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EXAMEN EXTRAORDINARIO DE FÍSICA II. CUESTIONES 10/07/2013 1 . - a) ¿Qué se entiende por trabajo de una fuerza? b) ¿Por qué el trabajo de la fuerza de reacción normal (entre dos cuerpos en contacto) es siempre nulo? c) Deducir el teorema del “trabajo- energía cinética”. a) Sea una fuerza F(r) que actúa sobre una partícula y sea dr un desplazamiento infinitesimal de la misma. Llamamos trabajo elemental de la fuerza F correspondiente al desplazamiento dr al producto escalar de ambos vectores: dW=F · dr=Fxdx+Fydy+Fzdz Para calcular el trabajo total a lo largo de una cierta trayectoria entre dos puntos A y B tendremos: W(A → B) = ∫AB F ⋅ dr = ∫AB Ftds siendo Ft la componente tangencial del trabajo. b) Notemos que: dW=F · dr=Fdscosθ=Ftds siendo |dr|=ds. Así, si la fuerza F es perpendicular al desplazamiento dr el trabajo es nulo, que es lo que sucede con la normal, que es perpendicular por definición siempre al desplazamiento. c) Como hemos dicho en el apartado a): W(A → B) = ∫AB F ⋅ dr Aplicando la segunda ley de Newton (F=ma): W(A → B) = ∫AB F ⋅ dr = ∫AB ma ⋅ dr = ∫AB m dv dr ⋅ dr = ∫AB mdv ⋅ = dt dt ( ) B 1 1 = m∫AB dv ⋅ v = m∫AB v ⋅ dv = m∫AB d v2 = mv2 = 2 2 A = Definimos la nueva cantidad EC = 1 1 mvB2 − mvA2 = EC(B) − EC(A) 2 2 1 mv2 como la energía cinética, que es la energía 2 que posee un cuerpo en razón de su movimiento. Tenemos entonces que: W(A → B) = EC(B) − EC(A) = ∆EC (A → B) ⇒ W(A→B)=∆EC Y así podemos enunciar el teorema del trabajo-energía cinética o de las fuerzas vivas: “el trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta su energía cinética”. 2. - En un choque entre dos partículas: a) ¿qué se entiende por fuerzas de deformación y de recuperación? b) ¿Qué se entiende por impulsos de deformación y recuperación y qué relación existe entre ambos? c) ¿Qué caracteriza un choque elástico? ¿Y uno inelástico? a) Consideremos un choque entre dos partículas (A y B), donde las partículas inicialmente (antes del choque) no están en contacto. En el momento de iniciarse el choque, ambas partículas entran en contacto. Durante un cierto intervalo, denominado período de deformación, las partículas A y B interaccionan, deformándose ambas (comprimiéndose). Debido a esa interacción, las partículas cambian de velocidad. Mientras haya interacción la velocidad sigue cambiando, de forma que las velocidades iniciales (VA y VB) se van modificando hasta que llegan a ser iguales (porque si siguen siendo diferentes, seguiría la interacción). Al final de este período las dos partículas tienen la misma velocidad y la deformación es máxima. Durante todo este período actúan unas fuerzas de interacción internas que llamamos fuerzas de deformación (D). Una vez que se han igualado las velocidades y la deformación de las partículas es máxima, comienza un período de tiempo llamado período de restauración, en el que va disminuyendo la deformación de las partículas, hasta que ambas partículas dejan de interactuar. Durante todo este periodo actúan fuerzas internas que llamamos fuerzas de restauración (R). Al final de este intervalo, cuando las partículas dejan finalmente de interactuar, han adquirido velocidades diferentes a las iniciales, v’A y v’B. b) El impulso, que en el caso de los choques también recibe el nombre de percusión, viene dado por la expresión: I = ∫ttf Fdt = ∆P i Así, podemos definir los impulsos de deformación y de percusión como: I = ∫ Ddt ⇒ impulso o percusión de deformación I' = ∫ Rdt ⇒ impulso o percusión de restauración Tal y como se refleja en la gráfica, habitualmente el impulso de deformación es mayor que el de restauración (I’≤I), ya que las fuerzas recuperadoras son menores o iguales que las deformadoras, de forma que escribiremos: I’=eI ⇒ e = I' I siendo e el llamado coeficiente de restitución del choque, que es el parámetro que nos relaciona los dos impulsos. Este coeficiente de restauración es una magnitud adimensional, función de muchos parámetros, comprendido entre cero y uno, y es una medida del grado de elasticidad (se debe medir experimentalmente). c) Un choque elástico se caracteriza porque el coeficiente de restitución es la unidad, es decir, las fuerzas recuperadoras son iguales a las de deformación: e=1 ⇒ I=I’ Esto mismo supone que no hay disipación de energía, por lo que se conserva la energía mecánica del sistema. Así, en un choque elástico se conservan la cantidad de movimiento y la energía mecánica. Un choque inelástico se caracteriza porque el coeficiente de restitución es nulo, es decir, las fuerzas recuperadoras son nulas y sólo existen fuerzas de deformación: e=0 ⇒ I’=0 En este caso sí que hay disipación de energía, por lo que no se conserva la energía mecánica del sistema. Así, en un choque inelástico sólo se conserva la cantidad de movimiento. 3. - Deducir la expresión del momento angular de un sólido rígido que gira respecto de un eje fijo (L=Iω), definiendo también la expresión del momento de inercia. como: El momento angular de una partícula (P), respecto de un cierto origen O, se define L=r x mv siendo r = OP. El momento angular de un sistema de partículas va a ser la suma, a todas las partículas, de los momentos angulares individuales. Veamos entonces cuál es el momento angular de un sólido rígido que gira respecto de un cierto eje fijo. Consideremos en principio una única partícula que gira en torno a un eje. Como sabemos, se puede definir una velocidad angular ω que describa este giro y tendremos: L=r x mv=r x m(ω x r) ⇒ L=mr2ω Por tanto vemos que el momento angular L tiene la dirección y sentido de la velocidad angular ω. Vamos a extender un poco este razonamiento y consideremos ahora una placa con espesor despreciable, en la que evaluaremos L. En este caso, para una partícula de masa mi, que se encontrara a una distancia ri del eje de giro y que se moviese con velocidad vi tendríamos: Li=ri x mivi=ri x mi(ω x ri) ⇒ Li=miri2ω Sumando para todas las partículas: N N N L = ∑ Li = ∑ miri2ω = ∑ miri2 ω = Iω i =1 i =1 i=1 donde hemos tenido en cuenta que la velocidad angular ω es la misma para todas las partículas. Se define así una nueva magnitud física, el momento de inercia I con respecto a un cierto eje de rotación: N I = ∑ miri2 i =1 Por la definición de momento de inercia podemos decir que es una magnitud escalar que depende de la distribución de masa y del eje de rotación. Juega un papel en rotación análogo al que juega la masa en el movimiento de traslación. Su unidad en el Sistema Internacional es el kgm2, y para su cálculo en un cuerpo extenso podemos tener en cuenta la definición de densidad y ponerlo como: I = ∫ r2dm = ∫ r2ρdV dm siendo dV el elemento de volumen diferencial ρ = . dV 4. - Una masa unida a un muelle puede moverse con un movimiento armónico simple, con una oscilación amortiguada o con una forzada. Describir cómo realizar estos movimientos experimentalmente. ¿Cuál sería la frecuencia angular de oscilación en cada movimiento y de qué parámetros depende? Comencemos por el movimiento armónico simple. Obviamente es el más sencillo y para verlo bastaría unir la masa m al resorte (en horizontal o vertical) de constante k (el otro extremo del resorte lo dejamos fijo). Desplazamos dicha masa de su posición de equilibrio y la dejamos oscilar. La frecuencia angular de oscilación sería la frecuencia natural del sistema: ω0 = k m Como vemos, la frecuencia natural depende de las características de nuestro sistema (del valor de la masa y de la cte. elástica del muelle) Para conseguir una oscilación amortiguada bastaría con introducir el bloque (o un émbolo que estuviera en contacto con el bloque) en un fluido, que proporcionaría una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y que iría frenando el movimiento. En este caso, el valor de la frecuencia angular de oscilación dependería del tipo de amortiguamiento. En el caso de amortiguamiento débil, dicha frecuencia sería: ω = ω20 − β2 de forma que depende de los parámetros físicos del sistema (m y k, a través de ωo) y del amortiguamiento (que vendrá impuesto por el fluido). - En el caso del amortiguamiento crítico y supercrítico no existe una frecuencia como tal ya que no hay realmente una oscilación. La partícula retorna lentamente a la posición de equilibrio, deteniéndose. Por último, para conseguir una oscilación forzada podemos conectar el extremo del resorte a un soporte dotado de un movimiento oscilatorio, con una frecuencia de oscilación ω. El valor de la frecuencia de oscilación de la masa en este caso viene impuesto justamente por la frecuencia de la oscilación forzada, siendo por tanto el mismo valor ω. Por tanto sólo depende de la manera en que se impulse al sistema, no dependiendo ni de los parámetros físicos del sistema (masamuelle) ni del valor del amortiguamiento. 5. - a) ¿Qué es una onda? ¿Qué se propaga en un movimiento ondulatorio? b) Explicar qué es una onda longitudinal y una onda transversal. c) ¿Qué es, cuál es la diferencia y cómo se determinan la ‹ ‹ velocidad de propagación› › de una onda y la ‹ ‹ velocidad de movimiento de las partículas de un medio material› › en el que se propaga una onda? a) Una onda es una variación de una propiedad física que se propaga de punto a punto en el espacio. Así pues, una onda es la propagación de una perturbación en el espacio. En el movimiento ondulatorio por tanto se propaga un estado de perturbación, no la materia. En última instancia el movimiento ondulatorio es un proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transferencia de materia. b) Dependiendo de la forma en que oscilan las partículas del medio material respecto a la dirección de propagación se distingue entre ondas longitudinales y ondas transversales. En las ondas longitudinales la dirección de propagación es paralela a la dirección del movimiento de las partículas. Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas longitudinales en un muelle o el sonido. En las ondas transversales la dirección de perpendicular propagación a la dirección es del movimiento. Un ejemplo típico es la vibración de una cuerda. c) Se entiende por velocidad de propagación de una onda la velocidad con la que se propaga la perturbación. Básicamente refleja cómo de rápido afecta la partícula por la que pasa la onda a la siguiente partícula, lo que depende de las características elásticas (o de deformación) del medio material. Por tanto, la velocidad de propagación (v) es una característica del medio material por el que se propaga la onda, y no depende de cómo se esté provocando la perturbación. Por otro lado, la velocidad de movimiento de las partículas del medio material va a ser la velocidad propia con la que oscilan cada una de las partículas del medio cuando las alcanza la onda (la perturbación). Un ejemplo para ver la diferencia es el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda. La velocidad de vibración la da el movimiento de las partículas de la cuerda en dirección vertical, hacia arriba y hacia abajo, mientras que la velocidad de propagación la da el movimiento de la deformación a lo largo de toda la cuerda a medida que el movimiento pasa de unas partículas a las siguientes. Mientras que la velocidad de propagación (v) es cte. para un medio dado, y viene determinada únicamente por las propiedades físicas del medio material (en el caso de una cuerda, por ejemplo, a partir de la densidad lineal de la misma y la tensión a la que está sometida), la velocidad de vibración no es constante, depende del instante de tiempo y del punto del espacio en que nos encontremos. En el caso de una onda armónica plana que se propaga con velocidad cte. v: y=Asen[k(x-vt)]=Asen(kx - ωt) la velocidad de vibración será: y = dy = Aω cos(ωt − kx ) dt