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Matemáticas pendiente de 1º Bach CT
IES PLAYAMAR
Curso 2016-2017
1ºEVALUACIÓN FECHA DEL EXAMEN: 23 DE NOVIEMBRE DE 2016 A LAS 12:45 (SALÓN DE ACTOS) INSTRUCCIONES o
Las actividades realizadas deben entregarse obligatoriamente el mismo día del examen. o
Deberás realizar los ejercicios y problemas de forma clara y ordenada, copiando todos los enunciados. RELACIÓN DE EJERCICIOS 1. Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales, irracionales o reales: 2
1− 2
,
3
27 − 5, log 100,
16
3
, − 2ln e 5 ,
5
1 + 5 1 − 5 (
)(
)
2. Realiza las siguientes operaciones, simplificando los resultados: −1
"
6 "2%
2 %'
a) 6 − : $ ' − 3⋅ $$1−
=
2'
8 #9&
−2
(
)
#
&
b)1−
1− 32 " 5 % " 2 %
+ $ ' : $ ' = c) # −2 & # 4 &
2
1
2+
2+
1
4
d) (625 ⋅ 4
g)
= 2
3
4
5
6
1 1
2 ⋅2
1000
⋅ 8 ): 5 =
e)
= f) 3
⋅ 125 =
5
5 5
0'001
232
4
5− 3
3
−
= (racionaliza
5+ 3 2 5
3
previamente) h) 4
3 + 2 ·4 3 − 2 = 3. Calcula el valor de x: a)log 23 (3+ x) = 4 c)log3 273x+4 = −2 e)log 5 125 = x
b)log x 2 = 5 d)(3x )2 = 27 f )ln(2x + 5) = 0 4. Calcula los siguientes logaritmos sabiendo que log 2= 0’301: a) log 1250 b) log 5 c) log 0’2 5. Expresa con un solo logaritmo y di el valor de A: log A = log12 + log 25 − 2 log 6 6. Halla el resultado de las siguientes expresiones: a) log ! 625 − log ! 64! + log ! 81! 𝑏 ) log !
!
!"
+ log ! 9 + log ! 49 !
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7. Sabiendo que log ! A = 0´6 y log ! B = −4´4. Calcula: a) log ! (
!!
!
) 𝑏) log ! (
!!
! !!
!!
)
8. Simplifica las siguientes fracciones: a) 2x 7 − 6x 5
4x 5 + 2x 3
b) x 4 −1
x 3 + 2x 2 − x − 2
9. Efectúa las siguientes operaciones, simplificando su resultado: a)
x −1
2
(x + 2 )
x
+ -­‐ 3x
x − 4x + 4
⎛
⎝
c) ⎜1 −
2
x+2
x2 + x
x
b)
: 3
x −1 x − 7x +1
3
2
5
− 2 − 3
x x
x
⎞
⎟ ⎠
10. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
b) c) d) 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 3
4 x 4 − 17 x 2 + 4 = 0 2x − 3
x 2 − 5x
+
x+4 3
= x
4
2 !!! + 2 ! +
!
!!
!
+ 𝑙𝑜𝑔4 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 36 + x = x + x e) f) !
4𝑥 ! + 4𝑥 ! − 17𝑥 ! − 9𝑥 + 18 = 0 g) 8 ! + 2!!!! − 5 · 2 ! − 6 = 0 = !
11. Calcular las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 𝑦 = 3𝑥 + 1
𝑥+𝑦+4=𝑦−𝑥
b) 𝑦! − 𝑥 = 2
log 𝑥 + 𝑦 = 1
12. Resolver los siguientes sistemas por el método de Gauss: ⎧2 x + 3 y + z = 0
⎪
a) ⎨ x − 2 y − 2 z = 5 ⎪ − x + y − z = 1
⎩
⎧ x − 2 y + z = 0
⎪
b) ⎨ − 3x + 3z = 4 ⎪− 2 x + y + z = 2
⎩
13. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:
!
a) 𝑥 − 2𝑥 + 3 > 𝑥 + 1 −4𝑥 + 9 < 𝑥 − 1
b) 1 − 5𝑥 < −8
−𝑥 ! + 𝑥 + 5 ≥ −2𝑥 − 3
14. La base de un rectángulo es 3 veces su altura. Si ambas aumentan 1 m, la superficie aumentaría en 9 m2. Calcula las dimensiones del rectángulo. 15. La suma de dos números enteros es 12 y la de sus inversos es 3/8. ¿Cuáles son estos números? Matemáticas pendiente de 1º Bach CT
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16. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54°. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo. 17. Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura: a) Calcula la altura del árbol. b) ¿A qué distancia está Pablo del árbol? 18. Calcula las razones trigonométricas de 140° y de 220°, sabiendo que: sen 40 ! = 0, 64; cos 40 ! = 0, 77; tg 40 ! = 0,84
19. Halla los lados y los ángulos del triángulo: 20. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50°, y el ángulo en A es de 75°. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ? 21. Contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Existe algún triángulo con estos datos: a = 4m, b = 9m y A=70º? b) Prueba que solo existe un triángulo con estos datos: b = 3, c =
3
, C = 30º 2
22. Para medir la altura de una torre CD nos hemos situado en los puntos A y B, cuya distancia es de 150 m y hemos tomado las medidas que aparecen en la figura. Calcula la altura de la torre. 23. Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210° y 70°. 24. Pasa a grados los ángulos: 7π
rad y 3’5 rad. 6
25. Escribe la expresión analítica de la función cuya gráfica es la siguiente: Matemáticas pendiente de 1º Bach CT
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26. Representa en estos ejes la siguiente función: y = sen (x − π)
27. Demuestra que: sen x
1 + cos x
4 + 4cos x
+
=
1 + cos x
sen x
2 sen x + sen 2 x
28. Resuelve la ecuación: 4 cos2x = 1− 3cos x ⎛ π
⎞
a) A ( x ) = sen ( 2π − x ) + cos ⎜ + x ⎟
⎝ 2
⎠
⎛ π
⎞
⎛ π
⎞
b) A ( x ) = sen ⎜ − x ⎟ − sen ⎜ + x ⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
29. Expresa A(x) en función de sen x y cos x : →
→
→
→
→
→
30. a) Si u y v son los siguientes vectores, dibuja 2 u − v , − u + v
→
y − u+
1→
v.
2
→
→
⎛ 1 ⎞
b) Las coordenadas de dos vectores son a (2, − 3 ) y b ⎜ − , 2 ⎟. Obtén las coordenadas de:
⎝ 2
⎠
→
→
→
− 3 a + 2 b;
− a+
1→
b;
2
1 ⎛ → → ⎞
⎜ a − b ⎟
3 ⎝
⎠
31. Resuelve: →
→
a) Calcula k de modo que el producto escalar de a = (−5, k ) y b = (1, −3) se igual a 4. →
→
b) Halla la proyección de b sobre c = ( 2, 5) →
→
32. Considera dos vectores x = ( a, 3) e y = (−1, b) . Halla los valores de a y b para que los vectores sean perpendiculares y el módulo de x sea 5. Matemáticas pendiente de 1º Bach CT
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→
#1
$4
&
'
→
33. Si a = % , −3( y b = ( 4, 2 ) calcula : a) Un vector unitario con la misma dirección y sentido que A(2, −4) →
→
b) El ángulo formado por a y b 34. Considera los puntos A(-­‐1, 3), B(2, 6) y C (x , y). Halla los valores de x e y para que C sea: a) El punto medio del segmento de extremos A y B. b) El simétrico de A con respecto a B. 35. Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos A(2, −4) y B(−1, 3) en dos partes tales que AP = 3PB 36. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos: P(-­‐1, 3) y Q(-­‐2, 8). 37. Dadas las rectas: ⎧ x = 2 − t
r : ⎨
⎩y = 6 + 4t
⎧ x = 4 + 2t
s : ⎨
⎩y = −2 − 8t
averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto). 38. Halla el ángulo que forman las rectas: ⎧ x = 2 − 3t
r: ⎨
⎩y = 4 + 2t
⎧ x = 1 − 4t
s: ⎨
⎩y = −1 − 6t
!
39. Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(-­‐2, 5) y es paralela al vector v(−1, 3) . 40. Halla el valor de k para que las rectas 2x -­‐ 3y + 4 = 0 y -­‐3x + ky -­‐1 = 0 sean perpendiculares. 41. Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta r : x − y + 3 = 0 sea 2 . 42. Halla el área del triángulo de vértices: A(3, 1) B(6, -­‐2) C(0, -­‐4) 43. Prueba que si las rectas ax + by + c = 0 y a¢x + b¢y + c¢ = 0 son paralelas, se cumple que ab¢ -­‐ a¢b = 0. 44. Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3, 2) y forma con el eje de ordenadas y la recta y = 1 un triángulo isósceles. Calcula el área de dicho triángulo.