Download apuntes trigonom y semejanza mate 4º eso opciÓn a

Bloque 6. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA.
(En el libro Tema 7, página 121)
1. Figuras Semejantes.
1.1. Perímetros y áreas en figuras semejantes.
1.2. Teorema de Tales.
2. Medida de ángulos. (uso de la calculadora)
3. Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. (uso de la
calculadora). Conceptos de arco seno, arco coseno y arco tangente.
4. Relaciones entre las razones trigonométricas.
(Demostraciones de Identidades trigonométricas.)
5. Circunferencia Goniométrica.
6. Razones trigonométricas de los principales ángulos.
Razones trigonométricas de:
6.1. Ángulos mayores de 360º.
6.2. Ángulos complementarios.
6.3. Ángulos suplementarios.
6.4. Ángulos que difieren en 180º.
6.5. Ángulos opuestos.
7. Resolución de triángulos (rectángulos y no rectángulos).
8. Problemas trigonométricos.
1. Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma (ángulos iguales) y distinto tamaño
(lados proporcionales). Se llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos
longitudes correspondientes.
1.1. Perímetros y áreas en figuras semejantes.
Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza k, entonces:
a) La razón de sus perímetros es k.
b) La razón de sus áreas es k2.
Ejemplo: Si tenemos un rectángulo A de base 4 m y altura 2 m y otro semejante a él B de
base 40 m y altura 2 m:
PA=4+4+2+2= 12 m
PB= 40+40+20+20= 120 m
PB/PA= 120/12=10= k (razón de semejanza)
AA= 4∙2 cm= 8 m2 AB= 40∙20= 800 m2
AB/AA= 800/8= 100 (es decir, k2)
1
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI
1.2. Teorema de Tales.
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos
determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes
en la otra.
2. Medida de ángulos. (uso de la calculadora):
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del
reloj y negativo en caso contrario.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1) Grado sexagesimal (°): resultado de dividir una circunferencia en 360 partes
iguales. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
Se pueden expresar en grados, minutos y segundos (Ej: 12°34′45″) o bien en
notación decimal (12°,57916667)
2) Radian (rad): es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
2
rad = 360°
Para pasar de grados a radianes directamente multiplicamos por ∏ y dividimos entre
180° y para pasar de radianes a grados multiplicamos por 180° y dividimos por ∏
(puede hacerse también con una regla de tres)
3) Grado centesimal: resultado de dividir una circunferencia en 400 partes
g
c
iguales. 1 = 1 grado centesimal= 100 (100 minutos centesimales). Se pueden
2
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI
g
c
cc
expresar en grados, minutos y segundos centesimales (Ej: 13 15 19 ) o bien en
g
notación decimal (13 ,1519)
3. Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. (uso de la
calculadora)
Tg B= Cateto opuesto/Cateto contiguo= b/c
(Sen= seno, Cos= coseno, Tg=
tangente)
Cosecante: es la inversa del seno
Secante: es la inversa del coseno
Cotangente: es la inversa de la
tangente
Conceptos de arco seno, arco coseno y arco tangente. Ejemplos:
ARCO SENO:
El arcoseno es la función inversa del seno. (OJO!!!! FUNCION INVERSA NO ES LO MISMO QUE
INVERSA)
Se llama arcoseno (arcsen) de un número al ángulo que tiene por seno dicho número. Si se
conoce el valor del seno de un ángulo y se quiere calcular el ángulo, hay que tener en cuenta
que, salvo en los casos de: arcsen 1=90º
y
arcsen(-1)=270º, para cualquier otro número
comprendido entre -1 y 1, hay dos ángulos que tienen ese seno.
Si α es uno de los ángulos, el otro será 180º-α.
Ejemplo: Halla todos los ángulos cuyo seno vale 0,7.
Sen x= 0,7
X= arcsen 0,7= 44°,427004
3
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI
El otro ángulo es 180-44°,427004=135°,572996
ARCO COSENO:
El arcocoseno es la función inversa del coseno.
Se llama arcocoseno (arccos) de un número al ángulo que tiene por coseno dicho número. Si
se conoce el valor del coseno de un ángulo y se quiere calcular el ángulo, hay que tener en
cuenta que, salvo en los casos de:
arccos1=0º
y
arccos(-1)=180º,
para cualquier otro número comprendido entre -1 y 1, hay dos ángulos que tienen ese
coseno.
Si α es uno de los ángulos, el otro será 360º-α = -α.
En el caso particular de arccos1, un ángulo sería 0º y el otro 360º-0º = 360º = 0º. Coinciden
los dos.
En el caso particular de arccos(-1), un ángulo sería 180º y el otro 360º-180º = 180º. Coinciden
los dos
Ejemplo: Halla todos los ángulos cuyo coseno vale 0,7.
Cos x= 0,7
x= arccos 0,7= 45º,572996
El otro ángulo es 360º-45º,572996=314,427004
ARCO TANGENTE:
El arcotangente es la función inversa o reciproca de la tangente.
Se llama arcotangente (arctg) de un número al ángulo que tiene por tangente dicho
número. Si se conoce el valor de la tangente de un ángulo y se quiere calcular el ángulo,
hay que tener en cuenta que, para cualquier número real, hay dos ángulos que tienen esa
tangente.
Si uno de los ángulos es α, el otro será 180º+α.
Ejemplo: Halla todos los ángulos cuya tangente vale 0,7
4
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI
Tan x= 0,7
X= arctg 0,7= 34,9920202 ; El otro ángulo será: 180º+34,9920202 = 214, 34,9920202
4. Relaciones entre las razones trigonométricas. (Demostraciones de Identidades
trigonométricas.)
Dichas relaciones vienen dadas por las identidades trigonométricas:
1ª) cos² α + sen² α = 1
2ª) Si dividimos a la anterior por cos² α nos quedaría:
1 + tg² α = sec² α
3ª) Si dividimos por el sen² α a la primera queda:
cotg² α + 1 = cosec² α
5. Circunferencia Goniométrica.
http://www.youtube.com/watch?v=mwCbyObgH5Y
Es aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la
circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se
numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
El seno es la ordenada (coordenada y) y el coseno es la abscisa (coordenada x).
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
(hacer otro dibujo)
Signo de las razones trigonométricas:
5
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI
6. Razones trigonométricas de los principales ángulos.
(Vídeo de Unicoos Reducción al primer cuadrante)
http://unicoos.com/videos/263/trigonometria---reduccion-al-primer-cuadrante4%C2%BAeso-unicoos
Vienen explicados: Ángulos suplementarios (180º-α), Ángulos complementarios (90º- α),
(180º+ α), (360º- α) ó – α, 90º+ α
Razones trigonométricas de:
6.1. Ángulos mayores de 360º:
(Poner un ejemplo de un ángulo superior a 360º, no tachar los ceros en la división)
Ej: Un ángulo de 780 º= 780:360=2, resto 60º; 780º= 60º
(dibujar la circ goniométrica)
k= nº de vueltas= 360º
tg (+2ksen(+2kcos(+2ksencostg
Las demás se deducen a partir de las tres anteriores:
Cotg (+2ktg(+2ktg
Sec(+2kcos(+2kcos
Cosec(+2ksen(+2kcosec



6
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI
6.2. Ángulos complementarios (suman 90º):
sen(90º-cos 
cos(90º-sen 
tg(90º-Sen(90º- Cos(90º- cos  sen
Cotg 
cotg (90º- Tg(90º-cotg = tg 
Sec (90º- cos(90º-sen cosec 
cosec (90º- Sen(90º-cos sec 
6.3. Ángulos suplementarios (suman 180º):
sen(180-)= sen 
cos(180-cos 
tg(180- Sen(180-)/ Cos(180-
sen cos tg 
cotg(180- tg(180- tg ctg 
sec (180- cos(180-cos  sec
cosec(180- sen(180-)= 1/sen = cosec
6.4. Ángulos cuya diferencia es 180º:
sen(180+)= sen 
cos(180+cos 
tg(180+ sen(180+) / cos(180+
sen cos tg 
cotg(180+ tg (180+ tg  cotg 
sec(180+ cos(180+cos sec 
cosec(180+ sen(180+sen cosec 
7
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI
6.5. Ángulos opuestos:
sen(360-)= sen 
cos(360-)= cos 
tg(360-tg 
cotg(360- tg(360-tg cotg 
sec(360- cos(360-tg cotg 
cosec(360- sen(360-sen cosec 
7. Resolución de triángulos (rectángulos y no rectángulos).
Se trata de calcular cuánto valen todos sus ángulos y todos sus lados a partir de los datos
que nos dan
Si el TRIÁNGULO es RECTÁNGULO se aplican las siguientes fórmulas:
1) Teorema de Pitágoras: a2= b2 + c2
2) +B+C= 180º
3) Razones trigonométricas: sencateto opuesto/hipotenusa,
Cos = cateto adyacente/hipotenusa, tgcateto opuesto/cateto adyacente
Si el TRIÁNGULO no es RECTÁNGULO se aplican las siguientes fórmulas:
+B+C= 180º
2) Teorema del coseno: Podemos aplicarle si conocemos los tres lados, dos lados
y el ángulo opuesto a uno de ellos o bien si conocemos dos lados y el ángulo que
forman
a2 = b2 + c2 - 2 b c Cos A
b2 = a2 + c2 - 2 a c Cos B
c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C
3) Teorema del seno: Podemos aplicarle si conocemos dos ángulos y un lado o
bien si conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
8. Problemas trigonométricos: Para resolverlos es muy conveniente dibujar una figura
a escala aproximada a la realidad. En ocasiones es importante tener claro la posición
que ocupa el observador
8
Samuel Morales Gómez. Departamento Ciencias. Colegio Diocesano Pablo VI