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Seminario Universitario – Matemática
Módulo 4
Geometría
La Geometría es la ciencia que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones
que existen entre ellas.
El hombre está rodeado de objetos y mediante una operación mental adquiere las
formas de estos y los idealiza. Así, surgen los triángulos, los cuadriláteros, los
polígonos en general, los poliedros, los cuerpos redondos, etc. En realidad ninguno
de estos entes geométricos tiene existencia real, sólo existen perfectos en la mente
del hombre, y son aproximaciones del mundo real. La abstracción sustituye al objeto
observado por una figura ideal, que se llama figura geométrica.
ENTES GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES
Los entes geométricos fundamentales son: el punto, la recta, el plano y el espacio.
Ellos son los conceptos primitivos, o sea entes cuya existencia se acepta sin definir.
Representación y notación
El punto se representa por el cruce de dos pequeños trazos, o bien
por la señal que deja la punta del lápiz. Los puntos se designan con
una letra mayúscula de imprenta. Los puntos se marcan. Por ejemplo,
los puntos A, B y C de la figura.
La recta se representa por el dibujo de un trozo de recta, suponiendo que se
extiende indefinidamente. Las rectas se denotan con una letra minúscula en cursiva.
Las rectas se trazan. Por ejemplo, las rectas a, b y c en la figura.
El plano se representa por el dibujo de un trozo de plano con la forma de un
paralelogramo, suponiendo que se extiende indefinidamente. A los planos se los
nombra designándolos con una letra griega minúscula. Los planos se dibujan. Por
ejemplo los planos α, β, y π de la figura.
α
β
π
87
Módulo 4: Geometría
El conjunto de todos los puntos se llama espacio geométrico.
Es el conjunto universal con que se trabaja en geometría.
Tanto las rectas como los planos son subconjuntos del espacio geométrico.
Las figuras son conjuntos de puntos. Si todos los puntos están en el mismo plano, la
figura se llama plana, pero si la figura pertenece a distintos planos la figura se llama
espacial o más comúnmente cuerpo.
Hay ciertas propiedades sencillas que satisfacen los puntos, las rectas y los planos
geométricos, que surgen de la observación y la experiencia, y que se las acepta
como verdaderas. Estas propiedades aceptadas son los postulados.
Algunos de ellos son:
•
Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos en el espacio.
•
Por un punto pasan infinitas rectas.
•
Por una recta pasan infinitos planos.
•
A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que
no pertenecen a ella.
•
A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos fuera
de él.
•
Dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen.
•
Una recta y un punto no perteneciente a ella determinan un plano tal que el
punto pertenece al plano y la recta está incluida en él.
•
La recta determinada por dos puntos distintos cualesquiera de un plano está
incluida en dicho plano.
•
Si un punto pertenece a una recta y la recta está incluida en un plano, el punto
pertenece a dicho plano.
Semirrecta
Dada una recta y un punto que pertenece a ella; este punto separa a la recta en dos
figuras, cada una de las cuales se llama semirrecta.
El punto dado se llama origen de cada una de las semirrectas que determina.
Cada punto de una recta determina dos semirrectas de las cuales es origen; esas
dos semirrectas se denominan semirrectas opuestas.
Para denotar las semirrectas se utiliza el origen y otro punto que le pertenezca.

Se simboliza OA : que se lee: semirrecta de origen O que contiene al punto A.
Segmento
Dados dos puntos P y Q en una recta, se denomina segmento PQ, y se simboliza


como PQ , a la intersección de las semirrectas PQ y QP .
En símbolos:


PQ = PQ ∩ QP
a
P
88
s
Q
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Notación. El segmento PQ se indica: PQ , que se lee: “segmento PQ”; también se
puede denotar como: a , y en este caso se lee: "segmento a”.
Los puntos P y Q son los extremos del segmento.
Cualquier otro punto perteneciente al PQ y distinto de sus extremos se denomina
punto interior al segmento.
Todo punto que no pertenezca al segmento se llama punto exterior a dicho
segmento.
Dos segmentos son consecutivos cuando sólo tienen en común un extremo.
Punto medio de un segmento
Dado un segmento AB y un punto interior M, M es el punto medio del AB si y sólo
si AM = MB .
Analíticamente, las coordenadas del punto medio M de un segmento de extremos
A (x 1 ; y 1 ) y B (x 2 ; y 2 ) son:
 x + x2 y1 + y2
M  1
,

2
2




Mediatriz de un segmento
Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento trazada por
su punto medio.
Semiplano
Dado un plano y una recta que está incluida en él; esta recta separa al plano en dos
figuras, cada una de las cuales se llama semiplano.
La recta dada se llama recta de división, de borde, o frontera de los dos semiplanos
que ella determina.
Se comprende que cualquier otra recta de dicho plano determinará otros dos
semiplanos distintos de los primeros.
Para denotar los semiplanos se utiliza la recta frontera y un punto que pertenezca al
semiplano. Así, por ejemplo, se simboliza Spl(a, A), que se lee: Semiplano de
frontera a que contiene al punto A.
Ángulo plano
Es una cualquiera de las dos regiones del plano determinadas por dos semirrectas
de un mismo origen.
Las dos semirrectas que limitan el ángulo reciben el
nombre de lados, y el origen de ellas se llama vértice.
1
El ángulo considerado se marca con un arco que abarca
la abertura del mismo.
Notación: Se puede utilizar indistintamente alguna de las
siguientes, siempre que no se presta a confusión:
ˆ o CAB
ˆ ; aˆb ; Â ; α̂ ó 1̂
BAC
89
Módulo 4: Geometría
Ángulo convexo
Es cada una de las regiones de un plano que quedan determinadas por dos rectas
que se cortan.
Clasificación de los ángulos convexos:
Cuando dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos congruentes, cada uno de
ellos se llama ángulo recto.
Un ángulo menor que el ángulo recto se llama ángulo agudo.
Un ángulo mayor que el ángulo recto se llama ángulo obtuso.
 es un ángulo recto.
ABC
 es un ángulo agudo.
DBC
 es un ángulo obtuso.
GBC
Ángulo cóncavo
Si a un plano se le suprime un ángulo convexo queda determinado un ángulo
cóncavo.
Ángulo llano
Cuando los dos lados de un ángulo son semirrectas opuestas, el ángulo se denomina
llano. Por tanto, el ángulo llano es un semiplano.
Todo ángulo convexo es menor que un ángulo llano.
Todo ángulo cóncavo es mayor que un ángulo llano.
Ángulo nulo
Es aquel ángulo que tiene por lados dos semirrectas coincidentes, y todos sus
puntos pertenecen a los lados.
Ángulo de un giro
El ángulo que tiene por lados dos semirrectas coincidentes, y no todos sus puntos
pertenecen a los lados, se llama ángulo de un giro.
El ángulo de un giro es un plano.
Ángulos consecutivos
Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común y ningún otro punto
común fuera de los de ese lado.
Así, los ángulos α y β son consecutivos.
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Bisectriz de un ángulo
Es la semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos
ángulos congruentes.


 = RON

⇔ MOR
OR es bisectriz del MON
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si su suma es el ángulo recto.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si su suma es el ángulo llano.
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y los lados no comunes son
semirrectas opuestas.
α̂ y β̂ adyacentes
Consecuencia de la definición:
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son las
semirrectas opuestas a los lados del otro.
Propiedad: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Rectas perpendiculares
Una recta es perpendicular a otra cuando se cortan formando cuatro ángulos rectos.
Rectas paralelas
Dos rectas de un plano son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, es
decir cuando no se cortan; o cuando tienen todos los puntos en común, es decir,
cuando son coincidentes.
Ángulos determinados por dos rectas cortadas por una tercera
Se llama secante a la recta que corta una figura geométrica cualquiera.
Sean las rectas a, b y s, tales que s es secante a las otras dos; se forman así ocho
ángulos, que considerados por pares reciben los siguientes nombres:
91
Módulo 4: Geometría
•
Ángulos correspondientes
Son los pares de ángulos no adyacentes, uno
exterior y el otro interior, situados en un mismo
semiplano con respecto a la secante.
Por ejemplo son ángulos correspondientes γˆ1 y γˆ2 .
•
Ángulos alternos internos (externos)
Son los pares de ángulos no adyacentes, ambos
interiores (exteriores), situados en distintos
semiplanos con respecto a la secante.
Por ejemplo, son ángulos alternos internos γˆ1 y
α̂ 2 , y son ángulos alternos externos: α̂1 y γˆ2 .
•
Ángulos conjugados internos (externos)
Son los pares de ángulos, ambos interiores (exteriores), situados en un mismo
semiplano con respecto a la secante.
Por ejemplo, son ángulos conjugados internos: γˆ1 y β̂2 , y son ángulos conjugados
externos: α̂1 y δˆ2 .
Propiedades:
 Los ángulos correspondientes determinados entre paralelas cortadas por una
transversal son congruentes.
 Los ángulos alternos internos (externos) determinados entre paralelas
cortadas por una transversal son congruentes.
 Los ángulos conjugados internos (externos) determinados entre paralelas
cortadas por una transversal son suplementarios.
Y son válidos los recíprocos:
 Si dos rectas cortadas por una tercera determinan ángulos correspondientes
congruentes, dichas rectas son paralelas.
 Si dos rectas cortadas por una tercera determinan ángulos alternos internos
(externos) congruentes, dichas rectas son paralelas.
 Si dos rectas cortadas por una tercera determinan ángulos conjugados
internos (externos) suplementarios, dichas rectas son paralelas.
Ángulos de lados paralelos
Si dos ángulos tienen ambos lados directamente o inversamente paralelos, son
congruentes; y si ellos tienen entre sí dos lados directamente paralelos e
inversamente paralelos los otros dos, son suplementarios.
Nota:
Dos semirrectas son directamente paralelas cuando son paralelas y poseen el mismo
ordenamiento natural. Dos semirrectas son inversamente paralelas si son paralelas,
pero tienen un ordenamiento natural opuesto.
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Ángulos de lados perpendiculares
Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son congruentes
si ambos ángulos son agudos, u obtusos; y son suplementarios si uno de ellos es
agudo y el otro es obtuso.
Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos P en el plano que están a una
distancia fija r dada, llamada radio, de un punto fijo O dado, llamado centro.
La circunferencia de centro O y radio r se denota como: C (O; r)
Simbólicamente:
C (O; r) = {∀P ∈ a un mismo plano que pasa por O / PO = r}
Puntos interiores
Todos los puntos del plano de una circunferencia, tales que sus
distancias al centro son menores que el radio, se llaman puntos
interiores a dicha circunferencia.
Así, en la figura anterior, F es un punto interior porque el segmento OF , que es la
distancia de F al centro de la circunferencia, es menor que el radio.
Círculo
Se llama círculo de centro O y radio r a la figura formada por los puntos de la
circunferencia de centro O y radio r, y por los interiores a ella.
El círculo de centro O y radio r se expresa simbólicamente como: C(O; r)
Obsérvese que, el círculo es una parte del plano que tiene por
contorno, por borde, o por frontera, a la circunferencia de igual
centro y radio, mientras que la circunferencia es una curva.
El círculo es la porción de plano interior a la circunferencia, más
ésta.
Angulo central
En una circunferencia, o en un círculo, se llama ángulo
central a todo ángulo, perteneciente a su plano, cuyo vértice
es el centro de la circunferencia, o del círculo.
Ejemplo: El ángulo α̂ es un ángulo central, pues su vértice es
el centro de la circunferencia O.
Arco
Se llama arco a la parte de la circunferencia determinada por dos de sus puntos,
denominados extremos del arco.
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Módulo 4: Geometría
Notación:
Para distinguir a uno de estos arcos del otro, se elige en uno
de ellos un punto cualquiera, el C por ejemplo; y se lee:
“arco de extremos A y B que contiene al punto C”, o sólo
“arco AB que contiene al punto C”. Esto se indica como:
 que contiene a M, o bien 
AB
ACB
El otro arco de extremos A y B, el de trazo grueso, se dice:
 que no contiene al punto M
AB
El ángulo central tal que sus lados pasan por los extremos de
un arco y todos los demás puntos del arco son interiores al
ángulo, se dice ángulo central correspondiente a dicho arco,
o que abarca ese arco.
En la figura, α̂ es el ángulo central correspondiente al arco
 . También se puede decir: RS
 es el arco correspondiente
RS
al ángulo central α̂ (no habitual).
Se llama semicircunferencia al arco cuyo ángulo central correspondiente es un
ángulo llano.
El arco tal que su ángulo central correspondiente es un ángulo recto se llama
cuadrante.
Cuerda
Se llama cuerda al segmento determinado por dos puntos cualesquiera de la
circunferencia.
Ejemplo: Los segmentos AB y CD , de la figura, son
cuerdas de la circunferencia O.
Los extremos de una cuerda dividen a la circunferencia
en dos arcos que se llaman arcos correspondientes a la
cuerda o arcos subtendidos por la cuerda.
Diámetro
Se llama diámetro a toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Consecuencias de la definición:
Consecuencia 1: El diámetro es igual al duplo del radio.
Designando con D al diámetro RS , resulta:
D=2r
Consecuencia 2:
Todos los diámetros de una circunferencia son congruentes.
Entonces, de acuerdo a esta segunda conclusión se puede decir “el diámetro” de una
circunferencia para referirse a un diámetro cualquiera de la misma.
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Polígono
Poligonal: es aquella figura que se compone de dos o más segmentos dados en un
cierto orden de modo que dos consecutivos no estén alineados
Si los extremos coinciden, la poligonal se denomina
cerrada; y si no, abierta.
Se llama polígono a la porción de plano limitada por una
poligonal cerrada.
En todo polígono hay por lo menos tres ángulos, pues
etimológicamente la palabra está formada por los
vocablos: poli = muchos y gonos = ángulos.
Notación: El polígono se designa por los puntos que lo determinan. Las letras
correspondientes a los vértices se escriben consecutivamente a partir de uno
cualquiera de ellos.
Así, el polígono convexo de la figura anterior se puede designar como:
políg ABCDE, que se lee polígono ABCDE.
Elementos de los polígonos
Los segmentos dados que determinan la poligonal se llaman lados.
Los extremos de los segmentos de la poligonal, se llaman vértices.
Los segmentos determinados por cada par de vértices no consecutivos se llaman
diagonales.
Los ángulos interiores, o simplemente ángulos, son los ángulos convexos
determinados por cada par de lados consecutivos del polígono.
Los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo se llaman
ángulos exteriores del polígono. Es decir, son los ángulos adyacentes a los
ángulos interiores del polígono.
La quebrada o poligonal constituida por todos los lados del polígono se llama
contorno, y su suma perímetro.
Es evidente que todo polígono tiene tantos lados y ángulos como vértices posee.
Se llaman ángulos consecutivos de un polígono a los ángulos interiores
correspondientes a vértices consecutivos.
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Módulo 4: Geometría
Nombres de los polígonos
Los polígonos reciben distintos nombres según sea el número de lados que posean.
Un polígono de once lados se llama undecágono, uno de doce dodecágono, uno de
quince pentadecágono y uno de veinte lados icoságono. A los restantes se los llama
simplemente como polígono de “tantos” lados.
Número de diagonales de un polígono
El número de diagonales que se pueden trazar desde cada
vértice de un polígono de n lados es: n – 3. Entonces, el
número total de diagonales que pueden trazarse en un
n (n − 3 )
polígono de n lados es:
2
Suma de los ángulos interiores de un polígono
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a
(n – 2) veces el ángulo llano.
S INT = 2 R (n – 2)
Suma de los ángulos exteriores de un polígono
La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a cuatro rectos.
S EXT = 4 R
C
TRIÁNGULOS
Todo polígono de tres lados se llama triángulo.
Clasificación de los triángulos
b
A
a
c
Se pueden clasificar de acuerdo a dos aspectos, no totalmente excluyentes:
96
B
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•
Atendiendo a sus lados
Equilátero: es el triángulo que tiene los tres lados congruentes.
Isósceles: es el triángulo que tiene dos lados congruentes.
Escaleno:
es el triángulo que tiene los tres lados desiguales (no congruentes).
• Atendiendo a sus ángulos
Rectángulo: es el que tiene un ángulo recto.
Oblicuángulo: es el que no tiene ningún ángulo recto. Este se divide a su vez en
obtusángulo y acutángulo.
Triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso; y triángulo acutángulo es el
que tiene los tres ángulos agudos.
Relaciones que vinculan los ángulos de un triángulo
• Suma de los ángulos interiores de un triángulo
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es
igual a dos rectos.

2R
En el ABC : αˆ + βˆ + δˆ =
•
Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes al mismo.

= αˆ + δˆ
En el ABC : γˆ
Corolario: Todo ángulo exterior de un triángulo
es mayor que cada uno de los ángulos
interiores no adyacentes al mismo.
Relaciones que vinculan los lados con los ángulos de un triángulo
En un triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes; y a lados
desiguales le corresponden ángulos opuestos desiguales en el mismo sentido.
Recíprocamente, en un triángulo a ángulos congruentes se
oponen lados congruentes; y a ángulos desiguales le
corresponden lados opuestos desiguales en el mismo
sentido.
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Módulo 4: Geometría
Relaciones que vinculan los lados de un triángulo
En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la
diferencia entre los mismos, efectuada en el sentido en que ésta sea posible.

Así, en el ABC :
a < b + c ∧ a > b – c;…
Alturas de un triángulo
Se llama altura del triángulo correspondiente a un
lado, o a un vértice, al segmento de perpendicular
trazado desde dicho vértice hasta la recta que
contiene al lado opuesto.
Se las representa por una letra h, con un subíndice
igual a la letra del vértice correspondiente, o del
lado correspondiente.
Las rectas que incluyen las alturas se cortan en un
punto.
Medianas de un triángulo
Las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por un vértice y el
punto medio del lado opuesto.
Simbólicamente, las medianas se representan por la letra m con un subíndice
coincidente con: la letra del vértice correspondiente, o con el nombre del lado
correspondiente.
Las medianas concurren a un punto interior al triángulo llamado baricentro, es el
centro de gravedad del triángulo. El baricentro está situado a una distancia de cada
vértice igual a los dos tercios de la mediana correspondiente al respectivo vértice.
Bisectrices de un triángulo
Se llaman bisectrices de un triángulo a los segmentos de las bisectrices
correspondientes a sus ángulos interiores comprendidos entre el vértice de dicho
ángulo y el lado opuesto.
Simbólicamente, las bisectrices de un triángulo se representan por una letra b con
un subíndice coincidente con la letra del vértice del ángulo correspondiente.
Las bisectrices de un triángulo concurren a un punto interior al triángulo llamado
incentro, por ser el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo.
Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son las
mediatrices correspondientes a cada uno de sus
lados.
Por lo tanto, de acuerdo a esta definición NO es un
segmento, es una recta.
Las mediatrices de un triángulo concurren a un
punto llamado circuncentro, por ser el centro de la
circunferencia
circunscripta
alrededor
del
triángulo.
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Seminario Universitario – Matemática
Triángulos Rectángulos

Dado el BAC , es un triángulo rectángulo, porque el ángulo  es recto.
Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo
recto se llama hipotenusa.
El triángulo rectángulo se denota de modo que el vértice
correspondiente al ángulo recto aparezca en el medio, y que
las dos letras de los extremos indiquen la hipotenusa. Así, al

indicar que el BAC es rectángulo, se da por sobreentendido
que el ángulo  es el ángulo recto, y que BC
hipotenusa.
•
es la
Propiedad de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

Dado el BAC rectángulo: B̂ + Ĉ = 1 R
•
Propiedad de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que
cualquiera de los catetos.
∧ a > c
a > b
•
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c 2
Propiedad de los triángulos isósceles
En todo triángulo isósceles la altura correspondiente a la
base es a la vez mediana correspondiente a la base,
bisectriz del ángulo opuesto, y está incluida en la
mediatriz correspondiente a la base.

En el BAC isósceles:
hA = mA
hA = bA
AM ⊂ mediatriz del BC
CUADRILÁTEROS
Todo polígono de cuatro lados se llama cuadrilátero.
Propiedades de los cuadriláteros por ser polígonos
1º . Un cuadrilátero tiene dos diagonales.
2º . La suma de los ángulos interiores es: S INT = 2 R (4 – 2) = 2 R · 2 = 4 R
99
Módulo 4: Geometría
En todo cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a 4 rectos.
3º . La suma de los ángulos exteriores, como en todo polígono, es igual a cuatro
rectos: S EXT = 4 R.
Es decir, que los cuadriláteros son los únicos polígonos para los cuales la suma de
los ángulos exteriores es igual a la suma de los ángulos interiores.
Clasificación de los cuadriláteros
La clasificación de los cuadriláteros se sintetiza en el siguiente cuadro:
Generales
Paralelogramos
Rectángulos
Particulares
Rombos
Cuadrados
Cuadriláteros
Trapecios
No Paralelogramos
Generales
Trapezoides
Romboides
Particulares
Paralelogramos
Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos
paralelos.
Se indica:
ABCD.

ABCD , se lee: paralelogramo
h
h
Se llama base a uno cualquiera de sus lados
y, altura a la distancia de la base al lado
opuesto, o a su prolongación.

h
Por ejemplo, si se considera al lado AB como la base del ABCD , h es su altura.
Propiedades de los paralelogramos:
En todo paralelogramo:
a) Los lados opuestos son congruentes;
b) Los ángulos opuestos son congruentes; y
c) Las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes.

Sea el ABCD :
a)
AB = CD
b)
 = Ĉ
c)
AM = MC
y AD = BC ;
y B̂ = D̂ ;
y DM = MB .
Son válidos los recíprocos.
100
Seminario Universitario – Matemática
Rectángulo
Se llama rectángulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos.
El rectángulo es equiángulo, pero no equilátero.

Se indica: ABCD , y se lee: “rectángulo ABCD”.
Siendo el rectángulo un paralelogramo especial,
hereda todas las propiedades de los paralelogramos
en general, y además el rectángulo tiene otras
propiedades particulares, entre ellas:
Las diagonales de un rectángulo son congruentes.
Rombo
Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro
lados congruentes.
El rombo es equilátero, pero no equiángulo.
◊
Se indica: ABCD , y se lee: “rombo ABCD”.
Siendo el rombo un paralelogramo especial, hereda todas
las propiedades de los paralelogramos en general, y
además el rombo tiene otras propiedades particulares,
entre ellas:
Las diagonales de un rombo son perpendiculares y
bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
Cuadrado
Se llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro
lados congruentes.
El cuadrado es equiángulo y equilátero.

Se indica: ABCD , y se lee: “cuadrado ABCD”.
Por
ser
el
cuadrado
un
paralelogramo
tiene,
evidentemente, las propiedades de los paralelogramos en
general.
Por ser el cuadrado un caso particular del rectángulo,
tiene las propiedades particulares de éste.
Por ser el cuadrado un caso particular del rombo, tiene las
propiedades particulares de éste.
Los cuadriláteros que no son paralelogramos se clasifican en trapecios y trapezoides.
101
Módulo 4: Geometría
Trapecio
Se llama trapecio al cuadrilátero que tiene únicamente dos lados opuestos paralelos.
Así, el cuadrilátero de la figura es un trapecio, pues únicamente tiene paralelos los
lados opuestos AB y CD .
Los lados paralelos se llaman bases del trapecio; los lados oblicuos, o lados no
paralelos, se llaman simplemente lados; y la distancia entre las bases se denomina
altura.
En el trapecio de la figura, AB es la base mayor del trapecio, por ser el segmento
mayor de los lados paralelos, y CD es la base menor del trapecio.
Se indica: trap ABCD , y se lee: “trapecio ABCD”.
Clasificación de los trapecios
Los trapecios se clasifican en:
Trapecio isósceles: es aquel que tiene los lados (oblicuos) congruentes.
Trapecio escaleno: es aquel que tiene los lados desiguales.
Dentro de los trapecios escalenos, puede ocurrir que uno de los dos ángulos
adyacentes a cada base sea recto, en cuyo caso recibe el nombre de trapecio
rectángulo.
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno
propiamente dicho
Trapecio rectángulo
Trapecios escalenos
Propiedades de los trapecios isósceles
En todo trapecio isósceles:
a) Los ángulos opuestos son suplementarios.
b) Los ángulos interiores adyacentes a cada una de las bases son respectivamente
congruentes.
c) Las diagonales son congruentes.
102
Seminario Universitario – Matemática
Romboide
Se llama romboide al trapezoide particular que tiene dos lados
consecutivos congruentes y los otros dos lados distintos de los
anteriores, pero también congruentes entre sí.
La diagonal del romboide que une los vértices a los cuales
concurren los pares de lados congruentes se llama diagonal
principal.
Propiedades del romboide
La diagonal principal del romboide es bisectriz de los ángulos
cuyos vértices une, y corta perpendicularmente a la otra
diagonal en el punto medio.
Polígonos regulares
Un polígono se denomina regular cuando tiene todos sus lados y todos sus ángulos
respectivamente congruentes.
Todo polígono regular es equilátero y equiángulo.
Un polígono está inscripto en una circunferencia cuando sus vértices están sobre la
circunferencia y los lados son cuerdas de la misma; también se dice que la
circunferencia está circunscripta al polígono.
Un polígono está circunscripto a una circunferencia cuando sus lados son tangentes
a la circunferencia y los lados son cuerdas de la misma; también se dice que la
circunferencia está inscripta en el polígono.
En un polígono regular el centro de la circunferencia inscripta y el centro de la
circunferencia circunscripta coinciden.
Centro, radio y apotema de un polígono regular
Se llama centro del polígono regular el centro común de la circunferencia inscripta y
circunscripta.
Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscripta al
polígono.
Se llama apotema de un polígono regular al radio de la circunferencia inscripta en el
polígono.
O sea, la apotema es la distancia del centro a uno cualquiera de los lados del
polígono regular.
O también, la apotema de un polígono regular es el segmento de perpendicular
trazado por su centro a uno de sus lados; y por consiguiente es el segmento
determinado por su centro y el punto medio de dicho lado.
La apotema de un polígono regular de n lados se designa con la letra a seguida de
un subíndice igual al número de lados del polígono regular, a n , al que pertenece.
103
Módulo 4: Geometría
Ángulo central de un polígono regular
El ángulo que tiene por vértice el centro del polígono regular y que abarca un lado
del mismo se llama ángulo central del polígono regular.
En todo polígono regular de n lados la suma de los n ángulos en el centro es igual a
2 llanos, y como todos ellos son congruentes, el valor del ángulo central es:
α =
360º
3
= 120º
360º
4
2 llanos
= 90º
n
=
4R
n
360º
5
= 72º
360º
6
= 60º
Perímetro de figuras geométricas
El perímetro de una figura geométrica plana es la longitud de su contorno.
En las figuras poligonales el perímetro se calcula sumando la longitud de todos sus
lados.
La longitud de la circunferencia es igual al duplo del producto del número π por el
valor del radio de la misma.
Área de figuras geométricas planas
La medida de la región o superficie encerrada por una figura geométrica plana es el
área de la misma.
A continuación se presenta un resumen de fórmulas de cálculo de área y perímetro
de las figuras geométricas más utilizadas.
104
Triángulo
Triángulo rectángulo
b·h
A=
2
P=a+b+c
b·c
A=
2
P=a+b+c
Paralelogramo
A=bh
P = 2 (a + b)
Seminario Universitario – Matemática
Rectángulo
Rombo
Cuadrado
A=bh
P = 2 (b + h)
Trapecio
A=
B+b
h
2
D .d
2
P=4a
A=
Romboide
P=B+b+c+d
D .d
A=
2
P = 2 (a + b)
Polígono regular
Circunferencia
A=
P .a
2
P=nl
A=l
2
P=4l
Cuadrilátero
A = suma de las áreas de
los dos triángulos
P=a+b+c+d
Círculo
A = π r2
L=2πr
105
Módulo 4: Geometría
Figuras geométricas en el espacio
La geometría del espacio estudia los cuerpos que tienen tres dimensiones: largo,
ancho y alto.
Un cuerpo es “un objeto” que ocupa un lugar en el espacio.
La cantidad de espacio que ocupa un cuerpo es el volumen del mismo.
La suma de las superficies de sus “caras externas” es la superficie de un cuerpo.
Poliedros
Se llama poliedro a un cuerpo geométrico cerrado delimitado por polígonos. Estos
polígonos se denominan caras, y sus lados aristas.
La figura plana formada extendiendo todas las caras de un poliedro sobre un plano,
de modo que cada cara permanezca unida a otra contigua mediante la misma arista
con que lo estaba en el poliedro se llama desarrollo plano de un poliedro.
Los poliedros convexos se dividen en regulares (o de Platón) e irregulares.
Las caras de los poliedros regulares son polígonos regulares iguales entre sí.
Solamente hay cinco poliedros regulares; éstos reciben sus nombres de acuerdo con
el número de caras: tetraedro (4 triángulos), hexaedro o cubo (6 cuadrados),
octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos) e icosaedro (20 triángulos).
A su vez los poliedros convexos también se clasifican en: primas y pirámides.
 Prismas: son aquellos poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales
llamadas bases y las caras laterales son paralelogramos.
La altura de un prisma es la distancia entre los planos
de sus bases.
Los lados de las bases constituyen las aristas básicas,
y los lados de las caras laterales las aristas laterales.
Las aristas laterales son respectivamente iguales y
paralelas entre sí.
Clases de prismas:
•
dependiendo del ángulo que formen las aristas laterales con las bases: prismas
rectos, cuando las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las
bases; o si no lo son se denominan prismas oblicuos.
•
dependiendo del número de lados de los polígonos básicos, se llaman prismas
triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
En un prisma recto las caras laterales son cuadrados o rectángulos, y las aristas
laterales son iguales a la altura.
106
Seminario Universitario – Matemática
En un prisma oblicuo las caras laterales son rombos o paralelogramos generales y
las aristas laterales son mayores que la altura.
Si el prisma es recto y las bases son polígonos regulares se lo llama prisma regular,
y si el prisma es recto y las bases son polígonos irregulares es un prisma irregular.
Los prismas se nombran según el tipo que sea el polígono de las bases.
Si se corta un prisma a lo largo de toda una de sus aristas laterales y luego por las
de sus bases, y se lo extiende sobre una superficie plana, se obtiene su desarrollo
plano. Si se procede al revés, primero se dibuja su desarrollo y luego se lo recorta
del papel, se lo puede construir uniéndolo por sus aristas.
Entonces, el desarrollo plano de un prisma consta de las dos bases y los rectángulos
(o paralelogramos) laterales.
Superficie de un prisma
El desarrollo del prisma permite ver con toda claridad cuál es su área.
El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de los rectángulos que forman
las caras laterales. Se observa en el desarrollo del prisma que todas las caras
laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro de una de las bases del
prisma, y su altura es la altura del prisma. Entonces, el área lateral A L de un prisma
es igual al perímetro de la base P B por la altura h. En símbolos: A L = P B · h.
Si al área lateral se le suman las áreas de sus bases, se obtiene el área total del
prisma. Conviene tener en cuenta que las dos bases de un prisma son iguales, y en
consecuencia tienen igual área.
El área total de un prisma A T es el área lateral del mismo A L más el duplo del área
de la base A B . En símbolos: A T = A L + 2 A B .
El volumen V es igual al producto del área de la base A B por la altura h. En
símbolos: V = A B · h.
107
Módulo 4: Geometría
 Pirámides: son aquellos poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas
caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la
pirámide, cúspide o ápice.
La altura de la pirámide es el segmento
perpendicular a la base, que une la base con el
vértice.
Las aristas de la base se llaman aristas básicas y
las aristas que concurren en el vértice, aristas
laterales.
La apotema lateral de una pirámide regular es la
altura de cualquiera de sus caras laterales.
Clases de pirámides
Se las puede clasificar según distintos criterios:
•
•
Según donde incida la altura de la pirámide en la base, pueden ser: pirámides
rectas, si la altura coincide en el centro de la base y si no pirámides oblicuas.
Según el tipo que sea el polígono de su base, o sea por el número de caras
laterales que posea; así pueden ser: triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
En una pirámide recta las caras laterales son triángulos isósceles.
En una pirámide oblicua alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.
Si la pirámide es recta y la base en un polígono regular se la llama pirámide regular,
y si la pirámide es recta pero la base no es un polígono regular se la denomina
pirámide irregular.
En una pirámide regular todas sus caras son triángulos isósceles congruentes.
En una pirámide regular es importante distinguir entre la
apotema lateral de la pirámide y la apotema de su base.
Calculamos la apotema lateral A P , conociendo la altura h y
la apotema de la base a P , aplicando el teorema de Pitágoras
en el triángulo sombreado.
Calculamos la arista lateral de la pirámide a, conociendo la
altura h y el radio r de la base o radio de la circunferencia
circunscripta, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo
sombreado.
Las pirámides reciben nombres de acuerdo al tipo de polígono que sea su base.
108
Seminario Universitario – Matemática
Si se corta una pirámide por una de sus aristas laterales y por las de su base, y se la
extiende sobre una superficie plana, se obtiene su desarrollo plano. El desarrollo
plano de una pirámide está formado por la base y por tantos triángulos como lados
tenga el polígono de la base.
Entonces el desarrollo de una pirámide consta de tantos triángulos como sea el
número de sus caras y el polígono de su base.
Superficie de una pirámide
El desarrollo de una pirámide permite ver con toda claridad cuál es su área.
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de los triángulos que forman
las caras laterales.
El área lateral de una pirámide regular se puede hallar como el producto del área de
una cara lateral multiplicado por el número de caras laterales.
O también, el área lateral A L de una pirámide regular es igual al semiproducto del
P A
perímetro de la base P B por la apotema lateral A P . En símbolos: A L = B P .
2
El área total de una pirámide A T es el área lateral de la misma A L más el área de la
base A B . En símbolos: A T = A L + A B .
El volumen V es la tercera parte del producto del área de la base A B por la altura h.
A h
.
En símbolos: V = B
3
Cuerpos redondos o de revolución
Son los cuerpos geométricos que se generan al girar una recta o curva llamada
generatriz alrededor de otra llamada eje de revolución.
Se clasifican en:
 Cilindro: Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo
que gira alrededor de uno de sus lados.
El eje del cilindro es el lado fijo alrededor del cual gira el
rectángulo. Las bases son los círculos que engendran los
lados perpendiculares al eje. La altura es la distancia entre
las dos bases. La generatriz es el lado opuesto al eje, es el
lado que engendra al cilindro, la cual es igual a su altura.
109
Módulo 4: Geometría
Desarrollo plano del cilindro
El desarrollo plano de un cilindro consta de las dos bases, que son círculos
congruentes entre sí, y un rectángulo.
Superficie del cilindro
En el desarrollo de un cilindro se aprecia que la superficie lateral de un cilindro es un
rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo y cuya altura es la del cilindro.
El área lateral A L del cilindro es igual al producto entre la longitud de la base por la
altura. En símbolos: A L = 2 π · r · h.
El área total del cilindro A T es igual a la suma entre el área lateral del mismo y las
áreas de los dos círculos de las bases En símbolos: A T = A L + 2 A B = 2 π · r · (h +
r).
El volumen V es el producto del área de la base A B por la altura h.
En símbolos: V = A B · h = π · r2 · h.
 Cono: El cono es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo
rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
El eje del cono es el cateto fijo alrededor del cual gira el
triángulo. La base es el círculo que forma el otro cateto. La
altura es la distancia del vértice a la base. La generatriz es
la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado se
relacionan la generatriz g, la altura h y el radio r de la base.
Si se abre un cono y se abate sobre una superficie plana tanto su base como su
superficie lateral se tiene el desarrollo plano del cono, y éste consta de un círculo y
un sector circular.
110
Seminario Universitario – Matemática
Superficie del cono
El desarrollo del cono nos muestra que su área lateral es la superficie de un sector
circular. El radio de este sector es la generatriz del cono, y la longitud del arco
correspondiente es la de la circunferencia de la base.
El área lateral A L del cono es el área del sector circular que es igual al producto
entre π por el radio por la generatriz. En símbolos: A L = π · r · g.
El área total del cono A T es igual a la suma entre el área lateral del mismo y el área
de la base, que es un círculo. En símbolos: A T = A L + A B = π · r · (g + r).
El volumen V del cono es un tercio del área de la base A B por la altura h. En
AB h
π r2 h
=
.
símbolos: V =
3
3
 Esfera:
Superficie esférica: Una superficie esférica es la superficie engendrada por una
circunferencia que gira sobre su diámetro.
Esfera: Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una
superficie esférica.
El centro de la esfera es el punto interior que
equidista de cualquier punto de la superficie de la
esfera. El radio es la distancia del centro a un
punto de la superficie de la esfera. Una cuerda es
un segmento que une dos puntos de la superficie
esférica. El diámetro es una cuerda que pasa por
el centro. Los polos son los puntos del eje de giro
que quedan sobre la superficie esférica.
Aunque se consiga pelar una naranja en una sola pieza, no se podrá formar con la
cáscara una figura plana. A diferencia del cilindro y el cono, la esfera no tiene un
desarrollo plano.
El área de la superficie esférica es A = 4 π · r2.
El volumen de la esfera es V = =
4
3
π · r3.
Síntesis de las fórmulas de área y volumen de los cuerpos desarrollables
El área de los cuerpos geométricos es igual a la suma de las áreas de sus caras.
El volumen de los cuerpos geométricos que no terminan en punta (cubo, prisma,
cilindro) es igual al producto del área de la base por la altura del cuerpo:
Volumen = área de la base x altura
El volumen de los cuerpos geométricos que terminan en punta (pirámide y cono) se
calcula multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo el resultado entre
tres:
Volumen =
área de la base × altura
3
.
111
Módulo 4: Geometría
Resumen de fórmulas de los cuerpos geométricos:
Figura
Esquema
Área
Volumen
A L = 4 a2
V = a3
Cubo
A T = 6 a2
a
AL = PB · h
V = AB · h
Prisma
AT = AL + 2 AB.
AL =
Σ A CARAS
Pirámide
V=
AB h
V=
AB h
3
AT = AL + AB.
Pirámide
regular
AL =
AP
=
PB AP
2
AT =
PB ( AP + aP )
2
3
.
AL = 2 π · r · h
Cilindro
AT = AL + 2 AB
= 2 π · r · (h +
r)
AL = π · r · g
Cono
Esfera
112
AT = AL + AB =
π · r · (g + r)
A = 4 π · r2
V = AB · h =
π · r2 · h
AB h
V=
3
=
π r2 h
3
V==
4
3
π · r3.