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Álgebra ‐ Matrices y Determinantes
2016
1
0
0
1
Matriz Identidad 2
En las matrices cuadradas existe el elemento neutro para la multiplicación: la matriz identidad.
Esta matriz tiene orden , y queda representada como:
2
2
2
cuyo escalonamiento es
1
0
0
⋮
0
donde el producto de una matriz


0
1
0
⋮
0
0
0
1
⋮
0
de orden
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
0
0
0
⋮
1
1
0
2
0
por una matriz identidad es
(postmultiplicación)
(premultiplicación)
∙
∙
Con la matriz identidad se plantea la posible existencia del elemento inverso para la
multiplicación de matrices:
∙
∙
una matriz
, tal que
1
no tiene inversa. Esto se pude demostrar encontrando
2
1
2
2
2
.
1 0
0 1
1
2
2
2
Por la igualdad entre matrices, se plantea el sistema de ecuaciones.
1 Ing. Aldo Jiménez Arteaga 1
0
2
0
⋮
⋮
⋮
⋮
1
0
~
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
1
0
2
1
en donde existen dos ecuaciones degeneradas; por lo tanto, el sistema no tiene solución y la
matriz dada no tiene inversa (es singular).




es única.
.
.
,
0. Cálculo de la inversa por transformaciones elementales ⇒ Si es la matriz identidad, entonces es una matriz cuadrada invertible (no-singular) y es
una matriz cuadrada única inversa de . Se la representa como
. La relación entre una
matriz y su inversa es simétrica. No todas las matrices cuadradas tienen inversa.
1
2
0
1
0
2
La matriz inversa cumple que
Matriz Inversa EJEMPLO. La matriz
0
1
0
2
Una matriz inversa puede obtenerse a partir de una matriz dada mediante transformaciones
elementales. Estas operaciones establecen una matriz elemental, que es una matriz identidad
a la cual se le aplicó una transformación elemental :
. Una transformación
elemental en una matriz puede obtenerse con el producto .
Si es una matriz no-singular, entonces puede reducirse a la matriz identidad por medio de
transformaciones elementales. Si la matriz
representa a la transformación
realizada
sobre , entonces se tiene que
…
…
Álgebra ‐ Matrices y Determinantes
2016
y por definición de matriz inversa
…
. Nuevamente, se invoca al método
de eliminación Gaussiana, esta vez para encontrar la inversa de una matriz. Existe una
variación mínima en el método:
1.
Se construye una matriz
de orden
derecha la matriz identidad; es decir,
2 . A la izquierda está la matriz
⋮
2.
y a la
⋮
La matriz resultante será la inversa de . Si en el proceso se genera algún renglón nulo en
la parte izquierda, entonces es singular.
Primero se forma el arreglo
2
4
1
.
3
2
4
1 ⋮
3 ⋮
1 0
0 1
y se aplican transformaciones elementales hasta llegar a la forma canónica escalonada.
2
4
~
2
0
1 ⋮ 1 0
2
~
3 ⋮ 0 1
0
0 ⋮
1 ⋮
Por lo que la matriz inversa es
2 Ing. Aldo Jiménez Arteaga ⋮
Para dos matrices





⋮
y , y un escalar
1
⋮
⇒
⋮
⋮
⋯
⋯
⋱
⋯
⋮
se cumple que
.
.
.
.
tr
.
tr
Al conjuntarse la transposición y la conjugación en una sola se obtienen las matrices
conjugadas transpuestas, denotadas como
1 ⋮ 1 0
~ 1 ⋮ 2 1
1 0 ⋮
3 1
~
2 1
0 1 ⋮
2
⋯
⋯
⋱
⋯
Cuando los elementos de una matriz son números complejos, entonces pueden conjugarse.
La conjugación somete a a obtener el conjugado de cada uno de sus elementos; se denota
como ̅. Las propiedades que cumplen estas matrices son las mismas que las propiedades
del conjugado en los números complejos.
.
⋮
Las matrices pueden realizar transformaciones entre sus columnas y sus renglones; dicha
acción se conoce como transposición. La matriz transpuesta de , denotada por
, se
obtiene al intercambiar sus renglones por sus columnas:
Mediante transformaciones elementales se lleva a la matriz
a su forma canónica
escalonada. De esta forma la matriz identidad aparecerá a la izquierda, y a la derecha se
obtendrá una matriz ; es decir
EJEMPLO. Encuentra la matriz inversa de
Transposición y Conjugación de Matrices 2 1
∗
̅ ⇒
No importa qué operación se aplique primero, el resultado será siempre el mismo. Para dos
matrices y , y un número complejo , se establece que





.
̅∙
∗ ∗
∗
∗
∗
tr
∗
∗
.
∗
∗ ∗
tr .
.
∗
.