
 En algunos casos representan un número desconocido o incógnita que se desea averiguar.
 En otros casos representan constantes del problema, las cuales no cambian en la situación
planteada.
 También están las llamadas variables o indeterminadas, que como su nombre lo indica,
adoptan distintos valores. En general en una misma situación aparecen dos o más variables y
éstas están vinculadas por alguna relación.
 En otros casos las letras se utilizan para generalizar números, representando entonces a todo
un rango numérico.
Estos no son los únicos usos que se dan a las letras en el álgebra, también pueden representar
parámetros, nombres de funciones, vectores, puntos, y muchos más.
Usualmente, para representar constantes o datos se utilizan las primeras letras del abecedario o
del alfabeto griego (a, b, c,… o 𝛼, 𝛽, 𝛾,...) , mientras que para representar variables o incógnitas
suelen usarse las ´ultimas letras (x, y, z, w, …). No obstante recalcamos que la elección de las letras
no siempre es esa.
A continuación analizaremos ejemplos para ilustrar el uso de las letras en Álgebra.
Las Letras para Generalizar de números:
En el capítulo anterior primero descubrimos a través de ejemplos numéricos las propiedades de
las operaciones en cada conjunto numérico y luego se generalizó a todos los elementos del
conjunto con letras mediante su expresión simbólica.
Allí cuando expresamos, por ejemplo, que a + b = b + a; cualesquiera sean los números reales a y
b, queremos decir que a y b representan números reales, no necesariamente distintos aunque las
letras sean distintas. No son incógnitas, puesto que no nos interesa conocer el valor de a ni de b,
simplemente nos sirven para generalizar una cierta propiedad numérica que se cumple para los
números reales.
34
Las Letras como Incógnitas
Las incógnitas de un problema son aquellos valores que interesan ser conocidos y no están
explícitamente dados en el problema.
Ejemplo 1: Hallar el número cuya raíz cúbica es 3.
En este problema existe una única incógnita, y tiene la propiedad de que su raíz cúbica es 3. Aun
cuando es inmediato darse cuenta que se trata del número 27, este número no está dado en el
problema explícitamente y por ello es una incógnita.
Para plantear algebraicamente el problema simbolizamos con una letra a la incógnita, por
3
ejemplo, 𝑥 . Entonces √𝑥 = 3 y ésta es la ecuación que se deberá resolver para encontrar 𝑥.
Ejemplo 2: El área de un cuadrado menos el doble de lo que mide el lado es igual a 3. ¿Cuánto mide
el lado?
Este problema aparenta tener dos incógnitas: el área del cuadrado y la longitud del lado. Pero
debemos recordar de la geometría que el área de un cuadrado es igual a la longitud del lado
elevada al cuadrado. Así, si denotamos con 𝑥 a la longitud del lado y nuestro problema se plantea
algebraicamente de la siguiente manera: 𝑥 2 − 2𝑥 = 3
3
Las expresiones que hemos obtenido en los ejemplos anteriores: √𝑥 = 3 y 𝑥 2 − 2𝑥 = 3 son
igualdades que se cumplen que sólo son ciertas para algunos valores de 𝑥, o quizás para ninguno.
La presencia del signo = no indica que las expresiones a cada lado sean iguales. Por el contrario,
se pretende hallar los valores de las incógnitas que hagan ciertas o verdaderas las igualdades
En efecto, puede haber igualdades que no son ciertas, por ejemplo 𝑥 + 5 = 𝑥
Las Letras como Constantes Numéricas
Consideremos los siguientes problemas:
1. Hallar el número que multiplicado por 2 es 8.
2. Hallar el número que multiplicado por 3 es 0.
3. Hallar el número que multiplicado por 0 es 3.
4. Hallar el número que multiplicado por√2 𝑒𝑠 𝜋
Todos estos problemas son similares, y sus planteos algebraicos son los siguientes:
2 ∙ 𝑥 = 8 3 ∙ 𝑥 = 0 0𝑥 = 3 √2 ∙ 𝑥 = 𝜋
Notemos que los cuatro problemas tienen un planteo algebraico muy parecido, sólo cambian los
datos del problema. Si usamos letras para simbolizar estos datos, decimos que las letras denotan
constantes. En nuestro caso tenemos que resolver una ecuación del tipo 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑚 en la cual n y
m son los datos del problema (valores constantes) y 𝑥 es la incógnita. La solución de esta ecuación
general permitirá resolver todos los problemas de la forma: “Hallar el número que multiplicado por
n da como resultado 𝑚”.
La solución a este problema será diferente según 𝑛 y 𝑚 sean iguales a 0 o no. Si 𝑚 y 𝑛 son ambos
iguales a 0, entonces hay infinitas soluciones. Si 𝑚 ≠ 0 𝑦 𝑛 = 0, no hay soluciones, mientras que,
𝑚
si 𝑛 ≠ 0 la única solución ser 𝑥 = 𝑛
Las Letras como Variables
Analizamos el siguiente problema: “Dos números enteros tienen la propiedad que el triplo de uno
más el doble del otro es igual a 25. ¿Cuáles son esos números?
Si denotamos con 𝑥 e 𝑦 esos dos números, tenemos la relación: 3𝑥 + 2𝑦 = 25
35
Notemos que 𝑥 e 𝑦 no pueden adoptar cualquier valor arbitrario, sino que el valor de uno de
ellos depende del valor de otro. Entonces 𝑥 e 𝑦 varían en el conjunto de los enteros y están en
una relación de dependencia.
25−3𝑥
Para cada valor de 𝑥 se cumple que 𝑦 = 2
Escrito de esta manera también se dice que 𝑥 es la variable independiente y que 𝑦 depende de 𝑥,
por esto se expresa que 𝑦 es la variable dependiente.
En particular, 𝑥 sólo puede adoptar valores impares para que 𝑦 resulte un entero. Algunos valores
posibles de 𝑥 e 𝑦 son: 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 11; 𝑥 = −3 𝑒 𝑦 = 17
DIFERENCIAS
(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐 es una identidad, se cumple para todos los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 en ℝ. Las
letras se usan para generalización de números
5
2𝑥 = 5 es una ecuación pues la igualdad se cumple para un único valor de 𝑥 que es
2
𝑙 = 3𝑎 donde 𝑎 𝑦 𝑙 representan variables reales donde 𝑙 depende de 𝑎
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Definición: Las expresiones algebraicas son combinaciones de números expresados por
letras y cifras, relacionados entre sí por una o más operaciones
Clasificación: Las expresiones algebraicas se clasifican en enteras, racionales e irracionales.
 Las expresiones algebraicas enteras son aquellas en las cuales las letras y números se
relacionan a través de las operaciones de suma, producto y potencia. Por ejemplo:
x3  3x  4 .
 Las expresiones algebraicas racionales son aquellas en las que por lo menos una de las
letras figura como divisor de la expresión. Por ejemplo:
3
.
2x 1
 Las expresiones algebraicas irracionales son aquellas en la que por lo menos una de las
letras se figura como radicando. Por ejemplo: 5 x 
1
.
2
Polinomios: Son expresiones algebraicas enteras.
Polinomios en una indeterminada, x, es la expresión de la forma:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0


donde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0 son números reales, llamados coeficientes, 𝑥 es la
indeterminada
Los exponentes de 𝑥 son números enteros no negativos y el grado del polinomio es el mayor
exponente de la variable cuyo coeficiente es diferente de cero.
36

n es un número natural que indica el grado de un polinomio (𝑛𝜖ℕ0 𝑞𝑢𝑒 es el conjunto de los
números naturales que incluye al cero ó el conjunto de los números enteros no negativos).
El grado del polinomio P  x  , se indica con grP  x   n .


an es el coeficiente principal y 𝑎0 es el término independiente o término de grado 0
En el caso particular de que todos los coeficientes sean ceros, el polinomio se denomina
polinomio nulo, se lo indica con  y carece de grado.
Según la cantidad de términos que tenga el polinomio, se llama:
 Monomio
un solo término
 Binomio
dos términos
 Trinomio
tres términos
 …
 …
 Polinomio de grado n.
n términos
Ejemplos:
a) Sea P  x   1 
1 3
x  2x4
2
Es un trinomio de cuarto grado  n  4  , la variable es x, entonces grP(x) = 4.
Los coeficientes son: a0  1,
1
a1  a2  0, a3  , a4   2 , donde el coeficiente principal
2
es a4   2
3
3
es un binomio de grado 1 en la variable y, a0   , a1  3
2
2
R  x   5 Monomio de grado cero, a0  5
Q  y  3y 
S  x  5 x 
T  x 
1
No es un polinomio pues x esta con exponente 1/ 2 .
2
3
No es un polinomio porque x está en el denominador (es una expresión algebraica
2x 1
racional).
A tener en cuenta
 Un número real es un monomio en el cual la indeterminada x tiene exponente 0; Ej: 4 = 4𝑥 0
 Y en particular, si el coeficiente es 0 el monomio resulta 0: 0= 0𝑥 0
 Las potencias de x también son monomios, con coeficiente 1:
 Los monomios son homogéneos cuando tienen el mismo grado
 Los monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal
 El grado de un polinomio con respecto a una de sus indeterminadas está dado por el mayor
exponente con que figure esa indeterminada
 Un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes (o crecientes) de una
indeterminada cuando el exponente de la misma en cada término es menor o igual (mayor o
igual) que en el anterior
37
Operaciones con Expresiones Algebraicas
Suma y Diferencia de Polinomios
La suma y diferencia de polinomios se trabaja haciendo una simple supresión de paréntesis y
agrupando términos semejantes como muestran los siguientes ejemplos:
1) Sumar los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥).
𝑃(𝑥) = 2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 𝑦 𝑄(𝑥) = 4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 ) + (4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4 )
= 2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 + 4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4
= 2 − 3𝑥 2 − 3𝑥 4
2) Restar los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥).
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 ) − (4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4 )
= 2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 − 4𝑥 2 − 5𝑥 3 + 3𝑥 4
= 2 − 11𝑥 2 − −10𝑥 3 + 3𝑥 4
En el ejemplo de la resta o diferencia, al hacer la supresión de paréntesis lo que se ha hecho es
sumar al polinomio P( x) el opuesto del polinomio Q( x) .
Producto de Polinomios
Para efectuar los productos de los polinomios debemos tener en cuenta la propiedad distributiva
del producto respecto de la suma y las propiedades de la potenciación. Veamos algunos ejemplos
para los distintos casos que se nos pueden presentar.
1) Multiplicar 𝑃(𝑥) = 3𝑥 2 𝑦 𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1
(𝑃. 𝑄)(𝑥) = 3𝑥 2 . (2𝑥 − 1)
= 3𝑥 2 . 2𝑥 − 3𝑥. 1 (A)
= 6𝑥 3 − 3𝑥
Se puede observar que el polinomio obtenido en (A) tiene un factor común 3𝑥 2 en ambos
términos. De manera recíproca dado el polinomio: 3𝑥 2 . 2𝑥 − 3𝑥. 1 Se puede obtener el producto:
3𝑥 2 . (2𝑥 − 1)
Esto es:
3𝑥 2 . 2𝑥 − 3𝑥. 1 = 3𝑥 2 . (2𝑥 − 1)
A este procedimiento se los llama extraer factor común en un polinomio
1
2) Multiplicar 𝑃(𝑥) = 2 𝑥 2 + 3𝑥 𝑦
𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1
1
2
1 2
𝑥 . (2𝑥 − 1) + 3𝑥. (2𝑥 − 1)
2
1 2
1
𝑥 . 2𝑥 − 2 𝑥 2 . 1 + 3𝑥. 2𝑥 − 3𝑥. 1
2
1
𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 6𝑥 2 − 3𝑥
(𝑃. 𝑄)(𝑥) = ( 𝑥 2 + 3𝑥) . (2𝑥 − 1)
=
=
=
38
3) P  x   x  a y Q  x   x  a
 P  Q  x    x  a    x  a   x  x  x   a   a  x  a   a 
 x 2  ax  ax  a 2
 x2  a2
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥
𝑦
𝑄(𝑥) = 2𝑥 2 − 3𝑥
(𝑃. 𝑄)(𝑥) = (2𝑥 2 + 3𝑥). (2𝑥 2 − 3𝑥)
= (2𝑥 2 ). (2𝑥 2 ) + (2𝑥 2 ). (−3𝑥) + (2𝑥 2 ). (2𝑥 2 ) + (3𝑥)(−3𝑥)
= (2𝑥 2 )2 − (3𝑥)2
= 4𝑥 4 − 9𝑥 2
El producto de la suma de dos números por su diferencia se convierte en la diferencia de los
cuadrados de los mismos.
4) P  x   Q  x   x  a
 P  Q  x    x  a 
2
  x  a x  a  x  x  x  a  a  x  a  a
 x 2  ax  ax  a 2
 x 2  2 ax  a 2
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥
(𝑃. 𝑄)(𝑥) = (2𝑥 2 + 3𝑥). (2𝑥 2 + 3𝑥) = (2𝑥 2 + 3𝑥)2
= (2𝑥 2 ). (2𝑥 2 ) + (2𝑥 2 ). (3𝑥) + (2𝑥 2 ). (3𝑥) + (3𝑥)(3𝑥)
= (2𝑥 2 )2 + 2. (2𝑥 2 ). (3𝑥) + (3𝑥)2
= 4𝑥 4 + 12𝑥 3 + 9𝑥 2
El desarrollo del cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.
5) P  x   Q  x   R  x   x  a
 P  Q  R  x    x  a 
3
  x  a x  ax  a  x  ax  x  x a  a  x  a a
  x  a    x 2  ax  ax  a 2   x  x 2  x  2ax  x  a 2  a  x 2  a  2ax  a  a 2
 x 3  2 ax 2  a 2 x  ax 2  2 a 2 x  a 3
 x 3  3ax 2  3a 2 x  a 3
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) = 𝑅(𝑥) = 2𝑥 − 3
(𝑃. 𝑄. 𝑅)(𝑥) = (2𝑥 − 3)3
= (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)
= (2𝑥 − 3). (4𝑥 2 + 2.2𝑥. (−3) + 9)
= 2𝑥. (4𝑥 2 − 12𝑥 + 9) − 3. (4𝑥 2 − 12𝑥 + 9)
= 8𝑥 3 − 24𝑥 2 + 18𝑥 − 12𝑥 2 + 36𝑥 − 27
= 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 54𝑥 − 27
También:
(𝑃. 𝑄. 𝑅)(𝑥) = (2𝑥 − 3)3
= (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2 . (−3) + 3.2𝑥. (−3)2 + (−3)3
= 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 54𝑥 − 27
El desarrollo del cubo de un binomio recibe el nombre de cuatrinomio cubo perfecto.
39
IDENTIDADES Y ECUACIONES
Igualdades
Las igualdades matemáticas son las expresiones caracterizadas por el signo " = ".
Una Identidad es una igualdad absoluta, o válida sin condicionamientos, para cualquier valor de las
indeterminadas. Por ejemplo:
7 + 3 = 10
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
Una Ecuación es una igualdad condicionada, es decir que se satisface sólo para determinados
valores de las indeterminadas y en algunas ocasiones no tiene solución. Por ejemplo:
7 + 𝑥 = 10 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 3
2𝑥 − 1 = 𝑥 − 2 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −1
𝑥 2 = 9 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −3
𝑥 + 5 = 𝑥 − 2 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
La condición o condiciones que debe cumplir una ecuación para ser efectivamente una igualdad
están representadas por una letra o varias que reciben el nombre de incógnitas de la ecuación.
Clasificación de las Ecuaciones
Las ecuaciones algebraicas se clasifican:
a) Por su grado;
b) Por el número de sus incógnitas.
3x  2  0
es una ecuación de primer grado con una incógnita.
2x  5 y  8
es una ecuación de primer grado con dos incógnitas
x2  2 x 1  0
es de segundo grado con una incógnita.
¡¡Atención!!Para
determinar el valor de
la o las incógnitas de
una
ecuación,
la
matemática
ofrece
métodos de resolución
para cada clase de
ecuación, sin embargo,
SIEMPRE se debe tener
en
cuenta
las
propiedades de las
operaciones
Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es, por lo tanto, de la forma:
𝑚𝑥 + 𝑏 = 0 donde 𝑚 𝑦 𝑏 son constantes y 𝑥 es la incógnita
¿Cómo podrías formalmente expresar la solución de la ecuación de primer grado con una incógnita?
……
𝑥=
…….
40
Resolución de una ecuación lineal
En toda ecuación se distinguen dos miembros en la igualdad. Una forma de no equivocarse en el
procedimiento de despejar la incógnita es analizar la expresión de afuera hacia dentro, como en
“cáscaras de cebollas”. Mediante ejemplos explicaremos el procedimiento.
Ejemplo 1:
2 x  7  x  1  12  x  2
primer miembro
de la igualdad
Segundo miembro
de la igualdad
En cada uno de los miembros de una ecuación puede o no haber términos semejantes; si los hay, se
debe operar con ellos
3𝑥 + 6 = 14 − 𝑥
Los términos en cada uno de los miembros no son semejantes, por lo que no se puede operar entre
ellos. Entonces, debemos agrupar términos semejantes en cada uno de los miembros, para ello
aplicamos propiedad uniforme: sumamos a ambos miembros   x  y  6  y obtenemos:
3𝑥 + 6 + 𝑥 + (−6) = 14 − 𝑥 + 𝑥 + (−6)
3𝑥 + 𝑥 = 14 − 6
4𝑥 = 8
Aplicar esta propiedad equivale decir
que
pasa sumando al otro
miembro y que
pasa restando
(Pasaje de términos)
Ahora, para despejar definitivamente x, volvemos a aplicar la misma propiedad y dividimos a ambos
miembros por 4. Por último, resolvemos.
Equivale a decir que el 4 que está
4𝑥
8
multiplicando pasa al otro miembro
4𝑥: 4 = 8: 4
o bien:
=4
4
dividiendo (Pasaje de factores)
𝑥=2
𝑥=2
Verificación: a fin de comprobar la validez de la solución se sustituye x por 2 en la ecuación y se
computa el valor de cada miembro. Si los valores así obtenidos son iguales, la solución es correcta.
Para el ejemplo anterior la verificación es:
Primer miembro:
2  2  7  2  1  12
Segundo miembro: 12  2  2  12
Luego x  2 es la solución de la ecuación dada.
41
Ejemplo 2: Calcular el o los valores de x en la siguiente ecuación
2  3x
8
4
2  3x
 4  8  4 Multiplicamos por 4 ambos miembros de la igualdad.
4
2  3x  32
2  3x   2   32   2  Sumamos -2 a ambos miembros de la igualdad.
3 x  30
3x 30

Dividiendo por -3 ambos miembros de la igualdad.
3 3
x  10
Verificación
2  3  10 
8
4
32
8
88
4
Por lo tanto x  10 es la solución de la ecuación.
Actividad: Resuelve de otra manera aplicando Pasaje de términos y de factores
Ejemplo 3: Resuelve el siguiente problema: “El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años
es igual al triple de la edad que tenía hace 5. ¿Qué edad tiene Guillermo actualmente?”


Encuentra la solución probando con diferentes edades. ¿Cuánto tiempo demoraste?
Este es un ejemplo que cuesta encontrar ese valor, pues no cuentas, de antemano, con algunos
valores posibles que puede tomar esta edad. Es este uno de los casos en que el planteo de
ecuaciones ayuda a resolverlo.
¡¡Atención!!
Solución:
Justifica cada paso realizado
2(𝑒 + 6) = 3(𝑒 − 5)
con el nombre de la propiedad
2𝑒 + 12 = 3𝑒 − 15
aplicada
2𝑒 + 12 − 12 − 3𝑒 = 3𝑒 − 15 − 12 − 3𝑒
−1𝑒 = −27
¡¡REALIZA LA
𝑒 = 27
VERIFICACIÓN!!
Respuesta: La edad de Guillermo es 27 años
Respuesta: La edad que actualmente tiene Guillermo es 27 años
42
Inecuaciones Lineales con una incógnita
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo
de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son  ”mayor que”;  “menor que”;  “mayor o igual que” y  “menor
o igual”.
Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos procedimientos que se usan para
resolver una ecuación lineal.
Ejemplos:
1) Resolver 3  x  8 .
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3  x 8
38  x 88
11  x
que es lo mismo que poner x  11
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide o multiplica por un número
negativo, el sentido de desigualdad cambia.
2) Resolver: 5x  12  8x  3
5 x  12  8 x  3
5 x  8 x  12  3
3 x 15

3
3
x5
La interpretación gráfica de la solución de una inecuación es un intervalo del conjunto de los
números reales. Por ejemplo:
La solución del primer ejercicio es x  11, representado por el intervalo  ;11 , lo que
gráficamente seria:
0
11
La solución del segundo ejemplo será:  5;  
0
5
43
Sistemas de ecuaciones lineales
Analicemos ahora las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo: 2𝑥 − 𝑦 = 3
Encontrar una solución es dar un par de números que satisfagan la ecuación. La diferencia con las
ecuaciones lineales con una incógnita es que ahora tendremos infinitas soluciones. Notemos que
si despejamos la incógnita 𝑦 en la ecuación, obtenemos 𝑦 = 2𝑥 − 3
Entonces para cada valor de 𝑥 se obtiene un valor de 𝑦, y este par de números será una solución.
Por ejemplo los siguientes pares de números son soluciones de la ecuación:
𝑥 = 0 𝑦 = −3 ;
𝑥 = −1 𝑦 = −5 ; 𝑥 = 3 𝑦 = 3
En efecto, si reemplazamos estos valores en la ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 3 veremos que se satisface la
igualdad:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto formado por una o más ecuaciones. Lo que caracteriza al
sistema es que se busca una o más soluciones que sean soluciones de todas las ecuaciones
planteadas en el sistema. En esta sección estudiaremos sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas.
Por ejemplo:
2𝑥 − 𝑦 = 3
{
𝑥 + 4𝑦 = −21
Una solución a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de números que son
solución de ambas ecuaciones
Resolución
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se realizan distintas
transformaciones que lo hagan más simple y faciliten su resolución. Se debe transformar el
sistema en otro equivalente, es decir, en otro que conserve las mismas soluciones
En este curso aprenderemos uno de los métodos más sencillos que consiste en despejar la misma
incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes y despejar la otra
incógnita.
2𝑥 − 𝑦 = 3
despejamos cualquiera de las dos incógnitas en ambas ecuaciones, por
𝑥 + 4𝑦 = −21
ejemplo 𝑦, entonces obtenemos un sistema equivalente al dado ya que cada ecuación obtenida es
𝑦 = 2𝑥 − 3
equivalente a las dadas: {
−21−𝑥
Ahora, si 𝑥 𝑒 𝑦 son las soluciones, el valor de 𝑦 en ambas
𝑦= 4
Dado: {
ecuaciones es el mismo, por lo tanto, si 𝑦 = 𝑦 entonces 2𝑥 − 3 =
−21−𝑥
4
. Ha quedado planteada
una ecuación con una incógnita.
Despejando 𝑥, obtenemos: 𝑥 = −1 y reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones
dadas, obtenemos el valor de 𝑦. Obtenemos 𝑦 = −5
La solución es el par de números reales 𝑥 = −1 e 𝑦 = −5. Queda verificar esos valores en cada
ecuación que conforma el sistema de ecuaciones dado.
44
Ecuación Cuadrática o Ecuación Polinómica de Segundo Grado
Es la ecuación de la forma: ax 2  bx  c  0 , donde a, b, c son constantes y a  0 , donde a, b, c
son los coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente respectivamente.
La Fórmula de Baskara: permite determinar el valor de las raíces de la ecuación ax 2  bx  c  0 .
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
Análisis del discriminante:
Si   b2  4ac  0 , la ecuación tiene dos soluciones reales.
b  b2  4ac
x1 
;
2a
b  b 2  4ac
x2 
2a
Si   b2  4ac  0 , la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.
b
2a
Si   b2  4ac  0 , la ecuación tiene no tiene soluciones reales.
x1  x2 
Ejemplo: Encontrar las raíces, si es posible, de la ecuación
a  4, b  5, c  6 :
x1,2 
4 x2  5x  6  0 . Donde
5  52  4  4   6 
24
5  25  96
5  11
5  11
x1,2 
 x1 
; x2 
8
8
8
6
16
x1  ;
x2 
8
8
3
x1  ;
x2  2
4
45
FUNCIONES
El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. La noción
actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV cuando los filósofos escolásticos
medievales comenzaron a preocuparse por medir y representar gráficamente las variaciones de
ciertas magnitudes como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la diferencia de
temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico. El personaje más influyente en este
proceso inicial fue probablemente Nicole Oresme (1323-1382), en Paris
ACTIVIDAD INICIAL
1) “Unos amigos deciden poner un negocio de reparación de computadoras con entrega en el
domicilio del cliente. Para estimar los costos deciden investigar los costos en diferentes
remiserías. La empresa “Remises del Valle” cobra $12 por el servicio más $8 por cada kilómetro
recorrido. Roque, un remisero del barrio, cobra $16 por cada kilómetro que recorre”.
a) Para hacer un viaje de 1 km ¿Cuál de los dos conviene para realizar el envío?¿y si es de
menos de 1km? ¿Por qué?
b) Si el viaje fuera de 5.0 10 km ¿con cuál de los dos se pagará menos?
c) ¿Qué servicio conviene contratar?
d) Si designamos con 𝑥 a la cantidad de km recorridos y con 𝑦 al costo del envío, ¿cuál es la
expresión simbólica que representa la situación de cada remisería?
e) ¿Cuál de los siguientes gráficos resulta adecuado para estimar el costo del transporte
según cada empresa? Explica
46
2) La remisería “Villa Parque” cobra $20 por cada km recorrido.
a) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa lo que cobra esta empresa? ¿Por qué?
b) En algún caso conviene utilizar los servicios de esta remisería?
c) Es cierto que si en un viaje se recorre el doble de km que en otro entonces se pagará el
doble?
3) Discutan con sus compañeros qué empresa elegirían para hacer distintos viajes. Deben
justificar sus respuestas, para ello:
a) Elaboren un cuadro donde se pueda ver cuál empresa conviene en función de la distancia
b) Elaboren la expresión simbólica que permita estimar el costo del viaje en cada caso
47
TRABAJO PRÁCTICO 3
1) Dos amigos hicieron una excursión en bicicleta a un bosque que está a 44 km de su pueblo,
para llegar al cual hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Están allí un rato y
regresan.
Mirando la gráfica contesta:
a) ¿Qué significa cada cuadrito en el eje horizontal de la gráfica? ¿y en el eje vertical?
b) ¿A qué hora salieron?
c) ¿Cuántos km hay desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima? ¿Cuánto tiempo
tardaron en subirla?
d) ¿Cuántos km hay en bajada? ¿Qué tiempo se tardaron?
e) ¿Cuánto tiempo se demoraron en el bosque?
f) ¿Cuánto tardaron en ir del pueblo al bosque? ¿Y del bosque al pueblo? ¿A qué crees que
puede deberse la diferencia?
g) Esta relación tiempo – espacio ¿es función?, justifica tu respuesta
2) Grafique: a) y  2 x  5
b) y   5
c) x= 0,55
3) Dadas las ecuaciones a) 𝑎) 𝑦 = −3𝑥 + 5 𝑏) 𝑦 = 4 𝑐) 𝑥 = −2 Responde:
a) Qué valor corresponde a la variable dependiente 𝑦, cuando la variable independiente 𝑥
toma el valor (-1) en cada una de las ecuaciones. Muestre su respuesta en el gráfico.
b) Qué valor corresponde a la variable independiente 𝑥, cuando la variable dependiente 𝑦
toma el valor 3 en cada una de las ecuaciones.
c) Obtiene las coordenadas de los puntos donde cada recta corta a los ejes coordenados
d) Explique cómo encontró los valores pedidos.
48
4) Las rectas que pasan por el origen del sistema están relacionadas con las magnitudes
directamente proporcionales, consideremos los dos ejercicios siguientes.
a) Si el kilogramo de pan vale $ 2,4. ¿Cuánto vale 2 kg? ¿Cuánto vale medio kg? ¿Cuánto vale
5 kg? Encuentre la ecuación de la recta que relaciona el peso con el precio y Realice el
gráfico.
b) Si la bajada de bandera del taxi vale $ 2 y el Kilómetro de recorrido $ 0,9 ¿Cuánto cuesta
un viaje de 4 km?¿Cuánto cuesta un viaje de 2 km? ¿Cuánto cuesta un viaje de 7 km?
Encuentre la ecuación que relaciona los kilómetros con el costo del viaje y Realice el
grafico.
5) Grafique las siguientes rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. Luego, analice y
obtenga conclusiones:
1
e) 𝑦 = −3𝑥 + 6
a) 𝑦 = 2 − 2 𝑥
f) 𝑦 = −3𝑥 − 9
b) 𝑦 = 4 − 2𝑥
g) 𝑦 = 2𝑥 − 4
1
c) 𝑦 = 2 𝑥 − 2
h) 𝑦 = −2𝑥 − 5
2
d) 𝑦 = 3 𝑥 − 2
i) 𝑦 = 2𝑥 − 1
6) Obtenga la ecuación de la recta que pase por el punto dado y tenga la pendiente indicada:
2
a) (3; 4), 𝑚 = 2
d) (8; 0), 𝑚 = −
3
b) (1; −2), 𝑚 = 0
e) (0; 0), 𝑚 = 5
c) (−3; 5), 𝑚 = −2
7) Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados:
a) (−1; 2), (2; −1)
b) (1; 1), (−1; −1)
c) (3; 0), (0; −3)
8) Determinar las ecuaciones de las siguientes rectas, indique las pendientes y las ordenadas al
origen
49
9) Dos rectas paralelas a los ejes coordenados se intersecan en el punto (5; −7). ¿Cuáles son sus
ecuaciones?
10) Las rectas 𝑙1 y 𝑙2 son perpendiculares entre sí y se interceptan en el punto (−2; −6). 𝑙1 tiene
2
pendiente igual a − 5. Con la pendiente de 𝑙2 determine la ordenada al origen de esa recta.
11) Toda recta horizontal es perpendicular a cualquier recta vertical. ¿Por qué se excluyeron esas
del resultado que dice que las rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son
inversas y opuestas?
12) Dadas las siguientes funciones determina: Las coordenadas del vértice, La ecuación del eje de
simetría, Las raíces, el dominio y La imagen.
a) 𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 14
b) 𝑦 = −𝑥 2 − 6𝑥 − 14
c) 𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 1
1
d) 𝑦 = 2 𝑥 2 − 4𝑥 + 9
13) Encuentre la coordenada y de las funciones a) y b) del ejercicio anterior cuando la variable
independiente toma el valor ¾. Encuentre la coordenada x de las funciones c) y d) del ejercicio
anterior cuando la variable independiente toma el valor 6
50
FUNCIONES
La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de Relación –
Función. En la vida cotidiana frecuentemente se ha tenido experiencias con correspondencias
o Relaciones. Por ejemplo:
 En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.
 A cada número le corresponde una segunda potencia
En estos ejemplos se relacionan dos variables: en el primero son artículo y precio, una es
alfanumérica y la otra numérica; en el segundo ejemplo, ambas variables son numéricas.
El precio depende del artículo, entonces el precio es la variable dependiente y el nombre del
artículo es la variable independiente
 Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Codominio o Imagen, de manera que: a cada elemento del Dominio le
corresponde uno o más elementos del Codominio.
 Una Función es un tipo especial de relación a la que se añade la restricción de que: a cada
valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Codominio.
Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
En general la noción de FUNCIÓN involucra tres cosas:
(1) un conjunto D llamado DOMINIO,
(2) un conjunto C que se llama CODOMINIO o IMAGEN y
(3) una regla que le hace corresponder a cada elemento de D un elemento (y solamente uno)
de C.
Definición:
Una función 𝒇 de 𝑨 en 𝑩 (𝒇: 𝑨 ⟶ 𝑩), es una relación que le hace corresponder a cada
elemento 𝒙 𝝐 𝑨 uno y sólo un elemento 𝒚 𝝐 𝑩, llamado imagen de 𝒙 por 𝒇, que se escribe
𝒚 = 𝒇(𝒙). (se lee igual a
de )
La letra 𝒙 representa a todos los valores del conjunto A que tienen su correspondiente imagen
en B.
 Se denomina a 𝒙 variable independiente y al conjunto de todos los valores que puede
adoptar 𝒙 se llama Dominio de la función
 Como a cada valor de 𝒙 le corresponde un único valor de 𝒚 , se dice que 𝑦 depende de 𝒙
o que 𝒚 es una función de 𝒙 , es decir, 𝒚 es la variable dependiente. El conjunto de todos
los valores que puede adoptar 𝒚, la variable dependiente, se llama Codominio o Imagen de
la función
Tanto las relaciones como las funciones pueden ser representadas de varias formas: utilizando
Diagramas de Venn, fórmulas, y la forma más frecuente de representación gráfica es en un
sistema de ejes cartesianos. Ejemplos:
𝑦 = 2𝑥 2
51
Dominio
Codominio
Nombres
Calificaciones
 Juan
 8.50
 Pedro
6
 María
 10
 Daniela
5
RAZONES Y PROPORCIONES
Razón: Es el cociente entre dos magnitudes, distintas de cero, expresadas en la misma unidad.
Ejemplo:
Las edades de dos hermanos son 9 y 12 años, entonces la razón entre la edad del menor y
del mayor es:
Proporción: Una proporción está formada por una igualdad entre dos razones:
𝑎 𝑐
=
𝑏 𝑑
Donde a, b, c y d son distintos de cero y se lee " 𝒂 es a 𝒃 como
3
4
Por ejemplo,
𝑦
6
8
𝒄 es a
𝒅 ".
son dos razones iguales, entonces podemos construir la proporción:
3 6
=
4 8
Que se lee " 3 es a 4 como 6 es a 8 ".
Es decir, para tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean
equivalentes. Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa.
Ambas sirven para resolver problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En cada proporción se cumple lo siguiente:
𝒂
𝒃
𝒄
= 𝒅 si y solo si 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐
En esta relación a y d reciben el nombre de extremos, b y c se los llama medios.
Ejemplos:
a)
3
6
= 8 pués 3 × 8 = 4 × 6
4
b) Las alturas de dos edificios están en la razón
¿cuánto mide el segundo?
4 / 5. Si el primero mide
20 (m),
Solución:
20(𝑚)
𝑥(𝑚)
4
= 5 ⇒ 𝑥 = 25
Respuesta: el segundo edificio mide 25 (m)
52
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD

DIRECTA: En el ejemplo 2 de la actividad introductoria: La remisería “Villa Parque”
cobra $20 por cada km recorrido. Es decir a 0km, el costo es $0, a doble de kms
recorridos le corresponde el doble en el costo. Por eso decimos que el costo es
proporcional a la distancia. La función que los relaciona es una Función de
Proporcionalidad directa.
Cuando las variables independiente y dependiente son directamente proporcionales,
es decir, cuando al aumentar la variable independiente, la dependiente también
aumenta en la misma proporción, son Funciones de Proporcionalidad Directa. Su
gráfica es una recta que pasa por el origen. Su fórmula general es 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙, donde
m es una constante de proporcionalidad

INVERSA: Cuando las variables independiente y dependiente son inversamente
proporcionales, es decir cuando aumenta la variable independiente la variable
dependiente disminuye en la misma proporción, y cuando disminuye la variable
independiente la variable dependiente aumenta en la misma proporción, entonces
la función que las relaciona se dice que es de proporcionalidad inversa.
𝒂
Las funciones de este tipo tienen la siguiente forma: 𝒇(𝒙) = 𝒙, siendo “𝒂” un
coeficiente de proporcionalidad. Su gráfica es una curva llamada hipérbola. El
dominio es el conjunto formado por todos los números reales que no anulen el
denominador.
1
El ejemplo más sencillo es 𝑦 = 𝑥 El dominio es 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0}. Su gráfica
es:
53
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal, definida en ℝ, es aquella que a cada número real x le hace corresponder
otro número real que responde a la expresión:𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 o bien 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, con mϵℝ
y bϵℝ . A " " se lo llama ordenada al origen y "𝑚" se la denomina pendiente
 La representación gráfica de esta función es una recta
 La ordenada al origen es la ordenada del punto donde la gráfica de la función corta al
eje y. El punto (0;b) pertenece a la recta
 La pendiente representa cuánto varía y por cada unidad que aumenta x. La pendiente
es un número asociado a la inclinación de la recta
 Si conocemos las coordenadas de dos puntos de una recta podemos determinar el
valor de su pendiente mediante la fórmula:
𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ); 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 )
𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Para graficar:
Si conocemos la pendiente de la recta y la ordenada al origen, podemos graficar la recta.
Ejemplo: Graficar la recta: y 
2
x 1
3
Solución: Se debe ubicar primero la ordenada al origen, o sea 1 , que corresponde al punto
 0,1 . Siempre la ordenada al origen se la ubica en el en el eje y . A partir de ese punto se
aplica el concepto de pendiente: desplazar hacia arriba dos lugares en sentido positivo del eje
y , porque el valor de m es positivo, (de ser negativo se debe desplazar hacia abajo) y se
desplaza tres hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x ). Por esos dos puntos se traza
la recta.
54
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática, definida en ℝ, es aquella que a cada número real 𝑥 le hace
corresponder otro número real que responde a la expresión 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
a ϵ ℝ es el coeficiente cuadrático, b ϵ ℝ es el coeficiente lineal y c ϵ ℝ es el término
independiente. La representación gráfica es una parábola, cuyos elementos son:
Eje de simetría
Raíces o
ceros
Vértice
A tener en cuenta
 Los ceros o raíces son los puntos donde la parábola corta al eje x. Las coordenadas se
obtienen haciendo y = 0 , es decir 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 . La solución de esta ecuación se
obtiene mediante la aplicación de la fórmula de Baskara arrojando como soluciones 𝑥1 ; 𝑥2
 La abscisa del vértice se puede obtener de dos maneras:
−𝑏
𝑥 +𝑥
𝑥𝑣 = 2𝑎
o bien
𝑥𝑣 = 1 2 2
Ademas 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣 ) de este modo el vertice tiene coordenadas 𝑉(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 )
 La ecuación del eje de simetría es 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
Para graficar
Se debe determinar por lo menos tres puntos: las dos raíces y el vértice.
Ejemplo: Graficar f ( x)  x 2  5x  6
Solución: La ordenada al origen es 6 , por lo tanto se sabe que el punto  0, 6  pertenece a
la función.
b
5

2a
2
El valor yv puede encontrase reemplazando el valor xv obtenido en la función original.
Para hallar el vértice de la parábola:
xv  
25 25
25  50  24
49
 5  5
 5
f         5.     6 
 6 

4 2
4
4
 2  2
 2
 5 49 
El vértice están en   , 

4 
 2
2
55
Ahora se calculan las raíces:
x1,2 
x1,2 
b  b 2  4ac
2a
5  52  4 1 6 
2 1
5  7

x 
1
5  49  1
2


2
 x  5  7  6
 2
2
Los ceros o raíces de la función están en
 6, 0  y 1, 0  .Con estos tres puntos se puede
trazar la parábola:
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1
x
0 1
56
TRIGONOMETRÍA
La Astronomía de los matemáticos griegos (Pitágoras y sus seguidores) en los siglos VI, V y
IV a.C., consistió en descripciones aventuradas de los astros. Más adelante se evidencia la
necesidad de hacer de la Astronomía una ciencia exacta fundada en una matemática
apropiada que permita predecir con
precisión
los movimientos
de los astros para hacer los
TRABAJO
PRÁCTICO
4
calendarios más exactos y la navegación más segura. Así nació la Trigonometría con
Hiparco, un griego del siglo II a. C.
ACTIVIDAD INICIAL
“Un grupo de amigos decide calcular las alturas de todos los árboles de una plantación. Para
ello deciden clavar una estaca de 1,20m y medir las longitudes de las sombras de la estaca, que
es 75cm, y de cada árbol. El procedimiento matemático que utilizarán será el de comparar las
longitudes de triángulos semejantes”
a) Realiza un dibujo o un esquema que represente la situación. Ayúdate dibujando
triángulos semejantes (Utiliza la propiedad estudiada en el módulo de funciones)
b) Escribe la relación entre las cuatro longitudes (tres conocidas y una incógnita)
c) Analiza y debate con tus compañeros diferentes estrategias de resolución para
calcular la altura de dos árboles A y B cuyas sombras son 2,25m y 3,50m
d) Al pasar el tiempo, la sombra de la estaca cambió, ahora es de 90 cm, también la
sombra de los árboles A y B ¿Cambiará la altura de los mismos?
TRABAJO PRÁCTICO 4

1) Dado el triángulo A B C calcular los datos que faltan:
Cˆ  60º ;
b) Bˆ  50º ;
a)
AB  11m;
d) Cˆ  30º 40' ;
c)
BC  100 m
BC  7 cm
AC  8 m
AB  15 m
2) Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) Un edificio proyecta una sombra de 20 m de largo. Si el ángulo de visión desde la punta de la
sombra al punto más alto del edificio es de 69º, ¿Cuál es la altura del edificio? (el ángulo de
visión se mide respecto de la horizontal)
b) Desde un acantilado de 50 m de altura se ve un barco, si el ángulo de la visual es de 70º. ¿A
qué distancia del acantilado se encuentra el barco?
c) Para conocer la altura de la torre hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más
alto, obteniendo un resultado de 43º. Al acercarnos 15 m hacia la torre obtenemos un nuevo
ángulo de 57º, ¿cuánto mide la torre?
57
d) Para calcular la altura de un edificio un hombre que estaba ubicado a 150 m de él calcula
que el ángulo de elevación es de 20º; si la altura del hombre es 1,70 m, ¿cuál es la altura
aproximada del edificio?
e) La parte superior de una escalera de 20 m está recostada contra el borde del techo de una
casa. Si el ángulo de inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿cuál es la altura
de la casa?
f) El asta de una bandera está localizada al borde de un precipicio de 50 m, a la orilla de un río
de 40 m de ancho. Un observador al lado opuesto del río mide un ángulo de 3º entre su línea
de observación a la punta de la bandera, y su línea de observación a la cima del precipicio.
Encuentra la altura del asta de la bandera.
g) Dos lados de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de los ángulos iguales 25º.
Resuelve el triángulo.
h) Determina la altura de un árbol si desde el punto situado a 20 m de su base se observa su
copa con un ángulo de 65º 23’.
i) La sombra que proyecta Luis al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo que
forman los rayos solares con el suelo es 37º. ¿Cuánto mide Luis?
j) Un globo se encuentra a 150 m de altura. Desde un punto, la línea visual forma un ángulo de
37º 4’. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra el globo del observador?
3) ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
a) Si 0  x  45º entonces cos x  0 .
b) Si 0  x  45º entonces sen x  cosec x
c) Si 0  x  45º entonces sen x  tg x
4) Encuentre los valores de las restantes funciones trigonométricas del ángulo agudo a .
a) sen a  3
7
b) tg a  1,5
c) cos a  0,3
5) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = sen x
6) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = cos x
7) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = tan x
58
TRIGONOMETRÍA
Razones Trigonométricas
Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un
triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
En el siguiente triangulo rectángulo se describen los lados de los mismo en relación al ángulo
 .
hipotenusa
Cateto opuesto

Cateto adyacente
Para cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es el
adyacente y otro es el opuesto.
El seno de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto a un ángulo y la hipotenusa.
El Coseno de un ángulo es el cociente entre el cateto adyacente a un ángulo y la
hipotenusa:
La Tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a
mismo ángulo:
También podemos definir sus recíprocas:
A tener en cuenta:
 Las razones trigonométricas dependen exclusivamente de la amplitud del ángulo agudo
considerado, no de las longitudes de los lados. (Puesto que de cambiar éstas, obtendremos
un triángulo rectángulo semejante y sus lados serán proporcionales al triángulo dado). Por
ello, podemos hablar de funciones trigonométricas, cuya variable independiente es la
amplitud del ángulo
 Solo en triángulos rectángulos se pueden definir todas las funciones trigonométricas de
sus ángulos agudos.
 Solo en triángulos rectángulos vale el Teorema de Pitágoras
 En un triángulo rectángulo están bien definidas todas las funciones trigonométricas, ya
que son cocientes de longitudes, es decir, de números positivos.
 En el caso del seno y coseno al dividir un cateto en la hipotenusa, el numerador es menor
que el denominador siempre, por ello se debe obtener un numero estrictamente menor a
1 y mayor que 0.
 En el caso de la tangente se puede dar que el numerador sea menor que el denominador o
la situación contraria, por ello se puede obtener cualquier número positivo.
59
 En los triángulos rectángulos no se pueden definir las funciones trigonométricas de 90º ya
que no se puede hablar de cateto opuesto o adyacente porque ambos catetos forman el
ángulo.
 En el triángulos rectángulos no se pueden definir las funciones trigonométricas de 0º, dado
que si ∡𝑎 = 0 entonces no hay triángulo.
 Los ángulos agudos de los triángulos rectángulos,  y  , son complementarios, por ello
se puede concluir que:
sen  cos 
tg  cot g
cos   sen
cot g  tg
sec  cos ec
cos ec  sec
Relaciones entre los valores de las funciones trigonométricas de un mismo ángulo
Identidad Trigonométrica Fundamental: Esta identidad relaciona el seno y coseno de un
sen 2  cos2   1
mismo ángulo
También se llama Relación Pitagórica, porque surge de aplicar el teorema de Pitágoras. A partir
de esta relación podemos deducir:
sen   1  cos2 
cos    1  sen 2
En este caso, de triángulos rectángulos se debe seleccionar los valores positivos para el seno y
coseno.
Por definiciones, se puede obtener las diferentes relaciones entre los valores de las funciones
trigonométricas de un mismo ángulo, entre ellas
co sec  
1
1
; s ec 
sen
cos 
;
cot g 
cos 
sen
Funciones Trigonométricas de un Ángulo
Es posible definir las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier amplitud. Para ello
es necesario considerar ángulos dirigidos.
Un ángulo dirigido es un ángulo con vértice en el origen de un sistema de ejes cartesianos, que
tiene lado inicial, lado terminal, amplitud y sentido. Se considera sentido positivo al sentido
contrario al que giran las agujas del reloj, y sentido negativo, al sentido en que giran las agujas
del reloj. El lado inicial del ángulo es el semieje positivo de las x .
Cuando dos ángulos tienen el mismo lado terminal se dice que son coterminales. Son ángulos
que difieren en múltiplos enteros de 360º (2 ) .
Por ejemplo:  y   k.360º , o bien,  y   2k , con k  IN son ángulos coterminales
Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo se lo ubica en un sistema de ejes
coordenados, se toma un punto cualquiera p en su lado terminal, de coordenadas  x, y  y
que dista r unidades del origen de coordenadas.
Las funciones trigonométricas quedan definidas de la siguiente manera:
60
y
r
x
cos  
r
y
tg  , x  0
x
sen 
P(x,y)
r
α
x
y
cos ec 
sec  
r
y
r
x
cotg 
x
,y0
y
A tener en cuenta:

Las funciones trigonométricas de un ángulo no dependen del punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que se tome
sobre el lado terminal. Si se toma otro punto 𝑄(𝑥, 𝑦), al proyectarlo sobre el eje x ,
determina un triángulo semejante al que determina P al proyectarlo sobre el eje x , y las
cantidades





y
y
e
, por ejemplo, resultan iguales, lo mismo resulta para todos los otros
r
r
cocientes.
Las funciones trigonométricas sólo dependen del ángulo
Los ángulos coterminales tienen las mismas funciones trigonométricas.
Las únicas funciones trigonométricas que están definidas para todo ángulo  son seno y
coseno, ya que r es el único número que nunca es cero.
La función seno y cosecante son funciones inversas, así como lo son coseno y secante, y
tangente con cotangente
La tangente y secante están definidas siempre que x  0 , por lo tanto están definidas para
todo ángulo  que no termine en el eje y , es decir para  


 3
,
y sus ángulos
2 2
coterminales.
De manera análoga, la cotangente y la cosecante están definidas siempre que y  0 , por
lo tanto están definidas para todo ángulo  que no termine en el eje x , es decir para
  0,  y sus ángulos coterminales.
Ya que el lado terminal del ángulo puede estar en cualquier cuadrante, las funciones
trigonométricas pueden tener diferente signo, dependiendo de los correspondientes
signos de x e y , pues r siempre es un número positivo.
En consecuencia:
sen  0 y cos ec  0 en el primero y en el segundo cuadrante, pues en estos " y " es
positiva.
cos   0 y s ec  0 en el primero y en el cuarto cuadrante, pues en estos " x " es positiva.
tg  0 y co tg  0 en el primero y en el tercer cuadrante, pues en estos " x " e " y "
tienen el mismo signo.
Recordando lo analizado para los valores de las funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo, se puede deducir que para ángulos de cualquier amplitud:
sen y cos  toman valores entre 1 y 1 .
sec y cos ec toman valores mayores o iguales que 1 y menores o iguales que 1 .
tg y co tg pueden asumir cualquier número real
61