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Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Tema 4: Corrientes Estacionarias.
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Definición.
Comportamiento de los medios.
Propiedades.
Concepto de generador, f.e.m.
Interpretación energética.
Condiciones de contorno en interfases.
Resolución de las ecuaciones en conductores.
Concepto de resistencia.
Dualidad Resistencia-Capacidad.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 4-1
Corrientes estacionarias: Definición
• Definición:
– No hay variación con el tiempo.
– Se admite el movimiento de cargas que respete la condición anterior.
• Obtención de las ecuaciones:
r r
r r
r r
r r
r r
r r 
r r r r
r r r r
r r
r r
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t ) J (r , tr) = σE (r , t ) ∂
D(r ) = εE (r ) B(r ) = µH (r ) J (r ) = σE (r )
r
=0 

r r
r
r
r
∂B(r , t )

r r
r r
 ∂rt
r
∇ ⋅ D (r , t ) = ρ(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∇ ⋅ D(r ) = ρ(r )
∇ × E (r ) = 0
 J ≠0 
∂t r r
 →
r r
r r
r r

r r
r r
r r
∂D(r , t ) 
∇ ⋅ B (r ) = 0
∇ × H (r ) = J (r )

∇ ⋅ B(r , t ) = 0
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
r r


∂t
r
∇ ⋅ J (r ) = 0
r r


∂ρ(r , t )
∇ ⋅ J (r , t ) +
=0


∂t
– Dos juegos de ecuaciones:
» Uno con las corrientes como campo dependiente de unas fuentes.
» Otro con las corrientes como fuente.
– Existe una relación entre ambos juegos de ecuaciones, la fuerza de
Lorentz, pero se puede ignorar como se verá al hablar del efecto Hall y
la Ley de Faraday.
EyM 4-2
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-1
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Definición (2)
• Ecuaciones de la Magnetostática:
r r
r r
r
r
r
∇ × H (r ) = J (r ) ∇ ⋅ B = 0 B = µH
– Se abordarán en el tema siguiente.
• Ecuaciones de las corrientes estacionarias:
– Las ecuaciones del campo eléctrico estacionario son similares a las de la
Electrostática.
Electrosta
tica 8 6Corrientes
Estacionar
ias8
64
4r444
4r7
44
r4474r44
r
r 444
∇ × E = 0 D = εE ∇ × E = 0 D = εE r
r
r
r
r
r∇ ⋅ J = 0
∇ ⋅ D = ρ J = 0 ∇ ⋅ D = ρ J = σE
– Se puede seguir definiendo y utilizando el potencial como en
Electrostática:
r
r
∇ × E = 0 ⇔ E = −∇Φ
EyM 4-3
J.L. Fernández Jambrina
Comportamiento de los medios.
• Dieléctricos: σ=0, la situación es idéntica a la electrostática:
r
r
r
∇ × E = 0 D = εE
r
r
r
∇ ⋅ D = ρ J = σE
r
r
r
r
σ = 0 ∇ × E = 0 D = εE
∇ ⋅ J = 0  
→
r
r
∇⋅D =ρ J = 0
• Conductores reales:
– Si circula una corriente, existe campo en su interior, no son volúmenes
equipotenciales.
– Si son homogéneos, no hay carga enrsu interior:
r
r
r
r σ
D σ
0 = ∇ ⋅ J = ∇ ⋅ σE = σ∇ ⋅ E = σ∇ ⋅ = ∇ ⋅ D = ρ⇒ρ = 0
ε ε
ε
( )
• Conductores perfectos:
– Son una idealización de los buenos conductores: (σ → ∞ )
r
E = 0
r
– La corriente puede circular sin necesidad de campo. lim Er → 0 ⇒  Jr ≠ 0

 
 J ≠ 0  σ = ∞
r
– Son equipotenciales: E = −∇Φ = 0 ⇔ Φ = cte

J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-4
EyM 4-2
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Corrientes Estacionarias: Propiedades
• Las líneas de corriente estacionarias son cerradas:
r
∇⋅ J = 0
– Divergencia nula = Líneas de corriente cerradas
» Si existiera una línea abierta de corriente desde V1 hacia V2 , la
carga en V1 disminuiría y la de V2 aumentaría: No serían constantes
en el tiempo y la situación no sería estacionaria.
V1
dQ1
<0
dt
r
J
V2
dQ2
>0
dt
J.L. Fernández Jambrina
EyM 4-5
Corrientes Estacionarias: Propiedades
• En conductores reales no pueden existir corrientes
estacionarias bajo la influencia exclusiva de campos
estacionarios.
– Si se supone que existe una línea de corriente cerrada en un conductor
real y que su origen está en el campo eléctrico, al calcular la circulación
del campo eléctrico a lo largo de ella (en el sentido de la corriente):
r r
r
dl // J 
J dlr

r r
r r
r r
r
J ⋅ dl > 0 ⇒ E ⋅ dl > 0 ⇒ ∫ E ⋅ dl > 0 ⇒ ∇ × E ≠ 0
C
r
r 
J = σE 

C
– Contradicción:
» Si existe esa línea, el campo no puede ser estacionario.
» Si el campo es estacionario, tal línea no puede existir.
– Consecuencia:
» Hace falta una fuerza con otro origen.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-6
EyM 4-3
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Concepto de fuerza electromotriz.
• Se puede definir un campo eléctrico equivalente que represente a
todas las fuerzas aplicadas sobre las cargas:
r
r r r r
r
F = q ( E + v × B + E g ) = qET
r
r
• La ley de Ohm debe englobar a estas fuerzas: J = σET
r
r
r
F r
⋅ dl = ∫ ET ⋅ dl
q
C
C
• Definición:
f .e.m. = ∫
– f.e.m. es la circulación de la fuerza por unidad
de carga a lo largo de un contorno cerrado.
r
r
– En situaciones estacionarias las contribuciones de los campos E y B se
anulan:
r
r r

∇ × E = 0 ⇒ ∫ E ⋅ dl = 0

r
r
C
r r
 ⇒ f .e.m. = ∫ Eg ⋅ dl
r
r
r
r

r
r
v || dl
C
r r r  ⇒ v × B ⊥ dl ⇒ v × B ⋅ dl = 0
v × B ⊥ v

r
– Nota: En el resto del capítulo se omite: vr × B
EyM 4-7
J.L. Fernández Jambrina
(
(
)
)
(
)
Concepto de generador, f.e.m.
r
• Normalmente, el campo Eg sólo existe en una
región bien delimitada: el generador.
r
E
– Dentro del generador el campo eléctrico y el del
generador van en sentidos contrarios.
– La integral de la fuerza electromotriz se puede
limitar al interior del generador:
r
r
r
r r
r
f .e.m. = ∫ ET ⋅ dl = ∫ (E + E g )⋅ dl = ∫ Eg ⋅ dl =
C
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
C
C
r
Eg
generador
6
474
8
+
r
r
∫ E g ⋅ dl > 0
−
EyM 4-8
EyM 4-4
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
f.e.m.: Interpretación.
r
E
• Si el generador está en circuito abierto
(no circula corriente), en el interior del generador
el campo debe ser nulo:
r
r
r
r
J = 0 σ ≠ 0
r
r  ⇒ ET = 0 ⇒ Eg = − E
J = σET 
– Calculando la circulación del campo total a lo largo del
contorno de la figura:
σ=0
I =0
r r
E + Eg
interior
exterior
exterior
exterior
6
474
8 6
474
8 6
474
8 6
474
8
+ r
r + r
r − r
r −r
r
r
r
f .e.m.g . = ∫ ET ⋅ dl = ∫ ET ⋅ dl + ∫ ET ⋅ dl = ∫ ET ⋅ dl = − ∫ E ⋅ dl = Φ + − Φ −
C
−
+
+
−
• La f.e.m.g. coincide con la diferencia de potencial entre los
bornes del generador en circuito
abierto.
r
r
– El concepto de f .e.m. = ∫ ET ⋅ dl es más general que su aplicación a los
C
generadores.
– Las unidades de la f.e.m. son los Voltios (V).
EyM 4-9
J.L. Fernández Jambrina
Interpretación Energética.
• En el tema 2 se vio que la potencia disipada en un volumen es:
r r
r r
r2
Potencia disipada = ∫∫∫ J ⋅ EdV = ∫∫∫ σE ⋅ EdV = ∫∫∫ σ E dV
V
V
V
• En general representa la conversión de energía de tipo
electromagnético en otro:
r r
– Si J ⋅ E > 0 la carga (positiva) circula de mayor a menor potencial: se
desplaza a favor de la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella.
» Se produce una disminución de la energía electromagnética.
» Se convierte en calor, energía mecánica, química, ...
r r
– Si J ⋅ E < 0 la carga (positiva) circula de menor a mayor potencial: se
desplaza contra la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella.
» Se produce un aumento de la energía electromagnética.
» El aumento se produce a costa de energía mecánica, química, ...
• El resultado es aplicable a otros tipos de fuerzas.
r r
– En el generador, normalmente, J ⋅ E g > 0 , luego se producirá una
pérdida de energía del generador. Una entrega de energía al campo
electromagnético.
EyM 4-10
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-5
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Interpretación Energética:
(2)
• Dentro de un generador real: J = σET = σ(E + Eg ) ya que σ relaciona
la densidad corriente con la fuerza que se ejerce por unidad de
carga.
r
r
r
– Luego:
» La potencia disipada o aumento de
energía térmica por unidad de tiempo:
r
∂Wcalor
∂t
» El aumento de energía
∂WEM
electromagnética por unidad de tiempo: ∂t
∂Wg
∂t
» El aumento de la energía del
generador por unidad de tiempo:
(
Vg
Vg
)
r
r r
= ∫∫∫ Eg + E ⋅ JdV ≥ 0
Vg
r r
= − ∫∫∫ E ⋅ JdV ≥ 0
Vg
r r
= − ∫∫∫ Eg ⋅ JdV ≤ 0
Vg
Vg
– Evidentemente se cumple el principio de conservación de la energía:
» La energía entregada por el generador se transforma en energía
eléctrica y calor.
∂Wg
∂WEM
∂Wcalor
WEM V + Wg + Wcalor V = cte ⇔
+
+
=0
Vg
g
g
∂t V g
∂t V
∂t V g
g
EyM 4-11
J.L. Fernández Jambrina
Condiciones de contorno en las interfases.
• Dieléctrico-Dieléctrico:
– Como en Electrostática.
(
r
r
nˆ ⋅ D2 − D1
)
S
= ρS
n$
(
r
r
nˆ × E2 − E1
∂Φ 2
∂Φ
+ ε1 1 = ρ S
∂n S
∂n S
− ε2
ε2 , µ2 , σ2
r r r r r
E2 , D2 , H 2 , B2 , J 2
Medio 2
)
S
ε1 , µ1 , σ1
r r r r r
E1 , D1 , H1 , B1 , J 1
=0
Φ 2 S − Φ1 S = 0
Medio 1
• Conductor-Conductor:
r
r
– Es más simple la condición de J que la de D ,
(
r
r
nˆ ⋅ D2 − D1
− ε2
)
S
(
r r
nˆ ⋅ J 2 − J1
= ρS
∂Φ 2
∂Φ
+ ε1 1 = ρS
∂n S
∂n S
− σ2
)
S
(
r
r
= 0 nˆ × E2 − E1
∂Φ 2
∂Φ
+ σ1 1 = 0
∂n S
∂n S
)
S
=0
Φ 2 S − Φ1 S = 0
» Existe una densidad superficial de carga constante en el tiempo.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-12
EyM 4-6
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Condiciones de contorno en las interfases. (2)
• Conductor-Dieléctrico:
Dieléctrico
r
J2 = 0
r
J1
– Suponiendo que el conductor es el medio 1:
r
r
r
r
r
nˆ ⋅ D2 = ρ S nˆ ⋅ J1 = nˆ ⋅ D1 = 0 nˆ × E2 − E1 = 0
∂Φ 2
− ε2
∂n
S
S
= ρS
S
(
S
∂Φ1
=0
∂n S
)
S
Conductor
Φ 2 S − Φ1 S = 0
r
r
r
– Las líneas de corriente no cruzan la interfase: nˆ ⋅ J1 = nˆ ⋅ E1 = nˆ ⋅ D1 = 0
S
S
S
• Conductor-Conductor Perfecto:
– Dentro del conductor perfecto, medio 1, los campos son nulos y el
potencial constante.
r
r r
r
nˆ ⋅ D2 = ρ S
nˆ ⋅ J 2 − J1 = 0 nˆ × E2 = 0
(
S
∂Φ 2
− ε2
∂n
)
= ρS
S
S
Φ 2 S = Φ1
S
EyM 4-13
J.L. Fernández Jambrina
Condiciones de contorno en las interfases. (3)
• Conductor recubierto de un conductor perfecto.
– Es una aproximación de un conductor recubierto de un conductor mucho
mejor.
r
JS
r
JS
σ=∞
∆h
σ=∞
r
J
r
J
σ = σ0
σ = σ0
Medio 2
– La diferencia con el desarrollo conocido es que
σ = σ2
existe una corriente superficial:
 r

r r
n$
lim ∫∫ J ⋅ dS = lim ∫  ∫ J ⋅ nˆl dl dh ≈
∆h → 0
∆h → 0 

∆h C lat
S lat

r
r
r
≈ lim ∫ ∆hJ ⋅ nˆl dl = ∫ J S ⋅ nˆl dl = ∫∫ ∇ S ⋅ J S dS
∆h → 0
C lat
C lat
(
r r
– Por tanto: nˆ ⋅ J 2 − J1
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
)
S
r
+ ∇S ⋅ J S = 0
S
n$ l
n$ l
σ=∞
Medio 1
σ = σ1
∆h
EyM 4-14
EyM 4-7
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Resolución de las ecuaciones en conductores.
r
r
r
r
• Existe redundancia debido a que: D = εE J = σE
– Por la mayor simplicidad de las condiciones de contorno es
conveniente resolver
primero
el sistema:
r
r
r
r
∇ × E = 0 ∇ ⋅ J = 0 J =r σE
– Posteriormente puede calcularse D y a continuación las densidades de
carga.
• Las técnicas son similares a las de Electrostática:
r
r
∇ × E = 0 ⇒ ∃Φ :− ∇Φ = E 
r
r
r
 ⇒ ∆Φ = 0
– Se puede utilizar el potencial eléctrico:
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ σE = σ∇ ⋅ E = 0 
r
r r
– ∇ ⋅ J = 0 ⇒ ∫∫SJ ⋅ dS = 0 es equivalente a la Ley de Gauss y se puede
aplicar en condiciones similares.
r
– Además en las interfases dieléctrico-conductor: nˆ ⋅ J = 0 ⇒ ∂Φ = 0
S
lo que permite resolver primero el problema de
∂n S
los conductores con independencia del problema
de los dieléctricos.
– Esta condición minimiza el efecto de bordes.
EyM 4-15
J.L. Fernández Jambrina
Resolución de las ecuaciones en conductores.
Φ S+ = V +
+
σ
ε
∂Φ
=0
∂n Sc
Generador
Φ S− = V −
• Teorema de Unicidad:
– La solución en los conductores es única e independiente de la solución
en los dieléctricos.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-16
EyM 4-8
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Concepto de resistencia:
n$
• Sea una estructura conductora excitada a través
de dos electrodos conductores perfectos.
– Supóngase que como respuesta ar una
excitación el campo eléctrico es: E
– Bajo estas condiciones:
b r
r
r r
r r
VB − VA = − ∫ E ⋅ dl I S = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫ σE ⋅ dS
a
S
I A→ B
σ = σ0
SA
SB
Φ = VB
Φ = VA
S
r
r
– Si se multiplica la excitación por un factor α, la solución será E ′ = αE y:
b
b
r r
r r
r r
r r
VB′ − V A′ = − ∫ E ′ ⋅ dl = − ∫ αE ⋅ dl = α [VB − V A ] I S′ = ∫∫ J ′ ⋅ dS = ∫∫ ασE ⋅ dS = αI S
a
a
S
S
• Resulta claro que existe una relación de proporcionalidad entre
corriente y diferencia de potencial: La resistencia de la estructura
RAB =
VA − VB VB − VA
=
I A→ B
I B→ A
– La resistencia depende de la forma de excitación/conexión.
EyM 4-17
J.L. Fernández Jambrina
Dualidad Resistencia-Capacidad.
Φ
SA
• Si sobre una misma estructura se
definen dos problemas equivalentes,
uno de capacidad y otro de resistencia,
si la relación ε/σ es constante, entonces:
RC =
ε
σ
= VA
σ ,ε
SA
SB
Φ S = VB
B
∂Φ
∂n S
=0
– Si para unas determinadas condiciones
de r
r
Lat
contorno la solución para ε = K ε f (r ) es Φ, E:
r
– Si se cambian
r los medios de forma que σ = Kσ f (r ) , la solución seguirá
siendo Φ, E ya que las condiciones de contorno serán las mismas a
excepción de:
∂Φ 2
∂Φ 1
− ε2
+ ε1
=0
∂n S
∂n S
– que se transforma en:
∂Φ 2
∂Φ
K 
∂Φ 2
∂Φ 
∂Φ 2
∂Φ
− σ2
+ σ1 1 = σ  − ε 2
+ ε1 1  = −ε 2
+ ε1 1 = 0
∂n S
∂n S K ε 
∂n S
∂n S 
∂n S
∂n S
– y sigue siendo la misma.
EyM 4-18
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-9
Curso 2010/2011
Electricidad y Magnetismo
Dualidad Resistencia-Capacidad.
• En el caso del condensador:
r r r
C=
QS
A
Φ S −Φ S
A
B
∫∫ f (r )E ⋅ dS
= Kε S B r r
− ∫ E ⋅ dl
Φ S = VA
A
r
ε = ε 0 f (r )
A
∂Φ
∂n S
• En el caso de la resistencia:
R=
Φ S −Φ S
A
IS
A →SB
B
SB
SA
1
=
Kσ
r
B r
− ∫ E ⋅ dl
A
r r r
∫∫ f (r )E ⋅ dS
S
Φ S = VB
=0
B
Lat
Φ S = VA
A
r
σ = σ 0 f (r )
SB
SA
• Y, por tanto:
K
ε
RC = ε =
Kσ σ
∂Φ
∂n S
=0
Φ S = VB
B
Lat
• Este resultado se aplica en el estudio de líneas de transmisión.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 4: Corrientes Estacionarias
EyM 4-19
EyM 4-10