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Álgebra ‐ Matrices y Determinantes
2016
Desarrollo por cofactores Cálculo de Determinantes Existen varios métodos para calcular un determinantes. A excepción de la regla de Sarrus,
todos aplican para determinantes de cualquier orden.
Matriz triangular Si es una matriz triangular (superior o inferior) entonces su determinante será el producto de
los elementos de la diagonal principal:
det
1
1
2
4
1
3
2
4 3
2
1
4 ~ 0
3
0
4
5
5
2
1
6 ~ 0
1
0
4
5
0
2
6
5
det
aplicando los cofactores sobre el primer
25 4
2
1
4
3
3
1 3
1 3 2
2 4
4
2
1 2
3
4 1
3 1 4
3 6 32
4 12 12 ⇒ 29 4
25 1
1
2
4
1
3
1
2
4
3
1
1
3
1
3 12
9 44 10 ⇒
EJEMPLO. Calculando el determinante del ejemplo anterior.
1 Ing. Aldo Jiménez Arteaga ,
es un número entero tal
renglón.
Obedece al producto por medio de las diagonales de los determinantes de orden 2 y orden 3.
es una matriz de orden , y
EJEMPLO. Nuevamente, se calcula el determinante
Regla de Sarrus 1
1
2
1
. El número de cofactores de una matriz es igual al
Ambas expresiones son equivalentes para el obtener un determinante.
det
det
de
det
puede reducirse a una matriz triangular (escalonada) por medio de transformaciones
elementales. La única restricción es que se aplique la transformación
→ . De otra
forma, el valor del determinante se verá afectado.
en la matriz , puede cambiar o no de signo.
1
El método de los cofactores dice: si
que 1
, entonces
det
4
1
3
Dependiendo de la ubicación del elemento
Ese número se calcula tal que
y es conocido como cofactor
número de menores.
EJEMPLO. El determinante
1
1
2
Sea una matriz de orden y
es el determinante de la matriz de orden
1 obtenida
es conocido como el menor
de al eliminar el renglón y la columna . El determinante
de . Una matriz de orden , tendrá menores.
4
3
4 3
25 1
8
1
4
2 3
2 3 2
4
1
2
1
2
1
3
Pivoteo Permite utilizar la transformación elemental
→
sucesivamente hasta obtener un
renglón o una columna más cómodo(a) para aplicar cofactores.
1.
Se elige la columna o el renglón que contenga el mayor número de ceros posibles.
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2016
2.
De la línea elegida se toma el elemento más cercano a cero; se aplica la transformación
elemental →
para obtener ceros a lo largo de la línea elegida.
3.
Se calcula el determinante por el método de cofactores.
EJEMPLO. Aplicando el pivoteo al determinante
det
1
1
2
2
5
4 ~ 0
3
5
5
1 2 2 1
5
1
1
45 70
25 4
1
3
14
9
Para la matriz
14
0
9
10
11
15
3
4
10
⇒
3
5
11
de orden ,
1
adj det
Es de suma importancia calcular primero el determinante, ya que un valor nulo implicaría que
la matriz es singular.
1
0
2
por su
4 1
2 2 1 5
Al calcular su determinante
EJEMPLO. Sea la matriz
| |
3 4 1
0 5 2
2 1 1
se obtiene al calcular cada cofactor:
5
2⇒3
0 4 ⇒4
0 10 ⇒ 10
4 1 ⇒ 3
3 2⇒ 5
3 8 ⇒ 11
8 5⇒3
6 0 ⇒6
15 0 ⇒ 15 2 Ing. Aldo Jiménez Arteaga 3
6 15
puede calcularse como
EJEMPLO. Sea la matriz
La matriz transpuesta, que se obtiene al sustituir cada elemento
de una matriz
respectivo cofactor , se le llama matriz adjunta de ; se la denota por adj .
4
5
6
Cálculo de la matriz inversa por medio de la adjunta Matriz Adjunta La adjunta de
3
3
3
adj
se obtiene su valor.
4
1
3
Entonces, la matriz adjunta es:
se concluye que
10
6
8 0
2
16
4
2
es no-singular. Su matriz adjunta es
adj
12
4
4
19
3
7
10
2 2
12
4
4
19
3
7
10
2 2
Por lo tanto, la inversa requerida es
1
8
0