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Unidad 1. L
os números naturales
Matemáticas 1
Página 9
Así multiplicaban los antiguos egipcios
1. Efectúa las multiplicaciones siguientes al estilo egipcio:
a)17 × 41
b)41 × 17
a)
b)
←•  1
 2
 4
 8
←• 16
→ 17
⎯→
⎯→
⎯→
⎯→
⎯→
 41
 82
164
328
656
697
17 × 41 = 697
→
→
←
41 × 17
→
→
17 × 41
 17
←•  1 ⎯→
 2 ⎯→
 34
 4 ⎯→
 68
136
←•  8 ⎯→
16 ⎯→
272
544
←• 32 ⎯→
→ 41
697
41 × 17 = 697
→
→
→
←
Así multiplicaban los antiguos hindúes
2. Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:
a)208 × 34
b)453 × 26
1
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Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
1 Sistemas de numeración
Página 11
1. Escribe en el sistema de numeración egipcio los números 19, 65, 34 120 y 2 523 083.
19 =
65 =
34 =
120 =
2 523 083 =
2. En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos:
1
5
10 100
Escribe, basándote en él, los números 18, 382 y 509.
( = 1;
= 5;
= 10;
= 100)
18 =
382 =
509 =
3. Escribe en el sistema de numeración romano estas cantidades:
18
18 = xviii
43
43 = xliii
98
3 456
98 = xcviii
3 456 = mmmcdlvi
4. Escribe en el sistema de numeración decimal el valor de estos números romanos:
cxlix
cxlix = 149
—
vcccxxxi
cccxxvii
—
cccxxvii = 327
vcccxxxi = 5 331
5. ¿Qué valor tiene la cifra 0 si ocupa el lugar de las centenas? ¿Y si ocupa el lugar de los
millones?
Cero centenas.
Cero millones.
6. Si añades un 0 a la derecha de un número, ¿por cuánto multiplica su valor? ¿Y si lo aña-
des a la izquierda?
Al añadir un cero a la derecha de un número, su valor se multiplica por 10.
Si lo añadimos a la izquierda, el valor del número no varía.
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7. ¿Qué orden de unidad ocupa en un número la cifra 5 si su valor es de 50 000 unidades?
Decenas de millar.
8. Escribe el número que es 300 decenas de millar mayor que 23 456.
23 456 + 300 · 10 000 = 3 023 456
9. ¿Qué número natural tiene esta descomposición?:
2 000 000 + 300 000 + 7 000 + 30 + 7
2 307 037
10. Ordena estas matrículas de la más antigua a la más moderna (tienes que tener en cuenta
primero las letras y luego los números):
3948 - FBG
3894 - FBG
4389 - GFB
3894 – FBG
3948 – FBG
4389 – GFB
11. Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si intercambias las unidades con las unida-
des de millar, aumenta en 999. ¿Qué número es?
40 001, pues 41 000 – 40 001 = 999
12. ¿Verdadero o falso?
a)En el sistema de numeración egipcio, si cambias el orden de los signos, cambia el valor del número.
b)En el sistema decimal, si cambias de lugar las cifras, cambia el valor del número.
c)Medio millar equivale a 5 centenas.
d)La cifra 6 tiene el mismo valor en el número 3 648 que en el número 3 468.
e)Mil millares hacen un millón.
a)
Falso
b)
Verdaderoc)
Verdaderod)
Falso
3
e)
Verdadero
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2 Los números grandes
Página 12
1. Lee las primeras líneas de esta página. Escribe cómo se leen:
a)El número de habitantes de la Tierra.
b)El número de segundos de un siglo.
c)El número de kilómetros que tiene un año luz.
a)Siete mil millones.
b)Tres mil ciento cincuenta y tres millones seiscientos mil.
c)Nueve billones cuatrocientos sesenta mil ochocientos millones.
2. Escribe con cifras.
a)Veintiocho millones trescientos cincuenta mil.
b)Ciento cuarenta y tres millones.
c)Dos mil setecientos millones.
d)Dieciséis gigas.
e)Un billón y medio.
f )Quince billones trescientos cincuenta mil millones.
a)28 350 000
b)143 000 000
c) 2 700 000 000
d)16 000 000 000
e) 1 500 000 000 000
f )15 350 000 000 000
3. Copia en tu cuaderno y completa.
a)Mil millares hacen un …
b)Mil millones hacen un …
c)Un millón de millares hacen un …
d)Un millón de millones es un …
a)… millón.
b)… millardo.
c)… millardo.
d)… billón.
4. El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones de millones de células. Expresa esas
cantidades en billones.
Entre 10 y 70 billones de células.
5. ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido de 16 ceros?
Diez mil billones.
6. Los científicos calculan que los mares y océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones
de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?
Un 1 seguido de 24 ceros → un billón de billones.
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Unidad 1. Los números naturales
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3 Aproximación de números naturales
Página 13
1. Redondea a los millares estos números:
a)24 963
b)7 280
c)40 274
d)99 399
a)25 000
b)7 000
c)40 000
d)99 000
2. Aproxima a los millones por redondeo.
a)24 356 000
b)36 905 000
c)274 825 048
d)213 457 000
a)24 000 000
b)37 000 000
c)275 000 000
d)213 000 000
3. Haz una tabla como esta en tu cuaderno:
aproximaciones
a las centenas
de millar
número
a las decenas
de millar
Complétala redondeando los siguientes números:
530 298
828 502
359 481
299 352 362
aproximaciones
número
a las centenas
de millar
a las decenas
de millar
530 298
828 502
359 481
299 352 362
500 000
800 000
400 000
299 400 000
530 000
830 000
360 000
299 350 000
4. A continuación puedes ver varias aproximaciones al precio de un piso en venta:
SE VENDE
100 000 €
138 000 €
138 300 €
140 000 €
138 290 €
Tel.: 23987688
a)¿Cuál es más cercana al precio real?
b)¿Cuál te parece más adecuada para una información coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?
c)¿Cuál identificas con un redondeo a las centenas de millar?
a)138 300
b)140 000
c) 100 000
5. Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para rehabilitar un área deportiva.
¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una conversación informal?
150 000
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4 Operaciones básicas con números naturales
Página 14
1. Calcula.
a)254 + 78 + 136
b)340 + 255 – 429
c)1 526 – 831 + 63
d)1 350 – 1 107 – 58
a)
468b)
166c)
758d)
185
2. Estima la respuesta y compruébala después.
Carmen compra un bolso que cuesta 167 €, una gabardina de 235 € y un pañuelo de
32 €. ¿Cuánto se ha gastado?
a)Se ha gastado alrededor de 350 €.
b)Se ha gastado, más o menos, 450 €.
c)Se ha gastado alrededor de 550 €.
La respuesta correcta es la b) 167 + 235 + 32 = 434.
3. Transforma.
a)Esta suma en una resta: 48 + 12 = 60
b)Esta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14
a)48 + 23 = 60 → 60 – 48 = 12
b)22 – 2 – 6 = 14 → 14 + 2 + 6 = 22
4. Si Alberto tuviera 15 años más, aún sería 18 años más joven que su tío Tomás, que tiene
51 años. ¿Cuál es la edad de Alberto?
51 – 18 – 15 = 18 años
5. Si comprara solo una lavadora, me sobrarían 246 €, pero si comprara también un televi-
sor, me faltarían 204 €. ¿Puedes decir el precio de alguno de estos artículos?
El precio del televisor es 204 + 246 = 450 euros.
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6. Completa en tu cuaderno.
5
× 2 9 0 1 2 6 0
4 5
× 2 8
3 6 0
9 0 1 2 6 0
9 8
× 2 8 7 4
6 9 9 3 4
9 5 8
× 7 3
2 8 7 4
6 7 0 6 6 9 9 3 4
7. Recuerda que para multiplicar por 10, por 100, por1 000, … se añaden uno, dos, tres,
… ceros.
a)19 · 10
b)12 · 100
c)15 · 1 000
d)140 · 10
e)230 · 100
f )460 · 1 000
a)190
b)1 200
c)15 000
d)1 400
e) 23 000
f ) 460 000
8. Expresa con una igualdad aritmética:
Multiplicar un número por ocho es lo mismo que multiplicarlo primero por diez y después restarle su doble.
¿Qué propiedad se aplica en esta igualdad?
x · 8 = x · (10 – 2) = x · 10 – x · 2
En esta igualdad hemos aplicado la propiedad distributiva.
9. Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se hace en los ejemplos.
•23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207
•23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253
a)12 · 9
b)25 · 9
c)33 · 9
d)12 · 11
e)25 · 11
f )33 · 11
a)12 · 9 = 12 · 10 – 12 = 120 – 12 = 108
b)25 · 9 = 25 · 10 – 25 = 250 – 25 = 225
c)33 · 9 = 33 · 10 – 33 = 330 – 33 = 297
d)12 · 11 = 12 · 10 + 12 = 120 + 12 = 132
e)25 · 11 = 25 · 10 + 25 = 250 + 25 = 275
f )33 · 11 = 33 · 10 + 33 = 330 + 33 = 363
10. ¿Cuántas vueltas da en una hora una rueda que gira a razón de 1 500 revoluciones por
minuto?
1 500 · 60 = 90 000 vueltas
11. Un agricultor tiene una huerta con 200 melocotone-ros. Calcula que con cada árbol
llenará siete cajas de cinco kilos de melocotones. ¿Qué beneficio obtendrá si vende toda
la producción a 2 € el kilo?
200 · 7 · 5 · 2 = 14 000 €
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12. Averigua el cociente y el resto en cada división:
a)96 : 13
b)713 : 31
c)5 309 : 7
d)7 029 : 26
e)49 896 : 162
f )80 391 : 629
a)c = 7; r = 5
b)c = 23; r = 0
c)c = 758; r = 3
d)c = 270; r = 9
e)c = 308; r = 0
f )c = 127; r = 508
13. Divide mentalmente, por partes, igual que se hace en el ejemplo.
•96
: 12
8
: 3
: 4
32
a)60 : 12
b)180 : 12
c)300 : 12
d) 75 : 15
e)90 : 15
f )180 : 15
g) 180 : 30
h)240 : 30
i)390 : 30
a)5
b)15
c) 25
d)
5e)
6f )
12
g)
6h)
8i)
13
14. Realiza en tu cuaderno las operaciones como se indica en los esquemas.
36 : (12 : 3)
(36 : 12) : 3
:
:
¿Qué observas?
(36 : 12) : 3
36 : (12 : 3)
3 : 3
36 : 4
1
9
Se observa que la división no cumple la propiedad asociativa.
15. Calcula y compara los resultados. Después, reflexiona y contesta.
a)(50 : 10) : 5
50 : (10 : 5)
b)(36 : 6) : 2
36 : (6 : 2)
¿Cumple la división la propiedad asociativa?
a)(50 : 10) : 5 = 5 : 5 = 1;
50 : (10 : 5) = 50 : 2 = 25
b)(36 : 6) : 2 = 6 : 2 = 3;
36 : (6 : 2) = 36 : 3 = 12
La división no cumple la propiedad asociativa.
16. Averigua el término que falta en cada división:
dividendo 39 53
15
53 · 15 + 39 = 834
1 000 12 divisor
38
(1 000 – 12) : 38 = 988 : 38 = 26
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17. ¿Verdadero o falso?
a)El cociente debe ser mayor que el divisor.
b)El resto es siempre menor que el divisor.
c)Si es exacta, al multiplicar por dos el dividendo, el cociente se hace el doble.
d)Al multiplicar por 3 el dividendo y el divisor, el cociente aumenta al triple.
e)La división cumple la propiedad conmutativa.
a)
Falso
b)
Verdaderoc)
Verdaderod)
Falso
e)
Falso
18. Resuelve sin lápiz ni papel.
a)Repartimos 150 gramos de mortadela en tres bocadillos. ¿Cuántos gramos pondremos
en cada uno?
b)Colocamos 36 kilos de manzanas en 3 cestas. ¿Cuántos kilos van en cada cesta?
c)Hemos recorrido, por la autopista, 240 kilómetros en tres horas. ¿Cuántos kilómetros
por hora son?
d)¿Cuántos minutos son 180 segundos?
a)50 g
b)12 kg
c)80 km/h
d)3 minutos
19. Un granjero recoge 1 274 huevos, los envasa en bandejas de 30, y las bandejas, en cajas
de 10.
¿Cuántos huevos quedan sin completar una bandeja?
¿Cuántas bandejas quedan sin completar una caja?
1 274 : 30 → cociente = 42 y resto = 14. Quedan 14 huevos sin completar una bandeja.
42 : 10 → cociente = 4 y resto = 2. Quedan dos bandejas sin completar una caja.
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5 Expresiones con operaciones combinadas
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1. Opera como en los ejemplos.
•12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4
•(17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4
a)8 + 5 · 2
b)13 – 4 · 3
c)5 + 6 : 3
d)15 – 10 : 5
e)4 · 2 + 7
f )4 · 6 – 13
g)15 : 3 + 10
h)5 · 6 – 18
a)
18b)
1c)
7d)
13
e)
15f )
11g)
15h)
12
2. Resuelve mentalmente y compara los resultados.
a)2 + 3 · 4
(2 + 3) · 4
b)6 – 2 · 3
(6 – 2) · 3
c)15 – 4 · 3
(15 – 4) · 3
d)5 · 2 + 4
5 · (2 + 4)
e)2 · 15 – 10
2 · (15 – 10)
a)14 y 20b)
0 y 12c)
3 y 33
d)14 y 30e)
20 y 10
Al comparar los resultados se pone en evidencia que el paréntesis transforma el valor de la
expresión.
3. Calcula, siguiendo los pasos del ejemplo.
•4 · 5 – 3 · 4 – 2 = 20 – 12 – 2 = 8 – 2 = 6
a)4 · 6 + 3 · 6 – 25
b)3 · 5 – 12 + 3 · 6
c)6 · 3 – 4 – 7
d)28 – 4 · 5 + 3
e)6 · 5 – 10 + 8 : 4
f )19 + 10 : 2 – 8 · 3
g)15 : 3 + 4 · 2 + 3 · 4
h)4 · 7 – 4 · 2 – 3 · 5
a)4 · 6 + 3 · 6 – 25 = 24 + 18 – 25 = 42 – 25 = 17
b)3 · 5 – 12 + 3 · 6 = 15 – 12 + 18 = 3 + 18 = 21
c)6 · 3 – 4 – 7 = 18 – 4 – 7 = 14 – 7 = 7
d)28 – 4 · 5 + 3 = 28 – 20 + 3 = 8 + 3 = 11
e)6 · 5 – 10 + 8 : 4 = 30 – 10 + 2 = 20 + 2 = 22
f )19 + 10 : 2 – 8 · 3 = 19 + 5 – 24 = 24 – 24 = 0
g)15 : 3 + 4 · 2 + 3 · 4 = 5 + 8 + 12 = 13 + 12 = 25
h)4 · 7 – 4 · 2 – 3 · 5 = 28 – 8 – 15 = 20 – 15 = 5
4. Observa el ejemplo y calcula.
•4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5
a)2 · (7 – 3) – 5
b)3 · (10 – 7) + 4
c)4 + (7 – 5) · 3
d)18 – 4 · (5 – 2)
e)8 – (9 + 6) : 3
f )22 : (7 + 4) + 3
g)5 · 2 + 4 · (7 – 5)
h)18 : 2 – 2 · (8 – 6)
a)2 · (7 – 3) – 5 = 2 · 4 – 5 = 8 – 5 = 3
b)3 · (10 – 7) + 4 = 3 · 3 + 4 = 9 + 4 = 13
c)4 + (7 – 5) · 3 = 4 + 2 · 3 = 4 + 6 = 10
d)18 – 4 · (5 – 2) = 18 – 4 · 3 = 18 – 12 = 6
e)8 – (9 + 6) : 3 = 8 – 15 : 3 = 8 – 5 = 3
f )22 : (7 + 4) + 3 = 22 : 11 + 3 = 2 + 3 = 5
g)5 · 2 + 4 · (7 – 5) = 10 + 4 · 2 = 10 + 8 = 18
h)18 : 2 – 2 · (8 – 6) = 9 – 2 · 2 = 9 – 4 = 5
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5. Resuelve, indicando los pasos seguidos, y comprueba la solución que se da a la derecha.
Si no coincide, repasa el ejercicio.
a)6 · 4 – 2 · (12 – 7)
⎯→ 14
b)3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5
⎯→ 2
c)21 : (3 + 4) + 6
⎯→ 9
d)26 – 5 · (2 + 3) + 6
⎯→ 7
e)(14 + 12) : 2 – 4 · 3
⎯→ 1
f )2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11
g)30 – 6 · (13 – 4 · 2)
⎯→ 0
h)3 · [13 – 3 · (5 – 2)]
⎯→ 12
a)6 · 4 – 2 · (12 – 7) = 24 – 2 · 5 = 24 – 10 = 14
b)3 · 8 – : 4 – 4 · 5 = 24 – 2 – 20 = 22 – 20 = 2
c)21 : (3 + 4) + 6 = 21 : 7 + 6 = 3 + 6 = 9
d)26 – 5 · (2 + 3) + 6 = 26 – 5 · 5 + 6 = 26 – 25 + 6 = 1 + 6 = 7
e)(14 + 12) : 2 – 4 · 3 = 26 : 2 – 12 = 13 – 12 = 1
f )2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) = 2 · 10 – 3 · 3 = 20 – 9 = 11
g)30 – 6 · (13 – 4 · 2) = 30 – 6 · (13 – 8) = 30 – · 5 = 30 – 30 = 0
h)3 · [13 – 3 · (5 – 2)] = 3 · [13 – 3 · 3] = 3 · [13 – 9] = 3 · 4 = 12
6. Escribe una expresión que resuelva cada enunciado y calcula la solución.
a)Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pesan 15 kilos, y las de naranjas y manzanas, 8 kilos. ¿Cuántos kilos de
fruta transporta la furgoneta?
b)Un supermercado hace un pedido de 20 packs de leche entera, 15 de leche desnatada y
10 de semidesnatada. Cada packs contiene seis cajas de litro. ¿Cuántas cajas van en el
pedido?
c)En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 taburetes. ¿Cuántas patas hay en total?
(nota: las mesas y las sillas son de 4 patas, y los taburetes, de 3).
d)Un granjero envasa 1 500 huevos en cajas de 10 unidades, otros tantos en cajas de 6
unidades, y una partida de 300 huevos de producción ecológica, también en cajas de 6
unidades. ¿Cuántas cajas ha llenado?
a)8 · 15 + (20 + 6) · 8 = 120 + 26 · 8 = 120 + 208 = 328 kilos
b)(20 + 15 + 10) · 6 = 45 · 6 = 270 cajas
c)(15 + 55) · 4 + 12 · 3 = 70 · 4 + 36 = 280 + 36 = 316 patas
d)1 500 : 10 + 1 500 : 6 + 300 : 6 = 150 + 250 + 50 = 450 cajas
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Ejercicios y problemas
Página 20
Sistemas de numeración
Traduce al sistema decimal estos números del antiguo Egipto:
1.
a)57
b)234
c)2 540
d)3 430 000
Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de estos números:
2.
a)48
b)235
c) 2 130
a)b)c)
3.
4.
Expresa en números romanos.
a)87
b)425
c)2 600
d)54 528
a)87 = lxxxvii
b)425 = cdxxv
c) 2 600 = mmdc
d)54 528 = —l—i—vdxxviii
Escribe el número “cincuenta y siete” en, al menos, tres sistemas de numeración.
Decimal: 57
Romano: lvii
Egipcio:
5.
¿Cuántas cifras necesitas para escribir…
a)… un billón?
b)… un trillón?
¿Cuántos ceros son en cada caso?
a)1 000 000 000 000 → 13 cifras, 12 ceros.
b)1 000 000 000 000 000 000 → 19 cifras, 18 ceros.
12
ESO
Unidad 1. Los números naturales
6.
Matemáticas 1
Una estrella, A, está a una distancia de cinco años luz, y otra, B, a cinco billones de
kilómetros. ¿Cuál de las dos está más lejos?
1 año luz → 9 billones y medio de kilómetros.
9 500 000 000 000
Estrella A → 5 años luz ≈ 45 billones de kilómetros.
Estrella B → 5 billones de kilómetros.
La estrella A está más lejos que la B.
7.
Copia en tu cuaderno y completa la tabla.
aproximaciones
a las centenas
de millar
a los millones
2 830 554
2 800 000
3 000 000
19 270 000
19 300 000
19 000 000
399 675 000
399 700 000
400 000 000
número
8.
¿Verdadero o falso?
a)Un millón equivale a mil centenas.
b)Cien millones son mil centenas de millar.
c)Mil veces un millón hacen un giga.
d)Cien gigas hacen un billón.
e)Un billón tiene un millón de millones.
a)
Falso
b)
Verdaderoc)
Verdaderod)
Falso
e)
Verdadero
Utilidades de los números
9.
Según publicó un periódico cairota, la población de la capital de Egipto, en junio
del año 2013, era de 16 794 464 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué responderías?
17 millones.
10.
La tabla contiene algunos datos sobre el consumo de pescado en España durante el
año 2008:
peso (toneladas)
valor (miles de €)
fresco
441 696
1 087 368
congelado
445 115
  781 169
total
886 811
1 868 537
Repite la tabla, aproximando los datos a los millones de kilos y a los cientos de millones
de euros.
peso aproximado a
millones de kilos
euros aproximados a
cientos de millones
fresco
442 000 000
1 100 000 000
congelado
445 000 000
800 000 000
total
887 000 000
1 900 000 000
13
ESO
Unidad 1. Los números naturales
11.
Matemáticas 1
Esta es la matrícula de cierto coche:
9900-JMA
a)¿Cuál es la matrícula del coche que se matriculó inmediatamente después? ¿Y la del
anterior?
b)¿Cuántos coches se matricularon aún con las mismas letras?
c)Otro coche tiene esta matrícula:
0273-JMC
¿Cuál de los dos es más antiguo?
¿Cuántos coches se matricularon entre ambos?
a)9901-JMA se matriculó inmediatamente después.
9899-JMA es la matrícula del anterior coche matriculado.
b)Después del 9900-JMA, otros 99 coches se matricularon con las mismas letras.
c)El coche con matrícula 9900-JMA es más antiguo.
Entre ambos se matricularon 99 coches con las letras JMA, 9 999 con JMB y 272 con
JMC, lo que hacen un total de 10 370 coches.
12.
Estos son los números de varias habitaciones en un hotel de playa:
401
235
724
231
a)Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es?
b)Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene?
c)¿Cuáles de ellas están a la misma altura?
a)235
13.
b)724
c)235 y 231
Lees, en un anuncio, que una vivienda se vende por 293 528 €. Unos días después
lo comentas con un amigo, pero no te acuerdas exactamente del precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para transmitir la información? Explica por qué.
— Cuesta casi trescientos mil euros.
— Cuesta doscientos y pico mil.
— Cuesta doscientos noventa mil.
La que más se aproxima es la tercera. Pero no dice que sea una aproximación.
La primera es algo menos exacta que la tercera, pero informa de que se trata de una aproximación.
14
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Página 21
Operaciones
Sumas y restas
14.
15.
16.
Calcula.
a)6 070 + 893 + 527
b)651 + 283 – 459
c)831 – 392 – 76
d)1 648 – 725 – 263
a)7 490
b)475
c) 363
d)660
Copia en tu cuaderno, calcula y completa.
a)48 + … = 163
b)… + 256 = 359
c)628 – … = 199
d)… – 284 = 196
a)48 + 115 = 163
b)103 + 256 = 359
c)628 – 429 = 199
d)480 – 284 = 196
Calcula mentalmente.
a)5 + 7 – 3 – 4
b)18 – 4 – 5 – 6
c)10 – 6 + 3 – 7
d)8 + 5 – 4 – 3 – 5
e)12 + 13 + 8 – 23
f )40 – 18 – 12 – 6
a)
5b)
3c)
0d)
1e)
10f )
4
17.
Calcula.
a)47 – (35 – 28)
b)52 – (36 – 27)
c)128 – (86 – 45 – 12)
d)237 – (152 + 48 – 14)
e)348 – (148 – 86 + 29)
f )235 – (340 – 152 – 84)
a)
40b)
43c)
99d)
51e)
257f)
131
18.
Calcula.
a)5 – [7 – (2 + 3)]
b)3 + [8 – (4 + 3)]
c)2 + [6 + (13 – 7)]
d)7 – [12 – (2 + 5)]
e)20 – [15 – (11 – 9)]
f )15 – [17 – (8 + 4)]
Comprueba tus resultados:
a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10
a)5 – [7 – 5] = 5 – 2 = 3
b)3 + [8 – 7] = 3 + 1 = 4
c)2 + [6 + 6] = 2 + 12 = 14
d)7 – [12 – 7] = 7 – 5 = 2
e)20 – [15 – 2] = 20 – 13 = 7
f )15 – [17 – 12] = 15 – 5 = 10
a)16 · 10
b)128 · 10
c)60 · 10
d)17 · 100
e)85 · 100
f )120 · 100
g)22 · 1 000
h)134 · 1 000
i)140 · 1 000
a)160
b)1 280
c) 600
d)1 700
e) 8 500
f )12 000
g)22 000
h)134 000
i) 140 000
Multiplicación y división
19.
Multiplica.
15
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Calcula el cociente y el resto en cada caso:
20.
a)2 647 : 8
b)1 345 : 29
c)9 045 : 45
d)7 482 : 174
e)7 971 : 2 657
f )27 178 : 254
a)c = 330; r = 7
b)c = 46; r = 11
c)c = 201; r = 0
d)c = 43; r = 0
e)c = 3; r = 0
f )c = 107; r = 0
Copia y completa en tu cuaderno.
21.
8 6 6
5
3 8 2 9 7 6
14
5
8 1 6 0 6 6 1 6
2 5
3 2
8 2 9 5 6 1 2 9 0 3 5
0 7 6
0 6
14
5 9 2 5
Copia en tu cuaderno, calcula y completa.
22.
a) 123 · … = 5 904
b)… · 86 = 1 548
c)… : 57 = 26
d)1 862 : … = 133
a)123 · 48 = 5 904
b)18 · 86 = 1 548
c)1 482 : 57 = 26
d)1 862 : 14 = 133
Calcula mentalmente.
23.
a)3 · (10 : 5)
b)(4 · 6) : 8
c)20 : (2 · 5)
d)(30 : 5) · 3
e)10 : (40 : 8)
f )(40 : 8) : 5
a)
6b)
3c)
2
d)18
24.
e) 2
f ) 1
Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que dividir entre 5 es igual que dividir
entre 10 y, después, multiplicar por 2.
: 5
18
•90
: 10
· 2
9
a)60 : 5
b)80 : 5
c)120 : 5
d)140 : 5
e)170 : 5
f )200 : 5
g)210 : 5
h)340 : 5
i)420 : 5
a)
12b)
16c)
24
d)
28e)
34f )
40
g)
42h)
68i)
84
16
ESO
Unidad 1. Los números naturales
25.
Matemáticas 1
Copia en tu cuaderno, completa y calcula.
6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60
................. = 5 · 9 – 5 · 6 = ....
(10 – 8) · 4 =......................= ....
................. =7 · 12 – 2 · 12= ....
¿Qué propiedad has usado?
6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60
5 · (9 – 6) = 5 · 9 – 5 · 6 = 15
(10 – 8) · 4 = 10 · 4 – 8 · 4 = 8
(7 – 2) · 12 =7 · 12 – 2 · 12= 60
Se ha usado la propiedad distributiva.
26.
Resuelve mentalmente.
a)En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bidones se llenan con 100 litros?
b)Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta una bolsa de 5 kilos?
c)Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuántas botellas hay en 10 cajas?
d)Cambiar las cuatro cubiertas de las ruedas de un coche ha salido por 360 euros.
¿Cuánto ha costado cada cubierta?
a)100 : 5 = 20 bidones.
b)12 · 5 = 60 euros.
c)10 · 24 = 240 botellas.
d)360 : 4 = 90 euros.
17
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Página 22
27.
¿Verdadero o falso?
a)Al multiplicar un número por tres obtenemos el mismo resultado que si le sumamos
su doble.
b)Tres veces quince es lo mismo que quince veces tres.
c)Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar dos veces por cinco.
d)Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar primero por cinco y después por dos.
e)La propiedad conmutativa se cumple solo para los números pares.
a)
Verdaderob)
Verdaderoc)
Falso
28.
d)
Verdaderoe)
Falso
Investiga: Si en una división multiplicas el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto?
D=d·c+r
k · D = k · (d · c + r) = k · d · c + k · r
La propiedad distributiva nos dice que el resto queda también multiplicado por el mismo
número.
Operaciones combinadas
29.
Opera.
a)2 · (4 + 6)
b)2 · 4 + 6
c)8 : (7 – 5)
d)5 · 7 – 5
e)(5 + 6) · 4
f )5 + 6 : 3
g)(19 – 7) : 2
h)18 – 7 · 2
a)
20b)
14c)
4 d)
30
e)
44f)
7g)
6h)
4
30.
Calcula.
a)8 + 7 – 3 · 4
b)8 : 4 + 7 – 3
c)15 – 2 · 3 – 5
d)10 – 12 : 6 – 4
e)22 – 6 · 3 + 5
f )8 + 10 : 5 – 10
g)36 – 8 · 4 – 1
h)11 – 2 – 9 : 3
i)4 · 7 – 13 – 2 · 6
j)15 : 3 + 7 + 4 : 2
k)5 · 4 + 12 – 6 · 4
l)12 : 4 – 1 – 6 : 3
m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5
n)9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7
ñ)8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8
o)18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2
a)
3b)
6c)
4d)
4e)
9f )
0g)
3h)
6
i)
3j)
14k)
8l)
0m)
12
n)
4ñ)
0o)
2
31.
Escribe, en cada caso, una expresión cuyo resultado sea el peso de la balanza:
a)9 + (3 – 1) = 11
b)9 – (3 + 1) = 5
18
ESO
Unidad 1. Los números naturales
32.
Matemáticas 1
Calcula.
a)30 – 4 · (5 + 2)
b)5 + 3 · (8 – 6)
c)5 · (11 – 3) + 7
d)3 · (2 + 5) – 13
e)2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4)
f )4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)
g)3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2)
h)2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)
Comprueba tus soluciones:
a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11
a)30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2
b)5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11
c)5 · 8 + 7 = 40 + 7 = 47
d)3 · 7 – 13 = 21 – 13 = 8
e)2 · 12 – 3 · 5 = 24 – 15 = 9
f )4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14
g)15 – 3 · (10 – 8) = 15 – 3 · 2 = 15 – 6 = 9
h)6 + 5 · (13 – 12) = 6 + 5 · 1 = 6 + 5 = 11
Interpreta, describe, exprésate
33.
Asocia cada enunciado con dos de las expresiones de abajo:
I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la primera parada bajan 16 y suben 4.
II.La clase de música tiene 50 alumnos matriculados, pero hoy han faltado 4 y otros
16 han ido a un concierto.
III.Ernesto compró una camiseta de 16 € y una gorra de 4 €, y pagó con un billete de
50 €.
IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy entran 16 nuevos y salen 4.
34.
a)50 – 16 – 4
b)50 – 16 + 4
c)50 – (16 + 4)
d)50 – (16 – 4)
e)50 + (16 – 4)
f )50 + 16 – 4
I → b) y d)
II → a) y c)
III → a) y c)
IV → e) y f )
¿Con cuál o cuáles de las expresiones de abajo se calcula el decimoquinto término de
esta serie?:
1 - 5 - 9 -13-17-21-…
1 + 15 · 4
1 + 14 · 4
15 · 4 – 3
16 · 4 – 3
1 + 14 · 4 y 15 · 4 –3
35.
¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméticas llevan a la solución de este problema?:
En el supermercado se han vendido esta mañana 24 kilos de manzanas a 2 €/kg, 12 melones a 4 euros la pieza, y 13 piñas a 2 euros cada una. ¿Cuánto se ha ingresado en caja
por la venta de esas frutas?
a)24 · 12 + 4 · 13 + 2
b)24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2
c)(24 + 13) · 2 + 12 · 4
d)(24 + 13 + 2) · (2 + 4)
b) y c)
19
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Página 23
En clase de matemáticas se acumulan puntos por el trabajo realizado.
36.
A:1 punto por cada ejercicio de operaciones simples.
B:2 puntos por los de operaciones.
C:3 puntos por los ejercicios teóricos.
D:3 puntos por cada problema.
La tabla lleva la cuenta de la tarea entregada:
A
B
luisa
5
4
marcos
3
4
4
5
2
2
9
adela
C
D
6
Escribe una expresión, combinando operaciones y datos, para calcular los puntos que
lleva acumulados cada uno de esos tres alumnos.
Luisa → 5 · 1 + 4 · 2 + 6 · 3
Marcos → 3 · 1 + 4 · 2 + (4 + 5) · 3
Adela → 2 · 2 + (2 + 9) · 3
37.
Lee el enunciado del problema y observa su resolución. Después, explica el significado de cada operación y lo que se obtiene en cada resultado parcial.
En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total hemos contado 714 patas,
168 cuernos y 137 picos. ¿Cuántos caballos hay en la granja?
Resolución
1.º168 : 2 = 84
2.º84 · 4 = 336
3.º137 · 2 = 274
4.º336 + 274 = 610
5.º714 – 610 = 104
6.º104 : 4 = 26
1.ºEl número de vacas es igual a la mitad del número de cuernos:
Vacas → 168 : 2 = 84
2.ºPatas de vaca → 84 · 4 = 336
3.ºEl número de patas de gallina es el doble que el de picos:
Patas de gallina → 137 · 2 = 274
4.ºPatas de vaca + patas de gallina → 336 + 274 = 610
5.ºEl número de patas de caballo es igual al total de patas menos las de vaca y de gallina:
Patas de caballo → 714 – 610 = 104
6.ºEl número de caballos se obtiene dividiendo el dato anterior entre 4:
Caballos → 104 : 4 = 26
20
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Página 24
Resuelve problemas
38.
Un camión de reparto transporta 15 cajas de refrescos de naranja y 12 cajas de limón. ¿Cuántas botellas lleva en total si cada caja contiene 24 unidades?
24 · (15 + 12) = 648 botellas
39.
En la familia Smith, el padre, Jonathan, cobra 1 940 dólares al mes. Si gana 720 dólares más que Jon, el hijo mayor, 880 más que Cathy, la hija que sigue, más joven, y 280
menos que Catherine, su mujer, ¿cuáles son los ingresos mensuales de la familia?
Jonathan → 1 940
Jon → 1 940 – 720 = 1 220
Cathy → 1 940 – 880 = 1 060
Catherine → 1 940 + 280 = 2 220
La familia ingresa mensualmente la suma de estas cantidades, que asciende a 6 440 euros.
40.
Un autobús con 54 turistas a bordo sufre una avería camino del aeropuerto. Como
no hay tiempo, pues el avión no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los
viajeros en taxis de cuatro plazas. ¿Cuántos taxis necesitan?
54 : 4 = 13 y de resto 2, por lo que hace falta otro taxi y serían 14.
41.
En un campo rectangular de 150 m × 300 m se van a plantar chopos, dispuestos en
filas y columnas paralelas a las vallas, de forma que cada línea esté a 5 metros de las contiguas o, en su caso, de los bordes. ¿Cuántos chopos albergará el campo?
150 : 5 = 30
300 : 5 = 60
(30 – 2) · (60 – 2) = 28 · 58 = 1 624 chopos
42.
Un pueblo tiene dos mil habitantes, pero se espera que en los próximos diez años
aumente su población en un 50 %. ¿Qué población se espera para dentro de diez años?
2 000 + 1 000 = 3 000 habitantes
43.
Una fábrica de coches ha producido 15 660 unidades entre enero, febrero y marzo.
¿Cuántos coches saca, por término medio, cada día?
3 meses → 3 · 30 = 90 días.
15 660 : 90 = 174 coches cada día.
44.
Un barco pesquero ha conseguido 9 100 € por la captura de 1 300 kg de merluza.
¿Cuánto obtendrá otro barco que entra en puerto con 1 750 kg de merluza de la misma
calidad?
9 100 : 1 300 = 7 €/kg
1 750 · 7 = 12 250 €
21
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
45.
El sector hotelero de una localidad turística ha contratado este mes a 12 845 personas. Tres de cada cinco son mujeres. ¿Cuántas mujeres han entrado a trabajar en el sector?
(12 845 : 5) · 3 = 7 707 mujeres han entrado a trabajar en el sector.
46.
Entre las 8 300 sociedades inscritas en el registro de cierta comunidad autónoma,
tres de cada cien son organizaciones sin ánimo de lucro (ONGs). ¿Cuántas ONGs hay
registradas en la comunidad?
(8 300 : 100) · 3 = 83 · 3 = 249
47.
En una población de 8 400 habitantes, cuatro de cada cinco están en edad laboral; y
de ellos, trabajan cinco de cada siete. ¿Cuántos habitantes trabajan?
Hay (8 400 : 5) · 4 = 6 720 habitantes en edad laboral.
Trabajan (6 720 : 7) · 5 = 4 800 habitantes.
48.
Una sociedad financiera con el capital fraccionado en 25 000 acciones reparte unos
beneficios de 375 000 euros. ¿Qué dividendos corresponden a un inversor que posee
1 530 acciones?
A cada acción le corresponden 375 000 : 25 000 = 15 €.
A 1 530 acciones les corresponden 1 530 · 15 = 22 950 €.
49.
Un senderista camina a un ritmo de 75 pasos por minuto y avanza 84 cm en cada
paso. Su punto de llegada está a 4 km de la salida y pretende llegar antes de una hora.
¿Lo conseguirá? ¿Por qué?
75 · 84 = 6 300 cm = 63 m recorre por minuto.
63 · 60 = 3 780 m recorrerá en una hora. No consigue llegar a su destino en este tiempo.
50.
Una fábrica de electrodomésticos produce 250 lavadoras cada día, con un coste medio de 208 € por unidad. ¿Qué ganancia obtiene, si vende la producción de un mes a
un mayorista, por un importe global de dos millones de euros?
2 000 000 – 250 · 30 · 208 = 44 000
Obtiene una ganancia de 440 000 €.
51.
Cándido tiene una granja de patos y gansos. Hoy ha vendido 21 de sus animales por
350 euros.
Entre los animales había el doble de patos que de gansos, y un ganso vale el triple que
un pato.
¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso?
Vende 21 animales, entre los que había el doble de patos que de gansos:
21 : 3 = 7 → Vende 7 gansos y 14 patos.
Como un ganso vale lo mismo que 3 patos, los 7 gansos equivalen, en precio, a 21 patos. Es
decir, se puede considerar que vende 21 + 14 = 35 patos.
Cada pato vale 350 : 35 = 10 €.
Cada ganso vale 3 · 10 = 30 €.
22
ESO
Unidad 1. Los números naturales
52.
Matemáticas 1
Un coche que avanza por una autovía tarda 78 segundos en atravesar un tramo de
2 km con la velocidad limitada a 90 km/h. ¿Crees que ha superado el límite permitido?
¿Por qué?
90 km/h = 90 000 m/h = 1 500 m/min = 25 m/s
En 78 segundos, yendo a 90 km/h recorrería 78 · 25 = 1 950 m.
Sí ha superado el límite de velocidad permitido.
53.
Una compañía de telefonía móvil en expansión ha gestionado durante el trimestre
que finaliza ochocientas cincuenta mil llamadas al día. En el próximo trimestre espera llegar al millón e ir aumentando trimestralmente en la misma cantidad durante los
próximos dos años. ¿Cuántas llamadas diarias espera gestionar dentro de dos años?
Cada trimestre esperan aumentar 1 000 000 – 850 000 = 150 000 llamadas.
Dos años son 24 : 3 = 8 trimestres.
En 8 trimestres aumentarían 8 · 150 000 = 1 200 000 llamadas.
Total llamadas al finalizar los dos años: 850 000 + 1 200 000 = 2 050 000
54.
Antonio, Beatriz, Cora y David acaban de entrar al cine. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar en las cuatro butacas que les corresponden?
Haz, primero, un problema más fácil: ¿De cuántas formas se podrían sentar, si Antonio ha
ocupado ya la butaca n.º 1?
Llamamos 1, 2, 3 y 4 a las butacas. Antonio (A), Beatriz (B), Cora (C), David (D).
1
2
3
4
A
B
C
D
A
B
D
C
A
C
B
D
A
C
D
B
A
D
B
C
A
D
C
B
Si Antonio ha ocupado la butaca 1, los otros tres amigos se pueden sentar de 6 formas diferentes. Como en la butaca 1 se puede sentar culesquiera de los cuatro, en total se pueden sentar
de 4 · 6 = 24 maneras diferentes.
23
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Página 25
55.
Utilizando solamente ceros y unos, se pueden construir cuatro números diferentes
de tres cifras:
¿Cuántos números de cuatro cifras tienen solo ceros y unos? ¿Y de cinco cifras?
La primera cifra ha de ser un 1. Para el resto de las cifras hay dos posibilidades, un 0 o un 1.
Hay, por tanto, 1 · 2 · 2 · 2 = 8 números de cuatro cifras que solo contienen 0 y 1.
Para números de cinco cifras, la cantidad de números con esas condiciones es:
1 · 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
56.
La carta de un restaurante ofrece cinco variedades de primer plato, tres de segundo
y dos de postre. ¿De cuántas formas puede elegir su menú un cliente que toma un plato
de cada grupo?
5 · 3 · 2 = 30 posibilidades de menú.
57.
Un apicultor tiene 187 colmenas con una producción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha. La miel se envasa en tarros de medio kilo y se comercializa en cajas de seis tarros que se venden a 18 euros la caja. ¿Qué
beneficio anual produce el colmenar?
Cosecha → 187 · 2 · 9 = 3 366 kg
Envasa → 3 366 · 2 = 6 732 tarros
6 732 : 6 = 1 122 cajas
Beneficio → 1 122 · 18 = 20 196 €
58.
La gráfica informa de la distribución, por colores, de los 30 690 coches fabricados
en un trimestre.
24
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Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
¿Cuántos coches rojos se han fabricado en ese periodo?
Número de casillas ocupadas → 62
Coches fabricados por casilla → 30 690 : 62 = 495
Coches rojos fabricados → 495 · 8 = 3 960
59.
Para la elaboración de una estadística sobre las vacaciones en una población de interior, se ha hecho una encuesta que arroja los siguientes datos:
— El 56 % ha estado en la playa.
— El 47 % ha pasado unos días en el pueblo.
— El 23 % ha disfrutado de ambos destinos.
¿Qué tanto por ciento no ha estado ni en la playa ni en el pueblo?
100 – (33 + 23 + 24) = 100 – 80 = 20; el 20 % de la población no ha estado ni en la playa ni
en el pueblo.
60.
Gorka y Fernando viven en el mismo portal y van al mismo colegio. Gorka, cuando
va solo, tarda 20 minutos en el recorrido de casa a clase. Fernando, a su paso, tarda 30
minutos en el mismo trayecto.
Hoy, cuando sale Gorka, hace ya cinco minutos que se fue su compañero. ¿Cuánto tardará en alcancarle?
Gorka tarda 10 minutos en recorrer la mitad del camino y Fernando, 15 minutos. Por tanto,
si Fernando sale 5 minutos antes, Gorka le alcanza a la mitad del camino, cuando lleva caminando 10 minutos.
Problemas “+”
61.
Cuatro amigos se pesan, por parejas, de todas las formas posibles y anotan desordenadamente los resultados obtenidos:
83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kg
El más grande pesa 46 kg. ¿Cuánto pesa cada uno por separado?
Llamemos 1 < 2 < 3 < 4 a los cuatro amigos ordenados por peso.
Entonces:
1+2 < 1+3 <
8083
1+4
< 2+4 < 3+4
8891
2+3
4 = 46 kg; 3 = 91 – 46 = 45 kg; 2 = 88 – 46 = 42 kg; 1 = 80 – 42 = 38 kg
25
ESO
Unidad 1. Los números naturales
62.
Matemáticas 1
Se está celebrando el gran premio de motociclismo en el circuito de Laguna Sosa.
La moto verde salió mal y está invirtiendo 1 minuto y 46 segundos en cada vuelta. La
moto roja salió bien, pero cada vuelta la da en 1 minuto y 48 segundos.
En este momento cruza la línea de control la moto roja, y 3 segundos después, la verde.
Todavía queda mucha carrera por delante.
¿Cuánto tardará la moto verde en doblar a la roja?
1 minuto y 48 segundos = 108 segundos
Como en cada vuelta, la moto verde adelanta en 2 segundos a la roja, para doblarla, si fuesen
a la par, necesitaría 108 : 2 = 54 vueltas.
Pero en este momento la moto verde va 3 segundos por detrás de la roja, así es que necesita
una vuelta y media más para recuperar ese tiempo.
En 55 vueltas y media la moto verde doblará a la roja.
63.
De los alumnos y alumnas matriculados en primero de ESO, sabemos que:
— 44 se quedan al comedor, 58 usan el transporte escolar y 47 están apuntados a actividades extraescolares.
— 24 se quedan al comedor y a extraescolares.
— 23 se quedan al comedor y usan el transporte escolar; 25 usan el transporte y se quedan a extraescolares.
— 11 usan los tres servicios, y 17, ninguno de los tres.
¿Cuántos alumnos hay matriculados en primero de ESO?
¿Te serviría utilizar un gráfico como este?
Hay 8 + 13 + 12 + 21 + 14 + 9 + 11 + 17 = 105
alumnos y alumnas matriculados en 1.° E.S.O.
64.
Martina ha obtenido así la suma de los 7 primeros números naturales.
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
8 · 7 = 56
+ 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +14
56 : 2 = 28
8+8+8+8+8+8+8
¿Sabrías calcular la suma de los números del uno al cien?
1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 + 97 + … + 4 + 3 + 2 + 1
101 + 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 + 101
101 · 100 = 10 100
10 100 : 2 = 5 050
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Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Taller de Matemáticas
Página 26
Infórmate e investiga
Números con geometría
•Los números 1, 3, 6 y 10 se pueden representar con una distribución de puntos en forma
de triángulo, como puedes ver abajo. Por eso se llaman números triangulares. ¿Cuáles serán los tres siguientes? Dibújalos.
1
3
6
10
Los tres siguientes números triangulares:
15
21
28
•También hay números cuadrados. ¿Cuáles crees que son los cuatro primeros? ¿Será cuadrado el número 100? ¿Por qué?
Cuatro primeros cuadrados:
1
4
9
16
El número 100 sí es un número cuadrado.
100
27
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Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
•¿Qué número asocias a la figura de abajo? ¿Serías capaz de dibujar alguno más del mismo
tipo?
Si más arriba has visto números triangulares y números cuadrados, ¿cómo llamarías ahora
a estos últimos?
A la figura de arriba se le asocia el número 22. Es un número pentagonal. Otros números pentagonales:
22
35
51
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Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Piensa y deduce
•¿Qué número se ha representado en cada uno de estos ábacos?
En el ábaco de la izquierda se ha representado el número 257.
En el ábaco de la derecha se ha representado el número 18 400.
Practica
•Dibuja, de la misma forma, los movimientos de estas operaciones:
a) 341 – 15
b)563 + 361
a)
b)
29
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Matemáticas 1
Página 27
Entrénate resolviendo problemas
Reflexiona, ensaya y sé organizado
• Si escribes todos los números impares entre el 100 y el 200, ¿cuántas veces habrás usado la
cifra 6?
• ¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de tres cifras?
• ¿Cuantas veces utilizarás la cifra 5 si escribes todos los capicúas de tres cifras?
• ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar utilizando solamente las
cifras 1, 2, y 3?
• Coloca los números del 1 al 9, uno por casilla, de forma que todos los tríos
alineados sumen 15.
• El seis no podrá estar en la primera cifra, pues estamos entre 100 y 200. Tampoco en la última,
pues hablamos de impares, con lo cual solo la habremos usado 5 veces, los impares con 6 en la
cifra de las decenas (161, 163, 165, 167, 169).
• Los números capicúas de dos cifras son los que tienen esas dos cifras iguales y distintas de cero;
por tanto, hay nueve.
De tres cifras, por cada uno de los nueve anteriores puedo meter en el medio 10 cifras distintas,
con lo que hay 9 · 10 = 90.
• Para escribir todos los números capicúas de tres cifras, la cifra 5 se utiliza:
– Dos veces por cada uno de los números que empiezan y acaban en 5. Como la cifra central
puede ser de 0 a 9 (diez cifras distintas) y una de ellas es un 5, tendremos 2 · 10 + 1 = 21.
– Una vez en cada uno de los capicúas que empiezan por el resto de cifras menos el cero y el cinco, que ya está contado. Así, sumamos otros 8.
Total: la cifra 5 aparece 29 veces.
• Para la primera cifra hay tres opciones (1, 2 o 3). Para cada una de esas tres op-
ciones hay otras tres para la segunda cifra, y otras tres para la tercera. Por tanto,
existen 3 · 3 · 3 = 27 números distintos con las condiciones dadas.
•
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Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
Autoevaluación
1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
sistemas de numeración
egipcio
romano
decimal
mmcdxlviii
4 528
Di si cada uno de los sistemas es aditivo o posicional. ¿Cuál es la diferencia?
El sistema de numeración decimal es posicional, lo que quiere decir que el valor de una cifra
depende del lugar que ocupe. Los sistemas egipcio y romano, sin embargo, son aditivos; esto
es, se suman las cantidades que representa cada símbolo.
sistemas de numeración
egipcio
romano
decimal
mmmxlii
3 042
mmcdxlviii
2 448
——
ivdxxviii
4 528
2. Observa estas cantidades:
•La extensión de Brasil es de 8 514 877 km2.
•El caudal de este río es de 209 487 m3/s.
•Luisa ha recibido un premio de seiscientos ochenta y cinco mil cuatrocientos veintisiete euros.
•La población de Australia es de veintidós millones seiscientos ochenta y siete mil cuatrocientos veintisiete habitantes.
a) Expresa con letras las cantidades que están dadas con cifras, y viceversa.
b) Redondea a las decenas de millar.
c) Redondea al orden de unidad que consideres más adecuado para que la información
sea razonable e indica a qué orden has redondeado.
a)–La extensión de Brasil es de ocho millones quinientos catorce mil ochocientos setenta y
siete kilómetros cuadrados.
– El caudal de este río es de doscientos nueve mil cuatrocientos ochenta y siete metros cúbicos por segundo.
– Luisa ha recibido un premio de 685 427 euros.
– La población de Australia es de 22 687 427 habitantes.
31
ESO
Unidad 1. Los números naturales
Matemáticas 1
b)– La extensión de Brasil es de 8 510 000 km2.
– El caudal de este río es de 210 000 m3/s.
– Luisa ha recibido un premio de 690 000 euros.
– La población de Australia es de 22 690 000 habitantes.
c)– La extensión de Brasil es de 8 500 000 km2 (redondeo a las centenas de millar).
– El caudal de este río es de 210 000 m3/s (redondeo a las decenas de millar).
– Luisa ha recibido un premio de 700 000 euros (redondeo a las centenas de millar).
– La población de Australia es de 22 700 000 habitantes (redondeo a las centenas de millar).
3. Calcula.
a)1 528 + 35 + 482
b)4 321 + 189 – 1 387
c)324 · 28
d)3 611 : 157
a)2 045
b)3 123
c)9 072
d)23
4. Copia en tu cuaderno y calcula los términos que faltan.
a)154 ·
= 462
a)3
b)
: 27 = 98
c)30 275 :
b)2 646
= 35
c)865
d)1 508 =
· 125 + 8
d)12
5. Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.
a)18 ·
= 180
b)
· 100 = 27 000
c)4 000 :
= 40
d)
: 10 = 38
a)
10 b)
270c)
100d)
380
6. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a)12 + 3 · 5 – 2
b)7 · 3 – 4 · 2 + 2
c)19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7
d)10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]
a)
25 b)
15c)
32d)
130
7. Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10 céntimos. ¿De cuántas formas dife-
rentes puedes juntar un euro? Justifica tu respuesta.
_
50 · 2
20 + 4 + 10 · 2 b
50 + 2 · 20 + 10
20 · 3 + 10 · 4 b
b
50 + 20 + 3 · 10
20 · 2 + 10 · 6 ` Son 10 formas diferentes.
b
50 + 5 · 10
20 + 10 · 8
b
b
20 · 5
10 · 10
a
8. Un hortelano tiene dos campos con 165 y 213 manzanos, respectivamente. Espera co-
sechar, por término medio, 35 kg de manzanas por árbol. Al recoger la cosecha, la empaquetará en cajas de 10 kg y la venderá a un almacén que le paga a 3 € la caja. ¿Qué
cantidad espera ingresar por la venta de manzanas?
Manzanos: 165 + 213 = 378
Kilos: 378 · 35 = 13 230
Cajas: 13 230 : 10 = 1 323
Ingresos: 1 323 · 3 = 3 969 €
32