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Nivelación Restitutiva
Grupo
Nivel 2
2006
Matemática
Geometría
1º Medio
Material elaborado por:
Facultad de Educación, Pontificia Universidad Católica de Chile
Equipo Desarrollo Pedagógico - Programa Liceo Para Todos
Esta bitácora pertenece a:
Nombre
Curso
Liceo
Figuras geométricas: Sus propiedades y sus
clasificaciones. Transformaciones isométricas
¿Sabías que la primera prueba documental de la celebración de los Juegos Olímpicos data del
año 776 a. C. en la localidad griega Olimpia, en la península mediterránea del Peloponeso?
Uno de los deportes más
importantes es el tiro del disco,
deporte del cual se sabe que el
ángulo de lanzamiento ideal es 45°.
¿Sabías que ángulo significa codo flexionado, el cual deriva del sustantivo latino ángulus y éste
del griego ankýlos que significa doblado?
Completa la siguiente tabla indicando el tipo de ángulo y la medida de éste.
Descripción del ángulo
Dibujo que representa
la situación planteada
Nombre del
ángulo
Medida del
ángulo
El brazo está totalmente
extendido y está paralelo al
suelo.
El antebrazo está flexionado
verticalmente respecto del
suelo.
El codo está flexionado en una
abertura menor cuando está en
posición vertical al suelo.
El codo está flexionado en una
abertura mayor cuando está en
posición vertical al suelo.
Observa las siguientes imágenes e identifica los ángulos agudos, rectos, obtusos y extendidos
según correspondan.
——
Toma nota: La clasificación de los ángulos en agudos o ángulos que miden menos de 90°,
rectos o ángulos que miden 90°, obtusos o ángulos que miden más de 90°, pero menos
de 180°; y extendido o ángulo que mide 180°, es anterior a Platón y quizás de origen
griego, así como el concepto de perpendicular o de intersección en 90°.
¿Sabías que la natación tiene diversos estilos de competencia (espalda, crol, mariposa,
natación sincronizada, entre otros). El estilo libre o crol se origina en Australia simulando la
técnica de nado de los nativos; la primera versión de este estilo se le atribuye al inglés John
Arthur Trudgen en el año 1870?
Ahora dibuja sobre las imágenes los ángulos agudos, rectos, obtusos y/o extendidos según
corresponda.
En Básquetbol el árbitro comunica las faltas de los jugadores mediante señales con sus brazos.
Escribe sobre cada dibujo si los brazos forman un ángulo agudo, recto, obtuso o extendido.
Lucha
3 segundos
en zona
Falta de jugador
Pasos
Puntos Falta personal
anotados
Falta técnica
Triple
Bloqueo
- Si se tiene un ángulo de 90° y quiero formar un ángulo obtuso, ¿Qué tipo de ángulo debo
sumar al ángulo de 90°?
- Si se tiene un ángulo obtuso y quiero formar un ángulo de 180°, ¿Qué tipo de ángulo debo
sumar al ángulo obtuso?
——
¿Sabías que el concepto de ángulo complementario era frecuentemente utilizado por los
astrónomos árabes, quienes explicaban que era lo que le falta a la medida de un ángulo
para completar noventa grados?
Completa y responde la siguiente tabla calculando el complemento de cada ángulo.
Medida ángulo
Complemento
Medida ángulo
 = 37°
 = 45°
 = 79°
 = 62°
Complemento
¿Tiene sentido calcular el complemento de un ángulo obtuso? Argumenta tu respuesta.
Observa la siguiente imagen y encierra en un círculo cuándo se presente al mismo tiempo un
ángulo y su complemento.
Elementos de una cercha
Observa las siguientes figuras geométricas y marca con una “A” los ángulos agudos; con una “R”
los ángulos rectos y con una “O” los ángulos obtusos.
Toma nota: Recuerda que todo ángulo está constituido por dos segmentos que se unen en
un punto en común (estos puntos, de unión de dos segmentos, reciben el nombre de vértice)
y su denominación se realiza de la siguiente forma:
ABC.
——
¿Sabías que la palabra vértice significa remolino, girar o dar vueltas?
Observa las siguientes insignias, dibuja los triángulos, los cuadrados, los círculos, los rectángulos
u otros cuadriláteros, según corresponda. No olvides escribir el nombre de la figura geométrica
al lado de cada dibujo realizado.
Completa la siguiente tabla indicando los elementos básicos de cada figura geométrica.
Nombre de
la figura
Dibuja la figura
indicando sus vértices y
el Nº de éstos
Dibuja la figura
indicando sus ángulos
y el Nº de éstos
Dibuja la figura
indicando sus lados y el
Nº de éstos
Triángulos
Cuadrados
Rectángulos
- ¿Qué semejanzas existen entre el cuadrado y el rectángulo?
- ¿Qué diferencias existen entre los triángulos y los cuadriláteros?
——
Completa la siguiente tabla que clasifica los triángulos según la medida de sus lados o según la
medida de sus ángulos.
Descripción del triángulo
Dibujo del triángulo con todos
sus datos
Nombre del
triángulo descrito
a
Tiene sus tres ángulos y sus
tres lados de igual medida o
congruentes.
Triángulo equilátero
a
a
Tiene dos ángulos y dos lados
congruentes.
Tiene sus tres ángulos y sus
tres lados de distinta medida.
Tiene sus tres ángulos de
distinta medida y son todos
agudos.
Tiene un ángulo obtuso y dos
ángulos que son agudos.
Tiene un ángulo recto y dos
ángulos que son agudos.
Toma nota: La clasificación de los triángulos según la medida de sus lados es: equiláteros,
isósceles y escalenos. En cambio, la clasificación de los triángulos según la medida de sus
ángulos es: agudo, recto y obtusángulo.
La palabra Isósceles significa de piernas iguales. Proviene del adjetivo griego isoskelés,
compuesto de isos (igual) y skélos (piernas).
Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y contesten la
siguiente tabla. No olviden argumentar sus respuestas.
Triángulo obtusángulo
Triángulo isósceles
Definición.
Dibujo.
¿Existe el triángulo obtusángulo isósceles? Argumenta con un dibujo en tu cuaderno.
——
A continuación les presentamos los signos que podrán utilizar para explicitar toda la información
necesaria en una representación gráfica de una figura geométrica.
Signo
Significado de los signos
El dibujar un  entre dos segmentos significa que el ángulo mide 90° o que
los segmentos son perpendiculares.
El dibujar una línea en sentido contrario en variados segmentos significa que
éstos tienen igual medida o congruentes.
El dibujar
en variados ángulos significa que éstos tienen la misma medida
o congruentes.
Dibuja la figura geométrica que se indica y señala a través de los signos correspondientes las
propiedades específicas de cada concepto.
Figura Geométrica
Dibujo de la figura con sus respectivos signos
Cuadrado: Tiene sus cuatro lados
congruentes y sus cuatro ángulos
miden 90°.
Rectángulo: Tiene sus cuatro
ángulos de 90° y los lados
opuestos son paralelos y
congruentes.
Rombo: Tiene los cuatro lados
congruentes, pero un par de
ángulos son agudos y el otro par
de ángulos son obtusos.
Romboide: Paralelógramo que
tiene dos lados opuestos iguales
y dos pares de ángulos opuestos
congruentes.
Observa la siguiente imagen y responde en tu cuaderno.
Si el cuadrado y el rectángulo tienen dos pares de lados en
común, pero el cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes o
de igual medida y el rectángulo solo tiene dos lados opuestos
de igual medida.
Identifica la(s) figura (s) que sean cuadrados.
¿Qué medida tienen los ángulos de un cuadrado?
— 10 —
Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco, observen la
siguiente imagen y completen la argumentación respecto de las semejanzas entre un cuadrado
y un rectángulo.
Semejanzas entre el cuadrado y el rectángulo
El cuadrado y el rectángulo tienen como característica que sus
lados son:
El cuadrado y el rectángulo tienen sus ángulos:
El cuadrado y el rectángulo tienen lados perpendiculares, lo que
implica:
Observa la siguiente obra. Indica y dibuja las figuras geométricas (triángulos, cuadriláteros,
entre otros) que se observan en ellas, registrando además las propiedades que posee cada
figura, (n0 de lados, n0 de ángulos, etc).
Nombre de la figura
Dibuja la figura indicando toda sus propiedades
— 11 —
Observa las siguientes figuras geométricas y completa la tabla y responde las preguntas
respectivas (Las líneas dibujadas sobre los segmentos indican que los lados tienen igual
medida).
Nombre de la
figura
Cantidad de lados
Cantidad de ángulos
Cuadrilátero ABCD
Cuadrilátero A`B`C`D`
Cuadrilátero
A```B```C```D```
Observa con atención la siguiente figura ABC y responde las siguientes preguntas.
¿La figura ABC es la misma que la figura AB`C`, AB``C`` y
AB```C```? ¿Por qué?
¿Qué nombre recibe la figura geométrica ABC? ¿Cuáles son
sus propiedades?
¿De cuántas maneras se puede dibujar una misma figura
geométrica?
— 12 —
Ahora aprenderemos la manera de argumentar por qué los triángulos anteriores tienen la misma
forma y medida, es decir, porque son triángulos congruentes. Observa nuevamente la imagen y
responde las preguntas.
¿En cuánto ha girado el segmento AB respecto del segmento AB`? ¿Y el segmento AC’, con
respecto al segmento AC```?
¿Podemos afirmar que el triángulo ABC tiene la misma forma y medida que el triángulo AB``C``?
¿Es por rotación o traslación?
¿En cuánto ha girado el segmento AB` respecto del segmento AB? ¿Y el segmento amarillo
AC`` y AC```? Podemos afirmar que el triángulo AB``C`` tiene igual forma y medida que el
triángulo AB```C```?
¿En cuánto ha girado el segmento AB``` respecto del segmento AB? ¿Y el segmento C```B``` y
C``` A? Podemos afirmar que el triángulo AB```C``` tiene igual forma y medida que el triángulo
AB``C``?
Toma nota: La rotación de una figura geométrica tiene como propiedad que la figura rotada
(en un ángulo determinado y a partir de un punto específico) tiene la misma forma y medida
que la inicial, es decir, son figuras congruentes.
Recuerda que una rotación en 90° es un cuarto de giro; en 180° es medio giro; en 270° es tres
cuartos de giro y en 360° es un giro completo.
— 13 —
1. Anota lo que entiendes por traslación y da otro ejemplo de la vida real.
2. ¿Qué elementos de una figura (posición, tamaño, largo de sus lados, magnitud de sus
ángulos, etc.) cambian al trasladarla? ¿Cuáles no cambian?
3. Dibuja un triángulo cualquiera ABC y dibuja otro congruente, a 12 cm. hacia arriba y a 9 cm.
hacia la derecha (haz el primer triángulo en el costado derecho de tu cuaderno para que
puedas dibujar el segundo triángulo). Luego une los vértices (haz una fecha) del triángulo
ABC con los vértices del triángulo que trasladaste ¿Qué características en común tienen las
flechas que dibujaste? ¿Por qué crees que dibujaste esas flechas?
Toma nota: La traslación es el movimiento más sencillo que podemos realizar con una
figura sin modificar su forma y sus medidas, ya que es un desplazamiento que tiene un punto
de referencia o inicio, un punto de llegada o final, una dirección y un sentido en que se realizó
la traslación.
— 14 —
Traslada la figura siguiente en la dirección, sentido y magnitud que indica la flecha.
¿Sabías que Embaldosar o Teselar, significa recubrir el plano con figuras que se trasladan
de modo que las figuras recubren completamente el plano y la intersección de dos figuras es
sin espacios?
Explica con tus palabras cómo se puede Teselar a partir de la traslación de los duendes.
— 15 —
¿Sabías que la idea de simetría es inherente a la percepción humana? Por lo tanto,
es apropiado recurrir a algunos ejemplos de simetría, de gran belleza, que se dan en la
naturaleza.
Eje de simetría interno
Toma nota: Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues
al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, la parte que está a un lado de la
línea sería exactamente igual a la parte que está al lado opuesto de esa misma línea.
Observa la siguiente imagen y responde la pregunta.
¿Qué características posee la figura que se forma al
trazar un eje de simetría interno?
Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y observen que hay
imágenes de situaciones de la realidad que poseen ejes de simetría externos.
¿Qué se puede concluir respecto del
eje de simetría gris?
¿Qué se puede concluir respecto del
eje de simetría negro?
— 16 —
Los triángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos corresponde
a la simetría o reflexión del triángulo 1?
Argumenta tu respuesta:
2
3
5
L
1
4
¿Cuál de las siguientes imágenes presenta todos los ejes de simetría del rectángulo?
Argumenta tu respuesta:
¿Sabías que circunferencia significa “lo que lleva alrededor”, es decir, es el conjunto de
puntos que equidistan de un punto llamado centro; y círculo significa pequeño espacio
circular; es decir, es el conjunto de puntos que equidistan del centro y el conjunto de puntos
de la región interior de dicha circunferencia?
Indica cuál es el círculo y cuál es la circunferencia.
¿Es la circunferencia una figura simétrica? Explica tu respuesta en tu cuaderno.
— 17 —
Toma nota: El matemático suizo Leonhard Euler, en 1737, utilizó la letra ““, como símbolo
para el cociente entre el perímetro de un círculo y la longitud de su diámetro (La letra griega
 es la inicial de la palabra perímetro).
 El radio de una circunferencia corresponde
a la distancia entre el centro y un punto
cualquiera de ella.
O
ARC
DA
R
UE
C
 El diámetro de una circunferencia equivale
al doble de la medida del radio.
RADIO
CENTRO
TRO
DIÈME
 Un arco de circunferencia es una sección o
segmento de circunferencia.
 Una cuerda es un segmento que une dos
puntos de la circunferencia.
El área de una circunferencia se calcula mediante la fórmula πr2 y el perímetro o contorno se
calcula mediante la fórmula 2πr. En donde “r” es el radio.
¿Sabías que la Chapapía fue un ritual indígena de los Yanaconas (Colombia) que consiste
en formar cuadrillas de tres hombres, los cuales se agrupan en una superficie circular con
ortigas, de un radio aproximado de cuatro metros? Hay además un triángulo inscrito y en
cada vértice del triángulo se dispone uno de los equipos junto con un costal cargado de papa
pastusa, y entonces... ¡comienza la chapapía!
%
 Si el triángulo inscrito en la circunferencia tiene
sus tres lados congruentes y sus tres ángulos
congruentes, el triángulo se denomina triángulo
equilátero.
#
 Si el arco CE = EB = BC , implica que el
"
m
m
m
CEB=60°
ECB=60°
CBE=60°
BE=5,14 cm
EC=5,14 cm
CB=5,14 cm
arco CE recorre 120º desde C a E.
 Anota los datos en la figura según correspondan.
¿Si el ángulo
CBE mide 60° y el arco CE recorre 120° desde C
hasta E ¿Cuál es la relación matemática existente entre un ángulo
inscrito en una circunferencia y el arco que coincide con los lados
de éste?
— 18 —
Dibuja las circunferencias según lo indicado en cada alternativa.
A) Circunferencias exteriores, si no tienen ningún punto en común.
B) Circunferencias interiores, si no tienen ningún punto en común.
C) Circunferencias tangentes exteriores, si tienen un punto en común.
Alternativa A
Alternativa B
— 19 —
Alternativa C
¿Cuánto has aprendido?
Los siguientes problemas te permitirán autoevaluar tus aprendizajes desarrollados hasta aquí.
1. Indica el nombre de los siguientes triángulos según la medida de sus lados y según la
medida de sus ángulos.
#
CM
CM
#
CM
CM
CM
!
CM
"
CM
!
CM
CM
"
2. Completa la tabla indicando el nombre de cada una de las figuras geométricas que
aparecen en la siguiente imagen e indica sus propiedades a través de un dibujo según
corresponda.
Nombre de la figura geométrica
Propiedades de la figura geométrica
3. Escribe el nombre del concepto dada la definición de éste.
A) Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
La frase corresponde al concepto de
B) Es un segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
La frase corresponde al concepto de
C) Corresponde a una sección de la circunferencia.
La frase corresponde al concepto de
— 20 —
4. ¿Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura
a) b) c) ?
d)
Argumenta tu respuesta tanto para la respuesta correcta, como para alternativas falsas.
5. Describe el movimiento de traslación que realiza el planeta Tierra.
Argumenta tu respuesta:
— 21 —
Polígonos Regulares e Irregulares y
Cuerpos Geométricos
— 22 —
— 23 —
— 24 —
m=
n =
m=
n =
m=
n =
m=
n =
ángulos
congruentes cuya medida es
Polígono regular denominado
Polígono regular denominado
Polígono regular denominado
Polígono regular denominado
Polígono regular denominado Triángulo
equilátero.
3 ángulos congruentes cuya
medida es
n =
m=
Nombre de la figura
Medidas de los ángulos
Características: n = n° de lados
y m = n° de ángulos
Toma nota: Todo polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es
aquel cuyos lados son congruentes y cuyos ángulos interiores congruentes están formado por dos lados consecutivos.
Dibujo de la figura
Completa la siguiente tabla siguiendo el ejemplo de la primera fila de la tabla.
¿Sabías que la palabra Polígono significa que es una figura geométrica que tiene muchos ángulos? Es la transcripción del adjetivo
griego polygonos (de polys que significa muchos, y gonía que significa ángulo).
¿Sabías que los cuerpos geométricos tienen largo, ancho y alto, lo que los convierte
en cuerpos geométricos u objetos de 3 dimensiones? A continuación, observa el cuerpo
geométrico denominado paralelepípedo.
¡El paralelepípedo está constituido por 6
caras rectangulares, es decir, posee 6 figuras
geométricas llamadas rectángulos!
¡El paralelepípedo tiene 12 aristas, es decir,
posee 12 intersecciones entre 2 caras!
¡El paralelepípedo tiene 8 vértices, es decir,
tiene 8 puntos en donde concurren siempre 3
caras rectangulares!
Completa la siguiente tabla a partir de los conocimientos aprendidos en la actividad realizada
anteriormente.
¿Qué figuras geométricas necesitas
para armar una pirámide de base
cuadrangular, y cuántas de cada una?
¿Qué figuras geométricas necesitas para
armar un cubo, y cuántas de cada una?
¿Qué y cuántas figuras geométricas necesitas para armar un dodecaedro?
— 25 —
Completa la siguiente tabla a partir de los conocimientos aprendidos en la actividad realizada
anteriormente.
Nombre del cuerpo geométrico
Cubo
Características del cuerpo geométrico
Tiene 6 caras cuadradas de igual medida
Que concurren 3 de ellas en cada vértice.
Pirámide de base cuadrangular
Tiene
vértices y
Tiene
caras
concurren
Tiene
Dodecaedro
Tiene
, que
en cada vértice.
vértices y
caras
concurren
Tiene
aristas.
aristas.
, que
en cada vértice.
vértices y
aristas.
Toma nota: El cubo, el tetraedro, el octaedro y el dodecaedro son poliedros regulares,
y cualquier cuerpo poliedro podemos observar 3 elementos básicos: caras, aristas y
vértices.
Ejemplo: El cubo tiene 6 caras cuadradas, 12 aristas y 8 vértices.
— 26 —
¿Sabías que algunos polígonos irregulares tienen la propiedad de poder formar mosaico
empleando polígonos de igual forma y tamaño?
Recuerda que un polígono irregular es una figura geométrica
cuyos lados y ángulos tienen diferentes medidas.
 Describe la figura geométrica de color gris respecto de
lados y ángulos:
Responde las siguientes preguntas teniendo como base la información anterior sobre los
polígonos irregulares.
 En la figura de arriba, ¿Cuál es la relación entre el polígono de color gris y color blanco
respecto de sus propiedades y/o características?
 ¿Pueden ser congruentes los polígonos irregulares? Argumenta tu respuesta.
¡A investigar!: Otro ejemplo de mosaico son los realizados por Mac Escher, quien ha construido
obras de arte utilizando diversas figuras que se repiten periódicamente en vez de los polígonos
regulares e irregulares.
— 27 —
¿Sabías que las pirámides son construcciones que se encuentran cerca de El Cairo, Egipto,
y que son las más antiguas y las únicas conservadas de las Siete Maravillas del mundo?
Ahora estudiaremos en concepto de Pirámide desde la Geometría. Se define como un poliedro
(cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos) limitado por una base, que es un polígono
cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de
la pirámide.
A continuación observa las siguientes pirámides y descríbelas según la medida de los ángulos
y lados que conforman cada cara de la pirámide.
7
6
!
#
$
'
%
"
&
¿Cuáles son los posibles polígonos que pueden ser base de una pirámide? Dibújalas y
descríbelos según sus características (caras, aristas, vértices, etc.)
Se sabe que una pirámide es regular si su base es un polígono regular, y si el vértice se proyecta
sobre el centro de la base perpendicularmente, es decir, en noventa grados.
¿Cuáles serían las posibles pirámides regulares e irregulares? Haz solamente el dibujo de
la pirámide, según corresponda.
Ayuda: Las pirámides regulares son las que
tienen un polígono regular como base y sus caras
laterales son triángulos isósceles.
Ayuda: Las pirámides irregulares pueden tener
como base polígonos irregulares, o bien, que
alguna de sus aristas laterales tenga distinta
medida.
— 28 —
Ahora aprenderemos a armar las pirámides con sus respectivas redes. Une con una línea la red
con su respectiva pirámide.
¿Qué condición debe cumplirse entre las medidas de la cara basal y las caras
laterales del cuerpo geométrico?
¿Cómo debe ser la red de una pirámide regular de base pentagonal? Dibújala e indica qué
relación hay entre las medidas de las caras triangulares y las medidas de la cara pentagonal.
Dibujo de la red
Propiedades de la red
— 29 —
Copia las siguientes redes geométricas en una hoja y arma el cuerpo geométrico
correspondiente.
Haz el dibujo de cómo es el cuerpo geométrico en base a su red.
Clasifica los cuerpos geométricos anteriores según los siguientes criterios:
 Prismas Rectos, si sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.
 Prismas Oblicuos, si sus aristas laterales no cumplen esa condición.
Prismas rectos
Prismas oblicuos






— 30 —
¡A investigar!: Investiga sobre los cuerpos geométricos denominados poliedros y los cuerpos
geométricos redondos.
Completa la siguiente tabla dibujando un ejemplo de cada cuerpo geométricos según la siguiente
clasificación.
Cuerpos poliedros
Cuerpos redondos
Poliedros irregulares: (Prisma recto, prisma
trunco, paralelepípedo)
Cilindros: (cilindros rectos, cilindros
oblicuos), Conos: (conos inclinados, cono
tronco inclinado) y Esféricos: (esfera)
¿Cuánto has aprendido?
1. Identifica cada uno de los cuerpos geométricos que aparecen en la imagen.
Nombre del cuerpo geométrico
Dibujo del cuerpo geométrico
— 31 —
2. Dada la red geométrica, escribe el nombre del cuerpo geométrico. según corresponda, y
describe cada una de las caras que conforman cada cuerpo geométrico.
Nombre y dibujo del cuerpo geométrico
Descripción de las caras del cuerpo
geométrico
— 32 —
Regularidades, argumentaciones y teoremas
— 33 —
— 34 —
¿Sabías que la palabra Regularidad en Matemática significa descubrir las relaciones
conceptuales o patrones que se cumplen siempre?
Ahora aprenderás el concepto de Constante. Observa la siguiente imagen que muestra las
medidas de una cancha de fútbol.
M
M
M
M
M
M
M
Se sabe que en una cancha de fútbol las medidas pueden ser variables respecto del largo y del
ancho (puede medir entre 90 y 120 m de largo y entre 45 y 90 m de ancho) que dan origen a una
forma rectangular. Pero, respecto de las medidas de la portería, éstas tienen que ser siempre
7,32 m entre los postes y 2,44 m de altura.
¿Qué medidas pueden variar en una cancha
de fútbol?
¿Qué medidas no pueden variar o se
mantienen constante en una cancha de
fútbol?
Completa la siguiente tabla marcando con una X si la afirmación corresponde a una información
que implica variación o si implica constante.
Afirmación
Variación
El ancho del área grande sigue siendo la misma: 16,5
metros.
La altura del arco es de 2,44 metros.
El partido de fútbol consta de dos tiempos o mitades que
duran 45 minutos cada uno.
Las medidas de las canchas de fútbol difieren levemente
según los países.
— 35 —
Constante
¿Sabías que los números figurados son los números que se pueden expresar como una
cierta configuración geométrica de puntos, es decir, la cantidad de puntos representa al
número?
Identifica la figura geométrica asociada a cada número figurado.
Imagen
Figura geométrica
4º Nº figurado
asociado
Completa la siguiente tabla indicando las características de las figuras geométricas que se
conforman a partir de los números figurados.
Dibuja dos figuras geométricas
con todos los signos que indiquen
sus respectivas características.
¿Las figuras dibujadas son regulares o irregulares?
— 36 —
Te desafío a resolver: Los números figurados presentan diversas propiedades que
aprenderemos a continuación. Observa atentamente cada imagen.
Propiedad 1: Todo número figurado triangular se puede escribir como la suma de números
enteros.
Observa que T4 significa que el número
figurado triangular es igual a la suma de
los 4 primeros números enteros.
Por lo tanto, la suma es:
+
+
+
= 10
T4 = 10
Completa la siguiente tabla teniendo como ejemplo el problema anterior.
Nº figurado
triangular
Indica la suma de los
números enteros
Dibujo del Nº figurado triangular
Valor del
Nº figurado
triangular
T5
T7
T10
Toma nota: Recuerda que la suma de los “n” primeros números naturales es equivalente a
lo siguiente:
n • (n + 1)
2
Tn = 1 + 2 + 3 + .. + n = Ejemplo: T4 = 1 + 2 + 3 + 4 = ( 4 • 5 ) / 2 = 20 / 2 = 10
— 37 —
¿Sabías que Teorema significa investigación, meditación o estudio? Esta palabra
proviene del sustantivo griego theórema, a su vez derivado del verbo theoréo, que significa
contemplar o examinar.
¿Qué datos debemos conocer sobre dos triángulos, para ser capaces de concluir que podemos
superponer uno exactamente sobre el otro sin trasladarlo, estirarlo, doblarlo, ni romperlo?
Lee atentamente las siguientes afirmaciones, luego dibuja las figuras geométricas que
correspondan y argumenta si puedes responder la pregunta anteriormente formulada.
 Dado los triángulos ABC y A`B`C`, se sabe que el lado AB es congruente con A`B`, el lado
BC es congruente con B`C`, y el lado CA es congruente con el lado C`A`.
Dibuja el triángulo ABC
Dibuja el triángulo A`B`C`
¿Podemos concluir que el triángulo ABC se puede superponer al triángulo A`B`C` sin romper
o trasladar ninguno de los triángulos?
Argumenta la respuesta en tu cuaderno.
 Dado los triángulos ABC y A`B`C`, se sabe que el ángulo determinado por ABC es
congruente con el ángulo determinado por A`B`C`, que el ángulo determinado por BCA es
congruente con el ángulo determinado por B`C`A`, y que el ángulo determinado por CAB es
congruente con el ángulo determinado por C`A`B`.
Dibuja el triángulo ABC
Dibuja el triángulo A`B`C`
¿Podemos concluir que el triángulo ABC se puede superponer al triángulo A`B`C` sin romper
o trasladar ninguno de los triángulos?
Argumenta la respuesta en tu cuaderno.
— 38 —
Toma nota: El triángulo ABC es congruente (que tiene igual forma y superficie) con el triángulo
A`B`C`, sí y sólo sí, el triángulo ABC tiene sus lados de igual medida con el triángulo A`B`C`.
C
A
AB = 6,14 cm
C’
A’B’ = 6,14 cm
BC = 5,68 cm
B’C’ = 5,68 cm
CA = 5,48 cm
C’A’ = 5,48 cm
B
A’
B’
Por lo tanto, debemos tener presente que si dos triángulos tiene sus tres ángulos de igual medida,
y sus tres lados también son de igual medida. Entonces los triángulos son congruentes.
Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y desarrollen las
actividades propuestas.
¿Cuáles son los datos necesarios y suficientes, respecto de los lados y ángulos, para saber si
dos triángulos son congruentes? La idea central es encontrar combinaciones de datos referidas
a lados y/o ángulos para responder a la pregunta realizada.
Completen la Tabla Nº 1:
Valores conocidos: Si tienes la
medida de un lado y la medida de
un ángulo
¿Cuál es el otro dato necesario para construir
un triángulo y determinar si es congruente con
otro triángulo?
Lado AB mide 6 cm.
Ángulo ABC mide 60°
Dibujen dos triángulos a partir de la información obtenida en la Tabla Nº 1
— 39 —
Redacten (en función de los datos de la Tabla Nº 1) el teorema que indica cuándo dos
triángulos son congruentes.
Completen la Tabla Nº 2:
Valores conocidos: Si tienes la
medida de un lado y la medida de
un ángulo.
¿Cuál es el otro dato necesario para construir
un triángulo y determinar si es congruente con
otro triángulo?
Lado AB mide 6 cm.
Ángulo ABC mide 60°
Dibujen dos triángulos a partir de la
información obtenida en la Tabla Nº 2
Redacten (en función de los datos de la
Tabla Nº 2) el teorema que indica cuándo
dos triángulos son congruentes.
Toma nota: Otro teorema de congruencia de triángulos es el denominado criterio LAL, que
indica que, si al comparar dos triángulos, los lados que forman un ángulo en ambas figuras
tienen la misma medida, se denominan triángulos congruentes. Asimismo, el criterio ALA
hace alusión a que si dos de los ángulos y el lado adyacente a ambos ángulos tienen la misma
medida, implica que los triángulos también son congruentes.
— 40 —
Te desafío a resolver: A continuación encontrarás unos enunciados que deberás representar
gráficamente y explicar con tus palabras lo que entiendes sobre cada conjetura geométrica
planteada.
Enunciado geométrico: La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es
de 180°.
Anoten los datos en su cuaderno (medidas de los lados) y luego dibújenlos. Después,
redacten (en función de los datos) otros enunciados geométricos.
Dibuja acá:
Dibuja acá:
Enunciado geométrico: En todo triángulo un lado cualquiera es menor que la suma de
los otros dos, y mayor que su diferencia: a < c + b y a > c - b
Anoten los datos en su cuaderno (medidas de los lados) y luego dibújenlos. Después,
redacten (en función de los datos) otros enunciados geométricos.
Dibuja acá:
Dibuja acá:
Explica por qué cada par de triángulos es congruente.
Argumenta tu respuesta
C’
C
A’
A
B
B’
C
A’
B’
A
B
C’
C
A’
B’
A
B
C’
— 41 —
Trabaja con lo aprendido: Observa las siguientes imágenes e indica qué figuras geométricas
son congruentes.
Nombre de la figura
geométrica
Dibujo de ambas figuras geométricas
Argumenta tu respuesta
Nombre de la figura
geométrica
Dibujo de ambas figuras geométricas
Argumenta tu respuesta
— 42 —
Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y expliquen por
qué los criterios LLA, AAA y LAA no son considerados teoremas de congruencia de triángulos.
Completen la siguiente tabla.
Escribe el significado
del criterio según
corresponda
Dibujen ejemplos en que se cumpla el criterio,
pero los triángulos no sean congruentes
Criterio LLA
Criterio AAA
Criterio LAA
Toma nota: Los criterios LLA, AAA y LAA nos permiten concluir que dos triángulos son
semejantes, es decir, que ambas figuras tienen la misma forma pero distinto superficie
o tamaño.
Observen los siguientes afiches e indiquen qué figuras son congruentes. Argumenta tu respuesta
respecto de la medida de sus lados y sus ángulos en tu cuaderno.
— 43 —
¡A investigar!: A continuación se presentan una serie de teoremas que debes investigar y que
están relacionados con las temáticas estudiadas anteriormente.
Completa la siguiente tabla dibujando las figuras geométricas y propiedades enunciadas en el
teorema.
Enunciado del
Teorema de
Pitágoras
Representación gráfica del Teorema
En un triángulo
rectángulo ABC, el
área del cuadrado
formado a partir la
hipotenusa es igual a
la suma de las áreas
de los cuadrados
formados a partir de
los catetos.
Completa la siguiente tabla indicando con signos las características de cada una de las figuras
geométricas que representan al teorema en estudio.
Enunciado del
Teorema de Ptolomeo
Representación gráfica del Teorema
Si el cuadrilátero ABCD
está inscrito en una
circunferencia, entonces
la suma de los productos
de lados opuestos del
cuadrilátero es igual
al producto de las
diagonales de éste:
AB • CD + AD • BC = AC • BD
— 44 —
Observa los siguientes dibujos que muestran cómo probar el teorema de Pitágoras.
A continuación copia los dibujos en una hoja de block y comprueba el teorema de Pitágoras. Haz
una explicación breve en que conste la demostración realizada en cada caso específico.
#
!
"
— 45 —
#
#
!
!
"
— 46 —
"
¿Cuánto has aprendido?
1. Completa la siguiente tabla dibujando las figuras geométricas asociada a cada número
figurado.
Imagen de los números figurados
Dibujo de la figura geométrica
Número
figurado
Heptágono
Dodecágono
2. Observa la siguiente imagen que muestra una forma particular de probar el Teorema de
Pitágoras.
¿Cuál de las figuras geométricas son polígonos regulares?
Argumenta tu respuesta.
¿Cuál de las figuras geométricas son congruentes?
Argumenta tu respuesta.
¿Cuál de las figuras geométricas son polígonos regulares?
Argumenta tu respuesta.
C
A
B
¿Cuál de las figuras geométricas son congruentes?
Argumenta tu respuesta.
— 47 —
3. Investiga y explica las diferentes formas de probar el teorema de Pitágoras que están en:
http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm.
4. Completa las siguientes tablas:
Número figurado
triangular
Indica la suma
de los números
enteros
Dibujo del número
figurado triangular
Indica la suma
de los números
triangulares
Dibujo del número
figurado cuadrado
T9
Número figurado
cuadrado
C9
— 48 —
Valor del número figurado
triangular
5. Explica las siguientes demostraciones gráficas del teorema de Pitágoras.
C
A
C
A
B
a)
b)
— 49 —
B
¿Los triángulos rectángulos que se muestran en la figura a) y b), de la página anterior, son
congruentes? Argumenta tu respuesta.
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