Download Números complejos
Document related concepts
Transcript
LOS NÚMEROS COMPLEJOS Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004 2 Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax bx c 0 se analizó el signo del 2 discriminante b 4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos. Sección 1 Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra Z al conjunto de a, b en el cual definimos las siguientes operaciones: los pares de números reales a, b c, d a c, b d a, b c, d ac bd , ad bc Multiplicación. Suma. a, b llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la suma En el número complejo y producto de pares no está definida en Z2. Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son: Igualdad. a, b c, d a c bd Multiplicación por un escalar. (a, b) ( a, b) donde α ε Z 2,1 y 0, 3 , hallar: Ejemplo. Dados 2,1 0, 3 2 0,1 (3) 2, 2 a) 2, 1 0, 3 2(0) 1(3), 2(3) 1(0) 3, 6 b) 2,10, 3 2 1,1 3, 6 2, 2 5, 8 c) Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano Z2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al eje de las y . 1 Gráfica 1: Representación del número complejo (a, b) . Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el a,0 coincide con el número real a . De este modo tenemos a (a,0) plano Z2 el número complejo cuando α ε Z. Los números complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros. Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar α ε Z: a, b a, b , 0 y aplicamos la definición de multiplicación: Para eso escribimos el número real en la forma a, b ,0 a, b a 0b , b 0a a, b Denotaremos el número complejo 2 demostrar que i 1 . . (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil i 2 (0,1)2 (0,1)(0,1) 0(0) 1(1),0(1) 1(0) (1,0) 1 2 Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x 1 0 . x 2 1 0 x 2 1 x 2 i 2 x i Forma binómica de un número complejo z (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma: Sea z (a , b) (a,0) (0, b) a (1,0) b (0,1) (1, 0) 1 (0,1) i (a, b) a bi . En este caso a bi se llama forma binómica o Pero como y , entonces binomia del número complejo. Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica a bi c di a c b d i , puesto que a, b, c, d son todos números reales. a bi c di ac adi bci bdi 2 ac bd ad bc i porque i2 1 . 2 Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo. Ejemplo. Si z1 (3, 2) y z2 (4, 1) , halle z1 z2 y z1 z2 . z1 z2 (3, 2) (4, 1) 3 2i 4 i 7 i z1 z2 (3, 2) (4, 1) (3 2i)(4 i) 12 3i 8i 2i 2 (12 2) (3 8)i 14 5i Conjugado de un número complejo Si z x yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z x yi , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto. Ejemplo. Si z 3 2i , entonces z 3 2i y si z 3 2i , entonces z 3 2i . Módulo y argumento de un número complejo z (a , b) a bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z , al Sea a2 b2 y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como la distancia al número real dado por origen del número z (Gráfica 2). Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z a bi , al ángulo comprendido entre el z eje x y el radio vector que determina a . El argumento de z se denota por arg( z) y se calcula mediante la expresión: b arg( z ) arctan a. Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo. 2 zz z Propiedad: Demostración: z z (a bi )(a bi ) a 2 abi abi y 2i 2 a 2 b 2 ab ab i a 2 b 2 0i a 2 b 2 z 2 División de números complejos La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador: 3 z1 a bi a bi c di ac bd (ad bc)i ac bd (ad bc)i 2 z2 c di c di c di c2 d 2 z2 z1 z z 2 3 i z 1 2 i z Ejemplo. Dados 1 y 2 , halle: (a) 2 y (b) 2 . (a) Como z2 1 2i entonces z2 1 2i z1 z (b) Para hallar 2 multiplicamos y dividimos por el conjugado z 2 . z1 2 3i 2 3i 1 2i (2 3i)( 1 2i) z2 1 2i 1 2i 1 2i (1 2i )(1 2i ) 2 4i 3i 6i 2 8 i 8 1 i 5 5 5 (1) 2 (2) 2 Raíces complejas de la ecuación de segundo grado 2 2 Si el discriminante de la ecuación ax bx c 0 es negativo, debe sustituirse el signo negativo por i y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación. 2 Ejemplo. Resolver la ecuación x 2x 6 0 . Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática: x (2) (2) 2 4(1)(6) 2 4 24 2 20 2(1) 2 2 20 i 2 Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como . Por lo tanto: x 2 20 2 20i 2 2 2 5 i 1 5 i 2 2 2 Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 1 5 i y x2 1 5 i . 4 Ejercicios de la Sección 1. Dados los números complejos z (3, 2) y w (1, 4) , halle: (a) z w , (b) z w , (c) 3z 4w , (d) (1, 0)w , (e) (0, 2)z . Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos. Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos. Calcule: 1 1 2 3 4 5 (a) i , (b) i , (c) i , (d) i , (e) i . Calcule: 4n 4 n 1 4n 2 4n 3 (a) i , (b) i , (c) i , (d) i . ( x , y ) ( u Dado el número complejo halle el par , v) tal que ( x, y) (u, v) (1,0) . Al par se le llama inverso multiplicativo de ( x, y) . Concluya que el par (u, v) es único y que el (0, 0) no tiene inverso multiplicativo. Verifique que z z . Verifique que uv y uv son conjugados. Calcule: 1 3i 3 3i 2 4 i (a) , (b) 2 2i . Resuelva la ecuación (2 i) z 3 i . Halle z tal que (2 i)(1 i) 2 z i . Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi , tales que: z 5 z 5 (a) , (b) . Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi tales que: z2 5 z i z i zz z , (c) . 2 x 3 x 3 0 Resuelva la ecuación cuadrática . 2 2 x 4 x 5 0 Resuelva la ecuación cuadrática . (a) , (b) 2 2 Resuelva la ecuación cuadrática x 3x 8 0 . 4 2 Resuelva la ecuación x 13x 36 0 . Sección 2 Forma trigonométrica o polar de un número complejo La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura 3: 5 Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo. En este caso se tiene que Luego: sin cos r z ( x, y) y arg( z ) tan 1 x . y que y y r sin r x x r cos r Por lo tanto: z ( x, y) x yi r cos i r sin r (cos i sin ) Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por z r cis . Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de z 1 i . Hallemos r (1) 2 (1) 2 2 1 tan 1 4. 1 y Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto: z 1 i 2 cos i sin 2 cos i sin 2 cis 4 4 4 4 4. Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica u v rs cis Sean u r cis y v s cis , entonces . En otros términos: uv rs cos( ) i sin( ) Demostración: u v r cis s cis rs cis cis rs cos i sin cos i sin rs cos cos i cos sin i sin cos i 2 sin sin rs cos cos sin sin i(cos sin i sin cos ) rs cos( ) i sin( ) (rs ) cis( ) Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos. u 2cis v 3 cos i sen 3 cis 4 4 4 . 4 y Ejemplo. Sea Entonces u v 6cis(0) 6 cos(0) i sin(0) 6 6 Fórmula de Moivre Empleando el resultado del Ejercicio 3b de esta sección, cos i sin n cos( n) i sin(n) z n r n cis(n) , y tomando r 1 , tenemos: . Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre. Forma exponencial de un número complejo Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función, derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler: ei cos i sin . Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función cuando la variable x es un número complejo z . xn n 0 n ! , suponiendo que sea válido para ex zn z z 2 z3 zn 1 ..... ... 1! 2! 3! n! n0 n! ez Si tomamos z i , nos queda: (i) n (i) (i) 2 (i)3 (i) n 1 ..... ... 1! 2! 3! n! n0 n! ei 2 2 3 3 4 4 5 5 i i i i ... 1! 2! 3! 4! 5! 2 3 4 5 1 i i i .... 1! 2! 3! 4! 5! 1 i Agrupando tendremos: 2 4 3 5 ei 1 .... i .... 2! 4! 1! 3! 5! ei cos i sin Estos son los desarrollos de cos y sin respectivamente. Así que . z r (cos i sin ) Sea un número complejo donde r es su módulo y su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene: z r (cos i sin ) r ei . Esta expresión es la llamada forma exponencial del número complejo. Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número complejo z . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación empleando las leyes del álgebra. Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial 7 i i Sean u re y v se . Entonces: u v rei sei rs ei () u rei r i ( ) e v sei s i Ejemplo: Sea u 6 e 4 u i i 2ei (0) 2 4 2 v 3 e u v 18 e 6 i v y . Entonces y . Ejercicios de la Sección 2. Represente: (a) en la forma trigonométrica el número complejo 3 3i . 2 cos i sin (b) en la forma binómica el número complejo . Represente: (a) en la forma trigonométrica el número complejo 2 2i . 2 cos i sin 3 3 . (b) en la forma binómica el número complejo Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para comprobar que si z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) , z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) , …, zn rn (cos n i sin n ) entonces (a) (b) (c) z12 r12 cos(21 ) i sin(21 ) z1n r1n cos(n1 ) i sin(n1 ) z1 z2 ... zn r1r2 ...rn cis 1 2 ... n . Extienda el resultado a las potencias enteras negativas. Calcule: 1 i 3 , (a) 9 1 2 2i 7 (b) Dados u 2 i 2 y v 2 i 2 , emplee la forma exponencial para hallar: u v. (a) uv , (b) Dados u 2 i 2 y v 2 i 3 , emplee la forma exponencial para hallar: u v. (a) uv , (b) Halle 3i 4 1 i 3 6 . 1 i 9 1 i 84 Halle 8 Sección 3 Raíces n-ésimas de un número complejo En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica o exponencial un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes, z r ei ( 2 k ) con k . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número complejo z. Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es: z n w zn w . i i Supóngase que w re es un número complejo de módulo r y argumento y que z se un número n complejo de módulo s y argumento . Entonces z w equivale a: z n s n ei n rei r ei ( 2 k ) w . De esta manera: n (1) s r (2) n 2k i Por lo tanto, z se donde s r y n 2k n , con k 1, 2, ,n. Estas son las fórmulas para hallar las n raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe que para todo otro valor de k , con k , se obtienen las mismas n raíces que para k 0,1, , n 1 . Ejemplo. Hallar i 1 i . 2k 4 2 2 y 2 , con k 0,1 . Entonces: 4 1 i 2 e . Por lo tanto s 4 i 4 8 Para k 0 , tenemos z1 2 e . i 4 Para k 1 , tenemos z2 2 e 9 8 . El logaritmo de un número complejo Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación inversa de la exponencial, esto es: z log w e z w . w rei es un número complejo de módulo r y argumento , entonces: Supóngase que e z r ei ( 2 k ) w z ln r i ( 2k ) Ejemplo. Sea 1 1 ei (0) . . Por tanto log (1) ln(1) i (2k ) 2k i , con k 9 . Ejercicios de la Sección 3 Halle las raíces cuadradas de 1 y verifique que son i y i . Halle las raíces cúbicas de 1. Halle las raíces cúbicas de 1 . Halle las raíces cuadradas del número 1 3 i y expréselas en la forma binómica. Halle las raíces cúbicas del número 1 i 3 y expréselas en la forma binómica. Halle las raíces cuadradas de 2 2i y represéntelas en el plano complejo. Muestre que log(1) i . Halle: (a) log(e) , (b) log(i ) , (c) log(ei) . 1 log(1 i) ln 2 i 2 4 . Muestre que Respuestas Sección 1 1) a) (2, 2) , b) (5, 14) , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, 6) x y , 2 2 2 x y x y u, v 6) 2 3 9i 9) a) 10 11) 3 i 13) a) x 2 2 y 2 25 , círculo de radio 5 centrado en (2, 0) y su interior. 1 1 i 2 15) 17) 2i , 3i Sección 2 3 3 2 cis 4 1 a) 5) a) 2, b) i 1 103 i e 7) 4 Sección 3 1 3 i 3) 2 2 4 i i 9 5) 2e , 2e 8) a) 10 9 1 2k i i , 2e 16 9 1 i 2 , c) 10