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PAU Movimiento Vibratorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
PAU CyL S1995 ley Hooke amplitud y frecuencia
Colgado de un soporte hay un resorte de constante K = 40 N/m del que cuelga una masa de 1
kg. En estas circunstancias y en equilibrio, la masa dista 1 m del soporte.
a) )Cuál es la longitud del resorte cuando no suspende ninguna masa?
Ahora se incrementa la masa con otra de 0,5 kg. Partiendo del punto anterior, se libera el
sistema. b) )Cuál es la amplitud de la oscilación? c) )Cuál es la frecuencia de la oscilación?
a) La deformación del resorte se determina aplicando la ley de Hooke:
F=K y m g=K y
Despejando: y =
m · g 1kg · 9,8 m/ s2
=
= 0,245 m
K
40 N/m
y
La longitud del resorte cuando no se suspende ningún cuerpo es:
longitud = 1 m - 0,245 m = 0,755 m
b) Hay que determinar el alargamiento del resorte cuando se cuelga la masa de 1 kg + 0,5 kg.
Aplicando la ley de Hooke: F = K y m g = K y
Despejando: y =
m · g 1,5 kg · 9,8 m/ s2
=
= 0,3675 m
K
40 N/m
Esta cantidad es la posición de equilibrio al colgar la masa de 1,5 kg. Por tanto la amplitud de la
oscilación es la distancia entre la posición del muelle descargado y la nueva posición de equilibrio.
A = 0,3675 m
c) La frecuencia es:
K =m· 2
=2 f
f=
1
2
K
1
=
m 2
40 N/m
= 0,82 Hz
1,5 kg
PAU CyL J2003 Dado T y A posición en un instante
Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1 s
en llegar al centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es de 20 cm, calcule:
a) El período del movimiento y la pulsación.
b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento.
La distancia entre el extremo y el centro de la trayectoria es igual a la amplitud del movimiento y el
tiempo que tarda en recorrer esa distancia es la cuarta parte del período, por tanto:
A = 20 cm; T = 4 · 0,1 s = 0,4 s
La pulsación del movimiento es: ω = 2 · π · f =
2·
T
2· π rad
0,4 s
5 · π rad/s
La ecuación general de la posición en un movimiento vibratorio armónico simple es:
y (t) = A · cos (ω · t + φ0)
La diferencia de fase se calcula aplicando las condiciones iniciales del ejercicio, inicialmente su
posición es el extremo de su trayectoria que supongamos es el positivo.
y (t = 0) = A = A · cos (ω · 0 + φ0); cos φ0 = 1 φ0 = 0 rad
La ecuación del movimiento es: y (t) = 20 cm · cos (5 · π rad/s · t )
Y en el instante pedido resulta que: y (t = 1 s) = 20 cm · cos (5 · π rad/s · 1 s) = - 20 cm
La partícula está en el otro extremo de la trayectoria.
En efecto la relación entre el tiempo transcurrido y el período es: t 1s
1s
T
0,4 s
2,5 T
Han transcurrido dos períodos y medio, por lo que la partícula está en oposición de fase con el instante
inicial, en el otro extremo de la trayectoria.
PAU Movimiento Vibratorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
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PAU CyL S2004 Posición, velocidad y aceleración en un instante
Una partícula describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Si alcanza su
velocidad máxima, de 5 m · s-1, en el instante inicial,
a) ¿Cuál será la aceleración máxima de la partícula?
b) ¿Cuáles serán la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t = 1 s?
La amplitud es: A = 20 cm
Las expresiones generales de la elongación, velocidad y aceleración de la partícula son:
y = A sen (ω t +
o);
v=
dy
= A ω cos (ω t +
dt
o);
a=
dv
= - A · ω2 · sen (ω · t + φ0)
dt
Como en el instante inicial la velocidad es máxima, se tiene que la fase inicial es:
cos (ω 0 + 0) = 1
0 = 0 rad
Del valor de la máxima velocidad se deducen el resto de las constantes del movimiento.
vmáxima = A ω = 5 m/s
=
5 m/s
rad
v max
=
= 25
A
0,2 m/rad
s
Las expresiones de la elongación, velocidad y aceleración y sus valores en el instante t = 1 s son:
y = A sen (ω t + o) = 20 cm sen (25 rad/s t) yt = 1s = 20 cm sen (25 rad/ s · 1 s) = - 2,65 cm
dy
= 020 cm · 25 s-1 cos (25 rad/s t) vt = 1s = 500 cm/s · cos (25 rad/ s · 1 s) = 495,6 cm/s
dt
dv
a=
= - 500 cm/s · 25 s-1 sen (25 rad/s t) at = 1 s = - 1,25 · 104 cm/s sen (25 rad/s · 1 s) =
dt
v=
= - 1,656 · 103 cm/s2
Y cuyo valor máximo es: amáxima = 1,25 · 104 cm/s2
PAU CyL J2005 Ecuación general dada amáxima y dadas dos velocidades en dos posiciones
Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escriba la ecuación de dicho
movimiento en unidades del S.I. en los siguientes casos:
a) su aceleración máxima es igual a 5π2 cm/s2, el periodo de las oscilaciones es 2 s y la
elongación del punto al iniciarse el movimiento era 2,5 cm (1,5 puntos).
b) su velocidad es 3 cm/s cuando la elongación es 2,4 cm y la velocidad es 2 cm/s cuando su
elongación es 2,8 cm. La elongación al iniciarse el movimiento era nula (1,5 puntos).
a) La expresión general de un movimiento vibratorio armónico simple es: xt = A · sen (ω· t + φ0)
2·
T
La frecuencia angular es:
2·
2s
s
1
La amplitud del movimiento se deduce de la expresión de la aceleración máxima:
amáxima = A · ω2
A
amáxima
2
5·
2
cm / s 2
2
s
1
5 cm
La fase inicial se calcula sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuación general:
xx=0 = 5 cm · sen (ω · 0 s + φ0) = 2,5 cm; sen φ0 = 0,5
φ0 = π/6 rad
La expresión pedida es: : xt = 5 cm · sen (π s-1 · t + π/6 rad)
b) Para resolver esta cuestión hay que expresar la velocidad en función de la posición. En ausencia
de rozamiento la energía mecánica del oscilador se conserva, por lo que para cualquier posición se
tiene:
2 K A2 = 2 m v2 + 2 K x2
Como K = m ω2, se obtiene la expresión: v2 = ω2 (A2 – x2)
PAU Movimiento Vibratorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
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Sustituyendo los valores del ejercicio, resulta que:
(3 cm/s) 2
2
·
2
cm
2
(2 cm/s) 2
2
·
2
8 cm
2
A 2 5,76 cm2
9
4
A 2 7,84 cm2
Operando: 9 · A2 – 70,56 cm2 = 4 · A2 – 23,04 cm2 ; 5 · A2 = 47,52 cm2
A = 3,08 cm
Sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema, resulta que la frecuencia angular es:
(3 cm/s)2 = ω2 [(3,08 cm)2 – (2,4 cm)2]
ω = 1,55 rad/s
Eligiendo la función seno para describir el movimiento, en el instante inicial la fase es igual a 0 rad,
la expresión del movimiento es:
xt = A · sen (ω · t + φ0) = 3,08 cm · sen (1,55 rad/s · t)
PAU CyL J2005 Relaciones Ec y Ep en instantes y posiciones
Un punto realiza un movimiento vibratorio armónico simple de periodo T y amplitud A,
siendo nula su elongación en el instante inicial. Calcule el cociente entre sus energías cinética y
potencial:
a) en los instantes de tiempo t = T/12, t = T/8 y t = T/6 (1 punto).
b) cuando su elongación es x = A/4, x = A/2 y x = A (1 punto).
a) Hay que encontrar una relación que ligue las expresiones de las energías en función del tiempo.
La expresión general de la elongación del movimiento es: xt = A · sen (ω · t + φ0)
En el instante inicial: xt=0 = A · sen (ω · 0 + φ0) = 0 φ0 = 0
Como K = m · ω2, las expresiones generales de la velocidad, energía potencial y energía cinética
son:
xt = A · sen (ω · t); Ep = ½ · K · x2 = ½ · m · ω2 · A2 · sen2 (ω · t)
vt =
dv
= A · ω · cos (ω · t); Ec = ½ · m · v2 = ½ · m · A2 · ω2 · cos 2 (ω · t)
dt
Dividiendo término a término se tiene la relación entre las energías en función del tiempo:
Ep
Ec
sen2 ( · t)
2
cos ( ·t)
tan2 ( · t)
Como: ω = 2 · π · f =
Para t = T/12
Para t = T/8
Para t = T/6
Ec
Ep
Ec
Ep
Ec
Ep
Ec
Ep
1
2
tan ( · t)
2·
E
, resulta que: c
Ep
T
tan2
tan2
tan2
1
2· T
T 12
1
2· T
T 8
1
2· T
T 6
1
2·
tan2
t
T
1
tan2
6
1
tan2
1
4
1
tan2
3
1
3
3
b) Ahora hay que encontrar una relación que ligue las expresiones de las energías en función de la
posición. La energía total de un oscilador armónico es: ET = ½ · K · A2, por lo que las expresiones
generales de las energías potencial y cinética son:
Ep = ½ · K · x2; Ec = ET – Ep = ½ · K · A2 – ½ · K · x2 = ½ · K · (A2 – x2)
PAU Movimiento Vibratorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
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Dividiendo término a término se tiene la relación entre las energías en función de la elongación:
Ec
Ep
A2 x 2
A2
x2
x2
Si x = A/4
1
A2
Ec
Ep
A
4
2
1 15 ;
Ec
Ep
Si x = A/2
A2
A
2
2
1 3
Si x = A
Toda la energía está en forma de energía potencial, la elongación es máxima y la
velocidad es igual a cero.
PAU CyL J2005 Relación f, K y longitud
De dos resortes con la misma constante elástica k se cuelgan sendos cuerpos con la misma
masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud que el otro ¿El cuerpo vibrará con la
misma frecuencia? Razone su respuesta (2 puntos).
El período con el que vibra un resorte T 2 ·
m
k
no depende de su longitud, por tanto su
frecuencia tampoco. Los dos objetos vibran con la misma frecuencia.
PAU CyL S2005 Resorte relaciones Ecinética y Epotencial con elongaciones
Una masa de 1 kg oscila unida a un resorte de constante k = 5 N/m, con un movimiento
armónico simple de amplitud 10-2 m.
a) Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, calcule qué fracción de la energía
mecánica es cinética y qué fracción es potencial. (1,5 puntos).
b) ¿Cuánto vale la elongación en el punto en el cual la mitad de la energía mecánica es
cinética y la otra mitad potencial? (1, 5 puntos).
La energía mecánica de un oscilador armónico es igual a la suma de su energía potencial elástica,
asociada a la posición x, y de su energía cinética, asociada a su velocidad v.
Las expresiones de estas energías son: E p = ½ · K · x2; Ec = ½ · m · v2
Cuando la partícula pasa por los extremos de la vibración toda la energía es de tipo potencial (v = 0)
y cuando pasa por el centro toda la energía es de tipo cinética (x = 0). Por lo que la energía total de
la partícula se puede escribir:
ET = ½ · K · A2 = ½ · m · v2máxima
a) Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, x = A/2, se tiene que:
Ep
1
K ·x 2
2
1
A
K
2
2
2
1 A2
K
2 4
ET
4
La energía potencial es un cuarto de la energía total.
El resto corresponde a la energía cinética: E c =
3
ET
4
b) Si los valores de la energía potencial y cinética son iguales, entonces la energía potencial es igual
a la mitad de la energía mecánica.
Ep
E 1
; ·K x 2
2 2
1
K · A2
2
2
x2
A2
2
Despejando, la elongación en la posición en la que se igualan las energías es:
x
A
2
2
A
2
2
10
2
2
m
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PAU Movimiento Vibratorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
PAU CyL J2007 expresiones de energías en función del tiempo
Una partícula de masa m está animada de un movimiento armónico simple de amplitud A y
frecuencia f.
Deduzca las expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula en función del tiempo
(1 punto).
Deduzca la expresión de la energía mecánica de la partícula (1 punto).
a) Las expresiones generales de la posición y velocidad de la partícula son:
x = A · sen (ω · t); v = dx/dt = A · ω · cos (ω · t)
Las eexpresiones de las energies cinética y potencial en función del tiempo son:
Epotencial = ½ · K · x2 = ½ · K · A2 · sen2 (ω · t)
Ecinética = ½ · m · v2 = ½ · m · A2 · ω2 · cos2 (ω · t)
b) La energía mecánica es igual a la suma de las energías cinética y potencial elástica.
Emecánica = Epotencial + Ecinética = ½ · K · A2 · sen2 (ω · t) + ½ · m · A2 · ω2 · cos2 (ω · t)
Como: K = m · ω2, operando:
Emecánica = ½ · K · A2 [sen2 (ω · t) + cos2 (ω · t)] = ½ · K · A2
PAU CyL J2008 Muelle se igualan energías y v máxima
Un cuerpo de 1 kg de masa se encuentra sujeto a un muelle
horizontal de constante elástica k = 15 N/m. Se desplaza 2 cm
respecto a la posición de equilibrio y se libera, con lo que
comienza a moverse con un movimiento armónico simple.
a) ¿A qué distancia de la posición de equilibrio las energías
cinética y potencial son iguales? (2 puntos).
b) Calcule la máxima velocidad que alcanzará el cuerpo (1 punto).
a) Si el objeto se desplaza y se libera, la amplitud de la oscilación es A = 2 cm.
La energía total asociada a la partícula es: E = 2 K A2
Si los valores de las energías son iguales, entonces la energía potencial elástica es la mitad de la total:
E 1
; K · y2
Ep =
2 2
1
K · A2
2
2
2
A 0
2
y =
2
Despejando, la elongación para la que se igualan los dos tipos de energía es:
y
A
2
2
A
2
2
2 cm
2
2 cm
b) Aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica, la energía potencial elástica en un
extremo de la vibración es igual a la energía cinética del objeto en el centro del recorrido.
2 K A2 = 2 m v2máxima
vmáxima = A
K
= 0,02 m
m
15 N/m
= 7,7 ·10- 2 m/s
1 kg
0
PAU CyL S2008 tiempo para llegar a una posición y energía y desfase
Una partícula de 0,1 kg de masa, se mueve con un movimiento armónico simple y realiza un
desplazamiento máximo de 0,12 m. La partícula se mueve desde su máximo positivo hasta su
máximo negativo en 2,25 s. El movimiento empieza cuando el desplazamiento es x = +0,12 m. a)
Calcule el tiempo necesario para que la partícula llegue a x = -0,06 m (2 puntos). b) ¿Cuál será
la energía mecánica de dicha partícula? (1 punto).
PAU Movimiento Vibratorio Ejercicios resueltos 1994 - 2009
La ecuación general del movimiento es: x = A · sen (ω · t + φ0)
A = 0,12 m; T = 2 · 2,25 s = 4,45 s;
2·
T
2·
4,45 s
0,45 · rad / s
Como en t = 0 s resulta que x = 0,12 m, se tiene:
0,12 = 0,12 · sen (0,45 · π · 0 + φ0) φ0 = π/2 rad
Sustituyendo en la ecuación del movimiento cuando x = - 0,06 m, resulta que:
- 0,06 m = 0,12 · sen (0,45 · π · t + π/2); - 0,5 = sen (0,45 · π · t + π/2)
Operando: 7· π/6 = 0,45 π · t + π/2
t = 1,48 s
Y la energía mecánica es:
E = ½ · K · A2 = ½ · m · ω2 · A2 = ½ · 0,1 kg · (0,45 · π rad/s)2 · (0,12 m)2 = 1,44 · 10-3 J
PAU CyL S2009 gráficas de energía en función de posición y del tiempo
Una partícula de masa m describe un M.A.S. de ecuación: x(t) = Asen(ω t +Ф ).
a) Determine y represente en un diagrama cómo varían las energías cinética, potencial y
mecánica para dicha partícula en función de su posición x (1 punto).
b) Determine y represente en un diagrama cómo varían las energías cinética, potencial y
mecánica para dicha partícula en función del tiempo t (1 punto).
a) La energía mecánica de una partícula con M.A.S. es
una cantidad constante.
Em = Ec + Ep = ½ · K · A2 = ½ · m · v2máxima
La energía potencial elástica es máxima en los extremos
de la oscilación e igual a cero en el centro.
Ep = ½ · K · x2
La energía cinética es máxima en el centro de la
vibración e igual a cero en los extremos.
Ec = Em - Ep = ½ · K · A2 - ½ · K · x2 = ½ · K (A2 - x2)
b) La energía mecánica de una partícula con M.A.S. es
una cantidad constante.
Em = Ec + Ep = ½ · K · A2 = ½ · m · v2máxima = ½ · m · A2
· ω2
Si la posición de una partícula en función del tiempo es:
x (t) = A · sen (ω · t + Ф) , entonces la velocidad de la
partícula es: v (t) =
dx ( t)
=
dt
A · ω · cos (ω · t + Ф) y las
energías potencial y cinética asociadas a la partículas
son:
Ep = ½ · K · x2 = ½ · K · A2 · sen (ω · t + Ф)
Ec = ½ · m · v2 = ½ · m · A2 · ω2 · cos2 (ω · t + Ф) =
= ½ · K · A2 · cos2 (ω · t + Ф)
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