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PAEU Solución Ondas hasta septiembre 2011
Junio 2010 Ejercicio A2. Modalidad
a) ¿Cuándo coincide el sentido de la velocidad y de la aceleración en un movimiento vibratorio
armónico simple? (1 punto)
b) Un móvil describe un movimiento vibratorio armónico simple. ¿A qué distancia de su posición de
equilibrio se igualan sus energías potencial y cinética? (1 punto)
La aceleración del movimiento siempre va dirigida hacia la posición equilibrio, fuerza central. Por tanto el
sentido de la velocidad y de la aceleración coincide cuando el móvil se dirige desde los extremos de la
vibración hacia la posición central del movimiento.
Si los valores de la energía potencial y cinética son iguales, entonces la energía potencial es igual a la mitad
de la energía mecánica.
Ep
E 1
; ·K x2
2 2
1
K ·A2
2
2
x2
A2
2
A
Despejando, la elongación en la posición en la que se igualan las energías es: x
2
2
A
2
Junio 2010 Ejercicio B2 Específico
Considere un sistema formado por dos muelles, de constantes elásticas k1 = 20 N/m y k2 =15 N/m , y un
bloque. En la figura de la izquierda se muestra su posición de equilibrio x = 0. En la figura de la
derecha, el bloque se ha desplazado una distancia x = 30cm con respecto a dicha posición de equilibrio.
a) Determine la fuerza total ejercida por los dos muelles sobre el bloque. (1 punto)
b) Calcule la energía potencial del sistema. (1 punto)
Las dos fuerzas tienen la misma dirección y sentido, la de oponerse a
su deformación. Aplicando la ley de Hooke:
F = F1 + F2 = k1 · x + k2 · x = (20 N/m + 15 N/m) · 0,3 m = 10,5 N
La energía potencial elástica es igual a la suma de las energías
potenciales elásticas almacenadas por cada muelle.
Ep = ½ · k1 · x2 + ½ · k2 · x2 = ½ · (20 N/m + 15 N/m) · (0,3 m)2 = 1,575 J

F2

F1
2
PAEU Solución Ondas hasta septiembre 2011
Septiembre 2010 Ejercicio B2 Modalidad
Un bloque de masa m está suspendido del extremo inferior de un resorte vertical de masa despreciable.
Partiendo de su posición de equilibrio se desplaza hacia abajo una distancia d A y se suelta, con lo que
oscila verticalmente y alcanza una distancia dB por encima de la posición de equilibrio.
a) Calcule la energía total del sistema cuando el bloque se encuentra en el punto más alto y en el más
bajo de su oscilación.
b) Mediante consideraciones energéticas, analice si dB es mayor, igual o menor que dA.
Sobre el objeto en la posición de equilibrio con masa actúan su peso
y la fuerza elástica del muelle. El objeto se desplaza una cantidad y 0
respecto a la posición de equilibrio sin masa. Aplicando la ley de
Hooke, en módulo:
F
K · y0
y0
m·g
K
Cuando el objeto de desplaza una cantidad y’ = y - y0 de la posición
de equilibrio con masa hay una fuerza sin equilibrar cuyo módulo es:
Felástica = K · y’ y el objeto oscila en torno a esta posición de
equilibrio con una frecuencia angular
posición
de equilibrio
sin masa
posición
de equilibrio
con masa
O
y0

Felastica
m

P
y
y’ = y - y0

m• g
el objeto oscila
m
K
m
Se elige como origen de un sistema de referencia la posición O del muelle sin deformar, sin masa.
En el punto de equilibrio con masa y = y0 la energía potencial gravitatoria es: -m · g · y0.
En ese punto la energía potencial elástica del sistema masa-muelle es: ½ · K · y02.
Si ahora se elige como sistema de referencia para la energía potencial gravitatoria y energía potencial elástica
la posición de equilibrio del muelle con masa, es decir en: y’ = y - y0 = 0.
Las energías potenciales elástica y gravitatoria en la posición general y del objeto son:
Ep elástica = ½ K · y2 - ½ · K · y02; Ep gravitatoria = - m · g · y + m · g · y0 = - m · g · y’
La energía potencial total del sistema es:
Epotencial = Ep elástica + Ep gravitatoria = ½ K · y2 - ½ · K · y02 - m · g · y’ = ½ K · (y’ + y0)2 - ½ · K · y02 - m · g · y’
Operando: Epotencial = ½ K·y’2 + K·y’·y0 + ½·K· y02 - ½ · K · y02 - m · g · y’ = ½ K · y’2 + K · y’ · y0 - m · g · y’
Como K · y0 = m · g, resulta que: K · y’ · y0 = m · g · y’ y por tanto:
Epotencial = Ep elástica + Ep gravitatoria = ½ K · y’2
Por lo que si se mide el desplazamiento desde la posición de equilibrio con masa se puede olvidar de la
influencia de la gravedad.
a) y b) Las distancias dA= dB y la energía del sistema es la misma:
Epotencial = Ep elástica + Ep gravitatoria = ½ K · dA2 = ½·K·dB2
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PAEU Solución Ondas hasta septiembre 2011
Junio 2011 Ejercicio A2
Una pequeña plataforma horizontal sufre un movimiento armónico simple en sentido vertical, de 3 cm
de amplitud y cuya frecuencia aumenta progresivamente. Sobre ella reposa un pequeño objeto.
a) ¿Para qué frecuencia dejará el objeto de estar en contacto con la plataforma? (1 punto)
b) ¿Cuál será la velocidad de la plataforma en ese instante? (1 punto)
a) El objeto dejará de estar en contacto con la plataforma cuando la aceleración con la que descienda la
plataforma sea mayor que la aceleración de la gravedad que es valor máximo con que puede caer el objeto.
El valor máximo de la aceleración se adquiere en el extremo superior del recorrido de la plataforma.
amáxima = A · ω2 = g; A · (2 · π · f)2 = g ⇒ f
1
2·
g
A
9,8 m / s 2
0,03 m
1
2·
2,88 Hz
b) La plataforma está en el extremo superior del recorrido y su velocidad es igual a cero.
Septiembre 2011 Ejercicio A2
En el caso de un movimiento armónico simple,
a) cuando la elongación es la mitad de la amplitud, ¿qué fracción de la energía total corresponde a la
energía potencial?
b) ¿Para qué elongación se igualan las energías potencial y cinética?
a) Las expresiones de la energía total y energía potencial de un movimiento armónico simple son:
ET = ½ · K · A2; Ep = ½ · K · x2
Cuando x = A/2, resulta que:
Ep
ET
1
K·x2
2
1
K ·A2
2
1
A
K·
2
2
2
1 A2
K
2
4 EP
ET
1 A2
K
2
4
1
K ·A2
2
1
4
Ep
1
ET
4
b) Si los valores de la energía potencial y cinética son iguales, entonces la energía potencial es igual a la
mitad de la energía mecánica.
Ep
E 1
; ·K x2
2 2
1
K ·A2
2
2
x2
A2
2
Despejando, la elongación en la posición en la que se igualan las energías es: x
A
2
2
A
2
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PAEU Solución Ondas hasta septiembre 2011
Septiembre 2011 Ejercicio B2
Una partícula realiza un movimiento armónico simple a lo largo de un
segmento recto AB de 20 cm de longitud, con un periodo de 4 s. Si en el
instante inicial (t = 0 s) se encuentra en el extremo A, determine:
a) la ecuación del movimiento;
b) la velocidad y aceleración al pasar por el punto medio entre A y la
posición de equilibrio O.
La amplitud del movimiento es igual a la mitad del segmento recorrido: A = 10 cm y la frecuencia angular
es:
2·
T
2·
4s
2
rad / s
La ecuación general del movimiento es: x (t) = A · sen (ω · t + φ0)
En el instante inicial la posición es x (t = 0) = - 10 cm.
Sustituyendo en el instante inicial:
-10 cm = 10 cm · sen (ω · 0 + φ0); - 1 = sen φ0 ⇒ φ0 =
La ecuación del movimiento es: x(t ) 10 cm · sen
2
t
3·
2
3·
2
rad
b) Hay que expresar la velocidad y la aceleración en función de la posición:
x = x (t) = A · sen (ω · t + φ0)
v (t) = A · ω · cos (ω · t + φ0) =
v
· (A 2 x 2 )
2
A · · 1 sen 2 ( · t
rad / s · ((10 cm) 2
( 5 cm) 2
0)
· (A 2 A 2 ·sen 2 ( · t
0)
13,6 cm / s
El doble signo aparece porque la partícula puede pasar por ese punto siguiendo sentidos opuestos.
La expresión de la aceleración en función de la posición es:
a (t) = - ω2 · x = - (π/2)2 · (- 5 cm) = 12,3 m/s2 con signo positivo porque la aceleración siempre va dirigida
hacia el centro de la trayectoria.