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Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Variación Temporal Lenta
•
•
•
•
•
Definición
El campo magnético en variación temporal lenta
El campo eléctrico en variación temporal lenta
Expresión Integral de la Ley de Faraday
T. Circuitos versus T. Electromagnética
– Primer Lema de Kirchoff
– Segundo Lema de Kirchoff.
• Fuerzas Magnéticas entre distribuciones de corriente
– Fuerza de Lorentz
– Desplazamientos virtuales.
» Sin generadores
» Con generadores
– Fuerzas en campos casi constantes
EyM 6-1
J.L. Fernández Jambrina
Definición.
• La variación temporal lenta se caracteriza porque
en las ecuaciones de Maxwell se desprecia el término:
r r
∂D(r , t )
∂t
– Las condiciones concretas que diferencian la variación lenta de la
variación arbitraria son difíciles de definir cuando sólo se conoce la
variación lenta:
Se pospone su explicación hasta que se aborde la variación arbitraria.
• Con la simplificación de la variación lenta las ecuaciones de Maxwell
quedan de la siguiente forma:
r r
r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
r r
r r
r r
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
∂t
r r
r r
r
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
∇ ⋅ B(r , t ) = 0
r r
r r
r r
r r
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t )
r
r r
∂ρ (r , t )
∇ ⋅ J (r , t ) +
=0
∂t
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
r r
∂D(r , t )
=0
∂t
r r
r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
∂t
r r
r r
∇ × H (r , t ) = J (r , t )
r r
r r
r
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
∇ ⋅ B(r , t ) = 0
r r
r r
r r
r r
D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t )
r r
∇ ⋅ J (r , t ) = 0
EyM 6-2
Eym 6-1
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
El campo magnético.
• El campo magnético queda definido como función únicamente de las
corrientes, se especifican su divergencia y su rotacional:
r r
r r
r r
r r
r r
∇ × H (r , t ) = J (r , t );∇ ⋅ B(r , t ) = 0;B(r , t ) = µH (r , t )
– Son las mismas ecuaciones que las del campo magnético estacionario:
Se pueden aplicar las mismas técnicas para resolverlas.
– La diferencia es que las corrientes y los campos son función del tiempo.
r
r
– Simplificando, donde antes se ponía ( r ) , ahora se pone: ( r , t )
• Como ejemplo la expresión del campo en función de la corriente para
un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido, queda de la
siguiente forma:
Situación estacionaria
r r
r r
r r
J (r ′) × (r − r ′)
µ
(
)
Br =
dV ′
r
r
3
∫∫∫
4π V ′
r − r′
Variación lenta
r r
r r
r r
J (r ′, t ) × (r − r ′)
µ
B(r , t ) =
dV ′
r r 3
4π ∫∫∫
r − r′
V′
• Equivale a asumir que el efecto de un cambio en las fuentes se
transmite de forma instantánea a todo el espacio.
EyM 6-3
J.L. Fernández Jambrina
El campo eléctrico.
• El campo eléctrico queda como función de las cargas y del campo
magnético:
r r
r r
r r
r r
r r r
∂B(r , t )
∇ × E (r , t ) = −
;∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t );D(r , t ) = εE (r , t )
∂t
– Ahora el rotacional del campo eléctrico no es nulo.
– Recordando la definición del potencial vector:
r r
r r
r r
∂B(r , t ) ⎫
r r (1)
r r
∇ × E (r , t ) = −
∂
∂A(r , t )
⎪
∂t ⎬⇒ ∇ × E (r , t ) = − ∇ × A(r , t ) = − ∇ ×
r r
r r
∂t
∂t
B(r , t ) = ∇ × A(r , t ) ⎪⎭
– El paso (1) se puede hace siempre que se trate de puntos ordinarios.
r r
⎡r r
∂A(r , t ) ⎤
(
)
– Reordenando la última expresión: ∇ × ⎢ E r , t +
⎥=0
∂t ⎦
⎣
– Con lo que resulta posible definir
r r un potencial escalar de la forma:
r r
r
∂A(r , t )
E (r , t ) +
= −∇Φ (r , t )
EyM 6-4
∂t
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Tema 6: Variación Temporal Lenta
Eym 6-2
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
El campo eléctrico
(2)
– Este potencial escalar sigue recibiendo el nombre de potencial eléctrico.
» Aunque ahora el campo eléctrico es también función del potencial
vector magnético:
r r
r r
r
∂A(r , t )
(
)
(
)
E r , t = −∇Φ r , t −
∂t
– La ecuación que liga el potencial vector con las cargas es:
r r (1)
r r
⎧ r
⎪ ρ (r , t ) = ∇ ⋅ εE (r , t ) = ε∇ ⋅ E (r , t ) =
r r
r r
r r
r
∂A(r , t ) ⎫ ⎪
⎡
r
∂A(r , t ) ⎤
E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
⎪ ⎪
= −ε∇ ⋅ ⎢∇Φ (r , t ) +
⎥=
∂t ⎪ ⎪
∂t ⎦
r r
r r
⎣
⎪ ⎪
r r
D(r , t ) = εE (r , t )
⎬⇒ ⎨
r
∂A(r , t ) ( 2)
r r
r
⎪ ⎪
(
)
=
−
∆Φ
−
∇
⋅
=
,
ε
r
t
ε
∇ ⋅ D(r , t ) = ρ (r , t )
⎪ ⎪
∂t
r
r
⎭⎪ ⎪
( 2)
r
∂∇ ⋅ A(r , t )
⎪
= − ε∆Φ (r , t ) − ε
∂t
⎩⎪
» El paso (1) requiere que el medio sea homogéneo.
» El paso (2) requiere que se trate de puntos ordinarios.
EyM 6-5
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El campo eléctrico
(3)
– Recordando que la divergencia del potencial vector se escogió como
nula:
¡¡¡ La ecuación
de Poisson !!!
r
r
ρ (r , t ) = −ε∆Φ(r , t ) − ε
r r
∇ ⋅ A(r , t ) = 0
r r
∂∇ ⋅ A(r , t ) ⎫
r
r
ρ (r , t )
⎪
∂t
⎬ ⇒ ∆Φ (r , t ) = −
ε
⎪
⎭
– A pesar de esta similitud, existe una diferencia substancial:
r r
r r
r
∂A(r , t )
E (r , t ) = −∇Φ (r , t ) −
∂t
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Tema 6: Variación Temporal Lenta
EyM 6-6
Eym 6-3
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Circulación del campo eléctrico en variación
temporal lenta.
• La circulación del campo eléctrico a lo largo de un contorno cerrado
no es nula:
r
r
r
r r
r r
⎛
∂A ⎞⎟ r
∂A r
∂A r
∂
⎜
E
⋅
d
l
=
−
∇
Φ
+
⋅
d
l
=
−
⋅
d
l
=
−
∇
×
⋅ dS = − ∫∫ ∇ × A ⋅ dS
∫C
∫C ⎜⎝
∫
∫∫
⎟
∂t ⎠
∂t
∂t
∂t
C
S
S
(
)
r
r
• Y recordando la definición del potencial vector: B = ∇ × A
r
r r
∂B r
∫ E ⋅ dl = − ∫∫S ∂t ⋅ dS
C
– Expresión que se parece mucho a la ley de Faraday:
r
r
∫ E ⋅ dl
C
=−
r r
d
B ⋅ dS
dt ∫∫
S
– Para transformarla en la ley de Faraday hay que invertir el orden de la
derivada y de la integral, cosa que sólo se puede hacer en el caso de
que el contorno permaneciera fijo en el espacio.
» En negativo: que ni se desplace ni se deforme.
EyM 6-7
J.L. Fernández Jambrina
Revisión del concepto Fuerza electromotriz.
r r
r r r
f .e.m.i. = ∫ E ⋅ dl + ∫ (v × B ) ⋅ dl
C
C
• Considerando sólo fuerzas de origen electromagnético:
r
r
r r
r r r
F r r r
F r
= E + v × B ⇒ f .e.m.i. = ∫ ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ v × B ⋅ dl
q
q
C
C
C
(
)
• Al admitir variación temporal, los dos términos de la f.e.m.i. pueden
ser no nulos:
– Si varía el campo magnético:
r
r r
∂B r
E
⋅
d
l
=
−
∫
∫∫S ∂t ⋅ dS
C
– Si varía el contorno (se mueve o cambia de forma):
» la velocidad transversal de las cargas respecto del contorno no es
nula.
r
r
r r r
r r r
v = vl lˆ + vt ⇒ ∫ v × B ⋅ dl = ∫ vt × B ⋅ dl
C
(
)
C
(
)
– El primer término refleja exclusivamente el efecto de la variación
temporal del campo.
– El segundo término refleja exclusivamente el efecto del movimiento.
EyM 6-8
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
Eym 6-4
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Ley de Faraday
• Propuesta:
r
r r
r r
∂B r
∂
dΦ
⋅
=
−
E
d
l
∫C
∫∫S ∂t ⋅ dS = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS vr =0 = − dt B
– ya que:
∫ (v × B )⋅ dl
r
r
r
– sería interesante comprobar si:
C
r
v =0
=−
dΦ B
dt
r
∂B ∂t = 0
−
dΦ B
dt
r
∂B ∂t = 0
– ya que entonces:
(
)
r r
r r r
dΦ B
f .e.m.i. = ∫ E ⋅ dl + ∫ v × B ⋅ dl = −
C
dt
C
r
v =0
=−
dΦ B
dt
– Expresión conocida como ley de Faraday:
f .e.m.i. = −
dΦ B
dt
EyM 6-9
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Faraday
(2)
C (t )
• Demostración:
C (t + ∆t ) n$
– Partiendo de la posición de un contorno
variable (móvil) en los instantes t y t+∆t,
y considerando el campo magnético
independiente del tiempo, se va evaluar:
dΦ B
Φ (t + ∆t ) − Φ B (t )
= lim B
dt ∂Br ∂t = 0 ∆tr→ 0
∆t
n$
r
dl
n$
t + ∆t
r
∫ v dt
∂B ∂t = 0
– La superficie generada por los puntos del
contorno al moverse y las dos superficies
utilizadas para calcular Φ B (t ) y Φ B (t + ∆t )
definen una superficie cerrada, S0:
r r
r r
r r
r r
0 = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS − ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS
S0
S ( t + dt )
S (t )
r
dl
t
S (t + ∆t )
Sl
S(t)
SL
» donde el cambio de signo procede de la relación entre la normal
saliente a la superficie cerrada y los definidos en la figura para cada
superficie por separado.
r r
r r
r r
– Por tanto: Φ B (t + ∆t ) − Φ B (t ) =
B ⋅ dS − B ⋅ dS = − B ⋅ dS
∫∫
S ( t + dt )
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
∫∫
S (t )
∫∫
SL
EyM 6-10
Eym 6-5
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Ley de Faraday
(3)
r r
Φ B (t + ∆t ) − Φ B (t ) = − ∫∫ B ⋅ dS
SL
– Observando la figura, el diferencial de superficie
de la superficie
lateral
r r puede definirse como:
r
C (t + ∆t ) n$
dS = dl × v dt
– Con ello: r r
n$
∆Φ B = − ∫∫ B ⋅ dS =
SL
r
n$
dl
t + ∆t
t + ∆t
⎛ r r r⎞
⎛ r r r⎞
t + ∆t
= − ∫ ⎜⎜ ∫ B ⋅ dl × v ⎟⎟dt = − ∫ ⎜⎜ ∫ v × B ⋅ dl ⎟⎟dt
r
t ⎝C
t ⎝C
⎠
⎠
∫t v dt
– por tanto:
r r r
dΦ
∫C v × B ⋅ dl = − dt B dBr =0
(
(
)
(
C (t )
r
dl
)
)
S (t + ∆t )
dt
f .e.m.i. = −
dΦ B
∂Φ B
−
∂t vr = 0 dt
r
dB
=0
dt
=−
∂Φ B
∂t
EyM 6-11
J.L. Fernández Jambrina
Ley de Faraday:
• Expresiones:f .e.m.i. = −
(4)
r
r r
r r r
dΦ B
d
d r r
∂B r
= − ∫∫ B ⋅ dS = − ∫ A ⋅ dl = − ∫∫
⋅ dS + ∫ v × B ⋅ dl
dt
dt S
dt C
∂t
S
C
– Los sentidos de la circulación y del flujo
se relacionan de la forma habitual:
La regla del tornillo.
• Interpretación:
S(t)
Sl
– Agrupando resultados:
(
r
B↑
I ind
)
∂Φ B
>0
∂t
n$
– Si se produce una variación del flujo del
campo magnético a través de un contorno,
C+
aparece una una f.e.m. sobre el mismo.
» A esta f.e.m. se la denomina f.e.m. inducida, f.e.m.i.
– El signo menos implica que, si dicho contorno permite la circulación de
una corriente, el sentido de la corriente inducida será el que se oponga a
la variación del flujo.
» La propia corriente inducida dará lugar a una nueva f.e.m.i.
» Si el contorno es un conductor perfecto, no pueden existir fuerzas
sobre sus cargas, so pena de corriente infinita, luego la corriente que
circulará por el mismo deberá ser tal que la f.e.m.i. sea nula
y por tanto no se produzca variación de flujo.
EyM 6-12
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
Eym 6-6
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
T. Circuitos versus T. Electromagnética
• Las relaciones de circuitos fueron postuladas y verificadas antes que
las relaciones de campo.
• Sin embargo, son un caso particular de las ecuaciones de Maxwell.
• Son mucho más eficientes que las ecuaciones de Maxwell para
estudiar los circuitos, pero conviene conocer sus limitaciones.
• En las próximas transparencias se van a justificar los lemas de
Kirchoff a la luz de las ecuaciones de Maxwell particularizadas para
variación lenta.
Los
LosLemas
Lemasde
deKirchoff
Kirchoff son
sonun
uncaso
casoparticular
particularde
delas
las
ecuaciones
ecuacionesde
deMaxwell
Maxwellpara
paravariación
variacióntemporal
temporallenta.
lenta.
EyM 6-13
J.L. Fernández Jambrina
Primer Lema de Kirchoff
• En una unión de varios conductores, nudo, no debe
producirse acumulación de cargas.
n
∑I
i =1
i
=0
– En general, si se rodea el nudo por una superficie cerrada S y aplicando
la forma integral de la ecuación de continuidad:
I1
r r d
r r
r r dq
0 = ∫∫ J ⋅ dS +
= J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS =
I2
S
dt ∫∫S
dt S
r
⎛ r ∂D ⎞ r
⎟ ⋅ dS = ∑ I i + I D
= ∫∫ ⎜⎜ J +
S
S
In
∂t ⎟⎠
i
⎝
Ii
– El primer lema de Kirchoff es una particularización de la ecuación
de continuidad válida cuando las corrientes de desplazamiento son
pequeñas frente a las
r de conducción.
∂
D
∂t .
– Ello depende de
r
» En los casos habituales de la teoría de circuitos, D es muy pequeño
por la proximidad de los conductores.
» Si la variación es muy rápida o se aplica lejos del nudo puede dejar
de cumplirse el lema.
EyM 6-14
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Tema 6: Variación Temporal Lenta
Eym 6-7
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Segundo Lema de Kirchoff
L
1
• A lo largo de una malla cerrada, la
f.e.m. del generador es igual a la
suma de las caídas de tensión
f.e.m.
a lo largo de la ramas.
R
2
C
3
4
+ r
E′
I
– Suponiendo que los elementos del circuito son puros: r
r r
» El generador únicamente aporta energía: σ = ∞⇒ET = E ′ + E
r
» La inducción únicamente almacena
E=0
energía en forma de campo magnético:
r
» El condensador únicamente almacena
B=0
energía en forma de campo eléctrico:
r
r
» La resistencia únicamente convierte
J = σE
energía electromagnética en otro tipo:
» Las conexiones se realizan con hilo conductor perfecto.
– Suponiendo que el circuito no se desplaza:
r
r
r
r 3r r 4r r 1 r r
r
r r
2 r
∫C ET ⋅ dl = ∫C E + E′ ⋅ dl = ∫1 E ⋅ dl + ∫2 E ⋅ dl + ∫3 E ⋅ dl + ∫4 E + E′ ⋅ dl =
r r
r r
= ∫ E ⋅ dl + ∫ E ′ ⋅ dl
C
C
EyM 6-15
J.L. Fernández Jambrina
(
)
(
)
Segundo Lema de Kirchoff
(2)
r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
∫ E ⋅ dl + ∫ E ′ ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl + ∫ (E + E′)⋅ dl
2
C
1
C
3
4
1
2
3
4
– Los valores de los diferentes términos son:
r r
dΦ
dI
1
∫C E ⋅ dl = − dt B = − L dt
+ r
r r
E′
∫ E ′ ⋅ dl = f .e.m.g.
L
2
r
r
3
4
r
r
∫ E ⋅ dl
3
=
+
1
t
Q
1
= ∫I
C C0
r
r
∫ E ⋅ dl
2
(
R
3
C
4
I
C
σ = ∞⇒ ∫ E ⋅ dl = 0
2
= RI
)
r
r r
dt σ = ∞ ⇒∫ E + E ′ ⋅ dl = 0
– Sustituyendo y ordenando:
1
4
t
f .e.m.g . = + RI +
dI
1
I dt + L
C ∫0
dt
• Los elementos reales no son perfectos:
– puede que haya que utilizar circuitos equivalentes de los mismos.
– Esta necesidad se agudiza a medida que se sube en frecuencia y la
aproximación de variación lenta deja de ser válida.
EyM 6-16
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
Eym 6-8
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Relación Fuerza-Energía Magnética
• Aunque el campo magnético no sea conservativo, sigue siendo
aplicable el principio de conservación de la energía.
• El estudio de esta relación entre Fuerza y Energía magnética se ha
pospuesto hasta este capítulo ya que, por muy lento que se
considere cualquier desplazamiento, no se puede despreciar el
efecto de las fuerzas electromotrices inducidas.
• Se van a presentar casos de circuitos conductores perfectos tanto
con generadores como sin ellos.
• Los resultados obtenidos coinciden entre sí y con los del capítulo
anterior:
Es posible utilizar el método que resulte
más cómodo en cada caso.
• Se analiza el mismo ejemplo que en el capítulo anterior.
EyM 6-17
J.L. Fernández Jambrina
Fuerzas entre circuitos sin generadores
• Si se supone que no existen generadores, la fuente de energía
externa se limita a la que da lugar a la fuerza que contrarresta la
fuerza de origen magnético:
Wext + Wm = cte⇒dWext + dWm = 0
– Un desplazamiento en la dirección y sentido de una fuerza supone la
realización de un trabajo a costa de la correspondiente disminución de la
energía de la fuente asociada:
r r r
dW = − F ⋅ dl ⇒F = −∇W
– En nuestro caso la fuerza de origen magnético se opondrá a la fuerza de
origen externo y valdrá:
r
r
Fi = − Fext = ∇ iWext = −∇ iWm
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
EyM 6-18
Eym 6-9
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Fuerzas entre circuitos sin generadores
(2)
• La ley de Faraday implica que cuando no existen generadores, el
flujo a través de los circuitos debe permanecer constante:
dΦ B ,1 = dΦ B , 2 = 0
– Lógicamente esto implica que en el caso de un desplazamiento las
corrientes deben variar.
• Suponiendo dos circuitos
Φ B ,1 = L1,1 I1 + L2,1 I 2 ;Φ B , 2 = L2,1 I1 + L2, 2 I 2
– En la situación inicial:
– Y en la situación final:
Φ B ,1
Φ B ,1 + dΦ B ,1 = L1,1 (I1 + dI1 ) + (L2,1 + dL2,1 )(I 2 + dI 2 ) = (L1,1I1 + L2,1I 2 ) + L1,1dI1 + L2,1dI 2 + dL2,1I 2
Φ B,2
Φ B , 2 + dΦ B , 2 = (L2,1 + dL2,1 )(I1 + dI1 ) + L2, 2 (I 2 + dI 2 ) = (L2,1I1 + L2, 2 I 2 ) + L2, 2 dI 2 + L2,1dI1 + dL2,1I1
– Eliminando los flujos y resolviendo:
dL2,1
⎧
(L2,1I1 − L2,2 I 2 )
⎪dI1 =
2
0 = L1,1dI1 + I 2 dL2,1 + L2,1dI 2 ⎫ ⎪
L1,1 L2, 2 − L2,1
⇒
⎬ ⎨
0 = L2, 2 dI 2 + I1dL2,1 + L2,1dI1 ⎭ ⎪
dL2,1
(L I − L I )
dI =
⎪ 2 L1,1 L2, 2 − L2,12 2,1 2 1,1 1
⎩
EyM 6-19
J.L. Fernández Jambrina
Fuerzas entre circuitos sin generadores
(3)
• Conocido lo que ocurre con las corrientes ataquemos la energía,
inicialmente:
1
Wm =
2
(Φ
I + Φ B,2 I 2 )
B ,1 1
• Después del desplazamiento:
Wm + dWm =
• Desarrollando:
dWm =
1
(Φ B,1 (I1 + dI1 ) + Φ B,2 (I 2 + dI 2 )) ⇒ dWm = 1 (Φ B,1dI1 + Φ B,2 dI 2 )
2
2
Φ B ,1
Φ B,2
dL2,1 (L1,1I1 + L2,1I 2 )(L2,1I1 − L2, 2 I 2 ) + (L2,1I1 + L2, 2 I 2 )(L2,1I 2 − L1,1I1 )
2
2
L1,1L2, 2 − L2,1
• Simplificando:
dWm = − I1 I 2 dL2,1
r
• Y la fuerza sobre uno de los circuitos: F2,1 = −∇1Wm = I1 I 2∇1 L2,1
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
EyM 6-20
Eym 6-10
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Ejemplo: Fuerza entre una corriente rectilínea
indefinida y una espira rectangular a flujo constante.
• El campo debido a la línea de
corriente en el plano x=0 es:
I2
r r
µI
µI
B1 (r ) = 1 ϕˆ = − 1 xˆ
2πρ
2πy
I1
b
• El coeficiente de inducción mutua es:
L2,1 =
Φ B , 2,1 µI1
=
2πI1
I1
z0 +b D + a
∫ ∫
z = z0 y = D
(− xˆ )× (− xˆ ) dydz = µI1b ln D + a
y
2π
D
D
• Como sólo varía con el desplazamiento según y,
sólo existirá fuerza en ese sentido:
r
dL
1⎞
d µb D + a
µI I b ⎛ 1
ln
F2,1 = I1 I 2 2,1 yˆ = yˆI1 I 2
= yˆ 1 2 ⎜
− ⎟=
2π ⎝ D + a D ⎠
dD
dD 2π
D
1 ⎞
µI 1 I 2 b ⎛ 1
= − yˆ
⎜ −
⎟
2π ⎝ D D + a ⎠
a
• Resultado idéntico al obtenido a partir de la fuerza de Lorentz.
EyM 6-21
J.L. Fernández Jambrina
Fuerzas entre circuitos a corriente constante
• Cuando existen generadores que mantienen constantes las
distribuciones de corriente son tres las fuentes de energía: el campo
magnético, los generadores y la fuente externa que provoca el
desplazamiento.
• En estas condiciones la ley de conservación de la energía queda
como sigue:
Wext + Wg + Wm = cte⇒dWext + dWg + dWm = 0
– La fuerza de origen magnético tiene que ser igual y de sentido contrario
a la fuerza mecánica que provoca el desplazamiento:
r
r
Fi = − Fext = ∇ iWext = −∇ i (Wm + Wg )
– El objetivo es ahora calcular las variaciones de energía del campo y de
los generadores.
– La variación de energía del campo es sencilla de obtener en el caso de
dos corrientes filiformes:
Wm =
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
1
1
2
2
L1,1 I1 + L2, 2 I 2 + L2,1 I1 I 2 ⇒ dWm = I1 I 2 dL2,1
2
2
EyM 6-22
Eym 6-11
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/06
Fuerzas entre circuitos a corriente
constante
(2)
– Para poder calcular la variación de energía de los generadores es
necesario conocer las f.e.m.i.:
dL
dΦ B1
Φ B1 = L1,1 I1 + L2,1 I 2 f .e.m.i.1 = −
= − I 2 2,1
dt
dt
dL2,1
dΦ B 2
Φ B 2 = L2,1 I1 + L1,1 I 2 f .e.m.i.2 = −
= − I1
dt
dt
– Teniendo en cuenta que los generadores entregan energía a costa de la
que almacenan:
T
T
dL
dWg = ∫ ( f .e.m.i.1 I1 + f .e.m.i.2 I 2 )dt = −2 I1 I 2 ∫ 2,1 dt = −2 I1 I 2 dL2,1
dt
0
0
» El doble y de signo contrario que la variación de la energía
magnética.
– Combinado resultados:
dWext = −dWg − dWm = dWm I1 I 2 dL2,1
r
r
– Y la fuerza sobre la distribución 1: F2,1 = − Fext = ∇1Wext = ∇1Wm = I1 I 2∇1 L2,1
• Igual a del caso sin generadores.
EyM 6-23
J.L. Fernández Jambrina
Distribuciones inmersas en un campo casi
constante
• Dada la similitud de los campos creados por un dipolo eléctrico y un
momento magnético la energía de interacción de un momento
magnético inmerso en una campo casi constante está dada por la
siguiente expresión:
WI ,e =
r r
r r
r r
r r
1
1
Emr ⋅ Dcte dV = − p ⋅ Ecte ⇔ WI ,m = ∫∫∫ Bmr ⋅ H cte dV = −m ⋅ Bcte
∫∫∫
2 V
2 V
• Con las fuerzas hay que tener precaución:
– Para que coincidieran, el momento magnético debería permanecer
constante.
– Se ha visto que esto no es así en ausencia de generadores, luego
r
r
r r
r r
Fe = ∇ p ⋅ Ecte ⇔ Fm = −∇ m ⋅ Bcte r
(
)
(
• Otro tanto ocurre con los pares:
r
r
r
r
r
)
m = cte
r
τ e = p × Ecte ⇔ τ m = − m × Bcte
• Nota: Algunos materiales, como el hierro, consiguen mantener el
momento asociado a sus corrientes ligadas.
J.L. Fernández Jambrina
Tema 6: Variación Temporal Lenta
EyM 6-24
Eym 6-12