Download 7º Básico-Mat.- unidad nº5 Geometría - Guía del alumno

LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Liceos Bicentenario
Matemática
Geometría
Material Complementario para Séptimos años Básicos
Temas: -
Construcciones geométricas básicas
Cálculo de ángulos
Elementos secundarios de un triángulo
Teorema de Pitágoras
Cambio de unidades de medida
Volumen
Perímetros
Áreas
Ejercitación
Versión: Docente
2014
1
LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Notas del estudiante
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
ÁNGULOS:
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las
semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
Construcción de ángulos:




Primero trazar con regla un rayo con origen en el punto O (vértice).
Después colocar el transportador sobre el rayo, de manera que el centro del transportador
coincida con el punto O y el rayo coincida con 0°.
Buscar en el transportador la medida del ángulo (α) que se quiere dibujar y hacer una
marca.
Trazar un rayo con origen el punto O y que pase por la marca del ángulo requerido.
α
α
2
O
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Notas del estudiante
Copiar un ángulo:
Para copiar un ángulo igual a otro dado ABC:





Con el compás en B con una abertura cualquiera, marcar un arco que intersecte los lados
del ángulo ABC en D y E.
Dibuja un rayo B'Z sobre una recta cualquiera L.
Con centro en B' dibuja un arco con abertura del compás BE, determinando E' en B'Z
Luego, con el compás, toma la distancia que hay entre D y E (del ángulo original).
Luego con el centro E' y abertura del compás determinas D'.
Finalmente, unes B' con D' con un rayo, obteniendo el ángulo D'B'E' de igual medida
que el ángulo dado ABC.
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Construcción bisectriz de un ángulo:
Notas del estudiante
Bisectriz del ángulo ACD:


Ubicar el compás en el vértice A. Marcar un arco cortando los lados AC y AD,
conservando la distancia.
Ubicar el compás en estos puntos sucesivamente, y marcar un punto exterior. Unir el
vértice A con dicho punto.
Ángulos Adyacentes Complementarios:
Dos ángulos adyacentes son ángulos contiguos, que tienen el vértice y un lado común, y
suman 90°.
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LICEOS BICENTENARIO
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Ángulos Adyacentes Suplementarios:
Notas del estudiante
Dos ángulos adyacentes son ángulos contiguos, que tienen el vértice y un lado común, y los
otros dos lados son semirrectas opuestas. Los ángulos suman 180°.
Ángulos opuestos por el vértice:
Son los ángulos que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los
lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
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Sistema sexagesimal:
Notas del estudiante
El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide
en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica
en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
1h
60 min
60 s
1º
60'
60''
x 60
x 60
Grados
Minutos
: 60
Segundos
: 60
Para sumar o restar se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo
de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman o resta, según sea la operación.
En el caso de la suma, si los segundos suman más de 60, se divide dicho número
entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. Se hace
lo mismo para los minutos.
Ejemplo:
+
25°
36°
62°
38’
25’
4’
27”
46”
13”
6
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En el caso de la resta, los segundos se restan y en el caso de que no sea posible,
convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos
del minuendo. A continuación restamos los segundos.
Notas del estudiante
Hacemos lo mismo con los minutos, y después restamos los grados.
Ejemplo:
-
75°
36°
38°
28’
35’
52’
17”
46”
31”
Rectas en el Plano
Rectas paralelas:
Se dice que dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en
común y siempre están separadas a la misma distancia, o cuando son coincidentes.
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Rectas secantes: Se dice que dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto.
Notas del estudiante
Rectas perpendiculares: Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al intersecarse
forman cuatro ángulos iguales.
Construcción rectas paralelas:
•
•
•
•
•
Se traza con regla una recta así como un punto C fuera de ella.
Apoyando el compás en C, con una abertura cualquiera, se traza un arco que corte la
recta en un punto y se le asigna una letra para identificarlo (B).
Desde el punto B, con la misma abertura del compás, se traza un arco que pase por el
punto C y que corte la recta. Se obtiene el punto A.
Desde el punto A, con la misma abertura del compás, se traza un arco que corte el primer arco
y se obtiene el punto D.
Por último se unen los puntos C y D con una línea. De esta forma la recta ⃡ es la paralela
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a la recta ⃡ .
Notas del estudiante
Construcción rectas perpendiculares:
•
Trazar una recta y sobre ella marcar un punto. Situar la punta del compás en ese
punto y desde allí marcar (con una abertura determinada) un segundo punto sobre la recta.
Con el compás marcar un tercer punto al lado contrario, simétricamente, es decir, con la misma
abertura del compás.
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Notas del estudiante
•
Trazar un arco ubicando el compás en uno de los puntos de la recta y cortarlo trazando
un segundo arco a partir del otro punto.
•
Repetir la secuencia para determinar un punto (intersección de dos arcos) en la parte
inferior a la recta.
•
Trazar la recta que pasa por los dos puntos.
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Notas del estudiante
Triángulos
Triángulo:
Un triángulo es un polígono de tres lados. Sus elementos primarios son los vértices,
lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.
Vértices: son los puntos de origen de los segmentos. Se nombran con letras mayúsculas: A,
B, C , .., Z.
Lados: son los segmentos del polígono. Se designan por las dos letras de sus extremos
coronadas por un pequeño trazo (ej: ̅̅̅̅ ) o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde
a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).
Ángulos interiores: son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del
triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega
ubicada entre los lados del ángulo.
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Notas del estudiante
Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación
de otro hacia la región exterior.
Los elementos secundarios de un triángulo corresponden a: altura, bisectriz, simetral,
transversal de gravedad y mediana.
Propiedades de los triángulos



Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
Es decir que en un triángulo de segmentos a, b y c, a + b > c, a + c > b y b + c > a.
Esta propiedad anterior se conoce como desigualdad triangular.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
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Notas del estudiante
Clasificación de triángulos según la medida de sus lados
El triángulo equilátero es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida.
El triángulo isósceles es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.
El triángulo escaleno es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.
Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos
El triángulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.
El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.
El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso.
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Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo
Notas del estudiante
Comprobación geométrica del Teorema de los ángulos interiores de un triángulo.
Trazar una recta paralela a un lado del triángulo pasando por el vértice opuesto al lado.
De acuerdo a esto:
α = α’ (ángulos opuestos por el vértice),
β = β’ (ángulos correspondientes entre paralelas),
γ = γ’ (ángulos correspondientes entre paralelas).
Por lo tanto α’+ β’ + γ’ = 180° (forman un ángulo extendido)
α’
γ’
β’
α
β
γ
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Notas del estudiante
Teorema de la suma de los ángulos exteriores de un triángulo
Comprobación geométrica del Teorema de los ángulos exteriores de un triángulo.
Trazar una recta paralela a un lado del triángulo pasando por el vértice opuesto al lado.
De acuerdo a esto:
β = β’ (ángulos correspondientes entre paralelas),
γ = γ’ (ángulos correspondientes entre paralelas).
Por lo tanto α+ β’ + γ’ = 360° (forman un ángulo completo).
β’ α
γ’
β
γ
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Construcción de triángulos
Notas del estudiante
Para la construcción de un triángulo cualquiera son suficientes 3 datos:



los tres lados (LLL).
un lado y los ángulos contiguos a él (ALA).
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
LLL: Construir un triángulo dados los 3 lados.





Dibujar una recta y sobre ella copia el segmento ̅̅̅̅
Medir con el compás el segmento ̅̅̅̅ Con esta abertura, traza un arco de
circunferencia con centro en B.
Medir con el compás el segmento ̅̅̅̅ Con esta abertura, traza un arco de
circunferencia con centro en A.
El punto de intersección de ambos arcos es el tercer vértice del triángulo: C.
Unir los vértices A y B con C, respectivamente formando el triángulo ABC.
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Notas del estudiante
ALA: Construir un triángulo dados un lado y los ángulos contiguos a él.




Dibujar una recta y sobre ella copiar el segmento a.
Con un transportador copiar el ángulo ̂ con vértice en B y el ángulo ̂ ‚ con vértice en C.
La intersección de los lados no comunes de los ángulos es el tercer vértice del triángulo: A.
Unir los vértices formando el triángulo ABC.
A
B
C
LAL: Construir un triángulo dados dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos.



Con un transportador copiar el ángulo sobre una recta L,
determinando el vértice A.
Con el compás, sobre cada uno de los rayos del ángulo, copiar
los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ dados, determinando los vértices B y C.
Unir los vértices determinando el triángulo ABC.
A
B
A
C
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Notas del estudiante
Construcción de elementos secundarios de un triángulo
Altura:
Las alturas de un triángulo son segmentos perpendiculares a los lados del triángulo y que
unen estos con su vértice opuesto (representan la distancia más corta entre el vértice y el lado
opuesto). Se designan con la letra h. Las tres alturas o sus prolongaciones se cortan en un punto
llamado ortocentro (H).
Construcción altura



Con el compás en C trazar un arco que corte ̅̅̅̅ en 2 puntos, P y Q.
Con centro en P y Q trazar dos arcos que al intersectarse determinan R.
Unir C con R, cortando ̅̅̅̅ en N, ̅̅̅̅ altura.
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Bisectriz:
Las bisectrices son elementos secundarios de un triángulo. Estas dividen cada ángulo interior del
triángulo en dos ángulos de igual medida.
En un triángulo se pueden trazar tres bisectrices correspondientes a sus ángulos interiores. Estas se
intersecan en un punto llamado incentro (I).
Notas del estudiante
Construcción bisectriz del ángulo ACB


Ubicar el compás en el vértice C. Marcar un punto en el lado ̅̅̅̅ , y luego, conservando la
distancia, marcar un punto en ̅̅̅̅ .
Ubicar el compás en estos puntos sucesivamente, y marcar un punto exterior. Unir el vértice C
con dicho punto.
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Simetrales:
Las simetrales de un triángulo son rectas perpendiculares a los lados del triángulo las cuales
pasan por el punto medio de estos. Se intersecan en un punto llamado circuncentro (C),
centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Notas del estudiante
Construcción de una simetral




Ubicar el compás en el vértice C y trazar un arco.
Con la misma medida trazar un arco con centro en B, que se intersecta en 2 puntos con
el arco anterior.
Unir los dos puntos obteniendo la simetral del trazo ̅̅̅̅ que lo corta perpendicularmente
en el punto medio.
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Transversal de gravedad:
Las transversales de gravedad son segmentos que unen los puntos medios de cada lado con su
vértice opuesto. Se cortan en un punto llamado centro de gravedad o baricentro (G), que
corresponde al punto de equilibrio del triángulo.
Notas del estudiante
Construcción transversal de gravedad



Ubicar el compás en el vértice C y trazar un arco.
Con la misma medida trazar un arco con centro en B, que se intersecta en 2 puntos con el
arco anterior.
Unir los dos puntos obteniendo la simetral del trazo ̅̅̅̅ que lo corta perpendicularmente en
el punto medio.
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Medianas:
Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo.
La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo. Al trazar las tres
medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.
Notas del estudiante
TEOREMA DE PITÁGORAS
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un
triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos.
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Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
hipotenusa 2 = cateto 2
c2
=
a2
Notas del estudiante
+ cateto 2
+ b2
Para comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre
la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas
de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Teorema Recíproco de Pitágoras
Si en un triángulo se tiene que la suma de los cuadrados de dos de los lados es igual al
cuadrado del tercero, entonces el triángulo es rectángulo. Si a2 + b2 = c2, entonces el
ángulo C es recto, por lo tanto el triángulo ABC es un triángulo rectángulo.
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Notas del estudiante
ÁREA Y PERÍMETRO
Perímetro: Perímetro de un polígono es la suma de todos sus lados, es su contorno.
Área: Es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.
Triángulo:
Perímetro
Área
P=a+b+c
A=
Cuadrado:
Perímetro
Área
P=4l
A = l2
Rectángulo:
Perímetro
Área
P = 2 • (b + h)
A=b•h
Rombo:
Perímetro
Área
P=4l
A=
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Notas del estudiante
Romboide:
Perímetro
Área
P = 2 • (a + b)
A=b•h
Trapecio:
Perímetro
Área
P=B+b+a+c
A=
Polígono regular:
Perímetro
P=n•l
Área
A=
n = número de lados
Unidades de medida y subunidades
Unidades de longitud: el metro es la unidad principal (m).
kilómetro
km
1.000 m
hectómetro
hm
100 m
decámetro
dam
10 m
metro
m
1m
decímetro
dm
0,1 m
centímetro
cm
0,01 m
milímetro
mm
0,001 m
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Para transformar de una unidad a otra hay que tomar en cuenta que las unidades de
longitud aumentan o disminuyen de 10 en 10.
Notas del estudiante
Unidades de superficie: el metro cuadrado es la unidad principal (m2).
kilómetro
km2
1.000.000 m2
hectómetro
hm2
10.000 m2
decámetro
dam2
100 m2
metro
m2
1 m2
decímetro
dm2
0,01 m2
centímetro
cm2
0,0001 m2
milímetro
mm2
0,000001 m2
Para transformar de una unidad a otra hay que tomar en cuenta que las unidades de longitud
aumentan o disminuyen de 100 en 100.
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CUERPOS GEOMÉTRICOS
Notas del estudiante
Cuerpo geométrico:
figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en
el espacio y en consecuencia tiene un volumen. Los cuerpos geométricos se
clasifican en poliedros y cuerpos redondos.
Poliedros: cuerpo geométrico cuyas caras son todas planas.
Las caras son las superficies planas que limitan el cuerpo geométrico. Estas superficies planas
son figuras geométricas. Las caras donde se apoya el cuerpo reciben el nombre de caras basales
o base, las demás el nombre de caras laterales.
Las aristas son las líneas que se forman cuando se juntan dos caras. Se puede decir también,
que son los lados de las figuras geométricas que forman las caras del cuerpo.
Los vértices son los puntos donde se juntan tres o más caras.
Los poliedros se clasifican en poliedros regulares e irregulares.
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Poliedro regular:
poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes y cuyos ángulos poliédricos son
todos iguales. Sólo existen cinco tipos posibles de poliedros regulares convexos. Ellos son
el tetraedro regular, el hexaedro regular o cubo, el octaedro regular, el dodecaedro regular
y el icosaedro regular.
Notas del estudiante
Poliedro irregular:
poliedro definido por caras que son polígonos que no son todos iguales, pueden presentar
diferentes formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites como
ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas,
las pirámides y todas sus variedades.
Prismas: Es un cuerpo formado por tres o más caras laterales que son paralelogramos y dos
caras basales que son polígonos congruentes y paralelos. Los prismas se clasifican según el
polígono de sus bases.
Los elementos de un prisma son bases, caras laterales y altura (distancia entre las bases).
Los prismas también se clasifican en:
Prismas rectos: son los prismas cuyas caras laterales son
rectángulos o cuadrados, es decir sus caras basales son
perpendiculares a sus caras laterales.
Prismas oblicuos: son los prismas cuyas caras laterales son
romboides o rombos.
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SECRETARÍA TÉCNICA
Prismas regulares: son los prismas cuyas bases son
polígonos regulares.
Notas del estudiante
Prismas irregulares: son los prismas cuyas bases son
polígonos irregulares.
Paralelepípedos: son los prismas cuyas bases son paralelogramos.
Ortoedros: son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares.
Pirámides: Poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras
laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.
Los elementos de una pirámide son base, caras laterales, altura (segmento
perpendicular a la base, que une la base con el vértice), apotema (altura
de cualquiera de sus caras laterales), aristas (básicas y laterales) y vértice.
Las pirámides se clasifican en:
Pirámide regular: es aquella que tiene de base un polígono regular y sus
caras laterales iguales.
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SECRETARÍA TÉCNICA
Pirámide irregular: es aquella que tiene de base un polígono irregular.
Notas del estudiante
Pirámide recta: es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos
isósceles y la altura cae al punto medio de la base.
Pirámide oblicua: es aquella en la que alguna de sus caras laterales no es
un triángulo isósceles.
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SECRETARÍA TÉCNICA
Cuerpos redondos:
son cuerpos geométricos que tienen superficies curvas, tales como el cono, el
cilindro y la esfera. Estos tres cuerpos se generan al hacer girar una línea
alrededor de un eje. La línea que gira recibe el nombre de generatriz y
los puntos que ella describe forman una circunferencia.
Notas del estudiante
Cono: Es el cuerpo geométrico redondo que se obtiene al girar una
recta oblicua desde un punto fijo del eje. A ese punto se le llama
vértice o cúspide. La recta, llamada generatriz, gira a lo largo de
una circunferencia, directriz, que se encuentra en otro plano.
Cono recto: cuerpo geométrico obtenido al rotar un triángulo rectángulo en torno a un cateto.
Sus elementos son eje, base, generatriz y altura.
El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice
llamado cúspide.
Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Notas del estudiante
Cilindro: cuerpo redondo que se forma con todas las rectas paralelas
que cortan a 2 circunferencias congruentes ubicadas en planos
paralelos.
Cilindro recto: cuerpo geométrico obtenido al rotar un rectángulo en torno a uno de sus lados.
Sus elementos son eje, bases, generatriz y altura.
El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes, 1 cara lateral que es curva y 2
aristas basales.
VOLUMEN
Volumen: es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad principal de
volumen es el metro cúbico (m3).
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Transformación de unidades de volumen
Unidades de volumen:
kilómetro cúbico
hectómetro cúbico
decámetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Notas del estudiante
1.000.000.000 m3
1.000.000m3
1.000 m3
1 m3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
Para pasar de una unidad a otra hay que tomar en cuenta que las unidades de volumen
aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000.
Ejemplo:
Expresar 2 km3 en m3.
2 km3 = (2 • 1.000 • 1.000 • 1.000) m3 = 2.000.000.000 m3
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Cálculo de volumen de prismas rectos
Notas del estudiante
El volumen de un prisma recto está dado por el producto del área de su base por su altura,
es decir, por la distancia entre las bases. Esto queda expresado en la fórmula:
V=B•h
Donde B representa el área de la base y h representa la longitud de la altura.
Esta fórmula es válida para prismas de cualquier base, así como para el cilindro.
En el caso de un prisma de base rectangular, cualquier cara puede hacer las veces de base.
Su área será el producto de la longitud de dos aristas que convergen en un vértice, y la altura,
en tal caso, será la longitud de la tercera arista que converge en ese vértice. De esta forma,
el volumen del prisma recto de base rectangular puede expresarse mediante la fórmula:
V=a•b•c
Donde a, b y c son las longitudes de las 3 aristas que convergen en uno de sus vértices.
En el caso particular del cubo, dado que todas sus aristas tienen igual longitud, su volumen
queda dado por V = a3, donde a es la longitud de su arista.
En el caso de un prisma de base triangular, el volumen se obtiene al multiplicar el área de la
base triangular por la altura.
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Cálculo de volumen de pirámides
Notas del estudiante
El volumen de una pirámide está dado por el producto del área de su base por su altura
dividido en 3. Esto queda expresado en la fórmula:
V=
En el caso de una pirámide de base rectangular, el área de su base corresponde al largo
por el ancho, por lo que el volumen queda expresado en la fórmula:
V=
Donde l es el largo de la base y a el ancho de la base.
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
En el caso de una pirámide de base triangular, el área de su base corresponde al área del
triángulo:
Notas del estudiante
A∆ =
Por lo que el volumen de la pirámide corresponde al producto entre el área de la base triangular
por la altura de la pirámide, y dividido en 3.
a
l
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
Ejercitación
1) Al sumar el ángulo α = 25° con el ángulo β = 72° se obtiene:
2) Al sumar el ángulo α = 138° con el ángulo β = 53,7° se obtiene:
3) Al sumar el ángulo α = 67°19’48” con el ángulo β = 78°26’25’’ se obtiene:
4) Al ángulo α = 74°12’45” se le restan 35°46’56’’
se obtiene:
5) Cuál es el ángulo complementario de 39°:
A) 51°
B) 90°
C) 85°
D) 76°
37
LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
6)
Halla el ángulo complementario de 38° 36’ 43”
A) 90°
B) 51° 23’ 17”
C) 50° 24’ 40”
D) 52° 36’ 18”
7) Un ángulo de 270° se trisecta formando 3 ángulos iguales. Luego uno de
esos tres ángulos se bisecta formando otros dos ángulos, entonces el
ángulo suplementario de uno de ellos mide:
A) 90°
B) 270°
C) 45°
D) 135°
8) Dos ángulos interiores de un triángulo miden 78° y 51°. ¿Cuánto mide
el tercer ángulo?
A) 78°
B) 51°
C) 67°
D) 68°
38
LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
9) El siguiente triángulo se clasifica según sus lados y ángulos:
A) Triángulo equilátero, rectángulo.
B) Triángulo Isósceles, acutángulo.
C) Triángulo Isósceles, obtusángulo.
D) Triángulo Escaleno, acutángulo.
10) En el triángulo ABC de la figura, I es el incentro. Si AIB = 100º,
¿cuánto mide el ACB?
A) 20°
B) 30°
C) 50°
D) Faltan datos para poder calcular.
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
11) El siguiente triángulo es un triángulo rectángulo. Entonces la medida desconocida (b) es igual a:
A) 7 m
B) 8 m
C) 6 m
D) 5 m
12) En un triángulo uno de los ángulos internos mide 48°, el segundo ángulo
es el triple del tercero, entonces el tercer ángulo mide:
A) 132°
B) 99°
C) 33°
D) 36°
13) Mi vecina quiere poner una malla alrededor de su huerto para cercarlo. Si su huerto es un polígono regular con la forma y las medidas
que se muestran en la figura. Entonces, ¿cuántos metros de malla necesita mi vecina?
A) 40 m
B) 36 m
C) 32 m
D) 30 m
6m
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
14) ¿Cuál de las siguientes características pertenecen a los cuerpos redondos?
.
A) Tienen nombres especiales en función del número de caras que poseen.
B) Son cuerpos geométricos totalmente limitados por polígonos.
C) Son poliedros de cuatro caras.
D) Son todos aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones
curvas o regiones planas y curvas.
15) El volumen del siguiente prisma es:
A) 36 m3
B) 33 m3
C) 30 m3
D) 6 m3
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LICEOS BICENTENARIO
SECRETARÍA TÉCNICA
16) Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm.
Queremos llenarlo a toda su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos? ( =3,14)
A) 2,826 lt
B) 1,884 lt
C) 2,500 lt
D) 3 lt
17) ¿Cuál es el volumen de un cono cuya base mide 24cm2 y su altura es de 8 cm?
18) Si un cilindro y un cono tienen igual radio basal y tienen igual altura. Entonces,
¿Cuántas veces cabe el volumen del cono en el cilindro?
19) La arista de un cubo mide 2 cm. Si la medida de la arista se aumenta en 4 cm.
Entonces el nuevo volumen del cubo mide:
20) El volumen de un cilindro cuyo diámetro mide 3,5 cm y cuya altura es de 20 cm es igual a:
64 cm3
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