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RELACIONES GEOMÉTRICAS APUNTES REALIZADOS POR ANTONIO CUESTA I G U A L D A D DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son iguales, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de modo que, superponiendo una sobre otra, coinciden exactamente hasta confundir con una sola. M É T O D . O S : POR TRIANGULACIÓN: . D E . . . C E . . B . . B Se coje las medidas con el compás y se construye la figura pedida. . D . . . 2 . A 3 X 4 Dado el polígono irregular con los vértices A,C,D y E. Se traza una recta R y por los vértices rectas perpendiculares. . 1 2 C . . A B 3 . E C . B . . E C A D . . E 4 Sobre la recta R, se lleva con el compas las distancias entre las perpendiculares desde un punto X determinado. X . 1 2 . . C B . . . .. . . . . . . d c 0 a b . . B C B Dado el polígono irregular con los vértices A,C,D y E. Se trazan por los vértices unas rectas cualesquiera que se unen en un punto 0 que es centro de una circunferencia cualquiera. . . . .. . . . . . . d e c 0 A a C b . . . B Esa circunferenccia nos determinan unos puntos (a,b,c,d) que son centros de las circunferencias que determinan los vertices (A,B,C,D) del polígono. C . B A D E . . Partiendo del lado AB se trasporta el ángulo para determinar la dirección del lado AE. Pinchando en A se traslada el valor AE. D e E A POR RADIACIÓN: A . E . Dado el polígono irregular con los vértices A,C,D y E. Se determinan los ángulos de la figura. E 4 D . A 3 . D . B Sobre dichas rectas se lleva con el compás las distancias del vértice a la recta R. Obteniendo la figura deseada. POR ARCOS O DE RODEO: E C . . D 1 . A Se descompone en triángulos, uniendo tres vértices cualquiera. . . E B POR PERPENDICULARES: X C . A Dado el polígono irregular con los vertices A,C,D y E. D . . A R . D Determinando de esta forma los siguientes vértices de la figura buscada. . . . .. . . . . . . D d E e c 0 A a C b B Unir los vertices que determinan la figura buscada. S E M E J A N Z A DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son semejantes, cuando todos los angulos homólogos son iguales y los lados proporcionales. D I F E R E N T E S C A S O S : DADO UN CUADRADO ABCD, CONSTRUIR OTROS QUE SEAN EL DOBLE, EL TRIPLE DE SUPERFICIE QUE EL DADO. C D AE = DOBLE. AF = TRIPLE. CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO SEMEJANTE A OTRO DADO, EN UNA DETERMINADA PROPORCIÓN. (Ejemplo 1/2). A´B´C´D´ = ES LA MITAD DE A . ABCD P B D´ . D E´ C´ A´ A . . B E F . . BP .C de E D 1/ 2 C B´ . B A - Dado un polígono ABCD, se determina un punto cualquiera exterior P. - Se une el punto P con los vertices del polígono. DADO UNA FIGURA A CONSTRUIR OTRA A´ SEMEJANTE Y AMPLIANDO LA EN RELACIÓN 4/3 POR CUADRíCULA. - Se determina el punto medio del segmento BP. Y se traza segmentos paralelos a las aristas del polígono inicial, dándonos el polígono buscado. VARIANTES DE ESTE APARTADO. D D´ E´ C´ E a . .B A A´ B´ 1/2 C D D´ A a/3 a . .B A a/3 + 1 B E E´ A´ A . 1/2 C´ B´ B C S I M E T R Í A DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son simétricas, respecto a un punto o a una recta, cuando haciendo girar mentalmente una de ellas alrededor de este punto o línea, coincide exactamente sobre la otra. La Asimetría es todo lo contrario. T I P O S : B´ SIMETRÍA CENTRAL RESPECTO A UN PUNTO. - Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a un punto 0, cuando están sobre una misma recta y equidistan del punto central 0. A . C . . 0 A´ 0 A´ A C´ B SIMETRÍA AXIAL RESPECTO A UN EJE. EJE - Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a un eje, cuando están situados sobre una recta perpendicular a eje y equidistan de él. - Una figura es simétrica si al dividir por la mitad es igual un lado que otro. . A A B (=) C EJE C´ . (=) B´ A´ A´ SIMETRíA CON RESPECTO A UN PLANO. - Una figura es simétrica con respecto a un plano que la corta, si todos los elementos geométricos de una parte, tienen su respectiva simetría en la otra. PLANO E S C A L A S DEFINICIÓN: Es la relación que existe entre la representación gráfica del objeto (Dibujo) y el objeto en la realidad. ESCALA = Pero si se quiere determinar las dimensiones reales de una figura dibujada a escala, entonces. REALIDAD = Pero si se quiere determinar las dimensiones de los segmentos que componen el dibujo. DIBUJO = ESCALA X REALIDAD DIBUJO REALIDAD DIBUJO ESCALA C L A S E S : ESCALA NATURAL: LA REPRESENTACIÓN IGUAL A LA REALIDAD. 1/1 ESCALA DE AMPLIACIÓN: LA REPRESENTACIÓN MAYOR QUE LA REALIDAD. 2/1 ESCALA DE REDUCCIÓN: LA REPRESENTACIÓN ES MENOR QUE LA REALIDAD. 1/2 ESCALAS MÁS USADAS O NORMALIZADAS: ESCALA NATURAL: 1/1 ESCALA DE AMPLIACIÓN: ESCALA DE REDUCCIÓN: 2/1 - 5/1 - 10/1 1/2 - 1/5 - 1/10 - 1/20 - 1/50 - 1/100 ...Etc COEFICIENTE: Es la relación y resultado del numerador y el denominador. NUMERADOR DENOMINADOR = 1 5 = 0,2 MÉTODOS PARA DIBUJAR A ESCALA: AMPLIACIÓN: Si la escala tiene como denominador el 1 cada dimensión de la pieza se multiplicada por el numerador. REDUCCIÓN: Si la escala tiene como numerador el 1 cada dimensión de la pieza se divide por el denominador o se multiplica por el coeficiente de la escala. T I P O S D E E S C A L A S : A) ESCALA GRÁFICA. B) ESCALA TRANSVERSAL. C) TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS. A) ESCALA GRÁFICA. GRAFICA. EJEMPLO: Escala 1/ 20 m. 1 dividido entre 20 es igual a 0,05 lo que indica que cada metro equivale a 50 mm = 5 cm. 100 cm. 0 m. 1 m. 2 m. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 CONTRAESCALA E S C A L A B) ESCALA TRANSVERSAL. Con ella se puede tomar con mayor exactitud las medidas de un segmento a escala. 100 cm. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 m. 90 78 C m. 80 70 60 50 64 C m. 40 C 30 20 91 C m. 10 100 cm. 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 m. 1 m. C) TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS. B 0 Es una construcción geométrica con la que se puede obtener escalas de reducción y de ampliación. 1 ALGUNOS EJEMPLOS: 2 A = 5/10 = 1/2 E. DE REDUCCIÓN 3 0 = 1/1 E. NATURAL B = 12/10 = 6/5 E. DE AMPLIACIÓN C = 14/10 = 7/5 E. DE AMPLIACIÓN 4 A 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 CONVERSIÓN DE ESCALAS. A) DE FRACCIÓN ORDINARIA A DECIMAL: Se divide el numerador por el denominador. Ejm.: ESCALA DE 4/5 = 0,8 B) DE FRACCIÓN DECIMAL A ORDINARIA: Basta reducir la fracción decimal a quebrada. Ejm.: ESCALA DE 0,8 = 8/10 = 4/5 NOTAS A TENER EN CUENTA. - ESCALÍMETRO: Regla graduada con diferentes escalas. - SIEMPRE SE OBTARA POR LA ESCALA 1/1. - LOS ÁNGULOS NO TIENEN ESCALA. - SI UNA COTA LLEVA DEBAJO UNA LINEA ES QUE NO ESTÁ A ESCALA.