Download Guía de Lectura N° 2.

UNEFA
GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA
NÚCLEO CARABOBO-EXTENSIÓN GUACARA
ASIGNATURA:
Álgebra Lineal
PROF:
Ing. Alexander Zavala
GUÍA DE LECTURA N° 4.
Unidad N° 2
MATRICES Y DETERMINANTES
1. PERMUTACIONES: Una permutación del conjunto de enteros 1,2,3,..., n es un arreglo de éstos en
algún orden sin omisiones ni repeticiones.
En general, el conjunto
1,2,3,..., n tiene nn  1n  2n  3...2.1  n! permutaciones diferentes.
Para denotar una permutación general del conjunto
que en una permutación
1,2,3,..., n se escribirá  j1 , j 2 , j3 ,..., j n  . Se dice
 j1 , j 2 , j3 ,..., j n  ocurre una inversión siempre que un entero mayor precede a
uno menor. El número total de inversiones que ocurren en una permutación puede obtenerse como sigue:
(1) encontrar el número de enteros, que son menores que j1 y que están después de j1 en la permutación;
(2) encontrar el número de enteros, que son menores que j2 y que están después de j2 en la permutación.
Continuar este proceso de conteo para j3,..., jn-1. La suma de estos números es el número total de
inversiones que hay en la permutación.
Ejemplo: Determinar el número de inversiones que hay en las siguientes permutaciones:
a) (6,1,3,4,5,2)
b) (2,4,1,3)
c) (1,2,3,4)
Solución:
a) N° de inversiones= 5+0+1+1+1=8
b) N° de inversiones= 1+2+0=3
c) N° de inversiones= 0+0+0=0
DEFINICIÓN: Se dice que una permutación es par si el número total de inversiones es un entero par, y
es impar si el número total de inversiones es un entero impar.
Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
1
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2.
DEFINICIÓN DE DETERMINANTES.
2.1.
Producto Elemental: Por producto elemental de una matriz Anxn se entiende cualquier
producto de n elementos de A, de los cuales ningún par de elementos proviene del mismo
renglón (o fila) o de la misma columna.
Ejemplo: Enumerar los productos elementales de las matrices:
 a11
a) 
 a 21
 a11

b)  a 21
a
 31
a12 

a 22 
a13 

a 23 
a 33 
a12
a 22
a 32
Solución de a): Cada producto elemental tiene dos factores: a1_a2_
Como ninguna pareja de factores proviene de la misma columna, entonces las columnas no se
repiten:
1,2  2! 2
permutaciones. Así los productos elementales son:
a11a22 y a12 a21 .
Solución de b): Cada producto elemental tiene tres factores: a1_a2_a3_
Como ninguna pareja de factores proviene de la misma columna, entonces las columnas no se
repiten:
1,2,3  3! 6 permutaciones para las listas de productos elementales:
a11a 22 a 33
a12 a 21a 32
a13 a 21a 32
a11a 23 a 32
a12 a 23 a 31
a13 a 22 a 31
Una matriz Anxn tiene n!

productos elementales. Son los productos de la forma
a1 j1 a 2 j2 ...a njn , donde  j1 , j 2 ,..., j n  es una permutación del conjunto 1,2,3,..., n .
Por un producto elemental con signo de A, se entenderá un producto elemental
a1 j1 a 2 j2 ...a njn multiplicado por +1 o por -1.
Si
 j1 , j 2 ,..., j n  es una permutación par, se usa el signo positivo, y si  j1 , j 2 ,..., j n  es una
permutación impar, se usa el signo negativo.
Ejemplo: Enumerar los productos elementales con signo de las matrices:
 a11
a) 
 a 21
a12 

a 22 
 a11

b)  a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13 

a 23 
a 33 
Solución de a):
Prod. Elemental
Permutación
Par o impar
Prod. Elem. con signo
a11a22
(1,2)
Par
a11a22
Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
2
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(2,1)
Impar
 a12 a 21
Prod. Elemental
Permutación
Par o impar
Prod. Elem. con signo
a11a 22 a33
(1,2,3)
Par
a11a 22 a33
a12a21a32
(2,1,3)
Impar
- a12a21a32
a13a21a32
(3,1,2)
Par
a13a21a32
a11a23a32
(1,3,2)
Impar
- a11a23a32
a12a23a31
(2,3,1)
Par
a12a23a31
a13a22a31
(3,2,1)
Impar
- a13a22a31
a12 a21
Solución de b):
DEFINICIÓN: Sea A una matriz cuadrada. La Función Determinante se denota por det(A)
ó
A y se define como la suma de los productos elementales con signo de A. El número
det(A) ó A se denomina determinante de A.
El determinante de A a menudo se escribe simbólicamente como
donde
A    a1 j1 a 2 j2 ...a njn
 indica que los términos deben sumarse sobre todas las permutaciones
 j1 , j 2 ,..., j n  y los signos + ó – se eligen en cada término según si la permutación
es para
o impar.
2.2.
Evaluación de Determinantes de 2x2 y 3x3:
a) Si
a
A   11
 a 21
número
a12 
 es una matriz de 2x2, se llama determinante de A al
a 22 
A  a11a 22  a12 a 21 y se denota por det(A) ó A .
a11
a12
a 21
a 22
Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
 a11a 22  a12 a 21
3
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b) Dada
la
matriz
A3x3,
 a11

A   a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13 

a 23 
a 33 
se
tiene
que
A  a11a 22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a32 - a11a23a32
Así,
a11
a12
a13
a11
a12
a 21
a 22
a 23
a 21
a 22
a 31
a 32
a 33
a 31
a 32
Método de la lluvia cruzada
O, suele usarse la Regla de Sarrus que consiste en un esquema gráfico para los productos
positivos y otro para los negativos.
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 (Para los 3 productos positivos)
a 31
a 32
a33
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 ( Para los 3 productos negativos)
a 31
a 32
a33
Ejemplo: Evaluar los determinantes:
2 3
 1


B    4 5 6
 7  8 9


3 1 

A  
 4  2
3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta.
A  AT
2. Si en un determinante se intercambian dos filas o dos columnas entre sí, éste cambia de signo.
A A
Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
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Por ejemplo:
3
5
1
2
 2 1
7
4  30  40  7  28  12  25  44
5
3
7
1
4
2  12  25  28  40  7  30  44
2
5
1
5
3. Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un mismo número, el
determinante queda multiplicado por dicho número.
ka11
ka12
ka13
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23  k a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 32
a 33
a 31
B k A
4. Si todos los elementos de una fila o columna de A son nulos, el determinante también lo es.
5. Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, su valor es cero.
6. Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, su valor es cero.
2 1
4
3
5  33
4
9 12 15
2 1 4
3
4
5 0
4
5
7. Si una columna de una matriz se descompone como suma de dos sumandos, su determinante
puede descomponerse en la suma de dos determinantes, de la siguiente manera:
 a b   a1  a 2
  
 c d   c1  c 2
Si 
b
a b a1
 entonces

d
c d c1
b
d

a2
b
c2
d
8. Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es nulo.
9. Si A es una matriz triangular nxn (superior, inferior o diagonal), entonces A es el producto de
los elementos de la diagonal principal; es decir, A  a11a 22 a33 ...a nn
10. kA  k A . Si Anxn y k es un escalar.
n
11. A  B  A  B . Suele no ser igual.
12. Si A y B son matrices cuadradas, entonces: A.B  A B
4. CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUSS
Conocemos como método de Gauss a un procedimiento que permite facilitar el cálculo de determinantes
usando las propiedades de éstos. El mismo consiste en hallar un DETERMINANTE TRIANGULAR SUPERIOR
Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
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equivalente al que se pretende calcular. De esta forma, el problema se reduce a deducir un determinante de
una matriz triangular.
Para triangular el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones elementales:

Intercambiar dos filas o columnas: El determinante cambia de signo.

Multiplicar o dividir una fila o columna por un número no nulo: El determinante queda multiplicado
o dividido por dicho número.

Sumarle o restarle a una fila o columna un número diferente de cero: El determinante no varía.
 0 1 5


Ejemplo: Evaluar A , donde: A   3  6 9 
 2 6 1


2
1
1

1 1 1
Ejemplo: Evaluar A , donde: B  
2 1 2

1
2 1

4

1
1

2 
5. DESARROLLO POR COFACTORES
5.1.
Menores y Cofactores: Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij
se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz que queda después de
quitar la i-ésima fila y j-ésima columna de A. El número (-1)i+jMij se denota por Cij y se
denomina cofactor del elemento aij.
 3 1  4


6  , determinar el menor y el cofactor de a11 y a32
Ejemplo: Sea A   2 5
1 4 8 


Observar que el cofactor y el menor de un elemento aij sólo difieren en el signo; es decir,
C ij   M ij . Una manera rápida para determinar si se usa el signo + o el signo – es aplicar el
hecho de que el signo que relaciona Cij con Mij está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna
del arreglo en forma de tablero:
Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
6
UNEFA








 ...

5.2.















... ... ...
 ...

 ...
 ...

 ...
 ...

...

Desarrollo por Cofactores: Considerar la matriz general 3x3
 a11

A   a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13 

a 23 
a 33 
A  a11a 22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a32 - a11a23a32
la cual se puede volver a escribir como
A  a11 a22 a33  a23 a32   a21 a13 a32  a12 a33   a31 a12 a23  a13 a22 
Debido a que las expresiones entre paréntesis son justamente los cofactores C11, C21 y C31, se
tiene que
A  a11C11  a21C21  a31C31
Esta forma de evaluar
A se denomina desarrollo por cofactores.
1
0 
 3


3  , evaluar A por desarrollo por cofactores a lo largo
Ejemplo: Sea A    2  4
 5
4  2 

de la primera columna.
Teorema: El determinante de una matriz Anxn se puede calcular multiplicando los elementos
de cualquier fila (o de cualquier columna) por sus cofactores y sumando los productos
resultantes; es decir, para cada
1  i  n y 1  j  n , se tiene que
A  a1 j C1 j  a 2 j C2 j  ...  a nj Cnj (Desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima
columna)
A  ai1Ci1  ai 2 Ci 2  ...  ain Cin (Desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila)
Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
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1
0 
 3


3  , evaluar A por desarrollo por cofactores a lo largo
Ejemplo: Sea A    2  4
 5
4  2 

de la primera fila.
NOTA: El desarrollo por cofactores y las operaciones elementales en las filas o en las
columnas se pueden combinar algunas veces para obtener un método efectivo de evaluar
determinantes.
3

1
Ejemplo: Evaluar A , donde A  
2

3

5  2 6

2  1 1
4 1 5

7 5 3 
6. ADJUNTA DE UNA MATRIZ
Si A es cualquier matriz nxn y Cij es el cofactor de aij, entonces la matriz
 C11

 C 21
 ...

C
 n1
C12
C 22
...
C n2
... C1n 

... C 2 n 
... 

... C nn 
se denomina matriz de cofactores de A. La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de A y se
denota por adj(A).
 3 2  1


Ejemplo: Sea A   1
6
3  los cofactores de A son C11  12 , C12  6 , C13  16 , C 21  4 ,
2  4 0 


C 22  2 , C 23  16 , C31  12 , C32  10 y C33  16 ; de modo que la matriz de cofactores es
 16 
12 6


2
16 
4
12  10 16 


y la adjunta de A es
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4 12 
 12


adj ( A)   6
2  10  .
  16 16 16 


6.1. Fórmula para la Inversa de una Matriz: Si A es una matriz invertible, entonces
A 1 
1
adj  A
A
Ejemplo: Encontrar la inversa de A, donde
 3 2  1


A  1 6
3
2  4 0 


Álgebra Lineal. 3er Semestre. CBI
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