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RELACIONES
GEOMÉTRICAS
APUNTES REALIZADOS POR ANTONIO CUESTA, PROFESOR DEL I.E.S. SCHAMANN
I
G
U
A
L
D
A
D
DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son iguales, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de
modo que, superponiendo una sobre otra, coinciden exactamente hasta confundir con una sola.
M
É
T
O
D
.
O
S
:
POR TRIANGULACIÓN:
.
D
E
.
.
.
C
E
.
.
B
.
.
B
Se coje las medidas con el compás y se
construye la figura pedida.
.
D
.
.
.
2
.
A
3
X
4
Dado el polígono irregular con los vértices
A,C,D y E. Se traza una recta R y por los
vértices rectas perpendiculares.
.
1
2
C
.
.
A
B
3
.
E
C
.
B
.
.
E
C
A
D
.
.
E
4
Sobre la recta R, se lleva con el compas
las distancias entre las perpendiculares
desde un punto X determinado.
X
.
1
2
.
.
C
B
.
. . .. . .
. .
.
.
d
c
0
a
b
.
.
B
C
B
Dado el polígono irregular con los vértices
A,C,D y E. Se trazan por los vértices unas
rectas cualesquiera que se unen en un
punto 0 que es centro de una
circunferencia cualquiera.
.
. . .. . .
. .
.
.
d
e
c
0
A
a
C
b
.
.
.
B
Esa circunferenccia nos determinan unos
puntos (a,b,c,d) que son centros de las
circunferencias que determinan los
vertices (A,B,C,D) del polígono.
C
.
B
A
D
E
.
.
Partiendo del lado AB se trasporta el
ángulo para determinar la dirección del
lado AE. Pinchando en A se traslada el
valor AE.
D
e
E
A
POR RADIACIÓN:
A
.
E
.
Dado el polígono irregular con los
vértices A,C,D y E. Se determinan los
ángulos de la figura.
E
4
D
.
A
3
.
D
.
B
Sobre dichas rectas se lleva con el
compás las distancias del vértice a la
recta R. Obteniendo la figura deseada.
POR ARCOS O DE RODEO:
E
C
.
.
D
1
.
A
Se descompone en triángulos, uniendo
tres vértices cualquiera.
.
.
E
B
POR PERPENDICULARES:
X
C
.
A
Dado el polígono irregular con los
vertices A,C,D y E.
D
.
.
A
R
.
D
Determinando de esta forma los siguientes
vértices de la figura buscada.
.
. . .. . .
. .
.
.
D
d
E
e
c
0
A
a
C
b
B
Unir los vertices que determinan la figura
buscada.
S
E
M
E
J
A
N
Z
A
DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son semejantes, cuando todos los angulos homólogos son iguales
y los lados proporcionales.
D I F E R E N T E S
C A S O S :
DADO UN CUADRADO ABCD,
CONSTRUIR OTROS QUE SEAN EL
DOBLE, EL TRIPLE DE SUPERFICIE QUE
EL DADO.
C
D
AE = DOBLE.
AF = TRIPLE.
CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO
SEMEJANTE A OTRO DADO, EN UNA
DETERMINADA PROPORCIÓN.
(Ejemplo 1/2).
A´B´C´D´ = ES LA MITAD DE
A
.
ABCD
P
B
D´
.
D
E´
C´
A´
A
. .
B
E
F
.
.
BP
.C
de
E
D
1/
2
C
B´
.
B
A
- Dado un polígono ABCD, se determina un punto cualquiera
exterior P.
- Se une el punto P con los vertices del polígono.
DADO UNA FIGURA A CONSTRUIR
OTRA A´ SEMEJANTE Y AMPLIANDO
LA EN RELACIÓN 4/3 POR
CUADRíCULA.
- Se determina el punto medio del segmento BP. Y se traza
segmentos paralelos a las aristas del polígono inicial,
dándonos el polígono buscado.
VARIANTES DE ESTE APARTADO.
D D´
E´
C´
E
a
. .B
A
A´
B´
1/2
C
D
D´
A
a/3
a
. .B
A
a/3 + 1
B
E
E´
A´
A
.
1/2
C´
B´
B
C
S
I
M
E
T
R
Í
A
DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son simétricas, respecto a un punto o a una recta, cuando
haciendo girar mentalmente una de ellas alrededor de este punto o línea, coincide exactamente sobre la otra.
La Asimetría es todo lo contrario.
T I P O S :
B´
SIMETRÍA CENTRAL RESPECTO A UN PUNTO.
- Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a un punto
0, cuando están sobre una misma recta y equidistan del
punto central 0.
A
.
C
.
.
0
A´
0
A´
A
C´
B
SIMETRÍA AXIAL RESPECTO A UN EJE.
EJE
- Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a un eje,
cuando están situados sobre una recta perpendicular a
eje y equidistan de él.
- Una figura es simétrica si al dividir por la mitad es
igual un lado que otro.
.
A
A
B
(=)
C
EJE
C´
.
(=)
B´
A´
A´
SIMETRíA CON RESPECTO A UN PLANO.
- Una figura es simétrica con respecto a un plano que
la corta, si todos los elementos geométricos de una
parte, tienen su respectiva simetría en la otra.
PLANO
E
S
C
A
L
A
S
DEFINICIÓN: Es la relación que existe entre la
representación gráfica del objeto (Dibujo) y el objeto
en la realidad.
ESCALA =
Pero si se quiere determinar las dimensiones reales de
una figura dibujada a escala, entonces.
REALIDAD =
Pero si se quiere determinar las dimensiones de
los segmentos que componen el dibujo.
DIBUJO = ESCALA X REALIDAD
DIBUJO
REALIDAD
DIBUJO
ESCALA
C L A S E S :
ESCALA NATURAL: LA REPRESENTACIÓN IGUAL A LA REALIDAD.
1/1
ESCALA DE AMPLIACIÓN: LA REPRESENTACIÓN MAYOR QUE LA REALIDAD.
2/1
ESCALA DE REDUCCIÓN: LA REPRESENTACIÓN ES MENOR QUE LA REALIDAD.
1/2
ESCALAS MÁS USADAS O NORMALIZADAS:
ESCALA NATURAL:
1/1
ESCALA DE AMPLIACIÓN:
ESCALA DE REDUCCIÓN:
2/1 - 5/1 - 10/1
1/2 - 1/5 - 1/10 - 1/20 - 1/50 - 1/100 ...Etc
COEFICIENTE: Es la relación y resultado del
numerador y el denominador.
NUMERADOR
DENOMINADOR
=
1
5
= 0,2
MÉTODOS PARA DIBUJAR A ESCALA:
AMPLIACIÓN: Si la escala tiene como denominador el 1 cada dimensión de la pieza se multiplicada
por el numerador.
REDUCCIÓN: Si la escala tiene como numerador el 1 cada dimensión de la pieza se divide por el
denominador o se multiplica por el coeficiente de la escala.
T I P O S
D E
E S C A L A S :
A) ESCALA GRÁFICA.
B) ESCALA TRANSVERSAL.
C) TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS.
A) ESCALA GRÁFICA.
GRAFICA.
EJEMPLO: Escala 1/
20 m.
1 dividido entre 20 es igual a 0,05 lo que indica que cada metro equivale a 50 mm = 5 cm.
100 cm.
0 m.
1 m.
2 m.
90 80 70 60 50 40 30 20 10
CONTRAESCALA
E
S
C
A
L
A
B) ESCALA TRANSVERSAL.
Con ella se puede tomar con mayor exactitud las medidas de un segmento a escala.
100 cm.
90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 m.
90
78 C m.
80
70
60
50
64 C m.
40
C
30
20
91 C m.
10
100 cm.
90 80 70 60 50 40 30 20 10
0 m.
1 m.
C) TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS.
B
0
Es una construcción geométrica con la que se puede
obtener escalas de reducción y de ampliación.
1
ALGUNOS EJEMPLOS:
2
A = 5/10 = 1/2 E. DE REDUCCIÓN
3
0 = 1/1 E. NATURAL
B = 12/10 = 6/5 E. DE AMPLIACIÓN
C = 14/10 = 7/5 E. DE AMPLIACIÓN
4
A
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
CONVERSIÓN DE ESCALAS.
A) DE FRACCIÓN ORDINARIA A DECIMAL: Se divide el numerador por el denominador.
Ejm.: ESCALA DE 4/5 = 0,8
B) DE FRACCIÓN DECIMAL A ORDINARIA: Basta reducir la fracción decimal a quebrada.
Ejm.: ESCALA DE 0,8 = 8/10 = 4/5
NOTAS A TENER EN CUENTA.
- ESCALÍMETRO: Regla graduada con diferentes escalas.
- SIEMPRE SE OBTARA POR LA ESCALA 1/1.
- LOS ÁNGULOS NO TIENEN ESCALA.
- SI UNA COTA LLEVA DEBAJO UNA LINEA ES QUE NO ESTÁ A ESCALA.