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1
TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO
DE MEXICO.
CUADERNILLO DE FISICA.
MATERIA.- FISICA 1
CARRERA.- INGENIERIA INDUSTRIAL
REALIZO: ING. VICENTE MARTEL GUZMAN
2
PROGRAMA DE ESTUDIOS.
FISICA I
CLAVE.-INM-0401
PAGINA.
1 Cinemática de la partícula y del cuerpo rígido……………………………5
1.1 Sistema Internacional De Unidades ..
1.1.1 Conversión De Unidades.
1.2 Movimiento Rectilíneo ……………………………………………………..12
1.2.1 Desplazamiento Velocidad y Aceleración .
1.2.2 Movimiento Uniforme y Uniformemente Acelerado .
1.2.3 Movimiento Relativo .
1.2.4 Caída Libre de Cuerpos .
1.3 Movimiento Curvilíneo ……………………………………………………….33
1.3.1.Componentes Rectangulares de Velocidad y Aceleración .
1.3.2 Movimiento de Proyectiles.
1.3.3 Componentes Tangencial y Normal de la Velocidad y la Aceleración .
1.3.5 Movimiento Circular Uniforme y no Uniforme.
1.4 Movimiento de Cuerpo rígido.
1.4.1 Traslación y Rotación.
2 Cinética de la partícula y del cuerpo rígido…………………………………….41
2.1 Leyes De Newton .
2.1.1.Enunciados Esquemas Visualización .
2.1.2 Diagramas de Cuerpo Libre .
2.2 Resolución de ecuaciones ……………………………………………………..46
3
2.2.1 Fuerzas Constantes .
2.2.2 Fuerzas de Resistencia y Fuerzas de Fricción .
2.3 Aplicaciones Movimiento Rectilíneo .
2.4 Aplicaciones Movimiento Curvilíneo …………………………………………..49
2.5 Momento de una Fuerza ……………………………………………………….52
2.5.1 Centro de Masa y Momento de Inercia Cuerpo rígido .
2.5.2 Movimiento de Rotación Cuerpo rígido .
3 Trabajo energía cinética y conservación de energía …………………………58
3.1 Concepto De Trabajo
3.1.1 Calculo Trabajo Para Diferentes .Fuerzas
3.2 Teorema del Trabajo y la Energía
3.2.1 Concepto Energía Cinética .
3.2.2 Aplicaciones Energía Cinética .
3.3 Potencia …………………………………………………………………………70
3.4 Fuerzas Conservativas y no Conservativas …………………………………72
3.4.1 Concepto Energía Potencial .
3.4.2 Aplicaciones Energía Potencial .
3.5 Teorema Conservación Energía Mecánica …………………………………77
3.5.1 Demostración Teorema Energía Mecánica .
3.5.2 Aplicaciones Energía Mecánica.
3.6 Oscilaciones Armónicas……………………………………………………….76
4
3.7 Sistemas que Involucran Fuerzas no Conservativas.
4 Introducción a la estática de la partícula y del cuerpo rígido……………104
4.1 Fuerzas en el Plano y en el espacio.
4.2 Equilibrio de una partícula.
4.3 Momento de una Fuerza.
4.3.1 Momento Respecto a un Punto.
4.3.2 Momento Respecto a un Eje.
4.3.3. Momento de un Par, Pares equivalentes, Suma de pares.
4.4 Reacciones en Apoyos y Conexiones.
4.5 Equilibrio Cuerpos Rígidos.
5
1 Cinemática de la partícula y del cuerpo rígido.
1.1 Sistema Internacional De Unidades .
El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système
International d'Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas,
es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en la mayoría de
los países y es la forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es
conocido como «sistema métrico», especialmente en las naciones en las que
aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la
Conferencia General de Pesos y Medidas, que inicialmente definió seis
unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima unidad básica, el mol.
Una de las principales características, que constituye la gran ventaja del SI, es
que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La
única excepción es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que está
definida como «la masa del prototipo internacional del kilogramo» o aquel
cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina
Internacional de Pesos y Medidas.
Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los
instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una cadena
ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la
equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos similares, utilizados y
calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de
ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las características de los
objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad.
Desde el 2006 se está unificando el SI con la norma ISO 31 para formar el
Sistema Internacional de Magnitudes (ISO/IEC 80000). Hasta mayo del 2008
ya se habían publicado 7 de las 14 partes de las que consta.
Unidades básicas
El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas.Son las
unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como
básicas, a partir de las cuales se definen las demás:
Magnitud
física básica
Longitud
Símbolo
dimensional
L
Unidad
básica
metro
Símbolo
de
la
Unidad
Observaciones
m
Se define en función
de la velocidad de la
luz
6
Tiempo
T
Masa
M
Intensidad de
corriente
I
electrica
segundo
kilogramo
s
Se define en función
del tiempo atómico
kg
Es la masa del
«cilindro
patrón»
custodiado
en
Sevres(Francia).
amperio o
A
ampere
Se define a partir de
la fuerza magnética
Temperatura
Θ
kelvin
K
Se define a partir de
la
temperatura
termodinámica
del
punto triple del agua.
Cantidad
sustancia
N
mol
mol
Véase
también
número de Avogadro
cd
Véase
también
conceptos
relacionados: lumen,
lux e iluminación
física
Intensidad
luminosa
de
J
candela
Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan
mediante prefijos. Así, por ejemplo, la expresión «kilo» indica ‘mil’ y, por lo
tanto, 1 km son 1000 m, del mismo modo que «mili» indica ‘milésima’ y, por
ejemplo, 1 mA es 0,001 A.
Es la única unidad básica con un prefijo multiplicativo, lo que induce a error,
pues se puede interpretar que la unidad básica es el gramo. Es también la
única unidad que se sigue definiendo en términos de un objeto patrón, por las
dificultades que presenta definirlo mediante un experimento, de modo
semejante a como se hace en las demás, aunque se han propuesto varios
métodos.
Definiciones de las unidades básicas
•
Kelvin (K). Unidad de temperatura termodinámica.
7
Definición: un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a
la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del
agua.
•
Segundo(s). Unidad de tiempo.
Definición: el segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos
del estado fundamental del átomo de cesio 133.
•
Metro (m). Unidad de longitud.
Definición: un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la
luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
•
Kilogramo (kg). Unidad de masa.
Definición: un kilogramo es una masa igual a la almacenada en un
prototipo.
•
Amperio (A). Unidad de intensidad de corriente eléctrica.
Definición: un amperio es la intensidad de una corriente constante que
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud
infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un
metro uno de otro en el vacio, produciría una fuerza igual a 2•10-7
newton por metro de longitud.
•
Mol (mol). Unidad de cantidad de sustancia.
Definición: un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012
kilogramos de carbono 12. Cuando se emplea el mol, es necesario
especificar las unidades elementales, que pueden ser átomos,
moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados
de tales partículas.
Unidades derivadas
Con esta denominación se hace referencia a las unidades utilizadas para
expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar magnitudes físicas
tomadas como básicas.
El concepto no debe confundirse con los múltiplos y submúltiplos, los que son
utilizados tanto en las unidades básicas como en las unidades derivadas, sino
que debe relacionarse siempre a las magnitudes que se expresan. Si estas son
longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad
de sustancia o intensidad luminosa, se trata de una magnitud básica, y todas
las demás son derivadas.
8
•
•
•
•
Unidad de volumen o metro cúbico, resultado de combinar tres veces la
longitud, una de las magnitudes básicas.
Unidad de densidad o cantidad de masa por unidad de volumen,
resultado de combinar la masa (magnitud básica) con el volumen
(magnitud derivada). Se expresa en kilogramos por metro cúbico y no
tiene nombre especial.
Unidad de fuerza, magnitud que se define a partir de la segunda ley de
Newton (fuerza=masa × aceleración). La masa es una de las
magnitudes básicas pero la aceleración es derivada. Por tanto, la unidad
resultante (kg • m • s-2) es derivada. Esta unidad derivada tiene nombre
especial, newton
1
Unidad de energía, que por definición es la fuerza necesaria para
mover un objeto en una distancia de un metro, es decir fuerza por
distancia. Su nombre es el julio (unidad) (joule en inglés) y su símbolo es
J. Por tanto, J=N • m.
En cualquier caso, siempre es posible establecer una relación entre las
unidades derivadas y las básicas mediante las correspondientes ecuaciones
dimensionales.
Unidades con nombre especial
•
Hertz o Hercio (Hz). Unidad de frecuencia.
Definición: un hercio es un ciclo por cada segundo.
•
Newton(N). Unidad de fuerza.
Definición: un newton es la fuerza necesaria para proporcionar una
aceleración de 1 m/s2 a un objeto cuya masa es de 1 kg.
•
Pascal (Pa). Unidad de presión.
Definición: un pascal es la presión que ejerce una fuerza de 1 newton
sobre una superficie de 1 metro cuadrado normal a la misma.
•
Julio (J). Unidad de energía, trabajo y calor.
Definición: un julio es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton,
cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la
fuerza. En términos eléctricos, un julio es el trabajo realizado por una
diferencia de potencial de 1 voltio y con una intensidad de 1 amperio
durante un tiempo de 1 segundo.
9
•
Vatio (W). Unidad de potencia.
Definición: un vatio es la potencia que da lugar a una producción de
energía igual a 1 julio por segundo. En términos eléctricos, un vatio es la
potencia producida por una diferencia de potencial de 1 voltio y una
corriente eléctrica de 1 amperio.
•
Culombio (C). Unidad de carga eléctrica.
Definición: un culombio es la cantidad de electricidad transportada en un
segundo por una corriente de un amperio de intensidad.
•
Voltio (V). Unidad de potencial eléctrico y fuerza electromotriz.
Definición: la diferencia de potencial a lo largo de un conductor cuando
una corriente con una intensidad de un amperio utiliza un vatio de
potencia.
•
Ohms (Ω). Unidad de resistencia eléctrica.
Definición: un ohmio es la resistencia eléctrica que existe entre dos
puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de
1 voltio aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor,
una corriente de intensidad 1 amperio, cuando no haya fuerza
electromotriz en el conductor.
•
Faradio(F). Unidad de capacidad eléctrica.
Definición: un faradio es la capacidad de un conductor con una
diferencia de potencial de un voltio tiene como resultado una carga
estática de un culombio.
•
Tesla(T). Unidad de densidad de flujo magnético e intensidad de campo
magnético.
10
Definición: un tesla es una inducción magnética uniforme que, repartida
normalmente sobre una superficie de un metro cuadrado, produce a
través de esta superficie un flujo magnético total de un weber.
•
Weber (Wb). Unidad de flujo magnético.
Definición: un weber es el flujo magnético que al atravesar un circuito de
una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 voltio
si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme.
•
Radián(rad). Unidad de ángulo plano.
Definición: un radián es el ángulo que limita un arco de circunferencia
cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
•
Unidad de velocidad o rapidez.
Definición: un metro por segundo es la velocidad de un cuerpo que, con
movimiento uniforme, recorre una longitud de un metro en 1 segundo.
•
Unidad de aceleración.
Definición: es el aumento de velocidad regular que sufre un objeto,
equivalente a un metro por segundo cada segundo.
•
Unidad de velocidad angular.
Definición: es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme
alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.
•
Unidad de aceleración angular.
Definición: es la aceleración angular de un cuerpo animado de una
rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad
angular varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.
11
•
Unidad de momento de fuerza y torque.
Definición: es el torque producido cuando una fuerza de un Newton
actúa a un metro de distancia del eje fijo de un objeto, impulsando la
rotación del mismo.
Tabla de múltiplos y submúltiplos
Mil
millones
millardo)
(o
10003
109
giga
G
Billón
10002
106
mega M
Millón
1 000 000
10001
103
kilo
Mil
1 000
Centena
100
k
10002/3 102
hecto h
10001/3 101
deca
10000
ninguno
100
da /
Decena
D
1 000 000 000
10
Unidad
1
Décimo
0.1
1000−2/3 10−2 centi c
Centésimo
0.01
1000−1 10−3 mili
Milésimo
0.001
1000−2 10−6 micro µ
Millonésimo
0.000 001
1000−3 10−9 nano n
Billonésimo Milmillonésimo
0.000 000 001
1000−1/3 10−1 deci
d
m
12
1000−4 10−12 pico
p
Trillonésimo Billonésimo
0.000 000 000
001
1.2 Movimiento Rectilíneo .
1.2.1 Desplazamiento Velocidad y Aceleración .
1.2.2 Movimiento Uniforme y Uniformemente Acelerado .
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la
posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil
está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una
función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x,
más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos
que móvil se ha desplazadox=x' -x en el intervalo de tiempot=t' -t, medido
desde el instante t al instante t'.
13
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de
tiempo t ta n pe que ño como s e a pos ible , e n e l lím ite cua ndo t tie nde a ce ro.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el
siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en
cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t
en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
•
•
•
•
•
•
2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)
x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
m/s
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
...
46
23.05
21.2005
21.020005
21.00200005
...
25
2.05
0.2005
0.020005
0.00200005
...
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
...
0
25
20.5
20.05
20.005
20.0005
...
20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo→0,
Δt la velocidad
media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad
media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
14
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
•
•
•
•
La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La
posición
del
móvil
en
t ele s instante
2
2
2
x'=5(t+t) +1=5t +10tt+5t +1
El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2
La velocidad media <v> es
t+
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la
derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos
que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad
del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al
cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que
se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el
intervalo t tie nde a ce ro, que e s la de finición de la de riva da de v.
15
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la
expresión de
•
•
La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento
x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y
t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos
desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
16
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el
área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y
t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.
Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x 0
al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o
mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2
+5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la
posición x del móvil en cualquier instante.
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los
instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t,
podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre
dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor
numérico de la integral definida en la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad v-v 0 , y el valor inicial v 0 en el instante t 0 ,
podemos calcular la velocidad v en el instante t.
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Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene
dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la
velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del
móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento
rectilíneo son
Movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por
tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos
calcular integrando
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o gráficamente, en la representación de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las
ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es
constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0
entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
19
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del
móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de
un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas
del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera,
relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0
1.2.3 Movimiento Relativo .
Vamos a analizar ahora el movimiento de un sistema rígido aplicando una
metodología distinta a la vista recientemente.
Para ello analizaremos el movimiento del sólido respecto de una terna que se
mueve con respecto a otra considerada fija y a la cual se desea referir el
movimiento.
A la terna "fija" la llamamos absoluta y a la móvil, de arrastre siendo
el
vector rotación absoluta de la terna móvil y
la velocidad de dicho punto
también absoluta, pueden distinguirse 3 movimientos:
20
1) Movimiento Relativo: es el movimiento del sistema rígido con respecto a la
terna de arrastre como si ésta estuviese fija.
2) Movimiento de Arrastre: Es el movimiento del sólido como si estuviera
solidariamente unido a la terna móvil y ésta lo "arrastrase" en su movimiento.
3) Movimiento Absoluto: Es el movimiento del sistema rígido respecto de la
terna absoluta como consecuencia de la simultaneidad de los dos movimientos
anteriores.
Habrá siempre un movimiento absoluto y uno relativo pero puede haber
muchos de arrastre según las ternas que se intercalen; todos ellos pueden
reducirse a uno solo por composición de movimientos.
Notar que
es la velocidad de rotación de los ejes
mientras
que la velocidad de rotación del sólido es
(ambas absolutas). Tomemos un
punto P del sólido y analicemos cuál sería su velocidad con respecto a la terna
absoluta como consecuencia de los movimientos relativos y de arrastre. Será:
(19)
derivando con respecto al tiempo:
(19’)
pero siendo
vectores de posición con respecto a la terna absoluta, sus
derivadas temporales darán las velocidades de P y 01 respecto del sistema
absoluto;
Con respecto a los 3 últimos sumandos del lado derecho de la igualdad,
pueden aplicarse las fórmulas de Poisson, obteniéndose:
21
Por lo tanto y teniendo en cuenta que los 3 primeros sumandos representan la
velocidad de P como si la terna móvil estuviese quieta:
(20)
donde:
= velocidad absoluta de P
= velocidad relativa de P
= sería la velocidad de P como si éste fuese arrastrado por la
terna móvil (velocidad de arrastre); así, rotaría con
reducción del movimiento.
y 01 sería el centro de
Luego:
(20’)
Es decir que la velocidad absoluta de un punto cualquiera de un sistema rígido
resulta de la suma de sus velocidades de arrastre y relativa.
Veamos ahora qué ocurre con la aceleración; derivamos dos veces la
expresión (19):
(21)
resolvamos el primer paréntesis:
=
=
el segundo paréntesis nos da:
; por (20)
22
=
Reemplazamos en (21)
(22)
aceleración absoluta de P
donde:
aceleración relativa de P
es la forma impropia de la ley de distribución de
aceleraciones en un sistema rígido (tal como si éste fuese arrastrado por la
terna móvil) y se denomina aceleración de arrastre.
aceleración complementaria o de Coriolis, aparece por la rotación
de los ejes de la terna móvil y representa la diferencia en aceleración de P
como si fuera medida a partir de unos ejes (0,i,j,k) no giratorios y de otros (01,
i1, j1, k1) giratorios, ambos con origen en 01. Se anula si no hay rotación o bien
si no hay movimiento relativo y también en los movimientos helicoidales
permanentes donde
Así resulta:
(22’)
La barra de la figura rota en 0 con ω = 3t + 1 mientras que el punto P se
desplaza sobre la barra con una ley r = 4 t2 + 4. Encontrar la velocidad y
aceleración absolutas de P respecto del sistema
y graficar los vectores.
Solución
Adoptemos una terna móvil de origen 01 ≡ 0 y con su eje
decir rotando con
Así:
fijo a la barra, es
23
y
;
Luego
Obsérvese que
sobre la dirección
está en
por lo tanto actúa sobre el módulo de
y
24
DIAG. DE VELOCIDADES
ACELERACION
DIAG.
DE
1.2.4 Caída Libre de Cuerpos .
INTRODUCCION.
Para entender el concepto de caída libre de los cuerpos, veremos el siguiente
ejemplo: Si dejamos caer una pelota de hule macizo y una hoja de papel, al
mismo tiempo y de la misma altura, observaremos que la pelota llega primero
al suelo. Pero, si arrugamos la hoja de papel y realizamos de nuevo el
experimento observaremos que los tiempos de caída son casi iguales.
El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre, para el que se
pueda pasar por esto la resistencia del aire, se resume entonces mediante las
ecuaciones:
a).
b).
c).
d).
y
v
Vm
=
v²=
=
=
-0.5
gt²
-2gt
-gt
(vo
+
(y
vo
+
+
t
-
+
v0
v)/2
y0
y0)
Trayectoria. Es la sucesión de puntos por los que pasó el móvil en su recorrido
y su valor en el Sistema Internacional es esa distancia, medida sobre la
trayectoria,
en
metro.
Es
el
recorrido
total.
Posición. Supuestos unos ejes de coordenadas en el punto de lanzamiento, se
llama posición a la ordenada (coordenada en el eje y) que ocupa en cada
instante
el
móvil.
Desplazamiento. Restando de la ordenada de la posición la ordenada del
origen tenemos el desplazamiento. Se representa por un vector con todas las
características del mismo: modulo, dirección, sentido, punto de aplicación.
25
OBJETIVOS
•
Entender de un modo práctico y sencillo el tema de Caída Libre de los
Cuerpos para así ponerlo en práctica para la vida en situaciones
necesarias.
•
Comprender la importancia del movimiento uniforme variado, en cuanto
a sus métodos de solución
•
Identificar las leyes, ecuaciones y diferentes problemas que pueden
surgir de la caída libre de los cuerpos
JUSTIFICACION
La caída libre de los cuerpos fue estudiada a través de los años por diferente
científicos los cuales buscaban a través de sus investigaciones identificar todas
las causas que este producía; entre los investigadores se encuentran Albert
Einstein, Leonardo Da Vinci, Isaac Newton, Galileo Galilei, Nicolás Copernico.
Albert Einstein
Einstein realizo una diversa clase de experimentos los cuales se basaban en la
relatividad de la materia, una de sus investigaciones fue, en el que realizó una
ampliación de la hipótesis de los cuantos, establecida por M.Planck en 190, y
cuya significación no se comprendió ni aceptó hasta que N.Bohr expuso su
teoría atómica (1913). Entre 1914 y 1915 sentó las bases de la teoría general
de la relatividad, que recibiría su primera confirmación experimental (desviación
de la luz por parte de los campos gravitatorios) durante el eclipse solar que se
produjo en 1919, con lo que Einstein obtuvo finalmente el reconocimiento
mundial.
Leonardo da Vinci
Como científico, se ocupó del estudio de la mecánica, aceptando las nociones
fundamentales de la estática aristotélica y el concepto medieval del ímpetu.
Estudió el movimiento de los proyectiles, la caída libre de los cuerpos, el
choque y la percusión, tratando nociones tales como la fuerza y el tiempo, que
consideraba infinitos, y el peso, que concebía como finito. Dividió el movimiento
en cuatro tipos, de acuerdo con el método geométrico que requería su
tratamiento; el directo (en línea recta), curvo, circular y helicoidal. En el campo
de la óptica estudió los efectos de las lentes esféricas. En el campo de las
matemáticas, se ocupó de problemas susceptibles de admitir una solución
geométrica obtenida por métodos empíricos, lo que condujo, por ejemplo a
desarrollar un sistema para determinar el centro de gravedad de una pirámide y
las transformaciones recíprocas en los sólidos. Como astrónomo, fue precursor
del modelo de Copérnico (aceptaba la inmovilidad del Sol), aunque nunca llegó
a asumir completamente el heliocentrismo. Está considerado como uno de los
creadores de la hidrodinámica y como el precursor de la ciencia moderna. La
mayoría de sus trabajos están relacionados con sus estudios e investigaciones
científicas y se encuentran recogidos en códices.
26
Isaac Newton
En la primera, con el cálculo de de fluxiones; en la segunda, con el desarrollo y
la sistematización de la llamada mecánica clásica, basada en la teoría de la
gravitación universal por él enunciada, además de diversas contribuciones en
el campo de la óptica (teoría corpuscular de la luz y leyes de reflexión y
refracción de ésta). En 1679 reanudó sus estudios de dinámica (abandonados
en 1666) y enunció proposiciones sobre las leyes de Kepler. La teoría
newtoniana que se extendió y afianzó con los aportes de pensadores como M
de Mauperius, Voltaire, etc., gozó de reconocimiento universal hasta los
trabajos de Mach, Lorentz, Poincaré y Einstein que culminaron con el
enunciado de la teoría de la relatividad, la cual destruyó los conceptos de
espacio tiempo absolutos e incluyó el sistema newtoniano como un caso
particular.
Galileo Galilei
Su análisis de la física aristotélica le permitió demostrar la falsedad del
postulado según el cual la aceleración de la caída de los cuerpos, en caída
libre, era proporcional a su peso, y conjeturó que en el vacío todos los cuerpos
caen con igual velocidad. Demostró también que la distancia recorrida por un
móvil en caída libre es inversamente proporcional al cuadrado del tiempo.
Limitado por la imposibilidad de medir tiempos cortos y con la intención de
disminuir los efectos de la gravedad, se dedicó al estudio del plano inclinado, lo
que le permitió comprobar la independencia de las leyes de la caída de los
cuerpos respecto de su peso y demostrar que la aceleración de dichos planos
es constante. Basándose en la descomposición de fuerzas que actúan sobre
un móvil, demostró la compatibilidad entre el movimiento de rotación de la
Tierra y los movimientos particulares de los seres y objetos situados sobre ella.
Nicolás Copérnico
En el terreno de la astronomía demostró que los movimientos aparentes de los
cuerpos podían explicarse admitiendo la rotación de la Tierra entorno a su eje y
su desplazamiento anual alrededor del Sol. Por ello es considerado el fundador
de la moderna astronomía. Las implicaciones filosóficas que ello representaba,
al despojar al hombre de su privilegiada posición central en el universo,
hicieron que Copérnico no se decidiese a publicar su obra De revolutionibus
orbium caelestium, por la reacción que temía despertar en los círculos
eclesiásticos. Su obra, que vio la luz poco antes de cumplirse el año de su
muerte, fue efectivamente prohibida por considerársela herética. En dicha obra
expuso su hipótesis heliocéntrica, según la cual el movimiento aparente del Sol
obedece al movimiento real de la Tierra (Sistema de Copérnico).Galileo, 137
años después observó las fases de Venus , predicha en su día por Copérnico,
confirmándose así, por vía experimental, la hipótesis del astrónomo polaco.
27
HIPOTESIS
LAS CAJAS DE EINSTEIN
Existe una relación muy profunda entre sistemas de referencia no inercial y
sistemas de referencia sometidos a fuerzas gravitacionales, relación que se
puede entender con un ejemplo dado por el mismo Einstein.
Supongamos que nos encontramos encerrados en una caja colocada sobre la
superficie terrestre. En su interior, sentimos la fuerza gravitacional de la Tierra
que nos atrae al suelo, al igual que todos los cuerpos que se encuentran a
nuestro alrededor. Al soltar una piedra, ésta cae al suelo aumentando
continuamente su velocidad, es decir acelerándose a razón de 9.81 metros por
segundo cada segundo, lo que equivale, por definición, a una aceleración de 1
g. Por supuesto, en el interior de la caja la fuerza que actúa sobre un cuerpo es
proporcional a su masa gravitacional.
Ahora, consideramos el caso de una caja situada en el espacio, lejos de la
influencia gravitacional de cualquier planeta o estrella. Si esa caja está en
reposo, todo lo que se encuentra en su interior flota ingrávidamente. Pero si la
caja se acelera, aumentado su velocidad a razón de 9.81. metros por segundo
cada segundo (1 g), los objetos en su interior se quedan rezagados y se pegan
al suelo; más aún, un cuerpo que se suelte dentro de ella se dirigirá al suelo
con una aceleración de l g. Evidentemente, la caja acelerada es un sistema de
referencia no inercial, y las fuerzas, que aparecen en su interior son fuerzas
inerciales que dependen de la masa inercial de los cuerpos sobre los que
actúan.
Y ahora la pregunta fundamental: ¿pueden los ocupantes de una caja
determinar por medio de experimentos físicos si se encuentran en reposo sobre
la superficie de la Tierra o se encuentran en el espacio, en movimiento
acelerado? La respuesta es no, porque el principio de equivalencia no permite
distinguir, dentro de la caja, entre una fuerza gravitacional y una inercial.
28
Podemos imaginarnos otra posible situación. Esta vez la caja es un elevador
que se encuentra en un edificio terrestre, pero su cable se rompe y cae
libremente. Sus ocupantes caen junto con la caja (Figura 24) y, mientras dura
la caída, no sienten, ninguna fuerza gravitacional, exactamente como si
estuvieran en el espacio extraterrestre.
Otra situación, que se ha vuelto familiar en los últimos años, es la de los
cosmonautas que vemos flotar ingrávidos dentro de sus vehículos colocados
en órbita alrededor de la Tierra. Si no perciben ninguna fuerza gravitacional no
es porque estén tan alejados de la Tierra que no resientan su atracción, es
porque él vehículo espacial y sus tripulantes se encuentran en caída libre. Esto
puede no coincidir con la idea, común de Luna caída; pero hay que recordar
que, estrictamente hablando, un cuerpo se encuentra en caída libre si se
mueve únicamente bajo el influjo de una fuerza gravitacional sin otro tipo de
restricción. Un satélite terrestre efectivamente está en caída libre, pero nunca
choca con la Tierra por la curvatura de ésta, como se puede ver en la figura 26.
En resumen, un vehículo espacial en órbita, con sus motores apagados y sin
fricción del aire por encontrarse fuera de la atmósfera, es un ejemplo perfecto
de un sistema inercial: sus ocupantes no pueden decidir, sin mirar por las
escotillas, si están en órbita alrededor de la Tierra o en reposo lejos de todo
cuerpo celeste.
Así, un sistema de referencia inercial es equivalente a un sistema de referencia
en caída libre, y del mismo modo un sistema no inercial es equivalente a un
sistema de referencia sometido a la fuerza gravitacional. En consecuencia, se
puede extender el principio de relatividad a sistemas no inerciales si se toma en
cuenta a la gravitación. Pero Einstein fue más allá de esta simple
comprobación.
29
Un satélite en órbita es un caso extremo de proyectil de caída libre.
Regresemos al ejemplo de la caja en caída libre, pero esta vez supongamos
que la caja es lo suficientemente grande para hacer el siguiente experimento:
colóquense dos canicas en cada extremo del compartimiento, como se indica
en la figura 27. Como las canicas se hallan también en caída libre, permanecen
fijas, flotando, para los ocupantes de la caja. Sin embargo, las trayectorias de
ambas no son exactamente rectas paralelas, sino rectas que convergen al
centro de la Tierra. En consecuencia, vistas desde la caja, las dos canicas no
están estrictamente fijas, sino que parecen acercarse lentamente una a otra.
Este efecto casi imperceptible no ocurriría si la caja estuviera en el espacio
extraterrestre, lejos de todo influjo gravitacional, ya que las dos canicas
permanecerían exactamente donde se colocan.
Manifestación de la fuerza gravitacional en una caja en caída libre
suficientemente grande.
30
El experimento anterior implica que la equivalencia entre sistema inercial y
sistema en caída libre debe formularse con más precisión: Los dos sistemas
son equivalentes en una región pequeña del espacio, pero pueden distinguirse
uno del otro si se realizan experimentos físicos sobre distancias
suficientemente grandes.
Esta comprobación condujo a Einstein a relacionar la gravitación con las
propiedades geométricas de una superficie. Por ejemplo, sabemos que la
Tierra es redonda, pero su curvatura no se manifiesta en una región pequeña.
A escala humana, nuestro planeta parece plano y es sólo sobre distancias de
varios cientos de kilómetros que los efectos de la curvatura se vuelven
apreciables. Si se trazan dos rectas paralelas sobre la superficie terrestre,
estas rectas permanecen paralelas inicialmente manteniéndose constante la
distancia entre ellas; pero si las rectas se prolongan cientos de kilómetros
empezarán a converger debido a la curvatura de la Tierra, y acabaran por
unirse en algún punto (Figura 28). Las rectas trazadas sobre la superficie de la
Tierra son más bien segmentos de círculo; es sólo a escalas pequeñas que
parecen rectas. El concepto de recta pierde su sentido sobre una superficie
curva y es más preciso referirse a curvas de longitud mínima: sobre una
superficie plana, la recta es la curva de mínima longitud entre dos puntos
dados, pero sobre la superficie de una esfera la curva más corta entre dos
puntos es un segmento de círculo (Figura 29).
Dos "paralelas" terminan uniéndose sobre una superficie curva.
Ahora bien, las dos "paralelas" trazadas sobre la superficie de la Tierra, y que
terminan por unirse debido a la curvatura de ésta, recuerdan las trayectorias de
las dos canicas en el elevador que cae. En el primer caso, se tiene un efecto
debido a la curvatura de una superficie, mientras que en el segundo caso se
manifiesta una fuerza gravitacional. El primer efecto es geométrico y el
segundo gravitacional. Una superficie curva parece plana en una región
suficientemente pequeña, y del mismo modo una fuerza gravitacional no es
detectable en un vehículo de dimensiones reducidas y en caída libre.
31
Las geodésicas son las curvas de menor longitud sobre una superficie curva.
Todas estas analogías condujeron a Einstein a la conclusión de que la fuerza
gravitacional puede interpretarse como un efecto geométrico. Sólo que, a
diferencia de la superficie terrestre, en la teoría de Einstein el espacio-tiempo
es curvo y la gravitación es la manifestación de su curvatura.
MARCO TEORICO
En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo dónde solamente
influye la gravedad En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo
con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es
un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea es
independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una
pulga, ambos cuerpo tendrán la misma aceleración, que coincide con la
aceleración de la gravedad (g). Esto lo podemos demostrar del siguiente modo:
Sabemos por la segunda ley de Newton que la fuerza es igual al producto
entre la masa del cuerpo y la aceleración.
F = ma
La única fuerza que influye en la caída libre (recordamos que se desprecia el
rozamiento con el aire) es el peso, que es igual al producto entre la masa del
cuerpo y la constante gravitatoria g.
F=P=mg
Despejamos de la primera ecuación la aceleración.
a = F/m
Sustituimos la fuerza.
32
Por lo tanto nos queda que la aceleración del cuerpo siempre coincide con la
constante gravitatoria
a=mg/m
a=g
Otra forma de demostrar que la aceleración de los cuerpos en caída libre en el
vacío tiene que ser la misma sin importar el peso de los objetos, es mediante
un simple desarrollo lógico:
1.3 Movimiento Curvilíneo .
1.3.1.Componentes Rectangulares de Velocidad y Aceleración .
1.3.2 Movimiento de Proyectiles.
1.3.3 Componentes Tangencial y Normal de la Velocidad y la Aceleración .
1.3.5 Movimiento Circular Uniforme y no Uniforme.
1.4 Movimiento de Cuerpo rígido.
1.4.1 Traslación y Rotación.
Movimiento curvilíneo
Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un
origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el
conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un
movimiento curvilíneo son:
33
Vector posición r en un instante t.
Como la posición del móvil cambia con
el tiempo. En el instante t, el móvil se
encuentra en el punto P, o en otras
palabras, su vector posición es r y en el
instante t' se encuentra en el punto P',
su posición viene dada por el vector r'.
Diremos que el móvil se ha desplazado
∆r=r’-r en el intervalo de tiempo
∆ t=t'-t.
Dicho vector tiene la dirección de la
secante que une los puntos P y P'.
Vector velocidad
El vector velocidad media, se define
como el cociente entre el vector
desplazamiento ∆ r y el tiempo que ha
empleado en desplazarse ∆t.
El vector velocidad media tiene la
misma dirección que el vector
desplazamiento, la secante que une los
puntos P y P1 cuando se calcula la
velocidad media <v1> entre los instantes
t y t1.
El vector velocidad en un instante, es el
límite del vector velocidad media
cuando el intervalo de tiempo tiende a
cero.
Como podemos ver en la figura, a
medida que hacemos tender el intervalo
de tiempo a cero, la dirección del vector
velocidad media, la recta secante que
une sucesivamente los puntos P, con
los puntos P1, P2....., tiende hacia la
tangente a la trayectoria en el punto P.
En el instante t, el móvil se encuentra
en P y tiene una velocidad v cuya
34
dirección es tangente a la trayectoria en
dicho punto.
Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra
en P y tiene una velocidad v cuya
dirección es tangente a la trayectoria
en dicho punto.
En el instante t' el móvil se encuentra
en el punto P' y tiene una velocidad
v'.
El móvil ha cambiado, en general, su
velocidad tanto en módulo como en
dirección, en la cantidad dada por el
vector diferencia ∆v=v’-v.
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de
velocidad ∆v y el intervalo de tiempo ∆t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.
Y la aceleración a en un instante
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo
largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento
rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.
Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición
de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.
Ejemplo 1:
Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares,
en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m.
Calcular:
35
•
Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
vx=6t2-6t
vy=2t-2 m/s
•
m/s
Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
m/s2
ax=12t
ay=2 m/s2
Ejemplo 2:
Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes
rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las
expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el móvil se
encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular:
•

Las componentes de la aceleración en cualquier instante
Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.
Dada la velocidad vx=4t3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes
0 y t se calcula mediante la integral
x=t4+2t2+1 m
Dada la velocidad vy=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y
t se calcula mediante la integral
y=2t2+2 m
Ejemplo 3:
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s
desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es
empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una
aceleración de 2 m/s2. Calcular:
36
•
•
•
La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
La altura máxima
Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando
la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.
1. Primero, se establece el origen en el punto
del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando
hacia arriba.
2. Se determinan los signos de las
velocidades iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la
aceleración ay=-10.
3. Se escriben las ecuaciones del movimiento
•
Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X
ax=2
vx=2t
x=2t2/2
•
Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de
caída de los cuerpos)
ay=-10
vy=20+(-10)t
y=20t+(-10)t2/2
1. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m.
Dado y se obtiene el valor de t y luego el valor de x.
y=-50
t=1.74
x=3.03 m
m
s
2. La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero
vy=0
t=2
y=20 m
La altura desde el suelo es 20+50=70 m.
m/s
s
37
3. El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo
(10 sobre el origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta
horizontal y=10 m. La ecuación de segundo grado tiene dos raíces
10=20t+(-10)t2/2
t1=0.59 s y t2=3.41 s.
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico,
pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de
referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un
determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la
figura.
•
Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
•
Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la
aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y
aceleración en dicho sistema de referencia.
•
Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la
dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la
dirección tangencial.
•
Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la
dirección tangencial y sobre la dirección normal.
•
Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector
aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a
cos y an=a sen
38
Ejemplo:
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración
en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las
componentes tangencial y normal en dicho instante.
1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de
la aceleración
=3t-2
vx
vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s2
m/s,
ax=3
m/s2
2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son
vx
=4
vy=19 m/s, ay=24 m/s2
m/s,
ax=3
m/s2
3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración
4. Calculamos el ánguloθ
aceleración
•
•
que forman el vector velocidad y el vector
Por el producto escalar: v·a=v·a·cosθ
Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando
ambos ángulos
5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración
at=a·cos
an=a·sen=2.0 m/s2
=24.1
m/s2
Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del
producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.
v·a=va·cosθ=v·at
39
La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de
la aceleración tangencial at
Radio de curvatura
En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una
trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector
velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante
t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran
en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la
posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de
curvatura ρ.
En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la
dirección del vector velocidad cambia un ángulo
θ. d
que es el ángulo entre las tangentes o entre las
normales. El móvil se desplaza en este intervalo de
tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la
figura.
Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración,
es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un
vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de
un producto se compone de la suma de dos términos
40
El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la
componente tangencial de la aceleración
El segundo término, vamos a demostrar que
tiene la dirección normal un. Como vemos en
la figura las componentes del vector unitario
ut son
ut=cosθ·i+senθ·j
Su derivada es
El vector aceleración es
Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente
Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula
que describía un movimiento circular uniforme.
Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá
aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad,
la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.
•
•
•
Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en
un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.
Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su
módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme,
tenemos únicamente aceleración normal.
Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como
en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración
normal..
41
2 Cinética de la partícula y del cuerpo rígido.
2.1 Leyes De Newton
2.1.1.Enunciados Esquemas Visualización .
PRIMERA LEY DE NEWTON.
La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercía, nos dice que
si sobre un cuerpo no actua ningún otro, este permanecerá indefinidamente
moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de
reposo, que equivale a velocidad cero).
Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el
observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el
interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que
para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor
se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de
referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para
definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de
referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se
observa que un cuerpo sobre el que no actua ninguna fuerza neta se mueve
con velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto
que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero
siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema
que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema
inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una
buena aproximación de sistema inercial.
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Laa primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su
movimiento es necesario que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo
es lo que conocemos como fuerzas. Estas son el resultado de la acción de
unos cuerpos sobre otros.
La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza.
Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la
aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la
masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente
manera:
42
F=ma
Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir,
tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la
Segunda ley de Newton debe expresarse como:
F=ma
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa
por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un
kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,
1 N = 1 Kg · 1 m/s2
La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para
cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un
cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a.
Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de
sistemas en los que pueda variar la masa.
Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud
física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se
define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:
p=m·v
La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una
magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En
términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa
de la siguiente manera:
La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la
cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir,
F = dp/dt
De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea
constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición
de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:
F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v
Como la masa es constante
dm/dt = 0
y recordando la definición de aceleración, nos queda
F=ma
43
tal y como habiamos visto anteriormente.
Otra consecuencia de expresar la segunda ley de Newton usando la cantidad
de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la
cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la
Segunda ley de Newton nos dice que:
0 = dp/dt
es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo
es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el
tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el Principio de
conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actua sobre
un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante
en el tiempo.
TERCERA LEY DE NEWTON.
Tal como comentamos en al principio de la segunda ley de Newton las fuerzas
son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.
La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice
que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A
otra acción igual y de sentido contrario.
Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por
ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para
impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba.
Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros tambien nos
movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona
hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros.
Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo
valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actuan sobre
cuerpos distintos.
44
2.1.2 Diagramas de Cuerpo Libre .
Diagramas de Cuerpo Libre
Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas
las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el
diagrama de cuerpo libre esté correcto antes de aplicar la Segunda ley de
Newton, Fext = ma
En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aisla, reemplazando las
cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas
que indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe
representarse la fuerza de gravedad y las fuerzas de friccion. Si intervienen
varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado.
A continuación se muestra algunos sistemas (izquierda) y los correspondientes
diagramas de cuerpo aislado (derecha). F(ó T) representa la fuerza trasmitida
por la cuerda; N la normal; mg el peso y f la fuerza de roce o de fricción.
45
46
2.2 Resolución de ecuaciones .
2.2.1 Fuerzas Constantes .
2.2.2 Fuerzas de Resistencia y Fuerzas de Fricción .
Fuerzas de Fricción
Siempre que un objeto se mueve sobre una superficie o en un medio viscoso,
hay una resistencia al movimiento debido a la interacción del objeto con sus
alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de fricción.
Las fuerzas de fricción son importantes en la vida cotidiana. Nos permiten
caminar y correr. Toda fuerza de fricción se opone a la dirección del
movimiento relativo.
Empíricamente se ha establecido que la fuerza de fricción cinética es
proporcional a la fuerza normal N, siendo k la constante de proporcionalidad,
esto es, f = N.
Para ilustrar las fuerzas de fricción, suponga que intenta mover un pesado
mueble sobre el piso. Ud. empuja cada vez con más fuerza hasta que el
mueble parece "liberarse" para en seguida moverse con relativa facilidad.
Llamemos f a la fuerza de fricción, F a la fuerza que se aplica al mueble, mg a
su peso y N a la fuerza normal (que el piso ejerce sobre el mueble).
La relación entre la fuerza F que se aplica y la fuerza de fricción puede
representarse mediante el siguiente grafico:
47
Aumentemos desde cero la fuerza F aplicada. Mientras ésta se mantenga
menor que cierto valor
N, cuyo significado se explica más abajo, el pesado
mueble no se mueve y la fuerza de roce entre las patas del mueble y el piso es
exactamente igual a la fuerza F aplicada. Estamos en la denominada "zona
estática", en que f = F. Si continuamos aumentando la fuerza F alcanzaremos
la situación en que f = N, la máxima fuerza de fricción estática y el mueble
parecerá "liberarse" empezando a moverse, pero esta vez con una fuerza de
fricción llamada cinética y cuya relación con la fuerza normal es
fk =
N (zona cinética)
Donde
es el coeficiente de roce cinético, que debe distinguirse del
coeficiente de roce estático
, mencionado mas arriba.
se obtiene
encontrando el cuociente entre la máxima fuerza de roce (condición a punto de
resbalar) y la fuerza normal. De ahí que N nos entrega el valor máximo de la
fuerza de roce estático.
El coeficiente de roce estático es siempre mayor que el coeficiente de roce
cinético. Los coeficientes de fricción estático y cinético para madera sobre
madera, hielo sobre hielo, metal sobre metal (lubricado), hule sobre concreto
seco, y las articulaciones humanas, están aqui descritos para esas
determinadas superficies:
Ejemplo. Una caja de 10 kg descansa sobre un piso horizontal. El coeficiente
de fricción estático es
= 0.4, y el de fricción cinética es
=0.3. Calcule la
fuerza de fricción f que obra sobre la caja si se ejerce una fuerza horizontal
externa F cuya magnitud es a) 10 N, b) 38N, c) 40 N.
SOLUCION:
El diagrama de cuerpo libre o de cuerpo aislado es:
48
Como N - mg = 0
N = mg = 98 N
1. La fuerza de fricción estática se opone a cualquier fuerza aplicada, hasta
llagar a un máximo N = (0.4)(98N) = 39.2 N. Como la fuerza aplicada
es F = 10 N, la caja no se moverá y f = F = 10 N.
2. Todavía la fuerza de 38 N no supera los 39.2 N, la fuerza de fricción
habrá aumentado a 38 N, f = 38N.
3. Una fuerza de 40 N hará que la caja comience a moverse, porque es
mayor que la fuerza máxima de fricción estática, 39.2 N. En adelante se
tiene fricción cinética, en lugar de fricción estática y la magnitud de la
fricción cinética es N = 0.3(98N) = 29 N. Si la fuerza aplicada continúa
siendo F = 40 N, la aceleración que experimentará la caja será (40N 29N)/10kg = 1.1 m/s2
TEMA 2.4. APLICACIONES A MOVIMIENTO CURVILINEO.
LA SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON EN LA
ROTACIÓN
Suponga que analizamos el movimiento de rotación de un cuerpo rígido
de la figura siguiente considere a una fuerza F que actúa sobre la pequeña
masa m, indicada por la porción sombreada del objeto (el área delimitada por
las dos líneas dentro de la circunferencia) , a una distancia r del eje de rotación.
49
m
F
aT = αr
O
La segunda Ley de Newton para el movimiento de
rotación enuncia la relación entre el momento de
torsión Fr y la aceleración angular α.
La fuerza F aplicada en forma perpendicular a r hace que el cuerpo gire
con una aceleración tangencial:
aT = αr . Donde α es la aceleraci
ón angular. Partiendo de la segunda Ley de
Newton del movimiento.
F = m aT = m αr .
multiplicando ambos lados de esta relación por r queda:
Fr = (mr2) α
La cantidad Fr se reconoce como el momento de torsión
τ producido por la
fuerza F con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa m
escribimos:
τ = (mr2) α
Se puede derivar una ecuación similar para todas las demás porciones
del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para
cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al
eje. Por consiguiente, el momento de torsión resultante en todo el cuerpo es:
τ = (Σ mr2) α.
o bien τ = I α.
Momento de torsión = momento de inercia x aceleración angular.
Observe la similitud de la ecuación anterior con la segunda ley de
Newton del movimiento lineal, F = ma. La Ley del movimiento rotacional de
Newton se enuncia como sigue.
“Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera
una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de
50
torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del
cuerpo”.
Al aplicar la ecuación de la segunda Ley del movimiento rotacional, es
importante recordar que el momento de torsión producido por una fuerza es
igual al producto de la distancia al eje por la componente perpendicular de la
fuerza. También debe recordarse que la aceleración angular se expresa en
radianes por segundo cuadrado.
PROBLEMAS DE
ROTACIONAL.
LA
SEGUNDA
LEY
DEL
MOVIMIENTO
1.- Un disco de esmeril de radio 0.6 m y 90 kg de masa gira a 460 rpm. ¿Qué
fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde, hará que el disco se
detenga en 20 segundos?
Solución: primero calculamos el momento de inercia I del disco a partir de la
fórmula:
I = ½ m R2. = ½ (90 kg) (0.6 m)2. = 16.2 kg.m2.
Convirtiendo la velocidad rotacional a radianes por segundo obtenemos:
ω = 2 π rad/rev x 460 rev/min x 1 min/60 seg .
ω = 2 x 3.14 rad/rev x 460 rev/min x 1 min/60 seg = 48.2 rad/seg.
Por lo tanto la aceleración angular es:
α= ωf – ωo
t
α= 0 – (48.2 rad/seg) = - 2.41 rad/seg2.
20 seg
Aplicando la Segunda Ley de Newton del movimiento rotacional nos da:
τ = Fr = I α despejando F tenemos
a partir de la cual: F = I α = ( 16.2 kg.m2 x -2.41 rad/seg2. = - 65.0 N.
r
0.6 m
El signo negativo aparece debido a que la fuerza debe tener una
dirección opuesta a la de rotación del disco.
2.- Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite
arrastrar objetos con una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm
y puede girar libremente sobre su eje central, ¿Cuál es la aceleración angular?.
Solución: Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ m R2. I = ½ (5 kg )x
(0.20 m)2. = 0.1 kg.m2.
F= Iα
r
despejando la aceleración α = Fr = 400 N x 0.2 m. = 800 rad/seg2.
51
I
0.1 kg.m2.
3.- Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto
medio. ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20
revoluciones por minuto, al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de
200 a 600 rev/min?
Fórmulas:
τ = Fr = I α
α= ωf – ωo
t
I = ½ mR2.
Solución: Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ 3 kg x (0.20 m)2.
I = 0.06 kg.m2.
Conversión de las velocidades angulares a rad/seg.
ωo = 2 π rad/rev x 200 rev/min x 1 min/60 seg = 20.93 rad/seg.
ωf = 2 π rad/rev x 600 rev/min x 1 min/60 seg = 62.8 rad/seg.
Cálculo de la aceleración angular:
α= 62.8 rad/seg- 20.93 rad/seg. = 0.6978 rad/seg2.
60 seg
τ = I α = 0.06 kg.m2. x 0.6978 rad/seg2. = 0.041 N.m
4.- Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una varilla ligera,
describiendo un círculo de 50 cm de radio. ¿Qué momento de torsión se
deberá impartir a esa masa una aceleración angular de 2.5 rad/seg2?
I = ½ mR2. I = ½ (2 kg) x (0.50 m)2. = 0.25 kg.m2.
τ = I α = 0.25 kg.m2. x 2.5 rad/seg2. = 0.625 N.m.
2.5 Momento de una Fuerza .
Concepto de momento de una fuerza
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto
vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.
M=rF
52
La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda
a entender el significado físico de la magnitud
momento, y a determinar correctamente el
módulo, la dirección y el sentido del momento
de una fuerza:
•
•
•
El módulo es el producto de la fuerza
por su brazo (la distancia desde el
punto O a la recta de dirección de la
fuerza). M=Fd
La dirección perpendicular al plano que
contiene la fuerza y el punto, la que
marca el eje del tornillo.
El sentido viene determinado por el
avance del tornillo cuando hacemos
girar a la llave.
Ejemplo
Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la
forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave.
Es fácil contestar a las siguientes preguntas:
•
•
•
¿En qué situaciones se introduce el tornillo?
¿En que situaciones se saca el tornillo?
¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.
En la primera figura, el tornillo
avanza
en
una
dirección
perpendicular al plano de la
página, y hacia el lector. El
módulo del momento es F·d.
En la segunda figura, el tornillo
avanza
en
una
dirección
perpendicular al plano de la
página, y hacia dentro (sentido
contrario al anterior). El módulo
del momento es F·2d. Con una
llave más larga estamos en una
situación más favorable que
disponiendo de una llave más
corta.
En la tercera figura, el tornillo
avanza
en
una
dirección
perpendicular al plano de la
página, y hacia el lector. El
53
módulo
del
momento
es
F·sen30·2d=F·d. Esta situación
es equivalente a la primera.
•
•
Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el
lector, la llave gira en sentido contrario a las agujas del reloj.
Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el
sentido de las agujas del reloj.
Supongamos una barra de masa
despreciable, que está sujeta por su
extremo O.
Si colocamos un peso P a una
distancia x del origen. El momento
de esta fuerza respecto del origen
O es P·x.
Para que la barra está en equilibrio
la fuerza F deberá ser tal que el
momento
total sea
nulo.
F·d+P·x=0, de modo que F=P·x/d.
Actividades
Tenemos una barra de 50 cm de longitud, que dispone de ganchos situados en
las divisiones 0, 5, 10, ... 50 cm. Un extremo de la barra (el origen) está sujeto y
del otro extremo cuelga de un dinamómetro. El dinamómetro se ha ajustado de
modo que cuando no cuelga ninguna pesa en la barra éste marque cero.
Se pulsa el botón titulado Nuevo aparecen pesas de distintos colores de 10 g,
25 g y 50 g . Con el puntero del ratón arrastramos una de las tres pesas y la
colgamos de la barra en alguna de las posiciones marcas. Disponemos
solamente dos pesas de cada tipo.
Cogemos otra pesa y la colgamos de la barra y así sucesivamente, hasta un
máximo de seis pesas (dos de cada tipo).Podemos colgar más de una pesa en
la misma posición, una debajo de la otra.
El dinamómetro nos muestra la fuerza F que ejerce en el extremo izquierdo de
la barra, para mantenerla horizontal y en equilibrio. La fuerza viene expresada
en gramos que podemos convertir a newtons.
1gramo-fuerza=0.001·9.8=0.0098 N 0.01 N
•
Primero, probamos con una sola pesa colocándola en varias posiciones
y anotamos la fuerza que ejerce el dinamómetro.
54
Se pulsa el botón titulado Nuevo, se coloca una pesa colgada de un gancho, se
apunta el valor de la fuerza F que marca el dinamómetro. Se pulsa el botón
Nuevo, se elige la misma pesa y se coloca en otro gancho y así
sucesivamente.
Fijarse que las pesas situadas en el origen no ejercen momento alguno. Y
aquellas que están situadas al otro extremo de la barra ejercen un momento
máximo.
•
Después, probamos
coincidentes o no.
con
varias
pesas
en
distintas
posiciones
Supongamos que hemos colgado las seis pesas disponibles en las posiciones
que se indican en la figura
Pesa
(g)
Brazos
(cm)
Momento
10
35
10
450
25
50
20
1750
50
25
20
2250
Total
4450
El momento total es igual al momento de la fuerza que ejerce el dinamómetro,
para que el sistema esté en equilibrio.
4450-F·50=0, por lo que F=89 gramos-fuerza=0.87 N.
2.5.1 Centro de Masa y Momento de Inercia Cuerpo rígido .
El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia
rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una
magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un
sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de
55
inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro;
pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en
el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento
angular longitudinal de un sólido rígido.
Ecuaciones del momento de inercia
¿Cuál
de
estos
giros
resulta
más
difícil?
El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una
aceleración angular.
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de
los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r
de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del
cuerpo.
56
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de
masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la
resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento
de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.
Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton:
tiene como equivalente para
la rotación:
donde:
•
•
•
es el momento aplicado al cuerpo.
es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
es la aceleración angular.
,
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es
mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad
angular ω es
, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de
rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por
equivalente la conservación del momento angular :
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el
vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje
de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es
eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un
momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que
el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa
por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que
pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la
distancia entre los dos ejes:
donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro
de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que
pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes
paralelos considerados.
57
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado
que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el
centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso
dicho cuerpo.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por
.
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes
con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm
de toda
la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de
la figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de
centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y,
para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y
aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:
y
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los
momentos anteriores:
e
Tensor de inercia de un sólido rígido
El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo
orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz
simétrica, cuyas componentes tensoriales son:
Donde:
(x1,x2,x3)[ = (x,y,z)] son las coordenadas para nombrar a los puntos del
cuerpo.
, es la llamada delta de Kronecker definida como:
A los elementos
se los llama momento de inercia respecto del
eje i y tienen las mismas propiedades que los momentos de inercia
considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas cartesiano
XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los
tres momentos de inercia siguientes:
58
Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:
Donde
y donde
.
El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como
combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:
Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz)
es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de
inercia.
3 Trabajo energía cinética y conservación de energía .
3.1.1 Calculo Trabajo Para Diferentes .Fuerzas
3.2 Teorema del Trabajo y la Energía .
3.2.1 Concepto Energía Cinética .
3.2.2 Aplicaciones Energía Cinética .
59
3 Trabajo energía cinética y conservación de energía .
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el
vector desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el
módulo del vector desplazamiento dr, y  el ángulo que forma el vector fuerza
con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de
todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la
representación gráfica de la función que relaciona la
componente tangencial de la fuerza Ft, y el
desplazamiento s.
Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la
constante del muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la
deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
60
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la
componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft·s
Ejemplo:
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación
se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del
desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
•
•
•
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es
positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es
negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
Concepto de energía cinética
61
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una
partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el
valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente
tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del
módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt
que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las
fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una
tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N.
La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Fuerza conservativa. Energía potencial
Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la
diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de
las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
62
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir
del punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejemplo
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo
del camino cerrado ABCA.
•
•
•
La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los
puntos (0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el
origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento
dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la
ecuación
de
la
trayectoria
y=f(x),
y
los
desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan
a través de la interpretación geométrica de la derivada
dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la
función f(x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el
camino cerrado.
•
Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.
•
Tramo BC
63
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una
recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx
•
Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo W CA=0
•
El trabajo total
WABCA=WAB+W BC+W CA=27+(-27)+0=0
El peso es una fuerza conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza
desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es
yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la
forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la
energía potencial.
64
La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza
sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x>0, F=-kx
Para x<0, F=kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición
xA a la posición xB es
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la
deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0,
de modo que la constante aditiva vale c=0.
Principio de conservación de la energía
Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de
dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía
potencial
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las
fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e
inicial de la energía cinética.
65
Igualando ambos trabajos,
conservación de la energía
obtenemos la
expresión del principio
de
EkA+EpA=EkB+EpB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más
cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.
Comprobación del principio de conservación de la energía
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m.
Calcular
1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y
cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones
Tomar g=10 m/s2
•
Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J
•
Cuando x=1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J
•
Cuando x=0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la
energía cinética aumenta.
66
Fuerzas no conservativas
Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a
compararla con la fuerza conservativa peso.
El peso es una fuerza conservativa.
Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A
hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.
WAB=mg x
WBA=-mg x
El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A,
WABA es cero.
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa
Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de
rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza
es de signo contrario al desplazamiento
WAB=-Fr x
WBA=-Fr x
El trabajo total a lo largo del
camino cerrado A-B-A, W ABA es
distinto de cero
WABA=-2Fr x
Balance de energía
67
En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no
conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la
partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía
potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que
El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética
más potencial) de la partícula.
Ejemplo 1:
Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de
30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:
•
•
la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado
•
•
•
La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A
a B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J
68
De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5 m,
h=x·sen30º=5.75 m
Cuando el cuerpo desciende
•
•
•
La
energía
del
cuerpo
en
B
es
EB=0.2·9.8·h=1.96·h
=0.98·x=0.98·11.5=11.28 J
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B
a A es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J
De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.
Ejemplo 2:
Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de
circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
•
•
•
El peso mg
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido
es opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal,
escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial
69
mat=mg·cosθ-Fr
Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en
forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
Calculamos el trabajo W r realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de
rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un
pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición
θ
•
•
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía
final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más
la variación de energía potencial.
El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto
de círculo es
70
rabajo
3.3 Potencia .
Potencia, Definición y Detalle Conceptual
En la vida cotidiana, interesa saber no sólo el trabajo que se pueda efectuar,
sino también la rapidez con que se realiza.
Una persona está limitada en el trabajo que pueda efectuar, no sólo por la
energía total necesaria, sino también por la rapidez con que transforma esa
energía.
Se define potencia como la rapidez a la cual se efectúa trabajo, o bien, como la
rapidez de transferencia de energía en el tiempo.
Potencia = W/t = trabajo/tiempo = energía transformada/tiempo.
En
el
Sistema
Internacional
Joules por segundo, unidad a
Watt (W), 1 W = 1J/s.
la
la
potencia
que se
se
expresa
en
le da el nombre
Cuando decimos que una ampolleta consume 60 watts, estamos diciendo que
transforma en cada segundo 60 Joules de energía eléctrica en energía
luminosa o térmica.
Para potencias elevadas se usa el caballo de fuerza, abreviado hp, que
equivale a 746 Watts.
1 hp = 746 watts
A veces conviene expresar la potencia en términos de la fuerza neta F aplicada
a un objeto y de su velocidad.
P = W/t. P = W/t. Como W = Fuerza (F) * desplazamiento (x) = Fx, P = Fx/t.
Si
la
velocidad
v
es
constante,
P = Fv, esto es, fuerza por velocidad.
v
=
x/t
obteniendo,
Si la velocidad v es variable se usa la potencia instantánea definida como
P
=
dW/dt
donde
p
es
el
símolo
de
derivada.
O sea la potencia instantánea es el trabajo por unidad de tiempo durante un
pequeñísimo
intervalo
de
tiempo
dt.
Como
dW
=
Fdx
y
P
esto es, fuerza por velocidad instantánea.
v
=
=
dx/dt
resulta
Fv
71
Ejemplo.
Calcule la potencia que requiere requiere un automóvil de 1.200 kg para las
siguientes situaciones:
a) El automóvil sube una pendiente de 8º a una velocidad constante de 12 m/s.
b) El automóvil acelera de 14 m/s a 18 m/s en 10 s para adelantar otro
vehículo, en una carretera horizontal. Suponga que la fuerza de roce o fuerza
de retardo es constante e igual a Fr = 500 N.
F denota la fuerza que impulsa al auto.
SOLUCION.
a) A velocidad constante la aceleración es cero, de modo que podemos
escribir:
F = Fr + mgsen
F = 500 N + 1200 kg•9,8 m/s2 •sen8º = 2.137 N
Usando P = Fv, resulta P = 2.137N•12m/s = 25644 watts, que expresada en hp
resulta 34,3 hp.
b) La aceleración es (18m/s - 14m/s)10s = 0,4 m/s2.
Por 2ª ley de Newton, la resultante de las fuerzas externas debe ser igual a ma,
masa por aceleración.
F
Fr
2
F = 1200kg•0,4m/s + 500N = 980 N
=
La potencia requerida para alcanzar los 18 m/s y adelantar es
P = Fv = 980N•18m/s = 17.640 watts ó 23,6 hp.
ma
72
3.4 Fuerzas Conservativas y no Conservativas .
Una Fuerza Conservativa
Es la fuerza que genera un Campo Conservativo.
Se caracterizan por realizar un trabajo que sólo depende de las posiciones
inicial y final, y no de la trayectoria del recorrido.
Técnicamente, se habla de que las fuerzas conservativas son provenientes de
un gradiente de campo potencial, o equivalentemente, que son fuerzas
provenientes de campos irrotacionales (Ver concepto de Campo rotacional).
Son conservativas, por ejemplo, las fuerzas:
Fuerza Gravitacional
Fuerza Elástica
Fuerza Electrostática
Fuerzas Conservativas y no Conservativas: Imaginemos que tenemos un
resorte de masa despreciable sujeto por uno de sus extremos a una pared y un
bloque de masa m; ambos en el piso de manera que si impulsamos al bloque,
este se dirigirá hacia el resorte con una velocidad constante v (ya que para
facilitar nuestro análisis consideremos que la fuerza de rozamiento entre el
bloque y el piso es nula). Así que la única fuerza exterior que actúa sobre el
movimiento de este cuerpo proviene del resorte.
A medida que el bloque va comprimiendo al resorte su velocidad (y energía
cinética) disminuye hasta detenerse. Aplicando la Ley de Hooke (F = x)
podemos calcular la compresión que se produce. Después de esto el bloque∆k.
invierte el sentido de su movimiento y, con igual dirección, va ganando
velocidad a medida que el resorte vuelve a su longitud original; en ese
momento el bloque tiene la misma velocidad (signo opuesto) que tenía antes
de comprimir al resorte. El bloque pierde energía cinética durante una parte de
su movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto de partida.
Hay que recordar que la variación de la energía cinética indica que existe
73
trabajo mecánico; es claro que, al término de un viaje de ida y vuelta, la
capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; ha sido conservada.
La fuerza elástica ejercida por el resorte ideal y otras fuerzas que se comportan
de la misma manera, se las denomina fuerzas conservativas.
La fuerza de gravedad es la típica representante de las fuerzas conservativas
ya que si lanzamos un objeto hacia arriba (para el cual la resistencia del aire
sea despreciable), regresa a nuestras manos con la misma energía cinética
con la que partió.
Sin embargo, si una partícula sobre la que actúan una o más fuerzas regresa a
su posición inicial con más energía cinética o con menos de la que tenía
inicialmente, resulta que en ese viaje de ida y vuelta su capacidad de producir
trabajo mecánico varía. Podemos suponer que al menos una de las fuerzas
actuantes es no conservativa. La fuerza de rozamiento es el típico ejemplo de
una fuerza no conservativa.
Resumiendo: Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el
viaje de ida y vuelta) es cero. Una fuerza es no conservativa si el trabajo
efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es distinto de cero
3.4.1 Concepto Energía Potencial .
Energía potencial
Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando
están en el fondo de su trayectoria. Cuando comienzan a elevarse, la energía
74
cinética comienza a ser convertida a energía potencial gravitacional, pero, si se
asume una fricción insignificante y otros factores de retardo, la cantidad total de
energía en el sistema sigue siendo constante.
La energía potencial es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un
trabajo ( ), dependiendo de la configuración que tengan en un sistema de
cuerpos que ejercen fuerzas entre sí. Puede pensarse como la energía
almacenada en un sistema, o como una medida del trabajo que un sistema
puede entregar. Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud
escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo
tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo
de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es
igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.
3.4.2 Aplicaciones Energía Potencial .
ENERGÍA: es todo aquello que puede realizar un trabajo. Si un objeto tiene
energía quiere decir que es capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para
realizar un trajo sobre él y si realizáramos una trabajo sobre un objeto, le
proporcionamos a éste una cantidad de energía igual al trabajo realizado.
En este curso estudiaremos dos tipos de energía.
ENERGÌA CINÉTICA: es aquella que tiene un cuerpo en virtud de su
movimiento.
ENERGÍA POTENCIAL : es la energía que tiene un sistema en virtud de su
posición o condición.
Aplicación de la energía potencial y cinética
La relación entre la energía cinética y el trabajo ,considerando una fuerza F que
actúa sobre un bloque como se indica en la figura:
75
Si el bloque tiene una velocidad inicial v0 y la fuerza F actúa através de la
distancia s y la velocidad aumenta hasta la velocidad final vf .
El cuerpo tiene una masa m y la segunda ley de newton està dada por a
proporción
a= F / m ecc 1
Y se alcanza una velocidad final vfy quedar así
2as = v2f– v20
despejando a = v2f– v20 / 2s
sustituyendo en la ecuación 1
F / a= v2f– v20 / 2s
resolviendo para Fs
Fs = ½ mvf – ½mv0
Como la cantidad del lado izquierdo de la ecuación representa el trabajo
realizado sobre la masa m y la cantidad del lado derecho de la ecuación es el
cambio de la energía cinética como resultado del trabajo .
Por lo tanto :Ek = ½ mv2
Un rifle dispara una bala de 4.2 g con una rapidez de 965 mIs.
a) Encuentre la energía cinética de la bala.
b) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre la bala si parte del reposo?
76
c) Si el trabajo se realiza sobre una distancia de 0.75 m, ¿cuál es la fuerza
media sobre la bala?
DATOS
FÓRMULA
m = 4.2 g
Ek = ½ mv2
CALCULOS
RESULTADOS
Ek
=
½(.0042kg)
Ek = 1955.6 j
(965m/s)2
T =½ mv2f- ½
mv20
v= 965 m/s si v0 = o
g = 9.9 m /
s2
T
=
½(.0042kg)
Ek = 1955.6 j
(965m/s)2
quedaría: T =½
mv2f
Fxs = ½ mv2f
F =1955.6 j / .75m
F = 2607 N
F =½ mv2f / S
1.- Un vagón de 15 Kg se mueve por un corredor horizontal con una velocidad
de 7.5 m/s. Una fuerza constante de 10 N actúa sobre el vagón y su velocidad
se reduce a 3.2 m/s.
a) ¿Cuál es el cambio de la energía cinética del vagón?
b) ¿Qué trabajo se realizó sobre el vagón?
c) ¿Qué distancia avanzó el vagón mientras actuó la fuerza?
2.- ¿Qué fuerza media se requiere para que un objeto de 2 Kg aumente su
velocidad de 5 m/s a 12 m/s en una distancia de 8 m? Verifique su respuesta
calculando primero la aceleración y aplicando luego la segunda Ley de Newton.
La energía potencial implica que debe haber un potencial para realizar un
trabajo.
77
La fuerza externa F necesaria para elevar un cuerpo debe ser igual al peso w y
el trabajo realizado esta dado por
Trabajo = Wh= mgh
Este trabajo puede ser realizado por el cuerpo después de haber caído una
distancia h por lo tanto el cuerpo tiene una energía potencial igual al trabajo
externo necesario para elevarlo. a partir de estos datos se puede calcular la
energía potencial
Ep= mgh
1.- Un libro de 2 Kg reposa sobre una mesa de 80 cm del piso. Encuentre la
energía potencial del libro en relación
a) con el piso
b) con el asiento de una silla, situado a 40 cm del suelo
c) con el techo que está a 3 m del piso
DATOS
FÓRMULA CALCULOS
m= 2kg
Ep= mgh a) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(0.8m)
h= 80 cm
b) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(0.4M)
g = 9.8 m/s^2
c) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(-2.2m)
RESULTADOS
= 17.7 J
= 7.84 J
= -43.1 J
3.5 Teorema Conservación Energía Mecánica .
3.5.1 Demostración Teorema Energía Mecánica .
Sistema mecánico en el cual se conserva la energía, para choque
perfectamente elástico
y ausencia de rozamiento.
78
La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la
termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema
aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el
tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía.
En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no
puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por
ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un
calefactor.
Conservación de la energía y termodinámica
Dentro de los sistemas termodinámicos, una consecuencia de la ley de
conservación de la energía es la llamada primera ley de la termodinámica, la
cual establece que, al suministrar una determinada cantidad de energía térmica
(Q) a un sistema, esta cantidad de energía será igual a la diferencia del
incremento de la energía interna del sistema (ΔU) menos el trabajo (W)
efectuado por el sistema sobre sus alrededores:
Aunque la energía no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de
la termodinámica. En un proceso irreversible, la entropía de un sistema aislado
aumenta y no es posible devolverlo al estado termodinámico físico anterior. Así
un sistema físico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energía
pero con dicha energía en una forma menos aprovechable. Por ejemplo, un
movimiento con fricción es un proceso irreversible por el cual se convierte
energía mecánica en energía térmica. Esa energía térmica no puede
convertirse en su totalidad en energía mecánica de nuevo ya que, como el
proceso opuesto no es espontáneo, es necesario aportar energía extra para
que se produzca en el sentido contrario.
Desde un punto de vista cotidiano, las máquinas y los procesos desarrollados
por el hombre funcionan con un rendimiento menor al 100%, lo que se traduce
en pérdidas de energía y por lo tanto también de recursos económicos o
materiales. Como se decía anteriormente, esto no debe interpretarse como un
incumplimiento del principio enunciado sino como una transformación
"irremediable" de la energía.
El principio en mecánica clásica
•
En mecánica lagrangiana la conservación de la energía es una
consecuencia del teorema de Noether cuando el lagrangiano no
depende explícitamente del tiempo. El teorema de Noether asegura que
cuando se tiene un lagrangiano independiente del tiempo, y por tanto,
existe un grupo uniparamétrico de traslaciones temporales o simetría,
puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que
permanece constante a lo largo de la evolución temporal del sistema,
esa magnitud es conocida como hamiltoniano del sistema. Si además, la
79
energía cinética es una función sólo del cuadrado de las velocidades
generalizadas (o lo que es equivalente a que los vínculos en el sistema
sean esclerónomos, o sea, independientes del tiempo), puede
demostrarse que el hamiltoniano en ese caso coincide con la energía
mecánica del sistema, que en tal caso se conserva.
•
En mecánica newtoniana el principio de conservación de la energía, no
puede derivarse de un principio tan elegante como el teorema de
Noether, pero puede comprobarse directamente para ciertos sistemas
simples de partículas en el caso de que todas las fuerzas deriven de un
potencial, el caso más simple es el de un sistema de partículas
puntuales que interactúan a distancia de modo instantáneo.
El principio en mecánica relativista
Una primera dificultad para generalizar la ley de conservación de la energía de
la mecánica clásica a la teoría de la relatividad está en que en mecánica
relativista no podemos distinguir adecuadamente entre masa y energía. Así de
acuerdo con esta teoría, la sola presencia de un partícula material de masa m
en reposo respecto observador implica que dicho observador medirá una
cantidad de energía asociadada a ella dada por E = mc2. Otro hecho
experimental contrastado es que en la teoría de la relatividad no es posible
formular una ley de conservación de la masa análoga a la que existe en
mecánica clásica, ya que esta no se conserva. Así aunque en mecánica
relativista no existan leyes de conservación separadas para la energía no
asociada a la masa y para la masa, sin embargo, sí es posible formular una ley
de conservación "masa-energía" o energía total.
Dentro de la teoría de la relatividad especial, la materia puede respresentarse
como un conjunto de campos materiales a partir de los cuales se forma el
llamado tensor de energía-impulso total y la ley de conservación de la energía
se expresa en relatividad especial, usando el convenio de sumación de
Einstein, en la forma:
A partir de esta forma diferencial de la conservación de la energía, dadas las
propiedades especiales del espacio-tiempo en teoría de la relatividad especial
siempre conduce a una ley de conservación en forma integral. Esa integral
representa precisamente una mangitud física que permanece invariable a lo
largo de la evolución del sistema y es precisamente la energía. A partir de la
expresión (1), escrita en términos de coordenadas galileanas
, y usando el teorema de la divergencia
tenemos:
80
Si la segunda integral que representa el flujo de energía y momentum se anula,
como sucede por ejemplo si extendemos la integral a todo el espacio-tiempo
para un sistema aislado llegamos a la conclusión de que el primer miembro de
la expresión anterior permanece invariable durante el tiempo. Es decir:
es precisamente la energía total del
La componente "temporal"
sistema, siendo las otras tres la componentes del momento lineal en las tres
direccione espaciales.
3.5.2 Aplicaciones Energía Mecánica.
Conservación de la energía mecánica
Para sistemas abiertos formados por partículas que interactúan mediante
fuerzas puramente mecánicas o campos conservativos la energía se mantiene
constante con el tiempo:
.
Es importante notar que la energía mecánica así definida permanece constante
si únicamente actúan fuerzas conservativas sobre las partículas. Sin embargo
existen ejemplos de sistemas de partículas donde la energía mecánica no se
conserva:
•
•
Sistemas de partículas cargadas en movimiento. En ese caso los
campos magnéticos no derivan de un potencial y la energía mecánica no
se conserva, ya que parte de la energía mecánica "se convierte" en
energía del campo electromagnético y viceversa.
Sistemas con fuerzas disipativas. Las fuerzas disipativas como el
rozamiento o fricción entre sólidos, entre un sólido y un fluido no pueden
ser tratadas de modo puramente mecánica ya que implican la
conversión de energía mecánica en energía calorífica.
Algunas energías muy bien asociadas son:
1. Energía hidráulica: Se deja caer agua y se aprovecha la energía
potencial obtenida. Se utiliza para generar energía eléctrica y para
mover molinos de harina.
2. Energía eólica: Producida por los vientos generados en la atmósfera
terrestre. Se utiliza para generar energía eléctrica, como mecanismo de
extracción de aguas subterráneas o de ciertos tipos de molinos para la
agricultura.
3. Energía mareomotriz: Producto del movimiento de las mareas y las olas
del mar. Se transforma en energía eléctrica.
81
3.6 Oscilaciones Armónicas.
OSCILACIONES---En algunos casos es difícil mantener el equilibrio: hagan la prueba de pasar por
una cuerda tirante. Al mismo tiempo nadie premiará con un aplauso a quien
esté sentado en una mecedora. Pero, en realidad, este también mantiene el
equilibrio.
¿Qué diferencia hay entre estos dos ejemplos? ¿En qué caso se establece “por
sí solo”?.
Parece evidente la condición de equilibrio. Para que el cuerpo no se mueva de
su sitio, las fuerzas que actúan sobre él tienen que estar en equilibrio; mejor
dicho, la suma de esta fuerzas tiene que ser igual a cero. En realidad esta
condición es necesaria para el equilibrio del cuerpo; pero ¿será esta
suficiente?.
En la figura 1 está representado el perfil de una montaña que fácilmente se
puede construir con cartón. El comportamiento de la bolita es distinto, según el
sitio en que la coloquemos en la montaña. En cualquier punto de la pendiente
de la montaña, sobre la bolita actúa una fuerza que la obliga a rodar hacia
abajo. Esta fuerza propulsora es la de la gravedad, o mejor dicho, su
proyección sobre la dirección de la tangente a la línea del perfil de la montaña,
trazada en el punto que nos interesa. Por esto, se comprende, que cuanto más
suave sea la pendiente, tanto menor será la fuerza que actúa sobre la bolita.
Ante todo, nos interesan aquellos puntos, en los que la fuerza de la gravedad
se equilibra por completo con la reacción del apoyo y, por consiguiente, la
fuerza resultante que actúa sobre la bolita es igual a cero. Esta condición se
82
verifica en los vértices de la montaña y en los puntos inferiores, en las
depresiones. Las tangentes en estos puntos, son horizontales y las fuerzas
resultantes que actúan sobre la bolita son iguales a cero.
Sin embargo, no se puede colocar la bolita sobre los vértices a pesar de que la
fuerza resultante sea igual a cero; y si esto se consigue inmediatamente se
revela que la causa del éxito es el rozamiento. Un pequeño golpe o un suave
soplido, superarán la fuerza de rozamiento y la bolita se moverá del sitio y
echará a rodar hacia abajo.
Para una bolita lisa, colocada en una montaña resbaladiza, las únicas
posiciones de equilibrio son los puntos inferiores de las depresiones. Si con un
golpe o con una corriente de aire se expulsase a la bolita de este lugar, esta
volvería por sí sola a este sitio.
No hay duda de que en una depresión, en un hoyo, en una hondura, el cuerpo
está en equilibrio. Al desviarse de esta posición, el cuerpo es propulsado por
una fuerza que le hace retornar. En las cumbres de la montaña, el cuadro es
otro; si el cuerpo se ha apartado de esta posición, sobre é actúa la fuerza “que
le aleja” y no la que le retorna. Por lo tanto, la igualdad a cero de la fuerza
resultante es la condición necesaria, pero no suficiente, para el equilibrio
estable.
El equilibrio de la bolita en la montaña se puede examinar también desde otro
punto de vista. Los lugares de depresión corresponden a los mínimos de la
energía potencial, y las cumbres a los máximos. La ley de la conservación de la
energía impide la alteración de las posiciones, en las cuales la energía
potencial es mínima. Tal alteración convertiría en negativa la energía cinética,
lo cual es imposible. Otra cosa ocurre en los puntos vértices. La salida de estos
puntos está ligada con la disminución de la energía potencial y, por lo tanto,
con el aumento de la energía cinética y no con su disminución.
Así pues, en la posición de equilibrio, la energía potencial tiene que tener valor
mínimo en comparación con sus valores en los puntos vecinos.
Cuanto más hondo sea el hoyo, tanto más estabilidad habrá. Como ya
conocemos la ley de la conservación de la energía, inmediatamente podemos
decir en qué condiciones saldrá rodando el cuerpo del hoyo. Para eso, hay que
comunicar al cuerpo una energía cinética que sea suficiente para levantarlo
hasta el borde del hoyo. Cuanto más profundo sea el hoyo, tanto más energía
cinética se necesitará para infringir el equilibrio estable.
OSCILACIONES SIMPLES
Si se empuja una bolita situada en un hoyo, esta comenzará a moverse por el
montículo, perdiendo poco a poco su energía cinética. Cuando se pierda toda
por completo, habrá una parada instantánea y comenzará el movimiento hacia
abajo. Ahora, la energía potencial pasará a energía cinética. La bolita tomará
velocidad, superará por inercia la posición de equilibrio y comenzará de nuevo
el ascenso, pero, por el lado opuesto. Si el rozamiento es insignificante, este
83
movimiento “de arriba, abajo” puede continuar mucho tiempo y, en el caso
ideal, no habiendo rozamiento, es de eterna duración.
Por lo tanto, el movimiento alrededor de la posición de equilibrio estable,
siempre es de carácter oscilante. Para el estudio de las oscilaciones, quizás
sea más útil el péndulo que la bolita que pasa rodando por el hoyo. Aunque
sólo sea porque en el péndulo es mas fácil reducir al mínimo el rozamiento.
Cuando, al desviarse el péndulo, el cuerpo del mismo ocupa la posición
superior, su velocidad y su energía cinética son iguales a cero. En ese instante,
la energía potencial es máxima. Cuando el cuerpo va hacia abajo, la energía
potencial disminuye y se transforma en energía cinética. Por consiguiente, la
velocidad del movimiento crece. Cuando el cuerpo pasa por la posición inferior,
su energía potencial es mínima y, respectivamente su energía cinética y su
velocidad son máximas. Durante el movimiento ulterior, el cuerpo de nuevo
asciende. Ahora, la velocidad disminuye y la energía potencial aumenta.
Menospreciando las pérdidas en el rozamiento, el cuerpo se desvía hacia la
derecha, a una distancia equivalente a su desviación inicial hacia la izquierda.
La energía potencial se ha transformado en cinética y después se ha creado,
en la misma cantidad, una “nueva” energía potencial. Hemos descrito la
primera mitad de una oscilación. La segunda mitad se efectúa del mismo modo,
pero el cuerpo se mueve hacia el lado opuesto.
El movimiento de oscilación es un movimiento de repetición o, como suele
decirse, periódico. Volviendo al punto inicial, el cuerpo repite cada vez su
movimiento (si no se tienen en cuenta las alteraciones que son debidas al
rozamiento), tanto en lo que respecta al camino, como en lo que respecta a la
velocidad y a la aceleración. El tiempo invertido en una oscilación, o sea, el que
se necesita para volver al punto inicial, es el mismo para la primera, segunda y
todas las oscilaciones ulteriores. Este tiempo, que representa una de las
características mas importantes de la oscilación, se llama período y se señala
con la letra T. Después del tiempo T el movimiento se repite, es decir, que
después del tiempo T siempre hallaremos al cuerpo oscilando en el mismo
lugar del espacio, moviéndose hacia el mismo lado. Después de medio
período, el desplazamiento del cuerpo, así como la dirección del movimiento,
cambia de signo. Como el período T es el tiempo de una oscilación, el número
n de oscilaciones en una unidad de tiempo es igual a 1/T.
¿De qué depende el período de oscilación de un cuerpo que se mueve en las
proximidades de la posición de equilibrio estable? Y, en particular, ¿de qué
depende el período de oscilación de un péndulo? El primero que planteó y
resolvió este problema fue Galileo. Ahora deduciremos la fórmula de Galileo.
84
Mas, con métodos elementales, resulta difícil aplicar las leyes de la mecánica al
movimiento que no es uniformemente acelerado. Por eso, para vencer esta
dificultad, vamos a hacer que el cuerpo del péndulo no oscile en el plano
vertical, sino que describa una circunferencia , manteniéndose todo el tiempo
en una misma altura. No es difícil crear este movimiento; no hay mas que dar
un golpe inicial al péndulo, separado de la posición de equilibrio, en dirección,
exactamente perpendicular al radio de la inclinación, y elegir la fuerza de este
golpe.
En la figura 2 está representado este “péndulo circular”.
El cuerpo de masa m se mueve sobre una circunferencia. Por consiguiente
además de la fuerza de la gravedad mg, sobre éste actúa la fuerza centrífuga.
Que
se
puede
representar
en
la
forma
. Aquí n es el número de vueltas por segundo. Por eso la expresión de la
centrífuga se puede escribir también así:
La resultante de estas dos fuerzas estira el hilo del péndulo.
En la figura están rayados dos triángulos semejantes: el de las fuerzas y el de
las distancias. Las razones de los catetos correspondientes son iguales, por lo
tanto,
85
¿De qué causas depende entonces, el período de oscilación del péndulo? Si
efectuamos experimentos en un mismo lugar del globo terrestre (g no varía), el
período de oscilación dependerá sólo de la diferencia de alturas del punto de
suspensión y del punto en que se encuentra el cuerpo. La masa del cuerpo,
como siempre ocurre en el campo de gravedad, no influye en el período de
oscilación.
Resulta interesante la siguiente circunstancia. Estamos estudiando el
movimiento en las proximidades de la posición de equilibrio estable. Para
pequeñas oscilaciones, la diferencia h de alturas se puede sustituir por la
longitud l del péndulo. Es fácil comprobar esto. Si la longitud del péndulo es 1
metro y el radio de desviación es 1 cm, se tiene:
La diferencia entre h y l alcanza 1% sólo para elongaciones de 14 cm. Por lo
tanto, el período de las oscilaciones libres del péndulo, para elongaciones no
muy grandes de la posición de equilibrio, es igual a:
Es decir, depende solamente de la longitud del péndulo y del valor de la
aceleración de la fuerza de la gravedad en el lugar donde se realiza el
experimento, y no depende de la magnitud de la elongación del péndulo de la
posición de equilibrio.
La fórmula:
Ha sido deducida para el péndulo circular; y ¿cuál será la fórmula para el
péndulo ordinario “plano”? Resulta que la formula conserva su fórmula . No
vamos a hacer una demostración rigurosa, pero si observaremos, que la
sombra del cuerpo del péndulo circular sobre la pared oscila casi igual que un
péndulo plano: la sombra realiza una oscilación, precisamente, durante el
tiempo que la bolita describe una circunferencia.
La aplicación del las oscilaciones pequeñas alrededor de la posición de
equilibrio, da la posibilidad de realizar la medida del tiempo con gran exactitud.
Según la leyenda, Galileo estableció la independencia del período de oscilación
del péndulo, de la amplitud y de la masa, observando durante la misa en la
catedral el balanceo de dos grandísimas arañas. Así pues, el período de
86
oscilación del péndulo es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. De
este modo, el período de oscilación de un péndulo de 1 metro es dos veces
mayor que el período de oscilación de un péndulo de 25 cm de longitud. Luego,
de la formula para el período de oscilación del péndulo, se deduce que un
mismo péndulo oscila con distinta ligereza en diversas latitudes terrestres. A
medida que nos acercamos al ecuador, la aceleración de la fuerza de la
gravedad disminuye y el período de oscilación aumenta.
El período de oscilación se puede medir con gran precisión. Por eso, los
experimentos con péndulos dan la posibilidad de medir la aceleración de la
fuerza de la gravedad con mucha precisión.
DESARROLLO DE LAS OSCILACIONES
Unamos la mina de un lápiz suave a la parte inferior de un grave de un péndulo
y colguemos el péndulo encima de la hoja de un papel, de modo que la mina
del lápiz esté en contacto con el papel, figura 3. Inclinemos ahora ligeramente
el péndulo. Al balancear, la mina del lápiz marcará sobre el papel un segmento
pequeño de una recta. En el medio del balanceo, cuando el péndulo pasa por
la posición de equilibrio, la línea marcada por la mina será más gruesa, ya que
en esta posición la mina presiona más sobre el papel. Si trasladamos la hoja de
papel en dirección perpendicular al plano de oscilación se dibujará una curva,
representada en la figura 3.
Es fácil comprender que las oscilaciones obtenidas se sitúan muy densamente
, si se tira del papel con lentitud, y más aisladamente, si la hoja de papel se
mueve con una velocidad considerable. Para que la curva resulte, perfecta
como en la figura, es necesario que el movimiento de la hoja de papel sea
estrictamente uniforme.
De este modo, resulta, como si hubiéramos “desarrollado” las oscilaciones.
87
El desarrollo se necesita para señalar, dónde estaba y hacia adónde se movía
el grave del péndulo en tal o cual instante. Figúrese que el papel se mueve con
una velocidad de 1cm/s. Desde el instante en que el péndulo se encontraba en
una posición extrema, por ejemplo, a la izquierda del punto medio. En nuestra
figura, esta posición inicial corresponde al punto marcado con la cifra 1.
Después de ¼ de periodo, el péndulo pasará por el punto medio. En este
tiempo, el papel avanzará en un número de centímetros igual a ¼ T , hasta el
punto 2 de la figura. Ahora, el péndulo se moverá hacia la derecha; a la vez, irá
corriéndose el papel. Cuando el péndulo ocupe la posición extrema derecha, el
papel habrá avanzado en un número de centímetros igual a ½ T, hasta el punto
3 de la figura. De nuevo irá el péndulo hacia el punto medio y después de ¾ T,
llegará a la posición de equilibrio, al punto 45 de la figura. El punto 5 da fin a
una oscilación completa y, después, el proceso se repetirá cada T segundos, o
en el dibujo, cada T centímetros.
Por consiguiente, la línea vertical de la gráfica es la escala de las elongaciones
del punto de la posición de equilibrio; la línea media horizontal es la escala del
tiempo.
En esta gráfica se hallan fácilmente dos magnitudes que caracterizan por
completo la oscilación. El período se determina como la distancia entre dos
puntos equivalentes, por ejemplo, entre dos vértices próximos. También se
mide inmediatamente la elongación máxima del punto de la posición de
equilibrio. Esta elongación se llama amplitud de la oscilación.
Además, el desarrollo de la oscilación nos da la posibilidad de contestar a la
pregunta que anteriormente se hizo: ¿dónde está el punto oscilante en tal o
cual instante? Por ejemplo, ¿dónde estará el punto oscilante después de 11 s.
Si el período de oscilación es de 3 s. Y el movimiento comenzó en la posición
extrema de la izquierda? Cada 3 s, la oscilación comienza desde el mismo
punto. Esto significa que cada 9 s, el cuerpo también estará en la posición
extrema de la izquierda.
Por lo tanto no hay necesidad de una gráfica, en la que la curva esté extendida
en unos cuantos períodos: es suficiente un dibujo en el que esté representada
la curva correspondiente a una oscilación. La situación del punto oscilante cada
11 s, siendo el período de 3 s, será igual que a los 2 s. Marcando 2 cm en el
dibujo ( pues habíamos acordado que la velocidad con la que tirábamos del
papelera de 1 cm/s, o mejor dicho, que la unidad en el dibujo, que es igual a 1
cm, equivale a 1 s), vemos que después de 11 s, el punto está en el camino
que va de la posición extrema derecha a la posición de equilibrio. La magnitud
de la elongación en este instante se halla por el dibujo.
Para hallar la magnitud de la elongación del punto que efectúa elongaciones
pequeñas alrededor de la posición de equilibrio, no es necesario recurrir a la
gráfica. La teoría enseña que, en este caso, la curva de la elongación con
respecto al tiempo, representa una sinusoide. Si la elongación del punto la
88
señalamos con y , la amplitud con a , el período de la oscilación con T,
entonces, el valor de la elongación con el tiempo t , después del comienzo de la
oscilación, se halla con la formula:
La oscilación que se efectúa según esta ley se llama armónica. El argumento
del seno es igual al producto de 2* por t/T. La magnitud 2* . t/T se llama fase.
Teniendo a mano unas tablas trigonométricas (calculadora mejor) y conociendo
el periodo y la amplitud, es fácil calcular la magnitud de la elongación del punto
y, según sea el valor de la fase, se puede averiguar hacia qué lado se mueve el
mismo.
No es difícil deducir la fórmula del movimiento oscilatorio, examinando el
movimiento de la sombra arrojada sobre la pared por un grave que se mueve
sobre una circunferencia, figura 4.
La elongación de la sombra la vamos a marcar desde la posición media. En las
posiciones extremas, la elongación y es igual al radio a de la circunferencia.
Esta es la amplitud de oscilación de la sombra.
Si el cuerpo, desde la posición media, ha recorrido sobre la circunferencia un
ángulo , su sombra se habrá alejado del punto medio en la magnitud a sen
.
Supongamos que el período del movimiento del cuerpo (que naturalmente, es
también el periodo de oscilación de la sombra) es igual a T ; esto significa que
89
durante el tiempo T, el cuerpo recorre 2 radianes. Se puede escribir la
proporción
en donde t es el tiempo de rotación en el ángulo .
Por consiguiente,
Y
por
lo
. Esto es lo que queríamos demostrar.
tanto,
La velocidad del punto oscilante también varía según la ley del seno. A esta
conclusión también nos lleva el mismo razonamiento sobre el movimiento de la
sombra de un cuerpo que describe una circunferencia. La velocidad de este
cuerpo es un vector de longitud constante o. El vector de la velocidad gira
junto con el cuerpo. Figurémonos el vector de la velocidad como una flecha
material que es capaz de dar sombra. En las posiciones extremas del cuerpo,
el vector se sitúa a lo largo del rayo de luz y no da sombra. Cuando el grave,
desde la posición extrema, recorre por la circunferencia un ángulo , el vector
de la velocidad gira en el mismo ángulo y su proyección se hace igual a o sen
.
Pero,
por
las
mismas
razones
que
antes
,
y por lo tanto el valor de la velocidad instantánea del cuerpo es
Tengamos en cuenta que, en la formula para la determinación de la magnitud
de la elongación , el cálculo del tiempo se efectúa desde la posición media,
mientras que en la fórmula de la velocidad, se hace desde la posición extrema.
La elongación del péndulo es igual a cero para la posición media del cuerpo,
mientras que la velocidad de oscilación es igual a cero para la posición
extrema.
Entre la amplitud de la velocidad de oscilación o (a veces dicen, valor de
amplitud de la velocidad) y la amplitud de la elongación existe una relación
simple: el cuerpo describe una circunferencia de longitud 2a durante, un
tiempo
igual
al
período
T
de
oscilación.
Por
lo
tanto
90
.
LA FUERZA Y LA ENERGÍA POTENCIAL EN LAS OSCILACIONES.
En cualquier oscilación en torno de la posición de equilibrio, sobre el cuerpo
obra una fuerza (llamada fuerza recuperadora) que “intenta” volver al cuerpo a
la posición de equilibrio. Cuando el punto se aleja de la posición de equilibrio, la
fuerza retarda el movimiento; cuando el punto se acerca a esta posición, la
fuerza acelera el movimiento.
Examinemos esta fuerza en el ejemplo del péndulo, figura 5. Sobre el cuerpo
del péndulo actúa la fuerza de la gravedad y la tensión del hilo.
Descompongamos la fuerza de la gravedad en dos fuerzas: una a lo largo del
hilo y otra, perpendicular a esta, a lo largo de la tangente a la trayectoria. Para
el movimiento, sólo es esencial la componente tangente de la fuerza de
gravedad. En este caso, esta es la fuerza que promueve el retorno. En cuanto
a la fuerza que va a lo largo del hilo, esta se equilibra con la reacción del clavo
del que está suspendido el péndulo, y se toma en consideración solamente,
cuando nos interese saber si aguantaría o no el peso del cuerpo oscilante.
Designemos con x la magnitud de la elongación del grave. El desplazamiento
se efectúa según el arco, pero hemos convenido estudiar las oscilaciones en
las proximidades de la posición de equilibrio. Por eso, no hacemos distinción
entre la magnitud de elongación según el arco y la desviación del cuerpo de la
91
vertical. Examinemos dos triángulos semejantes. La razón de los catetos
correspondientes es igual a la razón de las hipotenusas, es decir,
La magnitud mg/l no varía durante la oscilación. Esta magnitud constante la
designaremos con la letra k , entonces la fuerza recuperadora será igual a F=
k.x . Luego, llegamos a la importante conclusión siguiente: la magnitud de la
fuerza recuperadora es directamente proporcional a la magnitud de la
elongación del cuerpo oscilante de la posición de equilibrio. La fuerza
recuperadora es máxima en las posiciones extremas del cuerpo oscilante.
Cuando el cuerpo pasa por el punto medio, la fuerza se convierte en cero y
cambia su signo, o mejor dicho, cambia su dirección. Mientras el cuerpo está
desplazado hacia la derecha, la fuerza está dirigida hacia la izquierda, y
viceversa.
El péndulo, es el ejemplo más simple de oscilación de un cuerpo. Sin embargo,
estamos interesados en que las fórmulas y leyes que hallamos se puedan
aplicar a cualesquiera oscilaciones.
El período de oscilación del péndulo se expresó mediante su longitud. Tal
fórmula es valida sólo para el péndulo. Pero podemos expresar el período de
las oscilaciones libres mediante la constante k de la fuerza recuperadora.
Como
,
,
.
se
y,
tiene
por
que
consiguiente,
Esta fórmula es válida para todos los casos de oscilaciones, ya que cualquier
oscilación libre se efectúa bajo la acción de una fuerza recuperadora.
Expresemos ahora la energía potencial del péndulo mediante la elongación de
la posición de equilibrio x . Cuando el grave pasa por el punto inferior, se puede
considerar que la energía potencial es igual a cero, y la medida de la altura se
debe efectuar desde este punto. Designando con la letra h la diferencia de
alturas del punto de suspensión y de la posición del grave desviado, la
expresión de la energía potencial toma la forma: U= m .g (l - h), o bien
aplicando la fórmula de la diferencia de cuadrados,
92
Pero,
como
se
ve
en
el
dibujo,
; l y h se diferencian muy poco y, por eso, en vez de l + h se puede poner 2l .
Entonces,
La energía potencial del cuerpo oscilante es proporcional al cuadrado de la
elongación del cuerpo de la posición de equilibrio.
Comprobemos la validez de la fórmula deducida. La pérdida de la energía
potencial tiene que ser igual al trabajo de la fuerza recuperadora. Veamos dos
posiciones
del
cuerpo,
. La diferencia de las energías potenciales será :
Aquí, la diferencia de cuadrados se puede escribir como el producto de la suma
por la diferencia. Por consiguiente,
.
Pero
es
el
espacio
recorrido
por
el
cuerpo;
son los valores de la fuera recuperadora al comienzo y al final del movimiento y
es igual a la fuerza media. Nuestra fórmula nos a conducido a un resultado
justo: la pérdida de la energía potencial es igual al trabajo realizado.
93
OSCILACIONES DE RESORTES
Es fácil hacer oscilar a una bolita suspendiéndola de un resorte. Sujetemos un
extremo del resorte y estiremos de la bolita, figura 6.
Mientras tiramos de la bolita con la mano, el resorte se mantiene estirado. Si
soltamos la mano, el resorte se encoge y la bolita comienza su movimiento
hacia la posición de equilibrio. Lo mismo que el péndulo, el resorte no vuelve
inmediatamente al estado de reposo. En virtud de la inercia, pasará por la
posición de equilibrio y empezará a encogerse. El movimiento de la bolita se
retardará y en un instante determinado se parará, para comenzar al mismo
tiempo el movimiento hacia el lado opuesto. Se crea una oscilación con los
mismos rasgos típicos que conocimos al estudiar el péndulo.
Si no hubiese rozamiento, las oscilaciones no tendrían fin. Habiendo
rozamiento, las oscilaciones se amortiguan y , además, tanto más rápidamente,
cuanto mayor sea el rozamiento.
Frecuentemente, los papeles del resorte y del péndulo son análogos. Tanto uno
como otro sirven para mantener constante el período de los relojes. La
exactitud de los relojes de muelle contemporáneos queda garantizada por el
movimiento oscilatorio de una pequeña rueda (el volante).
Las oscilaciones son debidas a un muelle que se enrolla y se desenrolla
decenas de miles de veces al día.
En el caso de la bolita en el hilo, la componente tangencial de la fuerza de
gravedad desempeñaba el papel de la fuerza recuperadora. En el caso de la
bolita en el resorte, la fuerza recuperadora es la fuerza elástica del resorte
encogido o estirado. Por lo tanto, la magnitud de la fuerza elástica es
directamente proporcional al alargamiento:
94
En este caso, el coeficiente k tiene otro significado. Ahora es la rigidez del
resorte. Resorte rígido es aquel que es difícil encoger o estirar. Precisamente
este significado tiene el coeficiente k . De la fórmula, queda claro, que k es la
fuerza que se necesita para alargar o encoger el resorte en una unidad de
longitud.
Conociendo la rigidez del resorte y la masa de la carga suspendida en él,
hallaremos el período de las oscilaciones mediante la fórmula
. Por ejemplo, el período de las oscilaciones de un resorte de una rigidez de
105 Dinas/cm (es un resorte bastante rígido; una carga de 100 gramos lo
alarga 1 cm), del que pende una carga de 10 gramos de masa, es T= 6,28 .102 s. En un segundo se efectúan 16 oscilaciones.
Cuanto mas débil sea el resorte, tanto mas lentamente se efectuarán las
oscilaciones. El aumento de la masa de la carga influye en el mismo sentido.
Apliquemos la ley de la conservación de la energía a la bolita en el resorte.
Sabemos que, para el péndulo, la suma de la energía cinética y potencial K + U
no varía: K + U se conserva.
Ya conocemos los valores de K y de U para el péndulo. La ley de la
conservación
se conserva.
de
la
energía
nos
enseña
que,
Pero esto mismo es cierto también para la bolita en el resorte.
La conclusión que forzosamente tenemos que hacer es sumamente
interesante.
Además de la energía potencial que conocimos anteriormente, existe también
una energía potencial de otro género. La primera, se llama energía potencial de
gravitación . Si el resorte estuviese colocado horizontalmente la energía
potencial de gravitación no variaría durante las oscilaciones. La nueva energía
potencial con que nos hemos encontrado, se llama energía potencial elástica .
En nuestro caso, esta es igual a kx2 /2 , es decir, depende de la rigidez del
resorte y es directamente proporcional al cuadrado de la magnitud de
compresión o alargamiento.
La energía total que se conserva inalterable se puede escribir de la forma :
95
Las magnitudes a y v0 que figuran en las últimas fórmulas, representan los
valores máximos del desplazamiento y de la velocidad durante las oscilaciones;
estas son las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad. El origen de
estas fórmulas es completamente claro. En la posición extrema, cuando x = a,
la energía cinética de la oscilación es igual a cero y la energía total es igual al
valor de la energía potencial. En la posición media, el desplazamiento del punto
de la posición de equilibrio y, por consiguiente, la energía potencial, son iguales
a cero; en este instante, la velocidad es máxima, v = v0 y la energía total es
igual a la cinética.
La ciencia de las oscilaciones es una sección muy amplia de la física. Con
bastante frecuencia nos encontramos con péndulos y resortes. Pero, por
supuesto, con esto no acaba la lista de los cuerpos en que se deben estudiar
las oscilaciones. Vibran los cimientos en los que están colocadas las máquinas,
pueden vibrar los puentes, partes de los edificios, vigas, cables de alta tensión.
El sonido es una oscilación del aire.
Hemos expuesto unos ejemplos de oscilaciones mecánicas. Sin embargo, el
concepto de oscilación, no sólo se puede referir a los desplazamientos
mecánicos de los cuerpos o de las partículas de la posición de equilibrio En
muchos fenómenos eléctricos, también nos encontramos con oscilaciones y,
además, estas oscilaciones se efectúan según unas leyes muy parecidas a las
que estudiamos anteriormente. La ciencia de las oscilaciones penetra en todas
las ramas de la física.
OSCILACIONES MAS COMPLICADAS
Todo lo que se dijo hasta ahora se refería a las oscilaciones en las
proximidades de la posición de equilibrio, que tienen lugar a causa de la acción
de la fuerza de recuperadora, cuya magnitud es directamente proporcional a la
elongación del punto a la posición de equilibrio. Tales oscilaciones se efectúan
según la ley del seno. Estas se llaman armónicas. El período de las
oscilaciones armónicas no depende de la amplitud.
Más complicadas son las oscilaciones de gran elongación . Estas oscilaciones
ya no tienen lugar según la ley del seno y su desarrollo proporciona curvas más
complicadas, diferentes para diversos sistemas de oscilación. El período deja
de ser una propiedad característica de la oscilación y comienza a depender de
la amplitud.
96
El rozamiento altera sustancialmente cualesquiera oscilaciones. Habiendo
rozamiento, las oscilaciones se amortiguan lentamente . Cuanto mayor sea el
rozamiento tanto más rápido será el amortiguamiento. Hagan la prueba de
hacer oscilar un péndulo sumergido en el agua. Es casi inútil conseguir que
este péndulo efectúe más de una o dos oscilaciones. Si sumergimos el péndulo
en un medio más viscoso puede ocurrir que no haya oscilación alguna. El
péndulo desviado volverá, simplemente, a la posición de equilibrio.
En la figura 7, se muestra la gráfica típica de las oscilaciones amortiguadas. En
la vertical se ha marcado la elongación de la posición de equilibrio y, en la
horizontal, el tiempo. La amplitud (elongación máxima ) de la oscilación
amortiguada disminuye en cada oscilación.
RESONANCIA
A un niño le han sentado en un columpio. El niño no llega con los pies al suelo.
Claro que para columpiarle, se puede levantar más alto el columpio y después,
soltarlo. Pero esto es bastante pesado y, además, no hay necesidad de ello: es
suficiente empujar suavemente el columpio al compás de las oscilaciones para
que después de poco tiempo el balanceo sea muy intenso.
Para hacer balancear un cuerpo hay que obrar al compás de las oscilaciones.
Mejor dicho, hay que hacer de tal manera, que los empujones se produzcan
con el mismo periodo que las oscilaciones libres del cuerpo. En casos
semejantes se dice que hay resonancia.
El fenómeno de la resonancia está muy difundido en la naturaleza y en la
técnica merece especial atención.
Para observar un fenómeno de resonancia muy original y entretenido, se tiende
un hilo horizontal y se suspenden de él tres péndulos (figura 8): dos cortos, de
igual longitud, y uno más largo. Desviando ahora uno de los péndulos mas
cortos y soltándolo, después de unos segundos se observa cómo empieza
97
lentamente a oscilar el otro péndulo de igual longitud. Unos segundos más, y el
segundo péndulo corto se balancea de tal modo que ya no se puede saber cuál
de los dos comenzó primero el movimiento.
¿A qué es debido esto? Los péndulos de igual longitud tienen iguales períodos
de oscilación libre. El primer péndulo origina las oscilaciones del segundo. Las
oscilaciones se transmiten de uno a otro mediante el hilo que les une. Si, pero
en el hilo está suspendido otro péndulo de diferente longitud. Y, ¿qué ocurrirá
con él? Con este no ocurrirá nada. El período de este péndulo es otro y el
péndulo pequeño no conseguirá hacerle oscilar. El tercer péndulo presencia un
fenómeno interesante de “transmisión” de energía de uno de los péndulos al
otro sin tomar parte él mismo.
A menudo, cada uno de nosotros nos encontramos con el fenómeno de
resonancia mecánica. Aunque es probable que no nos hayamos dado cuenta ,
sin embargo, a veces, la resonancia suele ser muy enojosa. El tranvía ha
pasado cerca de nuestras ventanas, y en el aparador suena la vajilla. ¿Qué ha
ocurrido? Las vibraciones del terreno se han transmitido al edificio y, junto a él,
al suelo de nuestra habitación, llegando a vibrar el aparador y con él la vajilla.
¡Tan lejos, y a través de cuantos objetos se han difundido las oscilaciones! Esto
ocurrió gracias a la resonancia. Las oscilaciones exteriores se pusieron en
resonancia con las oscilaciones libres de los cuerpos. Casi cada rechinamiento
que oímos en la habitación, en la fábrica, en el automóvil, se producen a causa
de la resonancia.
El fenómeno de la resonancia, como otros muchos fenómenos, puede ser útil y
perjudicial.
Las partes móviles de una máquina situada sobre los cimientos están en
marcha rítmica con un período determinado. Supóngase que este período
coincide con el período propio de los cimientos.
¿Qué resultará? Pues que estos empezarán a vibrar con rapidez, lo que puede
conducir a un fin lamentable.
Es conocido el caso siguiente: por un puente de Petersburgo iba marcando el
paso una compañía de soldados. El puente se derrumbó. Se empezaron a
hacer investigaciones sobre la causa; parecía que no había razones para
preocuparse por la suerte del puente y de la gente. ¡Cuantas veces se reunía
en el puente una multitud de gente y pasaban lentamente pesados furgones
que sobrepasaban muchas veces el peso de dicha compañía!
La combadura del puente debido a la acción de la gravedad es insignificante.
Sin embargo se puede conseguir una combadura incomparablemente mayor
haciendo vibrar el puente. La amplitud de la resonancia de las vibraciones
puede ser mil veces mayor que la magnitud de la elongación bajo la acción de
la misma carga inmóvil.
98
Precisamente esto demostró la investigación: el período propio de las
vibraciones del puente coincidió con el período de los pasos ordinarios de la
marcha.
Por esto, cuando una unidad pasa por un puente, se da la orden de romper
filas. Si no hay concordancia en el movimiento de la gente, el fenómeno de
resonancia no aparecerá y el puente no vibrará. De todos modos, los
ingenieros recuerdan bien este caso lamentable.
Y, ahora, al proyectar puentes, procuran hacerlo de modo que el período de las
vibraciones libres del puente sea muy distinto del período del paso militar de
parada.
Los constructores de los cimientos de las máquinas, obran del mismo modo:
procuran hacer los cimientos de modo que su período de vibración se
diferencie lo más posible del de vibración de las partes móviles de la máquina.
Texto extraído de la obra CUERPOS FÍSICOS de L.D. Landau, A.I.
Kitaigorodski
EDITORIAL MIR MOSCÚ.
99
3.7 Sistemas que Involucran Fuerzas no Conservativas.
4 Introducción a la estática de la partícula y del cuerpo rígido
Equilibrio de un cuerpo rígido
I.
OBJETIVOS
1.
Estudiar el comportamiento de las fuerzas concurrentes y fuerzas
paralelas.
2.
Establecer las condiciones necesarias para que un sistema se
encuentra en equilibro
II.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Todos los cuerpos en el universo interaccionan los unos con los otros,
influyéndose mutuamente en sus movimientos. Pero podríamos imaginarnos
una situación tal en que sobre un cuerpo no se ejerciera una o en que el efecto
combinado de varias se anulara; tendríamos entonces lo que se llama "
partícula libre" .
La experiencia nos enseña que si en un instante dado cesa la acción
que se ejerce sobre una partícula, de modo que ésta se convierta en libre, su
movimiento a partir de ese instante será rectilíneo uniforme con la velocidad
que tenía en el momento en que dejaron de actuar los agentes exteriores. Esta
tendencia de un cuerpo a mantener su velocidad cuando no se ejercen
acciones sobre él se llama INERCIA.
Por ejemplo, cuando un vehículo que se mueve a cierta velocidad se
detiene bruscamente, y cesa por tanto la acción impulsora que ejerce sobre los
pasajeros, éstos se sienten lanzados hacia adelante a causa de su propia
inercia.
Consideremos ahora una bola situada sobre el piso plano, horizontal y
pulimentado de una habitación. La bola permanecerá en reposo a menos que
ejerzamos alguna acción sobre ella. Supongamos que golpeamos la bola. Esta
es una acción que se ejerce sobre el cuerpo sólo durante un tiempo muy
pequeño y a consecuencia de la cual la bola adquiere cierta velocidad.
Después del golpe la bola es nuevamente un cuerpo libre. La experiencia nos
enseña que conserva la velocidad adquirida, continuando en movimiento
100
rectilíneo uniforme por más o menos tiempo (decimos más o menos tiempo por
que las más mínima fricción entre a bola y el piso retrasará gradualmente su
movimiento). Si queremos cambiar la dirección del movimiento de la bola,
debemos ejercer una nueva acción sobre ella.
Definición de Equilibrio Estático
Cuando un cuerpo rígido está en reposo o en movimiento rectilíneo a
velocidad constante, relativo a un sistema de referencia, se dice que dicho
cuero está e equilibrio estático. Para tal cuerpo tanto la aceleración lineal de su
centro de masa como su aceleración angular relativa a cualquier punto son
nulas. Obviamente este estado de equilibrio estático tiene su fundamento en la
primera Ley de Newton, cuyo enunciado es: " Todo cuerpo en estado de reposo
o de movimiento rectilíneo uniforme, permanece en dicho estado, a menos que
sobre ella actúe una fuerza" .
Condiciones de Equilibrio
Las condiciones para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio
son:
Primera Condición de Equilibrio:
(Equilibrio de traslación)
" La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido es
igual a cero" . Esto ocurre cuando el cuerpo no se traslada o cuando e mueve a
velocidad constante; es decir cuando la aceleración lineal del centro de masa
es cero al ser observado desde un sistema de referencia inercial.
= `D1 + `F2 +`F3 + ..... + `FN = 0
En esta ecuación de equilibrio no aparecen las fuerzas internas ya que
ellas se cancelan mutuamente en pares debido a la tercera Ley de Newton. Si
las fuerzas estuvieran en el espacio, la ecuación anterior ha de ser expresada
por las siguientes relaciones:
= F1x + F2x + F3x +…. + Fx
=
0
= F1y + F2y + F3y +..... + FNy
=
0
= F1z + F2z + F3z +..... + FNz
=
0
Obviamente en dos dimensiones (o sea en el plano) tendríamos solamente dos
ecuaciones y en una dimensión se tendría una única ecuación.
Segunda Condición de Equilibrio
(Equilibrio de rotación)
101
" La suma vectorial de todos los torques o momentos de las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo, relativos a cualquier punto dado, sea cero" . Esto
ocurre cuando la aceleración angular alrededor de cualquier eje es igual a cero.
`ti = `ti +`t2i +`t3i + .... + `tni
=
0
Si todas las fuerzas estuvieran en el plano XY, la ecuación de equilibrio anterior
se reduciría a la simple expresión algebraica:
`tiz = `t1z +`t2z +`t3z + .... + `tnz
=
0
donde los momentos son paralelos o colineales con el eje Z.
Para que se cumpla la segunda condición de equilibrio se deben realizar los
siguientes pasos:
1.
Se identifica todas las fuerzas aplicadas al cuerpo.
2.
Se escoge un punto respecto al cual se analizará el torque.
3.
Se encuentran los torques para el punto escogido
4.
Se realiza la suma de torques y se iguala a cero.
Hay que tener en cuenta, que lo expuesto anteriormente se refiere sólo al caso
cuando las fuerzas y las distancias estén sobre un mismo plano. Es decir, no
es un problema tridimensional. La suma de los torques respecto a cualquier
punto, dentro o fuera del cuerpo debe ser igual a cero.
* Nota: Llamamos cuerpo rígido a aquel en que se cumple que la distancia
entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante en el tiempo.
III. PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS
1. Arme el sistema de la Figura 4. Suspendan en los extremos de la cuerda
pesos diferentes `F1, `F2 y en el centro un peso `E3. Deje que el sistema se
estabilice. Recuerde que debe cumplirse la ley de la desigualdad de los lados
del triángulo " un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia" .
2. Coloque el tablero (con un papel) en la parte posterior de la cuerda y marque
las direcciones de las cuerdas en el papel.
3. Retira el papel y anote en cada línea los valores de los pesos
correspondientes.
4. Complete el paralelogramo de fuerzas con una escala conveniente para los
valores de `F1 y `F2.
5. Repita los pasos 1, 2, 3, 4,
102
5.1 Coloque `F1, `F2 y `E iguales en módulo y mida los ángulos a,b y g que se
forman al rededor del punto.
*
Elegimos masas iguales de masa 0.1 Kg
Por lo tanto, considerando la aceleración de la gravedad 9.8 m/.s2, la fuerza
en Newton será 0.98 N.
Hallamos los ángulos a, b y g donde:
a = b = g = 120°
5.2 Coloque |`F1 | ; |`F2 | y |`E | que estén en la relación de 3 ; 4; 5 y mida los
ángulos que forma n entre ellos.
*
Elegimos masas:
m `F1
=
60 g
m`F2
=
80 g
m`F3
=
100 g
Por lo tanto las fuerzas serán:
|`F1 |
=
9.8 m/s2 x 0.06 kg
=
0.588 N
|`F2 |
=
9.8 m/s2 x 0.08 kg
=
0.784 N
|`F |
=
9.8 m/s2 x 0.1 kg
=
0.98 N
Donde los ángulos serán:
a
=
90°
b
=
143°
g
=
127°
5.3
Coloque |`F1 | : |`F2 | : |`E | que estén en la relación 12 : 5 : 13
*
Tenemos masas:
m`F1
=
120 g
=
0.12 Kg
m`F2
=
50 g
=
0.05 Kg
m`E
=
130 g
=
0.13 Kg
Por lo tanto las fuerzas tienen por módulo:
|`F1 |
=
9.8
x 0.12 kg
=
1.176 N
|`F2 |
=
9.8
x 0.05 kg
=
0.49 N
103
|`E |
=
9.8
x 0.13 kg
=
1.274 N
Donde los ángulos serán:
a
=
90°
b
=
157°
g
=
113°
6. Suspenda la regla con los dinamómetros, utilice los agujeros de 10cm y 70
cm para las fuerzas `F1 y `F2 como muestra la figura 5. Anote las lecturas en
cada dinamómetro.
*
Las lecturas de cada dinamómetro serán:
|`F1 |
=
0.5 N
|`F2 |
=
1N
7. Coloque en el agujero del centro de gravedad de la regla un cuerpo de masa
450g que es la `F3. Anote las lecturas de cada dinamómetro.
*
Las lecturas son:
|`F1 |
=
2.30 N
|`F2 |
=
3.8 N
8. Desplace el cuerpo de `F3 al agujero a 30cm del primer dinamómetro. Anote
las lecturas de cada una de ellas:
|`F1 |
=
3.7 N
|`F2 |
=
2.5 N
9. Adicione un cuerpo de masa 300g a 10 cm del otro dinamómetro. Anote las
lecturas de cada uno de ellos.
|`F1 |
=
3.1 N
|`F2 |
=
5.5 N
4.1 Fuerzas en el Plano y en el espacio.
4.2 Equilibrio de una partícula.
4.3 Momento de una Fuerza.
104
4.3.1 Momento Respecto a un Punto.
4.3.2 Momento Respecto a un Eje.
Momento de fuerza
En mecanica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un
punto dado) a una magnitud vectorial obtenida como producto vectorial de la
fuerza por el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con
respecto al punto al cual se toma momento. Tambien se le denomina momento
dinámico o sencillamente momento.
En la terminología inglesa, recibe el nombre de torque. Este término intenta
introducirse en la terminología española, bajo las formas de torque o torca, con
escasa fortuna por ahora.
Definición de momento de una fuerza con respecto a un punto.
El momento de una fuerza
aplicada en un punto P con respecto de un punto
O viene dado el producto vectorial del vector
por el vector fuerza; esto es,
Donde es el vector que va desde O a P.
Por la propia definición del producto vectorial, el momento
perpendicular al plano derterminado por los vectores y .
es un vector
Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de
una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción
o directriz.
La definición de momento se aplica a otras magnitudes vectoriales. Así, por
ejemplo, el momento de la cantidad de movimiento o momento lineal, , es el
momento cinético o momento angular, , definido como
105
El momento de fuerza conduce a los concepto de par, par de fuerzas, par
motor, etc.
Interpretación del momento
Relación entre los vectores de fuerza, momento de fuerza y vector de posición
en un sistema rotatorio
El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué
medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar
la rotación del cuerpo con respecto a un eje que pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es
una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión
(como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).
Unidades
El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza por unidades de
distancia. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad se denomina
newton metro o newton-metro, indistintamente. Su símbolo debe escribirse
como N m o N•m (nunca mN, que indicaría milinewton).
Si bien es dimensionalmente equivalente al julio, no se utiliza esta unidad para
medir momentos, ya que el julio es unidad de trabajo o energía, que son
conceptualmente diferentes a un momento de fuerza.
No obstante, la equivalencia dimensional de ambas magnitudes no es una
mera coincidencia. Un momento de 1 N•m aplicado a lo largo de una revolución
completa ( radianes) realiza un trabajo igual a julios, ya que
, donde
es el trabajo, es el momento y es el ángulo girado (en radianes). Es esta
relación la que podría motivar el nombre de “julios por radián” para la unidad de
momento, aunque no es correcto.
Cálculo de momentos en el plano
106
Momento igual a fuerza por su brazo
Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales, en los que todas
las fuerzas y demás magnitudes vectoriales son coplanarias, el cálculo de
momentos se simplifica notablemente. Eso se debe a que los momentos sería
perpendiculares al plano de coplanariedad y, por tanto, sumar momentos se
reduciría a sumar tan sólo sus componentes perpendicular al plano, que son
magnitudes escalares.
Si se considera una fuerza aplicada en un punto P del plano de trabajo y otro
punto O sobre el mismo plano, el módulo del momento en O viene dado por:
siendo el módulo de la fuerza, el brazo de momento, es decir, la distancia a
la que se encuentra el punto O (en el que tomamos momento) de la recta de
aplicación de la fuerza, y el suplementario del ángulo que forman los dos
vectores. El sentido de
se determina de acuerdo con la regla de la mano
derecha.
1. Dadas las fuerzas
donde todas sus componentes están expresadas en Newtons.
a. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
b. Determine el torque resultante de las tres fuerzas con respecto al origen O,
si se aplican en el punto
el torque resultante.
. Utilice la fuerza resultante para determinar
c. Determine la ecuación de la linea de acción de la fuerza resultante en las
condiciones del literal anterior.
d. Determine el torque resultante para cada fuerza con respecto al punto O
cuando cada una se aplica en el punto
e. Pruebe que el torque resultante es perpendicular a la fuerza resultante.
107
2. En la figura 125 se tiene que
. Calcule el torque de con respecto
al origen y determine la ecuación de la linea de acción de esta fuerza.
FIGURA 125.
3. Dos fuerzas paralelas y del mismo sentido, estan separadas por una
distancia de 0,5m. Si una de las fuerzas es de 15N y la linea de acción de la
resultante está a 0,17m de la otra fuerza, determine:
a. La magnitud de la fuerza resultante.
b. La magnitud de la otra fuerza.
4. Determine en la figura 126, la fuerza que debe ejercerse sobre la palanca en
el punto A, para mover la caja si esta tiene un peso de 1500N.
FIGURA 126.
5. Determine en la figura 127 la fuerza y el torque resultante, con respecto al
punto O, de tres fuerzas
y
de magnitudes iguales a 30N, 50N y 70N
respectivamente, si son mutuamente perpendiculares entre sí, en los siguientes
casos:
a. Si son concurrentes.
b. Si la linea de acción de la fuerza
concurrencia de
y
se encuentra a 1,5m del punto de
108
FIGURA 127.
6. Se aplica en el punto A como lo indica la figura 128 una fuerza
magnitud igual a 40 Kgf. Determine:
a. El momento de
de
con respecto a O.
b. La fuerza más pequeña que, aplicada en el punto B, produce el mismo
momento respecto a O.
c. La fuerza horizontal que aplicada en el punto C, produce el mismo momento
respecto de O.
FIGURA 128.
7. Una fuerza
de magnitud igual a 30N actua sobre la diagonal de la cara de
109
una caja rectangular como se indica en la figura 129. Determine el momento de
respecto al punto O.
FIGURA 129.
8. La línea de acción de una fuerza
de magnitud 600Kgf pasa por los dos
puntos A y B, como se indica en la figura 130. Determine el momento de
respecto al punto O empleando:
a. El vector de posición de A,
b. el vector de posición de B.
FIGURA 130.
9.La viga de la figura 131 es uniforme y mide 5m de largo con un peso de 90
Kgrf. La viga puede rotar alrededor del punto fijo B. La viga reposa en el punto
A. Un joven que pesa 60 Kgf camina a lo largo de la viga partiendo de A.
Cálcule la máxima distancia que el joven puede recorrer a partir de A
manteniendo el sistema en equilibrio. Represente la reacción en A como una
función de la distancia .
110
FIGURA 131.
10. Un puente de 100m de largo y 10000Kgf de peso se mantiene en pòsición
horizontal mediante dos columnas situadas en sus extremos. ¿Cuáles son las
reacciones sobre las columnas cuando hay tres carros sobre el puente a 20m,
60m y 80m de uno de sus extremos y cuyos pesos respectivos son 2000Kgf,
1100Kgf y 1200Kgf?.
11. La figura 132 muestra un sistema de fuerzas coplanarias donde
y
Determine
y
para que el sistema esté en
equilibrio.
FIGURA 132.
12. Se llama par al sistema formado por dos fuerzas y
, de la misma
magnitud, lineas de acción paralelas y sentido opuesto como se indica en la
figura 133 Demuestre que la suma de los momentos de estas fuerzas respecto
a cualquier punto es siempre igual, y que su magnitud es
111
FIGURA 133.
4.3.3. Momento de un Par, Pares equivalentes, Suma de pares.
4.3.3 MOMENTO DE UN PAR. PARES EQUIVALENTES. SUMA DE PARES
Momento de un par
Se dice que dos fuerzas F y –F que tienen la misma magnitud, líneas de acción
paralelas y sentidos opuestos forman un par (figura 4.16). Obviamente, la suma
de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero.
Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un
punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originan una traslación del
cuerpo sobre el que están actuando, estas si tenderán a hacerlo rotar.
Representando con r A y r B , respectivamente, a los vectores de posición de
los puntos de aplicación de F y –F (figura 4.17), se encuentra que la suma de
los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es; r A * F + r B * (-F) = (r A
–rB)*F
Definiendo r A – r B = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación
de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos de F y –F, con
respecto a O, esta representada por el vector; M = r * F
El vector M se conoce como el momento del par; se trata de un vector
perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud esta dada
por
112
M = rF sen ? = Fd
Donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y –F. El
sentido de M esta definido por la regla de la mano derecha.
Como el vector r en (M= r*F) es independiente de la elección del origen O de
los ejes coordenados, se observa que se obtendría el miemos resultado si los
momentos de F y –F se hubiera calculado con respecto a un punto O`. Por lo
tanto, el momento M de un par es un vector libre, que puede ser aplicado en
cualquier punto (figura 4.18)
A partir de la definición del momento de un par también se concluye que dos
pares, uno constituido por las fuerzas F 1 y –F 1 y el otro constituido por las
fuerzas F 2 y –F 2 (figura 4.19) tendrá momentos iguales si; F 1 d 1 = F 2 d 2
Y si los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano) y
tienen el mismo sentido
Figura 4.16
Figura
Figura 4.18
4.17
113
Figura 4.19
Suma de pares
Considérese dos planos P 1 y P 2 que se intersectan y dos pares que actúan,
respectivamente en P 1 y P 2 . Se puede suponer, sin perder la generalidad
que el par en P 1 consta de dos fuerzas F 1 y –F 1 perpendiculares a la línea
de intercepción de los dos planos y que actúan, respectivamente, en A y B
(figura 4.22ª). Similarmente, se supone que el par en P 2 consta de dos fuerzas
F 2 y –F 2 perpendicular a AB y que actúan, respectivamente, en A y B. Es
obvio que la resultante R de F 1 y F 2 y la resultante –R de –F 1 y –F 2 forman
un par. Representando por r al vector que une a B con A y recordando la
definición de par, el momento M del par resultante queda expresado como
sigue:
M= r * R = r * (F 1 + F 2 )
Y por el teorema de Varignon; M= r * F 1 + r * F 2
Pero el primer término en la expresión obtenida representa al momento M 1 del
par en P 1 y el segundo término representa al momento M 2 del par en P 2 .
Así se tiene
M= M 1 + M 2
Y se concluye que la suma de dos pares cuyos momentos son iguales a M 1 y
M 2 es un par de momento M igual a la suma vectorial de M 1 y M 2 (figura
4.22b)
Pares equivalentes
La figura (4.20) muestra tres pares que actúan sucesivamente sobre la misma
caja rectangular. Como se vio en la sección anterior, el único movimiento que
un par le puede impartir a un cuerpo rígido es una rotación. Como cada uno de
los tres pares mostrados tienen el mismo momento M (la misma dirección y la
misma magnitud M= 120 lb * in) se puede esperar que los tres pares tengan el
mismo efecto sobre la caja.
114
Por más razonable que parezca esta conclusión, no debe aceptarse de
inmediato. Aunque la intuición es una gran ayuda en el estudio de la mecánica,
no debe ser aceptada como un sustituto del razonamiento lógico. Antes de
establecer que dos sistemas (o grupos) de fuerzas tienen el mismo efecto
sobre un cuerpo rígido, este hecho debe demostrase con base en la evidencia
experimental que se ha presentado hasta este momento. Esta evidencia
consiste en la ley del paralelogramo para la suma de dos fuerzas y en el
principio de transmisibilidad. Por lo tanto, se establecerá que dos sistemas de
fuerzas son equivalentes ( esto es, que dichos sistemas tienen el mismo efecto
sobre un cuerpo rígido) si se puede transformar a uno de ellos en el otro por
medio de una o varias de las siguientes operación: 1) reemplazar dos fuerzas
que actúan sobre la misma partícula por su resultante, 2) descomponer a una
fuerza en dos componentes, 3) cancelar dos fuerzas iguales y opuestas que
actúan sobre la misma partícula, 4) unir a la misma partícula dos fuerzas
iguales y opuestas y 5) mover una fuerza a lo largo de la línea de acción. Cada
una de estas operaciones se justifica fácilmente con base en la ley del
paralelogramo o en el principio de transmisibilidad.
Ahora se procede a demostrar que dos pares que tienen el mismo momento M
son equivalentes. Primero se considera dos pares contenidos en el mismo
plano y se supone que dicho plano coincide con el plano de la figura (figura
4.21). El primer par esta constituido por las fuerzas F 1 y –F 1 de magnitud F 1
, las cuales están localizadas a una distancia d 1 entre si (figura 4.21ª) y el
segundo par esta constituido por las fuerzas F 2 y –F 2 de magnitud F 2 ,
localizadas a una distancia d 2 (figura 4.21d) entre si. Como los dos pares
tienen el mismo momento M, que es perpendicular al plano de la figura, ambos
pares deben tener el mismo sentido (el +cual se ha supuesto contrario al
movimiento de las manecillas del reloj) y la relación
F1d1=F2d2
Debe ser satisfecha. Para comprobar que los pares son equivalentes, se debe
demostrar que el primer par puede ser transformado en el segundo por medio
de las operaciones enumeradas en el párrafo anterior.
Figura 4.20
115
Figura 4.21
Suma de pares
Considérese dos planos P 1 y P 2 que se intersectan y dos pares que actúan,
respectivamente en P 1 y P 2 . Se puede suponer, sin perder la generalidad
que el par en P 1 consta de dos fuerzas F 1 y –F 1 perpendiculares a la línea
de intercepción de los dos planos y que actúan, respectivamente, en A y B
(figura 4.22ª). Similarmente, se supone que el par en P 2 consta de dos fuerzas
F 2 y –F 2 perpendicular a AB y que actúan, respectivamente, en A y B. Es
obvio que la resultante R de F 1 y F 2 y la resultante –R de –F 1 y –F 2 forman
un par. Representando por r al vector que une a B con A y recordando la
definición de par, el momento M del par resultante queda expresado como
sigue:
M= r * R = r * (F 1 + F 2 )
Y por el teorema de Varignon; M= r * F 1 + r * F 2
Pero el primer término en la expresión obtenida representa al momento M 1 del
par en P 1 y el segundo término representa al momento M 2 del par en P 2 .
Así se tiene
M= M 1 + M 2
Y se concluye que la suma de dos pares cuyos momentos son iguales a M 1 y
M 2 es un par de momento M igual a la suma vectorial de M 1 y M 2 (figura
4.22b)
116
Figura
4.22
a
Figura 4.22 b
Problema resuelto 4.6
Determine las componentes del par único que es equivalente a los dos
mostrados.
Solución:
Los cálculos se simplificaran si se fijan en A dos fuerzas de 20 lb iguales y
opuestas. Esto permitirá remplazar al par original de las fuerzas de 20 lb por
dos nuevos pares originados por fuerzas de 20 lb , uno de los cuales se
encuentra en el plano zx; el otro se encuentra en un plano paralelo al plano xy.
Los tres pares mostrados en el croquis adjunto pueden ser representados por
tres vectores de par M x , M y , y M z , dirigidos a lo largo de los ejes
coordenados. Los momentos correspondientes son
M x = - ( 30 lb )( 18 in ) = - 540 lb*in
M y = + ( 20 lb )( 12 in ) = + 240 lb*in
M z = + ( 20 lb )( 9 in ) = + 180 lb*in
Estos tres momentos representan las componentes del par único M,
equivalente a los pares dados. Así, se escribe
M = - (540 lb*in)i + (240 lb*in)j + (180 lb*in)k
117
Solución alternativa. Las componentes del par equivalente único M también
pueden ser determinadas calculando la suma de los momentos de las cuatro
fuerzas dadas con respecto a un punto arbitrario. Eligiendo al punto D, se
escribe
M = M D = ( 18 in )j * ( -30 lb )k + [( 9 in )j – ( 12 in )k] * ( -20 lb )i
y, después de calcular los diversos productos cruz, se tiene
M = - (540 lb*in)i + (240 lb*in)j + (180 lb*in)k
4.4 Reacciones en Apoyos y Conexiones.
Se considera al equilibrio de una estructura bidimensional, esto es, se supone
que la estructura que se esta analizando y las fuerzas aplicadas sobre la
misma están contenidas en el mismo plano. Mas claro, las reacciones
necesarias para mantener a la estructura en la misma posición, también
estarán contenidas en este mismo plano.
Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser
divididas en tres grupos que corresponden a tres tipos diferentes de apoyos
(puntos de apoyo) o conexiones:
Reacciones equivalentes a una fuerza cuya línea de acción es conocida. Los
apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen rodillos,
balancines, superficies sin fricción, eslabones y cables cortos, collarines sobre
barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas. Cada unos de estos
apoyos y conexiones pueden impedir movimiento solo en una dirección. Los
apoyos mencionadas anteriormente junto con las reacciones que producen se
muestran en la figura 4.23 cada una de estas reacciones involucran a una sola
incógnita, es decir, la magnitud de la reacción; dicha magnitud debe
representarse por una letra apropiada. La línea de acción de la reacción es
conocida y debe indicarse claramente en el diagrama de cuerpo libre. El
sentido de la reacción debe de como se muestra en la figura 4.23 para los
casos de una superficie sin fricción (hacia el cuerpo libre) o de un cable
(alejándose del cuerpo libre). La reacción puede ser dirigida en uno u otro
sentido en el caso de rodillos de doble carril, eslabones, collarines sobre barras
y pernos en ranuras. Generalmente, se supone que los rodillos de un carril y
los balancines son reversibles y por lo tanto, las reacciones correspondientes
también
pueden
estar
dirigidos
en
uno
u
otro
sentido.
Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas.
Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen
pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o bisagras y superficies
118
rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo rígido en todas las
direcciones pero no pueden impedir la rotación del mismo con respecto a la
conexión. La reacciones de este grupo involucran dos incógnitas que
usualmente se representan por las componentes x y y. En el caso de una
superficie rugosa, la componente perpendicular a la superficie debe dirigirse
alejándose
de
esta.
Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se originan
por apoyos fijos los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo libre y,
por lo tanto, lo restringen completamente. Los soportes fijos producen fuerzas
sobre toda la superficie de contacto; sin embargo, estas fuerzas forman un
sistema que se puede reducir a una fuerza y un par. Las reacciones de este
grupo involucran tres incógnitas, las cuales consisten en las dos componentes
de
la
fuerza
y
en
el
momento
del
par.
Cuando el sentido de una fuerza o un par desconocido no es evidente, no se
debe intentar determinarlo. En lugar de ello, se supondrá arbitrariamente el
sentido de la fuerza o el par; el signo de la respuesta obtenida indicara si la
suposición fue correcta o no.
Problema resuelto 4.7
Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg y se usa para levantar una caja de
2400 kg . La grúa se mantiene en su lugar por medio de un perno en A y un
balancín en B. El centro de gravedad de la grúa esta ubicado en G.
Determínese las componentes de las reacciones en A y B.
Solución:
Diagrama de cuerpo libre. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la grúa.
Multiplicando las masas de la grúa y de la caja por g = 9.81 m/s 2 se obtienen
sus respectivos pesos, esto es 9810 N o 9.81 kN y 23500 N o 23.5 k N. La
reacción en el perno A es una fuerza con dirección desconocida; esta se
representa por sus componentes A x y A y , la reacción en el balancín B es
perpendicular a su superficie; por lo tanto, dicha reacción es horizontal. Se
supone que A x , A y , y B actúan en las direcciones mostradas en la figura.
119
Determinación de B. Se expresa que la suma de los momentos de todas las
fuerzas externas con respecto del punto A es igual a cero. La ecuación que se
obtiene no contiene a A x ni a A y puesto que los momentos de A x y A y con
respecto de A son iguales a cero. Multiplicando la magnitud de cada fuerza por
su distancia perpendicular a partir de A, se escribe
+??M A = 0: +B( 1.5 m ) – (9.81 kN)( 2 m ) – (23.5 kN)( 6 m ) = 0
B = + 107.1 kN B = + 107.1 kN ?
Como el resultado es positivo, la reacción esta dirigida en la forma que se
supuso.
Determinación de A x . La magnitud de A x se determina expresando que la
suma de las componentes horizontales de todas las fuerzas externas es igual a
cero.
+ ? ?F x = 0: A x + B = 0
A x + 107.1 kN = 0
A x = -107.1 kN A x = 107.1 kN ?
Determinación de A y. La suma de las componentes verticales también debe
ser igual a cero.
+ ? ?F y = 0: A y – 9.81 kN – 23.5 kN = 0
A y = + 33.3 kN A y = 33.3 kN ?
Sumando vectorialmente las componentes A x y A y , se encuentra que la
reacción en A es 112.2 kN 17.3º
Comprobación. Los valores obtenidos para las reacciones se pueden
comprobar recordando que la suma de los momentos de todas las fuerzas
externas con respecto de cualquier punto debe ser igual a cero. Por ejemplo,
considerando al punto B, se escribe
+ ? ?M B = - (9.81 kN)( 2 m ) – (23.5 kN)( 6 m ) + (107.1 kN)( 1.5 m ) = 0
120
Figura 4.23
4.5 Equilibrio Cuerpos Rígidos.
Estática
121
1.-Calcular el peso P necesario
para mantener el equilibrio en
el sistema mostrado en la
figura. En el cual A pesa 100
kg, Q pesa 10 kg. El plano y
las poleas son lisas. La cuerda
AC es horizontal y la cuerda
AB es paralela al plano.
•
Calcular también la
reacción del plano sobre
el cuerpo A.
Solución
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo A son: el peso
100 kp, la reacción del plano inclinado N, la fuerza que
ejerce la cuerda horizontal que es igual al valor del
peso Q=10 kp, la fuerza que ejerce la cuerda paralela
al plano inclinado que es igual al peso P.
Se establece un sistema de referencia cuyos ejes son paralelo al plano
inclinado y perpendicular al mismo, respectivamente. Se sustituye las fuerzas
cuyas direcciones no coinciden con las de los ejes por la acción simultánea de
sus componentes rectangulares.
En el equilibrio la resultante de las fuerzas debe ser cero: la
fuerza resultante a lo largo del eje X debe ser cero, y la
fuerza resultante a lo largo del eje Y debe ser cero.
Tenemos así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
NyP
P=100 sen 30º+10 cos 30º
N+10 sen30º=100 cos30º
El resultado es
122
P=58.66 kp
N=81,60 kp
2.-Dos cilindros
macizos
y
homogéneos de
pesos 6 y 10 kg
se apoyan sin
rozamiento
sobre
los
planos
inclinados de la
figura. Calcular:
•
•
Solución
El ángulo
que
forma
con
la
horizonta
l la línea
que une
los
centros
de
los
dos
cilindros.
La
reacción
de
los
planos
inclinado
s
123
Equilibrio de la esfera de la izquierda
T sen+6=N cos15º
T cos=N sen15º
Equilibrio de la esfera de la derecha
T cos=N' sen30º
T sen+N' cos30º=10
T es la fuerza que ejerce una esfera sobre la otra, que tiene la dirección de la
recta que une los centros de las esferas. De acuerdo con la tercera ley de
Newton, la fuerza que ejerce la primera esfera sobre la segunda es igual y de
sentido contrario a la que ejerce la segunda sobre la primera.
Resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas obtenemos

º
N=11.32 kp
N'=5.86 kp
T=5.73 kp
Respuesta
El ángulo que forma con la horizontal la línea que une los centros de los dos
cilindros vale 59.3º
La reacción del plano inclinado izquierdo es N=11.32 kp
La reacción del plano inclinado derecho es N'=5.86 kp
T es la fuerza que ejerce una esfera sobre la otra, que tiene la dirección de la
recta que une los centros de las esferas. De acuerdo con la tercera ley de
Newton, la fuerza que ejerce la primera esfera sobre la segunda es igual y de
sentido contrario a la que ejerce la segunda sobre la primera.
124
3.-Una viga uniforme tiene 4 m de larga
y pesa 100 Kg. Un hombre de 75 kg
está situado a 1 m del apoyo A.
•
Calcula las reacciones en los
apoyos A y B.
Solución
Para que un sólido rígido esté en equilibrio se tienen que cumplir dos
condiciones
1. Que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido sea
cero.
2. Que la suma de los momentos de dichas fuerzas respecto de un punto
sea cero.
Signo de los momentos
Al aplicar la fuerza F sobre el extremo de la llave inglesa el momento
aplicado es el producto de la fuerza por su brazo Fd.
El tornillo avanza perpendicularmente al plano del dibujo y hacia fuera
(signo +).
Al aplicar la fuerza F sobre el extremo de la llave inglesa el momento
es el producto de la fuerza por su brazo Fd.
El tornillo avanza perpendicularmente al plano del dibujo y hacia
adentro
(signo -).
La resultante es nula
FA+FB=80+100
El momento respecto de A es nulo
FA*0 -80*1-100*2+FB*4=0
125
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es
FB=70 kp
FA=110 kp
4.-Una varilla de 6 kg
y 0.8 m de longitud
está apoyada sobre
un ángulo recto liso,
como se muestra en
la figura. Calcular :
•
•
El ángulo de
equilibrio que
forma la varilla
con
la
horizontal.
Las
reacciones en
los apoyos.
Solución
Para que un sólido rígido esté en equilibrio se tienen que cumplir dos
condiciones
1. Que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido sea
cero.
Una vez dibujadas las fuerzas sobre la barra se sustituyen las fuerzas F1
y F2 pos sus componentes rectangulares
2. Que la suma de los momentos de dichas fuerzas respecto de un punto
sea cero.
126
La resultante es cero
F1 cos60º+F2 sen30º=6
F1 sen60º=F2 sen30º
Momentos respecto del apoyo
izquierdo
-6*0.4*cos+F2*0.8*s e n(60-)=0
Para calcular el momento de las fuerzas F2 y
del
peso de la barra respecto del extremo
izquierdo
de la misma, hay que dibujar el brazo de
dichas
fuerzas, que se muestra en la figura de color
rojo.
El brazo de la fuerza F2 vale 0.8*sen(60-).
El brazo del peso de la barra vale 0.4*cos
De las dos primeras ecuaciones del equilibrio de la barra obtenemos F1 y F2.
F1=3 kp
Para hallar el ángulo en la tercera ecuación hay que aplicar la fórmula del seno
de una diferencia de dos ángulos
sen(a-b)=sena*cosb-senb*cosa
El resultado es =30º
127
5.-Una escalera, de masa 40 kg y 6 m
de longitud, está apoyada sobre una
pared lisa vertical y sobre un suelo
horizontal rugoso (=0.4). Ca lcula r:
•
•
La fuerza de rozamiento cuando
el un hombre de 80 kg ha subido
3 m a lo largo de la escalera.
La longitud máxima a lo largo de
la escalera a la que puede
ascender,
antes
de
que
comience a deslizar.
Solución
En este problema hemos de tener en cuenta que la fuerza de rozamiento que
actúa sobre un cuerpo apoyado en un plano es en general, una magnitud
desconocida. Solamente podemos expresarla mediante una fórmula cuando el
cuerpo está a punto de deslizar o está deslizando.
Cuando el cuerpo está a punto de deslizar, la fuerza de rozamiento vale
Fr=eN, donde N es la reacción del plano a lo largo del que desliza el cuerpo, y
e es el coeficiente estático de rozamiento.
La fuerza de rozamiento es una incógnita a despejar en el sistema de
ecuaciones
La resultante de las fuerzas es nula
N=40+80
F=Fr
La suma de los momentos respecto del extremo
inferior
de la escalera es cero.
-F*4.8+40*1.8+80*1.8+Fr*0+N*0=0
El resultado es
F=45 kp
128
Fr=45 kp
La fuerza de rozamiento viene dada por la fórmula Fr=eN.
La resultante de las fuerzas es nula
N=40+80
F=Fr
La suma de los momentos respecto del extremo
inferior
de la escalera es cero.
-F*4.8+40*1.8+80*x*0.6+Fr*0+N*0=0
El extremo inferior de la escalera está apunto de
deslizar
Fr=0.4*N
El resultado Fr=48 kp y x=3.3 m
Comparando el primer resultado con el segundo, vemos que en el primer caso
la escalera no desliza por que la fuerza horizontal que actúa sobre el extremo
inferior de la escalera y que impide que deslice vale 45 kp y es inferior al valor
máximo Fr=0.4*N =48 kp.
Podemos considerar el rozamiento como una cuerda imaginaria que sujeta el
extremo inferior de la escalera cuya tensión es desconocida, pero que se
rompe cuando alcanza la tensión máxima eN.
6.-Queremos arrastrar una silla a
velocidad constante sobre el suelo
horizontal, siendo el coeficiente
dinámico de rozamiento entre las patas
y el suelo 0.3. La silla pesa 25 kg.
•
¿Cuál es la fuerza horizontal F,
aplicada a 0.6 m de altura sobre
el
suelo,
necesaria
para
arrastrarla?. ¿Cuánto vale la
reacción del suelo sobre las
129
patas delanteras y traseras?.
•
¿A qué altura máxima se podrá
aplicar la fuerza de arrastre sin
que vuelque la silla?
Solución
Cuando el cuerpo está deslizando la fuerza de rozamiento se puede expresar
mediante una fórmula Fr=dN, donde d es el coeficiente dinámico de
rozamiento.
La resultante de las fuerzas es cero
N1+N2=25
F=Fr1+Fr2
Como la silla está deslizando
Fr1=0.3 N1
Fr2=0.3 N2
La suma de los momentos respecto al extremo inferior de la pata izquierda es
cero.
-F*0.6-25*0.3+N2*0.5=0
De las dos primeras ecuaciones despejamos N1=1 kp y N2=24 kp.
De ecuación de los momentos despejamos F=7.5 kp.
Cuando la silla va a volcar
Cuando la silla va a volcar, la pata izquierda ya no toca el suelo, por tanto N1=0
y Fr1=0.
130
La resultante de las fuerzas es cero
N2=25
F=Fr2
Como la silla está deslizando
Fr2=0.3 N2
La suma de los momentos respecto al extremo inferior de la pata derecha es
cero
-F*x+25*0.2=0
De las dos primeras ecuaciones obtenemos F=7.5 kp
De la ecuación de los momentos
7.-Una pluma de 4 m de la grúa de
la figura pesa 200 kg y está
sosteniendo una carga de 1000 kg.
Calcular:
•
La tensión del cable AB y las
componentes de la fuerza
sobre la articulación C.
Solución
Una articulación ejerce una fuerza cuyo módulo es desconocido y cuya
dirección también lo es. De forma equivalente, podemos decir que las
componentes rectangulares Fx y Fy de dicha fuerza son desconocidas.
Podemos ponerlas en principio con cualquier orientación, Fx hacia la izquierda
o hacia la derecha, Fy hacia arriba o hacia abajo. Ahora bien, la disposición de
las demás fuerzas nos sugiere en la mayor parte de los casos, el sentido
correcto de dichas componentes.
131
La resultante de las fuerzas es cero
Fy=T sen30º+200+1000
Fx=T cos 30º
La suma de los momentos respecto de la
articulación es cero
-200*2*cos60º-1000*4*cos60º+ T*4*sen30º=0
De la última ecuación obtenemos T=1100 kp
De las dos primeras obtenemos
8.-Calcular el peso máximo del disco de la
figura, sabiendo que la tensión máxima que
puede soportar la cuerda es de 15 kg.
•
•
Solución
Calcular también la reacción en la
articulación A
Datos: peso de la barra 6 kg, longitud 40
cm; radio del disco 20 cm.
132
Ecuaciones de equilibrio de la
barra
Fy+15 sen30º=6+F cos30º
Fx+F sen30º=15 sen30º
Momentos respecto de la
articulación
-6*0.2*cos30º-F*x+15*0.4=0
Equilibrio del disco
F cos 30º=P
F sen30º=N
El brazo de la fuerza F que ejerce la esfera sobre la barra es
De las ecuaciones del equilibrio de la barra hallamos las fuerzas que ejerce la
articulación, Fx=0.34 kp, Fy=5.41 kp., y la fuerza que ejerce el disco sobre la
barra F=14.32 kp.
De las ecuaciones de equilibrio del
133
9.-En
el
problema
esquematizado
en
la
figura, la barra tiene una
longitud de 5 m y pesa 20
kg, el cilindro tiene un
peso de 30 kg y un radio
de 0.5 m. Suponer que no
hay rozamiento entre la
barra y el cilindro, y que el
coeficiente est tico de
rozamiento
entre
el
extremo derecho de la
barra y el plano horizontal
es 0.3. La esfera está
sujeta, a su vez, por una
cuerda de 1.3 m de
longitud.
•
•
Solución
Calcular la fuerza
de rozamiento y la
tensión
de
la
cuerda cuando el
ángulo entre la
barra y el plano
horizontal es de
15º.
¿Deslizará o no la
barra?, razonar la
respuesta.
134
Ecuaciones de equilibrio de la barra
Fy+15 sen30º=6+F cos30º
Fx+F sen30º=15 sen30º
Momentos respecto de la
articulación
-6*0.2*cos30º-F*x+15*0.4=0
Equilibrio del disco
F cos 30º=P
F sen30º=N
El brazo de la fuerza F que ejerce la esfera sobre la barra es
De las ecuaciones del equilibrio de la barra hallamos las fuerzas que ejerce la
articulación, Fx=0.34 kp, Fy=5.41 kp., y la fuerza que ejerce el disco sobre la
barra F=14.32 kp.
De las ecuaciones de equilibrio del
135
10.-Una barra OA de 30
kg de peso y 2 m de
longitud, articulada en O,
se apoya sobre una caja
rectangular de 10 kg de
peso y de dimensiones
0.75 y 0.5 m. La caja
puede deslizar sobre el
plano
horizontal.
Sabiendo que el ángulo
entre la barra y el plano
horizontal es de 30º,
calcular:
•
•
•
La fuerza sobre la
articulación O
La
fuerza
que
ejerce
plano
horizontal sobre la
caja y su punto de
aplicación.
¿Deslizará o no la
caja?. Razona la
respuesta.
Dato:
el
coeficiente
estático de rozamiento
entre la caja y el plano
horizontal vale 0.5
Solución
En este problema hemos de tener en cuenta que la fuerza de rozamiento que
actúa sobre un cuerpo apoyado en un plano es en general, una magnitud
desconocida. Solamente podemos expresarla mediante una fórmula cuando el
cuerpo está a punto de deslizar o está deslizando.
Cuando el cuerpo está a punto de deslizar, la fuerza de rozamiento tiene el
valor máximo Fr=µeN, donde N es la reacción del plano a lo largo del que
desliza el cuerpo, y µe es el coeficiente estático de rozamiento.
Equilibrio de la barra
136
La resultante de las fuerzas es cero
Fy+N cos30º=30
Fx=N sen30º
La suma de los momentos de las
fuerzas respecto de la articulación es
cero
-30*1*cos30º+N*1.5=0
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene
,Fy=15 kp y
Equilibrio de la caja
La resultante de las fuerzas es cero
10+N cos30=R
N sen30=Fr
La suma de los momentos de las
fuerzas respecto de la esquina
izquierda de la caja es cero
-N*0.75*sen30-10*0.25+R*x=0
De las dos primeras ecuaciones se despeja
y R=25 kp.
De la ecuación de los momentos se despeja x=0. 36 m
El valor máximo de la fuerza de rozamiento es 0.7*R=17.5 kp
El valor actual de la
137
11.-Dos escaleras CA y
DA de 40 kg y 30 kg,
respectivamente,
se
apoyan sobre un suelo
liso y se articulan en el
vértice A, están sujetas
por una cuerda paralela al
suelo situada a 0.9 m del
mismo. Las escaleras
forman entre sí un ángulo
recto. Calcular:
•
•
•
Las reacciones en
los apoyos C y B.
La tensión de la
cuerda.
Las componentes
horizontal y vertical
de la fuerza que
una escalera ejerce
sobre la otra a
través
de
la
articulación A.
Solución
Tenemos una articulación común A para las dos escaleras. De acuerdo con la
tercera ley de Newton la fuerza que ejerce la escalera izquierda sobre la
escalera derecha debe ser igual y de sentido contrario a la que ejerce la
escalera derecha sobre la izquierda a través de la articulación común.
Equilibrio de la escalera izquierda
138
La resultante de las fuerzas es cero
Fy+NC=40
Fx=T
La suma de los momentos de las
fuerzas respecto el punto A es cero
-NC*6*cos1+40*3*cos1+
T*(6*sen1-0.9)=0
Equilibrio de la escalera derecha
La resultante de las fuerzas es cero
Fy+30=NB
Fx=T
La suma de los momentos de las
fuerzas respecto el punto A es cero
NB*4.5*cos2-30*2.25*cos2+
T*(4.5*sen1-0.9)=0
Geometría de la escalera de tijera
Los ángulos θ1 y θ2 se obtienen a
partir de la figura
La hipotenusa CB vale 7.5
cosθ1=0.8, senθ1=0.6
cosθ2=0.6, senθ2=0.8
por ser θ1 y θ2 ángulos
complementarios
139
Tenemos un sistema de 5 ecuaciones con cinco incógnitas (una de las
ecuaciones se repite). La solución del sistema es
NC=32.6 kp, y NB=37.4 kp
T=22.4 kp
Fx=22.4 kp y Fy=7.4 kp.
BIBLIOGRAFIA
•
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Oxford University Press..
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español). Monytex.
Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª (en español).
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Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2
volúmenes) (en español). Barcelona: Ed. Reverté.
W. F. Riley y L. D. Sturges, Ingeniería Mecánica: Estática (Reverté,
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