Download Matriz Identidad Matriz Inversa
Document related concepts
Transcript
Álgebra ‐ Matrices y Determinantes 2016 1 0 0 1 Matriz Identidad 2 En las matrices cuadradas existe el elemento neutro para la multiplicación: la matriz identidad. Esta matriz tiene orden , y queda representada como: 2 2 2 cuyo escalonamiento es 1 0 0 ⋮ 0 donde el producto de una matriz 0 1 0 ⋮ 0 0 0 1 ⋮ 0 de orden ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 0 ⋮ 1 1 0 2 0 por una matriz identidad es (postmultiplicación) (premultiplicación) ∙ ∙ Con la matriz identidad se plantea la posible existencia del elemento inverso para la multiplicación de matrices: ∙ ∙ una matriz , tal que 1 no tiene inversa. Esto se pude demostrar encontrando 2 1 2 2 2 . 1 0 0 1 1 2 2 2 Por la igualdad entre matrices, se plantea el sistema de ecuaciones. 1 Ing. Aldo Jiménez Arteaga 1 0 2 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 ~ 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 0 2 1 en donde existen dos ecuaciones degeneradas; por lo tanto, el sistema no tiene solución y la matriz dada no tiene inversa (es singular). es única. . . , 0. Cálculo de la inversa por transformaciones elementales ⇒ Si es la matriz identidad, entonces es una matriz cuadrada invertible (no-singular) y es una matriz cuadrada única inversa de . Se la representa como . La relación entre una matriz y su inversa es simétrica. No todas las matrices cuadradas tienen inversa. 1 2 0 1 0 2 La matriz inversa cumple que Matriz Inversa EJEMPLO. La matriz 0 1 0 2 Una matriz inversa puede obtenerse a partir de una matriz dada mediante transformaciones elementales. Estas operaciones establecen una matriz elemental, que es una matriz identidad a la cual se le aplicó una transformación elemental : . Una transformación elemental en una matriz puede obtenerse con el producto . Si es una matriz no-singular, entonces puede reducirse a la matriz identidad por medio de transformaciones elementales. Si la matriz representa a la transformación realizada sobre , entonces se tiene que … … Álgebra ‐ Matrices y Determinantes 2016 y por definición de matriz inversa … . Nuevamente, se invoca al método de eliminación Gaussiana, esta vez para encontrar la inversa de una matriz. Existe una variación mínima en el método: 1. Se construye una matriz de orden derecha la matriz identidad; es decir, 2 . A la izquierda está la matriz ⋮ 2. y a la ⋮ La matriz resultante será la inversa de . Si en el proceso se genera algún renglón nulo en la parte izquierda, entonces es singular. Primero se forma el arreglo 2 4 1 . 3 2 4 1 ⋮ 3 ⋮ 1 0 0 1 y se aplican transformaciones elementales hasta llegar a la forma canónica escalonada. 2 4 ~ 2 0 1 ⋮ 1 0 2 ~ 3 ⋮ 0 1 0 0 ⋮ 1 ⋮ Por lo que la matriz inversa es 2 Ing. Aldo Jiménez Arteaga ⋮ Para dos matrices ⋮ y , y un escalar 1 ⋮ ⇒ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ se cumple que . . . . tr . tr Al conjuntarse la transposición y la conjugación en una sola se obtienen las matrices conjugadas transpuestas, denotadas como 1 ⋮ 1 0 ~ 1 ⋮ 2 1 1 0 ⋮ 3 1 ~ 2 1 0 1 ⋮ 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ Cuando los elementos de una matriz son números complejos, entonces pueden conjugarse. La conjugación somete a a obtener el conjugado de cada uno de sus elementos; se denota como ̅. Las propiedades que cumplen estas matrices son las mismas que las propiedades del conjugado en los números complejos. . ⋮ Las matrices pueden realizar transformaciones entre sus columnas y sus renglones; dicha acción se conoce como transposición. La matriz transpuesta de , denotada por , se obtiene al intercambiar sus renglones por sus columnas: Mediante transformaciones elementales se lleva a la matriz a su forma canónica escalonada. De esta forma la matriz identidad aparecerá a la izquierda, y a la derecha se obtendrá una matriz ; es decir EJEMPLO. Encuentra la matriz inversa de Transposición y Conjugación de Matrices 2 1 ∗ ̅ ⇒ No importa qué operación se aplique primero, el resultado será siempre el mismo. Para dos matrices y , y un número complejo , se establece que . ̅∙ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ tr ∗ ∗ . ∗ ∗ ∗ tr . . ∗ .