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Electricidad y Magnetismo
Ejercicios y Problemas adicionales
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Ejercicio (T2 Feb 2005)
Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un anillo de carga superficial ρs
cul/m2 con radio a y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s
z
r
r
J s = ρ s v = ρ s aω0 (− ϕˆ )
A/ m
ρs cul/m2
r
⎧Superficie : ϕ = cte⎫ h
I = ∫ J s ⋅ nˆ dl = ⎨
⎬ = ∫0 J s (− ϕˆ ) ⋅ (− ϕˆ )dz = ρ s aω0 h
C
nˆ = −ϕˆ
⎭
⎩
22/01/2009
ω0 rad/s
A
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Ejercicio (T7 Feb 2005)
Calcule la intensidad de campo magnético en el interior de una línea biplaca, cuya
sección se ve en la figura, que contiene un material magnético de permeabilidad µ y
transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes y suponga µ>>µ0.
C
~I x
b
y
9I
Aplicando la Ley de Amper
r r
H
∫ ⋅ dl = I
C
a cada una de las láminas de corriente
y aplicando superposición.
µ
a
El grosor de los conductores es despreciable
r
r ⎧I a ŷ dentro
⎧− I 2a ŷ arriba
⇒ H=⎨
H I0 ẑ = ⎨
fuera
⎩ 0
⎩ I 2a ŷ abajo
A/m
Ejercicio (T8 Feb 2005)
Calcule el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de la línea biplaca,
cuya sección se ve en la figura, que contiene un material magnético de permeabilidad µ y
transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes y suponga µ>>µ0.
~I x
b
y
9I
µ
a
El campo era:
r ⎧ I a yˆ dentro
H =⎨
fuera
⎩ 0
El grosor de los conductores es despreciable
Por tanto:
2
r r
WH 1 L 2 1
1 ⎛I⎞
=
I = ∫∫∫ B ⋅ HdV = µ ⎜ ⎟ ab
2l
2 V
2 ⎝a⎠
l
22/01/2009
L
b
= µ Henrios
a
l
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Ejercicio (T9 Feb 2005)
Calcule la fuerza que se aplica a la espira cuadrada de lado d situada en el vacío que
transporta una corriente I cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de
rotación angular. En esa zona está aplicada una inducción magnética de valor B o x̂
z
ω0
d
I
R
x
α=ω0t
y
Como cualquier espira cerrada frente a un campo uniforme la fuerza que sufre es nula.
Ejercicio (T10 Feb 2005)
Calcule la f.e.m.i. que aparece en una espira cuadrada de lado d situada en el vacío
cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de rotación angular. En esa
zona esta aplicada una inducción magnética de valor B o x̂
Fije la polaridad en la figura supuesta la espira cargada con una resistencia R.
z
ω0
d
r r
Φ B = ∫∫ B ⋅ dS = B0 cos(α − 90º )d 2 Weber / m 2
S
x
+
R
α=ω0t
y
f .e.m.i. = −
22/01/2009
dΦ B
d
=−
B0 sen(ω0t )d 2 = − B0ω0 cos(ω0t )d 2 V
dt
dt
(
)
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Ejercicio (T3 Sep 2005)
Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un cono de carga superficial
ρs cul/m2 con ángulo generatriz θ0 y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s
z
ω0 rad/s
r
θ0
ρs cul/m
2
r
v
h
r
r
J s = ρ s v = ρ s r sin (θ0 )ω0 (− ϕˆ ) A / m
h
r
ρ ω h 2 sin (θ 0 )
I = ∫ J s ⋅ nˆ dl = ∫ cos (θ 0 ) ρ s r sin (θ 0 )ω0 (− ϕˆ ) ⋅ (− ϕˆ )dr = s 0 2
A
0
C
2 cos (θ 0 )
Ejercicio (T7 Sep 2005)
Sea un material con forma de toroide de sección cuadrada de lado a, radios R1 y R2
(R1<R2) y permeabilidad µ. Está dispuesto de modo que su eje de rotación coincide con
el eje z de un sistema en coordenadas
cilíndricas. En su interior aparece una intensidad
r
c
de campo magnético de valor H =
ϕˆ .
ρ
Este toroide se encuentra rodeado por el vacío donde
aparece un campo magnético nulo.
Obtenga las densidades de corrientes superficiales
sobre las paredes del toroide.
R2
R1
a
a
(
r
r
r
J s = nˆ × H 2 − H1
(
r
r
r
J s = nˆ × H 2 − H1
22/01/2009
)
S
)
I
S
r
⎧
⎛ c ⎞ c
J s = zˆ × ⎜⎜ − φˆ ⎟⎟ = ρˆ
⎪Cara superior
⎪
⎝ ρ ⎠ ρ
=⎨
r
⎛
⎪ Cara inferior J = − zˆ × ⎜ − c φˆ ⎞⎟ = − c ρˆ
s
⎜ ρ ⎟
⎪⎩
ρ
⎝
⎠
Cara externa
Cara interna
r
⎛ c ⎞
c
J s = ρˆ × ⎜⎜ − φˆ ⎟⎟ = − zˆ
R2
⎝ ρ ⎠
r
⎛ c ⎞ c
J s = − ρˆ × ⎜⎜ − φˆ ⎟⎟ = zˆ
⎝ ρ ⎠ R1
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Ejercicio (T8 Sep 2005)
Suponiendo que las densidades de corriente del ejercicio anterior están causadas por N
espiras (si no conoce el valor de la corriente resuelto en el apartado anterior suponga que
vale I). Calcule su coeficiente de autoinducción.
Φ B NΦ B1esp
=
I
I
r r
R2
Φ B1esp = ∫∫ B ⋅ dS = ∫
NΦ B1esp
L=
I
=
µcaN
I
R1
ρ
∫
a
ρ = R1 z = 0
axa
R2
r
r µc
B = µH = ϕˆ
L=
a
µc
⎛ R2 ⎞
ϕˆ ⋅ ϕˆdρdz = µca ln⎜ ⎟
ρ
⎝ R1 ⎠
a
⎛ R2 ⎞
ln⎜
⎟
⎝ R1 ⎠
I
Y ahora aplicando la ley de Ampere:
r r
2π c
∫ H ⋅ dl = ∫ ϕˆ ⋅ϕˆρdϕ = 2πc = NI
ϕ =0
C
µcaN
L=
I
ρ
2
⎛ R2 ⎞
⎛ R 2 ⎞ µcaN ⎛ R 2 ⎞ µaN
ln⎜
ln⎜
ln⎜
⎟
⎟=
⎟=
R
π
c
N
R
π
1
2
1
2
⎝ R1 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Ejercicio (T9 Sep 2005)
Represente en la figura, la f.e.m. inducida sobre una espira cuadrada (LxL) que atraviesa
una zona, también cuadrada, (3Lx3L) donde se aplica un campo magnético uniforme B 0 ẑ
La espira se mueve a una velocidad constante v0 xˆ
Se define el sentido positivo como el que corresponde a una corriente que circulara en el
sentido opuesto a las agujas del reloj.
3L
r
B = B 0 ẑ
f.e.m.i.
B 0 Lv
L
v0
L
3L
X
- 5L/2
- 2L - 3L/2
- L/2
L/2
L 3L/2
2L 5L/2
X
- B 0 Lv
femi = −
22/01/2009
-L
dΦ B
dΦ B dx
dΦ B
=−
=−
v
dt
dx dt
dx
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Ejercicio (T10 Sep 2005)
Represente la fuerza mecánica que hay que aplicar según el eje X a la espira del problema
anterior, suponiendo que su resistencia vale R, para que mantenga la velocidad uniforme .
Desprecie el efecto de la autoinducción.
r
B = B 0 ẑ
3L
I = femi R
L
r r
F = I ∫ dl × B
v0
LxL
L
3L
Fmec
r
dl
r
dl
X
IB0L
-5L/2 -2L -3L/2 -L -L/2
L/2 L 3L/2 2L 5L/2
X
Problema
Sea un solenoide toroidal de sección transversal rectangular como el mostrado en la figura.
El núcleo está formado por un material con una permeabilidad µ >> µ0, el número total de
espiras es N y la corriente que circula por ellas es Is.
a) Calcule razonadamente la intensidad de campo magnético en todos los puntos del
espacio. Verifique que se cumplen las condiciones de discontinuidad o salto. (3p)
b) Calcule la energía electromagnética almacenada en todo el espacio. (2p)
c) Obtenga el coeficiente de autoinducción del solenoide. (1p)
d) Obtenga razonadamente el momento magnético del solenoide. (1p)
e) Si en el eje del solenoide hay una corriente filiforme Ih calcule el coeficiente de inducción
mutua entre el hilo y el solenoide. (3p)
Ih
a) La intensidad de campo magnético, según se indica en
la pag. 5-63 y teniendo en cuenta la simetría entorno al eje,
solo tiene componente según ϕ que no dependerá de ϕ
c
r
H = H ϕ (ρ , z )ϕˆ
Is
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Problema
En el exterior del solenoide (utilizando como línea de circulación una espira circular
plana coaxial en un plano z=cte y como superficie el círculo dentro del plano) se ve que
la corriente encerrada es cero y por tanto el campo es cero. Para una línea de Ampere
en el interior del solenoide se obtiene
r
r
∫ H ⋅ dl = 2πρHϕ = NI
y por tanto H ϕ =
s
c
El campo presenta discontinuidades en las superficies entre los planos z=0 y z=c y los
r
r
cilindros ρ=a y ρ=b. Las condiciones de salto son nr × H − H
=J
(
2
1
)
r
⎛ NI
⎞
NI s
Por tanto en z=0 será
(− ρˆ ) = J S
zˆ × ⎜⎜ s ϕˆ − 0 ⎟⎟ =
⎝ 2πρ
⎠ S 2πρ
(− ρ̂ )
En efecto las corrientes van en dirección
S
y la densidad superficial de corriente equivalente es la corriente
2πρ
dividida por el ancho atravesado
NI s
2πρ
S
NI s
r
⎛
NI ⎞
NI s
zˆ × ⎜⎜ 0 − s ϕˆ ⎟⎟ =
(ρˆ ) = J S y se tiene la misma densidad superficial
pero según
2πρ ⎠ S 2πρ
ρ̂
⎝
En z=c es
Problema
En ρ=a resulta
y en ρ=b
r
NI s ⎞
NI
⎛
= s (− zˆ ) = J S
ϕˆ ⎟
2πa ⎠ ρ = a 2πa
⎝
r
⎛ NI
⎞
NI
ρˆ × ⎜⎜ s ϕˆ − 0 ⎟⎟ = s (zˆ ) = J S
⎝ 2πρ
⎠ ρ =b 2πb
ρˆ × ⎜ 0 −
que son las densidades superficiales equivalentes a las corrientes existentes.
b) Para calcular la energía almacenada solo hay que integrar en el interior del solenoide y
2
será:
b 2π c
2 2
Wm =
r r
µ
1
B ⋅ Hdv =
∫∫∫
2
2
µN I s
⎛b⎞
c ln⎜ ⎟
2 ⋅ 2π
⎝a⎠
2
2W
µN
⎛b⎞
L = 2m =
c ln⎜ ⎟
2π
Is
⎝a⎠
v
me = I s Snˆ = I s c(b − a )ϕ̂
⎛ NI s ⎞
∫ ∫ ∫ ⎜⎜⎝ 2πρ ⎟⎟⎠
ρ ϕ
=a =0 z =0
c) El coeficiente de autoinducción es:
El momento magnético de cada espira es
dρ ρdϕ dz =
d) Al ir sumando a todas las espiras
r
vla suma vectorial resultante es cero si el numero de
m = me = 0
estas es muy grande
∑
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Problema
e) La inducción creada por el hilo en el interior del solenoide es (aplicando Ampere):
r µI
B = h ϕˆ
2πρ
Por tanto el flujo a través de una espira es
c ρ =b
Φ B1 =
µI h
µI
⎛b⎞
ϕˆ ⋅ ϕˆ dρ dz = h c ln⎜ ⎟
2πρ
2π
⎝a⎠
=a
∫ ρ∫
z =0
y el flujo sobre las N espiras
Φ B = NΦ B1 =
µNI h
⎛b⎞
c ln⎜ ⎟
2π
⎝a⎠
Finalmente, el coeficiente de inducción mutua vendrá dado por
Lhs =
Φ B µN
⎛b⎞
=
c ln⎜ ⎟
Ih
2π
⎝a⎠
Ejercicio (Sep-2003)
La figura muestra una línea de transmisión de longitud infinita formada por tres
conductores cilíndricos indefinidos de radio a situados en el vacío, con sus ejes
paralelos, en el mismo plano (y=0) y una separación D; siendo a<<D. Una corriente I0
circula por el conductor central en el sentido z , y retorna distribuyéndose
uniformemente por los conductores exteriores.
Y
D
D
Se pide que:
D
X
I0 2
I0
a) Calcule el campo B en el plano y=0
fuera de los conductores. (4p)
I0 2
Z
Al tratarse de conductores cilíndricos indefinidos el campo fuera de ellos puede
calcularse como si fueran líneas de corriente indefinidas.
Al tratarse de corrientes lineales e indefinidas el punto de partida para su cálculo es
el campo creado por una corriente filiforme I indefinida situada sobre el eje Z
circulando
según z ; este resultado se obtiene considerando que por simetría
r r
H (r ) = H ϕ (ρ )ϕˆ y aplicando la ley de Ampère a un círculo z=cte centrado en el eje Z :
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Ejercicio (Sep-2003)
r r
r r µ Iφˆ µ Izˆ × rr
⇒ B(r ) = µ 0 H (r ) = 0 = 0 r 2
2πρ
2π r
r
r = ρρˆ = xxˆ + yyˆ
r r
I = ∫ H ·dl = 2πρH φ
C
Donde:
r
Si la línea de corriente estuviera en r1 , bastaría con hacer un cambio de coordenadas
r r µ 0 Izˆ × (rr − rrI )
B (r ) =
r r 2
2π r − rI
r
En este problema
las líneas están situadas en puntos rI = x I xˆ y el cálculo se limita a
r
puntos r = xxˆ con lo que:
r r µ I (x − x )
µ I
B(r ) =
0
2π x − x I
I
2
yˆ =
0
2π ( x − x I )
yˆ
Ahora sólo falta sustituir los datos de los tres conductores y superponer las
contribuciones:
r r µ I 2
1
1
B (r ) =
⎛
⎞
−
⎜ −
⎟ yˆ T
4π ⎝ x x − D x + D ⎠
0 0
Ejercicio (Sep-2003)
b) Represente el resultado anterior. (1p)
d) Calcule el flujo del campo magnético entre el conductor central y el situado en x=D . (1p)
Como los conductores son indefinidos se calcula el flujo por unidad de longitud. Teniendo
en cuenta el sentido de la corriente, el sentido positivo para el flujo es ŷ :
ΦB l =
1 µ0 I 0
l 4π
z0 + l D − a
∫ ∫
z0
a
µ0 I 0
1
1 ⎞
⎛2
−
[2 ln x − ln(x − D ) − ln(x + D )]aD −a =
⎜ −
⎟ yˆ · yˆdxdz =
4π
⎝x x−D x+D⎠
2
µ I ⎡⎛ D − a ⎞ D − a D + a ⎤ µ 0 I 0 (D − a )3 (D + a )
= 0 0 ln ⎢⎜
ln
wb/m
⎟
⎥=
a 2 D − a ⎥⎦
4π
4π
a 3 (2 D − a )
⎣⎢⎝ a ⎠
22/01/2009
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Li l = µ 0 8π H
Ejercicio (Sep-2003)
d) Calcule el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de la línea. (3p)
A efectos del coeficiente de inducción no se puede despreciar el radio de los conductores
ni el campo en su interior, no obstante como a << D el campo en el interior de los
conductores se puede considerar igual al de un solo hilo, para el que Li l = µ 0 8π H .
En este caso los hilos externos están en paralelo entre si y su conjunto en serie con el
central: Li l = 3µ 0 16π H .
El coeficiente de inducción externo se puede calcular a partir del flujo:
Le l =
µ 0 (D − a )3 (D + a )
ln
H
a 3 (2 D − a )
4π
El método de los tubos de flujo permite deducir que no es necesario duplicar esta contribución.
Sumando:
Llínea l =
µ0
4π
⎛3
(D − a )3 (D + a ) ⎞⎟ H
⎜ + ln
⎜4
a 3 (2 D − a ) ⎟⎠
⎝
Ejercicio (Sep-2003)
e) La f.em. inducida en esta línea de transmisión debida a una espira circular de radio a,
contenida en el mismo plano y=0 y con su centro en xc=2D y por la que circula una
corriente I0cosωt en el sentido indicado por la figura (tome como sentido positivo para la
f.e.m. el definido para I0). (1p)
dΦ B
dI
= − Ll ,e e
f .e.m.i = −
En este caso como no hay movimiento
dt
dt
El coeficiente de inducción mutua se calcula más fácilmente considerando el flujo creado
por la corriente de la línea sobre la espira porque la expresión del campo de la línea es
conocido y se puede considerar pequeña la espira:
r
r r B (2 Dxˆ )·nˆe S e
µ a2
1
Ll ,e = ∫∫ Bl ·dS e ≈ l
=− 0
H
S
Il e
Il
12 D
Así pues:
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f .e.m.i. =
µ0 a 2
12 D
ω sen ωt V
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Problema
La figura muestra dos líneas bifilares idénticas, construidas con hilos de sección
despreciable y colocadas paralelas en el plano XZ. La separación entre los conductores de
cada línea es a y la separación entre los ejes de las líneas es D . Por la primera línea (la
de la izquierda) circula una corriente de intensidad I0 y ninguna por la otra. Se pide:
a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p)
b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la
segunda línea de acuerdo con los sentidos de
circulación definidos en la figura. (1p)
c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud
a través de la segunda línea. (3p)
d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por
unidad de longitud entre ambas líneas (1p)
e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo
del coeficiente de inducción entre la primera línea y
la espira cuadrada sombreada?. (1p)
f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría
definir de forma equivalente sobre la primera
línea?. (1p)
Y
a
O
Z
D
a
I0
X
Problema
a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p)
Para calcular la densidad de flujo magnético debido a la primera línea bifilar lo más simple
es partir del campo creado por una línea indefinida de corriente a lo largo del eje Z, hacer
los correspondientes cambios de origen de coordenadas para calcular la contribución de los
r
r
dos hilos y después sumarlas.
r
I zˆ × r
µI
ϕˆ =
El campo creado por una línea de corriente sobre el eje Z: BLINEA (r ) =
r2
2πρ
2π r
r
r
donde r es un vector de dos dimensiones definido en un plano z= cte r = xxˆ + yyˆ
r r
r r
r
r r
µI zˆ × (r − ri )
r
Si la línea pasa por ri , basta con sustituir r
por r − ri
Bi (r ) =
2π rr − rri 2
r
µ I yˆ 1
r
r
Para la línea r1 = − a 2 xˆ I = I 0 y para r = xxˆ
B1 ( xxˆ ) = 0 0
2π x − a 2
r
µ I yˆ 1
r
r
B2 ( xxˆ ) = − 0 0
Para la línea r2 = a 2 xˆ I = − I 0 y para r = xxˆ
2π x + a 2
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Problema
r
µ I yˆ ⎛ 1
1 ⎞
⎟
−
B(xxˆ ) = − 0 0 ⎜⎜
2π ⎝ x + a 2 x − a 2 ⎟⎠
Sumando ambas contribuciones:
b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la segunda línea de acuerdo con los
sentidos de circulación definidos en la figura. (1p)
El sentido positivo de flujo a través de la segunda línea bifilar es
nˆ = yˆ
c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud a través de la segunda línea. (3p)
Para calcular el flujo sólo hay que aplicar la expresión a una longitud l y después dividirla
entre ella:
ΦB l =
D + a 2 z0 + l
1 r r 1
1 ⎞
µ 0 I 0 yˆ ⎛ 1
⎜⎜
⎟ ⋅ yˆ dxdz =
⋅
=
−
B
d
S
∫∫
∫
∫
l Sl
l x = D − a 2 z0 2π ⎝ x − a 2 x + a 2 ⎟⎠
(D + a )(D − a )
µ I
µI
x+a 2
= − 0 0 ln
= − 0 0 ln
2π
2π
x − a 2 x= D−a 2
D2
D+a 2
Problema
d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por unidad de longitud entre ambas líneas (1p)
Aplicando la definición:
L2,1 l =
µ
(D + a )(D − a )
1
Φ B l = − 0 ln
I1
2π
D2
e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo del coeficiente de inducción entre la
primera línea y la espira cuadrada sombreada?. (1p)
La expresión anterior se puede utilizar porque la sustitución de la segunda línea por una
espira cuadrada no afecta el campo generado por la primera línea y el flujo resultante es
el correspondiente a una longitud a de línea
Lespira,1 = a L2,1 l = −
µ 0 a (D + a )(D − a )
ln
2π
D2
f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría definir de forma equivalente sobre la
primera línea?. (1p)
Para el caso de dos espiras no se puede aprovechar las expresiones anteriores ya que
el campo correspondiente es diferente.
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Ejercicio
1.Calcule el flujo del vector de inducción eléctrica causado por una distribución
superficial de carga de valor ρs cul/m2 en forma de cubo de lado a sobre una superficie
esférica de radio b que rodea totalmente el cubo.
La carga superficial asociada al cubo vale:
Q s = ∫∫
Scubo
ρ s dS = 6a 2 ρ s cul
r r
2
D
∫∫ ⋅ dS = Q encerrada = 6a ρ s cul
Puesto que la esfera encierra al cubo
Sesfera
Ejercicio
La figura muestra una esfera conductora descargada situada entre dos láminas conductoras
indefinidas y paralelas a potenciales –V0 y +V0. ¿Cuál será el potencial de la esfera? ¿Por
qué?
Q=0
− V0
+ V0
Entre los planos el potencial debe tomar un valor intermedio a V0 y -V0.
Dada la simetría el plano z=o debe estar a potencial V=0.
Como el conductor es equipotencial toda la esfera tomara el valor V=0.
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Ejercicio
Indique el valor, dirección y sentido de la fuerza que aparece entre una superficie plana
indefinida de carga superficial uniforme, ρs (ρs>0) y una carga puntual q a una distancia d1.
ρs
d1
⎧ qρ s
z>0
⎪⎪ 2ε
r
F = qEρ s = ⎨ 0
− qρ s
⎪
z<0
⎪⎩ 2ε 0
q
Ejercicio
Dada una lámina conductora indefinida puesta a tierra de espesor d con dos cargas
puntuales situadas como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza se aplica a la carga
situada en z=b?
z=0
Puesto que la lámina apantalla la carga de z=a, la fuerza
es creada únicamente por una carga imagen creada por la
carga de z=b
r
s
F = qE − q =
22/01/2009
− q2
zˆ
2
4πε 0 (2b − d )
Newtons
q
q
z=-a
z=b
z=-d/2
z
z=d/2
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Ejercicio
La figura muestra una distribución lineal de carga contenida en el plano z=0 y
compuesta por un tramo semicircular, que tiene una densidad lineal de carga
constante de valor λ1, y dos tramos rectos con λ2 ; el medio es el vacío. Se pide:
a) La contribución del tramo semicircular al potencial en los puntos del eje Z (3p)
b) La contribución de los tramos rectos al potencial en los puntos del eje Z (3p)
c) La relación entre λ1 y λ2 que minimiza el potencial en los puntos del eje z tales
que a<<|z| (3p)
d) El valor del potencial para la relación entre λ1 y λ2 obtenida en c) para los puntos
a<<|z| (1p)
Nota: en todos los casos indique las unidades de los resultados en el sistema
internacional.
dx
⎛ x⎞
Y
a
a
λ1
a
∫
a
λ2
= Sh −1 ⎜ ⎟ + C
⎝a⎠
x +a
2
X
2
a) al tratarse de una distribución lineal de carga en un medio
homogéneo, lineal, isótropo e indefinido se puede aplicar la
r
expresión
r
φ (r ) =
λ2
1
4πε 0
ρ l (r ′)
∫ rr − rr′ dl ′
L
Ejercicio
r
ρ′ = a
r ′ = ρ ′ρˆ ′ + z ′zˆ = aρˆ ′
⎫ ⎧
⎧
r
⎪ ⎪
⎪
z′ = 0
⎬ ⇒ ⎨dl ′ = dρ ′ρˆ ′ + ρ ′dϕ ′ϕˆ ′ = adϕ ′ϕˆ ′
⎨
⎪π 2 ≤ ϕ ′ ≤ 3π 2⎪ ⎪
dl ′ = adϕ ′
⎭ ⎩
⎩
r
r r
r = zzˆ ⇒ r − r ′ = z 2 + a 2
Al tratarse de un tramo semicircular:
Al pedirse el campo en el eje z:
Sustituyendo:
φ1 ( zzˆ ) =
1
4πε 0
3π 2
∫
π
2
λ1
z +a
2
2
adϕ ′ =
λ1a
4ε 0 z 2 + a 2
V
b) Nuevamente se trata de una distribución lineal de carga en un medio homogéneo,
lineal, isótropo e indefinido, por lo que puede aplicarse el mismo procedimiento anterior,
aunque al tratarse de dos tramos analíticamente independientes se debe aplicar para
cada uno de ellos y después combinar las soluciones (principio de superposición). Esta
tarea se simplifica ya que debido a la simetría entre ambos tramos respecto del plano
y=0 ambas contribuciones son iguales y basta calcular una y multiplicarla por 2.
22/01/2009
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Electricidad y Magnetismo
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
Calculando la contribución del tramo superior:
r
r ′ = x ′xˆ + y ′yˆ + z ′zˆ = x ′xˆ + (a − x ′) yˆ
⎧x′ + y ′ = a⎫ ⎧
r
⎪
⎪ ⎪
⎨ z ′ = 0 ⎬ ⇒ ⎨dl ′ = dx ′xˆ + dy ′yˆ + dz ′zˆ = (xˆ − yˆ )dx ′ = −( xˆ − yˆ )dy ′
⎪ 0 ≤ x′ ≤ a ⎪ ⎪
dl ′ = 2dx ′ = 2dy ′
⎩
⎭ ⎩
Al pedirse el campo en el eje Z:
r
r = zzˆ ⇒
φ (zzˆ ) =
1
4πε 0
λ
= 2
4πε 0
=
λ2
2πε 0
r r
2
r − r ′ = x′2 + (a − x′) + z 2 = 2
λ2
a
∫
2
0
(x′ − a 2)2 + z 2
2 + a2 4
(x′ − a 2)2 + z 2
2 + a2 4
2dx′ =
a
x′ − a 2
λ
= 2 Sh −1
=
z 2 2 + a2 4 0
(x′ − a 2)2 + z 2 2 + a 2 4 4πε 0
dx′
a
∫
0
Sh −1
a/2
z 2+a 4
2
2
=
λ2
2πε 0
Sh −1
a
2z + a2
2
V
Ejercicio
Y sumando las contribuciones de los dos tramos, que resultan ser iguales:
φ (zzˆ ) =
λ2
λ
a/2
a
Sh −1
= 2 Sh −1
2
2
2
πε 0
πε
2z + a2
z 2+a 4
0
V
c) El potencial para puntos alejados se puede aproximar por su desarrollo multipolar
r
φlej (r ) =
r r
⎞
1 ⎛⎜ q p ⋅ r
+
+ L⎟
r
r
3
⎟
4πε 0 ⎜⎝ r
r
⎠
Para minimizarlo hay que anular el término más significativo, el de la carga total, lo que
se consigue anulando ésta. En este caso:
q = ∫ ρ L dl =
L
Y para que se anule:
22/01/2009
3π 2
∫ λ adϕ + 2∫
π
1
2
a
0
(
)
λ2 2dx = πλ1 + 2 2λ2 a C
πλ1 + 2 2λ2 = 0
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Electricidad y Magnetismo
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio
d) Si se cumple la condición anterior
así que habría que calcular
r
φlej (r ) =
r
p
pero como por la simetría de la estructura
resulta que
r r
p⋅r
4πε 0 rr 3
1
r
p = pxˆ
y
r
r = zzˆ
φlej ( zzˆ ) = 0
Examen Febrero 2008
22/01/2009
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Electricidad y Magnetismo
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio (T1 Feb 2008)
ρ̂
Calcule en coordenadas cartesianas el operador divergencia aplicado al vector unitario de
coordenadas cilíndricas ρ̂
Solución:
x
y
⎧ˆ
xˆ +
⎪⎪ ρ =
2
2
2
x +y
x + y2
∇ ⋅ ρˆ = ⎨
⎪ ∇ = ∂ xˆ + ∂ yˆ + ∂ zˆ
⎪⎩
∂z
∂y
∂x
r
ρ̂p = pzˆ
⎫
yˆ ⎪
y2
⎪
⎬=
⎪ x2 + y 2
⎪⎭
(
) (x
3
2
x2
+
2
+ y2
)
3
2
Ejercicio (T2 Feb 2008)
Razone cuál es la carga total que produce, en un medio vacío y en puntos muy alejados, el
siguiente potencial electrostático
r
k cos(θ )
Φ (r ) r >> =
r2
Solución:
r
Este potencial corresponde al que crea un dipolo eléctrico de momento p = pẑ ,
r r
r
p⋅r
p cos(θ ) , por lo que la carga total es nula.
Φ (r ) =
=
r >>
22/01/2009
4πεr 3
4πεr 2
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Electricidad y Magnetismo
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio (T3 Feb 2008)
r
ρ̂p = pzˆ
Calcule la fuerza que sufre la carga puntual q de la figura situada a una distancia d de la
pared plana del hueco semiesférico de la figura dentro de la esfera metálica puesta a
masa (potencial nulo).
b
d
b2 /d
qb/d
b2 /d
‐q
a
d
q
z
‐qb/d
Solución:
La fuerza que sufre la carga q la crean las tres cargas imágenes (ver la figura).
⎛ − qxˆ
r
q b d xˆ
+
F = qE = q ⎜
⎜ 4πε 0 4d 2 4πε d + b 2 d
0
⎝
r
r
ρ̂p = pzˆ
(
)
2
+
⎞
⎟ [Newtons]
4πε 0 d − b d ⎟⎠
− q b d xˆ
(
2
)
2
Ejercicio (T4 Feb 2008)
Las placas de un condensador plano se han alabeado separándose entre sí respecto de
su posición original, pero sin cambiar su superficie como indica la figura. Razone si su
nueva capacidad es mayor o menor que la original suponiendo una diferencia de
potencial constante.
Solución:
A potencial constante la separación de las placas por su alabeo disminuye la intensidad
de campo, por lo que la carga disminuye a su vez también, y en definitiva la capacidad
que es el cociente entre la carga y la diferencia de potencial.
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Electricidad y Magnetismo
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio (T5 Feb 2008)
r
ρ̂p = pzˆ
Calcule la resistencia del terminador de línea coaxial (los cilindros de radio a y b son los
bornes metalizados, 0<a<b) de la figura formado por el material de conductividad σ.
Solución:
Aplicando dualidad RC = ε σ y puesto que la capacidad de un condensador cilíndrico con
ε 1 ln (b a )
2πεh
=
idénticas armaduras vale C =
, la resistencia solicitada es R =
[Ω]
σC
2πσh
ln (b a )
Ejercicio (T6 Feb 2008)
r
ρ̂p = pzˆ
Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada en un disco metálico (en las
tapas y en la superficie lateral) de radio a y grosor t que soporta una carga superficial ρs y
que rota a una velocidad ω rad/s.
Solución:
Según la definición de corriente superficial
r ⎧− ρ ωρϕˆ
J s = ρ sv = ⎨ s
⎩ − ρ sωaϕˆ
r
Tapas
Lateral
[A/m]
∫
r
Por lo que la corriente total valdrá I = J s ⋅ nˆ dl = 2 ρ sωat + 2 ρ sω
c
22/01/2009
a2
2
[Amperios]
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r
ρ̂p = pzˆ
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio (T7 Feb 2008)
Caracterice las fuentes de corriente superficial que aparecen en la siguiente distribución
de intensidad de campo magnético en el vacío expresada en coordenadas cilíndricas
siendo k es una constante.
r r ⎧⎪ k ϕˆ 0 ≤ ρ < a
H (r ) = ⎨ ρ
⎪⎩ 0
ρ>a
Solución:
r
(
r
r
J s = nˆ × H 2 − H1
)
ρ =a
k⎞
k
⎛
= (ρˆ × ϕˆ )⎜ 0 − ⎟ = − zˆ
a
a
⎝
⎠
[A/m]
¿Hay alguna otra corriente? En caso afirmativo cómo es y cuanto vale
r
ρ̂p = pzˆ
Ejercicio (T8 Feb 2008)
Calcule el campo magnético en el interior de una línea biplaca, cuya sección se
representa en la figura, que contiene un material de permeabilidad µ>>µ0, que transporta
una corriente I. Desprecie el efecto de bordes.
y
x
Solución:
La hoja de corriente superior produce un campo magnético
⎧− (I 2w)xˆ encima
H1 (r ) = ⎨
⎩ (I 2w)xˆ debajo
r r
La hoja inferior produce un campo opuesto. El campo total es la suma de ambos, de
modo que se refuerza en el interior y se cancela fuera:
⎧(I w)xˆ dentro
H (r ) = ⎨
fuera
⎩ 0
r r
22/01/2009
r r ⎧µ (I w)xˆ dentro
A / m ⇒ B(r ) = ⎨
Weber / m 2
fuera
0
⎩
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Electricidad y Magnetismo
r
ρ̂p = pzˆ
Ejercicios y Problemas adicionales
Ejercicio (T9 Feb 2008)
Razone el signo del coeficiente de inducción mutua entre las dos espiras cuadradas
coplanarias de la figura. Los sentidos positivos de la corriente son los definidos en la
figura.
Solución:
M AB =
ΦB _ A
IB
1
=
IB
r
r r ⎧ B = B(rr )(− nˆa )⎫
∫∫SA B ⋅ dS A = ⎨⎩ dSrA = dS Anˆa ⎬⎭ ≤ 0
ya que las líneas de campo son como las que se dibujan en la figura.
r
ρ̂p = pzˆ
Ejercicio (T10 Feb 2008)
Obtenga la fuerza magnética que aparece entre la línea indefinida (corriente I1) y la
espira cuadrada de lado L (corriente I2), ambas coplanarias, tal como muestra la figura.
z
x
Solución:
r r
µI1
⎧ r
⎫
r r ⎪⎪ dl = dxxˆ dl × B = B(x )dx( xˆ × yˆ ) = 2πx dxzˆ ⎪⎪
r
F = I 2 ∫ dl × B = ⎨ r
⎬=
r r
µI
C
⎪dl = dzzˆ dl × B = B( x0 )dx( zˆ × yˆ ) = − 1 dzxˆ ⎪
⎪⎩
⎪⎭
2πx0
⎛ µI
µI1 ⎞
⎟⎟ Lxˆ
= I 2 ⎜⎜ 1 −
⎝ 2πd 2π (d + L ) ⎠
Newtons
puesto que la componente en z se cancela entre los lados superior e inferior de la
espira.
22/01/2009
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Electricidad y Magnetismo
Ejercicios y Problemas adicionales
Problema 1(Feb 2008)
ρ̂
Problema 1:
La corona circular de la figura, de radio interior a y radio exterior b (0<a<b), situada en el
vacío en un plano z=z1, está cargada con una densidad superficial de carga σ1 [C/m2] :
Z
b
a
σ1
z1
Y
X
Problema 1(Feb 2008)
ρ̂
a) Calcule la intensidad de campo eléctrico en puntos del eje Z (3p).
Para una distribución superficial de carga, situada en el vacío:
r
r = zzˆ
r
r ' = ρ ' ρˆ '+ z1 zˆ
r
E ( zzˆ ) =
1
4πε 0
b
∫∫
S
σ 1 (rr − rr ')
r r 3 dS
r − r'
(z − z 1 )2 + ρ ' 2
r r
r − r' =
b
(z − z1 )zˆ − ρ ' ρˆ '
(z − z1 )zˆ
σ
2π
σ1
ρ ' dρ ' dϕ =
σ1 ∫
ρ ' dρ ' = 1
∫
∫
3
4πε 0 ρ '= a ϕ '=0 (( z − z )2 + ρ ' 2 ) 2
4πε 0 ρ '= a (( z − z )2 + ρ ' 2 )3 2
2ε 0
1
1
1
2π
⎡
r
σ
E ( zzˆ ) = 1 (z − z1 )⎢
2ε 0
⎢
⎣
22/01/2009
E (r ) =
rr − rr ' = z zˆ − (ρ ' ρˆ '+ z 1 zˆ )
dS = ρ ' dρ ' dϕ '
r r
1
( z − z1 )
2
+a
2
−
1
( z − z1 )
2
⎡
⎢−
⎢
⎣
b
(z − z1 )zˆ ⎤⎥
(z − z1 )2 + ρ ' 2 ⎥⎦ a
⎤
⎥ zˆ V / m
+ b ⎥⎦
2
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ρ̂
Ejercicios y Problemas adicionales
Problema 1(Feb 2008)
r r
E (r ) =
(
Q
rˆ [V / m]
4πε 0 r 2
)
Q = σ π b 2 − a 2 Culombios
1
Campo E de una corona circular de carga en el eje Z
1.5
z1=20 a=2 b=20
z1=20 a=2 b>>
1
E*2ε o/σ1
0.5
0
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
-0.5
-1
-1.5
Z(m)
ρ̂
Problema 1(Feb 2008)
d) Se sitúa una distribución de idéntica geometría y densidad superficial de
carga en z=-z1, Calcule la intensidad de campo eléctrico del conjunto en
puntos del eje Z. (1p) ¿Qué relación debe haber entre σ1 y σ2 para que el
campo se anule en el origen del sistema de coordenadas? (1p).
La intensidad de campo eléctrico se calcula aplicando el principio de superposición.
Así, el campo debido a σ2 es formalmente igual al debido a σ1 sustituyendo σ1 por
σ2 y z1 por -z1.
⎧σ
⎡
r
⎪
E ( zzˆ ) = ⎨ 1 ( z − z1 )⎢
⎢
⎪⎩ 2ε 0
⎣
1
( z − z1 )
2
+ a2
−
1
( z − z1 )
2
⎤ σ
⎡
⎥ + 2 ( z + z1 )⎢
⎢
+ b 2 ⎥⎦ 2ε 0
⎣
1
( z + z1 )
2
+ a2
−
1
( z − z1 )
2
⎤ ⎫⎪
⎥ ⎬ zˆ V / m
+ b 2 ⎥⎦ ⎪⎭
Para que el campo se anule en el origen del sistema de coordenadas, σ1=σ2, ya que
la corona situada en z=z1 genera un campo negativo en z=0, mientras que la
situada en z=-z1 genera un campo positivo en dicho punto.
22/01/2009
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Ejercicios y Problemas adicionales
Problema 1(Feb 2008)
ρ̂
e) Si σ2=-σ1, calcule la intensidad de campo eléctrico en puntos alejados de la
distribución (3p).
Dado que la carga neta de la distribución es nula, en puntos alejados de la
distribución, el campo variará como:
r r r
r r
1 ⎡ 3( p ⋅ r )r r ⎤
pr = rr 'σ dS
E (r ) =
− siendo
p⎥
3 ⎢
2
4πε 0 r ⎣ r
⎦
S'
∫∫
r
p=
2π
2π
ρ'
∫ ∫ (z1 zˆ + ρ ' ρˆ ')σ 1 ρ ' dρ ' dϕ ' + ∫ ∫ (− z1 zˆ + ρ ' ρˆ ')(− σ 1 ) ρ ' dρ ' dϕ ' =2πz1σ 1 2⎢ 2
b
b
ρ '= a ϕ '= 0
⎡
2
⎣
ρ ' = a ϕ '= 0
b
⎤
2
2
⎥ zˆ = 2πz1σ 1 b − a zˆ [C ⋅ m]
⎦a
(
)
Así:
r r
E (r ) =
1
[3 p cos θ rˆ − pcon
zˆ ] [V / m]
4πε 0 r 3
r r
E (r ) =
ρ̂
zˆ = cos θ rˆ, −
ˆ
por
senloθθqué:
[
p
2 cos θ rˆ + senθθˆ
4πε 0 r 3
]
[V / m]
Problema 3(Feb 2008)
Problema 3:
La figura muestra una espira rectangular centrada sobre una línea bifilar indefinida, situadas
ambas en el plano
Se pide.:
d
Indique las unidades de los resultados.
IL
Z
Y
a
1
2
b
IL
22/01/2009
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Ejercicios y Problemas adicionales
Problema 3(Feb 2008)
ρ̂
a) Calcule el campo magnético en los puntos del eje Y debido a una corriente
que circule por la línea en el sentido indicado en la figura. (4p).
Se parte de que el campo generado por una línea de corriente de intensidad I sobre
el eje Z es:
r r
B(r ) =
µI ϕˆ
2π ρ
r
⎧ y < 0 ⇒ ρ = − y ϕˆ = xˆ ⎫
µI xˆ
⎬ ⇒ B( yyˆ + zzˆ ) = −
2π y
⎩0 < y ⇒ ρ = y ϕˆ = − xˆ ⎭
r
r
xˆ
µI
Y si la línea pasa por r = y 0 yˆ
B ( yyˆ + zzˆ ) = −
Como x = 0 ⇒ ⎨
2π y − y 0
µI
xˆ
Para la línea de la derecha resulta: Bd 2 ( yyˆ + zzˆ ) = − L
2π y − d 2
r
µI L
xˆ
r
Y para la línea de la izquierda: Bd 2 ( yyˆ + zzˆ ) =
La superposición de ambas:Br ( yyˆ + zzˆ ) = µI L
Línea
2π
2π y + d 2
⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜ y + d 2 − y − d 2 ⎟⎟ xˆ [weber]
⎠
⎝
Problema 3(Feb 2008)
ρ̂
b) Calcule el flujo del campo magnético anterior a través de la espira de
acuerdo al sentido de circulación señalado. (2p)
Directamente:
a2
b2
r
r
µI L ⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜
⎟ xˆ·(− xˆ )dydz =
Φ BEspira ,Linea = ∫∫ BLínea ·dS espira = ∫
−
∫
2π ⎝ y + d 2 y − d 2 ⎟⎠
S espira
z = − a 2 y = −b 2
⎞
µI L a ⎛⎜
µI a b + d
1
1
dy − ∫
dy ⎟ = − L ln
[weber]
∫
⎜
y − d 2 ⎟⎠
π
b−d
2π ⎝ −b 2 y + d 2
−b 2
b2
=
b 2
Nota:
∫
−b 2
b 2+d 2
b2
b 2− d 2
0
b 2+ d 2
dy t = y + d / 2
dt
dt
dt
dt
b+d
=
∫ t = −b 2∫+ d 2 t + ∫0 t + b 2∫− d 2 t = ln b − d > 0
y+d 2
−b 2+ d 2
14442444
3
0
b2
∫
−b 2
−b 2+ d 2
b 2+ d 2
b 2−d 2
0
b 2+d 2
dy t = − ( y − d / 2 )
dt
dt
dt
dt
dt
b+d
=
∫ t = −−b 2∫+ d 2 t = − −b 2∫+ d 2 t − ∫0 t − b 2∫− d 2 t = − ln b − d < 0
y−d 2
b 2+ d 2
144424443
0
c) Calcule el coeficiente de inducción mutua. (1p)
Coeficiente de inducción:
22/01/2009
LEspira , Linea =
Φ BEspira ,Linea
IL
=−
µa b + d
ln
[Henrios]
π b−d
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Electricidad y Magnetismo
ρ̂
Ejercicios y Problemas adicionales
Problema 3(Feb 2008)
d) Calcule la f.e.m.i. sobre la espira si IL = I0 sen(ωt).(1p)
f .em.i.Espira , Linea = −
dΦ BEspira ,Linea
dt
= − LEspira , Linea
dI L µI 0ωa b + d
=
ln
cos ωt [V]
dt
π
b−d
e) Si la espira estuviera abierta según se indica en la figura, señale cual sería
el borne positivo en el instante t=0. (1p)
En el instante t=0: f .em.i.Espira , Linea
t =0
=
µI 0ωa b + d
ln
[V] ≥ 0 V
π
d −d
Con lo que las cargas positivas serían arrastradas en sentido definido como positivo
en la figura: hacia el borne 1, que será el borne positivo.
ρ̂
Problema 3(Feb 2008)
f) ¿Cómo influye en el resultado del apartado e) la elección del sentido de
circulación tomado en el apartado b)? (1p)
La elección del sentido positivo en el apartado b) afecta al signo de los resultados
numéricos de los apartados siguientes, pero los fenómenos físicos no se ven
afectados, por lo que el borne positivo del apartado e) es siempre el signo con
independencia de dicha elección.
¡No afecta!
22/01/2009
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