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1 -1 Curso de dibujo Técnico. 2 º de Bachillerat o
Pat x i A g u irrezab al M art in
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HOMOTECIA, PROPORCIONALIDAD Y
LUGARES GEOMÉTRICOS
Homotecia. Media proporcional, tercera proporcional, cuarta proporcional, Teorema de Thales, Sección aúrea,
Potencia, Lugares geométricos, Eje radical, Eje radical de dos circunferencias secantes, Eje radical de dos
circunferencias exteriores, Eje radical de tres circunferencias dadas, Eje radical de dos circunferencias
interiores, Eje radical de dos circunferencias de igual radio, Eje radical de dos circunferencias cuando una de
ellas tiende a cero, Eje radical de dos circunferencias tangentes, Arco capaz de una circunferencia.
TEMPORALIZACIÓN: 3 Horas
HOMOTECIA
La homotecia se define como la correspondencia de puntos sobre un plano. Uno de estos
puntos es fijo y corresponde al centro de
homotecia O. Otro par de puntos, A y A', para
que formen parte de la homotecia deberán
estar necesariamente alineados con O. Fig.1.1. Cada punto es independiente y cumple una
Fig.1.1
alineación con O, por lo que la recta que une los tres puntos cumple una doble
alineación. Se dice entonces que es una recta doble. Se establece de esta forma una
relación entre sus magnitudes de la que se deriva
una constante de forma que
Opciones
Cuando K es positivo (K>0) los puntos A y A'están
situados a un mismo lado de O. Se dice que la
homotecia es directa y los puntos tienen un mismo
sentido.
Si K=1 la homotecia es la identidad
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-2
Cuando K es negativo (K<0), O se sitúa entre A y A', la homotecia es inversa y tiene
sentido contrario.
Si K= -1 la homotecia se transforma en una simetría.
Resumen
Todos los puntos del plano que cumplan la misma constante con respecto a un punto
fijo determinan una homotecia
y en ellos se cumplen que los pares de puntos homólogos A-A', B-B', C-C'están
contenidos en las dos rectas paralelas r y r' que los unen.
La razón por la cual obtenemos siempre la misma constante K se deriva de la
semejanza1 de triángulos que se generan en una homotecia. Fig.1.3
Fig.1.3
Fig.1.4
Los triángulos BOA y B'OA' son semejantes (Fig.1.4) ya que tienen común el ángulo
a. Los ángulos en b y b'son iguales ya que los lados AB y A'B' son paralelos.
Por tanto los ángulos homólogos son iguales y todas las magnitudes que participan de
una misma homotecia (lados, ángulos y superficies) cumplen la constante K
La relación entre las superficies de dos triángulos semejantes también cumplen K.
Dos triángulos de distinto tamaño son homotéticos si tienen sus lados paralelos tanto
si la homotecia es directa como inversa. Fig.1.5
1
Semejanza es una correspondencia entre puntos de un mismo plano tal que si A'B'son los transformados de dos puntos
cualesquiera AB se verifica la relación A'B'/AB=k
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Fig.1.5
Observa que, según sea el valor de K, el tamaño de la figura transformada es mayor
o menor que la original, y su posición es la misma que la inicial o
queda invertida.
Dos circunferencias son siempre
proporcionales y por tanto homotéticas tanto directa como inversamente. Fig.1.6 y Fig.1.10
El teorema de Thales es una homotecia, ya que sus postulados
participan de la constante K que es
la razón de semejanza.
(Fig.1.7)
Fig.1.6
Si dos rectas r y r'concurrentes o paralelas son
cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos determinados por ellas sobre la recta r son
proporcionales a los de la recta r`, pudiendo establecer entre ellas.
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-4
Producto de homotecias. Fig.1.8
El producto de dos homotecias es otra homotecia y su centro de homotecia está
alineado con los otros dos.
El producto de dos homotecias puede ser
positivo o negativo.
Sea la figura F determinada por los vértices
A, B y C. Si hallamos figuras homotéticas
de esta figura F, una con centro de homotecia en V y la otra con centro de homotecia
en W, obtendremos otras figuras homotéticas F'y F" cuyo centro de homotecia estará
alineado con los centros V y W.
Aplicaciones de la homotecia. Fig.1.9
Fig.1.8
A modo de ejemplo puede hallarse fácilmente la
bisectriz de dos rectas convergentes. Dos rectas
cualesquiera siempre se cortarán en O. La recta que
una los puntos medios de dos rectas homotéticas
será concurrente en O y dividirá el ángulo en dos
partes iguales. Fig.1.9
La homotecia simplifica el trazado de rectas tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias. Las
Fig.1.9
tangentes exteriores se cortan en el centro de
homotecia directa CHD y las tangentes interiores se
cortan en el centro de homotecia inversa CHI. Estos centros se hallan fácilmente
mediante radios paralelos. Una vez obtenidos los centros, desde estos se trazan rectas
tangentes a una de las circunferencias. Estas rectas tangentes también lo serán a la
otra circunferencia. (Fig.1.10).
Fig.1.10
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Fig.1.11
Si se quieren trazar circunferencias tangentes a los lados de un ángulo y que éstas
pasen por un punto interior P, se traza cualquier circunferencia tangente a los lados del
ángulo. Por P se traza una recta concurrente en V y que corta a la circunferencia en M
y N. Por P se trazan radios paralelos a OM y ON que determinan sobre la bisectriz los
centros de las soluciones de las circunferencias incógnita. (Fig.1.11)
PROPORCIONALIDAD
Puesto que dos segmentos en el plano son siempre comparables podemos establecer
entre ellos una relación de proporcionalidad. Proporción es la relación (razón) de una
magnitud con otra o de una parte con el todo. Esta noción se refiere pues a la medida
(longitud y anchura de una sala, tamaño de la cabeza con respecto al tamaño del
cuerpo, etc.)
Razón entre 2 segmentos es el número de veces que la magnitud del primer segmento
(numerador) contiene a la del segundo (denominador).
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-6
Proporción es pues la igualdad de dos razones:
y diremos que cuatro segmentos de longitudes a, b, c y d son proporcionales cuando
tomados de dos en dos su razón es la misma.
Los cuatro números o magnitudes son los términos de la proporción; el primer y último
términos se llaman extremos (a, d) y el segundo y tercero, medios y se relacionan entre
sí de forma que conociendo tres de ellos determinamos el valor del cuarto
Si igualamos los términos medios, b=c=x, la proporción
de tres elementos.
es, en este caso, sólo
Proporcionalidad directa: Son magnitudes directamente proporcionales aquellas que
varían de tal forma que su razón permanece constante (media, tercera y cuarta
proporcional).
Proporcionalidad inversa: este tipo de funciones relacionan las variables x e y a través
de expresiones del tipo y=k/x, siendo k un número real cualquiera, distinto de cero. La
gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada hipérbola equilátera.
Dado un segmento rectilíneo, dividirlo
en
partes
proporcionales
a
las
dimensiones de otros segmentos
dados. Fig.1.12
Trazar una semirrecta formando cualquier ángulo con el segmento AB que se
trata de dividir, transportando sobre la
misma las dimensiones de los segmentos, uno a continuación del otro. Unir el
extremo B del segmento dado con F. Las
Fig.1.12
paralelas trazadas a BF por los puntos CD-E, dividen al segmento dado en partes proporcionales a los segmentos dados.
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Hallar el segmento media proporcional entre dos segmentos dados.
Se llama media proporcional cuando se desconoce el término repetido de la proporción,
bien sean los dos segmentos medios o los dos segmentos extremos. Es decir cuando
en
, b=c entonces a cada uno de estos segmentos b y c se les llama medio
proporcional entre los segmentos diferentes a y d.
Primer procedimiento. (Teorema del cateto).
Fig.1.13
La media proporcional a dos segmentos a y b se
expresa así:
, o lo que es lo mismo : x2 = a
.b
La media proporcional es, por tanto, también un
caso de tercera proporcional.
Se obtiene aplicando el teorema del triángulo
Fig.1.13
rectángulo: Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre
ella. En el triángulo de la Fig.1.13 resulta por tanto que DB2=AB.BC
Restar los dos segmentos, trazando una semicircunferencia cuyo diámetro sea el
segmento mayor AB. La perpendicular trazada por el extremo C del segmento menor
BC nos determina sobre la semicircunferencia el punto D, siendo el segmento DB la
media proporcional buscada.
Segundo procedimiento. (Teorema de la
altura). Fig.1.14
Se obtiene aplicando el teorema del
triángulo rectángulo que dice: La altura
sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que la
divide.
Únanse los dos segmentos, tomando el
segmento AC, suma de ambos, como
Fig.1.14
diámetro de una semicircunferencia que
se trazará con centro en su punto medio. Por el punto B de unión entre ambos seg-
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-8
mentos, trácese una perpendicular hasta cortar a la semicircunferencia en un punto D.
El segmento BD es media proporcional entre los dados AB y BC.
Hallar la raíz cuadrada de un segmento dado. (Caso particular del teorema de la altura)
Sea BC el segmento dado, que tiene, por ejemplo, 7 unidades. Transportar a partir del
extremo B una de estas unidades, trazando una semicircunferencia cuyo diámetro sea
AC. Levantar por B una perpendicular hasta cortar a la semicircunferencia en el punto
D.
El segmento BD es la raíz cuadrada del dado.
Siendo BD la media proporcional entre los segmentos AB y BC, podemos escribir
AB/BD = BD/BC de donde: BD2= AB . BC = BC . 1;
luego BD = %&BC
Tercer procedimiento. (Por potencia de un punto con respecto a una circunferencia)
*ver potencia
En esta figura se obtiene la media proporcional x a los segmentos a y b sabiendo que
la potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la
tangente trazada desde el punto a la circunferencia puesto que según se estudia en el
capítulo de potencia:
PA x PB=PT x PT; PT2=PA x PB
Según esto, colocamos los segmentos a y b
como indica la figura; se traza la tangente desde
P a la circunferencia de diámetro AB. El segmento x será la media proporcional.
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Hallar dos segmentos conocida su suma y su media proporcional. Fig.1.15
Trácese una semicircunferencia con diámetro igual a la suma AC de segmentos dada.
Por el extremo A levantar una perpendicular AM de longitud igual a la media
proporcional conocida. Llévese por el punto extremo M una paralela al diámetro AC
sobre la semicircunferencia en N. La perpendicular trazada desde N hasta el diámetro
AC determinará los segmentos AB y BC buscados.
Fig.1.15
Fig.1.16
Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento media proporcional entre ambos. Fig.1.16
Tomando como diámetro la diferencia de segmentos MN conocida, trazar una
circunferencia así como una tangente (perpendicular a MN), por uno de los extremos
M del diámetro.
Llévese sobre la tangente la longitud AM, media proporcional conocida. La recta que
une el extremo A con el centro 0 de la circunferencia queda interceptada por la misma
en los puntos B y C, siendo AC y AB los segmentos pedidos.
Hallar el segmento tercera proporcional a dos segmentos dados. Fig.1.17
Cuando las dos magnitudes medias o las dos extremas de una proporción son iguales,
a la magnitud no repetida que se desconoce, bien sea extrema o media, se la denomina
tercera proporcional, de tal manera que se verifica
donde y sería la magnitud conocida.
Puesto que en nuestro ejemplo, el segmento que se repite es el y para realizar la
construcción dibujamos un ángulo cualquiera, transportando sobre una de las
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-10
semirrectas el segmento x y el segmento y. Sobre la otra el segmento y que nos dará
un punto M. Los segmentos x e y quedarán unidos en N.
Unimos N con M. Trazamos una recta paralela por el extremo libre de y a la recta NM
con lo que se obtiene el extremo de z. El segmento z es la tercera proporcional entre
los segmentos dados.
Fig.1.17
Fig.1.18
Hallar el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados. Fig.1.18
Cuando en una proporción se conocen tres segmentos (términos) y se quiere hallar el
cuarto, se dice que se busca el cuarto proporcional. Se verifica entonces que
Se construye un ángulo cualquiera, y se llevan sobre sus lados, los segmentos
ordenadamente: x y z sobre uno de los lados y el segmento y sobre el otro lado. Se
traza una recta desde el extremo de x al extremo de y. Se dibuja una paralela desde
el extremo de z y se obtiene el extremo de w. El segmento w es la cuarta proporcional
entre los tres segmentos dados.
Teorema de Thales.
División de un segmento en un número cualquiera de partes iguales. Fig.1.19
Un sistema de rectas paralelas determinan sobre dos rectas concurrentes segmentos
proporcionales.
Trácese por uno de los extremos del segmento una semirrecta formando cualquier
ángulo, y transportar sobre la misma un número de divisiones igual al número de partes
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en que deseemos dividir el segmento. Unimos la última división con el extremo libre del
segmento y trazamos por las divisiones de la semirrecta paralelas a esta recta unión.
Fig.1.19
Fig.1.20
Sección aúrea. Fig.1.20
Es la división de un segmento en media y extrema razón; es decir, es la división de una
longitud tal que la parte menor es a la más grande como la más grande es a la longitud
total (media proporcional entre la parte menor y el total).
Para hallar la sección aúrea de un segmento se sitúa sobre el segmento el valor de a
y desde su extremo N levantamos una perpendicular igual a la mitad de dicho
segmento; unimos el punto M con el punto T, y dibujamos la hipotenusa del triángulo;
desde el punto M, y con radio igual a la mitad de a, trazamos un arco que cortará a esta
hipotenusa en el punto P. Basta girar el punto P sobre el segmento del dato para que
sobre éste nos determine la solución.
La parte aúrea del segmento a es la fracción TC=x del mismo que es media proporcional entre el segmento total a y el resto (a-x).
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-12
Caso particular: Fig.1.20 bis
* Dado el segmento aúreo, hallar el segmento completo.
Suponemos el lado AC dado como un lado de
un cuadrado.
Hallamos el punto O, mitad del lado AC, y
desde él trazamos la semidiagonal del cuadrado. Desde este punto O y con radio O1 hacemos un arco que corta a la prolongación de AC
en el punto B. El segmento AB es el segmento
completo del cuál el segmento AC era el
Fig.1-20 bis
aúreo.
En el caso del pentágono regular, el lado es sección aúrea de la diagonal.
POTENCIA
Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Fig.1.21
Se llama potencia de un punto P respecto de una
circunferencia al producto de los segmentos
determinados por dicho punto y los de intersección con la circunferencia de una recta secante
Fig.1.21
trazada desde el punto, verificándose siempre que dicho producto es una cantidad
constante:
Pot=PA x PB = PC x PD = PT x PT = Constante
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ya que si se unen los puntos C con B y A con D, se forman los triángulos PCB y PAD
que son semejantes pues:
- en el caso del punto exterior, los ángulos en P coinciden (") y los ángulos en B y en
D son iguales ($) por estar inscritos en el mismo arco AC. Fig.1.22
- en el caso del punto interior los ángulos en P son iguales (") por ser opuestos por
el vértice P, y los ángulos B y D son iguales ($) por estar inscritos en el mismo arco
AC. Fig.1.23
Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos se tiene:
(lados homólogos son los lados de los triángulos semejantes opuestos a los ángulos
iguales).
Propiedad
La potencia de un punto respecto de una circunferencia es independiente de la secante
elegida.
Fig.1.22
Fig.1.23
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-14
Valor de la potencia
Para calcular el valor de la potencia se puede utilizar:
a) la secante que pasa por el centro de la
circunferencia
Fig.1.24. Si r=radio y d=distancia entre P y el
centro O de la circunferencia.
entonces,
Potencia=PA.PB=PC.PD
6
Fig.1.24
6 Pot=(d-r)(d+r)
luego la potencia para un punto exterior = d2-r2
y por tanto la potencia es positiva puesto que d>r y d2-r2>0
Fig.1.25. Sin embargo para un punto interior los segmentos PA y PB son de sentido
contrario por lo que PA=(r+d) y PB=-(r-d)
entonces, Potencia=PA.-PB=(r+d) - (r-d) 6y entonces:
Potencia para un punto interior = d2-r2 6 pero la potencia es negativa pues d<r y d2r2<0
Fig.1.25
Fig.1.26
Fig.1.26. Fijémonos en que cuando P es interior, el segmento h=HP (que es una
semicuerda normal al diámetro que pasa por P) es media proporcional entre PB y PA
pues el triángulo HAB es rectángulo en H y por tanto por el teorema de la altura h2=PA.PB=-(r-d)(r+d)=d2-r2
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b) El punto coincide con el centro de la circunferencia
Como d=0 la potencia vale -r2. La potencia es mínima
c) El punto está en el interior de la circunferencia. Fig.1.25
La potencia crecerá al aumentar d
d) El punto está sobre la circunferencia
Como d=r 6 la potencia será cero
e) El punto P es exterior. Fig.1.27
Fig.1.27
El valor de la tangente t a la circunferencia puede considerarse como la posición límite de una secante, y el punto T como la posición límite
común de las intersecciones A y B, es decir A y B coinciden con T. Entonces
pot=PA.PB=PT.PT=PT2.
Por otro lado considerando el triángulo rectángulo POT y por el teorema de Pitágoras
se tiene que d2=r2+t2
6 t2=d2-r2
y además el segmento t es la media proporcional de los segmentos (d-r) y (d+r).
Entonces
6 t2=d2-r2
LUGARES GEOMÉTRICOS
Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición.
Por ejemplo, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de los lados del mismo, al igual que la mediatriz de un segmento lo es, por
tener todos sus puntos equidistantes de los extremos. En la circunferencia todos los
puntos equidistan del centro. Lugares geométricos también se dan en la elipse, la
hipérbola o la esfera.
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-16
Eje Radical. Fig.1.28
Se llama eje radical al lugar geométrico de los
puntos del plano que tienen igual potencia respecto
de dos circunferencias.
Si la recta es tangente a la circunferencia, la potencia equivale a realizar por dos veces el producto de
Fig.1.28
la distancia del punto a la circunferencia, es decir al cuadrado del segmento comprendido entre el punto y el de tangencia.
Sean dos circunferencias Q1 y Q2. Tomemos un punto P exterior a ambas. El punto P
tendrá una potencia K1 respecto de Q1 y otra K2 respecto de Q2.
PA1 . PA2 = K1
K2 = PB1 . PB2
Supongamos k1 = k2 entonces habrá de ser:
PA1 . PA2 = PB1 . PB2.
En nada cambiará la hipótesis si en lugar de A1A2 y B1B2 utilizamos C1C2 y D1D2
haciendo que la secante pase por el centro
de la circunferencia.
PC1 . PC2 = PD1 . PD2 o bien (distancias y
radios): Fig.1.29
(d1-r1)(d1+r1) = (d2-r2)(d2+r2)
Fig.1.29
de donde d12-r12=d22-r22; d12-d22=r12-r22
No se debe olvidar que r1 y r2 en dos circunferencias dadas son constantes, pero las
distancias d1 y d2 serán variables, puesto que buscamos posiciones del punto P que
satisfagan la condición de igual potencia.
1 -1 7 Curso de dibujo Téc nic o. 2 º de Bac hillerat o
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Es decir d12-d22=r12-r22; d12-d22=cte.
Por tanto, el eje radical es una recta perpendicular a la recta que une los centros de dos
circunferencias dadas, cuya diferencia de cuadrados de distancias a Q1 y Q2 es
constante. Además, eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los
puntos del plano de las mismas, desde las cuales se pueden trazar tangentes iguales
a ambas.
Eje radical de dos circunferencias secantes. Fig.1.30
Es la recta que une los puntos de intersección de ambas. Los puntos de intersección
de las circunferencias secantes tienen igual potencia respecto a las mismas, por
tratarse de puntos comunes.
Fig.1.30
Fig.1.31
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-18
Eje radical de dos circunferencias exteriores.
Primer procedimiento. Fig.1.31
El eje radical será la perpendicular al segmento que une los centros de ambas
circunferencias y que pase por el punto P de igual potencia.
Para hallar la potencia trácese una circunferencia cualquiera que corte a las dos
circunferencias dadas. El corte de ésta, con las circunferencias Q1 y Q2 determinará dos
ejes radicales que se cruzan en el punto de igual potencia para ambas circunferencias
y situado en el eje radical común.
Segundo procedimiento. Fig.1.32
Trácese una tangente exterior a ambas circunferencias. Hállese el punto medio del
segmento determinado por los puntos de
tangencia m y n. La perpendicular a la recta
que une los centros de las circunferencias
Fig.1.32
desde el punto medio de la tangente es el eje radical buscado.
Eje radical de tres circunferencias dadas. Fig.1.33
Es el punto de igual potencia respecto de todas ellas.
Para determinar el centro radical trácese el punto de intersección de al menos dos de
los ejes radicales.
Fig.1.33
Fig.1.34
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El centro radical es por tanto el centro de las circunferencias tangentes a tres circunferencias de igual
radio y también el centro de la circunferencia cuyos radios son las tangentes lanzadas desde éste a cada
una de las circunferencias que lo determinan
Eje radical de dos circunferencias interiores. Fig.1.34
Trácese una circunferencia cualquiera que corte a las dadas. La intersección de esta
circunferencia auxiliar con las dadas origina dos rectas que se cortarán en P, punto por
el que se trazará el eje radical, perpendicular al segmento que une los centros.
Eje radical de dos circunferencias de igual radio.
Fig.1.35
El eje radical será la mediatriz del segmento que une los
centros.
Fig.1.35
Eje radical de dos circunferencias cuando una de ellas tiende a cero. Figs. 1.36
y 1.37
Como caso general, suponemos dos circunferencias una de radio cualquiera y la otra
de radio casi cero.
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-20
Trácese una circunferencia auxiliar de radio cualquiera, secante a las anteriores. Las
secantes comunes serán ejes radicales y su punto de corte será el punto de paso para
el trazado del eje radical.
Cuando el radio se hace cero, la secante BB1 tiende a ser tangente a la circunferencia
Q1, es decir el eje radical de la circunferencia O2 será la perpendicular al radio Q1O2.
Eje radical de dos circunferencias tangentes.
Fig.1.38
Dos circunferencias tangentes exteriores tienen
como eje radical la recta tangente común.
Fig.1.38
Eje radical de varias circunferencias coaxiales. Fig.1.39
En la figura se representa un haz de circunferencias coaxiles secantes. Todas tienen
el mismo eje radical. Todas las circunferencias pasan por los puntos P y Q, siendo la
recta PQ el eje radical común.
Tangentes a varias circunferencias coaxiales. Fig. 1.40
Si tomamos un punto P del
eje radical y desde él trazamos las tangentes a las
circunferencias coaxiales,
por definición de potencia,
los segmentos PT serán
iguales y, por lo tanto, se
verifica que los puntos de
tangencia T están en una
misma circunferencia de
centro P y radio PT:
PB @ PB' = PT2 = K
Fig.1.39 y Fig.1.40
1 -2 1 Curso de dibujo Téc nic o. 2 º de Bac hillerat o
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Una recta tangente a dos circunferencias en los puntos T1 y T2 corta al eje radical en el
punto N y se verifica que: NT1 = NT2
Arco capaz de una circunferencia. Fig.1.41
El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos
del plano desde los cuales se ve al segmento dado
bajo un ángulo dado.
Este lugar geométrico es un arco de circunferencia
en el cuál todos los ángulos en él inscritos son
iguales a un ángulo dado ".
Para construirlo se traza la mediatriz del segmento
dado AB y en A se construye el ángulo C pedido. Se
Fig.1.41
traza la recta AE, perpendicular al lado del ángulo C
hasta que corte en O a la mediatriz. La circunferencia de
centro O y radio OA es la que contendrá al segmento AB,
bajo el ángulo ". Desde cualquier punto de esta circunferencia podemos construir un triángulo de lado AB y ángulo
". Si completamos el arco de la circunferencia tenemos
otro arco desde el que se ve el segmento AB bajo el
ángulo "'=180-", Fig.1.42, es decir el suplementario de ".
Fig.1.42
La construcción del arco capaz permite resolver problemas de
triángulos cuando los datos para determinarlos son: un lado y el ángulo opuesto.
Propiedad del Arco Capaz. Fig.1.43
Si lanzamos lados del ángulo A desde uno de los
extremos del segmento a (BM, BA o cualquier otro), los
puntos medios de estos segmentos determinarán un
arco que pasa por dicho extremo y el centro del arco
capaz O, y que a su vez tendrá por centro el punto O',
punto medio del segmento BO.
Fig.1.43
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-22
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Se sabe que la razón de las alturas de dos árboles es igual a la de las sombras que
proyectan. La sombra de un árbol es 40 m. La de un poste de 2'50 m. es de 4 m. ¿Cuál
es la altura del árbol?.
2.- Obtener gráficamente la cuarta proporcional a tres segmentos dados a, b y c.
Indicar el teorema que se aplica. (León. Selectividad 1990)
3.- Determinar el centro radical de tres circunferencias dadas. (Madrid. Selectividad 1990)
4.- En una circunferencia de 4 cm. de radio, determinar gráficamente la raíz cuadrada de
la cuerda correspondiente al arco capaz de 60° (Selectividad 1993)
5.- ¿A qué distancia del centro de una circunferencia de radio 3 cm. se halla un punto cuya
potencia es 16?. (Selectividad 1993)
6.- Calcular la potencia del centro de la circunferencia
respecto de ella misma.
1 -2 3 Curso de dibujo Téc nic o. 2 º de Bac hillerat o
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7.- Dadas dos circunferencias hallar una tercera cuyo eje radical respecto a una y otra
coincida con el eje radical de estas.
8.- Dibujar las circunferencias de radio 20 mm que pasando por el punto P, sean tangentes
al eje radical de las dos circunferencias dadas. (León. Selectividad 1992)
Ejercicio 8
9.- Determinar un punto M sobre el lado AC del triángulo, tal que AB2=AM.AC
Ejercicio 9
10.- Dados dos puntos A y B y una recta R, hallar los puntos de tangencia, con la recta R,
de las circunferencias que pasando por A y B sean tangentes a la mencionada recta
Ejercicio 1 0
Proporcionalidad y lugares geom étricos 1-24
11.- Dados 2 puntos A y B y una circunferencia, hallar los puntos
de tangencia de la circunferencia dada con las curvas de
igual naturaleza que pasando por A y B sean tangentes a la
primera.
12.- Hallar un punto de la recta R cuyos segmentos de las
tangentes trazadas a dos circunferencias dadas sean iguales.
Los centros O1 y O2 de las dos circunferencias distan 6 cm,
Ejercicio 11
los radios son de 2 y 3 cm. La recta R pasa por el centro del
segmento O1-O2 y forma 60° con dicho segmento. La recta R asciende acercándose a
la circunferencia de menor radio.
13.- Hallar gráficamente el valor cuya representación longitudinal equivalga al producto de
los números 3 por 2.
14.- Construir un pentágono cuya diagonal mide 5 cm