Download sen α < 1

EL RADIAN
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SISTEMA SEXAGESIMAL
Cada una de las 360 partes iguales en
que queda dividida la circunferencia se
llama grado sexagesimal. Cada grado
se divide en 60 minutos y cada minuto
a su vez se divide en 60 segundos.
A
Radio =r
EL RADIAN
En trigonometría se utiliza como
unidad fundamental el Radian, que se
define como aquel ángulo cuyos lados
comprenden un arco cuya longitud es
igual a la del radio.
Para deducir el valor de un radian
partiremos de la fórmula para calcular
el perímetro de una circunferencia.
P = 2.π.r
Sabemos que el giro completo de una
circunferencia vale 360°:
2.π rad = 360º
@ Angel Prieto Benito
Arco AB = r
B
1rad 
360
 57, 29577951...º
2
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1
Equivalencias
•
•
Tenemos que π radianes es igual a 180°.
Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes
equivalencias
Rad.
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
Grados
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
Rad.
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
Grados
210°
225°
240°
270°
300°
315°
@ Angel Prieto Benito
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π
180°
11π/6 2π
330°
360°
2
Trigonometría
•
Trigonometría
•
La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y
metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un
triangulo.
•
La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las
relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder
resolverlos.
•
Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres
lados, y el de sus tres ángulos, para esto nos valdremos del teorema de
Pitágoras para encontrar el valor de un lado, si es que ya conocemos dos,
y de las funciones trigonométricas para conocer el valor de los ángulos
internos si es que ya conocemos mínimo un lado.
•
Y así posteriormente podremos combinar las funciones trigonométricas con
el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
3
Teorema de Pitágoras.
•
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de cuadrados de los catetos.
• a2 = b2 + c2
Los triángulos sagrados
de los agrimensores egipcios ya
empleaban los triángulos de lados
3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para
hallar ángulos rectos.
Tres números enteros
que verifiquen el Teorema de
Pitágoras se dice que forman una
terna pitagórica.
@ Angel Prieto Benito
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a
c
b
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Reconocimiento de triángulos
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•
Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor.
Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO.
Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a.
Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO.
Los tres ángulos son menores de 90º.
Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO.
Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a.
a
c
c
a
a
A<90º
c
A=90º
A>90º
b
@ Angel Prieto Benito
b
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b
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Razones trigonométricas
•
•
Razones Trigonométricas
En todo triángulo rectángulo, con independencia de las medidas de sus
lados (catetos e hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados que se
cumplen siempre, y que sólo dependen del valor de los ángulos agudos del
triángulo.
B
Hipotenusa
B
c
a
A=90º
A
@ Angel Prieto Benito
C
b
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C
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Razones en un triángulo
•
RAZONES DIRECTAS
•
El seno de un ángulo agudo, C, es la
razón entre el cateto opuesto a dicho
ángulo, c, y la hipotenusa, a.
Se escribe sen C
•
•
•
•
•
El coseno de un ángulo agudo, C, es la
razón entre el cateto adyacente a dicho
ángulo, b, y la hipotenusa, a.
Se escribe cos C
La tangente de un ángulo agudo, C, es la
razón entre el cateto opuesto a dicho
ángulo, c, y el cateto adyacente, b.
Se escribe tg C
@ Angel Prieto Benito
sen C 
CATETO OPUESTO c

a
HIPOTENUSA
cos C 
CATETO ADYACENTE b

a
HIPOTENUSA
tag C 
c
CATETO OPUESTO

CATETO ADYACENTE b
cot ag C 
sec C 
a
HIPOTENUSA

CATETO ADYACENTE b
cos ec C 
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CATETO ADYACENTE b

c
CATETO OPUESTO
a
HIPOTENUSA

CATETO OPUESTO c
7
Razones en un triángulo
sen B 
cos B 
tag B 
CATETO OPUESTO b

a
HIPOTENUSA
•
RAZONES INVERSAS
•
Se llaman así porque son inversas de las
razones anteriores:
•
La cosecante de un ángulo agudo, B, es
la inversa del seno.
Se escribe cosec B = 1 / sen B
CATETO ADYACENTE c

a
HIPOTENUSA
b
CATETO OPUESTO

CATETO ADYACENTE c
cot ag B 
•
CATETOADYACENTE c

b
CATETO OPUESTO
•
•
sec B 
a
HIPOTENUSA

CATETO ADYACENTE c
cos ec B 
a
HIPOTENUSA

CATETO OPUESTO b
@ Angel Prieto Benito
•
•
La secante de un ángulo agudo, B, es la
inversa del coseno.
Se escribe sec B = 1 / cos B
La cotangente de un ángulo agudo, B, es
la inversa de la tangente.
Se escribe cotg B = 1 / tg B
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8
Ejemplo
• Hallar las razones
trigonométricas en el triángulo
rectángulo cuyos lados miden:
a=5, b=4, c=3
B
Hipotenusa
B
c
• sen C=c/a=3/5=0,6
• cos C=b/a=4/5=0,8
• tg C=c/b=3/4=0,75
A=90º
A
• cosec C=1/sen C=1/0,6=5/3
• sec C=1/cos C=1/0,8=1,25
• cotg C=1/tg C=1/0,75=4/3
@ Angel Prieto Benito
a
C
b
C
• IMPORTANTE
• Como un cateto siempre es
menor que la hipotenusa:
• sen α ≤ 1
• cos α ≤ 1
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9
Ejemplo
• Hallar las razones
trigonométricas en el triángulo
rectángulo cuyos lados miden:
a=5, b=4, c=3
B
Hipotenusa
B
c
• sen B=b/a=4/5=0,8
• cos B=c/a=3/5=0,6
• tg B=b/c=4/3
A=90º
A
• cosec B=1/sen B=1/0,8=1,25
• sec B=1/cos B=1/0,6=5/3
• cotg B=1/tg B=1/(4/3)=0,75
@ Angel Prieto Benito
a
C
b
C
• IMPORTANTE
• Cuando los ángulos son
complementarios, B+C=90º:
• sen B = cos C
• cos B = sen C
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10
Algunas razones muy utilizadas
•
RAZONES MUY UTILIZADAS
•
Conviene saberse de memoria las siguientes
razones trigonométricas, al objeto de conseguir
rapidez y exactitud:
•
•
•
Sen 30º = 1 / 2
Cos 30º = √3 / 2
Tg 30º = √3 / 3
•
•
•
Sen 45º = √2 / 2
Cos 45º = √2 / 2
Tg 45º = 1
√2
45º
30º
√3/2
•
•
•
60º
Sen 60º = √3 / 2
Cos 60º = 1 / 2
Tg 60º = √3
@ Angel Prieto Benito
½
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½
11
Ángulos y Cuadrantes
Primer
Cuadrante
Segundo
cuadrante
0º < α < 90º
90º < α < 180º
π/2 rad
Cuad. I
Cuad. II
0 < α < π/2 rad
π/2 < α < π rad
Tercer
Cuadrante
Cuarto
Cuadrante
180º < α < 270º
270º < α < 360º
π/2 < α < 3π/2 rad
3π/2 < α < 2π rad
90º
180º
r=1
α
π rad
0 rad
0º
360º
Cuad. III
2π rad
Cuad. IV
270º
3π/2 rad
Circunferencia goniométrica es la que tiene por radio la unidad. Es la empleada en trigonometría.
@ Angel Prieto Benito
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12
Líneas trigonométricas
•
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
•
El seno de un ángulo en el primer cuadrante es
AB/r , pero al ser r=1, el valor del seno coincide
con la ordenada del punto A, o sea con la línea
o segmento AB
sen α = AB
•
C
A
•
•
•
•
•
Lo mismo pasa con el coseno de un ángulo en
el primer cuadrante.
cos α = OB
r=1
De forma similar ocurre con la tangente de un
ángulo del primer cuadrante.
tg α = CD
α
O
B
D
En la circunferencia goniométrica las razones
trigonométricas se transforman en líneas
trigonométricas, lo que permite visualizar su
valor.
@ Angel Prieto Benito
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13
Valor y signo en 1º Cuadrante
•
RAZONES EN EL PRIMER CUADRANTE
•
Se puede ver que al aumentar al ángulo,
de 0º a 90º, el valor del seno (en color
rojo) aumenta de 0 a 1.
Asimismo vemos que siempre queda por
encima del eje de abscisas, por lo que su
valor es siempre positivo.
0 < sen α < 1
•
•
•
•
•
90º
β
α
0º
180º
También se puede ver que al aumentar al
ángulo, de 0º a 90º, el valor del coseno
(en color verde) disminuye de 1 a 0.
Asimismo vemos que siempre queda a la
derecha del eje de ordenadas, por lo que
su valor es siempre positivo.
1 > cos α > 0
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
270º
14
Valor y signo en 2º Cuadrante
•
RAZONES EN EL SEGUNDO CUADRANTE
•
Se puede ver que al aumentar al ángulo,
de 90º a 180º, el valor del seno (en color
rojo) disminuye de 1 a 0.
Asimismo vemos que siempre queda por
encima del eje de abscisas, por lo que su
valor es siempre positivo.
1 > sen α > 0
•
•
•
•
•
α
90º
β
0º
180º
También se puede ver que al aumentar al
ángulo, de 90º a 180º, el valor del coseno
(en color verde) disminuye de 0 a – 1.
Asimismo vemos que siempre queda a la
izquierda del eje de ordenadas, por lo que
su valor es siempre negativo.
0 > cos α > – 1
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
270º
15
Valor y signo en 3º Cuadrante
•
RAZONES EN EL TERCER CUADRANTE
•
Se puede ver que al aumentar al ángulo,
de 180º a 270º, el valor del seno (en color
rojo) disminuye de 0 a – 1.
Asimismo vemos que siempre queda por
debajo del eje de abscisas, por lo que su
valor es siempre negativo.
0 > sen α > – 1
•
•
•
•
•
También se puede ver que al aumentar al
ángulo, de 180º a 270º, el valor del
coseno (en color verde) aumenta de – 1 a
0.
Asimismo vemos que siempre queda a la
izquierda del eje de ordenadas, por lo que
su valor es siempre negativo.
– 1 < cos α < 0
@ Angel Prieto Benito
90º
0º
180º
α
Matemáticas 1º Bachillerato CT
β
270º
16
Valor y signo en 4º Cuadrante
•
RAZONES EN EL CUARTO CUADRANTE
•
Se puede ver que al aumentar al ángulo,
de 270º a 360º, el valor del seno (en color
rojo) aumenta de – 1 a 0.
Asimismo vemos que siempre queda por
debajo del eje de abscisas, por lo que su
valor es siempre negativo.
– 1 < sen α < 0
•
•
•
•
•
90º
También se puede ver que al aumentar al
ángulo, de 270º a 360º, el valor del
coseno (en color verde) aumenta de 0 a
1.
Asimismo vemos que siempre queda a la
derecha del eje de ordenadas, por lo que
su valor es siempre positivo.
0 < cos α < 1
@ Angel Prieto Benito
0º
180º
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β
270º
α
17
Valor y signo en los Vértices
•
RAZONES EN VÉRTICES
•
Como vemos los
vértices son los límites
geométricos del seno y
coseno de un ángulo.
Por lo tanto:
•
sen 90º=1
0 ≤ |sen α| ≤ 1
0 ≤ |cos α| ≤ 1
•
El valor de la tangente,
sin embargo, no está
limitada, pudiendo
tomar valores entre –oo
y +oo, dependiendo del
cuadrante del ángulo.
@ Angel Prieto Benito
α
sen 180º=0
•
•
cos 90º=0
cos 180º= -1
sen 0º=0
cos 0º=1
sen 270º= -1
Matemáticas 1º Bachillerato CT
cos 270º= 0
18