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Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Magnetostática
•
•
•
•
•
Definición.
El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.
Ley de Biot y Savart.
Ley de Ampère.
Campo en puntos alejados. Momento magnético.
– Comportamiento en el infinito.
– Corrientes ligadas.
• Energía Magnética.
–
–
–
–
Relación con las corrientes. Formación e Interacción.
Sistemas de corrientes filiformes.
Coeficientes de inducción. Autoinducción.
Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.
• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall
EyM 5d-1
J.L. Fernández Jambrina
Energía del Campo Magnético Estacionario
• Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo
Magnético almacenada en un volumen V como:
Wm =
r r
1
B ⋅ HdV
2 ∫∫∫
V
– Si lo que se desea es calcular la energía asociada a una distribución, V
debe abarcar toda la región en la que exista campo magnético:
habitualmente todo el espacio.
– Observando esta expresión se intuye que la energía se encuentra
almacenada en donde existe campo. Por tanto es posible definir una
densidad de energía por unidad de volumen como:
dWm 1 r r
= B⋅H
dV
2
– La energía de una distribución debe ser positiva. En el caso concreto de
medios isótropos y lineales:
dWm 1 r r 1 r 2 1 r 2
= B⋅H = µH =
B ≥0
dV
2
2
2µ
– Sólo toma el valor 0 si los campos son nulos.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-2
1
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Relación Energía - Corrientes
• Puesto que el campo magnético tiene su origen en las corrientes, es
interesante relacionarlas con la energía.
– Como punto de partida conviene recordar que:
r r
r r
r
r
r r
r r
r r
∇ ⋅ A × H = H ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × H 
r
r
r r
 ⇒ H ⋅ B = ∇ ⋅ A× H + A⋅ J

B = ∇× A ; ∇× H = J
– y sustituyendo en la expresión de la energía:
r r
r r
r r
r 1
r r
1
1
1
Wm = ∫∫∫ ∇ ⋅ A × H dV + ∫∫∫ A ⋅ JdV = ∫∫ A × H ⋅ dS + ∫∫∫ A ⋅ JdV
2 V
2 V
2 S
2 V
– Si el campo cumple las condiciones de regularidad en el infinito la
primera de las integrales se cancela:
» al hacer tender la superficie S al infinito
r
r r
r 1
r r
r
1 r
1
A ∝ 2 , B ∝ 3 ,S ∝ r 2 ⇒ ∫∫ A × H ⋅ dS ∝ 3 ⇒ lim ∫∫ A × H ⋅ dS = 0
S
S
S →S∞
r
r
r
(
)
(
(
)
(
(
)
)
)
(
)
• Por tanto: W = 1 Ar ⋅ JrdV
m
∫∫∫V
2
J
– V se puede limitar al volumen en que hay corrientes.
EyM 5d-3
J.L. Fernández Jambrina
Relación Energía - Corrientes
(2)
• La expresión anterior puede generalizarse para el caso de corrientes
superficiales y filiformes:
r r
r r
1
1
I r r
A ⋅ JdV + ∫∫ A ⋅ J S dS + ∫ A ⋅ dl
2 ∫∫∫V
2 S
2 C
– Hay que mencionar que la expresión para corrientes filiformes conduce a
una energía infinita. Esto no debe preocupar ya que se trata de una
aproximación de corrientes que circulan por conductores muy delgados.
Wm =
• Se puede seguir eliminando los campos de la expresión de la
energía: Así para un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:
r r
r r

µ
J (r ′ )
r r r r
A(r ) =
r
r dV ′
∫∫∫
V
J (r ′ ) ⋅ J (r )
µ
r − r′
4π

r r dV ′dV
 ⇒ Wm =
r r
8π ∫∫∫V ∫∫∫V r − r ′
1

Wm = ∫∫∫ A ⋅ JdV

2 V
– Y para distribuciones superficiales y filiformes:
r r
r r r r
µ
J S (r ′) ⋅ J S (r )
µI 2
dl ′ ⋅ dl
′
Wm =
d
S
dS
W
=
r
r
r
r
m
8π ∫∫S ∫∫S ′
r − r′
8π ∫C ∫C ′ r − r ′
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-4
2
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Energías de interacción y formación
• Los conceptos de energías de formación y de interacción son
también aplicables a la energía asociada al campo magnético:

 
Total
Formación2

  Formación1

 
r
r 2
r r
r r
1
 1
  1
Wm = 
µ H1 + H 2 dV  =  ∫∫∫ µH1 ⋅ H1dV + ∫∫∫ µH 2 ⋅ H 2 dV
∫∫∫
2
2
2
V
V

  V
r r
r r
r r
r r
1
  1
1
+ ∫∫∫ J 2 ⋅ A2 dV
 2 ∫∫∫ J1 + J 2 ⋅ A1 + A2 dV   2 ∫∫∫ J1 ⋅ A1dV
2 V2
 V1 +V 2
 
V1
r r
r r
J
⋅
A
dV
» Se puede demostrar que
∫∫∫ 1 2 = ∫∫∫ J 2 ⋅ A1dV
(
)(
Interacción
r r
+ ∫∫∫ µH1 ⋅ H 2 dV
)
V1
V
r r
+ ∫∫∫ J1 ⋅ A2 dV
V1
V2
siguiendo un procedimiento similar al seguido para demostrar:
r r
r r
1
1
Wm = ∫∫∫ H ⋅ BdV = ∫∫∫ A ⋅ JdV
V
V
2
2
J
– Las energías de formación deben ser positivas.
– Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como
negativas.
EyM 5d-5
J.L. Fernández Jambrina
Energía magnética de una corriente filiforme.
• La energía magnética de una corriente filiforme es infinita.
– Si se escoge un elemento de longitud
suficientemente pequeña como para considerarlo recto,
El campo a una distancia D<∆R<<∆L será
∆R
fundamentalmente el debido al
r r
I
ϕˆ
propio elemento, considerado como de H (r ) ≈
2πρ
longitud infinita:
– La energía almacenada en esta región (cilindro) será:
2
r2
z 0 + ∆L 2 π ∆R µ  I 
µ
∆WH = ∫∫∫ H dV = ∫


∫0 ∫0 2  2πρ  ρdρdϕdz =
z0
2 ∆V
=
z
∆L
µI 2 ∆L ∆R dρ µI 2∆L
(ln ∆R − ln 0) = ∞
=
4π ∫0 ρ
4π
– La energía es infinita en las proximidades de la corriente filiforme.
» Es decir, donde la aproximación de corriente filiforme no es válida.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-6
3
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Energía de interacción de sistemas de
corrientes lineales
I1
• Si se tiene un sistema de corrientes que
pueda aproximarse por corrientes filiformes,
la energía magnética de interacción entre dos
de los contornos, Ci y Cj, toma la forma:
WH i , j = I i ∫
Ci
Ik
C1
– Como el flujo a través de Ci del campo debido a Ij vale:
r
r
r
r
r
r
Φ i , j = ∫∫ B j ⋅ dS = ∫∫ ∇ × A j ⋅ dS = ∫ A j ⋅ dli
Si
Si
(
)
Ck
CN
r
r
Aj ⋅ dli
IN
Ci
– Resulta: Wmi , j = I i Φ i , j
– Es más, puesto que, para medios lineales, el campo total es la suma de
los campos creados por cada corriente, la suma de las energías de
interacción
será:
r
r
r
r r
v
v
v
B = ∑ B j ⇒ Φ i = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ ∑ B j ⋅ dS = ∑ ∫∫ B j ⋅ dS = ∑ Φ i , j ⇒
j
Si
N
⇒ Wm = ∑ I i
i =1
j
Si
N
∑Φ
j =i +1
i, j
j
j
Si
N
1 N
= ∑ Ii ∑ Φi, j
2 i =1 j =1
j ≠i
EyM 5d-7
J.L. Fernández Jambrina
Coeficientes de Inducción Mutua
• En medios lineales existe una relación de proporcionalidad entre la
corriente y el campo que esta genera. Esta proporcionalidad,
consecuencia de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se
extiende también al flujo.
r
r
r
r
Φ i , j = ∫∫ B j ⋅ dSi = Li , j I j
Si
Li , j =
1
Ij
∫∫ B
j
⋅ dS i
Si
– Este factor de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de
inducción: Li,j
– En función de Li,j la energía de interacción queda como:
j ≠i
j ≠i
1
1
Wm = ∑ I i ∑ Φ i , j = ∑∑ I i I j Li , j
2 i
2 i j
j
r r
µI 2
dl ′ ⋅ dl
– Recordando que: Wm =
r r
8π ∫C ∫C ′ r − r ′
r r
d
l
µ
i ⋅ dl j
Se obtiene fórmula de Neumann: Li , j =
r r
∫
∫
4π Ci C j ri − rj
» Nota: el coeficiente de autoinducción, Li,i , es infinito.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-8
4
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Coeficientes de inducción de distribuciones no
filiformes
• Se ha visto que existen dos métodos para el cálculo de coeficientes
de inducción mutua para corrientes filiformes: la fórmula de Neumann
y la energía.
r r
dli ⋅ dl j
µ
Li , j =
r r
4π C∫i C∫j ri − rj
Li , j =
(Wm )i, j
Ii I j
=
µ
Ii I j
r
∫∫∫ H
i
r
⋅ H j dV
V
– La expresión basada directamente en la energía se utiliza para
generalizar la definición de coeficiente de inducción mutua a
distribuciones superficiales y volumétricas.
– Esta misma expresión puede utilizarse para definir el coeficiente de
autoinducción de una distribución superficial o volumétrica:
Li ,i =
2(Wm )i ,i
Ii
2
=
µ
Ii
2
r
∫∫∫ H
2
i
dV
V
» La presencia del factor 2 en la expresión de la autoinducción y su
ausencia en la de los coeficientes de inducción mutua proviene de
las definiciones de energías de formación e interacción.
EyM 5d-9
J.L. Fernández Jambrina
Energías de interacción y formación
• Los conceptos de energías de formación y de interacción son
también aplicables a la energía asociada al campo magnético:

Total

  Formación1
r
r 2
 1
 
r r
 2 ∫∫∫ µ H1 + H 2 dV
 1
µH1 ⋅ H1dV
V
∫∫∫



2
r r
r r

V
Wm =  1
∫∫∫ J1 + J 2 ⋅ A1 + A2 dV  =  1 Jr ⋅ Ar dV
 2 V1 +V2
∫∫∫ 1 1

  2 V
1 2 2

 
1 2
∑∑ Ii I j Li , j
I1 L1,1
2 i j

 
2

(
)(
)
Formación2
Interacción
r r
1
µH 2 ⋅ H 2 dV
2 ∫∫∫
V
r r
1
+ ∫∫∫ J 2 ⋅ A2 dV
2 V
1 2
+ I 2 L2, 2
2
r r
+ ∫∫∫ µH1 ⋅ H 2 dV
+
V
r r
+ ∫∫∫ J1 ⋅ A2 dV
V
+ I1I 2 L1, 2
• Las energías de formación deben ser positivas.
• Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como
negativas.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-10
5
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Propiedades de los Coeficientes de Inducción
• Los coeficientes de inducción son parámetros geométricos.
– su valor no depende de las corrientes que circulan tal como puede verse
de su expresión.
• Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji
– Se deduce de su expresión.
– (ojo) Su signo cambia si se cambia el sentido considerado como
positivo para una de las corrientes, circulaciones o flujos.
• Los coeficientes de autoinducción de circuitos filiformes son infinitos
– Las integrales son impropias.
– La energía asociada con un sistema de corrientes filiformes es infinita.
– Las corrientes filiformes son un modelo matemático sin realidad física.
» Se necesita energía infinita para hacer pasar una corriente finita por
un conductor de sección transversal nula.
• Los coeficientes de autoinducción de distribuciones volumétricas o
superficiales son finitos y positivos.
EyM 5d-11
J.L. Fernández Jambrina
Autoinducción de distribuciones volumétricas
• El coeficiente de autoinducción de distribuciones volumétricas se
define a partir de su energía:
L=
r r
2Wm 1
= 2 ∫∫∫ B ⋅ HdV
2
V
I
I
• Puesto que parte de esta energía se está asociada al campo en el
interior de la distribución y parte fuera, se acostumbra a
descomponer la autoinducción en dos sumandos, llamados:
– coeficiente de autoinducción interno, asociado a la energía interior.
– coeficiente de autoinducción externo, asociado a la energía exterior.
r r
2Wm ,i 1

 Li = I 2 = I 2 ∫∫∫ B ⋅ HdV
Wm = Wm ,i + Wm ,e 
Vi

⇔
r r
2
W
L = Li + Le 
1
m,e
L =
= 2 ∫∫∫ B ⋅ HdV
2
 e
I
I Ve

– Es posible relacionar estos coeficientes de autoinducción con el
concepto de flujo.
EyM 5d-12
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
6
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Autoinducción de un Hilo Conductor
Cilíndrico Indefinido.
• Datos de la distribución de corriente
I0
– Radio a.
a
– Se supone que la corriente se distribuye de forma uniforme:
Z
 I0 ρ ˆ
ϕ
;
0
≤
ρ
≤
a
2
r r 
– El campo creado es: H (r ) =  2π a
I0
ϕˆ ;
a≤ρ

 2πρ
2W
– Calculando el coeficiente de autoinducción a partir de la energía: L = 2m
I0
» En el exterior:
Lext
1
= 2
l
lI 0
z0 + l
∞
z0
ρ=a
2
 I 
µ ∞ dρ
µ 0  ρdϕdρdz =
=∞
ϕ = 0  2πρ 
2
π ∫a ρ


∫ ∫ ∫
2π
» El coeficiente de autoinducción externo por unidad de longitud es
infinito. (Debido fundamentalmente a que no se cumplen las
condiciones de regularidad)
EyM 5d-13
J.L. Fernández Jambrina
Autoinducción Interna de un Hilo Conductor
Cilíndrico Indefinido.
r
• En el interior: H i =
I0 ρ
ϕˆ
2π a 2
2
Wint 1 a 2 π  I 0 ρ 
µI
= ∫ ∫ µ
 ρdϕdρ = 0
l
2 ρ = 0 ϕ = 0  2π a 2 
16 π
2
( )
Lint 2Wint m µ H
=
=
= 50 nH m
l
I2
8π m
– Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción
interna por unidad de longitud que puede ser importante.
– Puesto que el campo en el interior de un hilo cilíndrico será
fundamentalmente debido a la corriente que circula por él, este resultado
se puede utilizar como aproximación en muchos casos.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-14
7
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Autoinducción de un Cable Coaxial
• En el conductor interior:
I0
– la situación es idéntica a la del hilo indefinido:
L0 a 2WH ,0 a µ
=
=
l
lI i2
8π
• En la región intermedia:
– La autoinducción externa
por unidad de longitud:
µ
Lext
= 2
l
I0
r
I
H = 0 ϕˆ
2πρ
2
 I 
µ
∫ρ =a ∫ϕ =0  2πρ0  ρdϕdρ = 2π
2π
b
Z
b
dρ
a
ρ
∫
a
b
=
µ
2π
I0
c
b
ln 
a
 c2

I0
 − ρ ϕˆ
2
2 
2π (c − b )  ρ

2
 c2

Lint
I0
1 1 c 2π 
 − ρ   ρdϕdρdz =
= 2 ∫ ∫ ∫ µ
2
2

l
I 0 z =0 ρ =b ϕ =0  2π c − b  ρ

1
µ
 4 c 2 2

=
c ln − c c − b 2 + c 4 − b 4 
2
2 2 
b
4


2
π
c
−
b
J.L. Fernández Jambrina
r r
• En el conductor exterior: H (r ) =
(
(
)
(
)
) (
)
Autoinducción de un Coaxial.
• Utilizando:
α=
EyM 5d-15
(2)
b
L
µ b µ
⇒ ab =
ln =
ln α
a
l
2 π a 2π
400nH/m
Lab/l
200nH/m
L0a /l
0
1
2
3
4
5
α
• Para valores normales, α= [1.5, 5], el coeficiente de inducción interno
del conductor interior contribuye a la inducción total de forma
significativa.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-16
8
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Autoinducción de un Coaxial.
• Utilizando:
β=
c
L
µ
⇒ bc =
2
2
b
l
2π(c − b 2 )
=
(3)
1 4
 4 c
2 2
2
4 
c ln b − c (c − b ) + 4 (c − b ) =

µ
1  4
β4 − 1 2 2
 β ln β +
− β (β − 1)
2 
2
2π (β − 1) 
4

80nH/m
60nH/m
40nH/m
Lbc
l
20nH/m
0
1
1.2
1.4
1.6
β
1.8
2
• Para valores normales, β<1.2, el coeficiente de inducción interno del
conductor exterior no contribuye a la inducción total de forma
significativa.
EyM 5d-17
J.L. Fernández Jambrina
Autoinducción: Método de los tubos de flujo.
• En un medio isótropo el dV puede construirse dSr
ar partir de un dS ortogonal a las líneas
r de
B y un dl paralelo a las líneas de H .
–
(
(
)(
)
)(
) (
r
r r r
0 = B × dl ⋅ H × dS =
r r r r
r r
= B ⋅ H dS ⋅ dl − B ⋅ dS
1
424
3
dV
r r
r r r r
B ⋅ HdV = H ⋅ dl B ⋅ dS =
(
Wm =
)(
r
dl
I
)(
r r
H ⋅ dl
)
) (Hr ⋅ dl )dΦ
r
B
r r
1
1  r r
B ⋅ HdV = ∫∫  ∫ H ⋅ dl  dΦ B
∫∫∫

2 V
2 S B  C H

La integral de contorno, según la ley de Ampère es la corriente
encerrada por el contorno, es decir, por el tubo de flujo. Denominando a
esta corriente I(CH) resulta:
1
Wm = ∫∫ I (CH )dΦ B
2 SB
– Para que esta expresión se pueda aplicar, el flujo debe calcularse según
una superficie normal a las líneas de campo, y que I(CH) es la corriente
encerrada por la línea de campo correspondiente al dΦ .
EyM 5d-18
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
9
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Autoinducción: Método de los tubos de flujo.
• Si no hay líneas de campo que corten a las corrientes es posible
separar las energías de las regiones interna y externa:
Wm =
1
I
I (CH )dΦ B + ∫∫ dΦ B
2 ∫∫
2
S
S
i
e
– Obsérvese que la corriente encerrada por las líneas de campo externas
es constante y en muchos casos coincide con la corriente total.
• En este caso los coeficientes de inducción interno y externo quedan
como:
2W
Li = 2m ,i =
I
∫∫ I (C )dΦ
H
Si
I
2
B
2W
;Le = 2m , e =
I
∫∫ dΦ
Se
B
=
I
Φ B,e
I
– En un conductor filiforme no existe la región interior y, por tanto, la única
contribución a L es la externa.
EyM 5d-19
J.L. Fernández Jambrina
Autoinducción Cable Coaxial
– Para el cable coaxial la autoinducción
externa por unidad de longitud se
obtiene del flujo a través de la sección
Se indicada en la figura.
1
Φ=∫
∫
b
z =0 ρ = a
z=1
z=0
• Utilizando el método de
los tubos de flujo:
dρ
Se
b
a
Si
 I 
µI b dρ µI  b 
µ
dρdz = 2π ∫a ρ = 2π ln a 
2
πρ
 


Lext Φ ext
µ b
– La autoinducción por unidad de
longitud correspondiente resulta: m = I = 2π ln a 
– De forma análoga se obtiene la autoinducción interna del conductor
interior a partir del flujo a través de Si :
Li =
1
I2
 πρ2  I ρ
µ

I
 µ
dρdz  =
2
ρ = 0  πa 2 
2
π
a
2
π
a4



1
∫∫ I (l′)dΦ = I ∫ ∫
1
Si
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
2
z =0
a
∫
a
0
µ
8π
EyM 5d-20
ρ3dρ =
10
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Línea Bifilar.
I
• Una línea bifilar está formada por dos
conductores cilíndricos paralelos por los
que circula la misma corriente en sentidos
contrarios.
a
d
a
I
2
1
0
1
2
4
2
0
2
4
EyM 5d-21
B
J.L. Fernández Jambrina
Línea bifilar.
(2)
• Aproximaciones para d>>a:
– Dentro de cada conductor el campo es el propio.
– En la superficie de los conductores el campo es tangencial
2
1
0
1
2
4
2
0
2
4
B
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-22
11
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Línea Bifilar
(3)
• Aproximación 1:
– Dentro de cada conductor el campo es el debido a su propia corriente:
» La energía dentro de cada conductor será la misma que para un
conductor sólo.
» El coeficiente de autoinducción interno será el doble del de un
conductor cilíndrico indefinido:
Li = 2
µ
µ
=
= 100nH/m
8π 4π
EyM 5d-23
J.L. Fernández Jambrina
Línea Bifilar.
(4)
Yb
• Aproximación 2:
– El campo es tangencial a las superficies.
» Esto permite aplicar la fórmula del flujo
del campo magnético utilizando
cualquier superficie limitada por los
conductores.
Zb
r r
r
» Como: B = Ba + Bb y utilizando la simetría.
r
r
r
r r
r
r
r
B ⋅ dS ∫∫ Ba ⋅ dS ∫∫ Bb ⋅ dS
Bb ⋅ dS
∫∫
∫∫
Se
Se
Se
Se
Le =
=
+
=2
I
I
I
I
» Utilizando la superficie y=0.
r
rb
r
ra
ϕb
d x$b
Xb
Le
1 1 d − a  µI 
µ d −a
= 2 ∫ ∫ 
ϕˆ  ⋅ ϕˆ dρdz = ln
0
z
=
ρ
=
a
l
I
π
a
 2πρ 
• Resultado:
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
L µ µ d −a
=
+ ln
l 4π π
a
EyM 5d-24
12
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Línea Bifilar.
(5)
• La figura compara los valores autoinducción externa en función de la
relación d/a para las expresiones exacta Le y aproximada La por
unidad de longitud.
1 10
6
Le ,aprox
5 10
l
7
=
µ d −a
ln
a
π
Le ,exacto
l
0
2
4
6
• El error relativo cometido
al usar la expresión
aproximada es menor
del 5% para d/a > 10.
8
10
12
=
µ d
ln
π a
14
16
18
20
d/a
30
25
20
Error
15
10
5
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
d/a
EyM 5d-25
J.L. Fernández Jambrina
Autoinducción de una línea biplaca.
• Aproximación para el cálculo de la inductancia:
– Si w>>d, se puede suponer que las líneas de
campo tienen el aspecto de la figura:
» No cortan a los conductores.
» Así se puede aplicar fácilmente el
método de los anillos de flujo, lo que equivale a calcular el flujo entre
dos puntos cualquiera de los conductores:
r
Wm 1
1
I r
µI 2 d
= ∫∫ I (CH )dΦ B = ∫ I (CH )B ⋅ nˆdl = ∫ B ⋅ nˆdl =
L
L
l
2l S
2 B
2 B
2w
B
» Y la inductancia:
• Cálculo exacto:
L 2Wm
d
= 2 =µ
l
I
w
– El cálculo exacto conviene hacerlo a través de:
» Es engorroso.
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
r r
Wm 1
= ∫ J S ⋅ Adl
l
2 JS
EyM 5d-26
13
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Autoinducción de una línea biplaca.
(2)
• Comparación entre el valor aproximado de la inductancia y el exacto:
10µH/m
Exacta
Aproximada
1µH/m
L/l
0.1µH/m
0.01µH/m
1
– Las escalas son logarítmicas.
10
w/d
100
EyM 5d-27
J.L. Fernández Jambrina
Autoinducción de un Solenoide Toroidal
• Sea un arrollamiento sobre un toroide de
sección transversal rectangular como el
indicado en la figura de radios a y b y altura d.
• El arrollamiento tiene N espiras totales y la
corriente que circula es de I amperios.
– El campo en su exterior es nulo.
r
NI
ϕˆ
– El campo en su interior es: H =
2πρ
» Verifica la ley de Ampère y las condiciones en el infinito y en la
superficie del solenoide.
d
b
 NI 
µNId b
ϕˆ  ⋅ ϕˆ dρdz =
ln
2π
a
 2πρ 
• El flujo en una espira: Φ ex = ∫z = 0 ∫ρ = a µ
2
• El flujo total será N veces el anterior, y L = NΦ ex = µN d ln b
I
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
2π
a
EyM 5d-28
14
Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Inducción mutua entre dos espiras.
Z
• Sean las dos espiras de la figura:
C2
» Filiformes
» Contenidas en planos paralelos
separados una distancia d.
» Coaxiales de radios a y b.
– Al ser filiformes se puede aplicar
la fórmula de Neumann:
r r
µ
dl1 ⋅ dl2
L12 =
r
r
4π ∫C1 ∫C 2 r1 − r2
r r
r1 − r2
d
C1
X
r
dl 2
b
a
r
dl1
Y
» Los diferenciales de longitud son:
r
dl1 = adϕ1ϕˆ 1 = a(− sen ϕ1 xˆ + cos ϕ1 yˆ )
r
dl2 = bdϕ2ϕˆ 2 = b(− sen ϕ2 xˆ + cos ϕ2 yˆ )
r r
dl1 ⋅ dl2 = ab(sen ϕ1 sen ϕ2 + cos ϕ1 cos ϕ2 )dϕ1dϕ2 = ab cos(ϕ2 − ϕ1 )dϕ1dϕ2
EyM 5d-29
J.L. Fernández Jambrina
Inducción mutua entre dos espiras circulares.
» Los vectores de posición y el módulo de su diferencia:
r
r1 = aρˆ 1 = a (cos ϕ1 xˆ + sen ϕ1 yˆ )
r
r2 = bρˆ 2 + dzˆ = b(cos ϕ2 xˆ + sen ϕ2 yˆ ) + dzˆ
r r
r2 − r1 = (b cos ϕ2 − a cos ϕ1 )xˆ + (b sen ϕ2 − a sen ϕ1 ) yˆ + dzˆ
r r
r2 − r1 = a 2 + b 2 − 2ab cos(ϕ2 − ϕ1 ) + d 2
» Sustituyendo:
µ 2π 2π
ab cos(ϕ2 − ϕ1 )dϕ1dϕ2
L12 =
4π ∫ϕ1 = 0 ∫ϕ 2 = 0 a 2 + b 2 − 2ab cos(ϕ2 − ϕ1 ) + d 2
» Realizando el cambio: α = ϕ2 − ϕ1
L12 =
µ 2 π 2 π + ϕ1
ab cos αdϕ1dα
µ 2π
ab cos αdα
=
4π ∫ϕ1 = 0 ∫α = ϕ1 a 2 + b 2 − 2ab cos α + d 2 2 ∫α = 0 a 2 + b 2 − 2ab cos α + d 2
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
EyM 5d-30
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Electricidad y Magnetismo
2010/2011
Inducción mutua entre
dos espiras circulares
(2)
– La primitiva de esta última integral implica funciones elípticas.
– La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función
de la separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y
tomando como parámetro la relación entre sus radios (b/a).
» La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son
coplanares.
» Si las dos espiras son de radios muy parecidos la inducción mutua
crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares.
6
b/a=1.1
b/a=1.5
b/a=2
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
d/a
J.L. Fernández Jambrina
3
EyM 5d-31
Fórmulas aproximadas de autoinducción
• Autoinducción de un hilo recto corto:
µ l 4l
L = 0 ln
2π
d
L = inductancia (H)
l = longitud del hilo(cm)
d = diametro del hilo (cm)
» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse,
Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 427
• Autoinducción de un solenoide:
2
L = n2
r
9r + 10l
L = inductancia (µH)
n = numero de vueltas
r = radio del solenoide (in)
l = longitud del solemoide (in)
» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse,
Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 428
EyM 5d-32
J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática d: Energía y coeficientes de
inducción
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